Обработка результатов прямых и косвенных измерений: Методические указания к лабораторным работам по курсу ''Метрология, стандартизация и сертификация''

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования П е н з е н с к и й г о с у д а р с т в е н н ы й у н и в е р с и т е т

«ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Методические указания к лабораторным работам по курсу «Метрология, стандартизация и сертификация»

Пенза 2008

УДК 389.001 (075) Р 32

Представлены описания методик обработки результатов многократных прямых и косвенных измерений и оценки метрологических характеристик средств измерений. Описанные методики реализованы с использованием программных пакетов Excel и MathCAD. Методические указания подготовлены на кафедре "Информационноизмерительная техника" Пензенского государственного университета и предназначены для студентов специальностей 200102 "Приборы и методы контроля качества и диагностики", 200106 "Информационноизмерительная техника и технологии" и 200402 "Инженерное дело в медико-биологической практике", изучающих дисциплину "Метрология, стандартизация и сертификация". Ил. 6 , табл. 7 , библиогр. 6 назв., приложение

С о с т а в и т е л ь: В.В.Регеда Р е ц е н з е н т: кандидат технических наук, директор АНО «Пензенский центр испытаний и сертификации» С.Б. Кутыркин

2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 «КАЛИБРОВКА ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ» Цель лабораторной работы - ознакомиться с основными правилами проведения операций калибровки электроизмерительных приборов (ЭП). Выполнение процедур калибровки ЭП Калибровкой называется совокупность операций, выполняемых с целью определения и подтверждения действительных значений метрологических характеристик и ( или) пригодности к применению средств измерений, не подлежащих государственному метрологическому контролю и надзору. Для проведения калибровочных работ создана Российская система калибровки (РСК) – совокупность субъектов деятельности и калибровочных работ, направленных на обеспечение единства измерений в сферах, не подлежащих государственному метрологическому контролю и надзору и действующих на основе установленных требований к организации и проведению калибровочных работ. Деятельность РСК регулируется правилами [1,2]. Результаты калибровки средств измерений удостоверяются калибровочным знаком, наносимым на средства измерений, или сертификатом о калибровке, а также записью в эксплуатационных документах. Сертификат о калибровке представляет собой документ, удостоверяющий факт и результаты калибровки средства измерений, который выдается организацией, осуществляющей калибровку. Погрешность ЭП, являющуюся важнейшей метрологической характеристикой принято выражать одним из трех способов: - в виде абсолютной погрешности, выражаемой в единицах измеряемой величины Δ = x и − x д , где x и - результат измерения, выполненного данным ЭП, x д - действительное значение измеряемой величины ; - в виде относительной погрешности, выраженной отношением абсолютной погрешности средства измерений к результату измерений или к действительному значению измеренной физической величины, определяемой, как правило, в процентах:

δ=

Δ Δ ⋅ 100% ≈ ⋅ 100% . Приближенное равенство возможно xд xи 3

из-за близости значений x д и x и ; - в виде приведенной погрешности, выраженной отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона, определяемой в процентах: γ =

Δ ⋅ 100% , где x н xн

нормирующее значение. В качестве нормирующего значения для средств измерений с равномерной, практически равномерной (шкала, длины делений которых отличаются друг от друга не более чем на 30%) и степенной, а также для измерительных преобразователей, если нулевое значение входного или выходного сигналов находится на краю или вне диапазона измерений, устанавливается равным большему из модулей пределов измерений. Если нулевая отметка находится внутри диапазона измерений, x н следует устанавливать равным сумме модулей пределов измерений. Для средств измерений с установленным номинальным значением x н принимают равным этому значению. [3] В связи с целесообразностью использования различных методов уменьшения, абсолютную погрешность ЭП принято делить на аддитивную, не зависящую от значения измеряемой величины (рис.1а) Δ a = a , и мультипликативную, зависящую от значения измеряемой величины x Δ м = b ⋅ x . (рис.1б). Одним из важнейших этапов метрологической аттестации средств измерений является назначение класса точности, который представляет собой обобщенную характеристику данного типа средств измерений и, как правило, отражает уровень их точности, выраженной пределами допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другими характеристиками, влияющими на точность. Следует заметить: 1. Класс точности дает возможность судить о том, в каких пределах находится погрешность средств измерений одного типа, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью каждого из этих средств. Это важно при выборе средств измерений в зависимости от заданной точности измерений. Δ

Δ b•x a

4

x Рис. 1а

x Рис. 1б

2. Класс точности средств измерений конкретного типа устанавливают в стандартах (технических требованиях или условиях) или в другой технической документации, утвержденной в установленном порядке. Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности, которые определяют класс точности ЭП, могут быть выражены одним значением погрешности (одночленной формулой):

Δ = ±a или в виде суммы двух членов (двучленной формулой):

Δ = ±(a + b ⋅ x),

где x - значение измеряемой величины. Например, для генератора погрешность может быть задана как Δ = ±(2 + 0,02 ⋅ f ) Гц. Пределы допускаемой приведенной основной погрешности определяют по формуле

γ=

Δ ⋅ 100 = ± p%, где p xн

положительное число, выбираемое из ряда 1•10n, 1,5•10n, 2,5•10n, 4•10n, 5•10n, 6•10n (n=1, 0, -1, -2,...) Пределы допускаемой относительной основной погрешности определяют по одночленной формуле δ = двучленной формуле

Δ ⋅ 100 = q % x

или

⎡ Δ ⎛x ⎞⎤ ⋅ 100 = ± ⎢c + d ⎜ k − 1⎟ ⎥%, где x k - больший по модулю ⎝ x ⎠⎦ x ⎣ a d= , c и d выбирают из из пределов измерений; c = b + d; xk ряда аналогичного ряду чисел для p . δ=

Калибровка ЭП практически может выполняться как при использовании образцовой меры, подаваемой на вход исследуемого прибора (рис. 2а), так и при использовании рабочего эталона, показания которого используются в качестве величины xд , на основании которой определяется погрешность (рис.2б). Первый способ часто традиционно 5

называют «способом образцовой меры», а второй - «способом образцового прибора». Эталонная мера

Рабочий эталон

Мера

Исследуемое СИ Исследуемое СИ б)

а) Рис. 2

Экспериментальные данные, предназначенные для назначения класса точности - при первичной калибровке, или для проверки соответствия ранее предписанному классу точности - при последующих калибровках, получаются во всех предписанных методиками точках диапазона измерения ЭП. Число таких точек n может быть различным. Получаемый в каждой точке i диапазона измерения результат xi сравнивается с номинальным или образцовым значением измеряемой величины xio. Получаемая разница и дает значение погрешности, которое и определяет класс точности ЭП. Заключение о соответствии классу точности делается на основании следующего правила: «Значение погрешности в любой точке диапазона измерения, получаемое экспериментальным образом, не должно превышать присвоенный ЭП класс точности». Порядок выполнения работы 1.Согласно заданному варианту задания (по данным табл.1) считать из файла данные экспериментов, полученных при метрологических испытаниях электроизмерительного прибора и присвоить ему класс точности согласно одночленной формуле (для γ ). При этом необходимо построить график распределения погрешности по шкале прибора, показать на графике границы погрешности, полученные на основе экспериментальных данных, и границы максимальной допустимой погрешности, определяемые присвоенным прибору классом точности. Оформить протокол первичной калибровки по прилагаемому образцу. (Файл PROTKAL1.XLS).

