М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У...
14 downloads
187 Views
178KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
Т Е О РИ Я СЛУ ЧА Й Н Ы Х ПРО Ц Е ССО В Пособ ие для студентов п о сп ец и ал ь н ост и 010100- М ат ем ат и ка
В оронеж 2004
2
У тверждено науч но-м етодич еск им советом м атем атич еск ого ф ак уль тета(3 сентяб ря 2004 г., проток ол№ 1 )
Составители: М ихайловаИ .В . Барк оваЛ.Н .
Пособ ие подготовлено на к аф едре уравнений в ч астны х производны х и теории вероятностей м атем атич еск ого ф ак уль тета В оронежск ого государственного университета. Рек ом ендуется для студентов 4 к урса дневного и 5 к урса веч ернего отделений м атем атич еск ого ф ак уль тета.
3
§ 1. С луча й ны е п р оце ссы : оп р е де ле ния, п р им е р ы , основ ны е х а р а кте р истики С лучай н ая ф ун к ц и я аргум ента t ∈ T, определённая на : однопарам етрич еск ое сем ейство случ айны х велич ин {ξ t (ω ), ω ∈ Ω}t∈T , определённы х на одном и том же вероятностном п ространстве . Т – м ножество возм ожны х знач ений парам етраt. С лучай н ы й проц есс, определённы й на или, всё равно, ч то, наб лю даем ы й в опы те G ~ : Т – подм ножество действитель ны х ч исел; вэтом случ ае парам етрt м ожно интерпретировать к ак врем я. Е сли T={t0} – одноточ еч ное м ножество, то ξ t - случ ай ная велич ина, 0
наб лю даем ая в опы те G; если T = {t1, ..., tn} и n = 2, 3, ... , то {ξ t }t =1 n
случ айны й век тор, наб лю даем ы й вопы те G; если T=N={1, 2, ...}, то {ξ t }t =1 - случ айная последователь ность , наб лю даем ая вопы те G. Зам етим , ч то случ айны й п роцесс {ξ t (ω ), ω ∈ Ω}t∈T есть ф унк ция двух перем енны х t ∈ T, ω ∈ Ω . Е сли t ∈ T – ф ик сировано, то ξ t (⋅) - случ ай ная велич ина, определённая на< Ω , A, P >, назы ваем ая зн ачен и ем (сечен и ем ) случай н ого проц есса в м ом ент врем ени t ∈ T. Е сли же ω ∈ Ω ф ик сировано, то ξ • (ω ) = x (⋅) - ч исловая ф унк ция аргум ента t ∈ T, к оторая назы вается т раек т ори ей (вы борочн ой ф ун к ц и ей , реали зац и ей ) случ айного процесса. С ем ей ст во к он ечн ом ерн ы х распределен и й случ айного процесса ∞
n {ξt }t∈T : P = {Ptr {B} = P{ω : ξtr (ω ) ∈ B}, B ∈ ?(R )}tr∈T
. С ем ей т сво к он ечн ом ерн ы х ф ун к ц и й распределен и я случ айного
{
r
{
( )
r r
}
n
,n∈N
}
процесса {ξ t }t∈T : F = Ftr ( x ) = P ω : ξ tr ω < x , x ∈ R tr∈T n ,n∈N Зам етим , ч то м ногие сущ ественны е свой ства случ айного п роцесса определяю тся свойствам и сем ейства к онеч ном ерны х распределений. В ч астности, исходя из этих свойств, б удут в даль нейш ем определены основны е к лассы случ айны х процессов. О ч евидно, ч то сем ейства P и сим м етрии и согласованности:
F
n
должны удовлетворять условиям
r r a) У словие сим м етрии для F: Ftr ( x ) = Fπtr (πx ) для лю б ого n ∈ N , r r n лю б ого t = (t1 , t 2 ,K t n ) ∈ T и лю б ой перестановк и πt = (t k1 , t k2 ,Kt kn ) r к оординатвек тора t = (t1 ,Kt n ) ;
b) У словие согласованности для F:
4
r lim Ftr ( x ) = Ft1 ,K,tn −1 ( x1 ,K, x n −1 )
xn →∞
для
лю б ы х
n∈ N
,
r t = (t1 , t 2 ,K, t n ) ∈ T n
У п р аж н ен и е. Сф орм улируйте условия a), b) для сем ействаP. М ат ем ат и ческ ое ож и дан и е случай н ого проц есса {ξ t }t∈T : п усть знач ения случ ай ного процесса суть интегрируем ы е случ ай ны е велич ины , т.е. ξ t ∈ L1 (Ω, A, P) для лю б ого t ∈ T , тогда м ожно определить на T ф унк цию m(t) = M(ξt), t ∈ T . Ковари ац и он н ая ф ун к ц и я случай н ого проц есса: п усть знач ения случ айного процесса интегрируем ы с к вадратом , т.е. ξ t ∈ L2 (Ω, A, P ) для лю б ого t ∈ T, тогдана T × T м ожно ввести ук азанную ф унк цию B(s,t) = cov(ξs, ξt) = M((ξs – m(s))( ξt – m(t))), ( s , t ) ∈ T × T . Свойст ва ковар и ац и он н ой фун кц и и : 1. B(s, t) = B(t, s), ( s , t ) ∈ T × T ; 2. B(s, s) = D(ξs), s ∈ T; 3. B(s,t) = M(ξsξt) – m(s)m(t), ( s , t ) ∈ T × T ; B ( s , t ) ≤ B ( s , s ) B (t , t ) , ( s , t ) ∈ T × T . 4. 5. К овариационная ф унк ция является неотрицатель но определённой ф унк цией на T × T . {ξt }t∈T и {ηt }t∈T - случ айны е процессы , определённы е на 6. < Ω , A, P > и η t = ξ t + y (t ), t ∈ T , где y: T → R1, тогда Bξ ( s, t ) = Bη ( s, t ) для s,t ∈ T.
