Явления переноса, электропроводность в диэлектриках: Пособие для студентов и магистров 5-6 курсов

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Р о сси йско й Ф е де р а ц и и

В о р о не жски й го суда р стве нный уни ве р си те т Ф и зи че ски й ф а культе т

К а ф едр а о пт и ки и спект р о ско пи и

Я В Л Е НИ Я П Е Р Е НО С А , Э Л ЕКТР О П Р О В О Д НО С ТЬ В Д И Э Л Е КТР И КА Х П о со бие д л я сту д е нто в и м аги стро в 5 - 6 ку рсо в каф е д ры о п ти ки и сп е ктро ско п и и

С о ст а ви т ель: В О РО НЕ Ж - 2001 .

до кт о р ф и з.-м а т . н а у к, пр о ф . Г.Ф . Н о ви ко в

2 В ведени е Д и эл ектри ки относя тся к весьма распространенным матери ал ам, сравни тел ьно недавно при меня вши мся тол ько дл я эл ектри ческой и зол я ци и . В настоя щ ее время в свя зи с огромными успехами науки , в том чи сл е фи зи ки твердого тел а и си нтети ческой хи ми и , ди эл ектри ки пол учи л и почти уни версал ьное при менени е в самыхразл и чныхобл астя хэл ектротехни ки , ради оэл ектрони ки , эл ектрони ки , техни ческой ки бернети ки . О днако ши рокое при менени е ди эл ектри ков, в свою очередь, требует постоя нного совершенствовани я и хсвойств, что трудно осущ естви мо без пони мани я механи зма эл ементарных процессов с участи ем заря женных части ц. С казанное в особенности относи тся к твердым и жи дки м ди эл ектри кам, в которыхв сравнени и с газами таки е процессы и з-за экспери ментал ьныхтрудностей все ещ е недостаточно и зучены. В основе бол ьшей части экспери ментов, нацел енныхна таки е и ссл едовани я , л ежат я вл ени я переноса, которым и посвя щ ен данный курс л екци й. Цел ь курса л екци й − объеди ни ть и упоря дочи ть знани я сл ушател ей, накопл енныхв процессе и зучени я общ и хуни верси тетски хкурсов, в отношени и ши роко распространенныхя вл ени й переноса (Часть 1) и эл ектропроводности ди эл ектри ков (Часть 2). Д анные я вл ени я л ежат в основе бол ьшей части экспери ментал ьных и ссл едовани й эл ементарныхпроцессов с участи ем заря женныхчасти ц в конденси рованной фазе. I.

С одер ж а ни е кур са лекци й В и зол и рованной термоди нами ческой си стеме л юбое неравновесное состоя ни е с неи збежностью переходи т в состоя ни е термоди нами ческого равновеси я . Это общ и й закон при роды. О днако дл я каждого конкретного неравновесного состоя ни я сущ ествуют свои конкретные при чи ны, которые обусл авл и вают этот переход и определ я ют его характер. Рассмотри м, что прои сходи т в п рост ран ст в е н н о н е одн ородн ы х состоя ни я х. П ространственно неоднородными называют таки е состоя ни я , в которыхзначени я одной и л и нескол ьки хмакроскопи чески хвел и чи н неоди наковы в разныхчастя хси стемы. О ни образуют бол ьшой и важный кл асс неравновесныхсостоя ни й. М ы не будем касаться состоя ни й с неоди наковым давл ени ем. П отому что в этом сл учае между разл и чными частя ми си стемы действуют обычные механи чески е си л ы, и на необрати мый процесс установл ени я термоди нами ческого равновеси я накл адываются бол ее и л и менее обычные механи чески е дви жени я , вовсе дл я него необя зател ьные. Ни же при води тся подробное содержани е курса л екци й. Нумераци я раздел ов соответствует "У чебномупособи ю к курсул екци й". II.

Ч А С ТЬ 1. Я В Л Е Н И Я П Е Р Е Н О С А 1 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

В ведени е. О б щ ее опи са ни е пр оцессов пер еноса Д и ффузи онные потоки К и нети чески е коэффи ци енты Распредел ени е части ц по скоростя м в неравновесном газе К и нети чески е коэффи ци енты газов

3 1.5. 1.6.

Д и ффузи я как процесс сл учайного бл уждани я Д и ффузи я и подви жность

П р оцессы пер еноса в пр и менени и к га за м К ачественное опи сани е дви жени я медл енныхи онов в газах П араметры E/N и E/p О бщ и е сведени я о подви жности и коэффи ци ентахди ффузи и и онов И он-и онные взаи модействи я и вл и я ни е пространственного заря да на подви жность и онов 2.5. Рол ь данныхо подви жности и коэффи ци ентахди ффузи и и онов. 2.6. Разл и чи я в поведени и и онов и эл ектронов 2.7. Распл ывани е обл ака и онов всл едстви е ди ффузи и через неограни ченный объем газа 2.8. Распл ывани е обл ака и онов в сл учае и хдрейфа в эл ектри ческом пол е 2.9. У равнени е ди ффузи и . В торой закон Ф и ка 2.10. Грани чные усл ови я 2.11. А мби пол я рная ди ффузи я

2 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

3 3.1. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4.

