Комплексные аналитические множества

Е.М.Чирка КОМПЛЕКСНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 272 с.

Книга посвящена геометрической теории функций многих комплексных переменных. В ней изучаются множества нулей систем голоморфных функций, которые широко используются не только в комплексном анализе, но и в алгебраической геометрии, дифференциальной топологии и др. Новое геометрическое изложение существенно облегчает освоение основ теории и естественно подводит к современным методам. Наряду с основами излагаются важнейшие достижения последних лет, еще не отраженные в монографиях. Для специалистов по теории функций многих комплексных переменных, а также для студентов и аспирантов математических факультетов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Условные обозначения 9 Глава 1. Основы теории аналитических множеств 11 1. Нули голоморфных функций. 11 1.1. Подготовительная теорема Вейерштрасса (11) 1.2. Зависимость корней от параметров (12). 1.3. Дискриминантное множество (14). 1.4. Разложение на неприводимые множители (15). 1.5. Кратности нулей. Дивизор голоморфной функции (16) 2. Определения и простейшие свойства аналитических множеств. 18 Множества коразмерности 1 2.1. Определение (18) 2.2. Простейшие топологические свойства (19). 2.3. Регулярные и особые точки (20) 2.4. Размерность (22). 2.5. Регулярность в Pn и C*n +1 (23). 2.6. Главные аналитические множества (24). 2.7. Критические точки (25). 2.8. Локальное представление множеств коразмерности 1 (26) 2.9. Минимальные определяющие функции (28) 3. Собственные проекции 29 3.1. Собственные отображения (29). 3.2. Исключение переменных (30). 3.3. Следствия (31). 3.4. Существование собственных проекций (32) 3.5. О размерности >33) 3.6. Почти однолистные проекции (35) 3.7. Локальное представление аналитических множеств (36). 3.8. Образы аналитических множеств (37). 4. Аналитические накрытия 39 4.1. Определения (39) 4.2. Канонические определяющие функции (40) 4.3. Аналитические накрытия как аналитические множества (42). 4.4. Теорема Реммерта — Штейна — Шиффмана (43). 4.5. Аналитичность sng A (44) 5. Разложение на неприводимые компоненты и его следствия 45 5.1. Связные компоненты regA (45) 5.2. Разложение по размерностям. Аналитичность sngA и S (А) (47) 5.3. Неприводимость (47) 5.4.

Неприводимые компоненты (49) 5.5. Стратификации (51) 5.6. Пересечения аналитических множеств (52) 5.7. Число определяющих функций (54) 5.8. Теорема о собственных отображениях (55) 6. Одномерные аналитические множества. 6.1. Локальная параметризация (56) 6.2. Нормализация и униформизация (58) 6.3. Принцип максимума (59) 7. Алгебраические множества 7.1. Теорема Чжоу (60) 7.2. Замыкания аффинных алгебраических множеств (62) 7.3. Алгебраические множества как аналитические накрытия (62) 7.4. Некоторые критерии алгебраичности (63) Глава 2. Касательные конусы и теория пересечений 8. Касательные конусы 8.1. Определения и простейшие свойства (65) 8.2. Касательный конус и отображения (66) 8.3. Касательный конус и σ-процесс (67) 8.4. Аналитическое описание (68) 8.5. Касательные векторы и одномерные сечения (70). 8.6. Отклонение (71) 9. Конусы Уитни 9.1. Определения и простейшие свойства (73). 9. 2. Иерархия и аналитичность (74) 9.3. Касательное пространство (76) 9.4. Конусы Уитни и проекции (76) 9.5. Особенности коразмерности 1. Нормализация Пиюзо (78) 10. Кратности голоморфных отображений 10.1. Кратности проекций (80). 10.2. Кратности отображений (82) 10.3. Кратности и начальные многочлены (86) 10.4. Теорема Безу (90) 10.5. Числа Милнора (91) 11. Кратности аналитических множеств 11.1. Кратность аналитического множества в точке (93) 11.2. Кратности и касательный конус (94). 11.3. Степень алгебраического множества (97). 11.4. Множества кратностей (98). 11.5. Голоморфные цепи (100). 11.6. Касательный конус как цепь (101). 11.7. Зависимость касательного конуса от параметров (103) 12. Индексы пересечений 12.1. Случай дополнительных коразмерностей (104) 12.2. Некоторые свойства индексов (107) 12.3. Пересечения голоморфных цепей (109). 12.4. Свойства цепей-пересечений (111). 12.5. Кратности и трансверсальность (114). 12.6. Кратности слоев голоморфных отображений (116). Глава 3. Метрические свойства аналитических множеств 13. Фундаментальная форма и формы объема 13.1. Эрмитовы многообразия (117). 13.2. Формы объема (120). 13.3. Неравенство Виртингера (122). 13.4. Интегрирование в Р„ (123). 13.5. Интегрирование по многообразиям инцидентности. Формулы Крофтона (124). 13.6. Связь проективных и аффинных объемов (128) 14. Интегрирование по аналитическим множествам

