Магнитостатика: Методические указания к практическим занятиям по курсу

Министерство общего и профессионального образования РФ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра теоретической физики

ЗАПРЯГАЕВ С. А. МАГНИТОСТАТИКА Методические укзания к практическим занятиям по курсу "ЭЛЕКТРОДИНАМИКА" для студентов 3-го курса дневного отделения

Воронеж 1998

1

1

МАГНИТОСТАТИКА.

1.1 Система уравнений Максвелла

Магнитостатика - это раздел элетродинамики, в котором изучается частный случай электромагнитного поля, создаваемого постоянными во времени токами. Описание такого поля и передаваемого посредством этого поля силового взаимодействия токов основывается на частом случае системы уравнений Максвелла. Эта система уравнений может быть представлена как дифференциальной, так и в интегральной формах. А. Дифференциальные уранения: 4π~ ~ =B ~ − 4π M; ~ j; H div~j = 0. (1) c ~ -вектор индукции, H ~ -вектор напряженности магнитного поля, Здесь B ~ - магнитный момент единицы объема, ~j -плотность тока. M ~ = 0; div B

~ = rot H

Б. Интегральные уравнения: I S

~ · d~s) = 0; (B

4π 4π Z ~ ~ ~ (H · dl) = I= (j · d~s). L c c S

I

(2)

~ иH ~ удовлетворяют принципу суперпозиции. Векторы B ~ = В однородном изотропном магнетике B ~ где µ- магнитная проницаемость среды. µH, На границе раздела двух сред нормальные и тангенцальные составляющие поля удовлетворяют соотношениям: 4π i. (3) B2n − B1n = 0; H2t − H1t = Рис. 1: c Здесь i - плотность поверхностного тока ~i = i~k, ~k -единичный вектор. Если обозначить единичный вектор нормали к поверхности раздела ~n, а единичный вектор касательный к поверхности (по направлению тангенцальной составляющей) ~t, то так определенные векторы образуют правый базис [~n × ~t] = ~k. Пример 1.1.1. Вблизи границы раздела магнетик- вакуум ~ vac . При этом вектор магнитная индукция в вакууме равна B индукции наклонен к вектору нормали границы под углом αvac .

2

Найти магнитную индукцию внутри магнетика с проницаемостью µ. q Величина искомого вектора индукции равна B = Bn2 + Bt2 где Bn -нормальная и Bt - тангенцальная составляющие вектора индукции внутри магнетика. На границе раздела, в соответствии с (3) выполняются равенства: Bn = Bn vac = Bvac cos αvac ; Bt = µHt = µHt vac = = µBt vac = µBvac sin αvac . В результате: q

B = Bvac cos2 αvac + µ2 sin2 αvac .

(4)

Угол между направлением нормали и направлением вектора индукции можно найти из выражения: tgα = Bt /Bn = µtgαvac , или α = arctg(µtgαvac ). Пример 1.1.2. Можно ли создать в пространстве постоянный ток с объемной плотностью ~j = ~j0 exp(−αr), где ~j0 - постоянный вектор, а α - произвольная постоянная, r- модуль радиуса-вектора? В соответствии с системой уравнений (1) плотность тока должна удовлетворять условию стационарности div ~j = 0. В связи с этим вычислим, чему равна div ~j в данном примере: div ~j = ~j0 grad (e−αr ) = −αe−αr (~j0~r)/r 6= 0.

(5)

Следовательно, создать такой постоянный ток в пространстве нельзя. Пример 1.1.3. Определить распределение объемной плотности тока в пространстве, если напряженность магнитного поля тока ~ = f (~r)[~µ × ~r], где f (~r)- произвольная дифференцируемая имеет вид H функция, а ~µ -постоянный вектор. Определить, при какой функции f (~r) плотность тока удовлетворяет условию стационарности? На основании уранений (1) находим:   ~j = c rot H ~ × [~µ × ~r]] = ~ = c [grad f × [~µ × ~r]] + f [5 4π 4π   c ~ = ~µ(~r · grad f ) − ~r(~µ · grad f ) + f ~µdiv~r − f (~µ · 5)~r = 4π  c  ~µ(~r · grad f ) − ~r(~µ · grad f ) + 2f ~µ . (6) = 4π В частном случае, если f зависит только от модуля радиуса вектора, то ~r grad f = ∂f ∂r r , в результате находим:   ~j = c 2f ~µ + ∂f [~r × [~µ × ~r]] . 4π ∂r

(7)

