Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2008. Том 49, № 1
УДК 533; 517.958
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ УРАВНЕНИЙ КЛЕБША Е. В. Мамонтов
Аннотация. Рассмотрены уравнения Клебша, описывающие движения идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие массовых сил. Эти уравнения содержат произвольный элемент — произвольную функцию трех переменных. Найдены преобразования эквивалентности — преобразования переменных, действующие на произвольный элемент и не меняющие структуру уравнений. Указано преобразование эквивалентности, обращающее в нуль произвольный элемент. Приведены примеры. Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, уравнения Клебша, произвольный элемент, преобразование эквивалентности.
1. Предварительные сведения Баротропные движения идеальной жидкости описываются системой уравнений [1] 1 (1) Du + ∇p = F, Dρ + ρ div u = 0, ρ где u = (u, v, w), F = (F1 , F2 , F3 ), p = p(ρ), D = ∂t + u · ∇, ∇ = (∂x , ∂y , ∂z ). Независимые переменные суть t, x = (x, y, z). Искомыми являются функции u, ρ. Функции F, p(ρ) заданы. Клебш использовал для анализа решений системы (1) следующее представление вектора скорости [2, 3]: u = ∇ϕ + λ∇µ c функциями ϕ, λ, µ независимых переменных (t, x). Л. В. Овсянников предложил [4, 5] использовать представление 1 u = ∇ϕ + (λ∇µ − µ∇λ) 2
(2)
c функциями ϕ, λ, µ независимых переменных (t, x). Достоинством этого представления является его симметрия. Заметим, что rot u = ∇λ × ∇µ
(3)
и тем самым рассматриваемые движения, вообще говоря, вихревые. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05–01–00080), Федерального агентства по науке и инновациям РФ (проект НШ–5245.2006.1) и Сибирского отделения РАН (интеграционный проект № 2.15).
c 2008 Мамонтов Е. В.
154
Е. В. Мамонтов
Предположим, что внешние силы имеют потенциал, т. е. F = −∇, тогда поле ускорений потенциально: Z dp a = Du = −∇ + . (4) ρ Пусть 1 1 Q = ϕt + (λµt − µλt ) + |u|2 + 2 2
Z
dp + . ρ
(5)
Лемма (Л. В. Овсянников). Справедливо тождество Клебша ∇Q = (Dµ)∇λ − (Dλ)∇µ.
(6)
Доказательство. Имеем 1 ∇ϕt + ∇(λµt − µλt ) = ut + µt ∇λ − λt ∇µ, 2 ∇
1 2 |u| 2
Z ∇
dp + ρ
=
1 ∇p − F, ρ
= (u · ∇)u + u × rot u = (u · ∇)u + u × (∇λ × ∇µ) = (u · ∇)u + (u · ∇µ)∇λ − (u · ∇λ)∇µ.
Складывая эти равенства с учетом первого уравнения системы (1), получаем требуемое тождество. Если определить функции λ, µ как решения системы Dλ = fµ ,
Dµ = −fλ
(7)
с некоторой функцией f = f (t, λ, µ), то (6) примет вид ∇(Q + f ) = 0 и, значит, будет верно соотношение Q + f = 0. (8) Несущественную функцию времени можно включить в ϕ. Уравнения (7), (8) и уравнение неразрывности — второе уравнение системы (1) — образуют систему уравнений относительно ρ, λ, µ, ϕ; u определяется из (2), а давление p — известная функция ρ в силу баротропности движения. Л. В. Овсянников заметил [4, 5], что в случае идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие массовых сил можно получить эквивалентную исходной замкнутую систему из трех уравнений для функций λ, µ, ϕ. В этом случае движения жидкости описываются системой уравнений Du + ∇p = 0,
div u = 0
(9)
и
1 1 Q = ϕt + (λµt − µλt ) + |u|2 + p. 2 2 Представление для давления p через функции ϕ, λ, µ имеет вид
(10)
1 1 p = −ϕt + (µλt − λµt ) − |u|2 − f. 2 2 При этом уравнение div u = 0 в силу (2) примет вид ( — лапласиан) 2ϕ + λµ − µλ = 0.
