Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева): Методические разработки курса лекций

kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet mehaniko-matemati~eskij fakulxtet kafedra differencialxnyh urawnenij

metodi~eskie razrabotki kursa lekcij

urawneniq matemati~eskoj fiziki (KRAEWYE ZADA^I W PROSTRANSTWAH sOBOLEWA)

kazanx { 2000

uTWERVDENO NA ZASEDANII KAFEDRY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. pROTOKOL 4 OT 19.11.98. sOSTAWITELI:

DOCENTY sALEHOW l.g., bIK^ANTAEW i.a.

dANNYE RAZRABOTKI SLOVILISX NA OSNOWE SPECKURSOW, PRO^ITANNYH STUDENTAM, SPECIALIZIRU@]IHSQ PO KAFEDRE DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, A TAKVE SLUATELQM INVENERNOGO POTOKA I fpk. w NIH RASSMATRIWA@TSQ \LEMENTY PROSTRANSTW sOBOLEWA I IH PRILOVENIQ K REENI@ NEKOTORYH OSNOWNYH ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. sOHRANQETSQ SIMWOLIKA PREDYDU]IH IZDANIJ 1986, 1987 I 1999 GODOW. rAZRABOTKI MOGUT SLUVITX OSNOWOJ KURSA LEKCIJ uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, SPECKURSA ILI SPECSEMINARA DLQ WTOROJ STUPENI UNIWERSITETSKOGO OBRAZOWANIQ (MAGISTRY). oNI MOGUT BYTX POLEZNY PRI RABOTE NAD KURSOWYMI I DIPLOMNYMI RABOTAMI, KAK DLQ STUDENTOW, TAK I DLQ SLUATELEJ fpk.

c kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET 2000

kraewye zada~i w prostranstwah sobolewa zADA^A dIRIHLE DLQ MODIFICIROWANNOGO OPERATORA lAPLASA. I.

10) pOSTANOWKA ZADA^I. pUSTX  | NEKOTOROE OTKRYTOE MNOVESTWO. zADADIM OBOB]ENNU@ FUNKCI@ f 2 H ;1 () I FUNKCI@ (KLASS FUNKCIJ) a 2 HP1(). rAS 2 n @ SMOTRIM DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR A = I ; , GDE  = i=1 @x2 | OPERATOR lAPLASA, I | TOVDESTWENNYJ OPERATOR. i]ETSQ FUNKCIQ u 2 H 1(), UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ Au = f NA  W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ I TAKAQ, ^TO (u ; a) ESTX \LEMENT IZ H01(). 20) tEOREMA EDINSTWENNOSTI. pOSTAWLENNAQ ZADA^A MOVET i

IMETX NE BOLEE ODNOGO REENIQ. dOKAZATELXSTWO. pUSTX u1 I u2 | DWA REENIQ ZADA^I dIRIHLE. pOLOVIM u = u1;u2  TOGDA u ESTX REENIE URAWNENIQ u = 0. sOGLASNO TEOREME OB ORTOGONALXNOM DOPOLNENII DLQ H0k () W H k () k 2  u ESTX \LEMENT, PRINADLEVA]IJ ORTOGONALXNOMU DOPOLNENI@ DLQ H01(). nO, S DRUGOJ STORONY, u 2 H01(). sLEDOWATELXNO, u = 0. 30) tEOREMA SU]ESTWOWANIQ. pOSTAWLENNAQ ZADA^A OBLADAET REENIEM. dOKAZATELXSTWO. pOLOVIM v = u ; a. tOGDA ZADA^A SWODITSQ K OTYSKANI@ FUNKCII v 2 H01(), UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@ Av = f ; Aa. w SILU TEOREMY O STRUKTURE \LEMENTA IZ H ;k (), O^EWIDNO, Aa 2 H ;1(). a TOGDA I f ; Aa 2 H ;1 (). nO OPERATOR A QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM H01() NA H ;1(). pUSTX G | OBRATNYJ IZOMORFIZM. tOGDA v = G(f ; Aa) I, SLEDOWATELXNO, u = a + Gf ; GAa. oPERATOR G NAZYWAETSQ OPERATOROM gRINA RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I. N.B. kOGDA u ; a 2 H01(), TO GOWORQT, ^TO u I a RAWNY NA GRANICE W OBOB]ENNOM SMYSLE. |TA FORMALXNAQ INTERPRETACIQ STANOWITSQ STROGOJ, KOGDA, NAPRIMER,  ESTX POLUPROSTRANSTWO. w \TOM SLU^AE IZWESTNO, ^TO OTOBRAVENIE-SLED 0 PREOBRAZUET H 1() NA H 1=2(@ ). sLEDOWATELXNO, DLQ WSQKOJ FUNKCII b IZ H 1=2(@ ) SU]ESTWUET \LEMENT a 2 H 1() TAKOJ, ^TO 0 a = b: pO\TOMU MOVNO SFORMULIROWATX SLEDU@]U@ TEOREMU.

N

3

R

f 2 njxn > 0 I f 2 H ; () b 2 H = (@) tOGDA SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNYJ \LEMENT u 2 H () TA KOJ ^TO u ; u = f W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA  I  u = b NA tEOREMA. pUSTX  := x

1

1 2

1

,

.

-

0

@ .

w DALXNEJEM PRI ISSLEDOWANII OPERATORA gRINA BUDET POLEZNA SLEDU@]AQ LEMMA. lEMMA OB \NERGII. pUSTX u v 2 H01() GDE u v 2 L2() tOGDA Z .

,

(ujv)L2 = (ujv)L2 = ; (grad u grad v)dx

R



(I )

GDE ( ) | SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW W n. dOKAZATELXSTWO. dLQ T 2 D0() I ' 2 D() IMEEM:  X  n  2 n  X @ T @T @' hT 'i = @x2i  ' = ; @xi  @xi = hT 'i : i=1 i=1

a TOGDA DLQ u v 2 D() IMEEM:

 n  X @u @v  hu vi = hu vi = ;

ILI

Z 

(u)vdx =

Z

i=1

Z

@xi @xi

uv dx = ; (grad u grad v)dx:





dALEE IZ PLOTNOSTI D() W H01() PO PRINCIPU NEPRERYWNOGO PRODOLVENIQ POLU^AEM FORMULU (I ). tEPERX PEREJDEM K ISSLEDOWANI@ OPERATORA gRINA. 40) iSSLEDOWANIE OPERATORA gRINA. a) oPERATOR gRINA QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM ; H 1 () NA H01() PRI^EM AG ESTX TOVDESTWENNYJ OPERATOR W H ;1 (). dOKAZATELXSTWO. iZWESTNO, ^TO SUVENIE OPERATORA A NA H01() ESTX IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM H01() NA H ;1(), A G | OPERATOR gRINA, OBRATNYJ DLQ \TOGO SUVENIQ, OTKUDA I WYTEKAET SFORMULIROWANNOE SWOJSTWO OPERATORA gRINA. b) oPERATOR GA ESTX ORTOGONALXNYJ PROEKTOR H 1() NA H01(). 4

dOKAZATELXSTWO. pREVDE WSEGO, GA OTOBRAVAET H 1() NA H01(),

IBO A OTOBRAVAET H01() NA H ;1 (). zATEM, ESLI u 2 H 1(), TO A(u ; GAu) = 0. a \TO OZNA^AET, ^TO (u ; GAu) PRINADLEVIT ORTOGONALXNOMU DOPOLNENI@ DLQ H01(). c) oPERATOR gRINA G QWLQETSQ POLOVITELXNYM IZ L2() W L2() SAMOSOPRQVENNYM SVIMA@]IM IN_EKTIWNYM OPERATOROM dOKAZATELXSTWO. pOKAVEM, ^TO G QWLQETSQ SAMOSOPRQVENNYM, POLOVITELXNYM IZ L2() W L2(), IBO OSTALXNYE UTWERVDENIQ O^EWIDNY. iTAK, POKAVEM, ^TO (Gf jg)L = (f jGg)L (I POLOVITELXNO, ESLI f = g) ILI, ^TO WSE RAWNO, POLAGAQ Gf = u 2 H01() Gg = v 2 H01(), (ujAv)L = (Aujv)L (I POLOVITELXNO, ESLI u = v). nO POSLEDNEE RAWENSTWO WYTEKAET IZ LEMMY OB \NERGII. d) eSLI  OGRANI^ENNOE MNOVESTWO TO OPERATOR gRINA QW LQETSQ KOMPAKTNYM WPOLNE NEPRERYWNYM OPERATOROM IZ L2() W .

2

2

2

2

|

L (). 2

,

(

-

)

dOKAZATELXSTWO. oPERATOR G NEPRERYWNO OTOBRAVAET H ;1() W

H01(). tEM BOLEE G NEPRERYWNO OTOBRAVAET L2() W H01(). nO, W SILU TEOREMY rELIHA-kONDRAOWA, WLOVENIE H01() W L2() QWLQETSQ KOMPAKTNYM, ESLI  | OGRANI^ENNOE MNOVESTWO. N.B. sWOJSTWA c) I d) OSTA@TSQ WERNYMI, ESLI ZAMENITX L2() NA H01(). II.

R

zADA^A {TURMA-lIUWILLQ DLQ OPERATORA lAPLASA.

10) pOSTANOWKA ZADA^I. pUSTX  | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ

n. nAJTI TO^E^NYJ SPEKTR

TO ESTX MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ) I SOBSTWENNYE FUNKCII OPERATORA (;) W H ;1(), ESLI OBLASTX@ OPREDELENIQ OPERATORA (;) QWLQETSQ PROSTRANSTWO H01(). (

R

20) sPEKTRALXNAQ TEOREMA. pUSTX  | OTKRYTOE, OGRANI^ENNOE MNOVESTWO IZ n. tOGDA: a) TO^E^NYJ SPEKTR p DLQ (;) NEPUST I S^ETEN SOBSTWENNYE

ZNA^ENIQ DEJSTWITELXNY I STROGO POLOVITELXNY EDINSTWENNAQ WOZMOVNAQ TO^KA SGU]ENIQ DLQ p ESTX +1. b) DWE SOBSTWENNYE FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE DWUM RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM, ORTOGONALXNY W L2(), W H01() I W H ;1() SISTEMA SOBSTWENNYH FUNKCIJ QWLQETSQ POLNOJ W L2(), W H01() I W 5

H ;1 () BOLEE TOGO, SU]ESTWUET ORTOGONALXNYJ BAZIS SOBSTWENNYH FUNKCIJ W L2() H01() I H ;1(). dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM TAKU@ VE ZADA^U {TURMA-lIUWILLQ DLQ OPERATORA A = I ;  (RASSMATRIWAEMAQ WYE ZADA^A {TURMAlIUWILLQ DLQ OPERATORA (;) K NEJ, O^EWIDNO, SWODITSQ). pO\TOMU RASSMOTRIM URAWNENIE Au = u, GDE u 2 H01() 2 .

