kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet kAFEDRA MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI
i.n. wOLODIN
lekcii po teorii weroqtnostej i m...
15 downloads
187 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet kAFEDRA MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI
i.n. wOLODIN
lekcii po teorii weroqtnostej i matemati~eskoj statistike
kAZANX { 2000
pREDISLOWIE
dANNOE U^EBNOE POSOBIE PREDSTAWLQET SOBOJ PO^TI STENOGRAFI^ESKU@ ZAPISX LEKCIJ, ^ITAEMYH MNOJ NA FAKULXTETE WY^ISLITELXNOJ MATEMATIKI I KIBERNETIKI kAZANSKOGO UNIWERSITETA W TE^ENII DWUH SEMESTROW. sTUDENTY POLU^A@T SPECIALXNOSTX \pRIKLADNAQ MATEMATIKA", I \TO OBSTOQTELXSTWO NAKLADYWAET OPREDELENNYJ OTPE^ATOK KAK NA SODERVANIE KURSA, TAK I NA FORMU EGO IZLOVENIQ. w ^ASTI TEORII WEROQTNOSTEJ OSNOWNOJ UPOR DELAETSQ NA MATEMATI^ESKIE METODY POSTROENIQ WEROQTNYH MODELEJ I REALIZACI@ \TIH METODOW NA REALXNYH ZADA^AH ESTESTWOZNANIQ I PRAKTI^ESKOJ DEQTELXNOSTI. tAKOJ PODHOD OBESPE^IWAET NEFORMALXNOE OTNOENIE K ISPOLXZOWANI@ METODOW MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI, OSOZNANI@ TOGO, ^TO BEZ POSTROENIQ WEROQTNOSTNOJ MODELI NE PREDSTAWLQETSQ WOZMOVNYM SUDITX O TO^NOSTI I NADEVNOSTI STATISTI^ESKOGO WYWODA. iMENNO PO\TOMU W RAZDELE \mATEMATI^ESKAQ STATISTIKA" OSNOWNOE WNIMANIE UDELQETSQ METODAM WY^ISLENIQ RISKA KONKRETNYH STATISTI^ESKIH PRAWIL I PROBLEMAM STATISTI^ESKIH REENIJ S MINIMALXNYM RISKOM. w IZLOVENII WOPROSOW USLOWNOGO MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ I USLOWNOJ WEROQTNOSTI Q OGRANI^ILSQ RASSMOTRENIEM TOLXKO SLU^AEW DISKRETNOGO I NEPRERYWNOGO RASPREDELENIJ, TAK KAK STUDENTAM wmk kAZANSKOGO UNIWERSITETA ^ITAETSQ WSEGO S DESQTOK LEKCIJ PO TEORII MERY I INTEGRALA lEBEGA { IH DAVE NE ZNAKOMQT S TEOREMOJ rADONA{ nIKODIMA. ~TOBY WOSPOLNITX \TOT PROBEL, Q PRIWOVU FORMULIROWKU \TOJ TEOREMY I OPREDELQ@ FUNKCI@ PLOTNOSTI ^EREZ PROIZWODNU@ rADONA{nIKODIMA, NO, NA MOJ WZGLQD, BYLO BY KRAJNE NAIWNYM POLAGATX, ^TO BOLXINSTWO MOIH SLUATELEJ WOSPRIMUT STROGOE SOWREMENNOE IZLOVENIE KONCEPCII USLOWNOGO MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ. u^EBNOE POSOBIE SODERVIT 25 LEKCIJ PO TEORII WEROQTNOSTEJ I 15 LEKCIJ PO MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE. kAVDAQ LEKCIQ SLIKOM OB_EMNA DLQ TOGO, ^TOBY EE \DIKTOWATX" STUDENTAM LEKCII RASS^ITANY NA SWOBODNOE IZLOVENIE MATERIALA S ZAPISX@ TOLXKO OPREDELENIJ I FORMULIROWOK OSNOWNYH TEOREM. \dIKTANT" STANOWITSQ WOZMOVNYM, ESLI WY RASPOLAGAETE DOPOLNITELXNO 7-@ LEKCIQMI. q PRINOU ISKRENN@@ BLAGODARNOSTX sERGE@ wLADIMIROWI^U sIMUKINU ZA POMO]X PRI OFORMLENII LEKCIJ W \LEKTRONNOJ FORME.
~astx perwaq
teoriq weroqtnostej \pUSKAJ W DANNOM SLU^AE WY NE SOGLASITESX MNE DATX GARANTI@, { NO Q STAWL@ WOPROS IRE: SU]ESTWUET LI WOOB]E, MOVET LI SU]ESTWOWATX W \TOM MIRE HOTX KAKOE-NIBUDX OBESPE^ENIE, HOTX W ^EM-NIBUDX PORUKA, { ILI DAVE SAMA IDEQ GARANTII NEIZWESTNA TUT?" w. nABOKOW, pRIGLAENIE NA KAZNX
x1. |LEMENTARNAQ TEORIQ WEROQTNOSTEJ lEKCIQ 1
wO MNOGIH OBLASTQH ^ELOWE^ESKOJ DEQTELXNOSTI SU]ESTWU@T SITUACII, KOGDA OPREDELENNYE QWLENIQ MOGUT POWTORQTXSQ NEOGRANI^ENNOE ^ISLO RAZ W ODINAKOWYH USLOWIQH. aNALIZIRUQ POSLEDOWATELXNO REZULXTATY TAKIH PROSTEJIH QWLENIJ, KAK PODBRASYWANIE MONETY, IGRALXNOJ KOSTI, WYBROS KARTY IZ KOLODY I T.P., MY ZAME^AEM DWE OSOBENNOSTI, PRISU]IE TAKOGO RODA \KSPERIMENTAM. wO-PERWYH, NE PREDSTAWLQETSQ WOZMOVNYM PREDSKAZATX ISHOD POSLEDU@]EGO \KSPERIMENTA PO REZULXTATAM PREDYDU]IH, KAK BY NI BYLO WELIKO ^ISLO PROWEDENNYH ISPYTANIJ. wO-WTORYH, OTNOSITELXNAQ ^ASTOTA OPREDELENNYH ISHODOW PO MERE ROSTA ^ISLA ISPYTANIJ STABILIZIRUETSQ, PRIBLIVAQSX K OPREDELENNOMU PREDELU. sLEDU@]AQ TABLICA SLUVIT PODTWERVDENIEM \TOGO ZAME^ATELXNOGO FAKTA, SOSTAWLQ@]EGO OSNOWU AKSIOMATI^ESKOGO POSTROENIQ TEORII WEROQTNOSTEJ KAK MATEMATI^ESKOJ DISCIPLINY. pERWYJ STOLBEC \TOJ TABLICY N nn 102 104 106 NOMER \KSPERIMENTA PO1 41 4985 499558 UKAZYWAET STOLBCY SODERVAT DAN2 48 5004 499952 SLEDU@]IE O KOLI^ESTWAH m WYPADENIQ 3 44 5085 500114 NYE 2 4 6 GERBA W n (= 10 10 10 ) PODBRASY4 52 4946 500064 WANIQH (ISPYTANIQH) PRAWILXNOJ 5 58 4978 500183 SIMMETRI^NOJ MONETY. tAKIM OB6 52 4985 499533 RAZOM, PROWODILOSX TRI SERII \KS7 45 5012 500065 PERIMENTOW S RAZNYM ^ISLOM ISPY8 50 4931 500317 TANIJ W KAVDOJ SERII. kAVDAQ SE9 52 5016 500449 RIQ SOSTOIT IZ DESQTI \KSPERIMEN10 45 4973 500704 TOW S ODNIM I TEM VE ^ISLOM n PODEr 10;1 10;2 10;3 BRASYWANIJ MONETY, ^TO POZWOLQET SUDITX OB IZMEN^IWOSTI ^ISLA m WYPADENIJ GERBA OT \KSPERIMENTA K \KSPERIMENTU WNUTRI ODNOJ SERII. o^EWIDNA STABILIZACIQ OTNOSITELXNOJ ^ASTOTY pn = m=n WYPADENIJ GERBA S ROSTOM ^ISLA ISPYTANIJ n, A TAKVE STREMLENIE pn K WELI^INE p = 1=2. mOVNO DAVE WYSKAZATX NEKOTOROE SUVDENIE OB IZMEN^IWOSTI \TOJ ^ASTOTY OT \KSPERIMENTA K \KSPERIMENTU PRI FIKSIROWANNOM n: OTKLONENIE pn OT 4
CENTRA RASSEIWANIQ, RAWNOGO 1/2, IMEET PORQDOK n;1=2 (SM. W SWQZI S \TIM NIVN@@ STROKU TABLICY). oBNARUVENNYE ZAKONOMERNOSTI, RASPROSTRANENNYE NA ISPYTANIQ S PROIZWOLXNYM ^ISLOM ISHODOW, POZWOLQ@T POSTROITX PROSTEJU@ MATEMATI^ESKU@ MODELX SLU^AJNOGO \KSPERIMENTA. pOSTROENIE NA^INAETSQ S OPISANIQ MNOVESTWA WSEWOZMOVNYH ISHODOW !, KOTORYE MOGUT PROIZOJTI W REZULXTATE KAVDOGO ISPYTANIQ. mNOVESTWO NAZYWAETSQ PROSTRANSTWOM \LEMENTARNYH ISHODOW, EGO TO^KI (\LEMENTY) ! { \LEMENTARNYMI ISHODAMI ILI \LEMENTARNYMI SOBYTIQMI. l@BOE PODMNOVESTWO A PROSTRANSTWA (SOWOKUPNOSTX \LEMENTARNYH ISHODOW !) NAZYWAETSQ SOBYTIEM PROSTRANSTWO TAKVE QWLQETSQ SOBYTIEM, NO IME@]IM OSOBOE NAZWANIE DOSTOWERNOGO SOBYTIQ. gOWORQT, ^TO PROIZOLO SOBYTIE A, ESLI W ISPYTANII NABL@DAETSQ \LEMENTARNYJ ISHOD ! 2 A. w \TOM PARAGRAFE, POSWQ]ENNOM TAK NAZYWAEMOJ \LEMENTARNOJ TEORII WEROQTNOSTEJ, BUDUT RASSMATRIWATXSQ TOLXKO PROSTRANSTWA , SOSTOQ]IE IZ NE BOLEE ^EM S^ETNOGO ^ISLA \LEMENTOW. pROILL@STRIRUEM WWEDENNYE PONQTIQ NA RQDE PROSTEJIH PRIMEROW, OTNOSQ]IHSQ K SLU^AJNYM ISPYTANIQM. p R I M E R 1.1. pODBRASYWAETSQ PRAWILXNAQ MONETA I REGISTRIRUETSQ STORONA (GERB ILI REKA) MONETY, KOTORAQ OBRA]ENA K NABL@DATEL@ POSLE EE PADENIQ. pROSTRANSTWO SOSTOIT IZ DWUH TO^EK: !1 = g (WYPAL GERB) I !2 = r (WYPALA REKA). l@BOE SOBYTIE A W \TOM PRIMERE QWLQETSQ LIBO \LEMENTARNYM, LIBO DOSTOWERNYM. p R I M E R 1.2. pRAWILXNAQ MONETA PODBRASYWAETSQ DWA RAZA ILI, ^TO ODNO I TO VE, PODBRASYWA@TSQ DWE MONETY. pROSTRANSTWO SODERVIT ^ETYRE TO^KI: gg gr rg rr . sOBYTIE A = fgr rg g OZNA^AET, ^TO MONETY WYPALI NA RAZNYE STORONY, I, O^EWIDNO, NE QWLQETSQ \LEMENTARNYM SOBYTIEM. iNTERESNO, ^TO NA RANNEM \TAPE STANOWLENIQ TEORII WEROQTNOSTEJ \TO SOBYTIE RASSMATRIWALOSX KAK \LEMENTARNOE (TO ESTX POLAGALOSX = fgg A rr g), I \TO PRIWODILO K WEROQTNOSTNOJ MODELI REZULXTATOW ISPYTANIJ DWUH PRAWILXNYH MONET, KOTORAQ PROTIWORE^ILA NABL@DAEMOJ ^ASTOTE \LEMENTARNYH ISHODOW. p R I M E R 1.3. bROSAETSQ IGRALXNAQ KOSTX I REGISTRIRUETSQ ^ISLO WYPAWIH O^KOW (NOMER GRANI IGRALXNOJ KOSTI). pROSTRANSTWO \LE5
MENTARNYH ISHODOW SOSTOIT IZ ESTI \LEMENTOW !i = i i = 1 : : : 6. pRIMER SOSTAWNOGO SOBYTIQ: A = f2 4 6g { WYPALO ^ETNOE ^ISLO O^KOW. p R I M E R 1.4. bROSA@TSQ DWE IGRALXNYE KOSTI. pROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW MOVNO PREDSTAWITX W WIDE MATRICY = k(i j )k i j = 1 : : : 6. pRIMER SOSTAWNOGO SOBYTIQ: SUMMA O^KOW BOLXE 10 POQWLENIE \TOGO SOBYTIQ WOZMOVNO LIX PRI \LEMENTARNYH ISHODAH (5,6), (6,5), (6,6). p R I M E R 1.5. pODBRASYWA@TSQ n MONET. pROSTRANSTWO SODERVIT 2n \LEMENTOW L@BOJ \LEMENTARNYJ ISHOD ! IMEET WID \SLOWA", SOSTOQ]EGO IZ BUKW g I r, NAPRIMER, rggrr : : : grg . pRIMER SOSTAWNOGO SOBYTIQ, SOSTOQ]EGO IZ Cnk \LEMENTARNYH ISHODOW: \WYPALO k GERBOW". p R I M E R 1.6. mONETA PODBRASYWAETSQ DO PERWOGO POQWLENIQ GERBA. pROSTRANSTWO SOSTOIT IZ S^ETNOGO ^ISLA \LEMENTOW WIDA !i = r : : : r g , W KOTORYH NA^ALXNYE r POWTORQ@TSQ i ; 1 RAZ, i = 1 2 : : : pRIMER SOSTAWNOGO SOBYTIQ, OSU]ESTWLENIE KOTOROGO SOPRQVENO S POQWLENIEM ODNOGO IZ ^ETYREH \LEMENTARNYH ISHODOW,{ \GERB POQWILSQ DO PQTOGO PODBRASYWANIQ MONETY". p R I M E R 1.7. nABL@DATELX FIKSIRUET ^ISLO METEOROW, POQWIW-
IHSQ W ZADANNOM SEKTORE NEBESNOGO SWODA W TE^ENIE FIKSIROWANNOGO PROMEVUTKA WREMENI. pOSKOLXKU NE PREDSTAWLQETSQ WOZMOVNYM OGRANI^ITX SWERHU ^ISLO WOZMOVNYH POQWLENIJ METEOROW, TO ESTESTWENNO OTOVDESTWITX , S MNOVESTWOM WSEH NEOTRICATELXNYH CELYH ^ISEL f0 1 2 : : :g, TO ESTX POLOVITX !k = k. pRIMER SOSTAWNOGO SOBYTIQ: A = f1 2 : : :g { \NABL@DALSQ PO KRAJNEJ MERE ODIN METEOR". eSLI OGRANI^ITXSQ RASSMOTRENIEM PROSTRANSTW \LEMENTARNYH ISHODOW, SOSTOQ]IH IZ NE BOLEE ^EM S^ETNOGO ^ISLA \LEMENTOW, TO POSTROENIE WEROQTNOSTNOJ MODELI PO SU]ESTWU SOSTOIT W ZADANII RASPREDELENIQ WEROQTNOSTEJ NA PROSTRANSTWE , W SOOTWETSTWII S KOTORYM KAVDOMU \LEMENTARNOMU ISHODU ! 2 STAWITSQ W SOOTWESTWIE ^ISLO p(!), NAZYWAEMOE WEROQTNOSTX@ \LEMENTARNOGO SOBYTIQ !X. pOSTULIRUETSQ, ^TO 0 p(!) 1, KAKOWO BY NI BYLO ! 2 , I !2 p(! ) = 1. wEROQTNOSTX L@BOGO SOSTAWNOGO SOBYTIQ A WY^ISLQ6
ETSQ PO FORMULE
P (A) =
X !2A
p(!):
~ISLO P (A) INTERPRETIRUETSQ KAK OTNOSITELXNAQ ^ASTOTA POQWLENIQ SOBYTIQ A W STATISTI^ESKOM \KSPERIMENTE, SOSTOQ]EM IZ DOSTATO^NO BOLXOGO ^ISLA ISPYTANIJ. oPIRAQSX NA \TU INTERPRETACI@, LEGKO POSTROITX RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ W PRIMERAH 1.1{1.6. eSLI PODBRASYWAETSQ \PRAWILXNAQ" (SIMMETRI^NAQ) MONETA (SM. PRIMER 1.1), TO ESTESTWENNO OPREDELITX WEROQTNOSTI \LEMENTARNYH ISHODOW IZ USLOWIQ SIMMETRII I POLOVITX p(g ) = p(r ) = 1=2, ^TO BLESTQ]E PODTWERVDAETSQ REZULXTATAMI STATISTI^ESKIH \KSPERIMENTOW (SM. TABLICU 1). oDNAKO UVE PRI PODBRASYWANII DWUH MONET (PRIMER 1.2) U ^ASTI NEISKUENNYH ISSLEDOWATELEJ WOZNIKAET VELANIE NARUITX USLOWIE SIMMETRII I PRIPISATX ISHODAM gg I rr MENXU@ WEROQTNOSTX, ^EM gr ILI rg. w ISTORII STOHASTIKI IZWESTEN TAKVE PARADOKS, OSNOWANNYJ NA NEKORREKTNOM OPREDELENII PROSTRANSTWA , KOGDA SOSTAWNOE SOBYTIE A = fgr rg g TRAKTOWALOSX KAK \LEMENTARNOE I, SLEDUQ \AKSIOME SIMMETRII", UTWERVDALOSX, ^TO p(gg ) = p(rr ) = p(A) = 1=3. pOSKOLXKU REZULXTATY OPYTOW PROTIWORE^ILI TAKOJ WEROQTNOSTNOJ MODELI (NABL@DENIQ POKAZYWALI, ^TO p(A) = 1=2 p(gg ) = p(rr ) = 1=4), TO UKAZANNYJ FENOMEN OB_QWLQLSQ PARADOKSOM TEORII WEROQTNOSTEJ, NAD RAZREENIEM KOTOROGO BILISX MNOGIE IZWESTNYE MATEMATIKI I ESTESTWOISPYTATELI, W TOM ^ISLE I WELIKIJ dALAMBER. wSE RAZ_QSNILOSX TOLXKO POSLE ^ETKOGO MATEMATI^ESKOGO OPREDELENIQ NEZAWISIMOSTI SOBYTIJ. mY POZNAKOMIMSQ S \TIM FUNDAMENTALXNYM PONQTIEM TEORII WEROQTNOSTEJ NESKOLXKO POZDNEE, A POKA, SLEDUQ PRINCIPU SIMMETRII, PRIPIEM KAVDOMU IZ ^ETYREH \LEMENTARNYH ISHODOW, NABL@DAEMYH PRI PODBRASYWANII DWUH MONET, ODNU I TU VE WEROQTNOSTX 1/4. kAK UVE GOWORILOSX WYE, \TA WEROQTNOSTNAQ MODELX SOGLASUETSQ S REZULXTATAMI NABL@DENIJ ^ASTOT \LEMENTARNYH ISHODOW W SOOTWETSTWU@]EM STATISTI^ESKOM \KSPERIMENTE, SOSTOQ]EM IZ BOLXOGO ^ISLA ISPYTANIJ DWUH PRAWILXNYH MONET. ~TOBY ZAKON^ITX S ISPYTANIQMI PRAWILXNYH MONET, OBRATIMSQ SRAZU K PRIMERU 1.5, GDE \LEMENTARNYJ ISHOD FORMIRUETSQ IZ REZULXTATOW PODBRASYWANIJ n MONET. w \TOJ SITUACII UBEDITX WYEUPOMQNUTOGO \NEISKUENNOGO ISSLEDOWATELQ" W RAWNOWEROQTNOSTI WSEH \LE7
