Расчет основных характеристик сенсорных устройств: Учебно-методическое пособие к спецкурсу ''Сенсоры и их применение для анализа газов''

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю Г о сударствен н о ео бразо вательн о еучреж ден ие высш его про фессио н альн о го о бразо ван ия “В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т ”

РАС Ч Е Т О С Н О В Н Ы Х Х АРАКТ Е РИ С Т И К С Е Н С О РН Ы Х У С Т РО Й С Т В

У чебн о -м ето дическо епо со бие к спецкурсу “С ен со ры и их прим ен ен иедляан ализа газо в” по спец иальн о сти 011000 Х им ия

В О РО Н Е Ж - 2005

2 У тверж ден о н аучн о -м ето дическим со вето м х им ическо го факультета ( “24 ” м арта 2005 г., про то ко л№ 7 ) С о ставители : Ш аро вМ .К., Т уто в Е .А.

У чебн о -м ето дическо е по со бие по дго то влен о н а кафедре н ео рган ическо й х им ии

х им ическо го

факультета

В о ро н еж ско го

го сударствен н о го

ун иверситета. Реко м ен дуется для студен то в дн евн о го

о тделен ия х им ическо го

факультета, изучающ их спецкурс “С ен со ры и их прим ен ен ие для ан ализа газо в“. В по со бии рассм атриваются м ето ды расчета о сн о вн ых х арактеристик сен со рн ых

устро й ств:

систем атических

и

случай н ых

по греш н о стей

изм ерен ий , аппро ксим ирующ их фун кций при калибро вке, величин вых о дн ых сигн ало в пассивн ых сен со ро в при испо льзо ван ии по тен цио м етрическо й и м о сто во й сх ем , часто тн ых х арактеристик.

3 В ведени е С ен со ро м н азывается устро й ство , со здающ ее вых о дн о й сигн ал по д дей ствием изм еряем о й физическо й величин ы. О бычн о вых о дн о й сигн алим еет электрическую приро ду

и м о ж ет быть прео бразо ван

в ин фо рм ацию,

представлен н ую как в ан ало го во м , так и цифро во м виде. С ин о н им ам и сло ва “сен со р” являются“датчик” и “детекто р”. С ен со ры прим ен ятся практически во

всех

о бластях деятельн о сти

чело века, в по следн ее врем я число видо в сен со ро в бурн о увеличивается. С ущ ествуют сен со ры, реагирующ ие н а х им ический со став газо в и ж идко стей , н а радио активн о е и электро м агн итн о е излучен ие, н а давлен ие и тем пературу, н а по ло ж ен иеи перем ещ ен иео бъекто ви м н о гиедругие. В по со бии

рассм атриваются во про сы рабо ты и расчета о сн о вн ых

х арактеристик сен со ро в, н езависим о о т их ко н кретн о й о бласти прим ен ен ияи вн утрен н его

устро й ства. Э ти зн ан ия и н авыки будут н ео бх о дим ы для

по н им ан ия рабо ты ко н кретн ых

сен со рн ых

прибо ро в, прим ен яем ых

для

ан ализа газо в и в других о бластях . Д ля х им ика, специализирующ его ся в о бласти эко ло гии и м едицин ско й х им ии, н есо м н ен н о , по лезн ым и являются представлен ияо прин ципах фун кцио н иро ван иядатчико в х им ическо го со става, тем пературы и давлен ия, ко то рые прим ен яютсядлям о н ито рин га о круж ающ ей среды, ан ализа про б приро дн ых и био ло гических о бъекто в. 1. С и ст ем а т и чески е и случа йны е ош и б ки В сяко е изм ерен ие со держ ит в себе по греш н о сть, в о бщ ем случае это о ткло н ен иеизм ерен н о й величин ы m о т ееистин н о го зн ачен ияm*: ∆m = m*-m. У стан о вить то чн ую величин у по греш н о сти чащ е всего н ево зм о ж н о , по ско льку

н е известн о

истин н о е зн ачен ие изм еряем о й

величин ы.

