Тестовые задания по математике для студентов международного факультета

Министерство образования Российской Федерации Донской государственный технический университет Кафедра «Высшая математика»

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МЕЖДУНАРОДНОГО ФАКУЛЬТЕТА

Ростов-наДону 2003

2

Составители: Золотарева Л.И., Полисмаков А.И. УДК 512 Тестовые задания по математике для студентов международного факультета/ ДГТУ, Ростов-на-Дону, 2003,22с.

Составлены для подготовки к рубежным контролям для студентов международного факультета ДГТУ (специальность 060600)

Печатается по решению методической комиссии кафедры «Высшая математика»

Рецензенты: А.Н. Румянцев, канд. физ.-мат. наук, доцент

©

Издательский центр ДГТУ, 2003

3 Тестовое задание по матем., ф-т межд. экон., 1 курс, 1 семестр, 1 блок; тема: лин. алгебра

Вариант №1 Отметьте номер правильного ответа на бланке ответов Задания и варианты ответов 1. Матрица называется диагональной, если: 1) элементы, стоящие на побочной диагонали, равны нулю; 2)все элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю; 3)все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю; 4)элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю; 5)элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны ;1 2. Если система лин. алгебр. уравнений AX=B совместна, то обязательно:

1) rangA=rang A =n;

2) rangA=rang A ≠ n;

3) rangA ≠ rang A =n;

4) rangA=rang A ;

5) rangAC, то обязательно: 1) lim f ( x) = ∞, x →∞

4) lim f ( x ) = ∞ , x → +∞

2)

lim f ( x) = +∞ , 3) lim f ( x) = −∞ , x →∞

5) lim f ( x ) = +∞ . x → −∞

x →∞

8

2. Функция f(x) определена на всей числовой прямой. Если для любого x существует число М>0, для которого f (x ) −1 оси, если a равно: 1) 3; 2) 1; 3) 2; 4) 4; 5) -2; Тестовое задание по математике, ф-т межд. экон., 1 курс, 1 семестр, 3 блок; тема: пределы

Вариант №2 Отметьте номер правильного ответа на бланке ответов Задания и варианты ответов

9

1. Функция f определена на всей числовой прямой. Если для любого С>0 существует А>0 такое, что для любого x > A cледует f(x)0 существует число δ >0, что как только x − x 0 < δ выполняется неравенство f ( x ) < ε , то функция:

1) стремится к ε ;

2) стремится к 0; 3) стремится к δ ; 4) ограничена; 5) не имеет предела. 3.Отметьте номер предела, равного нулю

3x 2 + x − 2 2x 2 − 4x 2x 3 + 2x − 3 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; x →∞ x →∞ 3 x →∞ x 2 + x + 3 7x2 + 9 x4 + 3 5x 2 − 4 (2 x − 1)( x + 3) ; 5) lim . 4 2 x →∞ x + x + 3 x →∞ 5 x 2 + x + 2 − 2 x 2 + 3x + 2 4. Значение lim равно: 1) -2/3; 2) -5/11; 3) -0.2; x →2 3 x 2 − x − 10 4) lim

4) 0; 5) ∞ .

5. Значение lim ( x + 3 x + 2 − 2

x → −∞

3) 6;

x 2 − 4 ) равно: 1) 1.5; 2) 3;

4) 0; 5) ∞ .

6. Значение lim( x →3

3) -1/21;

3 7 − 2 ) равно: 1) 4; 2) 0; x ( x − 3) 2 x − 5 x − 3

4) 0.5;

7. Значение lim

x → −2

5) ∞ .

arcsin( x + 2) равно: 1) 0; 2) -1/4; 3) -1/2; 4) 1; 5) ∞ ( x 2 − 4) 1 3

8. Значение lim(1 − xtg (2 x 2 )) 4 x равно: 1) e 0.5 ; 2) e 0.25 ; 3) 1; 4) ∞ ; x →0

5) e −0.5 .