C

sOGLASNO TEOREME EDINSTWENNOSTI DLQ MODIFICIROWANNOGO URAWNENIQ lAPLASA, = 0 NE QWLQETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM OPERATORA A. pUSTX G | OPERATOR gRINA DLQ OPERATORA A. tOGDA, POLAGAQ = 1= , WSE SWODITSQ K IZU^ENI@ URAWNENIQ Gw = w ( 6= 1) W PROSTRANSTWE H ;1 (). nO REENIQ \TOGO URAWNENIQ PRINADLEVAT H01(), IBO G OTOBRAVAET H ;1() W H01(). sLEDOWATELXNO, DOSTATO^NO REITX \TO URAWNENIE W PROSTRANSTWE H01(), ILI, ESLI VELAEM, W PROSTRANSTWE L2(). w SILU IZU^ENNYH SWOJSTW, G ESTX NEPRERYWNYJ OPERATOR IZ L2() W L2(), KOMPAKTNYJ, POLOVITELXNYJ, SAMOSOPRQVENNYJ. a TOGDA IZ SPEKTRALXNOJ TEORII TAKIH OPERATOROW W GILXBERTOWYH PROSTRAN STWAH IZWESTNO ^TO 1) oPERATOR G IMEET PO KRAJNEJ MERE ODNO SOBSTWENNOE NENULEWOE ZNA^ENIE I SAMOE BOLXEE S^ETNOE MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ \TI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ WE]ESTWENNY, STROGO POLOVITELXNY I MAVORIROWANY EDINICEJ EDINSTWENNAQ WOZMOVNAQ IH TO^KA SGU]ENIQ ESTX -

,

:

0.

2) dWE SOBSTWENNYE FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE DWUM RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM, ORTOGONALXNY SU]ESTWUET W L2() POLNAQ ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA SOBSTWENNYH FUNKCIJ. zAMETIM, ^TO \TA SISTEMA TAKVE POLNA W H ;1 (), IBO L2() PLOTNO W H ;1 () POSLEDNEE WYTEKAET IZ IZOMETRI^ESKOGO IZOMORFIZMA H01() NA H ;1(). a POSKOLXKU G ESTX IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM IZ H ;1() NA H01(), TO \TA SISTEMA POLNA W H01(). tEPERX IZ SWOJSTW 1) I 2) DLQ G WYTEKA@T SWOJSTWA DLQ A: I) oPERATOR A IMEET PO KRAJNEJ MERE ODNO NENULEWOE SOBSTWENNOE ZNA^ENIE I SAMOE BOLXEE S^ETNOE MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ \TI ZNA^ENIQ DEJSTWITELXNY I OGRANI^ENY SNIZU EDINICEJ EDINSTWENNAQ WOZMOVNAQ IH TO^KA SGU]ENIQ +1: II) sU]ESTWUET W L2(), W H01() I W H ;1() ORTOGONALXNYJ BAZIS SOBSTWENNYH FUNKCIJ. uVE W SILU 2) IMEEM, ^TO \TOT BAZIS ORTOGONALEN W L2(). pOKAVEM, 6

^TO ON ORTOGONALEN W H01() I W H ;1(). w SILU LEMMY OB \NERGII IMEEM:

(ujv)H01() = (Aujv)L2() = (ujv)L2(): oTKUDA WYTEKAET ORTOGONALXNOSTX W H01(). s DRUGOJ STORONY, (ujv)H ;1() = (GujGv)H01() = ( uj v)H01() = 2(ujv)H01()  ^TO WLE^ET ORTOGONALXNOSTX \TOGO BAZISA W H ;1(). oSTALOSX POKAZATX, ^TO 1 NE QWLQETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM DLQ OPERATORA A, TO ESTX, ^TO 0 NE QWLQETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM DLQ OPERATORA (;). |TO WYTEKAET IZ SLEDU@]EGO PREDLOVENIQ, KOTOROE PREDSTAWLQET I SAMOSTOQTELXNYJ INTERES. pREDLOVENIE. pUSTX  | L@BOE OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n. tOGDA NE SU]ESTWUET DRUGOGO REENIQ U URAWNENIQ lAPLASA u = 0, TAKOGO, ^TO u 2 H01(), KROME TRIWIALXNOGO. dOKAZATELXSTWO. pUSTX u 2 H01() I TAKOE, ^TO u = 0. tOGDA PO

R

LEMME OB \NERGII

Z 

jgrad uj dx = ;(uju)L 2

2 ()

= 0:

oTS@DA grad u = 0 PO^TI WS@DU NA . pUSTX  u NA  u~ = 0 NA n n : () tOGDA u~ 2 H 1( n) I grad u~ = grad u = 0 PO^TI WS@DU NA n. oTKUDA SLEDUET, ^TO u~ ESTX POSTOQNNAQ PO^TI WS@DU. a TAK KAK u~ 2 L2( n), TO \TA POSTOQNNAQ DOLVNA BYTX NULEM. sLEDOWATELXNO, u = 0 NA  PO^TI WS@DU.

R

R ^

R

nERAWENSTWO fRIDRIHSA.

RR

pUSTX  | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n, OGRANI^ENNOE W OPREDELENNOM NAPRAWLENII. tOGDA SU]ESTWUET KONSTANTA K (ZAWISQ]AQ OT ) TAKAQ, ^TO DLQ WSQKOJ u 2 H01() IMEET MESTO NERAWENSTWO, NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM fRIDRIHSA: 2 Z ZX n  @u ( x )  dx:  ju(x)j2dx 6 K @xi i=1 



7

R

tAK KAK D() PLOTNO W H01(), TO DOSTATO^NO DOKAZATX \TO NERAWENSTWO DLQ u 2 D(). pO\TOMU PUSTX u 2 D(). pRODOLVIM u NULEM NA n n  I OBOZNA^IM \TO PRODOLVENIE ^EREZ . tAK KAK  OGRANI^ENO W OPREDELENNOM NAPRAWLENII, TO MOVNO WSEGDA PREDPOLAGATX, ^TO  SODERVITSQ W OBLASTI ]a b n;1, GDE a b 2  a < b. tOGDA IMEEM: x dOKAZATELXSTWO.

R

Z @ (x) = @x (t x2 : : :  xn )dt: 1 1

R

a

iSPOLXZUQ NERAWENSTWO {WARCA, IMEEM:

2 Zb  @ 2 j (x)j 6 (b ; a)  @x1 (t x2 : : :  xn) dt a

ILI

Z R

j (x)j dx 2

1

=

Zb a

j (x)j dx 2

1

Zb  @  Z 2 2 6 (b ; a)  @x (x) dx1 6 (b ; a) 1

R

a

6

 @ 2  (x) dx1: @x1

tEPERX PROINTEGRIRUEM PO (x2 : : :  xn) PO WSEMU PROSTRANSTWU

Z

R

n

oTKUDA I TEM BOLEE

Z Z 



Z  @  j (x)jdx 6 (b ; a)2  @x1  dx:

R

n;1:

R

n

Z  @u  ju(x)j2dx 6 (b ; a)2  @x1  dx 

2 ZX m  @u ju(x)j dx 6 (b ; a)2  @xi  dx: i=1 2



N.B. zAMETIM, ^TO NERAWENSTWO fRIDRIHSA NE IMEET MESTA DLQ L@BOJ u 2 H 1(). nAPRIMER, WOZXMEM W KA^ESTWE  OTKRYTOE OGRANI^ENNOE MNOVESTWO, A W KA^ESTWE u | FUNKCI@, HARAKTERISTI^ESKU@ DLQ 8

R

. tOGDA u ESTX \LEMENT IZ H 1(), NO  ju(x)j2dx = mes , A 2 ZX n  @u   dx = 0: i=1 @xi 

III.

TI.

zADA^A kOI-aDAMARA DLQ OPERATORA TEPLOPROWODNOS-

pONQTIQ, OTNOSQ]IESQ K WEKTORNOZNA^NYM FUNKCIQM.

pUSTX X | BANAHOWO PROSTRANSTWO S NORMOJ, OBOZNA^AEMOJ ^EREZ kkX : ~EREZ Lp(0 T  X ) OBOZNA^A@T PROSTRANSTWO (KLASSOW) IZMERIMYH FUNKCIJ t 7! f (t) 2 X IZ ]0 T  W X I TAKIH, ^TO

0ZT 11=p @ kf (t)kpX dtA = kf kL (0T X) < 1 1 6 p < 1:

R

0

p

|TO PROSTRANSTWO bANAHA. iZWESTNO, ^TO Lp(0 T  Lp()) = Lp(]0 T ), GDE  | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n. eSLI X | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO, TO L2(0 T  X ) TAKVE GILXBERTOWO SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM:

ZT

(f jg)L2(0T X ) = (f (t)jg(t))X dt: 0

10) dANNYE ZADA^I.

RR

zADADIM OTKRYTOE MNOVESTWO  IZ n, OGRANI^ENNOE W OPREDELEN NOM NAPRAWLENII, INTERWAL I =]0 T  IZ (GDE T | KONE^NOE ILI BESKONE^NOE), FUNKCI@ u0, OPREDELENNU@ NA  I PRINADLEVA]U@ PROSTRANSTWU H01(), A TAKVE FUNKCI@ f , OPREDELENNU@ NA I   I PRINADLEVA]U@ PROSTRANSTWU L2(I  ). bUDEM POLAGATX I =] ; 1 T  I PRODOLVATX f NULEM NA ] ; 1 0. dLQ UPRO]ENIQ OBOZNA^ENIJ BUDEM POLAGATX H = L2() NORMU W H BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ kk, A SKALQRNOE PROIZWEDENIE W H | ^EREZ (j): pOLOVIM V = H01(). pOSKOLXKU  OGRANI^ENO W OPREDELENNOM NAPRAWLENII, TO SKALQRNOE PROIZWEDENIE W H01() MOVNO WZQTX W SLEDU@]EM WIDE: Z (ajb)V :=

grad a  grad b dx



9

-

(SM. NERAWENSTWO fRIDRIHSA). |TO SKALQRNOE PROIZWEDENIE POROVDAET NORMU W V I V STANOWITSQ GILXBERTOWYM PROSTRANSTWOM. 20) pOSTANOWKA ZADA^I kOI-aDAMARA. i]ETSQ FUNKCIQ (KLASS FUNKCIJ) u(t x), OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI

SWOJSTWAMI: 1) u 2 L2(I  V ) u(t x) = 0, ESLI t < 0 2) sUVENIE PROIZWODNOJ @u=@t (W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA I  ) NA OTKRYTOE MNOVESTWO I   QWLQETSQ \LEMENTOM IZ L2(I 

) 3) w SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA I   FUNKCIQ u UDOWLETWO-

RQET URAWNENI@

@u ; u = f +   u0 @t GDE  | MERA dIRAKA W TO^KE t = 0.

pREVDE ^EM DOKAZYWATX EDINSTWENNOSTX I SU]ESTWOWANIE REENIQ u, USTANOWIM NEKOTORYE NOWYE SWOJSTWA FUNKCII u. 30) sTROGAQ POSTANOWKA ZADA^I (SWOJSTWA REENIQ). I) pUSTX u | REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I TOGDA, W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA I  , IMEEM:

u0 ; u = f:

.

|TO SWOJSTWO NEMEDLENNO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO supp (  u0) = f0g

II) u QWLQETSQ \LEMENTOM IZ L2(I  ), RAWNYM NUL@ PRI t < 0: w SAMOM DELE, PUSTX | SUVENIE DLQ u NA I . oBOZNA^IM ^EREZ  LAPLASIAN OT W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA OTKRYTOM MNOVESTWE I  . tAK KAK u0 I f PRINADLEVAT L2(I  ), TO  2 L2(I  ): o^EWIDNO, ^TO u ESTX FUNKCIQ, RAWNAQ  NA I   I NUL@ WNE. III) dLQ PO^TI WSEH x 2  FUNKCIQ t ! 7 u(t x) QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA I POSLE EE ESTESTWENNOGO PODPRAWLENIQ NA MNOVESTWE MERY NULX IZ I  FUNKCIQ u(t x) NEPRERYWNO OTOBRAVAET I W H = L2() POSLE TOGO VE EE PODPRAWLENIQ, TO ESTX u ESTX \LEMENT IZ C (I  H ).