6

2. Согласно заданному варианту задания считать из файла данные экспериментов, полученных при метрологических испытаниях электроизмерительного прибора и присвоить ему класс точности согласно двучленной формуле (для Δ). При этом необходимо построить график распределения погрешности по шкале прибора, показать на графике границы погрешности, полученные на основе экспериментальных данных, и границы максимальной допустимой погрешности, определяемые присвоенным прибору классом точности. Оформить протокол первичной калибровки по прилагаемому образцу. 3. Согласно заданному варианту задания считать из файла данные экспериментов, полученных при последующей калибровке электроизмерительного прибора и проверить его соответствие установленному для него классу точности. При этом необходимо построить график распределения погрешности по шкале прибора, показать на графике погрешности, полученные на основе экспериментальных данных, и границы максимальной допустимой погрешности, определяемые классом точности. Оформить протокол калибровки по прилагаемому образцу. (Файл PROTKAL2.XLS). 4. Согласно заданному варианту задания считать из файла данные экспериментов, полученных при последующей калибровке электроизмерительного прибора и проверить его соответствие установленному для него классу точности. При этом необходимо построить график распределения погрешности по шкале прибора, показать на графике погрешности, полученные на основе экспериментальных данных, и границы максимальной допустимой погрешности, определяемые классом точности. Оформить протокол калибровки по прилагаемому образцу. Вариант Пункт программы задания (имя файла) 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

L1Z1V1 L1Z1V2 L1Z1V3 L1Z1V4 L1Z1V5 L1Z1V6 L1Z1V7 L1Z1V8 L1Z1V9

L1Z2V1 L1Z2V2 L1Z2V3 L1Z2V4 L1Z2V5 L1Z2V6 L1Z2V7 L1Z2V8 L1Z2V9 7

L1Z3V1 L1Z3V2 L1Z3V3 L1Z3V4 L1Z3V5 L1Z3V6 L1Z3V7 L1Z3V8 L1Z3V9

L1Z4V1 L1Z4V2 L1Z4V3 L1Z4V4 L1Z4V5 L1Z4V6 L1Z4V7 L1Z4V8 L1Z4V9

10

L1Z1V10

L1Z2V10

L1Z3V10

L1Z4V10

Содержание отчета 1. Титульный лист. 2. Четыре протокола с результатами калибровки. Контрольные вопросы 1. В чем заключается процедура первичной калибровки? 2. В чем заключается процедура последующей калибровки? 3. Назовите основные способы калибровки. 4. Что такое «аддитивная» и «мультипликативная» составляющие погрешности? 5. Приведите основные способы выражения классов точности средств измерений.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 «ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ» Цель лабораторной работы - ознакомиться с методиками обработки многократных измерений и проверки гипотезы о нормальности распределения на основе критерия Пирсона. Обработка результатов многократных измерений При выполнении некоторых измерений существенную роль выполняет случайная погрешность, вызывающая рассеяние результатов измерений в серии многократных измерений. Случайной погрешностью называется составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины. Рассеяние результатов в ряду измерений - это несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных 8

погрешностей. Многократными измерениями называются измерения физической величины одного и того же размера, результаты которых получаются из нескольких следующих друг за другом измерений, т.е. состоящие из ряда однократных измерений. Основным методом учета и частичного устранения влияния случайных погрешностей является получение избыточного числа измерений с последующей обработкой их специальными методами. Построение гистограммы распределения Для построения гистограммы статистического распределения результатов наблюдений, прежде всего необходимо произвести их группирование, то есть разделение ряда данных от наименьшего Хмin до наибольшего Хмах на r интервалов. Ширину интервала Δx i (i = 1,2, ..., r ) выбирают постоянной для всего ряда данных, т.е. Δx i = x max − x min . r Вычисленное значение ширины интервала обычно округляют. После этого подсчитывают числа mi, равные числу результатов, попадающих в каждый i-ый интервал, то есть меньших или равных его правой и больших его левой границы. Отношения Pi∗ = m , где n- общее число наблюдений или n

объем выборки, определяют частости и представляют собой статистические оценки вероятностей попадания результата наблюдений в i-ый интервал. Если частость разделить на длину интервала Δx i , то Pi∗ являющееся оценкой средней плотности = , Δxi распределения в интервале Δx i . Отложив вдоль оси результатов наблюдений, как показано на рисунке 1, интервалы Δx i в порядке

получим значение

fi∗

возрастания индекса i и построив на каждом интервале прямоугольник с ∗

высотой, равной fi , получим график, называемый гистограммой статистического распределения. При увеличении числа наблюдений число интервалов можно увеличить. При этом сами интервалы уменьшаются, и гистограмма все больше приближается к плавной кривой, ограничивающей единичную площадь, - к графику плотности распределения результатов наблюдения. При построении гистограмм рекомендуется пользоваться следующими правилами:

9

χ

2

i

P x

i

i

f*

Δ

i

x мВ

Рисунок 3 1. Число r интервалов выбирается в зависимости от числа наблюдений n согласно следующим рекомендациям: 9,5 9,6

9,7

9,8

9,9

10,0 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5

N r 10 – 100 7-9 100 - 500 8 - 12 500 - 1000 10 - 16 1000 - 10000 12- 22 2. Длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми. Однако если распределение крайне неравномерно, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбрать более узкие интервалы. 3. Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношение ее высоты к основанию составляло примерно 5:8. Проверка гипотезы о законе распределения Проверить гипотезу о том, что распределение статистических данных не противоречит теоретическому распределению, можно по ряду критериев. При числе наблюдений n ≥ 50 для проверки критерия согласия теоретического (предполагаемого) распределения с практическим, то есть полученным на основе экспериментальных данных, чаще всего используют критерий Пирсона. Для проверки с использованием этого критерия все вычисления сводят в таблицу. Данные группируют, объединяя в r интервалов. Вычисляют середины интервалов x ′i и соответствующие им оценки средней плотности распределения, находят значения оценки ~ математического ожидания m( x) и среднего квадратического отклонения σ~(x ) . Для выполнения последующего сравнения экспериментальных данных с данными теоретического нормального распределения производят

10

~ ( x) =0, а нормирование гистограммы , то есть ее приводят к виду, когда m ~( x) =1. σ Затем находят число данных vi и Pi , которое должно было быть в каждом интервале, если бы распределение было тем, гипотеза относительно которого проверяется. Для каждого интервала вычисляют 2 ( m i − Pi ⋅ v i ) 2 χi = . Эта величина соответствует нормированной площади Pi ⋅ v i заштрихованной фигуры на рисунке 1. Просуммировав χ2 по всем r

интервалам, получают

χ2 =

r ( m − P ⋅ v )2 ∑ i P ⋅iv i i i i =1

с определенным числом

степеней свободы k. Для нормального распределения k=r-3. Полученная мера расхождения теоретического и практического распределений распределению является случайной величиной, подчиняющейся χ2 Пирсона с k степенями свободы, если все mi ≥ 5. Для соответствующей доверительной вероятности Pд или однозначно определяемой ею уровнем значимости q=1- Pд при известном k по таблице для χ2 находят χ2 q и χ 2 q . k, 2

k ,1− 2

Гипотезу о соответствии теоретического нормального распределения практическому принимают, если χ 2 q < χ 2 < χ 2 q . k,

k ,1−

2

2

Порядок выполнения работы 1. Войти в среду пакета Excel и вызвать файл с данными (расширение имени файла .xls) из первого столбца табл. 2, для варианта указанного преподавателем. Определить длину числового массива данных. 2. 3. По результатам измерений построить гистограмму с числом разрядов r, указанным преподавателем. Заполнить первые три столбца итоговой таблицы по образцу табл 3. ~ ~ по сгруппированным 4. Подсчитать эмпирические оценки m и σ x

x

данным, воспользовавшись формулами: r

~ = x′ ⋅ P ∗ , m ∑ i i x i =1

σ~ (x ) =

r

∑ (x′ − m~ )

2

i

i =1

x

⋅ Pi ∗ ,

где x ′i - середина i-го интервала гистограммы, вероятности попадания в i – й интервал. 11

Pi∗ - оценка

Таблица 2 Вариант задания

Имена файлов 1 L2Z1V1 L2Z1V2 L2Z1V3 L2Z1V4 L2Z1V5 L2Z1V6 L2Z1V7 L2Z1V8 L2Z1V9 L2Z1V10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 L2Z2V1 L2Z2V2 L2Z2V3 L2Z2V4 L2Z2V5 L2Z2V6 L2Z2V7 L2Z2V8 L2Z2V9 L2Z2V10

5. Выполнить нормирование гистограммы статистического распределения. С этой целью определить координаты границ y i разрядов ~′ xi − m ~ x ~ m гистограммы относительно x , выраженные в долях σ x как y i = ~ σx и занести в четвертый столбец таблицы 3. Для этого возможно ~ , σ ~ ) .При использовать функцию Excel НОРМАЛИЗАЦИЯ (x, m x x попадании в какой-либо разряд меньше пяти результатов, этот разряд объединяется с соседним. В итоге остается r ′ разрядов. 6. Определить значения теоретической интегральной функции распределения для нормального закона, соответствующие нормированным границам разрядов гистограммы. При этом значения функции Φ (y i ) будем получать с использованием стандартной функции Excel НОРМСТРАСП(X), вычитая из нее значение 0,5, т.е. Φ (y i ) = НОРМСТРАСП(yi)-0,5. Таблица 3 Грани№ цы разразр рядов, мВ 1