Ки нети ческа я теор и я ди ффузи и и подви ж ности и онов О предел ени я и общ и е резул ьтаты Эл ементарные теори и и качественные соображени я Т еори я свободного пробега С ечени я стол кновени я части ц Т еори я передачи и мпул ьса Т еори я сл абого пол я

4 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Ур а внени я пер еноса в фи зи ко-х и ми ческой ки нети ке У равнени е ди ффузи и М арковски е процессы. У равнени е Ф оккера — Пл анка Задача о дости жени и грани цы Д и ффузи я части ц, взвешенныхв газахи жи дкостя х Д и ффузи я в твердыхтел ах

ЧАС ТЬ 2. ЭЛ ЕКТРО П РО В О ДНО С ТЬ 5

Электр опр оводность ди э лектр и ков (феноменологи я)

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12.

Эл ектропроводность вещ ества Эл ектропроводность метал л ов Эл ектропроводность газов в сл абыхпол я х Эл ектропроводность кри стал л ов в сл абыхпол я х Эл ектропроводность аморфныхди эл ектри ков в сл абыхпол я х С остав носи тел ей заря дов в твердыхди эл ектри ках Эл ектропроводность газов в си л ьныхпол я х Эл ектропроводность жи дкостей в си л ьныхпол я х Эл ектропроводность твердыхди эл ектри ков в си л ьныхпол я х К оэффи ци енты ударной и поверхностной и они заци и Эл ектропроводность эмул ьси й, суспензи й и вя зки хди эл ектри ков Эл ектропроводность окси дныхпл енок на венти л ьныхметал л ах

4 5.13. П оверхностная эл ектропроводность твердыхди эл ектри ков 6

П оляр и за ци я ди э лектр и ков в постоянномполе

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11.

В и ды пол я ри заци и М акроскопи ческое пол е в ди эл ектри ке Л окал ьное пол е Л орентца У равнени е К л аузи уса — М осотти дл я непол я рныхгазов и жи дкостей У равнени е К л аузи уса — М осотти дл я пол я рных(ди пол ьных) газов У равнени е К л аузи уса — М осотти дл я смеси газов П ол я ри заци я непол я рныхжи дкостей Т еори я Д ебая дл я пол я рныхжи дкостей Д и пол ьные кри стал л ы Т еори я О нзагера дл я пол я рныхжи дкостей Т еори я К и рквуда дл я пол я рныхжи дкостей

7

П оляр и за ци я ди э лектр и ков д и э лектр и чески е потер и

7.1. 7.2. 7.3.

7.5. 7.6. 7.6.1. 7.6.2. 7.7. 7.7.1. 7.7.2. 7.7.3.

П ереходные процессы пол я ри заци и при и зменени и постоя нного пол я П ри нци п суперпози ци и напря женностей И зменени е пол я ри заци и со временем в переменном эл ектри ческом пол е Д и эл ектри чески е потери в однородных ди эл ектри ках с рел аксаци онной пол я ри заци ей и сквозной проводи мостью К омпл ексная ди эл ектри ческая прони цаемость Рел аксаци онные потери при одном времени рел аксаци и М одел ьные представл ени я о потеря хв теори и Д ебая П отери при экспоненци ал ьном спадани и пол я ри заци и со временем Рел аксаци онные потери при наборе времен рел аксаци и П отери при двухвременахрел аксаци и П отери при нескол ьки хвременахрел аксаци и Д и аграммы К оул а— К оул а

7.8.

В л и я ни е чи сл а рел аксаторов и эл ектропроводности на потери

7.9.

А си мметри чные функци и распредел ени я времен ди эл ектри ческой рел аксаци и Ф ункци я Д эви дсона— К оул а Ф ункци я Гаври л ья ка— Негами Ф ункци я В и л л ья мса— В аттса К омпл ексный эл ектри чески й модул ь

7.4.

7.9.1. 7.9.2. 7.9.3. 7.10.

в

пр оцессы ,

пер еменном

поле

детекти р уемы е

и

8

Бы стр опр отека ю щ и е э лектр опр оводности

по

8.1. 8.2.

П роцессы с переносом эл ектрона М агни торезонансная модул я ци я скоростей процессов с участи ем пар парамагни тныхчасти ц

5 8.2.1. П ри нци п метода с опти ческой реги страци ей спектров ради кал ьныхпар (О Д М Р) 8.2.2. В ел и чи на магни торезонансного эффекта 8.2.3. Д етекти ровани е спектров РИ Д М Р по эл ектропроводности 8.2.4. И мпул ьсные методы III.

дл я

П ояснени я к клю чевы мр а здела мкур са лекци й

1.2. Рассмотри м си стему, находя щ уюся при определ енной температуре и определ енном давл ени и и состоя щ ую и зчасти ц двухсортов. П усть пол ная пл отность чи сл а части ц п = п 1 + п 2 одна и та же во всей си стеме, а состав части ц неоднороден в пространстве и з-за того, что пл отности чи сл а части ц каждого сорта, п 1 и п 2, меня ются от точки к точке. О сновным эмпи ри чески м законом, опи сывающ и м ди ффузи онные потоки в такой си стеме, я вл я ется закон Ф ика, который свя зывает поток части ц s-го сорта, dJs (s = 1, 2), протекающ и й через эл ементарную пл ощ адкуrdA, сбыстротой и зменени я пл отности и хчи сл а, dns/dξ, в направл ени и нормал и ξ : dJ s = − D

dns dA . dξ

(1)

