Физика. Квантовая физика: Методические указания и контрольные задания

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА ФИЗИКИ Учебная работа студента-заочника по изучению курса физики складывается из следующих основных элементов: самостоятельное изучение физики по учебным пособиям, развитие навыков в решении задач, выполнение контрольных и лабораторных работ, сдача зачетов и экзаменов. Рекомендации к самостоятельной работе по учебным пособиям 1. Систематически изучать курс физики в течение всего учебного времени. 2. Выбрать какое-либо учебное пособие за основное и придерживаться его хотя бы при изучении одного раздела. Если это пособие не дает студенту полной ясности в изучаемом вопросе, то необходимо обратиться к другим учебникам. 3. При чтении учебника необходимо вести конспект, в котором должны отражаться основные законы и формулы, описывающие физические процессы, определение физических величин, их размерность. После изучения соответствующего раздела для проверки усвоения материала надо решить типовые задачи. При решении задач желательно использовать Международную систему единиц (СИ ). 4. При самостоятельном изучении физики необходим самоконтроль. Для этого в конце каждого раздела учебника необходимо ответить на поставленные вопросы, можно использовать для этого и рабочую программу по физике. 5. Прослушать курс лекций, организуемый для студентов-заочников. Использовать очные консультации ведущих преподавателей или задавать им вопросы в письменной форме. Требования к решению задач 1. Привести формулировку основных законов, используемых в решении задач, объяснить буквенные обозначения соответствующих формул. Если при решении задачи используется частная формула какого-либо закона, то ее необходимо вывести. 2. Если в процессе решения задачи возникла необходимость в поясняющем чертеже ( когда это возможно ), то его необходимо выполнить аккуратно, в соответствии с приведенным решением. 3. Решение задачи должно сопровождаться краткими, но исчерпывающими пояснениями. 4. Решение задачи выполняется в общем виде, т.е. должна быть получена конечная формула, где искомая величина выражается через величины, приведенные в условии задачи и фундаментальное константы. 5. Следует произвести проверку размерности рабочей формулы, полученной в задачи.

6. Для нахождения численного значения искомой величины необходимо подставить в рабочую формулу числовые данные из условия задачи, выраженные в системе единиц СИ. 7. Производить расчеты следует с использованием правил приближенных вычислений. Необходимо записать в ответе задачи числовое значение и сокращенное наименование единицы искомой физической величины. 8. При подстановки в рабочую формулу числовых значений, а также при записи ответа числовые значения величин необходимо записать как произведение десятичной дроби с одной значащий цифрой перед запятой несоответствующую степень десяти. Например, вместо 1850 надо записать 1.85*10³ , вместо 0.085 записать 8.5*10-2 и т.д. 9. Оценить, где возможна правдоподобность численного результата. В ряде случаев это поможет найти ошибку в задаче. Например, скорость частицы не может быть больше скорости света в вакууме, заряд атома не может быть меньше заряда протона и т.п. Умение решать задачи приобретается длительными и систематическими упражнениями. Чтобы научиться решать задачи и подготовиться к выполнению контрольной работы, необходимо после изучения очередной главы учебника разобрать помещенные в данном пособии примеры решения типовых задач, а также решить ряд задач из других источников по физике. После этого необходимо приступить к выполнению контрольной работы. Оформление контрольных работ студентами-заочниками производится по общепринятым для института правилам.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Основы квантовой механики. Физика атома. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Физика твердого тела. 1.Корпускулярно-волновой дуализм Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов. Волновые свойства микрочастиц. Соотношение неопределенностей. Границы применимости классической механики. 2. Квантовые состояния Задание состояния микрочастиц: волновая функция и ее статистический смысл. Суперпозиция состояний в квантовой механике. Амплитуда вероятностей. Вероятность в квантовой теории. 3. Уравнение Шредингера Временное уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера. Стационарные состояния. Частица в одномерной потенциальной яме. Энергетический спектр частицы в одномерной потенциальной яме. 4. Физика атома Модель атома по Бору. Постулаты Бора. Энергетические уровни в атоме. Спектры излучения атомов и их количественное описание. Формула Бальмера.

