Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 290-301
У Д К 510.64
Р А З Р Е Ш И М О С Т Ь ПРОЕКТИВНОГО СВОЙСТВА БЕТА В М Н О Г О ...
13 downloads
265 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 290-301
У Д К 510.64
Р А З Р Е Ш И М О С Т Ь ПРОЕКТИВНОГО СВОЙСТВА БЕТА В М Н О Г О О Б Р А З И Я Х ГЕЙТИНГОВЫХ АЛГЕБР*)
Л.Л.МАКСИМОВА В [1] было доказано, что существует лишь конечное число многооб разий гейтинговых алгебр со свойством амальгамируемое™. Более того, амальгамируемость разрешима на классе конечно базируемых многооб разий гейтинговых алгебр. Свойство амальгамируемое™ ассоциируется с интерполяционным свойством многообразий и суперинтуиционистских ло гик. Близкие к интерполяции различные аналоги теоремы Бета [2] связаны со свойством сюръективности эпиморфизмов. При этом свойство Бета в его обычной формулировке выполняется для всех пропозициональных супер интуиционистских логик [3], а более сильное так называемое проективное свойство Бета встречается значительно реже и является эквивалентным свойству сильной сюръективности эпиморфизмов [4]. В [5] автору удалось доказать, что существует лишь конечное число многообразий гейтинговых алгебр, обладающих свойством сильной сюръективности эпиморфизмов SES, и найти исчерпывающий список таких многообразий. В настоящей статье доказывается, что проективное свойство Бета и SES разрешимы на классе многообразий гейтинговых алгебр.
§ 1 . Предварительные сведения Хорошо известно, что существует взаимно однозначное соответствие между семейством пропозициональных суперинтуиционистских логик и *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного науч ного фонда, грант 00-03-00108. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
Разрешимость проективного свойства Бета
291
решеткой многообразий гейтинговых, или псевдобулевых, алгебр. Свой ства логик могут быть переписаны для многообразий естественным об разом. Любой формуле А пропозициональной логики можно поставить в соответствие тождество А = Т. Если L — суперинтуиционистская логи ка, то многообразие V(L) гейтинговых алгебр определяется множеством тождеств А = Т для всех А 6 L. Пусть V — многообразие, Г — множество равенств, р — равенство. Пишем Г \=у р, если для любой алгебры А из V и любого означивания переменных в А равенство р выполняется, как только выполняются все равенства из Г. Если Г — множество пропозициональных формул и А — формула, то для любой суперинтуиционистской логики L имеем Г \-L А & {В = Т\В е Г} Hv(L) А = Т. Пусть х, q, q' — непересекающиеся списки переменных, не со держащие у и z, T(x,q,y) — множество равенств. Говорим, что мно гообразие V обладает проективным
свойством Бета РВР, если из
Г(х, q,y),T(x, q',z) |=у у = z следует T(x,q,y) \=zV у = *(х) для неко торого терма t(x). В [4] был найден алгебраический эквивалент проективного свойства Бета. Будем говорить, что V обладает свойством сильной сюръективности эпиморфизмов, если оно удовлетворяет условию SES: для любых А,В из V) для любого мономорфизма а : А -> В и для любого х £ В — а(А) существуют С из V и гомоморфизмы /3 : В —У С и 7 : В —> С такие, что /За = у а и /3(ж) ^ т( ж )Из [6] следует, что многообразие V гейтинговых или модальных ал гебр обладает свойством SES тогда и только тогда, когда V имеет проек тивное свойство Бета. В [5] автору удалось получить полный список суперинтуицинистских логик и многообразий гейтинговых алгебр с проективным свойством Бета и с SES. А именно, доказана Т Е О Р Е М А 1.1 [5]. Существуют точно 16 многообразий гейтин говых алгебр со свойством сильной сюръективности эпиморфизмов. Они
292
Л. Л. Максимова,
могут быть аксиоматизированы следующими тождествами, добавлен ными к тождествам гейтинговых алгебр: 1) Т = Т; 2) (-.pV- 1 -.p) = T; 3 ) ( p V ( p D g V - i ? ) ) = T; 4) (р V (р D g V -19)) = Т; ((р D д) V (g Э р) V (р = -.д)) = Т; 5) (р V (р D q V -.g)) = Т; (-.р V -,-.р) = Т; 6) (р D g) V (д D р) = Т; 7) (р V -р) = Т; 8) ± = Т; 9 ) g V ( g D (-tpV-.-.p)) = T; 10) r V ( r D (pV(pDgV-ng))) = T; 11) г V (r D (p V (p Э д V -19))) = T; r V (r D ((p D g) V (g D p) V (p = = -?))) = T; 12) r V (г Э (p V (p D g V -ig))) = T; r V (r D (~ip V -i->p)) = T; 13) r V (r D (p D g) V (g D p)) = T; 14) r V (r D (p V (p D g V -,q))) = T; (-ip V -nip) = T; 15) r V (г Э (p D g) V (g D p)) = T; (-.p V -i-.p) = T; 16) r V (г Э (p V (p D g V -.g))) = T; (p D g) V (g Э p) = T. Обозначим через Hi,...