R

dOKAZATELXSTWO. pREVDE WSEGO NAPOMNIM LEMMU d@ bUA rAJMON-

DA: ESLI f I g 2 L1loc( n), A Tf I Tg { REGULQRNYE OBOB]ENNYE FUNKCII, 10

KOTORYE SWQZANY RAWENSTWOM @1(Tf ) = Tg , TO, POSLE ESTESTWENNOGO PODPRAWLENIQ NA MNOVESTWE MERY NULX, FUNKCIQ f STANOWITSQ NEPRERYWNOJ PO x1 I f (x1 x2  : : :  xn) ; f (x01 x2 : : :  xn ) =

Zx

1

x01

g(s x2 : : :  xn)ds

I ESLI, KROME TOGO, f I g NEPRERYWNY, TO f QWLQETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ (W KLASSI^ESKOM SMYSLE) OTNOSITELXNO x1 I @1f = g: sOGLASNO \TOJ LEMME DLQ PO^TI WSEH x 2  FUNKCIQ t 7! u(t x), POSLE UKAZANNOGO PODPRAWLENIQ, QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA I , I PERWAQ ^ASTX SWOJSTWA DOKAZANA. dALEE, PO TOJ VE LEMME, IMEEM: u(t x) ; u(t0 x) =

Zt @u t0

@t (s x)ds

GDE t0 t 2 I . tOGDA, W SILU NERAWENSTWA {WARCA,

Zt  @u(s x) 2 ju(t x) ; u(t0 x)j2 6 jt ; t0j  @t  ds: t0

oTKUDA

Z 

Z  @u(s x) 2 ju(t x) ; u(t0 x)j2dx 6 jt ; t0j  @t  dsdx I 

A OTS@DA SLEDUET, ^TO FUNKCIQ u NEPRERYWNO OTOBRAVAET I W H = L2(), TO ESTX u 2 C (I  H ). IV) dLQ PO^TI WSEH x 2  u(t x) STREMITSQ POTO^E^NO K u0(x) KOGDA t ! 0 TAKVE u(t x) STREMITSQ K u0(x) PO TOPOLOGII H KOGDA (

t ! 0:



)

,

,

dOKAZATELXSTWO. sNOWA ISPOLXZUEM SOOTNOENIE

u(t x) = u(t0 x) +

Zt @u(s x) t0

11

@t ds

GDE t0 t

s 7!

2 I . pUSTX t ! 0 TAK KAK DLQ PO^TI WSEH x 2  FUNKCIQ

@u(sx) @t

0

INTEGRIRUEMA NA ]0 t, TO

Zt @u(s x)

@t ds

t0

STREMITSQ K PREDELU (DLQ PO^TI WSEH x 2 ) SLEDOWATELXNO, u(t0 x) STREMITSQ (DLQ PO^TI WSEH x 2 ) K PREDELU, KOTORYJ OBOZNA^IM ^EREZ u(0 x). tAKIM OBRAZOM, u(t x) = u(0 x) +

Zt @u(s x)

@t ds:

0

sLEDOWATELXNO, u(t x) ! u(0 x) PRI t ! 0. oTS@DA, KAK I RANXE, IMEEM:

Z 

Z  @u(s x) 2 ju(t x) ; u(0 x)j2dx 6 jtj  @t  dsdx: I 

|TO NERAWENSTWO POKAZYWAET, ^TO u(t x) STREMITSQ K u(0 x) PO TOPOLOGII H , KOGDA t ! 0. dALEE POLOVIM

 @u(t x)=@t t > 0 w(t) = 0

t < 0 tOGDA W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA I   IMEEM: @u = w + (t)  u(0 x): @t sLEDOWATELXNO, u + f +   u0 = w +   u(0 x). tAK KAK u f I w QWLQ@TSQ FUNKCIQMI IZ L2(I  ), TO u + f = w   u0 =   u(0 x) OTKUDA u0 = u(0 x), TO ESTX u(0 x) = u0(x) DLQ PO^TI WSEH x 2 : 40) tEOREMA EDINSTWENNOSTI. pOSTAWLENNAQ ZADA^A kOI-aDAMARA MOVET IMETX NE BOLEE ODNOGO REENIQ. 12

dOKAZATELXSTWO. pUSTX u | REENIE ZADA^I TOGDA IMEEM:

@u(t x) ; u(t x) = f (t x) @t DLQ (t x) 2 I  . uMNOVAQ \TO RAWENSTWO NA u(t x), INTEGRIRUQ PO  I U^ITYWAQ LEMMU OB \NERGII (ZAMETIM, ^TO u(t x) 2 H01() DLQ PO^TI WSEH t 2 I ), IMEEM: @u(t ) 

 u(t ) + ku(t )k2V = (f (t )ju(t )) t 2 I: @t |TO SOOTNOENIE NAZYWA@T SOOTNOENIEM \NERGII. wOZXMEM WE]ESTWENNU@ ^ASTX OT OBEIH ^ASTEJ \TOGO SOOTNOENIQ: 1d k u (t )k2V + ku(t )k2V = Re(f (t )ju(t )) t 2 I: 2 dt iNTEGRIRUQ \TO RAWENSTWO OT 0 DO t I ISPOLXZUQ NEPRERYWNOSTX FUNKCII: t 7! ku(t )k2V NA 0 t], IMEEM: 1 (ku(t )k2V ; ku0(x)k2) + 2

Zt

ku(s )kV ds = Re 2

Zt

(f (s )ju(s ))ds:

0

0

tEPERX, ESLI u1(t x) I u2(t x) | DWA REENIQ POSTAWLENNOJ ZADA^I, TO u(t x) = u1(t x) ; u2(t x) ESTX REENIE TOJ VE ZADA^I, GDE f = 0 u0 = 0. pO\TOMU BUDEM IMETX: 1 ku(t )k2 + V 2

Zt

ku(s )kV ds = 0 2

0

^TO WLE^ET ku(t )k2V = 0, TO ESTX u(t x) = 0 PO^TI WS@DU. 50) sU]ESTWOWANIE I STRUKTURA REENIQ.

tEOREMA. pOSTAWLENNAQ ZADA^A kOI-aDAMARA IMEET PO KRAJNEJ

MERE ODNO REENIE.

dOKAZATELXSTWO. iSPOLXZUQ METOD gALERKINA, SKONSTRUIRUEM RE-

ENIE ZADA^I. pUSTX (j )j2N | BAZIS PROSTRANSTWA V = H01(), ORTONORMIROWANNYJ W PROSTRANSTWE H = L2(). 13

N

a) pRIBLIVENNYE REENIQ. pUSTX m 2  POLOVIM

um (t x) =

m X i=0

gmi (t)i(x)

GDE gmi DOLVNY BYTX PODOBRANY TAK, ^TOBY WYPOLNQLISX USLOWIQ: 8 u (t x) = 0 ESLI t < 0 x 2  < m0 : (um(t)jj ) + (grad um(t)jgrad j ) = (f (t)jj ) ESLI t > 0 um (0) = u0m 

GDE um ESTX LINEJNAQ KOMBINACIQ IZ 1 2  : : :  m . N.B. zDESX WWEDENY OBOZNA^ENIQ: 0

(I )

um (t) = um (t x) u0m (t) = @um@t(t x)  f (t) = f (t x): |TI USLOWIQ BUDUT WYPOLNQTXSQ, ESLI 8 g (t) = 0 ESLI t < 0 < mj0 P m (t) + i=0 gmi (t)aij = fj (t) j = 0 1 : : :  m : ggmj 0  mj (0) = gmj

GDE POLOVILI

0 aij = (ijj )H () = (grad i jgrad j ) fj (t) = (f (t)jj ) gmi = (u0m jj ): iZWESTNO, ^TO \TA SISTEMA OBLADAET ODNIM I TOLXKO ODNIM REENIEM W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ I ^TO gmj (t) 2 C (I ). dLQ DOKAZATELXSTWA \TOGO MOVNO ISPOLXZOWATX ILI METOD \LEMENTARNYH REENIJ, ILI METOD WARIACII POSTOQNNYH. b) aPRIORNAQ OCENKA. uMNOVAQ RAWENSTWO (I) NA gmj (t) I SUMMIRUQ PO j OT 0 DO m, POLU^AEM SOOTNOENIE \NERGII: (u0m (t)jum(t)) + kum(t)k2H () = (f (t)jum(t)): wZQW WE]ESTWENNYE ^ASTI OT OBEIH ^ASTEJ RAWENSTWA I PROINTEGRIROWAW PO t NA 0 t], IMEEM: 1 0

1 0

1 (ku (t)k2 ; ku (0)k2) + m 2 m

Zt

kum(s)kH

Zt

2

0

1 0 ()

ds = (f (s)jum(s))ds: 0

14

dALEE,

Zt

ILI

Zt 0

kum(s)kH 2

1 0 ()

Zt

ds = (f (t)jum(s))ds ;

0

0

1 1 2 2 k u m (t)k + kum (0)k 2 2

Zt

Zt

0

0

kum(s)k2H01()ds 6 (f (s)jum(s))ds + 21 kum(0)k2 6

kf k  kumkds+

0Z t 11=2 t Z + 1 kum (0)k2 6 @ kf k2ds kum k2dsA + 1 kum (0)k2: 2

0

2

0

nO, W SILU NERAWENSTWA fRIDRIHSA, IMEEM: kum k2 6 k2 kumk2H (). tOGDA 1 0

Zt

0Z t 11=2 Zt kum(s)k2H ()ds 6 @ kf (s)k2ds k2kum(s)k2H ()dsA + 1 kum(0)k2: 1 0

2

1 0

0

0

0

tEPERX ISPOLXZUEM SLEDU@]IJ FAKT: ESLI a b c | TRI POLOVITELXNYH ^ISLA, TAKIH, ^TO a2 6 ab + c2=2, TO a2 6 b2 + c2. iMEEM:

Zt

kum(s)kH 2

1 0 ()

ds 6 k 2

0

Zt

kf (s)k ds + kum(0)k : 2

0

N

2

|TO NERAWENSTWO POKAZYWAET, ^TO DLQ KAVDOGO m 2 um ESTX \LEMENT IZ L2(I  H01()) I ^TO kumk2L (IH ()) 6 k2kf kL (I) + ku0mk2: 2

2

1 0

c) sHODIMOSTX PRIBLIVENNYH REENIJ. wYBEREM u0m TAK, ^TOBY POSLEDOWATELXNOSTX (u0m)m2N SHODILASX K u0 (x) PO TOPOLOGII H01(). tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX (ku0m k2)m2N SHODITSQ. nAPOMNIM, ^TO WSQKOE GILXBERTOWO PROSTRANSTWO MOVET BYTX IZOMETRI^ESKI OTOVDESTWLENO SO SWOIM SOPRQVENNYM PROSTRANSTWOM (W SILU TEOREMY rISSA). pO\TOMU NA \TOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE 15

MOVNO WWESTI TOPOLOGI@ SOPRQVENNOGO K NEMU (DUALXNOGO) PROSTRANSTWA, KOTORAQ QWLQETSQ BOLEE SLABOJ TOPOLOGIEJ, ^EM ESTESTWENNAQ (NA^ALXNAQ) TOPOLOGIQ. |TA TOPOLOGIQ NAZYWAETSQ OSLABLENNOJ TOPOLO GIEJ GILXBERTOWA PROSTRANSTWA iMEET MESTO tEOREMA. eDINI^NYJ ZAMKNUTYJ AR W GILXBERTOWOM PROSTRAN STWE QWLQETSQ SEKWENCIALXNO KOMPAKTNYM PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII ILI GOWORQT SLABO SEKWENCIALXNO KOMPAKTNYM tOGDA, ISPOLXZUQ SLABU@ SEKWENCIALXNU@ KOMPAKTNOSTX EDINI^NOGO ZAMKNUTOGO ARA IZ L2(I  H01()), MOVNO IZ POSLEDOWATELXNOSTI (um )m2N IZWLE^X PODPOSLEDOWATELXNOSTX (um )p2N, KOTORU@ DLQ PROSTOTY BUDEM OBOZNA^ATX (up)p2N, TAKU@, ^TO (up)p2N SHODITSQ K \LEMENTU u IZ L2(I  H01()) PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII L2(I  H01()). pOKAVEM, ^TO u ESTX REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I. rASSMOTRIM FUNKCI@ q -

.

-

,

,

.

p

(t x) =

X j =0

'j (t)  j (x)

(II )

GDE 'j (t) 2 D(I ). iZ SOOTNOENIQ (I) DLQ p > q POLU^AEM:

ZT

ZT

ZT

0

0

(u0p (t)j(t))dt + (up(t)j(t))H01() dt = (f (t)j(t))dt

0

GDE WWEDENO OBOZNA^ENIE: (t) = (t x), ILI

;(up(0)j(0));

ZT

ZT

ZT

0

0

(up(t)j0(t))dt + (up(t)j(t))H01()dt = (f (t)j(t))dt:

0

uSTREMLQQ p K +1 I ZAME^AQ, ^TO u(t) I f (t) RAWNY NUL@ PRI t < 0, IMEEM:

;

ZT

;1

(u(t)j0(t))dt +

ZT

;1

(u(t)j(t))H01()dt =

ZT

;1

(f (t)j(t))dt + (u0j(0)):

|TO SOOTNOENIE SPRAWEDLIWO DLQ L@BOJ FUNKCII  WIDA (II). tAK KAK (j )j2N | POLNAQ SISTEMA W H01(), TO \TO SOOTNOENIE SPRAWEDLIWO DLQ WSEH  2 D(I )  H01() I TEM BOLEE DLQ WSEH  2 D(I )  D(). a TAK KAK D(I ) D() PLOTNO W D(I ), TO \TO SOOTNOENIE WERNO DLQ WSEH 16

 2 D(I  ). iNA^E GOWORQ, IMEEM W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA I  : u0 ; u = f +   u0: d) pOKAVEM, ^TO u0 2 L2(I  ). dLQ \TOGO POLU^IM E]E ODNU APRIORNU@ OCENKU. zAMETIM PREVDE WSEGO, ^TO SOOTNOENIQ

g0

mj (t) +

m X i=0

aij gmi(t) = fj (t) j = 0 1 : : :  m t 2 I

0 (t) 2 L2 (I ), TAK KAK gmi (t) I fj (t) 2 L2 (I ). a TOGDA POKAZYWA@T, ^TO gmi 0 (t) I, u0m 2 L2(I  ). uMNOVIM TEPERX OBE ^ASTI RAWENSTWA (I) NA gmi SUMMIRUQ PO j OT 0 DO m, POLU^IM:

ku0m(t)k

2

+ Re(um(t)ju0m(t))V = Re(f (t)ju0m(t)):

iNTEGRIRUQ \TO SOOTNOENIE OT 0 DO T, IMEEM:

ZT 0

ZT

ku0m(t)k dt 6 kf (t)k  ku0m(t)kdt + 12 (kum(0)kV ; kum(T )kV ) 6 2

2

2

0

6

ZT 0

kf (t)k  ku0m(t)kdt + 21 (kumkV + c) 2

GDE c | KONSTANTA, NEZAWISQ]AQ OT m. dALEE, TO^NO TAKVE, KAK DLQ PERWOJ APRIORNOJ OCENKI, IMEEM: ku0mk2L (I) 6 kf k2L (I) + ku0mk2 + c: tAKVE, ISPOLXZUQ SLABU@ SEKWENCIALXNU@ KOMPAKTNOSTX W ZAMKNUTOM ARE W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE, MOVNO IZWLE^ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (u0r )r2N, SHODQ]U@SQ K OPREDELENNOMU \LEMENTU w 2 L2(I  ) PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII L2(I  ) I TEM BOLEE PO SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGII D0 (I  ). nO OPERATOR DIFFERENCIROWANIQ NEPRERYWEN W D0 (I  ), OTKUDA w = u0: iTAK, u0 2 L2(I  ). 2

2

e) sHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI (um )m2N K REENI@. w SILU EDINSTWENNOSTI REENIQ POSLEDOWATELXNOSTX (um )m2N DOPUSKAET W KA^ESTWE PREDELA u(t x) PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII L2(I  H01()). 17

tAK KAK EDINI^NYJ AR IZ L2(I  H01()) QWLQETSQ SEKWENCIALXNO KOMPAKTNYM PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII, TO POSLEDOWATELXNOSTX (um)m2N SHODITSQ K u(t x) PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII L2(I  H01()), I NET NEOBHODIMOSTI IZ NEE IZWLEKATX PODPOSLEDOWATELXNOSTX.

f ) sHODIMOSTX (um )m2N K u PO NORMIROWANNOJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA L2(I H01()). wYPIEM SNA^ALA SOOTNOENIQ \NERGII, USTANOWLENNYE RANEE, DLQ um I u: (u0m(t)jum(t)) + kum (t)k2H () = (f (t)jum(t)) t 2 T 1 0

(u0 (t)ju(t)) + ku(t)k2H01() = (f (t)ju(t)) t 2 T: tAK KAK (um)m2N RSHODITSQ K u(t x) PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII R T T 2 1 L (I H0 ()), TO 0 (f (t)jum(t))dt SHODITSQ K 0 (f (t)ju(t))dt. w SAMOM DELE, SU]ESTWUET g 2 L2(I H01()) TAKOE, ^TO ;g = f (t) NO TOGDA

ZT

ZT

ZT

0

0

(f ju)dt = ; (gju)dt = (gju)H01()dt:

0

a TOGDA IMEEM: lim

m!1

ZT

ZT

f(u0m(t)jum(t))+kum(t)kH gdt = f(u0(t)ju(t))+ku(t)kH gdt 2

2

1 0 ()

0

1 0 ()

0

TO ESTX SHODIMOSTX \NERGII. rASSMOTRIM TEPERX WYRAVENIE

(u0m(t) ; u0 (t)jum(t) ; u(t)) + kum(t) ; u(t)k2H01() =

= (u0m(t)jum(t)) ; (u0m (t)ju(t)) ; (u0(t)jum(t))+(u0(t)ju(t))+ kum(t)k2H01() ; ;2Re(u(t)jum(t))H01() + ku(t)k2H01(): iSPOLXZUQ SHODIMOSTX \NERGII, IMEEM: lim Re m!1

ZT

f(u0m(t) ; u0(t)jum(t) ; u(t)) + kum(t) ; u(t)kH gdt = 0 2

0

18

1 0 ()

NO LEWAQ ^ASTX POD ZNAKOM PREDELA ESTX NI^TO INOE, KAK POSLEDOWATELXNOSTX 1 1 2 0 2 k u m (T ) ; u(T )k ; kum (0) ; u k + 2 2

ZT

kum(t) ; u(t)kH 2

1 0 ()

dt:

0

tAK KAK kum (0) ; u0 k ! 0 PO GIPOTEZE, TO IMEEM: 2 lim k u ( T ) ; u ( T ) k = 0 mlim m m!1 !1

ZT

kum(t) ; u(t)kH 2

1 0 ()

dt = 0:

0

oTKUDA SLEDUET, ^TO (um )m2N SHODITSQ K u PO NORME PROSTRANSTWA L2(I  H01()), I ^TO um (T ) SHODITSQ K u(T ) PO TOPOLOGII L2(). zAMENQQ T NA t 2 I , WIDIM, ^TO um (t) SHODITSQ K u PO TOPOLOGII L2(). 60) pRIMENENIE SOBSTWENNYH FUNKCIJ (METOD RAZDELENIQ

PEREMENNYH).

pREDPOLOVIM, ^TO OPERATOR (;) OBLADAET BAZISOM SOBSTWENNYH FUNKCIJ (j )j2N W H01(), ORTONORMIROWANNYH W H = L2():

;j = j j  j 2 H (): 1 0

iZWESTNO, ^TO WSE j | POLOVITELXNYE ^ISLA. N.B. zAMETIM, ^TO ESLI  ESTX OTKRYTOE OGRANI^ENNOE MNOVESTWO, TO OPERATOR (;) WSEGDA IMEET BAZIS, SOSTOQ]IJ IZ ORTOGONALXNYH W H01() SOBSTWENNYH FUNKCIJ, W SILU IZWESTNOJ SPEKTRALXNOJ TEOREMY. wOZXMEM \TOT BAZIS DLQ POSTROENIQ REENIQ u(t x) METODOM gALERKINA. wYBEREM W KA^ESTWE u0m PROEKCI@ u0 NA PODPROSTRANSTWO, POROVDENNOE FUNKCIQMI f1 2 : : :  m g, TO ESTX um = 0

m X j =1

gj0j (x)

