Основные теоретические сведения в курсе высшей математики и математической физики. Линии второго порядка: Учебно-методическое пособие

Федеральное агентство по образованию

Е.И. Деревягина

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Учебно-методическое пособие для вузов

Воронеж 2007

2

Утверждено Научно-методическим советом физического факультета 10января 2007., протокол № 1

Рецензент

доцент, кандидат физико-математических наук Ратинер Н.М.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математической физики

физического

факультета

Воронежского

государственного

университета.

Рекомендовано для студентов физического факультета Воронежского государственного университета дневной и вечерней формы обучения.

Для специальностей: 010801 (013800) – Радиофизика и электроника, 010803 (014100) – Микроэлектроника и 010701 (010400) - Физика

полупроводниковые приборы,

3

Оглавление 1. Геометрическое определение ЭГП

4

2. ЭГП как конические сечения

5

3. Аналитическое определение ЭГП

6

4. Директориальные свойства ЭГП

12

5. Оптические (фокальные) свойства ЭГП

13

Список использованной литературы

14

4

1. Геометрическое определение ЭГП (эллипса, гиперболы, параболы) Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек (ГМТ) X на плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 равна заданному числу ( рис. 1) F1 X + F2 X = 2a . Точки F1 и F2 называются фокусами, F1 F2 = 2 c > 0 . Из треугольника F1 F2X

видно, что а > с > 0. В случае а = с получаем отрезок F1 F2 , а в

случае с = 0 - окружность.(точки F1 и F2 совпадают)

Рис. 1.

Определение 2. Гиперболой называется ГМТ

Х на плоскости, модуль

разности расстояний которых до двух данных точек F1 и F2, равен заданному числу ( рис. 2): F1 X − F2 X = 2a. Точки F1 и F2 называются фокусами, F1 F2 = 2 c . Из треугольника F1 F2X видно, X

Рис 2.

5

что с > a > 0. В случае а = с получаем два противоположно направленных луча, выходящих из фокусов.

Определение

3.

Параболой

называется

ГМТ

X

на

плоскости,

равноудаленных oт данной точки F, называемой фокусом, и прямой D, называемой директрисой ( рис 3). Предполагается, что F∉ D .

D

Рис. 3.

2. ЭГП как конические сечения

Теорема. Сечение

прямого

кругового (бесконечного в обе стороны)

конуса, плоскостью не проходящей через вершину, является либо эллипсом, либо гиперболой, либо параболой. Указанная плоскость может располагаться тремя способами: 1) пересекать одну половинку конуса, в сечении получается эллипс;

6

2) пересекать обе половинки конуса, в сечении получается гипербола;

3) быть параллельной образующей конуса, в сечении получается парабола.

3. Аналитические определения ЭГП Определение. Эллипсом называется кривая второго порядка, задаваемая в некоторой прямоугольной системе координат уравнением

x2 a2

+

y2 b2

= 1, x2

гиперболой :

a2

−

(a ≥ b ); y2 b2

= 1;

параболой : y 2 = 2 p x,

Теорема.

( p > 0).

Аналитические

и

геометрические

определения

ЭГП

эквивалентны.

Доказательство. Эллипс. Введем прямоугольную систему координат, как

7

показано на рис. 4

Рис. 4.

{

}

Тогда геометрическое определение X : X F1 + X F2 = 2a перепишется в виде

r1 + r2 = 2 a,

(x + c )2 (x + c )2

r1 =

+ y 2 = 2a −

(x + c )2 + y 2 ,

(x − c )2

(x − c )2

(x − c )2

(x − c )2

+ y2 ,

+ y2 ,

+ y2 ,

+ y 2 = 4 a 2 + ( x − c )2 + y 2 − 4 a

a2 − c x = a

r2 =

+ y2 ,

a4 − 2 a2 c x + c2 x2 = a2 x2 + a2 c2 − 2 a2 c x + a2 y2 ,

(

)

a4 − a2 c2 = a2 − c2 x2 + a2 y2 , x2 y2 + 2 = 1, a2 b

(1)

где b 2 = a 2 − c 2 .

-а

-b

Рис.5.

8

Непосредственно

из

уравнения

видно,

что

эллипс

заключен

в

прямоугольник, причем на границе его лежат лишь точки пересечения с осями. Этот прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником эллипса (рис.5). Обратно, пусть точка (х, у) удовлетворяет уравнению (1), т. е. 2

2

y =b −

b2 a

2

x2.

Тогда

r1 = = = где

(x + c )

2

a2 − b2 a

2

2

2

2

+ y = x + 2c x + c + b − 2

2

x + 2c x + c + b

2

=

c2 a

2

b2 a

2

x2 =

x2 + 2c x + c2 + b2 =

c c x + a = a + x, a a

выражение

x < a,

2

под

знаком

модуля

положительно,

так

как

c c x < c. Аналогично, r2 = a − x. a a

Таким образом, для любой точки, удовлетворяющей уравнению (1), выполняется r1 + r2 = 2 a, , т. е. она принадлежит геометрическому эллипсу. Прежде, чем перейти к случаю гиперболы, дадим следующее определение.

Определение. Отношение

e =

c называется эксцентриситетом a

эллипса (гиперболы).

a2 −b2 Для эллипса e = , a

e< 1,

a2 + b2 для гиперболы e = , e> 1. a

9

Гипербола. Введем прямоугольную систему координат, как показано на рис. 6.

Рис.6 Упрощая соотношение r1 − r2 = 2 a из определения гиперболы (подобные преобразования выполнены на стр.7), приходим к уравнению

x2 a

2

−

y2 b

2

=1,

b2 = c2 − a2.

