関数解析入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松 醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近年 に お け る科 学 技 術 の 発展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の基 盤 に は,数 学 の 知 識 の 応用 もさ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が大 き い.理 工 学 は じめ 医学 ・農学 ・経 済学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え 方 の素 養 が 必要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に 接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 きを望 め な い で あ ろ う.   編 者 ら は,こ の よ う な事 実 を考 慮 し,数 学 の各 分 野 に お け る基 本 的 知 識 を確 実 に伝 え る こ とを 目的 と して 本 シ リー ズ の刊 行 を企 画 した の で あ る   上 の 主 旨 に した が っ て本 シ リー ズで は,重 要 な基 礎 概 念 を と くに 詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の考 え方 を平 易 に理 解 で き る よ う解 説 し て あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直 結 して,数 学 の基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に 容 易 に は い れ る よ う書 か れ て あ る.   これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る人 た ちや 技 術 関係 の 人 々 の 参 考 書 と し て,ま た 学 生 の入 門 書 と して,ひ

ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る.

  この シ リー ズ は,読 者 を 数 学 と い う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の観 覚 に 資 す る と と も に,つ

ぎの 段 階 に す す む た め の 力 を養 う に役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

は

じ め

に

  本 書 は 関 数 解 析 学 へ の 入 門 書 で あ る.関 数 解 析 学 は そ れ 自身 興 味 あ る研 究 対 象 で あ る と 同 時 に,解 析 学 に お い て 極 め て 広 い 応 用 を 有 す る もの で あ る.本 書 は 関 数 解 析 が 如 何 な る も の で あ るか を 理 解 し て い た だ く こ とを 主 眼 と し,そ

の

基 本 的 事 項 を 丁 寧 に解 説 し た あ と,一 つ の モ デ ル と し て 偏 微 分 方 程 式 へ の 分 り 易 い 応 用 を 採 り上 げ た.応 用 に 触 れ た 分 だ け,難 こ と に な っ た が,入

解 と思 わ れ る も の を 割 愛 す る

門 書 と して 何 よ り も読 み 易 くし た い とい う著 者 の 念 願 が,

か え っ て 実 現 し 易 くな っ た よ うに 思 う.   関 数 解 析 と は,一 言 で い え ば無 限 次 元 の 線 形 代 数 で あ る.無 限 次 元 の 線 形 空 間 と線 形 作 用 素 の 問 題,こ

れ の 場 は 主 と し て バ ナ ッ ハ 空 間 で あ って,そ

の位 相

的 性 質,特

に ベ ー ル の 定 理 が そ の 中 心 に あ る.本 書 で は これ ら の こ とを 一 通 り

解 説 し,さ

らに バ ナ ッハ 空 間 の 拡 張 で あ る局 所 凸 空 間 に も 触 れ た.無

2次 曲 面 の 主 軸 問 題,こ

限次 元 の

れ の 場 は ヒル ベ ル ト空 間 で あ っ て,自 己 共 役 作 用 素 の

ス ペ ク トル 分 解 定 理 と し て 関 数 解 析 の 最 も輝 か し い 成 果 の 一 つ で あ る.本 書 で は そ の 典 型 的 な 場 合 で あ る 自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素 に つ い て の み 述 べ た.   こ の よ うな 基 礎 理 論 の 応 用 と し て,最 よ る解 法,ラ し た.そ

後 の章 で ラプ ラス方程 式 の直交 射 影 に

プ ラ ス 逆 作 用 素 の 固 有 関 数 展 開,そ

れ らの 物 理 的 意 味 な どを 解 説

こで 扱 っ た 方 程 式 は 解 析 学 に お い て 極 め て 重 要 な 意 味 を もち,か

つ関

数 解 析 に お け る極 め て よい モ デ ル で あ る とい え る.こ れ に よ っ て 関 数 解 析 と古 典 解 析 の つ な が りの 一 端 を 理 解 し て 頂 け れ ば 幸 い で あ る.   な お,本

書 で は ル ベ ー グ積 分 の 知識 を 一 切 仮 定 し て い な い.こ れ は ル ベ ー グ

積 分 に 不 慣 れ な 読 者 に も早 くに 関 数 解 析 に 親 し め る よ うに 意 図 した か らで あ る が,一

つ に は ソボ レ フ 空 間Hl(Ω)の

で あ る とす れ ば,空

間Lp(Ω)を

取 り扱 い が 完 備 化 の 方 法 に よ る の が 自然

完 備 化 に よ っ て 導 入 す る の が,む

しろ関数 解

析 の 手 法 を 紹 介 す る上 で 意 味 が あ る と考え た か らで あ る.と は いえ,関

数解 析

を 深 く理 解 す る に は ル ベ ー グ積 分 は 不 可 欠 の も の で あ る と著 者 は 考 え る.   第1章

は 関 数 解 析 の た め の 準 備 の 章 で あ り,位 相 に つ い て の 初 歩 的 な 知 識 は

読 者 に 期 待 して い る が,基 本 的 な 事 項 は 一 応 記 述 した.第2∼8章

は 関数 解析 の

標 準 的 な 基 礎 理 論 で あ る.第9,10章

は 応 用 の 部 分 で あ る.第1,9,10章,そ

の

他 小 活 字 の 部 分 が 多 い の は 読 者 へ の 指 針 とな る で あ ろ う.   本 書 の 執 筆 に 際 し て は,幾 度 か 書 き 改 め た り して 長 年 月 を 費 や し て し ま っ た が,著

者 の 未 熟 さ ゆ え に 未 だ 意 に 満 た ぬ も の が あ り,読 者 諸 賢 の 御 叱 正 を 乞 う

次 第 で あ る.   最 後 に 本 書 の 執 筆 を お 勧 め 下 さ った 小 松 醇 郎 先 生,藤

田 宏 先 生,な

らびに本

書 の刊行 に当 って多大 のお世 話 に な った朝 倉書 店編 集部 の方 々に深 甚 の 謝意 を 表 す る. 1984年2月 著

者

目 1.  序

論  

次 1

  1.1  位 相 空 間  

1

  1.2  距 離 空 間

  5

  1.3  線 形 空 間

  9

2. 

バ ナ ッ ハ 空 間 

16

  2.1  バ ナ ッハ 空 間  

16

  2.2  バ ナ ッハ 空 間 の 例(数 列 空 間) 

19

  2.3  バ ナ ッハ 空 間 の 例(関 数 空 間) 

24

  2.4  可

 

29

バ ナ ッハ空 間 の線 形 作 用 素  

33

3. 

分

性

  3.1  有 界 線 形 作 用 素 

33

  3.2  一様 有 界 性 の 定 理  

40

  3.3  閉 作 用 素  

43

  3.4  開 写 像 定 理 ・閉 グ ラ フ定 理

 48

4.  局 所 凸 線 形 位 相 空 間  

55

  4.1  線 形 位 相 空 間  

55

  4.2  局 所 凸 位 相 と半 ノル ム 

61

  4.3  フ レ ッシ ェ空 間  

66

  4.4  有 界 集 合 と線 形 作 用 素  

70

5.  共 役 空 間Ⅰ  

74

  5.1  ハ ーン ・バ ナッ ハ の 定 理  

74

  5.2  双

80

対

性

 

  5.3  回 帰 性 と弱 コ ンパ ク ト性  

87

6.  共 役 空 間Ⅱ  

96

  6.1  有 限 次 元 空 間  

96

  6.2  共 役 空 間 と可 分 性 

98

  6.3  一 様 凸 性  

100

  6.4  商

 

102

  6.5  共 役 空 間 の 例  

108

  6.6  線 形 汎 関 数 と超 平 面  

113

7. 

116

空

間

ヒ ル ベ ル ト空 間  

  7.1  内 積 空 間 ・ヒ ル ベ ル ト空 間  

116

  7.2  完 備 正 規 直 交 系  

121

  7.3  直 和 分 解 定 理 ・ リー ス の 表 現 定 理  

129

8.  固 有 値 と 固 有 ベ ク トル  

135

  8.1  ス ペ ク トル と レ ゾル ベン ト 

135

  8.2  双 対 作 用 素  

136

  8.3  完 全 連 続 作 用 素  

142

  8.4  共 役 作 用 素  

149

  8.5  自己 共 役 完 全 連 続 作 用 素  

152

9. 

160

ソボ レ フ空 間  

  9.1  種 々 の 関 数 空 間  

160

  9.2  ソボ レ フ空 間Hl(Ω) 

165

  9.3  ソボ レ フ 空 間H10(Ω) 

169

  9.4  完 備 正 規 直 交 系 と有 界 集 合  

171

10.楕

176

円型 偏 微 分 方 程 式 へ の応 用 

  10.1  物 理 学 的 説 明 

176

  10.2  直 交 射 影 の 方 法  

180

  10.3  弱 解 の微 分 可 能 性  

188

演 習 問 題 の略 解  

192

参

考

書  

211

記

号

表  

212

引  

215

索

1.  序

論

  有 限次 元線形 空 間の場 合 には,そ の位 相的 構造 は一意 に定 ま るが,関 数 解析 学 に現れ る関 数空 間 はす べ て無限 次元空 間 であ っ て,こ の場合 は線形 空間 としての構造 だ けで な く,位 相的構 造が 大 きな意 味を もつ ので,位 相 空間 と線形 空間 との両 面 か らの考 察が必 要 とな る.

  1.1 

位

相

空

間

  位 相 空 間 に つ い て は 初 歩 的 な 事 項 は 一 応 既 知 とす るが,読

者 の便 宜 の た め に,そ

の定

義 と基 本 的 な 事 項 を 証 明 な し に 述 べ る(不 慣 れ な 読 者 は 本 章 末 の 演 習 問 題 の 略 解 参 照). こ こで は近 傍 系 か ら 出 発 して 位 相 を 導 入 す る こ とに し よ う.   集 合Xの  (1.1) 

各 元xにXの

部 分 集 合 の 族V(x)が

対 応 して,次

の4条

件:

に対 して

す べ て の 

な らば

 (1.2) 

な らば

 (1.3) 

に 対 して 

 (1.4)  任 意 の 

を 満 た す と き,V(x)をxの {V(x)}x∈XはXの

が 存 在 し て,す べ て の 

近 傍 系 とい い,各V∈V(x)をxの

位 相 を 決 定 す る とい い,Xを

につ いて

近 傍 とい う.さ

らに,

位 相 空 間 とい う.

  位 相 空 間 の 元 を 点 と い う.こ の よ うに 集 合 の 元 を 点 と呼 ぶ の が 慣 例 とな って い る場 合 が あ る が,本

書 で は,こ

  近 傍 系V(x)の

の こ とを い ち い ち 断 らず に 用 い る.

部 分 族V*(x)がxの

基 本 近 傍 系 で あ る と は,任

満 た すW∈V*(x)が

存 在す る

意 のV∈V(x)に

対 して   (1.5)  W⊂Vを と き に い う.   基 本 近 傍 系{V*(x)}x∈Xは

次 の3条

件 を 満 足 す る:

 (1.6) 

す べ て の 

に 対 して

 (1.7) 

任 意 の 

に対 して 

 (1.8) 

任 意 の 

す べ て の    逆 に 集 合Xに

に対 して 

Xに

を満 たす 

対 し て条 件(1.6)∼(1.8)を

満 た すXの

対 して(1.5)が

す る と,{V(x)}x∈Xは

お い て{V*(x)}x∈Xを

が 存 在 す る,

が存在 して次の条 件 を満 足す る:

に 対 し て 

が 与 え られ た と き,各x∈Xに をV(x)と

を満 たす 

が 存 在 す る. 部 分 集 合 族 の 集 り{V*(x)}x∈X

成 立 す る よ うなXの

部 分 集 合Vの

近 傍 系 とな るべ き 条 件(1.1)∼(1.4)を

基 本 近 傍 系 とす る位 相 が 定 ま る.

全体

満 た す か ら,

  位 相 空 間Xの

部 分 集 合Oが

  (1.9)  す べ て のx∈Oに

対 してO∈V(x)

を 満 た す と き,OをXの

開 集 合 と い う.Xの

開 集 合 の 全 体 を 開 集 合 系 とい い,Oで

表

す.   V∈V(x)で

あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は

  (1.10)  x∈O⊂Vを

満 た すO∈Oが

存 在す る

こ と で あ る(演 習 問 題1の1).   開 集 合 系Oは

次 の3条

件 を 満 足 す る:

∈O 

(φ は 空 集 合),

 (1.11) 

X,φ

 (1.12) 

O1,O2∈Oな

 (1.13) 

Oλ ∈O(λ

ら ばO1∩O2∈O, ∈ Λ)な

らば

  逆 に 条 件(1.11)∼(1.13)を に 対 し(1.10)を 条 件(1.9)は

満 た すXの

満 た す よ うなXの

部 分 集 合Vの

同値 で あ り, 

  位 相 空 間Xの

全 体 をV(x)と

す る と,条 件O∈Oと 満 た す.

に 開 集 合 系 は 位 相 を 定 め る.そ

れ ゆ え,Xの

開

位 相 とい う こ とが あ る.

開 集 合Oの

集 合 系 とい い,Fで

与 え られ た と き,各x∈X

は 条 件(1.1)∼(1.4)を

  この よ うに 位 相 は 開 集 合 系 を 定 め,逆 集 合 系 そ の も の をXの

部 分 集 合 の族Oが

補 集 合F=OCをXの

表 す.Fは

次 の3条

閉 集 合 と い う.Xの

閉 集 合 の全 体 を 閉

件 を 満 足 す る:

 (1.14)

な らば

 (1.15) 

な らば

 (1.16) 

  Aを 位 相 空 間Xの

部 分 集 合 とす る.Xの

点xがAの

内 点 で あ る とは,A∈V(x)の

と き に い う.こ れ を 基 本 近 傍 系 の 言 葉 で い い か え れ ば,点xがAの V⊂Aと

な る 

点 と い う.Aの とは,任

が 存 在 す る こ とを 意 味 す る.Aの 内 点 で も外 点 で もな い 点 をAの

意 の 

がxと

異 な るAの

内 点 で あ る と は,

補 集 合ACの

内 点 をAの

境 界 点 とい う.点xがAの

点 を 含 む と きい う.こ

外

集積 点 であ る

こ でVはV*(x)の

元 に 限 って も よい こ とは 明 らか で あ ろ う.   集 合Aが

開 集 合 で あ る た め に は,Aの

す べ て の 点 がAの

あ る.Aが

閉 集 合 で あ るた め に は,Aの

集 積 点 が す べ てAに

内点 で あ る こ とが 必 要 十 分 で 属 す る こ とが 必 要 十 分 で あ

る.   集 合Aの

内 点 全 体 の 集 合 をAの

集 合 に 等 し い.Aと,Aの 点xがAに

意 のV∈V(x)に

含 む 最 小 の 閉 集 合 に 等 し い.Aの

表 す.∂AはA∩(A)Cに

  位 相 空 間Xの

表 す.AはAに

集 積 点 全 体 の 集 合 と の 和 集 合 をAの

属 す るた め の 必 要 十 分 条 件 は,任

こ とで あ る.AはAを い い,∂Aで

開 核 とい い,Aで

部 分 集 合Aに

等 しい.ま 対 し てA=Xが

た 

含 まれ る最 大 の 開

閉 包 と い い,Aで 対 し 

境 界 点 全 体 の 集 合 をAの

表 す. とな る 境界と

で あ る.

成 立 す る と き,AはXに

おい て稠密 で あ

る とい う.AがXに V∈V(x)に

お い て 稠 密 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任

対 し て 

在 す る と き,Xは

が 成 立 す る こ と で あ る.Xに

意 のx∈Xと

任意 の

お い て稠 密 な 可 算 集 合 が 存

可 分 で あ る とい う.

  Yを 位 相 空 間Xの

部 分 集 合 とす る.x∈Yに

お く と, 

対 し て 

は 近 傍 系 の 条 件(1.1)∼(1.4)を

定 ま る位 相 空 間YをXの

部 分 位 相 空 間,ま

に導 入 さ れ た 相 対 位 相 とい う.こ

と

満 た す. 

に よって

た は 部 分 空 間 とい い,こ

の 相 対 位 相 に 関 す る 開 集 合 系,閉

の 位 相 をXか

らY

集合 系はそ れぞ れ

 に 等 しい.   X,Yを2つ TをXか

の 集 合 とす る.Xの らYへ

各 元xにYの

元Txが

一 意 に 対 応 し て い る と き,対 応

の 写 像 とい い,

T:X→Y と か く.Xの

部 分 集 合Aに

対 し て,集

で 表 す.Yの

部 分 集 合Bに

対 し て,集

T−1(B)で

表 す.T(X)=Yの

 (1.17) 

  X,Yを2つ 系,開

と き,TはXか

らYの

集 合 系,閉

点xで

  (1.18)  任 意 のV∈VY(Tx)に

逆 像 と い い,

上 へ の 写 像 と い う.ま

た

対 し てTx=yと

なる

定 ま る.

れ らの 近 傍 系 を そ れ ぞ れVX,VYで

集 合 系 に つ い て もX,Yを

  写 像T:X→YがXの

よ るBの

の と き,y∈T(X)に

逆 写 像T−1:T(X)→Xが

の 位 相 空 間 と し,そ

像 と い い,T(A)

な ら ば

あ る と い う.こ

対 応 させ るTの

よ るAの

合{x￨Tx∈B}をTに

x1,x2∈X, 

の と き,写 像Tは1対1で x∈Xを

合{Tx￨x∈A}をTに

表 す.基

本近傍

区 別 す るた め に 同 様 の表 し方 を す る.

連 続 で あ る と は,次

の条 件 が 成 立 す る と き に い う:

対 し て 

で あ る.

  これ は 基 本 近 傍 系 の言 葉 で 述 べ た 次 の 条 件 と 同 値 で あ る:   (1.19)  任 意 の   

Xの

各 点xで

に 対 し てT(W)⊂Vと

連 続 な 写 像T:X→YはXで

 写 像T:X→Yに

が 存 在 す る.

連 続 で あ る と い う.

つ い て 次 の3条 件 は 同値 で あ る(演 習 問 題1の2):

 (1.20) 

TはXで

 (1.21) 

任 意 の 

に 対 して 

で あ る,

 (1.22) 

任 意 の 

に対 し て 

で あ る.

  TがXか

な る 

連 続 で あ る,

らYの

で あ る と き,Tを

上 へ の1対1の

連 続 な写 像 で あ り,そ の 逆 写 像T−1:Y→Xも

同 相 写 像 とい う.ま た 同 相 写 像T:X→Yが

存 在 す る と き,XとY

は 同 相 で あ る と い う.   近 傍,開

集 合,閉

  位 相 空 間Xは   (1.23)  Xの

集 合 の概 念 は 同 相 写 像 に よ っ て不 変 で あ る.

次 の分 離 公 理: 任 意 の相 異 な る2点x,yに

対 しV∩W=φ

が存 在す る を 満 た す と き,ハ

ウ ス ドル フ(Hausdorff)空

間 と呼 ば れ る.

と な るV∈V(x),W∈V(y)

連続

  ハ ウ ス ドル フ 空 間 に お い て は1点   集 合Xに2つ V2と

の位相

す る.各x∈Xに

か ら な る 集 合 は 閉 集 合 で あ る.

τ1,τ2が 与 え られ た と し,τ1,τ2に つ い てV1(x)⊃V2(x)の

τ1よ り弱 い と い い,記

関 す る 近 傍 系 を そ れ ぞ れV1,

と き,τ1は

τ2よ り 強 い,ま

た は τ2は

号 τ1〓 τ2ま

た は

τ2〓 τ1

で表 す.τ1〓τ2か つτ1〓τ2の と き τ1=τ2,す な わ ち τ1と τ2は同 一 の 位 相 を 意 味 す る.   位 相 空 間Xの

部 分 集 合 の 族 

は, 

を 満 た す と き,Xの

有 限 個 の 集 合 か らな る被 覆 を 有 限 被 覆 と い い,Xの また 

は,そ

被 覆 と い う.

開 集 合 か らな る 被 覆 を 開 被 覆 と い う.

の任 意 有 限 個 のAλ1,Aλ2,…,Aλnに 対 し て 

と な る と き,有

限 交 叉 性 を もつ とい う.   位 相 空 間Xは,次   (1.24)

の 同 値 な2条

件 の1つ

Xの 任 意 の 開 被 覆 

  (1.25)  Xの

閉 集 合 の族 

  位 相 空 間Xの

部 分 集 合Aは,Xの

を 満 足 す る と き,コ

はXの

ンパ ク トで あ る と い う:

有 限 被 覆 を 含 む,

が 有 限 交 叉 性 を もつ な らば, 

が 成 立 す る.

