Комплексные многообразия

Чжэнь Шэн-шэнь КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ Издательство иностранной литературы Москва 1961

В последнее время в теории комплексных многообразий благодаря применению сильных топологических и алгебраических методов были получены замечательные результаты. Настоящая книга посвящена теории компактных комплексных многообразий. Несмотря на сравнительно небольшой объем, она содержит основные результаты этой теории. Книга написана сжато и требует от читателей известной математической культуры. Она рассчитана на научных работников и на аспирантов или студентов математических факультетов университетов и пединститутов. Содержание Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие 8 1. Введение 9 2. Гармонические формы 14 3. Комплексные эрмитовы многообразия 22 4. Келеровы многообразия 33 5. Подмногообразия комплексного проективного пространства 42 6. Комплексные торы и абелевы многообразия 46 7. Интегрируемые почти комплексные структуры 54 8. Пучки 56 9. d''-когомологии 65 10. Расслоения на комплексные прямые 74 11. Многообразия Грассмана 86 12. Связности 94 13. Характеристические классы комплексных векторных расслоенных 109 пространств 14. Гармонические формы в эрмитовом векторном расслоенном 121 пространстве 15. Когомологии алгебраических многообразий 143 16. Род Тодда 156 17. Характеристика многообразия 172 18. Теорема Римана — Роха для алгебраических многообразий 183 Примечания переводчика 194 Литература 230 Указатель 235 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелево многообразие 47 Аналитическое подмногообразие 43, Абсолютная производная 98 203 Алгебраическое многообразие 45 Антидифференцирование 30, 196 Альбанезе многообразие 51 Арифметический род 74, 192 Аналитический пучок 57 Бьянки тождество 101

Вейля теорема 104 Вертикальное пространство 96 Вес одночлена 156 Вещественный оператор 25 Виртуальная χy-характеристика 158 Виртуальный род 191 — Ty -род 163 Внешнего умножения оператор 17 Внешнее произведение 17, 194 Внешняя форма 194 Внутреннего умножения оператор 18 Гармоническая форма 19, 124 Гармонического проектирования оператор 20 Геометрический род 42 Гиперплоскость общего положения 146 Главное расслоенное пространство 96, 210 Голоморфная форма 23, 124, 217 Гомоморфизм пучков 58 — расслоенных пространств 223 — характеристический 78, 106, 214 Горизонтальное пространство 96 Грассмана многообразие 86 Грина — де Рама оператор 20 Группа структурная 202 Де Рама теорема 20, 65 Диагональное расслоение 164 Дивизор 77, 85 — неособый простой 77, 148 Дифференциальная форма 9, 194 — — комплекснозначная 22 — — первого рода 38 — — со значениями в векторном пространстве 209 — — — — — расслоенном пространстве 121 Дифференцируемое расслоенное пространство 202 Дольбо теорема 71 Игусы теорема двойственности первая 86

— — — вторая 86 Избыточность 191 Импримитивная форма 38 Импримитивный класс гомологии 46 Инвариант Цейтена — Сегре 191 Инвариантная полилинейная функция 103 Индекс многообразия 39, 158 Индуцированное расслоенное пространство 107, 213 Иррегулярность 42 Каноническое расслоенное пространство 126 Квадратичное преобразование 129 Келерово многообразие 14, 33 Класс гомологии импримитивный 46 — когомологий рациональный 49 — — целочисленный 49 — Понтрягина 158, 220 — характеристический 78, 112, 116 Классифицирующее пространство 107, 213 Ковариантная производная 98 Когомологий с коэффициентами в пучке 58 d''-когомологии 65 Кодаиры теорема 149 Комплексно аналитическое расслоенное пространство 202 — сопряженный оператор 72 Комплексное векторное расслоенное пространство 109 — многообразие 9 — проективное пространство 11, 73 Комплекснозначная дифференциальная форма 22 Комплексный тор 47 Координатные окрестности 74, 202 Координаты Кэли — Грассмана 87 Кривизны форма 79, 97 Кузена первая проблема 58 Кэли — Грассмана координаты 87 Лапласа оператор 19 Лере — Хирша расслоенное

пространство 167, 221 Лефшеца теорема 46, 86, 146 Линейная форма 194 Маурера—Картана уравнения 94 — — форма 91 Метрика риманова 195 — эрмитова 11, 14, 23 — Ходжа 43 Многообразие абелево 47 — алгебраическое 45 — Альбанезе 51 — Грассмана 86 — келерово 14, 33 — комплексное 9 — Пикара 47, 82 — расщепляющее 164 — рациональное 88, 206 — флагов 166 — Ходжа 43 — Шуберта 88 — эрмитово 22 — Якоби 51 Многочлен Тодда 158 Мультипликативная последовательность 156 Накано теорема 129 Неособый простой дивизор 77, 148 Нерв покрытия 58, 200 Носитель дивизора 203 — формы 16 Окрестности координатные 74, 202 Оператор вещественный 25 — внешнего умножения 17 — внутреннего умножения 18 — вычета Пуанкаре 144 — — Севери 144 — гармонического проектирования 20 — Грина — де Рама 20 — двойственности Пуанкаре 45, 198 — комплексно сопряженный 72 — Лапласа 19 — (p,q)-проектирования 22 — сопряженный 16, 25