10

⎧ x 2 − a, x ≤ 1 9. Функция f ( x ) = ⎨ непрерывна на всей числовой ⎩− 3 x + 1, x > 1 оси, если a равно 1) 1; 2) 0; 3) -3; 4) -1; 5) 3; Тестовое задание по матем., ф-т межд. экон., 1 курс, 2 семестр, 1 блок; тема: производные

Вариант №1 Отметьте номер правильного ответа на бланке ответов Задания и варианты ответов 1. Функция f определена на всей числовой прямой. Если для любых a и b, удовлетворяющих условию a>b, выполняется неравенство f(b)f(a) 0 , то в точке х: 1)достигается максимум; 2) достигается

минимум ; 3) не достигается экстремум; перегиба; 5) функция возрастает.

4) достигается точка

4. Значение производной сложной функции y = tg ( 2

π 4

− 2 x ) при

x=0 равно: 1) 2; 2) -4; 3) 4; 4) -8; 5) 8;

ln 2 2 x 5. Значение предела lim , вычисленное с помощью правила x →∞ x Лопиталя, равно: 1) 2; 2) ∞ ; 3) 0; 4) 1; 5) 0,5. 6. Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции

y = x 2 − 2 x + 2 на отрезке [2,3] , то значение выражения m+M

12

равно: 1) 3 2) 6 3) 1 4) 7 5) 5 7. Задана производная функции: y ′ = ( x + 2) ( x − 3) . Сумма абсцисс точек перегиба функции равна: 1) -2; 2) 4; 3) 1; 4) 2; 5) -4. 8. Если x=a – вертикальная асимптота, а y=b - горизонтальная 3

асимптота функции y =

2

3− x , то сумма a+b равна: 1) 3,5; 2) 1,25; 2x − 4

3) -2; 4) 1,5; 5) 7. 9. Значение частной производной f x′ функции f ( x, y ) = sin( y x ) в точке (4, π) равно: 1) 1; 2) 0,25; 3) 0; 4) 0,25π ; 5) 0,5π . 10. Cумма координат вектора-градиента функции

f ( x, y ) = e − x

3

+2 x2 y

, вычисленного в точке ( 2,1) , равна: 1) 8; 2) -4;

3) 12; 4) 4; 5) 2 e

−4

.

Тестовое задание по матем., ф-т межд. экон., 1 курс, 2 семестр, 2 блок; тема: интегралы

Вариант №1 Отметьте номер правильного ответа в бланке ответов Задания и варианты ответов 2

1. Первообразная функции f ( x) = xe −2 x равна: 2

2

2

2

2

1) − 0,25e −2 x ; 2) − 4e 2 x ; 3)0.25e −2 x ; 4)4e −2 x ; 5)e −2 x ; π

1

2. Значение интеграла

∫ (2 x − 1) sin( 2 x)dx

равно:

0

1) -3;

2) 1; 3)

2 8 ; − π π2

4) 0;

5)

8 2 − . 2 π π

3. Даны интегралы и их выражения:

xdx xdx dx dx ; б)∫ ; в)∫ ; г)∫ ; 2 4 2 1+ x 1+ x 1+ x 1− x 2 x +1 А)arctgx+ c; B)0.5 ln + c; C)0.5 ln1+ x 2 + c; D)0.5arctgx2 + c; x −1

а)∫

Запишите номер верной последовательности ответов 1){A,B,C,D}; 2){A,D,B,C}; 3){C,B,A,D}; 4){D,A,C,B}; 5){C,D,A,B}.

13

4. Неопределенный интеграл 1)

∫

ln x − 1 + − x 2 + 2 x + 3 ;

3) − 2 − x + 2 x + 3 ; 2

5)

dx

равен:

− x 2 + 2x + 3 x −1 2) arcsin ; 2 4)

− ln − x 2 + 2 x + 3 ;

arcsin(− x 2 + 2 x + 3) .

5. Рациональную дробь

(2 x − 3) можно разложить на сумму ( x − 1)( x 2 + 4)

простейших дробей:

A B C A Bx + C A B ; 2) ; 3) ; + + + 2 + 2 x −1 x − 2 x + 2 x −1 x + 4 x −1 x + 4 A Bx A Bx + С 4) ; 5) . + 2 + x −1 x + 4 x − 1 ( x + 2) 2

1)

6. Значение определенного интеграла от тригонометрической функции π 6

∫ sin

3

6 xdx равно: 1) -2/3;

2) 2/3;

3) 1/9;

4) -1/9;

5) 1/3.

