Избранные главы школьной математики

А. И. Щетников ÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ÃËÀÂÛ ØÊÎËÜÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ Новосибирск Артель «Напрасный труд» 2011 ББК 22.130 Щ-72 Щет...

Author: Щетников А. И.

60 downloads 183 Views 536KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

А. И. Щетников

ÈÇÁÐÀÍÍÛÅ ÃËÀÂÛ ØÊÎËÜÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Новосибирск Артель «Напрасный труд» 2011

ББК 22.130 Щ-72

Щетников А. И. Щ-72 Избранные главы школьной математики. — Новосибирск, Артель «Напрасный труд», 2011. — 60 стр. В книге рассматривается материал школьной программы по математике, относящийся к темам «Рациональные и иррациональные числа», «Квадратные корни», «Арифметическая и геометрическая прогрессии», «Показательная функция», «Логарифмы». В качестве дополнительного материала вводятся основные понятия, относящиеся к теории множеств; рассматриваются задачи, связанные с гармонической прогрессией; исследуется замечательный предел, связанный с основанием натуральных логарифмов. Ил. 27. Библ. 9 назв. ББК 22.130 © Щетников А. И., 2011 © Артель «Напрасный труд», оформление, 2011

ГЛАВА I

ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ È ÄÅÉÑÒÂÈÒÅËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ § 1. ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÄÅÑßÒÈ×ÍÛÅ ÄÐÎÁÈ 1. Числовая прямая и действительные числа. Числовая прямая — это обычная прямая, на которой отмечены две точки «0» и «1». Точка «0» служит началом отсчёта; точка «1» задаёт величину и направление единичного отрезка. Каждой точке A числовой прямой соответствует некоторая числовая отметка — расстояние от этой точки до начала отсчёта, выраженное в длинах единичного отрезка (рис. 1). Мы будем рассматривать дальше только положительную часть числовой прямой, помня о том, что каждой точке положительного направления соответствует симметрично расположенная относительно точки «0» точка отрицательного направления, числовая отметка которой имеет такое же значение, но взятое со знаком «минус». 0

1

2

A 3

4

5

Рис. 1

Всякое число, соответствующее некоторой точке числовой прямой, принято называть действительным числом (или, что то же самое, вещественным числом). Сдвигая единичный отрезок на его длину в положительном направлении, мы получаем одну за другой точки числовой прямой, соответствующие положительным целым числам. Точкам, находящимся в промежутках между целочисленными точками, соответствуют дробные числа.

4

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Из школьного курса математики нам известны два способа представления дробных чисел. Первый способ дают обыкновенные дроби. Чтобы построить обыкновенную дробь для точки A, надо найти наибольшую общую меру отрезка OA и единичного отрезка. Пусть эта мера a раз уложилась в отрезке OA и b раз в единичном отрезке. Тогда говорят, что точке A соответствует обыкновенная дробь a/b (см. рис. 2, где a/b = 8/3). A = 8/3 0

1

2

3

Рис. 2

Второй способ задаётся алгоритмом десятичных дробей. Исходной мерой здесь служит единичный отрезок, а каждая следующая мера берётся в 10 раз меньше предыдущей. Мы устанавливаем, сколько раз умещается в отрезке OA единичная мера; затем, если образовался остаток, устанавливаем, сколько раз умещается в нём следующая мера, равная 101 от единичной; затем, если снова образовался остаток, — сколько раз умещается в нём следующая 1 мера, равная 100 от единичной; и т. д. (рис. 3). 0

A = 0,64

1

Рис. 3

Если на каком-то очередном шаге остатка не возникнет, получившаяся десятичная дробь будет конечной; если же остаток будет возникать на каждом очередном шаге, получающаяся десятичная дробь будет бесконечной.


5

2. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Будем рассматривать обыкновенную дробь a/b как предписание разделить число a на число b. Поделим a на b угол5 3 ком, представляя результат в виде десятичной 3 1, 6 6 6 дроби. 2 0 Процедура такого деления иногда оказывает1 8 ся бесконечной, как это получается при делении 2 0 5 на 3. Нетрудно понять, что на каждом следую1 8 щем шаге деления в очередной разряд частного 2 0 будет записываться всё та же цифра «6». Поэтому 1 8 в частном 1,66666... после запятой будет стоять бесконечная последовательность шестёрок. Бесконечную десятичную дробь 1 0 7 называют периодической, если в ней, 7 1, 4 2 8 5 7 1 4 начиная с некоторого разряда, перио3 0 дически повторяется некоторая группа 2 8 цифр, например, 2,7313131... Такую 2 0 дробь записывают в виде 2,7(31), по1 4 мещая повторяющуюся группу цифр в 6 0 скобки; эту часть записи читают: «31 в 5 6 периоде». 4 0 Рассмотрим ещё один пример, раз3 5 делив уголком 10 на 7. В вычислениях 5 0 мы добрались до остатка 3, который у 4 9 нас уже встречался, поэтому остатки и 1 0 цифры частного дальше начнут повто0 7 ряться. Тем самым 10 : 7 = 1,(428271). 3 0 Если повторяющаяся группа цифр 2 8 расположена непосредственно после запятой [например, 0,676767... = 0,(67)], такую дробь называют чисто периодической; в противном случае говорят, что десятичная дробь имеет предпериод, и называют её смешанной периодической [например, 0,276767... = 0,2(76)]. 3. Какие обыкновенные дроби преобразуются в конечные десятичные дроби? Если делить какое-либо целое число на 10,

6


100, 1000 и вообще на любую степень десятки, это действие приведёт к перемещению десятичной запятой влево: 13762 : 100 = 137,62;

45 : 1000 = 0,045.

Зададимся теперь вопросом, каким свойством должен обладать знаменатель b несократимой обыкновенной дроби a/b, чтобы результат деления числителя на знаменатель выражался конечной десятичной дробью? Ответ на этот вопрос таков: необходимое и достаточное условие образования в частном конечной десятичной дроби состоит в том, чтобы в разложении знаменателя на простые множители содержались только делители 10, то есть 2 и 5. Покажем, что это условие является достаточным. Поскольку произведение двойки и пятёрки даёт десятку, будем рассматривать только знаменатели вида 2n либо 5n. К примеру, если мы делим какое-то число на 8 = 23, то это всё равно, что сначала умножить это же число на 625 = 53 и потом поделить на 1000 = 103. Аналогично, если мы делим какое-то число на 625 = 53, это всё равно, что сначала умножить это же число на 8 = 23 и потом поделить на 1000 = 103. Эти же рассуждения остаются в силе и для любой другой степени n. Тем самым достаточность условия доказана. Теперь покажем, что это условие является необходимым. Иначе говоря, покажем, что если среди простых множителей знаменателя содержится множитель k, отличный от 2 или 5, то получающаяся при делении числителя на знаменатель десятичная дробь не может быть конечной. Докажем это от противного. В самом деле, если бы такая конечная десятичная дробь была построена, её можно было бы переписать в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой был бы какой-то степенью 10. Тем самым исходная несократимая a c = n . Но обыкновенная дробь была бы представлена в виде b 10 тогда дробь, записанная справа, может быть сокращена до дроби, записанной слева. Получается, что 10n кратно b, и тем самым число k является делителем 10n. Но оно не может им являться, потому что 10n = 2n · 5n, а k по предположению отличается от 2 и 5. Тем самым необходимость условия также доказана.


7

4. Теорема о том, что всякая обыкновенная дробь преобразуется в периодическую десятичную дробь. При делении натурального числа a на натуральное число b возникающие целочисленные остатки обязательно будут меньшими b. Тем самым число возможных остатков равно b – 1. А это значит, что к тому моменту, когда мы произведём b шагов деления, один из остатков обязательно повторится. Но за ним начнут повторяться и следующие остатки. 5. Важная договорённость. Принято считать, что 0,(9) и 1 — это одно и то же число. В самом деле, число 0,(9) больше любого из чисел в возрастающей последовательности

0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, ... . Соответственно разность между числами 1 и 0,(9) меньше любого числа в убывающей последовательности 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ... , стремящейся к нулю; поэтому эта разность равна нулю. Точно так же и любая бесконечная десятичная дробь с девяткой в периоде равна конечной десятичной дроби, получаемой отбрасыванием всех девяток (заменой девяток на нули) и увеличением стоявшей перед девятками цифры на единицу: 292,999999... = 293; 8,61999999... = 8,62; 78999,99... = 79000. 6. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную. Мы знаем, что всякая обыкновенная дробь может быть преобразована в десятичную дробь, конечную либо периодическую. Покажем, что всякую десятичную периодическую дробь можно преобразовать в обыкновенную. Рассмотрим сначала какую-нибудь чисто периодическую дробь, например 0,(23). Представим её в виде 0,232323… = 23 × 0,010101… Заметим, что 0,010101… × 99 = 0,999999… = 1. По23 этому 0,010101… = 991 , и тем самым 0,232323… = 99 . Общее пра-

8


вило для таких дробей: в числитель надо записать период, а в знаменатель — число из одних девяток с таким же количеством разрядов, сколько разрядов в периоде. Теперь нетрудно обратить в обыкновенную дробь любую периодическую дробь. Покажем, как это делается, на двух примерах: 3,42(7) = 3,42 + 0,01 · 0,(7) = 12,7(945) = 12,7 + 0,1 · 0,(945) =

342 100

7 + 900 =

127 10

617 180

945 + 9990 =

,

2367 185

.