В ел и чи ну D, определ я емую эти м законом, называют коэф ф иц ие н т ом диф ф узии части ц s-го сорта в данной смеси вещ еств. М ежду разл и чными частя ми неподви жных газа и л и жи дкости действуют си л ы тол ько одного ти па — си л ы нормал ьного давл ени я . Е сл и же разные сл ои жи дкости и л и газа дви жутся друг относи тел ьно друга, то, поми мо эти хобычных си л давл ени я , между ни ми начи нают действовать ещ е си л ы в язког о т ре н ия, стремя щ и еся затормози ть и хотноси тел ьное дви жени е. Т акая си туаци я возни кает, напри мер, при прол ете черезжи дкость и л и газкакого-ни будь тел а, которое вовл екает в свое дви жени е при л егающ и е к нему сл ои вещ ества; при обтекани и жи дкостью и л и газом разл и чныхпрепя тстви й и л и при и хдви жени и по трубам, когда тормозя тся сл ои , при л егающ и е к неподви жным предметам и так дал ее. Разнообрази е дви жени й здесь огромно, и чтобы разобраться в сущ естве дел а, ограни чи мся простейши м сл учаем ламин арн ог о п от ока, текущ его вдол ь оси у со скоростью Vy, разл и чной в разныхточкахоси х. В этом сл учае в л юбой пл оскости АА' действуют две оди наковые по вел и чи не и проти вопол ожные по направл ени ю си л ы трени я , одна и зкоторыхпри л ожена к правой части среды, а другая — к л евой. Эти си л ы направл ены, соответственно, по и проти в оси у и ускоря ют дви жени е бол ее медл енныхсл оев, но тормозя т дви жени е бол ее быстрых. В резул ьтате вся среда при обретает с течени ем времени оди наковую скорость (есл и есть неподви жные стенки , то нул евую). Эмпи ри чески й закон Ньют он а устанавл и вает, что вел и чи на эти хси л

Fy = −η

dV y A, dx

(2)

где η — коэффи ци ент внутреннего трени я и л и вя зкость, A — пл ощ адь сечени я .

6 1.4. В выведенном выражени и дл я коэффи ци ента ди ффузи и части ц в газе: D = 〈τ vx2 〉 ,

(3)

учи тывая качественный характер нашего рассмотрени я , можно пол ожи ть при бл и женно: 〈τ vx2 〉 = τ 〈 v x2 〉 , где τ— среднее время пробега мол екул всехскоростных 2 2 групп, vx - компонента скорости вдол ь оси x. Т огда, учи тывая , что 〈 v x 〉 = 〈 v 〉 / 3 , пол учи м

1 1 1 λ2 2 D ≈ τ 〈 v 〉 ≈ λ 〈 v〉 ≈ ; 3 3 3τ

(4)

здесь λ = 〈 v 〉τ — сре дн яя длин а своб одн ог о п роб е г а, ν − скорость. В однородном по составу газе стол кновени я , перемеши вающ и е части цы разныхскоростныхгрупп, и дут с участи ем всехчасти ц, находя щ и хся в объеме V. П оэтому время установл ени я равновеси я , а стал о быть, и время свободного пробега, которое его определ я ет, в этом сл учае будет общ и м дл я всехни х. О но не будет (и л и почти не будет) зави сеть от скорости данной части цы. О т скорости будет зави сеть дл и на свободного пробега: λi = τ vi . С и туаци я сущ ественно меня ется , есл и газ неоднороден по составу. Рассмотри м дл я определ енности поведени е л егки хмол екул , находя щ и хся в ви де при меси в газе, в основном состоя щ ем и з тя жел ых части ц. Е сл и л егки х части ц немного, и хстол кновени я ми друг с другом можно пренебречь. О сновную рол ь в установл ени и и храспредел ени я по скоростя м будут и грать стол кновени я с тя жел ыми части цами , скорость которыхмного меньше скорости л егки хмол екул . С тал ки вая сь с неподви жными тя жел ыми части цами , л егки е мол екул ы при меси будут меня ть тол ько направл ени е своей скорости , но не ее вел и чи ну, потому что удар будет почти упруги й, и и хэнерги я будет оставаться практи чески неи зменной. Это значи т, что группы л егки хмол екул , и меющ и е разную в е личин у скорости , не будут перемеши ваться друг с другом. В каждой и зни хи зотропное равновесное распредел ени е по направл ени я м скорости будет устанавл и ваться незави си мо от установл ени я равновеси я в други хгруппах. П оэтому общ и м дл я всех л егки хчасти ц будет не время установл ени я равновеси я , не время свободного пробега, а дл и на свободного пробега λ. В ремя же пробега теперь будет зави сеть от скорости τ i = λ / vi . Д л я пол ного потока л егки хчасти ц пол учаем

1 ∂ J = − λ n〈 v〉 A . 3 ∂x

(5)

Чтобы определ и ть коэффи ци ент тепл опроводности , нужно вычи сл и ть поток энерги и , переноси мый части цами при нал и чи и гради ента температуры. Д л я потока тепл а пол учено:

1 dT J Q = − τ n〈 v 2 〉 cv A. 3 dx

(6)

Здесь cv − тепл оемкость, A − пл ощ адка поверхности , перпенди кул я рная оси x.