Теория водородоподобного атома. Квантовые числа. Структура электронных уровней в сложных атомах. Принцип Паули. Типы связей электронов в атомах. Периодическая система элементов Д.И. Менделеева. 5.Атомное ядро Строение атомных ядер. Феноменологические модели ядра. Механизмы ядерных реакций. Понятие о ядерных силах. Масса и энергия связи в ядре. 6. Радиоактивность. Ядерные реакции Сущность явления радиоактивности. Закон радиоактивного распада. Период полураспада. Типы радиоактивного распада. Основные характеристики αраспада, β-распада. Понятие о ядерных реакциях. Законы сохранения в ядерных реакциях. Реакции деления, синтеза. 7.Современная физическая картина мира Вещество и поле. Атомно-молекулярное строение вещества. Атомное ядро. Элементарные частицы: лептоны, адроны. Кварки. Сильное, электромагнитное, слабое, гравитационное взаимодействия. Иерархия взаимодействий. Физическая картина мира как философская категория. 8.Элементы физики твердого тела Строение вещества. Кристаллическая решетка. Виды межатомных связей в кристаллических телах. Квантовая теория теплоемкости Дебая. Электронный газ. Энергетические зоны в кристаллической решетки. Вырождение электронного газа. Понятие о квантовой статике Ферми-Дирака и БозаЭйнштейна. Функция Ферми. Энергия Ферми. Заполнение энергетических зон в металлах, диэлектриках и полупроводниках. Понятие о собственной, электронной и дырочной проводимости.

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ 1. Корпускулярно-волновой дуализм Известно, что при наложении когерентных волн они интерферируют, т.е. в зависимости от разности фаз падающих волн происходит их ослабление или усиление. Оказывается, подобные явления наблюдается и для потоков частиц, в частности, на опыте наблюдалась дифракция электронов. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что это явление справедливо для любых материальных объектов. Так, свободному движению частицы массы m со скоростью v соответствует плоская монохроматическая волна длинной λ:

λ=

2 ⋅π ⋅ h 2 ⋅π ⋅ h = , p m⋅v

где p = m · v – импульс частицы. Таким образом, квантовая механика устранила грань между волной и частицей, выдвинув основным положением принцип корпускулярно-волнового дуализма, т.е. двойной природы микрообъектов. Другим фундаментальным положением квантовой теории, согласующимся с гипотезой де Бройля, являются соотношения неопределенностей Гейзенберга: эти соотношения имеют не только глубокий физический, но и философский смысл. Постоянная Планка ħ самая маленькая физическая величена, которая существует в природе. Поэтому невозможны никакие физические измерения с точностью меньше ħ. Они утверждают, что любая физическая система не может находиться в состояниях, когда координаты ее центра масс и импульс принимают одновременно точные значения: а) для координаты и импульса соотношение неопределенностей имеет вид Δр х ⋅ Δх ≥ h , где Δрх неопределенность проекции импульса на ось х, а Δх неопределенность координаты; б) для энергии и времени: ΔE ⋅ Δt ≥ h , где ΔE -неопределенность энергии системы, Δt -время жизни квантовой системы в данном состоянии. Импульс частицы, движущейся со скоростью, близкой к скорости света (релятивистский случай), есть: m0 ⋅ v p = m⋅v = , v2 1− 2 c где m0 - масса покоя частицы; m – релятивистская масса; v – скорость частицы, а с – скорость света в вакууме. Если v En), происходит излучение, а при обратном переходе поглощение фотона с частотой: 2π (E m − E n ) 1 ⎞ ⎛ 1 ν= = cR⎜ 2 − 2 ⎟ , h n ⎠ ⎝m где R – постоянная Ридберга, а с – скорость света. Спектр излучения и поглощения атома водорода разбивается на спектральные серии, которые определяются числами m и n . Для описания состояния электронов в сложных атомах одного главного квантового числа n недостаточно. Из решения уравнения Шредингера для водородоподобных атомов возникают другие : 1. Орбитальное квантовое число l, которое принимает ряд значений от 1 до n-1. 2. Магнитное орбитальное квантовое число ml , принимающие следующие значения:

ml = −l , − l + 1,...l − 1,0,1...l − 1, l .

