Управление качеством: Методические указания для практических занятий

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ Методические указания для практических занятий

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2005

Составители: О. И. Илларионов , Е. А. Фролова Рецензент: доктор технических наук, профессор Д. К. Шелест

Рассматривается методика решения вероятностных и статистических задач обработки данных в компьютерной среде Matlab. Приводятся примеры решения типовых задач. Предназначены для студентов, обучающихся по специальности «Управление качеством», «Метрология и метрологическое обеспечение», а также других специальностей при изучении дисциплин, включающих разделы статистического анализа и обработки данных Подготовлены кафедрой конструирования и управления качеством радиоаппаратуры и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

© ГОУ ВПО СПбГУАП, 2005

Редактор А. В. Подчепаева Компьютерная верстка Н. С. Степановой Подписано к печати 16.09.05. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,5. Уч. -изд. л. 3,8. Тираж 100 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии ГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

2

ПРЕДИСЛОВИЕ В преподавании различных инженерных дисциплин для специальностей приборостроительного профиля большое внимание уделяется вероятностно-статистической подготовке, которая закладывает основы статистического мышления современного инженера. Серьезная подготовка в области применения вероятностно-статистических методов требуется при обработке результатов экспериментов, проведении экономических анализов, анализе точности технических систем, производственных процессов и т. д. В последнее время особую важность приобрели статистические методы контроля качества продукции и процессов. В связи с повышением внимания к вероятностно-статистическим вопросам инженерной подготовки совершенствовалась методика преподавания; сформировалась номенклатура этих вопросов; выделились ключевые методы (в частности, "семь простых методов контроля"); стали широко внедряться компьютерные методы вероятностно-статистического анализа с применением мощных пакетов прикладных программ, ушло в прошлое применение различных вероятностно-статистических таблиц. Все это требует изменения практики решения как традиционных вероятностно-статистических задач обработки данных и анализа процессов, так и относительно новых задач управления качеством продукции и процессов. Настоящее учебное издание посвящено изложению методов решения простейших вероятностно-статистических задач в компьютерной среде Matlab, которая имеет широкое распространение в вузовской преподавательской практике. Выбор задач определялся их нацеленностью на применение, в первую очередь, в области управления качеством. 1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА КАК СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1.1. Показатели качества как непрерывные случайные величины Для характеристики показателя качества как непрерывной случайной величины (СВ) используются следующие основные характеристики: плотность вероятности w(x); функция распределения F(x); математическое ожидание μ; 3

дисперсия D или стандартное отклонение σ = D; коэффициент корреляции между двумя случайными величинами R; квантиль распределения порядка P. Применение гауссовского распределения Гауссовская функция плотности вероятности w( x) =

⎛ ( x − μ) 2 exp ⎜ − ⎜ σ 2π 2σ 2 ⎝ 1

⎞ ⎟⎟ , ⎠

(1.1)

где μ и σ – параметры, совпадающие в данном случае с математическим ожиданием и стандартным отклонением. В Matlab значения w(x) вычисляются с помощью оператора

normpdf ( x, mu , sigma ) . (1.2) Стандартное значение СВ (μ = 0 и σ = 1) вычисляется с помощью оператора normpdf (x). Функция распределения x

F ( x) =

∫ w(t )dt

(1.3)

−∞

в Matlab реализуется оператором

normсdf ( x, mu , sigma ) .

(1.4)

Для стандартной СВ применяется оператор normcdf(x). Математическое ожидание и стандартное отклонения гауссовской СВ вычислять не приходится, так как они заданы изначально и входят в выражение функции плотности вероятности. Однако формально значения математического ожидания и дисперсии D = σ2 случайной величины можно вычислить с помощью оператора Matlab [mu, D] = normstat(mu, sigma). Коэффициент корреляции вычисляется приблизительно по данным измерений. Способ вычислений будет рассмотрен позднее. Примеры графиков функций w(x) (рис. 1.1) и F(x) (рис. 1.2) и процедуры их построения приведены ниже. Построение графика функции w(x): >> x = –4:0.01:4; >> y = normpdf(x); >> plot(x, y); grid 4

w(x) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 –4

–3

–2

–1

0

1

2

4 x

3

Рис. 1.1. Функция плотности вероятности стандартной нормальной случайной величины

Построение графика функции F(x): >> x=–4:0.01:4; >> y=normcdf(x) >> plot(x, y); grid F(x) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

x

Рис. 1.2. Функция распределения стандартной нормальной случайной величины

5

Квантиль распределения порядка P – Kp – величина, обратная функции распределения F(Kp) = P. Перечень операторов Matlab, упомянутых в подразд. 1.1: 1) плотность вероятности гауссовской СВ – normpdf (x, mu, sigma); 2) плотность вероятности стандартной нормальной СВ – normpdf (x); 3) функция распределения гауссовской СВ – normcdf (x, mu, sigma); 4) функция распределения стандартной нормальной СВ – normcdf(x); 5) математическое ожидание и дисперсия – [mu, D] = normstat(m, v); 6) квантиль распределения порядка P – norminv(P, mu, sigma). 1.2. Показатели качества как дискретные случайные величины Для характеристики ПК как дискретной СВ используются характеристики: ряд распределения – P(x) – вероятность того, что СВ примет значение x = x1, x2, …, xn; функция распределения F(x); математическое ожидание μ; дисперсия D или стандартное отклонение σ = D . Математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам n

n

i =0

i =1

μ = ∑ xi P ( xi ); D = ∑ P ( xi )( xi − μ)2 .

(1.5)

где P(xi) – вероятность того, что СВ примет значение xi. В практике контроля качества находят широкое применение два вида СВ – биномиальная и пуассоновская. Биномиальная случайная величина Ряд распределения задается выражением (1.6) P ( x ) = Cnx p x (1 − p ) n − x , где n – число наблюдаемых изделий; x = 1, 2, … n; p – вероятность появления изделий с интересующим нас признаком (дефектное, годное изделие), рассматриваемая как известный параметр биномиального распределения; P(x) – вероятность того, что СВ примет значение x. В Matlab для вычисления P(x) применяется оператор 6

binopdf (x, n, p). Функция распределения

(1.7)

n

F ( x) = ∑ P ( xi )

(1.8)

i =1

в Matlab реализуется оператором binopdf (x, n, p). (1.9) Математическое ожидание и дисперсия μ = np, D = np(1–p) (1.10) в Matlab реализуется оператором [mu, D] binostat(n, p). (1.11) Примеры ряда биномиального распределения для p = 0,1, n = 10 и n = 100 приведены ниже. >> x = 0:10; >> y = binopdf(x, 10, 0,1); >> plot(x, y); grid w(x) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 x

Рис. 1.3. Ряд биномиального распределения при p = 0,1 и n = 10

>> x=0:100; >> y=binopdf(x,100,0.1); >> plot(x,y); grid 7

w(x) 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0

10

20 30

40 50

60

70

80

90 100 x

Рис. 1.4. Ряд биномиального распределения при p = 0,1 и n = 100

Во втором случае распределение хорошо совпадает с гауссовской формой для параметров μ и D . Пуассоновская случайная величина Ряд распределения (λ) x exp(− λ); x = 0, 1, 2, ... ∞. (1.12) x! В технических приложениях, связанных с контролем, величина x имеет смысл СВ числа дефектов, приходящихся на условную единицу изделия. Условной единицей может быть изделие, часть изделия, определенная величина площади, объема или длины; x может иметь также смысл числа дефектов или дефектных изделий в единицу времени (или за определенное время). В (1.12) λ – параметр распределения, имеющий смысл среднего числа дефектов на условную единицу или среднего числа дефектных изделий за определенное время. Функция распределения определяется выражением (1.5). В Matlab: ряд распределения вычисляется с помощью оператора poisspdf (x, λ); (1.13) функция распределения – с помощью оператора P ( x) =

8

poisscdf (x, λ). (1.14) Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской СВ: μ = λ; D = λ. Примеры ряда пуассоновского распределения для λ = 1 и λ = 10 приведены ниже (рис. 1.5): Построение ряда распределения >> x=0:10; >> y=poisspdf(x,1); >> subplot(1,2,1) >> plot(x,y); grid >> x=0:40; >> у=poisspdf(х,10) >>subplot(1,2,2) >>plot(х,у); gridб а)

