Линейная алгебра и геометрия

А.И.Кострикин, Ю.И.Манин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Книга посвящена изложению фундаментальных понятий и аппарата линейной алгебры и родственных ей разделов геометрии. От имеющихся курсов линейной алгебры книга отличается большим вниманием к приложениям и связям с другими областями математики: включено обсуждение основных принципов квантовой механики, описана геометрия пространства Минковского, дано введение в линейное программирование. Книга содержит современный математический материал, не излагавшийся в традиционных руководствах: язык категорий и категорные свойства линейных пространств, кэлерова метрика, введение в теорию многочленов Гильберта. Для студентов механико-математических специальностей высших учебных заведений. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 ортогональные многочлены § 5. Евклидовы пространства 117 Часть 1. Линейные пространства и 7 § 6. Унитарные пространства 126 линейные отображения § 7. Ортогональные и унитарные 133 § 1. Линейные пространства 7 операторы § 2. Базис и размерность 14 § 8. Самосопряженные операторы 137 § 3. Линейные отображения 21 § 9. Самосопряженные операторы 147 § 4. Матрицы 27 в квантовой механике § 5. Подпространства и прямые 38 § 10. Геометрия квадратичных 155 суммы форм и собственные значения § 6. Факторпространства 47 самосопряженных операторов § 7. Двойственность 51 § 11. Трехмерное евклидово 163 § 8. Структура линейного 54 пространство отображения § 12. Пространство Минковского 171 § 9. Жорданова нормальная форма 61 § 13. Симплектические 181 § 10. Нормированные линейные 68 пространства пространства § 11. Функции линейных 74 § 14. Теорема Витта и группа 185 Витта операторов § 15. Алгебры Клиффорда 189 § 12. Комплексификация и 77 овеществление Часть 3. Аффинная и проективная 193 геометрия § 13. Язык категорий 83 § 1. Аффинные пространства, 193 § 14. Категорные свойства 88 аффинные отображения и линейных пространств Часть 2. Геометрия пространств со 93 аффинные координаты § 2. Аффинные группы 201 скалярным произведением § 3, Аффинные подпространства 205 § 1. 0 геометрии 93 § 4. Выпуклые многогранники и 212 § 2. Скалярные произведения 95 линейное программирование § 3. Теоремы классификации 102 § 4. Алгоритм ортогонализации и 110 § 5. Аффинные квадратичные 215

функции и квадрики линейные отображения тензорных § 6. Проективные пространства 220 произведений § 7. Проективная двойственность 226 § 3. Тензорная алгебра линейного 264 и проективные квадрики пространства § 8. Проективные группы и 230 § 4. Классические обозначения 266 проекции § 5. Симметричные тензоры 271 § 9. Конфигурации Дезарга и 239 § 6. Кососимметричные тензоры и 275 Паппа и классическая проективная внешняя алгебра линейного геометрия пространства § 10. Кэлерова метрика 243 § 7. Внешние формы 285 § 11. Алгебраические 245 § 8. Тензорные поля 287 многообразия и многочлены § 9. Тензорные произведения в 291 Гильберта квантовой механике Часть 4. Полилинейная алгебра 254 Предметный указатель 297 § 1. Тензорное произведение 254 линейных пространств § 2. Канонические изоморфизмы и 259 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аннулятор p-вектора 279 Аксиома Дезарга 243 — Паппа 243 Антисимметриэация тензора 275 Аппроксимация 114 Аксиомы трехмерного проективного Базис пространства 14 пространства 241 — — гиперболический 186 — проективной плоскости 242 Алгебра внешняя 192, 276, 277 — — двойственный 24 — — жорданов 59 — гомологическая 88 — — ортогональный 106 — Грассмана 192, 276 — — ортонормированный 106 — Клиффорда 189 — Ли 34, 38 — — симплектический 107 — тензорный 257 — — классическая 35 Базисы одинаково ориентированные — — gl(n,K) 35 46, 177 — —o(n,K) 35 — — sl(n,K) 35 — — пространственно ориентированные 178 — — su(n) 35 Бозон 293 — — u(n) 35 — над полем ассоциативная 189 Буст 179 Валентность тензора 264 — симметрическая 273, 274 Вектор грассмановых координат 282 — тензорная 266 — касательный 287 Алгоритм ортогонализации Грама — Шмидта 111 — корневой 61 — собственный 56 Альтернатива Фредгольма — состояния 130 конечномерная 50 — циклический 67 Альтернирование тензора 275 Амплитуда вероятности 131

