Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет − УПИ»
Т.И. Кириллова, Л.Ю. Елькина, Н.Н. Морозова, А.Г. Зигулев
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Подготовлено кафедрой «Инженерная графика» Научный редактор: доц., канд. техн. наук Н.Х. Понетаева Рецензент: Т.В. Мещанинова доц. канд. техн. наук кафедры «Прикладная геометрия и информатика» Методическое руководство по выполнению курсовой работы для студентов строительных специальностей по курсу «Начертательная геометрия» В методическом руководстве рассмотрены теоретические вопросы относительного положения геометрических объектов, изложена последовательность и методика решения задач по этому разделу курса «Начертательная геометрия». Методическое руководство содержит варианты заданий, примеры решения и оформления курсовой работы по начертательной геометрии для студентов строительных специальностей. © ГОУ ВПО УГТУ−УПИ, 2005
Екатеринбург 2005
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положение геометрических объектов
Введение Начертательная геометрия изучает методы изображения пространственных объектов на плоскости проекций и алгоритмы решения позиционных, метрических и конструктивных задач. Позиционные - задачи на относительное положение геометрических объектов. Метрически - задачи на определение расстояния и натуральных величин геометрических объектов. Конструктивные – задачи на построение геометрических фигур, отвечающих заданным условиям. В представленной курсовой работе рассматривается круг позиционных задач: относительное положение точек; относительное положение прямых линий; относительное положение прямой и плоскости; относительное положение плоскостей; относительное положение плоскости и поверхности; относительное положение поверхностей. Курсовая работа «Относительное положение геометрических объектов» позволит освоить выше перечисленные разделы курса «Начертательная геометрия», изучить различные способы решения позиционных задач (способ секущих плоскостей, способ концентрических сферических поверхностей), освоить приемы построения разверток поверхностей. 1.
Содержание курсовой работы Курсовая работа содержит: графическую часть - 4 листа чертежей формата А3 с основной надписью по ГОСТ 2.104-68 форма 1, и пояснительную записку на листах формата А4, с пояснениями по выполнению каждого чертежа. 1.1 Графическая часть курсовой работы ЛИСТ 1.
Относительное положение прямой и плоскости, плоскостей. Формат А3. Индивидуальное задание (табл. 1). Задание 1.1. Определить расстояние от точки D до треугольника ABC (отрезок DК). Определить видимость перпендикуляра. Задание 1.2 Через прямую DЕ провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника ABC. Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками, определить видимость.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» - 2005
Стр. 2 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положение геометрических объектов
ЛИСТ 2.
Относительное положение плоскости и поверхности. Формат А3. Индивидуальное задание (табл. 2). Задание 2.1 Построить проекции сечения комбинированной поверхности плоскостью α. Задание 2. 2 Определить натуральную величину сечения.
ЛИСТ 3.
Относительное положение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей Формат А3. Индивидуальное задание (табл. 3). Задание 3.1 Построить три проекции заданных поверхностей и линии их пересечения, используя способ вспомогательных секущих плоскостей.
ЛИСТ 4.
Относительное положение поверхностей. Способ вспомогательных сферических концентрических поверхностей. Построение разверток поверхностей. Формат А3. Индивидуальное задание (табл. 4). Задание 4.1 Построить фронтальную проекцию заданных поверхностей и линию их пересечения, используя способ вспомогательных концентрических сферических поверхностей. Задание 4.2 Построить развертку поверхности обозначенной буквой Р.
Все промежуточные и вспомогательные построения не стирать. Все заданные и построенные точки на чертежах обозначить. 1.2. Пояснительная записка Пояснительная записка выполняется в соответствии с требованиями ГОСТ 2.106-68 на листах формата А4. На первом листе основная надпись по форме 2, на последующих листах основная надпись по форме 2а по ГОСТ 2.104 -68. Титульный лист выполнять по ГОСТ 21.101-97. В пояснительной записке студент должен теоретически обосновать и объяснить выполняемые построения при решении графических задач. Пример выполнения курсовой работы приведен в приложении 1.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» - 2005
Стр. 3 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положение геометрических объектов
Указания по выполнению курсовой работы ЛИСТ 1 1. 2. 3. 4. 5.