GDE gj0 = (u0jj ) | KO\FFICIENTY fURXE FUNKCII u0(x) ONI NE ZAWISQT OT m. sISTEMA DLQ OPREDELENIQ gj (t) IMEET WID:  g0 (t) + g (t) = f (t) ESLI t 2 I j j j j 0 gj (0) = gj  gj (t) = 0 ESLI t < 0: 19

pOD^ERKNEM, ^TO PRIMENENIE BAZISA SOBSTWENNYH FUNKCIJ OPERATORA (;) PRIWODIT K gmj (t), NEZAWISQ]IM OT m, TO ESTX gmj (t) = gj (t). iSPOLXZUEM OPERACIONNYJ METOD lAPLASA DLQ OTYSKANIQ gj (t). iMEEM: gj (t) + Gj (p) gj0 (t) + pGj (p) ; gj0 fj (t) + Fj (p): tOGDA (p + j )Gj (p) = Fj (p) + gj0. oTKUDA sLEDOWATELXNO,

gj0 Gj (p) = p + + p +1 Fj (p): j j

Zt

gj (t) = gj0e; t + e; (t;s) fj (s)ds: j

j

0

a TOGDA DLQ t 2 I REENIE ZAPIETSQ W SLEDU@]EM WIDE: u(t x) =

X j 2N

gj (t)j (x) =

X j 2N

gj0e; tj (x) + j

X j 2N

Zt

j (x)e; t e sfj (s)ds: j

j

0

|TOT RQD SHODITSQ, PO KRAJNEJ MERE, PO NORME PROSTRANSTWA L2(I H01()).

N.B. 10) |FFEKTIWNOE WY^ISLENIE gj0 QWLQETSQ ZADA^EJ RAZLOVENIQ ZADANNYH FUNKCIJ W RQDY PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM. 20) fORMULA X u(t x) = gj (t)j (x) j 2N

ESTX FUNDAMENT METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH. rASSMOTRENNYJ METOD REENIQ ZADA^I kOI-aDAMARA TESNO SWQZAN S ZADA^EJ O SOBSTWENNYH FUNKCIQH OPERATOROW W ^ASTNYH PROIZWODNYH, TO ESTX S ZADA^EJ {TURMA-lIUWILLQ DLQ OPERATOROW W ^ASTNYH PROIZWODNYH. sLU^AJ, KOGDA PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ ESTX NULX.

eSLI f = 0, TO u = limm!1 um , GDE um (t x) =

m X j =1

gj0e; tj (x):

20

j

1) pOKAVEM, ^TO u 2 C 1(I  ) I RQD SHODITSQ K u(t x) PO TOPOLOGII PROSTRANSTWA E (I  ). dOKAZATELXSTWO. lEGKO PROWERITX, ^TO um ; u0m = 0 NA I  . nO, KAK MY UVE WIDELI, POSLEDOWATELXNOSTX (um)m2N SHODITSQ K u(t x) PO NORME PROSTRANSTWA L2(I  ), A SLEDOWATELXNO, PO SILXNOJ DUALXNOJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA D0(I  ). tAK KAK OPERATOR TEPLOPROWODNOSTI ; @ ;  QWLQETSQ GIPO\LLIPTI^ESKIM, TO u 2 C 1(I  ), I POSLEDOWA@t TELXNOSTX (um )m2N SHODITSQ K u(t x) PO TOPOLOGII E (I  ). 2) pOKAVEM, ^TO u 2 CB (I  H01()) I RQD SHODITSQ K u(t x) PO NORME PROSTRANSTWA CB (I  H01()), GDE CB (I  H01()) | PROSTRANSTWO FUNKCIJ, OGRANI^ENNYH I NEPRERYWNYH NA I SO ZNA^ENIQMI W H01(), SNABVENNOE TOPOLOGIEJ RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI NA I . iMEEM:

kup(t) ; uq (t)kH 2

TAK KAK

kj kH 2

oTKUDA

p X

jgj j e;  tkj kH

jgj j e;  t j 

1 0 ()

=

1 0 ()

= (;j jj )L2() = j kj k2L2() = j :

j =q+1

sup kup(t) ; uq (t)kH01() = 2

t2I

0 2

p X j =q+1

2

2

j

1 0 ()

=

p X

j =q+1

0 2

2

j

jgj j j = kup(0) ; uq (0)kH ! 0: 0 2

2

1 0 ()

3) pOKAVEM, ^TO u0 2 L2(I  ) \ CB (I  V 0) I (u0m )m2N SHODITSQ K u0 PO NORME PROSTRANSTWA L2(I ) I PO NORME PROSTRANSTWA CB (I  V 0). nAPOMNIM, ^TO V = H01() I V 0 = H ;1(), A H = L2(). iZWESTNO, ^TO  ESTX IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM H01() NA H ;1(), kj kV 0 = p kj kV = j . spDRUGOJ STORONY, kj kH;1() = j kj kH;1(). oTKUDA kj kH;1() = 1= j . tOGDA

kp ; u0 (t)

A POTOMU

kH;

u0 (t) q

2

1()

sup k t2I

=

u0 (t) p

p X

j =q+1

;

jgj j j

0 2 2

kH;

u0 (t) q

e;2 t

2

1()

21

j

=

kj kH; 2

p X j =q+1

1 ()

=

p X

j =q+1

jgj j j ! 0: 0 2

jgj j j e;  t 0 2

2

j

oTS@DA WYTEKAET SHODIMOSTX (u0m )m2N K u0 PO NORME PROSTRANSTWA CB (I  H ;1 ()).

s DRUGOJ STORONY, IMEEM:

ku0p(t) ; u0q (t)kH =

p X

2

A TAK KAK

Z1

jgj j j e;  t 0 2 2

j =q+1

2

j

e;2 tdt = 1=(2 j ) j

0

TO IMEEM:

kp ; u0 (t)

kL I 

u0 (t) q

2

2(

)

=

Z1

kp ; u0 (t)

u0 (t) q

0

p X 1 kH dt 6 2 jgj0j2 j ! 0 j =q+1 2

TO ESTX SHODIMOSTX (u0m )m2N K u0 PO NORME PROSTRANSTWA L2(I  ). IV. zADA^A kOI-aDAMARA DLQ WOLNOWOGO OPERATORA.

R

nEKOTORYE OPREDELENIQ I PREDLOVENIQ, KASA@]IESQ WEKTORNYH OBOB]ENNYH FUNKCIJ.

pUSTX U | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ l I X | BANAHOWO PROSTRANSTWO. ~EREZ D0(U  X ) OBOZNA^IM MNOVESTWO LINEJNYH OTOBRAVENIJ NEPRERYWNYH IZ D(U ) W X |LEMENT IZ D0 (U  X ) NAZYWAETSQ WEKTOR NOJ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ OPREDELENNOJ NA U SO ZNA^ENIQMI W X pUSTX T 2 D0(U  X ) I  2 l . tOGDA OTOBRAVENIE ' 7! (;1)jjT (D') QWLQETSQ NEPRERYWNYM IZ D(U ) W X I, SLEDOWATELXNO, OPREDELQET NOWU@ WEKTORNU@ OBOB]ENNU@ FUNKCI@ SO ZNA^ENIQMI W X . eE ZAPISY WA@T DT I NAZYWA@T PROIZWODNOJ INDEKSA  W SMYSLE WEKTORNYH OBOB]ENNYH FUNKCIJ OT T . tAKIM OBRAZOM:

N

.

,

,

-

.

-

,

,

(DT )(') = (;1)jjT (D') ' 2 D(U ): pUSTX f 2 L1loc(U  X ). eJ SOOTWETSTWUET WEKTORNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ Tf 2 D0 (U  X ), OPREDELQEMAQ FORMULOJ:

Tf (') =

Z U

f (t)'(t)dt ' 2 D(U )

I OTOBRAVENIE f 7! Tf QWLQETSQ IN_EKTIWNYM IZ L1loc(U  X ) W D0(U  X ). mOVNO ZAPISATX: L1loc(U  X ) D0(U  X ). 22

R

iME@T MESTO SLEDU@]IE TEOREMY (GDE U I T 0 | PROIZWODNAQ

OT T ):

tEOREMA I. lINEJNOE OTOBRAVENIE T

7! T 0 QWLQETSQ S@R_EKTIW

NYM IZ D NA D I EGO QDRO SOSTOIT IZ POSTOQNNYH OBOB]ENNYH FUNKCIJ. wEKTORNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ POSTOQNNOJ NA U , ESLI SU]ESTWUET a 2 X TAKOJ, ^TO 0 (U  X )

0 (U  X )

-

Z

T (') = a '(t)dt ' 2 D(U ): U

pUSTX f I g 2 L1loc(U  X ) TAKIE, ^TO (Tf )0 = Tg . tOGDA, POSLE ESTESTWENNOGO PODPRAWLENIQ NA MNOVESTWE MERY NULX W U , FUNKCIQ f QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ NA U (SO ZNA^ENIQMI W X ) I ZADAETSQ FORMULOJ: tEOREMA

II.

f (t) ; f (s) =

Zt s

g( )d s t 2 U:

eSLI, KROME TOGO, g 2 L1(U  X ), TO f QWLQETSQ NEPRERYWNOJ NA U . zAMETIM, ^TO ESLI U =]a b I ESLI g 2 L1(U  X ), TO MOVNO OPREDELITX f (a) FORMULOJ:

Zt

f (a) = f (t) ; g( )d a

KOTORAQ POZWOLQET PRODOLVITX PO NEPRERYWNOSTI f NA U .

R

10) dANNYE ZADA^I kOI-aDAMARA. pUSTX  | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n, OGRANI^ENNOE W OPREDELENNOM NAPRAWLENII. pUSTX H = L2(), A (j) I k  k | SOOTWETSTWENNO SKALQRNOE PROIZWEDENIE I NORMA W H . ~EREZ V OBOZNA^IM H01(), A ^EREZ V 0 | PROSTRANSTWO H ;1(). pROSTRANSTWO V SNABDIM SLEDU@]IM SKALQRNYM PROIZWEDENIEM: n Z X @a @b dx (ajb)V := (grad ajgrad b) = @xi @xi i=1 !

23

A NORMU, POROVDAEMU@ \TIM SKALQRNYM PROIZWEDENIEM, BUDEM OBOZNA^ATX k  kV . pROSTRANSTWO V 0 BUDET SNABVENO NORMOJ: kwkV 0 := supfjhw ij k kV 6 1g: tOGDA  ESTX IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM V NA V 0. zADADIM \LEMENT a 2 V I \LEMENT b 2 H . 20) pOSTANOWKA ZADA^I kOI-aDAMARA. i]ETSQ FUNKCIQ (KLASS FUNKCIJ) u(t x), OPREDELENNAQ NA

R

R

I

OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1) supp u +  . 2) dLQ WSQKOGO KONE^NOGO T u 2 L2(] ; 1 T  V ) u0 2 L2(]0 T ): 3) u(t x) UDOWLETWORQET URAWNENI@ u00 ; u = 0 (t)  a(x) + (t)  b(x) W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA  . zAMETIM, ^TO u0 I u00 OBOZNA^A@T PROIZWODNYE OT u PO t (W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA  ).