2

Частота в Координаты разряде нормирован-ных границ mi yi 3

4

12

Φ (y i )

5

Оценка Pi

6

n ⋅ Pi

χ i2

7

8

1 2

3 4

5 6 7 8 9

8……… …-6 6………4 -4……-2 2……… 0 0……2 2……… 4 4……6 6…8 8……… 10

Сумма

4 ⎫ 24 ⎬ 20⎭

-2,55……-1,32 -0,5000

0,0934

18,68

1,51

31 45

-1,32……-0,70 -0,4066 -0,70……-0,08 -0,2580

0,1486 0,2261

29,72 45,22

0,05 0,00

48 29

-0,08……0,54 0,54……1,15

-0,0319 0,2054

0,2373 0,1695

47,46 33,90

0,00 0,71

18⎫ 23 ⎪ 3⎬ 2 ⎪⎭

1,15……3,01

0,3749… 0,1237 … 0,4986… …

24,74

0,12

≈1,0

200 ~ = 3,24 мВ σ

~ = 0,27 мВ m

Так как Φ (− ∞ ) = −0,5 , то значение –0,5 присвоим значению функции Φ (y i ) для нижней границы первого интервала гистограммы. 7. Определить оценки вероятности попадания величины распределенной по нормальному закону в каждый из оставшихся разрядов гистограммы Δx i как Pi = Φ (y i +1 ) − Φ (y i ) и занести значения в шестой столбец таблицы 3. 8. Осуществить проверку выполненных вычислений путем суммирования всех значений Pi , занесенных в графу 6 таблицы 3. Сумма должна быть равна 1 с высокой степенью приближения. 9. Вычислить для каждого столбца произведение Pi на общее число наблюдений n. Полученные результаты занести в графу 7 таблицы 3. 10. Определить взвешенные квадраты отклонений частот χ i2 =

(mi − n ⋅ Pi )2 и поместить их в графу 8 таблицы 3. Просуммировав эти n ⋅ Pi

значения по всем разрядам, получим значение меры расхождения χ 2 .

13

2,39

11. Используя заданные преподавателем три значения доверительной вероятности Pд, определить границы трех доверительных интервалов [χ2k,q 2 ÷ χ2k,1−q 2 ]. Для определения границ использовать стандартную функцию Excel ХИ2ОБР, задавая в качестве аргументов значения q/2 и 1-q/2. Вторым аргументом является число степеней свободы k, определяемое как k= r'-3. Число три вычитается потому, что на получаемую гистограмму налагаются два условия: ~ и равенство практически полученных оценок m x ~ σ x соответственно математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению теоретического нормального распределения; сумма частостей по всем интервалам гистограммы должна быть равна единице. 12. Сопоставить значение меры расхождения χ 2 с границами доверительных интервалов и сделать вывод о справедливости гипотезы о соответствии статистического распределения нормальному закону распределения. 13. Вызвать файл с данными (расширение имени файла .xls) из второго столбца таблицы 2. 14. Выполнить действия по п.2-12 для данных второго файла. Содержание отчета

1. Титульный лист. 2. Две таблицы с выводами о соответствии данных нормальному закону распределения. Контрольные вопросы 1. Как строится гистограмма статистического распределения? Каким образом подсчитываются оценки математического 2. ожидания и среднего квадратического отклонения по данным гистограмммы? Назовите порядок проверки полученных опытных данных на 3. их соответствие нормальному закону распределения. Что используется в качестве меры расхождения при поверке 4. гипотез? Какому закону распределения подчиняется мера расхождения? 5. 6. Чем определяется число степеней свободы распределения меры расхождения при поверке гипотезы? 14

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 «ТОЧЕЧНАЯ И ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ МАЛЫХ ВЫБОРКАХ» Цель лабораторной работы - ознакомиться с основными методиками обработки результатов прямых измерений при малых n < 30 выборках. Основные положения Полученные экспериментально значения результатов измерений, содержащие случайную составляющую погрешности необходимо подвергнуть обработке согласно специальных методик для оценки истинного значения измеряемой величины или степени приближения полученных результатов к истинному значению. В практике многократных измерений вместо нахождения функций распределения, требующих проведения весьма объемных исследований, используют значения моментных функций [3]. Среди них, в первую очередь, следует выделить математическое ожидание (первый начальный момент) ∞

m x = ∫ x ⋅ p x (x ) ⋅dx −∞

и дисперсию (второй центральный момент) Dx =

∞

∫ (x − m x )

2

⋅ p x (x ) ⋅dx .

−∞

Значение математического ожидания (при условии равенства нулю систематической погрешности ) часто принимают за истинное значение измеряемой величины. Физический смысл этого параметра можно представить как координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения. Дисперсия случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой рассеивания относительно математического ожидания. Физический смысл этого параметра можно представить как момент инерции фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения. Так как дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, то она не совсем удобна для оценки характеристики 15

рассеивания. Поэтому для этой цели чаще используют положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений σ

x

= +

D

x

= +

∞

∫ (x

− m

)

2

x

⋅ p x (x ) ⋅dx

−∞

Точечные оценки параметров наблюдений На практике оценку значений параметров распределения приходится производить на основе ограниченной выборки – ряда значений, принимаемой измеряемой величиной в n независимых опытах. Оценку ~a параметра a называют точечной, если она выражается одним числом [4]. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, в том числе и от самого оцениваемого параметра, и от числа опытов n. К точечным оценкам предъявляется ряд требований [5], определяющих их пригодность для описания самих параметров. 1. Оценка должна быть состоятельной, то есть при увеличении числа наблюдений, она должна приближаться (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра. 2. Оценка должна быть несмещенной, то есть ее математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. 3. Оценка должна быть эффективной, то есть ее дисперсия должна быть меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра. Получаемые в результате многократных наблюдений отдельные наблюдения X1; X2;…¾;Xn, где n- число наблюдений, можно рассматривать как n независимых случайных величин с одним и тем же распределением, совпадающим с распределением Fx(x). В качестве точечной оценки истинного значения измеряемой величины или оценки математического ожидания (м.о.) используется среднее арифметическое полученных результатов. n ~ =1 X. m ∑ x i n i =1

Так как m m~ x = m x , а среднее квадратическое отклонение (с. к.о.)

σ m~ x = σ x n , то получаемая точечная оценка м.о. будет удовлетворять всем трем требованиям. 16

В качестве точечной оценки дисперсии случайной погрешности определяют величину 1 n ~ ~ )2 , (X i − m Dx = ∑ i n − 1 i =1

а в качестве точечной оценки с.к.о. определяют ~ = σ x

1 n ~ )2 (X i − m ∑ i n − 1 i =1

Эта оценка характеризует сходимость результатов отдельных наблюдений, то есть степень их концентрации относительно среднего арифметического. Последнее имеет дисперсию в n раз меньшую дисперсии случайной погрешности. Поэтому в качестве точечной оценки дисперсии среднего арифметического принимается выражение n 1~ 1 ~ )2 . ~ (X i − m σ m~ = σx = ∑ i n n (n − 1) i =1

Интервальные оценки параметров наблюдений Интервальные оценки позволяют находить доверительные интервалы, между границами которых с определенными доверительными вероятностями находятся истинные значения оцениваемых параметров. Они позволяют найти не только числовое значение параметра, но и оценить его точность и надежность [6]. Если в результате обработки выборки X1; X2;…¾;Xn будем иметь две статистические характеристики ~z ′(X1 ,...X n ) и ~z ′′(X1 ,...X n ) такие, что при любом значении Z будем иметь вероятность P[~ z ′(X1...X n ) < z < ~ z ′′(X1...X n )] = 1 − α.