3

Выражения (6),(7) удовлетворяют условию стационарности при любой f (~r), ~ ≡ 0. т.к div rot H Пример 1.1.4. По бесконечному линейному проводнику протекает постоянный ток I. Определить магнитное поле, создаваемое этим током в любой точке пространства. Из условий симметрии системы очевидно, что вектор индукции может быть направлен лишь по касательной к окружности, лежащей в плоскости ортогональной линии тока. Это вытекает из условия инвариантности физической системы относительно сдвига начала координат вдоль линии тока и вращения системы координат вокруг Рис. 2: оси, совпадающей с линией тока. Кроме того, ясно, что на окружности произвольного радиуса величина вектора индукции постоянна. В результате на основании (2) находим: I Z Z 4π 2I ~ ~ I. → Bϕ = . (8) (H dl) = Bϕ dl = Bϕ dl = Bϕ 2πr = L R c cr Комментарий: cоотношение (2) является в теории магнитостаического поля аналогом теоремы Гаусса в электростатике. Применение соотношения (2) целесообразно при условии, если интегральный член вычисляется на основании условий симметрии системы. Пример 1.1.5. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью зависящей только от модуля радиуса вектора цилиндрической системы координат ~j = ~j(r). Найти напряженность поля внутри и снаружи цилиндра. Представив цилиндр с током как совокупность линейных проводников, на основании принципа суперпозиции и, повторяя рассуждения, приведенные в примере 1.1.4, получим, что вектор напряженности лежит в плоскости ортогональной оси цилиндра и направлен по касательной к окружности с центром на оси цилиндра. Выберем в формуле (2) в качестве контура интегрирования окружность радиуса r, лежащую в плоскости ортогональной оси цилиндра (пусть это плоскость x,y), тогда I I Z ~ ~ (H dl) = H dl = Hϕ dl = Hϕ · 2πr. (9) L

r

r

4

Здесь Hϕ -составляющая поля в направлении положительного изменения угла цилиндрической системы координат ϕ. Так как ~j = j(r)~k и d~s = ~kds = ~krdrdϕ, ток через круг радиуса r равен: Z

~j d~s =

Z

0

j(r ) ds = =

Z r Z 2π

0

0

0

j(r )r dr dϕ = 2π

0 0  R  2π R j(r 0 )r 0 dr 0 , 0  2π R r j(r 0 )r 0 dr 0 , 0

Z r 0

0

0

0

j(r )r dr =

если r ≥ R; если r < R.

(10)

В результате находим окончательно: Hr = Hϕ = 0;

Hϕ =

  4π(R R j(r 0 )r 0 dr 0 )/rc, 0  4π(R r j(r 0 )r 0 dr 0 )/rc, 0

если r ≥ R; если r < R.

(11)

Пример 1.1.6. В пространстве между двумя коаксиальными цилиндричискими поверхностями радиусов R1 и R2 , (R1 < R2 ) течет ток плотности ~j(r) параллельно оси цилиндров ( r- модуль радиуса- вектора циллиндрической системы координат). Найти напряженность магнитного поля в Рис. 3: любой точке пространства. Условия симметрии задачи аналогичны условиям симметрии в примерах 1.1.4, 1.1.5. Следовательно, для окружности произвольного радиуса r, лежащей в плоскости x, y: I r

~ · d~l = Hϕ · 2πr. H

Соответственно для тока находим:  0, если r < R1 ;   Z  Rr 0 0 0 ~j · d~s = 2π( R1 j(r )r dr ), если R1 < r < R2 ;  R  0  2π( RR12 j(r )r0 dr0 ), если r > R1 .

(12)

(13)

На основании (2), (12), (13) получаем окончательно величины полей. При этом Hr = Hz = 0. Пример 1.1.7. Квадратная рамка со стороной a находится в одной плоскости с прямолинейным током I. На каком расстоянии от тока расположена ближайшая сторона рамки, если поток магнитного поля через поверхность рамки равен φ0 (см. задачу 198 в [1]) Вектор индукции магнитного поля в любой точке рамки равен Bϕ = 2I/cr (см. пример 1.1.4), где r- расстояние от оси тока до произвольной точки,

5

в плоскости ортогональной току. По определению поток вектора индукции определяется интегралом: φ0 =

Z

~ · d~s = B

Z l+a l

B(y) dy

Z a/2 −a/2

dz =

2Ia l + a ln . c l

(14)

Решая данное уравнение относительно l, находим:  φ0 c  −1 . (15) 2Ia Пример 1.1.8. Ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность бесконечного цилиндра (соленоид). На единицу длины соленоида приходится n витков проводника. Опыт показывает, что для бесконечно длинного соленоида поле снаружи отсутствует. Определить поле внутри Рис. 4: соленоида. Из соображений симметрии ясно, что вектор ~ индукции B направлен вдоль оси соленоида. Выберем контур интегрирования в теореме Ампера (2) в виде прямоугольника, две стороны которого параллельны оси соленоида и расположены внутри и вне соленоида соответственно. При вычислении циркуляции вектора индукции по внешней стороне контура и по линиям, ортогональным оси соленоида, получим результат, равный 0. Таким образом, не нулевой вклад в циркуляцию вектора индукции появляется лишь при интегрировании по внутренней стороне. Обозначим длину этой стороны прямоугольника через l. В результате: 



l = a/ exp

~ · d~l = B · l = 4πnl I → B = 4πn I . B (16) L c c Пример 1.1.9. Вычислить магнитное поле торроида (торроидпровод, навитый на каркас, имеющий форму тора, по которому протекает ток I).Число витков в торроиде n. Из соображений симметрии ясно, что вектор индукции отличен от нуля ~ во внутренней части тора. При этом в каждой точке пространства вектор B направлен по касательной к окружности с центром на оси тора. Поэтому для использования теоремы (2) в качестве контура интегрирования следует взять окружность с центром на оси тора, лежащую ортогонально оси. При I

