Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике

Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Методическое пособие предназначено для обучения студентов–заочников практическим умениям по математике. По разделам предмета даются краткие теоретические сведения, ориентированные для решения задач. Предложены образцы решения типичных задач, входящих в контрольные работы заочников. Ключевые слова: величина, функция, предел, производная, интеграл, уравнение, ряд, событие, вероятность

Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей

Составители: Гармаев В.Д. Гармаева С.С. Баирова Н.К. Дарибазарон С.Б.

Улан-Удэ 2005

2

Литература 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. т.1,2-М.: Наука. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-М.:Наука,. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления.-М.:Наука, 4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:Наука. 5. Гмурман В.И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа.

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Задача 10. Даны координаты вершин пирамиды А1(3,1,3), А2(-3,4,0), А3(3,3,4), А4(2,2,-2). Найти: 1. длину ребра А1А2; 2. угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3. площадь грани А1А2А3; 4. объем пирамиды; 5. уравнение прямой А1А2; 6. уравнение плоскости А1А2А3; 7. уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Решение: Начнем решение задачи с выполнения чертежа. Построим точки А1, А2 ,А3, А4 в прямоугольной системе координат и, соединив их отрезками прямых, получим пирамиду А1А2А3А4. Для удобства записи обозначим векторы А1А2= a , А1А4= b и А1А3= c . Координаты соответствующих векторов обозначим

a (a x , a y , a z ), b(bx , b y , bz ), c(c x , c y , c z ). 1. Если

M 1 ( x1 , y1 , z1 ) -

начало

вектора,

а

M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) его конец, то координаты вектора M 1M 2 равны разности соответствующих координат конца М2 и начала М1, т.е.

M 1M 2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) а ↔ модуль ↔ вектора

M 1M 2 = 3

4

(1)

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 ( z2 − z1 )2

−6(−1) + 3 ⋅ 1 − 3(−5) = 36 + 9 + 9 1 + 1 + 25 24 24 = = ≈ 0,6304 54 27 27 2

т.о. длину ребра А1А2 находим как модуль вектора

cos ϕ =

A1 A2 = a uuuur 2 2 2 A1 A2 = ( −3 − 3) + ( 4 − 1) ( 0 − 3) = 36 + 9 + 9 = = 54 ≈ 7,35

Ответ: Угол arccos(0,6304)

Ответ: Длина ребра А1А2 равна 7,35 мин.ед.

Z

А3

ребрами

А1А2

и

А1А4

равен

3. Площадь грани А1А2А3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах A1 A2 и А1А3:

А2

S=

А1

между

Y

[

] [ ]

1 1 A1 A2 , A2 A3 = a, c . 2 2

Координаты

вектора

a известны, найдем координаты вектора c(c x , c y , c z ). Т.о. c = (3 − 3,3 − 1,4 − 3) = (0,2,1).

x

Найдем векторное произведение векторов a и c

A4

2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 обозначим через ϕ и вычислим cosϕ по формуле:

cosϕ =

(a, b ) = ab

a x bx + a y b y + a z bz a x2

+ a 2y

+ a z2

bx2

+ b y2

+ bz2

,

(2)

r i

(1):

a (-6,3,-3), b(−1,1,−5) . Полученные координаты подставим в формулу (2):

r k

r i

r j

r k

0 2

1

r r [ a , c ] = ax

ay

r r r az = 6 3 −3 = 9i + 6 j − 12k

cx

cy

cy

S=

Координаты векторов a и b находим по формуле

r j

=

1 r r 1 1 [ a, c ] = 92 + 62 + 122 = 81 + 36 + 144 = 2 2 2

1 261 2

Ответ: Площадь грани А1А2А3 равна 8.1 кв.ед. 4. Зная, что смешанное произведение векторов ρ ρ ρ ρρρ [a, c ], b = ac b есть число, абсолютная величина

(

)

которого выражает объем параллелепипеда, построенного 5

6

ρρρ

на векторах a , c , b , а пирамида А1А2А3А4 составляет 1/6 часть этого параллелепипеда, можем

1 rr r acb . 6 Но смешанное произведение трех ρ ρ ρ a (−6,3,−3), c (0,2,1), b (−1,1,−5) , заданных

написать VA1 A2 A3 A4 =

векторов

своими координатами, равно определителю третьего порядка, составленному из этих координат. Таким образом,

(

ax

r r r a , c , b = bx cx

)