MENTARNYH ISHODOW PRAKTI^ESKI NEWOZMOVNO. nAPRIMER, S^ITAETSQ, ^TO \LEMENTARNYJ ISHOD gggggggggg IMEET ZNA^ITELXNO MENXU@ WEROQTNOSTX POQWLENIQ, ^EM ISHOD rrgrgggrrg (ZDESX n = 10). |TO ^ISTO PSIHOLOGI^ESKIJ FENOMEN, SWQZANNYJ S NEOSOZNANNOJ PODMENOJ \TIH DWUH \LEMENTARNYH ISHODOW DWUMQ SOSTAWNYMI SOBYTIQMI: A { WSE MONETY WYPALI ODNOJ STORONOJ (SOBYTIE, SOSTOQ]EE IZ DWUH \LEMENTARNYH ISHODOW) I B { HOTQ BY ODNA MONETA WYPALA NE TOJ STORONOJ, ^TO WSE OSTALXNYE (SOBYTIE, SOSTOQ]EE IZ 2n ; 2 ISHODOW). pO \TOJ VE PRI^INE ABSOL@TNOE BOLXINSTWO POKUPATELEJ LOTEREJNYH BILETOW OTKAVUTSQ OT BILETA, NOMER KOTOROGO SOSTOIT IZ ODINAKOWYH CIFR, HOTQ, O^EWIDNO, WSE BILETY IME@T ODINAKOWYJ ANS BYTX WYIGRYNYMI. w POSLEDNEM LEGKO UBEDITXSQ, NABL@DAQ, KAK PROISHODIT ROZYGRY LOTEREJNYH BILETOW, TO ESTX KAK OBESPE^IWAETSQ RAWNOWEROQTNOSTX BILETOW WNE ZAWISIMOSTI OT IH NOMEROW. iTAK, W PRIMERE 1.5 WEROQTNOSTNAQ MODELX OPREDELQETSQ WEROQTNOSTQMI p(!) = 2;n, KAKOWO BY NI BYLO ! 2 . w SOOTWETSTWII S \TOJ, PODTWERVDAEMOJ REALXNYMI STATISTI^ESKIMI \KSPERIMENTAMI, MODELX@ WEROQTNOSTI UPOMQNUTYH SOBYTIJ A I B RAWNY SOOTWETSTWENNO 1=2n;1 I 1 ; 1=2n;1. nAPRIMER, PRI n = 10 P (A) = 1=512, A P (B ) = 511=512, TAK ^TO SOBYTIE B PROISHODIT W 511RAZA ^A]E, ^EM SOBYTIE A: pRINCIP \SIMMETRII" TAKVE PRIMENQETSQ I W POSTROENII WEROQTNOSTNOJ MODELI ISPYTANIJ PRAWILXNOJ KOSTI (PRIMERY 1.3 I 1.4). eSTESTWENNO, WSE GRANI IME@T ODINAKOWU@ WEROQTNOSTX WYPADENIQ, W SOOTWETSTWII S ^EM p(!) = 1=6 W PRIMERE 1.3 I p(!) = 1=36 W PRIMERE 1.2, KAKOWO BY NI BYLO ! 2 . oDNAKO NE SLEDUET IZLINE DOWERQTX \TOJ MODELI NA PRAKTIKE, KOGDA WAM PRIDETSQ IGRATX W KOSTI S PRIQTELEM ILI W KAZINO. pRI RASKOPKAH EGIPETSKIH PIRAMID BYLI NAJDENY IGRALXNYE KOSTI SO SME]ENNYM CENTROM TQVESTI, TAK ^TO E]E ZA TYSQ^ELETIQ DO NAEJ \RY NAHODILISX \WESXMA ISKUENNYE ISPYTATELI", SPOSOBNYE UPRAWLQTX ^ASTOTOJ \LEMENTARNYH ISHODOW. rASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ W PRIMERE 1.6 MOVNO POLU^ITX, ISPOLXZUQ TE VE RASSUVDENIQ, ^TO I W PRIMERAH 1.1, 1.2 I 1.5. dEJSTWITELXNO, OSU]ESTWLENIE \LEMENTARNOGO ISHODA !1 OZNA^AET WYPADENIE GERBA W ODNOKRATNOM PODBRASYWANII MONETY, TAK ^TO (SM. PRIMER 1.1) p1 = p(!1) = 1=2. |LEMENTARNYJ ISHOD !2 SOWPADAET S \LEMENTARNYM ISHODOM rg W PRIMERE 1.2, SLEDOWATELXNO, p2 = p(!2) = 1=4. nAKONEC, PRI PROIZWOLXNOM n = 1 2 : : :, ISPOLXZUQ WEROQTNOSTX \LEMENTARNOGO 8
ISHODA rr : : : rg (PERWYE n ; 1 ISPYTANIJ ZAKON^ILISX WYPADENIEM REKI, A PRI n-OM ISPYTANII WYPAL GERB) W PRIMERE 1.5, POLU^AEM pn = p(!n ) = 2;n. zAWERIW POSTROENIE WEROQTNOSTNOJ MODELI, UBEDIMSQ W SPRAWEDLIWOSTI RAWENSTWA 1 1 X X pn = 2;n = 1: n=1
n=1
iTAK, PRI POSTROENII WEROQTNOSTNYH MODELEJ W PRIMERAH 1.1{1.6 MY SU]ESTWENNO ISPOLXZOWALI FIZI^ESKU@ PRIRODU OB_EKTOW, S KOTORYMI PROWODILISX \KSPERIMENTY, { MONETA I KOSTX BYLI \PRAWILXNYMI"(SIMMETRI^NYMI), I TOLXKO \TO SWOJSTWO POZWOLILO NAM PRIPISATX ODINAKOWYE WEROQTNOSTI WSEM \LEMENTARNYM ISHODAM. eSLI PODBRASYWAETSQ GNUTAQ MONETA, TO OPREDELITX WEROQTNOSTX p WYPADENIQ GERBA, ISPOLXZUQ URAWNENIQ, OPISYWA@]IE DINAMIKU POLETA WRA]A@]EJSQ NEPRAWILXNOJ MONETY I ZAKONOMERNOSTI EE UPRUGOGO STOLKNOWENIQ S POWERHNOSTX@, PREDSTAWLQET SOBOJ WESXMA SLOVNU@ I WRQD LI RAZREIMU@ ZADA^U. sLEDUET TAKVE OTMETITX, ^TO ESLI p IZWESTNO, NO NE RAWNO 1/2, TO MY NE W SOSTOQNII NAJTI RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ W PRIMERAH 1.2 I 1.5 S MNOGOKRATNYM PODBRASYWANIEM MONETY, POKA NE FORMALIZOWANO PONQTIE NEZAWISIMOSTI ISPYTANIJ MONETY. eSLI TEPERX OBRATITXSQ K PRIMERU 1.7, TO W SWETE WYESKAZANNOGO STANOWITSQ PONQTNYM, ^TO POSTROENIE WEROQTNOSTNOJ MODELI ^ISLENNOSTI METEOROW NEWOZMOVNO BEZ PRIWLE^ENIQ ZNANIJ OB IH RASPREDELENII W OKOLOZEMNOM PROSTRANSTWE, U^ETA \FFEKTA WRA]ENIQ zEMLI W INTENSIWNOSTI POQWLENIQ METEOROW, RAZDELENIQ METEORNYH QWLENIJ NA \POTOKI" I \SPORADI^ESKIJ FON". u^ITYWAQ NAI BOLEE ^EM SKUDNYE POZNANIQ W TEORII WEROQTNOSTEJ, SLEDUET PRIZNATX, ^TO REENIE \TOJ ZADA^I NAM POKA \NE PO ZUBAM". i WSE VE, PREDWOSHI]AQ NAI DALXNEJIE POSTROENIQ, NAIBOLEE L@BOPYTNYM I NETERPELIWYM SOOB]U, ^TO POSLE U^ETA \FFEKTA WRA]ENIQ zEMLI RASPREDELENIE METEOROW W SPORADI^ESKOM FONE WYRAVAETSQ FORMULOJ k e; pk = p(!k ) = k! k = 0 1 : : : mY ZAWERIM \TOT PARAGRAF REENIEM NEKOTORYH ZADA^, W KOTORYH ISPOLXZU@TSQ MODELI, OSNOWANNYE NA RAWNOWEROQTNOSTI \LEMENTARNYH ISHODOW. wSE \TI ZADA^I, TAK ILI INA^E, SWODQTSQ K PODS^ETU 9
^ISLA \LEMENTARNYH ISHODOW, WLEKU]IH NEKOTOROE SOBYTIE A OPREDELENIE WEROQTNOSTI \TOGO SOBYTIQ I SOSTAWLQET PREDMET ZADA^I. z A D A ^ A 1.1. bROSA@TSQ DWE PRAWILXNYE KOSTI. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SUMMA WYPAWIH O^KOW BOLXE 6. w SOOTWETSTWII S RASPREDELENIEM WEROQTNOSTEJ, POLU^ENNYM W PRIMERE 4, WSE 36 \LEMENTARNYH ISHODOW IME@T ODINAKOWU@ WEROQTNOSTX 1/36, TAK ^TO DLQ REENIQ ZADA^I DOSTATO^NO PODS^ITATX ^ISLO CELYH REENIJ NERAWENSTWA x + y > 6 ILI OBRATITXSQ K MATRICE \LEMENTARNYH ISHODOW k!ij k, WYDELIW W NEJ \LEMENTY S i + j > 6, SOSTAWLQ@]IE ISKOMOE SOBYTIE A 0 BB BB BB BB BB BB @
11 21 31 41 51
12 22 32 42
1
13 14 15 16 C 23 24 25 26 CCC 33 34 35 36 CCC C
43 44 45 46 C C CA 52 53 54 55 56 C 61 62 63 64 65 66
~ISLO \BLAGOPRIQTNYH" DLQ SOBYTIQ A ISHODOW (ONI WYDELENY VIRNYM RIFTOM) RAWNO (1+6)6/2=21, OTKUDA P (A) = 21=36 = 7=12. iTAK, ESLI WAM PREDLOVAT IGRATX W KOSTI, GDE STAWKA IDET NA SUMMU O^KOW BOLXE 6 ILI NA PROTIWOPOLOVNOE SOBYTIE i + j 6, TO SLEDUET STAWITX NA PERWOE SOBYTIE - W SREDNEM ODIN RAZ IZ DWENADCATI STAWOK WY BUDETE POLU^ATX DOPOLNITELXNYJ WYIGRY PO SRAWNENI@ S WAIM PARTNEROM PO IGRE. z A D A ^ A 1.2. (WEROQTNOSTNAQ ZADA^A {EWALXE DE mERE). oDIN IZ SOZDATELEJ SOWREMENNOJ TEORII MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI `.nEJMAN UTWERVDAET, ^TO OSNOWATELQMI TEORII STATISTI^ESKIH REENIJ SLEDUET S^ITATX TEH AZARTNYH IGROKOW, KOTORYE WPERWYE STALI RAS^ITYWATX ANSY OPREDELENNYH STAWOK PRI IGRE W KOSTI, KARTY I T.P., I W SWQZI S \TIM IZLAGAET NEKOTORYE FRAGMENTY IZ PEREPISKI b.pASKALQ S ODNIM IZ TAKIH IGROKOW. nIVE PRIWODITSQ WYDERVKA IZ WWODNOGO KURSA `.nEJMANA PO TEORII WEROQTNOSTEJ I MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE. \w KONCE SEMNADCATOGO WEKA ODIN FRANCUZSKIJ WELXMOVA {EWALXE DE mERE, IZWESTNYJ IGROK W AZARTNYE IGRY, W ^ASTNOSTI W KOSTI, ZAINTERESOWALSQ WOZMOVNOSTX@ WY^ISLITX MATEMATI^ESKI, KAK SLEDUET 10
DELATX STAWKI. eGO INTERESOWALA IGRA, SOSTOQ]AQ IZ 24 BROSANIJ PARY KOSTEJ. pO PRAWILAM IGRY STAWITX MOVNO BYLO ILI NA POQWLENIE \DWOJNOJ ESTERKI" PO KRAJNEJ MERE ODIN RAZ W 24 BROSANIQH, ILI PROTIW \TOGO REZULXTATA. wY^ISLENIQ {EWALXE DE mERE PRIWELI EGO K ZAKL@^ENI@, ^TO W DLINNOM RQDE IGR \DWOJNAQ ESTERKA" DOLVNA POQWLQTXSQ (HOTX ODIN RAZ) BOLEE ^EM W PQTIDESQTI PROCENTAH WSEH IGR I ^TO PO\TOMU WYGODNO STAWITX NA POQWLENIE DWOJNOJ ESTERKI. hOTQ {EWALXE DE mERE BYL UWEREN W PRAWILXNOSTI SWOIH WY^ISLENIJ, ON SOMNEWALSQ W NADEVNOSTI MATEMATIKI I PROIZWEL O^ENX DLINNYJ RQD OPYTOW S BROSANIEM KOSTEJ. (|TOT \MPIRI^ESKIJ METOD PRIMENQETSQ I TEPERX I NOSIT NAZWANIE \METOD mONTE-kARLO"). oKAZALOSX, ^TO ^ASTNOSTX DWOJNOJ ESTERKI W RQDU IGR MENXE PQTIDESQTI PROCENTOW! pOLU^IW \TOT REZULXTAT, DE mERE RASSWIREPEL I NAPISAL IZWESTNOMU FRANCUZSKOMU MATEMATIKU pASKAL@ PISXMO, UTWERVDA@]EE, ^TO MATEMATIKA KAK NAUKA NIKUDA NE GODITSQ, I PR. pISXMO \TO BYLO NASTOLXKO QROSTNYM I WMESTE S TEM ZABAWNYM, ^TO POPALO W ISTORI@! pASKALX RASSMOTREL ZADA^U {EWALXE DE mERE, I OTWET EGO GLASIL: ESLI KOSTI \PRAWILXNYE", TO OTNOSITELXNAQ ^ASTOTA IGR S HOTQ BY ODNOJ DWOJNOJ ESTERKOJ RAWNA 0.491. tAKIM OBRAZOM, OKAZALOSX, ^TO MATEMATI^ESKIE WYKLADKI {EWALXE DE mERE BYLI OIBO^NY, A EGO \MPIRI^ESKIJ REZULXTAT SOGLASUETSQ S TEORIEJ"(KONEC CITATY). pRIWEDEM REENIE ZADA^I DE mERE, DANNOE pASKALEM. pROSTRANSTWO \LEMENTARNYH SOBYTIJ W \TOJ ZADA^E SOSTOIT IZ 24 36 RAWNOWEROQTNYH ISHODOW. sLEDOWATELXNO, DLQ REENIQ ZADA^I DOSTATO^NO PODS^ITATX ^ISLO \LEMENTARNYH ISHODOW, WLEKU]IH SOBYTIE A : DWOJNAQ ESTERKA POQWILASX HOTQ BY ODIN RAZ. oDNAKO NESOMNENNO PRO]E PODS^ITATX ^ISLO ISHODOW DLQ PROTIWOPOLOVNOGO SOBYTIQ Ac : NI ODNO IZ BROSANIJ DWUH KOSTEJ NE ZAKON^ILOSX POQWLENIEM DWOJNOJ ESTERKI. o^EWIDNO, ^ISLO TAKIH ISHODOW RAWNO 3524 OTKUDA ^ISLO ISHODOW SOBYTI@ A RAWNO 3624 ; 3524 I 35,BLAGOPRIQTSTWU@]IH 24 P (A) = 1 ; 36 0:491. mOVNO PREDPOLOVITX, ^TO DE mERE NAPRQMU@, NE ZNAQ, PO WSEJ WIDIMOSTI, FORMULY BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW, PODS^ITYWAL, SKOLXKO \LEMENTARNYH ISHODOW BLAGOPRIQTSTWUET ODNOKRATNOMU POQWLENI@ DWOJNOJ ESTERKI, POTOM DWUKRATNOMU, I TAK DALEE DO 24, A POTOM SLOVIL \TI ^ISLA. pROIZWESTI WSE \TI DEJSTWIQ S MNOGOZNA^NYMI ^IS11
LAMI I PRI \TOM NE OIBITXSQ, WRQD LI PO PLE^U DAVE FRANCUZSKOMU WELXMOVE! iZ WSEJ \TOJ ISTORII MY DOLVNY SDELATX ODIN PRAKTI^ESKI WAVNYJ PRI REENII ZADA^ WYWOD: PEREHOD K PROTIWOPOLOVNOMU SOBYTI@ I ISPOLXZOWANIE O^EWIDNOJ FORMULY P (A) = 1 ; P (Ac) MOVET ZNA^ITELXNO UPROSTITX REENIE WEROQTNOSTNOJ ZADA^I, SWQZANNOJ S KOMBINATORNYMI WYKLADKAMI. lEKCIQ 2
z A D A ^ A 1.3. (GIPERGEOMETRI^ESKOE RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ). sU]ESTWUET DOWOLXNO BOLXOJ KLASS ZADA^ \LEMENTARNOJ TEORII WEROQTNOSTEJ, KOTORYE MOVNO INTERPRETIROWATX W RAMKAH TAK NAZYWAEMOJ URNOWOJ SHEMY: SOBYTIE, WEROQTNOSTX KOTOROGO NEOBHODIMO WY^ISLITX, MOVNO TRAKTOWATX KAK REZULXTAT SLU^AJNOGO WYBORA AROW RAZLI^NOJ RASCWETKI IZ URNY. pROSTEJAQ IZ TAKIH URNOWYH SHEM SOSTOIT W SLEDU@]EM. iZ URNY, SODERVA]EJ M ^ERNYH I N ; M BELYH, AROW SLU^AJNYM OBRAZOM OTBIRAETSQ n AROW. kAKOWA WEROQTNOSTX, ^TO WYBORKA SODERVIT m ^ERNYH AROW (SOBYTIE A)? w \TOM \KSPERIMENTE PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH SOBYTIJ SOSTOIT IZ CNn ISHODOW (ARY ODINAKOWOGO CWETA NE RAZLI^A@TSQ), I SLU^AJNOSTX OTBORA OZNA^AET, ^TO \LEMENTARNYE ISHODY IME@T ODNU I TU VE WEROQTNOSTX 1=CNn : sLEDOWATELXNO, REENIE ZADA^I SWODITSQ K PODS^ETU ^ISLA WYBOROK IZ n AROW, KOTORYE SODERVAT m ^ERNYH I n ; m BELYH. o^EWIDNO, max(0 n ; (N ; M )) m min(n M ) ; (1) ESLI OB_EM WYBORKI n PREWYAET ^ISLO ^ERNYH AROW M TO MY NE SMOVEM WYBRATX BOLEE ^EM M ^ERNYH, I ESLI n BOLXE, ^EM ^ISLO BELYH AROW N ; M TO ^ISLO m ^ERNYH AROW W WYBORKE NE MOVET BYTX MENXE n ; (N ; M ): iZ M ^ERNYH AROW WYBIRAETSQ m AROW TOGO VE CWETA, I ^ISLO WSEWOZMOVNYH SPOSOBOW TAKOGO WYBORA RAWNO CMm : aNALOGI^NO, IZ N ; M BELYH AROW n ; m AROW TOGO VE CWETA MOVNO WYBRATX CNn;;mM SPOSOBAMI. sLEDOWATELXNO, OB]EE ^ISLO ISHODOW, BLAGOPRIQTSTWU@]IH SOBYTI@ A RAWNO CMm CNn;;mM I ISKOMAQ WEROQTNOSTX m C n;m C M P (A) = C nN ;M : (2) N
12
gOWORQT, ^TO FORMULA (2) OPREDELQET GIPERGEOMETRI^ESKOE RASPREDELENIE CELO^ISLENNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X PRINIMA@]EJ ZNA^ENIE IZ OBLASTI (1), { WEROQTNOSTX pm = P (XP= mjN M n) RAWNA PRAWOJ ^ASTI (2) PRI L@BOM m IZ OBLASTI (1) I pm PO WSEM m UDOWLETWORQ@]IM (1), RAWNA 1. pRIWEDEM NESKOLXKO PRIMEROW NA PRIMENENIQ GIPERGEOMETRI^ESKOGO RASPREDELENIQ WEROQTNOSTEJ. 1. wYIGRY W LOTEREE sPORTLOTO \6 IZ 49". w NA^ALE 70-H GODOW POLU^ILA RASPROSTRANENIE RAZNOWIDNOSTX LOTEREI, NOSQ]AQ NAZWANIE \SPORTLOTO". u^ASTNIK LOTEREI IZ 49 WIDOW SPORTA, OBOZNA^ENNYH PROSTO CIFRAMI, NAZYWAET ESTX. wYIGRY OPREDELQETSQ TEM, SKOLXKO NAIMENOWANIJ ON UGADAL IZ ESTI DRUGIH NAIMENOWANIJ, KOTORYE BYLI ZARANEE WYDELENY KOMISSIEJ. sPRAIWAETSQ, KAKOWA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO U^ASTNIK UGADAET WSE ESTX NAIMENOWANIJ, PQTX NAIMENOWANIJ I T.D. nETRUDNO WIDETX, ^TO \TO ESTX NE ^TO INOE, KAK ZADA^A O GIPERGEOMETRI^ESKOM RASPREDELENII, GDE N = 49 M = 6 (UGADYWAEMYE NOMERA { ^ERNYE ARY), n = 6 I m(= 1 : : : 6) { ^ISLO UGADANNYH NOMEROW. wEROQTNOSTX UGADATX m NOMEROW RAWNA m 6;m C 6 C43 P (X = mj49 6 6) = C 6 : 49 nAPRIMER, WEROQTNOSTX MAKSIMALXNOGO WYIGRYA (m = 6) RAWNA C66C430 =C496 = 1=C496 = 6!43!=49! 7:2 10;8: |TO MENXE ODNOJ DESQTIMILLIONNOJ(!) { ANSY NA WYIGRY NI^TOVNY. 2. kAK WYTA]ITX \S^ASTLIWYJ" BILET NA ZKZAMENE? gRUPPA IZ N STUDENTOW SDAET \KZAMEN, NA KOTOROM KAVDOMU STUDENTU PREDLAGAETSQ WYBRATX NAUGAD ODIN IZ N BILETOW. sTUDENT pETROW ZNAET M (< N ) BILETOW, I S^ITAET, ^TO ESLI ON POJDET SDAWATX \KZAMEN PERWYM, TO ANSOW \WYTQNUTX" S^ASTLIWYJ BILET U NEGO NESOMNENNO BOLXE, ^EM ESLI ON POJDET OTWE^ATX POSLEDNIM (EGO DOWODY W POLXZU \TOGO { \WSE S^ASTLIWYE BILETY BUDUT RAZOBRANY"). pRAW LI pETROW? eSLI pETROW POJDET PERWYM, TO WEROQTNOSTX WYBORA S^ASTLIWOGO BILETA RAWNA, O^EWIDNO, M=N: eSLI VE pETROW IDET POSLEDNIM, TO 13