1. 2. 3. 4. 5.
Задание 1.1 Начертить в левой части чертежа по исходным данным (табл. 1) две проекции треугольника АВС и точки D. Сформулировать условие перпендикулярности прямой и плоскости и теорему о проецировании прямого угла. Сформулировать сущность способа решения задачи на пересечение прямой и плоскости. Построить перпендикуляр из точки D к плоскости треугольника АВС. Построить точку пересечения перпендикуляра и плоскости, определить видимость перпендикуляра. Написать алгоритм решения задачи. Задание 1.2 Начертить в правой части чертежа по исходным данным (табл.1) две проекции треугольника АВС и прямой DЕ. Сформулировать условие перпендикулярности плоскостей. Построить плоскость треугольника DЕF, перпендикулярную к плоскости треугольника АВС. Сформулировать сущность способа решения задач на пересечение плоскостей. Построить линию пересечения плоскостей, определить видимость плоскостей. Написать алгоритм решения задачи. ЛИСТ 2
1.
2. 3. 4.
Задание 2.1 Начертить по исходным данным (табл. 2) две проекции комбинированной поверхности и следы секущей плоскости α. Положение секущей плоскости α задать самостоятельно. Построить третью проекцию комбинированной поверхности. Определить вид линии сечения каждой поверхности заданной проецирующей плоскостью α. Построить проекции линий пересечения каждой простой поверхности с проецирующей плоскостью α. Определить характерные точки линии сечения. Сформулировать сущность способа решения задачи на пересечение поверхности плоскостью и написать алгоритм решения задачи.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» - 2005
Стр. 4 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положение геометрических объектов
Задание 2.2 1. Определить натуральную величину сечения комбинированной поверхности, используя любой графический способ преобразования проекций. 2. Сформулировать сущность используемого способа и последовательность действий. ЛИСТ 3 1. 2. 3. 4. 5. 6.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 2.
Задание 3.1 Начертить по исходным данным (табл. 3) две проекции заданных поверхностей, построить третью, профильную проекцию поверхностей. Проанализировать заданные поверхности и определить виды линий пересечения. Определить проецирующие поверхности. Определить все характерные точки линий пересечения. Сформулировать сущность способа вспомогательных секущих плоскостей и написать алгоритм решения предложенной задачи. Построить проекции линий пересечения поверхностей и определить их видимость. Лист 4 Задание 4.1 Начертить в левой части листа одну фронтальную проекцию заданных поверхностей (табл. 4). Определить и назвать заданные поверхности. Сформулировать условия, необходимые для использования способа концентрических сфер. Определить характерные точки линии пересечения и положение центра вспомогательных концентрических сфер. Определить радиус минимальной Rmin и максимальной Rmax вспомогательных сфер, обозначить их на чертеже. Построить необходимое количество точек для построения искомой линии пересечения. Построить промежуточные, вспомогательные точки. Написать алгоритм построений промежуточных точек. Построенные точки соединить плавной кривой линией. Задание 4.2 Начертить отдельно часть поверхности, обозначенной буквой Р, расположенной между линией пересечения и основанием поверхности. Построить развертку поверхности, используя один из известных способов. Предварительно произвести аппроксимацию поверхности. Написать алгоритм построения развертки.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» - 2005
Стр. 5 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положение геометрических объектов
Относительное положение прямой и плоскости, плоскостей Таблица 1. т. A
№ вар.