−6 3 −3

ay

az

by cy

bz = 0 2 cz −1 1

1 = −6(9) − 1(9) = 5

= −54 − 9 = −63 VA1 A2 A3 A4

6. Уравнение грани А1А2А3 найдем как уравнение плоскости, проходящей через три точки по формуле: x − x1 y − y1 z − z1 x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 = 0 (5) x3 − x1 y3 − y1 z 3 − z1 Подставив координаты точек А1, А2 и А3 в формулу (5), получим уравнение грани А1А2А3 :

x + 3 y −1 z − 3 −3 − 3 4 − 1 0 − 3 = 0,перепишем и раскроем 3 − 3 3 −1 4 − 3 определитель: x+3

1 63 = −63 = = 10,5 6 6

Ответ: Объем пирамиды равен 10,5 куб.ед. 5. Уравнение прямой, проходящей через точки A1 ( x1 , y1 , z1 ) и A2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) имеет вид: x − x1 y − y1 z − z1 . ( 4) = = x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 Подставляем координаты точек А1(3,1,3) и А2(-3,4,0) в формулу (4): x−3 y −1 z − 3 x − 3 y −1 z − 3 = = , = = . − 3 − 3 4 −1 0 − 3 − 6 3 −3 x − 3 y −1 z − 3 Ответ: = = . - уравнение прямой А1А2. −6 3 −3

7

y −1 z − 3

−6

3

−3 = ( x + 3)9 − ( y − 1)(−6) + ( z − 3)(−12) =

0

2

1

= 9 x + 27 + 6 y − 6 − 12 z + 36 = 9 x + 6 y − 12 z + 57 = 0 Сокращаем на 3: 3х+2у-4z+19=0. Ответ: Уравнение плоскости А1А2А3: ↔ 3х+2у-4z+19=0. 7. Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины А4. Для этого примем за направляющий вектор прямой, проходящей через точку А4(2,2,-2) перпендикулярно плоскости треугольника А1А2А3 нормальный вектор этой плоскости. Вспомним, что если плоскость задана уравнениями вида ax+by+cz+d=0, то коэффициенты а,в,с можно рассматривать как координаты нормального вектора плоскости, т.е. вектора, перпендикулярного к плоскости. 8

Уравнение плоскости А1А2А3: 3x+2y-4z+19=0. ρ Нормальный вектор плоскости N (3,2,−4). Напишем искомое уравнение прямой, проходящей через точку ρ А4(x4,y4,z4), в направлении вектора N (m, n, p). x − x4 y − y 4 z − z 4 = = . (6) m n p Подставив координаты в формулу (6), получим x−2 y−2 z+2 = = . 3 2 −4 Ответ: Уравнение высоты, опущенной из точки А4 на грань x−2 y−2 z+2 А1А2А3: = = 3 2 −4 Задача 2. Исследовать систему линейных уравнений и решить её методом Гаусса в случае её совместности. Среди многочисленных методов решения систем линейных уравнений одним из наиболее удобных является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными х1,x2,…,xn: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1  a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b2  (7 )  . . . . . . . . . . . . . .  a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm  Числа aij называются коэффициентами i-го уравнения при j-ом неизвестном, числа bi- свободными членами. Решением системы (7) называется совокупность n чисел α1 ,α 2 , α 3 ,α n при подстановке которых вместо неизвестных х1,x2,…,xn каждое уравнение системы 9

обращается в числовое равенство. Совместными называются системы, имеющие решение; несовместимыми- системы, не имеющие решений. Метод Гаусса, применяемый для решения системы (7), состоит в следующем. Пусть a1 ≠ 0 (это всегда можно сделать за счет изменения нумерации уравнений). Умножая первое a уравнение системы на - 21 и прибавляя ко второму, a11 получаем уравнение, в котором коэффициент при х1 обращается в нуль. Умножая первое уравнение системы на a - 31 и прибавляя к третьему, получаем уравнение, также a11 не содержащее члена с х1. Аналогичным путем преобразуем все остальные уравнения, в результате чего придем к системе, эквивалентной исходной системе уравнений: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1   ′ x 2 + ... + a 2′ n x n = b2 a 22  где (8) ,  . . . . . . . . . . . . . .  ′ 2 x 2 + ... + a mn ′ x n = bm ′ am aij′ (i = 2,3,...m; j = 2,3,...n) –

некоторые

новые

коэффициенты. ′ ≠ 0 и оставляя неизменными Предполагая, что a 22 первые два уравнения системы (8), преобразуем её так, чтобы в каждом из остальных уравнений коэффициент при х2 обратился в нуль. Продолжая этот процесс, систему (7) можно привести к виду:

10

a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1   ′ x 2 + ... + a 2′ n x n = b2′ a 22  ,p ≤ m (9) . . . . . . . . . . . . . .  a ′pp x p + ... + a ′pn x n = b′p  Если p=n, т.е. последнее уравнение имеет вид ′ x n = bn′ , то система в этом случае имеет единственное a nn решение. Если p 0

III.