7. Иррациональные числа как непериодические десятичные дроби. Удобно будет считать, что конечные десятичные дроби также являются бесконечными, содержащими ноль в периоде:

27,93 = 27,9300000... = 27,93(0). Мы знаем, что (а) всякая обыкновенная дробь может быть преобразована в периодическую десятичную дробь; (б) всякая периодическая десятичная дробь может быть преобразована в обыкновенную дробь. Тем самым между множеством всех обыкновенных дробей и множеством всех периодических десятичных дробей устанавливается взаимно однозначное соответствие. Элементы этого множества называются рациональными числами. Латинское слово ratio в одном из своих значений означает отношение. Рациональные числа — это такие числа, которые могут быть представлены в виде отношения двух целых чисел, то есть в виде обыкновенной дроби. Из сказанного следует, что если иррациональные числа существуют, то каждое из них представимо непериодической бесконечной десятичной дробью (поскольку все периодические дроби уже заняты — ведь им соответствуют рациональные числа). Спрашивается: а откуда нам известно, что непериодические бесконечные десятичные дроби существуют? Ведь мы не можем выписать все цифры такой дроби, чтобы убедиться в том, что у ней нет периода. Ответ на этот вопрос даёт прямое построение такой бесконечной десятичной дроби, которая явно не будет периодической. Приведём два примера такого построения; то, что период в обоих случаях отсутствует, докажите самостоятельно.


9

0,101001000100001000001... ; 0,123456789101112131415... . Çàäàíèÿ 1. Ïðåäñòàâüòå ñëåäóþùèå îáûêíîâåííûå äðîáè â âèäå ïåðèîäè÷åñêèõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé: (à)

2 7

, (á)

45 13

, (â)

7 99

.

2. Ïðåäñòàâüòå ñëåäóþùèå ïåðèîäè÷åñêèå äåñÿòè÷íûå äðîáè â âèäå îáûêíîâåííûõ äðîáåé: (à) 0,(25); (á) 0,(370); (â) 0,00(293); (ã) 34,2(76).

§ 2. ÊÂÀÄÐÀÒÍÛÅ ÊÎÐÍÈ 1. Квадратный корень как сторона квадрата. Начнём с рассмотрения следующей задачи: «Известно, что площадь квадрата равна 25. Определите, чему равна сторона этого квадрата». Площадь квадрата численно равна произведению его стороны на саму себя. Стало быть, нужно найти такое число, которое при умножении на само себя даёт 25. Мы знаем, что 5 · 5 = 25; тем самым искомая сторона квадрата равна 5. Для случая двукратного и трёхкратного умножения числа на себя помимо общего термина «возведение в степень» имеются также специальные названия, пришедшие из геометрии; выражение 5 · 5 = 52 мы можем прочитать и «5 во второй степени», и «5 в квадрате»; выражение 5 · 5 · 5 = 53 мы можем прочитать и «5 во третьей степени», и «5 в кубе». Рис. 4 Дадим теперь следующее определение: квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое число b, что b2 = a. Действие нахождения квадратного корня принято называть извлечением корня: «если

10


извлечь квадратный корень из 25, получится 5». Символически это записывают так: 25 = 5 .

Знак корня происходит от начальной буквы r латинского слова radix, которое в переводе на русский означает «корень». Происхождение этого термина станет понятнее, если мы представим себе, как квадрат «вырастает» на своей стороне (рис. 4). Вообще говоря, при умножении на себя 25 дают два числа: 5 и –5. Ниже мы не ограничимся рассмотрением положительных корней (как их называют, арифметических квадратных корней). 2. Нахождение квадратных корней подбором последовательных приближений. Мы отыскали 25 , вспомнив таблицу умножения; ясно, что так можно действовать в случае небольших чисел, являющихся квадратами некоторых натуральных чисел. Задача оказалась бы более сложной, если бы площадь квадрата была равна, к примеру, 19. Сторона такого квадрата больше 4 (поскольку 42 = 16) и меньше 5 (поскольку 52 = 25); но как её найти? Подбор последовательных приближений для квадратного корня можно произвести с помощью десятичных дробей. В основу этого приёма заложено следующее соображение: чем больше число, тем

больше его квадрат. Сначала мы устанавливаем, что 4 < 19 < 5 , потом разбираемся с десятыми и выясняем, что 4,3 < 19 < 4, 4 (поскольку 4,32 = 18,49, а 4,42 = 19,36); потом переходим к сотым и

выясняем, что 4,35 < 19 < 4,36 (поскольку 4,352 = 18,9225, а 4,362 = 19,0096); и т. д. Впрочем, не будем дальше упорствовать, а воспользуемся калькулятором; разрядов моего калькулятора хватает на то, чтобы получить приближение 19 ≈ 4,35889894354067355223698198385962...

Конечно, здесь не видно и намёка на периодичность, но вдруг у этой дроби очень длинный период?


11

3. Извлечение квадратного корня уголком. Опишем здесь способ извлечения квадратных корней, не приводя для него теоретических обоснований. Чтобы извлечь из данного числа квадратный корень, прежде всего следует поставить точки над его цифрами — через одну, начиная с единиц. За- · · · тем следует в частном надписать цифру, 9 8 5 9 6 3 1 4 квадрат которой равен или является 9 ближайшим по недостатку к цифрам или 0 8 5 цифре, предшествующим первой точке. 6 1 После вычитания этого квадрата осталь2 4 9 6 ные цифры корня последовательно на2 4 9 6 ходятся с помощью одного и того же 0 приёма: сначала мы делим остаток на удвоенную величину уже извлечённой части корня, и находим очередную цифру, а затем вычитаем из остатка произведение последней найденной цифры на число, составленное из удвоенной величины уже извлечённой части корня и приписанной к ней последней найденной цифры.

К примеру, чтобы извлечь 98596 , сначала расставим точки, как было сказано выше. Затем найдём число, квадрат которого равен первой цифре 9, то есть 3. Запишем его в частном и вычтем 32 = 9. В остатке будет 0, рядом с 1 9 4, 3 5 8 8 9 которым запишем две следую1 6 щие цифры, то есть 85. Не обра3 0 0 щая внимания на последнюю 2 4 9 цифру 5, спросим: сколько раз 5 1 0 0 удвоенное 3, или 6, содержится в 4 3 2 5 первой цифре 8? Ответ: 1. Запи7 7 5 0 0 сав в частном 1, отнимем от 85 6 9 6 6 4 произведение 1 · 61 = 61. В ос7 8 3 6 0 0 татке будет 24, к чему присоединим последние цифры 96, так что 6 9 7 3 4 4 8 6 2 5 6 0 0 получится 2496. С этим числом нужно произвести то же действие. Итак, не обращая внимания на последнюю цифру 6, спросим: сколько раз удвоенное 31, или 62, содержится в 249? Ответ: 4. За-

12


писав в частном 4, отнимем произведение 4 · 624 = 2496. В остатке получился 0 — действие закончено и корень равен 314. Если корень не извлёкся нацело, можно продолжить процедуру его извлечения, приписывая два нуля в следующие два разряда. Для примера найдём первые несколько цифр 19 . 4. Доказательство иррациональности 2 . Это доказательство было открыто пифагорейцами, решавшими задачу об удвоении квадрата: если площадь квадрата увеличить в 2 раза, то во сколько раз увеличится его сторона? Оно основывается на следующих теоремах арифметики чётных и нечётных чисел:

• квадрат чётного числа чётен: (2n)2 = 2(2n2); • квадрат нечётного числа нечётен: (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Из этих двух теорем немедленно следует, что если квадрат некоторого числа является чётным, то чётным будет и само число; и если квадрат некоторого числа является нечётным, то нечётным будет и само число. a

b

b

c

c

b

d

c

d Рис. 5

c


13

Предположим теперь, что существует такая несократимая дробь a/b, что 2 = a/b. Возведя это равенство в квадрат, получим 2 = a2/b2, и тем самым 2b2 = a2. Мы видим, что a2 является чётным числом; тем самым a тоже будет чётным числом, и мы можем записать a = 2c. Отсюда a2 = 4c2, и поэтому b2 = 2c2. Мы видим, что b2 является чётным числом; тем самым b тоже будет чётным числом (рис. 5). Получается, что числитель и знаменатель искомой дроби a/b являются чётными, — а это противоречит исходному предположению о том, что эта дробь является несократимой. Поэтому сделанное предположение было ложным, а истинным является обратное к нему утверждение: не существует такой несократимой дроби a/b, что

2 = a/b.

5. Квадратный корень как среднее пропорциональное. Рассмотрим следующую задачу: «Найти число, которое во столько же раз больше 25, во сколько раз 49 больше самого этого числа». Составим пропорцию 49 : x = x : 25 . Перемножив её члены крест-

накрест, получим x · x = 25 · 49, откуда x = 25 ⋅ 49 = 35 . Число c, образующее с числами a и b пропорцию a : c = c : b , называют средним пропорциональным (или средним геометрическим) между a и b. Основываясь на понятии среднего геометрического, мы можем определить

a как среднее пропорциональное между 1 и a. Пусть

число x таково, что a : x = x :1 ; тогда x2 = a, и x = a . 6. Геометрическое построение квадратного корня. Отложим на одной прямой отрезки AB = 1 и BC = a; построим на отрезке AC, как на диаметре, полукруг; восстановим из точки B к AC перпендикуляр BD до пересечения с линией полукруга в точке D (рис. 6).

Покажем, что BD = a . В самом деле, угол ADC является прямым как вписанный в окружность и опирающийся на диаметр. Поэтому треугольник ADB подобен треугольнику ACD, и треугольник ACD подобен треугольнику DCB (в каждой паре используется признак подобия по

14


двум углам). Отсюда треугольник ADB подобен треугольнику DCB, и поэтому AB : BD = BD : BC, то есть BD — среднее пропорциональное между AB = 1 и BC = a. Тем самым BD =

a.

