Основы вычислительной математики. Выпуск 5: Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

2

Рецензент Л.В. Найханова, к.т.н., доцент

Методические указания содержит краткое описание аналитических и численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Даны варианты заданий для решения на компьютере с применением описанных методов. Методические указания предназначены для студентов специальностей 220400 – «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», 351500 – «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и 220100 – «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети».

Основы вычислительной математики Выпуск 5: Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Методические указания

Составители: Ширапов Д.Ш., Ширапов Б.Д., Чимитова Е.Г.

Улан-Удэ, 2004

Ключевые слова: метод, система, дифференциальное уравнение, задача, решение, погрешность, аппроксимация, схема, разность, условие, начальное, оценка, шаг, сетка.

3

4

СОДЕРЖАНИЕ

Введение Дифференциальные уравнения являются инструментом познания мира и, как любой инструмент, они развиваются и совершенствуются. «Познание мира» с помощью дифференциальных уравнений обычно состоит из двух этапов: 1. Составление модели (дифференциального уравнения, описывающего то или иное явление). Например,  d2r d2r  m 2 = F  t , r, 2  – второй закон Ньютона,  dt dt  

Введение ………………………………………………………………4 1. Постановка задачи……………………………………………….4 2. Метод разложения в ряды……………………………………….6 3. Метод последовательных приближений………………………..7 4. Метод Эйлера……………………………………………………..9 5. Метод Рунге-Кутта………………………………………………11 6. Метод Адамса……………………………………………………12 7. Метод Милна…………………………………………………….14 8. Явная и неявная схемы аппроксимации задачи Коши………..15 9. Решение системы дифференциальных уравнений первого порядка………………………………………………….16 10. Решение системы дифференциальных уравнений высших порядков………………………………………………...19 11. Замечания об оценке погрешностей решений дифференциальных уравнений………………………………….20 12. Задания для решения…………………………………………….21 Литература……………………………………………………………..25

∂2U ∂x

2

∂2U ∂x 2

+ +

∂2U ∂y

2

∂2U

+ +

∂2U ∂z 2

= 0 – уравнение Лапласа,

∂2U

= 4 π ρ ( x , y, z) – уравнение Пуассона. ∂y 2 ∂z 2 2. Исследование с помощью получившейся модели и самой модели.

1. Постановка задачи А. Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) является уравнение первого порядка у′ = f (x, y ). (1.1) Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Коши: Найти решение уравнения (1.1) у = у (х) , удовлетворяющее начальному условию (1.2) у (х0) = у0 . Другими словами, требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку М0 (х0 , у0) (см. рис.1). Б. Для дифференциального уравнения n-го порядка y(n) = f ( x, y, y′, …, y(n-1) ) задачи Коши состоит в нахождении решения у = у (х), удовлетворяющего начальным условиям у (х0) = у0 , у′ ( х0 ) = у′0 , …, y(n-1) ( х0 ) = y(0n −1) , где х0 , у0 , у′0 , …, y (0n −1) - заданные числа.

6

5

у у=у(х) М0 у у0 х х0

у0

2. Метод разложения в ряды Исторически первым методом решения ОДУ, которое использовал его автор Ньютон, был метод разложения в ряды. Искомое решение разлагается в ряд с неизвестными коэффициентами. Решение сводится к нахождению этих коэффициентов. А. Сначала рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка y′ = f (x, y) (2.1) с начальным условием у (х0)=у0 . (2.2) Пусть правая часть (2.1) является аналитической функцией в начальной точке (х0, у0), то есть в некоторой окрестности этой точки может быть разложена в степенной ряд вида ∞

Рис.1.