z ′, ~ z ′′] называют доверительным Причем α>0 и мало. Интервал [~ интервалом для параметра z, отвечающей доверительной вероятности P=1-α. Рассмотрим определение доверительного интервала для математического ожидания измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений Xi подчиняется нормальному закону распределения N (x , m x , σ x ) и известны его дисперсия D x и с.к.о. σ x .Для оценки математического ожидания m x используется ~ распределенная нормально. Для всякого α = q 100 мы характеристика m x ~ − m < t σ x ⎞ = 1 − q = 1 − α. можем найти такое t q , что P⎛⎜ m ⎟ x x q ⎝

n⎠

17

100

σx ~ σx ⎤ ⎡~ будет ⎢⎣ m x − t q n ÷ m x + t q n ⎥⎦ ~ , отвечающей доверительной вероятности доверительным для оценки m x P=1-α. Параметр q называется уровнем значимости. Следовательно,

интервал

Доверительный интервал

~1 − t m x q

~ m

2 x

− tq

mx m

x

n

~1 + t m x q

1 x

Доверительный интервал

x

n

mx

m

~ m

2 x

2 x

x

n

+ tq

x

n

Доверительный интервал

~ m

i x

− tq

x

n

~ m

m ix m x

i x

+ tq

x

n

Рисунок 4 На рисунке 4 показаны интервалы длина которых зависят лишь от взятого значения q , а центры этих интервалов, определяемые ~ i меняются от выборки к выборке. Если будем конкретными значениями m x повторять выборки и для каждой из них определять границы доверительного интервала, то при большем числе опытов частость или доля тех интервалов, которые будут накрывать неизвестное значение m x , будет мало отличаться от P=1-α. При малых выборках распределение границ доверительных интервалов отличается от нормального закона распределения. Когда распределение исходных данных нормально, но дисперсия распределения неизвестна, параметр t доверительного интервала при малых выборках ~ −m ~ −Q ~ −Q m m m . называется дробью Стьюдента t = x~ x = x~ = n x~ σ m~ σ m~ σx ~ и σ ~ определяются как точечные оценки Входящие в нее m x x математического ожидания и с. к. о. Плотность распределения этой дроби 18

подчиняется

распределению

Стьюдента,

определяемого

как

⎛ k +1⎞ k +1 Γ⎜ ⎟ ⎛ 2 − 2 ⎞ t 2 ⎠ ⎜ S(t, k ) = ⎝ 1 + ⎟⎟ , k⎠ ⎛ k ⎞ ⎜⎝ πk ⋅ Γ⎜ ⎟ ⎝2⎠

где Γ( Y ) - называется Γ - функцией. Вероятность того, что дробь Стьюдента примет некоторое значение в интервале (− t P ;+ t P ) вычисляется по формуле P[− t P < t ≤ + t P ] =

+tP

∫ S(t, k )dt,

или

в

силу

симметричности

−tP

распределения Стьюдента tP

P[− t P < t ≤ + t P ] = 2 ∫ S(t, k )dt. 0

Раскрывая выражение для дроби Стьюдента, получим tP ~ −Q ⎡ ⎤ m ~ x ~ P ⎢− t P < ~ ≤ + t P ⎥ = P[ m x − Q < t P ⋅ σ m~ ] = 2 ∫ S(t, k )dt. σ m~ ⎣ ⎦ 0

При нахождении доверительных интервалов для дисперсии и с.к.о. при нормальной выборке с объемом n ~ ≥ 2 ⎥= k; k ;1− ( ) Dx n 1 D − χ χ ⎥ x q q ⎦ ⎣⎢ 2 2 ⎢ k; k ;1− ⎥ 2⎦ ⎣ 2 ⎡ ⎤ ~ ~ ( ⎢ (n − 1)D x n − 1)D x ⎥ P⎢ > Dx ≥ = 1 − q. χ2 q χ2 q ⎥ ⎢ ⎥ k; k ;1− 2 2 ⎦ ⎣

И соответственно для с.к.о. 20

⎡ ⎤ ~ ~ ⎥ − ⋅ σ ⎢ n −1 ⋅ σ n 1 x x > σx ≥ P⎢ = 1 − q. χ2 q χ2 q ⎥ ⎢ ⎥ k ;1− k; ⎣ ⎦ 2 2

Последнее означает, что с вероятностью α = 1− q истинное значение σ x среднего квадратического отклонения результатов наблюдений лежит в интервале (z X1; z X 2 ] , границы которого равны z X1 =

~ ~ n −1⋅ σ n −1⋅ σ x x ; z X2 = 2 2 χ q χ q k;

k ;1−

2

2

Устранение грубых погрешностей При обработке результатов многократных измерений особое значение получает устранение грубых погрешностей или выбросов, которые могут значительно исказить результаты последующей обработки. При невозможности учета всех обстоятельств, при которых проводились измерения, используют чисто статистические методы обнаружения грубых погрешностей с целью их последующего устранения. Вопрос о том, содержит ли данный результат измерения грубую погрешность, решается методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения Х i не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений случайной величины Х с законом распределения Fx(x), статистические оценки параметров которого предварительно определены. Сомнительным может быть в первую очередь лишь наибольший Хмах или наименьший Хмin из результатов наблюдений. Поэтому для проверки гипотезы следует воспользоваться распределениями величин ν=

X max − X σ~ X

или ν =

X − X max . σ~ X

Функции их распределения определяют методами теории вероятностей. Они совпадают между собой, и для нормального распределения результатов наблюдений протабулированы и представлены в таблице ПРИЛОЖЕНИЯ А. По данным этой таблицы, при заданной доверительной вероятности α или уровне значимости q=1- α можно для выборок с объемом n=2-20 найти те наибольшие значения ν α , которые случайна величина ν может принять по чисто случайным причинам. Если вычисленное по опытным данным значение ν окажется меньше ν α то гипотеза принимается; в противном случае ее следует 21

отвергнуть как противоречащую данным наблюдений. Тогда результат Хмах или соответственно Хмin приходится рассматривать как содержащий грубую погрешность и не принимать его во внимание при дальнейшей обработке результатов наблюдений. При этом мы можем, конечно, совершить ошибку первого или второго рода. Порядок выполнения работы 1. Войти в среду пакета Mathcad и вызвать файл с данными (расширение имени файла .dat) из столбца таблицы 4, для варианта, указанного преподавателем. 2. Используя функцию READPRN(File), сосчитать из файла массив данных длиной указанной в таблице 4, начиная с первого элемента файлового массива, и поместить его в одномерный массив A Таблица 4 Значение Значение Варивероятности P вероятности P ант Имена Длина для построения для проверки задафайлов массива доверительных наличия ния интервалов выбросов 1 L3Z1V1 25 0,99 0,95 0,98 0,995 2 L3Z1V2 20 0,90 0,90 0,95 0,990 3 L3Z1V3 23 0,975 0,92 0,97 0,999 4 L3Z1V4 21 0,95 0,94 0,97 0,992 5 L3Z1V5 24 0,99 0,91 0,96 0,998 6 L3Z1V6 25 0,95 0,95 0,98 0,995 7 L3Z1V7 22 0,975 0,94 0,97 0,992 8 L3Z1V8 23 0,90 0,94 0,95 0,999 9 L3Z1V9 21 0,90 0,90 0,95 0,99 10 L3Z1V10 19 0,975 0,91 0,96 0,998 . 3. Выполнить проверку массива A на наличие элементов, характеризуемых как выбросы. Для этого, используя функции mean(A) и ~ и с.к.о. σ ~ . stdev(A), найти оценки мат ожидания m x x

Используя функции min(A) и max(A) определить максимальный и минимальный элементы массива А. Для каждого из этих элементов ~ вычислить его нормированное значение как υ = X − m x и для заданного ~ σ x

значения доверительной вероятности P проверить гипотезу υ > υ P . В 22

случае положительного результата проверки элемент из массива исключить. Для нахождения значения υ P воспользоваться таблицей приложения А. 4. Выполнить построение доверительных интервалов для математического ожидания. Для этого, с учетом исключенных элементов ~ ~ . Для заданного преподавателем массива A, определить значения m x и σ x значения доверительной вероятности P определить соответствующее ему ~ σ x значение q=100(1-P) и подсчитать значения , входящие в выражение n −1 для границ интервала ~ ~ ⎤ σ σ ⎡~ x x ~ +t − ⋅ ÷ ⋅ m t m . x q , n 1 x q , n 1 − − ⎢⎣ n −1 n − 1 ⎥⎦

Этот интервал будет доверительным для m x , доверительной вероятности P=1-q/100,.если вероятность