Всего m = (2l + 1) значений. 3. Магнитное спиновое квантовое число выражается через спин электрона, измененный в единицах ħ

mS = ± 1 2 и определяется проекцией спина на заданное направление. На распределение электронов в атоме влияет принцип Паули: в одном и том же атоме ( квантовой системе ) не может быть двух электронов, обладающих одной совокупностью четырех квантовых чисел: n , l , ml , mS . 5. Атомное ядро Атомное ядро – центральная часть атома, состоящая из протонов и нейтронов. Протона и нейтрона, называемые нуклонами, связана ядерными силами, которые по величины превышают кулоновские силы отталкивания, ядерные силы являются короткодействующими. Радиус действия этих сил порядка размеров ядра. Число протонов в ядре z определяет номер элемента в периодической системе элементов. Другой характеристикой ядра является массовое число A = z + N , где N – число нейтронов в ядре (относительная атомная масса также приведена в периодической системе). Основными характеристиками атомного ядра являются масса, электрический заряд, сила, магнитный момент и т.д. В теории ядра используется модельный подход. Основными моделями ядра являются: оболочечная модель, гидродинамическая модель, несферическая модель и обобщенная модель. 6.Радиоктивность.Ядерные реакции.

Все атомы в основном состоянии являются стабильными(устойчивыми) или нестабильными. Нестабильные атомы ядра через некоторое время спонтанно (самопроизвольно) распадаются, испуская элементарные частицы, α - частицы или ядра других элементов. Это свойство атомных ядер называется радиоактивностью. Процесс распада ядер подчиняется закону радиоактивного распада: dN = −2 N (dt ) или N = N 0 ⋅ e − λt , где dN –число ядер, распавшихся за время dt; N – число ядер нераспавшихся к моменту времени t; N0 – число ядер в начальный момент времени (t = 0 ) ; λ постоянная радиоактивного распада. Число ядер, распавшихся за время t, определяется формулой ΔN = N 0 − N = N 0 ⋅ (1 − e − λt ). Время, в течение которого распадается половина всех атомов, называется периодом полураспада T1 2 , а зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивной распада λ, есть T1 2 = ln 2 λ = 0.693 λ . Интервал времени, за который число не распавшихся ядер уменьшается в e раз, называется средним жизни радиоактивного ядра τ 1 τ= .

λ

Число атомов N , содержащихся в радиоактивном изотопе, есть N N =m⋅ A , M где m – масса изотопа; M – молярная масса; NA – число Авогадро. Активностью А радиоактивного изотопа называется величина

A= −

dN −λt = λ ⋅ N или A = λN0 e . dt

Распад ядра с испусканием электрона e – или позитрона e + называется βраспада A Z

X→

A Z +1

−

y + e +ϑ , −

где ϑ - антинейтрино. β - распад происходит за счет распада одного нейтрона ядра в силу слабого взаимодействия. Распад ядра с испусканием ядер атома гелия называется α - распадом A Z

X → ZA−−24 y + 24He .

При α - распаде выделяется некоторое количество энергии Q. Все ядра с А>190 неустойчиво относительно α - распада. Возможно также спонтанный распад ядра на две (реже три-четыре) соразмерные части, что дает реакцию деления ядра. Процесс, обратный к реакции делении, есть реакция синтеза тяжелых ядер из легких. Энергия связанной системы частиц, равная работе, которую надо затратить, чтобы разделить ее на совокупность не взаимодействующих частиц, называется энергией связи. Масса связанной системы частиц всегда меньше суммы масс исходных частиц.

ΔE CB = Δmc 2 , где ∆m есть дефект массы. Дефект массы ядра определяется формулой

Δm = Zm p + ( A − z ) ⋅ mn − m Я ,

где (A – z) – число нейтронов в ядре , mp – масса протона, mn – масса нейтрона, mЯ – масса ядра. Во в несистемных единицах энергия связи ядра равна

ΔECB = 931,4 ⋅ Δm МэВ, где дефект массы ∆m задается в атомных единицах массы. 7. Современная физическая картина мира Существование элементарных частиц как предельных структурных единиц материи связано с экстраполяцией известных на данный момент времени фактов . В практическом плане идея фундаментальных частиц играет наиболее конструктивную роль в изучении микроструктуры материи , являясь развитием в физике идей Демокрита о неделимости частиц материи . В настоящее время фундаментальными частицами принято называть кварки и лептоны , которые входят в состав андронов , атомов , молекул и т . д . Для характеристики элементарных частиц ( на основе эксперимента ) вводится набор квантовых чисел , которые в силу законов сохранения остаются в процессах взаимодействия частиц постоянными . Все процессы между частицами осуществляются с помощью четырех типов взаимодействия . При энергиях ∼1019 ГэВ все четыре взаимодействия объединяются в одно , но такие энергии возможно были только на раннем этапе в рождении Вселенной , время жизни которой составляло ∼10-35 с . Время жизни Вселенной на настоящее время составляет ∼1018 с . Так , физика микромира может объединяться в своем развитии с космологией .