MY MOVEM PRI RAS^ETE WEROQTNOSTI WOSPOLXZOWATXSQ GIPERGEOMETRI^ESKIM RASPREDELENIEM P (X = M ; 1jN M N ; 1) { PREDESTWU@]IE pETROWU N ; 1 STUDENTOW (OB_EM WYBORKI n = N ; 1) DOLVNY WYBRATX ROWNO m = M ; 1 S^ASTLIWYH BILETOW, I TOGDA pETROWU, KOTORYJ SDAET POSLEDNIM, DOSTANETSQ S^ASTLIWYJ BILET. iMEEM M ;1C (N ;1);(M ;1) C M ;1 M C M N ;M P (X = M ; 1jN M N ; 1) = = MN ;1 = N N ; ! CN CN TAK ^TO ANSY WYBRATX S^ASTLIWYJ BILET ODINAKOWY. nETRUDNO, PROIZWODQ ANALOGI^NYE WYKLADKI, UBEDITXSQ, ^TO ANSY WYBRATX S^ASTLIWYJ BILET WOOB]E NE ZAWISQT OT TOGO, KAKIM PO S^ETU PRIDET pETROW NA \KZAMEN, { ONI WSEGDA ODNI I TE VE M=N:
3. oCENKA ^ISLENNOSTI ZAMKNUTOJ POPULQCII VIWOTNYH (METOD MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ. pREDYDU]IE DWA PRIMERA ILL@STRIROWALI PRIMENENIE WEROQTNOSTNOJ MODELI GIPERGEOMETRI^ESKOGO RASPREDELENIQ K REENI@, TAK NAZYWAEMYH, PRQMYH ZADA^ TEORII WEROQTNOSTEJ: ZNAQ PARAMETRY MODELI N M I n MY OPREDELQLI WEROQTNOSTI SOBYTIJ, SWQZANNYH SO ZNA^ENIQMI SLU^AJNOJ WELI^INY X: nO W ESTESTWENNYH NAUKAH (FIZIKA, BIOLOGIQ, \KONOMIKA I PR.) OBY^NO PRIHODITSQ REATX OBRATNYE ZADA^I { NABL@DAQ ZNA^ENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X ISSLEDOWATELX STREMITSQ SDELATX OPREDELENNOE ZAKL@^ENIE O NEIZWESTNYH PARAMETRAH WEROQTNOSTNOJ MODELI. rEENIEM
TAKIH OBRATNYH ZADA^ ZANIMAETSQ RODSTWENNAQ TEORII WEROQTNOSTEJ NAUKA MATEMATI^ESKAQ STATISTIKA. sLEDU@]IJ PRIMER ILL@STRIRUET ODIN IZ TIPI^NYH METODOW REENIQ ZADA^I PO OCENKE PARAMETRA WEROQTNOSTNOJ MODELI. pROBLEMA SOSTOIT W OPREDELENII ^ISLENNOSTI N RYB, VIWU]IH NA MOMENT NABL@DENIQ W ZAMKNUTOM WODOEME, SKAVEM, W PRUDU RYBOWODNOGO HOZQJSTWA. dLQ OPREDELENIQ (TO^NEE, PRIBLIVENNOJ OCENKI) N ISSLEDOWATELX OTLAWLIWAET ZADANNOE KOLI^ESTWO M RYB, METIT IH KAKIM-LIBO SPOSOBOM I WOZWRA]AET W PRUD. pO ISTE^ENII NEKOTOROGO PROMEVUTKA WREMENI, KOGDA, PO EGO MNENI@, ME^ENYE RYBY \PEREMEALISX" S DRUGIMI OBITATELQMI PRUDA, ON SNOWA OTLAWLIWAET FIKSIROWANNOE KOLI^ESTWO n RYB (W MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE \TA PROCEDURA NAZYWAETSQ IZWLE^ENIEM WYBORKI OB_EMA n IZ GENERALXNOJ SOWOKUPNOSTI) I PODS^ITYWAET ^ISLO m OTME^ENNYH RYB, POPAWIH WO WTOROJ ULOW. w RAMKAH GIPERGEOMETRI^ESKOJ MODELI TAKOGO \KSPERI14
MENTA MY RASPOLAGAEM ZNA^ENIQMI PARAMETROW M I n ZNAEM REZULXTAT m NABL@DENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X NO NE ZNAEM ZNA^ENIQ PARAMETRA N GIPERGEOMETRI^ESKOGO RASPREDELENIQ P (X = mjN M n): oDIN IZ OSNOWNYH METODOW REENIQ OBRATNYH ZADA^ TEORII WEROQTNOSTEJ (ZADA^ MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI), KOTORYJ NAZYWAETSQ METODOM MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ, SOSTOIT W WYBORE TAKOGO ZNA^ENIQ N^ PARAMETRA N KOTOROE SOOTWETSTWUET MAKSIMUMU WEROQTNOSTI NABL@DAEMOGO ISHODA m W NABL@DENII X: oSNOWNOJ DOWOD W POLXZU TAKOGO POWEDENIQ STATISTIKA SOSTOIT W PROSTOM VITEJSKOM NABL@DENII: ESLI PROISHODIT KAKOE-LIBO SOBYTIE, TO \TO SOBYTIE DOLVNO IMETX BOLXU@ WEROQTNOSTX PO SRAWNENI@ S DRUGIMI ISHODAMI STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA. iTAK, METOD MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ PREDLAGAET W KA^ESTWE OCENKI NEIZWESTNOGO ZNA^ENIQ N (^ISLENNOSTI RYB W PRUDU) WZQTX REENIQ SLEDU@]EJ ZADA^I NA \KSTREMUM: m C n;m C N ;M : M ^ N = arg max n N CN rEITX \TU ZADA^U MOVNO S POMO]X@ OPREDELENIQ ZNA^ENIQ N PRI KOTOROM PROISHODIT SMENA NERAWENSTWA CMm CNn;;mM < CMm CNn;+1m;M CNn CNn +1 NA OBRATNOE. iSPOLXZUQ IZWESTNU@ FORMULU DLQ WY^ISLENIQ BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW, NAHODIM, ^TO \TO NERAWENSTWO \KWIWALENTNO (N + 1)m < nM OTKUDA POLU^AEM OCENKU MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ DLQ ^ISLENNOSTI RYB W PRUDU: " M# N^ = n m : lEGKO ZAMETITX, ^TO TAKAQ OCENKA SOGLASUETSQ S PROSTYMI RASSUVDENIQMI TIPA, \ESLI PRI POWTORNOM OTLOWE Q OBNARUVIL POLOWINU OTME^ENNYH RYB, TO W PRUDU IH W DWA RAZA BOLXE, ^EM Q POJMAL". z A D A ^ A 1.4. gEOMETRI^ESKIE WEROQTNOSTI: ZADA^A O WSTRE^E. dWA ^ELOWEKA DOGOWORILISX WSTRETITXSQ W TE^ENIE OPREDELENNOGO ^ASA. pREDLAGAETSQ, ^TO MOMENT PRIHODA KAVDOGO IZ WSTRE^A@]IHSQ NE ZAWISIT OT NAMERENIJ DRUGOGO I IMEET \RAWNOMERNOE" RASPREDELENIE 15
W NAZNA^ENNOM PROMEVUTKE WSTRE^I 60 MINUT (MOMENT PRIHODA SLU^AEN). pRIEDIJ PERWYM VDET DRUGOGO TOLXKO 10 MINUT, POSLE ^EGO UHODIT (WSTRE^A NE SOSTOQLASX). kAKOWA WEROQTNOSTX WSTRE^I? |TO ODNA IZ TIPI^NYH ZADA^ GEOMETRI^ESKOJ WEROQTNOSTI, DLQ REENIQ KOTOROJ ISPOLXZUETSQ SLEDU@]AQ MATEMATI^ESKAQ FORMALIZACIQ PONQTIQ \SLU^AJNOSTI" MOMENTA PRIHODA. rASSMOTRIM BOLEE OB]U@ (I BOLEE ABSTRAKTNU@) ZADA^U. w \WKLIDOWOM PROSTRANSTWE Rn WYDELQETSQ ZAMKNUTAQ OBLASTX KONE^NOJ LEBEGOWOJ MERY (): nA OBLASTX SLU^AJNO BROSAETSQ TO^KA, I TREBUETSQ OPREDELITX WEROQTNOSTX TOGO, ^TO TO^KA POPADET W PODMNOVESTWO S : eSTESTWENNO FORMALIZWATX PONQTIE \SLU^AJNOSTI" W TERMINAH NEZAWISIMOSTI WEROQTNOSTI POPADANIQ TO^KI W S OT POLOVENIQ \TOGO MNOVESTWA W OBLASTI I EGO KONFIGURACII, I POSTULIROWATX, ^TO ISKOMAQ WEROQTNOSTX PROPORCIONALXNA (S ): w TAKOM SLU^AE IGRAET ROLX PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW, WEROQTNOSTX POPADANIQ TO^KI W DOLVNA RAWNQTXSQ EDINICE, TAK ^TO WEROQTNOSTX POPADANIQ W MNOVESTWO S RAWNA P (S ) = (S )=(): iSPOLXZUEM \TOT METOD W REENII ZADA^I O WSTRE^E. zDESX { KWADRAT 60 60 MNOVESTWO S { POLOSA WDOLX DIAGONALI KWADRATA, KOTORU@ W DEKARTOWOJ SISTEME KOORDINAT MOVNO ZADATX W WIDE OBLASTI jx ; yj 10: o^EWIDNO, PLO]ADX \TOJ OBLASTI RAWNA 60 60 ; 50 50 PLO]ADX KWADRATA { 60 60 OTKUDA ISKOMAQ WEROQTNOSTX WSTRE^I, RAWNAQ OTNOENI@ PLO]ADEJ, P (S ) = 1 ; (50=60)2 = 11=36: oSNOWNYJ WYWOD, KOTORYJ MY DOLVNY SDELATX IZ REENIQ DANNOJ ZADA^I, SOSTOIT W OSOZNANII NEWOZMOVNOSTI OPREDELENIQ WEROQTNOSTI NA NES^ETNYH PROSTRANSTWAH POSREDSTWOM ZADANIQ FUNKCII p(!) KAK WEROQTNOSTI \LEMENTARNOGO ISHODA ! 2 : rASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ SLEDUET OPREDELQTX S POMO]X@ FUNKCIJ NA PODMNOVESTWAH PRI^EM \TI FUNKCII DOLVNY BYTX NORMIROWANNYMI MERAMI { WEROQTNOSTX WSEGO DOLVNA RAWNQTXSQ EDINICE, I P (S ) DOLVNA OBLADATX SWOJSTWOM S^ETNOJ ADDITIWNOSTI.
16
x2. wEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO aKSIOMATI^ESKOE POSTROENIE TEORII WEROQTNOSTEJ NA^INAETSQ S FORMALIZACII (OPISANIQ) PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW ! NEKOTOROGO STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA. oPREDELENNYE (SM.NIVE) PODMNOVESTWA PROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ SOBYTIQMI GOWORQT, ^TO PROIZOLO SOBYTIE A( ), ESLI STATISTI^ESKIJ \KSPERIMENT ZAKON^ILSQ \LEMENTARNYM ISHODOM ! 2 A. nAD SOBYTIQMI A, KAK PODMNOVESTWAMI PROSTRANSTWA , WWODQTSQ TEORETIKO-MNOVESTWENNYE oPERACII, WEROQTNOSTNAQ TRAKTOWKA KOTORYH PRIWODITSQ W SLEDU@]EJ TABLICE. tEORETIKOMNOVESTWENNYE OB_EKTY I OPERACII
wEROQTNOSTNAQ TRAKTOWKA
{ MNOVESTWO
PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW, DOSTOWERNOE SOBYTIE
! { \LEMENT A { PODMNOVESTWO MNOVESTWA
\LEMENTARNYJ ISHOD \KSPERIMENTA, \LEMENTARNOE SOBYTIE SOBYTIE
{ PUSTOE MNOVESTWO
NEWOZMOVNOE SOBYTIE
A B { PODMNOVESTWO A ESTX ^ASTX (PRINADLEVIT) B
SOBYTIE BYTIE B
17
A
WLE^ET SO-
gEOMETRI^ESKAQ INTERPRETACIQ
!
A { DOPOLNENIE PODMNOVESTWA A DO c
A B { OB_EDINENIE PODMNOVESTW A I B A \ B { PERESE^ENIE PODMNOVESTW A I B
SOBYTIE PROIZOLO
A
NE
pROIZOLO PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ SOBYTIJ A ILI B
pROIZOLI ODNOWREMENNO OBA SOBYTIQ AIB
AnB {
RAZNOSTX: IZ POD- pROIZOLO SOBYTIE A, MNOVESTWA A WY^ITAETSQ W TO WREMQ KAK SOPODMNOVESTWO B BYTIE B NE PROIZOLO
A \ B = { MNOVESTWA A I B NE IME@T OB]IH TO^EK (NE PERESEKA@TSQ)
SOBYTIQ A NESOWMESTNY
B
I
eSLI RASSMATRIWATX WWEDENNYE OPERACII NAD MNOVESTWAMI KAK ALGEBRAI^ESKIE, TO WYSTUPAET W ROLI \EDINICY" ALGEBRY, A { W ROLI EE \NULQ", ^TO WIDNO IZ SLEDU@]IH RAWENSTW:
A = = (A ) = A A = A A A = A A = A A = A \ = A \ A = A A \ = A A \ A = : c
c
c c
c
c
oPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ RASPROSTRANQ@TSQ NA L@BOE, WOZMOVNO NES^ETNOE SEMEJSTWO fAi i 2 I g SOBYTIJ:
S
i2I
T
i2I
A
i
A
i
{ {
PROIZOLO PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ SOBYTIJ SEMEJSTWA fAi i 2 I g, PROIZOLI ODNOWREMENNO WSE SOBYTIQ SEMEJSTWA
fA i 2 I g. i
oPREDELENIE 2.1. sEMEJSTWO SOBYTIJ
SEMEJSTWOM NESOWMESTNYH SOBYTIJ, ESLI
i 6= j i j 2 I:
18
fA i 2 I g NAZYWAETSQ A \ A = PRI L@BYH i
i
j
eSLI Ai i 2 I , NESOWMESTNY, TO WMESTO ZNAKA X \PRQMOJ SUMMY" (ILI +):
i2I
A = XA i
i2I
A B = A + B:
i
iMEET MESTO PRAWILO DWOJSTWENNOSTI:
\
I
I
S ISPOLXZUETSQ ZNAK
( Ai)c = Aci
\
I
I
( Ai)c = Aci:
nAPOMNIM, ^TO OPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ OBLADA@T SWOJSTWAMI KOMMUTATIWNOSTI A \ B = B \ A ASSOCIATIWNOSTI
(A \ B ) \ C = A \ (B \ C ) B \ (I Ai) = I (Ai \ B ):
I DISTRIBUTIWNOSTI oTNOENIE PRINADLEVNOSTI A B POROVDAET ^ASTI^NYJ PORQDOK NA PODMNOVESTWAH PROSTRANSTWA , TAK ^TO OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI (RAWENSTWA) A = B DWUH SOBYTIJ OZNA^AET, ^TO ODNOWREMENNO A B I B A. wWEDENNYE WYE OPERACII NAD MNOVESTWAMI OPREDELQ@T STRUKTURU BULEWOJ ALGEBRY: IMEET MESTO
oPREDELENIE 2.2. bULEWOJ ALGEBROJ NAZYWAETSQ TAKOJ KLASS A
, ^TO (A1) 2 A, (A2) A 2 A =) Ac 2 A, (A3) A B 2 A =) A B 2 A.
PODMNOVESTW
lEKCIQ 3
pREDLOVENIE 2.1. eSLI A { BULEWA ALGEBRA, TO
A:
(1) 2 A (2) A1 : : : An 2 A =) Sn1 Ai 2 A Tn1 Ai 2 A (3) A B 2 A =) A n B 2 A: d O K A Z A T E L X S T W O. (1) tAK KAK = c TO W SILU (A1) I (A2) 2
(2) iSPOLXZUQ METOD INDUKCII, LEGKO POKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO S n n = 1 2 : : : WKL@^ENIE fAi i = 1 : : : ng A WLE^ET 1 Ai 2 A (n ; 1 RAZ ISPOLXZUETSQ AKSIOMA (A3) BULEWOJ ALGEBRY). s DRUGOJ STORONY, IZ PRAWILA DWOJSTWENNOSTI WYTEKAET, ^TO fAi i = 1 ng A =) 19
Tn A 2 A, IBO fAc i = 1 ng A =) Sn Ac = (Tn A )c 2 A =) Tn A = 1 i 1 i 1 i 1 i i T n c c ( A ) ] 2 A: 1
i
(3) |TO SWOJSTWO SLEDUET IZ O^EWIDNOGO RAWENSTWA A n B = A \ B (RAZNOSTX MNOVESTW OZNA^AET, ^TO ! ODNOWREMENNO PRINADLEVIT DOPOLNENI@ MNOVESTWA B I MNOVESTWU A). tAKIM OBRAZOM, BULEWA ALGEBRA SODERVIT \EDINICU" \NOLX" I c
ZAMKNUTA OTNOSITELXNO KONE^NOGO ^ISLA OPERACIJ OB_EDINENIQ, PERESE^ENIQ I WY^ITANIQ (WZQTIQ DOPOLNENIQ).
p R I M E R Y B U L E W Y H A L G E B R. 1. sAMAQ \TONKAQ" BULEWA ALGEBRA: MNOVESTWO P () WSEWOZMOVNYH PODMNOVESTW PROSTRANSTWA , WKL@^AQ PUSTOE MNOVESTWO , KAK PODMNOVESTWO L@BOGO A 2 : 2. sAMAQ \GRUBAQ" BULEWA ALGEBRA A = f g. 3. bULEWA ALGEBRA, POROVDENNAQ SOBYTIEM A : A = f A Ac g.