π 12

7. Площадь фигуры, ограниченной линиями y=3x2-3, y=-3x+3, равна: 1) 5.5; 2) 29.5; 3) 17.5; 4) 13.5; 5) 1.5; Тестовое задание по матем., ф-т межд. экон., 1 курс, 2 семестр, 2 блок; тема: интегралы

Вариант №2 Отметьте номер правильного ответа в бланке ответов Задания и варианты ответов

1. Первообразная функции f ( x ) =

x 4

x2 −1

равна:

14

1)

4 44 ( x 2 − 1) 3 ( x 2 − 1) 3 24 ( x 2 − 1) 3 ; 2) ; 3) ; 4) 4 x 2 − 1; 3 2 3

54 ( x 2 − 1) 5 5) . 4 1

2. Значение интеграла

∫ (2 x − 1)e

1− x

dx равно:

1) 3+e;

2) –e;

0

3) 3e-1; 4) 2-2e; 5) –e+1. 3. Даны интегралы и их выражения:

а)∫

dx x2 −1

; б)∫

dx 1 − x2

xdx

; в)∫

x2 −1

; г)∫

xdx 1 − x2

;

А) − 1 − x2 + c; B) ln x + x2 −1 + c; C) arcsinx + c; D) x2 −1 + c. Запишите номер верной последовательности ответов 1){A,B,C,D}; 2){B,C,A,D}; 3){C,B,A,D}; 4){B,C,D,A}; 5){D,C,A,B}.

dx равен: − 4x + 5 x −3 2 2 1) 0,5 ln x − 4 x + 5 ; 2) 0,5 ln ; 3) 2 x − 4 x + 5 ; x −1 5) arctg ( x − 2) . 4) 0,5 ln x − 2 ;

4. Неопределенный интеграл

4. Рациональную дробь

∫x

2

(2 x − 3) можно разложить на сумму ( x − 1)( x 2 − 1)

простейших дробей

1)

A B C A B C A Bx + C + + + + + ; ; 2) ; 3) 2 x −1 x −1 x + 1 x −1 (x −1) x + 1 x −1 x 2 −1

4)

A B A B + + . ; 5) x −1 x + 1 x + 1 (x −1) 2

15

5. Значение определенного интеграла от тригонометрической функции π 8

∫ sin

2

x cos 2 xdx равно:

1) π/64-1/32;

2) π/8-1/2;

0

3) π/8+1/2; 4) π/16-1/4; 5) 1/4. 6. Площадь фигуры, ограниченной линиями y=3x2, y=4x3, x=1, x=2, равна: 1) 18; 2) 30; 3) 6; 4) 0; 5) 8; Тестовое задание по математике, ф-т межд. экон., 1 курс, 2 семестр, 3 блок; тема: ряды

Вариант №1 Отметьте номер правильного ответа на бланке ответов Задания и варианты ответов ∞

u n +1 = p . Ряд сходится, если: n→∞ u n

1. Дан ряд

∑u ,

un > 0, и lim

1) p>1;

2) p0;

n =1

n

∞

2. Даны ряды

∑ (−1) n =1

n

4) p 0 . Ряд расходится по признаку Коши,

un > 1; n →∞ u n +1

1) lim

4) lim n u n n→∞

n

> 1; ∞

2. Даны ряды

u n +1 > 1; n→∞ u n

2) lim

5) lim n u n n→∞

∑ (−1)n cn , (1); n =1

3) lim u n n→∞

≠ 0;