7 С равни вая это выражени е с законом Ф урье, дл я коэффи ци ента тепл опроводности пол учи м сл едующ и е оценки :

1 1 1 c 〈 v〉 κ ≈ 〈 v 2 〉 cv ≈ ncv λ 〈 v 〉 ≈ v . 3 3 3 σ

(7)

На посл еднем шагу мы воспол ьзовал и сь соотношени ем λ = 1/ nσ (σ − сечени е стол кновени я ). Д л я вя зкости пол учены сл едующ и е оценки : 1 1 m〈 v 〉 η ≈ mnτ 〈 v 2 〉 ≈ mnλ 〈 v 〉 ≈ . (8) 3 3 3σ 1.5. Рассматри вая ди ффузи ю как процесс сл учайного бл уждани я , был о пол учено:

〈 s2 〉 〈R 〉 = t, ∆t 2

(9)

где Δ t - время коррел я ци и , s - перемещ ени е части цы. В отл и чи е от сл учая свободного дви жени я , вре ме н и т е п е рь п роп орц ион але н н е сам п ут ь, а е г о сре дн ий квадрат . Это фундаментал ьное сл едстви е рассматри ваемого подхода к опи сани ю сл учайного дви жени я части ц был о экспери ментал ьно проверено П ерреном на броуновски хчасти цах. К омби наци я 〈 s 〉 / ∆t , поя ви вшая ся в формул е (9), определ я ет вел и чи нукоэффи ци ента ди ффузи и . 2.7. О грани чи мся рассмотрени ем распл ывани я обл ака и онов в пространстве всл едстви е ди ффузи и и хв газе при тепл овыхэнерги я хи ни зкой степени и они заци и , когда и оны взаи модействуют тол ько с мол екул ами газа, а не с други ми и онами и эл ектронами . Предпол ожи м также, что и оны не вступают в хи ми чески е реакци и с нейтрал ьными части цами газа. Пол ученные ни же резул ьтаты окажутся пол езными при анал и зе разл и чных практи чески х вопросов и некоторых ти пов экспери ментов. 2

П режде всего, рассмотри м поведени е некоторого чи сл а и онов N, помещ енныхв начал е одномерной си стемы коорди нат. Представи м себе, что и оны в момент времени t = 0 начи нают ди ффунди ровать черезсвободный от внешни хпол ей газ, однородно запол ня ющ и й все пространство и находя щ и йся при постоя нном давл ени и . Через и нтервал времени t на расстоя ни и х от начал а коорди нат пл отность чи сл а и онов окажется равной n=

N exp {− x 2 / 4 Dt} , 4π Dt

(10)

где D — коэффи ци ент ди ффузи и и онов черезгаз1. Это уравнени е также называют соотношени ем Эйнштейна. Д л я л юбого момента времени кри вая зави си мости n от расстоя ни я х и меет ви д гауссовой функци и 1

Здесь предпол агается , что чи сл о и онов N достаточно мал о; поэтомупол ное давл ени е в среде можно рассматри вать всюдупостоя нным.

8 оши бок. С течени ем времени форма кри вой станови тся все бол ее пл оской. С помощ ью функци и распредел ени я и онов (10) можно рассчи тать среднее и среднеквадрати чное смещ ени я и онов и значал а коорди нат:

1 x = N

∞

∫

−∞

1/ 2

∞

2  4 Dt  x ndx = ∫ xndx =   30  π 

(11)

и

1 x = N 2

1/ 2

 x ndx  ∫ −∞  ∞

2

= 2 Dt .

(12)

В сл учае трехмерного начал ьного распредел ени я и онов значени е и хпл отности на расстоя ни и r в момент времени t будет равно

n=

N

( 4π Dt )

3/ 2

exp {− r 2 / 4 Dt} .

(13)

С реднее и среднеквадрати чное смещ ени е и онов в этом сл учае равны 1/ 2

 16Dt  r =   π 

(14)

и

r 2 = 6 Dt .

(15)

П ри рассмотрени и двумерной задачи и меем

r 2 = 4 Dt .

(16)

Напи санные выше соотношени я могут оказаться пол езными при оценке среднего времени жи зни и онов τ относи тел ьно стол кновени й со стенками сосуда, содержащ его газ. И звыражени й дл я среднего смещ ени я и онов найдем, что

d2 τ≈ D

,

(17)

где d определ я ет соответствующ и й размер сосуда с газом. М ожно провести и бол ее строгое вычи сл ени е времени τ дл я разл и чной геометри и сосудов. С оответствующ и е резул ьтаты запи сываются сл едующ и м образом: а) дл я бесконечно дл и нной трубки пря моугол ьного сечени я со сторонами a и b

9 −1

1    1 τ =  Dπ 2  2 + 2   ; b  a 

(18)

б) дл я бесконечно дл и нного ци л и ндра ради усом r0 2

1 r  τ=  0  ; D  2, 405 

(19)

в) дл я сферы ради усом r0 2

1 r  τ =  0 . D π 

(20)