6

этом если окружность расположена внутри торроида, то она охватывает ток силой nI. В результате: I I B · 2πr = 4πn , B = 2n . (17) c cr Из сравнения (17) c (8) видно, что внутри торроида магнитное поле совпадает с полем прямолинейного бесконечного тока силы nI, текущего вдоль оси. Кроме того, устремив n и радиус тора к бесконечности (при постоянном сечении тора) получим выражение, найденное в предыдущем примере для магнитного поля бесконечно длинного соленоида. Если выбранный круговой контур лежит вне торроида, то токов он не охватывает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0 и это означает, что поле вне торроида отсутствует. Комментарий: Представленное решение предполагает, что линии тока лежат строго в меридианальных плоскостях. У реальной системы это не так, что приводит к возникновению тока вокруг оси торроида. Эта составляющая тока приводит к возникновению поля, аналогичного полю кругового тока. Пример 1.1.10. Вычислить магнитное поле бесконечной проводящей плоскости, по которой течет равномерно распределенный ток в одном направлении с линейной плотностью i (линейная плотность тока - это ток, приходящийся на единицу длины). Разобъем мысленно плоскость с током на тонкие токовые нити. Рассматривая пару таких нитей, симметричных относительно некоторой ~ линии, из принципа суперпозиции видим, что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости. Учитывая симметрию системы, ~ в выберем прямоугольный контур со стороной l, параллельной B, результате получим: i ~ · ~l = 2Bl = 4πi l ; B B = 2π . (18) c c Комментарий: 1) Из решения данного примера видно, что магнитное поле с обеих сторон плоскости является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной плоскости с током, но лишь для точек вблизи плоскости и удаленных от ее границ. 2) Легкость, с которой был проведен расчет полей в примерах данного параграфа на основании формулы (2), возможна лишь I

7

благодоря наличию симметрий в системах. В общем случае возможность применения этой теоремы ограничена. Задание на дом: Решить задачи: 2.1-2.3. (стр. 23); 1.2 Векторный потенциал Био-Саввара-Лапласа.

магнитостатического

поля.

Закон

Еще один способ описания магнитостатического поля основан на ~ и закона Био-Саввара-Лаписпользовании векторного потенциала поля A ласа, который естественно вытекает из определений для векторного ~ определяется соотношением: потенциала. Вектор A ~ = rot A. ~ B

(19)

~ определен не однозначно, так как вектор индукции B ~ не меняется, Bектор A 0 ~ =A ~ + grad χ, если выполнить градиентное преобразование потенциала: A где χ - произвольная функция. Чтобы ограничить произвол в выборе векторного потенциала, обычно накладывают дополнительное условие, например: ~ = 0. div A (20) ~ с учетом (20), удовлетворяет уравнению: В магнитоизотропной среде A, 

~ × grad rot A

1 1 2 ~ 4π + 5 A = − ~j. µ µ c

(21)

В однородной среде µ = const и уравнение для векторного потенциала имеет вид уравнения Пуассона: ~ = − 4π · µ · ~j. (22) 52 A c На поверхности раздела двух сред выполняются следующие граничные условия: ~ ~ 1  ∂A 4π 1  ∂A − = ~i, (23) µ1 ∂~n 1 µ2 ∂~n 2 c ~1=A ~ 2, A (24) где ~i поверхностная плотность тока. Решение уранения (22) имеет вид: Z ~j(~r 0 ) µ 0 ~ r) = dv . A(~ 0 c | ~r − ~r |

(25)

8

~ находим: С учетом (19) на основании (25) для вектора B 0 0 Z [~j(~ ~ µ r ) × (~ r − r )] 0 ~ = rot A ~ = B dv . 0 3 c | ~r − ~r |

(26)

~ и B ~ могут быть вычислены из уравнений В случае линейного тока A 0 0 0 0 (25), (26) с заменой ~j(~r )dv ⇔ I d~l , где элемент d~l направлен по току. В частности, из (26) получаем: ~ r) = µ I B(~ c

Z

0 0 [d~l × (~r − ~r )] . | ~r − ~r 0 |3

(27)