oPREDELENIE 2.3. wEROQTNOSTX@
P
NA BULEWOJ ALGEBRE A PODW OTREZOK 0 1], OBLADA@]EE
MNOVESTW NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE A SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: (P 1) NORMIRUEMOSTX: P () = 1 (P 2) KONE^NAQ ADDITIWNOSTX: ESLI SOBYTIQ NY, TO 0 1
A1 : : : A
n
NESOWMEST-
P @X A A = X P (A ) n
1
n
i
1
i
(P 3) NEPRERYWNOSTX: ESLI fAn n 1g { MONOTONNO UBYWA@]AQ PO T 1 WKL@^ENI@ POSLEDOWATELXNOSTX \LEMENTOW IZ A I 1 An = (W \TOM SLU^AE PIUT An # KOGDA n ! 1), TO lim P (An) = 0: n!1 w SLEDU@]EM PREDLOVENII PREDPOLAGAETSQ, ^TO WSE SOBYTIQ PRINADLEVAT BULEWOJ ALGEBRE A:
pREDLOVENIE 2.2. wEROQTNOSTX P NA BULEWOJ ALGEBRE A OBLADAET
SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
(1) P () = 0 (2) P (Ac) = 1 ; P (A) (3) ESLI A B TO P (A) P (B ) (SWOJSTWO MONOTONNOSTI) I P (B n A) = P (B ) ; P (A) 20
(4) P (A B ) = P (A) + P (B ) ; P (A \ B ) (SWOJSTWO SILXNOJ ADDITIWNOSTI) X (5) P (Sn1 Ai) n1 P (Ai) (SWOJSTWO POLUADDITIWNOSTI) (6) ESLI An # A ILI An " A TO SPRAWEDLIWO SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI OTNOSITELXNO MONOTONNOJ SHODIMOSTI
lim P (An) = P (A)
n!1
(7) ESLI fAn n 1g { BESKONE^NAQ POSLEDOWATELXNOSTX NESOWMEST-
NYH SOBYTIJ, TO IMEET MESTO SWOJSTWO -ADDITIWNOSTI
01 1 1 P @X AnA = X P (An)
(8) P (S11 An)
X1 1
1
1
P (A ) (SWOJSTWO -POLUADDITIWNOSTI.) n
d O K A Z A T E L X S T W O. (1) iSPOLXZUQ W NUVNOM MESTE AKSIOMY (P 2) I (P 1) POLU^AEM 1 = P () = P ( + ) = P () + P () = 1 + P () OTKUDA P () = 0: (2) iSPOLXZUQ AKSIOMU ADDITIWNOSTI (P 2) IMEEM 1 = P () = P (A + Ac) = P (A) + P (Ac) OTKUDA P (Ac) = 1 ; P (A): (3) tAK KAK B = A + (B n A) TO, W SILU (P 2) P (B ) = P (A) + P (B nA) OTKUDA P (B nA) = P (B );P (A): pOSKOLXKU P (B nA) 0 TO IZ POSLEDNEGO RAWENSTWA WYTEKAET SWOJSTWO MONOTONNOSTI P (A) P (B ): (4) lEGKO WIDETX, ^TO A B = A + (B n (A \ B )) I POSKOLXKU A \ B B TO W SILU AKSIOMY ADDITIWNOSTI I DOKAZANNOGO SWOJSTWA (3) MONOTONNOSTI WEROQTNOSTI POLU^AEM P (A B ) = P (A) +
P (B n (A \ B )) = P (A) + P (B ) ; P (A \ B ):
(5) dOKAZATELXSTWO PROWEDEM PO INDUKCII. pRI n = 2 IZ DOKAZANNOGO SWOJSTWA (4) SILXNOJ ADDITIWNOSTI I POLOVITELXNOSTI WEROQTNOSTI WYTEKAET, ^TO P (A1 A2) = P (A1) + P (A2) ; P (A1 \ A2) P (A1)+ P (A2): tEPERX, POLAGAQ, ^TO DOKAZYWAEMOE NERAWENSTWO IMEET MESTO DLQ NEKOTOROGO CELOGO n UBEVDAEMSQ, ^TO ONO SPRAWEDLIWO DLQ n + 1 ISPOLXZUQ PREDSTAWLENIE
n+1
1
eSLI An # A TO IZ PREDSTAWLENIQ An =
(6)
0n 1 Ai = @ AiA An+1: 1
A n A # I TREBUEMOE SWOJSTWO WYTEKAET A + (A n A) I AKSIOM ADDITIWNOSTI (P 2) I n
n
21
NEPRERYWNOSTI (P 3) WEROQTNOSTI P: sLU^AJ An " A RASSMATRIWAETSQ ANALOGI^NO I PRI \TOM ISPOLXZUETSQ PREDSTAWLENIE A = An +(A n An ): (7) sWOJSTWO -ADDITIWNOSTI WYTEKAET IZ DOKAZANNOGO SWOJSTWA (6) I SWOJSTWA (P 2) KONE^NOJ ADDITIWNOSTI:
01 1 0 X P @ Ak A = P @ lim
n!1
1
"
n X
1
1 0n 1 @X Ak A = Ak A = nlim P !1 1
n X
1 X
1
1
lim P (Ak ) = n!1
P (A ): k
(8) iSPOLXZUQ, KAK I W (7), SWOJSTWO (6), A TAKVE SWOJSTWO POLUADDITIWNOSTI (5), POLU^AEM 01 1 0 P @ AnA = P @ lim
n!1
1
lim
n!1
n X
1
"
n 1
1 0n 1 @ Ak A Ak A = nlim P !1 1
1 X
P (A ) = P (A ): k
k
1
iZ DOKAZANNYH SWOJSTW WEROQTNOSTI SLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA SWOJSTWO (6) -ADDITIWNOSTI. dELO W TOM, ^TO \TO SWOJSTWO ^ASTO KLADETSQ W OSNOWU OPREDELENIQ WEROQTNOSTI WMESTO AKSIOM (P 2) I (P 3): iMEET MESTO
oPREDELENIE 2.4. wEROQTNOSTX@
P
NA BULEWOJ ALGEBRE A PODMNOVESTW NAZYWAETSQ TAKOE OTOBRAVENIE A W OTREZOK 0 1], ^TO (P 1) (NORMIRUEMOSTX) P () = 1 X (P 20) (-ADDITIWNOSTX) ESLI OB_EDINENIE 11 An S^ETNOGO SEMEJSTWA fAn n 1g NESOWMESTNYH SOBYTIJ PRINADLEVIT BULEWOJ ALGEBRE A TO 0 1
P @X A A = X P (A ): 1 1
1
n
1
iMEET MESTO
n
pREDLOVENIE 2.3.oPREDELENIQ 2.3 I 2.4 WEROQTNOSTI
WOJ ALGEBRE
A \KWIWALENTNY.
P
NA BULE-
d O K A Z A T E L X S T W O. tO, ^TO (P 2) I (P 3) WLE^ET (P 20 ) BYLO USTANOWLENO W UTWERVDENII (7) PREDLOVENIQ 2.2. dOKAVEM OBRATNOE { ADDITIWNOSTX WLE^ET NEPRERYWNOSTX P: 22
pUSTX An # TREBUETSQ DOKAZATX, ^TO P (An) ! 0 KOGDA n ! 1: pREDSTAWIM An W WIDE OB_EDINENIQ POSLEDOWATELXNOSTI NESOWMESTNYH SOBYTIJ: 1
A = X (A n A +1): n
w SILU AKSIOMY
k
k =n
k
-ADDITIWNOSTI
P (A ) = X P (A n A +1): 1
n
k
k =n
k
pRAWAQ ^ASTX \TOGO RAWENSTWA PREDSTAWLQET OSTATO^NYJ ^LEN SHODQ]EGOSQ RQDA
S = X P (A n A +1) =1 POSKOLXKU IZ WKL@^ENIQ A +1 A (NAPOMNIM, POSLEDOWATELXNOSTX fA n 1g MONOTONNO UBYWA@]AQ) SLEDUET 1
k
k
k
k
k
n
S=
1 X k =1
P (Ak ) ; P (Ak+1)] = P (A1) 1:
iTAK, RQD SHODITSQ I, SLEDOWATELXNO, EGO OSTATO^NYJ ^LEN P (An ) ! 0 KOGDA n ! 1:
oPREDELENIE 2.4 POSTULIRUET, ^TO P ESTX NORMIROWANNAQ S^ETNO ADDITIWNAQ MERA NA BULEWOJ ALGEBRE A PODMNOVESTW (SOBYTIJ) PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW : pOSKOLXKU NAM PRIDETSQ DOWOLXNO ^ASTO WY^ISLQTX WEROQTNOSTI OB_EDINENIJ BESKONE^NOGO ^ISLA SOBYTIJ, A TAKIE OB_EDINENIQ NE OBQZATELXNO PRINADLEVAT A TO ESTESTWENNO, KAK \TO PRINQTO W TEORII MERY, RASIRITX BULEWU ALGEBRU A WKL@^IW W NEE PREDELY MONOTONNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ EE \LEMENTOW, POSLE ^EGO PRODOLVITX WEROQTNOSTX P NA RASIRENNYJ TAKIM OBRAZOM KLASS PODMNOVESTW :
oPREDELENIE 2.5. sOWOKUPNOSTX A PODMNOVESTW PROSTRANSTWA
NAZYWAETSQ BULEWOJ
-ALGEBROJ, ESLI
(A1) 2 A (A2) A 2 A =) Ac 2 A S (A3)S fAn n 1g A =) 11 An 2 A:
iSPOLXZUQ PRAWILO DWOJSTWENNOSTI PO ANALOGII S DOKAZATELXSTWOM PREDLOVENIQ 2.1, LEGKO UBEDITXSQ, ^TO BULEWA -ALGEBRA ZAMKNUTA NE 23
TOLXKO OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ S^ETNOGO ^ISLA SWOIH \LEMENTOW, NO I OTNOSITELXNO IH PERESE^ENIQ. wSEGDA SU]ESTWUET HOTQ BY ODNA -ALGEBRA PODMNOVESTW L@BOGO PROSTRANSTWA NAPRIMER, TAKOWOJ QWLQETSQ SOWOKUPNOSTX P () WSEWOZMOVNYH PODMNOVESTW WKL@^AQ (SAMAQ \TONKAQ" BULEWA ALGEBRA { SM. PRIMER 1). wSPOMINAQ NAI RASSUVDENIQ O POPOLNENII BULEWOJ ALGEBRY PREDELAMI MONOTONNYH (PO WKL@^ENI@) POSLEDOWATELXNOSTEJ EE \LEMENTOW, WWEDEM
oPREDELENIE 2.6. nAIMENXAQ -ALGEBRA B(A) SODERVA]AQ BULE-
WU ALGEBRU A NAZYWAETSQ -ALGEBROJ, POROVDENNOJ BULEWOJ ALGEBROJ
A:
iZ KURSA ANALIZA WAM HOROO IZWESTNA ZNAMENITAQ TEOREMA O PRODOLVENII MERY. w TERMINAH WEROQTNOSTNOJ MERY ONA FORMULIRUETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM
tEOREMA (O PRODOLVENII WEROQTNOSTI). l@BAQ WEROQTNOSTX
P ZADANNAQ NA BULEWOJ ALGEBRE A IMEET EDINSTWENNOE PRODOLVENIE NA POROVDENNU@ A -ALGEBRU B(A): oPREDELENIE 2.7. pARA ( A) SOSTOQ]AQ IZ PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW I BULEWOJ -ALGEBRY A EE PODMNOVESTW, NAZYWA-
ETSQ IZMERIMYM PROSTRANSTWOM. tOLXKO \LEMENTY A NAZYWA@TSQ SOBYTIQMI, OSTALXNYE PODMNOVESTWA NE PRINADLEVA]IE A NAZYWA@TSQ NEIZMERIMYMI PODMNOVESTWAMI. nAKONEC, TRIPLET ( A P ) W KOTOROM P { WEROQTNOSTX NA -ALGEBRE A NAZYWAETSQ WEROQTNOSTNYM PROSTRANSTWOM.
24
x3. uSLOWNAQ WEROQTNOSTX I NEZAWISIMOSTX SOBYTIJ lEKCIQ 4
pONQTIE WEROQTNOSTNOGO PROSTRANSTWA IGRAET FUNDAMENTALXNU@ ROLX W PRILOVENIQH TEORII WEROQTNOSTEJ POSKOLXKU \TO MATEMA TI^ESKAQ FORMALIZACIQ WEROQTNOSTNOJ MODELI zNAQ RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ MY W SOSTOQNII OPTIMIZIROWATX SWOE POWEDENIE PRI IGRE S PRIRODOJ PROIZWODQ STAWKI NA TE SOBYTIQ IZ SIGMA ALGEB RY A KOTORYE OBLADA@T NAIBOLXEJ WEROQTNOSTX@ dALXNEJAQ OP TIMIZACIQ TAKOJ IGRY OBY^NO OSU]ESTWLQETSQ ZA S^ET DOPOLNITELX NOJ INFORMACII KOTOROJ MOVET RASPOLAGATX IGROK I U^ET TAKOJ INFORMACII OSU]ESTWLQETSQ W TERMINAH TAK NAZYWAEMOJ USLOWNOJ WEROQTNOSTI ~TOBY UQSNITX SMYSL \TOGO NOWOGO DLQ NAS PONQTIQ RASSMOTRIM SLEDU@]IJ PROSTOJ PRIMER bROSAETSQ PRAWILXNAQ KOSTX I NAS INTERESUET SOBYTIE A WYPA LO O^KOW aPRIORI WEROQTNOSTX \TOGO SOBYTIQ RAWNA NO PUSTX MY RASPOLAGAEM DOPOLNITELXNOJ INFORMACIEJ ^TO WYPALO ^ETNOE KOLI^ESTWO O^KOW SOBYTIE B w TAKOM SLU^AE WEROQTNOSTX SOBYTIQ A DOLVNA UWELI^ITXSQ I DLQ EE PERES^ETA MY DOLVNY RASSMOTRETX SUVENNOE PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW B f g: w SOOT WETSTWII S RASPREDELENIEM WEROQTNOSTEJ NA ISHODNOM PROSTRANSTWE \LEMENTARNYH ISHODOW f g WEROQTNOSTX P B SOBYTIQ B ILI ^TO TO VE WEROQTNOSTNAQ MERA NOWOGO PROSTRANSTWA \LEMEN TARNYH ISHODOW B RAWNA uSLOWIE PROIZOLO SOBYTIE B DE LAET PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW B DOSTOWERNYM SOBYTIEM I SLEDOWATELXNO MY DOLVNY PRIPISATX EMU WEROQTNOSTX EDINICA A WEROQTNOSTI p p p = OSTALXNYH ISHODOW IZ B PRO NORMIROWATX RAZDELITX NA MERU P B P B = : tAKIM OB RAZOM USLOWNOE RASPREDELENIE NA B SLEDUET WY^ISLQTX PO FORMULE p ! \ B P f!g \ B =P B : iTAK ISKOMAQ WEROQTNOSTX SOBYTIQ A PRI USLOWII ^TO PROIZOLO SOBYTIE B USLOWNAQ WEROQTNOSTX RAWNA P A j B P A \ B =P B : oPREDELENIE 3.1 uSLOWNAQ WEROQTNOSTX SOBYTIQ A OTNOSITELXNO SOBYTIQ B BOLEE DLINNAQ I USTAREWAQ TERMINOLOGIQ WEROQTNOSTX A PRI USLOWII, ^TO PROIZOLO B OPREDELQETSQ FORMU ,
{
-
.
,
\
"
,
\
"
-
-
.
-
-
,
,
.
,
.
:
6
.
-
1/6,
,
(
).
,
=
(
,
1 2 3 4 5 6
=
2
4
(
6
-
)
,
-
)
1/2.
\
"
-
,
,
,
(2) =
(4) =
(6) = 1 6
{
(
,
(
,
) =
(
-
) = 1 2
-
) =
(
)
(
)
,
,
(
) =
(
(
)
(
)
)
.
(
{
)
25
-
LOJ
P AjB (
) =
P A\B PB (
)
(
)
ESLI P B 6 : pOSLEDNEE USLOWIE KASA@]EESQ WEROQTNOSTI SOBYTIQ B QWLQETSQ WESXMA WAVNYM W DANNOM OPREDELENII USLOWNOJ WEROQTNOSTI I MY POKA NE RASPOLAGAEM TEHNI^ESKIMI WOZMOVNOSTQMI DLQ OPREDELENIQ USLOWNOJ WEROQTNOSTI OTNOSITELXNO SOBYTIQ S NULEWOJ WEROQTNOSTX@ EGO OSU]ESTWLENIQ sTANOWLENIE TEORII WEROQTNOSTEJ KAK MATEMATI ^ESKOJ DISCIPLINY WO MNOGOM BYLO SWQZANO S POPYTKOJ DATX KORREKT NOE OPREDELENIE USLOWNOJ WEROQTNOSTI OTNOSITELXNO L@BOGO \LEMENTA ALGEBRY I IMENNO \TO UDALOSX SDELATX aNDRE@ nIKOLAEWI^U kOL MOGOROWU W H GODAH STOLETIQ ^TO PRIWELO K ISKL@^ITELXNO BURNOMU RAZWITI@ STOHASTI^ESKIH DISCIPLIN I RASIRENI@ OBLAS TI IH PRIMENENIQ wWEDEM TEPERX ODNO IZ WAVNEJIH PONQTIJ TEORII WEROQTNOSTEJ KOTOROE PO SU]ESTWU WYDELQET EE W SAMOSTOQTELXNU@ DISCIPLINU IZ OB]EJ TEORII MERY eSLI OKAZYWAETSQ ^TO USLOWNAQ WEROQTNOSTX SOBYTIQ A OTNOSITELXNO SOBYTIQ B RAWNA BEZUSLOWNOJ WEROQTNOSTI SOBYTIQ A TO ESTX P A j B P A \ B =P B P A TO ESTESTWENNO SKAZATX ^TO A NE ZAWISIT OT B: oKAZYWAETSQ ^TO W TAKOM SLU^AE I B NE ZAWISIT OT A TO ESTX SOBYTIQ A I B WZAIMNO NEZAWISIMY POSKOLXKU P B j A P A \ B =P A P A P B =P A P B I W SILU NEZAWISIMOSTI A OT B SM PREDYDU]EE RAWENSTWO P A \ B P A P B : iTAK MY PRILI K SLEDU@]EMU OPREDELENI@ WZAIMNOJ NEZAWISIMOSTI SOBYTIJ oPREDELENIE 3.2 sOBYTIQ A I B NAZYWA@TSQ NEZAWISIMYMI ESLI P A\B P A P B : (
) = 0
,
,
.
-
-
,
-
20-
XX
,
-
.
,
,
,
.
,
(
) =
(
)
(
) =
,
(
)
,
,
(
) =
(
)
(
(
)
(
))
(
) =
(
)
(
)
(
) =
.
),
(
(
)
,
) =
,
.
.
,
(
) =
(
)
(
)
lEGKO PONQTX ^TO NESOWMESTNYE SOBYTIQ ZAWISIMY dEJSTWITELX NO SPRAWEDLIWO pREDLOVENIE 3.1 eSLI A B { NESOWMESTNYE SOBYTIQ, PRI^EM P A > I P B > TO P A \ B 6 P A P B (SOBYTIQ A I B ,
.
,
.
(
)
0
(
)
0
(
) =
ZAWISIMY).
26
(
)
(
)
-
d O K A Z A T E L X S T W O dLQ NESOWMESTNYH SOBYTIJ WEROQTNOSTX IH ODNOWREMENNOGO POQWLENIQ P A \ B P I W TO VE WRE MQ W SILU NENULEWOJ WEROQTNOSTI POQWLENIQ KAVDOGO IZ SOBYTIJ P AP B 6 : pRIWEDEM PRIMER NEZAWISIMYH SOBYTIJ pRIMER oBRATIMSQ K \KSPERIMENTU S DWUKRATNYM PODBRA SYWANIEM PRAWILXNOJ MONETY SM PRIMER W KOTOROM PROSTRAN STWO \LEMENTARNYH ISHODOW fg g g r rg rr g NADELQETSQ RAW NOMERNYM RASPREDELENIEM WEROQTNOSTEJ p ! = PRI L@BOM ! 2 : pOKAVEM ^TO WYPADENIE GERBA PRI WTOROM PODBRASYWANII NE ZAWI SIT OT TOGO ^TO GERB WYPAL PRI PERWOM BROSANII MONETY rASSMOT RIM DWA SOBYTIQ A fg g g r g PRI PERWOM BROSANII POQWLQETSQ GERB I B fg g rg g WTOROE ISPYTANIE MONETY ZAKON^ILOSX WYPA DENIEM GERBA I POKAVEM ^TO \TI SOBYTIQ NEZAWISIMY dEJSTWITELX NO P A = P B = P A \ B P gg = P AP B: .
(
) =
( ) = 0
,
-
,
(
,
)
(
) = 0
.
3.1.
-
(
.
1.2),
-
=
-
:
(
) = 1 4
,
-
,
.
:
=
=
(
{
{
,
,
-
-
,
) = 1 2
(
.
) = 1 2
(
) =
(
-
) = 1 4 =
(
)
(
)
rASPROSTRANIM TEPERX PONQTIE NEZAWISIMOSTI NA SOWOKUPNOSTI SO BYTIJ oPREDELENIE 3.3 sOBYTIQ SEMEJSTWA C fAi i 2 I g NAZYWA@TSQ NEZAWISIMYMI W SOWOKUPNOSTI ILI SOWMESTNO NEZAWISIMYMI ESLI
-
.
.