7.10. Д л я анал и за процессов, протекающ и хво времени при форми ровани и пол и меров и з пол и мерных смесей (напри мер, пол и мери заци я , пол и конденсаци я смеси мономера с и ни ци аторами ), в посл еднее время и спол ьзуют новый подход. П о мере того как в пол и мерной смеси (напри мер, в эпокси дной жи дкости с отверди тел ем) протекает хи ми ческая реакци я , и зотерми чески й рост макромол екул вынуждает коэффи ци ент мол екул я рной ди ффузи и необрати мо уменьшаться с течени ем времени впл оть до момента, когда реакци и практи чески останавл и ваются . П ри этом и зменя ется ря д свойств. Д л я эпокси дныхсмол с относи тел ьно ни зкой концентраци ей и онов и л и сквозной проводи мостью (DC-проводи мостью) вкл ад от пол я ри заци и пространственного заря да чащ е всего незначи тел ьный, и и м можно пренебречь, так что ε/(iω,T,t) = ε/dip(iω,T,t),

(21)

ε//(iω,T,t) = ε//ion(T,t) + ε//dip(iω,T,t),

(22)

Здесь ε//ion = (σ/ωe0) –вкл ад DC-проводи мости в ε//. О днако DC - проводи мость в и зменя ющ ейся во времени си стеме ненадежно и змеря ется . Т о есть и змерени я дол жны быть сдел аны как функци я уменьшени я частоты, впл оть до пл ато при ни зки х частотах; при этом во время и змерени я хи ми ческая структура вещ ества не дол жна си л ьно меня ться . Это пл охо выпол ня ется дл я отверждени я эпокси смол ы. Необходи ма ал ьтернати вная процедура, чтобы определ и ть – действи тел ьно л и фи кси рованная частота в и змерени я хни зка, чтобы ε//(ω,T,t) = (σ0(T,t)/ωe0) в предел ахэкспери ментал ьной оши бки . Д л я решени я этого вопроса можно и спол ьзовать анал и з зави си мостей компл ексного эл ектри ческого модул я : M*(iω,T,t) = (ε*(iω,T,t))-1 = M/(ω,T,t) + iM//(ω,T,t),

(23)

где M/(ω,T,t) = ε//(ε/2+ε//2) — действи тел ьная часть; M//(ω,T,t) = ε///(ε/2+ε//2) — мни мая часть. Д л я и онной проводи мости σ: M*(iω,T,t) = M0[iωτσ(T,t)/(1+ iωτσ(T,t))],

(24)

10 где τσ = e0ε0/σ0 — время рел аксаци и , M0 = ε0-1. Ф ункци я M//(M/) –пол укруг с ради усом 0.5M0 и центром на оси M/ [M//(ω,T,t)]2 + [M/ (ω,T,t) — 1/2M0(T,t)]2 = [1/2M0(T,t)]2.

(25)

Рассмотри м при мер пол и конденсаци и эпокси ами нной смол ы, основанный на анал и зе свойств эл ектри ческого модул я .

ε //

172

1

2

1

(а ) 107

0 2

3

4

Im(1/ε*)

31

(б )

5

ε

/

6

0.1 171 1

10

0.0

Im(1/ε*) 10

(в)

0.1

58

1

111

10 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Re(1/ε*)

Ри с. III-1. Зави си мости ε"(ε') и M"(M') дл я пол и конденсаци и Д ГЭБА (по Г.Ф . Нови кову). Ци фрами со стрел ками указано время в ми нутахпосл е начал а реакци и . На Ри с. III-1, а показаны ди аграммы К оул а-К оул а ε//(ε/), а на Ри с. III-1, б и Ри с. III-1, в − зави си мости M//(M/) дл я отверждени я при температуре 50оС пол и мерной смеси на основе ди гл и ци ди л ового эфи ра би сфенол а-A (ДГЭБА) с отверди тел я ми 4,4’-ди ами ноди ци кл огекси л метан (ДА) и ци кл огекси л ами на (А) в соотношени и ДА/(А+ДА)=0 (кри вая 2 на Ри с. III-1, а и Ри с. III-1, б ) и в соотношени и ДА/(А+ДА)=0,5 (кри вые 1 на Ри с. III-1, а и Ри с. III-1, в ). В и дно, что дл я частоты

11 1 кГц кри вая состои т и зпол уокружности (обл асть и онной проводи мости ) и и скаженной дуги (обл асть ди пол ьной рел аксаци и ). Зави си мость в ви де пол уокружности сви детел ьствует, что в обл асти и онной проводи мости и меет место Д ебаевская рел аксаци я . В этой обл асти проводи мость в переменном эл ектри ческом пол е равна проводи мости в постоя нном пол е. М акси мум пол уокружности отвечает соотношени ю ωτ=1 (τ — время рел аксаци и ), при этом tgδ=M///M/=ε///ε/≈1. Начал у эффекти вной ди пол ьной рел аксаци и соответствуют моменты времени междупол уокружностя ми и дугами . IV.

З а дачи

Рекомендуется реши ть сл едующ и е кл ючевые задачи . 1. О цени те время , за которое газовая мол екул а доберется посредством ди ффузи и от одного конца сосуда с л и нейными размерами поря дка 10 см до другого. ∆t ~ τ ~ 10−10 с и Р е ше н ие . И спол ьзуя формул у (9) и выби рая 2 〈 s 2 〉 ~ λ ~ 10−5 см, пол учи м t ~ 10 с.

