Курс теории упругости

Л. С. ЛЕЙБЕДЗОН

КУРС ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ИЗДАН ИВ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

Допущено Министерством высшего образования СССР * качестве учебника для университетов

О Г И 3 ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1847 ЛЕНИНГРАД

Редактор Л. 3. Рыекпн

Тети, редактор М. С. КонЯаре»

Подписано к печати SS/VII1947 г. 04475 Печ л 29. Авт. л. 2Я,«. Уч.-иен л. 30,75. Тип. зн. в печ л. 43 иОО. Тираж 15000 экз. Цена II руб. Переплет 1 руб Зак. J* пЭЭЭ. 1-я Образцовая тип. треста «Полиграфкиига» Огиза при Совете Министров СССР, Москиа, Валовая, 28.

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к первому изданию . . . Предисловие ко второму изданию

9 Ш

ГЛАВА I.

Теория деформации. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. § § § §

Перемещение Однородная деформация Компоненты малой деформации Компоненты конечной деформации Изменение угла между линейными элементами при деформации . Поверхность деформаций Взаимный эллипсоид деформаций Эллипсоид деформаций Чистая деформация и элементарное вращение Формулы преобразования компонентов деформации к новым осям координат 11. Относительное объёмное расширение при деформации 12. Дифференциальные зависимости Сен-Венана между компонентами деформации (тождества Сен-Венана) 13. Определение компонентов перемещения по заданным шести компонентам малой деформации 14. Формулы Стокса для разложения произвольной малой деформации

11 12 13 16 18 21 24 25 26 27 31 34 36 39

ГЛАВА п.

Анализ напряженного состояния.

§ 15. Внешние силы

§ 16. Внутренние напряжения • § 17. Исследование напряжённого сост яния в данной точке тела . . . § 18. Условия равновесия поверхностных сил, приложенных к граням вырезанного параллелепипеда § 19. Втаимногть нормальных слагающих § 20. Преобразование компонентов напряжённого состояния к новым осям § 21. Поверхность напряжений Коши § 22. Определение наибольших касательных напряжений § 23. Эллипсо.ид напряжений Ламе § 24. Направляющая поверхность напряжений § 25. Круги Мора§ 26. Поверхность касательных напряжении Г. В. Колосова

40

41 43 46 49 50 52 55 57 58 59 62

4

ОГЛАВЛЕНИЕ Г Л А В А III.

§ § § § § § § § § § § §

Связь между напряжённым состоянием и деформацией. 27. Приложение первого и второго законов термодинамики к процессу деформации упругого тела 63 23. Энергия деформации 67 29. Общая связь между напряжённым состоянием и деформацией. Закон Гука . . . . 68 30. Общее выражение упругого потенциала W в случае закона Гука . . ". 69 31. Формулы Кастилиано 70 32. Формула Клапейрона 72 33. Формула Бетти 72 34. Приведение числа упругих постоянных при различных случаях симметрии 74 35. Изотропное тело 76 35. Модули упругости изотропного тела 78 37. Связь между напряжениями и деформациями в изотропном теле . 80 33. Работа деформации для изотропного тела 82 ГЛАВА

§ § § § § § § § § § § § § § § § §

ГЛАВА

§ § § §

IV.

Уравнения упругого равновесия и движения. 39. Необходимые условия равновесия упругого тела 40. Новый вывод уравнений упругого равновесия и движения . . . . 41. Уравнения у другого равновесия и движения в перемещениях . . . 42. Граничные условия 43. Начальные условия . 44. Уравнения упругого равновесия Коши 45. Формулы Максвелла и Морера 46. Некоторые свойства уравнений упругого равновесия при отсутствии массовых сил 47. Тожтества Бельтрами 48. Простейшие примеры, когда напряжённое состояние постоянно или линейно изменяется 49. Принцип Сен-Венана и смягчение граничных условий 50. Труба бесконечной длины, находящаяся под действием равномерного внутреннего и внешнего давления (задача Ламе) 51. Труба, быстро вращающаяся с постоянной угловой скоростью ~~ ду:

дг '

Определим теперь угол о, на который повернётся элемент MN, когда он перейдёт в положение MXNV По приведённым

Фиг.

1.

выше соображениям на него не влияют перемещения в направлении осей х или z. Из фиг. 1 имеем:

Но при принятой точности имеем:

отсюда получим:

до

§ 3]

КОМПОНЕНТЫ МАЛОЙ ДЕФОРМАЦИИ

18

Если же элемент MN первоначально занимает положение МР, параллельное оси у, то угол его поворота р в положение МхРг будет: Но при принятой точности имеем: отсюда:

Р

ди — д~у' Таким образом, прямой угол между линейными элементами MN и МР, параллельными до деформации осям л, у, после деформации уменьшается на сумму углов да.ди Эту деформацию скошения прямого угла называют сдвигом и б обозначают еху, так что имеем: Также имеем скошения прямых углов между осями х и г: dw

.

dw

• dv

ди

между осями у та. z: Мы получили 6 основных величин, характеризующих деформацию: 1) три относительных удлинения линейных элементов, параллельных осям координат: е —— е —е — — П in хх —дх' УУ—ду' **—дг » \1ЛЧ 2) три скошения прямых углов между координатными осями (сдвиги): К

*У

dw

дх^

ду' , ди

dw

| dv

Величины ехх, еуу, егг, еху> ехг, еуг тами малой деформации.

(1.12)

называются компонен-

16

ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИИ

[]Л. I

§ 4. Компоненты конечной деформации. Обозначим первоначальную длину элемента MN через длину его после деформации через dsx: MN = ds,

(1.13)

MlNl = dsv

Обозначим косинусы углов ными осями х, у, z через:

ds,

элемента MN с прямоуголь-

' - S . — 2 . —£•

о-»)

а косинусы углов деформированного элемента MlN1 с теми же осями через:

Из формул (1.6), (1.1) и (1.8) имеем:

d v j

-

-'

(1.16)

При рассмотрении конечных деформаций важно различать, принимаем ли мы за независимые переменные координаты точки до или после деформации. В этом параграфе за независимые переменные приняты- координаты начального состояния. Внося (1.16) в (1.15) и применяя (1.14), мы получим: ,

ди\

, i ди

i

ди> . . dw

dv\

, (.

I

ди

, dv

, dw\

~\ ds

I ds

Внося значения (1.17) в известное соотношение мы получим: (1.19)

§ 4]

КОМПОНЕНТЫ КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ

IT

где обозначено:

•

х г

6

/г"

dx~\ ~2 l \ d x ) ' \ d ~ x ) ~Г\(Ъг/ J ' dw

, 1

du

, dv

/dv\t , du du . dv dv

dw ,du ,du dx ' dz "• d z dv , da; | da д.г "• dy "* dy

5? ) J •

, dw dw

(1.20)

du ,dv dv,dw dw длг ' д г dx ' дг dx' da . <jp dv . dw dw dz " ^ dy