Физика. Задания на контрольную работу 5 ''Квантовая физика'': Методические указания к выполнению контрольной работы

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Северо-Западный государственный заочный технический университет Кафедра физики

Физика Задание на контрольную работу 5 «Квантовая физика» Методические указания к выполнению контрольной работы

Факультеты: радиоэлектроники, технологии и автоматизации управления в машиностроении, энергетический, технологии веществ и материалов, информатики, экономики и управления на автомобильном транспорте Направление подготовки дипломированного специалиста и отнесенных к нему специальностей 650000 – техника и технологии Направление подготовки бакалавра 550000 – технические науки

Санкт-Петербург 2004

2

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 53(07) Физика: Задание на контрольную работу 5 «Квантовая физика» методические указания к выполнению контрольной работы. – СПб.: СЗТУ, 2004.- 36с. Задание на контрольную работу по дисциплине «Физика» разработано в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста и отнесенных к нему специальностей 650000 – «Техника и технологии» и направлению подготовки бакалавров 550000 – «Технические науки». Методический сборник включает задание на контрольную работу 5 «Квантовая физика». В сборнике содержатся рекомендации к решению задач и оформлению контрольной работы, основные законы и формулы, примеры решения задач и некоторые справочные материалы. Рассмотрено на заседании кафедры физики 4 марта 2004 г.; одобрено методической комиссией факультета системного анализа и естественных наук 13 мая 2004 г. Рецензенты: кафедра физики Санкт-Петербургского государственного технического университета технологии и дизайна (зав. кафедрой К.Г.Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф.); В.М.Грабов, д-р физ.-мат. наук, проф. каф. физики Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. Научный редактор: Н.А.Тупицкая, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. физики СЗТУ. Составители: Ю.А.Карташов, канд. техн. наук, проф.; Д.Г.Летенко, канд. физ.-мат. наук, доц.; С.В.Михайлова, канд. пед. наук, доц.; В.А. Подхалюзин , канд. техн. наук, доц.; Н.А.Тупицкая, канд. физ.-мат. наук, доц.; А.Б.Федорцов, д-р физ.-мат. наук, проф.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2004.

3

Введение В процессе изучения дисциплины «Физика» студенты выполняют пять контрольных работ. Решение физических задач является необходимой практической основой изучения дисциплины «Физика». Основной целью выполнения контрольных работ является выработка у студентов приемов и навыков решения контрольных задач из разных областей физики, помогающих студентам решать в дальнейшем инженерные задачи. Контрольные работы несут в себе функцию закрепления, развития и углубленного освоения основных положений теории. Решение задач способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе. При решении задач студент должен самостоятельно осуществить ряд мыслительных операций, опираясь на имеющиеся у него знания и умения. Контрольные работы позволяют проверить степень усвоения студентами основных разделов теоретического курса. 1. Общие требования к оформлению контрольной работы

При оформлении контрольных работ условия задач в контрольных работах переписываются полностью, без сокращений. Решения задач должны сопровождаться краткими, но исчерпывающими пояснениями с обязательным использованием рисунков, выполненных чертежными инструментами. Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставляются поля и интервалы между задачами (не менее 5 см). В конце каждой контрольной работы необходимо указать, каким учебным пособием пользовался студент (название учебного пособия, автор, год издания). Решение задач рекомендуется выполнять в следующей последовательности: 1. Ввести буквенные обозначения всех используемых физических величин. 2. Под рубрикой "Дано" кратко записать условие задачи с переводом значений всех величин в одну систему единиц - СИ. 3. Сделать (если это необходимо) чертеж, поясняющий содержание задачи и ход решения. 4. Сформулировать физические законы, на которых базируется решение задачи, и обосновать возможность их использования. 5. На основе сформулированных законов составить уравнение или систему уравнений, решая которую можно найти искомые величины.