< 1. ∞

∑ c , (2) . n =1

n

Ряд (1) называется

условно сходящимся, если: 1) сходится ряд (1); 2) сходятся ряды(1),(2); 3) сходится ряд (1), а ряд (2) расходится; 4) сходится ряд (2), а ряд (1) расходится; 5) расходятся ряды (1),(2). 3. Заданы числовые ряды c положительными членами: ∞ ∞ ∞ ∞ 10n2 3n 3 n n2 + 1 2n ; B)∑ A)∑ 4 ; C)∑ 3 ; D)∑ 2 ; E)∑ 2 . n=1 n + 2 n=1 5n −1 n=1 7n n=1 n + 6 n=1 4n ∞

Верная последовательность расходящихся рядов записана под номером: 1) { B,C,D}; 2) {B,C,E}; 3) {A,B,D}; 4) {B,E}; 5) {A,D}. 4. Заданы знакочередующиеся ряды:

17 ∞ ∞ (−1) n n (−1) n n (−1) n 3n ; B )∑ 2 ; C )∑ 3 ; n =1 5n + 2 n =1 3n + 1 n =1 n − 2 ∞

A)∑

∞ (−1) n n (−1) n n ; E )∑ . 3n n =1 5n + 1 n =1 ∞

D )∑

Верная последовательность условно сходящихся рядов записана под номером 1) {A,B,C,D}; 2) {B,C,D}; 3) {B,D}; 4) {B,C,E}; 5) {C,E}.

( x − 2) n записана под ∑ n n = 0 3 ( 2n + 1) ∞

5. Область сходимости степенного ряда номером

1) [-1,5];

2) (1,3); 3) (-3,3);

4) [-1,5); 5) [-11].. −4 x

6. Коэффициент при степени x в разложении функции y = e x в ряд Маклорена равен: 1) -32/3; 2) 1/6; 3) -1/3; 4) 1/2; 5) 4; 7. Коэффициент при степени x2 в разложении функции y = 1 (2 x + 3) в ряд Тейлора при x0=-1 равен: 1) 1; 2) 1/2; 3) 4; 4) 2; 5) -2. 2

Тестовое задание по матем., ф-т межд. экон., 1 курс, 3 семестр, 1 блок; тема: диф. ур.-ия

Вариант №1 Отметьте номер правильного ответа на бланке ответов Задания и варианты ответов 1. Дифференциальное уравнение 1-го порядка

xy ′ + ( x + 1) y = 3 xe − x является уравнением: 1) с разделяющимися переменными; 2) линейным; 3) однородным; 4) уравнением Бернулли; 5) в полных дифференциалах. 2. Чтобы решение задачи Коши y ′ = f ( x ), y ( x 0 ) = y 0 в области [x0-h, x0+h] необходимо выполнение условий: 1) f(x,y), fx(x,y) непрерывны в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D; 2)f(x,y), fx(x,y), fy(x,y) определены в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D; 3)f(x,y), fy(x,y) непрерывны в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D; 4)f(x,y), определена в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D ; 5) f(x,y) непрерывна в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D. 3. Для решения дифференциального уравнения

18

2 y′ ( y ′) 2 = необходимо сделать подстановку: 5− 2y 5− 2y -1 1) y = tx ; 2) y ′ = z (x ) ; 3) y ′ = z ( y ) ; 4) y = u( x )v ( x ) ; 5)y=z (x) y ′′ +

4. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка ( x + 2 y ) y ′ = y − 2 x является функция:

y − ln( x 2 + y 2 ) = 0 ; 2) ln( x 2 + y 2 ) = ln c ; x y y 2 2 3) arctg = −2 ln x ; 4) arctg + ln c ( x + y ) = 0 ; x x 2 2 3 5) x + y = cx .

1) arctg

5. Общее решение линейного дифференциального. уравнения 2-го порядка y ′′ + 2 y ′ + 1 = 0 имеет вид:

1) y = c1e x + c 2 e x ; 2) y = c1e x + c 2 xe x ; 3) y = 2ce x ; 4) y = c1e x + c 2 e − x ;

5) y = c1 xe x + c 2 xe − x . 6. Для дифференциального уравнения y ′′ − 6 y = 5 y ′ частным решением является функция:

1) y = 6e x ; 2) y = 2e 2x ; 3) y = e -x sin x; 4) y = 3e 6x ; 5) y = e 5x −x 7. Частное решение уравнения y ′′ − 4 y = 3e , удовлетворяющее

= e 2 x − e −2 x ; + e −2 x ; 3) y = x + e − x ; 4) y = e − x ; 5) y = e − x − 1.