П р им е р ы случа й ны х п р оце ссов : 1) П рост ой проц есс восст ан овлен и я
V1) {ξ n }n=1 - последователь ность независим ы х неотрицатель ны х одинак ово распределённы х случ ай ны х велич ин; ∞
∞
n ∞ = S V2) n ∑ ξ k , где {ξ k }k =1 из V1 и S0 = 0; k =1 n=1 ∞
V3) {ν t = max{n : S n < t}}t ≥0 , где {S n }n=1 из V1 и {ν t = ∞} = I {S n < t} . ∞
n =0
М одели V1,V2,V3 ч асто исполь зую тся для описания раб оты различ ны х ф изич еск их устройств, содержащ их см еняем ы е идентич ны е элем енты : ξj – врем я « жизни» j-го элем ента, к оторы й в м ом ент вы хода из строя м гновенно зам еняется следую щ им или рем онтируется и т.д. В так ой
5
интерп ретации V1 – последователь ность врем ён жизни идентич ны х элем ентов; V2 – последователь ность м ом ентов зам ен или « восстановлений »; V3 – ч исло восстановлений впром ежутк е [0;t). Ф изич еск ие приложения и аналогии п одск азы ваю тдругую наглядную схем у: в м ом енты врем ени n = 1,2, ... ч астица перем ещ ается вдоль ч исловой прям ой на велич ину ξ 1, ξ 2, ... (здесь ξ j уже произволь ны е независим ы е одинак ово распределённы е случ ай ны е велич ины ), тогда
{Sn }∞n=0
принято назы вать случай н ы м блуж дан и ем , а Sn – к оордината в м ом ентn ч астицы , соверш аю щ ей случ айное б луждание. 2) Га р м ониче ские коле ба ния {ξ t = A cos(ηt + ϕ )}t∈R , где A(ам плитуда) – неотрицатель ная случ айная велич ина, η(к руговая ч астота) – неотрицатель ная случ айная велич ина, φ(нач аль ная ф аза) – равном ерно расп ределённая на [0, 2π] случ айная велич ина. φ и (A,η), к ак п равило, сч итаю тнезависим ы м и. Д алее предлагаю тся задач и (для первой приведено реш ение), в к оторы х необ ходим о: 1. О п исать м ножество траек торий ; 2. Н ай ти сем ейство одном ерны х, двум ерны х и т.д. ф унк ций распределния; 3. Н ай ти м атем атич еск ое ожидание, дисперсию и к овариационную ф унк цию заданного случ айного процесса. 1
За да чи. 1. Процесс V1, V2, V3 в предположении, ч то ξ n ~ Π (λ ), λ > 0 . Ре ш е ние . О тветим навопросы 1-3 для п роцессаV2. 1. {{xn }∞n =1 : 0 ≤ xn ≤ xn +1 , n ∈ N } - м ножество ч исловы х неуб ы ваю щ их последователь ностей снеотрицатель ны и элем ентам и; 2.
F1 = {F ( x) = P{S
< x}, x ∈ R`}n=1 : ∞
n
n λ Fn ( x) = P{S n < x} = P ∑ ξ k < x = ∫ (λu ) n−1 e −λu Ι ( 0, +∞ ) (u )du = ( n − 1 )! k =1 −∞ x
λx (λx) n −1 Ι ( 0, +∞ ) ( x), = 1 − e −λx 1 + +K+ 1 ! ( n − 1 )!
x ∈ R1 .