部 分 空 間 と して コ ンパ ク トで あ る と き,Xの

パ ク ト集 合 とい う.ま た 閉 包AがXの

コ ンパ ク ト集 合 で あ る と き,AをXの

コン

相対 コン

パ ク ト集 合 と い う.   コ ン パ ク ト性 に 関 す る い くつ か の 基 本 的 な 性 質 を あ げ て お く.こ れ ら は 本 論 の 中 で 用 い られ る もの で あ る.   (1.26) 

Xを

位 相 空 間 と し,A⊂Y⊂Xと

ら ば,AはXの   (1.27) 

コ ン パ ク トな 位 相 空 間Xの

  (1.28) 

ハ ウ ス ドル フ 空 間Xの

  (1.29) 

X,Yを

集 合Xに2つ

連 続 写 像 とす る と,Xの

対 しT(A)はYの

点 列{xn}n=1,2,…

て,自

存 在 し て,

がXの

点xに

n≧n0な

収 束 す る と は,任

意 のV∈V(x)に

対 し

ら ばxn∈V

極 限 とい う.Xが

の極 限 は た だ1つ

の とき ハ ウ ス ドル フ空 間 の と きは,点

で あ る.

  上 述 の コ ン パ ク ト性 の 他 に 次 の よ うな 概 念 が あ る.   位 相 空 間Xが

τ2に 関 し て も コ

の とき

点 列{xn}の

が 収 束 す れ ば,そ

τ2に 関 し て ハ ウ ス ド

τ1に 関 し て コ ン パ ク トな ら ば ,Xは

ま た は  と か き,点xを

つXは

.

τ2は 一 致 す る(演 習 問 題1の4).

  位 相 空 間Xの

  (1.31) 

任 意 の コンパ

コ ン パ ク ト集 合 で あ る(演 習 問 題1の3)

の 位 相 τ1,τ2が与 え ら れ,τ1〓τ2か

ン パ ク トで,τ1と

と な る こ と を い う.こ

コ ン パ ク ト集 合 な

コ ン パ ク ト集 合 は 閉 集 合 で あ る.

ル フ 空 間 と す る.Xが

然 数n0が

部 分 空 間Yの

閉 集 合 は コ ン パ ク ト集 合 で あ る.

位 相 空 間 と し,T:X→Yを

ク ト集 合Aに   (1.30) 

す る.Aが

コ ン パ ク ト集 合 で あ る.

点 列 コ ン パ ク トで あ る と は

列{xn}

  (1.32)  Xの

任 意 の 点 列{xn}がXの

と き に い う.ま

たXの

AをXの

点 に 収 束 す る部 分 列{xnj}を

部 分 集 合AがXの

含む

部 分 空 間 と し て 点 列 コ ン パ ク トで あ る と き,

点 列 コ ンパ ク ト集 合 とい う.

  一 般 の 位 相 空 間 に お い て は,コ

  1.2 

距

離

空

ン パ ク ト性 と点 列 コ ン パ ク ト性 と は 独 立 な 概 念 で あ る.

間

  距 離 空 間 は 位 相 空 間 の 最 も分 り易 い 場 合 で あ り,完 備 な場 合 に は ベ ー ル(Baire)の 定 理 (定 理1.2)の

成 立 す る こ とが,関

  集 合Xの

任 意 の2点x,yに

 (1.33) 

d(x,y)≧0,

 (1.34) 

d(x,y)=d(y,x),

 (1.35) 

数 解 析 学 に お い て 本 質 的 な 役 割 を 果 す.

実数d(x,y)が

対 応 し て 次 の3条 件:

d(x,y)=0とx=yは

同 値,

d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z) 

(3角

を 満 足 す る と き,d(x,y)をxとyの

不 等 式)

間 の 距 離 と い い,距

離 の 与 え られ た 集 合Xを

距離

空 間 と い う.   注 意   (1.33)の

うち の 条 件d(x,y)≧0は,実

は 他 の 条 件 か ら得 られ る.実

際,

0=d(x,x)≦d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y).

距 離 空 間Xの

各 点xと

任 意 の ε>0に

対 し て,集

合

V(x,ε)={y∈X￨d(x,y)0},ま

空 間Xの

は 基 本 近 傍 系 とな る べ き

高 々 可 算 個 の 集 合 か ら な る 基 本 近 傍 系{V*(x)}x∈Xを

の よ うに 位 相 も つ と き,X

算 公 理 を 満 た す と い う.

  距 離 空 間Xは 実 際,x,yをXの

位 相 空 間 で あ る こ と が 分 っ た が,さ 相 異 な る2点

ら にXは

と す る と き,d=d(x,y)と

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る.

お け ば,

V(x,d/3)∩V(y,d/3)=φ と な る か ら で あ る.   距 離 空 間Xに

は 開 集 合,閉

集 合,収

束 な ど の 位 相 的 な 諸 概 念 が 導 入 さ れ る.V(x,ε)は

開 集 合 で あ り,こ れ を 点xの

ε−開 近 傍,ま

V(x,ε)は

れ を 点xの

閉 集 合 で あ り,こ

閉 球 と い う.

た はxを

中 心 と し εを 半 径 と す る 開 球 と い う.

ε−閉 近 傍,ま

た はxを

中 心 と し εを 半 径 と す る

  Xの

点 列{xn}がXの

に 対 して 自然数n0が

点xに

n≧n0な

と な る こ と,す

離 の 言 葉 で い い か え れ ば,任

らばd(xn,x)0

定 まって

  (1.36) 

Xは

収 束 す る とは,距

点 列{xn}が

存在 す る

属 す るた め の必 要 十 分 条 件 は 点 列{xn}が

存 在す る

こ とで あ る.   ま た,X,Yが

距 離 空 間 の と き,写 像T:X→Yが

点x∈Xで

連 続 で あ る と い う条 件

(1.18),(1.19)は   (1.39)  Xの

点 列{xn}が

 

な らば

 

で あ る,

と 同 値 で あ る(演 習 問 題1の5).   さ らに,距 離 空 間 に お い て は,コ 32)は

ン パ ク ト性(1.24),(1.25)と

同 値 な 概 念 で あ る(演 習 問 題1の6).

  距 離 空 間Xの 然 数n0が

点 列{xn}が

コ ー シ ー(Cauchy)列

で あ る とは,任

意 の ε>0に 対 し て 自

定 ま って

  (1.40) 

m,n≧n0な

らばd(xm,xn)0に 対 しn0が 定 ま っ て(1.36)が

際, 

成 立 す る か ら,m,n≧n0な

とす る らば

d(xm,xn)≦d(xm,x)+d(x,xn)0を 与 え る.xの

代 表{xn}は xn0,…}を

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,n0が 含 む 類xn0∈X1に

存 在 し てn≧n0な

ら ばd(xn,xn0)0に

存 在 し てm,n≧n0な

ら ばd(xm,xn)0に

は 距 離 空 間 と し て の 位 相 的 な 諸 概 念 が 導 入 さ れ る.Eの

対 して

と お く と,{B(x,ε)￨ε>0},{B(x,ε)￨ε>0},{B(x,1/n)￨n=1,2,…}な い ず れ も 点xの   Eの

点

基 本 近 傍 系 で あ る.

点 列{xn}がx∈Eに

て 自然 数n0が

ど は,

定 まって

収 束 す る, 

と は,任

意 の ε>0に

対 し

と な る こ と,す な わ ち 

を 意 味 す る.Eの

ー 列 で あ る とは ,任 意 の ε>0に 対 し て 自然 数n0が

点 列{xn}が

コー シ

定 ま って

な らば と な る こ と,す な わ ち    Eの 部 分 集 合Aが

を 意 味 す る.

ノル ム に 関 し て 有 界 で あ る と き,す

なわ ち 定 数 α>0が

存

在 して  (2.5)

が 成 立 す る とき,Aは   補 題2.1 

単 に 有 界 で あ る と い う.

ノ ル ム空 間Eに

お いて

な らば

 (2.6)   (2.7) 

な らば

 (2.8) 

な らば

 証明 それぞれ

よ り得 ら れ る.こ   補 題2.2 

こ で 収 束 列{αn}の 有 界 性 を 用 い た. 

ノ ル ム 空 間Eの

  証 明   {xn}は

コ ー シ ー 列{xn}は

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,自

(証 終)

有 界 で あ る.

然 数n0が

定 ま って

な らば ゆ え にn≧n0な

らば

そ こ で,  2,…)が

と お け ば,  成 立 す る. 

  定 義2.2  あ る と き,Eを

ノル ム空 間Eが

(証 終)

距 離d(x,y)=‖x−y‖

に関 して完備 な距離 空 間 で

バ ナ ッハ 空 間 と い う.

  Φ が 実 数 体 あ る い は 複 素 数 体 で あ る に 従 い,Eを

そ れ ぞ れ 実 バ ナ ッハ 空 間,

複 素 バ ナ ッハ 空 間 と い う.   前 章 で 距 離 空 間 の 完 備 化 に つ い て 述 べ た.そ

こで ノル ム 空 間 は 完 備 化 す る と

ど う な る か.当   定 理2.3 

然,バ

ナ ッ ハ 空 間 に な る が,こ

ノ ル ム 空 間Eの

の こ と は 自 明 で は な い.

距 離d(x,y)=‖x−y‖

に よ る 完 備 化Eは

バナ ッ

ハ 空 間 で あ る.   証 明   定 理1.1の

証 明 に お い て 用 い た 概 念,記

で 示 し た よ うに,Eに

の と き{xn}∼{yn}と し,こ

お け る2つ

の コ ー シ ー 列{xn},{yn}に

定 義 し,同

す る.x,y∈Eに

こ

ついて

値 関 係 ∼ に よ っ てEの

れ ら 同 値 類 の 全 体 をEと

{yn}を

号 を そ の ま ま 援 用 す る.そ

コー シー列 全 体 を類 別

対 し,そ

れ ぞ れ の 代 表{xn},

選んで

に よ っ て 定 義 さ れ る 距 離dに

関 し てEは

完備 で あ

り,こ

のEがEの

完備 化

で あ る.   そ こ で 証 明 す べ き こ と は2つ こ の た めEに ∈Eに

一 はEが

線 形 空 間 を な す こ と で あ る.

お い て 加 法 と ス カ ラ ー 乗 法 を 次 の よ う に 定 義 す る.任

対 し,そ

列 を な す.な

あ る.第

の 代 表 を そ れ ぞ れ{xn},{yn}と

意 のx,y

す る と,{xn+yn}は

コーシ ー

ぜ な ら ば,

ま た,

よ り,{xn+yn}∼{xn'+yn'}が yの

得 ら れ る.従

っ て,{xn+yn}を

代 表 の 選 び 方 に よ らず 一 意 に 定 ま る か ら,加

類 と し て 定 義 さ れ る.同 {αxn}を

様 に,α

∈ Φ とx∈Eに

含 む 類 と し て 定 義 さ れ る.算

な す こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る.こ な る コ ー シ ー 列{0,0,…}を

法x+yと

の と き,Eの

含 む 類0の

  証 明 す べ き こ と の 第 二 は 任 意 のx,y∈Eに

含 む 類 はxと

法x+yが{xn+yn}を 対 し,ス

カ ラー 乗 法

αxに 関 し,Eが 元0と

含む

はEの

αxが

線 形空 間 を 元0の

みか ら

こ と で あ る. 対 し

 (2.9) ‖x−y‖=d(x,y)

を 満 た す よ うな ノ ル ム‖ ‖がEに ∈Eに

対 し,そ の 代 表{xn}を

導 入 さ れ る こ と で あ るが,こ

選 んで

の た め に はx

と お く と,‖ ‖ っ てEは

が ノ ル ム で あ り,か

つ(2.9)を

満 た す こ と が 容 易 に 分 る.よ

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る. 

  ノ ル ム 空 間Eが

(証 終)

距 離d(x,y)=‖x−y‖

d(x,y)=‖x−y‖

に 関 し て 完 備 で あ る と か,Eの

に よ る 完 備 化 な ど と い う代 りに,単

完 備 で あ る と か,ノ

ル ム‖ ‖

バ ナ ッ ハ 空 間 の 例(数

  例1 

RNとCN.§1.3の

列 空 間)

例1でRNとCNはN次

こ でRNの

に関 して

に よ る 完 備 化 な ど と も い う.

  2.2 

を 述 べ た.そ

に ノ ル ム‖ ‖

距離

元 の線 形 空 間 であ るこ と

任 意 の 元x=(ξ1,ξ2,…,ξN)に

対 し

 (2.10)

と 定 義 す る と,‖x‖

は ノ ル ム の3条

り,x=(ξ1,ξ2,…,ξN), 

は,両

辺 を2乗

件 を 満 た す:は

y=(η1,η2,…,ηN)に

す る と,シ

じ め の2条

対 す る3角

ュ バ ル ツ(Schwarz)の

件 は 自明 で あ

不等式

不等 式

 (2.11)

に 帰 着 さ れ る こ と か ら 分 る.よ は 完 備,す

っ て,RNは

実 ノ ル ム 空 間 で あ る.さ

ら にRN

な わ ち 実 バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る こ と を 示 そ う.

 {xn}をRNの

とす る. 

コ ー シ ー 列 と し, 

につ い て

で あ る か ら, 

は 実 数 の コー シ ー 列 で あ る.実 が 存 在 す る. 

あ

り,

す な わ ち,  RNに

ノ ル ム(2.10),あ

に対す る距離

と な り, 

は 完 備 で あ る.

る い はRNの2点 

数 の 完 備 性 よ り  と お く と, 

で 

が 与 え られ て い る と き,RNをN次   CNに

元 ユ ー ク リ ッ ド(Euclid)空

つ い て も 同 様 で,CNの

元x=(ξ1,ξ2,…,ξN)に

間 と い う.

対す る ノル ム

 (2.12)

に 関 し,CNは

複 素 バ ナ ッ ハ 空 間 で あ り,こ

れ をN次

元 複 素 ユ ー ク り ッ ド空 間

と い う.   線 形 空 間 の 係 数 体 Φ は1次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 あ る い は1次

元 複素 ユー ク

リ ッ ド空 間 で あ る こ と に 注 意 し よ う.   例2 

(l∞).有

界 な 実 数 列(ま た は 複 素 数 列){ξk}の

で 表 す.(l∞)の2元x={ξk},y={ηk}と x+yと

α∈R(ま

全 体 か ら な る 集 合 を(l∞) た はC)に

ス カ ラ ー 乗 法 αxを 通 常 の よ う に(1.66),(1.67)に

(l∞)は 実(ま た は 複 素)線 形 空 間 を な す.こ (l∞)の 元x={ξk}に

対 し て,加

法

よ っ て 定 義 す る と,

の 場 合,元0は{0,0,…}で

あ る.

対 し

 (2.13)

と お く と,‖x‖

は ノ ル ム で あ る こ と が 容 易 に 分 る.さ

ム に 関 し て 完 備,す

ら に,(l∞)は

この ノル

な わ ち 実(ま た は 複 素)バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る こ と が 示 さ れ

る.   実 際,{xn}を(l∞)の

コ ー シ ー 列 と す る と,任

意 の ε>0に

対 し て 自 然n0

が 定 ま って

xn={ξ(n)k}k=1

,2,…と す る と,ノ

な らば

 (2.14) 

よ っ て,各kに か ら,  x={ξk}と

対 し て 

は 実 数(ま た は 複 素 数)の コ ー シ ー 列 で あ る

が 存 在 す る. お く.こ

の と き, 

ー シ ー 列 で あ る か ら,補

す なわち

ル ム の 定 義 か ら

題2.2よ

か つ  り,あ

る α>0に

,を 示 そ う.{xn}は

対 して

コ

各kご

と にn→

∞ とす る と

ゆ え にx={ξk}は

有 界 数 列 で あ る か ら,(l∞)に

nを

∞ と す る と,

固 定 し てm→

属 す る.ま

た(2.14)に

お い て

な らば それゆ え な らば

すなわ ち    例3 

よ っ て(l∞)は

(c0).0に

し,(c0)に

完 備 で あ る.

収 束 す る 実 数 列(ま た は 複 素 数 列){ξk}の

お け る 線 形 演 算 と ノ ル ムを 例2と

た は 複 素)バ ナッ ハ 空 間 で あ る.実 あ る か ら,(c0)の

際,(c0)は

全 体を(c0)で

同 様 に 定 義 す る と,(c0)は 完 備 な(l∞)の

完 備 性を い う に は,(c0)が(l∞)の

表 実(ま

線形 部 分空 間 で

閉 集 合 で あ る こ とを 示 せ

ば よ い. い ま(l∞)の

元x={ξk}を(c0)の

の 点 列{xn}が

存 在 す る.ゆ

集 積 点 と す る と, 

え に,任

意 の ε>0に

と な る(c0)

対 し 自 然 数n0が

定 ま って

な らば xn={ξ(n)k}k=1

,2,… と す

る と,

な らば {ξ(n0)k}は0に 収 束 す る 数 列 で あ る か ら,自 然 数k0が

存 在 して

k≧k0  な らば  ￨ξ(n0)k￨0が

らEの

上へ の有界 線形 作用 素 で あ

存在 して

 (3.49)

  証 明   T−1がFか よ りTは

らEの

上 へ の 線 形 作 用 素 で あ る こ とは 明 らか.定 理3.13

閉 作 用 素 で あ り,定 理3.19よ

意 の 開 集 合UのT−1に ら,T−1は

りTは

開 写 像 で あ る.ゆ え にEの

よ る逆 像(T−1)−1(U)=T(U)はFの

連 続,す

任

開 集 合 で あ るか

な わ ち 有 界 で あ る.不 等 式(3.49)は

定 理3.6に

よ る. (証終)

  線 形 空 間Eに2つ

の ノル ム‖‖1,‖‖2が 与 え られ て い て,あ

る α>0に

対 し

て

が 成 立 す る と き,‖‖1は‖‖2よ ‖‖1と‖‖2の と い う.ま

り 強 い,ま

た,α>0と

β>0が

られ る 位 相 τ1と‖‖2か 線 形 空 間Eが2つ

間 で あ り,‖‖1と‖‖2が   証 明  ‖‖1が‖‖2よ れ ぞ れE1,E2で

表 す.こ

  例1 

  例2 

同 値 で あ る と い う.こ

の ノ ル ム‖‖1,‖‖2の

例1(p.

比 較 可 能 で あ る な ら ば,‖‖1と‖‖2は

の と きEに

§3.3の

45)に

入 れ た も の を,そ バ ナ ッ ハ 空 間E1

有 界 線 形 作 用 素 で も あ る か ら,こ

例2(p.

り,線

はE,Fが

な ら ばTはD(T)

ら定 義 さ れ る 有 界 なT−1が 46)に

の作

(証 終)

お い て, 

開 写 像 で あ る.し

か

存 在 す る.

お い て,TはD(T)⊂C[a,b],R(T)=C[a,b]

な る 閉 線 形 作 用 素 で あ る か ら,Tは

た が,実

同 値 で あ る.

お け る 恒 等 作 用 素Iは

る 閉 線 形 作 用 素 と な る か ら,Tは

の と き{αk−1}か

ら定 め

お の お の に 関 し て バ ナ ッハ空

適 用 す れ ば よ い. 

§3.3の

  定 理3.13よ

の こ と は‖‖1か

ら 定 め ら れ る 位 相 τ2が 一 致 す る こ と を 意 味 す る.

上 へ の1対1の

⊂(l2),R(T)=(l2)な も,こ

比 較可能 であ る

存在 して

り強 い と 仮 定 し,Eに‖‖1,‖‖2を

か ら バ ナ ッ ハ 空 間E2の 用 素 に 系1を

り弱 い と い う.

うち の 一 方 が 他 方 よ り強 い と き,‖‖1と‖‖2は

が 成 立 す る と き,‖‖1と‖‖2は

  系2 

た は‖‖2は‖‖1よ

開 写 像 で あ る.

形 作 用 素 の 閉 性 は有 界 性 の 拡 張 概 念 で あ る こ とが わ か っ バ ナ ッ ハ 空 間 の と き に は,こ

の 逆 が 成 立 す る.こ

の ことを

示 す の が,次

の 閉 グ ラ フ 定 理 で あ り,こ

  定 理3.20  R(T)⊂Fな

(閉 グ ラ フ 定 理)E,Fを

バ ナ ッ ハ 空 間 と す る.TがD(T)=E,

る 閉 線 形 作 用 素 な ら ばTは

  証 明   E,Fはバ

で あ る.い

有 界 で あ る.