т. B
т. C
т. D
т. E
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
1
125
100
40
95
25
95
25
40
10
140
25
15
15
50
35
2
10
40
55
80
110
95
140
80
15
140
20
85
10
80
35
3
20
75
90
80
5
0
150
100
90
50
100
0
150
15
110
4
20
40
10
90
15
110
140
95
75
140
15
45
20
60
25
5
45
90
100
15
0
10
145
70
35
135
10
90
25
50
50
6
10
60
90
150
10
50
70
100
10
150
100
90
20
40
50
7
50
40
0
140
10
100
180
100
40
110
100
100
70
0
0
8
60
50
0
145
10
100
185
90
35
185
0
10
55
20
40
9
30
0
65
125
55
105
90
100
0
140
0
35
30
20
15
10
40
60
0
130
0
0
170
75
80
70
15
90
180
30
45
11
25
35
100
55
95
25
125
5
40
10
10
25
135
30
50
12
140
55
30
70
95
100
10
15
70
10
85
10
140
35
10
13
140
90
75
80
0
5
10
90
100
110
0
100
10
50
15
14
130
0
35
60
100
10
10
65
90
10
35
10
130
15
55
15
110
100
90
140
10
0
10
35
70
20
90
10
130
50
50
16
150
0
50
10
60
0
90
100
90
20
20
90
140
60
30
17
140
0
50
50
100
20
10
40
110
80
100
110
120
0
10
18
135
0
50
50
90
10
10
35
100
10
10
0
140
40
20
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» - 2005
Стр. 6 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Относительное положение поверхности и плоскости Таблица 2.
α
α
α
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
α
α
α
Стр. 7 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Продолжение табл. 2.
α
α
α
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
α
α
α
Стр. 8 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Окончание табл. 2.
α
α
40
α
α
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
α
α
Стр. 9 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Относительное положение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей Таблиц 3
. ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 10 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
3
Продолжение табл. 3.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 11 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Продолжение табл. 3.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 12 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
35
Продолжение табл. 3.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 13 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
120
90
80
Продолжение табл. 3.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 14 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
4
Окончание табл. 3.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 15 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Относительное положение поверхностей. Способ вспомогательных концентрических сфер. Таблица 4.
110
40
40
40
20
80
90
120
3
120
60
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 16 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Продолжение табл. 4.
7
30
90
50
.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 17 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
60
Окончание табл. 4.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 18 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Приложение 1
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕКСИХ ОБЪЕКТОВ
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 19 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Курсовая работа
Студент гр С-14040 Преподаватель кафедры ИГ
Косарев С.А. Кириллова Т.И. дата
2005
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 20 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Относительное положение прямой и плоскости Задание 1.1.
Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC (рис. 1). Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве пересекающихся прямых выбираем горизонталь и фронталь плоскости, так как при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей. Алгоритм решения задачи: 1. Из точки D проводим перпендикуляр DF произвольной длины, используя горизонталь А2 и фронталь С1 плоскости треугольника ABC. При этом горизонтальная проекция перпендикуляра D1F1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали A121, а фронтальная проекция перпендикуляра D2F2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали C212. (D1F1⊥A121; D2F2 ⊥C212). 2. Определим точку пересечения построенного перпендикуляра DF с плоскостью треугольника АВС. Для этого перпендикуляр DF заключаем во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость α. Находим линию пересечения плоскости треугольника АВС и вспомогательной плоскости α – прямую MН. Определим точку К, точку пересечения прямой MН с перпендикуляром DF; это и есть искомая точка пересечения перпендикуляра DF с плоскостью треугольника ABC. 3. Определим натуральную величину отрезка DК (расстояния от точки D до плоскости треугольника АВС) способом прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник строим на фронтальной плоскости проекций. В качестве одного катета выбираем проекцию перпендикуляра D2K2, вторым катетом будет отрезок ∆YDK, равный разности координат Y точек D и K. 4. Видимость проекций перпендикуляра DK определим, используя конкурирующие точки. Точка пересечения всегда видима и является границей видимости.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 21 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
На фронтальной плоскости проекций в качестве конкурирующих точек рассмотрим точки Р и Н, принадлежащие разным геометрическим объектам. Точка Р принадлежит перпендикуляру DK, а точка Н стороне треугольника СВ. Координата Y точки Н больше координаты Y точки P, следовательно, точка H расположена от фронтальной плоскости проекций дальше, чем точка Р. На фронтальной плоскости проекций сторона треугольника CB видима, DK невидима. На горизонтальной плоскости проекций в качестве конкурирующих точек выбираем точки 3 и 4, принадлежащие разным геометрическим объектам. Точка 4 принадлежит прямой DK, а точка 3 принадлежит стороне треугольника СВ. Координата Z точки 3 больше координаты Z точки 4, следовательно, точка 3 расположена выше точки 4. На горизонтальной плоскости проекций сторона треугольника CB видима, прямая DK невидима. Относительное положение плоскостей Задание 1.2.