8 . Элементы физики твердого тела Если прямоугольный проводник , по которому течет ток , поместить в магнитное поле , то на его гранях образуется холовская разница потенциалов UH = RH Bja ,

Где RH - постоянная Холла ; В - магнитная индукция ; jплотность тока ; а - ширина образца . Постоянная Холла RH для полупроводников типа алмаз , германий , кремний и других , обладающих носителями тока одного типа (n и p ) , есть RH = 3λ / 8en' ,

где n' - концентрация носителей тока . Твердым телом называются вещества , обладающие кристаллической структурой. Элементарная ячейка кристалла представляет наиболее простую пространственную структуру , повторением которой строится весь кристалл .Тогда число элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла, есть

Zm = Um / Uэл

где Um = μ / ρ - молярный объем кристалла ; μ - молярная масса ; ρ - плотность кристалла . Если кристалл состоит из одинаковых атомов , то Zm =

Na , n

где n- число одинаковых атомов , приходящихся на элементарную ячейку . Число элементарных ячеек в единице объема есть Z=

Zm , Um

Если кристалл состоит из одинаковых атомов , то

Z=

ρ Na . nμ

Параметр кубической решётки , состоящей из одинаковых атомов , есть a= 3

nμ . ρ Na

Тогда расстояние между соседними атомами d в кубической решётке выражаются следующим образом : 1. Если решётка гранецентрированная , то d = a / 2 ; 2. Если решётка объемно - центрированная , то d = a 3 / 2 . Средняя энергия квантового одномерного осциллятора , совершающего колебания , равна : < E > = E0 +

hω hω = E + , 0 e θ / T −1 e hω / k T − 1

где E0 = 0,5 h ω - энергия нулевых колебаний решётки ; ω циклическая частота колебаний осциллятора ; k - постоянная Больцмана ; T - термодинамическая температура ; θ = h ω / k характеристическая температура Дебая . Максимальное значение энергии , принимаемое электронами в кристалле при Т = 0 К, определяется уровнем Ферми , энергия которого есть Еf = (

h2

/ 2me ) ( 3λ2 n )2/3 ,

где n - концентрация свободных электронов , а me масса электрона . Пример решения задач

Пример 1. Электрон , начальной скоростью которого можно пренебречь , прошёл ускоряющую разность потенциалов U . Найти длину волны де Бройля λ электрона , для двух случаев : 1. U1 = 51 В, 2. U2 = 510 кВ .

Решение : длина волны де Бройля для частоты определяется , как λ = h / p . Импульс частоты p определим из кинетической энергии Т .Величина нерелятивистского импульса выражается через энергию следующим образом

2m0 T

p=

(1)

,

где m0 - масса покоя частицы . Для релятивистского случая импульс частицы определяется формулой p=

1

(2E0 + T )T ,

c

(2)

где E0 = m0c2 - энергия покоя частицы . Тогда длина волны λ в нерелятивистском случае , с учетом (1) , имеет вид λ=

h

2m0 T

,

соответственно для релятивистского импульса с учетом (2) длина волны будет λ=

hc

( 2E 0 + T )T

.

Если энергию покоя электрона Е0 = m0c2 = 0,51MэВ сравнить с кинетической энергией , приобретенной им при прохождении ускоряющей разности потенциалов , Т = еU, то в первом случае имеем значение T1 = eU1 = 51 эВ = 0,51*10-4 МэВ = 10-4m0c2 ,

которое значительно меньше энергии покоя . Значит , для оценки длины волны можно использовать формулу (1) : λ=

h

2m0 T

=

h −4

2m010 m0 c

2

=102*h /

2 m0 c .

Учитывая , что h / m0c - есть комптоновская длина волны Λ , имеем

λ1 = (102 /

2 )Λ .

Так как Λ= 2,43 * 10-12 м , то получим λ1 = 102 * 2,43 * 10-12 / 2 = 172 пм .