R

R

30) aNALIZ POSTANOWKI ZADA^I (SWOJSTWA REENIJ). tEOREMA. pUSTX u(t x) | REENIE ZADA^I. tOGDA 1) w SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA ]0 1 IMEEM: u00 ; u = 0 2) fUNKCIQ u(t x), POSLE ESTESTWENNOGO PODPRAWLENIQ NA MNOVESTWE MERY NULX W + := 0 +1, QWLQETSQ \LEMENTOM IZ C ( + H ) 0 3) pROIZWODNAQ u (t x), POSLE TOGO VE PODPRAWLENIQ, QWLQETSQ \LEMENTOM IZ C ( + V 0 ) 4)

R

R

R

 u(0 x) = a(x) KAK \LEMENT IZ H

u0(0 x) = b(x) KAK \LEMENT IZ V 0:

N.B. |TU TEOREMU MOVNO BYLO DOKAZATX, RASSUVDAQ KAK W PUNKTE III. oDNAKO, UDOBNEE PRIMENITX ZDESX PONQTIE WEKTORNYH OBOB]ENNYH FUNKCIJ. 24



dOKAZATELXSTWO. 1) uTWERVDENIE 1) O^EWIDNO, IBO supp (0 b) I

supp (  b) f0g  . 2) pOKAVEM, ^TO u0 ESTX PROIZWODNAQ (PO t) OT u W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA OTKRYTOM MNOVESTWE ]0 1 SO ZNA^ENIQMI W H = L2(). iNA^E GOWORQ, POKAVEM, ^TO u('0 ) = ;u0 (') W H DLQ L@BOJ FUNKCII ' 2 D(]0 1). dLQ \TOGO DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ  2 H IMEET MESTO RAWENSTWO: (u('0)j)H = ;(u0 (')j)H : () tAK KAK D() PLOTNO W H , DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO \TO SOOTNOENIE IMEET MESTO DLQ  2 D(). nO (u('0)j)H =

ANALOGI^NO

Z 

Z1





(x) u(t x)'0 (t)dtdx = u '0 (t)  (x)  0





(u0(')j)H = u0 '    GDE hji OZNA^AET DUALXNOSTX MEVDU D0(]0 1) I D(]0 1). tAK KAK u0 ESTX PROIZWODNAQ (PO t) OT u W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA ]0 1, TO IMEEM:

u '0   = ; u0 '   :

iTAK, DOKAZANO RAWENSTWO (*). tEPERX, PRIMENQQ TEOREMU II, IMEEM UTWERVDENIE 2) TEOREMY. 3) tAK KAK  ESTX IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM V NA V 0 I u 2 L2(0 T  V ), TO IMEEM: u 2 L2(0 T  V 0 ). s DRUGOJ STORONY, u00 = u NA ]0 1, PO\TOMU u00 2 L2(0 T  V 0 ). tOGDA TEOREMA II WLE^ET u0 2 C (0 T ] V 0) DLQ KAVDOGO T > 0. sLEDOWATELXNO, u0 2 C ( + V 0 ). 4) pOLOVIM, W KA^ESTWE \LEMENTA IZ H ;1(),  u00 (t) ESLI t > 0 w(t) = 0 ESLI t < 0: tOGDA, W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA SO ZNA^ENIQMI W H ;1(), IMEEM:

R

R

u00 (t) = w + u(0)0 (t) + u0 (0): 25

R

R

oTS@DA LEGKO POLU^ITX, ISPOLXZUQ PLOTNOSTX D( ) D() W D( ^TO, W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, IMEEM:

R R R R

),

u00 = w + u(0)  0 (t) + u0 (0)  (t): nO u = w KAK \LEMENTY IZ L2loc(  V 0). sLEDOWATELXNO, W KA^ESTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA SO ZNA^ENIQMI W V 0 , A POTOMU W KA^ESTWE SKALQRNYH OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA   ISPOLXZUETSQ PLOTNOSTX D( )  D() W D(  ). sLEDOWATELXNO, u(0)  0(t) + u0 (0)  (t) = a  0 + b   OTKUDA u(0) = a I u0 (0) = b W KA^ESTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA . sLEDOWATELXNO, u(0) = a, W KA^ESTWE \LEMENTA IZ L2(), I u0 (0) = b, W KA^ESTWE \LEMENTA IZ H ;1(). 40) tEOREMA EDINSTWENNOSTI. zADA^A kOI-aDAMARA IMEET, SAMOE BOLXEE, ODNO REENIE. dOKAZATELXSTWO. pUSTX u | RAZNOSTX DWUH REENIJ NAEJ ZADA^I TOGDA u UDOWLETWORQET, W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA  , URAWNENI@ u00 ; u = 0. eSLI BY u00 I u BYLI FUNKCIQMI, TO MOVNO BYLO BY NAPISATX: u00 (t x) ; u(t x) = 0: a TOGDA, UMNOVAQ OBE ^ASTI RAWENSTWA NA u0(t x) I INTEGRIRUQ PO , POLU^AEM: d 0 2 d k u (t)k + ku(t)k2H () = 0 dt dt 0 OTKUDA u = 0. oDNAKO, u I u NE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI I \TO RASSUVDENIE NE WERNO. pO\TOMU PRIMENIM REGULQRIZACI@. pUSTX (j )j2N D( ) | REGULQRIZU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX. pOLOVIM

R

R

1 0

uj (t x) =

Z

R

j (s)u(t ; s x)ds =

Z1

j (t ; s)u(t x)ds t

R   2 0

R 2R 2

 x :

oBOZNA^AQ SIMWOLOM * SWERTKU (PO t) NA , MOVEM ZAPISATX: uj ( x) = j u(  x) x : 26

pOKAVEM TEPERX, ^TO, W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA

EM:

R

, IME-

u00j ; uj = 0: () oBOZNA^IM ^EREZ U (SOOTWETSTWENNO Uj ) PRODOLVENIE NULEM DLQ u (SOOTWETSTWENNO uj ) WO WNE . pOKAVEM, ^TO Uj = U  (j  R ). w SAMOM DELE, DLQ L@BOJ ' 2 D( ) I L@BOJ  2 D( n) IMEEM: hU  (j  R ) '  i = U (j  R )  ('  ) 

R

R

n

NO

n

(j  R )  ('  ) = (j  ')  (R  ) = (j  ')  : n

tOGDA

n

n

hU  (j  R ) '  i = U j  ('  ) = = hU  j  '  i = hUj  '  i : n

a TOGDA, U^ITYWAQ FORMULY DIFFERENCIROWANIQ SWERTKI, IMEEM:

RR R

Uj00 ; Uj = (U 00 ; U )  (j  R ) NO U 00 ; U = 0 NA  f n n @ g SLEDOWATELXNO, supp (U 00 ; U )  @. dALEE, supp(j  R )  f0g. pO\TOMU supp(Uj00 ; Uj ) supp(U 00 ; U ) + supp(j  R ) =  @ : |TO OZNA^AET, ^TO (Uj00 ; Uj ) OBRA]AETSQ W NULX NA  f n n @ g I, W ^ASTNOSTI, NA  . wOZXMEM TEPERX SNOWA URAWNENIE u00j ; uj = 0 NA  . tAK KAK u00j ESTX FUNKCIQ OT (t x) (NEPRERYWNAQ PO t), TO MOVNO ZAPISATX: u00j (t x) ; uj (t x) = 0: uMNOVAQ OBE ^ASTI NA u0j (t x) I INTEGRIRUQ PO , IMEEM: d ku0 (t)k2 + d ku (t)k2 = 0 t 2 : dt j dt j H () oTKUDA ku0j (t)k2 + kuj (t)k2H () = const NA . nO WSEGDA MOVNO PREDPOLAGATX, ^TO supp j ;1 +1]. pOSKOLXKU supp u +  , TO IMEEM: supp uj ;1 +1

R

n

R RR R

n

R

n

1 0

1 0

27

R R R

R

R

A \TO POKAZYWAET, ^TO uj (t x) = 0 DLQ WSEH t < ;1 (I DLQ PO^TI WSEH x 2 ). sLEDOWATELXNO, kuj (t)k2V = 0 t 2 . oTKUDA uj (t x) = 0 t 2 , I PO^TI DLQ WSEH x 2 . oSTAETSQ POKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO T > 0 POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u PO TOPOLOGII L2(] ; 1 T ): dEJSTWITELXNO, POLOVIM = u]0T +1, GDE ]0T +1 | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ MNOVESTWA ]0 T + 1. tOGDA ESTX \LEMENT IZ L2(  ). pOLOVIM j (t x) =

Z

R

R

R

j (s) (t ; s x)ds:

R

nAPOMNIM, ^TO ESLI 2 L2(  ), A j 2 L1( ), TO j 2 L2( N22( j ) 6 N22( )N12(j ). a PO\TOMU

Z

R

Z

Z

Z

R

) I

j j (t x)j dt 6 j (t x)j dt jj (s)jds = j (t x)j dt: 2

2

R

R

R

i, W SILU TEOREMY O REGULQRIZACII, IMEEM: lim j !1

Z

R

2

j j (t x) ; (t x)j dx = 0 2

DLQ PO^TI WSEH x 2 . sLEDOWATELXNO, SOGLASNO TEOREME lEBEGA O MAVORIRUEMOJ SHODIMOSTI, IMEEM: lim j !1

Z

R

j j (t x) ; (t x)j dxdt = 0: 2

nO NA OTKRYTOM MNOVESTWE ] ; 1 T  u (SOOTWETSTWENNO uj ) SOWPADAET S (SOOTWETSTWENNO j ). sLEDOWATELXNO, lim j !1

Z

];1T 

juj (t x) ; u(t x)j dtdx = 0: 2

50) sU]ESTWOWANIE I STRUKTURA REENIQ

tEOREMA. pOSTAWLENNAQ ZADA^A kOI-aDAMARA OBLADAET REENI-

EM.

dOKAZATELXSTWO. s POMO]X@ METODA gALERKINA DOKAVEM SU]EST-

WOWANIE REENIQ I POSTROIM EGO.

28

pUSTX (uj )j2N | BAZIS W V , ORTONORMIROWANNYJ W H . nAPOMNIM, ^TO SLOWO BAZIS OZNA^AET POLNU@ SISTEMU LINEJNO NEZAWISIMYH WEKTOROW.