Построить плоскость DEF, перпендикулярную треугольнику ABC (рис. 1). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Искомая плоскость должна содержать в себе заданную прямую DE и перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на заданную плоскость треугольника АВС. (Например, из точки D – перпендикуляр DF). Алгоритм решения задачи: 1. Строим плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС, используя исходную прямую DE и построенный в предыдущей задаче перпендикуляр DF. 2. Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии пересечения необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие двум плоскостям. Точка К принадлежит треугольнику ABC и треугольнику DEF. Вторую точку N определяем, используя алгоритм нахождения точки пересечения прямой DE с плоскостью ABC, как в задании 1. Линия пересечения плоскостей всегда видима. 3. Определим видимость пересекающихся плоскостей. Видимость плоскостей определяется с помощью конкурирующих точек. Видимость стороны DF определена в задании 1.1. Зная видимость стороны DF, можно определить видимость остальных сторон треугольников.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 22 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОСКОСТИ Задание 2.1.
Построить проекции сечения комбинированной поверхности плоскостью α (рис. 2). Плоскость пересекает поверхность по линии, все точки которой одновременно принадлежат поверхности и плоскости. Эта линия называется линией сечения поверхности плоскостью. При построении проекций точек линии сечения используют способ вспомогательных секущих плоскостей: проводят вспомогательные плоскости-посредники, которые пересекают поверхность по простым сечениям (окружность, прямоугольник, треугольник); строят несколько сечений; искомые точки, принадлежащие поверхности и заданной плоскости α, определяющие контур сечения, находятся на пересечении заданной плоскости α и плоскости-посредника. Алгоритм решения задачи: 1. Заданная плоскость α является фронтально проецирующей, поэтому фронтальная проекция сечения (12 – 52) поверхности совпадает с фронтальным следом плоскости α. Построим горизонтальную и профильную проекции сечения. 2. Точки пересечения фронтального следа плоскости и очерков поверхностей определяют характерные точки сечения 12; 32; 52. Сечение призмы заданной плоскостью α – пятиугольник. Определим характерные точки сечения – точки пересечения плоскости α с ребрами призмы (т. 1, 2) и точку, лежащую в основании призмы (т.3). Промежуточные точки для построения пятиугольника не нужны. 3. Плоскость α рассекает цилиндр по эллипсу. Фронтальная проекция эллипса (отрезок 32 – 52) принадлежит фронтальному следу плоскости. Горизонтальная проекция точек сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Профильную проекцию эллипса строим в проекционной связи по горизонтальной и фронтальной проекциям.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 23 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Задание 2.2
Построить натуральную величину сечения поверхности плоскостью (рис.2). Натуральную величину сечения строим способом плоскопараллельного перемещения. При этом способе все точки сечения перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости проекций, без изменения вида и размеров геометрического объекта. Геометрический объект – сечение поверхности перемещается из общего положения в частное. Плоскость α преобразуем в горизонтальную плоскость уровня. При этом фронтальная проекция сечения поверхностей располагается параллельно оси OX и не изменяется по величине. Координаты Y точек, принадлежащих сечению, не меняются, т. к. точки перемещаются в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций. Относительное положение поверхностей Задание 3.1.