D

a A 1

a

B

C

Рис. 6

7. Квадратный корень: структура математического понятия. Рассмотрим теперь те различные математические действительности, в которых разворачивается понятие квадратного корня. Во-первых, это действительность геометрии. Здесь задача «найти квадратный корень из A» в развёрнутой постановке звучит так: «даны отрезки 1 и А; требуется построить такой отрезок x, чтобы площадь построенного на нём квадрата относилась к площади единичного квадрата как А : 1». Когда это построение выполнено, квадратный корень уже найден. Но он найден как отрезок, а не как число. Во-вторых, это действительность арифметики. Задача «найти квадратный корень из A» означает здесь: «дано неотрицательное число A; требуется найти такое число x, которое, будучи умножено само на себя, даст в результате А». Анализ этой задачи приводит к выводу о существовании иррациональных чисел в арифметике и несоизмеримых величин в геометрии. Знак служит в рамках арифметики обозначением действия точного или приближённого извлечения квадратного корня. В третьих, это действительность алгебры. Здесь нас совершенно не интересует, чему равен квадратный корень из A, поскольку мы обходимся с ним как с алгебраическим объектом, то

есть со знаком, подчиняющимся правилу

A ⋅ A = A . К примеру,


15

мы можем написать, что ( 3 + 2)( 3 − 2) = 1 , нисколько не задумываясь о том, чему равны 3 и 2 в этом выражении. Все эти действительности конечно же не являются изолированными друг от друга. К примеру, только что записанную алгебраическую формулу можно проинтерпретировать и арифметически, и геометрически. Всякое число может мыслиться как отрезок на числовой прямой, и т. д. И всё же понимание того, что — это и отрезок, и число, и алгебраический символ, является очень важным для правильного усвоения различных сторон понятия квадратного корня в их взаимосвязи. Çàäàíèÿ 1. Âèííè-Ïóõ è Ïÿòà÷îê îäíîâðåìåííî âûøëè èç ñâîèõ äîìîâ è ïîøëè äðóã ê äðóãó â ãîñòè. Â ìîìåíò âñòðå÷è Ïÿòà÷êó îñòàâàëîñü èäòè äî äîìà Âèííè-Ïóõà 25 ìèíóò, à Âèííè-Ïóõó äî äîìà Ïÿòà÷êà — 36 ìèíóò. Ñêîëüêî âðåìåíè ïðîøëî ñ ìîìåíòà âûõîäà äî ìîìåíòà âñòðå÷è? 2. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîðîíû äâóõ êâàäðàòîâ, îäèí èç êîòîðûõ â 3 ðàçà áîëüøå äðóãîãî ïî ïëîùàäè, íåñîèçìåðèìû ìåæäó ñîáîé.

ГЛАВА II

ÒÐÈ ÏÐÎÃÐÅÑÑÈÈ § 1. ÀÐÈÔÌÅÒÈ×ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈß 1. Задача о суммировании натурального ряда. С давних времён известна следующая задача: найти сумму какого-нибудь большого количества натуральных чисел, следующих друг за другом, начиная с единицы. К примеру, пусть требуется найти сумму чисел

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100. Для быстроты вычислений удобно объединить эти числа попарно: первое с последним, второе с предпоследним, и т. д.: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

В результате образовалось 50 пар чисел, причём сумма чисел каждой пары равна одному и тому же числу 101. Тем самым искомая сумма равна 50 × 101 = 5050. 2. Случай нечётного числа членов. Произведём небольшое изменение нашей задачи: пусть число членов ряда будет нечётным, чтобы они не разбивались попарно. К примеру, рассмотрим сумму

1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Теперь можно с помощью уже известного приёма найти сумму чисел от 1 до 74, а потом прибавить к этой сумме 75. Но при этом подходе теряется исходная симметрия ряда.

ТРИ ПРОГРЕССИИ

17

Второй подход состоит в том, чтобы вновь объединить первое число с последним, второе с предпоследним, и т. д.; при этом в середине останется непарное число 38. 1 + 2 + ... 37 + 38 + 39 + ... 74 + 75

Отнимем единицу от 39 и прибавим её к 37, отнимем двойку от 40 и прибавим её к 36, и т. д. В итоге образуется 75 одинаковых чисел, каждое из которых равно 38. Поэтому сумма исходного ряда равна 75 × 38 = 2850. 3. Общий приём суммирования. До сих пор мы пользовались одним приёмом для чётного числа, и другим — для нечётного числа членов ряда. И конечно, хотелось бы иметь такой приём, для которого будет совершенно безразлично, является ли число членов ряда чётным или нечётным. Выпишем наш ряд дважды, причём второй раз — под первым в обратном порядке:

1 n

2 n–1

3 n–2

...

n–2 3

n–1 2

n 1

Складывая верхнее и нижнее числа каждого столбца, мы каждый раз будем получать в сумме один и тот же результат n + 1. Всего в таблице n столбцов, поэтому сумма всех выписанных чисел равна n(n + 1). Но каждое число исходного ряда вошло в эту сумму дважды — один раз в верхней строке и один раз в нижней. Тем самым сумма чисел одной строки равна n(n + 1) . 2

4. Треугольные числа. Древние греки сказали бы, что n первых чисел натурального ряда составляют в сумме треугольное число. Принцип последовательного образования треугольных чисел, начиная с единицы, изображён на рис. 7.

18


Рис. 7

Наша задача на языке фигурных чисел звучит так: найти, сколько единиц содержит n-ое треугольное число. Приём двойного переписывания ряда превращается в приём составления из двух треугольных чисел одного прямоугольного числа со сторонами n и n + 1 (рис. 4).

Рис. 8

5. Арифметическая прогрессия. Будем рассматривать последовательности, члены которых образуют «лестницу сложения», так что каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же разность. К примеру, пусть первый член равен 3, второй 3 + 2 = 5, третий 5 + 2 = 7, четвёртый 7 + 2 = 9 и т. д. Последовательности, построенные по этому правилу, называются арифметическими прогрессиями. Общее правило образования арифметической прогрессии представим в виде an+1 = an + d. Число d называют разностью геометрической прогрессии. Чтобы добраться от первого члена до члена с номером n, надо подняться на n – 1 ступеньку лестницы. Поэтому

an = a1 + (n – 1)d.


19

6. Сумма арифметической прогрессии. Задача об определении суммы арифметической прогрессии решается с помощью двойного переписывания ряда:

a1 an

a2 an–1

...

a3 an–2

an–2 a3

an–1 a2

an a1

Сложив верхнее и нижнее числа каждого столбца, получим в сумме a1 + an. Всего в таблице n столбцов, поэтому сумма всех записанных чисел равна n(a1 + an). Но каждое число исходного ряда вошло в эту сумму дважды. Поэтому сумма чисел одной строки равна n(a1 + an ) . 2

7. Площадь трапеции. Чтобы найти площадь трапеции, составим из двух одинаковых трапеций параллелограмм (рис. 9). b

a h

a

b Рис. 9

Площадь трапеции равна 1/2 площади этого параллелограмма, то есть 1/2 произведения его основания на высоту. Но основание параллелограмма равно сумме оснований трапеции a + b. Поэтому площадь трапеции равна 1/2 произведения суммы её оснований на высоту: S=

h( a + b) . 2

20


Эта формула примечательно схожа с формулой для суммы арифметической прогрессии. Здесь высота h соответствует числу членов прогрессии n, основания a и b — первому и последнему членам прогрессии a1 и an. Попробуем разобраться, в чём тут дело. Представим трапецию состоящей из бесчисленного множества бесконечно узких полосок одинаковой ширины, параллельных основаниям (рис. 10). b

a

a

b Рис. 10

Площадь трапеции представляет собой «сумму» всех полосок. Но полоски составляют своего рода арифметическую прогрессию с бесконечно малой разностью и бесконечно большим числом членов. Отсюда и проистекает аналогия между двумя формулами. 8. Среднее арифметическое. Для двух величин a и c их средним арифметическим называют такую величину b, которая настолько же превосходит меньшую из них, насколько превосходится большей. Иначе говоря, величины a, b, c в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию (рис. 11). a b

d c

Рис. 11

d


Нетрудно видеть, что b =

21

a+c c−a , d= . 2 2

Çàäàíèÿ 1. N òî÷åê ðàñïîëîæåíû íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òî íèêàêèå òðè èç íèõ íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ ìîæíî ïðîâåñòè ÷åðåç ýòè òî÷êè, âûáèðàÿ èõ ïîïàðíî? 2. Èçâåñòíî, ÷òî â àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè a5 = 14, a17 = 47. Íàéäèòå ðàçíîñòü ýòîé ïðîãðåññèè è å¸ ïåðâûé ÷ëåí. 3. Äðåâíååãèïåòñêàÿ çàäà÷à. «Ðàçäåëèòü 10 ìåð ÿ÷ìåíÿ ìåæäó 10 ëþäüìè; ðàçíèöà ìåæäó êàæäûì ÷åëîâåêîì è åãî ñîñåäîì ñîñòàâëÿåò ìåðû ÿ÷ìåíÿ». 4. Äðåâíåâàâèëîíñêàÿ çàäà÷à. «Ñóììó â 100 øåêåëåé ðàçäåëèòü ìåæäó 10 áðàòüÿìè òàê, ÷òîáû áðàò íàä áðàòîì ïîäíèìàëñÿ îäèíàêîâî. Äîëÿ âîñüìîãî áðàòà ðàâíà 6 øåêåëÿì. Áðàò íàä áðàòîì íàñêîëüêî ïîäíèìàåòñÿ?»

§ 2. ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈß 1. Геометрическая прогрессия. Арифметическая прогрессия представляла собой «лестницу сложения», где каждый следующий член получался из предыдущего прибавлением одной и той же величины. Рассмотрим теперь «лестницу умножения», где каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число. Полученная по такому правилу последовательность величин называется геометрической прогрессией. Обозначим начальный член геометрической прогрессии через a0.*) Пусть следующий член равен a1 = qa0. Тогда и далее будет a2 = qa1, a3 = qa2, a4 = qa3, и т. д. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Чтобы добраться от a0 до an, нужно сделать n умножений на q:

an = qna0. *

) Такая нумерация удобнее, потому что число последовательных операций получается равным n, а не n – 1, что заметно упрощает формулы.