ナッ ハ 空 間 で あ る か ら,E×Fも

グ ラ フG(T)はE×Fの

際,S1が

={0,0}で

({x,Tx}∈G(T)) らEの

ら,S1は

有 界 で あ る.従

らG(T)の

っ て,定

ら ばTx=0,{x,Tx}

り,S1の

に 作 用 素S2を

({x,Tx}∈G(T)) らFへ

の 有 界 線 形 作 用 素 で あ る.よ

と し て 存 在 す る よ うな も の の 全 体 をMと は(L(E,E)の §3.1の

習

問

題3

らFへ

元Tで,そ

39)に

  4.  実 数 列{ξk}で,あ

の 逆 作 用 素T−1がL(E,E)の

す る と,MはL(E,E)の

ノ ル ム の 意 味 で)Mで

例2(p.

の 有 界 線 形 作 用 素 と す る.{xn}がEの

コ ー シ ー 列 で あ る こ と を 示 せ.

バ ナ ッ ハ 空 間 と し,L(E,E)の

: 

っ て

(証 終)

ノ ル ム 空 間 と し,TをEか

コ ー シ ー 列 な ら ば{Txn}はFの

で あ るか

逆 作 用 素S1−1は

有 界 で あ る. 

  1.  E,Fを

  1) 

系1よ

上 へ の 有 界 線 形 作 用 素 で あ る.次

演

に(l2)の

有 界 線形 作 用素 で

ら に‖x‖ ≦‖{x,Tx}‖

理3.19の

に よ っ て 定 義 す る と,S2はG(T)か

  3. 

たx=0な

あ る.さ

S2{x,Tx}=Tx 

T=S2S1−1は

上 へ の1対1の

線 形 な こ と は す ぐ分 る.ま

あ る か ら,S1は1対1で

  2.  Eを

バ ナ ッハ 空 間

ま 作 用 素S1を

に よ っ て 定 義 す る と,S1はG(T)か あ る.実

バ ナ ッハ 空 間 で あ る.Tの

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る か ら,G(T)も

S1{x,Tx}=x 

Eか

れ は 開 写 像 定 理 か ら導 か れ る.

お い て 

元

開 集 合 で あ り,写

像

連 続 で あ る こ と を 示 せ. を 示 せ.

る 番 号 か ら 先 の ξk=0と

な る よ う な も の の 全 体 をEと

し,E

ノ ル ム を 導 入 す る. ノ ル ム 空 間Eは

  2)  Eの {Tn}に   (ⅰ) 

完 備 で な い こ と を 示 せ.

元x={ξk}に

対 しTnx=nξn(n=1,2,…)に

よ っ て 定 義 され る作 用 素 の 列

つ い て 次 の こ と を 示 せ. Tn(n=1,2,…)はE上

  (ⅱ)  各x∈Eに

の 有 界 線 形 汎 関 数 で あ る,

つ いて

  (ⅲ)   5.  E,Fを

ノル ム空 間 と し,SはEか

らFへ

の 有 界 線 形 作 用 素 と し,TはD(T)⊂

E,R(T)⊂Fな

る閉 線 形 作 用 素 とす る.

  1)  D(T+S)=D(T)で

定 義 さ れ るT+SはD(T+S)⊂F,R(T+S)⊂Fな

る閉線

形 作 用 素 で あ る こ とを 示 せ.   2)  D(TS)={x∈E￨Sx∈D(T)}で

定 義 さ れ るTSはD(TS)⊂E,R(TS)⊂Eな

閉 線 形 作 用 素 で あ る こ とを 示 せ.た

だ しE=Fと

る

す る.

  6.  Eは バ ナ ッハ 空 間 で そ の ノル ム を‖‖ とす る.TはD(T)⊂E,R(T)⊂Eな 線 形 作 用 素 とす る.D(T)の

元xに

対 し 

る閉

とお い てD(T)に

ノル ム

 を 導 入 す る.   1)  D(T)は 

に 関 しバ ナ ッハ 空 間 で あ る こ とを 示 せ.

  2)  TはD(T)か

らEへ

  7.  Eは

ノ ル ム空 間,Fは

作 用 素 か つD(T)で

の有 界 線 形 作 用 素 で あ る こ とを 示 せ. バ ナ ッハ 空 間 と し,TはD(T)⊂E,R(T)⊂Fな

有 界 と し,D(T)はEで

る閉線形

稠 密 とす る.こ の と きD(T)=Eで

あるこ

と を 示 せ.   8.  ノル ム 空 間Eの 部 分 集 合A,Bの =A+Bが 成 立 す る こ と を 示 せ.

うち 少 な く と も一 方 が コ ンパ ク トな らば,A+B

  9.  ノル ム空 間Eの

うち,一 方 が コ ンパ ク ト,他 方 が 閉 集 合 な らば,

A+Bは

部 分 集 合A,Bの

閉 集 合 で あ る こ とを 示 せ.

 10.  (不動 点 定 理)Eは ち,00が

定 ま っ て,￨α￨≦

お け る連 続 性 か

δな ら ば αx∈V.特

x∈(1/δ)V.    定 理4.7  傍 系V*を

に

(証 終) 線 形 位 相 空 間Eは

次 の3条

件 を 満 足 す る よ う な 原 点0の

基 本近

も つ:

  (4.20) 

す べ て のV∈V*は

  (4.21) 

任 意 のV∈V*に

円 形 か つ 吸 収 的 で あ る, 対 し てW+W⊂Vを

満 た すW∈V*が

存在 す

る,   (4.22) 

な らば

  逆 に,線

形 空 間Eの

部 分 集 合 の 族V*が(4.20)∼(4.22)お

  (4.23) 

任 意 のU,V∈V*に

対 し てW⊂U∩Vを

よび 満 た すW∈V*が

存在す

る, を 満 た す もの とす る.こ の と き,V*をEの 位 相 がEに

原 点0の

基 本 近 傍 系 とす る 線 形

導 入 され る.

  証 明  Eが 線 形 位 相 空 間 な らば,写 ら,任 意 のU∈V(0)に

像(4.15)の

対 し て δ>0とV∈V(0)が

点{0,0}に

おけ る連 続性 か

存在 して

な らば とお く と δV⊂W⊂U が 成 立 し,δV∈V(0)で で,V(0)に

あ る か ら,W∈V(0).ま

属 す る 円 形 集 合 の 全 体 をV*と

たWは す る と,V*は0の

円形 で あ る.そ

こ

基 本近 傍 系 で

あ る が,こ

れ が 求 む る も の で あ る こ と を 示 す.ま

よ り 明 ら か.(4.21)は

補 題4.5よ

ず,(4.20)の

後 半 は 補 題4.6

り容 易.(4.22)は 

倍 の相似 変換 に

よ っ て 円 形 性 が 不 変 な こ と か ら い え る.   逆 に,線

形 空 間Eの

各x∈Eに

対 応 す る 集 合 族{x+V￨V∈V*}がxの

件(1.6)∼(1.8)を は0を

部 分 集 合 の 族V*が(4.20)∼(4.23)を

基 本 近 傍 系 とな るべ き 条

満 た す こ と を 確 か め る.ま

含 む か ら,(1.6)が

満 た す と す る.

ず,(4.20)よ

成 立 す る.(4.23)よ

り(1.7)が

成 立 は 次 の よ う に し て 分 る.任 意 にx+V(V∈V*)を V*が

存 在 し てW+W⊂V.任

り,す べ て のV∈V* 成 立 す る.(1.8)の

与 え る.(4.21)よ

意 のy∈x+Wに

対 し てy+Wを

りW∈

考 え る と,

y+W⊂x+W+W⊂x+V. 以 上 よ り集 合 族{x+V￨V∈V*}をxの

基 本 近 傍 系 と す る よ うなEの

位相 が

定 ま る こ と が 分 っ た.   次 に こ の 位 相 が 線 形 位 相 で あ る こ と を 示 す.任 W⊂Vと

な るW∈V*を

と る と,各x,y∈Eに

意 のV∈V*に

対 し てW+

対 して

(x+W)+(y+W)⊂x+y+V と な る か ら,写 る.任

像(4.14)は

意 のV∈V*に

に α∈ Φ とx∈Eを

対 し てW+W⊂Vと

で あ る か ら,δ>0が

な るW∈V*を

存 在 し て,δx∈W.￨β−

き, とWの

(4.22)よ

連 続 で あ る.次

任 意 に固 定す

と る.Wは

吸 収的

α￨0が 存 在 す る.Mは

凸 集 合 ゆ え,補 題4.3よ

り

よって

ε>0は

任 意 で あ る か ら,ε →0と

し て(4.28)を

得 る.以

上 よ り,pMは

劣加法

的 で あ る.   (4.35)の よ っ て,あ

証 明.pM(x)1.

後 半 の 包 含 関 係 よ り, 

対 し て は,す

よ り,pM({p(x)−

で に(4.35)が

ε}−1x)≧1,ゆ

  (4.38)  p(x)=0の

す ると

pM(x)≦p(x).

ま た,x∈Eがp(x)>0な

とpMに

→0と

あ る か ら,

凸,吸

成 立 し て い る か ら,そ え に 

収 的 なM

の前 半 の包 含 関係 とす る と

pM(x)≧p(x). と き も(4.38)は

成 立 し て い る.(4.37)と(4.38)よ

りpM=pを

得 る.   2)  前 半 はMが よ い.α ≧0の の と き は,λMの pM(αx)=pM(x)が

円 形,凸,吸

収 的 の と き,pMに

と き,pM(αx)=αpM(x)は1)で

意 の 

ゆ え に,す べ て の α∈Φ につ い て(4.31)が   後 半 は1)の   定 理4.15 

み 示 せば

す で に 成 立 し て い る.￨α￨=1

円 形 性 よ り,条 件 αx∈ λMと 成 立 す る.任

つ い て(4.31)の

条 件 ω∈λMは

同 値 で あ る か ら,

につ いて は

示 され た.

結 果 よ り明 らか.  Eを 線 形 位 相 空 間 とす る.VがEの

(証終) 原 点0の

円形 凸閉 近傍 な ら

ば,pVはE上

の 連 続 な 半 ノ ル ム で あ り,

  (4.39) 

V={x∈E￨pV(x)≦1}

が 成 立 す る.逆

に,pがE上

の 連 続 な 半 ノ ル ム な ら ば,集

合

V={x∈E￨p(x)≦1} はEの

原 点0の

円 形 凸 閉 近 傍 で あ り,pV=pで

  証 明   Eの0の

近 傍 は 吸 収 的 で あ る か ら,0の

理4.14の2)よ る.い

あ る.

り,pVはE上

を と る と,1/α>1で

あ る か ら,x∈

円 形 で あ る か ら,x∈

λV⊂(1/α)V(補

αx→xで

⊂V.よ

っ て(4.39)が

  pvの

あ り,Vは

連 続 性.任

な ら ばy−x∈

す る.00に 対 応 す る集 合

  (4.42) 

{x∈E￨p(x)≦

の 任 意 有 限 個 の 共 通 部 分 の 全 体 をV*と の 基 本 近 傍 系 とす る局 所 凸 位 相 τがEに で あ る.さ

らに,Pが

決 定 さ れ るEの   証 明  V*が ル ムゆ え,集 形,凸,吸

の 半 ノ ル ム の 族 とす る.任

ε} す る.こ の と き,V*をEの

導 入 され,各p∈Pは

原 点0

τに 関 して 連 続

分 離 的 な らば,τ も分 離 的 で あ る.こ の τをPに

よ って

局 所 凸 位 相 とい う. 条 件(4.20)∼(4.23)を

合(4.42)は

円 形,凸,吸

収 的 と な り,(4.20)が

満 た す こ とを 示 そ う.各p∈Pは 収 的,従

成 立 す る.V*に

っ て,す べ て のV∈V*も 属 す る任 意 の

半ノ 円

に 対 し,

も〓*に

属 し,補

題4.3よ

り

が 成 立 す る の で,(4.21)が

い え た.(4.22),(4.23)の

っ て 各V∈〓*の

凸 性 と 定 理4.7よ

凸 位 相 τがEに

導 入 さ れ る.各p∈〓

対 し て 集 合(4.42)が0の

な るp∈Pが

な い か ら,τ

り,〓*をEの0の

基 本 近 傍 系 とす る局 所

の τに 関 す る 連 続 性 は,任

近 傍 で あ る こ と か ら,定

の 証 明 と 同 様 に し て 示 さ れ る.も p(x)>0と

成 立 も 容 易 に 分 る.よ

しPが

存 在 し,0の

理4.15の

分 離 的 な ら ば,任

意 の ε>0に

中 のpｖ の 連 続 性 意 の 

に対 して

近 傍{y∈E￨p(y)≦p(x)/2}はxを

含 ま

は 分 離 的 で あ る. 

  注 意   定 理4.18に

お け るV*に

(証 終) 属 す る任 意 の 集 合

に 対 す る ミン コ ウス キ ー汎 関数pVは  (4.43)

で あ る.   ノ ル ム は 半 ノ ル ム の 特 別 の 場 合 で あ る か ら,ノ

ル ム 空 間Eは,た

だ1つ

ル ム‖ ‖に よ っ て 決 定 さ れ る 分 離 的 な 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 で あ る.こ 任 意 の ε>0に ={x∈E￨‖x‖

対 応 す る 集 合B(0,ε)={x∈E￨‖x‖ ≦1/n}{n=1,2,…)の

≦ ε}の 全 体,集

全 体 な ど が 原 点0の

の ノ

の 場 合,

合B(0,1/n)

基本近傍 系 をな し

て い る こ と は 既 に 知 っ て い る.   ノ ル ム 空 間 の 他 に も 種 々 の タ イ プ の 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 が あ る が,そ 深 入 りす る こ と は 本 書 の 目 的 で は な い の で,こ

こ で は 代 表 的 な も の を1つ

れ らに だけ

次 節 で 述 べ よ う.

  4.3 

フ レ ッ シ ェ空 間

  フ レ ッ シ ェ(Frechet)空

間 は バ ナ ッハ 空 間 に 類 似 した 性 質 を も ち,バ

ナ ッハ 空 間 に お

い て 成 立 す る 多 くの こ とが らが,フ

レ ッ シ ェ空 間 の 場 合 に も成 立 す る こ とが 知 られ て い

る.   位 相 空 間Eが Eに

距 離 付 け 可 能 で あ る とは,Eの

導 入 され 得 る こ と を い う.こ

と え ば,距

離d(x,y)が

位 相 と同 じ位 相 を 決 定 す る よ うな 距 離 が

の よ うな 距 離 が 存 在 す れ ば,そ

れ は 一意 で は な い.た

そ の よ うな もの で あ れ ば,2d(x,y),3d(x,y),…

はすべ て 同 じ

位 相 を 決 定 す るか らで あ る.   定 理4.19 

局 所 凸 線 形 位 相 空 間Eが

距 離 付 け 可 能 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,分 離

的 か つ 高 々 可 算 個 か らな る半 ノル ム の 族P={pn}に

よ っ てEの

位 相 が 決 定 され る こ と

で あ る.   注 意   局 所 凸 線 形 位 相 空 間Eが

分 離 的 か つ 高 々可 算 個 か らな る半 ノル ム の族P={pn}

に よ っ て 決 定 され て い る と き,

な る 形 の 集 合 の任 意 有 限 個 の 共 通 部 分 の 全 体 は 原 点0の

基 本 近 傍 系 を な し,そ

明 らか に 可 算 個 で あ る.な

単 調 増 大 列 で あ る と仮 定 して よ

い.な

ぜな ら ば,n=1,2,…

お,こ

の 場 合,P={pn}は

につ いて

とお く と,容 易 に 分 る よ うに,{qn}は

で あ り,ま た{qn}はP={pn}と {pn}が

の個数 は

半 ノル ム の 単 調 増 大 列:

同 一 の 局 所 凸 位 相 を 決 定 す るか らで あ る.さ

らにP=

単 調 増 大 の と き,集 合 列

は原 点0の 単調 減 少す る基本近 傍 系を なす:

  定 理4.19の る.定

理4.16よ

証 明   Eが 距 離 付 け 可 能 の と き,Eの

す

り

を 満 た す よ うなEの0の な す.各Wnの

位 相 を 決 定 す る距 離 をd(x,y)と

円 形 凸 閉 近 傍 の列{Wn}が

ミン コ ウス キ ー 汎 関 数 をpnと

存 在 し,{Wn}は0の

す る.こ

の と き,P={pn}がEの

基 本近 傍 系を 位相 を

決 定 す る分 離 的 な 半 ノル ム の 族 で あ る こ とは 容 易 に 分 る.   逆 にEの

位 相 が 分 離 的 な 半 ノル ム の 族P={pn}に

よ っ て 決 定 され て い る とす る.こ

の と き 求 む る距 離 は  (4.44)

に よ っ て 与 え ら れ る こ と を 示 そ う.ま

ず,(4.44)の

右 辺 は 収 束 級 数 で あ る か ら,d(x,y)

は 確 か に 定 義 さ れ る.d(x,y)が る:(1.33)の な る3数

距 離 の 条 件(1.33)∼(1.35)を

後 半 はP={pn}が

α,β,γ ≧0に

満 た す こ とは 容 易 に 分

分 離 的 な こ と か ら い え る.(1.35)は

一 般 に α≦ β+γ

対 し て 成 立 す る不 等 式

 (4.45)

を 用 い て 示 さ れ る.(4.45)の

  次 にd(x,y)がEの

証 明.

位 相 を 決 定 す る も の で あ る こ と を 示 そ う.(4.44)でy=0と

お く

と,  (4.46)

各pnは

連 続 で あ り,(4.46)の

続 で あ る.従

右 辺 の 級 数 はEで

一 様 収 束 す るか ら,d(x,0)はEで

連

っ て,任 意 の ε>0に 対 し V(0,ε)={x∈E￨d(x,0)0を

を 満 た す よ う に 十 分 小 さ く と る と,d(x,0)0に

際,{xm}を(s)の

対 しm0が l,m≧m0な

xm={ξ(m)k}と

お

列空 間に おけ る通

まn=1,2,…

お け る 分 離 的 な 半 ノ ル ム の 族 で あ る.ま

た は複

につい て

た(s)は

完 備,す

コ ー シ ー 列 と す る と,任

な

意 に固定 し

定 まって ら ばpn(xl−xm)0に

際,{xm}をC(−

対 しm0が

l,m≧m0な

∞,∞)の

たC(−

∞,∞)

コー シ ー 列 とす

定 まって

ら ばpn(xl−xm)0が 存

有 界 とい うことが あ るが,こ れは 線形 位相 空 間にお け る有 界性 とは異

な る概念 で あ る.ノ ル ム空 間 におい ては両者 は一 致す る.   定 理4.20 

線 形 位 相 空 間Eの

有 界 集 合M1,M2の

和 集 合M1∪Mzは

有界

で あ る.   証 明   VをEの0の

任 意 の 円 形 近 傍 とす る と,α1>0,α2>0が

存 在 し てM1

⊂ α1V,M2⊂

α2V.β=max(α1,α2)と

お く と,補

よ っ てM1∪M2は   定 理4.21 

線 形 位 相 空 間Eの

  証 明   UをEの0の ら にW⊂Vと

x+Wの

全 体 で 被 覆 さ れ る が,Mは

={x1,x2,…,xn}を

な る0の

コン パ ク ト集 合Mは

開 近 傍Wを

(証 終)

有 界 で あ る. な る0の

と る.Mは

円 形 近 傍Vを

そ の 各 点xの

コ ン パ ク トで あ る か ら,Mの

選 び 出 し て 

円 形 性 よ り,00が

αT(W)⊂

αVと な り,T(M)はFの

有界

集 合 で あ る.    定 理4.25 

(証終) E,Fを

な らば,Eに

線 形 位 相 空 間 とす る.Eか

お い て 

らFへ の 線 形 作 用 素Tが

と な る 任 意 の 点 列{xn}に

対 し て,Fにお

連続 い て 

で あ る.

証 明   Fの0の

任 意 の 近 傍Vに な らば,n0が

⊂V. 

対 して,Eの0の

ら ばTxn∈V,す

  注 意   定 理4.24,定

理4.25の

離 付 け 可 能 の と き は,逆

存 在 し てT(W)

存在 して

n≧n0  よ っ て,n≧n0な

近 傍Wが

な ら ば   xn∈W. な わ ち 

(証 終)

逆 は 一 般 に は 成 立 し な い(演 習 問 題5の11)が,Eが

距

が 成 立 す る(演 習 問 題4の10).

演 習 問 題4   1.  線 形 空 間Eの

部 分 集 合Mが

円 形 凸 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は(4.3)が

成 立す

る こ と で あ る.こ れ を 示 せ.   2.  補 題4.2を

証 明 せ よ.

  3.  R2に お い て2点(1,0),(0,1)か

ら な る 集 合Mの

円 形 凸 包 お よ びMの

凸包 の 円

形 包 を 求 め よ.   4.  補 題4.10を

証 明 せ よ.

  5.  線 形 位 相 空 間Eの

線 形 部 分 空 間Fの

閉 包FはEの

線 形 部 分 空 間 で あ る こ とを 示

せ.   6.  補 題4.11を

証 明 せ よ.