(e u ) ′ = e u ⋅ u ′ 1 (ln u )′ = ⋅ u ′ u (sin u )′ = cos u ⋅ u ′ (cos u )′ = − sin u ⋅ u ′ 1 ⋅ u′ (tgu )′ = cos 2 u

V. VI. VII.

Основные правила дифференцирования I. C′ = 0 II. (u + v)′ = u ′ + v ′ (uv)′ = u ′v + uv ′ III. ′  u  u ′v − uv ′ IV.   = v v2 V. у=у(х) является неявной функцией от х, если задана уравнением F(x,y)=0. Обе части равенства дифференцируем по х, помня, что 38

задание

yt′ . xt′ y = f (u ) , где u= ϕ(x), т.е. y = f [ϕ ( x)] сложная функция от х, её производная y ′x = yu′ ⋅ u ′x .

функции, где y ′x =

IV.

37

 x = x(t )   y = y (t )

VIII.

(ctgu )′ = −

IX.

(arcsin u )′ =

X.

(arccos u )′ =

1 ⋅ u′ sin 2 u u′

1− u2 u′ 1− u2

⋅ ⋅

XI. XII.

(arctgu )′ =

u′ 1+ u

(arcctgu )′ = −

Пример 2

y = arctg 4 x − 1, y ′x = ?

5:

4 x − 1 = u , тогда

u′

1+ u2

получим

Решение примеров Пример 1: y = ( x 2 + 3) 5 , y ′x = ?

4x − 1

Пусть x 2 + 3 = u , тогда y = u 5 , пользуясь формулой 1 из таблицы, имеем

y′x = 5u 4 ⋅ u′ = 5( x 2 + 3) 4 ( x 2 + 3)′ = 10 x( x 2 + 3) 4 Ответ: y ′x = 10 x( x 2 + 3) 4 Пример 2: y = sin 4 x, y ′x = ? Имея в виду 4x=u, применяя формулу V, получим y ′x = cos 4 x(4 x)′ = 4 cos 4 x. Ответ: y ′x = 4 cos 4 x. Пример 3: y = ln cos x, y ′x = ? Пусть cosx=u, тогда y=lnu. Применяя формулу IV, имеем 1 1 y ′x = (cos x)′ = (− sin x) = −tgx cos x cos x Ответ: y ′x = −tgx Пример 4: y = 3 sin 2 4 x . Полагая sin4x=u, имеем

y = 3 u 2 = u 2 / 3 . Пользуясь формулой 1, получим 2 y ′x = (sin 4 x) −1/ 3 ⋅ (sin 4 x)′ , а производная sin4x найдена в 3 2 8 cos 4 x ⋅ 4 cos 4 x = 3 . примере 2, тогда y ′x = 3 3 sin 4 x 3 sin 4 x 8 cos 4 x Ответ: y ′x = 3 3 sin 4 x 39

y′x =

1+

Пусть

y = arctgu , применив формулу XI,

(

1 4x − 1

находится

)

2

по

⋅

(

)

′ 4 x − 1 . Производная формуле

1,

′ 2 ( 4 x − 1)1/ 2  = 1 ( 4 x − 1)1/ 2 ⋅ ( 4 x − 1)′ = .   2 4x − 1 1 2 1 ⋅ = Т.о. y′x = 4x 4x − 1 2x 4x − 1 Ответ: y ′x =

т.е.

1

2x 4x − 1  x = ln(1 − t 4 ) Пример 6: y ′x = ? Находим   y = arccos t 2 производные от х и у по параметру t по формулам IV,X соответственно. 1 − 4t 3 1 2t 4 ′= xt′ = ⋅ ( 1 − t ) ; y t′ = − ⋅ (t 2 )′ = − 4 4 1− t 1− t 1− t4 1− t2 Искомая производная от у по х находится как отношение производных от у и х по t (см.6).

