О конечности некоторых точно дважды транзитивных групп

Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 344-351

УДК 512.544

О КОНЕЧНОСТИ НЕКОТОРЫХ ТОЧНО Д В А Ж Д Ы Т Р А Н З И Т И В Н Ы Х ГРУПП*)

Н. М. СУЧКОВ

Пусть G — точно дважды транзитивная группа подстановок множе­ ства Г2, т.е. группа G дважды транзитивна на Q и стабилизатор в G двух точек тривиален. К.Жордан [1] еще в 1872 г. показал, что в такой конеч­ ной группе G существует регулярный абелев нормальный делитель. До настоящего времени неизвестно, обладает ли этим свойством (хотя бы и при некоторых ограничениях на стабилизатор точки) бесконечная группа G [2, вопросы 11.52, 12.48]? В теореме 20.7.1 [3] М. Холл дал положительный ответ на этот во­ прос, предположив, что существует не более одной регулярной подстанов­ ки группы G, отображающей а в /3, где а, /3 — различные точки из Q. Это условие автоматически выполняется в конечном случае, что легко прове­ рить простым арифметическим подсчетом. Более естественным при изучении точно дважды транзитивных групп является наложение тех или иных условий на стабилизатор точки. Результатов в этом направлении получено пока немного. С ними можно ознакомиться по работе В. Д. Мазурова [4]. В настоящей работе доказыва­ ется следующая Т Е О Р Е М А . Пусть G — точно дважды транзитивная группа под­ становок и ее стабилизатор точки является 2-группой. Тогда G конечна *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект 99-01-00542, и Красноярского краевого фонда науки, грант 9F132. ©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2001

345

О конечности некоторых групп

и изоморфна группе Фробениуса порядка З2 • 2 3 или р • 2п, где р = 2П + 1 — простое число Ферма. Результаты § 1 в основном известны (см., например, [3, 4]), они необ­ ходимы для доказательства нашей теоремы, и их доказательства приво­ дятся для полноты изложения.

§ 1 . Вспомогательные результаты Пусть G — точно дважды транзитивна на ft, Я = Ga ~ стабилиза­ тор точки, а ф ft £ ft. В силу определения точно дважды транзитивной группы существует такой элемент г £ (7, что аг = /3, /3* = а. Очевидно, г — инволюция из G \ Я и

G = H(i)H, Я ' П Я = 1.

(1)

Л Е М М А 1.1. £?сл^ # G G\H} то g однозначно представим в виде g ~ aib, где а, 6 G Я . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование такого разложения прямо сле­ дует из (1). Пусть g = aib = cid, где a,b,c,d £ Я . Тогда ic~lai = db"""1 G G Я П Я1'. В силу (1), c " ^ = db- 1 = 1 и a = c, Ь = d. D Л Е М М А 1.2. Множество iH = {ia \ a £ H} совпадает с множе­ ством всех инволюций из G\H. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть к ~ инволюция группы G и к £ Я . Согласно лемме 1.1, к — cid, где c,d £ Я . Так как к2 = 1, то cidcid = 1, idci = c ^ d " 1 е Я П Я*. В силу (1), с = d~l и fc = rf"4d. • Л Е М М А 1.3. Если подгруппа Я содержит инволюцию j , то эта инволюция в Я единственна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть к - инволюция из Я . Из (1) следует, что j\kl

£ Я . По лемме 1.2, j ' a = &* для некоторого а £ Я . Отсюда

к £ Н П Ншг и в силу (1) имеем гаг G Я , а = 1 и к = j . • Пусть 1 ф х £ Я . В силу равенств (1) и леммы 1.1, ixi == г/г\г, где y,z ~- однозначно определенные элементы из подгруппы Я . Полагаем ^(#) = yz) ф(х) =z zy