  7.  補 題4.13を

証 明 せ よ.

  8.  実 数 列x={ξk}の れ る半 ノル ムの 族{pk}に   9.  区 間(− ∞,∞)で は,n=0,1,2,… {pn}に

全 体(ω)は,k=1,2,…

に つ い てpk(x)=￨ξk￨に

関 して フ レ ッ シ ェ空 間 で あ る こ と を示 せ. 無 限 回 連 続 微 分 可 能 な 実 数 値 関数x=x(t)の

に つ い て 

線 形 作 用 素Tに

線 形 位 相 空 間 と し,Eは 対 し次 の3条

だ しx(0)=xと

距 離 付 け 可 能 とす る.こ

件 は 同 値 で あ る こ とを 示 せ.

  1)  Tは 連 続 で あ る,   2)  MがEの

有 界 集 合 な らばT(M)もFの

  3)  Eの 点 列{xn}が 

全 体C∞(−

∞,∞)

に よ っ て 定 義 され る半 ノル ム の 族

関 して フ レ ッシ ェ空 間 で あ る こ とを 示 せ.た

10.  E,Fを

よって定 義 さ

な らば 

有 界 集 合 で あ る, で あ る.

す る. の と き,Eか

らFへ

の

5.  共 役 空 間I

  5.1 

ハ ー ン ・バ ナ ッ ハ の 定 理

  線 形 汎 関 数(係 数 体Φ 上 の 線 形 空 間 か らΦ へ の 線 形 作 用 素)の 拡 張 定 理 を,は じ め に 実 数 体 の 場 合 に ツ ォル ン の 補 題 の も と に 証 明 し,次

に この 結 果 を 用 い て

複 素 数 体 の 場 合 に 証 明 す る.   定 理5.1 

(ハ ー ン ・バ ナ ッハ の 定 理,実

し,pをEで fはFで

数 体 の 場 合)  Eを 実 線 形 空 間 と

定 義 され た 劣 加 法 的 汎 関 数 とす る.FはEの

線 形 部 分 空 間 と し,

定 義 され た 線 形 汎 関 数 で f(x)≦p(x) (x∈F)

を 満 た す も の とす る.こ

の と き,E全

体 で 定 義 され た 線 形 汎 関数f1で,次

の2

条 件 を 満 た す も の が 存 在 す る:   (5.1) f1(x)=f(x) (x∈F), f1(x)≦p(x) (x∈E). (5.1)はf1がfの

拡 張 で あ る こ とを示 して い る.

  証 明1) 

と し,Fに

α∈R}(Fとx0で

張 られ る 線 形 部 分 空 間)と

属 さ な いEの

点x0を

と り,D={x+αx0￨x∈F,

お く.Dで

定義 され た線形 汎 関

数gで g(x)=f(x) (x∈F),g(x)≦p(x) 

(x∈D)

を 満 た す も の が 存 在 す る こ とを 示 す.   任 意 のx,y∈Fに

対 して

よ り, −p(−y−x0)−f(y)≦p(x+x0)−f(x)

こ こで,xとyをFの

ゆえに  (5.2)

中 で 独 立 に 動 か す と,

.

を 満 た す λが 存 在 す る.   (5.3) 

g(x+αx0)=f(x)+α

と お く と,gはD上

  (x∈F,α

∈R)

の 線 形 汎 関 数 で あ る.(5.3)で

f(x)(x∈F).従

α0の

とき

とき

ゆ え に,g(x)≦p(x)(x∈D)が

成 立 す る.以

上 よ り,こ

のgが

求 む る もの で

あ る.   2) gはF⊂D⊂Eな

る 線 形 部 分 空 間Dで

定 義 され た 線 形 汎 関 数 で

g(x)=f(x) (x∈F),g(x)≦p(x) (x∈D) を 満 た す も の と す る.gの Xで

表 す.1)よ

定 義 域DをD(g)と

り 

で あ る.任

D(g)⊂D(h),  が 成 立 す る と き,す は 順 序 の3条

な わ ち,hがgの

す る が,Yは g〓hな

全 順 序 集 合 で あ る か ら,g〓hま

あ る か ら,任

のh∈Yに

と か ら,g(x)=h(x)と

対 し てx∈D(h)と

の 上 界 で あ る.

線 形 部 分 空 間 で あ る.

た はh〓gが

な るg,h∈Yが

存在

成 立 す る.た

とえば

線形 部分 空間 で

あ り,各g∈Yに

え にDは な るg∈Yを

定 義 す る.f0は

線形 部 分

と り,f0(x)

一 意 に 決 ま る.な

す る と,g〓hま

な る か ら で あ る.こ

f0(x)=f(x)(x∈F),f0(x)≦p(x)(x∈D)が そ れ ゆ え,f0∈Xで

中 に上 界 を もつ こ と

含 むEの

対 し てx∈D(g)と

の 汎 関 数f0を

係〓

順 序 集 合 に な る.

対 し て αx+βy∈D(h)⊂D.ゆ

て,各x∈Dに

よ っ てD上

表 す と,関

あ る か ら,x,y∈D(h).D(h)は

意 の α,β∈Rに

空 間 で あ る.さ

ば,他

満 た し,Xは

対 し て,x∈D(g),y∈D(h)と

ら ばD(g)⊂D(h)で

=9(x)に

拡 張 で あ る と き,g〓hで

と お く と,DはFを

意 のx,y∈Dに

全体 を

対 して

任 意 の 全 順 序 部 分 集 合 と し,YがXの

を 示 そ う.  実 際,任

意 のg,h∈Xに

の よ う なgの

g(x)=h(x) (x∈D(g))

件(1.59)∼(1.61)を

  い ま,YをXの

か く.こ

のf0がDで

た はh〓gが

ぜな ら

成 立す る こ

線 形 で あ る こ と,

成 立 す る こ と も 容 易 に 分 る. 対 し てg〓f0が

成 立 す る か ら,f0はY

  よ っ て ツ ォ ル ン の 補 題 よ り,Xは でD(f1)=Eを

示 せ ば,f1は な るEの

の 極 大 元f1を

もつ.こ

求 む る 線 形 汎 関 数 と な る. 

元x1が

線 形 部 分 空 間D1上

少 な く と も1つ

存 在 す る.1)と

こ

と す る と,

同 様にD(f1)とx1で

張 られ る

の 線 形 汎 関数f2で

f2(x)=f1(x) 

(x∈D(f1)), 

f2(x)≦p(x) (x∈D1)

を 満 た す も の が 存 在 す る.明

ら か にf2∈Xか

つ 

元 で あ る こ と に 反 す る.ゆえ

にD(f1)=Eで

な け れば な ら な い. 

  注 意  −f1(x)=f1(−x)≦p(−x)(x∈E)よ

これ はf1がXの

極大 (証 終)

り

  (5.4) −p(−x)≦f1(x)≦p(x) 

(x∈E)

が 得 られ る.   α を 複 素 数 と し,そ

の 実 部,虚

部 を そ れ ぞ れReα,Imα

単 位 と し て, 

虚数

で あ る.

  定 理5.1 

(ハ ー ン ・バ ナ ッ ハ の 定 理,複

と し,pをEで し,fはFで

で 表 す と,iを

素 数 体 の 場 合)  Eを

定 義 さ れ た 劣 加 法 的 汎 関 数 と す る.FはEの

複 素線 形空 間 線形 部分 空 間 と

定 義 され た 線 形 汎 関 数 で Ref(x)≦p(x) (x∈F)

を 満 た す も の と す る.こ

の と き,E全

体 で 定 義 さ れ た 線 形 汎 関 数f1で,次

の

2条 件 を 満 た す も の が 存 在 す る: f1(x)=f(x) 

(x∈F),

Ref1(x)≦p(x)    証 明   x∈Fに

(x∈E).

対 し

f(x)=Ref(x)+iImf(x)=Ref(x)−iRef(ix) で あ る か ら,g(x)=Ref(x)(x∈F)と   (5.5)  が 成 立 す る.Eは え る こ と が で き,ま る.こ

の と き,gは

お く と,

f(x)=g(x)−ig(ix) 

(x∈F)

そ の 係 数 体 を 実 数 体 に 制 限 す る こ と に よ り,実 たFは

実 線 形 空 間Eの

実 線 形 空 間F上

線 形 空 間 と考

線 形 部 分 空 間 と考 え る こ とが で き

の 実 線 形 汎 関 数:

な らば で あ る こ と が 容 易 に 分 る.ま の 場 合 の 前 定 理 よ り,実

たg(x)=Ref(x)≦p(x)(x∈F).よ

線 形 空 間E上

の 実 線 形 汎 関 数g1で

って実 数体

  (5.6) 

g1(x)=g(x) (x∈F), 

を 満 た す も の が 存 在 す る.い

g1(x)≦p(x) (x∈E)

ま

  (5.7) f1(x)=g1(x)−ig1(ix)  と お き,f1が

(x∈E)

求 む る も の で あ る こ と を 示 そ う.ま ずx,y∈Eに

=f1(x)+f1(y)の

よ っ てf1は

対 し てf1(x+y)

成 立 は す ぐ分 る.α=a+ib(a,b∈R)とx∈Eに

複 素 線 形 空 間E上

対 して

の 線 形 汎 関 数 で あ る.(5.5)∼(5.7)を

用い る

と,

が 直 ち に 分 る.    以 後,係

(証 終)

数 体 は 実 数,複

素 数 の 区 別 を す る 必 要 の な い こ と も 多 い の で,そ

の

と き は 区 別 し な い で 述 べ る.   系1 

Eを

局 所 凸 線 形 位 相 空 間 と し,FをEの

で 定 義 さ れ た 連 続 線 形 汎 関 数 で,E上

の あ る 連 続 な 半 ノ ル ムpに

  (5.8) ￨f(x)￨≦p(x) 

対 して

(x∈F)

を 満 た す も の と す る.こ 次 の2条

線 形 部 分 空 間 と す る.fはF

の と き,E全

体 で 定 義 さ れ た 連 続 線 形 汎 関 数f1で,

件 を 満 た す も の が 存 在 す る: f1(x)=f(x) 

(x∈F),

  (5.9) ￨f1(x)≦p(x) (x∈E).  注 意   勿 論,Fで

はEか

位相 空 間 で あ る.ま た,定

ら導 入 さ れ る 相 対 位 相 を 考 え るか ら,Fは

満た す よ うなE上 汎関 数f1はEで

理4.23よ

り,F上

の 連 続 な 半 ノル ムpが

の 連 続 線 形 汎 関 数fに

存 在 す る し,(5.9)を

や は り局 所 凸 線 形 対 して は(5.8)を

満 た す よ うなE上

の線形

連 続 で あ る こ と に 注 意 し よ う.

 証 明  実数 体 の ときは

で あ る か ら,定

理5.1(実

が 分 る.  複 素 数 体 の と き は

数 体 の 場 合)と

そ れ に 続 く注 意 とか ら,定 理 の 成 立

で あ る か ら,定

理5.1(複

素 数 体 の 場 合)よ

f1(x)=f(x) (x∈F), 

り,E上

の 線 形 汎 関 数f1で

Ref1(x)≦p(x) (x∈E)

を 満 た す も の が 存 在 す る が,各x∈Eに

つ い て 複 素f1(x)の

偏 角 を θ とす る

と,

と な っ て,(5.9)が 系2 

Eを

成 立 す る. 

(証終)

ノル ム空 間 とす る.Eの

に 対 し て,E上

線 形 部 分 空 間F上

の 有 界 線 形 汎 関 数f1で,fの

の 有 界 線 形 汎 関 数f

拡張 で あ り

を 満 た す も の が 存 在 す る.  証明 と お く と,pはE上

よ って,系1よ

の 連 続 な 半 ノ ル ム で あ り,

りE上

の 有 界 線 形 汎 関 数f1で

f1(x)=f(x) (x∈F), ￨f1(x)￨≦p(x) (x∈E) とな る もの が 存 在 す る.

で あ る か ら, 

一 方,

ゆ え に    系3 

(証 終)

Eを

ノル ム空 間 とす る.Eの

元 

数fで

を 満 た す も の が 存 在 す る.   証 明   F={αx0￨α

に よ っ て,F上

∈ Φ}と お き,

の 線 形 汎 関 数f0を

定 義 す る と,

に 対 し て,E上

の有 界 線形 汎 関

で あ る か ら,f0はF上

有 界 で,

 系2よ

線 形 汎 関 数fで,f0の

拡 張 で あ り,

り,E上

の有 界

とな る も の が 存 在 す る.こ の と き,f(x0)=f0(x0)=‖x0‖. 

(証終)

  次 の 系 は ハ ー ン ・バ ナ ッハ の定 理 の 幾 何 学 的 な 表 現 で あ る.   系4  点0を

(マ ズ ー ル(Mazur)の

定 理)  Eを 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 とす る.Eの

含 む 凸 閉 集 合Mと 

な るEの

実 数 体 の場 合

(5.10)

  f(x0)>1, 

W⊂V.ゆ

で あ る か ら,Eの0の

対 し て0の

円 形 凸 近 傍Wが

近 傍V

存 在 し てW+

え に(x0+W+W)∩M=φ,(x0+W)∩(M−W)=φ.Wの

性 よ りW=−Wで

円形

あ る か ら,

  (5.11) 

(x0+W)∩(M+W)=φ.

共 に 凸 集 合 ゆ え,M+Wも

+Wは0の

近 傍,従

とす る と,定

凸 集 合.0∈Mよ

りW⊂M+Wゆ

っ て 吸 収 的 で あ る.M+Wの

理4.14よ

  (5.12) 

りpはE上

え,M

ミ ン コ ウ ス キ ー 汎 関 数 をp

の非 負劣 加法 的汎 関数 で

{x∈E￨p(x)1を α01, 

を 満 た す よ うなE上

M,Wは

点x0に

原

示 す.00に 対 しx∈ εUな らば￨f(x)￨≦ の0で 連 続,従 (x∈M)で

っ てEで

そ の 定 数 倍 も0の 近 傍

εが 成 立 す るか ら,fはE

連 続 で あ る.M⊂M+Wで

あ る か ら,勿 論,f(x)≦1

あ る.よ っ て 証 明 され た.

  複 素 数 体 の 場 合.Eを

実 線 形 空 間 と考 え る こ と に よ り,前 半 の 結 果 か ら,

g(x0)>1,  とな るEで

g(x)≦1 (x∈M)

連 続 な 実 線 形 汎 関数gが

存 在 す る.そ

こで

f(x)=g(x)−ig(ix) (x∈E) と お けば,fはE上 (5.10)が

の 連 続 線 形 汎 関 数 で あ り,Ref(x)=g(x)で

あ るか ら,

満 た され る. 

(証終)

  系5 

(マ ズ ー ル の 定 理)Eを

合Mと 

な るEの

局 所 凸 線 形 位 相 空 間 とす る.Eの

点x0に

円形 凸 閉集

対 して

f(x0)>1, ￨f(x)￨≦1 (x∈M) を 満 た す よ うなE上   証 明   系4よ

の連 続 線 形 汎 関 数fが

存 在 す る.

り直 ち に 得 られ る(演 習 問 題5の1).

  系6  Eを 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 と し,FをEの

閉 線 形 部 分 空 間 か つ 

とす る と, f(x)=0  を 満 た す よ うなE上   証 明   系5よ

の 連 続 線 形 汎 関 数 

双

対

 E,Fが

線 形 位 相 空 間 の 場 合 に も,Eか

Tx=0と

の 連 続線 形 作用 素 の 全体 を

お け る 元0と

よ り,線 形

は,す べ て のx∈Eに

対 して

こ と で あ る.

線 形 位 相 空 間E上

共 役 空 間 とい う.

らFへ

通 常 の 線 形 演 算(3.14),(3.15)に

の 場 合,L(E,F)に

な る作 用 素Tの

  定 義5.1  し,Eの

性

表 す.L(E,F)は

空 間 を な す.こ

が 存 在 す る.

り得 られ る(演 習 問 題5の2).

  5.2 

L(E,F)で

(x∈F)

の 連 続 線 形 汎 関 数 の 全 体L(E,Φ)をE′

で表

  Eが 分 離 的 な 局 所 凸 線 形 位 相 空 間 な らば,そ の 共 役 空 間E′ は 自 明 で な い(0 で な い)元 を 十 分 沢 山 有 す る.実 際,Eが の 元x0に

対 し 

理(定 理5.1の

な るEの0の

系5)よ

分 離 的 な らば, 

円 形 凸 閉 近 傍Vが

とれ て,マ

任意

ズ ール の 定

り,

f(x0)>1, ￨f(x)￨≦1  を 満 た すf∈E′

な るEの

(x∈V)

が 存 在 す る か らで あ る.

  特 に,ノ ル ム 空 間Eの

共 役 空 間E′ は 自 明 で な い 元 を 十 分 沢 山 有 す るバ ナ ッ

ハ 空 間 で あ る.   これ に 反 し,線 形 位 相 空 間Eが

局 所 凸 で な い と き は,分 離 的 で あ っ て も,そ

の共 役 空 間E′ が0以 外 の 元 を も つ こ とは 一 般 に は 保 証 され な い.こ

の こ とを

示 す 例 を 次 に 挙 げ る.   例  00

存 在 して

が 成 立 す る こ と で あ っ た(§3.4).   定 理6.4 

有 限 次 元 線 形 空 間Eに

お け る 任 意 の2つ

の ノ ル ム‖‖1,‖‖2は

同

値 で あ る.   証 明   定 理6.1か

ら 分 る よ うに,Eの

点 列{xn}に

と 条 件 

は 同 値 で あ る.そ

こ で,Eに‖‖1お

得 ら れ る ノ ル ム 空 間 を そ れ ぞ れE1,E2で とJ:E2→E1に

定 理3.1を

表 し,2つ

つ い て 条 件  よ び‖‖2を

の 恒 等 作 用 素I:E1→E2

適 用 す れ ば,

を 成 立 さ せ る よ うな α,β>0の 存 在 が 分 る.    定 理6.4は,有

導 入 して

(証終)

限 次 元 線 形 空 間 に は 本 質 的 に は ノル ム が1つ

とを 示 し て い る.実 は 分 離 的 な 線 形 位 相 も1つ

しか 入 らず,し

しか入 らない こ か も 自動 的 に ノ

ル ム空 間 に な る.   例   N次

元 ユ ー ク リッ ド空 間RNを

に よ っ て,ノ に は,ど

ル ム ‖ ‖p(1≦p≦

の2つ

考 え る. 

∞)を

に対 し

定 義 す る と,こ

の ノ ル ム も 同 値)で あ る が,実

れ ら は す べ て 同 値(正

際1≦p0に

対 し て δ>0が

定 ま っ て,

Eの2元x,yが   (6.9) 

か つ 

を 満 足 す る と き,Eは

な らば 

一 様 に 凸 で あ る と い う.

  こ の こ と は 直 観 的 に い え ば,ノ も っ た 凸 な 状 態 に あ っ て,直

ル ム 空 間Eの

単 位 球 面 が 一様 に ふ く ら み を

線 的 あ る い は 平 面 的 な 部 分 を もた な い こ と を 意 味

す る.   注 意   (l1),(l∞)は そ の 単 位 球 面 の 形 状 を 考 え る と,一様

に 凸 で な い こ とが 分 る.10に

対 応 す る δ>0を

り,x′ ∈E′ が 存 在 し て

  (6.11) ‖x′‖=1か

部 分 列{ynj}が

つ〈y,x′〉=1.

とる と

存在 して

 

  と 

よ り, 

が 得 られ る

か ら,  (6.12)

他 方,  (6.13)

(6.12)と(6.13)は

矛 盾 す る か ら,(6.10)が

10)と 

が 得 られ る. 

よ り 

  定 理6.9 

一様

に 凸 な バ ナ ッ ハ 空 間Eは

  証 明   (前 定 理 に お け る 点xがE″ を 示 す こ と に な る が,xがE″

成 立 し な け れ ば な ら な い.(6.

回 帰 的 で あ る.

の 点 で あ る と き,前

の 元 で あ る た め,条

x′∈E′ は と れ な い の で,次

(証終)

の 条 件(6.14)を

定 理 に相 当す る こと

件(6.11)を

満 た す よ うな

満 た すx′n∈E′(n=1,2,…)を

用

い る.)   複 素 数 体 の 場 合.任 任 意 に と る.Eの す る δn>0を

意 にx∈E″,‖x‖=1を

一様 凸 性 よ り,各nに

と る.εn↓0と つ い て 定 義6.1の

定 め る. 

 (6.14)

を 満 た すx′n∈E′(n=1,2,…)が

存 在 す る.