отвечающим

~ ~ ⎤ σ σ q ⎡~ x x ~ +t P ⎢m − t ⋅ < m < m ⋅ = 1− . x q , n −1 x x q , n −1 ⎥ 100 n −1 n −1⎦ ⎣

Для нахождения параметра t q , n −1 , соответствующего числу степеней свободы k=n-1 следует воспользоваться стандартной функцией Mathcad qt(p,k), позволяющую для заданных вероятности p и числа степеней свободы k найти такое значение x, при котором P(X ≤ x) = p для распределения Стьюдента. В качестве параметров функции следует использовать k=n-1 и p=(1+P)/2. 5. Найти границы интервалов для двух других значений доверительной вероятности. P. Выполнить графическое построение трех доверительных интервалов в одной системе координат, зафиксировав ~ . положение общей для них начальной точки - m x 6. Выполнить построение доверительных интервалов для дисперсии и с.к.о. Для этого с учетом исключенных элементов массива A определить ~ значения D x , используя стандартную функцию Mathcad var(A). Для заданного преподавателем значения доверительной вероятности P=1-α найти значения вероятностей P1 = α и P2 = 1 − α . Они будут соответствовать событиям P(χ < 2

χ12

)= P

1

и P(χ < 2

χ 22

)

2 = P2

2

7. Для нахождения значений χ12 и χ 22 соответствующих числу степеней свободы k=n-1, следует воспользоваться стандартной функцией Mathcad qchisq(p,k), позволяющей для заданных вероятности p и числа 23

степеней свободы k найти такое значение x, при котором P(X ≤ x) = p для распределения Пирсона. В качестве параметров функции следует использовать k=n-1 и P1 и . P2 . ~

~

8. Определить границы интервала ⎡⎢ nD2x ÷ nD2x ⎤⎥ , который будет χ2 ⎦ ⎣ χ1 доверительным для D x и отвечать доверительной вероятности P=1-α , если ~ ~ ⎡ nD x nD x ⎤ вероятность P ⎢ 2 > D x > 2 ⎥ = 1 − α. χ2 ⎦ ⎣ χ1 ~ ~ = D 9. Пользуясь известным соотношением σ определить x x границы интервала для σ x . 10. Найти границы интервалов для двух других значений доверительной вероятности. P. Выполнить графическое построение трех доверительных интервалов для σ x в одной системе координат, ~ . зафиксировав положение общей для них начальной точки - σ x 11. Выполнить п 2-10 программы работы, начиная считывать данные для массива указанной длины, начиная с 50-го элемента файлового массива. Содержание отчета

1. Титульный лист. 2. Таблица для первой и таблица для второй выборки с расчетными значениями для границ интервалов для m x , D x и σ x . 3. Графическое построение границ интервалов для m x и σ x . Контрольные вопросы 1. В чем состоит отличие точечных и интервальных оценок? 2. Как вычисляются точечные оценки m x и σ x .?

3. Что такое «доверительный интервал»? 4. Какому закону распределения подчинены границы доверительного интервала для m x , определяемые по малой выборке? 5. Какому закону распределения подчинены границы доверительного интервала для, D x определяемые по малой выборке?. 6. Как вычисляются границы доверительного интервала для σ x ?

24

7. Чем определяется число степеней свободы распределений при нахождении границ интервалов?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 «ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫПОЛНЕНИЯ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ» Цель лабораторной работы - ознакомиться с методиками обработки многократных косвенных измерений и нахождения погрешности результатов косвенных измерений. Основные положения Косвенным измерением называют определение значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной [4]. Эти исходные величины чаще всего определяют в результате прямых измерений и их можно назвать измеряемыми аргументами ( в краткой форме - аргументами). Истинное значение измеряемой величины A связано с аргументами A j ( j = 1,..., m ) зависимостью, которую можно представить в виде

A = f (A 1 ,..., A m ). По виду функциональной зависимости можно различать: косвенные измерения с линейной зависимостью между измеряемой величиной и аргументами m

A = ∑ b j ⋅A j,

(1)

j=1

где b j - постоянный коэффициент j-го аргумента A j , m - число слагаемых; косвенные измерения с нелинейной зависимостью между измеряемой величиной и аргументами m

( )

A = ∏fj Aj ; j=1

косвенные измерения со смешанной зависимостью между измеряемой величиной и аргументами 25

m

r

i =1

j=1

A = ∏ f j (Aj) + ... + ∏ f l (A l ).

Линейные косвенные измерения При выполнении линейных косвенных измерений за оценку измеряемой величины A естественно принять m

~ A = ∑ b j ⋅ A j. j=1

~ Каждая полученная оценка A j обладает некоторой фиксированной ~ погрешностью ξ j = A j − A j , причем ξ j = ϑ j + ψ j , где ϑ j , ψ j − реализация систематической и случайной составляющих погрешности соответственно. Подставив выражение для ξ j в (1) получаем: m

m

i =1

i =1

ξ = ∑ b i ⋅ ϑi + ∑ b i ⋅ ψ i ,

(2)

т.е. при косвенных измерениях путем суммирования составляющих находят не только границы систематической погрешности результата, но и случайной погрешности. Дисперсию случайной погрешности в случае независимости погрешностей измерений аргументов можно определить как ⎡m ⎤ m 2 ~ D[ξ] = σ [ξ] = D ⎢ ∑ b j ⋅ ξ j ⎥ = ∑ b j 2 ⋅ D ψ j . ⎢⎣ j=1 ⎥⎦ j=1

[ ]

[~ ]

Заметим, что D[ξ] = D[ψ ] = D A . Считая, что погрешность результата косвенного измерения образуется путем сложения случайных погрешностей результатов измерений аргументов, распределенных по нормальному закону, и также подчиняется нормальному закону, можно найти доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины A. При числе наблюдений, выполненных при измерении всех аргументов, превышающем 30, то доверительная граница случайной погрешности ψ может быть определена как

26

()

~ ~A ψ = z 1+ α ⋅ σ

(3)

2

где

z 1+ α − 2

квантиль нормированного нормального распределения,

соответствующая выбранной доверительной вероятности α . При оценке систематической погрешности следует исходить из того, что составляющая ϑ j может быть определена границами возможных значений Θ j , которые могут быть определены по методике, изложенной в предыдущей лабораторной работе. В предположении, что все составляющие общей систематической погрешности ϑ распределены по нормальному закону, и все границы Θ j вычислены для одной и той же доверительной вероятности, то Θ=

m

∑ b 2j ⋅ Θ 2j .

(4)

j=1

После этого можно найти ξ = Θ + ψ . Нелинейные косвенные измерения Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях используют метод линеаризации, предполагающий разложение нелинейной функции в ряд Тейлора

)

(

m ∂f ~ ,...m ~ ,...m ~ f X1 ,...X j ,...X m = f m − ∑ ∂X ⋅ ΔX j + R , X1 Xj Xm j j=1

(

где

)

(

)

f X1 ,...X j ,...X m , -

нелинейная функциональная зависимость ∂f измеряемой величины Y от измеренных аргументов ; ∂X - первая j производная от функции f по X j аргументу, вычисленная в точках ~ ,...m ~ ,...m ~ m X1 Xj X m ; ΔX j - отклонение отдельного результата измерения jго аргумента от его среднего арифметического; R - остаточный член. Функция f X1 ,...X j ,...X m , разложена в ряд Тейлора в точке

(

)

m ∂f ~ ,...m ~ ,...m ~ m ⋅ ΔX j объясняется X1 Xj X m , знак минус перед членом ∑ X ∂ j j=1

27

~ тем, что ΔX j = m j − X j , а по правилу разложения в ряд Тейлора должно ~ быть ΔX j = X j − m j .

(

Метод

линеаризации

) (

допустим, если приращение ) можно заменить ее

~ ,...m ~ ,...m ~ f X1 ,...X j ,...X m − f m X1 Xj Xm m

∂f дифференциалом ∑ ∂X ⋅ ΔX j . j j=1

функции полным

1 m ∂ 2f R = ΔX j ∑ Остаточным членом 2 j=1 ∂X 2j

(

)2

пренебрегают, 2

⎛ ∂f ⎞ ~ R 0 , 8 < ⋅ ∑ ⎜⎜ ∂X ⎟⎟ ⋅ σ m~ j . если j⎠ j=1 ⎝ m

(5)

Отклонения ΔX j при этом должны быть взяты из возможных значений погрешности и такими, чтобы они максимизировали функцию

(

)

~ + ΔX ,...m ~ + ΔX ,...m ~ f m X1 1 Xj j Xm + ΔX m .