(11)
Преобразования эквивалентности уравнений Клебша
155
Система уравнений Клебша Dλ = fµ ,
Dµ = −fλ ,
2ϕ + λµ − µλ = 0
(12)
или, подробнее, 1 1 λt + ϕx + (λµx − µλx ) λx + ϕy + (λµy − µλy ) λy 2 2 1 + ϕz + (λµz − µλz ) λz = fµ , 2 1 1 µt + ϕx + (λµx − µλx ) µx + ϕy + (λµy − µλy ) µy 2 2 1 + ϕz + (λµz − µλz ) µz = −fλ , 2 λ µ (µxx + µyy + µzz ) − (λxx + λyy + λzz ) = 0 2 2 и будет предметом дальнейшего исследования. ϕxx + ϕyy + ϕzz +
2. Преобразования эквивалентности Ядро допускаемых алгебр образуют операторы Z1 = y∂x − x∂y ,
Z2 = z∂x − x∂z ,
Z5 = b2 (t)∂y + b02 (t)y∂ϕ ,
Z3 = z∂y − y∂z ,
Z4 = b1 (t)∂x + b01 (t)x∂ϕ ,
Z6 = b3 (t)∂z + b03 (t)z∂ϕ ,
Z7 = h(t)∂ϕ .
В случае f = 0 допускаются операторы (Л. В. Овсянников) X1 = ∂t ,
X2 = 2t∂t + x∂x + y∂y + z∂z ,
X3 = x∂x + y∂y + z∂z + λ∂λ + µ∂µ + 2ϕ∂ϕ , X5 = x∂z − z∂x ,
X6 = y∂x − x∂y ,
X8 = b2 (t)∂y + b02 (t)y∂ϕ ,
X4 = z∂y − y∂z ,
X7 = b1 (t)∂x + b01 (t)x∂ϕ ,
X9 = b3 (t)∂z + b03 (t)z∂ϕ ,
1 (λFλ + µFµ − 2F ) ∂ϕ , X11 = h(t)∂ϕ , 2 bi (t), h(t), F (λ, µ) — произвольные функции, штрих означает дифференцирование. Функция f = f (t, λ, µ) является произвольным элементом. Ставится задача об отыскании группы преобразований эквивалентности — группы преобразований, действующих на произвольный элемент и сохраняющих структуру системы (12) [6]. Дополним систему (12) уравнениями X10 = Fµ ∂λ − Fλ ∂µ +
fx = 0,
fy = 0,
fz = 0,
fϕ = 0.
(13)
Найдем преобразования эквивалентности системы (12), (13). Соответствующий оператор имеет вид X e = αt ∂t + αx ∂x + αy ∂y + αz ∂z + αλ ∂λ + αµ ∂µ + αϕ ∂ϕ + αf ∂f . Все коэффициенты — функции от t, x, y, z, λ, µ, ϕ, f .
156
Е. В. Мамонтов Анализ определяющих уравнений показывает, что имеет место x-автономия
и αt = αt (t),
αx = αx (t, x, y, z),
αy = αy (t, x, y, z),
αz = αz (t, x, y, z),
αλ = αλ (t, λ, µ), αµ = αµ (t, λ, µ), αϕ = αϕ (t, x, y, z, λ, µ, ϕ), αf = αf (t, λ, µ, f ). В результате αt = 2(C1 −C5 )t+C6 , αx = C1 x+C2 y +C3 z +b1 (t), αy = −C2 x+C1 y +C4 z +b2 (t), αz = −C3 x − C4 y + C1 z + b3 (t),
αλ = C5 λ + ψµ ,
λψλ + µψµ −ψ+b01 (t)x+b01 (t)y+b03 (t)z, 2 ψ(t, λ, µ) — произвольная функция. Базисные операторы имеют вид
αf = (4C5 −2C1 )f +ψt +τ (t),
αϕ = 2C5 ϕ+
X1e = ∂t ,
αµ = C5 µ − ψλ ,
X2e = 2t∂t + x∂x + y∂y + z∂z − 2f ∂f ,
X3e = x∂x + y∂y + z∂z + λ∂λ + µ∂µ + 2ϕ∂ϕ + 2f ∂f , X4e = z∂y − y∂z , X7e = b1 (t)∂x + b01 (t)x∂ϕ ,
X5e = x∂z − z∂x ,
X6e = y∂x − x∂y ,
X8e = b2 (t)∂y + b02 (t)y∂ϕ ,
X9e = b3 (t)∂z + b03 (t)x∂ϕ ,
e X10 = 2ψµ ∂λ − 2ψλ ∂µ + (λψλ + µψµ − 2ψ)∂ϕ + 2ψt ∂f ,
e X11 = τ (t)∂f .