22


На рис. 12 изображён характерный вид геометрической прогрессии со знаменателем q > 1.

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

Рис. 12

2. Легенда об изобретателе шахмат. Простейший пример геометрической прогрессии содержится в индийской легенде об изобретателе шахмат, попросившем царя в награду за своё изобретение положить на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую — 2, на третью — 4, и так далее до последней клетки. Царь согласился, а зря! Чтобы найти сумму этой прогрессии, заметим, что

1 + 1 = 2, 1 + 1 + 2 = 4, 1 + 1 + 2 + 4 = 8, 1 + 1 + 2 + 4 + 8 = 16, ...................... 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 263 = 264, и тем самым 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 263 = 264 – 1. Здесь 264 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615. Такое количество зёрен образует гору высотой в несколько десятков километров. Идею применённого здесь приёма суммирования мы изобразим также на геометрическом чертеже (рис. 13).


23

8 16 8

11 2

4

8 Рис. 13

3. Сумма геометрической прогрессии. В одном из древнеегипетских папирусов была обнаружена следующая задача: «Â êàæäîì èç 7 õîçÿéñòâ æèâ¸ò ïî 7 êîøåê, êàæäàÿ êîøêà ñúåëà 7 ìûøåé, êàæäàÿ ìûøü ìîãëà ñúåñòü 7 êîëîñüåâ ÿ÷ìåíÿ, êàæäûé êîëîñ ìîã äàòü 7 ìåð õëåáà; êàêîâî îáùåå ÷èñëî âñåõ ïðåäìåòîâ?»

Задачу о суммировании геометрической прогрессии будем решать в общем виде. Нам нужно найти сумму S = a0 + qa0 + q2a0 + q3a0 + ... + qna0 = = a0(1 + q + q2 + q3 + ... + qn).

Введём обозначение s = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn.

(1)

Умножим обе половины (1) на q: qs = q + q2 + q3 + ... + qn + qn+1.

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получим уравнение (q – 1)s = qn+1 – 1. Тем самым

(2)

24


S = a0 s = a0

q n +1 − 1 . q −1

(3)

4. Ещё один способ суммирования. Образуем разности соседних членов прогрессии Δ0 = a1 – a0, Δ1 = a2 – a1, и т. д., и запишем их одну под другой:

Δ0 = a1 – a0 = a0(q – 1), Δ1 = a2 – a1 = a1(q – 1), ..................... Δn = an+1 – an = an(q – 1). Последняя строка добавлена здесь для того, чтобы разностей было столько же, сколько членов прогрессии. Сложив все разности между собой, получим Δa0 + Δa1 +... + Δan–1 + Δan = = (a0 + a1 + ... + an–1 + an)(q – 1) = S(q – 1). Но сумма всех последовательных приращений равна разности между an+1 = a0qn+1 и a0. Отсюда получаем a0(qn+1 – 1) = S(q – 1),

и тем самым S = a0 s = a0

q n +1 − 1 . q −1

5. Геометрическое суммирование. Формулу суммы можно получить непосредственно из пропорции для катетов двух подобных треугольников (рис. 14).

S : (qn+1 – 1) = 1 : (q – 1).


25

1 q– 1 1 qn+1 – 1

1 1

q

q2

…

qn

S Рис. 14

6. «Ахилл и черепаха». Рассмотрим знаменитую апорию (это слово означает — «неразрешимое утверждение») древнегреческого философа Зенона Элейского «Ахилл и черепаха»: «Àõèëë, ïðåñëåäóÿ ÷åðåïàõó, íå ñìîæåò å¸ äîãíàòü. Â ñàìîì äåëå, íåîáõîäèìî, ÷òîáû äîãîíÿþùèé ñíà÷àëà äîñòèã ÷åðòû, ñ êîòîðîé ñòàðòîâàë óáåãàþùèé. Íî çà òî âðåìÿ, ïîêà äîãîíÿþùèé ïðèä¸ò ê ýòîé ÷åðòå, óáåãàþùèé ïðîäâèíåòñÿ íà êàêîå-òî ðàññòîÿíèå. È îïÿòü çà òî âðåìÿ, ïîêà äîãîíÿþùèé áóäåò ïðîõîäèòü ýòî íîâîå ðàññòîÿíèå, óáåãàþùèé âíîâü ïðîéä¸ò êàêîå-òî ðàññòîÿíèå — âî ñòîëüêî ðàç ìåíüøåå ïðîéäåííîãî èì â ïðîøëûé ðàç, âî ñêîëüêî ðàç îí áåæèò ìåäëåííåå äîãîíÿþùåãî. È õîòÿ ñ êàæäûì ñëåäóþùèì ðàçîì ýòî ðàññòîÿíèå áóäåò âñ¸ ìåíüøå è ìåíüøå, òàêîé ïðîöåññ âñ¸-òàêè áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî, è ïîñëåäíåãî ðàçà â í¸ì íå áóäåò. Ïîýòîìó Àõèëë íå äîãîíèò íå òîëüêî áûñòðîíîãîãî Ãåêòîðà, íî äàæå ìåäëèòåëüíóþ ÷åðåïàõó».

Вопрос о том, где в рассуждениях Зенона содержится ошибка, заслуживает отдельного рассмотрения; обсуждению этого вопроса посвящена бесчисленная литература, с древних времён до наших дней. Мы сейчас останавливаться на этом вопросе не будем, но

26


сразу же станем исходить из того, что Ахилл черепаху всё-таки догонит. Тем самым получается, что бесконечная последовательность приближений всё-таки исчерпывается, и поэтому мы можем рассматривать такой объект, как бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, и находить сумму этой прогрессии. Отрезок, разделявший Ахилла и черепаху перед забегом, примем за единицу длины; время, за которое Ахилл пробегает этот отрезок — за единицу времени. Пусть черепаха за единицу времени удаляется от места своего старта на расстояние q. Когда Ахилл покроет и это расстояние, черепаха пройдёт ещё один отрезок q2. Когда Ахилл покроет и это расстояние, черепаха пройдёт ещё один отрезок q3; и так далее (рис. 15). t

1

q

q2

x

S Рис. 15

И к тому моменту, когда Ахилл наконец догонит черепаху, им будет пройдено расстояние, выражающееся суммой бесконечного ряда S = 1 + q + q2 + q3 + q4 + ... .

Черепаха за это же время пройдёт все отрезки, кроме первого:


27

S – 1 = q + q2 + q3 + q4 + ... .

Но полные расстояния, пройденные Ахиллом и черепахой, относятся друг к другу так же, как расстояния, пройденные Ахиллом и черепахой за первую единицу времени: S 1 = . S −1 q

Выражая отсюда S, находим, что S=

1 . 1− q

6. Среднее геометрическое. Для двух положительных чисел a и c их средним геометрическим называют такое положительное число b, которое во столько же раз превосходит меньшее число, во сколько раз превосходится большим числом. Иначе говоря, величины a, b, c в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию с некоторым знаменателем q = c : b = b : a. Перемножая крест-накрест крайние и средние члены этой пропорции, получаем

b2 = ac, откуда b = ac . Çàäàíèÿ 1. Íåêòî ïîëîæèë â áàíê 1000 ðóá. ïîä 10% ãîäîâûõ. Êàêàÿ ñóììà áóäåò ëåæàòü ó íåãî íà ñ÷¸òå ÷åðåç 10 ëåò? 2. Ïîêàæèòå, ÷òî ðàçíîñòè ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì q ñàìè îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñ òàêèì æå çíàìåíàòåëåì. 3. Äîêàæèòå ôîðìóëó ñîêðàù¸ííîãî óìíîæåíèÿ (a – b)(an–1b + an–2b2 + ... + a2bn–2 + abn–1) = an – bn è âûâåäèòå ñ å¸ ïîìîùüþ ôîðìóëó ñóììû ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. 4. ×àñîâàÿ è ìèíóòíàÿ ñòðåëêè ñîâìåùàþòñÿ ðîâíî â ïîëäåíü. Êîãäà îíè ñîâìåñòÿòñÿ â ñëåäóþùèé ðàç? Ê ñóììèðîâàíèþ êàêîé áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðèâîäèò ýòà çàäà÷à?

28


5. Äâà âåëîñèïåäèñòà åäóò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêîðîñòÿìè 15 êì/÷; íà÷àëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíî 30 êì. Â ìîìåíò ñòàðòà ñ ðóëåâîé ñòîéêè ïåðâîãî âåëîñèïåäà âçëåòàåò ìóõà, îíà ëåòèò ñî ñêîðîñòüþ 30 êì/÷ íàâñòðå÷ó âòîðîìó âåëîñèïåäèñòó, âñòðå÷àåòñÿ ñ íèì, ðàçâîðà÷èâàåòñÿ, ëåòèò íàâñòðå÷ó âòîðîìó âåëîñèïåäèñòó è ò. ä. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîëåòèò ìóõà ê òîìó ìîìåíòó, êîãäà âåëîñèïåäèñòû âñòðåòÿòñÿ? Ê ñóììèðîâàíèþ êàêîé áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðèâîäèò ýòà çàäà÷à? 6. Ãäå ïî îòíîøåíèþ ê ìåñòó ñòàðòà íàõîäèòñÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà, ê êîòîðîé ñòðåìèòñÿ ñëåäóþùàÿ òðàåêòîðèÿ: 1 êì íà ñåâåð, 12 êì íà âîñòîê, 14 êì íà þã,

1 8

êì íà çàïàä,

1 16

êì íà ñåâåð,

1 32

êì íà âîñòîê è òàê äàëåå äî

áåñêîíå÷íîñòè? 7. Âû÷èñëèòå ñóììó áåñêîíå÷íîãî ðÿäà 1 1

+ 22 + 43 + 48 + 165 + 326 + …

§ 3. ÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈß 1. Среднее гармоническое. Кроме арифметического и геометрического среднего, с давних времён (ещё в Древней Греции) было известно ещё одно среднее — так называемое среднее гармоническое. Оно получило такое название, потому что было тесно связано с теорией музыки. Школьники встречаются с этим средним в задачах, подобных следующей: «Àâòîáóñ çàåõàë â ãîðó èç A â B ñî ñêîðîñòüþ 20 êì/÷, à ïîòîì ñïóñòèëñÿ ñ ãîðû èç B â A ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷. Êàêîé áûëà ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü àâòîáóñà?»