П о греш н о сти разделяют н а систем атическиеи случай н ые. С истем атическиео ш ибки н о сят по сто ян н ый х арактер. О н и о бусло влен ы н еко рректн о стью рабо ты аппаратуры или м ето до в про веден ияан ализа. П ри про веден ии серии по вто рн ых изм ерен ий , систем атические о ш ибки,

как

правило , см ещ ают изм ерен н ую величин у о т истин н о й в о дн о м н аправлен ии и

4 н а по сто ян н о езн ачен ие. Т аким о бразо м , систем атическую по греш н о стьм о ж н о устран итьпутем изм ерен ияэтало н н о й физическо й величин ы. С лучай н ые

о ш ибки

во зн икают

по д

дей ствием

факто ро в,

не

по ддающ их сяучету, и при про веден ии серии по вто рн ых изм ерен ий см ещ ают изм ерен н ую величин у о т истин н о й в разн ых н аправлен иях и н а разн ые зн ачен ия. О дн ако при про веден ии бо льш о го числа по вто рн ых изм ерен ий м о ж н о о пределить средн ее зн ачен ие величин ы, причем при увеличен ии числа изм ерен ий , средн еезн ачен иевсебо лееприближ аетсяк истин н о м у:

mс р=

∑ mi i

n

С лучай н ая о ш ибка изм ерен ия х арактеризуется средн еквадратичн ым о ткло н ен ием : n

σ=

∑ (mi − mс р) 2 i =1

n −1

С лучай н аяпо греш н о сть м о ж ет бытьрассчитан а следующ им о бразо м : dm = tσ (гдеt -ко эффициен т С тьюден та). П ло тн о сть веро ятн о сти - это

о тн о ш ен ие веро ятн о сти то го , что

изм ерен н ая величин а прим ет зн ачен ие в пределах дан н о го ин тервала к величин е это го

ин тервала.

Н аибо лее часто

для о писан ия пло тн о сти

веро ятн о сти случай н о й величин ы испо льзуют фун кц ию Г аусса (или как ее н азывают - н о рм альн ый зако н распределен ия):

 − (m − mс р) 2  1 p( m) = exp  σ 2π  2σ 2  Ф ун кция им еет м аксим ум при m = mср. Э то о зн ачает, что н аибо лее веро ятн о средн ее зн ачен ие, н о и другие результаты изм ерен ий н е исключен ы. И з тео рии веро ятн о сти следует, что веро ятн о сть то го , что при о дн о кратн о м изм ерен ии случай н аявеличин а н е о ткло н итсяо т средн его зн ачен иябо льш е, чем н а величин у er, равн а ин тегралу:

2  er  Φ  = σ 2π

5

er σ

2 ∫ exp(− x )dx 0

С истем атические и случай н ые о ш ибки зависят о т величин ы вх о дн о го сигн ала. В до кум ен тации любо го прибо ра о бычн о указывается величин а по греш н о сти при различн ых диапазо н ах изм еряем ых величин . Ч то бы н ай ти веро ятн о сть то го , что случай н аявеличин а m по падает в н еко то рый

ин тервал зн ачен ий

[m1, m2], н ео бх о дим о

про ин тегриро вать

фун кцию Г аусса н а это м ин тервале: m2

1 P = ∫ ϕ ( m)dm = σ 2π m1

 − (m − mс р) 2  ∫ exp 2σ 2 dm m1

m2

Д ан н ый ин тегралн е м о ж ет быть выраж ен через элем ен тарн ые фун кции, по это м у его н ах о дят числен н ым и м ето дам и или как пло щ адь по д криво й фун кции Г аусса н а ин тервале[m1, m2]. 2. О сновны е м ет оды пост роени ягра дуи ровочны х гра фи ков Зависим о сть вых о дн о го сигн ала о т изм еряем о й величин ы чащ е всего н ево зм о ж н о предсказать тео ретически. П о это м у прим ен яют предварительн ую градуиро вку, т.е. н ах о дят приближ ен н ую (аппро ксим иро ван н ую) зависим о сть м еж ду этим и величин ам и по этало н н ым зн ачен иям изм еряем о й величин ы. П о лагают,