б) λ=1

w(x) 0,4

λ = 10

w(x) 0,14

0,35

0,12

0,3

0,1

0,25 0,08

0,2

0,06

0,15 0,1

0,04

0,05

0,02

0 0

5

10

x

0 0

10

20

30

40 x

Рис. 1.5. Ряд распределения Пуассона при λ = 1 (а) и λ = 10 (б)

Распределение Пуассона обладает свойством воспроизводимости по параметру, т. е. если x1 и x2 – случайные независимые пуассоновские величины с параметрами λ1 и λ2 и , то y = x1 + x2 – также пуассоновская величина с параметром λ = λ1 + λ2. 9

2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА Вероятностные задачи контроля качества решаются с целью теоретического прогнозирования результатов контроля по заданным параметрам процесса, а также параметров процесса по заданным результатам контроля (активный контроль). 2.1. Контроль по количественным признакам свойств изделий Эти задачи решаются с применением характеристик нормального распределения СВ ПК. Задача 1. Расчет вероятности выхода годных изделий. Заданы: параметры процесса, математическое ожидание μ и стандартное отклонение σ, допуски на ПК – нижний T1 и верхний T2. Задача может быть решена в Matlab двумя способами. 1. С помощью функции распределения. Вероятность выхода годных изделий Pг = P(T1 < x < T2 ) = F (T2 , μ, σ) − F (T1 , μ, σ).

В Matlab Pг = normcdf (T2, mu, sigma) – normcdf (T1, mu, sigma).

(2.1) (2.2)

Если допуск односторонний нижний, т. е. Pг = P(x > T1), то в (2.2) вместо T2 необходимо записать Inf (знак бесконечности). Если допуск односторонний верхний, т. е. Pг = P(x < T2), то в (2.2) вместо T1 нужно записать –Inf (минус бесконечность). 2. C помощью специального оператора Pг = normsprc (spec, mu, sigma), (2.3) где – spec – двухэлементный вектор допусков, spec = [T1, T2]. Для одностороннего допуска соответственно используют T1 = –Inf, либо T2 = Inf. Вместе со значением Pг оператор (2.3) возвращает рисунок, на котором Pг отображается как площадь под кривой распределения в пределах [T1, T2] (рис. 2.1). Примеры расчетов Вероятность выхода годных изделий для двухстороннего допуска (см. рис. 2.1, а) 10

а)

F(x)

Вероятность выхода годных изделий P = 0,68269

0,4 0,35

T1 = –1, T2 = 1

0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 –4 б)

–3

–2 –1

0

1

2

3

4 x

Вероятность выхода годных изделий P = 0,84134 F(x) 0,4 0,35

T1 = –1, T2 = 1

0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 –4 в)

F(x) 0,4 0,35 0,3

–3

–2

–1

0

1

2

3

4 x

Вероятность выхода годных изделий P = 0,84134

T2 = ∞, T1 = –1,

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x Рис. 2.1. К расчету вероятности годных изделий

11

1-й способ 2-й способ >> P=normcdf(1,0,1)–normcdf(–1,0,1) >> P=normspec([–1,1],0,1) P = 0.6827 Вероятность выхода годных изделий для одностороннего верхнего допуска (см. рис. 2.1, б) 1-й способ 2-й способ >> P=normcdf(1,0,1)–normcdf(–Inf ,0,1) >> P=normspec([–Inf ,1],0,1) P = 0.84134 Вероятность выхода годных изделий для одностороннего нижнего допуска (см. рис. 2.1, в) 1-й способ 2-й способ >> P=normcdf(Inf,0,1)–normcdf(–1 ,0,1) >>P=normspec([–1,Inf],0,1) P = 0.84134 С помощью оператора (2.3) легко показать, что вероятность годных изделий будет максимальной, если допуски T1, и T2 симметричны относительно μ, т. е. μ = (T1 + T2)/2. Задача 2. Расчет допусков по параметрам процесса μ и σ, и вероятности годных изделий Pг. Задача имеет однозначное решение, если положение допусков связано с математическим ожиданием μ. Рассмотрим случай допусков, симметричных относительно математического ожидания. Допуски T1 и T2 могут быть вычислены непосредственно через квантили распределения

⎛ 1 + Pг ⎞ T2 = x ⎜ ,μ, σ ⎟ . 2 ⎝ ⎠ В Matlab вычисления производятся с помощью операторов ⎛ 1 + Pг ⎞ T2 = nor min v ⎜ , mu, sigma ⎟ ; ⎝ 2 ⎠ T 1 = 2* m – T 2 (из условия симметрии допусков относительно μ). При заданных μ = 0, σ = 1 и Pг = 0,68269 определить T1, и T2: >> P=0.68269; >> T2=norminv((1+P)/2,0,1) T2 = 1.0000 >> T1=norminv((1–P)/2,0,1) T1 = –1.0000 12

(2.4)

(2.5)

Задача 3. Расчет параметров процесса μ и σ по заданным допускам и вероятности выхода годных изделий. Соотношение (2.4) может быть представлено в виде

T2 − μ ⎛ 1 + Pг ⎞ = x⎜ ⎟, σ ⎝ 2 ⎠ где x(Q) – квантиль стандартного нормального распределения для вероятности Q. Для симметричных допусков из последнего выражения получаем σ=

В Matlab

T2 − T1 ⎛ 1 + Pг 2x ⎜ ⎝ 2

⎞ ⎟ ⎠

.

(2.6)

⎛ 1 + Pг ⎞ (2.7) σ = (T2 − T1 ) / 2∗ nor min v ⎜ ⎟. ⎝ 2 ⎠ При заданных T1 = –1, T2 = 1 и Pг = 0.68269 определить μ и σ: >> T1=–1; >> T2=1; >> P=0.68269; >> mu=(T1+T2)/2 mu =0 >> sigma=((T2–T1)/2)/norminv((1+P)/2) sigma =1.0000 2.2. Контроль по качественным признакам свойств изделий Контроль по качественным признакам заключается в наблюдении дефектных изделий в определенной группе (выборке, партии) изделий или дефектов в условной единице продукции. Характеристиками качества соответственно являются число (относительное и абсолютное) дефектных изделий в выборке и число дефектов, приходящихся на условную единицу продукции. Оценки характеристик качества соответственно определяются с применением биноминального и пуассоновского распределений вероятностей. Применение биномиального распределения Задача 4. Получить значения вероятностей в характерных точках распределения числа дефектных изделий в выборке. 13

Распределение задается формулами (2.6), (2.7). Примеры распределения приведены на рис. 1.3. Характерными точками распределения являются значения вероятности для ситуаций, когда все изделия являются дефектными (x = 10), дефектные изделия отсутствуют (x = 0) и и когда x = xгр, выше которого вероятность P(x) практически можно не принимать во внимание. В условиях рассмотренного примера при q = 0,1 и n = 10: >> P10=binopdf(10,10,0.1) P10 =1.0000e-010 :>> P10=binopdf(0,10,0.1) P(0) =0.3487 >> P5=binopdf(5,10,0.1) P5 =0.0015 xгр = 5 Задача 5. Определить суммарную вероятность ситуаций, когда число дефектных изделий не будет превышать определенного числа k при условиях задачи 3. Задача решается непосредственно вычислением значения функции биномиального распределения. k

P ( x ≤ k ) = ∑ P ( xi ) = binocdf (k , n, q ).

(2.8)

i =0

Решение задачи для n = 10 и q = 0,1 при k = 5: >> P=binocdf(5,10,0.1) P =0.9999 Таким образом, в 10000 выборках может попасться одна, в которой число дефектных изделий будет более 5. Задача 6. Определить гарантированное число дефектных изделий k, которое не будет превышено с заданной вероятностью P0. Задача решается с использованием квантилей биномиального распределения. k = binoinv (P0, n, q). (2.9) При n = 10, q = 0,1 и P0 = 0,999: >> k=binoinv(0.999,10,0.1) k=5 В данном случае k получается как минимальное значение числа дефектных изделий, которое даст значение P(x ≤ k) ≥ P0. Определим фак14

тическое значение вероятности того, что число дефектных изделий не превысит k (задача 4). >> Р=binocdf(5,10,0.1) Р = 0.9999 Фактическое значение вероятности появления не более четырех дефектных изделий оказывается значительно выше, что удовлетворяет условию задачи. Задача 7 (активный контроль). Найти наибольшую допустимую вероятность брака для процесса, который обеспечивает в выборках объемом n = 10 штук гарантированное число дефектных изделий не более k = 5 с вероятностью не менее заданной P0. Задача может быть решена приближенно путем решения уравнения P0 = binocdf (k, n, q).