6
0, n = 0, 3. m( n) = MS n = n ∑ Mξ k = nλ , n ∈ N ; k =1 n
D (n) = DS n = ∑ Dξ k = nλ , n ∈ N 0 ; k =1
M ( S n − nλ )( S m − mλ ), m ≠ n, B ( n, m) = M ( S n − nλ )( S m − mλ ) = = DS n , m = n M ( S n − nλ )( S n − nλ + ξ n+1 + K + ξ m − ( m − n)λ ), n < m, = nλ , n = m, = M ( S − mλ + ξ + K + ξ − ( n − m)λ )( S − mλ ), n > m m m +1 n m M ( S n − nλ ) 2 − M ( S n − nλ ) M (ξ n+1 + K + ξ m − ( m − n)λ ), n < m, DS n , n < m, = nλ , n = m, = nλ , n = m, M ( S − mλ ) 2 + M (ξ + K + ξ − (n − m)λ ) M ( S − mλ ), n > m DS , n > m, m m +1 n m m
т.е B(n,m) = λmin(n,m), m,n ∈ N0. 2. Пусть G – случ айны й опы т, к оторы й м ожет зак онч ится одним из двух возм ожны х исходов ω=1 или ω=2. Сч итая исходы равновероятны м и рассм отреть случ айны й п роцесс {ξ t (ω ) = ω ⋅ t , ω ∈ Ω = {1,2}}t∈[0,1] , наб лю даем ы й вданном опы те G. 3. Случ айны й опы т G – вы б ор наудач у точ к и из отрезк а [0,1] (геом етрич еск ая схем а). Рассм отреть случ айны й процесс ξ t (ω ) = Ι {ω:ω >t } (ω ), ω ∈ Ω = [0,1] t∈[ 0,1] , наб лю даем ы й вданном опы те G.
{
}
4. Пусть η – случ айная велич ина, ф унк ция распределния к оторой F(x), x ∈ R. Рассм отреть случ айны й процесс{ξ t = η + t}t∈R , сч итая ч то Dη сущ ествует. 5. Пусть η, ζ – независим ы е N(0,1/2) случ ай ны е велич ины .
1 t
. t∈R+
Рассм отреть случ айны й процесс ξ t = (η + ζ )
6. Пусть η, ζ – случ айны е велич ины , к оторы е им ею т вторы е м ом енты , п рич ем η – им еет сим м етрич ное относитель но нуля распределение и P{η=0} = 0. Рассм отреть случ айны й п роцесс {ξ t = ζ + t (η + t )}t ≥0 . Н айти так же вероятность того, ч то реализации случ айного процессавозрастаю т. 7. Пусть ξ – случ ай ная велич ина, им ею щ ая стандартное норм аль ное распределение. Рассм отреть случ айны й процесс a) {ξ t = ξt + b}t ≥0 и b∈ R;
7
b) {ξ t = (ξσ + m)t + b}t ≥0 ,σ > 0, m, b ∈ R . 8. Пусть A, η и φ – случ айны е велич ины , φ не зависитотA и η и им еет равном ерное распределение на [0, 2π]. Рассм отреть случ айны й процесс {ξ t = A cos(ηt + ϕ )}t∈R , где P{A ≥ 0} = P{η ≥ 0} = 1 . 9. Д ок азать , ч то заданная ф унк ция м ожет б ы ть к овариационной ф унк цией нек оторого случ айного процесса. a) B ( s , t ) = min( s, t ) , s, t ≥ 0 ; 1− | s − t |, b) B( s, t ) = 0, | s − t |≥ 1, s, t ∈ R; c) B( s, t ) = min( s, t ) − st , s,t∈ [0,1]; d) B( s, t ) = e −|s −t| , s,t∈ R; n
e)
B ( s, t ) = ∑ c k ϕ k ( s )ϕ k (t ) k =1
,
где
ϕ1 (t ),K, ϕ n (t ), t ∈ R
-
произволь ны е вещ ественны е ф унк ции, c1, ..., cn – неотрицатель ны е ч исла. § 2. Вы бор очное п р остр а нств о случа й ного п р оце сса . Т е ор е м а Колм огор ов а М ы уже знаем , ч то случ айны й процесс {ξ t (ω ),ω ∈ Ω}t∈T на < Ω , A, P > м ожет б ы ть определён к ак ф унк ция двух перем енны х t∈T и ω ∈Ω , прич ём ξ t при к аждом ф ик сированном t ∈ T является случ айной велич иной на. С другой стороны , случ ай ны й процесс {ξ t (ω ),ω ∈ Ω}t∈T оп ределяет отоб ражение м ножества исходов Ω в м ножество RT = {x: T→ R} всех вещ ественны х ф унк ций, оп ределённы х на T, т.