  Eの

≦1}と

閉 単 位 球B={x∈E￨‖x‖

集 合Cn={x∈E￨Re〈x,x′〉>1−

考 え, 

‐開 集 合 で あ り,(6 .14)よ てxの

(n=1,2,…)と

りx∈Cnで

σ(E″,E′)‐ 近 傍 で あ り,xはE″

つ い てx0∈Cjと

い う こ と はx0∈Cjを

  (6.15) だ し はDnの

  次 に 集 合B∩Cnの  (6.16)

直径

σ(E″,E′)‐ 閉 包 を 表 す.

た

σ(E″,E′)

σ(E″,E′)‐ 近 傍 で あ はxの σ(E″,E′)‐ 閉 包)の

が 存 在 す る.x0∈Eで

 す な わ ち

で あ る.た

お く.ま

と る と, 

の 閉 単 位 球B″(=Bの

で あ る か ら, 

δn}

お く と,Cnは

あ る か ら,Cnはxの

任 意 の σ(E″,E′)‐ 近 傍Vを

各j=1,2,…,nに

対応

δn

 (n=1,2,…)と

る.さ

意 味 で εn>0に

よ り,〈x′n,x〉 が 実 数 で ‖x′n‖=1かつ〈x′n,x〉＞1−

(n=1,2,…)を

な る 正 数 列{εn}を

意 味 す る.従

元

あ る か ら, って

を 示 す.も

し 

と す る とx,y∈B∩Cnが

っ て 

存 在 し て‖x−y‖>εn.よ

一 方,‖x′n‖=1とx,y∈Cnよ

を 得 る か ら 矛 盾 で あ る.よ

っ て(6.16)が

  さ て 任 意 にxn∈Dn(n=1,2,…)を E′ を と る と,(6.15)よ

り

成 立 す る. と り,点

列{xn}を

考 え る.任

意 にx′ ∈

り ￨

と な るyn∈Dn(n=1,2,…)が りDnの

存 在 す る.Dn⊂B∩Cnで

直 径 δ(Dn)≦ εn(n=1,2,…).ゆ

こ の こ と は,す

あ る か ら(6.16)よ

え に‖xn−yn‖ ≦ εnで あ る か ら,

べ て のx′ ∈E′ に つ い て い え る か ら,

(6.17) 一 方D1⊃D2⊃

… ⊃Dn⊃

… か つ δ(D

n)≦ εnよ り,{xn}はEに

意 味 で の コ ー シ ー 列 で あ る か ら,Eの が,そ

の 極 限 は(6.17)よ

任 意 の 元 

りxで

お け る ノル ム の

完 備 性 よ り,{xn}はEの

な け れ ば な ら な い.す

中 で収束 す る

な わ ち,x∈E.E″

に 対 し て はy/‖y‖ を 考 え る こ と に よ り,y∈E.以

の

上 よ りE=E″

で あ る.   実 数 体 の 場 合 は 上 述 のRe〈x,x′n〉

な ど を〈x,x′n〉 な ど で お き か え れ ば よ い. (証 終)

  6.4    Eを

商

間

線 形 空 間 と し,Fを

x−y∈Fの xと

空

と きx∼yと

同 値 な も の を1つ

き る.こ

の と き,同

(6.18) 

か く と,Fの の 類 π(x)に

値 類 π(x)は

1つ の 元 と み て,こ のx,y∈Eと

そ の 線 形 部 分 空 間 と す る.Eの2元x,yに 線 形 性 よ り,∼

は 同 値 関 係 で あ る か ら,

ま と め る こ と に よ り,Eの

集 合 と し て はx+Fを

れ ら の 全 体 をE/Fで

表 す.E/Fに

元 全体 を類別 で

表 し て い る が,π(x)を お け る線形 演 算 を任 意

任 意 の α∈Φ に 対 し π(x)+π(y)=π(x+y),α

対 し,

π(x)=π(αx)

に よ っ て 定 義 す る.実 +y1,αx∼

際,x∼x1,y∼y1な

ら ば,Fの

αx1で あ る か ら,(6.18)は

な り,π(0)は

こ の 場 合 の 元0を

  線 形 空 間E/FをEのFに   π はEか

らE/Fの

写 像 と 呼 ぼ う.明   線 形 空 間E上

線 形 性 よ り,x+y∼x1

意 味 を も つ.よ

意 味 し,集

っ てE/Fは

合 と し て はFを

線 形空 間 と

表 し て い る.

よ る 商 空 間 と い う. 上 へ の 線 形 作 用 素 で あ る が,こ

ら か に π の 零 空 間 はFで

れ をEか

らE/Fへ

の商

あ る.

で 定 義 さ れ た 半 ノ ル ムpに

対 して

N={x∈E￨p(x)=0} と お く と,NはEの

線 形 部 分 空 間 で あ る.な

ぜ な ら ば,x,y∈Nと

α,β∈Φ に

対 して

よ り,p(αx+βy)=0,す

な わ ち αx+βy∈Nと

  そ こ で 商 空 間E/Nを =π(y)と

考 え,Eか

す る と,x−y∈Nで

らE/Nへ

な る か ら で あ る. の 商 写 像 を π とす る.い

ま π(x)

あ る か ら, ￨p(x)−p(y)￨≦p(x−y)=0

よ り,p(x)=p(y)を ル ムpの

得 る.す

な わ ち,1つ

の 同 値 類 に属 す る元 に対 し て 半 ノ

値 は 一 定 で あ る か ら,

(6.19) 

p(π(x))=p(x)

に よ っ てE/N上

の 汎 関 数pが

定 義 さ れ る.pがE/N上

の ノル ム で あ る こ と

は 容 易 に 検 証 さ れ る.   さ てEを E/Fの

ノ ル ム 空 間,Fを

元uに

対 し て,そ

そ の 閉 線 形 部 分 空 間 と し,商 空 間E/Fを

考 え る.

の ノル ム を

(6.20) に よ っ て 定 義 す る.こ す れ ば,元uが す る.‖u‖ (6.21) 

Eの

満 た す す べ て のxに

表 し て い る 集 合 に 属 す る す べ て のxに

つ い て(換 言

つ い て)と る こ と を 意 味

が ノ ル ム で あ る こ と を 示 す. ‖u‖≧0,‖u‖=0とu=0は

  実 際,‖u‖ ≧0は ‖u‖=0.逆

こ で 下 限 は π(x)=uを

明 ら か.u=0な

に‖u‖=0な

点 列{xn}が

同 値. ら ば,uが

表 す 集 合Fに0が

らば,π(xn)=u,‖xn‖0に 対 し て

を 満 た すxとyが

こ こ で ε→0と

選 べ,π(x+y)=π(x)+π(y)=u+υ

で あ る か ら,

す れば よ い.

  以 上 で,‖u‖

はE/Fに

商 ノ ル ム と い う.定

お け る ノ ル ム で あ る こ と が 分 っ た が,こ

の ノル ム を

義か ら

(6.24) が 成 立 す る.従   定 理6.10  E/Fは

っ て,商 Eを

写 像 π はEか

バ ナ ッ ハ 空 間,Fを

らE/Fの

上 へ の 有 界 線 形 作 用 素 で あ る.

そ の 閉 線 形 部 分 空 間 とす る と,商

空間

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.

  証 明   E/Fに

お け る任 意 の コ ー シ ー列{un}を

と る と,そ

の 部 分 列{unj}

が存在 して

が 成 立 す る.こ (6.25)  を 満 た すEの

の とき π(xj)=unjかつ‖xj−xj+1‖1の し て 

場 合.y=0の

と き は 明 ら か. 

るk0に

対

い ま

を 満 た す よ う に ξk(k=1,2,…)を …)と

の と き は,あ

お く と

n≧k0な

,xn∈(lp)で

ら ば 

定 め,xn={ξ1,ξ2,…,ξn,0,0,…}(n=1,2,

あ り,ヘ

ゆ え,上

ル ダ ー の不 等 式 の 等 号 の 成 立 す る場 合 よ り

の不 等 式 の 両 辺  を とす る と 

ら れ た.p=1の

場 合.‖ek‖=1ゆ

得 て,y={ηk}∈(l∞)か

つ

え, 

で 割 る と,  と な り,(6.42)が (k=1,2,…)を

得

  (6.41),(6.42)よ

り 

を 得 る.以

上 よ り 対 応Tは(lq)か

ら(lp)′

の 上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る.    定 理6.16∼6.18よ

(証 終)

り直 ち に 次 の こ と が 分 る:

  (6.43) 

ΦN(RNま

た はCN),1

が 得 られ る.

よ っ て   (7.33)⇒(7.34) 

(7.33)が

ば,

成 立 す る と き,ξn=(x,en)=0(n=1,2,…)な

ら

 ゆ え にx=0.

  (7.34)⇒(7.30) 

{en}が

う な 正 規 直 交 系Aが

完 備 で な け れ ば,{en}を

存 在 す る.xを{en}に

か つ(x,en)=0(n=1,2,…)と   注 意   (7.31)の    定 理7.14 

真 部 分 集 合 と して 含 む よ

属 さ な いAの

な り,(7.34)が

元 と す る と, 

成 立 し な い. 

(証 終)

右 辺 の フ ー リエ 級 数 は項 の順 序 を 入 れ か え て も同 じxに 収 束 す る.

ヒ ル ベ ル ト空 間Eが

可 分 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Eの

備 正 規 直 交 系 の 濃 度 が 高 々 可 算 な る こ と,す

な わ ちEが

高 々〓0次

完

元なること

で あ る.   証 明   Eが Eの E0が

可 分 な ら ば,Eで

稠 密 な 可 算 集 合E0が

完 備 正 規 直 交 系 とす る と,各 存 在 す る.ピ

存 在 す る.A={eλ}λ

λ∈ Λ に 対 し, 

タ ゴ ラ ス の 定 理(補 題7.7)よ

∈Λ を

と な るxλ ∈

り, 

な らば

で あ る か ら,

ゆえ に.す

なわ ち,対 応: 

はAか

らE0へ

の1対1対

応 であ

る か ら, 〓の 濃 度.   逆 にEが {en}か

高 々可 算 個 の 元 か らな る 完 備 正 規 直 交 系A={en}を

ら生 成 さ れ る線 形 部 分 空 間 をFと

(ま た は 有 理 複 素 数)を 係 数 とす る1次 稠 密 で あ り,FはEで またE0は   E,Fを

可 算 集 合 で あ る.ゆ え にEは

ら,E0はEで

可 分 で あ る. 

共 に ヒ ル ベ ル ト空 間 とす る.Eか

らFの

す る と,E0はFで 稠 密 で あ る. (証終)

上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素T

ノル ム空 間 と し て 同 型 で あ る と 定 義 した

内 積 を も不 変 にす る か ら,EとFは

を もつ と考 え て よ い.そ れ ゆ え,こ

任 意有 限 個 の元 の有 理数

結 合 の 全 体 をE0と

稠 密 で あ る(定 理7.13)か

が 存 在 す る とき(§5.3でEとFは が),Tは

し,{en}の

もつ とす る.

ヒル ベ ル ト空 間 と し て 同 じ構 造

の と き,EとFは

ヒル ベ ル ト空 間 と して

同 型 で あ る と い う.   定 理7.15 〓0次

元 の ヒ ル ベ ル ト空 間Eは

空 間(l2)と

ヒ ル ベ ル ト空 間 と し て

同 型 で あ る.   証 明   {en}をEの

完 備 正 規 直 交 系 と す る.定

対 し て ξn=(x,en)(n=1,2,…)と

が 成 立 す る.明

理7.13よ

り,任

意 のx∈Eに

お く と,

ら か に 数 列{ξn}は(l2)に

属 す る.い

ま,Eか

ら(l2)へ

の作

用 素Tを Tx={ξn}  に よ っ て 定 義 す る と,Tは

次 に(l2)の

線 形 で あ る.さ

任 意 の 元{ξn}を

 はEで

らに

与 え る と,補

収 束 す る. 

ξn(n=1,2,…)を

(x∈E)

題7.12で

と お く と,内

得 る か ら,Tx={ξn}.以

示 し た と 同 様 に し て,

積 の 連 続 性 か ら,(x,en)=

上 よ り,TはEか

ら(l2)の

の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ る. 

(証終)

  次 に 完 備 正 規 直 交 系 の 例 を 挙 げ よ う.こ 間 の 場 合 で あ る か ら,高   例1 

ΦN(RNま

れ ら は い ず れ も 可 分 な ヒ ル ベ ル ト空

々 可 算 個 の 元 か ら な る 完 備 正 規 直 交 系 が 示 さ れ る.

た はCN)に

e1=(1,0,…,0), 

おいて e2=(0,1,0,…,0),…, 

eN=(0,…,0,1)

が 完 備 正 規 直 交 系 を な す こ と は 明 ら か.   例2 

(l2)に

お いて

が 完 備 正 規 直 交 系 を な す こ と は 容 易 に 分 る.   例3 

実L2(− π,π)に お い て,3角

関数 系

 (7.35)

は 完 備 正 規 直 交 系 を な す.   証 明   (7.35)が

上 へ

正 規 直 交 系 を な す こ と は,m,n=1,2,…

につ いて

よ り 明 ら か.完

備 性 を い う に は,正

空 間FがL2(−

π,π)で

の 有 限 個 の1次

π,π)はL2(−

れ を3角

多 項 式 と い う.任

が 存 在 す る.yを

る2π 周 期 の 連 続 関 数 と し て 拡 張 し,次

関 数 は,3角

元 は(7.35)の

π,π)

意 の ε>0に

無 限 区 間(−

対 して

∞,∞)に

おけ

の よ く知 ら れ た 定 理 を 用 い る.

定 理   無 限 区 間(−

多 項 式 に よ り(−

関数

意 にx∈L2(−

π,π)で 稠 密 で あ る か ら,任

 と な る 

  フ ェ イ エ ー ル(Fejer)の

ら生 成 され る線 形 部 分

稠 密 な こ と を い え ば よ い.Fの

結 合 で あ り,こ

を と る.C0(−

規 直 交 系(7.35)か

∞,∞)で

∞,∞)上

の2π

周 期 の実 数 値連 続

一様 に 近 似 さ れ る(高 木[11]pp.274

∼277).  こ れ よ り 

と な るz∈Fが

選 べ る.

で あ る か ら,

よ っ て,FはL2(−

π,π)で 稠 密 で あ る. 

  例4 

π,π)に お い て,複

複 素L2(−

素3角

(証 終) 関数系

 (7.36)

は 完 備 正 規 直 交 系 を な す.た  証 明   (7.36)が

だ し,

正 規 直 交 系 を な す こ とは

よ り明 らか.(7.36)の

関 数 の 有 限 個 の1次 結 合 を 複 素3角

の とき,無 限 区 間(− ∞,∞)上

多 項 式 とい う.こ

の2π 周 期 の 複 素 数 値 連 続 関 数 が 複 素3角

多項

式 に よ り(−

∞,∞)で

に し て,(7.36)の   注 意1 

一 様 に 近 似 さ れ る こ と を 用 い る と,例3の

場 合 と同 様

完 備 性 が 示 さ れ る. 

(証 終)

複 素L2(− π,π)に お い て も,3角

関 数 系(7.35)は

完 備 正 規 直 交 系 を な して

い る.

  注 意2 

L2(− π,π)に 属 す る 関 数x(t)が

奇 関 数(x(−t)=−x(t))の

で あ る か ら,xの(7.35)に て はsineの

項 の み 現 れ る.x(t)が

展 開 に お い てsineの   例5 

と き は, 

関 す る フ ー リエ 級 数 展 開 に お い

偶 関 数(x(−t)=x(t))の

と き は,xの

フ ー リエ 級 数

項 は 現 れ な い.

L2(0,π)に

お い て,3角

関 数 系

 (7.37)

は 完 備 正 規 直 交 系 を な す.   証 明   (7.37)が

正 規 直 交 系 を な す こ とは 容 易 に 分 る.任 意 のx∈C0(0,π)を

(−π,π)に お い て 奇 関 数xに か ら,注 る.こ

意2よ

りxはL2(−

れ ら の(0,π)へ

拡 張 す る と, 

と フ ー リエ 級 数 展 開 され

π,π)で 

の 制 限 を 考 え る と,L2(0,π)の

密 で あ る.ゆえ

  7.3 

局,(7.37)か

に(7.37)は

直 和 分 解 定 理

  定 義7.5 

ヒル ベ ル

ノル ム の 意 味 で

が 成 立 す る.C0(0,π)はL2(0,π)で

と な る か ら,L2(0,π)で  稠 密 で あ る か ら,結

であ る

ら生 成 さ れ る 線 形 部 分 空 間 はL2(0,π)で

完 備 で あ る. 

(証 終)

・リー ス の 表 現 定 理 ト空 間Eの

部 分 集 合Mに

て の 元 と 互 い に 直 交 す る と き,x⊥Mで

表 す.ま

対 し,Eの

元xがMの

た

M⊥={x∈E￨x⊥M} と か き,M⊥

をMの

  補 題7.16    (7.38)    (7.39)

Eを

E⊥={0},

稠

直 交 補 空 間 と い う. ヒ ル ベ ル ト空 間,Mを

そ の 部 分 集 合 と す る.

すべ

  (7.40)  0∈M 

な らば  M∩M⊥={0},

  (7.41)  M⊥ はEの

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る.

  証 明 は 読 者 に ゆ だ ね る(演 習 問 題7の4).   定 理7.17 

1) Mが

ヒル ベ ル ト空 間Eの

凸 閉 集 合 な らば,Mに

属 さ な いE

の 点xに 対 して d(x,M)=‖x−y0‖ を 満 た すy0∈Mが

た だ1つ

存 在 す る.た だ し 

(xか

らM

に い た る距 離).  2)  特 にMが

閉 線 形 部 分 空 間 な らば,1)で

存 在 したy0に 対 し て

x−y0⊥M.   証 明   1)  d=d(x,M)と

お く.Mは

閉 集 合 で, 

で あ る か らd>0.下

限 の 性 質 か ら,  (7.42)

を 満 た すMの Mは

点 列{yn}が

存 在 す る.{yn}が

凸 集 合 ゆ え,(ym+yn)/2∈Mで

コ ー シ ー 列 で あ る こ と を 示 す.

あ る か ら,

 (7.43)

3角 形 の 中 線 定 理(7.14)よ

(7.42),(7.43)を

用 い る と

す なわ ち  よ り, 

こ の よ うなy0は

り

と な っ て,{yn}は

が 存 在 し,Mは

た だ1つ

で あ る とす る と,再 び3角

コ ー シ ー 列 で あ る.Eの

完備 性

閉 集 合 で あ る か ら,y0∈M.

存 在 す る.実 際,あ 形 の 中線定 理 よ り

るy∈Mに

つ い て も‖x−y‖=d

と な っ て,y0=yを

得 る.

  2)  閉 線 形 部 分 空 間Mに つ 存 在 す る.任 意 にMの ∈Mで

対 し 1)よ 元 

り‖x−y0‖=dと

を 固 定 す る.任

な るy0∈Mが

た だ1

意 の 実 数 α に 対 し てy0+αy

あ るか ら,

す な わ ち,α2‖y‖2−2αRe(x−y0,y)≧0.実   (7.44) 

数 α に 関 す る2次

式 ≧0よ

り

Re(x−y0,y)=0.

yの 代 り にiyを

用 い る と,同

様 に α2‖y‖2−2αIm(x−y0,y)≧0よ

  (7.45) 

り

Im(x−y0,y)=0.

(7.44),(7.45)よ

り(x−y0,y)=0.こ

の 等 式 はy=0の

と き も成 立 す る.そ

れ ゆ えx−y0⊥M.    定 理7.18 

(証 終)

(直 和 分 解 定 理)Eを

間 と す る と,Eの

ヒ ル ベ ル ト空 間,Mを

そ の閉線形 部 分空

任 意 の 元xは

  (7.46) x=y+z, 

y∈M, 

z∈M⊥

と一 意 に 分 解 さ れ る.   証 明  x∈Mに 理7.17よ

対 し て は,y=x, 

z=0と

と れ ば よ い. 

り d(x,M)=‖x−y‖, 

を 満 た すy∈Mが ∈M⊥

の と き は,定

た だ1つ

を 得 る.分

x−y⊥M

存 在 す る.x−y=zと

お く と,x=y+z, 

z

解 の一 意性 を示 す た め x=y+z=y1+z1, y,y1∈M, 

と す る と,補

y∈M, 

題7.16よ

z,z1∈M⊥

り y−y1=z1−z∈M∩M⊥={0}

で あ る か ら,y=y1, 

z=z1. 