(2.10)

При известных P0, k и n определяется искомое значение q численными методами путем последовательных вычислений по формуле (2.10) для диапазона значений q. Пример решения задачи для k = 5, n = 10; P0 = 0,999: >> q0=0.1:0.01:0.15; >> P0=binocdf(5,10,q0) P0 = Columns 1 through 6 0.9999 0.9997 0.9996 0.9994 0.9990 0.9986 Из расчетов видно, что допустимое значение уровня брака равно q = 0,14. Применение пуассоновского распределения С помощью пуассоновского распределения в теории контроля качества решаются задачи распределения числа дефектов по длине, площади, в объеме, а также появления числа дефектов или дефектных изделий за определенное время (час, смену, месяц и т. д.). Задача 8. Дефекты коммутационной платы распределены по поверхности платы с одинаковой средней плотностью 0,3 дм/см. Найти распределение числа дефектов на плате размерами 5×5 см. В соответствии с законом воспроизводимости (см. подразд. 1.2) параметр пуассоновского распределения будет равен 25×0,3 = 7,7. Ряд распределения пуассоновской СВ можно найти, пользуясь оператором (2.10). 15

Построение ряда распределения(рис. 2.2.) >> x=0:20; >> plot(x,poisspdf(x,7.5),'*'); grid P(x)

λ = 7,5

0,16 0,14

*

0,12

*

0,1 0,08

* * *

*

0,06 0,04

* *

*

0,02 0* 0

*

*

* 2

4

6

8

10

* * *

12 14

**

16 *18* *20 x

Рис. 2.2. Ряд распределения числа дефектных изделий при λ = 7,5

Задача 9. На некоторой операции технологического процесса в течение дня изготавливается в среднем одно дефектное изделие в час. Найти распределение числа дефектных изделий за семичасовую рабочую смену. По условиям задачи λ = 7. Ряд распределений находится аналогично задаче 8. Построение ряда распределения (рис. 2.3): >> x=0:20; >> plot(x,poisspdf(x,7),'*'); grid Задача 10. В условиях задачи 8 найти вероятность того, что на плате окажется не более 15 дефектов. Решением задачи является значение функции пуассоновского распределения для аргумента x = 15 и параметра λ = 7,5. >> P=poisscdf(15,7.5) P =0.9954 Эта высокая вероятность позволяет сделать вывод, что практически любая плата из 100 взятых наугад не будет иметь больше 15 дефектов. 16

λ=7

P(x) 0,16

**

0,14

0,1

*

*

0,08

*

0,06

*

0,04 0,02 0

*

*

0,12

* 0

*

* *

* 2

4

6

8

10

*

* ** ** * 18 * 20

12 14 16

x

Рис. 2.3. Ряд распределения числа дефектных изделий при λ = 7

Задача 11. В условиях задачи 9 найти вероятность того, что за смену будет изготовлено не более 15 дефектных изделий. Решением задачи будет значение функции пуассоновского распределения для аргумента x = 15 и параметра λ = 7: >> P=poisscdf(15,7) P =0.9976 Такая высокая вероятность позволяет сделать вывод, что практически в течение всего года число дефектов не превысит 15 за смену. Задача 12. Каким должно быть среднее число дефектных изделий за смену, чтобы за пять рабочих дней число дефектных изделий не превысило 50 единиц с вероятностью не менее 0,99. Приближенное графическое решение Построить график зависимости вероятности появления не более 50 дефектных изделий от параметра λ, по которому определить искомое значение параметра пуассоновского распределения для промежутка времени в пять дней, а затем – за смену. >> l=0:50; >> P=poisscdf(50,l); >> plot(l,P); grid; Приближенное решение (графическое) дает значение параметра распределения для пятидневки λ = 36 и соответственно за смену 36:5=7,2 ед. (рис. 2.4). 17

P(x) = λ 1 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 λ Рис. 2.4. График зависимости вероятности появления не более 50 дефектных изделий от λ

Решение можно уточнить численными расчетами вероятности с помощью (2.9). Задача 13. Какое должно быть среднее число дефектов, приходящееся на 1 см2 коммутационной платы, чтобы число дефектов на плате 5×5 см не превышало 15 с вероятностью P = 0,995. Задача решается аналогично задаче 12. 1. Построение графика P (m) = f(λ) (рис. 2.5): P(λ)

1,001 1 0,999 0,998 0,997 0,996 0,995 0,994 0,993 0,992 0,991

6

6,5

7

7,5

8

λ

Рис. 2.5. График зависимости вероятности появления не более 15 дефектных изделий от λ

18

>> l=6:0.1:8; >> y=poisscdf(15,l); >> plot(l,y); grid; 2. Определение по графику параметра λ для всей платы: для P = 0,995 λ = 7,55. Параметр распределения Пуассона в расчете на 1см2 λ0 = 7,55/25 = = 0,302, что соответствует данным задачи 10. Задача 14. Найти гарантированное число дефектов на коммутационной плате, которое не будет превышено с заданной вероятностью P (для условий задачи 8). Значение P обычно задается из ряда 0.99: 0.995: 0.999. Гарантированное число дефектов будет равно квантили пуассоновского распределения с известным параметром λ для вероятности P0. k = poissinv(P0, λ). (2.11) Для λ = 7,5 и P0 = 0,99: >> k=poissinv(0.99,7.5) k =15 Действительное значение вероятности появления не более 15 дефектов: >> P=poisscdf(15,7.5) P =0.9954 Таким образом, фактическая степень гарантии оказывается выше заданной. Задача 15. Найти гарантированное число дефектных изделий за смену, которое не будет превышено с вероятностью P0 = 0,99 (для условий задачи 9). Гарантированное число дефектных изделий за смену определяется как квантиль пуассоновского распределения для вероятности P0: >> k=poissinv(0.99,7) k =14 Действительное значение вероятности появления не более 14 дефектов: >> P=poisscdf(14,7) P =0.9943. 3. АНАЛИЗ И КОНТРОЛЬ ПРОЦЕССОВ ВЫБОРОЧНЫМИ МЕТОДАМИ В основе анализа и контроля процессов лежат методы прикладной математической статистики. 19

3.1 Основные понятия Основные понятия определяются в соответствии с ГОСТ 15895-77. Наблюдаемая единица (краткая форма – "единица") – действительный или условный предмет, над которым проводят серию наблюдений. Результат наблюдений – характеристика свойств единицы, полученная опытным путем. Генеральная совокупность – множество всех рассматриваемых единиц. Признак – количественное или качественное свойство, позволяющее разделить единицы совокупности. Количественный признак – признак единицы, который можно непосредственно выразить числом и единицей измерения. Качественный признак – признак единицы, определяемый отношением к одной из нескольких условных категорий. Если две категории, тогда признак является альтернативным ("да – нет", "есть – нет" и т. д.). Выборка – любое конечное подмножество генеральной совокупности, предназначенное для непосредственных исследований. Статистика – функция результатов наблюдений, используемая для оценки параметров распределения и (или) для проверки статистических гипотез. Объем – количество единиц в совокупности. Оценивание – определение приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности по результатам наблюдений. Оценка – статистика, являющаяся основой для оценивания неизвестного параметра распределения. Точечное оценивание – способ оценивания, заключающийся в том, что значение оценки принимается как неизвестное значение параметра определения. Выборочное среднее арифметическое в выборке

x=

1 n ∑ xi , n i =1

(3.1)

где n – объем выборки; xi – результат измерения i-й единицы. Выборочная дисперсия

S2 =

1 n ∑ ( xi − x )2 , n − 1 i =1

если математическое ожидание μ известно или 20

(3.2)

S02 =

1 n ∑ ( xi − μ)2 , n i =1

(3.3)

если μ неизвестно. Выборочное среднее квадратическое отклонение 2 S = + S 2 или S0 = + S0 .