Выражение (27) в соответствии с принципом суперпозиции эквивалентно закону Био-Саввара-Лапласа: 0 ~ µ I [d~l × R] ~ , (28) dB = c R3 ~ - расстояние от элемента тока d~l до точки, в которой определяется где R значение поля. В ряде случаев использование формул (27), (28) позволяет получить значение поля, не прибегая к понятию векторного потенциала. Пример 1.2.1. Бесконечный цилиндр радиуса R с магнитной проницаемостью µ = 1, равномерно заряженный с объемной плотностью ρ = const, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ω ~ . Найти векторный потенциал внутри и снаружи цилиндра. (См. задачу 219 в [1]) Вращение цилиндра создает в пространстве ток с объемной плотностью ~j = ρ ~v = ρ [~r × ω ~ ]. Таким образом, в цилиндрической системе координат:

jr = jz = 0;

jϕ = ρ ω r

r ≤ R,

jϕ = 0,

r > R.

(29)

Из условий симметрии ясно, что в цилиндрической системе Ar = Az = 0, а Aϕ = Aϕ (r). В цилиндрической системе координат компоненты векторного ~ имеют вид [3]: лапласиана 4A ~ |r = 4Ar − 4A

1 2 ∂Aϕ A − ; r r2 r2 ∂ϕ

~ |ϕ = 4Aϕ − 4A

~ |z = 4Az . 4A

1 2 ∂Aϕ A + ; ϕ r2 r2 ∂ϕ (30)

9

Обозначим значения векторного потенциал во внутренней и внешней областях цилиндра следущим образом: Aϕ (r) = A1 ,

r ≤ R;

Aϕ (r) = A2 ,

r > R.

(31)

В результате на основании (22) находим: 1 4π 1 A2ϕ = 0. (32) A = − ρωr; 4A − 1ϕ 2ϕ r2 c r2 Подставляя явный вид оператора 4 в цилиндрической системе координат, получаем обыкновенные дифференциальные уравнения: 4 A1ϕ −

d2 A1ϕ dA1ϕ 4π + r − A = − ρωr3 , 1ϕ 2 dr dr c 2 dA2ϕ 2 d A2ϕ r + r − A2ϕ = 0. (33) dr2 dr Уравнения (33) должны быть решены с учетом граничных условий: r2

dA1ϕ dA2ϕ |r=R = |r=R . (34) dr dr Общее решение уравнений (33) необходимо искать в виде: Aiϕ = const·rs . В результате для s имеем алгебраическое уравнение второго порядка s(s − 1) + s − 1 = 0, решение которого есть: s1 = 1, s2 = −1. Таким образом, общее решение однородных уравнений (33) имеет вид: A1ϕ (R) = A2ϕ (R);

Aiϕ = C1i r + C2i /r.

(35)

Частное решение неоднородного уравнения (33) есть: π (36) Aϕ = − ρωr3 . 2c Таким образом, с учетом (34) получаем окончательно: π A1r = A1z = 0; A1ϕ = ρωr(R2 − r2 /2). 3 π A2r = A2z = 0; A2ϕ = ρωR4 /r. (37) 2c Вычисленное значение векторного потенциала легко может быть использовано для нахождения вектора магнитной индукции, так как ~ = rot A. ~ В данном примере следует обратить внимание на то, как B определяется оператор Лапласа от компонент вектора в криволинейной системе координат (подробнее см. в [3],[5]).

10

Пример 1.2.2. Заряд Q равномерно распределен по объему шара радиуса R. Найти напряженность магнитного поля в центре шара, который вращается с угловой скоростью ω ~ . µ = const. (См. задачу 170 в [1]). Поместим начало координат в центр шара, направив ось Z вдоль вектора ω ~ . В соответствии с (26) напряженность поля в центре шара имеет вид: 0

0

1 Z [~r × ~j(r )] 0 ~ H(0) = dv . (38) c r 03 0 0 0 Объемная плотность тока ~j(~r ) = ρ~v(~r ) = ρ [~ω × ~r ], где ρ = Q/( 43 πR3 ) . В результате: 0 0 0 1 Z r 2ω ~ − ωz ~r 0 ~ H(0) = ρ dv (39) 03 c r Интегрирование в (39) подынтегральных функций, содержащих 0 произведение декартовых координат x z 0 и y 0 z 0 , являющихся нечетными функциями по своим координатам, в симметричных пределах дает 0. ~ Оставшиеся слагаемые определяют значение вектора H: 0

0

ω ~ Z x2 +y2 0 ω ~ Z Q~ω 0 0 0 0 0 ~ H(0) = ρ dv = ρ sin2 θ r dr0 sin θ dθ dϕ = . (40) 0 c r c cR Пример 1.2.3. Найти поле в любой точке пространства, создаваемое круговым линейным током силы I. Радиус кругового тока R. Плотность тока в такой системе можно представить в виде (ток в плоскости X-Y): δ(r0 − R) . (41) jϕ = Iδ(cos θ ) R Нетрудно убедиться, что формула (41) действительно соответствует круговому току силы I. Для этого проинтегрируем плотность тока по 0 0 0 0 0 сечению, ортогональному току. Если выбрать ds = r sin θ dθ dr , то после 0 замены переменных cos θ = x: 0