=
,
0k 1 k \ Y P @ Ai A = P Ai j =1
j =1
j
j
KAKOW BY NI BYL KONE^NYJ NABOR SOBYTIJ Ai : : : Ai k IZ SOWO KUPNOSTI C: pOKAVEM ^TO POPARNAQ NEZAWISIMOSTX SOBYTIJ P Ai \ Aj P Ai P Aj ESLI i 6 j NE WLE^ET WOOB]E GOWORQ SOWMESTNU@ NEZAWI SIMOSTX SOBYTIJ A1 : : : An: pRIMER pIRAMIDKA bERNTEJNA pRAWILXNAQ ^ETYREHGRA NNAQ PIRAMIDA KOTORAQ PRI BROSANII S ODINAKOWOJ WEROQTNOSTX@ RAWNOJ PADAET NA L@BU@ IZ ^ETYREH GRANEJ RASKRAIWAETSQ W TRI CWETA oDNA GRANX POKRYWAETSQ KRASNYM CWETOM \LEMENTARNYJ ISHOD !1 K DRUGAQ ZELENYM !2 Z TRETXQ SINIM !3 S A ^ET WERTAQ !4 M DELITSQ NA TRI ^ASTI KAVDAQ IZ KOTORYH ZAKRAIWA ETSQ SWOIM CWETOM KRASNYM ZELENYM I SINIM 1
,
(
)
(
:
)
=
2
k
,
(
-
) =
,
3.2 (
-
).
-
,
,
1/4,
,
.
(
= ),
(
=
{
(
= ),
)
{
(
,
{
,
-
-
.
27
= ),
rASSMOTRIM TRI SOBYTIQ A fK M g PIRAMIDA UPALA GRANX@ SODERVA]EJ KRASNYJ CWET B fZ M g ZELENYJ CWET C fS M g SINIJ CWET kAVDOE IZ \TIH SOBYTIJ SODERVIT PO DWA RAWNOWEROQT NYH ISHODA PO\TOMU P A P B P C = : eSLI \TI SOBYTIQ NEZAWISIMY TO SOGLASNO OPREDELENI@ DOLVNO WYPOLNQTXSQ RA WENSTWO P A \ B \ C P A P B P C = : oDNAKO W NAEM SLU ^AE ODNOWREMENNOE OSU]ESTWLENIE WSEH TREH SOBYTIJ WOZMOVNO LIX PRI POQWLENII EDINSTWENNOGO \LEMENTARNOGO ISHODA !4 M TAK ^TO P A\B\C p M = 6 = : iTAK SOBYTIQ A B I C ZAWISIMY w TO VE WREMQ SOBYTIQ A B I C POPARNO NEZAWISIMY dEJST WITELXNO P A \ B p M = P A P B I TO^NO TAKIE VE RAWENSTWA SPRAWEDLIWY DLQ OSTALXNYH PAR SOBYTIJ rASPROSTRANIM TEPERX PONQTIE NEZAWISIMOSTI NA KLASSY SOBYTIJ fIKSIRUEM NEKOTOROE WEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO A P I WWEDEM :
=
{
=
,
{
=
{
.
-
,
(
,
) =
(
) =
(
,
) = 1 2
3.3,
(
) =
(
)
(
)
(
-
) = 1 8
-
=
(
) =
(
) = 1 4 = 1 8
,
.
.
,
(
) =
(
) = 1 4 =
(
)
(
-
)
.
.
(
)
oPREDELENIE 3.4. bULEWY PODALGEBRY (ILI -PODALGEBRY) A1 : : :
: : : An BULEWOJ ALGEBRY A NAZYWA@TSQ NEZAWISIMYMI W SOWOKUPNOSTI ESLI DLQ L@BOGO NABORA SOBYTIJ A1 : : : An IZ SOOTWETSTWU@]IH ALGEBR WYPOLNQETSQ RAWENSTWO -
,
0n 1 n \ Y P @ AiA = P (Ai): 1
(1)
1
zAMETIM ^TO W SLU^AE BULEWYH PODALGEBR FORMULA OPREDELQ @]AQ IH NEZAWISIMOSTX SODERVIT SOBYTIQ WZQTYE ODNOWREMENNO IZ WSEH ALGEBR NE RASSMATRIWA@TSQ WSEWOZMOVNYE RAZLI^NYE NABO RY PODALGEBR tAKIE NABORY W POLU^A@TSQ AWTOMATI^ESKI ESLI NEKOTORYE IZ Ai A DOSTOWERNOE SOBYTIE PRINADLEVIT WSEM PODALGEBRAM ALGEBRY A: pRIMER NEZAWISIMYH BULEWYH PODALGEBR oPREDELENIE NE ZAWISIMOSTI BULEWYH ALGEBR POZWOLQET DATX STROGOE MATEMATI^ESKOE OBOSNOWANIE NEZAWISIMOSTI REZULXTATA O^EREDNOGO ISPYTANIQ PRA WILXNOJ MONETY OT TOGO KAKIMI ISHODAMI ZAKON^ILISX PREDYDU]IE ISPYTANIQ ILI OT TOGO ^TO BUDET W BUDU]EM rASSMOTRIM KAK I W PRIMERE STATISTI^ESKIJ \KSPERIMENT W KOTOROM REGISTRIRU@T SQ REZULXTATY n ISPYTANIJ PRAWILXNOJ MONETY pUSTX A BULEWA ,
(1),
,
-
,
, {
-
.
(1)
,
= ,
-
3.3 (
).
-
-
,
,
,
.
1.5,
,
,
-
.
28
{
ALGEBRA WSEWOZMOVNYH PODMNOVESTW PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW \TOGO \KSPERIMENTA ^ISLO KOTORYH RAWNO n: w SOOTWETSTWII S WEROQTNOSTNOJ MODELX@ OBOSNOWANIE KOTOROJ BYLO DANO W x RAS PREDELENIE WEROQTNOSTEJ fP A A 2 Ag NA BULEWOJ ALGEBRE A OPRE DELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM P A RAWNA ^ISLU \LEMENTARNYH IS HODOW SODERVA]IHSQ W SOBYTII A PODELENNOE NA n: rASSMOTRIM n PODALGEBR A1 : : : An BULEWOJ ALGEBRY A GDE Ai POROVDAETSQ PROTIWO POLOVNYMI SOBYTIQMI Ai PRI i OM ISPYTANII WYPAL GERB I Aci WYPALA REKA TO ESTX Ai fAi Aci g i : : : n: pOKAVEM ^TO \TI PODALGEBRY NEZAWISIMY W SOWOKUPNOSTI pUSTX B1 : : : Bn NEKOTORYJ NABOR \LEMENTOW SOBYTIJ IZ SOOT WETSTWU@]IH PODALGEBR tREBUETSQ POKAZATX ^TO
,
2
,
1,
(
-
)
:
-
(
)
-
,
2
-
{
,
-
=
{
= 1
,
.
{
(
.
0n 1 n \ Y P @ BiA = P (Bi): 1
)
-
,
(2)
1
kAVDOE IZ SOBYTIJ Ai ILI Aci SOSTOIT IZ n;1 ISHODOW PO\TOMU P Bi = ESLI Bi Ai ILI Aci P Bi ESLI Bi I P Bi ESLI Bi : tAKIM OBRAZOM WYPOLNQETSQ TRIWIALX NYM OBRAZOM ESLI HOTQ BY ODNO IZ Bi DOSTOWERNYE SOBYTIQ Bi PRI DOKAZATELXSTWE MOVNO PROSTO IGNORIROWATX TAK ^TO OSTALOSX UBEDITXSQ W SPRAWEDLIWOSTIT KOGDA WSE Bi RAWNY Ai ILI Aci i : : : n: nO W TAKOM SLU^AE n1 Bi SOWPADAET S ODNIM IZ \LE MENTARNYH ISHODOW WEROQTNOSTX KOTOROGO RAWNA ;n ZNA^ENIE PRAWOJ ^ASTI I TO VE ZNA^ENIE PRINIMAET LEWAQ ^ASTX POSKOLXKU WSE P Bi = i : : : n: rASSMOTRENNYJ PRIMER UKAZYWAET NAM PUTX K POSTROENI@ WEROQT NOSTNOJ MODELI STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA S NEZAWISIMYMI IS PYTANIQMI GNUTOJ MONETY DLQ KOTOROJ WEROQTNOSTX WYPADENIQ GERBA OTLI^NA OT eSTESTWENNO TAKOGO RODA ISPYTANIQ OSU]EST WLQ@TSQ W PRAKTI^ESKOJ I NAU^NOJ DEQTELXNOSTI NE TOLXKO S GNUTOJ MONETOJ ISPYTANIQ S BINARNYMI ISHODAMI IME@T MESTO PRI KONT ROLE KA^ESTWA IZDELIQ MOGUT BYTX KONDICIONNYMI I DEFEKTNYMI \PIDEMIOLOGI^ESKIH ISSLEDOWANIQH WYBRANNAQ OSOBX IZ POPULQCII INFICIROWANA ILI NET I T P oB]AQ TEORIQ \KSPERIMENTOW S BINAR NYMI ISHODAMI BYLA RAZRABOTANA W WEKE i bERNULLI I PO\TOMU NAZWANA EGO IMENEM 2
(
)
=
1 2
(
) = 0
=
=
(
)
,
=
1
=
, (2)
,
=
=
-
(2)
,
(2),
= 1
-
,
2
(2)),
(
(
(2),
) = 1 2
= 1
-
\
"
,
1/2.
,
-
{
-
(
),
(
)
.
.
-
XVII
.
29
.
sHEMA ISPYTANIJ bERNULLI. |KSPERIMENT SOSTOIT W NABL@DE-
NII n ODNOTIPNYH OB_EKTOW KAVDYJ IZ KOTORYH S ODINAKOWOJ WEROQTNOSTX@ p MOVET OBLADATX OPREDELENNYM PRIZNAKOM ILI NET eSLI i YJ OB_EKT OBLADAET UKAZANNYM PRIZNAKOM TO GOWORQT ^TO i OE ISPYTANIE ZAWERILOSX USPEHOM I W VURNALE NABL@DENIJ PROTIW i GO OB_EKTA STAWITSQ CIFRA OTSUTSTWIE PRIZNAKA NEUDA^A OTME ^AETSQ CIFROJ i : : : n: tAKIM OBRAZOM REZULXTAT \KSPERIMENTA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI x1 : : : xn NABL@DENIJ SLU^AJNYH INDIKATOROW X1 : : : Xn SLU^AJNYH WELI^IN PRINIMA @]IH ZNA^ENIE S WEROQTNOSTX@ p I S WEROQTNOSTX@ ; p: w \TIH OBOZNA^ENIQH WEROQTNOSTX TOGO ^TO PRI i OM ISPYTANII Xi PRINQLO ZNA^ENIE xi RAWNOE ILI MOVNO PREDSTAWITX FORMULOJ P Xi xi px ; p 1;x i : : : n: kAK I W ISPYTANIQH PRAWILXNOJ MONETY PROSTRANSTWO \LEMEN TARNYH ISHODOW RASSMATRIWAEMOGO \KSPERIMENTA SOSTOIT IZ n \LE MENTOW WIDA x1 : : : xn: pUSTX A BULEWA ALGEBRA WSEWOZMOVNYH POD MNOVESTW I A1 : : : An PODALGEBRY A PRI^EM Ai POROVDAETSQ SO BYTIEM Xi xi ILI i : : : n: eSLI NAM a priori IZWEST NO ^TO KAK NABL@DAEMYE OB_EKTY TAK I REZULXTATY NABL@DENIJ NAD NIMI NE OKAZYWA@T WLIQNIQ DRUG NA DRUGA TO ESTESTWENNO FOR MALIZOWATX \TU APRIORNU@ INFORMACI@ W WIDE UTWERVDENIQ POD ALGEBRY A1 : : : An NEZAWISIMY W SOWOKUPNOSTI w TAKOM SLU^AE WE ROQTNOSTX KAVDOGO \LEMENTARNOGO ISHODA x1 : : : xn SOWPADAET S WE ROQTNOSTX@ ODNOWREMENNOGO OSU]ESTWLENIQ n NEZAWISIMYH SOBYTIJ Xi xi i : : : n I SLEDOWATELXNO Xn Xn n Y x n ; i 1 1 xi : P X1 x1 : : : Xn xn P Xi xi p ;p (
1)
,
.
-
,
,
-
)
-
,
-
1
0,
(
= 1
,
{
,
1
0
1
,
(
0
(
-
-
1),
=
) =
i
(1
i
)
= 1
,
-
2
-
{
-
{
=
(=0
-
1),
= 1
,
-
,
,
,
-
: \
".
-
-
=
= 1
(
,
=
=
,
) =
(
i=1
=
) =
(1
)
pOLU^ENNOE RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ NA PROSTRANSTWE \LEMEN TARNYH ISHODOW OBLADAET ODNOJ INTERESNOJ OSOBENNOSTX@ Cnm IS Xn HODOW SODERVA]IH ODNO I TO VE KOLI^ESTWO m 1 xi USPENYH ISPYTANIJ OBLADA@T ODINAKOWOJ WEROQTNOSTX@ IH POQWLENIQ RAW NOJ pm ; p n;m: rASSMOTRIM W SWQZI S \TIM SLU^AJNU@ WELI^INU
-
:
,
-
=
,
(1
,
)
X
=
n X
1 30
Xi
-
REZULXTAT NABL@DENIQ KOTOROJ m TRAKTUETSQ KAK ^ISLO USPENYH ISPYTANIJ W \KSPERIMENTE nA PROSTRANSTWE ZNA^ENIJ m : : : n \TOJ SLU^AJNOJ WELI^INY POLU^AEM RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ KO TOROE NAZYWAETSQ BINOMIALXNYM RASPREDELENIEM P X m j p n Cnmpm ; p n;m: oTMETIM ^TO BINOMIALXNOE RASPREDELENIE SLUVIT APPROKSIMACI EJ GIPERGEOMETRI^ESKOGO RASPREDELENIQ PRI BOLXIH ZNA^ENIQH N I M SM ZADA^U I FORMULU W x iMEET MESTO .
= 0 1
,
(
=
) =
(1
)
,
(
-
-
.
3
2
1).
pREDLOVENIE 3.2. eSLI W GIPERGEOMETRI^ESKOM RASPREDELENII
P X m j N M n PARAMETRY N ! 1 M ! 1 I PRI \TOM M=N ! p TO DLQ WSEH FIKSIROWANNYH n I m P X m j N M n ! P X m j p n Cnmpm ; p n;m: (
=
)
(
=
)
(
=
) =
(1
)
d O K A Z A T E L X S T W O LEGKO POLU^ITX ISPOLXZUQ SLEDU@]IE \LE MENTARNYE PREOBRAZOWANIQ GIPERGEOMETRI^ESKOJ WEROQTNOSTI m C n;m C N ;M M P X m j N M n n CN M N ;M n N ;M m M ;m n;m N ;M ; n;m N n M ; M m n;m M ;m N ;M ; n;m N ; M N ;M N ;n N ; N " M m ; ! M ! M# m Cn N ; N N ; N N " M n ; m ; ! M ! M !# ; ; ; ; N N N N ;N ! #;1 " n ; ! : ; N ; N ,
-
:
(
=
) =
!
!(
(
)!
(
!(
(
)!
)!(
!
)!
(
(
=
!(
(
(
+ 1)
) + 1)
(
+ 1)
(
))!
(
1)
1)
1
1
1
1
31
1
1
]
)]
1
1
1
!
+ 1)(
1
1
)!
1
=
=
lEKCIQ 5
sLEDU@]IE DWE FORMULY USLOWNOJ WEROQTNOSTI IGRA@T WAVNU@ ROLX PRI REENII MNOGIH PRAKTI^ESKIH ZADA^ oBE FORMULY SWQZA NY S TAK NAZYWAEMOJ POLNOJ GRUPPOJ SOBYTIJ fB1 : : : Bng KOTORYE NESOWMESTNY Bi \ Bj i 6 j I W OB_EDINENII DA@T WSE PRO STRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW : gOWORQT ^TO \TA GRUPPA SOBYTIJ Xn OPREDELQET RAZBIENIE TAK KAK 1 Bi : .
(
=
=
)
-
-
,
=
pREDLOVENIE 3.3 (fORMULA POLNOJ WEROQTNOSTI). dLQ L@BOGO SOBYTIQ A I POLNOJ GRUPPY SOBYTIJ fB1 : : : Bn g SPRAWEDLIWA FORMULA
PA (
) =
n X i=1
P A j Bi P Bi : (
)
(
)
d O K A Z A T E L X S T W O NEMEDLENNO SLEDUET IZ SLEDU@]EJ CEPO^KI RAWENSTW W KOTOROJ NA POSLEDNEM \TAPE ISPOLXZUETSQ FORMULA USLOW NOJ WEROQTNOSTI ,
-
:
PA (
P
n X
(
1
) =
A \ Bi
P A\
) =
(
n X
1
) =
(
P A \ Bi (
n X
P A \ Bi n X
) =
1
1
) =
P AjBi P Bi : (
)
(
)
pREDLOVENIE 3.4 (fORMULA bAJESA). dLQ L@BOGO SOBYTIQ I POLNOJ GRUPPY SOBYTIJ fB1 : : : Bn g SPRAWEDLIWA FORMULA
P Bk j A (
) =
A
P A j Bk P Bk : i=1 P A j Bi P Bi
Xn
(
)
(
(
)
)
(
)
d O K A Z A T E L X S T W O w SILU FORMULY USLOWNOJ WEROQTNOSTI P A \ Bk P A j Bk P Bk PO\TOMU k P Bk P Bk j A P PA \ABk P A jPBA : pODSTAWLQQ W PRAWU@ ^ASTX POSLEDNEGO RAWENSTWA WMESTO P A EE WY RAVENIE PO FORMULE POLNOJ WEROQTNOSTI POLU^AEM ISKOMU@ FORMULU bAJESA .
(
) =
(
)
(
(
) =
)
(
)
(
)
(
=
)
(
(
)
)
(
,
.
32
)
-
z A M E ^ A N I E wEROQTNOSTI P B1 : : : P Bn ^ASTO NAZYWA@T APRIORNYMI WEROQTNOSTQMI GRUPPY SOBYTIJ B1 : : : Bn W TO WREMQ KAK USLOWNYE WEROQTNOSTI P B1 j A : : : P Bn j A APOSTERIORNYMI PO LU^ENNYMI POSLE DOPOLNITELXNOGO \KSPERIMENTA W KOTOROM PROIZO LO SOBYTIE A: w SWQZI S \TIM FORMULA bAJESA NAZYWAETSQ TAKVE FORMULOJ OBNOWLENIQ APRIORNYH WEROQTNOSTEJ pRIWEDEM NESKOLXKO ZADA^ REAEMYH S POMO]X@ POLU^ENNYH FOR MUL USLOWNOJ WEROQTNOSTI zADA^A iZ URNY SODERVA]EJ BELYH I ^ERNYH ARA NAUGAD WYNIMA@T ARA I PEREKLADYWA@T W DRUGU@ URNU SODERVA ]U@ BELYH I ^ERNYH ARA kAKOWA WEROQTNOSTX IMETX BELYJ AR PRI SLU^AJNOM WYBORE ODNOGO ARA IZ WTOROJ URNY POSLE PEREKLADY WANIQ |TA ZADA^A REAETSQ OBY^NO S POMO]X@ FORMULY POLNOJ WEROQT NOSTI pUSTX A SOBYTIE OZNA^A@]EE OTBOR BELOGO ARA oPREDE LIM POLNU@ GRUPPU SOBYTIJ W SOOTWETSTWII S WOZMOVNYMI REZULX TATAMI PEREKLADYWANIQ B1 fb b g B2 fb ~ g f~ b g B3 f~ ~ g: zDESX PERWAQ BUKWA W FIGURNYH SKOBKAH UKAZYWAET CWET ARA b BELYJ ~ ^ERNYJ KOTORYJ BYL WYNUT IZ PERWOJ URNY PER WYM A WTORAQ BUKWA CWET WTOROGO ARA tERMIN NAUGAD OZNA^AET ^TO WEROQTNOSTX WYNUTX AR OPREDELENNOGO CWETA RAWNA OTNOENI@ ^ISLA AROW \TOGO CWETA K OB]EMU ^ISLU AROW W URNE w TAKOM SLU^AE W SOOTWETSTWII S FORMULOJ USLOWNOJ WEROQTNOSTI P B1 P b \b P WTOROJ AR BELYJ j PERWYJ AR BELYJ P PERWYJ AR BELYJ = = = : aNALOGI^NO P B2 = = = = = I P B3 = = = : uSLOWNYE WEROQT NOSTI SOBYTIQ A WY^ISLQ@TSQ W SOOTWETSTWII S ^ISLOM BELYH AROW WO WTOROJ URNE POSLE DOBAWLENIQ W NEE DWUH AROW IZ PERWOJ URNY P A j B1 = P A j B2 = P A j B3 = : fORMULA POLNOJ WEROQTNOSTI DAET PA : .