начальным условиям y(0)=0, y′(0)=-1 имеет вид: 1) y

2) y = −e − x

8. Частное решение дифференциального уравнения y ′′ + 4 y = 3x sin 2 x следует искать в виде:

1) y = Ax(cos 2 x + sin 2 x); 2) y = x 2 ( A cos 2 x + B sin 2 x); 3) y = x(( Ax + B) cos 2 x + (Cx + D) sin 2 x); 4) y = x( A cos 2 x + B sin 2 x); 5) y = Ax sin 2 x.

19 Тестовое задание по матем., ф-т межд. экон., 1 курс, 3 семестр, 1 блок; тема: диф. ур-ия

Вариант №2 Отметьте номер правильного ответа на бланке ответов Задания и варианты ответов 1. Дифференциальное уравнение 1-го

порядка ( x − y ) y ′ = y ( y + x ) является уравнением: 1) с разделяющимися переменными; 2) линейным; 3) однородным; 4) уравнением Бернулли; 5) в полных дифференциалах. 2. Чтобы решение задачи Коши y ′ = f ( x ), y ( x 0 ) = y 0 в области 3

3

2

2

[x0-h, x0+h] необходимо выполнение условий: 1) f(x,y), fx(x,y) непрерывны в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D; 2)f(x,y), fx(x,y), fy(x,y) определены в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D; 3)f(x,y), fy(x,y) непрерывны в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D; 4)f(x,y), определена в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D ; 5) f(x,y) непрерывна в открытой обл D, P0(x0,y0) ∈ D.

3 5 y′ = 3 x x необходимо сделать подстановку: 1) y = tx ; 2) y ′ = z (x ) ; -1 3) y ′ = z ( y ) ; 4) y = u( x )v ( x ) ; 5) y=z (x).

3. Для решения дифференциального уравнения y ′′ +

4. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка

1 y = 2 x( x + 2) является функция: 1) y = x 3 + 4 x 2 + cx ; x+2 2 3 1 2 3 2 2) y = x + 2 x + c ; 3) y = x + x + c ; 3 2 3 2 3 2 4) y = x + 2 x + cx + 2c ; 5) y = 2 x + 4 x + c . y′ −

5. Общее решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка y ′′ + 2 y ′ + 5 = 0 имеет вид:

1) e x (c1 cos 2x + c2 sin 2x); 2) y = c1e x + c2 e −3x ; 3) y = c1e x cos 2x; 4) y = c1e ( −1+

; 5) y = e − x (c1 cos 2x + c2 sin 2x) . 6. Для дифференциального уравнения y ′′ + 4 y = 0 частным 6)x

+ c2 e ( −1−

6)x

решением является функция:

20

1) y = 6e 2x ; 2) y = 3sin2x; 3) y = cos 4 x; 4) y = 3e -4x ; 5) y = e 4x . 7. Частное решение уравнения y ′′ + 9 y = 8 sin x , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y′(0)=4, имеет вид: 1) y = sin x + sin 3x + cos 3x ; 2) y = cos x − sin x; 3) y = sin x; 4) y = sin x + sin 3x; 5) y = sin 3 x − sin 3 x. 8. Частное решение дифференциального уравнения

y ′′ − 4 y = 3 xe 2 x

следует искать в виде:

1) y = 3 Axe ; 2) y = Ax 2 e 2 x ; 3) y = x( Ax + B )e 2 x ; 2x

4) y = ( Ax + B)e 2 x ; 5) y = Ae 2 x . Тестовое задание по матемю, ф-т межд. экон., 1 курс, 3 семестр,2 блок; тема: вероятность