Построить линии пересечения заданных поверхностей способом секущих плоскостей (рис. 3). 1. Заданная фигура состоит из сферы, цилиндра прямого кругового и конуса прямого кругового. 2. Цилиндр – поверхность вращения с прямолинейной образующей. Ось вращения цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П1, все его образующие являются горизонтально проецирующими прямыми, поэтому линия пересечения цилиндра со сферой на горизонтальной плоскости проекций совпадает очерком цилиндра. Конус – поверхность вращения с прямолинейной образующей, которая пересекает ось вращения в постоянной точке S. Ось вращения конуса перпендикулярна профильной плоскости проекций. Сфера – нелинейчатая поверхность вращения, образующей является окружность. 3. Линия пересечения цилиндра и сферы – пространственная кривая четвертого порядка. Характерными точками линии пересечения цилиндра и сферы, являются: точки пересечения очерков поверхностей 5; крайняя левая точка очерка цилиндра 1; самая ближняя 3 и самая удаленная 31 точки линии пересечения по отношению к наблюдателю.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 24 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Для построения линии пересечения сферы и цилиндра проводим вспомогательные профильные секущие плоскости α, β, γ, λ, которые пересекают цилиндр по прямоугольникам, а сферу по окружности. Прямоугольник и окружность проецируются в натуральную величину на профильную плоскость проекций и пересекаются в точках (1, 2, 3, 4, 5 и т.д.), принадлежащих линии пересечения сферы и цилиндра. 4. Фронтальную проекцию линии пересечения цилиндра и сферы строим в проекционной связи по горизонтальной и профильной проекциям. 5. На фронтальной плоскости проекций линия пересечения видима, на профильной плоскости проекций не видима. 6. Линия пересечения конуса и сферы пространственная кривая четвертого порядка. Характерными точками линии пересечения сферы и конуса являются точки пересечения очерков поверхностей на фронтальной плоскости проекций: точки 6 и 8. 7. Для построения промежуточных точек 7, 9, 10 проводим вспомогательные профильные секущие плоскости µ, υ, τ, которые пересекают сферу и конус по окружностям. Радиусы окружностей – расстояние от оси вращения поверхности до очерка поверхности. Сечения (окружности) проецируются в натуральную величину на профильную плоскость проекций. Точки пересечения окружностей – искомые точки линии пересечения поверхностей. Для построения фронтальных проекций точек 7, 9, 10 проводим горизонтальные линии связи до фронтальных проекции секущих плоскостей µп2, υп2, τп2. 8. Горизонтальную проекцию линии пересечения конуса и сферы строим в проекционной связи по фронтальной и профильной проекциям. 9. На фронтальной плоскости проекций линия пересечения видима. На профильной и горизонтальной плоскостях проекций линия невидима.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 25 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Относительное положение поверхностей Построение развертки поверхности Задание 4.1.