Во втором случае кинетическая энергия есть T2 = e U2 = 0,51 MэВ = m0c2 , что по величине сравнимо с энергией покоя электрона E0 .Следовательно, необходимо применить релятивистское соотношение (2) . Тогда найдем λ2 =

hc (2m c2 + m c2 )m c2 0 0 0

=

h

m0 c 3

или λ2 = Λ / 3 = 1,4 пм .

Пример 2.Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину около 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей определить минимальные размеры атома . Решение Соотношение неопределенностей для координаты и импульса частицы имеет вид Δx Δp ≥ h , (1) где Δx - неопределенность в координате электрона , Δp неопределенность его импульса , а h = h / 2π . Из этого соотношения следует , что чем точнее определяется положение частицы в пространстве , тем неопределеннее становится ее импульс ,а следовательно ,и ее энергия. Если имеет линейные размеры l , то электрон атома будет находится где-то в области пространства с неопределенностью Δx = l / 2 ,

а соотношение неопределенностей (1) перепишется для этого случая как l Δp ≥ h , 2

откуда

l≥

2h . Δp

Физически разумная неопределенность импульса Δp не должна превышать значение самого импульса p Δp ≤ p , а импульс p можно связать с кинетической энергией Т соотношением p = 2m T . Тогда , заменяя Δp значением p ( такая 0

замена не увеличит l ) , получим l≥ 10

2h

2m0 T

2 * 6,62 * 10− 34 = = 1,24*106,28 2 * 9 ,1 * 10− 31 * 1,6 * 10− 19 * 10

м = 124 пм

Пример 3. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l . Вычислить вероятность того , что электрон , находящийся в возбужденном состоянии (n=2), будет обнаружен в средней трети ящика . Решение: вероятность обнаружить частицу в интервале x1 < x < x2 можно найти из:

ω=

x2 ∫ | ψ n ( x )|2 dx x1

, (1)

где ψn (x) - волновая функция , описывающая состояние электрона , которая в потенциальном ящике имеет вид ψn (x) =

πn 2 sin x. l l

(2)

Возбужденному состоянию с n = 2 отвечает волновая функция

ψ2 (x) =

π2 2 sin x. l l

(3) ,

тогда , подставляя (3) в (1) , получим явное выражение для вероятности ω :

x2 2π ω = ∫ sin2 xdx . (4) l x1 2 l

Согласно условию задачи x1 = l / 3 , а x2 = 2l / 3 запишем предел интегрирования . Подставляя их в формулу (4) и произведя замену

1 4π Sin2 2π x = (1 − cos x) , l

2

l

в результате интегрирования получим окончательно :

ω=

2 l 3 2 l

2 ∫ sin

l 3

2π 1 1 8π 4π xdx = − (sin − sin ) = 0,195 ; l 3 4π 3 3

Пример 4 . Определить среднюю потенциальную энергию частицы в одномерном гармоническом осцилляторе , если волновая функция частицы имеет вид :

ψ ( x) = где x0 =

h mω

2 (π ) 0,5 x 3 0

xe

−

1 x 2 ( ) 2 x0

,

, а ω - частота колебаний гармонического

осциллятора . Решение : среднее значение потенциальной энергии частицы < U > в одномерном гармоническом осцилляторе с волновой функцией ψ определяется следующим образом : ∞ = ∫ U ( x )|ψ ( x )| 2 dx . −∞

(1)

Потенциальная энергия частицы U(x) в одномерном гармоническом осцилляторе имеет вид mω 2 x 2 U(x) = 2

. (2)

Подставляя (2) в (1) и производя интегрирование по частям , получим :

∞

= ∫

−∞

.

mω 2x2 ( 2

2 0,5

π x0

x 2 ) x )x2e 0 dx = 3 −(

x 2 0 2 0,5 3mω 2 3 ( ) = hω π x 0 4 0,5 3 2 π x0

Пример5. Вычислить дефект массы ∆m и энергию связи ∆Есв ядра В. Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных протонов и нейтронов, из которых оно образовано. Это различие (так называемый “дефект масс” ∆m) определяется формулой ∆m=Zmp+(A-Z)mn-mя , где Е- атомный номер элемента (число протонов в ядре); mp,mn,mя- соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

Ввиду малости энергии связи электронов в атоме (по сравнению с энергией связи нуклонов ), значит, и малости соответствующих дефектов масс, можно считать, что m я = m a − Zm e , m p + m e = m 11 H , где та – масса нейтрального атома, а me , m 11 H - соответственно массы электрона и атома водорода. Тогда

Δm = zm p + ( A − z )m n − m я = zm p + ( A − z )m n − m a + zm e = = z (m p − me ) + ( A − z )m n − m a = zm 1 H + ( A − z )m n − m a .