Решая эту задачу, удобно вместо скорости ввести обратную величину, которую бегуны называют темпом («мой темп был 3 минуты на километр»). Автобус ехал в гору с темпом 60 : 20 = 3 мин/км, а обратно с горы — с темпом 60 : 60 = 1 мин/км. Поэтому каждый удвоенный («туда и обратно») километр дистанции он проезжал за 4 мин, то есть его средний темп был 2 мин/км, и средняя скорость 60 : 2 = 30 км/ч. Получившееся число 30 и называют средним гармоническим между числами 20 и 60.


29

Повторим это же рассуждение в общем виде. Автобус из A в B ехал с темпом 1/v1, обратно из B в A — с темпом 1/v2. Его средний темп был равен среднему арифметическому темпов движения туда и обратно, то есть 1 1⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ + ⎟, v 2 ⎝ v1 v2 ⎠

Итак, средним гармоническим между двумя числами a и c называют такое число b, что обратное ему число 1/b является средним арифметическим между числами 1/a и 1/c. 2. Ещё одно определение среднего гармонического. Решая задачу про автобус, можно рассуждать и таким образом. Время движения в гору в 3 раза больше времени движения с горы. Стало быть, движение в гору даёт вклад в среднюю скорость с весом 3, а движение с горы — с весом 1. Поэтому средняя скорость вычисляется как 3⋅203++11⋅60 = 30 .

Изобразим это рассуждение геометрически (рис. 16). От концов горизонтального отрезка AB отложим перпендикуляры AA1 и BB1 и соединим их верхние концы отрезком A1B1. Разделим AB точкой C AC AA1 и восстановим перпендикуляр CC1 до пев отношении = BC BB1 ресечения с A1B1. Его длина будет равна среднему гармоническому между AA1 и BB1. На основе этого построения дадим ещё одно определение среднего гармонического: «среднее гармоническое образует с крайними величинами разности, пропорциональные этим крайним величинам».

30


B1

C1 A1

A

C

B Рис. 16

3. Теорема о трёх средних. Докажем теперь следующую теорему: «Если между двумя положительными числами a и b вставить их среднее гармоническое h, среднее геометрическое g и среднее арифметическое f, то среднее геометрическое между a и b окажется также средним геометрическим между h и f».

Среднее геометрическое между a и b есть ab , между h и f 2ab a+b есть hf . Но h = , f = , поэтому hf = ab . a+b 2 4. Вавилонский алгоритм. Теорема о трёх средних служит удобным средством для приближённого извлечения квадратных корней с помощью так называемого вавилонского алгоритма (известного ещё в древнем Вавилоне в XVIII в. до н. э.), также его называют алгоритмом Герона. К примеру, мы хотим найти приближённое значение

50 . Заметим, что 7 является неплохим на-

чальным («нулевым») приближением прерывную пропорцию

50 снизу, и составим не-

7 : 50 = 50 : ( 507 ) .

В качестве следующего по порядку приближения сверху для 50 возьмём среднее арифметическое между крайними членами этой пропорции:

ТРИ ПРОГРЕССИИ 1 2

31

( 7 + 507 ) = 492+⋅750 = 1499 ,

и составим следующую непрерывную пропорцию

( 700 99 ) :

99 50 = 50 : ( 14 ).

В качестве следующего по порядку приближения сверху для 50 возьмём среднее арифметическое между крайними членами этой новой пропорции: 1 2

99 9800 + 9801 19601 ( 700 99 + 14 ) = 2⋅99⋅14 = 2772 .

Следующие по порядку приближения получаются по этой же схеме. Уже второе приближение 19601 2772 ≈ 7,07106782... лишь в восьмом знаке после запятой отличается от верного значения 7,07106781...

50 ≈

5. Гармоническая прогрессия. Всякая гармоническая прогрессия получается из соответствующей арифметической прогрессии оборачиванием её членов: 1 , a0

1 , a0 + d

1 , a0 + 2d

1 , a0 + 3d

1 , … . a0 + 4d

Если положить здесь a0 = d = 1, получится так называемый гармонический ряд 1 , 1

1 1 , , 2 3

1 1 , , 4 5

1 , 6

1 , …. 7

6. Задача о кирпичах и расходимость гармонического ряда. На стол положили кирпич длиной 2a. Его можно сдвинуть с края стола на предельное расстояние a. Спрашивается, если класть один кирпич на другой, на какое максимальное расстояние может быть сдвинута с края стола стопка в n кирпичей? Будем рассматривать относительные сдвиги кирпичей в порядке «сверху вниз». Первый кирпич можно сдвинуть вправо относи-

32


тельно второго кирпича на расстояние a, при этом центр тяжести системы из двух кирпичей будет находиться на расстоянии a/2 от правого края второго кирпича. Тем самым второй кирпич можно сдвинуть вправо относительно третьего кирпича на расстояние a/2; при этом центр тяжести системы из трёх кирпичей будет находиться на расстоянии a/3 от правого края третьего кирпича (докажите это самостоятельно, воспользовавшись законом равновесия рычага). Тем самым третий кирпич можно сдвинуть вправо относительно четвёртого кирпича на расстояние a/3; при этом центр тяжести системы из четырёх кирпичей будет находиться на расстоянии a/4 от правого края четвёртого кирпича (рис. 17). Аналогично, кирпич с номером k можно будет сдвинуть вправо относительно кирпича с номером k + 1 на расстояние a/k.

Рис. 17

Отсюда следует, что предельный сдвиг правого края верхнего кирпича в стопке из n кирпичей относительно края стола равен 1⎞ ⎛1 1 1 1 a⎜ + + + +…+ ⎟ . n⎠ ⎝1 2 3 4

Интересно узнать, удастся ли нам сдвинуть верхний кирпич на сколь угодно большое расстояние, если брать всё больше кирпичей в стопке, или существует предельная величина сдвига? Чтобы ответить на этот вопрос, сгруппируем члены гармонического ряда следующим образом: сначала идёт первая единица, потом 3 следующих члена, потом 9, потом 27, потом 81 и. т. д. Докажите самостоятельно, что все суммы, идущие вслед за первой единицей, больше 1, — и тем самым гармонический ряд расходится.


33

7. Связь гармонической прогрессии с теорией перспективы. На схематическом изображении картины или фотоснимка (рис. 18) видны сходящиеся на горизонте рельсы железной дороги и две шпалы, которым присвоены номера 0 и 1. В реальности все шпалы отстоят друг от друга на одно и то же расстояние. Где же тогда на этом же изображении будут находиться шпалы с номерами 2, 3, 4, ... , расположенные «ближе к горизонту»?

1 0

Рис. 18

Способ 1. Представим себе, что картина — это «окно в реальный мир». Изобразим эту ситуацию на виде сбоку (рис. 19). От каждой реальной шпалы в глаз зрителя входит световой луч, проходящий через плоскость картины. Луч, идущий через зрачок параллельно поверхности земли, порождает на картине изображение линии горизонта. Чтобы построить недостающие изображения шпал, проведём рядом с картиной две прямые: вертикальную «плоскость картины» и горизонтальную «поверхность земли». Продолжим линию горизонта и отметим на ней произвольную точку — «зрачок зрителя». Нулевую и первую шпалы «сбросим» с плоскости картины на поверхность земли. Тем самым будет задано расстояние между шпалами Δ, — после чего можно будет отметить на поверхности земли вторую, третью и т. д. шпалы, и «сбросить» их обратно на плоскость картины.

34


«зрачок» плоскость картины an 1 0

H изображение

поверхность земли

Δ

F

Δ

Δ

bn Рис. 19

Пусть an — расстояние от изображения линии горизонта до изображения n-ой шпалы, bn — расстояние по горизонтали от зрачка до n-ой шпалы, H — высота «зрачка» над уровнем земли, F — расстояние от «зрачка» до плоскости картины. Из подобия треугольников проистекает пропорция an : F = H : bn. Поэтому an =

FH . bn

Нетрудно видеть, что bn является средним арифметическим между bn–1 и bn+1: bn =

1 ( bn−1 + bn+1 ) . 2

Тем самым an является средним гармоническим между an–1 и an+1: 1 1⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ + ⎟. an 2 ⎝ an−1 an +1 ⎠

Поэтому последовательные расстояния от изображений шпал до линии горизонта образуют гармоническую прогрессию, что и решает задачу.


35

Способ 2. На «виде сверху» (рис. 20) шпалы и рельсы образуют полосу из одинаковых прямоугольников. Диагонали этих прямоугольников параллельны друг другу. Поэтому на фотографии все диагонали соответствующих трапеций должны сходиться в одну точку P на линии горизонта. Проведём первую диагональ и найдём эту точку. Дальнейшее построение понятно из чертежа: проводим вторую диагональ и находим вторую шпалу; проводим третью диагональ и находим третью шпалу, и т. д. картина

вид сверху P 3

3 2 1

2 1

0 0

Рис. 20 Çàäàíèÿ 1. Íàéäèòå ñ ïîìîùüþ âàâèëîíñêîãî àëãîðèòìà íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ

2,

101 .