что

любо е зн ачен ие изм еряем о й

величин ы

в пределах

про градуиро ван н о го диапазо н а по дчин яетсяэто й зависим о сти. Д ляпо стро ен ияградуиро во чн о го графика н ах о дят аппро ксим ирующ ую фун кцию (либо регрессию, либо ин терпо ляцию). Е сли случай н ые о ш ибки велики, то прим ен яют регрессию, по ско льку о н а н е требует, что бы кривая про х о дила то чн о через задан н ые этало н н ые зн ачен ия(узлы). Е сли случай н ые по греш н о сти м алы, то м о ж н о прим ен ить ин терпо ляц ию, кривая ко то ро й про х о дит через задан н ыето чки. Рассм о трим в о бщ ем видепо стро ен иерегрессии по м ето ду н аим ен ьш их квадрато в. П усть аппро ксим ирующ ую фун кцию м о ж н о по лин о м а:

задать в виде

6 n

y ( x ) = ∑ a j x j = a0 x 0 + a1 x 1 + a2 x 2 +... = a0 + a1 x + a 2 x 2 +... j =0

Д лян ах о ж ден ияко эффициен то в aj н ео бх о дим о реш ить так н азываем ую н о рм альн ую систем у м ето да н аим ен ьш их квадрато в: n  n j+ k   =  x a ∑  ∑ i  j ∑ yi xik j =0 i =0 i =0 m

гдеk = 0,1,...,m n - число узло в н а графике, м ин ус 1. Э та систем а представляет со бо й

систем у

лин ей н ых

уравн ен ий

о тн о сительн о ко эффициен то вaj. П рим ер 1. П устьн ео бх о дим о по стро итьлин ей н ую регрессию, то гда: y(x) = a0 + a1x; k = 0,1; j = 0,1; Н о рм альн аясистем а прим ет вид: n n  ( n + 1) a0 + ∑ xi a1 = ∑ yi  i =0  i =0 n  n 2 n  + = x a x a ∑ i  0 ∑ i  1 ∑ yi xi  i =0   i =0  i =0

П рим ер 2. П устьн ео бх о дим о по стро итьквадратичн ую регрессию, то гда: y(x) = a0 + a1x + a2x 2 ; k = 0, 1, 2; j = 0, 1, 2. Н о рм альн аясистем а прим ет вид: n n   n 2 ( n + 1) a0 + ∑ xi a1 + ∑ xi a2 = ∑ yi i = 0  i = 0  i =0 n n   n 2  n 3 x a + x a + x a = ∑ i  0 ∑ i  1 ∑ i  2 ∑ yi xi i = 0  i = 0  i = 0  i =0 n  n 2  n 3  n 4 2 ∑ xi a0 + ∑ xi  a1 + ∑ xi a2 = ∑ yi xi i = 0  i = 0  i = 0  i=0

Д ля реш ен ия по лучен н ых систем лин ей н ых уравн ен ий о тн о сительн о ко эффициен то в aj м о ж н о прим ен ить м ето д Крам ера. О бо зн ачим м н о ж ители перед ко эффициен там и как элем ен ты о пределителяA, а сум м ы по сле зн ака равен ства как элем ен ты векто ра B, то гда н о рм альн аясистем а прим ет вид:

7 A11a0 + A12a1 + ... + A1kak = B1 A21a0 + A22a1 + ... + A2kak = B2 ................ .....................

Ak1a0 + Ak2a1 + ... + Akkak = Bk О пределительсистем ы: D=

A11 A21

A12 A22

... A1k ... A2 k

... Ak 1

... Ak 2

... ...

... Akk

Ко рн и систем ы равн ы: aj = D m/D, где Dm =

B11

A12

...

A1k

B21

A22

...

A2 k

... Bk 1

... Ak 2

... ...

... Akk

Д ляо пределителя2-го по рядка: D = A11A22 - A12A21. Д ляо пределителя3-го по рядка: D = A11A22A33 + A12A23A31 + A13A21A32 A13A22A31 - A11A23A32 - A12A21A33. Критерием

то чн о сти

по стро ен н о й

регрессии

y(x)

является

средн еквадратичн о ео ткло н ен иеаппро ксим ации:

σ=

3.