е. м ножество вы б ороч ны х ф унк ций случ айного процессаесть подм ножество RT. Т ак ое отоб ражение Ω {ξ}→ RT индуцирует естественны м об разом нек оторое распределение вероятностей наRT. Часто при реш ении прак тич еск их задач нам известно сем ейство к онеч ном ерны х распределений случ айного процесса. В связи с этим возник ает серь ёзны й вопрос: в к ак ой степени распределение вероятностей наRT, индуцированное процессом , определяется сем ейством к онеч ном ерны х расп ределений этого процесса? Более того, если на м ножестве знач ений парам етра T задано нек оторое сем ейство к онеч ном ерны х распределений, то при к ак их условиях сущ ествует случ айны й процесс, им ею щ ий сем ей ство к онеч ном ерны х распределений, совпадаю щ ее сданны м ? О тветнаэти вопросы содержится в знам енитой теорем е К олм огорова. t t ∈T
8
Т еорем а Колм огорова. Ч аст ь1. Сем ей ство к онеч ном ерны х распределений (ф унк ций распределения) случ ай ного процессаоднознач но определяет распределение вероятностей на σ-алгеб ре B (RT) б орелевск их м ножестввRT. Зам ечан и е. B(RT) – наим ень ш ая σ - алгеб ра, содержащ ая цилиндрич еск ие м ножества в RT, где ц и л и н др и ческое м н ож ест во A c основанием B1xB2x...xBn, соответствую щ ее м ом ентам врем ени t1, ..., tn, определяется к ак Atr ( B1 × K × Bn ) = {x ∈ R T : x(t1 ) ∈ B1 ,K , x(t n ) ∈ Bn } , для n ∈ N, r t = (t1 ,K , t n ) ∈ T n , B1, ..., Bn ∈
B (R1).
Ч аст ь2. Произволь ное сем ейство к онеч ном ерны х распределений {Ptr ( B), B ∈ B ( R n )}n∈N ,tr∈T является сем ейством к онеч ном ерны х расn
пределений нек оторого случ айного процесса тогда и толь к о тогда, к огда данное сем ейство удовлетворяет условиям сим м етри и согласованности (см . §1). < R T , ( R Т ), P{ξt }t∈T > В ероятностное п ространство , где P{ξt }t∈T ( B) = P{ω : ξ t (ω ) ∈ B} , для B ∈ B(RT) принято назы вать вы борочн ы м
вероят н ост н ы м прост ран ст вом случ айного процесса {ξ t }t∈T , P{ξ t }t∈T распределен и ем вероят н ост ей этого процесса, а случ айны й процесс η t ( x ) = x, x ∈ R T t∈T - н епосредст вен н о задан н ы м случ айны м процессом . За да чи. 1. Я вляю тся ли следую щ ие подм ножестваRT б орелевск им и? ∞ a) T = N , A = ( xn ) n=1 : sup xn ≤ a , a ∈ R; n ∞ b) T = N , B = {( xn ) n=1 : lim xn = a}, a ∈ R;
{
}
c) T = N , C = { ( x )
∞ n n =1
n→∞
: п р едел п оследоват ел ь н ост и сущест вует и кон ечен };
R d) T = R+ , D = x ∈ R + : sup xt ≤ a, a ∈ R; t ≥0 R x(t ) = a}, a ∈ R. e) T = R, E = {x ∈ R : lim t →t 0
2. О пределяется ли однознач но к онеч ном ерны м и распределениям и случ айного процесса вероятность того, ч то траек тория данного процесса непреры внапри t=t0 ∈ T? Поч ем у? 3. Пусть F1, F2, ... последователь ность ф унк ций распределения. Пок азать , ч то сущ ествует последователь ность независим ы х случ ай ны х велич ин ξ 1, ξ 2, ... так их, ч то Fn ( x) = P{ξ n < x}, x ∈ R , для всех n = 1, 2, ... . 4. Рассм отрим два ч исла μ ∈ R, σ>0. Пок азать ч то сущ ествет последователь ность независим ы х случ айны х велич ин ξ 1, ξ 2, ... так их, ч то, Mξ n = µ , Dξ n = σ 2 для всех n = 1, 2, ....
