Физика твердого тела: Методические указания к выполнению контрольной работы, задания на контрольную работу

Министерство образования Российской Федерации Северо-западный государственный заочный технический университет Кафедра физики

Физика твердого тела Методические указания к выполнению контрольной работы Задания на контрольную работу Направления и специальности подготовки дипломированных специалистов: 200400 -

Санкт-Петербург 2002

2

Утверждено редакционно-издательским советом университета. УДК 53 (07) Физика твёрдого тела Задания на контрольную работу. Методические указания к выполнению контрольной работы.- СПб: СЗТУ, 2002, с. Методический сборник включает задания на на контрольную работу по следующим разделам дисциплины «Физика твёрдого тела»: Пространственная решетка кристалла, Теплоемкость и теплопроводность кристаллов, Электронный газ в металлах, Собственные и примесные полупроводники, P-n – переход, Диффузия носителей тока, Эффект Холла. В сборнике содержатся рекомендации к решению задач и оформлению контрольных работ, основные законы и формулы, примеры решения задач и некоторые справочные материалы. Задания на контрольные работы по дисциплине «Физика твёрдого тела» разработаны в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов профессионального высшего образования по направлениям и специальностям подготовки дипломированных специалистов: 200400 ( ). Рассмотрено на заседании кафедры физики 2002 года; одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники 2001 года. Рецензенты:

Составители: А.И. Шерстюк, докт. физ.-мат. наук, проф.; Д.Г. Летенко, канд. физ.-мат. наук,доц.

© Северо-Западный заочный технический университет, 2002

3

Введение. В процессе изучения дисциплины «Физика твёрдого тела» студенты выполняют одну контрольную работу: в 6-ом семестре. Решение физических задач является необходимой практической основой изучения дисциплины «Физика твёрдого тела». Основной целью выполнения контрольных работ является выработка у студентов приемов и навыков решения контрольных задач из разных областей физики твёрдого тела, помогающих студентам решать в дальнейшем инженерные задачи. Контрольные работы несут в себе функцию закрепления, развития и углубленного освоения основных положений теории. Решение задач способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе. При решении задач студент должен самостоятельно осуществить ряд мыслительных операций, опираясь на имеющиеся у него знания и умения. Контрольные работы позволяют проверить степень усвоения студентами основных разделов теоретического курса.

4

1. Методические указания по решению контрольной работы. Контрольная работа должна быть оформлена в тонкой тетради (12 или 18 листов). Задания на контрольные работы выбираются по таблице 1. Номер варианта соответствует последней цифре шифра студента. При оформлении контрольного задания обязательно переписывать условия задач. Номер варианта 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Номера задач 1 2 3 4 5 6 7 3 7 2

8 11 9 10 13 20 25 15 16 14

12 17 15 16 18 32 33 26 27 24

14 23 19 22 24 39 36 38 44 31

21 31 30 34 29 42 43 47 50 40

28 40 41 47 37 46 53 55 56 49

35 49 48 51 45 52 54 59 58 54

42 58 59 60 61 57 56 61 60 57

2. Список основных формул. 1. Пространственная решетка кристалла. 1. Координаты любого узла решетки записываются в виде: X1 = n1a1; Y = n2a2; Z = n3a3 и обозначаются: [[n1n2n3]], где ai – основные периоды решетки, ni – целые числа, называемые индексами узла и обозначающие число периодов решетки, соответствующих данному узлу, i = 1,2,3. Для описания направления в кристалле выбирают прямую, проходящую через начало координат. Ее направление однозначно определяется индексами направления, [n1n2n3] , где ni – индексы ближайшего к началу координат узла решетки. 2. Период идентичности вдоль прямой, заданной индексами [n1n2n3], в кубической решетке выражается соотношением: l = a n12 + n22 + n32 (1) где а – параметр решетки.

5

3. Кристаллографические плоскости определяются тремя взаимно простыми целыми числами (hkl), называемыми индексами Миллера. Они определяют систему бесконечного числа параллельных между собой плоскостей, каждая из которых характеризуется определенным значением числа q = 0, +1, +2,…Таким образом, кристаллографическая плоскость однозначно задается совокупностью чисел {(hkl),q}. Для отрицательных индексов над (или под) буквой ставится знак минус, например h . Индексы [[n1n2n3]] любого узла, лежащего в данной плоскости, удовлетворяют соотношению: n1h + n2k + n3l = q (2) При q = 0 плоскость проходит через начало координат. Если плоскость параллельна какой-либо оси координат, то соответствующий индекс Миллера равен нулю. Так, плоскость (110) параллельна оси z, а плоскость (100) параллельна плоскости (yz). 4. Расстояние D плоскости от начала координат определяется числом q: D = q/b0, (3) где b0 = hb1 + kb2 + lb3 (4) вектор обратной решетки, bi (i = 1,2,3) – базисные векторы обратной решетки, b1= Vc-1[a2 a3], b2 = Vc-1[a3 a1], b3 = Vc-1[a1 a2],