2. И зформул (4), (7) и (8) сл едуют сл едующ и е простые соотношени я : κ = Dncv , η = D ρ , где ρ = mn — пл отность газа. Пол ьзуя сь табл и чными данными , проверьте, наскол ько хорошо выпол ня ются эти соотношени я . 3. В закрытой трубке, оди н конец которой поддержи вается при температуре вдвое выше температуры второго конца, находи тся смесь л егки х и тя жел ых мол екул . В о скол ько разбудет выше концентраци я л егки хмол екул у горя чего конца? Р е ше н ие . Процесс термоди ффузи и будет продол жаться до техпор, пока поток, определ я емый формул ой (5), не обрати тся в нул ь. А дл я этого прои зведени е n 〈 v 〉 дол жно перестать зави сеть от х, и л и , и ными сл овами , от температуры. П оскол ьку 〈 v〉 ∝ T , то в трубке установи тся распредел ени е пл отности чи сл а л егки хчасти ц n ∝ 1/ T . А и хконцентраци я , c = n / ntot , будет меня ться вдол ь трубки как

T , поскол ьку ntot ∝ 1/ T . Т аки м образом, c1 / c2 = T1 / T2 = 1, 4 .

4. В усл ови я х, когда нет конвекци и , скорость и спарени я жи дкости л и ми ти руется скоростью ди ффузи и ее паров. У чи тывая это обстоя тел ьство, оцени ть время , за которое и спари тся вода, запол ня ющ ая 1/3 стакана высотой l = 10 см. С такан находи тся в помещ ени и с относи тел ьной вл ажностью воздуха 70%. П л отность насыщ енныхпаров воды при нормал ьныхусл ови я х ρ н ас = 20 г/м 3. Р е ше н ие . П л отность чи сл а мол екул воды у поверхности жи дкости , nн ас, определ я ется пл отностью насыщ енного пара. У верхнего же края стакана и з-за конвекти вныхпотоков, "сдувающ и х" л и шни е мол екул ы воды, она будет определ я ться вл ажностью: n0 = 0,7 nн ас. Д ал ее, в стаци онарныхусл ови я х, которые быстро установя тся , поток мол е-

12 кул пара дол жен быть оди наков в л юбом сечени и стакана. П оэтому будет постоя нен и гради ент пл отности (Ри с. IV-1)

dn nн ас − n0 0,3nн ас = = . dz z z Т аки м образом, поток мол екул воды в соответстви и с (1) равен

J = − DA ⋅ 0,3nн ас / z , где A — пл ощ адь сечени я стакана (знак «−» означает, что поток направл ен проти в оси z). Этот поток определ я ет убыл ь чи сл а мол екул жи дкости , N: dN dV dz = nB = −bB A , dt dt dt

где nB — пл отность чи сл а части ц в воде, V — объем жи дкости . При равни вая

nB

dN и J, пол учаем уравнени е dt

dz = 0,3Dnн ас / z dt

и ли

zdz = 0,3d

nн ас dt . nB

Ри с. IV-1

2 И нтегри руя л евую сторонупо z в предел ах l до l, а пра3 2 5 2 n l nB l = 0,3D н ас t . О тсюда t ≈ . вую — по t от 0 до t, пол учи м 18 nB D nн ас

Д л я оценки коэффи ци ента ди ффузи и паров воды в воздухе воспол ьзуемся −10 формул ой (4), взя в характерные значени я λ = 10−5 см и τ = 10 с. П ол учи м D = 0,3 см 2/с, что я вл я ется ти пи чной вел и чи ной дл я газов. И спол ьзуя это значени е D, найдем

t = 1,5 ⋅ 106 c ≈ 5 меся цев. 5. Д атчи к т е рмоп арн ог о вакуумме т ра и спол ьзует дл я своей работы зави си мость тепл опроводности разреженного газа от давл ени я . О н содержи т нагреваемую током метал л и ческую провол очку, температура которой определ я ется бал ансом междуподводи мой к провол очке мощ ностью и отводи мым по газутепл ом. Эта температура и змеря ется термопарным термометром, который сл ужи т, таки м образом, и нди катором давл ени я . О цени ть верхнюю грани цу давл ени й, которые можно хорошо и змеря ть с помощ ью такого датчи ка, есл и характерный

13 ди аметр сосуда d, в котором он закл ючен, и меет поря док 1 см, а тепл опровод−2 ность воздуха при нормал ьныхусл ови я х κ = 2, 6 ⋅ 10 В т/К •м. О тноси тел ьная мол екул я рная масса воздуха μ =29.

1 vcv . Д л я двухатомного газа сv = 5/2, а сред3 σ 2 2 ни й модул ь скорости можно оцени ть и зсоотношени я mv ≈ m〈 v 〉 = 3T , что дает v ≈ 5 ⋅ 104 см/с. Т аки м образом, дл я пл ощ ади эффекти вного сечени я пол учаем Р е ше н ие . П о формул е (7) κ =

σ =

vcv 5 ⋅ 102 ⋅ 2,5 ⋅ 1, 4 ⋅ 10 −23 ≈ ≈ 2 ⋅ 10 −19 м2 = 2 ⋅ 10 −15 см2 . В акуумметр будет хорошо ра−2 3k 3 ⋅ 2,6 ⋅ 10