56 60

65 65

7

80

93

104

117 117

131

14.1. Теорема Лелона (131) 14.2. Свойства интегралов по аналитическим множествам (132) 14.3. Теорема Стокса (133) 14.4. Аналитические множества как минимальные поверхности (136) 14.5. Касательная и нормальная составляющие объема (138). 14.6. Объемы аналитических подмножеств шара (140)14.7. Объемы алгебраических множеств (142) 15. Числа Лелона и оценки снизу 15.1. Числа Лелона (143) 15.2. Интегральные представления (145). 15.3. Оценки объемов снизу (147). 15.4. Площади проекций (149). 15.5. Последовательности аналитических множеств (153) 16. Голоморфные цепи 16.1. Последовательности голоморфных цепей (155). 16.2. Цепипересечения как потоки (156) 16.3. Формулы Пуанкаре — Лелона (160). 16.4. Формулы Йенсена (163) 17. Оценки роста аналитических множеств 17.1. Условие Бляшке (167). 17.2. Метрическое условие алгебраичности (169). 17.3. Оценки роста гиперплоских сечений (171). 17.4. Обратные оценки (173). 17.5. Следствия и обобщения (176) Глава 4. Аналитическое продолжение и граничные свойства 18. Устранимые особенности аналитических множеств 18.1. Особенности малых размерностей (178) 18.2. Заразительность продолжения (179). 18.3. Устранение плюриполярных особенностей (182). 18.4. Продолжение через Rn(183). 18.5. Препятствия малых CR-размерностей (186) 18.6. "Лемма Гартогса" для аналитических множеств (188) 19. Границы аналитических множеств 19.1. Регулярность возле границы (190) 19.2. Граничные теоремы единственности (193) 19.3. Задача Плато для аналитических множеств (194) 19.4. Подготовительные леммы (195) 19.5. Границы аналитических накрытий (197)19.6. Теорема Харви — Лоусона (200) 19.7. Об особенностях аналитических пленок (203) 20. Аналитическое продолжение 20.1. О продолжении аналитических множеств (204) 20.2. Компактные особенности (205) 20.3. Продолжение через псевдовогнутые поверхности (206) 20.4. Продолжение через ребро (209) 20.5. Принцип симметрии (210) Приложение. Элементы многомерного комплексного анализа П 1. Устранимые особенности голоморфных функций П 1.1. Голоморфные функции в Cn (212). П 1.2. Плюрисубгармонические функции (217). П 1.3. Голоморфное продолжение вдоль сечений (219) П 1.4. Устранимые особенности ограниченных функций (221). П 1.5. Устранимые особенности

143

155

167

178 178

190

204

212 212

непрерывных функций (223) 224 П 2. Голоморфные отображения. Многообразия в Cn П 2.1. Голоморфные отображения (224) П 2.2. Теорема о неявной функции и теорема о ранге (226) П 2.3. Комплексные многообразия в Cn (229) П 2.4. Вещественные многообразия в Cn (230) П 3. Проективные пространства и грассманианы 232 П 3.1. Абстрактные комплексные многообразия (232) П 3.2. Комплексное проективное пространство Pn (234) П 3.3. Комплексные плоскости в Pn (236). П 3.4. Грассманианы G(k,n) (236). П 3.5. Многообразия инцидентности и σ-процесс (238) П 3.6. Вложение грассманианов в PN (239) П 4. Комплексные дифференциальные формы 240 П 4.1. Внешняя алгебра (240). П 4.2. Дифференциальные формы (242). П 4.3. Интегрирование форм. Теорема Стокса (245). П 4.4. Теорема Фубини (246) П 4.5. Положительные формы (248) П 5. Потоки 250 П 5.1. Определение. Положительные потоки (250) П 5.2. Операторы d, ∂ и интегральные представления (252) П 5.3. Регуляризация (253). П 5.4. ∂ -Проблема и теорема о скачке (254) П 6. Меры Хаусдорфа 256 П 6.1. Определение и простейшие свойства (256) П 6.2. Hm на mмерном многообразии (258) П 6.3. Лемма о слоениях (259) П 6.4. Сечения и проекции (260). Список литературы 261 Добавление к списку литературы при корректуре 267 Предметный указатель 269 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — продолжение 204 Алгебраическое множество 61 Безу теорема 90 — — аффинное 60 — — проективное 60 Биголоморфное отображение 227, 233 Александера теорема 141, 183 Биразмерность потока 251 Аналитическое множество 18 Бистепень потока 251 — — главное 24 — — локальное неприводимое 48 — формы 243 Бишопа лемма 180 — — неприводимое 47 — теорема 182, 183 — — — в точке 48 Бляшке условие 167 — — однородное по размерности 22 Вейерштрасса многочлен 11 — — с краем 133 — теорема 213 — — чисто р-мерное 22 — — подготовительная 11 — накрытие 39 Вектор касательный 65, 229 — — обобщенное 39 — подмножество 18 — комплексный касательный 231