e e Преобразуют произвольный элемент f только операторы X2e , X3e , X10 , X11 . e e e Операторы X2 , X3 растягивают f , а действие X11 сводится к добавлению произвольной функции от t. Наиболее интересные преобразования связаны с опеe . ратором X10 e Оператор X10 порождает следующие конечные преобразования: t0 = t,
dλ0 = 2ψµ0 , da
dµ0 dϕ0 df 0 = −2ψλ0 , = (λ0 ψλ0 + µ0 ψµ0 − 2ψ), = 2ψt , da da da λ0 (0) = λ, µ0 (0) = µ, ϕ0 (0) = ϕ, f 0 (0) = f.
(14)
dλ0 = 2ψµ0 , da
(15)
Уравнения dµ0 = −2ψλ0 , da
λ0 (0) = λ,
µ0 (0) = µ
— гамильтонова подсистема, ψ(t, λ, µ) — ее первый интеграл, т. е. ψ(t, λ0 (a), µ0 (a)) не зависит от a: ψ(t, λ0 , µ0 ) = ψ(t, λ, µ). Тогда четвертое уравнение системы (14) интегрируется: f 0 = f (t, λ, µ) + 2aψt (t, λ, µ). (16) Пусть λ0 = χ1 (t, λ, µ; a), µ0 = χ2 (t, λ, µ; a) — решение системы (15). Функция ϕ0 находится квадратурой. В результате получаем λ0 = χ1 (t, λ, µ; a),
µ0 = χ2 (t, λ, µ; a),
ϕ0 = ϕ + χ3 (t, λ, µ; a),
f 0 = f (t, λ, µ) + 2aψt (t, λ, µ).
(17) (18)
Обозначим 1 u(a) = ∇ϕ0 + (λ0 ∇µ0 − µ0 ∇λ0 ), 2
1 1 p(a) = −ϕ0t + (µ0 λ0t − λ0 µ0t ) − |u(a)|2 − f 0 . 2 2
Преобразования эквивалентности уравнений Клебша
157
Утверждение. Имеют место равенства d u(a) = 0, da
d p(a) = 0. da
d d u(a), da p(a), используя (14) и равенства Доказательство. Вычисляем da 0 0 0 ∇ψλ0 = ψλ0 λ0 ∇λ + ψλ0 µ0 ∇µ , ∇ψµ0 = ψλ0 µ0 ∇λ + ψµ0 µ0 ∇µ0 .
Теорема. Пусть гладкая функция f (t, λ, µ) определена в области ⊂ R3 . Для любой точки (t0 , λ0 , µ0 ) ∈ найдутся числа T > 0, δ > 0 и преобразование эквивалентности t0 = t,
λ0 = λ0 (t, λ, µ),
µ0 = µ0 (t, λ, µ),
ϕ0 = ϕ0 (t, λ, µ, ϕ),
определенное (для любых ϕ) в параллелепипеде
= {|t − t0 | ≤ T, |λ − λ0 | ≤ δ, |µ − µ0 | ≤ δ} и переводящее функцию f (t, λ, µ) в функцию f 0 (t, λ0 , µ0 ) ≡ 0. Обратное преобразование также определено. Доказательство. Фиксируем произвольную точку (t0 , λ0 , µ0 ) ∈ . Выберем функцию 1 ψ(t, λ, µ) = − 2
Zt
1 f (τ, λ, µ)dτ =⇒ ψt = − f. 2
t0
Если t = t0 , то ψ = 0, и задача (15) dλ0 = 0, da
dµ0 = 0, da
λ0 (0) = λ0 ,
µ0 (0) = µ0
имеет единственное непродолжаемое решение λ0 ≡ λ0 , µ0 ≡ µ0 , определенное на всей оси −∞ < a < ∞. Тогда из теоремы о непрерывной зависимости от параметров следует существование таких чисел T > 0, δ > 0, что решение задачи (15) с |t − t0 | ≤ T , |λ − λ0 | ≤ δ, |µ − µ0 | ≤ δ существует на промежутке −1 ≤ a ≤ 1. Полагая в (17) a = 1, получаем преобразование эквивалентности λ0 = χ1 (t, λ, µ; 1),
µ0 = χ2 (t, λ, µ; 1),
ϕ0 = ϕ + χ3 (t, λ, µ; 1),
(19)
переводящее функцию f (t, λ, µ) в нуль. Заметим, что ∂(λ0 , µ0 ) j= ≡ 1. ∂(λ, µ) Обратное преобразование определяется равенствами λ = χ1 (t, λ0 , µ0 ; −1),
µ = χ2 (t, λ0 , µ0 ; −1),
ϕ = ϕ0 + χ3 (t, λ0 , µ0 ; −1).