(5)

Vc - объем элементарной ячейки кристалла. Из формулы (3) следует, что расстояние d соседними плоскостями (∆q = 1) с индексами (hkl) равно: d = (h2b12 + k2b22 + l2b32)-1/2

(6)

5. Кристаллические плоскости отсекают на осях координат отрезки, равные: xq = а1q/h, yq = a2q/k, zq = a3q/l

(7)

Очевидно, что если q/h, q/k или q/l – целые числа, то плоскость пересекает соответствующую координатную ось в узловой точке. 6. Молярный объем кристалла: Vµ = µ/ρ где µ -молярная масса,

(8)

6

ρ - плотность кристалла. 7

Объем элементарной ячейки в случае кубической сингонии:

Vэл = а3,

(9)

где а – параметр решетки. 8. Число элементарных ячеек в одном моле кристалла: Zµ = Vµ/Vэл

(10)

Если кристалл состоит из одинаковых атомов, то Zµ = ΝΑ/n

(11)

где NA – число Авогадро, n – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку. 9. Число элементарных ячеек в единице объема кристалла: Z=Zµ/Vµ.

(12)

Если кристалл состоит из одинаковых атомов, то Z = ρNA/(nµ)

(13)

10. Параметр решетки, состоящей из одинаковых атомов: a = (nµ/ρNA )1/3

(14)

11. Расстояние между соседними атомами в кубической решетке: а) в простой d =a б) в гранецентрированной

d = √2/2 a

в) в объемноцентрированной d = √3/2 a 12. Число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку: а) простая кубическая решетка n = 1, б) гранецентрированная кубическая решетка n = 4,

7

в) объемноцентрированная кубическая решетка n = 2. 2.Теплоемкость и теплопроводность кристаллов. 1. Согласно закону Дюлонга и Пти, молярная теплоемкость

химически простых твердых тел при температурах, больших температуры Дебая Θ: Cµ = 3R, где R = 8,31 Дж/(моль К) универсальная газовая постоянная. Для химически сложных тел (состоящих их атомов различных химических элементов) – закон Неймана – Коппа: Cµ = 3nR, где n – общее число частиц в химической формуле соединения 2.Удельная теплоемкость: с = Cµ/µ для химически простых и с = 3nR/( Σ µi). для химически сложных веществ . 3. Энергия фонона ε связана с круговой частотой колебаний ω соотношением: ε=hω где h = h/(2π) = 1,054 10−34 Дж с Квазиимпульс фонона: p = h /λ где h = 6,63 10-34 Дж с. Скорость v фонона (скорость звуковых волн в кристалле в пренебрежении дисперсией): v = ωλ/(2π). 4. Частота Дебая (максимальная частота колебаний кристаллической решетки): ωD = v ( 6π2n)1/3 где n = N/V –концентрация атомов в кристалле, n = NAρ/µ, где ρ − плотность кристалла, µ - масса одного моля. 5. Температура Дебая: Θ = h ωD/k, где k – постоянная Больцмана, k = 1,38 10- 23 Дж/K. 6. Поток тепловой энергии Q, проходящий через поперечное сечение S стержня в единицу времени

8

Q = - λ(dT/dx)S, где λ - теплопроводность, dT/dx – градиент температуры λ = vФl Cv/3, где vф –групповая скорость фононов, l – средняя длина свободного пробега фононов между двумя последовательными столкновениями, Cv –теплоемкость единицы объема. 7. Молярная теплоемкость кристаллической решетки при температуре T>p): RH = 3π/(8en); в) Для собственных полупроводников, в которых n=p=ni, выражение (2) принимает вид: RH = 3π(up – un)/[8eni(up + un)]. 3. Примеры решения задач. Пример 1: Определить параметр решетки и плотность кристалла кальция, если расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,393 нм. Решетка кубическая, гранецентрированная. Дано: NA = 6,02 1023 моль-1 µ = 40 10−3 кг/моль d = 0,393 10-9м n=4 _________________ a =? ρ = ? Решение. Параметр а решетки и расстояние d между двумя ближайшими соседними атомами связаны соотношением: а = d√2 Подставляя в это выражение численные значения, получим: а = 5,56 10-10 м Плотность кристалла: ρ = µn/(NAa3) = 1,55 103 кг м-3