Z ∞ I Z1 0 0 0 I = jϕ ds = δ(x) dx δ(r − R)r dr = I. S 0 R −1 В силу симметрии системы, т.к. ~j имеет лишь ϕ-составляющую, отличную ~ имеет лишь одну составляющую, отличную от нуля от нуля, то и A Z

0

Aϕ . Однако Aϕ нельзя вычислить непосредственно, подставляя jϕ в (25), так как векторное уравнение Пуассона (22) сводится к трем независимым

11

скалярным уравнениям лишь в декартовых координатах. В криволинейных ортогональных координатах дифференциальный оператор связывает все составляющие вектора (см. [3], [5]). В цилиндрической системе координат ~ представлены формулами (30), а в сферической компоненты вектора 4A ~ приведены в упражнении 2.9 на стр 24. системе компоненты вектора 4A Составляющие плотности тока в декартовых координатах имеют вид: 0

jx = −jϕ sin ϕ ;

0

jy = −jϕ cos ϕ .

(42)

В силу цилиндрической симметрии задачи при вычислениях можно выбрать точку наблюдения лежащей в плоскости xz , (т.е. ϕ = 0). Это не уменьшит общности решения. При этом x-составляющая векторного потенциала равна нулю и остается лишь y-составляющая. В результате: I Z 1 0 0 0 0 0 0 2 0 Aϕ (r, θ) = 0 δ(cos θ )δ(r − R) sin θ dθ dϕ r dr . cR | ~r − ~r |

(43)

0

По определению модуль разности векторов | ~r − ~r | равен: q

q

r2 − 2(~r · r0 ) + r0 2 = r2 − 2rr0 (cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos ϕ0 ) + r0 2 . (44) 0

0

Подставляя (44) в (43), после интегрирования по dθ и dr находим: IR Z 2π Aϕ (r, θ) = c 0

0

0

cos ϕ dϕ q . R2 − 2rR sin θ cos ϕ0

(45)

Данный интеграл выражается через полные эллиптические интегралы K(x) и E(x) [6]: dα √ ; K(x) = 0 1 − x2 sin2 α Окончательно получим: Z π/2

E(x) =

Z π/2 q 0

1 − x2 sin2 α dα.

 4IR (2 − k 2 )K(k) − 2E(k)  , Aϕ (r, θ) = √ 2 k2 c R + r2 + 2rR sin θ где аргумент эллиптических интегралов определяется выражением:

4rR sin θ . R2 + r2 + 2rR sin θ Составляющие вектора магнитной индукции определяются из: k2 =

Br =

1 ∂ (sin θAϕ ); r sin θ ∂θ

Bθ = −

1 ∂ (rAϕ ); r ∂r

Bϕ = 0.

(46)

(47)

(48)

(49)

12

Решение этой же задачи можно найти, используя разложения модуля разности векторов по сферическим функциям: Aϕ =

4πI cR

0 rl Yl,m (θ, ϕ) Z 0 2 0 0 0 0 0 0 < ∗ r dr dΩ δ(cos θ )δ(r − R)eiϕ l+1 Yl,m (θ , ϕ ), (50) r> l,m 2l + 1

X

здесь r> , r< большая, меньшая из двух переменных r, R. Наличие 0 множителя exp(iϕ ) в подынтегральном выражении в (50) означает, что отличны от нуля лишь слагаемые с m = 1. Выполняя интегрирования в (50), находим: Aϕ =

8π 2 IR Re c

l 1 r< 0 0 ∗ π l+1 Yl,1 (θ, ϕ)Yl,1 ( , ϕ )exp(iϕ ). 2 l=1 2l + 1 r> ∞ X

(51)

0

∗ π Используя явный вид сферической функции Yl,1 ( 2 , ϕ ) [3], получаем: 0 0 ∗ π Yl,1 ( , ϕ ) exp(iϕ ) = 2

v u u t

2l + 1 Pl1 (0). 4πl(l + 1)

(52)

Здесь Pl1 - присоединенный полином Лежандра [6]. В результате: Aϕ = −

∞ (−1)n (2n − 1)!! r 2n+1 πIR X 1 · < 2n+2 · P2n+1 (cos θ), n c n=0 2 (n + 1)! r>

(53)

где (2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 · ...(2n − 3) · (2n − 1). Выражение (53) существенно проще для вычислений значения поля, чем результат, представленый формулой (47). Задание на дом: Решить задачи 2.4 - 2.8 на стр. 23. 1.3 Поле системы замкнутых токов на больших расстояниях. Магнитный момент системы токов.