Выборочная ковариация

1 n ∑ ( xi − x )( yi − y ), n i =1 xi, yi – результат измерения признака X и Y соответственно. K xy =

(3.4)

3.2. Точечное оценивание параметров распределений, применяемых в задачах контроля качества Оценка математического ожидания находится как выборочное
среднее арифметическое μ = x в выборке по формуле (3.1). Оценка среднего квадратического отклонения находится как выборочное среднее квадратическое отклонение σˆ = S или σˆ = S0 по формулам (3.2) или (3.3). Оценка вероятности появления единиц с определенным признаком (годных, дефектных) при последовательных наблюдениях (оценка параметра биномиального распределения) определяется как относительная частота появления единиц с определенным признаком pˆ = h = nnp / n, где nnp – число единиц в выборке, в которых наблюдается определенный признак. Оценка среднего числа определенных признаков, приходящихся на условную единицу продукции (оценка параметр распределения Пуассона) определяется как среднее число искомых признаков в выборке

1 n λˆ = m = ∑ mi , n i =1 где mi – число интересующих нас признаков в i-й условной единице. Выборка в данном случае – совокупность условных единиц объема n. Оценка ковариации двух показателей качества определяется как выборочная ковариация по формуле (3.4). 21

Оценка выборочного коэффициента корреляции определяется по формуле K xy R= , (3.5) Sx S y где Sx, Sy – выборочные средние квадратические отклонения показателя X и Y (см. (3.2), (3.3)). Оценки, указанные выше, находятся с помощью следующих операторов Matlab: x = mean ( X ), (3.6) x = [xi, … xn] – вектор-строка данных выборки. S = std(X), (3.7) R = corrcoef(x, Y). (3.8) В (3.8) X и Y могут быть векторами или матрицами данных объема n. Формулы для определения оценок параметров биноминального и пуассоновского распределений просты и для них не требуется специальных операторов в Matlab. Исключение составляет случай, когда параметр биномиального распределения рассчитывается как вероятность попадания (или непопадания) измерения xi в допуск (вероятность годных или дефектных измерений). Для расчета вероятности непопадания показателя качества в допуск (вероятности дефектных) PД с пределами – верхним T2 и нижним T1 – применяется оператор Matlab: PД = capable (X, Y), (3.9) где X – вектор-строка данных; T – вектор-строка допусков, T = [T1, T2]. К задачам точечного оценивания примыкают также задачи определения эмпирической плотности или ряда распределения и эмпирической функции распределения. Эмпирическое распределение (плотность или ряд распределения) определяется гистограммой частот (или относительных частот). Под частотой понимается число наблюдаемых единиц, которые находятся в заданном интервале. Относительная частота – отношение частоты к общему числу наблюдений. Построение гистограммы в Matlab может быть выполнено с помощью двух операторов: hist (X, k), (3.10) histfit (X, k), где k – число интервалов. 22

Оба оператора строят разновидности столбиковых диаграмм, связывающих частоту (или относительную частоту) наблюдения со значением показателя качества в определенном интервале. Второй оператор также дополнительно строит кривую гауссовской плотности вероятности для данных X, записанных в виде вектора-строки или вектора-столбца. Задача 16. Выполнить статистический анализ партии толстопленочных резисторов после операции высокотемпературной обработки. Данные содержат измерения значения сопротивления одного и того же резистора на различных подложках (см. таблицу данных). Необходимо определить выборочные характеристики: среднее арифметическое, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания в заданный допуск, построить гистограмму относительных частот. >> data=[6.0000 6.4900 6.6700 6.4700 7.0200 6.4400;... Ввод матри6.3300 6.4000 6.6700 6.3000 6.5100 6.4100;... цы данных 6.0800 6.5800 6.4200 6.0600 5.4900 6.3800;... 5.8100 6.1900 7.5400 6.5000 7.2100 6.7500;... 6.4400 6.2300 6.4700 5.9800 6.6500 6.3100]; >> d=reshape(data,1,36); Преобразование матрицы в векторстроку >> m=mean(d) Вычисление выборочного среднего m=6.4211 >> s=std(d) s=0.3669

Вычисление стандартного отклонения

>> xmin=min(d) xmin =5.4900 >> xmax=max(d) xmax =7.5400 xmin =5.4900

Определение минимального и максимального значения данных

>> T1=m-3*s T1 =5.3205 >> T2=m+3*s T2 =7.5418

Определение значений, внутри которых отсутствуют грубые отклонения

23

>> T3=m-s T3 =6.0542 >> T4=m+s T4 =6.7880

Определение границ допуска Т3, Т4

>> P=capable(d,[T3,T4]) P =0.3173

Расчет вероятности дефектных изделий

Histfit (d,k)

Построение гистограммы частот

4. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА Применяется оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью интервал накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения. Практический интерес представляют две группы задач: прямые, когда определяются верхние и нижние границы доверительного интервала, и обратные, когда по заданным границам доверительного интервала определяется необходимый объем выборки. 4.1. Оценивание математического ожидания и дисперсии (или среднего квадратического отклонения) случайной величины признака качества Нижняя и верхняя границы для оценок математического ожидания доверительного интервала определяется по формулам: при неизвестной дисперсии

1 + PД μ Н ,В = x ∓ t ( , n − 1), 2

(4.1)

где PД – доверительная вероятность (выбирается из ряда 0,9: 0,95:0,99:0,995); t(P, V) – квантиль распределения Стьюдента для вероятности P и числа степеней свободы V. В Matlab квантиль распределения Стьюдента определяется с помощью оператора: tinv (P, V), 24

где P – заданная вероятность, V – число степеней свободы; в данном случае Р =

1 + PД

, V = n – 1; 2 при известной дисперсии

1 + PД μ Н ,В = х ∓ u( ), (4.2) 2 где u(P) – квантиль стандартного гауссовского распределения для вероятности P. В Matlab квантиль определяется с помощью оператора norminv(P). Для оценок дисперсии СВ показателя качества нижняя и верхняя границы S, S доверительного интервала определяются по формулам: при неизвестном математическом ожидании S Н2 =

S В2 =

(n − 1) S 2 ; ⎞ 2 ⎛ 1 + PД χ ⎜ , n − 1⎟ ⎝ 2 ⎠ (n − 1) S 2 , ⎞ 2 ⎛ 1 − РД χ ⎜ , n − 1⎟ ⎝ 2 ⎠

(4.3)

(4.4)

2 где χ ( P,V ) – квантиль распределения "хи-квадрат" для вероятности P и числа степеней свободы V, в Matlab вычисляется с помощью оператора chi2inv(P, V); при известном математическом ожидании:

nS02 ; ⎞ 2 ⎛ 1 + PД χ ⎜ ,n⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 nS0 S В2 = . − РД ⎞ 1 ⎛ 2 χ ⎜ ,n⎟ ⎝ 2 ⎠

S Н2 =

(4.5)

(4.6)

В Matlab имеется специальный комплексный оператор, с помощью которого можно определить границы доверительного интервала для 25

математического ожидания и среднего квадратического отклонения по выборочным данным (а также точечные оценки). Оператор записывается в виде

[muhat , sigmahat, muci, sigmaci ] = normfit ( X , 1 − PД ),

(4.7)

где X – матрица данных. Оператор возвращает для каждого столбца матрицы векторы результатов в виде четырех элементов, которые располагаются построчно: точечная оценка математического ожидания, точечная оценка среднего квадратического отклонения, нижняя и верхняя границы доверительного интервала для математического ожидания, нижняя и верхняя границы доверительного интервала для среднего квадратического отклонения. Задача 17. Рассчитать границы доверительных интервалов для математического ожидания при известной дисперсии ПК и для дисперсии при известном математическом ожидании для заданного значения доверительной вероятности и заданных выборочных данных. >>data=[6.0000 6.4900 6.6700 6.4700 7.0200 6.4400 Ввод матрицы 6.5100 6.3300 6.1700 6.3000 6.6700 6.3800 исходных данных 6.3300 6.4000 6.6700 6.3000 6.5100 6.4100 6.0800 6.5800 6.4200 6.0600 5.4900 6.3800 5.8100 6.1900 7.5400 6.5000 7.2100 6.7500 6.4400 6.2300 6.4700 5.9800 6.6500 6.3100]; >> d=reshape(data,1,36); Преобразование матрицы в вектор-строку >> m=mean(d) Вычисление генерального среднего m =6.4211