N

a) pRIBLIVENNOE REENIE. pUSTX m 2 FIKSIROWANO. pUSTX am I bm | LINEJNYE KOMBINACII IZ 0 : : :  m . pOKAVEM, ^TO SU]ESTWUET FUNKCIQ um , OPREDELENNAQ NA   I OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 8 u (t x) = 0 ESLI t < 0 > m P > m < um00 = i=0 gmi(t)  i(t) GDE gmi 2 C 2( + ) (um(t)jj ) ; (ujj ) = 0 GDE t > 0 (1) > >  x) = am DLQ PO^TI WSEH x 2  : uum0 (0 DLQ PO^TI WSEH x 2 : m (0 x) = bm 

R

RC

pOLOVIM

cij = ;(i jj ) = (ijj )V  0 6 i j 6 m mj = (amjj ) 0 6 j 6 m mj = (bmjj ) 0 6 j 6 m: tOGDA WSE SWODITSQ K OPREDELENI@ FUNKCIJ gmj 2 C 2( + ) TAKIH, ^TO DLQ 0 1 : : :  m, IMEEM: 8 g (t) = 0 ESLI t < 0 > < gmj 00 (t) + Pm gmi (t)cij = 0 ESLI t > 0 mj i=0 g (0) =  > : gmj0 (0) = mjmj: mj o^EWIDNO, \TA ZADA^A WSEGDA RAZREIMA I DLQ L@BOGO T > 0 um QWLQETSQ \LEMENTOM IZ L2(];1 T  H01 ()) I u0m ESTX \LEMENT IZ L2(]0 T ). b) aPRIORNAQ OCENKA. 0 I SUMMIRUQ PO j OT 0 DO m, POLU^IM: uMNOVAQ (1) NA gmj d 0 d 2 2 k u ( t ) k + k u m (t)kH () = 0: m dt dt iNTEGRIRUQ PO t OT 0 DO t, POLU^AEM RAWENSTWO \NERGII: ku0m(t)k2 + kum(t)k2H () = kamk2H () + kbmk2: c) sHODIMOSTX K REENI@.

RC

1 0

1 0

1 0

29

wYBEREM am I bm TAK, ^TOBY POSLEDOWATELXNOSTX (am)m2N SHODILASX K a PO TOPOLOGII H01(), A POSLEDOWATELXNOSTX (bm)m2N SHODILASX K b PO TOPOLOGII H . pUSTX T | POLOVITELXNOE ^ISLO. tOGDA SU]ESTWUET KONSTANTA C (ZAWISQ]AQ OT T a I b, NO NEZAWISQ]AQ OT m) TAKAQ, ^TO: n

ZT

ZT

ku0m(t)k dt + kum(t)kV dt 6 C : 2

0

2

2

0

iSPOLXZUQ SLABU@ SEKWENCIALXNU@ KOMPAKTNOSTX EDINI^NOGO ZAMKNUTOGO ARA W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE, MOVNO IZWLE^ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (um )k2N TAKU@, ^TO: um ! u PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII L2(0 T  V ) I u0m ! w PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII L2(0 T  H ). tAK KAK OSLABLENNYE TOPOLOGII L2(0 T  V ) I L2(0 T  H ) BOLEE SILXNYE (TONKIE) ^EM SLABAQ DUALXNAQ TOPOLOGIQ D0(]0 T ), TO \TI SHODIMOSTI IME@T MESTO PO SLABOJ DUALXNOJ TOPOLOGII D0(]0 T ). a TAK KAK OPERATOR DIFFERENCIROWANIQ QWLQETSQ NEPRERYWNYM W D0(]0 T ), TO IMEEM: w = u0. pOKAVEM, ^TO u UDOWLETWORQET, W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA OTKRYTOM MNOVESTWE ] ; 1 T , URAWNENI@ k

k

k

u00 ; u = 0  a +   b: dLQ \TOGO RASSMOTRIM FUNKCI@  WIDA: =

q X j =0

'j  j 

(2)

GDE 'j ESTX \LEMENT IZ D(] ; 1 T ). tOGDA IZ URAWNENIQ (1) WYWODIM PRI k > q:

ZT

ZT

(u00m (t)j(t))dt + (um (t)j(t))H01()dt = 0 k

k

0

0

ILI, INTEGRIRUQ E]E PO ^ASTQM, POLU^IM:

ZT

ZT

(um (t)j00(t))dt + (um j(t))H01()dt = ;(aj0 (0)) + (bj(0)): k

0

k

0

30

|TO SOOTNOENIE WERNO DLQ L@BOJ FUNKCII  WIDA (2). tAK KAK (j )j2N | POLNAQ SISTEMA W H01(), TO SOOTNOENIE WERNO DLQ WSQKOJ FUNKCII  2 D(] ;1 T )  H01 () I TEM BOLEE DLQ WSQKOJ  2 D(] ;1 T ) D(). pEREHODQ K PREDELU PRI k ! +1 I ZAME^AQ, ^TO u(t x) = 0, ESLI t < 0, IMEEM:

ZT

;1

(u(t)j00(t))dt +

ZT

;1

(u(t)j(t))V dt = ;(aj0 (t)) + (bj(0)):

tAK KAK D(] ; 1 T )  D() PLOTNO W D(] ; 1 T ), \TO SOOTNOENIE WERNO DLQ WSQKOJ  2 D(] ; 1 T ). iNA^E GOWORQ, W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA OTKRYTOM MNOVESTWE ];1 T  u(t x) UDOWLETWORQET URAWNENI@: @ 2u ; u = 0  a +   b: @t2

pOSKOLXKU IMEETSQ EDINSTWENNOSTX REENIQ ZADA^I DLQ KAVDOGO T > 0, TO POSLEDOWATELXNOSTX (um )m2N SHODITSQ PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII L2(] ;1 T  H01 ()) K REENI@ u I POSLEDOWATELXNOSTX (u0m)m2N SHODITSQ PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII L2(]0 T ) K u0: i PO\TOMU NE NADO IZ NEE IZWLEKATX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, TO ESTX ISPOLXZOWANNYJ PROCESS QWLQETSQ KONSTRUKTIWNYM d) sILXNAQ SHODIMOSTX.

.

iMEET MESTO SOOTNOENIE \NERGII:

ku0m(t)k + kum(t)kV = kamkV + kbmk : 2

2

2

2

sHODIMOSTX am K a W H01() bm K b W H um K u W SLABOJ TOPOLOGII L2(]0 T  H01 ()) I u0m K u0 W SLABOJ TOPOLOGII L2(]0 T ) POKAZYWAET, ^TO T T

Z

Z

ku0(t)k dt + ku(t)kV dt = T kakV + kbk ]: 2

0

2

2

2

0

sLEDOWATELXNO,

0ZT 1 ZT ZT ZT 2 0 (t)k2 dtA = ku(t)k2 dt + ku0 (t)k2 dt: @ lim k u ( t ) k d t + k u m V m V m!1 0

0

0

31

0

oTKUDA

0ZT 1 ZT 2 0 ; u0 k2 dtA = 0: @ lim k u ; u k d t + k u m V m m!1 0

0

iNA^E GOWORQ, um ! u PO NORME PROSTRANSTWA L2(]0 T  V ) I u0m ! u0 PO NORME PROSTRANSTWA L2(]0 T ). 60) sOHRANENIE \NERGII. tEOREMA. pUSTX u | REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I. tOGDA DLQ PO^TI WSEH t > 0 IMEEM:

ku(t)kV + ku0(t)k = kakV + kbk : N.B. ~ISLO ku0 (t)k INTERPRETIRUETSQ KAK KINETI^ESKAQ \NERGIQ WOLNY u W MOMENT WREMENI t, A ^ISLO ku(t)kV INTERPRETIRUETSQ KAK EE 2

2

2

2

2

2

POTENCIALXNAQ \NERGIQ. tAKIM OBRAZOM, POLNAQ \NERGIQ WOLNY SOHRANQETSQ W TE^ENII WREMENI. dOKAZATELXSTWO. sNA^ALA ZAMETIM, ^TO ESLI u ESTX NEPRERYWNAQ FUNKCIQ IZ + W H01(), A u0 ESTX FUNKCIQ NEPRERYWNAQ IZ + W H , I ESLI u00 ESTX FUNKCIQ, TO \TA TEOREMA DOKAZYWAETSQ PROSTO: DOSTATO^NO UMNOVITX URAWNENIE u00 ; u = 0 NA u0 I PROINTEGRIROWATX PO . dOKAZATELXSTWO VE W OB]EM SLU^AE O^ENX KROPOTLIWOE. a) nA^NEM S DOKAZATELXSTWA TOGO ^TO ku0 (t)k2 + ku(t)k2V ESTX KON STANTA DLQ PO^TI WSEH t > 0: dLQ \TOGO ISPOLXZUEM REGULQRIZACI@ (KAK PRI DOKAZATELXSTWE EDINSTWENNOSTI REENIQ). pUSTX (j )j2N D( ) | REGULQRIZU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX. mOVNO WSEGDA PREDPOLAGATX, ^TO supp j ;1 0]. pOLOVIM

R

uj (t x) =

Z

R

R

R

,

j (s)u(t ; s x)ds =

R

Z1

j (t ; s)u(s x)ds (t x) 2

0

TO ESTX uj ( x) = j  u( x) x 2 . pOKAVEM, ^TO 1) NA OTKRYTOM MNOVESTWE   grad uj (t x) =

Z1

j (t ; s)grad u(s x)ds

0

32

-

R



2) NA OTKRYTOM MNOVESTWE ]0 +1

u0j (t x) =

Z1

j (t ; s)u0(s x)ds

0

3) W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA OTKRYTOM MNOVESTWE ]0 +1 u00j ; uj = 0: pOKAVEM 1). iMEEM: hgrad uj  '  i = ;huj  '  grad i = ;hu  j  '  grad i =     = ; u j  ('  grad ) = grad u j  '   = = hgrad u  j  '  i  ' 2 D( )  2 D(): pOKAVEM 2). pUSTX  u0 ESLI t > 0 w = 0 ESLI t 6 0 ESTX FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA . pOLOVIM wj ( x) = j w( x) x 2 . tOGDA (u0j ; wj )( x) = j  (u0 ; w)( x)]. tAK KAK supp j SODERVITSQ W ; I supp fu0 ; w( x)g SODERVITSQ W f0g, TO supp f(u0j ; wj )( x)g SODERVITSQ W ; \TO OZNA^AET, ^TO u0j ( x) = wj ( x) NA DOPOLNENII K ; , TO ESTX

R

R R R

R

wj ( x) = u0j ( x) = j  w( x) =

Z1

j (t ; s)u0(s x)ds:

0

pOKAVEM 3). oBOZNA^IM ^EREZ U (SOOTWETSTWENNO Uj ) PRODOLVENIE NULEM DLQ u (SOOTWETSTWENNO uj ) WO WNE . tOGDA, KAK UVE BYLO POKAZANO, Uj = U  (j  R ): n

oTKUDA WYWODIM:

RR

RR

Uj00 ; Uj = (U 00 ; U )  (j  Rn ): nO U 00 ; U = 0 NA MNOVESTWE f n f0gg  f n n g SLEDOWATELXNO, NOSITELX U 00 ; U WKL@^EN W (  @ )  (f0g  n). zAMETIM, ^TO 33