4

6. Решить уравнение и получить в общем виде расчетную формулу, в левой части которой стоит искомая величина, а в правой - величины, данные в условии задачи. 7. Проверить единицы измерения полученных величин по расчетной формуле и тем самым подтвердить ее правильность. 8. Произвести вычисления. Для этого необходимо все значения величин в единицах СИ подставить в расчетную формулу и выполнить вычисления (с точностью не более 2-3 значащих цифр). 9. При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 6340 надо записать 6,34.103. Выполненные контрольные работы сдаются на рецензию преподавателю по крайней мере за одну неделю до экзамена по физике. После рецензирования вносятся исправления в решение задач в соответствии с замечаниями преподавателя. Исправленные решения помещаются в конце тетради с контрольными работами, которые сдаются на повторную рецензию. Зачет по каждой контрольной работе принимается преподавателем в процессе собеседования по правильно решенной и прорецензированной контрольной работе. В каждой контрольной работе следует решить восемь задач. Номера задач определяются по табл. 5 в соответствии с номером своего варианта. Номер варианта соответствует последней цифре шифра студента. Контрольные работы выполняются в школьной тетради, на обложке которой приводятся сведения о студенте (фамилия, имя, отчество, факультет, шифр, номер специальности), а также номер контрольной работы, номер варианта и номера всех задач контрольной работы. Библиографический список

Основной: 1.Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики.- М.: Высш.шк., 1989. 2.Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш. шк., 1985 и др. годы изданий. 3.Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями. -М.:Высш. шк.,1999 и др.годы изданий.

5

Дополнительный: 4.Савельев И.В. Курс общей физики.- М.: Наука, 1989 и др. годы изданий. 5.Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике.- М.: ИнтегралПресс, 1997, 1981. 6. Изергина Е.Н., Петров Н.И. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С.Волькенштейн: В 2 кн. -М.:Олимп, 1999. 7. Трофимова Т.И. Физика. 500 основных законов и формул: Справочник. -М.:Высш. шк., 2000. 8. Физика. Основные законы и формулы: Руководство к решению задач / Карташов Ю.А. , Попов И.В. - СПб.: СЗПИ, 1998. 9.Климчицкая Г.Л., Шабаев В.М. Элементы квантовой механики и атомной физики. Текст лекций.- СПб.: СЗПИ, 1992. 10. Физика твердого тела: Текст лекций / Комаровских К.Ф., Арешкин А.Г., Карташов Ю.А.и др.-СПб.: СЗПИ, 1993. 11.Иванов В.Г., Федорцов А.Б. Основные единицы измерения оптического излучения: Текст лекций. - СПб.: СЗПИ, 1992. 12.Иванов В.Г., Торчинский И.А., Харламова В.Б. Основы квантовой оптики: Текст лекций.- СПб.: СЗПИ, 1993. 13.Федорцов А.Б. Радиационная безопасность: Учеб. пособие. СПб.: СЗПИ, 1996. 14.Шерстюк А.И. СПб.:СЗТУ, 2003.

Физика

твердого

тела:

Письменные

лекции.-

2.Контрольная работа 5 «Квантовая физика» 2.1.Методические указания к выполнению контрольной работы 5 В контрольную работу 5 включены задачи по темам: “Квантовая оптика”, “Физика твердого тела”, “Физика атома и атомного ядра”. Тема “Квантовая оптика” представлена задачами на законы теплового излучения, внешнего фотоэффекта. В рамках темы “Элементы квантовой механики” представлены задачи на соотношение неопределенностей в квантовой физике, определение длины волны де Бройля.

6

По теме “Физика твердого тела” в контрольную работу включены задачи на расчет электропроводности полупроводников. По теме “Физика атома и атомного ядра” даны задачи по расчету энергии связи ядра атома, законы радиоактивного распада и по применению атомной энергии в народном хозяйстве. Все дополнительные данные задач находятся в справочных таблицах приложений. Таблица 5 Вариант 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Номера задач 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510