26

>> s=std(d) s =0.3669

Вычисление генерального стандартного отклонения

>> P=0.9;

Задание доверительной вероятности

>>muн=m-norminv((1+Р)/2) muн =4.4611

Вычисление нижней границы доверительного интервала для mu

>>muв=m+norminv((1+P)/2) muв =8.3811

Вычисление верхней границы доверительного интервала для mu

>>skн=36*s*s/chi2inv((1+P)/2,36) skн =0.0950

Вычисление нижней границы доверительного интервала для sigma

>>skв=36*s*s/chi2inv((1-P)/2,36) Вычисление верхней границы доskв =0.2083 верительного интервала для sigma Задача 18. Рассчитать границы доверительных интервалов для математического ожидания и стандартного отклонения при заданной матрице данных и доверительной вероятности. Сравнить с результатами задачи 17. >>data=[6.0000 6.4900 6.6700 6.4700 7.0200 6.4400 Ввод матрицы 6.5100 6.3300 6.1700 6.3000 6.6700 6.3800 данных 6.3300 6.4000 6.6700 6.3000 6.5100 6.4100 6.0800 6.5800 6.4200 6.0600 5.4900 6.3800 5.8100 6.1900 7.5400 6.5000 7.2100 6.7500 6.4400 6.2300 6.4700 5.9800 6.6500 6.3100]; >> P=0.9; Ввод доверительной вероятности [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(data,1-P)

muhat = Columns 1 through 6 6.1950 6.3700 6.6567 6.2683 6.5917 6.4450 sigmahat = Columns 1 through 6 0.2746 0.1503 0.4708

Оператор доверительного оценивания Выборочные средние

Выборочные стандартные 0.2111 0.5993 0.1555 отклонения

muci = Нижние и верхние Columns 1 through 6 границы для mu 5 .9691 6.2463 6.2694 6.0946 6.0987 6.3171 6.4209 6.4937 7.0440 6.4420 7.0847 6.5729 Нижние и верхsigmaci = ние границы для Columns 1 through 6 0.1845 0.1010 0.3164 0.1419 0.4027 0.1045 sigma 0.5737 0.3141 0.9837 0.4411 1.2521 0.3249 27

4.2. Оценивание вероятности Оценим вероятность появления элемента с заданным признаком при независимых последовательных испытаниях (параметра биноминального распределения). В Мatlab нижняя и верхняя границы доверительного интервала для вероятности (а также точечная оценка) определяются с помощью оператора [phat, pci] = binofit(n*, n, 1 – PД),

(4.8)

где n* – число элементов в выборке объема n, в которых наблюдался заданный признак, например дефект. Результат получается в виде вектора из двух элементов – точечная оценка, доверительные границы; n* может быть задано в виде вектора для нескольких выборок одинакового объема. Задача 19. Рассчитать границы доверительного интервала для вероятности дефектных изделий при числе изделий в выборке n = 8, 16, 32,64 и числе дефектных изделий соответственно 2, 4, 8,16. Пример расчета для n* = 2 >> n*=2; >> n=8; >> P=0.95; >> [phat,pci]=binofit(n1,n,1-P) phat =0.2500 pci = 0.0319 0.6509 Результаты расчетов с помощью (4.8) сведены в табл. 1. Таблица 1 n

nД

Точечная оценка

Нижняя граница

Верхняя граница

Ширина интервала

8 16 32 64

2 4 8 16

0,25 0,25 0,25 0,25

0,032 0,073 0,115 0,150

0,651 0,524 0,434 0,374

0,519 0,451 0,319 0,224

Из таблицы видно, что: 1) ширина доверительного интервала уменьшается с увеличением объема выборки n; 28

2) границы интервалов несимметричны относительно точечной оценки, но несимметричность уменьшается при увеличении n. 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРИ АНАЛИЗЕ КАЧЕСТВА 5.1. Основные понятия и определения Статистическая гипотеза – любое предположение, касающееся неизвестного распределения СВ в совокупности. Параметрическая гипотеза – предположение, которое касается неизвестного значения параметра распределения (вид распределения известен). Нулевая гипотеза (H0) – гипотеза, подлежащая проверке. Альтернативная гипотеза (H1) – каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой. Ошибка первого рода – ошибка, заключающаяся в том, что отвергают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза верна. Уровень значимости – вероятность ошибки первого рода. Критерий значимости – статистический критерий, при котором для заданного уровня значимости отвергается нулевая гипотеза или констатируется отсутствие оснований для ее опровержения. Критерий согласия – статистический критерий, предназначенный для проверки гипотезы о согласии распределения СВ исследуемой совокупности или гипотезы о согласии распределений в двух или более совокупностей. В практических задачах контроля качества чаще всего применяются проверки гипотез: о математическом ожидании в одной или двух совокупностях; о дисперсии в одной или двух совокупностях; о согласии распределения СВ исследуемой совокупности с гауссовским распределением. 5.2. Проверка гипотез о дисперсиях гауссовской СВ Целесообразно начинать проверку гипотез о параметрах гауссовской СВ с гипотез о дисперсиях, так как результаты проверки используются при проверке гипотез о математическом ожидании. Выражения для критериев значимости при проверке гипотез о дисперсиях даны в табл. 2. 29

Таблица 2 H0

H1

σ 2 = σ 02

σ 2 ≠ σ 02

Критерий значимости

Примечание

nS02 ⎡ 2 ∉ χα/ 2 (n), χ12−α/ 2 (n)⎤ 2 ⎦ σ0 ⎣

μ известно (5.1)

(n −1)S02 ⎡ 2 ∉ χα/ 2 (n −1), χ12−α/ 2 (n −1)⎤ ⎣ ⎦ σ02

μ неизвестно (5.2)

σ 2 = σ 02 σ 2 > σ 20

nS02 2 < χ1−α (n) σ02

μ известно (5.3)

σ 2 = σ 02 σ 2 > σ 20

(n −1)S02 2 < χ1−α (n −1) σ02

μ неизвестно (5.4)

σ12 = σ 22 σ12 ≠ σ 22

2 S01 > F1−α/2 (n1, n2 ) 2 S02

S12 > F1−α/ 2 (n1 −1, n2 −1) S22

μ1 и μ2 известны (5.5) μ1 и μ2 неизвестны (5.5)

S1 > S 2

σ12 = σ 22 σ12 > σ 22

2 S01 < F1−α (n1, n2 ) 2 S02

S12 < F1−α (n1 −1, n2 −1) S22 S1 > S 2

μ1 и μ2 известны (5.7) μ1 и μ2 неизвестны (5.8)

Примечание: F(P, V1, V2) – квантиль распределения Фишера (fраспределения) для вероятности P и числа степеней свободы V1 и V2, в Matlab вычисляется с помощью оператора finv (P, V1, V2); α – вероятность ошибки первого рода. Задача 20. Задана матрица данных X. Проверить гипотезы о равенстве дисперсий в отдельных выборках (по столбцам) некоторому значению (дисперсии по всему массиву данных). Проверить гипотезы о равенстве дисперсий генеральных совокупностей, из которых взяты 30

выборки с наиболее отличающимися выборочными дисперсиями (математическое ожидание неизвестно). Ввод данных >> data=[6.0000 6.4900 6.6700 6.4700 7.0200 6.4400 6.5100 6.3300 6.1700 6.3000 6.6700 6.3800 6.3300 6.4000 6.6700 6.3000 6.5100 6.4100 6.0800 6.5800 6.4200 6.0600 5.4900 6.3800 5.8100 6.1900 7.5400 6.5000 7.2100 6.7500 6.4400 6.2300 6.4700 5.9800 6.6500 6.3100] >> d=reshape(data,1,36); Преобразование матрицы >> s=std(d) s =0.3669

Вычисление стандартного отклонения

>> s1=std(data) s1 = Columns 1 through 6 0.2746 0.1503 0.4708

Вычисление стандартного отклонения в выборках

>> s1max=max(s1) s1max =0.5993 >> n=36;