Результат измерения при этом может быть определен как ~ ~ ,..m ~ Y=f m (6) X1 Xm . .

(

)

С.к.о. результата измерения вычисляют по формуле ~~ = σ Y

2

⎛ ∂f ⎞ ∑ ⎜⎜ ∂X ⎟⎟ ⋅ σ~ 2m~Xj j⎠ j=1 ⎝ m

.

(7)

Доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения и границы неисключенной систематической погрешности результата измерения могут быть определены так же как и для линейных косвенных измерений , но подставляя вместо коэффициентов b1,…¾bm, соответственно первые производные ∂f ∂f ,... ∂X1 ∂X m . Порядок выполнения работы. 1. Решить первую задачу: - составной резистор образуется из десяти последовательно соединенных резисторов трех номиналов (R1, R2, R3). Количество резисторов каждого номинала и их номинальные значения Rном указаны в таблице 5. Определить доверительные границы погрешности составного резистора для указанной в таблице вероятности P, если значения,

28

характеризующие разброс значений резисторов каждого номинала сосредоточены в файлах данных, приведенных в таблице 1. 2. Для решения этой задачи необходимо: 2.1 Войти в среду пакета Mathcad и с использованием функции READPRN(File) из указанных в таблице 5 файлов загрузить массивы значений резисторов каждого номинала длиной 50 элементов , и присвоить им соответствующие имена.. 2.2 Для каждого массива аргументов j определить оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения как n ~ = 1 X. m ∑ i j n i =1

и

Таблица 5. Имя L4Z1R1 файла Rном 100,00

1 n ~ Xi − m ∑ j n − 1 i =1

(

~ = σ j

L4Z1R2

L4Z1R3

10,00

1.00

)2 .

№ Число резисторов Значение варианта P R1 R2 R3 1 2 3 5 0,96 2 4 4 2 0,95 3 2 6 2 0,99 4 3 3 4 0,98 5 2 5 3 0,96 6 4 2 4 0.99 7 3 5 2 0,98 8 1 5 4 0,97 9 5 2 3 0,96 10 6 2 2 0,98 2.3 Определить оценку с.к.о. оценки математического ожидания как

~~ = σ mj 2.4

1~ σx = n

Найти

n 1 ~ 2. Xi − m ∑ j n (n − 1) i =1

номинальное

(

)

значение

m

R Σ = ∑ b j ⋅ R номj . j=1

29

составного

резистора

как

2.5 Определить доверительную границу систематической составляющей погрешности для каждого аргумента j как ~ + k ⋅σ ~~ Θj = m j mj , где k находится с использованием стандартной функции Mathcad qnorm(P1,m,σ). При этом значение P1 вычисляется как P1 =

P +1 , а P берется из таблицы 1 с заданием; m и σ соответственно 2

равны 0 и 1. 2.6 Определить доверительные составляющей погрешности Θ=

границы

систематической

m

∑ b 2j ⋅ Θ 2j , j=1

где bj - число резисторов данного номинала в

составном резисторе, а m - общее число номиналов. 2.7 Вычислить дисперсию случайной погрешности результата как m

~ 2 = b2 ⋅ σ ~ 2~ σ mj и соответствующее ей значение с.к.о. ψ ∑ j j=1

2.8

Определить

доверительные

границы

~ . σ ψ

для

случайной

~ ψ = k ⋅σ ψ , где k находится с

составляющей погрешности как использованием стандартной функции Mathcad qnorm(P1,m,σ). При этом P +1 , а P берется из таблицы 1 с значение P1 вычисляется как P1 = 2 заданием; m и σ соответственно равны 0 и 1. 2.9 Найти границы общей погрешности как ξ = Θ + ψ . 2.10 Значение составного резистора с доверительной вероятностью записать как , ξ= , P= . 3. Решить вторую задачу согласно заданному варианту. Для каждого варианта имена файлов со значениями аргументов Xi, их длина и значения доверительной вероятности заданы в таблице 6. Вариант 1 Значение резистора определяется на основании точных многократных измерений напряжения и тока с последующим вычислением U по известной формуле R = . I

RΣ =

30

Определить значение сопротивления и доверительные границы погрешности. Вариант 2 Мощность в электрической цепи определяется на основании точных многократных измерений напряжения и тока с последующим вычислением по известной формуле P = U ⋅ I . Определить значение мощности и доверительные границы погрешности. Вариант 3 Мощность в электрической цепи определяется на основании точных многократных измерений значения резистора и тока с последующим вычислением по известной формуле P = I 2 ⋅ R . Определить значение мощности и доверительные границы погрешности. Вариант 4 Площадь сектора определяется на основании точных многократных измерений значения радиуса и угла (в градусах) с последующим π ⋅ R 2 ⋅α . Определить значение вычислением по известной формуле S = 360 площади и доверительные границы погрешности. Вариант 5 Объем параллелепипеда с квадратом в основании определяется на основании точных многократных измерений значения стороны квадрата и высоты с последующим вычислением по известной формуле S = a 2 ⋅ h . Определить значение объема и доверительные границы погрешности. Вариант 6 Объем шара определяется на основании точных многократных измерений значения радиуса с последующим вычислением по известной π ⋅ d3 . Определить значение объема и доверительные формуле V = 6 границы погрешности. Вариант 7 Объем кругового прямого цилиндра определяется на основании точных многократных измерений значения радиуса основания и высоты с последующим вычислением по известной формуле V = π ⋅ r 2 ⋅ h . Определить значение объема и доверительные границы погрешности. Вариант 8 Объем кругового прямого конуса определяется на основании точных многократных измерений значения радиуса основания и высоты с 31

последующим

вычислением

по

известной

формуле

V=

π ⋅ r2 ⋅ h 3

.

Определить значение объема и доверительные границы погрешности. Вариант 9 Объем правильной четырехугольной пирамиды определяется на основании точных многократных измерений значения стороны основания a2 ⋅ h и высоты с последующим вычислением по известной формуле V = . 3 Определить значение объема и доверительные границы погрешности. Вариант 10 Объем тора определяется на основании точных многократных измерений значения большого и малого радиусов с последующим вычислением по известной формуле V = 2 ⋅ π 2 ⋅ R ⋅ r 2 . Определить значение объема и доверительные границы погрешности. Для решения задачи необходимо: 3.1 Войти в среду пакета Mathcad и с использованием функции READPRN(File) из указанных в таблице 6 файлов загрузить массивы значений аргументов указанной длины, присвоив им соответствующие имена.. Таблица 6 Ва Имена файлов Длина P Размерность риа файлов аргументов нт 1 L4Z2U1 L4Z2I1 15 11 0,98 В мА 2 L4Z2U2 L4Z2I2 18 22 0,96 В мА 3 L4Z2I3 L4Z2R3 14 19 0,97 мА Ом 4 L4Z2R4 L4Z2A4 19 15 0,95 мм градусы 5 L4Z2A5 L4Z2H5 18 15 0,99 мм мм 6 L4Z2D6 20 0,97 мм ⎯ ⎯ ⎯ 7 L4Z2R7 L4Z2H7 16 13 0,96 мм мм 8 L4Z2R8 L4Z2H8 14 18 0,98 мм мм 9 L4Z2A9 L4Z2H9 19 16 0,95 мм мм 10 L4Z2RM10 L4Z2RB10 21 17 0,98 мм мм 3.2 Для каждого массива аргументов j определить оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения как 1 n 1 n ~ m j = ∑Xi. и (X i − m~ j )2 . σ~ j = ∑ n i =1 n − 1 i =1 32

3.3 Определить оценку с.к.о. оценки математического ожидания как σ~ m~j =

1~ σx = n

n 1 (X i − m~ j )2 . ∑ n (n − 1) i =1

3.4 Определить оценку измеряемой величины по формуле (6). 3.5 Проверить допустимость применения метода линеаризации для оценки погрешности. Для этого: 3.5.1 Найти аналитическое выражение для остаточного члена по формуле