511 512 513 514 515 516 517 518 519 520

521 522 523 524 525 526 527 528 529 530

531 532 533 534 535 536 537 538 539 540

541 542 543 544 545 546 547 548 549 550

551 552 553 554 555 556 557 558 559 560

561 562 563 564 565 566 567 568 569 570

571 572 573 574 575 576 577 578 579 580

Задачи 501 … 510 относятся к теме “Тепловое излучение”. Для решения этих задач необходимо изучить тему “Тепловое излучение” по учебникам [1], с. 400…403 или [2], с. 292…295. Задачи 511 … 520 относятся к теме “Внешний фотоэффект”. Приступая к решению этих задач, необходимо ознакомиться с данной темой по учебникам [1], с. 410…411 или [2], с. 301…303. Задачи 521 … 530 относятся к теме “Строение атома. Теория Бора ”. Для решения этих задач необходимо ознакомиться с конкретными физическими понятиями, законами и формулами данной темы по учебникам [1], с. 444…452 или [2], с. 386…389. Задачи 531…540 относятся к теме “Физика твердого тела”. Для их решения целесообразно изучить данную тему по учебникам [1], с. 514…523 или [2], с.442…452. Задачи 541…580 охватывают темы строения атомного ядра, законы радиоактивного распада. Приступая к решению этих задач, необходимо ознакомиться с данной темой по учебникам [1], с. 532…535 или [2], с. 466…472.

7

2.2. Основные законы, формулы, примеры решения задач Квантовая оптика Поток Ф, излучаемый (поглощаемый) телом, равен: W Ф= , t

(1)

где W-энергия, излучаемая (поглощаемая) телом, t-время. Re - энергетическая светимость (излучательность) равна: Re =

dФ . dt

(2)

Закон Стефана-Больцмана

(3) Re = σT4, где Re - энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела; σ = 5,67 . 10-8 Вт / (м2. К4) - постоянная Стефана-Больцмана, Т – термодинамическая температура Кельвина. Первый закон Вина (закон смещения Вина) λm = b / T , (4) где λm - длина волны, на которую приходится максимум излучения абсолютно черного тела; b= 2,90⋅10-3 м⋅К - постоянная первого закона Вина. Второй закон Вина (rλ,T)max = b'.T5 , (5) где (rλ,T)max - максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела; b' = 1,3.10-5 Вт / (К5.м3) - постоянная второго закона Вина. Энергия фотона ε = hν или ε = ħ ω (6), где h - постоянная Планка; ħ = h/2π - приведенная постоянная Планка; ν - частота фотона; ω = 2 πν - циклическая частота. Импульс фотона p = mc = h/λ. (7) Формула Эйнштейна для фотоэффекта k

hν = A + E max , (8) где hν − энергия фотона, падающего на поверхность металла; А-работа выхода электрона; фотоэлектронов.

(k )

Emax -

максимальная

кинетическая

энергия

8

Красная граница фотоэффекта νo = A/h или λo = hc/A , (9) где νo и λo - минимальная частота света и соответствующая длина волны, при которых еще возможен фотоэффект. Примеры решения задач Пример 1 Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) поверхности тела. Дано: λm = 0,58 мкм = 5,8.10-7 м. ____________________ Re - ? Решение. Энергетическая светимость Re абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана-Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой Re = σT4, (1) где σ - постоянная Стефана-Больцмана; Т - термодинамическая температура. Температуру Т можно вычислить с помощью закона Вина λm = b / T, (2) где b - постоянная закона смещения Вина. Используя формулы (2) и (1), получаем Re = σ(b / λm)4 . Произведем вычисления Re = 5,67.10-8

(

. −3 2,9010 . −7 5,810

)

4

Вт/м2 = 3,54.107 Вт/м2 = 35,4 МВт/м2.

9

Пример 2 Работа выхода материала фотокатода равна 3,4эВ. Какова должна быть максимальная длина волны излучения, падающего на фотокатод, если фототок прекращается при разности потенциалов 1,2В? Дано: Авых = 3 ,4 эВ Uз = 1,2в λ max − ?

Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта max ε = Авых + Е кин , где - ε-энергия фотонов, падающих на поверхность фотокатода; Авых - работа max –максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. выхода электрона, Екин Максимальная кинетическая энергия фотонов равна потенциальной энергии задерживающего электрического поля, т.е. max Екин =еUз, где е-заряд электрона; Uз- задерживающая разность потенциалов. Минимальная c энергия фотонов, при которой возможен фотоэффект, равна ε = h , где λ max λmax-максимальная длина волны фотонов. Подставим полученные соотношения в уравнение Эйнштейна, получим c h = Aвых + eU з , откуда находим λmax: λ max hc λ max = Aвых + eU з Подставим численные значения 6 ,610 −34 ⋅ 310 8 λ max = = 2 ,710 −7 м −19 −19 5 ,4 ⋅ 10 + 1,6 ⋅ 10 1,2

Физика атома

Боровская теория для атома водорода и водородоподобных ионов. Момент импульса электрона (правило квантования орбит) Ln = mvnrn = nћ , (1)

10

где m - масса электрона; vn - скорость электрона на n-й орбите; rn- радиус n-й стационарной орбиты; ħ=h/2 π - приведенная постоянная Планка; n=1,2,… - главное квантовое число. Радиус n-й стационарной орбиты a rn = o n2 ,

(2)

Z

где ао - радиус первой Боровской орбиты в атоме водорода; Z - порядковый номер элемента в таблице Менделеева. Полная энергия электрона на n-й орбите En = -

Ei Z

2

, n2 где Ei = Rhc - энергия ионизации атома водорода. Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом (ионом) 1

(3)

1

E = h ν = E n2 − E n1 = Z 2 E i ( 2 − 2 ) , (4) n1 n2 где n1 и n2 - квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона. Спектроскопическое волновое число ~ ν=

1 λ

⎛ 1 1 ⎞ − ⎜ n 2 n 2 ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ 1

2⎜

= RZ

,

(5)

где λ - длина волны фотона, R - постоянная Ридберга. Примеры решения задач Пример 1 Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона. Дано: n1 = 4 n2 = 2 _________ εф-? Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов ⎛ 1 1 ⎞ = RZ 2 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ , λ ⎝ n1 n2 ⎠ 1

11

где λ - длина волны фотона; R - постоянная Ридберга; Z - заряд ядра в относительных единицах (при Z=1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n1 - номер орбиты, на которую перешел электрон; n2 - номер орбиты, с которой перешел электрон (n1 и n2 главные квантовые числа). Энергия фотона ε ф выражается формулой

ε ф = hc/ λ .

Поэтому умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона ⎛ 1 1 ⎞ − 2 ⎟⎟ 2 ε ф = hc/ λ = RhcZ ⎝ n1 n2 ⎠ . 2⎜ ⎜

Так как Rhc есть энергия ионизации Еi атома водорода, то ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ − 2⎜ ε ф = Е iZ ⎜⎝ n12 n22 ⎟⎠ . Вычисления выполним во внесистемных единицах. Подставляя данные из условия: Еi = 13,6 эВ; Z =1; n1 = 2; n2 = 4, получим

ε ф = 13,6 . 12 . (1/22 - 1/42) эВ = 13,6 . 3/16 эВ = 2,25 эВ. Пример 2 Электрон в ионе гелия (Не+) находится в основном состоянии. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергии электрона на орбите. Дано: Не+ n=1 _________ Екин - ? Епот - ? Решение. Согласно теории Бора, кинетическая энергия электрона на стационарной орбите номера n определяется 2 Екин = mvn , 2

а потенциальная энергия

Ze 2 , Епот = − 4 πε o rn

12

где Z - заряд ядра (порядковый номер элемента в таблице Менделеева), vn и rn - cкорость электрона и радиус орбиты соответственно. Радиус орбиты номера n равен rn =

n2 ro , Z

(1)

а скорость электрона на орбите определяется выражением (в соответствии с правилом квантования орбит) vn =

nh , mrn

(2)

vn =

Zh . mro n

(3)