Обратные вычисления проводим так же, как и для эллипса, и получаем

r1 = a + e x ,

r2 = a − e x ,

причем для правой ветви гиперболы (т. е. при х > 0)

r1 = a + e x ,

r2 = − a + e x,

а для левой ветви гиперболы (т. е. при х < 0)

r1 = − a − e x , что и завершает обратное рассуждение.

r2 = a − e x ,

10

Основной прямоугольник со сторонами 2a и 2b для гиперболы показан на рис. 7.

Рис. 7. Его диагонали имеют уравнения

y=±

b x a

и являются асимптотами гиперболы. Докажем это, например, для y = Имеем ( рис.7.)

b x2 x − b 2 − 1, a a b Lim Δ ( x ) = Lim x − x 2 − a 2 = 0. x →∞ x →∞ a

Δ (x ) =

(

)

b x. a

11

Парабола. Выберем систему координат, как показано на рис. 8, положив р равным расстоянию между директрисой и фокусом.

D

Рис. 8 Тогда соотношение из геометрического определения параболы примет вид: 2

p⎞ p ⎛ 2 ⎜x − ⎟ + y = x + , 2⎠ 2 ⎝ p2 p2 2 2 , x − px + + y = x + px + 4 4 y 2 = 2 p x. 2

Обратно, для кривой, определяемой уравнением у2 = 2pх, обозначим через D прямую y = − p 2 , а через F — точку (р/2, 0). Заметим, что для точек этой кривой всегда x ≥ 0 , так что для произвольной ее точки Х(х, у) имеем r(Х, D) = р/2 + х, а 2

p⎞ p⎞ p p ⎛ ⎛ r(X , F ) = ⎜ x − ⎟ + y 2 = ⎜ x − ⎟ + 2 p x = x + = x + , 2⎠ 2⎠ 2 2 ⎝ ⎝ и геометрическое определение параболы имеет место.

12

Заметим, что в школе обычно рассматривают параболу у = ах2, расположенную симметрично оси Оу . Сейчас мы рассматриваем параболу,

симметрично

расположенную

относительно

оси

Ох

и

переобозначаем: а = 1/2р. Число р называется фокальным параметром. Получаем у2 = 2рх.

4. Директориальные свойства ЭГП Определение. Для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.

Теорема. Отношение расстояния от точки ЭГП до фокуса к расстоянию до соответствующей (ближайшей) директрисы постоянно и равно эксцентриситету. Составим следующую таблицу. уравнение

эллипс гипербола

x

2

a2

+

x2 a2

парабола

y

2

b2

−

=1

y2 b2

эксцент- директриса

2

2

риситет c F1, 2 = (± c,0 ) e = 1 a

c = a −b

=1 с = a + b

y2 =2 p x

фокус(ы)

с

-

⎛p ⎞ F =⎜ ,0⎟ ⎝2 ⎠

e= 1

a a2 x=± =± e c a a2 x=± =± e c x=−

p 2

Заметим, что для окружности (т. е. эллипса с а = b и е = 0) директрисы не определены.

13

5. Оптические (фокальные) свойства ЭГП. Замечание 1 . Решим вспомогательную задачу: для данной прямой l и двух точек А и В, лежащих по одну сторону от нее, найти такую точку

X ∈l , что сумма расстояний

XA + XB

минимальна.

Построим точку B', симметричную В относительно l (рис.9).

рис.9 Ясно,

что

AX + XB′

минимально

при

X = ( AB′) ∩ l .

Но

XB = XB′ , так что минимум достигается при равенстве острых углов, образуемых АХ и ВХ с l .

Замечание 2. Каждая линия

из ЭГП имеет в каждой своей

точке касательную. Точка касания является единственной точкой пересечения ЭГП и касательной. Касательная является единственной прямой,

удовлетворяющей

этому

требованию

(кроме

прямых,

параллельных оси параболы).

Замечание 3. Основное правило оптики кривых: луч отражается от кривой как от ее касательной.

14

Теорема.

из одного фокуса эллипса,

Лучи, выходящие

концентрируются в другом. • Лучи, выходящие из одного фокуса гиперболы, после отражения "исходят" из другого, т. е. продолжение отраженного луча за точку отражения попадает в другой фокус. • Лучи, выходящие из фокуса параболы, после отражения становятся параллельными друг другу.

Доказательство. Эллипс. Пусть луч вышел из фокуса А и, отразившись от точки X эллипса, не попал в другой фокус В. Значит, если l — касательная в точке X, то угол падения на l не равен углу отражения по замечанию 3. Значит, по замечанию 1, минимально

при

геометрическому

пробегании определению

X

по

эллипса,

l. так

Но

это

как

AX + BX

не

противоречит

остальные

точки

касательной лежат вне его (по замечанию 2).

Гипербола и эллипс. Доказательство аналогичное.

Список использованной литературы 1. Ильин В.А. Аналитическая геометрия : yчеб. для вузов / В.А.Ильин, Э.Г.Поздняк. – М.: Наука, 1999. – 224 с. 2. Конспект лекций Е.В. Троицкого по аналитической геометрии для математиков на 1-ом курсе в МГУ ( http: // www.а-geometry.narod.ru).

15 Учебное издание

Деревягина Елена Ивановна ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Учебно-методическое пособие для вузов Редактор Воронина А.П.

___________________________________________________________________________ Подписано в печать 16.1.2007. Формат 60х84/16. Усл. п.л. 1,0. Тираж 50. Заказ 012. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.