(1)

1

Для ядра бора 115 B значение z и A есть z = 5, A = 11. Значение m 11 H , mn и ma можно взять из таблиц. m 1 H = 1,00783 а.е.м.; m n = 1,00867 а.е.м.; ma = 11,00930 а.е.м.; 1 Тогда из (1) можно вычислить величину дефекта массы в атомных единицах массы: Δm = [5 ⋅1,00783 + (11 − 5)1,00867 − 11,00930]а.е.м = 0,08187а.е. м Δт = 0,08187 а.е. м. (2) Энергией связи ядра называется энергия, которая затрачивается при образовании ядра из свободных нуклонов. В соответствии с законом о пропорциональности массы и энергии ΔE CB = Δm ⋅ c 2 оценим энергию связи. Если энергия задается в мегаэлектрон – вольтах (Мэв), а масса в атомных единицах массы ( а.е.м.), то используя Мэв c 2 = 931,4 , а.е. м. получим с учетом (2): ΔE CB = Δm ⋅ c 2 = 0,08187 ⋅ 931,4 = 76,3 МэВ. Пример 6. Какую наименьшую энергию нужно затратить, чтобы оторвать один протон от ядра атома углерода 126 C ? Ответ дать в мегаэлектрон – вольтах. Решение. После отрыва протона от ядра число протонов z и число нуклонов А уменьшаются на единицу. В итоге получается ядро изотопа бора 115 B . Таким образом, ядро 126 C можно рассматривать как устойчивую систему, образовавшуюся в результате захвата свободного протона ядром 115 B . Минимальная энергия протона Е от ядра 126 C равна энергии связи его с ядром 11 5

B . Выразим энергию связи протона через дефект массы:

[

] [(

)

(

)]

E = ΔE = c 2 Δm = c 2 m 11 H + m p − m 12 C = c 2 m 11 B − 11me + m p − m 12 C − 12me = 5

6

5

6

[

] [

]

= c 2 m 11 B + (m p + me ) − m 12 C = c 2 m 11 B + m 1 H − m 12 C . 5 6 5 1 6

Значение масс нейтральных атомов можно взять из таблиц приложения, тогда E = 931,4[11,00930 + 1,00783 − 12,0000]МэВ = 15,95МэВ ≅ 16МэВ . Пример 7. Определить энергию фотона Е, соответствующую второй линии в первой инфракрасной ( серия Пашена ) атома водорода . Ответ дать в электрон – вольтах. Решение. Энергия фотона Е, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую, вычисляется по формуле ⎛ 1 1 ⎞ E = E i ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ , ⎝ n1 n 2 ⎠

где Ei = 13,6 эВ – энергия ионизации атома водорода; n1= 1,2,3,…- номер орбиты, на которую переходит электрон; n 2 = n1 + 1, n1 + 2,..., n1 + m - номер орбиты, с которой переходит электрон; т – номер спектральной линии в данной спектральной серии. Для серии Пашена n1 = 3, для второй линии этой серии т = 2, тогда n 2 = n1 + m = 3 + 2 = 5 . Подставляя численные значения в (1), найдем энергию излученного фотона ⎛1 1 ⎞ E = 13,6⎜ − ⎟ эВ = 0,97 эВ . ⎝ 9 25 ⎠

Пример 8. Определить начальную активность А0 радиоактивного магния Mg массой т = 0,2·10-6 кг, а также его активность А за время t = 1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны. Решение. Начальную активность изотопа можно определить A0 = λN 0 , где λ- постоянная радиоактивного распада ,N0 – количество атомов изотопа в начальный момент времени (t = 0 ). Если использовать связь постоянной распада λ с периодом полураспада Т1/2 и зависимость N0 от числа Авогадро NA 27 12

λ=

m ln 2 , N0 = N A , T1 2 μ

то, подставляя их в (1) , получим: A0 =

mN A ln 2 , μT1 2

где μ- атомная масса. Подставляя сюда числовые значения, получим A0 = 5,15 ⋅1012 Бк = 5,15ТБк . Активность изотопа уменьшается со временем по закону

A = A0 e −λt == A0 e

− t ln 2 / T1

2

( )

= A0 e ln 2

− t / T1/ 2

= A0 2 t

T1 / 2

.