3. Примеры Пример 1. f (t, λ, µ) = q(t)λµ. Полагаем ψ(t, λ, µ) = − Q(t) 2 λµ,
dQ dt
= q(t). Система (14) имеет вид
dλ0 dµ0 dϕ0 = −Q(t)λ0 , = Q(t)µ0 , = 0, da da da λ0 (0) = λ, µ0 (0) = µ, ϕ0 (0) = ϕ.
158
Е. В. Мамонтов
Тем самым λ0 = λe−aQ(t) ,
µ0 = µeaQ(t) ,
ϕ0 = ϕ.
Нужное преобразование эквивалентности (a = 1) таково: λ0 = λe−Q(t) ,
µ0 = µeQ(t) ,
ϕ0 = ϕ.
Убедимся в справедливости этого непосредственно. Рассмотрим, например, второе уравнение системы (12). Имеем µt = µ0t e−Q − qµ0 e−Q , µx = µ0x e−Q , 1 1 ϕx + (λµx − µλx ) µx = ϕ0x + (λ0 µ0x − µ0 λ0x ) µ0x e−Q , . . . , 2 2 −fλ = −qµ = −qµ0 e−Q . Уравнение переписывается в виде 1 0 1 0 0 0 0 0 −Q 0 −Q µt e −qµ e + ϕ + (λ µx − µ λx ) µ0x e−Q + · · · = −qµ0 e−Q . 2 x 2 Видим, что в новых переменных получается уравнение с нулевой правой частью. Пример 2. f (t, λ) = q(t)r(λ). dQ Полагаем ψ(t, λ) = − Q(t) 2 r(λ), dt = q(t). Система (14) имеет вид dλ0 dµ0 dϕ0 λ 0 0 = 0, = Q(t)r (λ), = Q(t) r(λ) − r (λ) , da da da 2 λ0 (0) = λ, µ0 (0) = µ, ϕ0 (0) = ϕ. Тем самым 0
λ = λ,
0
0
µ = µ + aQ(t)r (λ),
λ 0 ϕ = ϕ + aQ(t) r(λ) − r (λ) . 2 0
Нужное преобразование эквивалентности (a = 1) таково: λ λ0 = λ, µ0 = µ + Q(t)r0 (λ), ϕ0 = ϕ + Q(t) r(λ) − r0 (λ) . 2 Убедимся в справедливости этого непосредственно. Имеем λt = λ0t ,
λx = λ0x ,
µx = µ0x − Q(t)r00 (λ0 )λ0x ,
µt = µ0t − q(t)r0 (λ0 ) − Q(t)r00 (λ0 )λ0t , 2
µxx = µ0xx − Q(t)r000 (λ0 ) (λ0x ) − Q(t)r00 (λ0 )λ0xx , 1 ϕx = ϕ0x + Q(t) [λ0 r00 (λ0 )λ0x − r0 (λ0 )λ0x ] , 2 1 1 ϕx + (λµx − µλx ) = ϕ0x + (λ0 µ0x − µ0 λ0x ), 2 2
1 ϕxx = ϕ0xx + Q(t)[r00 (λ0 )(λ0x )2 + λ0 r000 (λ0 )(λ0x )2 2 + λ0 r00 (λ0 )λ0xx − r0 (λ0 )λ0xx − r00 (λ0 )(λ0x )2 ], откуда 1 λ0t + ϕ0x + (λ0 µ0x − µ0 λ0x ) λ0x + · · · = 0, 2
Преобразования эквивалентности уравнений Клебша
159
и первое уравнение выполняется. Далее, 1 1 0 0 0 0 0 ϕx + (λµx − µλx ) µx = ϕx + (λ µx − µ λx ) (µ0x − Q(t)r00 (λ0 )λ0x ), 2 2 1 µ0t + ϕ0x + (λ0 µ0x − µ0 λ0x ) µ0x − q(t)r0 (λ0 ) − Q(t)r00 (λ0 )λ0t 2 1 − Q(t)r00 (λ0 ) ϕ0x + (λ0 µ0x − µ0 λ0x ) λ0x + · · · = −q(t)r0 (λ0 ), 2 и второе уравнение выполняется. Третье уравнение также выполняется: λ µ λ0 µ0 ϕxx + µxx − λxx + · · · = ϕ0xx + µ0xx − λ0xx + . . . . 