На больших расстояниях от области, где протекают замкнутые токи, векторный потенциал и индукция магнитного поля принимают вид: ~ ≈ [~µ × ~r] , B ~ = rot A ~ ≈ 3(~µ · ~n) · ~n − ~µ , (54) A r3 r3 где ~n = ~r/r,~r - радиус вектор точки наблюдения в системе координат, в которой определена система токов ~j, а ~µ - магнитный момент системы замкнутых токов: ~µ =

1 Z I I ~ [~r × ~j] dv ⇔ [dl × ~r]. 2c 2c

(55)

13

Для замкнутых линейных токов магнитный момент равен: I ~S ~ Z , S = d~s. (56) c Интеграл в (56) вычисляется по произвольной поверхности, границей которой является линейный ток I. Если ток лежит в плоскости, то направление ~S связано с наравлением тока I правилом "правого винта". Пример 1.3.1. Установить связь магнитного момента с механическим для заряженной частицы массы m, заряда q, движущейся по замкнутой траектории. Механический момент ~l или момент импульса определяется в классической механике как вектор следущего вида: ~l = [~r × ~p], где ~r - радиус-вектор, а ~p -импульс частицы. Подставим в (55) величину плотности тока точечной заряженной частицы ~j(~r) = ρ~v = ~v(~r)qδ(~r − ~rq ). Здесь ~v -скорость движения частицы, ~rq - радиус-вектор положения заряда в пространстве. В результате: ~µ =

1 Z q q ~ [~r × ~vqδ(~r − ~rq )] dv = [~rq × ~p] = l. (57) 2c 2mc 2mc Данное соотношение выполняется и для системы N частиц с одинаковыми зарядами и массами: ~µ =

~ = M

q ~ L; 2mc

~ = M

N X

N X

~ = ~µ; L

i=1

~l.

i=1

Пример 1.3.2. Доказать, что для замкнутых токов определение магнитного момента системы токов не зависит от выбора начала координат. Определения магнитного момента системы замкнутых токов в системах 0 координат S и S следущие: 1 Z 0 ~ 0 1 Z ~ [~r × j] dv; ~µ = [~r × j] dv . ~µ = 2c 2c 0 Пусть ~r = ~r + ~a , с учетом (58) получим: Z 1 Z 1 1 Z ~ ~ ~µ = [~r − ~a × j] dv = [~r × j] dv + [~a × ~j dv]. 2c 2c 2c Последнее слагаемое в (59) обращается в ноль в силу Z

~j dv =

I

I d~l = I

I

d~l = 0.

(58)

(59)

14 0

Таким образом, ~µ = ~µ и определение магнитного момента не зависит от выбора начала отсчета системы координат. Пример 1.3.3. В сферических координатах компоненты вектора объемной плотности тока в одном из возбужденных состояний атома водорода равны: e¯ h

2r ) sin θ cos2 ϕ, (60) 3a где a -боровский радиус, h ¯ -постоянная Планка, m и e - масса и заряд электрона,r-расстояние до протона. Вычислить магнитный момент тока. По определению (55) магнитный момент тока равен: j r = jθ = 0 jϕ =

38 πma7

r3 exp(−

~ar  j  r rr 

~µ =

1 1 [~r × ~j] dv = 2c 2c Z

Z

~aθ jθ rθ

~aϕ  jϕ  dv, rϕ 

(61)

где ~ar , ~aθ , ~aϕ - единичные векторы сферической системы координат, jr , jθ , jϕ -компоненты плотности тока в сферической системе координат, rr , rθ , rϕ -компоненты радиус-вектора в сферической системе координат. Таким образом, получаем: 1 Z ~aθ rjϕ dv. ~µ = − (62) 2c Интегрирование в (62) удобно выполнить в сферической системе координат, в которой dv = r2 dr sin θ dθ dϕ. При этом следует иметь в виду, что базис сферической системы координат меняется от точки к точке, и для ~aθ имеем: ~aθ = ~i cos θ cos ϕ + ~j cos θ sin ϕ − ~k sin θ,

(63)

где ~i, j, k -базис декартовой системы координат. При интегрировании (62) по углу ϕ вклад слагаемых при единичных векторах ~i, j равен нулю, так как интегрируется периодическая функция на полном периоде. В результате: Z ∞ Z π Z 2π 2r h ~ e¯ h 6 2 2 ~k = e¯ ~µ = r exp(− ) dr sin θ cos θ dθ dϕ k. (64) 0 0 2c38 πma7 0 3a 2mc Пример 1.3.4. Согласно классической модели электрон представляет собой однородно заряженный шар радиуса r0 = e2 /mc2 . Рассматривая магнитный спиновый момент как результат вращения электрона вокруг своей оси симметрии, определить с какой угловой скоростью должен вращаться электрон, чтобы его