2. Âû äåðæèòå â ðóêàõ îäèí êîíåö î÷åíü ýëàñòè÷íîãî ðåçèíîâîãî øíóðà äëèíîé 1 ì; âòîðîé êîíåö øíóðà çàêðåïë¸í. Îò âòîðîãî êîíöà ïî øíóðó ñî ñêîðîñòüþ 1 ñì/ñ ïîëç¸ò æóê. Êàæäûé ðàç, êîãäà îí ïðîïîëçàåò 1 ñì, âû óäëèíÿåòå øíóð, îòñòóïàÿ íà 1 ì. Äîïîëç¸ò ëè æóê äî âàøåé ðóêè? 3. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé òðàïåöèè ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñíîâàíèÿì, òî äëèíà îòðåçêà ýòîé ïðÿìîé, çàêëþ÷¸ííîãî ìåæäó áîêîâûìè ñòîðîíàìè, áóäåò ñðåäíèì ãàðìîíè÷åñêèì ìåæäó äëèíàìè îñíîâàíèé.

ГЛАВА III

ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÀß ÔÓÍÊÖÈß È ËÎÃÀÐÈÔÌ § 1. ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÀß ÔÓÍÊÖÈß 1. Задача о начислении сложных процентов. Марсианский народный банк начисляет 100% на вклад, положенный на 1 марсианский год. Иными словами, исходный вклад А через год удваивается, становясь равным 2 × А. Сумма вклада с каждым годом растёт в геометрической прогрессии: через 2 года вклад составит 2 × (2 × А) = 4 × А, через 3 года — 2 × (4 × А) = 8 × А, и т. д. Рассмотрим ситуацию, когда банк предоставляет клиентам возможность делать вклады на любой срок (можно сделать вклад на одни сутки или на ещё более короткое время, и при этом на вложенную сумму будут начисляться некоторые проценты). Спрашивается, как банку правильно рассчитать проценты, причитающиеся вкладчику за произвольный срок, и в частности — за полгода? Может показаться, что начисления нужно производить пропорционально времени вклада: если за год начисляется 100%, то есть вся исходная сумма, то за полгода следует начислять 50% или 12

от исходной суммы, за четверть года — 25% или

1 4

от исходной

суммы, и т. д. Но в действительности такая схема невыгодна для банка. Ведь в таком случае, если сделать вклад на полгода, снять выросшую в полтора раза сумму и снова положить эти деньги ещё на полгода, то годовой рост составит 1,5 × 1,5 = 2,25 раза, а вовсе не 2 раза. Но тогда никто не будет делать вклады на целый год, а все начнут вкладывать деньги на более короткие сроки, снимать и снова вкладывать! Если делать так каждые сутки (кстати сказать, 1 марсиан-

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМ

37

ский год = 670 марсианских суток), годовой рост будет равен

(1+ 6701 )

670

≈ 2,716...

Стало быть, банку следует подобрать такую полугодовую ставку, чтобы она, применённая дважды, давала годовой рост в 2 раза. Обозначим искомый полугодовой рост через x. За первые полгода вклад вырастает в x раз, а за вторые — ещё в x раз. Поэтому за год вклад вырастает в x · x = х2 раз. Но по исходным правилам он должен вырастать за год в 2 раза. Составляем уравнение х2 = 2, откуда находим, что x = 2 ≈ 1,4142... Чтобы найти правильную месячную ставку (будем считать, что в марсианском году 12 месяцев), составим аналогичное уравнение х12 = 2, откуда x = 670

12

2 ≈ 1,0595... Ну а суточная ставка будет равна

2 ≈ 1,001035...

2. Некоторые вычислительные тонкости. Квадратный корень из 2 мы извлекли с помощью обычного калькулятора, нажав на клавишу «sqrt». А как извлечь с помощью обычного калькулятора корень 12-й или 670-й степени? (Как такие вычисления производятся с помощью инженерного калькулятора, мы рассмотрим чуть позднее.) Будем рассуждать так. С помощью обычного калькулятора мы можем рассчитать месячную ставку не только за полгода, но также

и за четверть года: для этого надо узнать, чему равен 4 2 , который мы будем вычислять, извлекая квадратный корень два раза, как 2 . Аналогично рассчитываются месячные ставки за

года и т. д.: 4

2=

2 ≈ 1,1892,

8

2=

4

2 ≈ 1,0905,

16

2=

8

2 ≈ 1,0443,

32

2=

16

2 ≈ 1,0219.

1 8

,

1 16

,

1 32

38


Мы хотим найти ставку за ства

1 16

1 (или меньше предыдущей, если q < 1). Эта последовательность называется геометрической прогрессией, а число q — знаменателем прогрессии. Рассматриваемую прогрессию можно продолжить и в другую сторону от A0. Члены перед A0 естественно считать имеющими отрицательные номера: ... , A–4, A–3, A–2, A–1, A0, A1, A2, A3, A4, ... В исходной прогрессии, уходившей от A0 в одну сторону, каждый последующий член получался умножением предыдущего на q, а каждый предыдущий — делением последующего на q. В новой прогрессии, уходящей от A0 в обе стороны, продолжает действовать этот же принцип:


A−2 =

1 A0 , ..., q2

A−1 =

1 A0 , q1

A0 ,

A1 = q1 A0 ,

39

A2 = q 2 A0 , ...

Возникающие здесь множители вида 1/q1, 1/q2, 1/q3, ... принято записывать символически как q–1, q–2, q–3, ... . Эта запись читается как «q в минус первой, минус второй, минус третьей степени». Точно так же единицу, которая является коэффициентом при A0 = 1 · A0, представляют символической записью 1 = q0. Конечно, возвести число q в минус пятую или в нулевую степень — вовсе не значит умножить его само на себя минус пять или ноль раз! Показатель степени мы рассматриваем теперь как номер места, на котором число qn стоит в последовательности, неограниченно уходящей в обе стороны от единицы и получающейся из единицы путём последовательного умножения либо деления на q (рис. 21).

место обозначение вычисление

–3

–2

–1

0

1

2

3

–3

–2

–1

0

1

2

q3

q

q

q

1

1

1

q⋅q⋅q

q⋅q

q

q

1

q

1·q

q

1·q·q

1·q·q·q

Рис. 21

4. Степень с рациональным показателем. Вернёмся к исходной задаче о начислении сложных процентов и рассмотрим её с некоторой общей точки зрения. Нас интересует следующий закон непрерывного роста: если независимая переменная («время») растёт равномерно относительно сложения, то зависимая переменная («деньги») растёт равномерно относительно умножения. Иначе

40


говоря, если выделенные моменты времени образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие этим моментам значения зависимой переменной A(t) образуют геометрическую прогрессию. Введём характеристику роста q, показывающую, во сколько раз изменяется величина A(t) за любой единичный промежуток времени. Наша задача уточняется теперь так: если рост переменной величины A(t) за единичный промежуток времени равен q, и её начальное значение в нулевой момент времени равно A(0), то чему равно значение A(t) для произвольных моментов времени t? Формальный ответ на этот вопрос таков: A(t ) = q t ⋅ A(0) . Здесь символической записью qt обозначен некоторый зависящий от t коэффициент, который мы умеем вычислять для целочисленных значений t. Нам нужно научиться вычислять qt для нецелочисленных t. Эту задачу мы уже решали в п. 1 этого параграфа для частного случая q = 2. Решим её теперь в общем виде для произвольного значения q > 0 и для любого рационального значения t = m/n (удобно считать знаменатель n натуральным числом, а числитель m — целым). xn

3

x

x2

x

1 0

1/n

2/n

3/n

x4

4/n

1

Рис. 22

Чтобы вычислить qm/n, разделим отрезок между 0 и 1 на n равных частей (рис. 22). Обозначим q1/n = x и рассмотрим прогрессию

q1/n = x1, q2/n = x2, q3/n = x3, ... , q n/n = q = x n.


41

Отсюда q1/ n = x = n q . Тем самым для произвольного рационального показателя m/n действует вычислительное правило qm/n =

xm = ( n q ) m . 5. Возведение в степень и извлечение корней с помощью инженерного калькулятора. Значение ab с помощью инженерного калькулятора вычисляется следующим образом:

1) набираем число a; 2) нажимаем кнопку «x^y»; 3) набираем число b; 4) нажимаем кнопку «=». Поскольку

n

q = q1/n, извлечение корней произвольной степени

на инженерном калькуляторе выполняется как возведение числа в соответствующую дробную степень. 6. Степень с иррациональным показателем. Понятие степени с иррациональным показателем удобнее будет рассмотреть на кон-

кретном примере. Возьмём, к примеру, выражение 3 2 . Мы знаем, что является единственной общей точкой бесконечной последовательности вложенных отрезков [1; 2], [1,4; 1,5], [1,41; 1,42], [1,414; 1,415], ... , где концами каждого отрезка являются нижнее и верхнее приближения 2 , взятые с нужным числом десятичных знаков. Образуем теперь последовательность вложенных отрезков [31; 32], [31,4; 31,5], [31,41; 31,42], [31,414; 31,415] ... Все отрезки этой последовательности имеют хотя бы одну общую точку. Можно доказать также, что они имеют не более одной общей точки. Эта единственная общая точка и принимается по определению за 3 2 .

42

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМ Çàäàíèÿ

1. Îáîñíóéòå ñëåäóþùèå ïðàâèëà äåéñòâèé ñî ñòåïåíÿìè ñ öåëûì è ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì: qa · qb = qa+b; (qa)b = qab.