2 2 2 2 2 2 Пример 3. f (t, λ, µ) = λ(1 + k µ ), k > 0 — параметр. Полагаем ψ(t, λ, µ) = − 2t λ(1 + k 2 µ2 ). Система (14) имеет вид dλ0 dµ0 dϕ0 t = −2k 2 tλ0 µ0 , = t(1 + k 2 µ02 ), = λ0 (1 − k 2 µ02 ), da da da 2 λ0 (0) = λ, µ0 (0) = µ, ϕ0 (0) = ϕ. Тем самым 1 kµ + tg(kta) λ0 = (cos(kta) − kµ sin(kta))2 λ, µ0 = , k 1 − kµ tg(kta) λ kλµ2 λµ λµ 0 + cos(2kta) + − ϕ =ϕ− sin(2kta). 2 2 4k 4 Нужное преобразование эквивалентности (a = 1) таково: 1 kµ + tg(kt) , k 1 − kµ tg(kt) λµ λµ λ kλµ2 0 ϕ =ϕ− + cos(2kt) + − sin(2kt). 2 2 4k 4 λ0 = (cos(kt) − kµ sin(kt))2 λ,
µ0 =
1 Это преобразование определено, если t 6= (2j+1)π , j = 0, ±1, ±2, . . . , µ 6= k tg(kt) . 2k Непосредственная проверка (для первого и второго уравнений). Удобно начать со второго уравнения. После замены переменных оно имеет вид 1 µ0t + ϕ0x + (λ0 µ0x − µ0 λ0x ) µ0x + · · · = 0, (20) 2 т. е. становится однородным. Первое уравнение приобретает вид 2k sin(kt)λ0 λ0t + µ0 + · · · = 0. (21) cos(kt) + k sin(kt)µ0 t 0
2k sin(kt)λ Вычитая из (21) уравнение (20), умноженное на cos(kt)+k sin(kt)µ0 , находим, что первое уравнение приводится к нужному виду: 1 λ0t + ϕ0x + (λ0 µ0x − µ0 λ0x ) λ0x + · · · = 0. (22) 2
Автор выражает благодарность Л. В. Овсянникову и участникам программы ПОДМОДЕЛИ С. В. Хабирову, А. П. Чупахину, С. В. Головину, А. А. Черевко за полезное обсуждение статьи.
160
Е. В. Мамонтов ЛИТЕРАТУРА
1. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. ¨ 2. Clebsch A. Uber eine allgemeine Transformation der hydrodynamischen Gleichungen // Crelle LIV (1857), LVI (1859). 3. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1947. 4. Овсянников Л. В. Уравнения Клебша и новые модели вихревых движений жидкости // Тез. докл. XVI Всероссийской конференции «Аналитические методы в газовой динамике САМГАД 2006», Санкт-Петербург, 5–10 июля 2006 г. С. 64. 5. Овсянников Л. В. Уравнения Клебша и новые модели вихревых движений жидкости // Аннотации докл. IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22–28 августа 2006 г. Т. II. С. 140. 6. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. Статья поступила 25 октября 2006 г. Мамонтов Евгений Владимирович Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Академика М. А. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090
[email protected] 