,#16 многообразия, перечисленные в тео
реме 1.1. Каждое из указанных многообразий финитно
аппроксимируе
мо, т. е. порождается своими конечными алгебрами. Для доказательства мы можем использовать результат Кузнецова [7]: все суперинтуиционист ские логики, аксиоматизируемые формулами без отрицательных вхожде ний дизъюнкции, финитно аппроксимируемы. Отсюда следует, что каждое из многообразий Hi,...
, Н\% имеет разрешимую эквациональную теорию.
Значит, для любой конечной базы тождеств произвольного многообразия V гейтинговых алгебр можно установить, является ли V расширением какого-либо из шестнадцати указанных многообразий с SES или нет. Но этого недостаточно, чтобы выяснить, обладает ли само V свойством SES. В следующем параграфе будет найдена разрешающая процедура. Напомним, что список Н\,...
?
Hg состоит из тех и только тех много-
Разрешимость проективного свойства Бета
293
образий гейтинговых алгебр, которые обладают свойством амальгамируе мое™ АР, и что АР разрешимо на классе конечно базируемых многообра зий гейтинговых алгебр [1].
§ 2. Операция Д Напомним некоторые определения и обозначения. Пусть А = (A; & , V , D , ^ , T ) H B = (В; &, V, Э, ->, Т) — две гейтинговы алгебры. Говорят, что гейтингова алгебра С = (С;&, V, Э, ~1,Т) явля ется упорядоченной суммой А + В алгебр А и В, если С = A U В', где В' изоморфна В и А П В' = {Т А } = { ± В ' } ; С частично упорядочено отношением х
< с У & [(х € А и у € В1) или (х,у £ А и х < А у) или (х,у G В' и ж < В ' у)].
Как следствие, J_c = -LA И Т С = Тв*. Таким образом, А и В можно расматривать как интервалы множе ства С. Вообще говоря, они не являются подалгебрами алгебры С. Пусть Во — двухэлементная булева алгебра, B n +i = Во + BJ + Во, Сп = BQ + Во, 1^2 = Во, Ln+i = L n + В 0 . Обозначим: А+ = А + Во. Хорошо известно, что гейтингова алгебра является подпрямо неразложимой тогда и только тогда, когда она имеет вид А + для подходящей гейтинговой алгебры А. Легко доказывается следующая Л Е М М А 2.1. (i) Если А ~ подалгебра алгебры А', а В - подалгебра алгебры В', то А + В является подалгеброй алгебры А ; + В ' . (ii) Если А — гомоморфный образ алгебры В, то С + А — гомоморф ный образ алгебры С + В для любой гейтинговой алгебры С. Определим операцию Д на многообразиях гейтинговых алгебр, па раллельную операции Д на суперинтуиционистских логиках [8]:
294
Л. Л. A(V)
Максимова
— это подмногообразие многообразия Н\,
аксиоматизируемое
дополнительными аксиомами вида р \ / ( р —> А) = Т , г д е р — переменная, не входящая в А, и тождество А = Т истинно на V (достаточно взять лишь аксиомы А — Т многообразия У ) . Эта операция играет большую роль в нашем описании многообразий со свойством SES. Имеет место Т Е О Р Е М А 2.2. Для любого многообразия многообразие V
A(V)
обладает свойством
V гейтинговых
алгебр
SES тогда и только тогда} когда
амальгамируемо. Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О см. [9, теор. 3.4]. В теореме 1.1 Н\,...