  系  ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

(証 終) 閉 線 形 部 分 空 間Mに

  (7.47)    証 明   補 題7.16よ

M=M⊥ りM⊂M⊥

⊥.逆

対 し て,

⊥. に 任 意 のx∈M⊥

⊥ は,定

理7.18よ

りx

=y+z, 

y∈M, 

z∈M⊥

と 分 解 さ れ る か ら,

(z,z)=(x−y,z)=(x,z)−(y,z)=0−0=0. 従 っ てz=0と   定 義7.6 

な り,x=y∈M.ゆ 定 理7.18に

る と い い,E=M 

M⊥

え にM⊥

お い て,ヒ

⊥⊂M. 

(証 終)

ル ベ ル ト空 間EはMとM⊥

と か く こ と が あ る.ま

た(7.46)に

の 直和 で あ お け るyをxのM

へ の 直 交 射 影 ま た は 射 影 と い い, y=PMx 

(x∈E)

に よ っ て 定 義 さ れ る 作 用 素PMをMへ

の 射 影 作 用 素 と い う.

  こ の と き,x=PMx+PM⊥x(x∈E)で

あ るか ら

容 易 に 分 る よ うに,射 影 作 用 素PMは‖PM‖=1な

るEか

らMの

上への 有界

線 形 作 用 素 で あ る.   定 理7.19 

ヒル ベ ル ト空 間Eの

任 意 の 元yは

fy(x)=(x,y)  に よ っ てE上

の 有 界 線 形 汎 関 数fyを

(x∈E)

定 義 し,

が 成 立 す る.   証 明  fyの 線 形 性 は 明 らか.fyの

有 界 性 は シ ュバ ル ツ の不 等 式

 (7.48)

よ り得 ら れ る.こ

の と き‖fy‖ ≦‖y‖ で あ る が,x=yと

が 成 立 す る か ら,‖fy‖=‖y‖   系   ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

す る と(7.48)で

を 得 る.  各 元xに

等号 (証 終)

対 して

  上 の 定 理 の逆 が 成 立 す る こ とを 示 す 次 の 定 理 は 重 要 で あ る.   定 理7.20 

(リー ス(Riesz)の 表 現 定 理)  ヒル ベ ル ト空 間E上

線 形 汎 関 数fに

対 して f(x)=(x,yf) 

を 満 た すyf∈Eが

一 意 に存 在 し,

(x∈E)

の任 意 の有界

が 成 立 す る.   証 明  f=0の =0}と

と き はyf=0と

お く と, 

で あ り,fの

空 間 で あ る か ら,直

で あ る か ら, 

の と き はM={x∈E￨f(x)

連 続 性 と 線 形 性 よ りMはEの

和 分 解 定 理(定 理7.18)よ

す る.yf={f(y)/‖y‖2}yと

お き,yfが

り,y∈M⊥

閉 線形部 分

と な る 

が 存在

求 む る も の で あ る こ と を 示 そ う. 

任 意 のx∈Eを

と表 した と き,右 辺 の 第1項

を 得 る.一

と れ ば よ い. 

はMに

属 す る こ と が 分 る か ら,

意 性 を 示 す た め,y0∈Eに

ついても

f(x)=(x,y0)  が 満 た さ れ る と す る と,任

(x∈E)

意 のx∈Eに

ついて

(x,yf−y0)=(x,yf)−(x,y0)=f(x)−f(x)=0 と な り,yf=y0を

得 る.‖yf‖=‖f‖

が 成 立 す る こ と は 定 理7.19と

同 様 で あ る.  (証 終)

  定 理7.19,定

理7.20よ

り次 の こ と が 分 る.

  複 素 ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

共 役 空 間E′

の 任 意 の 元fに

f(x)=(x,yf)  よ り決 定 さ れ るyf∈Eを 上 へ の1対1の   さ ら に,任

(x∈E)

対 応 さ せ る 作 用 素 をTと

す る と,TはE′

か らEの

ノ ル ム を 不 変 に す る 作 用 素 で あ る. 意 のf,g∈E′

と 任 意 の α,β∈ Φ に 対 し て

  (7.49) 

T(αf+βg)=αTf+βTg

が 成 立 す る.(7.49)を   任 意 のf,g∈E′に

満 た す よ う なTは

反 線 形 で あ る と い う.

対 し (f,g)=(Tf,Tg)

と 定 義 す る と,(f,g)は

内 積 の 条 件 を 満 た し,‖f‖=(f,f)1/2が

E′ は ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.そ

こ で 簡 略 にEとE′

を 同 一 視 し て,次

表 現 す る こ と が 多 い.   "ヒ ル ベ ル ト空 間Eの

共 役 空 間E′

はEそ

成 立 す る か ら,

れ 自 身 で あ る."

の形 に

  す で に 定 理7.5で

ヒ ル ベ ル ト空 間Eは

回 帰 的 で あ る こ と を 示 し た が,こ

の

こ と は 次 の 考 察 か ら も 分 る.   上 述 の 意 味 で の,E′

か らEの

上 へ の,お

よ びE″

を 不 変 に す る 反 線 形 な 作 用 素 を そ れ ぞ れT1,T2と Eの

上 へ の 等 距 離 線 形 作 用 素 で あ り,し

か らE′ の 上 へ の ノ ル ム

す る と,積T1T2はE″

か もT1T2は(5.47)の

と 同 じ も の を 与 え て い る.よ

っ てEは

か ら

意 味 で の 対 応:

回 帰 的 で あ る.

演 習 問 題7   1.完

備 で な い 内 積 空 間Eの

ノル ム‖x‖=(x,x)1/2に

よ る完 備 化Eは

ヒル ベ ル ト空 間

で あ る こ と を 示 せ.   2.ヒ

ル ベ ル ト空 間Eの

任 意 有 限 個 の 元 のx1,x2,…,xnに 対 して

が 成 立 す る こ とを 示 せ.   3.ヒ

ル ベ ル ト空 間Eの

正 規 直 交 系{en}が

完 備 で あ るた め に は,Eの

任 意 の2元x,

yに 対 して

が 成 立 す る こ とが 必 要 十 分 で あ る こ とを 示 せ.   4.補

題7.16を

  5.1) 

証 明 せ よ.

内 積 空 間Eの

そ の 閉 線 形 部 分 空 間Fに

よ る商 空 間E/Fは

内積空 間 であ る こ

と を 示 せ.   2)  ヒル ベ ル ト空 間Eの

そ の 閉 線 形 部 分 空 間Fに

よ る商 空 間E/FはFの

F⊥ と ヒル ベ ル ト空 間 と して 同 型 で あ る,す な わ ちE/F=F⊥   6.ヒ

ル ベ ル ト空 間Eの2点

直 交補 空間

で あ る こ と を 示 せ.

列{xn},{yn}が 

な らば 

で あ る こ とを 示 せ.   7.ヒ

ル ベ ル ト空 間Eの

完 備 正 規 直 交 系{en}は0に

σ(E,E′)‐収 束 す る が,(ノ

ルム

の 意 味 で は)収 束 し な い こ とを 示 せ.   8.ヒ  1) 

 2)任   3)

ル ベ ル ト空 間Eの はEで 意 のy∈Eに

直 交 系{xn}に

対 し て 次 の3条 件 は 同 値 で あ る こ とを 示 せ.

収 束 す る. 対 し て 

は 収 束 す る.

8.固

  8.1    Eを ちEに

有 値 と固 有 ベ ク トル

ス ペ ク トル と レ ゾ ル ベ ン ト 係 数 体 Φ 上 の ノ ル ム 空 間 と す る.TをD(T),R(T)⊂Eな お け る 線 形 作 用 素 と し,IをEに

Φ に 対 し てEに

る,す

お け る 恒 等 作 用 素 と す る.任

なわ

意 の λ∈

おけ る線 形作 用 素 Tλ=λI−T

を 考 え る.明

ら か にD(Tλ)=D(T)で

作 用 素Tλ−1に

つ い て 次 の4つ

あ る.λ

が Φ の 中 を 動 く と き,Tλ

の 場 合 が 考 え ら れ る.

  (8.1)Tλ−1が

存 在 し,D(Tλ−1)はEで

稠 密 でTλ−1は 有 界 で あ る,

  (8.2)Tλ−1が

存 在 し,D(Tλ−1)はEで

稠 密 でTλ−1は 有 界 で な い,

  (8.3)Tλ−1が

存 在 し,D(Tλ−1)はEで

稠 密 で な い,

  (8.4)Tλ−1が

存 在 し な い.

  定 義8.1 

(8.1)が

い,ρ(T)で

表 す.λ ∈ ρ(T)の

う.(8.2)が

成 立 す る よ う な λ をTの

σc(T)で

表 す.(8.3)が

の 全 体 を σr(T)で

成 立 す る よ う な λ の 全 体 をTの

は 固 有 値 と い い,そ と か き,λ ∈ σ(T)をTの

と きTλ−1をTの

レ ゾ ル ベ ン ト集 合 と い

λ に お け る レ ゾ ル ベ ン トと い

連 続 ス ペ ク トル と い い,そ

成 立 す る よ う な λをTの

表 す.(8.4)が

の逆

剰 余 ス ペ ク トル と い い,そ

成 立 す る よ う な λをTの

の 全 体 を σp(T)で

の全 体 を

点 ス ペ ク トル ま た

表 す. 

ス ペ ク トル と い う.

  明 ら か に ρ(T),σc(T),σr(T),σp(T)は

互 い に素 な集 合 で

が 成 立 す る.   定 義8.2  D(T)の

λがTの

元xが

い う.Eが

固 有 値 で あ る と き に は,Tx=λxを

存 在 す る.こ の 元xをTの

異なる

固 有 値 λ に属 す る固 有 ベ ク トル と

関 数 空 間 の と き,固 有 ベ ク トル を 固 有 関 数 と も い う.さ

={x∈E￨Tx=λx}をTの

ら に,Mλ

固 有 値 λに属 す る 固 有 空 間 とい う.

  容 易 に 分 る よ う に,固 有 空 間Mλ はEの   定 理8.1 

満 た す0と

線 形 部 分 空 間 で あ る.

Eを バ ナ ッハ 空 間 と し,TをD(T), 

R(T)⊂Eな

る閉 線 形 作 用

素 と す る.λ ∈ ρ(T)で =Eと

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Tλ−1が

な る こ と で あ る.こ

  証 明   Tが

る.さ

の と きTλ−1∈L(E,E).

閉 作 用 素 の と き,Tλ

習 問 題3の5).ま

もD(Tλ)=D(T)な

たTλ−1が 存 在 す れ ば,定

て λ∈ ρ(T)な

ら ば,定

{xn}はEの

ら ば,閉

な わ ち λ∈ ρ(T)を

λ∈ ρ(T)か

稠密で

と る.D(Tλ−1)

点 列{xn}が

存 在 す る.

有 界 性 よ り,{Tλ−1xn}もEの が 存 在 す る.よ

つTλ−1x=y).す

が 存 在 し てD(Tλ−1)=Eな

Eを

意 にx∈Eを

完 備 性 よ り, 

の 閉 性 よ り,x∈D(Tλ−1)(か

  定 理8.2 

りTλ−1も 閉 作 用 素 で あ

と な るD(Tλ−1)の

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,Tλ−1の

は 有 界,す

理3.14よ

示 す た め,任

稠 密 で あ る か ら, 

ー シ ー 列 で あ る.Eの

る 閉 作 用 素 で あ る(演

義 か らTλ−1が 存 在 し てD(Tλ−1)はEで

Tλ−1は 有 界 で あ る.D(Tλ−1)=Eを

はEで

存 在 し てD(Tλ−1)

な わ ちD(Tλ−1)=E.逆

グ ラ フ 定 理(定 理3.20)よ

っ てTλ−1 にTλ−1

り,閉 作 用 素Tλ−1

得 る. 

(証終)

バ ナ ッ ハ 空 間 と し,T∈L(E,E)と

つ 

コ

す る. 

な らば

従 っ て,ρ(T)は

空集合

で は な い.

 証明  3.7よ

で あ る か ら,定 理

と す る. 

り(λI−T)−1∈L(E,E)が

存在 し

よ っ て λ∈ ρ(T).    系   Eを

(証 終)

バ ナ ッ ハ 空 間 と す る.T∈L(E,E)に

  注 意   Eが

複 素 バ ナ ッハ 空 間 の と きは,T∈L(E,E)に

またn→ ∞ の と き 

対 し

対 して 

が 示 され る.

は収 束 して

で あ る こ とが示 され る.上 式 の左辺 をTの ス ペ ク トル半 径 とい う.

  8.2    E,Fを

双 対作 用素 ノ ル ム空 間 と し,そ の 共 役 空 間 を そ れ ぞ れE′,F′ とす る.TをD(T)

⊂E,R(T)⊂Fな

る 線 形 作 用 素 と し,D(T)はEで

F′ の 元y′ に 対 し て,E′

の 元x′ が 存 在 し て

稠 密 で あ る と仮 定 す る.

  (8.5) 

〈Tx,y′ 〉=〈x,x′ 〉   (x∈D(T))

が 成 立 す る も の と す る.こ y′に 対 しx′1も(8.5)を

の と き,x′

はy′ に よ り 一意 に 決 定 さ れ る.実

満 た す と す る と, 〈x,x′〉=〈x,x′1〉 

と な り,D(T)はEで   定 義8.3 

(8.5)を

で 表 し,y′

∈D(T′)に

T′ をTの

際,

(x∈D(T))

稠 密 で あ る か ら,x′=x′1と

な る.

満 た すx′ ∈E′ が 存 在 す る よ う なy′ ∈F′ の 全 体 をD(T′) こ の よ う なx′ ∈E′ を 対 応 さ せ る 作 用 素 をT′

で 表 し,

双 対 作 用 素 と い う.

  定 義 か ら,   (8.6) 

〈Tx,y′ 〉=〈x,T′y′ 〉

  (x∈D(T), 

y′∈D(T′))

が 成 立 す る.   Tの

種 々 の 性 質 がT′

  定 理8.3 

に 反 映 し て い く こ と が 次 第 に 明 ら か に な る.

E,Fを

ノ ル ム 空 間 と し,TをD(T)⊂E, 

用 素 と し,D(T)はEで

稠 密 で あ る と す る と,T′

R(T)⊂Fな

る線 形 作

はD(T′)⊂F′,R(T′)⊂E′

な る 閉 線 形 作 用 素 で あ る.   証 明  y′1,y′2∈D(T′),α1,α2∈

が す べ て のx∈D(T)に

よ っ て,D(T′)はF′

つ い て 成 立 す る か ら,α1y′1+α2y′2∈D(T′)か

つ

の 線 形 部 分 空 間 で あ り,T′ は線 形 で あ る.

 次 にT′ の 閉 性 を 示 す.D(T′)の と す る と,す

Φ に対 し

べ て のx∈D(T)に

が 成 立 す る か ら,y′ ∈D(T′)か

点 列{y′n}が 

か つ 

ついて

つT′y′=x′.よ

っ てT′

は 閉 作 用 素 で あ る. (証 終)

  定 理8.4  で あ り,

E,Fを

ノ ル ム 空 間 と す る.T∈L(E,F)な

ら ばT′

∈L(F′,E′)

が 成立 す る   証 明   任 意 のy′∈F′ に 対 し f(x)=〈Tx,y′ に よ っ てE上

の汎 関 数fを

〉 

定 義 す る と,明

用 素 の 定 義 か らy′∈D(T′),す

(x∈E) らか にf∈E′ で あ る か ら,双

な わ ちD(T′)=F′

で あ る.さ

ら に,す

対作

べての

y′∈F′ に 対 し

が 成 立 す る か ら,T′ のx∈Eに

は 有 界 か つ 

.一

方,補

題5.11よ

り,す

べ て

対 し

が 成 立 す る か ら,    定 理8.5 

E,F,Gを

よ っ て.  ノ ル ム 空 間 と す る.

  (8.7)T,S∈L(E,F),α   (8.8)T∈L(E,F), 

∈ Φ に 対 し   (T+S)′=T′+S′,  S∈L(F,G)に

  (8.9)T∈L(E,F)に はTに   証 明   (8.7)の

(証 終)

(αT)′=αT′,

対 し(ST)′=T′S′,

対 しT″(=(T′)′)∈L(E″,F″)のEに 一 致 す る,す

おけ る 制 限

な わ ちT⊂T″.

証 明.y′ ∈F′ に 対 し,す

よ っ て(T+S)′y′=(T′+S′)y′(y′

べ て のx∈Eに

∈F′).ゆ

ついて

え に(T+S)′=T′+S′.後

半の

証 明 も 同 様.   (8.8)の

証 明.z′ ∈G′ に 対 し,す 〈x,(ST)′z′ 〉=〈STx,z′

よ っ て(ST)′z′=T′S′z′(z′   (8.9)の

べ て のx∈Eに

〉=〈Tx,S′z′ 〉=〈x,T′S′z′ 〉.

∈G′).ゆ

証 明.  T′∈L(F′,E′)で

ついて

え に(ST)′=T′S′.

あ る か ら,T″

y′∈F′ に 対 し 〈y′,T″x〉=〈T′y′,x〉

∈L(E″,F″). 

x∈E⊂E″,

(x∈EをE″

の 元 と み な す と き の 規 約 に よ り) =〈x,T′y′ 〉=〈Tx,y′ 〉

(Tx∈FをF″

の 元 と み な す と) =〈y′,Tx〉.

よ っ てT″x=Tx(x∈E).    定 理8.6 

E,Fを

(証終) ノ ル ム 空 間 と し,T∈L(E,F)と

任 意 の 部 分 集 合Mに

す る.こ

の と き,Eの

対 して

  (8.10)T(M)0=T′−1(M0). ま た,F′

の 任 意 の 部 分 集 合M′

に対 し て

  (8.11)T′(M′)0=T−1(M′0). こ こ で,極

集 合 はEとE′,お

T−1(  ),T′−1( 

)は

  証 明   (8.10)の

証 明.

と 表 さ れ,T′

よ びFとF′

そ れ ぞ れT,T′

に よ る 逆 像 を 意 味 す る.

の定 義 か ら 〈Tx,y′ 〉=〈x,T′y′ 〉  

で あ る か ら,上   (8.11)に   MがEの

の 双 対 性 に お い て と る も の と し,

の2つ

(x∈E,y′

∈F′)

の 集 合 は 等 し い.

つ い て も 同 様.  線 形 部 分 空 間 の と き,M⊥={x′

(証終) ∈E′￨〈x,x′ 〉=0(x∈M)}はM0

に 等 し い こ と に 注 意 す る(演 習 問 題6の7).E′

の 線 形 部 分 空 間 につ い て も 同

様 で あ る.   系1 

E,Fを

ノ ル ム 空 間 と し,T∈L(E,F)と

す る.

  (8.12)R(T)⊥=N(T′),   (8.13)R(T′)⊥=N(T). こ こ で,N(T),N(T′)は   証 明   (8.12)の

そ れ ぞ れT,T′ 証 明.(8.10)でM=Eと

の 零 空 間 で あ る. お く こ と に よ り,

R(T)⊥=T(E)⊥=T(E)0=T′−1({0})=N(T′).   (8.13)に   系2 

つ い て も 同 様. 

E,Fを

ノ ル ム 空 間 と し,T∈L(E,F)と

(証 終) す る.

  1)  R(T)がFで

稠 密 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はT′ が1対1な

る こ とで

あ る.   2)  R(T′)がE′ 1な

で σ(E′,E)‐ 稠 密 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はTが1対

る こ と で あ る.

  証 明   1)R(T)がFで

稠 密 な る こ と とR(T)⊥={0}な

あ り(演 習 問 題5の3),こ   2)  EがE′

りN(T′)={0}で

あ る.

の σ(E′,E)‐ 共 役 空 間 で あ る こ と か ら,1)と

  定 理8.7  次 の2条

の と き,(8.12)よ

る こ と とは 同 値 で

(可 逆 定 理)  E,Fは

同 様. 

(証 終)

バ ナ ッ ハ 空 間 と す る.T∈L(E,F)に

対 し,

件 は 同 値 で あ る:

  (8.14)R(T)=F,   (8.15)T′

の 逆 作 用 素T′−1が

  証 明   こ こ で は,た のEに

お け る 閉 包BEはEの

  (8.14)を α>0が

と え ば,バ

存 在 し てT′−1はD(T′−1)で ナ ッ ハ 空 間Eの

開 単 位 球 をBEで

閉 単 位 球 で あ る.F,E′,F′

仮 定 す る と,開

有 界 で あ る.

写 像 定 理(定 理3.19)よ

表 す.BE

に つ い て も 同 様.

り,Tは

開 写 像 で あ る か ら,

存 在 して T(BE)⊃

こ の 両 辺 の 集 合 のF′

αBF.

に お け る 極 集 合 を と る と,定

     (8.16)T′−1(BE0)⊂ こ こ で,BE0=BE′,   (8.17) 

の 系2よ

あ る か ら, T′−1(BE′)⊂

お け るT′−1はT′

り,T′

り

α−1BF0. BF0=BFで

(8.16),(8.17)に

理8.6よ

は1対1で

味 に とれ ば,(8.17)の

α−1BF′.