0.2111

0.5993

Вычисление максимального стандартного отклонения

>> (n-1)*s1max^2/s^2> s1min=min(s1) s1min =0.1503

0.1555

Вычисление критерия

Вычисление минимального стандартного отклонения

>> s1max^2/s1min^2 u1−α/ 2

σ2 известно (5.9)

n > t1−α/ 2 (n −1)

σ2 неизвестно (5.10)

σ x − μ0

x1 − x2 σ12 + σ22 x1 − x2 S12 + S22

μ1 = μ 2 μ1 ≠ μ 2

x1 − x2 S12 + S22

(S k=

Примечание

n > u1−α/ 2

σ12 и σ 22 известно (5.11)

n > t1−α/2[2(n −1)]

σ12 и σ 22 неизвестны, но гипотеза H0 : σ12 = σ 22 принимается (5.12)

n > t1−α/ 2 (k )

неизвестны, σ12 и σ 22 но гипотеза 2 2 H0: σ1 = σ 2

)

2 2 2 1 + S2

не принимается (5.13)

S14 + S24

Примечание: tp(V) – квантиль распределения Стьюдента (t-распределения) для вероятности P и числа степеней свободы V, в Matlab вычисляется с помощью оператора finv(P, V). В Matlab имеются специальные операторы для проверки гипотез о математических ожиданиях гауссовской СВ ztest, ttest, ttest2. H = ztest(X, m, sigma, alfa, tail). (5.1) Проверяемая гипотеза H0: μ = μ0, где X – данные выборки, m = μ, sigma = σ2, alfa = α – уровень значимости; tail = 0, если H1: μ ≠ μ0; =1, если H1: μ > μ0; = –1, если H1: μ < μ0. 32

Оператор возвращает два значения H: при H = 0 гипотеза H0 принимается; при H = 1 гипотеза H = 0 должна быть отвергнута и принята гипотеза H1; H = ttest (X, m, sigma, alfa, tail). (5.2) Проверяемая гипотеза H0: μ = μ0 (дисперсия неизвестна) . Методика принятия решения и задания гипотез H1 такая же, как для ztest. H = ttest1(X1, X2, alfa, tail). (5.3) Проверяемая гипотеза H0: μ1 = μ2, дисперсии неизвестны, но гипотеза о равенстве дисперсий для сравниваемых выборок принимается. X1 и X2 – данные двух выборок; tail = 0, если H1: μ1 ≠ μ2; tail =1, если H1: μ1 > μ2; tail =–1, если H1: μ1 < μ2. Методика принятия решения описана выше. Задача 21. Для заданной матрицы данных проверить гипотезы H0: μ = μ0 при неизвестной и известной дисперсии σ2, для отдельных выборок (столбцов): H0: μ1 = μ2 при известных и равных дисперсиях σ12 = σ 22 = σ 2 для двух выборок с наиболее отличающимися выборочными средними. Ввод данных >> data=[6.0000 6.4900 6.6700 6.4700 7.0200 6.4400 6.5100 6.3300 6.1700 6.3000 6.6700 6.3800 6.3300 6.4000 6.6700 6.3000 6.5100 6.4100 6.0800 6.5800 6.4200 6.0600 5.4900 6.3800 5.8100 6.1900 7.5400 6.5000 7.2100 6.7500 6.4400 6.2300 6.4700 5.9800 6.6500 6.3100] >> d=reshape(data,1,36); Преобразование данных >> m=mean(d) m = 6.4211

Вычисление генерального среднего

> m1=mean(data)

Вычисление выборочного среднего

m1 = Columns 1 through 6 6.1950 6.3700 6.6567

6.2683

6.5917

6.4450 33

>> m1min=min(m1) m1min =6.1950 >> m1max=max(m1) m1max =6.6567

Вычисление минимального и максимального среднего

>> x1=[6.00 6.51 6.33 6.08 5.81 6.44]; >> tail=0; >> H=ztest(x1,m,s^2,0.05,tail)

Вычисление z-теста

H =1 >> H1=ttest(x1,m,0.05,tail) H1 =0

Вычисление t-теста для первой выборки

>> x2=[6.67 6.17 6.67 6.42 7.54 6.47] >> H3=ttest2(x,x2,0.05,tail) H3 =0

Вычисление t-теста для второй выборки

6. КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ 6.1. Основные понятия и определения Контрольная карта (КК) – карта, на которой для наглядности отображения состояния процесса отмечают значения соответствующей выборочной характеристики последовательных выборок. Граница регулирования – линия на КК, ограничивающая область значений выборочной характеристики, соответствующую статистически управляемому процессу. Статистически управляемый процесс – процесс, поддающийся статистическому управлению, в результате чего контролируемые параметры результатов процесса имеют только случайные отклонения. Статистическое управление процессами (СУП) – корректирование значений параметров процесса по результатам выборочного контроля параметров результатов процесса (например, продукции), осуществляемое для технического обеспечения требуемого качества. Контрольная карта средних арифметических (Х-карта) – КК, на которую наносят значения выборочного среднего арифметического контролируемого параметра. 34

Контрольная карта средних квадратических значений (S-карта) – КК, на которую наносят значения выборочного среднего квадратического отклонения. Контрольная карта числа дефектных единиц в выборке – КК, на которую в качестве значений выборочной статистики наносят число дефектных единиц (изделий) в выборке. Контрольная карта числа дефектов (С-карта) – КК, на которую в качестве значений выборочной статистики наносят число дефектов (несоответствий), приходящихся на условную единицу результата процесса (изделие, часть площади, длины, объема изделия, определенное число изделий, промежуток времени и т. д.). Контроль по количественному признаку – контроль, в ходе которого определяют значения параметров результатов процессов, а последующее решение о контролируемой совокупности результатов принимают в зависимости от этих значений. Контроль по качественному (альтернативному) признаку – контроль, в ходе которого каждый результат процесса относят к категории годных или дефектных, а последующее решение о контролируемой совокупности принимают в зависимости от числа обнаруженных в выборке дефектных единиц или числа дефектов (несоответствий), приходящихся на условную единицу результата процесса. 6.2. Контрольные карты количественных признаков К контрольным картам количественных признаков относятся: карты средних ( x -карты), средних квадратических отклонений (СКО) (S-карта), медиан, размахов. Последние две карты, в связи с широким внедрением ПК в практику ведения КК, в настоящее время практически не применяются. Проектирование и ведение КК может выполняться для двух режимов: по априорной информации и накопленным в ходе контроля данным. В первом случае должен быть проведен предварительный статистический анализ процесса, в ходе которого устанавливают параметры распределений СВ показателя качества, соответствующего статистически управляемому состоянию. Во втором случае карта строится по накопленным выборкам, по которым находятся оценки параметров распределений показателя качества.

35

Расчет и построение x -карты и S-карты Из предварительного статистического анализа процесса известны: математическое ожидание μ0 и среднее квадратическое отклонение σ0 для статистически управляемого процесса. Границы регулирования на x -карте определяются по формуле u (1 − α / 2) , (6.1) n где a1, a2 – нижняя и верхняя границы регулирования. Границы регулирования на S-карте определяются (как правило, наносится одна граница) определяются по формуле a1, 2 = μ 0 ± σ 0

χ 2 (1 − α, n) . (6.2) n В (6.1) и (6.2) α – уровень значимости при проверке гипотезы H0: μ = μ0 и соответственно H0: σ = σ0. При построении x -карте и S-карт по накопленным данным применяются специальные операторы Matlab: Sгр = σ0

α xbarplot ( X ,1 − ); (6.3) 2 для S-карт schart (x, 1 – α). (6.4) При использовании операторов (6.1') и (6.2') необходимо принимать во внимание, что X – матрица, где строки являются выборками. Задача 22. Рассчитать и построить x -карту по матрице данных X, предварительно найдя μ0 и σ0 для всей матрицы данных и с помощью оператора (6.1'). Для решения задачи используется матрица данных data, приведенная в приложении. Уровень значимости α = 0.01; объем выборки n = 6. >> data=[6.0000 6.4900 6.6700 6.4700 7.0200 6.4400 6.5100 6.3300 6.1700 6.3000 6.6700 6.3800 6.3300 6.4000 6.6700 6.3000 6.5100 6.4100 6.0800 6.5800 6.4200 6.0600 5.4900 6.3800 5.8100 6.1900 7.5400 6.5000 7.2100 6.7500 6.4400 6.2300 6.4700 5.9800 6.6500 6.3100] >> d=reshape(data,1,36); >> alfa=0.01; >> n=6; 36 для x -карт