§ 2. ÇÀÄÀ×À Î ÐÎÑÒÅ ÁÀÊÒÅÐÈÉ 1. Постановка задачи. Некая разновидность бактерий такова, что каждая бактерия делится на две ровно через 1 сутки после того, как она сама появилась на свет в результате предыдущего деления. В лабораторию был доставлен 1 миллион бактерий. Эти бактерии прежде находились в неблагоприятных природных условиях, так что им не хватало питания и они служили пищей другим организмам, в результате чего число бактерий во времени не менялось, так как некоторые их них умирали, не прожив суток, необходимых для того, чтобы произошло очередное деление. В лаборатории бактерии были помещены в благоприятные условия, так что в течение нескольких поколений они могли свободно делиться. Ясно, что через сутки у нас будет иметься 2 млн. бактерий, через 2 суток — 4 млн., через 3 суток — 8 млн., и вообще через n суток — 2n млн. бактерий. Спрашивается, каким будет количество бактерий в произвольный нецелочисленный момент времени? По постановке эта задача внешне похожа на задачу о начислении сложных процентов. Но ниже мы увидим, что у неё есть и свои существенные особенности. 2. Распределение по возрастам. У каждой отдельной бактерии имеются «внутренние часы», которые отсчитывают время от её появления на свет. И у разных бактерий в исходном наборе эти внутренние часы были запущены в разное время. Разделим сутки на часовые интервалы времени. Обозначим через c1, c2, c3, ... , c24 число бактерий, делящихся в течение 1-го, 2-го,


43

3-го, ... , 24-го часа. Через целое число часов после начала опыта число бактерий будет равно: через 1 час 2c1 + c2 + c3 + ... + c24, через 2 часа 2c1 + 2c2 + c3 + ... + c24, ................................... через 24 часа 2c1 + 2c2 + 2c3 + ... + 2c24. В течение вторых суток число бактерий растёт по часам аналогичным образом: через 1 час 4c1 + 2c2 + 2c3 + ... + 2c24, через 2 часа 4c1 + 4c2 + 2c3 + ... + 2c24, ................................... через 24 часа 4c1 + 4c2 + 4c3 + ... + 4c24. И так далее. Если делить сутки не на часовые, а на минутные или секундные интервалы, ступенчатая картина роста будет делаться всё более подробной. Детальный график роста бактерий в течение первых суток будет представлять собой некоторую монотонно растущую функцию F(x), принимающую на концах отрезка значения F(0) = 1 и F(1) = 2. Чтобы распространить эту функцию на всю числовую прямую, нужно шаг за шагом сдвигать график вправо на суточный интервал времени и увеличивать все ординаты при каждом сдвиге в 2 раза (рис. 23). 8 4 2 1 0

1

2 Рис. 23

3

44


3. Какой вид имеет наиболее вероятное распределение? Кажется правдоподобным предположить, что распределение бактерий по возрастам в исходном наборе является равномерным. Тем самым половина бактерий исходного набора поделится за первые 12 часов, а вторая половина — за следующие 12 часов. И вообще, число бактерий в течение первых суток будет расти линейно от первоначального числа до удвоенного. А в каждые последующие сутки вновь будет происходить линейный рост, но теперь уже от 2 до 4, от 4 до 8, от 8 до 16 и так далее. И всё же предположение о равномерном распределении бактерий по возрастам является неверным! Рассмотрим бактерии, когда они находились в неблагоприятных условиях и их суммарное число со временем не менялось. Допустим, что распределение этих бактерий по возрастам являлось равномерным. Но тогда число бактерий «последней секунды жизненного цикла» будет равно числу бактерий «первой секунды жизненного цикла». Секунду спустя все бактерии «последней секунды» поделятся и число их потомков удвоится. В результате число бактерий «первой секунды» окажется в два раза больше числа бактерий «второй секунды». А это противоречит предположению о равномерном распределении по возрастам. Из этого рассуждения следует, что число бактерий «последней секунды» должно быть ровно в два раза меньше числа бактерий «первой секунды». Попробуем понять, какое число бактерий приходится на ту секунду, которая соответствует возрасту в 12 часов. Какая-то доля бактерий, появившихся на свет 12 часов назад, уже вымерла в результате воздействия неблагоприятных внешних факторов; и такая же доля оставшихся бактерий вымрет за следующие 12 часов. Обозначив коэффициент вымирания за 12 часов через x, получаем знакомое уравнение x2 = 2. Отсюда ясно, что дальнейшие рассуждения приведут нас к выводу: распределение бактерий по возрастам описывается показательной функцией с основанием 2. 4. Интегрирование показательной функции. Осталось доказать, что показательному распределению бактерий по возрастам


45

соответствует показательный рост числа бактерий в благоприятных условиях. Обозначим число бактерий в начале опыта за F(0). Разобьём первые сутки на n малых интервалов времени. Пусть за m-ый интервал времени делится a · 2m/n бактерий, где a — некоторый численный коэффициент. Поскольку за сутки все исходные бактерии делятся по одному разу, тем самым

F(0) = a · (21/n + 22/n + 23/n + ... + 2n/n). Суммируя эту геометрическую прогрессию, получаем

F (0) = a

21/ n . 21/ n − 1

(1)

По прошествии с начала опыта времени t = k/n общее число бактерий станет равно

F(t) = F(0) + a · (21/n + 22/n + 23/n + ... + 2k/n). Суммируя эту геометрическую прогрессию, получаем

F (t ) = F (0) + a

21/ n (2k / n − 1) . 21/ n − 1

С учётом (1) преобразуем это соотношение к виду

F(t) = F(0) + F(0) · (2k/n – 1) = F(0) · 2k/n = F(0) · 2t, что и требовалось доказать.

§ 3. ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÅ ØÊÀËÛ È ËÎÃÀÐÈÔÌÛ 1. Логарифмические шкалы. Представим себе, что мы хотим изобразить на одном и том же графике следующие интервалы времени: (1) время одного удара сердца — около 1 сек; (2) продолжительность перемены между уроками — 10 мин = 600 сек; (3) время, за которое можно на поезде доехать от Новосибирска до Красно-

46


ярска — 14 часов ≈ 50000 сек; (4) время, за которое Земля делает оборот вокруг Солнца — 1 год ≈ 30000000 сек; (5) время, за которое свет доходит до ближайшей к нам галактики — 4 млн. лет ≈ 120000000000000 сек. Если цену миллиметрового деления выбрать равной 1 секунде, то отметка, изображающая продолжительность перемены, будет отстоять от нулевой отметки на 60 см, а время поездки на поезде — на 50 м (не говоря уже о двух следующих величинах). Как же нам быть? Идея состоит в том, чтобы при переходе к каждой следующей отметке изображаемая величина возрастала не на одну и ту же разность, но в одно и то же число раз, например, в 10 раз (рис. 24). 16

10 15 10 14 10 13 10 12 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1

2

3

4

5

Рис. 24

Степень, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить положительное число a, принято называть логарифмом a по основанию 10, или кратко, десятичным логарифмом a. И вообще, степень, в которую нужно возвести положительное число b, чтобы получить положительное число a, принято называть логарифмом a по основанию b. Символически это записывается так: если a = bc , то c = log b a .


47

Построенная шкала является равномерной относительно умножения, если смотреть на сами числа, и равномерной относительно сложения, если смотреть на десятичные логарифмы чисел. Шкалы такого вида называются логарифмическими. Зададимся теперь вопросом, как отметить на десятичной логарифмической шкале какое-нибудь число, не являющееся целой степенью десяти, например, 600? Иначе говоря, в какую (нецелую) степень нужно возвести 10, чтобы получить 600? 2. Приближённое вычисление логарифмов делением отрезка пополам. Начнём с того, что 600 = 102+a, где 10a = 6. Далее возводим основание 6 во 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д. степень и сравниваем получившиеся результаты с целочисленными степенями 10:

101 < 62 < 102 103 < 64 < 104 106 < 68 < 107 1012 < 616 < 1013 1024 < 632 < 1025 1049 < 664 < 1050

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

101/2 < 6 < 102/2. 103/4 < 6 < 104/4. 106/8 < 6 < 107/8. 1012/16 < 6 < 1013/16. 1024/32 < 6 < 1025/32. 1049/64 < 6 < 1050/64.

И так далее. 3. Приближённое вычисление логарифмов с помощью алгоритма Евклида ясно из следующего примера.

• Пишем 10a = 600, и находим a: 600 : 10 = 60 > 1, 60 : 10 = 6 > 1, 6 : 10 = 0,6 < 1. Произведено 2 полных деления, поэтому a = 2 + 1/b. • Пишем 101/b = 6 или 6b = 10, и находим b: 10 : 6 = 53 > 1 , 53 : 6 = 185 < 1 . Произведено 1 полное деление, поэтому b = 1 + 1/с. • Пишем 61/ c = 53 или 6 : 53 = 185 > 1 ,

18 5

: 53 =

( 53 ) 54 25

с

= 6 , и находим c:

>1,

54 25

: 53 = 162 125 > 1 ,

162 125

: 53 =

486 625

< 1.

Произведено 3 полных деления, поэтому c = 3 + 1/d.

48


• Пишем 5 3

: 162 125 =

( 53 )

1/ d

625 486

= 162 125 или

> 1,

625 486

( 162 125 )

: 162 125 =

78125 78732

d

= 53 , и находим d:

1; как перемножаются числа, не лежащие в интервале [1, 10]; как с помощью таблицы логарифмов осуществляется деление, возведение в степень и извлечение корня. 7. Логарифмическая линейка представляет собой «умную машину» для быстрых приближённых вычислений. В инженерных расчётах логарифмическая линейка использовалась вплоть до семидесятых годов XX века, когда ей на смену пришёл электронный калькулятор.