(
(
)
(
)
(
)
) {
,
,
-
-
.
,
-
.
3.1.
,
3
2
,
2
4
,
4
-
.
-
?
-
.
{
,
.
-
-
:
(
{
,
{
=
=
+
=
),
,
-
{
.
\
"
,
.
,
(
,
) =
(
)
)=(3 5)
(2 5)
(2 4) = 3 10
(3 4) = 6 10
(
,
) = (2 5)
(
) = (3 5)
(1 4) = 1 10
(
) =
(
(2 4) + -
:
(
) = 6 10
(
(
) =
) = 5 10
6
3
10
10
+
(
5
6
10
10
+
) = 4 10
4
1
10
10
=
13
(1)
25
zAME^ANIE K ZADA^E sLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW W \TOJ ZADA^E GLUBOKO ZABLUVDAETSQ TOT KTO NADELQET WSEGO DWUMQ \LEMENTAMI b I ~ 3.1.
,
, {
33
.
nA \KSPERIMENT SOSTOQL NE TOLXKO W OTBORE ARA IZ WTOROJ URNY PERED \TIM PROIZWODILSQ SLU^AJNYJ OTBOR DWUH AROW IZ PERWOJ UR NY I REZULXTAT \TOGO OTBORA WLIQL NA USLOWNU@ WEROQTNOSTX WYBORA BELOGO ARA pROSTRANSTWO W DEJSTWITELXNOSTI SOSTOIT IZ WOSXMI \LEMENTOW bb b b~ b ~b b ~~ b bb ~ b~ ~ ~b ~ ~~ ~ zDESX PERWYE DWE BUKWY DO TO^KI UKAZYWA@T CWET AROW WYNUTYH IZ PERWOJ URNY A BUKWA POSLE TO^KI CWET ARA WYNUTOGO IZ WTOROJ URNY POSLE PEREKLADYWANIQ wY^ISLENIQ PROWODIMYE W PRED STAWLQ@T SOBOJ SUMMIROWANIE WEROQTNOSTEJ \LEMENTARNYH ISHODOW UKAZANNYH W PERWOJ STROKE TABLICY sLEDU@]AQ ZADA^A UDIWITELXNO TO^NO ILL@STRIRUET NEDORAZUME NIQ KOTORYE MOGUT WOZNIKNUTX IZ ZA NEPRAWILXNOJ SPECIFIKACII PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW zADA^A |KSPERIMENTATOR RASPOLAGAET DWUMQ PARAMI AROW ODINAKOWOGO CWETOWOGO SOSTAWA b~ I b~ iZ KAVDOJ PARY NAUGAD WYBIRAETSQ PO ODNOMU ARU I BROSAETSQ W URNU GDE LEVIT BELYJ AR iZ TREH AROW W URNE NAUGAD OTBIRAETSQ ODIN kAKOWA WEROQTNOSTX ^TO WYNUT BELYJ AR mY SNOWA NAHODIMSQ W SITUACII SWQZANNOJ S PRIMENENIEM FOR MULY POLNOJ WEROQTNOSTI GDE POLNAQ GRUPPA SOBYTIJ SOOTNOSIT SQ S WOZMOVNYM SOSTAWOM URNY B1 bbb W URNE BELYH ARA B2 bb~ b~b W URNE BELYH I B3 b~~ W URNE BELYJ pO SKOLXKU WEROQTNOSTX WYBORA ARA OPREDELENNOGO CWETA IZ KAVDOJ PARY RAWNA I WYBOR W KAVDOJ PARE OSU]ESTWLQETSQ NEZAWISIMO OT REZULXTATA WYBORA W DRUGOJ TO WEROQTNOSTI SOBYTIJ IZ POLNOJ GRUPPY WY^ISLQ@TSQ O^ENX PROSTO P B1 P B3 = = = P B2 = = = = = : uSLOWNYE WEROQTNOSTI OTBORA BELOGO ARA PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM SOSTAWE URNY RAW NY P A j B1 P A j B2 = P A j B3 = : tEPERX ISPOLXZUQ FORMULU POLNOJ WEROQTNOSTI NAHODIM P A = = = = = = : eSLI IGNORIROWATX PROCESS SLU^AJNOGO FORMIRO WANIQ SOSTAWA URNY I S^ITATX ^TO MY IMEEM DELO S DWUHTO^E^NYM PROSTRANSTWOM \LEMENTARNYH ISHODOW fb ~ g TO PRIHODIM K PA RADOKSALXNOMU WYWODU SOSTAW URNY WSEGDA ODIN I TOT VE DWA BELYH {
-
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(3)
,
,
{
,
.
,
(3),
-
,
.
-
,
-
.
3.2.
.
,
.
.
,
?
,
-
,
-
:
=
+
(
2
=
)
(
=
3
(
),
1
).
-
1/2
,
:
1 4
(
) = (1 2)
(1 2) + (1 2)
(
) =
(
) = (1 2)
(1 2) =
(1 2) = 1 2
-
(
) = 1
(
) = 2 3
(
,
(1 3)
) = 1 3
(
,
) = 1 (1 4) + (2 3) (1 2) +
(1 4) = 2 3
-
,
=
:
,
-
{
34
I ODIN ^ERNYJ nETRUDNO PONQTX ^TO W \TOJ ZADA^E PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW TO VE ^TO I W PREDYDU]EJ ZADA^E DOPOLNITELXNYJ BE LYJ AR FIKSIROWAN I EGO MOVNO NE U^ITYWATX PRI OPREDELENII I NAI WY^ISLENIQ P A SOSTOQT W SUMMIROWANII WEROQTNOSTEJ \LE MENTARNYH ISHODOW PERWOJ STROKI W TABLICE PREDSTAWLQ@]EJ PRO STRANSTWO z A D A ^ A sTATISTI^ESKIJ KONTROLX KA^ESTWA fORMULA bAJESA IGRAET BOLXU@ ROLX W PLANIROWANII PROCEDUR GARANTIJNOGO KONTROLQ KA^ESTWA WYPUSKAEMOJ PRODUKCII pROIZWODITELX PRODUKTA DOLVEN WYPOLNQTX OPREDELENNYE DOGOWORNYE OBQZATELXSTWA PERED PO TREBITELEM KOTORYE TAK ILI INA^E SWODQTSQ K OGRANI^ENIQM NA DO L@ NEKONDICIONNOJ PRODUKCII POSTAWLQEMOJ POTREBITEL@ ILI ^TO TO VE DOLQ KONDICIONNOJ PRODUKCII DOLVNA BYTX DOSTATO^NO WYSO KOJ oBESPE^ENIE \TIH OGRANI^ENIJ DOSTIGAETSQ S POMO]X@ KONTRO LQ KAK PRAWILO WYBORO^NOGO PROIZWODIMOJ PRODUKCII pUSTX Qin DOLQ KONDICIONNOJ PRODUKCII SREDI IZGOTAWLIWAEMOJ PREDPRIQTI EM oBY^NO \TA DOLQ NAZYWAETSQ WHODNYM UROWNEM KA^ESTWA I NEOB HODIMOSTX KONTROLQ PRODUKCII OBUSLAWLIWAETSQ NEWYSOKIM ZNA^ENI EM Qin KOTOROE NE UDOWLETWORQET POTREBITELQ eSLI KONTROLX PRO DUKCII PROIZWODITSQ NA OSNOWE OBSLEDOWANIQ TOLXKO EE ^ASTI TAK NAZYWAEMYJ WYBORO^NYJ ILI STATISTI^ESKIJ KONTROLX KA^ESTWA TO WOZNIKAET WEROQTNOSTX PRINQTIQ OIBO^NOGO REENIQ O KA^ESTWE KONTROLIRUEMOGO PRODUKTA S NEKOTOROJ WEROQTNOSTX@ PROCEDURA KONTROLQ MOVET PROPUSTITX NEKONDICIONNYJ PRODUKT ILI NAOBOROT S WEROQTNOSTX@ OTKLONITX KONDICIONNYJ wEROQTNOSTX NAZYWA ETSQ RISKOM POTREBITELQ A WEROQTNOSTX RISKOM IZGOTOWITELQ sU]ESTWU@T METODY RAS^ETA \TIH RISKOW NA OSNOWE WEROQTNOSTNOJ MODELI STATISTI^ESKOGO KONTROLQ S KOTORYMI MY POZNAKOMIMSQ W KURSE MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI zNAQ ZNA^ENIQ Qin I MOVNO ISPOLXZUQ FORMULU bAJESA WY^ISLITX WYHODNOJ UROWENX KA^ESTWA Qout DOL@ KONDICIONNOJ PRODUKCII SREDI OTSYLAEMOJ POTREBITE L@ POSLE KONTROLQ pUSTX B1 SOBYTIE SOSTOQ]EE W TOM ^TO POSTUPIWIJ NA KONT ROLX PRODUKT KONDICIONEN A B2 B1c PRODUKT PLOHOJ w NAIH OBOZNA^ENIQH P B1 Qin: pUSTX DALEE A UTWERVDENIE O KONDI CIONNOSTI PRODUKTA POSLE EGO KONTROLQ tOGDA Qout P B1 j A !
,
,
3.1 (
-
),
(
)
-
,
-
.
3.3
.
.
-
,
,
,
-
,
,
,
,
-
.
-
(
,
)
.
{
-
.
,
-
-
,
.
-
(
),
:
,
,
,
.
-
{
.
,
.
,
,
,
{
,
-
.
{
,
,
,
(
) =
= ,
{
\
,
.
35
-
".
{
-
=
(
) {
WEROQTNOSTX KONDICIONNOSTI PRODUKTA PRI USLOWII ^TO ON PROEL KONTROLX nAKONEC P A j B1 ; I P A j B2 : pO FORMULE bAJESA Qout P B1 j A P A j B PP AB j B1 PP AB1j B P B 1 1 2 2 ; Qin : ; Qin ; Qin pROILL@STRIRUEM RAS^ETY PROIZWODIMYE PO \TOJ FORMULE NA OS NOWE KONKRETNYH ^ISLOWYH DANNYH pUSTX PREDPRIQTIE RABOTAET IZ RUK WON PLOHO Qin : WYPUSKAEMOJ PRODUKCII NE UDOWLE TWORQET NORMAM KA^ESTWA NO NA PREDPRIQTII SU]ESTWUET DOWOLXNO VESTKIJ KONTROLX W KOTOROM RISK POTREBITELQ : A RISK IZ GOTOWITELQ : : tOGDA WYHODNOJ UROWENX KA^ESTWA Qout : : : :: :
: I \TO SOWSEM NEPLOHO PO SRAWNENI@ S TEM ^TO BYLO DO KONTROLQ ,
.
,
=
(
(
) = 1
(
(
) =
(
)
(1
(1
)
(
) =
)
(
) +
(
)
)
(
)
=
)
+
(1
)
,
,
-
.
:
= 0 1 (90%
-
),
,
= 0 01
-
= 0 1
=
0 9
0 9
0 1
0 1 + 0 01
0 9
=
,
36
10
11
0 91
.
x4. sLU^AJNYE WELI^INY I FUNKCII RASPREDELENIQ lEKCIQ 6
w PRIMENENIQH METODOW TEORII WEROQTNOSTEJ ISSLEDOWATELX ^A]E WSEGO IMEET DELO S ^ISLOWYMI HARAKTERISTIKAMI NABL@DAEMOGO OB_EKTA, KOTORYE QWLQ@TSQ FUNKCIQMI \LEMENTARNYH ISHODOW { SOSTOQNIJ OB_EKTA. pRI ISPOLXZOWANII RAZLI^NYH HARAKTERISTIK WAVNYM QWLQETSQ TO OBSTOQTELXSTWO, ^TO WSE ONI OPREDELENY NA ODNOM I TOM VE PROSTRANSTWE I ESLI MY PRISTUPAEM K POSTROENI@ WEROQTNOSTNOJ MODELI, NA OSNOWANII KOTOROJ BUDET POLU^ENO RASPREDELENIE NABL@DAEMOJ HARAKTERISTIKI X = X (!), TO MY DOLVNY PONIMATX, ^TO \TO RASPREDELENIE INDUCIROWANO ISHODNYM RASPREDELENIEM P NA ALGEBRE A PODMNOVESTW : nAPOMNIM, ^TO TAKOGO RODA POSTROENIQ PROWODILISX PRI WYWODE GIPERGEOMETRI^ESKOGO I BINOMIALXNOGO RASPREDELENIJ. iTAK, MY PRISTUPAEM K TEORII RASPREDELENIJ FUNKCIJ X = X (!) NA PROSTRANSTWE \LEMENTARNYH ISHODOW, FIKSIRUQ NEKOTOROE WEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO ( A P ): oBLASTX@ ZNA^ENIJ FUNKCII X SLUVIT \WKLIDOWO PROSTRANSTWO R I \TO PROSTRANSTWO QWLQETSQ NOWYM PROSTRANSTWOM \LEMENTARNYH ISHODOW. pOSKOLXKU NAS, W OSNOWNOM, BUDUT INTERESOWATX WEROQTNOSTI POPADANIQ ZNA^ENIJ X W INTERWALY, TO ESTESTWENNO RASSMOTRETX BULEWU - ALGEBRU PODMNOVESTW R POROVDENNU@ WSEWOZMOVNYMI INTERWALAMI NA PRQMOJ R: kAK NAM IZWESTNO IZ OB]EGO KURSA ANALIZA, TAKAQ -ALGEBRA B, SOSTOQ]AQ IZ WSEWOZMOVNYH OB_EDINENIJ I PERESE^ENIJ S^ETNOGO ^ISLA INTERWALOW, NAZYWAETSQ BORELEWSKIM POLEM, I DLQ EE POSTROENIQ DOSTATO^NO RASSMOTRETX OTKRYTYE INTERWALY WIDA (;1 x): wWEDEM IZMERIMOE PROSTRANSTWO (R B) ZNA^ENIJ X I RASSMOTRIM SLEDU@]IJ, SOWERENNO ESTESTWENNYJ METOD \NAWEDENIQ" RASPREDELENIQ P X NA B POSREDSTWOM WEROQTNOSTI P NA A: kAVDOMU BORELEWSKOMU MNOVESTWU B 2 B SOPOSTAWIM EGO PROOBRAZ X ;1(B ) = f! : X (!) 2 B g : eSLI X ;1(B ) 2 A TO ESTESTWENNO OPREDELITX WEROQTNOSTX POPADANIQ ZNA^ENIQ X W B KAK P X (B ) = P (X ;1(B )): fUNKCII, KOTORYE OBLADA@T SWOJSTWOM X ;1(B ) 2 A PRI L@BOM B 2 B NAZYWA@TSQ IZMERIMYMI, I W DALXNEJEM BUDUT RASSMATRIWATXSQ TOLXKO TAKIE HARAKTERISTIKI NABL@DAEMOGO OB_EKTA. mY PODOLI K OSNOWNOMU PONQTI@ TEORII RASPREDELENIJ NA PODMNOVESTWAH R: 37
X = X (!) NAZYWAETSQ IZMERIMOE OTOBRAVENIE IZMERIMOGO PROSTRANSTWA ( A) NA BORELEWSKU@ PRQMU@ (R B): lEGKO PONQTX, ^TO, S TO^KI ZRENIQ PRAKTI^ESKIH PRILOVENIJ, MY MOGLI BY NE OBRA]ATXSQ K OPREDELENI@ SLU^AJNOJ WELI^INY, KAK IZMERIMOJ FUNKCII, A PROSTO SKAZATX, ^TO SEJ^AS MY ZAJMEMSQ POSTROENIEM WEROQTNOSTNYH MODELEJ, W KOTORYH PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW ESTX ^ISLOWAQ PRQMAQ. tEM NE MENEE, ^TOBY OPISATX KLASS WOZMOVNYH RASPREDELENIJ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X INOGDA PROSTO NEOBHODIMO ZNATX PRI^INU IZMEN^IWOSTI SOSTOQNIJ OB_EKTA (ILI INSTRUMENTA ISSLEDOWANIQ), KOTORAQ OBUSLAWLIWAET RAZNYE ZNA^ENIQ W POWTORNYH NABL@DENIQH X: bORELEWSKOE POLE B NA KOTOROM BUDET OPREDELQTXSQ RASPREDELENIE X QWLQETSQ ^REZWY^AJNO SLOVNYM OB_EKTOM S TO^KI ZRENIQ STROENIJ EGO \LEMENTOW, PO\TOMU ZADANIE FUNKCII P (B ) B 2 B PREDSTAWLQETSQ SOWERENNO NERAZREIMOJ PROBLEMOJ. oDNAKO MY ZNAEM, ^TO B POROVDAETSQ INTERWALAMI WIDA (;1 x) (SOBYTIQMI X < x), I \TO UKAZYWAET PROSTOJ PUTX K ZADANI@ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X: ~TO ESLI NA^ATX S ZADANIQ WEROQTNOSTI TOLXKO NA SOBYTIQH, POROVDA@]IH B TO ESTX S OPREDELENIQ FUNKCII F (x) = P (X < x) x 2 R POTOM RASPROSTRANITX EE ADDITIWNYM OBRAZOM NA BULEWU ALGEBRU KONE^NYH OB_EDINENIJ WSEWOZMOVNYH INTERWALOW NA R POKAZATX, ^TO POLU^ENNAQ TAKIM OBRAZOM ADDITIWNAQ FUNKCIQ NA BULEWOJ ALGEBRE OBLADAET SWOJSTWOM NEPRERYWNOSTI OTNOSITELXNO MONOTONNO UBYWA@]IH POSLEDOWATELXNOSTEJ SOBYTIJ (QWLQETSQ WEROQTNOSTX@) I, NAKONEC, ZAKON^ITX POSTROENIE WEROQTNOSTI NA B SSYLKOJ NA TEOREMU OB EDINSTWENNOSTI PRODOLVENIQ WEROQTNOSTI S BULEWOJ ALGEBRY OB_EDINENIJ INTERWALOW NA POROVDENNU@ \TOJ ALGEBROJ -ALGEBRU BORELEWSKIH PODMNOVESTW R: mY PRISTUPAEM K REALIZACII \TOJ PROGRAMMY I WWEDEM SNA^ALA oPREDELENIE 4.2. fUNKCIQ F (x) = P (X < x) OPREDELENNAQ NA WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ R NAZYWAETSQ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X: p R I M E R 4.1. pUSTX SLU^AJNAQ WELI^INA X PRINIMAET S NENULEWOJ WEROQTNOSTX@ WSEGO DWA ZNA^ENIQ: x = ;1 S WEROQTNOSTX@ 1/2 I x = +1 S TOJ VE WEROQTNOSTX@ 1/2 (IGRA W ORLQNKU SO STAWKOJ 1 oPREDELENIE 4.1. sLU^AJNOJ WELI^INOJ
38
RUBLX). tOGDA FUNKCIQ RASPREDELENIQ X IMEET SLEDU@]IJ WID. F (x) 6 1
-1
0.5 0
1
-x
dEJSTWITELXNO, DLQ L@BOGO x < 1 MNOVESTWO (;1 x) NE SODERVIT ZNA^ENIJ X KOTORYE ONA MOGLA BY PRINQTX S POLOVITELXNOJ WEROQTNOSTX@, TAK ^TO F (x) = P (X < x) = 0: dALEE, F (;1) = P (X < ;1) = 0 NO ESLI ;1 < x +1 TO F (x) = P (X = ;1) = 1=2: w OBLASTI x > +1 SODERVATSQ WSE ZNA^ENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X KOTORYE ONA PRINIMAET S POLOVITELXNOJ WEROQTNOSTX@, PO\TOMU F (x) = 1 PRI x > +1: iSSLEDUEM NEKOTORYE OSOBENNOSTI POWEDENIQ FUNKCII F: pREDLOVENIE 4.1. fUNKCIQ F (x) x 2 R OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI.