Находим вектор выборочных средних >> vx=mean(data) vx = Columns 1 through 6 6.1950 6.3700 6.6567 6.2683 6.5917 6.4450 Среднее по всем данным, принимаемое за >> muo=mean(vx) muo =6.4211 Стандартное отклонение по всем данным >> sigma=std(d) sigma =0.3669 Нижняя и верхняя границы регулирования (6.1) (рис. 6.1) >> a1=muo-sigma*norminv(1-alfa/2)/n^0.5 a1 =6.0353 >> a2=muo+sigma*norminv(1-alfa/2)/n^0.5 a2 =6.8069 Построение контрольной карты >> x=1:6; >> plot(x,vx,'*') >>plot(x, vx); >> hold on >> plot([1,6], [a1,a1], [1,6], [a2,a2]) Построение контрольной карты с помощью (6.1) (рис. 6.2) Оператор (6.2) выборками считает строки матрицы, поэтому необходимо произвести транспонирование начальной матрицы >>Md=data'; >>xbarplot(Md,1-alfa) Задача 23. В условиях задачи 22 построить S-карту вручную и автоматически по (6.2). Вектор выборочных СКО >> vs=std(data) vs = 0.2746 0.1503 0.4708 0.2111 0.5993 0.1555 Граница регулирования (6.2) >> sl=sigma*((chi2inv(1-alfa,n))/n)^0.5 sl =0.6141 (sigma известно из задачи 23) Построение S-карты (рис. 6.3) >> x=1:6; 37

>> plot(x,vs,'*',x,vs,[1,6],[sl,sl]) >> grid Построение карты с помощью (6.4) (рис. 6.4). >> schart(data',0.99) выборочное среднее, кОм

x-карта для матрицы данных data при уровне значимости α = 0.01 7 6,9 6,8 6,7

*

6,6

*

6,5 6,4

*

*

6,3

*

6,2* 6,1 6

1

2

3

4

выборочное среднее, кОм

5 6 номер выборки Рис. 6.1. x -карта, построенная с помощью команды plot X-карта для матрицы данных data при уровне значимости α = 0.01

6,8 6,7

*

6,6

*

6,5 6,4

* CL

*

*

6,3 6,2 * 6,1 6

LCL

5 5,5 6 4,5 номера выборок Рис. 6.2. x -карта, построенная с помощью оператора xbarplot

38

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

выборочное отклонение

s-карта для матрицы данных data при уровне значимости α = 0.01

*

0,6 0,5

*

0,4 0,3

*

*

0,2

*

0,1

*

0 1

2

3

4

5 6 номера выборок

Рис. 6.3. S-карта, построенная с помощью команды plot

выборочное отклонение

s-карта для матрицы данных data при уровне значимости α = 0.01

*

0,6 0,5

*

0,4 0,3

* *

0,2

*

0,1 0

1

2

3

4

*

5 6 номера выборок

Рис. 6.4. S-карта, построенная с помощью оператора schart

39

6.3. Контрольные карты альтернативных признаков В практике контроля качества наиболее широкое применение находят: карты числа дефектных изделий (np-карты); карты числа дефектов на условную единицу продукции (с-карты). Карты числа дефектных изделий Выборочная статистика имеет биномиальное распределение. В соответствии с результатами подразд. 2.2 граница регулирования (одна граница) определяется как квантиль биномиального распределения для статистически управляемого процесса для вероятности P = 1 – α, где α – уровень значимости. В Matlab d = binoinv(1–α, n, q0), где q0 – вероятность дефектных изделий для процесса в статистически управляемом состоянии. Карты числа дефектов на условную единицу Выборочная статистика имеет распределение Пуассона. Граница регулирования определяется как квантиль распределения Пуассона для статистически управляемого процесса. В Matlab C = poissinv(1–α, λ0), (6.5) где λ0 – параметр распределения Пуассона для статистически управляемого процесса. Задача 24. Задана матрица количественных данных X. Столбцы рассматриваются как выборки. Рассчитать допуски по заданной вероятности брака q = 0,1. Изделие считать дефектным, если значения x находятся за границами допуска. Построить карту числа дефектных изделий для уровня значимости α = 0,1. Распределение данных X считать гауссовским. Ввод внешних данных: >> q=0.1; >> alfa=0.1; Ввод матрицы данных: data: >> data=[6.0000 6.4900 6.6700 6.4700 7.0200 6.4400;... 6.5100 6.3300 6.1700 6.3000 6.6700 6.3800;... 6.3300 6.4000 6.6700 6.3000 6.5100 6.4100;... 6.0800 6.5800 6.4200 6.0600 5.4900 6.3800;... 40

5.8100 6.1900 7.5400 6.5000 7.2100 6.7500;... 6.4400 6.2300 6.4700 5.9800 6.6500 6.3100]; Вектор-строка данных: >>vd=reshape(data,1,36); Параметры гауссовского распределения: >> mu=mean(vd) mu =6.4211 >> sigma=std(vd) sigma =0.3669 Верхняя t2 и t1 нижняя границы допуска: >> t2=norminv((1-q/2),mu,sigma) t2 =7.0246 >> t1=norminv(q/2,mu,sigma) t1 =5.8176 Ввод вектора числа дефектных изделий, определяемого визуально по матрице данных: >> vq=[1,0,1,0,2,0]; Оценка вероятности дефектных изделий (по всей матрице) >> q=4/36 q =0.1111 (соответствует заданному значению 0.1) Граница регулирования >> d=binoinv(1-alfa,6,q) d =2 Построение карты (рис. 6.5) >> x=1:6; >> plot(x,vq,'*',[1,6],[2,2],x,vq) Задача 25. В условиях задачи 24 построить с-карту – карту числа дефектных изделий в условной единице продукции (выборке). Из результатов задачи 24 среднее число дефектных изделий на одну

2 . Считая распределение дефектов условной еди3 ницы пуассоновским, определим границу регулирования. Ввод вектора числа дефектных изделий, определяемого визуально по матрице данных: >> vq=[1,0,1,0,2,0]; Ввод вектора числа дефектных изделий на единицу продукции:

выборку составит λ ≅

41

число дефектных изделий

Контрольная карта числа дефектных изделий для матрицы данных data и уровне значимости α = 0.1 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

число дефектных изделий на единицу продукции

5 6 n, номер выборки Рис. 6.5. Контрольная карта числа дефектных изделий 1

2

4

3

Контрольная карта число дефектных изделий на единицу продукции 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

1

2

3

4

5

6

n, номер выборки Рис. 6.6. Контрольная карта числа дефектных изделий на единицу продукции

42

>> vq1=vq./6; Граница регулирования >> d=poissinv(1- alfa,2/3) d =2 Построение карты >> x=1:6; >> plot(x,vq1,'*',[1,6],[2,2],x,vq1) С-карта будет идентична np-карте, что обусловлено близостью пуассоновского и биномиального распределений заданных данных. 7. ДИАГРАММЫ РАССЕИВАНИЯ Диаграмма рассеивания – точечная диаграмма, представляющая статистическую зависимость двух коррелированных величин x, y. Если имеются векторы X и Y с одинаковым числом элементов, то диаграмма рассеивания строится в Matlab по стандартной методике построения графика: X = [x1, x2, …, xN]; Y = [y1, y2, …, yN]; plot(X, Y,′*′; lsline; grid. Оператор lsline cтроит (по методу наименьших квадратов) линию регрессии, около которой сосредоточены точки на диаграмме. Чем выше коэффициент корреляции, тем ближе точки расположены к этой линии. Тангенс угла наклона этой линии к оси Х приблизительно дает значение и знак коэффициента корреляции. Диаграмма рассеивания применяется для визуальной оценки корреляции между двумя СВ. Пример построения диаграммы рассеивания рассмотрен в нижеследующей задаче 26. Задача 26. Получить 36 пар зависимых случайных чисел, имеющих стандартное гауссовское распределение и коэффициент корреляции R = 0,8, построить диаграмму рассеивания. Получение зависимых случайных чисел, представляемых матрицами Vx и Vyx: >> Vx=randn(1,36); >> Vy=randn(1,36); >> Vyx=Vy*sqrt(1-0.8^2)+Vx*0.8; 43

Построение диаграммы рассеивания (рис. 7.1): >> plot(Vx,Vyx,'*');lsline;grid Y 2 1,5 1 0,5 0 –0,5 –1 –1,5 –2 –2,5 –2

* * * ** ** * * *** ** * ** * * * * * * ** * * * * * ** *

* * –1,5

–1

–0,5

0

0,5

1

1,5

*

2

2,5

x

Рис. 7.1. Диаграмма рассеивания 36 пар зависимых случайных чисел

Для получения зависимых случайных чисел используется преобразование двух независимых СВ Vx и Vy

V yx = V y

(1 − R )2 + Vx R.