y′x =

yt′ 2t =− xt′ 1− t4 Ответ: y′x =

40

 4t 3  2t (1 − t 4 ) 1− t4 :− = = ; 4  2t 2 1 − t 4 ⋅ 4t 3  1− t  1− t4 . 2t 2

Пример 7: y 2 − sin 3x = 0, y ′x = ? (см. 5 из основных правил дифференцирования) Дифференцируем по х обе части равенства, где у есть функция от х, получим 2 yy′x − 3cos3 x = 0 . Отсюда 3 cos 3x . найдем y ′x = 2y 3 cos 3x . Ответ: y ′x = 2y Общая схема исследования функции и построение её графика 1. Нахождение области определения, точек разрыва, классификация точек разрыва. 2. Исследование функции на четность, нечетность. 3. Определение точек пересечения графика функции с координатными осями. 4. Определение интервалов монотонности (возрастание и убывание) функции, точек экстремума и экстремального значения функции. 5. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции. 6. Определение асимптот. 7. Выполнение эскиза графика функции. Пример : Используя общую схему исследования x3 функции, построить график y = . 9( x − 2) Согласно обще схеме исследования: 1. Область определения функции. Эта функция является дробно-рациональной, поэтому определена всюду, кроме нулей знаменателя, т.е. х-2=0, х=2. Следовательно, (-∞,2)∪(2,+∞)- область определения функции, х=2 – точка разрыва, определим его тип, для 41

этого

вычислим пределы слева и справа, т.е. x3 x3 = −∞; lim = +∞. Таким образом, lim x→2−0 9( x − 2) x→2+ 0 9( x − 2) х=2 – точка разрыва второго рода. 2. Четность, нечетность функции.

( − x )3 x3 − x3 ; f (− x) = = = f ( x) = 9( x − 2) 9(− x − 2) −9( x + 2) x3 , 2 = 9( x + 2) f (− x) ≠ f ( x); f (− x) ≠ − f ( x); x3 не четная, не нечетная. График 9( x + 2) несимметричен ни относительно оси ОУ, ни относительно начала координат. 3. Точки пересечения графика функции с координатными y=0  x3  осями. С ОХ:  = 0, x = 0; С ОУ: x3 , y = x 9 ( − 2 )  9( x − 2)  x = 0 , т.е. точка О(0,0)- точка пересечения графика с  y = 0 системой координат. 4. Интервалы монотонности. Экстремум функции. ′ 1  x 3  1 3x 2 ( x − 2) − x 3 ( x − 2)′ y ′x = ; = ⋅ 9  x − 2  9 ( x − 2) 2 y=

y ′x =

2 x 2 ( x − 3) ⋅ = 0, 9 ( x − 2) 2

т.е.

x 2 ( x − 3) = 0,

если

x 2 =0 или x-3=0 ; x1 = 0, x 2 = 3 - критические точки. 42

(−∞,0) ∪ (0,2) ∪ (2,3) ∪ (3,+∞) интервалы монотонности. На каждом из интервалов определим знак у/, придавая любые значения х из указанных ↔ интервалов. 2 (−1) 2 (−1 − 3) B (−∞,0) x = −1, f (−1) = < 0. 9 (−1 − 2) 2 Следовательно, (-∞,0) – интервал убывания функции, далее аналогично. Для удобства оформим в виде таблицы: вывод Х у у/ -∞ > ... > 2 2 2 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4 (1 + n) ln 2 (n + 1) ∞

a

dx dx = 2 ∫1 ( x + 1)ln 2 ( x + 1) = lim ∫ a →∞ 1 ( x + 1)ln ( x + 1) a

   1 1 1  1 = lim  − +  = lim  − = ln 2 a →∞  ln( x + 1)  a →∞  ln( a + 1)  ln 2 1 Несобственный интеграл имеет конечное значение, значит он сходится и сходится наш ряд. Задание. Исследовать на абсолютную, условную сходимость знакопеременный ряд. Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Числовой ряд называется 54

знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Признаки сходимости Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член un→0 при n→∞, то ряд сходится. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из абсолютных величин его членов. Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд сходится условно. Задание. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости. Степенным рядом называется ряд вида ∞

∑a (x − x ) n =0

n

n

0

= a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) 2 + ...

где

... + an ( x − x0 ) + ..., n

a0 , a1 , a 2 ,..., a n,... – коэффициенты ряда, а член a n x n – общий член ряда. Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений х, при которых данный ряд сходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если при xR ряд расходится. Радиус сходимости R можно найти, используя  a  признак Даламбера, R = lim  n  т.е. радиус сходимости n→∞  a n +1  равен пределу абсолютной величины отношения 55

коэффициента n-го члена an к коэффициенту последующего: an+1. Промежуток –R<x