15

магнитный момент был бы равен экспериментально измеряемой величине µ = e¯ h/2mc. Какова при этом будет линейная скорость точек электрона, лежащих на его диаметре? Вычислим магнитный момент шара, заряженного с постоянной объемной плотностью, который вращается с угловой скоростью ω. Из-за вращения шара произвольная точка ~r шара движется с линейной скоростью v = r sin θ · ω. Таким образом, возникает перенос заряда с плотностью тока jϕ = ρωr sin θ. Рассуждения, аналогичные тем, что были выполнены в примере 1.3.3 для магнитного момента шара дают: 1 Z ~µ = ( rjϕ sin θ dv) · ~k. 2c Таким образом, Z 2π ρω Z r0 4 Z π 1 ωer02 2 µ= r dr sin θ sin θ dθ dϕ = . (65) 0 0 2c 0 5 c По условию задачи, вычисленный в последнем выражении магнитный момент должен быть равен экспериментальному значению:

1 ωer02 e¯ h . (66) = 5 c 2mc Отсюда можно найти величину угловой скорости, с которой должен вращаться электрон, чтобы возникший из-за вращения ток привел к экспериментально измеренному значению магнитного момента электрона: 5¯ h 5 mc2 −2 ω= = ·α , 2mr02 2 h ¯

(67)

где α = e2 /¯ hc ≈ 1/137 -постоянная тонкой структуры. Подставляя численные значения фундаментальных констант, находим ω ≈ 1025 сек−1 . Так как классический радиус электрона r0 = e2 /mc2 ≈ 10−13 см, линейная скорость движения точек электрона, лежащих на его диаметре, будет иметь порядок величины v = ωr ≈ 1012 см/сек, что больше скорости света. Таким образом, данная модель не может рассматриваться в качестве адекватной при рассмотрении спинового магнитного момента Пример 1.3.5. Линейный ток I протекает по проводнику в форме половины окружности и замкнутой на три стороны прямоугольника длины которых равны, R,2R и R. Сторона 2R параллельна диаметру основания полуокружности. Определить поле на больших расстояниях от тока.

16

На основании (54) индукция магнитного поля определяется магнитным моментом тока. Для плоского тока, в соответствии с (56), вектор магнитного момента равен ~µ = IS · ~n/c, где S-площадь фигуры, ограниченной рассматриваемым током, ~n-нормаль к плоскости, направленная в сторону так, чтобы выполнялось условие - при наблюдении против направления нормали ток направлен против часовой стрелки (это известно в классической электродинамике как правило "буравчика"). В данном примере : πR2 2 2 S = 2R + πR /2 = [1 + 4/π]. (68) 2 Следовательно: 0 0 ~ ~ 3(~ µ · n ) · n − ~µ ~ = B , (69) 3 r 0 где ~n - единичный вектор в направлении на точку наблюдения из выбранного начала координат. Задание на дом: Решить задачи 2.9 на стр. 24, 2.13 - 2.17 на стр. 24. 1.4

Энергия и силы в магнитном поле. Энергия тока во внешнем поле.

Полная энергия магнитного поля определяется выражением: ε=

1 Z ~ ~ (B · H) dv. 8π

(70)

~ индукция, а H~ напряженность магнитного поля. Интегрирование Здесь Bв (70) осуществляется по всему пространству, где есть поле. В частном случае объемного тока, текущего в ограниченной области пространства, энергия магнитного поля системы может быть представлена в виде: 1 Z ~ ~ (j · A) dv. ε= 2c

(71)

~ -векторный потенциал поля, создавемого током ~j. Здесь A Для системы проводников: ε=

X k

где Wkk =

Wkk +

X

Wkn ,

(72)

k Fe и провода отталкиваются, если же R > Rc , то Fm > Fe и провода притягиваются. Задание на дом: Решить задачу 2.18 на стр. 25. 2

УПРАЖНЕНИЯ к гл.1.

2.1. Определить распределение объемной плотности тока в пространстве, ~ = (~µ · ~r)[~µ × ~r]. (см. задачу 140а [1]). если напряженность поля равна: H 2.2. Доказать, что для ограниченного замкнутого тока с плотностью ~j R выполняется равенство ~j dv = 0, где интегрирование проводится по всему объему с током, а функция ~j непрерывна внутри данного объема (см. задачу 144 [1]). 2.3. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R паралельно ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью ~i0 . Найти напряженность магнитного поля в любой точке пространства (см. задачу 144 [1]). 2.4. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью, зависящей только от модуля радиуса вектора цилиндрической системы координат r, ~j = ~j0 · r3 (~j0 - постоянный вектор). Найти напряженность магнитного поля в любой точке пространства. 2.5. В цилиндре радиуса R1 протекает однородный постоянный ток с плотностью ~j1 = const. В цилиндрическом слое, охватывающем цилиндр R1 с внешним радиусом R2 , протекает постоянный ток ~j2 = const в противоположном направлении. При каком соотношении между токами поле вне проводника равно нулю? 2.6. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью ~j = const. Вычислить поток вектора напряженности магнитного поля поля через квадратную рамку со стороной a > R, если одна из сторон рамки совпадает с осью цилиндра. 2.7. Ток I течет по длинному прямому проводнику в форме полуцилиндрической поверхности радиуса R. Найти магнитную индукцию на оси данной поверхности (решение см. в [2], стр 148 ). 2.8. Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой паралельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние ~l. По проводу течет постоянный ток плотности ~j. Найти магнитную индукцию внутри