R

(A  F )  (E  B )  (fE n Ag  fF n B g) = E  F . dALEE, TAK KAK supp (  R ) ;  f0g, TO POLU^AEM: n

supp(Uj00 ; Uj ) (

R   RfRnRR gfR n @ )

n

;

n @ g. a A \TO OZNA^AET, ^TO Uj00 ; Uj = 0 NA MNOVESTWE ; ZATEM, TO^NO TAK VE, KAK PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY EDINSTWENNOSTI, POKAZYWA@T, ^TO DLQ L@BOGO T > 0 POSLEDOWATELXNOSTX (uj )j2N SHODITSQ K u, POSLEDOWATELXNOSTX (@iuj )j2N SHODITSQ K @iu (i = 1 2 : : :  n) I POSLEDOWATELXNOSTX (u0j )j2N SHODITSQ K u0 W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE

L2(]0 T ).

nO IZ URAWNENIQ u00j (t x) ; uj (t x) = 0 NA ]0 1 WYWODITSQ URAWNENIE:

d 0 2 d k u (t)k + kuj (t)k2V = 0 j dt dt NA ]0 +1. oTKUDA SLEDUET, ^TO ku0j (t)k2 + kuj (k2V ) ESTX KONSTANTA NA ]0 +1. pUSTX j ! +1 TOGDA WIDIM, ^TO ku0 (t)k2 + ku(t)k2 ESTX KONSTANTA DLQ PO^TI WSEH t 2]0 T  I, SLEDOWATELXNO, DLQ PO^TI WSEH t 2 ]0 +1. b) pOKAVEM, ^TO DLQ PO^TI WSEH t > 0 IMEEM:

ku(t)kV + ku0(t)k > kakV + kbk : 2

2

2

2

dEJSTWITELXNO, SU]ESTWUET MNOVESTWO N MERY NULX, TAKOE, ^TO NA ]0 +1nN IMEEM: ku(t)k2V + ku0 (t)k2 = const: pUSTX (tn)n2N POSLEDOWATELXNOSTX \LEMENTOW IZ ]0 +1nN , SHODQ]AQSQ K 0. tAK KAK V I H | GILXBERTOWY PROSTRANSTWA, TO MOVNO IZWLE^X PODPOSLEDOWATELXNOSTX (t ) 2N TAKU@, ^TO u(t ) SHODITSQ PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII V K  I u0(t ) SHODITSQ PO OSLABLENNOJ TOPOLOGII H K  . nO UVE BYLO POKAZANO, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX u(t ) SHODITSQ K a PO TOPOLOGII H I POSLEDOWATELXNOSTX u0(t ) SHODITSQ K b PO TOPOLOGII H ;1 (). tAK KAK WSE \TI TOPOLOGII SILXNEE, ^EM SLABAQ DUALXNAQ TOPOLOGIQ 0 D (), TO WYWODIM, ^TO  = a  = b. nO, KAK IZWESTNO, ESLI (xn)n2N ! x SLABO W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE X I ESLI kxnk 6 c, TO kxk 6 c. a TOGDA kk2V + kk2 6 ku(t )k2V + ku0(t )k2 = const: 34

sLEDOWATELXNO, DLQ PO^TI WSEH t 2]0 +1 IMEEM: ku(t)k2V + ku0(t)k2 > kak2V + kbk2: nO RANXE BYLO USTANOWLENO NERAWENSTWO:

ZT

ZT

ku(t)kV dt + ku0(t)k dt 6 T kakV + kbk ] 2

0

2

2

2

0

A TAK KAK ku(t)k2V + ku0 (t)k2 = const DLQ PO^TI WSEH t > 0, TO IMEEM: ku(t)k2V + ku0(t)k2 6 kak2V + kbk2: i OKON^ATELXNO,

ku(t)kV + ku0(t)k = kakV + kbk 2

2

2

2

DLQ PO^TI WSEH t > 0.

R

70) pRIMENENIE SOBSTWENNYH FUNKCIJ OPERATORA lAPLASA. tEOREMA. pUSTX  | OTKRYTOE, OGRANI^ENNOE W n MNOVESTWO TOGDA REENIE u OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:

R

R

u 2 CB ( + V ) I u0 2 CB ( + H ) GDE CB OZNA^AET MNOVESTWO NEPRERYWNYH OGRANI^ENNYH FUNKCIJ. pUSTX (j )j2N | BAZIS W H01(), ORTONORMIROWANNYJ W H , OBRAZOWANNYJ IZ SOBSTWENNYH FUNKCIJ OPERATORA (;) PUSTX !j2 | SOBSTWENNOE ZNA^ENIE, SOOTWETSTWU@]EE SOBSTWENNOJ FUNKCII j  ESLI POLOVIM j = (ajj )H I j = (bjj )H , TO

X  j u(t x) = j cos !j t + ! sin !j t j (x) t > 0 j j 2N

R R

RQD SHODITSQ PO NORMIROWANNOJ TOPOLOGII CB ( + H01()), RQD IZ PROIZWODNYH PO t SHODITSQ PO NORMIROWANNOJ TOPOLOGII CB ( + H ). dOKAZATELXSTWO. pUSTX (j )j2N | BAZIS W H01(), ORTONORMIROWANNYJ W H , OBRAZOWANNYJ IZ SOBSTWENNYH FUNKCIJ OPERATORA (;): ;j = !j2j (!j > 0): 35

tOGDA SISTEMA (j =!j )j2N OBRAZUET ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W H01(). wOZXMEM EGO DLQ POSTROENIQ REENIQ METODOM gALERKINA. w DANNOM SLU^AE SISTEMA DLQ gmj (t) ZAPISYWAETSQ W WIDE: 8 g (t) = 0 ESLI t < 0 < mj00 2 : gmj (t) + !j gmj (t) = 0 j = 0 1 : : :  m ESLI t > 0

0 (0) = mj gmj (0) = mj  gmj wOZXMEM W KA^ESTWE am I bm ORTOGONALXNYE PROEKCII W H DLQ a I b SOOTWETSTWENNO NA PODPROSTRANSTWO, POROVDENNOE f0 1 : : :  mg. tOGDA DLQ L@BOGO m 2 POLU^IM: mj = (amjj ) = (ajj ) (KOTOROE POLOVIM RAWNYM j ), mj = (bmjj ) = (bjj ) (KOTOROE POLOVIM RAWNYM j ). nO TOGDA gmj (t) NE ZAWISQT OT m, TAK KAK gmj (t) = j cos !j t + !j sin !j t ( gj (t)): j sLEDOWATELXNO, DLQ t > 0 IMEEM:

X  u(t x) = j cos !j t + !j sin !j t j (x): j j 2N rANEE, (SM. DOKAZATELXSTWO TEOREMY EDINSTWENNOSTI) MY DOKAZALI, ^TO RQD SHODITSQ K REENI@ PO TOPOLOGII L2(]0 T  H01 ()), I ^TO RQD IZ PROIZWODNYH PO t SHODITSQ PO TOPOLOGII L2(]0 T ). sEJ^AS POKAVEM, ^TO RQD SHODITSQ K REENI@ PO TOPOLOGII CB ( + H01()), A RQD IZ PROIZWODNYH PO t SHODITSQ PO TOPOLOGII CB ( + H ). pREVDE WSEGO ZAMETIM, ^TO X 2 jj j = kbk2 < +1 X j!j j j2 = kak2V < +1:

N

RR

j 2N

nO DLQ WSQKOGO t > 0 IMEEM:

kum(t) ; up(t)kV = 2

tAKVE

k m(t); u0

kH =

u0 (t) p

2

m X

j =p+1

j!j j cos !j t + j sin !j j

6

2

j =p+1 m X

j 2N

j;!j j sin !j t+j cos !j tj

2

36

m X j =p+1

6

(j!j j j + jj j)2:

m X j =p+1

(j!j j j + jj j)2:

R

R

sLEDOWATELXNO, POSLEDOWATELXNOSTX (um)m2N ESTX POSLEDOWATELXNOSTX kOI PO TOPOLOGII CB ( + V ), A POSLEDOWATELXNOSTX (u0m)m2N ESTX POSLEDOWATELXNOSTX kOI PO TOPOLOGII CB ( + H ). oTKUDA I WYTEKAET REZULXTAT. N.B. 10) tOT FAKT, ^TO gmj (t) NE ZAWISQT OT m, OPRAWDYWAET METOD RAZDELENIQ PEREMENNYH (METOD fURXE). 20) w SLU^AE, KOGDA  OGRANI^ENO, RAWENSTWO \NERGII DOKAZYWAETSQ PROSTO IMEEM:

X

ku(t)kV = jj !j cos !j t + j sin !j tj 2

2

j 2N

I

ku0(t)kH = X j ; j !j sin !j t + j cos !j tj  2

2

OTKUDA

j 2N

ku0(t)k + ku(t)k = X(jj !j j + jj j ) = kakV + kbk : 2

2

2

2

2

2

j 2N

30) fORMULA

u(t x) =

X j 2N



j cos !j t + !j sin !j t j (x) j

POKAZYWAET, ^TO u(t x) ESTX, DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO x, BESKONE^NAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ PERIODI^ESKIH FUNKCIJ S PERIODAMI 2=!j . eSLI WSE !j KRATNY ODNOMU I TOMU VE ^ISLU (NAPRIMER, W SLU^AE KOLEBL@]EJSQ STRUNY), TO u(t x) ESTX PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ PO t. nO W OB]EM SLU^AE (NAPRIMER, KOLEBANIQ MEMBRANY), !j NE QWLQ@TSQ KRATNYMI ODNOMU I TOMU VE ^ISLU, I FUNKCIQ u(t x) NE QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ (W DEJSTWITELXNOSTI u(t x) ESTX FUNKCIQ, NAZYWAEMAQ PO^TI PERIODI^ESKOJ). nE IMEETSQ FUNDAMENTALXNOJ ^ASTOTY. |TO OB_QSNQET PO^EMU ZWUK, IZDAWAEMYJ MEMBRANOJ, NE QWLQETSQ MUZYKALXNYM.

37

lITERATURA 1] {WARC l. kOMPLEKSNYE MNOGOOBRAZIQ. |LLIPTI^ESKIE URAWNENIQ. m.: mIR, 1964. 2] kOLMOGOROW a.n., fOMIN s.w. |LEMENTY TEORII FUNKCIJ I FUNKCIONALXNOGO ANALIZA. m.: nAUKA, 1972. 3] wLADIMIROW w.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. m.: nAUKA, 1988. 4] sALEHOW l.g. mETODI^ESKIE RAZRABOTKI KURSA ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" DLQ INVENERNOGO POTOKA. ~ASTX I. kAZANX: kgu, 1986. 5] sALEHOW l.g. mETODI^ESKIE RAZRABOTKI KURSA ,,uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI" DLQ INVENERNOGO POTOKA. ~ASTX II. kAZANX: kgu, 1987.

38