f (x, y)=

∑c

pq ( x − x 0 )

p

(y − y 0 ) q ,

p,q =0

В. В приложениях часто встречаются системы ОДУ:  dy 1  dx = f 1 ( x , y1 , y 2 , ..., y n ),   dy 2 = f 2 ( x , y1 , y 2 , ..., y n ),  (1.3)  dx . . .   dy n  dx = f n ( x , y 1 , y 2 , ..., y n ), где х – независимая переменная; у1, у2, …, уn – искомые функции. Задача Коши (1.3) заключается в отыскании у1, у2, …, уn , удовлетворяющих системе (1.3) и начальным условиям у1(х0)=у10 , у2 (х0)=у20 , …, уn (х0)=уn0 . Примечание. Даже для простейшего ОДУ первого порядка (1.1) нахождение решения бывает невыполнимо с помощью конечного числа математических операций. Тем более это затруднено для системы ОДУ. Указанное обстоятельство привело к созданию большого числа методов приближенного решения. Эти методы в зависимости от формы можно разделить на три основные группы: 1. Аналитические методы, дающие приближенное решение ОДУ в виде аналитического выражения. 2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика. 3. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

где p, q – целые неотрицательные числа; сpq - постоянные коэффициенты. Тогда существует единственное решение у=у(х) уравнения (2.1), удовлетворяющее условию (2.2), причем это решение является аналитическим в точке х0 и может представлено в виде ряда Тейлора ∞

у ≡ у(х)=

∑c

p (x − x 0 )

p

,

(2.3)

p =0

1 (p) y (x 0 ) , p = 0, 1, 2, ...; p! Коэффициент с0 определяется из условия (2.2): с0 = у(х0)=у0 . Коэффициент с1 находится из (2.1): с1=у′(х0)=f(х0, у0). Далее найдем у′′ = f x' ( x, y) + f y' ( x, y) y'x ,

где c p =

отсюда 1 1 c 2 = y' ' ( x 0 ) = f x' ( x 0 , y 0 ) + f y' ( x 0 , y 0 ) y '0 2 2 ' где y 0 = f ( x 0 , y 0 ) .

[

]

,

8

7

Далее находим у′′′, y IV и т.д. и аналогично могут быть определены коэффициенты с4 , с5 и т.д. Следовательно, формально построено аналитическое решение (2.3). Б. Вышеизложенный способ нахождения решения дифференциального уравнения методом разложения в ряды легко обобщается на случай дифференциального уравнения n-го порядка. Пусть имеем дифференциальное уравнение 2-го порядка у′′ =f(x, y, у′ ) (2.4) с начальными условиями у(х0)=у0 , у′ (х0)= y '0 . (2.5) Предполагая, что функция f (x, y, у′ ) аналитическая в начальной точке (х0, у0, y '0 ) будем искать решение задачи Коши (2.4) и (2.5) в виде ряда Тейлора ∞ y (0p ) (x − x 0 ) p . (2.6) у(х)= p ! p =0

∑

x

y (x) - у (х0 ) =

∫ f (x, y)dx

x0

в силу условия (3.2) будем иметь x

∫

у (x) = у0 + f ( x , y)dx

(3.3)

x0

Тогда, заменяя в (3.3) неизвестную функцию у данным значением у0 , получим первое приближение x

у1 = у0 +

∫ f (x, y

0 )dx

x0

далее x

у2 = у0 +

∫ f (x, y )dx 1

x0

Здесь у0 и y '0 известны из (2.5). Из (2.4) получим

.....................

y '0' = f ( x 0 , y 0 , y '0 ) . Дифференцируя последовательно (2.4) по х согласно правилу дифференцирования сложной функции и полагая х = х0 , будем иметь у′′′ = f x' ( x 0 , y 0 , y '0 ) + f y' ( x 0 , y 0 , y '0 ) y '0 + f y' ' ( x 0 , y 0 , y '0 ) y '0'

уn = у0 +

и так далее. Таким образом, может быть построен ряд (2.6), который является решением задачи (2.4) и (2.5).

ется решением (3.1). Оценка погрешности метода последовательных приближений (МПП) производится по формуле (x − x0 )n +1 , n = 0, 1, 2, . . . ; (3.5) ε n (x) ≤ MNn (n + 1)!