1

2 lg 3

3

4

5 6 7 8 9 10

lg 10 =1 Рис. 26

Деления на логарифмической линейке расставлены неравномерно: по мере приближения к правому краю они идут всё чаще и чаще. Дело в том, что на шкале линейки откладываются логарифмы чисел, а у соответствующих отметок записываются сами числа (рис. 26). Вся длина линейки принимается за единицу; у левого края стоит число 1, логарифм которого по любому основанию равен 0, а у правого края стоит число 10, десятичный логарифм которого равен 1. Для того, чтобы механизировать процесс умножения и деления, используется подвижная часть линейки — «движок», на котором нанесена копия только что рассмотренной шкалы. Умножение чисел с помощью логарифмической линейки показано на рис. 27. Чтобы умножить 3 на 2, мы отодвигаем движок


51

настолько, чтобы его левый край оказался против отметки 3 на неподвижной шкале. На шкале движка мы отыскиваем отметку 2. Против этой отметки на нижней мы находим число 6, то есть произведение двух данных чисел. Это объясняется тем, что перемещением движка мы произвели сложение двух отрезков — логарифмов данных чисел. Но сумма логарифмов есть логарифм произведения (см. задачу 2 к этому параграфу). lg 2 1

1

2 3 lg

3

2

4

3

4

5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10

lg 6 Рис. 27 Çàäàíèÿ 1. Îñè x è y èìåþò ëîãàðèôìè÷åñêóþ ðàçìåòêó. Íà ýòîé øêàëå ïîñòðîéòå ãðàôèêè ñëåäóþùèõ ôóíêöèé: (a) y = x, y = x2, y = x5; (á) y = 1/x, y = 1/x5; (â) y =

x ; (ã) y = 100x, y = 0,1/x2.

2. Âûâåäèòå ôîðìóëû äëÿ ëîãàðèôìà ïðîèçâåäåíèÿ è ñòåïåíè loga(bc) = logab + logac, loga(bn) = n · logab. 3. Âûâåäèòå ôîðìóëó ïåðåõîäà îò îäíîãî îñíîâàíèÿ ëîãàðèôìîâ ê äðóãîìó: logab · logbc = logac.

52


§ 4. ÇÀÌÅ×ÀÒÅËÜÍÛÉ ÏÐÅÄÅË (1 + 1/n)n. 1. Задача о полоскании белья. После стирки хозяйка набирает полную ванну воды, чтобы прополоскать бельё. Но не лучше ли делить чистую воду на части? Пусть выстиранное бельё содержит 1 л мыльной воды, и пусть для его полоскания отведено 10 л чистой воды. Как лучше всего разделить эту воду на части, чтобы бельё после полоскания стало максимально чистым? (После отжима в белье всегда остаётся ровно 1 литр воды.)

Способ очистки

Коэффициент очистки 1 + 10 = 11 (1 + 5)2 = 36 (1 + 2)5 = 243 (1 + 1)10 = 1024

Таблица 1

Подсчитаем коэффициент очистки, показывающий, во сколько раз уменьшается концентрация мыла в воде, для самых простых случаев, когда вода делится на 2, 5, 10 равных частей (таб. 1). Общая формула вычисления коэффициента очистки в случае деления воды на n равных частей имеет вид n

⎛ 10 ⎞ K n = ⎜1 + ⎟ . n⎠ ⎝

Уже на первых примерах было видно, что при увеличении числа частей довольно сильно увеличивается и степень очистки. Естественно задаться вопросом, к какому результату приведёт дальнейшее увеличение числа частей: будет ли коэффициент очистки


53

возрастать неограниченно, или же его поведение с увеличением n окажется каким-то иным? Удачный ход исследования состоит в составлении таблицы Kn для n вида 10m (таб. 2). Наблюдение за таблицей показывает, что сначала коэффициент очистки растёт весьма резко, но затем его рост замедляется. Характер этого замедления делается ещё более заметным, если выписать разности Dn = Kn – Kn–1.

n

Kn

Dn

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109

11 1024 13780,61... 20959,15... 21916,68... 22015,45... 22025,36... 22026,35... 22026,45... 22026,46...

≈1000 ≈100 ≈10 ≈1 ≈0,1 ≈0,01

Таблица 2

Из таблицы 2 видно, что при больших n имеет место приближённое соотношение Dn ≈ 107–n. Поэтому процесс накопления разностей оказывается схожим с процессом суммирования геометрической прогрессии. Тем самым величина коэффициента очистки с каждой строкой окончательно определяется в очередном десятичном знаке, и Kn никогда не превысит некоторого числа, заключённого между 22026,46 и 22026,47, и не станет сколь угодно большим. И всё же, сам факт очистки более чем в 22 тысячи раз за счёт 10-кратного отношения чистой воды к мыльному раствору следует признать поразительным. Теперь становится понятным, за счёт

54


чего современные стиральные машины обходятся таким малым количеством воды на полоскание! Объём воды 10 л, о котором шла речь в условии задачи, мог быть и иным. И следует поставить вопрос о предельном коэффициенте очистки для любого объёма V, а точнее — для любого отношения α = V/V0 объёмов чистой воды и воды, остающейся в белье после выжимания. Коэффициент очистки как функцию α можно представить в виде α

α

n n/α z 1 ⎞ ⎞ ⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ α ⎞ ⎛⎛ K n (α ) = ⎜ 1 + ⎟ = ⎜ ⎜ 1 + = ⎜ ⎜1 + ⎟ ⎟ , ⎟ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎜⎝ ⎝ n / α ⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎝ z ⎠ ⎟⎠

где введена новая переменная z = n/α. При z → ∞ (читается: «при z, стремящемся к бесконечности») выражение в квадратных скобках будет стремиться к предельному значению, известному как число e = 2,718281828459045..., поэтому Kn(α) → eα. Этот же результат можно получить и из менее формальных соображений. Мы можем считать, что предельная очистка α литрами чистой воды (α ∈ N) достигается за счёт α раз повторенной предельной очистки одним литром чистой воды, то есть

K(α) = K(1)α = eα. 2. Задача Непера. В этой задаче, поставленной и решённой шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617), рассматривается движущееся тело (мы будем называть его «лодкой»), скорость которого постоянно меняется по специальному закону. Пусть в начальный момент времени расстояние от лодки до находящегося позади неё берега равно 1 км, и пусть в этот момент скорость лодки равна 1 км/ч. Далее, закон движения таков, что в любой момент времени скорость лодки численно равна расстоянию от лодки до берега. Это означает, что если расстояние от берега до лодки в некоторый момент станет равным 2 км, то и скорость лодки в этот момент будет равна 2 км/ч, и т. п. Спрашивается: каким


55

будет расстояние от лодки до берега через 1 час после начала движения? Чтобы решить эту задачу, разделим час на n равных интервалов времени длительностью τ = 1/n. Будем считать, что в течение k-ого интервала времени лодка движется с постоянной скоростью vk, равной расстоянию sk–1 в начальный момент этого интервала. Нетрудно понять, что такое вспомогательное кусочно-равномерное движение будет более медленным, нежели неперово движение с непрерывно меняющейся скоростью. По завершении k-ого интервала времени расстояние sk будет равно sk = sk −1 + vk τ = sk −1 + sk −1 ⋅ 1n = sk −1 (1 + 1n ) .

Расстояния s0, s1, s2, ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + 1n ) и первым членом s0 = 1. Тем самым sn = (1 + 1n ) . n

Это выражение уже знакомо нам по предыдущей задаче. При n → ∞ его предельное значение равно числу e = 2,718... . 3. Доказательство существования предела. Надо заметить, что мы до сих пор не дали строгого доказательства существования

предела (1 + 1n ) при n → ∞, удовлетворяясь некоторыми правдоn

подобными наводящими соображениями. Попробуем в рамках задачи Непера продвинуться в направлении строгого доказательства. С этой целью мы вновь рассмотрим геометрическую прогрессию расстояний sk = (1 + 1k ) . k

Пусть теперь на k-ой дистанции лодка движется с постоянной скоростью vk, численно равной не sk–1, но sk. Нетрудно понять, что такое движение будет более быстрым, нежели неперово движение с непрерывно меняющейся скоростью. Время τ' на прохождение этим движением k-ой дистанции равно

56


τ′ =

sk −1 1 n 1 = ⋅ = . sk n n +1 n +1

Поэтому за 1 час лодка удалится от берега на расстояние sn+1 = (1 + 1n )

n +1

.

Получается, что расстояние e, проходимое неперовым движением за 1 час, при любом n удовлетворяет двойному неравенству

(1 + 1n )

n

< e < (1 + 1n )

n +1

.

(2)

Далее следует доказать, что при увеличении n количество

(1 + 1n )

n

, стоящее в (2) слева, будет монотонно возрастать, а коли-

чество (1 + 1n )

n +1

, стоящее справа, будет монотонно убывать. Ввиду

технической сложности мы эти доказательства опустим; интересующиеся читатели могут найти их в любом вузовском учебнике математического анализа. Тем самым построена бесконечная последовательность вложенных отрезков, имеющих по аксиоме Кантора хотя бы одну общую точку. Теперь покажем, что всем этим отрезкам принадлежит только одна точка. В самом деле, если устремить n → ∞, то количества, стоящие в (2) слева и справа, будут неограниченно сближаться: ведь отношение правого числа к левому равно (1 + 1n ) , а это количество при n → ∞ стремится к 1. Определённая таким образом точка числовой прямой и есть интересующее нас число e, иногда называемое «неперовым числом» или основанием натуральных логарифмов. 4. Задача, обратная к задаче о банковской ставке. Спрашивается, какую максимальную прибыль можно было бы получить, если бы годовая ставка была бы равна 100%, и банкир по ошибке ввёл равномерную схему роста начислений? Если вкладчик будет через каждую n-ую часть года снимать все деньги с набежавшими процентами со счёта и тут же снова класть эту сумму в банк, то его


57

вклад к концу года увеличится в раз. Тем самым в пределе при n → ∞ в конце года каждая вложенная единица увеличится в e = 2,718... раз, и дополнительная прибыль составит несколько более 71,8%. 5. Задача о реактивном движении. Спрашивается, какую скорость v приобретёт ракета, израсходовав все запасы топлива, если скорость истечения газов из сопла u, начальная и конечная массы ракеты равны m0 и m1 соответственно? Несложно понять, что при непрерывном истечении продуктов сгорания искомая скорость ракеты зависит только от отношения её начальной и конечной масс β = m0/m1. Разобьём топливо на малые порции таким образом, чтобы в каждом такте сгорания отношение текущих начальной и конечной масс ракеты было равно одной и той же величине 1 + ε, где ε

Избранные главы школьной математики

Recommend Documents