— разложимый 241 Вероятностная мера 172 Взвешенно однородный многочлен 89 Виртингера неравенство 122, 123 — теорема 120, 123 Внешнее умножение 241 Внешняя алгебра пространства 241 Вполне вещественное многообразие 230 Гартогса лемма 216 — — для а.м. 188 — ряд 216 Голоморфная функция 212 — цепь 100, 155 — — положительная 101 Голоморфное отображение 26, 224, 233 — продолжение 219 Грассманиан 237 Грассмана многообразие 237 Грина формула 136, 253 Грумена лемма 173 Дивизор голоморфной функции 17 — мероморфной функции 101, 160 Дискриминантное множество 14 Дифференциальная форма 242 — — биоднородная 243 — — бистепени (p, q) 243 — — вещественная 242 — — главная 248 — — положительная 248 Единственности теорема 214 — — граничная 193, 214 — — для а.м. 19, 52 Индекс пересечения 105, 110, 111 — — полный 108 Инцидентности многообразие 238 Йенсена формула 164, 165 Каноническая ориентация 241 — проекция 234 Канонические определяющие функции 40,43, 101 Каноническое вложение 235, 239

Касательное пространство 74, 229 Касательные условия Коши — Римана 232, 252 Касательный вектор 65, 229 — конус 65 — — в смысле цепей 102 — — проективный 67 Комплексная карта 233 — касательная плоскость 231 — плоскость в Рп 236 Комплексная структура 233 — — индуцированная 234 Комплексное многообразие 227, 233 — подмногообразие 227, 233 — проективное пространство 234 Комплексный атлас 233 — касательный вектор 231 Компоненты цепи 100 Конусы Уитни 73 Координаты комплексные 233 — однородные 234 — плюккеровы 239 Коразмерность 22, 33, 227 Коши формула 212 Кратность а.м. в точке 93 — — — вдоль подмножества 99 — голоморфной цепи 100, 101 — нуля 16 — отображения 83, 116 — проекции 81 Критическая точка 26 Критическое множество 39 Крофтона формула 128 Леви теорема 216 — форма 217 Леви-Чивита теорема 229 Лелона теорема 131 — число 143 Лемма Бишопа 180 — Гартогса 216 — — для а.м. 188 — Грумена 173 — Шварца 215 Лиувилля теорема 216

Локальный нормализующий параметр 57 Максимально комплексный цикл 194 — — — неприводимый 194 Мартинелли — Бохнера форма 253 — — формула 253 Мера Хаусдорфа 257 Метрическая размерность 257 Милнора числа 91, 93 Минимальная определяющая функция 28 Многообразие вполне вещественное 230, 231 — Грассмана 237 — инцидентности 238 — келерово 118 х — комплексное 227, 233 — максимально комплексное 230, 232 — эрмитово 117 Множество аналитическое 18 — дискриминантное 14 — кратностей 98 — критическое 39 — локально устранимое 39 — плюриполярное 218 — — локально полное 218 — — полное 218 — полярное 218 — сингулярное 23 — устранимое 39 Многочлен Вейерштрассг 11 — взвешенно однородный 89 — однородный 215 Мультипликативность кратности 83, 96 Начальный однородный многочлен 16 Неприводимая компонента 49 Неприводимый множитель 16 Нормализация 58, 78 Носитель голоморфной цепи 100 — потока 250