Подставляя сюда данные из условия задачи, получим активность изотопа в Беккерелях: A = 8,05 ⋅1010 Бк = 80,5 ГБк . , имеющего активность Пример 9. Определить массу m изотопа 131 53 I А = 37 ГБк, если период полураспада изотопа Т1/2 = 8 суток. Решение. Активность изотопа определяется как dN A=− . (1) dt − λt

Если закон радиоактивного распада N = N 0 e продифференцировать во времени, то получим dN A=− = λN 0 e − λt . dt Отсюда начальная активность изотопа будет определятся при t = 0 A0 = λN 0 . (2) Используя определение λ и N0 λ=

ln 2 m и N0 = N A T1 / 2 μ

и подставляя их в (2), получим: A0 =

m ln 2 NA. μ T1 / 2

Отсюда найдем массу изотопа A0 μT1 / 2 37 ⋅10 9 ⋅131⋅10 −3 ⋅ 6,912 ⋅10 5 m=

ln 2 ⋅ N A

=

0,693 ⋅ 6,02 ⋅10

23

= 8,0 ⋅10 −9 кг .

Пример 10. Удельная проводимость примесного полупроводника, имеющего решетку типа алмаз, равна j = 110 см/м. Считая, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью. Определить: 1) концентрацию np дырок, 2) подвижность bp дырок. Постоянную Холла принять равной RH = 3,8·10-4 м3/Кл. Решение. 1.Концентрация дырок np связана с постоянной Холла для полупроводник с решеткой типа алмаз, обладающих носителями только знака соотношением 3π RH = , 8en p

где e – элементарный заряд. Отсюда 3π np =

8eR H

=

3 ⋅ 3,14 = 1,9 ⋅10 22 м-3 −19 −4 8 ⋅1,6 ⋅10 ⋅ 3,8 ⋅10

Удельная проводимость полупроводников задается формулой

γ = e(n n bn + n p b p ),

(2) где nn и np – концентрации электронов и дырок, а bn и bp соответственно их подвижности. При отсутствии электронной проводимости n n bn = 0 имеем γ = en p b p . Концентрацию дырок можно определить из формулы (1). Подставляя ее в формулу (2), получим: 2 8γR H 8 ⋅110 ⋅ 3,8 ⋅10 −4 м 2 γ −2 м bp = = = = 3,6 ⋅10 . en p 3π 3 ⋅ 3,14 B ⋅c В ⋅с Пример 11. Определить параметр а решетки и плотность кристалла ρ кальция. Если расстояние d между ближайшими соседними атомами равно 0.393 нм. Решетка кубическая гранецентрированная. Решение. Параметр решетки а и расстояние d между ближайшими соседними атомами связаны геометрическим соотношением ( рисунок ): a=d 2. Подставляя сюда численное значение d ,

a = 0,393 ⋅ 2нм = 0,556нм = 5,56 ⋅10 −10 м . Плотность кристалла ρ связана с массой μ и молярным объемом Um следующим образом: μ ρ= . (1) Um Молярный объем Um найдем как произведение объема а3 одной элементарной ячейки на число элементарных ячеек zm, содержащихся в одном моле кристалла U m = zma3 . Число элементарных ячеек для кристалла, состоящего из одинаковых атомов, найдем. Разделив число Авогадро NA на число атомов n, приходящихся на одну элементарную ячейку, тогда U m = a3

NA . n

(2)

Подставляя (2) в (1), получим: ρ=

n⋅μ . a3 N A

Принимая для случая кубической гранецентрированной решетки а = 4 и используя исходные данные задачи, имеем: ρ=

4 ⋅ 40 ⋅10 −3

(

6,02 ⋅10 23 ⋅ 5,56 ⋅10 −10

)