Вариант №1 Отметьте номер правильного ответа на бланке ответов Задания и варианты ответов 1. В урне 4 белых и 6 черных шаров. На удачу достали два шара. Вероятность, что шары одного цвета, равна: 1) 0,4(6); 2) 0,74; 3) 0,28; 4) 1,2; 5) 0,12. 2. Для сигнализации об аварии установлены 3 датчика. Вероятности срабатывания которых при аварии независимо друг от друга равны 0,8; 0,9; 0,7, соответственно. Вероятность, что при аварии откажет хотя бы один из них, равна: 1) 0,994 2) 0,398 3) 0,496 4) 0,126 5) 0,024. 3. Вероятность выигрыша в книжной лотерее равна 0,2. Куплено 4 билета. Вероятность, что 2 билета выиграют, равна: 1) 0,8; 2) 0,1602; 3) 0,0061; 4) 0,0983; 5) 0,1536. 4. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения -1 1 3 5 xi pi 0,25 0,375 0,25 0,125 Дисперсия случайной величины X равна: 1) 4,5; 2) 1,5; 3) 97/64; 4) 3,75; 5) 4,25. 5. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией

21

0, x ≤ 1, ⎧ ⎪ распределения: F ( x) = ⎨0,5( x − 1), 1 < x ≤ 9, Вероятность ⎪ 1, x>9 ⎩ того, что случайная величина X примет значение из интервала (1, 4), равна: 1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,125; 4) 0,375; 5) 0,625. 6. Отклонение диаметра вала от заданного является случайной величиной с нормальным распределением и средним квадратическим отклонением σ=2 мкр. Вероятность того, что диаметр вала отличается от заданного не более 1 мкр., равна: 1) 0,243; 2) 0,383; 3) 0,721; 4) 0,125; 5) 0,941 Тестовое задание по матем., ф-т межд. экон., 1 курс ,3 семестр, 2 блок, тема: вероятность

Вариант №2 Отметьте номер правильного ответа на бланке ответов Задания и варианты ответов 1. В урне находится 3 белых и 5 черных шаров. Из нее последовательно и без возвращений извлекают три шара. Вероятность того, что два шара будут белыми равна: 1) 8/56; 2) 15/56; 3) 3/56; 4) 2/56; 5) 16/45; 2. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания при одном выстреле 0.7, 0.5 и 0.9, соответственно. Вероятность того, что попадут два стрелка равна: 1) 0.315; 2) 0.5; 3) 0.285; 4) 0.485; 5)0.685. 3. Монета бросается 7 раз. Вероятность того, что в этой серии независимых опытов герб выпадет 4 раза равна: 1) 3/128; 2) 7/64; 3) 35/128; 4) 3/64; 5) 7/128; 4. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения -1 1 2 3 xi pi 0,2 0,5 0,2 0,1 Дисперсия случайной величины X равна: 1) 2,4; 2) 1; 3) 0,25; 4) 1,4; 5) 1,6. 5. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией

x ≤ −2, ⎧ 0, ⎪ распределения: F ( x) = ⎨0,5 x + 1, − 2 < x ≤ 0, Математическое ⎪ 1, x>0 ⎩

22

ожидание M(X) случайной величины X равно: 1) -1; 2) -2/3; 3) 1; 4) -10/3; 5) 0. 6. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием М=2 и средним квадратическим отклонением σ=4. По таблице значений функции Лапласа вероятность, что случайная величина X примет значение из интервала (1;4) равна 1) 0.0928; 2) 0,1713; 3) 0,4798; 4) 0,2902; 5)0,3721.

Номера правильных ответов на тесты семестр №блока № варианта 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 2

1 3 4 3 1 2 3 1 1 1 3 2 3 2 3 1 2

2 4 2 2 4 4 2 3 5 3 1 2 4 3 3 3 4

3 3 2 5 2 5 4 4 2 5 4 3 3 3 2 5 3

Номера заданий 4 5 6 7 5 1 2 4 3 1 4 3 3 1 4 2 5 3 2 3 3 1 5 2 2 1 3 2 2 2 1 1 4 3 4 2 2 2 3 4 5 2 1 5 4 2 3 2 3 4 1 3 4 2 4 2 4 5 2 4 4 2 2 4 2 4

8 2 5 3 1 3 5 4 4

3 3

9 1 2 5 2 3 5 4 4

10

3 4