Векторы одинаково временно ориентированные 176 — ортогональные 98 Величина случайная 126 — — нормированная 126 Величины случайные независимые 126 Вероятность 129 Вершина выпуклого множества 214 Вес билинейной формы 114 Возмущение 152 Вычитание внешнее 194 Гамильтониан 150 — невозмущенный 152 Геометрия ортогональная 98 — симплектическая 98 — эрмитова 98 Гиперплоскость 224 — касательная 228 — полярная 227 Гиперповерхность алгебраическая 246 Гомотетия 22 Грань верхняя 20 — выпуклого множества 213 Грассманиан 281 Группа аффинная 201 — Витта 189 — движений 202 — классическая 33 — линейная полная 24, 34 — — специальная 34 — Лоренца 135, 173, 178 — ортогональная 34 — — специальная 34 — проективная 231 — Пуанкаре 202 Группа симплектическая 183 — унитарная 34 — — специальная 34 Движение аффинного евклидова пространства 202 — — — — несобственное 204

— — — — собственное 204 — непрерывное 44 Двойственность тензорных произведений 260 Действие 151 — симметрической группы на тензорах 260 — транзитивное 193 — эффективное 193 Дельта-функционал Дирака 13 Дельта-функция 9 Деформация 44 Диагональ главная 27 Диаграмма 84 — коммутативная 84 Дисперсия 149 Дифференциал отображения в точке 27 — функции 289 Дифференцирование кольца 288 Длина вектора 118, 129 — флага 18 Дополнение ортогональное 53, 102 — прямое 43 Зависимость линейная 16 Замыкание проективное 225 Значение собственное 56 — среднее 149 Идеал 247 — градуированный 247 — двусторонний 274 — конечно порожденный 248 —, порожденный множеством 248 Излучение фотонов 152 Изометрия линейных пространств 99 Изоморфизм 23 — в категориях 83 — естественный 23 — канонический 24 — проективный 230 — функторный 87 Инвариант линейного оператора 33 Индекс оператора 50

Интервал времениподобный 172 — пространственноподобный 172 — светоподобный 172 Карта аффинная 221 Категория 83 — абелевых групп 83 — групп 83 — дуальная 85 — линейных пространств 83 — множеств 83 — функторов 87 Квадрат коммутативный 84 Квадрика аффинная 219 — полярная 227 Кватернионы 168 Клетка жорданова 58 — циклическая 67 Ковариация 126 Кольцо градуированное 247 Комбинация линейная 8 — — тензоров одинакового типа 268 — точек барицентрическая 198 Коммутатор 34 — в K-алгебре Ли 38 — групповой 37 Комплекс 84 — ацикличный 85 — точный 85 — — в члене 85 Комплексификация линейного пространства 80 — проективного пространства 229 Композиция морфизмов 83 — функторов 87 Компонента градуированного пространства однородная 246 — группы Лоренца 178 — тензора 267 Конец стрелки 83 Конус асимптотических направлений 158 — световой 173

Конфигурации в аффинном пространстве аффинно конгруэнтные 208 — — — — метрически конгруэнтные 208 — проективно конгруэнтные 232 Конфигурация 208 — Дезарга 240 — координатная 208 — Паппа 240 — проективная 232 Кообраз 50 Координата тензора 267 Координаты аффинные 197 — барицентрические 199 — вектора 14 — точки однородные 220 Коразмерность подпространства 49 Косокоммутативность 276 Коэффициент корреляции 126 — Фурье 115 Коядро 50 Критерий Сильвестра 113 — цикличности пространства 67 Круг 71 Лемма о змее 91 — Цорна 20 Линия мировая инерциального наблюдателя 172 Логарифм оператора 76 Матрица 27, 267 — антисимметричная 35 — антиэрмитова 35 — блочная 28 — Грама 96 — — положительно определенная 113 — диагональная 27 — Дирака 36 — единичная 28 — жорданова 58 — квадратная 27 — композиции линейных отображений 30