3

кг 3 кг = 1 , 55 ⋅ 10 . м3 м3

Пример 12. Вычислить максимальную энергию Ef ( энергия Ферми ), которую имеют свободные электроны в металле ( медь ), при абсолютно нуле температур. Принять, что каждый атом меди приходится по одному электрону. Решение. Значение энергии Ферми Ef связано с концентрацией свободных электронов n при Т = 0 соотношением 2 3 h2 ( Ef = 3π 2 n ) , (1) 2m e где mе – масса электрона. Концепция свободных электронов, как видно из условия задачи, равна концентрации атомов и может быть найдена N n=ρ A , (2)

μ

где ρ - плотность меди, μ - атомная масса. Подставляя (2) в(1), получим: 2 3

(

)

2

⎛ 2 NA ⎞ 1,05 ⋅ 10 −34 ⎜⎜ 3π ρ ⎟ = μ ⎟⎠ 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 ⎝ =1,18 ⋅10-18 Дж = 7,4 эВ.

h Ef = 2 me

23 ⎡ 2 3 6,02 ⋅ 10 ⎤ ⎢3 ⋅ (3,14) ⋅ 8,9 ⋅ 10 ⋅ ⎥ 64 ⋅ 10 −3 ⎦ ⎣

2 3

=

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6. Студент – заочник должен решить восемь задач, номера которых определяется по таблице. Номер варианта определяется последней цифрой шифра студента.

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Номер задач 605 602 610 603 607 604 601 606 609 608

611 615 614 618 619 616 613 618 612 617

627 622 629 626 628 620 624 623 625 621

632 637 635 638 631 633 630 636 634 639

649 644 647 648 643 641 646 645 642 640

655 651 658 650 657 652 654 656 659 653

664 667 661 665 669 666 662 668 663 660

676 675 672 674 671 677 678 672 670 673

601. Вычислить длину волны де Бройля протона, движущегося со скоростью v = 0.5 с (с- скорость света в вакууме). 602. Определить длину волны де Бройля для частицы с массой m =2г, движущейся со скоростью 15м/с. 603. Вычислить длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией Т=13.6 эВ (энергия ионизации атома водорода).Сравнить полученные значения длины волны λ с диаметром атома водорода d (найти отношение λ/d). Диаметр атома водорода d принять равным удвоенному значению боровского радиуса. 604. Вычислить длину волны де Бройля для тепловых (Т=300К) нейтронов. 605. Определить длину волны де Бройля α-частицы и протона, прошедших одну ускоряющую разность потенциалов U=1 кВ. 606. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы иметь волну де Бройля: а)λ=1нм, б)λ=1пм ? 607. Электрон обладает кинетической энергией Т=2.04МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля электрона, если кинетическая энергия его уменьшится вдвое ? 608. Кинетическая энергия электрона Т равна удвоенному значению его энергии покоя ( 2mec2). Вычислить длину волны де Бройля λ для такого электрона. 609. α- частица движется по окружности радиусом 0.8 см в однородном магнитном поле, напряженность которого равна 6⋅103 А/м. Найти длину волны де Бройля для этой частицы. 610. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 200В, имеет длину волны де Бройля, равную λ=0.02 Å. Найти массу этой частицы, если ее заряд равен заряду электрона. 611. Из соотношений неопределенностей найти минимальную кинетическую энергию Tmin электрона, движущегося внутри сферической области диаметром d =0.5 нм.

612. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину l одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электронов Emin=10 эВ. 613. α- частица находится в одномерном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину ящика l ,если известна минимальная энергия α- частицы Emin=8 МэВ. 614. Частица массой m движется в одномерном потенциальном поле 2 V=kx /2 (гармонический осциллятор). С помощью соотношения неопределенностей оценить минимально возможную энергию частицы в таком поле. 615. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода. 616. Во сколько раз длина волны де Бройля λ для частицы меньше неопределенности ее координаты ∆x, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%? 617. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра равны 5 фм. 618. Электрон с кинетической энергией Т=15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d= 1мкм. Оценить относительную неточность ∆v, с которой можно определить скорость электрона. 619. Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядре Е = 10 МэВ, оценить из соотношения неопределенностей линейные размеры ядра. 620. Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной l:ψ(x)=C1 sinkx+C2coskx. Используя граничные условия ψ(0)=0 и ψ(l)=0..определить коэффициент C2 и возможные значения волнового вектора k, при котором существуют нетривиальные решения. 621. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить, в каких точках интервала (0<x