(F 1) x!;1 lim F (x) = 0 x!lim F (x) = 1: +1 (F 2) F (x) { NEUBYWA@]AQ FUNKCIQ x 2 R: (F 3) fUNKCIQ F (x) NEPRERYWNA SLEWA: xlim !a; F (x) = F (a): (F 4) wEROQTNOSTI POPADANIQ ZNA^ENIJ SLU^AJNOJ WELI^INY X W INTERWALY NA R WY^ISLQ@TSQ PO FORMULAM P fX 2 a b)g = F (b) ; F (a) P fX 2 a b ]g = F (b+) ; F (a) P fX 2 (a b ]g = F (b+) ; F (a+) P fX 2 (a b)g = F (b) ; F (a+): (F 5)
KOW.
fUNKCIQ
F (x) IMEET NE BOLEE ^EM S^ETNOE MNOVESTWO SKA^39
d O K A Z A T E L X S T W O. (F 1): rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX SOBYTIJ fAn = (;1 xn) n 1g: eSLI xn ! ;1 PRI n ! 1 TO, O^EWIDNO, An # I An " R(= ) ESLI xn ! +1: tAK KAK F (xn) = P (X < xn) = P (An) TO SWOJSTWA (F 1) WYTEKA@T IZ AKSIOMY NEPRERYWNOSTI (P 3) WEROQTNOSTI P: (F 2): eSLI x1 x2 TO F (x1) F (x2) TAK KAK A1 = (;1 x1) A2 = (;1 x2) I, W SILU SWOJSTWA MONOTONNOSTI WEROQTNOSTI (SM. (3) W PREDLOVENII 2.2), F (x1) = P (A1) P (A2) = F (x2): (F 3): pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX xn " x PRI n ! 1 TAK ^TO SOOTWETSTWU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX SOBYTIJ An = (;1 xn) " A = (;1 x): iSPOLXZUQ SWOJSTWO (P 3) NEPRERYWNOSTI P POLU^AEM F (xn) = P (An) ! P (A) = F (x) ^TO, PO OPREDELENI@, OZNA^AET NEPRERYWNOSTX SLEWA FUNKCII F (x): (F 4): eSLI A B TO P (B n A) = P (B ) ; P (A) (SM. (3) W PREDLOVENII 2.2). iZ \TOGO SWOJSTWA WEROQTNOSTI I TOLXKO ^TO DOKAZANNOGO SWOJSTWA NEPRERYWNOSTI WYTEKAET, ^TO, NAPRIMER, ZAMKNUTYJ INTERWAL a b ] = (;1 b ] n (;1 a) I POSKOLXKU MNOVESTWO (;1 a) (;1 b ] TO P fX 2 a b ]g = P fX 2 (;1 b ]g ; P fX 2 (;1 a)g = P (X b) ; P (X < a) = F (b+) ; F (a): w POSLEDNEM RAWENSTWE MY ISPOLXZOWALI ZAPISX F (b+) DLQ WYRAVENIQ WEROQTNOSTI SOBYTIQ fX bg: dELO W TOM, ^TO P (X < b) = F (b) I ESLI W TO^KE b FUNKCIQ F (x) IMEET SKA^OK, TO EGO WELI^INA RAWNA F (b+) ; F (b): (F 5): w \TOM PUNKTE PREDLOVENIQ UTWERVDAETSQ, ^TO WSE SKA^KI (TO^KI RAZRYWA) FUNKCII F (x) MOVNO ZANUMEROWATX. pOSTUPIM SLEDU@]IM OBRAZOM: RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX MNOVESTW fAn n 1g, GDE An ESTX MNOVESTWO TO^EK RAZRYWA FUNKCII F (x) S WELI^INOJ SKA^KA, NE MENXEJ 1=n: pOSKOLXKU 0 F (x) 1 TO MNOVESTWO An KONE^NO I SODERVIT NE BOLEE ^EM n TO^EK. sLEDOWATELXNO, MY MOVEM ZANUMEROWATX WSE SKA^KI FUNKCII F (x) W PORQDKE UBYWANIQ IH WELI^INY, OSU]ESTWLQQ POSLEDOWATELXNU@ NUMERACI@ TO^EK MNOVESTWA A1 POTOM A2 I TAK DALEE, WOZMOVNO, DO BESKONE^NOSTI, ESLI ^ISLO SKA^KOW F (x) NE KONE^NO. pRI TAKOM SPOSOBE NUMERACII L@BOMU, SKOLX UGODNO MALOMU PO WELI^INE SKA^KU FUNKCII F (x) RANO ILI POZDNO BUDET PRISWOEN NOMER. iTAK, MY UBEDILISX, ^TO FUNKCIQ RASPREDELENIQ QWLQETSQ HOROIM I DOSTATO^NO PROSTYM INSTRUMENTOM DLQ WY^ISLENIQ WEROQT40
NOSTEJ POPADANIQ ZNA^ENIJ SLU^AJNOJ WELI^INY W INTERWALY NA DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ. oDNAKO, ESLI MY OPREDELIM TOLXKO WEROQTNOSTI \LEMENTOW BORELEWSKOGO POLQ B, IME@]IH WID INTERWALOW, TO SMOVEM LI NA OSNOWANII IH WY^ISLQTX WEROQTNOSTI DRUGIH SOBYTIJ IZ B? oTWET NA \TOT WOPROS DAET tEOREMA 4.1. pUSTX FUNKCIQ F (x) x 2 R OBLADAET SWOJSTWAMI (F 1) x!;1 lim F (x) = 0 x!lim F (x) = 1 +1 (F 2) F (x) { NEUBYWA@]AQ FUNKCIQ x 2 R (F 3) F (x) NEPRERYWNA SLEWA: xlim !a; F (x) = F (a): tOGDA NA BORELEWSKOJ PRQMOJ (R B) SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ WEROQTNOSTX P DLQ KOTOROJ P f(;1 x)g = F (x) DLQ WSEH x 2 R: d O K A Z A T E L X S T W O. oPREDELIM FUNKCI@ MNOVESTW P 0(C ) NA SEMEJSTWE C OTKRYTYH INTERWALOW WIDA C = Cx = (;1 x) POSREDSTWOM RAWENSTWA P 0(Cx ) = F (x) PRI^EM, W SILU SWOJSTWA (F 1) P 0() = P 0(R) = 1: rASPROSTRANIM \TU FUNKCI@ MNOVESTW NA BULEWU ALGEBRU A = A(C) POROVDENNU@ SEMEJSTWOM C: |LEMENTY A BULEWOJ ALGEBRY A Xk O^EWIDNO IME@T WID A = 1 ai bi) I PO\TOMU ESTESTWENNO POLOVITX X k (SM. (F 4) W PREDLOVENII 4.1) P 0(A) = 1 F (bi) ; F (ai) ] : o^EWIDNO, FUNKCIQ MNOVESTW P 0(A) NA BULEWOJ ALGEBRE A OBLADAET TAKIMI SWOJSTWAMI WEROQTNOSTI, KAK NORMIRUEMOSTX (P 1) I KONE^NAQ ADDITIWNOSTX (P 2): eSLI MY POKAVEM, ^TO P 0 OBLADAET SWOJSTWOM -ADDITIWNOSTI P (2 0) TO UTWERVDENIE TEOREMY BUDET PROSTYM SLEDSTWIEM OB]EJ TEOREMY O PRODOLVENII MERY NA POROVDENNU@ BULEWOJ ALGEBROJ -ALGEBRU, IBO, KAK IZWESTNO, BORELEWSKOE POLE POROVDAETSQ ALGEBROJ A ( BOLEE TOGO, { SEMEJSTWOM C). rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX NE PERESEKA@]IHSQ MNOVESTW kn X An = ani bni) n = 1 2 : : : i=1 DLQ KOTOROJ MNOVESTWO A = X11 An PRINADLEVIT ALGEBRE A: pO OPREDELENI@ ALGEBRY A \TO OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO A MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KONE^NOGO X OB_EDINENIQ INTERWALOW, NE IME@]IH TO^EK m SOPRIKOSNOWENIQ: A = 1 cj dj ): pOSLE SOOTWETSTWU@]EJ PERESTANOWKI INTERWALOW WNUTRI OB_EDINENIQ MNOVESTW An, MOVNO DOBITXSQ DLQ KAVDOGO IZ INTERWALOW cj dj ) PREDSTAWLENIQ WIDA cj dj ) = 41
X1
ajk bjk ) j = 1 : : : m: tAKIM OBRAZOM, DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH c < d 1
F (d) ; F (c) =
1 X
F (bj ) ; F (aj ) ]
(1)
j =1
ESLI INTERWAL c d) = X11 aj bj ): Xn o^EWIDNO , F ( d ) ; F ( c ) 1 F (bj ) ; F (aj ) ] IBO DOPOLNENIE MNOXn VESTWA 1 aj bj ) DO INTERWALA c d) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KONE^NOGO OB_EDINENIQ NE PERESEKA@]IHSQ POLUOTKRYTYH X INTERWALOW . 1 uSTREMLQQ n K BESKONE^NOSTI, POLU^AEM F (d) ; F (c) 1 F (bj ) ; F (aj ) ]: pOKAVEM TEPERX, ^TO IMEET MESTO PROTIWOPOLOVNOE NERAWENSTWO, I, SLEDOWATELXNO, SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (1). pREDPOLOVIM SNA^ALA, ^TO ;1 < c < d < 1: wYBEREM PROIZWOLXNOE " > 0: iSHODNYJ INTERWAL c d) SUZIM DO ZAMKNUTOGO INTERWALA c d0 ] TAK, ^TOBY d0 < d I F (d0) F (d) ; ": |TOGO WSEGDA MOVNO DOBITXSQ W SILU NEPRERYWNOSTI SLEWA FUNKCII F: aNALOGI^NO, KAVDYJ IZ INTERWALOW an bn) RASIRIM DO OTKRYTOGO INTERWALA (a0n bn) TAK, ^TOBY a0n < anS I F (a0n) F (an) ; "=2n: w REZULXTATE POLU^IM POKRYTIE c d0 ] 1n=1(a0n bn) OGRANI^ENNOGO ZAMKNUTOGO MNOVESTWA SEMEJSTWOM OTKRYTYH INTERWALOW. w SILU IZWESTNOJ LEMMY gEJNE-bORELQ NAJDETSQ KONE^NOE POKRYSN 0 0 TIE c d ] i=1(ani bni ) W KOTOROM a0n < c bnN > d0 I bni; > a0ni DLQ WSEH i = 2 : : : N: tO^KI bn : : : bnN ; OBRAZU@T RAZBIENIE INTERWALA a0n bnN ) KOTORYJ SODERVIT INTERWAL c d0) I PO\TOMU F (d0) ; F (c) F (bnN ) ; F (a0n ) = F (bn ) ; F (a0n )+ 1
1
1
1
1
1
1
N X
F (bni ) ; F (bni; ) ]
i=2
1
N X
F (bni
i=1
) ; F (a0
ni ) ]
1
1 X
F (bn ) ; F (a0n ) ]:
n=1
iZ POSTROENIQ INTERWALOW SLEDUET, ^TO F (d) ; F (c) F (d0) ; F (c) + " I F (bn) ; F (a0n) F (bn) ; F (an) + "=2n OTKUDA F (d) ; F (c)
1 X
F (bn) ; F (an)] + 2":
n=1
(2)
uSTREMLQQ " ! 0 POLU^AEM OKON^ATELXNOE DOKAZATELXSTWO RAWENSTWA (1) DLQ KONE^NYH INTERWALOW. 42
dLQ BESKONE^NYH INTERWALOW WIDA c 1) DOSTATO^NO RASSMOTRETX KONE^NYJ INTERWAL c d) UDOWLETWORQ@]IJ USLOWI@ 1 ; F (d) ": oTKRYTOE POKRYTIE ISHODNOGO INTERWALA c 1) INDUCIRUET ESTESTWENNYM OBRAZOM OTKRYTOE POKRYTIE INTERWALA c d ] K KOTOROMU PRIMENIMY WSE PREDYDU]IE RASSUVDENIQ, PRIWODQ]IE K NERAWENSTWU (2). o^EWIDNO, RAZNOSTX 1 ; F (c) NE PREWOSHODIT PRAWOJ ^ASTI (2) S ZAMENOJ 2" NA 3" ^TO ZAWERAET DOKAZATELXSTWO TEOREMY. dOKAZANNAQ TEOREMA POZWOLQET NAM WY^ISLQTX WEROQTNOSTI SOBYTIJ S POMO]X@ INTEGRALA sTILTXESA: Z P (A) = A dF (x) A 2 A:
43
x5. pOSTROENIE WEROQTNOSTNYH MODELEJ S POMO]X@ FUNKCIJ RASPREDELENIQ
lEKCIQ 7
w \TOM PARAGRAFE MY BUDEM REATX NESKOLXKO PRAKTI^ESKIH ZADA^ NA POSTROENIE WEROQTNOSTNYH MODELEJ, CELX KOTOROGO SOSTOIT W SPECIFIKACII NAIBOLEE UZKOGO SEMEJSTWA WOZMOVNYH RASPREDELENIJ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X: |TI MODELI NOSQT UNIWERSALXNYJ HARAKTER I PRIMENQ@TSQ W RAZLI^NYH OBLASTQH NAUKI I PRAKTI^ESKOJ DEQTELXNOSTI, PO\TOMU CELESOOBRAZNO POSLE REENIQ KAVDOJ ZADA^I RASSMOTRETX WOZMOVNYE ANALOGI \TIH ZADA^, PRIWODQ]IE K TEM VE WEROQTNOSTNYM MODELQM. kAVDOJ MODELI MY PRISWOIM SWOE IMQ I ABBREWIATURU, SODERVA]U@ \PARAMETRY" MODELI ZNA^ENIQ PARAMETROW, KAK PRAWILO, NEIZWESTNY, I OPREDELENIE \TIH ZNA^ENIJ SOSTAWLQET PREDMET DRUGOJ, RODSTWENNOJ TEORII WEROQTNOSTEJ, NAUKI { MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI. sOBSTWENNO GOWORQ, MY UVE DAWNO ZANIMAEMSQ POSTROENIEM WEROQTNOSTNYH MODELEJ S POMO]X@ FUNKCIJ RASPREDELENIJ SLU^AJNYH WELI^IN, PRINIMA@]IH DISKRETNYJ RQD ZNA^ENIJ, { RE^X IDET O GIPERGEOMETRI^ESKOM I BINOMIALXNOM RASPREDELENIQH (SM. x2 I x3). wEROQTNOSTX, S KOTOROJ SLU^AJNAQ WELI^INA PRINIMALA KONKRETNOE CELO^ISLENNOE ZNA^ENIE m RAWNA WELI^INE SKA^KA FUNKCII RASPREDELENIQ W TO^KE x = m: s \TIH DWUH RASPREDELENIJ MY NA^NEM SOSTAWLENIE NAEGO KATALOGA WEROQTNOSTNYH MODELEJ. gIPERGEOMETRI^ESKOE RASPREDELENIE GG(N M n): iSSLEDUETSQ KONE^NAQ POPULQCIQ, SOSTOQ]AQ IZ N EDINIC, ^ASTX IZ KOTORYH (m EDINIC) POME^ENY. iZ POPULQCII IZWLEKAETSQ SLU^AJNAQ WYBORKA OB_EMA n I S \TOJ WYBORKOJ SOOTNOSITSQ SLU^AJNAQ WELI^INA X NABL@DAEMOE ZNA^ENIE x KOTOROJ UKAZYWAET ^ISLO POME^ENNYH EDINIC W WYBORKE. oBLASTX ZNA^ENIJ X KOTORYE ONA PRINIMAET S NENULEWOJ WEROQTNOSTX@, SOSTAWLQ@T CELO^ISLENNYE TO^KI OTREZKA X = max(0 n ; (N ; M )) min(n M )] : fUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) RAWNA NUL@ W OBLASTI, LEVA]EJ SLEWA OT X I KAK TOLXKO x WYHODIT NA PRAWYJ KONEC OTREZKA X FUNKCIQ F (x) PRINIMAET ZNA^ENIE 1, KOTOROE SOHRANQET PRI WSEH x LEVA]IH SPRAWA OT X: wNUTRI OTREZKA X FUNKCIQ RASPREDELENIQ IMEET STUPEN^ATYJ WID, WOZRASTAQ SKA^KAMI W CELO^ISLENNYH TO^KAH x = m, I 44
WELI^INA SKA^KA OPREDELQETSQ FORMULOJ (2) x1: m C n;m C M P (X = m) = F (m+) ; F (m) = C nN ;M m 2 X: N pEREMENNYE N M I n QWLQ@TSQ PARAMETRAMI MODELI W PRAKTI^ESKIH PRILOVENIQH MODELI GG(N M n) ZNA^ENIE PO KRAJNEJ MERE ODNOGO IZ PARAMETROW N ILI M NEIZWESTNO. oBLASTX WOZMOVNYH ZNA^ENIJ PARAMETROW SOSTAWLQET TAK NAZYWAEMOE PARAMETRI^ESKOE PROSTRANSTWO I OBOZNA^AETSQ OBY^NO : w DANNOM SLU^AE SOSTOIT IZ CELO^ISLENNYH ZNA^ENIJ PARAMETROW N M I n PRI^EM N 2 1 M N 1 n N: iTAK, DISKRETNAQ WEROQTNOSTNAQ MODELX GIPERGEOMETRI^ESKOGO RASPREDELENIQ POLNOSTX@ OPREDELQETSQ \FUNKCIEJ SKA^KOW" f (x j ) x 2 R = (N M n) 2 KOTORAQ PRINIMAET NENULEWYE ZNA^ENIQ P (X = x) TOLXKO W CELO^ISLENNYH TO^KAH x OTREZKA X: fUNKCIQ f ( j ) OBY^NO NAZYWAETSQ FUNKCIEJ PLOTNOSTI RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X: wEROQTNOSTX SOBYTIQ WIDA X 2 B (2 B) WY^ISLQETSQ S POMO]X@ f PO FORMULE X P (X 2 B ) = f (x j ) x2B W ^ASTNOSTI, FUNKCIQ RASPREDELENIQ X F (x) = f (t j ): t<x
B(n p): rASSMATRIWAETSQ SHEMA NEZAWISIMYH ISPYTANIJ, KAVDOE IZ KOTORYH S NEKOTOROJ WEROQTNOSTX@ p MOVET BYTX \USPENYM" (W REZULXTATE ISPYTANIQ OSU]ESTWILOSX NEKOTOROE SOBYTIE A) ILI, S WEROQTNOSTX@ 1 ; p \NEUDA^NYM". nAS INTERESUET RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY X REZULXTAT x NABL@DENIQ KOTOROJ REGISTRIRUET ^ISLO USPEHOW W n ISPYTANIQH bERNULLI. kAK BYLO USTANOWLENO W x3, RASPREDELENIE X OPREDELQETSQ FUNKCIEJ PLOTNOSTI f (x j ) PRINIMA@]EJ NENULEWYE ZNA^ENIQ Cnxpx(1 ; p)n;x (= P (X = x)) TOLXKO W TO^KAH x = 0 1 : : : n W TO WREMQ KAK DWUMERNYJ PARAMETR = (n p) MOVET IZMENQTXSQ W OBLASTI = N 0 1] GDE N = f1 2 : : :g { MNOVESTWO CELYH ^ISEL. pOWEbINOMIALXNOE RASPREDELENIE
DENIE BINOMIALXNOJ FUNKCII RASPREDELENIQ ANALOGI^NO POWEDENI@ F (x) W MODELI GG(N M n) ESLI S^ITATX, ^TO OTREZOK X = 0 n]: 45