или, учитывая формулу (1), Ze 2 На орбите центростремительная сила F равна силе Кулона , 4πε o rn2 связывающей электрон с ядром, Ze 2 F= . 4πε o rn2 Поэтому потенциальная энергия электрона может быть представлена в виде Ze 2 Епот = = - mv 2n = - 2Екин. 4πε o rn2 При этом полная энергия электрона на орбите равна Е = Епот + Екин = - Екин. Находим кинетическую энергию в соответствии с формулой (3) Z 2h 2 mvn2 Екин = = . 2 2mrn2 n 2

Учитывая, что ħ = 1,05.10-34 Дж ..с, m = 0,911.10-30 кг, rо =0,529.10-10 м, для гелия Z = 2 и условие n = 1, получим −18

8,63 ⋅ 10 4 ⋅ ( 1,05 )2 ⋅ 10 −68 . -18 Екин = . = 8,63 10 Дж = 1,6 ⋅ 10 −19 2 0 ,911 ⋅ 10 −30 ( 0 ,529 )2 ⋅ 10 −201 Епот = - 2Екин = - 108,8 эВ , Е = - Екин = - 54,4 эВ.

= 54,4 эВ,

13

Отметим, что полная энергия электрона в основном состоянии (n = 1) может быть записана в виде Е = - Z2Ei , где Еi - энергия ионизации атома водорода, равная 13,6 эВ. Подставляя в это выражение Z = 2, получим выше найденное значение энергии Е = - 54,4 эВ. Элементы квантовой механики Длина волны де Бройля

λ=

h 2πh = , p p

(1)

где p- импульс частицы. В релятивистском случае 1 ( 2 Eo + E k ) E k , (2) c где Ео-энергия покоя частицы, Ек - кинетическая энергия частицы, равная ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ 1 ⎜ − 1⎟ , 2 (3) Ек = moc2 ⎜ ⎟ v ⎟ ⎜ 1− 2 c ⎝ ⎠

р=

где mo- масса частицы, v - скорость частицы. В нерелятивистском случае p = mov = 2mo E k , где кинетическая энергия частицы Ек=

mo v 2

(4)

2

.

(5)

Соотношения неопределенностей: а) для координаты и импульса ∆px∆x≥ћ/2, (6) где ∆р x - неопределенность проекции импульса на ось x, ∆›x - неопределенность координаты x; б) для энергии и времени ∆E∆t≥ћ/2, (7) где ∆E - неопределенность энергии; ∆ t - время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

14

Примеры решения задач Пример 1 Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U1 = 51 B; 2) U2 = 510 кВ. Дано: электрон U1 = 51 B U2 = 510 кВ = 5,1.10 5 В _________________ λ -? Решение. Длина волны де Бройля λ для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой h λ= , (1) p

где h - постоянная Планка. Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Ек . Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая ( когда кинетическая энергия частицы много меньше энергии ее покоя ) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы). В нерелятивистском случае p= 2mo Ek ,

(2)

( 2 Eo + E k ) E k ,

(3)

где mo - масса частицы. В релятивистском случае p=

1 c

где Ео = moc2 - энергия покоя частицы. Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае h λ= , 2mo Ek в релятивистском случае

(4)

15

λ=

h 1

c

(2 Eo + E k ) E k

.

(5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и, в зависимости от этого, решим, которую из формул -(4) или -(5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля. Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна Eк = eU. В первом случае Ек = eU1 = 51 эВ = 0,51.10-4 МэВ , что много меньше энергии покоя электрона. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Ек = 10-4 moc2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде h 102 h . λ1 = = . . 2 −4 . 2 mo c 2m 10 m c o

o

Учтя, что h/moc есть комптоновская длина волны 10 2 λ1 = Λ. 2 Так как Λ =2,43 нм, то λ1 =

10 2 2

Λ,

получим

2,43 пм = 171 пм .

Во втором случае кинетическая энергия Eк = eU2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учтя, что Ек = 0,51МэВ = moc2, по формуле (5) найдем h h λ2 = = 1 3m 02 c 2 , ( 2 mo c 2 + mo c 2 ) mo c 2 c Λ или λ2 = . 3 Подставив значение Λ и произведя вычисления, получим

16

λ2 =

2,43 3

пм = 1,40 пм.

Пример 2 Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома. Дано: Ек = 10 эВ _________ lmin - ?

Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид ∆px∆x ≥ ħ/2, где ∆px - неопределенность импульса частицы (электрона); ∆x - неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); ħ = h/2π - приведенная постоянная Планка h. Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью ∆x = l / 2. Cоотношение неопределенностей можно записать в этом случае в виде l h ∆p ≥ , 2 2 откуда h l≥ . ∆p Физически разумная неопределенность импульса ∆px, во всяком случае, не должна превышать значение самого импульса p, т. е. ∆p ≤ p. Импульс р связан с кинетической энергией Ек соотношением

р= Заменим ∆ р значением Перейдем к равенству

2 mE k .

2 mEk

(такая замена не увеличит l).

17

lmin =

2h 2 mE к

.

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим lmin =

2 ⋅ 1,05 ⋅ 10

−34

−31 −19 2 ⋅ 9 ,1 ⋅ 10 1,6 ⋅ 10 ⋅ 10

м = 1,16.10-10 м = 116 пм.

Физика твердого тела

Удельная электропроводность полупроводника γ = e(nbn + pbp) , (1) где е - заряд электрона, n и p - концентрация носителей заряда (подвижных электронов и дырок), bn и bp - подвижности электронов и дырок. В случае проводимости одного типа одним из слагаемых в выражении (1) можно пренебречь. Для собственного полупроводника следует положить n = p. Зависимость удельной электропроводности собственного полупроводника от температуры ⎛ ∆E ⎞ ⎟⎟ , γ = γ o exp⎜⎜ − (2) 2 k Т ⎝ ⎠ где ∆ Е - ширина запрещенной зоны полупроводника; γ O - константа, почти не зависящая от температуры; к - постоянная Больцмана. При незначительном изменении удельного сопротивления вблизи комнатной температуры ρ = 1/γ = ρ0 (1 + βt ) , где ρ0 - удельное сопротивление при 00С; коэффициент; t – температура в 0С. Холловская разность потенциалов равна Uн = Rн B I , a

(3) β - температурный

(4)

где В - индукция магнитного поля, а - толщина образца; I - сила тока в образце; RH- постоянная Холла. Для полупроводника с кристаллической решеткой типа алмаза (Ge, Si) постоянная Холла равна n bn2 − p b 2p 3π R = H 8e (n bn + p b p ) 2

.

(5)

18

Постоянную Холла для собственного полупроводника можно получить из этого выражения, считая n = p; для электронного – n >> p, для дырочного - p >> n. Примеры решения задач Пример 1 До какой температуры нужно нагреть образец из арсенида галлия, находящегося при температуре 0 0С , чтобы его проводимость возросла в 4 раза?

Дано: Т=273К γ/γ=4 ______________ Т-? Решение. Удельная проводимость температурой соотношением

полупроводников

связана

с

γ = γе − ∆Е / kT ,

где γ − постоянная; ∆E − ширина запрещенной зоны; к - постоянная Больцмана. Таким образом,

⎡ ∆E ⎛ 1 1 ⎞⎤ γ е − ∆Е / kT ⎜⎜ − ⎟⎟⎥ = 4 . = − ∆E / kT = exp ⎢ γ e ⎣ k ⎝ T1 T2 ⎠⎦

Прологарифмируем выражение и получим ∆E ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ = ln 4 , k ⎜⎝ T1 T2 ⎟⎠ −1

откуда

⎛ 1 к ln 4 ⎞ ⎟⎟ . Т 2 = ⎜⎜ − T ∆ E ⎝ 1 ⎠

Полагая для арсенида галлия ∆Е=1,43 эВ, произведем вычисления ⎛ 1 1,3810 −23 * 2 * 0,69 ⎞ ⎟ − Т 2 = ⎜⎜ 1,43 *1,610 −19 ⎟⎠ ⎝ 273

−1

= 300 K .

Пример 2 Некоторый примесный полупроводник имеет решетку типа алмаза и обладает только дырочной проводимостью. Определить концентрацию носителей и их подвижность, если постоянная Холла равна 3,8.10-4 м3/Кл. Удельная проводимость полупроводника 110 См/м.