(7.1)

Проверить значение коэффициента корреляции чисел Vx и Vyx можно с помощью оператора Matlab corrcoef (Vx, Vyx) (7.2) >> R=corrcoef(Vx,Vyx) R = 1.0000 0.8781 0.8781 1.0000 8. ПОСТРОЕНИЕ ЗАВИСИМОСТEЙ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ТОЧКАМ 8.1. Построение зависимости по методу наименьших квадратов Суть метода заключается в следующем. Для определенных значений аргумента xi (i = 1, 2, …, n) получены значения некоторой функции y, которые неточно представляют функцию y = f(x) вследствие ошибок 44

измерений. Вид f(x) известен и задается определенным выражением, но с неизвестными постоянными коэффициентами (например, полином k-й степени с неизвестными (k + 1) коэффициентами). Метод наименьших квадратов дает возможность получить некоторую аппроксимирующую функцию из условия fˆ ( x) n

∑ ⎡⎣ yi′ − fˆ ( x) ⎤⎦

2

= min.

(8.1)

i =1

Функция fˆ ( x) того же вида, что и f(x), а из условия (8.1) можно найти оценки неизвестных коэффициентов. Методика получения аппроксимирующих функций вида полиномов с неизвестными коэффициентами в Matlab заключается в следующем. На первом этапе находим коэффициенты аппроксимирующего многочлена k-степени по векторам аргумента X и неточных данных Y: X = [x1, x2, …, xN], Y = [y1, y2, …, yN]; с помощью оператора PA = polyfit (x, y, k), где k должно быть меньше числа данных n.

(8.2)

На втором этапе можно вычислить значение yˆ = fˆ ( x) в любой точке, пользуясь аппроксимирующим многочленом с помощью оператора yˆ( x) = polyval ( PA, x ).

(8.3)

Задача 27. В точках x = 1, 2, 3, 4, 5 получены неточные значения y = 2, 4, 6, 8, 10. Подобрать по МНК аппроксимирующие полиномы первого и второго порядков для функции y = f(x) (рис. 8.1). Подбор полинома первого порядка: >> x=1:5; >> y=[2,3,7,7,11]; >> PA1=polyfit(x,y,1) PA1 = 2.0000 -0.0000 >> y1=polyval(PA1,x); – аппроксимирующий полином 1-го порядка. >> sum((y-y1).^2) ans = 3.600 – сумма квадратов ошибок. 45

Подбор полинома второго порядка: >> PA2=polyfit(x,y,2) PA2 = 0.1429 1.3429 0.4000 >> y2=polyval(PA2,x); – аппроксимирующий полином второго порядка; >> sum((y-y2).^2) ans = 3.3143 – сумма квадратов ошибок. 11 10 9 8

*

*

7 6 5 4

*

3 2 1

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Рис 8.1. Аппроксимирующие полиномы первого и второго порядков для функции (точки)

По критерию минимума суммы квадратов ошибок наиболее подходит полином второго порядка. 8.2. Построение зависимостей с помощью сплайн-функций Суть метода сплайн-функций заключается в следующем. Для аргументов x = x1, x2, …, xN получены значения функции y = y1, y2, …, yN (узлы). Находится аппроксимирующая зависимость – S(x) – сплайн-функция – со свойствами: 1) точки yi (узлы) лежат на кривой S(x); 2) S(x) в узлах не претерпевает разрыва непрерывности (существует первая производная); 3) на участках между узлами S(x) представляет собой полиномы заданной степени. 46

Широко применяются кубические сплайн-функции, когда на отдельных участках S(x) представляется полиномами 3-й степени. В Matlab для нахождения сплайн-функции 3-го порядка имеется оператор yi = splin(X, Y, Xi), (8.4) где X, Y – векторы координат узлов; Xi – вектор абсцисс точек сплайнфункции. Задача 28. В условиях задачи 27 найти сплайн-функцию, проходящую через узлы с координатами X, Y (рис. 8.2). Y 35 30 25 20 15 10 5 0

*1

* 2

*

*

3

4

* 5

6

x

Рис. 8.2. График сплайн-функции, проходящей через узлы X и Y

>> x=1:5; >> y=[2,3,7,7,11]; >> x1=1:0.1:6; >> y1=spline(x,y,x1); – сплайн-функция. При необходимости построить график сплайна необходимо выполнить обычные операции >> plot(x,y,'*',x1,y1).

47

ПРИЛОЖЕНИЕ В таблице П1 представлены значения сопротивления (в кОм) резистора одной и той же схемной позиции на 36 различных толстопленочных платах одной партии. Таблица П1 Исходные данные i

48

xi

i

xi

i

xi

i

xi

i

xi

i

xi

1 6,0000

7

6,4900 13 6,6700 19 6,4700 25 7,0200

31 6,4400

2 6,5100

8

6,3300 14 6,1700 20

3 6,3300

9

6,4000 15 6,6700 21 6,3000 27 6,5100 33 6,4100

6,3000 26 6,6700 32 6,3800

4 6,0800 10 6,5800 16 6,4200 22

6,0600 28 5,4900 34 6,3800

5 5,8100 11 6,1900 17 7,5400 23

6,5000 29 7,2100

6 6,4400 12 6,2300 18 6,4700 24

5,9800 30 6,6500 36 6,3100

35 6,7500

Библиографический список 1. Вентцель Е. С., Овчаров Д. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1988. 2. Статистические методы качества: Пер. с англ. / Под ред. Х. Куме. М.: Финансы и статистика, 1990. 3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / Под ред. Г. Гроше и В. Циглера. М.: Наука, 1980. 4. Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчетов Matlab5.X/D: В 2 т. М.: Диалог-Мифи, 1999. 5. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения Matlab. Специальный справочник. СПб.: Питер. 2001.

49

Оглавление Предисловие............................................................................................ 1. Показатели качества как случайные величины .............................. 1.1. Показатели качества как непрерывные случайные величины ...................................................................................... 1.2. Показатели качества как дискретные случайные величины ...................................................................................... 2. Вероятностные задачи контроля качества ...................................... 2.1. Контроль по количественным признакам свойств изделий.......................................................................................... 2.2. Контроль по качественным признакам свойств изделий ........ 3. Анализ и контроль процессов выборочными методами ................ 3.1. Основные понятия ....................................................................... 3.2. Точечное оценивание параметров распределений, применяемых в задачах контроля качества.............................. 4. Интервальное оценивание параметров распределений показателей качества ..................................................................................... 4.1. Оценивание математического ожидания и дисперсии (или среднего квадратического отклонения) случайной величины признака качества....................................................... 4.2. Оценивание вероятности ............................................................. 5. Проверка статистических гипотез при анализе качества ............. 5.1. Основные понятия и определения .............................................. 5.2. Проверка гипотез о дисперсиях гауссовской СВ ..................... 5.3. Проверка гипотез о математических ожиданиях .................... 6. Контрольные карты............................................................................. 6.1. Основные понятия и определения .............................................. 6.2. Контрольные карты количественных признаков ...................... 6.3. Контрольные карты альтернативных признаков ...................... 7. Диаграммы рассеивания .................................................................... 8. Построение зависимостeй по экспериментальным точкам .......... 8.1. Построение зависимости по методу наименьших квадратов ..................................................................................... 8.2. Построение зависимостей с помощью сплайнфункций ......................................................................................... Приложение .............................................................................................. Библиографический список .................................................................... 50

3 3 3 6 10 10 14 19 20 21 24

24 28 29 29 29 31 34 34 35 40 43 44 44 46 48 49