Паракомпактное пространство 61, 201 Первая проблема Кузена 58 Пикара многообразие 47, 82 Подмногообразие аналитическое 43, 203 Подпространство расслоенное 224 Подпучок 58 Покрытие простое 75 Полубазовая форма 58 Понтрягина класс 158, 220 Последовательность мультипликативная 156 — точная 58, 174, 200, 223 Постоянный пучок 57 Почти комплексная структура 54 Предгильбертово пространство 16, 195 Предел прямого спектра 200 Преобразование квадратичное 129 Пример Хопфа 12 Примитивная форма 27, 127, 217 Присоединенное расслоенное пространство 98, 212 (p,q)-проектирования оператор 22 Произведение внешнее 17, 194 — тензорное 114 Производная абсолютная (ковариантная) 98 Простая форма 16 Простое покрытие 75 Пространство вертикальное 96 — горизонтальное 96 — классифицирующее 106, 213 — комплексное проективное 11, 73 — паракомпактное 61, 201 — предгильбертово 16, 195 — расслоенное 202 — симметрическое однородное 89 — флагов расслоенное 165, 221 σ-процесс 129 Пучок 56 — аналитический 57 — постоянный 57

— ростков главных частей 58 — — голоморфных функций 57 — — дивизоров 77 — — мероморфных функций 58 Пучок тонкий 62 Пфаффова форма 194 Расслоение диагональное 164 — на комплексные прямые 74 Расслоения эквивалентные 75 Расслоенное подпространство 224 — пространство 202 — — главное 96, 210 — — дифференцируемое 202 — — индуцированное 107, 213 — — каноническое 126 — — комплексно аналитическое 109 — — комплексное векторное 109 — — Лере — Хирша 167, 221 — — присоединенное 98, 212 — — сопряженное 112 — — универсальное 138, 213, 218 — — n-универсальное 107, 213 — — флагов 165, 221 — — эрмитово векторное 110 — фактор-пространство 224 Расщепляющее многообразие 164 Рациональная форма 49 Рациональное многообразие 88, 206 Рациональный класс когомологий 49 Римана — Роха теорема 181, 183, 191, 193 Римана — Роха — Хирцебруха теорема 188 Римана — Фробениуса условия 48 Риманова метрика 195 Род арифметический 74, 192 — виртуальный 191 — геометрический 42 — Тодда 158, 166 Ty -род 161 — — виртуальный 163 Связности форма 79, 96 Связность 79, 96, 205

Серра теорема двойственности 125 Сечение гиперплоскостью 45,146 — пучка 57 Симметрическое однородное пространство 89 Сопряженное расслоенное пространство 112 Сопряженный оператор 16, 25 — тор 52 Степень дивизора 81 — поверхности 191 — формы 194 Структура почти комплексная 54 Структурная группа 202 Сумма расслоений 76 — Уитни 113 Тензорная форма 99 Тензорное произведение 114 Теорема Вейля 104 — двойственности 113 — — Игусы первая 86 — — — вторая 86 — — Серра 125 — де Рама 20, 65 — Дольбо 71 — Кодаиры 149 — Лефшеца 46, 86, 146 — Накано 129 — Римана —Роха 181, 183, 191, 193 — Римана — Роха—Хирцебруха 188 — Ходжа 21 — — об индексе 39 — Чжоу 197 Тип формы 23 — оператора 23, 196 Тодда многочлен 158 — род 158, 166 Тождество Бьянки 101 Тонкий пучок 62 Тор комплексный 47 — сопряженный 52 Точная последовательность 58, 174, 200, 223 Уитни сумма 113

Универсальное расслоенное пространство 138, 213, 238 n-универсальное расслоенное пространство 107, 213 Уравнения Маурера — Картана 94 Условия Римана — Фробениуса 48 Фактор-пространство расслоенное 224 Фактор-пучок 58 Флаг 221 Форма внешняя 194 — гармоническая 19, 124 — голоморфная 23, 124, 217 — дифференциальная 9, 194 — — комплекснозначная 22 — — первого рода 38 — — со значениями в векторном пространстве 209 — — — — — расслоенном пространстве 121 — импримитивная 38 — кривизны 79 — линейная 194 — Маурера — Картана 91 — полубазовая 98 — примитивная 27, 127, 217 — простая 16 — пфаффова 194 — рациональная 49 — связности 79, 96 — тензорная 99 — целочисленная 49 — эффективная 27 Функция перехода 74 — полилинейная инвариантная 103

Характеристика многообразия 116 — Эйлера — Пуанкаре 120, 158, 172 χy -характеристика виртуальная 178 Характеристический гомоморфизм 78, 106, 214 — класс 78, 112, 116 Ходжа метрика 43 — многообразие 43 — теорема 21 — — об индексе 39 Цейтена — Сегре инвариант 191 Целочисленная форма 49 Целочисленный класс когомоло-гий 49 Чжоу теорема 197 Шуберта многообразие 88 Эйлера — Пуанкаре характеристика 120, 158, 172 Эквивалентные расслоения 75 Эрмитова метрика 11, 14, 23 Эрмитово векторное расслоенное пространство 110 — многообразие 22 Эффективная форма 27 Якоби многообразие 51 d''-когомологии 65 n-универсальное расслоенное пространство 107, 213 (p,q)-проектирования оператор 22 σ-процесс 129 Τу-род 161 — — виртуальный 163, 191 χу -характеристика виртуальная 178