— формы 242 Однородные координаты 234 Однородный многочлен 215 Оператор d 243, 252 — dC 244 — ∂ 244,252 Ортогональность в Pn 235 Особая точка 20 Отклонение 72 Отображение биголоморфное 227, 233 — голоморфное 26, 224, 233 — собственное 29 Пересечение собственное 109, 110 — трансверсальное 114 Пиюзо нормализация 78 — параметризация 57 — показатели 73 Плюккеровы координаты 239 Подготовительная теорема Вейерштрасса 11 Поливектор 241 — положительный 241 — разложимый 241 Полное пересечение 54 Полный индекс пересечения 108 Порядок нуля 16 — отклонения 72 Потенциал меры в Pn 172 Поток 250 — биразмерности (p, q) 251 — бистепени (r, s) 251 — вещественный 250 — положительный 251 — размерности m 250 — типа меры 250 Почти однолистная проекция 36 Принцип максимума 60, 215 Проективизация многочлена 61 Проективный касательный конус 67 Проекции в Pn 236

Прообраз формы 243 Пуанкаре — Лелона формула 161 Радо теорема 224 Размерность 227, 233 — а.м. 22 — — — в точке 22 — метрическая 257 — хаусдорфова 257 Ранг голоморфного отображения 225 Расстояние в Pn 235 Регуляризация 254 Регулярная точка 20 Реммерта теорема 55 Реммерта—Штейна теорема 44 Риманова поверхность 20 Росток а.м. 50 Рудина теорема 64 Руше теорема 86 Ряд Гартогса 216 — по однородным многочленам 215 — Тейлора 215 Сингулярное множество 23 Сингулярность потека 250 Слабо плюрисубгармоническая функции 60 Слой голоморфного отображения 116 Собственное отображение 29 — пересечение 109, 110 Степень алгебраического множества 97 — конуса 97 — потока 251 — формы 243 Стокса теорема 134, 246 Страт 51 Стратификация 51 — примерная 52 Строго псевдовогнутая поверхность — псевдовыпуклая поверхность 219 Сходимость последовательности множеств 153 Считающая функция 164, 165 Теорема Александера 141, 183

— Александера — Тейлора — Ульмана 150 — Безу 90 — Бишопа 153, 154 — Вейерштрасса 213 — — подготовительная 11 — единственности 214 — — граничная 193, 214 — — для а.м. 19, 52 — Леей, граничная 216 — Леви-Чивита 229 — Лиувилля 216 — Мользона — Шиффманз— Сибони 175 — о неявной функции 226 — о ранге 227 — о скачке 254 — о среднем 146, 217 — Пуанкаре— Лелона 161 — Радо 224 — Реммерта 55 Теорема Реммерта — Штейна 44 — Руше 86 — Стокса 132, 134, 246 — Туплена 182 — Уитни 98 — Фубини 247, 248 — Харви — Лоусона 200 — Циха - Южакова 88 — Чжоу 61 — Шиффмана 43, 185 — Штолля— Бишопа 170 Точка критическая 26 — особая 20 — регулярная 20 Трансверсальная плоскость 68 Трансверсальное пересечение 114 Уитни конусы 73 — теорема 98 Универсальная накрывающая 59 Универсальное расслоение 238 Унитарное преобразование 224 Унитарный автоморфизм Р„ 236 Условие Бляшке 167

Условия Коши — Римана 212 — — — касательные 232, 252 Форма дифференциальная 242 — — биоднородная 243 — — бистепени (p, q) 243 — — вещественная 242 — — главная 248 — — положительная 248 Форма дифференциальная степени s 242 — евклидова 118 — Мартинелли — Бохнера 253 — объема 120, 245 — Фубини - Штуди 119 — фундаментальная 118 Формула Грина 136, 253 — Йенсена 164, 165 — Коши 212 — Крофтона 128 — Мартинеялк - Бохнера 253 — Пуанкаре- Лелона 161 — Сто кса 134 — — в потоках 135 Фубини теорема 247, 248 Фубини — Штуди метрика 119

— — форма 119 Фундаментальная форма 118 Функция голоморфная 212 — неприводимая 16 — — в точке 16 функция плюрисубгармоническая 217 — слабо плюрисубгармоническая 60 Цепь-пересечение 111, 159 Циха — Южакова теорема 88 Чжоу теорема 61 Числа Лелона 143 - Милнора 91, 93 Шиффмана теорема 43, 185 Штолля — Бишопа теорема 170 Эрмитова форма 117 Эрмитово многообразие 117 CR-размерность 232 CR-функцин 232 p-вектор 241 p-цепь 101 q-псевдовогнутая поверхность 206 σ-процесс 87, 239