に よ る 逆 像 を 意 味 す る.一

あ る か ら,そ

左 辺 はBE′

の 逆 作 用 素T′−1が

∩D(T′−1)のT′−1に

方,定

理8.6

存 在 す る.そ

の意

よ る 像 に 等 し い か ら,

 (8.18)

こ れ よ り,任

意 の ε>0に

対 して

これ は,T′−1がD(T′−1)の 表 し て い る.よ   逆 に(8.15)を 成 立 し,再

原 点0で

っ て(8.15)が

り

っ てD(T′−1)で

有 界 な こ とを

成 立 す る.

仮 定 す る と,あ

び 定 理8.6よ

連 続,従

る α>0に

対 し て(8.18),従

っ て(8.16)が

T(BE)0⊂

両 辺 の 集 合 のFに

α−1BF0.

お け る 極 集 合 を と る と, T(BE)00⊃

こ こ で,T(BE)は

αBF00.

円 形 凸 集 合 で あ る か ら,T(BE)00はT(BE)のFに

閉 包T(BE)に

等 し い(補 題5.6と

定 理5.7).ま T(BE)⊃

を 得 る が,補

題3.18よ

たBF00⊃BF.ゆ

おけ る えに

αBF

り T(BE)⊃aBF.

これ は(8.14)の   例   ΦNか

成 立 を 示 し て い る. 

らΦNへ

の 線 形 作 用 素TをN次

(証 終) 正 方 行 列 で 表 し,

T=(tij) に 対 し, 

と す る. 

で 与え られ る.(ΦN)′=ΦNで

あ る か ら,Tの

ΦNへ の 線 形 作 用 素 で あ るが,こ を み よ う. 

は

双 対 作 用 素T′ はや は りΦNか ら

のT′ が どの よ うな 行 列 に よ っ て 表 され るか を 固 定 す る と,任

意 の 

に対 し

一 方 , 

とか く と

T′ の 定 義 よ り,上 の2式 あ るい はiとjを

の 右 辺 は 等 し く,xは

任 意 で あ る か ら, 

入れ か えて

ゆ えに T′=(tji), す な わ ち,T′

は(tij)の

転 置 行 列(tji)に

対 応 す る こ と が 分 る.

  8.3  完 全 連 続 作 用 素   ノ ル ム 空 間 で は コ ン パ ク ト性 と点 列 コ ン パ ク ト性 は 同 値 な 概 念 で あ る(演 習 問 題1の6).   補 題8.8 

Eを

ノル ム空 間 と し,Fを

そ の 閉 線 形 部 分 空 間 で, 

と,任 意 の ε>0に 対 し て 次 式 を満 た すx0∈Eが

とす る

存 在 す る.

 (8.19)

  証 明 

な るEの

00に

改めて

完 全 連 続 と な る.

対 して

 (8.20)

と な るlが

存 在 す る.{Tlxn}は

コ ー シ ー 列 で あ る か ら,n0が

存 在 して

な らば

 (8.21)  (8.20),(8.21)よ

り,m,n≧n0な

よ っ て{Txn}はFに

らば

お け る コ ー シ ー 列 で あ る.Fは

完 備 で あ る か ら,{Txn}

は 収 束 す る. (証   定 理8.14 

終)

S∈L(E,F),T∈L(F,G)と

す る.も

と も 一 方 が 完 全 連 続 な ら ば,TSはEか   証 明   Sが

完 全 連 続 の と き,Eの

選 ぶ と,{Sxn′}はFで る.よ

っ て,TSは

  次 にTが {Sxn}はFの

らGへ

うち の 少 な く

の 完 全 連 続 作 用 素 で あ る.

有 界 点 列{xn}か

収 束 す る.Tの

し,S,Tの

ら 部 分 列{xn′}を

連 続 性 か ら,{TSxn′}はGで

適 当に 収束す

完 全 連 続 で あ る.

完 全 連 続 と す る.Eの

有 界 点 列{xn}に

有 界 点 列 で あ る か ら,{TSxn}は

対 し て,Sの

有 界 性 よ り,

収 束 部 分 列 を 含 む.よ

っ て,

TSは

完 全 連 続 で あ る. 

  注 意   バ ナ ッ ハ 空 間Eか

(証 終)

表 す と き,定

理8.11∼8.13よ

分 る.L(E,F)は E=Fの

ら バ ナ ッハ 空 間Fへ

の 完 全 連 続 作 用 素 の 全 体 をC(E,F)で

りC(E,F)はL(E,F)の

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る こ とが

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る か ら,C(E,F)も

と き,定

理8.14よ

り,任

意 のT∈L(E,E)に

バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.さ

らに

対 し

{ST￨S∈C(E,E)}⊂C(E,E), {TS￨S∈C(E,E)}⊂C(E,E) で あ る.

  定 理8.15 

T∈L(E,F)の

値 域R(T)が

有 限 次 元 な ら ば,Tは

完全連続で

あ る.   R(T)が

有 限 次 元 の と き,Tは

  証 明   仮 定 か ら,Eの R(T)の

有 限 階 数 で あ る と い う.

任 意 の 有 界 集 合Mに

有 界 集 合 で あ る.従

っ て 定 理8.9よ

パ ク ト集 合 で あ る か ら,T(M)はFの Tは

対 し,T(M)は

有 限 次元空 間

り,T(M)はR(T)の

相 対 コン

相 対 コ ン パ ク ト集 合 で も あ る.よ

完 全 連 続 で あ る. 

  定 理8.16  は,Eが

Eに

って

(証 終)

お け る 恒 等 作 用 素Iが

完 全 連続 で あ るため の 必 要 十分 条件

有 限 次 元 な る こ と で あ る.

  証 明   Iが 完 全 連 続 で あ る と い う こ と は,Eの ン パ ク ト集 合 で あ る こ と を 意 味 す る か ら,定

任 意 の 有 界 集 合 がEの

理8.9よ

相対 コ

り定 理 は 明 ら か で あ る. (証 終)

  定 理8.17  対 作 用 素T′   証 明   Tが nBは

T∈L(E,F)が

完 全 連 続 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Tの

が 完 全 連 続 な る こ と で あ る. 完 全 連 続 と す る.B={x∈E￨‖x‖

有 界 で あ る か ら,T(nB)はFの

T(nB)は

可 分 で あ る か ら, 

と す る.{T′y′n}が

お く と, 

も 可 分 で あ る.従 存 在 す る.い

こ で 対 角 線 論 法 を 用 い る.ま

ず,{〈y1,y′n〉}は

存 在 し て,{〈y1,y1n〉}は

有 界 数 列 で あ る か ら,{y′1n}の

各

部 分 列{y′2n}が

様 の 操 作 を 続 け る と,可

え に,

っ てT(E)で

ま{y′n}をF′

収 束 部 分 列 を も つ こ と が 示 さ れ れ ば,T′

{y′n}の 部 分 列{y′1n}が

す る.同

≦1}と

相 対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る.ゆ

稠 密 な 可 算 集 合{y1,y2,…,ym,…}が

る.こ

双

の有界 点 列

は 完 全 連 続 とな

有 界 数 列 で あ る か ら,

収 束 す る.次

に{〈y2,y′1n〉}は

存 在 し て,{〈y2,y′2n〉}は

算 個 の 点 列{y′mn}(m=1,2,…)が

収束

得 ら れ,

{y′mn}は{y′m−1n}の を 考 え る と,こ

部 分 列 で,{〈ym,y′mn〉}は

れ は{y′n}の

部 分 列 で あ り,上

{〈ym,y′nn〉}は 収 束 し て い る.ま 閉 包T(E)に

た{y′nn}は

制 限 し て 考 え た と き,や

列 を な し て い る.集

収 束 し て い る.そ

こ で 点 列{y′nn}

の 作 り方 か ら,各

初 につ い て

そ の 各 元 をT(E)のFに

は り,そ

の 共 役 空 間{T(E)}′

合{y1,y2,…,ym,…}はT(E)で

ッ ハ ・シ ュ タ イ ン ハ ウ ス の 定 理(定 理3.10)よ

り,任

おける の有界 点

稠 密 で あ る.ゆえ

にバ ナ

意 のy∈T(E)に

対 して

{〈y,y′nn〉}は 収 束 し,

に よ っ て 定 義 さ れ るy′0は{T(E)}′ 5.1)の

系2に

よ り,y0をF′

に 属 す る.ハ

ー ン ・バ ナ ッ ハ の 定 理(定

理

の 元y′ に 拡 張 で き る:〈y,y′〉=〈y,y′0〉(y∈T(E)).

さて  (8.22)

を 示 そ う.点

列{y′nn−y′}はF′

と お く.ε>0を Fの

で 有 界 で あ る.

任 意 に 与 え る.T(B)はFの

開 球 

相 対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る か ら,

に 対 し,T(B)の

有 限 個 の 元z1,z2

,…,zlを

選 んで  (8.23) と で き る.各zm{m=1,2,…,l)に

つ い て

で あ るか ら,自 然 数n(m)が

存 在 して

な らば n(1),n(2),…,n(l)の り,任

意 のx∈Bに

け る か ら,

う ち の 最 大 の も の をn0と 対 し,m(1≦m≦l)とy∈Bが

し,n≧n0と

す る .(8.23)よ

存 在 し てTx=zm+yと

か

ゆ え に,n≧n0な

らば

と な っ て,(8.22)が   逆 にT′

成 立 す る.

が 完 全 連 続 とす る と,前

用 素 で あ る.E,Fは Eの

Fに

そ れ ぞ れE″,F″

任 意 の 有 界 集 合MはE"の

はF″

半 よ り,T″

  定 理8.18    (8.24) 

っ てTは

T∈L(E,F)が Eの

へ の完全 連 続作 って

有 界 集 合 で あ る か ら,T(M)=T″(M)(⊂F) の 閉 集 合 で あ る か ら,T(M)の

に お け る 閉 包 は 一 致 す る.ゆ

ン パ ク ト集 合 で も あ る.よ

か らF″

の 部 分 ノ ル ム 空 間 と み な さ れ る.従

の 相 対 コ ン パ ク ト集 合 で あ る.FはF″ お け る 閉 包 とF″

はE″

え にT(M)はFの

相対 コ

完 全 連 続 で あ る. 

(証終)

完 全 連 続 の と き,

点 列{xn}とx∈Eに

対 し

ならば   証 明   まず 任 意 のT∈L(E,F)に

で あ る.

対し な らば

 (8.25)  を 示 す.そ

の た め,Fの0の

任 意 の σ(F,F′)-近

傍

V={y∈F￨￨〈y,y′k〉￨≦1(k=1,2,…,m)} (た だ し,y′1,y′2,…,y′m∈F′)に

対 し て,Eの0の

σ(E,E′)-近

傍

W={x∈E￨￨〈x,T′y′k〉￨≦1(k=1,2,…,m)}

の と ぎ,n0が

を と る. 

W.こ

存 在 し て,n≧n0な

ら ばxn−x∈

の とき

よ り,n≧n0な

ら ばTxn−Tx∈V.ゆ   の と ぎ,集

有 界,従

え に 合M={x1,x2,…,xn,…}はEで

っ て有 界 で あ る(定 理5.13).Tが

る 閉 包T(M)は と σ(F,F′)と

  注意  Eが 回帰 的 の と き,条 件(8.24)が 8の7).   以 後,バ える .

完 全 連 続 な ら ばT(M)のFに

コ ンパ ク トで あ るか ら,T(M)上 は一 致 す る か ら,(8.25)よ

ナッ ハ空 間Eに

σ(E,E′)-

り 

で はFの

おけ

ノル ム に よ る位 相 で あ る. 

(証 終)

成 立す ればTは 完 全連続 で あ る(演 習問題

おけ る 完 全連 続 作用 素 の固 有値 に関す る問題 を 考

  定 理8.19 

バ ナ ッ ハ 空 間Eに

λに 属 す る 固 有 空 間Mλ

お け る 完 全 連 続 作 用 素Tの0と

はEの

有 限 次 元 の 線 形 部 分 空 間 で あ る.

  証 明  Mλ={x∈E￨(T− で あ る か ら,作 で あ る.Tを

λI)x=0}

用 素T−

λIの 連 続 性 と 線 形 性 よ り,Mλ

バ ナ ッ ハ 空 間Mλ

作 用 素 λ−1Tに 等 し い か ら,定 Eに

の と き,Mλ 理8.16よ

りMλ

お け る 線 形 作 用 素Tの

α2x2+…+αn−1xn

に お け る完 全 連 続 作

は 有 限 次 元 で あ る. 

完全 連続 (証 終)

任 意 有 限 個 の 互 い に異 な る 固 有 値

と き は 明 ら か.n−1の

立 す る こ と を 示 す.い

閉 線形 部 分空 間

に お け る 恒 等 作 用 素Iは

λ1,λ2,…,λnに 属 す る 固 有 ベ ク トルx1,x2,…,xnは1次   証 明   n=1の

はEの

に 制 限 す る と き,TはMλ

用 素 で あ る こ と に 注 意 す る.こ

  補 題8.20 

異 な る固 有 値

独 立 で あ る.

と き 成 立 す る と 仮 定 し て,nの

ま,x1,x2,…,xnが1次

と き成

独 立 で な い と す る.xn=α1x1+

−1と 表 さ れ る と し て よ い.Txk=λkxk(k=1,2,…,n)で

ある

か ら,

帰 納 法 の 仮 定 よ り,x1,x2,…,xn−1は1次

独 立 で あ る か ら,

λ1,λ2,…,λnは 互 い に 異 な る か ら,α1=α2=…=αn xnが

っ てxn=0と

固 有 ベ ク トル で あ る こ と に 反 す る. 

  定 理8.21 

バ ナ ッ ハ 空 間Eに

は 有 限 集 合 で あ る か,ま   証 明   ま ず Λ は0以

た は0の

補 題8.20よ

り,集

と な る Λ の 数 列{λn}が

  (8.26) 

し Λ が 集 積 点  選 べ る.{λn}は

つ い て λnに 属 す る 固 有 ベ ク トルxnを

合{x1,x2,…,xn,…}は1次

ら 生 成 さ れ る 線 形 部 分 空 間 をFnと

Fn−1はFnの

固有 値 の全体 Λ

み を 集 積 点 に も つ 可 算 集 合 で あ る.

外 に 集 積 し 得 な い こ と を 示 そ う.も

す べ て 異 な る も の とす る.各nに

な り, (証 終)

お け る 完 全 連 続 作 用 素Tの

を も っ た と す る と, 

xn}か

−1=0.よ

閉 線 形 部 分 空 間 で あ る.よ yn∈Fn,‖yn‖=1,

と る.

独 立 で あ る か ら,{x1,x2,…, す る と,  っ て 補 題8.8よ

かつ り

 (8.27)

を 満 た すEの る.他

点 列{yn}が

方,yn=α1x1+α2x2+…+αnxnと

従 っ てm￨λ￨/2で

か ら,(8.27)よ

り

ゆ えに{Tyn}は

収 束 す る 部 分 列 を も た な い こ と に な り,Tの

あ る

完 全連続 性 に反

し不 合 理 で あ る.   各nに

つ い て￨λ￨≧1/nと

が 成 立 す る.各

Λnは 有 限 集 合 で あ る.な ぜ な らば,Λ

の 有 界 集 合 で あ る か ら,も れ ば な らず,こ る か,ま

な る λ∈ Λ の 全 体 を Λnで 表 す と,  は 定 理8.2の

系よ りΦ

し Λnが 無 限 集 合 な ら0と 異 な る集 積 点 を もた な け

れ は 前 半 の 結 果 に 反 す る か らで あ る.従 って Λ は 有 限 集 合 で あ

た は 可 算 集 合 で あ る.後 者 の場 合 は,再 び 前 半 よ り Λ は0を 集 積 点 と

し て もつ. 

(証終)

  8.4  共 役 作 用 素   本 節 で はEは す な わ ちEに Eの 元yに

つ ね に ヒル ベ ル ト空 問 とす る.TをD(T),R(T)⊂Eな お け る線 形 作 用 素 と し,D(T)はEで

対 して,Eの

  (8.28) 

元y*が

(x∈D(T))

が 成 立 す る も の とす る.こ の と き,y*はyに

よ り一 意 に 決 定 され る.実 際,y

満 た す とす る と, (x,y*)=(x,y*1) 

(x∈D(T))

とな り,D(T)はEで

稠 密 で あ る か ら,y*=y*1と

  定 義8.5 

満 た すy*∈Eが

(8.28)を

稠 密 で あ る と仮 定 す る.

存 在 して

(Tx,y)=(x,y*) 

に 対 しy*1も(8.28)を

る,

な る.

存 在 す る よ うなy∈Eの

全 体 をD(T*)

で 表 し,y∈D(T*)に T*をTの

こ の よ う なy*∈Eを

対 応 さ せ る 作 用 素 をT*で

表 し,

共 役 作 用 素 と い う.

  定 義 か ら,   (8.29) 

(Tx,y)=(x,T*y) 

(x∈D(T),y∈D(T*))

が 成 立 す る.   定 理8.22 

TはEに

る と,T*はEに

お け る 線 形 作 用 素 で,D(T)はEで

稠密 で あ る とす

お け る 閉 線 形 作 用 素 で あ る.

  証 明   y1,y2∈D(T*),α1,α2∈

Φ に対 し

が す べ て のx∈D(T)に

つ い て 成 立 す る か ら,α1y1+α2y2∈D(T*)か

よ っ て,D(T*)はEの

線 形 部 分 空 間 で あ り,T*は

 次 にT*の

閉 性 を 示 す.D(T*)の

とす る.内

が 成 立 す る か ら,y∈D(T*)か

線 形 で あ る.

点 列{yn}が 

積 の 連 続 性 よ り,す

か つ 

べ て のx∈D(T)に

つT*y=z.ま

つ

ついて

っ てT*は

閉 作 用 素 で あ る. (証 終)

  定 理8.23 

T∈L(E,E)な

ら ばT*∈L(E,E)で

あ り,

が 成 立 す る.   証 明   任 意 にy∈Eを

固 定 し, f(x)=(Tx,y) 

とお く と,fはE上

(x∈E)

の 線 形 汎 関 数 で あ り,Tの

有 界 性 と シ ュバ ル ツの 不 等 式 よ

り

と な る か ら,fは y*∈Eが

有 界 で あ る.よ

っ て リ ー ス の 表 現 定 理(定 理7.20)に

存在 して (Tx,y)=(x,y*) 

(x∈E)

よ り,

が 成 立 す る か ら,y∈D(T*),す

な わ ちD(T*)=Eで

あ る.ま

た,‖y*‖=‖f‖

ゆ え,

こ の 不 等 式 が す べ て のy∈Eに ≦ ‖T‖.一

方,定

理7.19の

が 成 立 す る か ら,‖T‖   定 理8.24 

つ い て 成 立 す る か ら,T*は 系 よ り,す

≦ ‖T*‖.ゆ

T,S∈L(E,E),α

(8.30) 

(T+S)*=T*+S*,

(8.31) 

(ST)*=T*S*,

(8.32) 

T**(=(T*)*)=T.

  証 明   (8.30)の

べ て のx∈Eに

有 界 で あ り ‖T*‖

ついて

え に ‖T‖=‖T*‖. 

(証 終)

∈Φ に 対 し (αT)*=αT*,

証 明.x,y∈Eに

対 し

(x,(T+S)*y)=((T+S)x,y)=(Tx,y=+(Sx,y) =(x,T*y)+(x,S*y)=(x,(T*+S*)y). よ っ て(T+S)*y=(T*+S*)y(y∈E).ゆ

え に(T+S)*=T*+S*.後

半 の

証 明 も 同 様.  (8.31)の

証 明 も 容 易.

 (8.32)の

証 明.T*∈L(E,E)で

あ る か ら,T**∈L(E,E).x,y∈Eに

対

し (x,T**y)=(T*x,y)=(y,T*x)=(Ty,x)=(x,Ty). よ っ て,T**y=Ty(y∈E).ゆ

え にT**=T. 

(証 終)

  共 役 作 用 素 は 双 対 作 用 素 と 類 似 の 概 念 で あ る か ら,上 に つ い て 成 立 す る 多 く の こ と が ら と 同 様 の こ と が,共 す る が,以   例   CNか

述 の よ うに 双 対 作 用 素 役 作 用 素 に対 して も成 立

下 省 略 す る. らCNへ

の 線 形 作 用 素TをN次

正 方 行 列 で 表 し,

T=(tij) と す る.x=(ξ1,ξ2,…,ξN)∈CNに

対 し,Tx=(η1,η2,…,ηN)∈CNは

で 与 え ら れ る.Tの

共 役 作 用 素T*が

よ う.z=(ζ1,ζ2,…,ζN)∈CNを

どの よ うな 行 列 に よ っ て 表 され る か を み

固 定 す る と,任

意 のx=(ξ1,ξ2,…,ξN)∈CN

に対 し

一 方

,T*z=(ζ′1,ζ′2,…,ζ′N)と

(Tx,z=(x,T*z)か

か

つxは

く と,

あ るい は

任 意 で あ る か ら, 

ゆ えに T*=(tji), す な わ ち,T*は(tij)の

  8.5 

共 役 転 置 行 列(tji)に

対 応 す る こ と が 分 る.