13

Ответ: а = 5,56 10-10 м, ρ = 1,55 103 кг м-3. Пример 2: Вычислить период идентичности l вдоль прямой [231] в решетке NaCl, если плотность кристалла ρ равна 2,17 г/ см3. Решетка гранецентрированная кубическая. Дано: n1=2, n2=3,n3=1 ρ=2,17 103 кг /м3 --------------------= l =? Решение Постоянная решетки кристалла NaCl равна: (1) a = (nµ/(ρNA))1/3 23 Число Авогадро NA =6,02 10 . Для гранецентрированной решетки число узлов в элементарной ячейке n =4. Пользуясь таблицей Менделеева, находим: Ar(Na) =23, Ar(Cl)=35. Следовательно, Mr(NaCl) = 58, откуда µ(NaCl) = 58 10-3кг/моль. Таким образом, подставляя числа в формулу (1), получаем: а = 5,62 10-10м. Период идентичности кристалла вдоль прямой [231]: l = a(n12 + n22 + n32)1/2 = 5,62 10-10 (4 + 9 + 1)1/2 = 13,3 10-10 м Ответ: l = 1,33 нм. Пример 3: Написать индексы Миллера для плоскости, проходящей через узлы с индексами: [[010]], [[122]], [[132]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат. Дано: Индексы узлов: [[010]],[[122]],[[132]]. ---------------------------------------------------(hkl) =? , xq=?, yq=?, zq=? Решение. Для любого узла с индексами [[n1n2n3]], лежащего в данной плоскости, индексы Миллера (hkl) удовлетворяют соотношению: n1h + n2k + n3l = q, (1) где h,k,l,q – целые числа. Подставляя в уравнение (1) последовательно индексы всех трех узлов, получаем систему уравнений: k=q h + k – 2l = q h + 3k + 2l =q

14

Решая эту систему в целых числах, получаем: h = -6, k=4, l = -1; q=4, т.е. данная плоскость задается индексами: {(641);4}. Она отсекает на осях координат отрезки, равные: x0 = a1q/h = -2/3 a1; y0 = a2q/k = a2; z0 = -4a3, где аi (i = 1,2,3) – основные периоды решетки. Плоскость пересекает оси у и z в узловых точках. Ответ: {(641);4}; {-2/3a1, a2, -4a3}. Пример 4: Вычислить по классической теории теплоемкость С кристалла бромида алюминия (AlBr3) объемом V= 200 см3. Плотность ρ кристалла бромида алюминия равна 3,01 г/см3. Условие T > Θ считать выполненным. Дано: V = 2 10-4 м3 ρ = 3.01 103 кг м-3 С=? Решение. Химическая формула соединения AlBr3 содержит четыре атома (n=4). Поэтому, согласно закону Неймана-Коппа, молярная теплоемкость кристалла: Сµ = n 3R = 99,7 Дж/моль К. Теплоемкость всего кристалла: (1) C = Cµm/µ = CµρV/µ = 12RρV/µ. По таблице Менделеева находим: Ar(Al) = 27, Ar(Br) = 80, следовательно Mr(AlBr3) =267, а µ = 0,267 кг/моль. Подставляя в формулу (1) числа, получаем: С = 225 Дж/K Ответ: С = 225 Дж/K Пример 5: Вычислить длину волны фононов в свинце, соответствующую частоте ω = 0,1ωD, если плотность свинца ρ = 11,3 г/cм, а молярная масса µ = 207 г/моль. Дано: ρ = 11,3 103 кг/см µ = 207 10-3 кг/моль ω = 0,1 ωD λΦ = ? Решение.

15

Частота Дебая (максимальная частота колебаний кристаллической решетки) определяется выражением: (1) ωD = v(6π2n)1/3 где v – скорость распространения колебаний (скорость звука) в кристалле, n – концентрация атомов в кристалле, (2) n = NAρ/µ. В пренебрежении дисперсией звука в кристалле: λΦ = 2πv/ω, или, согласно условию задачи, λΦ = 20πv/ωD . Окончательно, пользуясь формулами (1) и (2), получаем: λΦ = 20π(6π2NAρ/µ)-1/3

(3)

Подставляя в формулу (3) NA = 6,02 1023 и числовые данные из условия задачи, будем иметь: λΦ = 5 10−9 м. Ответ: λΦ = 5 нм. Пример 6: Определить температуру Дебая для серебра, если известно, что для нагревания серебра массой m = 15 г от температуры Т1 = 5К до температуры Т2 = 10 К надо затратить количество тепла Q = 6,8 10-2 Дж. Условие T Θ считать выполненным. 17.Вычислить частоту Дебая в кристалле золота. Для золота температура Дебая равна 180 К. 18.Медный образец массой 50 г находится при температуре 10 К. Определить количество теплоты, необходимое для его нагревания до температуры 15 К. Температуру Дебая для меди принять равной 300 К. Условие T