3. Метод последовательных приближений Рассмотрим уравнение первого порядка y′ = f (x, y) (3.1) с начальным условием (3.2) у(х0)=у0 . Предположим, что в окрестности точки М0 (х0, у0) уравнение (3.1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения. Ищем решение у=у(х) для значений х≥х0 ( случай х≤х0 аналогичен). Интегрируя правую и левую части (3.1) в пределах от х0 до х получим

x

∫ f ( x, y

n −1 )dx

( n=1, 2, . . . ).

(3.4)

x0

lim y n ( x ) =y(x) удовлетворяющий уравнению (3.1) и условию (3.2) явля-

n →∞

где N – постоянная Липшица, М ≥ max f ( x, y) . ( x , y )∈R

Из (3.5) следует, что ε n (x) → 0 при n → ∞ . Замечания: 1. При использовании МПП в качестве начального приближения у0 выбирается любая функция, достаточно близкая к точному решению. 2. При использовании МПП аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна.

10

9

4. Метод Эйлера Дано дифференциальное уравнение (4.1) y′ = f (x, y) с начальным условием у (х0 ) = у0 . Выбрав достаточно малый шаг h построим систему равноотстоящих точек на отрезке [ a,b] xi=x0 + i h ( i = 0, 1, 2, . . . ) (4.2)

у

4.1. Модификации метода Эйлера А. Согласно методу Эйлера ищем решение уравнения (4.1) формулой (4.4). Более точным является усовершенствованный метод ломаных, при котором сначала вычисляются промежуточные значения h h x 1 = xi + , y 1 = yi + f( xi, yi) i+ i+ 2 2 2 2

М3

М2

М4

М5

М1

М0

yi +1 − yi аппроксимирующие решение задаh чи (4.1) называются ломанными Эйлера (i = 0, 1, 2, …). Из (4.3) можно записать yi+1 = yi + h f( xi, yi) или при ∆yi = h f( xi, yi) (4.4) yi+1 = yi + ∆yi, (i = 0, 1, 2, …). Формула (4.4) позволяет при заданном начальном условии y(x0)=y0 численно решить уравнение (4.1). Недостатки метода: 1. Малая точность; 2. Накопление ошибок.

для точки Mi(xi , yi ). Прямые

и находят значение интегральных кривых в средней точке ( x h

x0

h x1

f

h x2

x3

x4

x5

x

Рис.2

Искомую интегральную кривую y=y(x), проходящую через точку M0(x0, y0), приближенно заменим ломаной M0. M1. M2. …, с вершинами Mi(xi , yi ), (i = 0, 1, 2, …), звенья которой Mi Mi+1 прямолинейны между прямыми x=xi, x=xi+1. Тогда уравнение (4.1) можно заменить следующим уравнением: y i +1 − y i ≈ f (xi , yi ) (4.3) h

i+

1 2

= f( x

i+

1 2

,y

i+

1 2

), а затем полагают yi+1 = yi + h f

i+

1 2

i+

1 2

,y

i+

1 2

), т.е.

.

Б. Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный метод Эйлера-Коши, при котором сначала определяется ~y = y + h f , x =x + i h, (i = 0, 1, 2, …) i i i 0 i +1 исходя из которого находится направление поля интегральных кривых ~ fi +1 = f(xi+1, ~yi +1 ) затем приближенно вычисляют f +f yi+1 = yi + h i i +1 . 2 В. Метод Эйлера-Коши можно еще более уточнить, применяя итерационную обработку следующим образом: h f ( x i , yi ) + f ( x i +1, y( k −1)i +1 ) , (k = 1, 2, …; i = 0, 1, 2, …), yi+1(k)= yi + 2 xi=x0 + i h. Итерация заканчивается при выполнении условия

[

]

11

12

y i(+k1) − y i(+k1−1) < ε, 0