19

Дано: р - полупроводник Rн = 3,8.10-4 м3/Кл γ = 110 См/м _________________ np - ? bp - ? Решение. Концентрация р дырок связана с постоянной Холла, которая для полупроводников с решеткой типа алмаза, обладающих носителями только одного знака, выражается формулой Rн=

3π 1 8 ep

,

где е - элементарный заряд. Отсюда 3π

1

p = 8 eR . (1) H’ Выпишем все величины в единицах СИ: е = 1,6.10-19 Кл; RН = 3,8.10-4 м3/Кл. Подставим числовые значения величин в формулу (1) и произведем вычисления . 3 3,14

1

-3 1,19.10 22 м-3. p= 8 . −19. . −4 м = 1,6 10 3,8 10 Удельная проводимость γ полупроводников выражается формулой γ = e (n bn + p bp), (2) где n и p - концентрации электронов и дырок; bn и bp - их подвижности. При отсутствии электронной проводимости первое слагаемое в скобках равно нулю и формула (2) примет вид γ = e p bp..

Отсюда искомая подвижность bp =

γ ep

.

(3)

Подставим в (3) выражение р по формуле (1) bp =

8 3π

γR H .

(4)

Подставив в (4) значения γ и RH в единицах СИ и произведя вычисления, получим

20

bp =

8 3 ⋅ 3 ,14

110 ⋅ 3 ,8 ⋅ 10

−4

м2/(В.с) = 3 ,6 ⋅ 10

−2

м2/(В.с).

Физика атомного ядра

Обозначение ядер A Z

X, где Х - химический символ элемента, А - массовое число (число нуклонов в ядре) А = Z + N, Z - зарядовое число (число протонов), N - число нейтронов. Закон радиоактивного распада N = Noexp(- λt ) , (1) где N - число ядер, нераспавшихся к моменту времени t; No - число ядер в начальный момент времени (t = 0), λ - постоянная распада. Зависимость периода полураспада от постоянной распада Т1

2

=

ln 2

λ

=

0,693

.

λ

Число ядер, распавшихся за время t ,

(

(2)

∆N = N o − N = N o 1 − e

− λt

).

(3) В случае, если интервал времени ∆ t, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада Т1/2, то ∆N ≈ λN∆t . (4) Среднее время жизни τ радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз,

τ=

1

λ

.

(5)

Число атомов N, содержащихся в радиоактивном изотопе, N=

mN A

µ

,

(6)

где m - масса изотопа, µ - молярная масса, NA - постоянная Авогадро. Активность А радиоактивного изотопа А=-

dN dt

= λN = λN o e

−λt

= Ao e

−λt

,

(7)

где dN - число ядер, распавшихся за интервал времени dt, Ао - активность изотопа в начальный момент времени. В системе СИ единица активности препарата - беккерель (Бк) 1 Бк = 1 распад/с .

21

Внесистемная единица активности - кюри (Ки) 1 Ки= 3,7.1010 Бк. 1 Кюри - это активность препарата изотопа радия-226 массой 1 г. Дефект массы ядра ∆ m = Zmp + Nmn - mя , (8) где mp - масса протона, mn - масса нейтрона, mя - масса ядра. Энергия связи ядра Есв = ∆ m.с2 , (9) где m - дефект массы ядра, с - скорость света в вакууме. Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна Есв = 931. ∆ m МэВ, где дефект массы ∆ m выражен в а.е.м., 931 - коэффициент пропорциональности (1 а.е.м. ~ 931 МэВ). Удельная энергия связи равна Есв / А [МэВ/нуклон]. Примеры решения задач Пример 1 Вычислить дефект масс, энергию связи и удельную энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре 2963Сu . Решение: Дефект массы ∆М = Z ⋅ m p + N ⋅ mn − M Я , где m p - масса протона, mn - масса нейтрона, Z-количество протонов, N-количество нейтронов в ядре, Мя – масса ядра атома. Так как mя =mатома – Zme , где me- масса электрона, то вследствие того, что me