自己 共 役 完 全 連 続 作 用 素

  定 義8.6 

Tは

ヒ ル ベ ル ト空 間Eに

密 で あ る とす る.T=T*の   従 っ てTが

と きTを

お け る 線 形 作 用 素 で,D(T)はEで

稠

自 己 共 役 作 用 素 と い う.

自 己 共 役 作 用 素 な らば (Tx,y)=(x,Ty) 

(x,y∈D(T))

が 成 立 す る.   自 己 共 役 作 用 素 が エ ル ミ ー ト(Hermite)行

列(tij)(tij=tji)の

拡張概 念 で

あ る こ と は 明 ら か で あ ろ う.   補 題8.25    証 明   T=T*と   補 題8.26 

自 己 共 役 作 用 素Tは 定 理8.22よ D(T)=Eな

閉 作 用 素 で あ る.

り 明 ら か. 

(証 終)

る 自 己 共 役 作 用 素Tは

  証 明   前 補 題 と 閉 グ ラ フ 定 理(定 理3.20)よ   定 理8.27   (8.33)

が 成 立 す る.

有 界 な 自 己 共 役 作 用 素Tに

有 界 で あ る.

り 明 ら か. 

対 して

(証 終)

 証明

 と お く と λ≦ μ.

よ り,μ ≦ ‖T‖.次 ム は1で

に‖T‖ ≦ λを 示 せ ば よ い.任

意 の 

に 対 しx/‖x‖ の ノ ル

あ る か ら,λ の 定 義 よ り￨(T(x/‖x‖),x/‖x‖)￨≦

λ.よ

って

 (8.34) こ の 不 等 式 はx=0の z∈Eに

と き も 成 立 す る.Tの

自 己 共 役 性 を 用 い る と,任

意 のy,

対 し て (T(y+z),y+z)−(T(y−z),y−z) ={(Ty,y)+2Re(Ty,z)+(Tz,z)} −{(Ty,y}−2Re(Ty,z)+(Tz,z)}=4Re(Ty,z).

(8.34)と3角

形 の 中 線 定 理 を 用 い る と

 の と き,こ の 不 等 式 で

 とお く と

  で あ る か ら,

こ れ よ り ‖T‖≦ λを 得 る.    補 題8.28 

(証終)

自 己 共 役 作 用 素Tに

  (8.35)  任 意 のx∈D(T)に

対 し て 次 の こ と が ら が 成 立 す る:

対 し て(Tx,x)は

実 数 で あ る,

  (8.36)  Tの

固 有 値 は す べ て 実 数 で あ る,

  (8.37)  Tの

異 な る 固 有 値 λ1,λ2のそ れ ぞ れ に 属 す る 固 有 ベ ク トルx1,x2は

い に 直 交 す る.   証 明   (8.35)は(Tx,x)=(x,Tx)=(Tx,x)よ   (8.36)の

証 明.Tの

り明 ら か.

固 有 値 λ に 属 す る 固 有 ベ ク トル をxと (Tx,x)=(λx,x)=λ‖x‖2.

ゆ え に(8.35)よ   (8.37)の

り λ は 実 数 で あ る.

証 明. λ1(x1,x2)=(λ1x1,x2)=(Tx1,x2) =(x1,Tx2)=(x1

,λ2x2)=λ2(x1,x2)

す る と,

互

(λ2は実 数 ゆ え). 

で あ る か ら,(x1,x2)=0. 

(証終)

  次 に,本 節 の 目的 で あ る 自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素 の 固 有 値 問 題 を 扱 い,自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素 が 固 有 ベ ク トル に よ っ て 展 開 さ れ る こ とを 示 す.こ こ とが ら は 第10章

の 楕 円 型 偏 微 分 方 程 式 へ の応 用 に 際 し,ラ

の

プ ラス逆 作用 素

の 固 有 関 数 展 開 に 適 用 され る.   定 理8.29 

Tを

ヒル ベ ル ト空 間Eに

お け る 自己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素 とす

る と,

を 満 た す よ うなTの   証 明   T=0の

固 有 値 λとそ れ に 属 す る固 有 ベ ク トルxが 存 在 す る.

と き は 明 らか. 

とす る.定 理8.27よ

り,Eの

点 列{xn}

が 存 在 して

実 数 列{(Txn,xn)}は {(Txn′,xn′)}は

有 界 で あ る か ら,{xn}の

部 分 列{xn′}が

 と お く と,λ

収 束 す る.

存在 して

は実 数 で

Tの 自 己 共 役 性 よ り

  Tは

ゆえに の 部 分 列{xn″}が {xn}と

存 在 し て{Txn″}は

か く. 

ゆ え,xn=λ

す る こ と が 分 り,こ

よ っ て,λ

完 全 連 続 で,{xn′}は

はTの

−1{Txn−(Txn−

の 極 限 をxと

固 有 値,xは

収 束 す る.簡

有 界 で あ る か ら,{xn′} 単 の た め{xn″}を

λxn)}と

改 め て

か く と,{xn}は

収 束

 よ り

お く と,

λに 属 す る 固 有 ベ ク トル で あ り, (証 終)

  注 意   上 の 定 理 に お け る 固 有 ベ ク トルxは これ は た とえ ばR3に   定 理8.30 

お け る楕 円 面 の場 合,最

ヒ ル ベ ル ト空 間Eに

高 可 算 個 の 固 有 値(実 数)を

も つ. 

極 値 問 題(8.33)の

解 を 与え る もの で あ り,

短 軸 を 求 め る問 題 と同 等 で あ る.

お け る 自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素Tは の と き,0と

高

異 な るす べ て の 固 有 値 を

適当に重複を許 して

と並 べ,こ

れ ら に 属 す る 正 規 直 交 系 を な す 固 有 ベ ク トル の 列{en}を

選 ん で,

以 下 の 性 質 を 満 足 す る よ うに で き る:   Tが 有 限 階 数 の と き は{λn}は

有 限 個 の λ1,λ2,…,λmからな り,任 意 のx∈E

に対 して  (8.38)

と展 開 で き る.Tが

有 限 階 数 で な い と き は{λn}は

  で あ り,任 意 のx∈Eに

無 限 個 か らな り,

対 して

(8.39) と展 開 で き る.こ

こで{λn}に

現 れ る 同 一 の 固 有 値 λの 個 数 は λに属 す る 固 有

空 間 の 次 元 数(有 限)に 等 し い.   固 有 値 λに属 す る 固 有 空 間 の 次 元 数 を λ の 重 複 度 と い う.   証 明   定 理8.29よ e1∈Eが

り 

の 固 有 値 

とそ れ に 属 す る 固 有 ベ ク トル

存 在 して

E1={x∈E￨(x,e1)=0}と

お く と,E1は

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.x∈E1な

ら

ば (Tx,e1)=(x,Te1)=(x,λ1e1)=λ1(x,e1)=0 で あ る か ら,Tx∈E1,ゆ

え にT(E1)⊂E1.従

お け る 作 用 素 と考 え る こ と が で き る.こ

っ てTを の と き,TはE1に

な 完 全 連 続 作 用 素 で あ る こ と が 容 易 に 分 る.E1で  をE1に

制 限 し たTに

トルe2∈E1が

対 し て 用 い る と,固

有 値 

ヒ ル ベ ル ト空 間E1に おい て も自己共 役 な ら ば,再

び 定 理8.29

とそ れ に属 す る 固 有 ベ ク

存在 して

一 般 に 固 有 値 λ1,λ2,…,λnと そ れ ら に 属 す る 固 有 ベ ク トルe1,e2,…enが

定 まっ

た と き, En={x∈E￨(x,ek)=0(k=1,2,…,n)} と お く と,Enは

ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ り,上

と 同 様 に し てT(En)⊂Enが

成立す

る.従

っ てTはEnに

で 

お け る作 用 素 と考 え て 自己 共 役,完 全 連 続 で あ る.En

な らば,定

理8.29をEnに

制 限 し たTに

とそ れ に 属 す る 固 有 ベ ク トルen+1∈Enが

こ の よ う に し て 固 有 値 の 列{λn}と 得 ら れ る.E⊃E1⊃

… ⊃En⊃

対 して 用 い る と,固 有 値 

存 在 して

そ れ ら に 属 す る 固 有 ベ ク トル の 列{en}が

… で あ る か ら,‖T‖

≧ ‖T‖1≧ … ≧‖T‖n≧ …,従

って

が 成 立 す る.ま た{en}は

作 り方 か ら正 規 直 交 系 を な す.

  Tが 有 限 階 数 の と き は,こ

の 手 続 きが 有 限 回 で 終 わ り,あ

と な る.こ の と き,任 意 のx∈Eに

るEm上

でT=0

対 して

 (8.40)

と お く と,{e1,e2,…,em}が 2,…,m).よ (8.38)が   Tが

っ てxm∈Emと

正 規 直 交 系 を な す こ と か ら,(xm,en)=0(n=1, な り,Txm=0.(8.40)にTを

作 用 さ せ る と,

得 ら れ る. 有 限 階 数 で な い と き は,上

の 手 続 き は 無 限 回 繰 り返 さ れ る.{λn}の

に は 同 一 の も の が 重 複 し て 現 れ 得 る が,定 る.従

理8.19よ

り,そ

っ て 異 な っ た λnが 無 限 個 現 れ る こ と に な り,定

  で あ る.任 意 にmを 固 定 す る.x∈Eに

と お く と,上

と 同 様 にxm∈Em.

互 い に 直 交 す る か ら,

Emに

お け る 作 用 素 と考 え る と, 

理8.21よ

り

対し

 よ り 

Tを

ゆ えに

成 立 す る.

  0と 異 な る固 有 値 は{λn}に 固 有 値 

の個 数 は有限 で あ

  に お い て,e1,e2,…,em,

xmは

を 得 て,(8.39)が

中

す べ て 含 ま れ て い る.実 際,{λn}に

とそ れ に 属 す る 固 有 ベ ク トルxが 存 在 した とす る と, 

含 まれ ない

一 方 ,xは =0と

す べ て のenと

直 交 す る か ら,(8.38),(8.39)い

ず れ の 場 合 もTx

な り不 合 理 で あ る.

  {λn}に 現 れ る 同一 の λ の 個 数 は λ に 属 す る 固 有 空 間Mλ な ぜ な ら ば,も

し λの 個 数 がMλ

ベ ク トルxで{en}の 論 と 同 様,不   注 意1 

の 次 元 数 に 等 し い.

の 次 元 数 よ り小 さ い とす る と,λ に 属 す る 固 有

す べ て の 元 と 直 交 す る も の が 存 在 す る か ら,す

ぐ上 の 議

合 理 に 導 か れ る か ら で あ る. 

上 の定 理 は2次

(証 終)

曲 面 の 主 軸 問 題(エ ル ミー ト行 列 の 対 角 化 問 題)の 一 般 化 で あ

る.   注 意2 

(8.38),(8.39)は{en}がTの

値 域 の 閉 包R(T)に

お け る完 備 正 規 直 交 系

で あ る こ とを 示 して い る.   定 理8.31  し,定

ヒ ル ベ ル ト空 間Eに

理8.30で

お け る 自 己 共 役 な 完 全 連 続 作 用 素Tに

示 さ れ た 固 有 ベ ク トル の 列{en}がEの

る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Tが0を   証 明   {en}が

完 備 正 規直 交 系で あ

固 有 値 と し て も た な い こ と で あ る.

完 備 の と き,Tx=0と

す ると

(x,en)=λn−1(x,Ten)=λn−1(Tx,en)=0  ゆ え,定

理7.13よ

  逆 に0が

一 方

りx=0.従

っ て0は

固 有 値 で な い と す る.任

ゆ え にTx=Ty,す

(n=1,2,…)

固 有 値 で は な い.

意 のx∈Eに

 と お く と,Tの

,

対 し て 定 理8.30よ

り,

連 続性 よ り

な わ ちT(x−y)=0.0は

固 有 値 で な い か ら,x−y=0.よ

 と 表 さ れ る か ら,定

って

対

理7.13よ

り{en}は

完 備 で あ る. (証終)

 と な る Φ の 数 列 と す る.(l2)の

  例   {αk}を ={αkξk}を

対 応 さ せ て,y=Txと

L((l2),(l2))と る こ とを 示 そ αnξn,0,0,…}を

で あ る か ら,完

お く.{αk}は

有 界 数 列 で あ る か ら,T∈

な る こ と は 既 に 知 っ て い る(§3.1の う.n=1,2,…

に つ い て,(l2)の

対 応 さ せ てy=Tnxと

例2).Tが

完 全 連 続 で あ

元x={ξk}にy={α1ξ1,α2ξ2,…,

お く と,Tn∈L((l2),(l2))は

全 連 続 で あ る(定 理8.15).そ

各 元x={ξk}にy

れ ゆ え,

有 限 階 数

 が示 さ

れ れ ば,Tは

完 全 連 続 で あ る(定 理8.13).  よ り,任

n≧k0な

ら ば,す

意 の ε>0に

対 し てk0が

べ て のx={ξk}∈(l2)に

で あ る か ら,

存 在 し てk≧k0な

対 し

 す な わ ち,

 さ ら に{αk}が

実 数 列 な らば,Tは

 こ の と き,(l2)の

 が 成 立 す る. 自 己 共 役 で あ る こ とが 容 易 に 分 る.

完備 正 規 直交 系

 に 対 し

Tek=αkek  が 成 立 す る か ら,{αk}はTの

ら ば￨αk￨0の

お け る 閉 包 をH10(Ω)で 表

場 合 と 同様 の 議 論 を 展 開 す る こ とが で き,デ

ィ リク

レ の 原 理 が 確 か め られ る.

演 習 問 題10

  1.Ω

はRNの

有 界 な 開 領 域 で,そ

る.λ>0,f∈L2(Ω),φ

の 弱 解u∈H1(Ω)が   2.Ω

の 境 界 は 有 限 個 の 滑 らか な 曲 面 よ りな る もの とす

∈C1(Ω)と す る と き,デ

一 意 に 存 在 す る こ とを 示 せ.

は 前 問 と 同 じ とす る.F(t)は

あ る定 数 α>0が

ィ リク レ問 題

無 限 区 間(− ∞,∞)で

定 義 さ れ た 実 数 値 関 数 で,

存 在 して

が 成 立 す る と す る.   こ の と きF(t)は(−  1)  L2(Ω)の

∞,∞)で

元fに

リ プ シ ッ ツ(Lipschitz)連

対 しL2(Ω)で

る と き,{F(fn)}はL2(Ω)で   こ の極 限 は{fn}の

続 で あ る と い う.

 とな る よ うなC0(Ω)の

関 数 列{fn}を

と

収 束 す る こ とを 示 せ.

選 び 方 に よ らず 一 意 に 確 定 す る の で,こ

こ で は,L2(Ω)でF(f)

 と定 義 す る.   2)  λ>α の と き,デ

の 弱 解uが

ィ リク レ 問 題

一 意 に 存 在 す る こ と を 示 せ.

  (f∈L2(Ω)に 用 素TがL2(Ω)か の10)を 用 い よ).

デ ィ リ ク レ問 題 −Δu+λu=F(f),u∈H10(Ω)の らL2(Ω)へ

弱 解uを

対 応 さ せ る作

の 縮 小 作 用 素 で あ る こ とを 示 し,不 動 点 定 理(演 習 問 題3

演 習 問 題 の 略 解

演   1.V∈V(x)の x∈O⊂Vは し て,す V(y).こ

問

題1

と きO={y｜V∈V(y)}と 明 ら か.ま

たy∈Oな

べ て のz∈Wに

お き,Oが(1.10)を

ら ば,V∈V(y)ゆ

つ い てV∈V(z),す

れ はO∈Oを

  逆 に(1.10)が

え(1.4)よ な わ ちz∈O.ゆ

成 立 す る と き,O∈V(x)ゆ O∈OYと

VY(Tx).(1.20)を

りW∈V(y)が

存在

え にW⊂Oと

な り,O∈

えV∈V(x).

す る.x∈T−1(O)な

ら ばTx∈Oで

仮 定 す る とT−1(O)∈VX(x).ゆ

  (1.21)⇒(1.20) 

満 た す こ と を 示 す.

示 す.

  2.(1.20)⇒(1.21) 

OYが

習

任 意 にx∈Xを

存 在 す る.(1.21)を

あ る か らO∈

え にT−1(O)∈OX.

と る.V∈VY(Tx)に

対 しTx∈O⊂Vと

仮 定 す る と,T−1(O)∈OX.ま

な るO∈

たx∈T−1(O)⊂T−1(V)ゆ

え

T−1(V)∈VX(x).   (1.21)⇒(1.22) 

F∈FYな

T−1(FC)∈OX.ゆ

∈OY(λ

∈ Λ)か

 とす る と,Tの

つ

連 続 性 よ りT−1(Oλ)∈OX,か

  Aは

コ ン パ ク トで あ る か ら,T−1(Oλj)(j=1,2,…,n)が

 ゆ え に

 よ っ てT(A)は

τ1〓τ2よ りIは

連 続 で あ る.X1は

ク ト集 合 ゆ え,Iの

等写 像  

コ ン パ ク トで あ る か ら,任

連 続 性 よ り,FはX2の

空 間 ゆ えF∈F2.こ

ら ばV∈V2(x)と

  5.  (1.19)⇒(1.39) 

Xの

意 のV∈VY*(Tx)に 定 ま っ てn≧n0な

  (1.39)⇒(1.19) 

x∈Xに

点 列{xn}が

コ ンパ ハ ウ ス ドル フ

れ ゆ え,各x∈X

 と す る.(1.19)を

仮 定 す る と,任  よ りn0が

存 在 してT(W)⊂V.

っ てTxn∈V.ゆ

えに

つ い てVX*(x)={V(x,1/n)｜n=1,2,…}と

つ い てxn∈V(x,1/n)が

の 点 列{xn}は

集 件

な り,τ1〓 τ2,す な わ ち τ1=τ2で あ る.

不 成 立 とす る と,W∈VY*(Tx)が

ゆ え に,各nに

傍 系,閉

を 考 え る と,条 意 のF∈F1はX1の

連 続 な こ と を 示 す.そ

対 しW∈VX*(x)が ら ばxn∈W,従

表 す.近

コ ン パ ク ト集 合 で あ る.X2は

の こ と はI−1:X2→X1が

に つ い てV∈V1(x)な

存在 して

コ ン パ ク ト.

位 相 τ1,τ2を入 れ た と き の 位 相 空 間 を そ れ ぞ れX1,X2で

合 系 に つ い て も 同 様 の 表 し 方 を す る.恒

(1.19)が

仮 定 す る と,

同 様.

つ

  4.Xに

あ る か ら,(1.21)を

え にT−1(F)=(T−1(FC))C∈FX.

  (1.22)⇒(1.21)も   3.Oλ

ら ばFC∈OYで

し て よい.

存在 して   存在 して  

  で あ る が,{Txn}は

この よ うに して 得 られ たX

丁xに 収 束 し な い か ら,(1.39)は

不 成

立.   6.必

要 性.Xの

任 意 の 点 列{xn}に

とす る と,閉 集 合 の族{Fn}は

対 し,各nに

つ い て{xn,xn+1,…}の

有 限 交 叉 性 を もつ か ら,Xが

コ ン パ ク トな らば

閉 包 をFn

任意 に

  を1つ

と る.ま

っ た と き,x∈Fnj+1よ

ずx∈F1よ

りn1が

りnj+1(≧nj+1)が

し て 得 ら れ た{xnj}は{xn}の

存 在 し てd(x,xnj)0が

在 し て δ(An)0に

対 し てV(x,ε)⊂BC.xがA

開 被 覆 を な す か ら,有

な るxj(1≦j≦n)が ゆ え にd(A,B)≧

開 被 覆{V(x,1/n)}x∈Xは

覆 を な す 開 球 の 中 心 の 全 体 をAnと x∈Xと

任 意 の ε>0に

存 在 し,d(x,y)0と

開 集 合 ゆ え,δ>0が

な わ ち,任

で 定 ま っ た と き,

列 を 選 び 出 す こ と が で ぎ な い か ら,Xが   3)  Xが

と り出 せ

な るnj(>2/δ)が

対 し て 直 径