24

полости (решение см. в [2], стр 148 ). 2.9. Шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью ρ, вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью ω ~. Найти векторный потенциал в любой точке пространства (решение см. в [1], задача 221). ~ в сферической При решении потребуется вид векторного лапласиана 4A системе координат (см. в [3]). ~ |r = 4Ar − 4A

2 2 ∂Aθ 2 cos θ 2 ∂Aϕ , A − − A − r θ r2 r2 ∂θ r2 sin θ r2 sin θ ∂ϕ

1 2 ∂Ar 2 cos θ ∂Aϕ A + − , θ 2 r2 ∂θ r2 sin θ ∂ϕ r2 sin θ 1 2 ∂Ar 2 cos θ ∂Aθ ~ |ϕ = 4Aϕ − A + 4A + . ϕ 2 r2 sin θ ∂ϕ r2 sin θ r2 sin2 θ ∂ϕ 2.10. В сферических координатах компоненты вектора плотности тока в одном из возбужденных состояний атома водорода равны: ~ |θ = 4Aθ − 4A

j r = jθ ,

jϕ =

1 e¯ h 3 2r r exp(− ) sin3 θ, 8 7 2 · 3 πma 3a

где a = h ¯ 2 /me2 -Боровский радиус, h ¯ -постоянная Планка, m- масса электрона, e - его заряд. Найти индукцию магнитного поля в начале координат 2.11. Решить задачи, рассмотренные в упражнениях 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 2.9, 2.10, методом, основанным на использовании закона Био-Саввара-Лапласа. 2.12. Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода равна ρ = πae 3 exp(− 2r a ), где a -Боровский радиус (см. упражнение 2.10), r-расстояние от протона, e-заряд электрона. Если поместить атом во ~ = const, то электронное облако внешнее однородное поле с индукцией B придет во вращение (теорема Лармора), которое создаст в пространстве eρ ~ Определить, на какую величину объемную плотность тока ~j = 2mc [~r × B]. изменится вектор индукции поля в центре атома? (см. задачу 173 в [1]). 2.13. Шар радиуса R, заряжен равномерно с постоянной плотностью ρ до величины заряда Q. Одна половина шара вращается с постоянной угловой скоростью ω1 , а другая с угловой скоростью ω2 в противоположном направлении. Найти магнитное поле в центре шара.

25

2.14. По тонкому кольцу радиуса R течет ток I. Определить вектор индукции магнитного поля на оси кольца. (См. задачу 189 в [1]). ~ и вектор индукции магнитного поля 2.15. Найти векторный потенциал A на больших расстояниях от шара радиуса R, заряженного с постоянной объемной плотностью ρ, вращающегося с угловой скоростью ω ~. 2.16. Ток течет по тонкой токовой трубке в форме окружности радиуса R . Определить индукцию магнитного поля на больших расстояниях от тока. Сравнить ответ с результатом, полученным в упражнении 2.3. 2.17. Два цилиндра высоты H и радиуса R заряжены с постоянной объемной плотностью ρ и вращаются вокруг осей симметрии с угловыми скоростями ω ~1 и ω ~ 2 . Оси цилиндров находятся в одной плоскости и расположены под углом α друг к другу. Найти поле, создаваемое такой системой на больших расстояниях. 2.18. Определить энергию магнитного поля создаваемую током, протекающим по проводнику радиуса R с плотностью тока ~j = ~j(r).

26

Список литературы [1] Алексеев А.И. Сборник задач по классической электродинамике. -М.:,Наука,1977. -318с. [2] Иродов И.Е. Основные законы электродинамики. -М.:, Высш. шк., 1983, -279с. [3] Арфкен Г. Математические методы в физике. -М.:, Физматгиз, 1970. -712 с. [4] Джексон Дж. Классическая электродинамика. -М.:, Мир, 1965. -804с. [5] Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. -М.:, Изд-во Иностр. лит., 1958. -1054с. [6] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М., Наука, 1971. -1108 с. [7] Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. -М.: Наука, 1970. -503 с. Содержание 1 МАГНИТОСТАТИКА. 1.1 Система уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Векторный потенциал магнитостатического поля. Закон Био-Саввара-Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Поле системы замкнутых токов на больших расстояниях. Магнитный момент системы токов. . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Энергия и силы в магнитном поле. Энергия тока во внешнем поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

УПРАЖНЕНИЯ к гл.1. Автор: Запрягаев Сергей Александрович Технический редактор: Бунина Тамара Дмитриевна

1 1 7 12 16 23