⎤ ∂2Y ∂2Y 1 ⎡∂2Y ~ 2 2 ( ) ⋅ Δ ⋅ Δ ⋅ Δ + ⋅ R 2 = ⎢ 2 ⋅ (ΔX 1 ) + X 2 X X 1 2 2 ⎥. ∂X 22 ∂X 1∂X 2 2 ⎣ ∂X 1 ⎦ При нахождении частных производных можно воспользоваться таблицей 7. Таблица 7 Функция Производная С=const 0 x 1 xn 1 x 1

xn x

nx n −1 1 − x2 n − n +1 x 1 2 x

3.5.2 Для каждого массива аргументов вычислить наибольшие ~ ). отклонения от найденных оценок среднего, т.е. ΔX max j = max (X ji − m j (Следует воспользоваться уже известными функциями Mathcad). ~ 3.5.3 Вычислить значение остаточного члена R 2 , вычисляя частные ~ , а в качестве значений ΔX . использовать производные в точках m j j найденные значения ΔX max j . 3.5.4 Вычислить значение оценки с.к.о. результата измерения σ~ ~ по Y

формуле (7). 3.5.5 Проверить выполняется ли условие (5), и в положительного результата продолжить обработку данных. 3.6 Записать результат измерения в виде ~ Y= , σ~Y~ = , nX1=, ,…, nXj= ,…, nXm= .

33

случае

3.7 Определить доверительную границу систематической ~ + k ⋅ σ~ ~ , составляющей погрешности для каждого аргумента j как Θ j = m j mj где k находится с использованием стандартной функции Mathcad P +1 qnorm(P1,m,σ). При этом значение P1 вычисляется как P1 = , а P 2 берется из таблицы 2 с заданием; m и σ соответственно равны 0 и 1. 3.8 Определить доверительные границы систематической составляющей погрешности ⎛ ∂f Θ = ∑⎜ ⎜ j =1 ⎝ ∂X j m

точках

2

⎞ ⎟ ⋅ Θ 2j , ⎟ ⎠

где

∂f ∂X j

- частная производная, вычисляемая в

~ m j

3.9 Вычислить дисперсию случайной погрешности результата как ~2 = σ ψ

точках

~ m j

2

⎛ ∂f ⎞ ∑ ⎜⎜ ∂X ⎟⎟ ⋅ σ~ 2m~j , j⎠ j =1⎝ m

где

∂f ∂X j

- частная производная, вычисляемая в

и соответствующее ей значение с.к.о. σ~ ψ .

3.10 Определить доверительные границы для случайной составляющей погрешности как ψ = k ⋅ σ~ψ , где k находится с использованием стандартной функции Mathcad qnorm(P1,m,σ). При этом P +1 значение P1 вычисляется как P1 = , а P берется из таблицы 2 с 2 заданием; m и σ соответственно равны 0 и 1. 3.11 Найти границы общей погрешности как ξ = Θ + ψ . 3.12 Записать результат измерения как ~ Y= , ξ= , P= .

Содержание отчета 1. Титульный лист. 2. Созданные в среде Mathcad документы, отображающие выполняемые расчеты по первой и второй задаче. Документы должны содержать необходимые комментарии. Контрольные вопросы 1. Как различаются косвенные функциональной зависимости от аргументов? 34

измерения

по

виду

2. Чем отличается методика обработки данных при линейных и нелинейных косвенных многократных измерениях? 3. В предположении какого закона распределения производилась обработка экспериментальных данных? 4. При линеаризации нелинейных зависимостей используется разложение в какой ряд? 5. Какие два способа представления результатов измерения были использованы в данной работе? 6. Какие функции пакета Mathcad использовались в данной работе?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 «ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ» Цель лабораторной работы - ознакомиться с методиками, применяемыми при обработке результатов совместных измерений по методу наименьших квадратов. Основные положения Совместные измерения – одновременные измерения нескольких разноименных величин для нахождения зависимости между ними. Уравнение совместного измерения можно представить как F ( A, B, C ,. ..., x, y, z , ...) = q, (1) где x, y, z, q – измеряемые величины; A,B,C – величины которые необходимо определить. Наибольшее распространение при обработке совместных измерений нашел метод наименьших квадратов (МНК) [7]. Суть его состоит в следующем. При проведении n измерений величин x, y, z, … и подстановке их в уравнение (1) получается система из n уравнений Fi ( A, B, C ,. ..., xi , yi , zi , ...) = q, (2) в которых точное равенство невозможно из-за того, что измеряемые величины входят в каждое из уравнений (1) с погрешностями. Если ~ ~ ~ A, B , C ,... – наилучшие приближения к истинным значениям неизвестных A, B, C, … . Поскольку эти оценки определены со своими погрешностями, то каждое из уравнений (2) будет обращаться в тождество, если к правой 35

части добавить некоторое слагаемое погрешностью условных уравнений:

(

νi ,

)

~ ~ ~ Fi A, B , C ,. ... − qi = ν i ≠ 0.

называемое

остаточной

(3)

~ ~ ~ В системе n условных уравнений (3) A, B , C ,... - оценки величин A, B,

C .., которые будут определены ниже в результате предложенного метода обработки результатов измерений. Особенность системы (3) состоит в том, что невозможно подобрать для всех уравнений значения ν i такие, чтобы выполнялись все уравнения одновременно. Поэтому рассматривают методы одновременной минимизации остаточных погрешностей. ~ ~ ~ В соответствии в МНК оценки A, B , C ,... выбирают таким образом, чтобы обеспечить минимум суммы квадратов остаточных погрешностей условных уравнений, т.е. минимизировать величину

[ (

) ]

n n ~ ~ ~ V = ∑ν i2 = ∑ Fi A, B , C ,. ... − qi i =1

i =1

2

= min .

(4)

Минимум V будет иметь место при равенстве нулю всех частных производных искомых величин одновременно, т.е. при ∂V ∂V ∂V = = = ... = 0. ∂A ∂B ∂C

(5)

Полученная система из m нормальных уравнений позволяет определить наилучшие оценки искомых величин. Дисперсия условных уравнений будет равна D=

1 n 2 ∑ν i , n − m i =1

(6)

а СКО результатоы измерений искомых величин при этом могут быть определены из формул σA =σ

A11 , σB = σ Δ

A22 , σC = σ Δ

A33 и т.д., Δ

(7)

где Δ - определитель (детерминант) системы (5); A11, A22, A33, … Amm – алгебраическое дополнение элементов детерминанта Aik = (− 1)i+k Δ ik , Δ ik минор определителя, полученный вычеркиванием i – ой строки и k –го столбца. При обосновании МНК в математической статистике предполагается, что результаты измерений удовлетворяют следующим условиям: - значения аргументов известны точно; - результаты измерений содержат лишь случайные погрешности, которые независимы, имеют нулевые средние значения и одинаковые дисперсии;

36

- погрешности измеряемых величин имеют нормальное распределение. Доверительные интервалы для истинных значений измеряемых величин строят на основе распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном n-m, или на основе нормального распределения, если результаты измерений можно считать нормальными. Для случая равноточных измерений y и x, связанных линейным уравнением y = a + bx (8) искомыми величинами являются a и b. Равноточность предполагает, что для всех результатов измерений i значений yi и xi их дисперсии не зависят от величин y и x. Кроме того, предполагается, что значение xi задается в серии измерений точно, а учитывается только погрешность определения yi, в состав которой входит погрешность, связанная с заданием величин xi. Подставив в (8) измеренные значения, можно получить систему уравнений ~ a~ + x1b = y1 , ~ a~ + x2b = y 2 ,

.................. ~ ~ a + xn b = y n .

Для получения условных уравнений в виде (3) к каждому из уравнений (2) добавляются (или вычитаются – это все равно) остаточные погрешности ν i . После этого составляется соотношение типа (4) n

[ (

~ V = ∑ yi − a~ − b xi i =1

)] = ∑ν 2

n

i =1

2 i

→ min .

Для отыскания минимума функции V определяются частные производные по искомым неизвестным а и b:

(

)

n ~ ∂V = − yi − a~ − b xi = 0, 2 ∑ ~ ∂a i =1 n ∂V ~ ~ ~ = −2∑ xi yi − a − b xi = 0. ∂b i =1

(

)

После упрощения получается система нормальных уравнений

∑ (y n

i =1 n

i

∑ x (y i =1

i

)

~ − a~ − b xi = 0, i

)

~ − a~ − b xi = 0.