9
5. Пусть T - нек оторое ч исловое м ножество, m(t), t ∈ T – произволь ная вещ ественнознач ная ф унк ция на T и B(s,t) – положитель но орпеделённая ф унк ция на TxT. Д ок азать ч то сущ ествует случ айны й процесс так ой, ч то m(t), t ∈ T – м атем атич еск ое ожидание этого процесса, а B(s,t), (s,t) ∈ TxT – его к овариационная ф унк ция. § 3. Га уссов ские случа й ны е п р оце ссы . Вине р ов ский п р оце сс Гауссовск и й случай н ы й проц есс – случ айны й процесс {ξ t }t∈T , к онеч ном ерны е распределения к оторого норм аль ны е (гауссовск ие), т.е. r для лю б ого n∈ N и лю б ы х t = (t1 ,K , t n ) ∈ T n случ ай ны й век тор (ξ t1 , K , ξ t n ) ~ N(m(t1), ... m(tn)), Σ tr ), где m(tj) = Mξ t , j = 1, n ; Σ tr = j
(cov( (ξ tk , ξ t j ) = B(t k , t j ) ) nk , j =1 . Т ак им об разом , ч астны е (к онеч ном ерны е) распределения гауссовск ого случ айного процесса определяю тся двум я ф унк циям и: среднее знач ение m(t) = Mξ t и к овариациионная ф унк ция B(s,t) = cov( (ξ s , ξ t ) , s,t ∈ R. Ви н еровск и й случай н ы й проц есс, вы ходящ ий из 0 – случ айны й процесс{wt }t ≥0 и 1. w0 = 0 п.н.; 2. гауссовск ий случ айны й процесс; 3. м атем атич еск ое ожидание m(t ) ≡ 0, t ≥ 0; к овариоционная ф унк ция B(s,t) = min(s,t), s,t ≥ 0. Э тот процесс является м атем атич еск ой м одель ю хорош о известного ф изич еск ого процесса « б роуновск ое движение», к оторое соверш ает взвеш енная в жидк ости ч астица под воздействием хаотич еск их столк новений см олек улам и жидк ости. За да чи. 1. Пусть {ξ t }t∈R - гауссовск ий случ ай ны й процесс, м атем атич еск ое ожидание к оторого к онстанта m(t ) ≡ m , а к овариационная ф унк ция B (t + τ , t ) = r (τ ) , для всех τ , t ∈ R , т.е. стационарны й в ш ирок ом см ы сле случ айны й процесс. Н айти к овариационную ф унк цию случ айного
{
}
процесса ηt = ξ t t∈R , сч итая a) m = 0; b) m- - произволь ное действитель ное ч исло. 2. Н айти к овариационную ф унк цию случ ай ного процесса {ηt = signξt }t∈R , где {ξt }t∈R из задач и 1. 2
10
3. Д ок азать , ч то винеровск ий случ айны й процесс, вы ходящ иий из нуля, удовлятворяетследую щ им условиям : 1) w0 = 0 п.н.; 2) случ ай ны й процесс с независим ы м и приращ ениям и, т.е. wt − wt ,K, wt − wt , независим ы е случ айны е велич ины для лю б ы х 0 0 ) и винеровск ий процесс а) п.н. непреры вны м и; b) стохастич еск и непреры вны м и; с) непреры вны м и всреднем к вадратич еск ом ? 3. Будет ли диф ф еренцируем в среднем к вадратич еск ом на T случ айны й процесс a) ξ t = {e −2t (sin t + ϕ )}t ≥0 , где ϕ ~ R[0,2π ] ;
12
b) {ξ t =| sin t | sin(2t + ϕ )}t ≥0 , где ϕ ~ R[0,2π ] ? Будутли диф ф еренцируем ы п.н. процессы a) и b)?
13
СО Д Е РЖ А Н И Е §1. Случ айны е процессы : определения, прим еры , основны е харак теристик и.
3
§2. В ы б ороч ное пространство случ айного процесса. Т еорем а К олм огорова.
7
§3. Гауссовск ие случ айны е процессы . В инеровск ий процесс. §4. Э лем енты случ айного анализа.
9 10
14
ЛИ Т Е РА Т У РА . 1. В ентцель А .Д . К урстеории случ ай ны х процессов/ А .Д . В ентцель . – М .:Н аук а, 1996. – 398с. 2. В олк ов И .К . Случ айны е п роцессы / И .К . В олк ов, С.М . Зуев, Т .М . Ц ветк ова. – М . : М ГТ У , 2000. – 447с.
15
Составители: М ихайлова И рина В италь евна Барк оваЛарисаН ик олаевна Редак тор
Т ихом ироваО .А .