, Н$ — это все амальгамируемые многообразия
гейтинговых алгебр. Можно видеть, что Нд = Д ( Я 2 ) , Ню = Д ( Я з ) , Я ц = = А ( Я 4 ) , Я 1 2 = Д ( # 5 ) , Я 1 3 = Д ( Я 6 ) . Кроме того, Я 1 4 = Я ю П Я 2 и Н1Ъ = = Я13 П Я 2 . Рассмотрим операцию Д и многообразие Я 2 более подробно. Из леммы 4.1 [9] сразу вытекает Л Е М М А 2 . 3 . Пусть V — многообразие подпрямо только
неразложимая
гейтингова
гейтинговых
алгебр и А + —
алгебра. Тогда А + 6 Д ( ^ ) в гаол* и
в том случае} если А £ V.
Л Е М М А 2.4. Пусть V — многообразие некоторый
гейтинговых
алгебр и К —
класс конечных алгебр из V такой, что любая конечная
ра из V вложима любая конечная
в прямое произведение подпрямо неразложимая
гебру ( B i х . . . X В*) + Во для подходящих
подходящих
алгеб
алгебр из К.
Тогда
алгебра из Д ( У ) вложима
в ал
B i , . . . , В * из If.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть А — конечная подпрямо неразложимая алгебра из Д(Т/Г). По лемме 2.3, А имеет вид В + д л я некоторой конечной алгебры В из V. Таким образом, В вложима в (Bi X . . . X В*) д л я подхо д я щ и х алгебр B i , . . . , ВА; из К, а А вложима в ( B i X . . . X В*) + ДэНам также потребуются некоторые свойства многообразия Н 2 . Л Е М М А 2.5 [10]. (i) (Во + А ) £ Я 2 для любой гейтинговой ры А ,
алгеб
Разрешимость проективного свойства Бета, (ii) Если А — конечно-порожденная подпрямо неразложимая
295
гей-
тингова алгебра из Я 2? тпо А = Во + В для подходящей подпрямо неразложимой гейтинговой алгебры В . Многообразия Н\,...
, Н^ можно охарактеризовать следующим об
разом: П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.6* Многообразия Hi,...
, Я 1 6 порождаются
следующими классами конечных гейтинговых алгебр: Н\ — всеми конечными гейтинговыми алгебрами; #2 — конечными алгебрами вида BQ + А + Во, где А — конечная гейтингова алгебра*, # з ~~ алгебрами Сп для п ^ 1; #4 — алгеброй С 2 ; #5 — алгеброй Ьз] HQ — алгебрами Ln для п ^ 2; J9Y ~~ алгеброй Во; Яз — вырожденной булевой алгеброй; HQ — алгебрами вида ((Во + Ai) х . . . х (Во + А&)) + Во, где k ^ 1 и A i , . . . , Ak — конечные гейтпинговы алгебры; Ню — алгебрами {СП1 X . . . х C„fe) + Во Аля любого к ^ 1 и произ вольных п\,,..
, п^;
НЦ — алгебрами С% + Во для п ^ 1; Н\2 ~~ алгебрами L% + BQ для п ^ 1; Яхз — алгебрами (Ьщ х . , . X Lnic) + Во для любых к ^ 1 и произволь ных n i , . . . ? та*; Hi4 -~ алгебрами Вп для п ^ 0; Я15 ~ алгебрами BQ + (Lni X . . . X £nfc) + В 0