— контраградиентная 268 — кососимметричная 35 — косоэрмитова 35 — линейного оператора 29 — — отображения 29 — ортогональная 34, 134, 135 — Паули 36, 164 — перехода 32 — псевдоортогональная 135 — псевдоунитарная 135 — симметричная 35 — скалярная 28 — транспонированная 28 — треугольная верхняя 27, 28 — — нижняя 28 — унитарная 34, 135 — эрмитова 35 — эрмитово антисимметричная 35 — — симметричная 35 — сопряженная 34 Медиана системы точек 212 Метод наименьших квадратов 121 — Штрассена 37 Метрика 69, 96 — дискретная 69 — естественная 69 — кэлерова 244 Многогранник 213 Многообразие алгебраическое 246 — Грассмана 281, 283 Многочлен, аннулирующий оператор 59 — Гильберта 252 — Лежандра 116, 143 — минимальный 60 — однородный 245 Многочлен тригонометрический 114 — Фурье 114, 115, 143 — характеристический 56 — Чебышева 117, 145 — Эрмита 117, 144 Множество выпуклое 71 — измеримое 122

— линейно упорядоченное 19 — частично упорядоченное 19 Множитель Лоренца 176 — фазовый 130 Модуль 248 — градуированный 248 — конечно порожденный 249 — нётеров 249 Монотонность размерности 18 Морфизм категории 83 — нулевой 84 — функторный 87 Наблюдаемая 148 — импульса 150 — координаты 150 — проекции спина 150, 167 — энергии 150 — — квантового осциллятора 150 Направление 164 Направления асимптотические 157 Направленность времени 172 Начало стрелки 93 Независимость линейная 16 Неравенство Коши — Буняковского— Шварца 118, 128 — Минковского 74 — треугольника 118, 129 — — в обратную сторону 175 Норма вектора 70 — линейного оператора индуцированная 72, 146 Оболочка аффинная 206 — линейная 16 — проективная 223 Образ линейного отображения 26 — обратный 86 Образующие конуса 158 — мультипликативные 189 Объект категории 83 — — инъективный 83 — — проективный 83 Объем n-мерный 122 — — шарового кольца 125

Овеществление линейного пространства 77 Ожидание математическое 126 Окружность 71 Оператор Гамильтона 150 — диагонализируемый 56 Оператор пограничный 92 — линейный 21 — неотрицательный 146 — нильпотентный 61 — нормальный 145 — ортогональный 133 — рождения частиц 294 — самосопряженный 138, 139 — симметричный 139 — сопряженный 139 — унитарный 133 — уничтожения частиц 294 — числа частиц 294 — эрмитов 139 Определитель линейного оператора 33 Опускание индексов тензора 263,270 Ориентация пространства 46, 166 — — Минковского 177 Оси квадратичной формы главные 156 Отклонение среднеквадратичное 149 Отношение двойное 235 — перспективное 237 — порядка 19 Отображение антилинейное 82 — аффинно линейное 195 — аффинное 195 — билинейное 51, 95 — двойственное 52 — двойственности 227 — линейное 21 — — нулевое 22 — — ограниченное 72 — — тождественное 22 — полилинейное 95, 254 — — универсальное 254

— полулинейное 82 — полуторалинейное 96 — симметризации 271 — сопряженное 52 — Хопфа 222 Отражение 136 — времени 180 — пространственное 180 Пара базисов двойственная 52 Параболоид гиперболический 157 — эллиптический 156 — — n-мерный 158 Парадокс близнецов 176 Параллелепипед со сторонами {l1,...,ln} 123 Пары наблюдаемых канонически сопряженные 149 Пересечение подпространств трансверсальное 40 Перестановка 269 Перпендикуляр к двум подпространствам общий 210 Печка 148 План производства 212 — —, оптимальный по прибыли 213 Плоскость гиперболическая 185 — проективная 220 Поглощение фотонов 152 Подгруппа операторов однопараметрическая 75 — ортохронная 173 Подмногообразие линейное 47 Подмножество выпуклое 71 — ограниченное 70 Подпространства аффинные параллельные 205, 206 — ортогональные 98 Подпространство аффинное 205 — вещественное 230 — градуированное 247 — изотропное 102, 181