Приведем эти уравнения к виду, удобному для решения

37

n ~ n a~n + b ∑ xi = ∑ yi ; i =1

n

(9)

i =1

n ~ n 2 a~ ∑ xi + b ∑ xi = ∑ xi yi . i =1

i =1

i =1

~ Решая (9) относительно неизвестных a~ и b , получим n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ xi2 ∑ yi − ∑ xi ∑ xi yi

a~ =

i =1 2

⎛ ⎞ n∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ n

n

n

n

n

n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi

~ b =

i =1

i =1

i =1

⎛ ⎞ n∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ n

n

2 i

2

Умножая числитель и знаменатель на 1 1 n ∑ xi , n i =1

x=

и вводя обозначения

n2 1 n 1 n 1 n 2 2 y = ∑ yi , xy = ∑ xi yi , x 2 = ∑ xi , Dx = x 2 − ( x ) , n i =1 n i =1 n i =1

получаем x 2 y − x xy ~ xy − x y , b = . a~ = Dx Dx

(10)

В формулах (10) дисперсия характеризует рассеянность точно задаваемых значений xi около среднего значения x на оси x. Если прямая (8) проходит через начало координат (a=0), то формулы (10) значительно упрощаются: x = y=0

~ a~ = 0, b = xy

è

Dx

.

Случайные погрешности оценок неизвестных a и , если использовать соотношения (6), (7) и систему уравнений (9) будут равны n

⎛ ∂a~ ⎞ ⎟⎟ = σ σ a~ = σ ⎜⎜ y ∂ i ⎠ ⎝ 2

∑x i =1

Δ

2 i

~ 2 ⎛ ∂b ⎞ n ⎟ =σ , σ b~ = σ ⎜⎜ , ⎟ ∂ Δ y i ⎝ ⎠

(11)

2

⎛ n ⎞ где Δ = n∑ x − ⎜ ∑ x j ⎟ - детерминант системы (9). i =1 ⎝ i =1 ⎠ n

2 i

В данном случае СКО условных уравнений является СКО распределения y(x) и для нормального закона распределения y(x), может на основании (7) может быть представлено в виде σ=

1 n 2 ∑ν i = n − m i =1

(

)

~ 1 n yi yi − a~ − b xi . ∑ n − 2 i =1

38

параметры a и b выражаются через суммы всех случайных значений величин y(x). Поэтому закон их распределения, получающийся в результате свертки законов распределения y(x), нормальный независимо от вида закона распределения y(x). Задание. Пусть зависимость электрического сопротивления композиционного материала от температуры выражается формулой R = R0 (1 + βt 2 ) . Для определения коэффициента β было проведено n равноточных измерений сопротивлений при различной температуре. Используя МНК, вычислить оценку коэффициента β с доверительной вероятностью P. Порядок выполнения работы. 1. Заданную зависимость сопротивления от температуры можно представить в виде

(

)

R = R0 1 + βt 2 = R0 + R0 βt 2 = a + bt 2 .

1. Импортировать данные, содержащиеся в файле, приведенном в таблице 8, для заданного варианта задания. Таблица 8 Вариант Имена Длина Значение задания файлов массива вероятности P 1 L5Z1V1 25 0,99 2 L5Z1V2 20 0,90 3 L5Z1V3 23 0,975 4 L5Z1V4 21 0,95 5 L5Z1V5 24 0,99 6 L5Z1V6 25 0,95 7 L5Z1V7 22 0,975 8 L5Z1V8 23 0,90 9 L5Z1V9 21 0,90 10 L5Z1V10 19 0,975 2. Полученные данные столбцах таблицы 9. Таблица 9 i

ti, °C

Ri, Ом

ti 2

Ri = F (ti2 )

разместить в соответствующих

Ri ti 2, ti 4⋅104

39

~ Ri* = a~ + b ti2

ν i = Ri − Ri*

ν i2

1 2 … Σ 3. Выполнив необходимые вычисления, заполнить ячейки таблицы 9. 4. Составить систему нормальных уравнений по аналогии с (9). 5. Подставив в полученную систему уравнений данные из последней строки таблицы 9 получить систему нормальных уравнений с численными коэффициентами 6. Используя формулы (11) и результаты обработки данных, приведенные в таблице 9, получить среднюю квадратическую погрешность результатов измерения параметров a и b: σ , σ a~ , σ b~ . 7. Определить значение средней квадратичной погрешности температурного коэффициента σ β~ с учетом ранее введенного обозначения ~ ~ ~ ~ b = R0 β , при этом β = b R0 = b a~ , тогда 2

2

2

⎛ ∂F ⎞ 2 ⎛ ∂F ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ b ⎞ 2 Dβ~ = ⎜ ⎟ Da~ = ⎜ ⎟ Db~ + ⎜ 2 ⎟ Da~ . ⎟ Db~ + ⎜ ⎝a ⎠ ⎝a⎠ ⎝ ∂a ⎠ ⎝ ∂b ⎠

8. Для заданного значения доверительной вероятности P найти значения коэффициента t q и записать результат измерений в виде

(

~ R0 = R0 ± t qσ a~

)

(

~ Îì , β = β ± t qσ β~

)

°C-2.

Содержание отчета

1. Титульный лист. 2. Текст отчета, содержащий заполненную таблицу отражающий ход вычислений по предлагаемой методике.

9

Контрольные вопросы 1. В чем состоит суть МНК при проведении совместных измерений? 2. Назовите условия использования МНК при использовании рассмотренной в работе методики? 3. Запишите систему нормальных уравнений, используемых в работе? 4. Какое обстоятельство позволяет при нахождении границ доверительного интервала использовать зависимости, определяемые распределением Гаусса?

40

и

5.

Чем определяется значение коэффициента t q ?

ПРИЛОЖЕНИЕ А Значение ν P P n 0,90 0,95 0,975

0,99

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1,414 1,723 1,955 2,133 2,265 2,374 2,464 2,540 2,606 2,663 2,714 2,759 2,808 2,837 2,871 2,903 2,932 2,959 2,984 2,008 2,030 3,051 2,071

1,406 1,645 1,731 1,894 1,974 2,041 2,097 2,146 2,190 2,229 2,264 2,297 2,326 2,354 2,380 2,404 2,426 2,447 2,467 2,486 2,504 2,520 2,537

1,412 1,689 1,869 1,996 2,093 2,172 2,237 2,294 2,383 2,387 2,426 2,461 2,493 2,523 2,551 2,557 2,600 2,623 2,644 2,664 2,683 2,701 2,717

1,414 1,710 1,917 2,067 2,182 2,273 2,349 2,414 2,470 2,519 2,562 2,602 2,638 2,670 2,701 2,728 2,754 2,778 2,801 2,823 2,843 2,862 2,880

41

Список литературы 1. ПР 50.2.016-94 ГСИ. Российская система калибровки. Требования к выполнению калибровочных работ. 2. ПР 50.2.017-94 ГСИ. Положение о Российской системе калибровки. 3. Регеда В.В., Крысин Ю.М. Методы обеспечения единства измерений: Учебное пособие. – Пенза: Изд-во Пенз. Гос. Ун-та, 2003. 4. Метрология, стандартизация, сертификация и электроизмерительная техника: Учебное пособие/К.К. Ким, Г.Н. Анисимов, В.Ю. Барбарович, Б.Я. Литвинов, СПб.: Питер, 2006. 5. Сергеев А.Г., Латышев М.В., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация, сертификация: Учебное пособие. – М.: Логос, 2001. 6. Крылова Г.Д. Основы стандартизации, сертификации, метрологии: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 7. Пронкин Н.С. Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям: учебное пособие для вузов. _ М.: Логос; Университетская книга, 2007.

42

Содержание Лабораторная работа №1 «Калибровка электроизмерительных приборов» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лабораторная работа №2 «Обработка результатов многократных измерений и проверка гипотезы о законе распределения» . . . . . . . . . . . Лабораторная работа №3 «Точечная и интервальная оценка результатов прямых измерений при малых выборках» . . . . . . . . . . . . . . Лабораторная работа №4 «Оценка погрешности результатов выполнения косвенных измерений» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лабораторная работа №5 «Использование метода наименьших квадратов при обработке результатов совместных измерений». . . . . . . . Приложение А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43