1 n 2 y ( xi ) − yi ) ( ∑ n − 1 i =1 Элект ри чески е

схем ы

форм и рова ни я вы ходного

си гна ла

па сси вны х сенсоров П о спо со бу фо рм иро ван ия вых о дн о го сигн ала все сен со ры м о ж н о разделить н а активн ые и пассивн ые. Активн ые сен со ры выдают го то вый электрический сигн алв виден апряж ен ияили то ка. П ассивн ыесен со ры сам и н е фо рм ируют сигн ал, а лиш ь м ен яют по д дей ствием изм еряем о й величин ы сво и электро физические сво й ства: со про тивлен ие, ин дуктивн о сть или ем ко сть. П ассивн ые сен со ры н ео бх о дим о включать в до по лн ительн ую электрическую сх ем у, ко то рая фо рм ирует вых о дн о й сигн ал, в зависим о сть о т изм ен ен ия сво й ств сен со ра.

8 П о т ен ц и о м ет р и ч ес кая с хем а Рассм о трим

по тен цио м етрическую сх ем у

как про стей ш ую сх ем у

фо рм иро ван ияэлектрическо го сигн ала о т пассивн о го датчика. Д ляпо лучен ия вых о дн о го сигн ала о т тако го сен со ра через н его н уж н о про пускать то к о т вн еш н его исто чн ика. В ых о дн ым сигн ало м сен со ра будет о ткладываем о е н а н ем н апряж ен иеum.

R1 U0

Rm

um

Рис. 1. П о тен цио м етрическаясх ем а дляпассивн о го сен со ра. П усть сен со р м ен яет сво е со про тивлен ие по д дей ствием изм еряем о й величин ы m: Rm = R0 + ∆R, где R0 - исх о дн о е со про тивлен ие сен со ра, т.е. со про тивлен ие при н улево м зн ачен ии изм еряем о й величин ы. П усть связь ∆R с m лин ей н а, то гда Rm = R0 + km, где k - по сто ян н ый ко эффициен т. В тако й сх ем е по следо вательн о резисто р R1. В

с сен со ро м

о тсутствие это го

н ео бх о дим о

по ставить по сто ян н ый

по сто ян н о го

резисто ра н апряж ен ие,

сн им аем о ес вых о дн ых ко н такто в, со впадало бы с питающ им н апряж ен ием U0. Ч ерез о ба резисто ра течет о дин ако вый то к I. С ледо вательн о , н апряж ен ие, сн им аем о е с сен со ра, um = RmI, где I = U0/Rо бщ . Д ля по следо вательн о со един ен н ых со про тивлен ий : Rо бщ = Rm + R1, о тсюда: I = U 0/(Rm + R1). П о ставляя выраж ен ие для то ка в выраж ен ие для н апряж ен ия н а сен со ре, по лучим :

9

um = U 0

Rm R0 + km = U0 Rm + R1 R0 + km + R1

Э то выраж ен ие м о ж н о представить как дро бн о -лин ей н ую фун кц ию um = f1(m)/f2(m), т.е. как:

um =

a1m + b1 a2 m + b2

где f1 = a1m + b1, a1 = kU0, b1 = U0R0 f2 = a2m + b2, a2 = k, b2 = R0 + R1 Т аким о бразо м , связь вых о дн о го сигн ала с изм еряем о й величин о й в по тен цио м етрическо й

сх ем е является н елин ей н о й , даж е если лин ей н о

изм ен ен ие со про тивлен ия сен со ра по д дей ствием изм еряем о й

величин ы.

Кро м е то го , при н улево м зн ачен ии изм еряем о й величин ы вых о дн о й сигн алн е о бращ аетсявн уль: um = U 0/( R0 + R1). Рассм о трим , как влияют парам етры сх ем ы, т.е. R0, R1, k - н а вид зависим о сти вых о дн о го сигн ала о т изм еряем о й величин ы. В ид графика дро бн о -лин ей н о й фун кц ии зависит о т дискрим ин ан та:

D=

a1 a2

b1 = a1b2 − a2b1 b2

Е сли D < 0, то график им еет вид двух убывающ их ветвей , если D > 0, то график им еет вид двух во зрастающ их ветвей . Разрыв про исх о дит при m = b 2/a2. П ри m → ±∞ о бе ветви стрем ятсяк a1/a2 = U 0. П ри m = -b 2/a2 = -(R0+R1)/k про исх о дит разрывфун кции. Д ляпо тен цио м етрическо й сх ем ы дискрим ин ан т им еет вид:

D=

kU 0 k

R0U 0 = kU 0 ( R0 + R1 ) − kR0U 0 = kU 0 R1 R0 + R1

П о ско льку U0 и R1 заведо м о

по ло ж ительн ые величин ы, то

вид

зависим о сти um о т m будет зависеть то лько о т зн ака k. Кро м е то го , в реальн о й физическо й задаче н ео бх о дим о учитывать о гран ичен ия, н акладываем ые н а испо льзуем ыевеличин ы. П о ско льку Rm = R0 + km, Rm ∈ [0, +∞], то если k > 0, то m ∈ [-R0/k, +∞], а если k < 0, то m ∈ [-∞, -R0/k].

10 Н а рис.2 гран иц а рабо чего диапазо н а о бо зн ачен ы треуго льн ико м . В случае k0 - справа о т треуго льн ика.

Um

Um

k>0

k=1/(2)1/2

П ри

=

0.71

м аксим ум

сглаж ивается,

и

фун кция

чувствительн о сти м о н о то н н о убывает, при k < 1/(2)1/2 м аксим ум со х ран яется (рис. 5). 0.2

LD/LS

0.7

2

lg(f/f0) Рис. 5. Ч увствительн о сть сен со ра в дин ам ическо м реж им е длясистем вто ро го по рядка при ко эффициен тах затух ан ияk = 0.2, 0.7, 2 Т аким

о бразо м ,

о птим альн ым

вариан то м

является датчик

с

ко эффициен то м затух ан ия о ко ло 0.7. П ри это м чувствительн о сть систем ы о стаются практически по сто ян н о й во всей по ло се про пускан ия. П ри бо лее высо ких

зн ачен иях

ко эффициен та затух ан ия чувствительн о сть зам етн о

сн иж ается, а при м ен ьш их зн ачен иях н аступает явлен иерезо н ан са.

18 Л И Т Е РАТ У РА 1. Т о й берг П . О цен ка то чн о сти результато в изм ерен ий / П . Т о й берг; пер. с н ем . -М . : Э н ерго ато м издат, 1987. - 193 с. 2. Н о вицкий П .В . О ц ен ка по греш н о стей результато в изм ерен ий / П .В . Н о виц кий , И .А. Зо граф. -Л . : Э н ерго ато м издат, 1985. - 248 с. 3. Бурдун Г .Д . О сн о вы м етро ло гии / Г .Д .

Бурдун . - М . : И зд-во

стан дарто в, 1985. -255 с. 4. В асильев А.О . О сн о вы м етро ло гии и тех н ических изм ерен ий / А.О . В асильев. -М . : М аш ин о стро ен ие, 1988. -255 с. 5. Т алан чук П .М . С ен со ры в ко н тро льн о -изм ерительн о й тех н ике / П .М . Т алан чук, С .П . Г о лубко в, В .П . М асло в. -Киев. : Т ех н ика, 1991.- 175 с. 6. В иглеб Г . Д атчики: У стро й ство и прим ен ен ие / Г . В иглеб; пер. с н ем .М .: М ир, - 1989.- 196 с. 7. Аш Ж . Д атчики изм ерительн ых систем : в 2-х кн . / Ж . Аш , П . Ан дре, Ж . Бо фро н ; пер. с фран ц. -М . : М ир, 1992. -Кн .1. - 480 с. 8. В ечер А.А. Х им ическиесен со ры / А.А. В ечер, П .П . Ж ук П .П . –М ин ск. : И зд-во БГ У , 1990.- 56 с. 9. П о лупро во дн ико выесен со ры вфизико -х им ических исследо ван иях / М ясн ико в И .А. [и др.] -М . : Н аука, 1991. -327 с.

19

С о ставители: Ш аро вМ их аилКо н стан тин о вич Т уто вЕ вген ий Ан ато льевич Редакто р: Т их о м иро ва О .А.