—, инвариантное относительно оператора 56 — линейное 10 — направляющее 205 —, натянутое на векторы 16 — невырожденное 102 —, порожденное векторами 16 — проективное 223 — собственное 56 — состояний квантовой системы 129 Подсемейство максимальное 17 Подъем индексов тензора 263, 270 — поля скаляров 86, 258 Покрытие проективного пространства аффинное 220 Поле векторное 288 — тензорное 289 Положение общее подпространств 40 — — точек 233 — равновесия механической системы 159 Полупространство 213 Поляризация квадратичной формы 10 Последовательность Коши 70 — линейных пространств точная 54 — сходящаяся 70 — точная 85 — фундаментальная 70 Постоянная Планка 151 Правила Фейнмана 131, 132 Преобразование Кэли 146 Приведение билинейной формы к каноническому виду 109 — квадратичной формы к каноническому виду 110, 111, 114 — матрицы к каноническому виду 108 Принцип неопределенности Гейзенберга 149 — Паули 293 — проективной двойственности 226 — суперпозиции 130, 292

Проективизация 230 Проектор 42 — самосопряженный 141 Проекция вектора ортогональная 119 — из центра 236 Произведение векторное 167 — внутреннее 287 — Кронекера 37 — морфизмов 83 — скалярное 96 — — антисимметричное 98 — — невырожденное 99 — — симметричное 98 — — симплектическое 98 — — эрмитово 98 — — — симметричное 98 — тензорное 37 — — линейных отображений 262 — — пространств 255 Производная по направлению 288 Пространства изометричные 99 — изоморфные 23 Пространство анизотропное 185 — аффинное 94, 193 — — евклидово 202 — банахово 70 — бесконечномерное 14 — векторное 7 — вероятностное конечное 126 — гильбертово 127 — гиперболическое 185 — главное однородное 194 —, двойственное к данному 10, 51 — евклидово 117 — касательное 288 — когомологий 91 — комплексное сопряженное 81 — конечномерное 14 — координатное одномерное 8 — — n-мерное 8 — линейное 7

— —, ассоциированное с аффинным пространством 193 — — градуированное 246 — — над телом 242 — — нормированное 70 — — — полное 70 — метрическое 68, 69 — — полное 70 — Минковского 158, 171 — нульмерное 8 — ортогональное одномерное нулевое 101 — — — отрицательное 101 — — — положительное 101 — проективное 94, 220 — — двойственное 226 — — координатное n-мерное 220 — — трехмерное вещественное 170, 171 Пространство рефлексивное 26 — симплектическое 181 — сопряженное 10 — спиноров 163 — унитарное 126 — физическое инерциального наблюдателя 173 — функций 8, 9 — циклическое 67 Прямая проективная 220 Пфаффиан 184 Разбиение проективного пространства клеточное 237 Разложение оператора полярное 147 — — спектральное 142 Размерность алгебраического многообразия 253 — линейного пространства 14 — проективного пространства 220 Ранг матрицы 37 — семейства векторов 16 — скалярного произведения 99 — тензора 264, 294 — — предельный 295