Построить линию пересечения поверхностей способом вспомогательных концентрических сфер (рис.4). 1. В условии задачи заданы поверхности: самопересекающийся тор с профильно-проецирующей осью вращения и конус круговой наклонный усеченный. 2. Обе поверхности являются поверхностями вращения, оси вращения поверхностей пересекаются в точке О и лежат в одной плоскости. Эта плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций и является плоскостью симметрии для заданных поверхностей. Следовательно, задачу можно решить способом концентрических вспомогательных сфер. Линия пересечения поверхностей вращения – пространственная кривая четвертого порядка. 3. Точки пересечения очерков поверхностей А и D принадлежат линии пересечения поверхностей, т. к. располагаются в плоскости симметрии и являются характерными точками линии пересечения. Центром концентрических сфер является точка пересечения осей вращения поверхностей – точка О. 4. Для определения величины минимальной вспомогательной сферы, из точки пересечения осей вращения О проводим перпендикуляры на очерковые образующие пересекающихся поверхностей. Минимальная сфера должна быть вписана в большую поверхность. В рассматриваемой задаче большей поверхностью является тор. Радиус минимальной сферы обозначим Rmin. Радиус максимальной сферы Rmax равен расстоянию от центра концентрических сфер О до наиболее удаленной точки пересечения очерков D. 5. Вспомогательные промежуточные сферы проводим произвольным радиусом, но больше Rmin и меньше Rmax. Вспомогательная сфера пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения поверхности и проецируется на фронтальной плоскости проекций в прямую линию, перпендикулярную оси вращения поверхности. Проекции окружностей пересекаются в точках С и В, принадлежащих обеим поверхностям. Это искомые точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 26 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
6. Построенные фронтальные проекции точек А2, В2, С2, D2 соединим плавной видимой кривой линией. Задание 4.2 Построить развертку поверхности Р (рис.4). 1. Для построения развертки поверхности, часть конуса ограниченную линией пересечения и верхним основанием начертим отдельно. Развертку прямого кругового конуса строим способом нормального сечения. Аппроксимируем поверхность конуса вписанной в него многогранной пирамидой. Для этого в круговое основание конуса впишем правильный двенадцатиугольник. Через вершины многоугольника проводим ребра пирамиды. Развертка прямого кругового конуса – часть кругового сектора, радиус которого равен величине очерковой образующей конуса S1 или S7. Очерковые образующие S1 и S7 проецируются в натуральную величину на фронтальную плоскость проекций, так как являются фронтальными прямыми. Длина дуги сектора равна периметру двенадцатиугольника, вписанного в круговое основание 1121 – 2131 – 3141… – 101111 – 111121. 2. Натуральную величину образующих конуса SM, SH, SG, SF, SE определим способом вращения вокруг оси ОS, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. 3. Построенные точки A, E, F, G, H, M, D соединим плавной кривой линией.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 27 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
α
α
Y
Y
β
Рис. 1. Относительное положение прямой и плоскости, плоскостей ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 28 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
α
40 Рис. 2. Относительное положение поверхности и плоскости
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 29 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Рис. 3. Относительное положение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 30 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
160
Рис. 4. Относительное положение поверхностей. Способ концентрических сфер
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 31 из 33
Кириллова Т.И., Елькина Л.Ю., Морозова Н.Н., Зигулев А.Г.
Относительное положениегеометрических объектов
Список литературы Гордон, В.О., Семенцов-Огиевский, М.А. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие / Под ред. Ю.Б.Иванова. М.: Наука, 1988. 272 с.: ил. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов/ Н.Н. Крылов, Г.С. Иконников, и др.; Под ред. Н.И. Крылова. М.: Высш. шк., 2000. 224 c.: ил. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов/ Н.Н. Крылов, П.И. Лобандиевский, С.А. Мэн и др. М., Высш. шк., 1977. 230 с.: ил. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов/ Л.Г.Нартова, В.И. Якунин. М.: Дрофа, 2003. 208с.: ил. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учеб. втузов. М.: Машиностроение, 1978. 240 с.: ил. Чекмарев, А.А. Инженерная графика: Учеб. для немаш. спец. вузов. М.: Высш. шк., 1998. 365 с.: ил.
ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» – 2005
Стр. 32 из 33
Учебное электронное текстовое издание
Татьяна Ивановна Кириллова, Лариса Юрьевна Елькина, Наталья Николаевна Морозова, Александр Георгиевич Зигулев.
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Редактор Л.Д. Селедкова Компьютерная верстка Е.В. Денисюк
Разрешен к публикации 06.07.05. Электронный формат – PDF Формат 60х90 1/8 Издательство ГОУ-ВПО УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19 e-mail:
[email protected] Информационный портал ГОУ ВПО УГТУ-УПИ http://www.ustu.ru