ботать, когда дл и на свободного пробега l = 1/ nσ ≥ d / 2 . О тсюда пол учаем усл ови е n ≤ 2 / dσ = 1015 см−3 . У чи тывая , что пл отность части ц в газе при нормал ьныхусn −2 л ови я хn0 = 3 ⋅ 1019 см -3 , пол учаем P ≤ ⋅ 760торр ≈ 3 ⋅ 10 торр . n0 6. С ти рающ ее памя ть сл учайное воздействи е жи дкой среды на дви жени е бол ьши х посторонни х мол екул можно представл я ть как действи е обычной си л ы трени я , обусл овл енной вя зкостью. В ремя коррел я ци и есть и нтервал времени , за который и счезает л юбое направл енное дви жени е мол екул . Е го можно оцени ть как время , за которое си л а трени я меня ет средни й и мпул ьс части цы на вел и чи ну поря дка его самого: Fтрτ с ~ p . О цени те и зэти хсоображени й вел и чи ну τc дл я мол екул ы мол екул я рной массы μ ~ 500 и л и нейными размерами o

a ~ 10 A , находя щ ейся в воде. В я зкость воды η= 10-2 г/см•с. Д л я оценки си л ы трени я счи тайте, что в дви жени е части цы вовл екаются сл ои жи дкости , находя щ и еся от нее на расстоя ни я хпоря дка ее ради уса, а бол ее дал еки е остаются неподви жными . v 2 Р е ше н ие . В соответстви и с формул ой (2) Fтр ≈ η π (2a ) = η v 4π a . a И зусл ови я Fтрτ с ~ mv пол учаем: τ c = m / 4πη a . Подставл я я чи сл а, находи м τс ~ 10-13 с. 7. П ри Т = 20 °С проводи мость 15% раствора К С 1 в воде (15 г К С 1 на 100 г раствора) σ = 0,2 О м -1см -1. С чи тая подви жности и онов К + и С 1- оди наковыми , оцени те и з эти х данных вел и чи ну и х коэффи ци ента ди ффузи и в воде. О тноси тел ьная мол екул я рная масса К С 1 μ = 74,5. С чи тайте, что удел ьный вес раствора бл и зок к еди ни це. Р е ше н ие . П од действи ем эл ектри ческой си л ы е Е, где е — заря д и она, E — напря женность эл ектри ческого пол я , и он пол учает дрейфовую скорость vдр = bе Е, где b — подви жность. Это при води т к среднему потоку и онов каждого сорта J = nvдр A , где n — пл отность и хчи сл а, А — пл ощ адь сечени я . У чи тывая , что в вел и чи ну эл ектри ческого тока, Ie , дают вкл ад оба сорта и онов, пол учаем

14

I e = 2eI = 2ne2bEA . С другой стороны, по определ ени ю проводи мости , Ie = σ EA. О тсюда σ = 2ne2b, т.е. b = σ /2ne2, a D = bТ = σ T/2ne2. С чи тая , что m = 15 г К С1 заmN A ≈ 1021 см -3. П ри вычи сл ени и µ удобно вырази ть Т в эл ектрон-вол ьтах: 1 эВ = 1,14•104 К , а е 2 представи ть в ви де е •1,5•10-19 кул он. Т огда дл я D пол учи тся прави л ьная размерность: −2 кл ючено в 100 см 3 раствора, оцени ваем n ≈ 10

[ D] =

О м−1 ⋅ см−1 ⋅ эле кт рон ⋅ в ольт см2 в ольт 1 = = . , так как −3 см кулон ⋅ эле кт рон с О м ⋅ кулон с

0, 2 ⋅ 3 ⋅ 10 2 ⋅ 10 −4 ≈ 2 ⋅ 10 −5 см 2/c. П одставл я я чи сл а, пол учаем D ≈ 21 −19 2 ⋅ 10 ⋅ 1, 6 ⋅ 10

8. С остоя ни е разомкнутого концентраци онного эл емента можно рассматри вать как стаци онарное состоя ни е, в котором ди ффузи онный поток и онов NO3- , текущ и й через пори стую перегородку всл едстви е разни цы концентраци й эти х и онов в двух пол ови нах сосуда, уравновеши вается и х дрейфовым потоком, возни кающ и м под действи ем эл ектри ческой си л ы е Е. П ол ьзуя сь эти ми соображени я ми , вычи сл и ть вел и чи нуЭД С эл емента. Р е ше н ие . Д и ффузи онный ток в некотором сечени и внутри перегородки dn D J = − DA . Д рейфовый ток J = nvдр A = nbeEA = neE A . При равни вая эти токи , dx T dn neE dn e = = Edx . П ри и нтегри ровани и по тол щ и не перегопол учаем или dx T n T родки учтем, что ∫ Edx =ε есть работа по перемещ ени ю еди ни чного заря да и зодной пол ови ны сосуда в другую, т.е. вел и чи на ЭД С. Т аки м образом,

ε = T ln n

2

e

n1

.

9. Рассчи тать время жи зни и она, который первоначал ьно находи л ся на оси ци л и ндри ческой трубки ради усом 1 см, содержащ ей азот при давл ени и 1 мм рт. ст. и комнатной температуре. Р е ше н ие . При мени м соотношени е (19). Беря значени е коэффи ци ента ди ффузи и равным 50 см 2/с, найдем, что время τсоставл я ет окол о 3⋅10-3 с. За это время и он перемести тся на расстоя ни е vτ ≈ 160 см, где v — средня я скорость тепл ового дви жени я . 10.