Расположение подпространств взаимное 40 Расстояние между множествами 119, 132 — — точками 69 — от точки до подпространства 209 Расширение группы аффинное 202 Ряд абсолютно сходящийся 70 — Пуанкаре 251 — теории возмущений 154 — Фурье 116 Свертка тензора 262, 269 — — по -индексам 263 — — полная 263 Сдвиг 193 Семейство векторов линейно зависимое 16 — — — независимое 16 Сигнатура квадратичной формы 110 — пространства 104 Символ Кронекера 9 Симметризация тензора 271 Симплекс замкнутый 201 — — вырожденный 201 — (n—1)-мерный стандартный 201 Система аффинных координат 197 — координат барицентрическая 199 — — инерциальная 173 — образующих идеала 248 — — модуля однородная 249 — уравнений нормальная 122 След линейного оператора 33 Сложение матриц 29 Сопряжение 33 — дифференциальных операторов формальное 143 Состояние вакуумное 294 — квантовой системы 130 — — — базисное 131 — — — возбужденное 152 — — — вырожденное 152 — — — основное 152 — — — стационарное 151

Спаривание пространств 51 — — каноническое 51 Спектр квантовой системы энергетический 151 — оператора 58 — — простой 58 — самосопряженного оператора 161 Спуск поля скаляров 78 Среднее арифметическое 13 — взвешенное 14 — квадратичное взвешенное 114 Статистика Бозе — Эйнштейна 293 — Ферми 293 Степень внешняя 287 — вырождения 151 — многообразия 253 Столбец матрицы 27 Стрелка 83 Строка матрицы 27 Структура комплексная 78 — — каноническая 78 — — сопряженная 81 Сумма линейных отображений прямая 44 — подпространств 38 — — прямая 41 — — — внешняя 43 Суперпозиция 130 Сфера 69 Сходимость по норме 70 Тело 242 — кватернионов 168 Температура 125 Тензор 264, 268 — антисимметричный 275 — ковариантный 264 — контравариантный 264 — кососимметричный 275 — Кронекера 268 — метрический 267, 290 — симметричный 271 — смешанный 264 — структурный 265, 268

Теорема Витта 186 — Гамильтона — Кэли 60 — Дезарга 257 — инерции 105 — о продолжении базиса 17 Теорема о продолжении отображений 88, 89 — — точности функтора 89, 90 — Паппа 241, 243 — Фишера — Куранта 162 — Шаля 204 — Эйлера 137 — Якоби 114 Теория возмущений 152 — Морса 160 — относительности специальная 171 Тип тензора 264 Топология слабая 73 Точка аффинного пространства 193 — вещественная 230 — внутренняя 213 — критическая 160 — невырожденная 160 — проективного пространства 220 — центральная 216 Точность функтора тензорного умножения 264 Тройка точная 85 Углы Эйлера 170 Угол между векторами 119, 129 — — прямой и аффинным подпространством 212 — — прямыми 212 Умножение внешнее 275 — матриц 30 — на скаляр 22, 29 — тензорное 265 Уравнение Шрёдингера 151 Уровень энергетический 151 Условие Гильберта 13 — Коши 13 — линейное 10 Факторпространство 48

Фермион 293 Фильтр 148 Фильтрация возрастающая 18 — убывающая 18 Флаг пространства 18 — — максимальный 18 Форма 95, 245 — билинейная 108 — квадратичная 109 — — положительно определенная 113 — нормальная жорданова 59 — объема 291 — полилинейная 95 Функтор 85 — ковариантный 85 — контравариантный 85 —, представляющий объект категории 87 — тензорного умножения 264 Функционал линейный 10 Функция аффинно линейная 195 — квадратичная 215 — линейная 10 — полилинейная 95 Характеристика эйлерова 91 Центр 216 Цепь 19 Цилиндр параболический 157 Часть анизотропная пространства 188 — квадратичная квадратичной функции 215 — линейная аффинного отображения 195 — — квадратичной функции 215 Число заполнения 293 Шар замкнутый 69 — открытый 69 Шар n-мерный 124 Эквивалентность норм 72 Эксперимент Штерна — Герлаха 165 Экспонента ограниченного оператора 75

Элемент максимальный 20 — наибольший 20 — однородный 246 Эллипсоид n-мерный 124 Энергия 125 Ядро линейного отображения 26 — — — левое 102 — — — правое 102 — скалярного произведения 99 A-модуль 248 — градуированный 248 p-вектор 279 — разложимый 279 p-форма внешняя 285, 291 σ-процесс 239 ψ-функция 130 1-форма дифференциальная 289