О предел и ть протя женность обл ака и онов, распл ывающ егося всл едстви е ди ффузи и в газе при нал и чи и сл абого внешнего эл ектри ческого пол я , которое вызывает дрейф и онов вдол ь пол я . П усть L — расстоя ни е, на которое дрейфует и он за время t, vd — скорость дрейфа. Е — напря женность эл ектри ческого пол я , V — разность потенци ал ов между крайни ми точками дрейфового пути и она. Рассчи тать среднее смещ ени е и онов.

Р е ше н ие . Среднее смещ ени е и онов относи тел ьно центра масс дви жущ егося и онного обл ака дается выражени ем (11), а расстоя ни е L свя зано со временем

15 1/ 2

x  4D  = дрейфа уравнени ем L = vdt. Т аки м образом,  . П редпол агая , что темL  π vd L  пература газа равна 0 °С , находи м D = K/42,465. И спол ьзуя теперь соотношени я x  0,173  = . К = Vd/E и Е = V/L, пол учаем L  V  К ак ви дно и зрешени я задачи , отношени е среднего смещ ени я распл ывающ егося обл ака и онов к размеру обл асти дрейфа не зави си т от коэффи ци ента ди ффузи и и подви жности и онов К , а я вл я ется функци ей тол ько вел и чи ны пол ного падени я напря жени я пол я на участке дви жени я и онов. Сл едует подчеркнуть, что при веденный выше резул ьтат пол учен с учетом тол ько ди ффузи онныхэффектов. М ы пренебрегл и вл и я ни ем рассея ни я и онов, свя занного с взаи мным кул оновски м оттал ки вани ем заря женныхчасти ц. 11.

О цени ть напря женность пол я Eнас, при которой наступает насыщ ени е тока в воздухе, счи тая , что насыщ ени е наступает тогда, когда время пробега и она между эл ектродами станови тся мал ым по сравнени ю со временем, необходи мым дл я рекомби наци и (~500 c). Расстоя ни е между эл ектродами d =1 см, подви жность и она μ = 1,3 см2В -1с-1. Р е ше н ие . Среднее время пробега и она от эл ектрода до эл ектрода tи = d vи ,

где vи = µ E1 — средня я скорость упоря доченного дви жени я и она. Напря женность пол я , при которой наступает насыщ ени е, E1 = a µ tи . П ол ожи в, что при tи = 150 срекомби наци я не успевает заметно разви ться , при и сходныхданныхнаходи м E1 ≈ 5 ⋅ 10−3 В /см. Насыщ ени е в л егки х газах (водород, гел и й) наступает при бол ее ни зки хнапря женностя х, так как подви жность и онов в л егки хгазахбол ьше. V.

Рекомендуема я ли тер а тур а • Н овик ов Г.Ф . Я вл ени я переноса, эл ектропроводность в ди эл ектри ках: У чеб. пособи е к курсул екци й/ Г.Ф . Н овик ов// В оронеж: В ГУ , 2000. - 203 с. http://www.icp.ac.ru/novikov/publ_full/L2/transphen.pdf • Щ еголев И .Ф . Эл ементы стати сти ческой механи ки , термоди нами ки и ки нети ки / И .Ф . Щ еголев. - М .: Я нус, 1996. • М ак -Дан иель И . П одви жность и ди ффузи я и онов в газах: Пер. с англ ./ И . М ак -Дан иель, Э. М езон . –М .: М и р, 1976. • Тун ицк ий Н .Н . М етоды фи зи ко-хи ми ческой ки нети ки / Н .Н . Тун ицк ий, В .А . Кам ин ск ий, С .Ф . Тим аш ев. –М .: Х и ми я , 1972. • Богородицк ий Н .П . Т еори я ди эл ектри ков/ Н .П . Богородицк ий, Ю .М . В олок об ин ск ий, А .А . В ороб ьев, Б.М . Тареев. –Л .: Энерги я , 1965. • А н дреев В .А . Эл ектронные процессы в органи чески хмол екул я рныхкри стал л ах. П еренос, захват, спи новые эффекты/ В .А . А н дреев, М .В . Курик , С . Н еш п урек , Э.А . и др. - Ри га: Зи нантне, 1992. • Х ип п ель А .П . Д и эл ектри ки и вол ны/ А .П . Х ип п ель–М .: И н. л и тер., 1960.

16 • П ю ш н ер Г. Нагрев энерги ей сверхвысоки х частот/ Г. П ю ш н ер. – М .: Энерги я , 1968. • Л еб едев И .В . Т ехни ка и при боры сверхвысоки хчастот/ И .В . Л еб едев. – М .: В ысш. шк., 1972. –Т .2. • У см ан ов С .М . Рел аксаци онная пол я ри заци я ди эл ектри ков/ С .М . У см ан ов. –М .: Наука-Ф и зматл и т, 1996. • Л ущ ейк ин Г.А . М етоды и ссл едовани я эл ектри чески хсвойств пол и меров/ Г.А . Л ущ ейк ин . - М .: Х и ми я . 1988. • Buchacenko A.L. Chemical generation and reception of radio-microwaves/ A.L. Buchacenko, E.L. Frankevich. - New York, Weinheim, Cambridge: VCH Publishers, 1994. С остави тел ь Редактор

Нови ков Геннади й Ф едорови ч Т и хоми рова О .А .