w PRAKTI^ESKIH PRIMENENIQH BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ OBY^NO NEIZWESTNO TOLXKO ZNA^ENIE PARAMETRA p { WEROQTNOSTI USPEHA W ISPYTANIQH bERNULLI. oDNAKO SU]ESTWU@T SITUACII, KOGDA \KSPERIMENTATOR REGISTRIRUET TOLXKO ^ISLO USPEHOW x NE IMEQ SWEDENIJ O ^ISLE ISPYTANIJ n: nAPRIMER, W ISSLEDOWANIQH NERWNOGO SINAPSA PRIBOR REGISTRIRUET TOLXKO OB]EE NAPRQVENIE \LEKTRI^ESKOGO POLQ, I PO WELI^INE \TOGO NAPRQVENIQ OPREDELQETSQ KOLI^ESTWO x PUZYRXKOW S ACETILHOLINOM, OSWOBODIWIHSQ PRI RAZDRAVENII NERWA. nI OB]EE KOLI^ESTWO n PUZYRXKOW, NI WEROQTNOSTX p WYBROSA IZ PUZYRXKA ACETILHOLINA, \KSPERIMENTATORU NEIZWESTNY, { PROBLEMA OCENKI PARAMETROW n I p SOSTAWLQET PREDMET ISSLEDOWANIQ. oSOBO SLEDUET OTMETITX ^ASTNYJ SLU^AJ BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ S ODNIM ISPYTANIEM (n = 1) W SHEME bERNULLI. |TO TAK NAZYWAEMOE DWUHTO^E^NOE RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ B(1 p) S FUNKCIEJ PLOTNOSTI f (x j p) = px(1 ; p)1;x x = 0 1: w x3 BYLO USTANOWLENO, ^TO MODELX B(n p) QWLQETSQ \PREDELXNOJ" DLQ MODELI GG(N M n) KOGDA RAZMER N POPULQCII NEOGRANI^ENNO RASTET I ^ISLO M POME^ENNYH EDINIC SOIZMERIMO S N TO ESTX M=N = p (= const): sLEDU@]AQ WEROQTNOSTNAQ MODELX, IME@]AQ IROKIE PRAKTI^ESKIE PRIMENENIQ, QWLQETSQ PREDELXNOJ DLQ BINOMIALXNOJ MODELI, KOGDA ^ISLO PROWODIMYH ISPYTANIJ n WELIKO, A WEROQTNOSTX p USPENOGO ISPYTANIQ ^REZWY^AJNO MALA. rASPREDELENIE pUASSONA P(). pRI ISSLEDOWANII INTENSIWNOSTI RADIOIZLU^ENIQ OBY^NO REGISTRIRUETSQ ^ISLO x ATOMOW RADIOAKTIWNOGO \LEMENTA, RASPAWIHSQ ZA EDINICU WREMENI. pOWTORNYE NABL@DENIQ UKAZYWA@T NA ZNA^ITELXNU@ IZMEN^IWOSTX ^ISLA RASPAWIHSQ ATOMOW, I PO\TOMU PROBLEMA STABILXNOGO, NE ZAWISQ]EGO OT SLU^AJNYH FLUKTUACIJ, POKAZATELQ INTENSIWNOSTI IZLU^ENIQ DOLVNA REATXSQ W RAMKAH TEORII WEROQTNOSTEJ. pUSTX X { SLU^AJNAQ WELI^INA, KOTORAQ NABL@DAETSQ W \KSPERIMENTE, n { ^ISLO ATOMOW, IZ KOTORYH SOSTOIT OBRAZEC ISSLEDUEMOGO RADIOAKTIWNOGO \LEMENTA, p { WEROQTNOSTX, S KOTOROJ WOZMOVEN RASPAD L@BOGO IZ ATOMOW OBRAZCA ZA WREMQ NABL@DENIQ. sU]ESTWU@]AQ TEORIQ RADIOAKTIWNOGO IZLU^ENIQ UTWERVDAET, ^TO ATOMY RASPADA@TSQ NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA, I PO\TOMU REZULXTAT x, KOTORYJ FIKSIRU46
ET S^ET^IK RASPAWIHSQ ATOMOW, MOVNO TRAKTOWATX KAK REALIZACI@ SLU^AJNOJ WELI^INY X S BINOMIALXNYM ZAKONOM B(n p) RASPREDELENIQ WEROQTNOSTEJ. lEGKO PONQTX, ^TO RAS^ET WEROQTNOSTEJ ISHODOW \KSPERIMENTA PO FORMULE P (X = x) = Cnxpx(1 ; p)n;x x = 0 1 : : : n WRQD LI WOZMOVEN IZ-ZA NEPREODOLIMYH TEHNI^ESKIH SLOVNOSTEJ, WYZWANNYH OGROMNYM ZNA^ENIEM n I NI^TOVNO MALYM ZNA^ENIEM p: pO\TOMU WOZNIKAET MATEMATI^ESKAQ PROBLEMA ASIMPTOTIKI BINOMIALXNYH WEROQTNOSTEJ, KOGDA n ! 1 I ODNOWREMENNO p ! 0: rEENIE PROBLEMY DAET pREDLOVENIE 5.1. eSLI n ! 1 p ! 0 I PRI \TOM np = (= const) TO x e; P fX = x j n pg ;! x! : d O K A Z A T E L X S T W O. pREDELXNOE ZNA^ENIE BINOMIALXNYH WEROQTNOSTEJ LEGKO POLU^ITX, ESLI PREDSTAWITX IH W WIDE !x !n;x n ( n ; 1) : : : ( n ; x + 1) P fX = x j n pg = = x! n 1; n ! ! ! !;x !n x 1 2 x ; 1 1; n 1; n 1; n 1 ; n 1 ; n x! I WOSPOLXZOWATXSQ ZAME^ATELXNYM PREDELOM (1 ; =n)n ! e;: |TOT ASIMPTOTI^ESKIJ REZULXTAT WPERWYE BYL POLU^EN pUASSONOM, I PO\TOMU RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ x ; (1) P (X = x j ) = xe! x = 0 1 : : : NAZYWAETSQ RASPREDELENIEM pUASSONA I OBOZNA^AETSQ P(): pRAWAQ ^ASTX (1) PREDSTAWLQET NENULEWYE ZNA^ENIQ FUNKCII PLOTNOSTI f (x j ) RASPREDELENIQ pUASSONA, (> 0) NAZYWAETSQ PARAMETROM INTENSIWNOSTI POTOKA pUASSONA { W TERMINAH ZADA^I S RADIOAKTIWNYM RASPADOM RAWNO SREDNEMU ^ISLU ATOMOW, RASPAWIHSQ ZA EDINICU WREMENI. fUNKCIQ RASPREDELENIQ pUASSONA RAWNA NUL@ NA OTRICATELXNOJ POLUOSI, A NA POLOVITELXNOJ WOZRASTAET SKA^KAMI W CELO^ISLENNYH TO^KAH x = 0 1 : : : WELI^INA KOTORYH RAWNA PRAWOJ ^ASTI (1). 47
tRUDNO PEREOCENITX ZNA^IMOSTX ZAKONA pUASSONA W RAZLI^NYH PROBLEMAH ESTESTWOZNANIQ. |TO RASPREDELENIE ISPOLXZUETSQ PRI ISSLEDOWANII ^ISLA NES^ASTNYH SLU^AEW NA PREDPRIQTIQH, ^ISLA WYZOWOW NA TELEFONNOJ STANCII \TOMU ZAKONU POD^INQ@TSQ METEORNYE QWLENIQ, POTOKI TRANSPORTA, RAZMERY O^EREDEJ SISTEM OBSLUVIWANIQ I PR. rAWNOMERNOE RASPREDELENIE U(a b): nA OTREZOK 0 1 ] \NAUGAD" BROSAETSQ TO^KA, TAK ^TO WEROQTNOSTX EE POPADANIQ W L@BOJ INTERWAL ( ) 2 0 1 ] ZAWISIT TOLXKO OT DLINY ; INTERWALA I NE ZAWISIT OT EGO POLOVENIQ WNUTRI OTREZKA 0 1 ]: |KSPERIMENTATORA INTERESUET RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY X REALIZU@]EJ KOORDINATU x TO^KI POSLE BROSANIQ. kL@^ K WYWODU FUNKCII RASPREDELENIQ X UKAZYWAET SLEDU@]AQ \KWIWALENTNAQ FORMULIROWKA USLOWIJ \KSPERIMENTA: INTERWALY ODINAKOWOJ DLINY OBLADA@T ODINAKOWOJ WEROQTNOSTX@ POPADANIQ W NIH BROSAEMOJ TO^KI. eSLI RAZDELITX OTREZOK 0 1 ] NA n ODINAKOWYH ^ASTEJ, TO DLQ FUNKCII RASPREDELENIQ X IMEET MESTO DWUSTORONNQQ OCENKA:
nx ] F (x) nx ] + 1 n n GDE t ] { CELAQ ^ASTX t: dEJSTWITELXNO, WSEM OTREZKAM, POLU^ENNYM W REZULXTATE DELENIQ 0 1 ] SOOTWETSTWUET ODINAKOWAQ WEROQTNOSTX, RAWNAQ 1=n POPADANIQ W NIH TO^KI, TAK ^TO WEROQTNOSTX P (X < x) = F (x) MOVNO OCENITX KOLI^ESTWOM OTREZKOW DLINY 1=n POKRYWA@]IH
0 x ]: uSTREMLQQ TEPERX n K BESKONE^NOSTI, POLU^AEM, ^TO F (x) = x ESLI x 2 0 1 ]: pOSKOLXKU WEROQTNOSTX POPADANIQ TO^KI WO WNENOSTX OTREZKA 0 1 ] RAWNA NUL@, TO F (x) = 0 PRI x < 0 I F (x) = 1 PRI x > 1: iTAK, MY POSTROILI WEROQTNOSTNU@ MODELX RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ U(0 1) NA OTREZKE 0 1 ]: lEGKO PONQTX, ^TO ESLI ANALOGI^NYJ \KSPERIMENT PROWODITSQ S OTREZKOM 0 b ] TO FUNKCIQ RASPREDELENIQ NA \TOM OTREZKE BUDET IMETX WID F (x) = x=b TAK KAK SWOJSTWO LINEJNOSTI DOLVNO SOHRANQTXSQ W SILU PRINCIPA SLU^AJNOSTI BROSANIQ TO^KI NA OTREZOK 0 b ] I, W TO VE WREMQ, F (b+) = 1: nAKONEC, ESLI TO^KA BROSAETSQ NA OTREZOK OB]EGO WIDA a b ] TO F (a) = 0 F (b+) = 1 I PO\TOMU F (x) = (x ; a)=(b ; a): tAKIM OBRAZOM, MY PRILI K RAWNOMERNOMU RASPREDELENI@ U(a b) NA OTREZKE a b ]: |TO RASPREDELENIE ZAWISIT OT DWUMERNOGO PARAMETRA = (a b) S OBLASTX@ ZNA^ENIJ 48
(PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM) = f(a b) 2 R2 : a < bg:
rAWNOMERNOE RASPREDELENIE IMEET INTERESNU@ SWQZX S POSLEDOWATELXNOSTX@ ISPYTANIJ bERNULLI. eSLI PREDSTAWITX REALIZACI@ x SLU^AJNOJ WELI^INY X S RASPREDELENIEM U (0 1) W WIDE DWOI^NOJ DROBI, TO EE DROBNAQ ^ASTX REALIZUET POSLEDOWATELXNOSTX INDIKATOROW USPEHA W BESKONE^NOJ POSLEDOWATELXNOSTI ISPYTANIJ bERNULLI S p = 1=2: lEGKO PROWERITX, ^TO SPRAWEDLIWO I OBRATNOE UTWERVDENIE, ^TO DAET ODIN IZ PROSTEJIH SPOSOBOW GENERIROWANIQ SLU^AJNYH WELI^IN S RAWNOMERNYM ZAKONOM RASPREDELENIQ. lEKCIQ 8
E(). wY, NAWERNOE, OBRATILI WNIMANIE, ^TO BOLXINSTWO, PO KRAJNEJ MERE, \SERXEZNYH" IZDELIJ, KOTORYE WYPUSKA@T PREDPRIQTIQ, SNABVAETSQ GARANTIJNYM SROKOM SLUVBY t0 I ESLI IZDELIE OTKAZYWAET DO MOMENTA t0 TO PREDPRIQTIE NESET OPREDELENNYE UBYTKI, SWQZANNYE S REMONTOM ILI ZAMENOJ IZDELIQ. eSTESTWENNO, DOLGOWE^NOSTX x (ILI, KAK GOWORQT ANGLI^ANE, \SROK VIZNI" { lifetime) QWLQETSQ REALIZACIEJ SLU^AJNOJ WELI^INY X I TOLXKO ZNANIE EE FUNKCII RASPREDELENIQ F (x) POZWOLIT PREDPRIQTI@ USTANOWITX TOT GARANTIJNYJ SROK SLUVBY, KOTORYJ OTWE^AET EGO FINANSOWYM WOZMOVNOSTQM PO OBESPE^ENI@ REMONTA ILI ZAMENY. dLQ RAS^ETA t0 NEOBHODIMO OPREDELITXSQ S TREBUEMOJ NADEVNOSTX@ IZDELIQ P0 { \SREDNEJ" DOLEJ IZDELIJ, KOTORYE OBQZANY OTRABOTATX GARANTIJNOE WREMQ. zNAQ NADEVNOSTX P0 MY NAHODIM GARANTIJNYJ SROK t0 IZ URAWNENIQ P (X t0) = 1 ; F (t0) = P0: w SWQZI S \TIM FUNKCIQ H (t) = 1 ; F (t) t 0 NAZYWAETSQ FUNKCIEJ NADEVNOSTI. oBY^NO POSTROENIE MODELI NADEVNOSTI IZDELIQ OPIRAETSQ NA NEKOTORYE POSTULATY, SWQZANNYE S FUNKCIONIROWANIEM IZDELIQ, EGO STARENIEM, IZNOSOM, PODWERVENNOSTX@ UDARNYM NAGRUZKAM I T.P. mY RASSMOTRIM SEJ^AS ODIN IZ TAKIH POSTULATOW PRIMENITELXNO K IZDELIQM, KOTORYE OTKAZYWA@T NE W SILU PROCESSOW STARENIQ, A TOLXKO PO PRI^INE REZKO WOZROSIH (TAK NAZYWAEMYH \UDARNYH") NAGRUZOK NA REVIM EGO RABOTY. eSTESTWENNO, W TAKOJ SITUACII WEROQTNOSTX TOGO, ^TO IZDELIE PROSLUVIT E]E NEKOTOROE WREMQ t PRI USLOWII, ^TO ONO UVE OTSLUVILO SROK s NE DOLVNA ZAWISETX OT s TO ESTX P fX t + s j X sg = P (fX Pt (+Xsg\sf) X sg) = pOKAZATELXNOE RASPREDELENIE
49
P (X t + s) = P (X t): P (X s) tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ NADEVNOSTI H (t) IZDELIQ DOLVNA UDOWLETWORQTX FUNKCIONALXNOMU URAWNENI@ H (t + s) = H (t)H (s) t 0 s 0: (2) pREDLOVENIE 5.2. eSLI FUNKCIQ H (t) t 0 UDOWLETWORQET KRAEWYM USLOWIQM H (0) = 1 limt!1 H (t) = 0 I NEPRERYWNA SPRAWA, TO
WSE REENIQ URAWNENIQ (2) IME@T WID
H (t) = e;t
> 0 {PROIZWOLXNYJ PARAMETR. d O K A Z A T E L X S T W O. iZ URAWNENIQ (2) LEGKO WYWESTI, ^TO DLQ L@BOGO c > 0 I L@BOGO CELOGO n 1 IMEET MESTO SOOTNOENIE H (nc) = H n(c): (3) dEJSTWITELXNO, W SILU (2), ISPOLXZUQ INDUKCI@, POLU^AEM H (nc) = H ((n ; 1)c) + c) = H ((n ; 1)c)H (c) = H ((n ; 2)c)H 2(c) = : : : = H n(c): dALEE, DLQ L@BYH c > 0 I CELOGO m 1 SPRAWEDLIWO RAWENSTWO ! H mc = H 1=m(c) (4)
GDE
KOTOROE NEMEDLENNO SLEDUET IZ (3): H (c) = H (mc=m) = H m(c=m): sOOTNOENIQ (3) I (4) POZWOLQ@T USTANOWITX STROGOE NERAWENSTWO 0 < H (1) < 1: dEJSTWITELXNO, ESLI DOPUSTITX PROTIWNOE: H (1) = 0 TO W SILU (4) DLQ L@BOGO CELOGO m 1 POLU^AEM H (1=m) = H 1=m(1) = 0: uSTREMLQQ m K BESKONE^NOSTI I ISPOLXZUQ SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI H SPRAWA, POLU^AEM PROTIWORE^IE 1 = H (0) = limm!1 H (1=m) = 0: aNALOGI^NO, ESLI PREDPOLOVITX, ^TO H (1) = 1 TO, W SILU (3), DLQ L@BOGO CELOGO n H (n) = H n(1) = 1 I, W TO VE WREMQ, limn!1 H (n) = 0: nERAWENSTWO 0 < H (1) < 1 OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET TAKOE > 0 ^TO H (1) = e;: nO TOGDA, W SILU (3) I (4), DLQ L@BYH CELYH n I m IMEEM H (n) = e;n H (n=m) = H 1=m(n) = expf;n=mg: |TO OZNA^AET, ^TO NAE PREDPOLOVENIE DOKAZANO DLQ WSEH RACIONALXNYH t: l@BOE DRUGOE ZNA^ENIE t NA POLOVITELXNOJ POLUOSI MOVNO SKOLX UGODNO 50
TO^NO OCENITX SWERHU RACIONALXNYM ^ISLOM I ZATEM WOSPOLXZOWATXSQ NEPRERYWNOSTX@ SPRAWA H (t) PRI PEREHODE W OCENKE t K PREDELU. iTAK, MY NALI FUNKCI@ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X REALIZU@]U@ DOLGOWE^NOSTX IZDELIQ, F (x) = 1;H (x) = 1;expf;xg W OBLASTI x > 0: kAK BUDET POKAZANO W DALXNEJEM, \TO RASPREDELENIE TESNO SWQZANO S RASPREDELENIEM pUASSONA I PARAMETR KAK I W MODELI P() HARAKTERIZUET INTENSIWNOSTX POTOKA OTKAZOW. oDNAKO W TEORII WEROQTNOSTEJ OBY^NO MODELX POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ PARAMETRIZUETSQ INYM SPOSOBOM, ^EREZ PARAMETR = 1= KOTORYJ IMEET SMYSL SREDNEJ DOLGOWE^NOSTI. tAKIM OBRAZOM, POKAZATELXNOE RASPREDELENIE E(), KOTOROE BUDET W DALXNEJEM RASSMATRIWATXSQ, IMEET FUNKCI@ RASPREDELENIQ F (x) = 0 PRI x 0 I F (x) = 1 ; expf;x=g ESLI x > 0: mY ZAWERIM \TOT PARAGRAF POSTROENIEM E]E ODNOJ DISKRETNOJ MODELI TEORII NADEVNOSTI, W KOTOROJ PROSLEVIWA@TSQ PERWYE, POKA E]E O^ENX SMUTNYE, SWQZI PUASSONOWSKOGO I POKAZATELXNOGO RASPREDELENIJ. gEOMETRI^ESKOE RASPREDELENIE Geo(p): pRI POSADKE WOZDUNOGO LAJNERA WOZMOVEN SILXNYJ UDAR O POSADO^NU@ POLOSU, KOTORYJ MOVET PRIWESTI K RAZRUENI@ ASSI. pUSTX p { WEROQTNOSTX GRUBOJ POSADKI NAS INTERESUET WEROQTNOSTX TOGO, ^TO ASSI NE BUDET RAZRUENO DO MOMENTA t ( 1) (NADEVNOSTX ASSI). s PODOBNOJ ZADA^EJ MY IMELI DELO W x1 (PRIMER 6), KOGDA OPREDELQLI WEROQTNOSTX PERWOGO POQWLENIQ GERBA PRI n-OM ISPYTANII PRAWILXNOJ MONETY (p = 1=2): w DANNOM, BOLEE OB]EM SLU^AE ESTESTWENNO WOSPOLXZOWATXSQ PREDPOLOVENIEM O NEZAWISIMOSTI SITUACIJ, WOZNIKA@]IH PRI KAVDOJ POSADKE LAJNERA. pUSTX X { SLU^AJNAQ WELI^INA, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ x = 1 2 : : : KOTORYE UKAZYWA@T MOMENT RAZRUENIQ ASSI, TO^NEE, NOMER POSADKI, KOTORAQ OKAZALASX GRUBOJ. tOGDA SOBYTIE X = x SOSTOIT IZ x ; 1 BLAGOPOLU^NYH POSADOK I GRUBOJ POSADKI S NOMEROM x OTKUDA NAHODIM FUNKCI@ PLOTNOSTI GEOMETRI^ESKOGO RASPREDELENIQ Geo(p): f (x j p) = P (X = x) = (1 ; p)x;1p ESLI x 2 N I f (x j p) = 0 W OSTALXNYH TO^KAH WE]ESTWENNOJ OSI R: 51
w DISKRETNOJ FUNKCII NADEVNOSTI H (t) = P (X t) =
1 X
(1 ; p)x;1p = (1 ; p)t;1 t 1
x=t
PRAKTI^ESKIJ INTERES PREDSTAWLQ@T O^EWIDNO MALYE ZNA^ENIQ p I BOLXIE ZNA^ENIQ t: nAJDEM ASIMPTOTIKU H (t) POLOVIW p = =N t = Nx I USTREMIW N K BESKONE^NOSTI. iMEEM !Nx;1 ! e;x: H (Nx) = 1 ; N iTAK, ASIMPTOTI^ESKIJ ANALIZ H (t) ANALOGI^NYJ TEOREME pUASSONA, PRIWEL NAS K FUNKCII NADEVNOSTI POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ. dLQ TOGO ^TOBY STROITX NOWYE WEROQTNOSTNYE MODELI, NAM NEOBHODIMO BLIVE POZNAKOMITXSQ S ^ISLOWYMI I FUNKCIONALXNYMI HARAKTERISTIKAMI RASPREDELENIJ, KOTORYE POSTOQNNO ISPOLXZU@TSQ NA PRAKTIKE, KOGDA WOZNIKAET PROBLEMA SRAWNENIQ RASPREDELENIJ ILI HARAKTERIZACIQ IH SPECIFI^ESKIH OSOBENNOSTEJ. |TOMU WOPROSU POSWQ]EN SLEDU@]IJ PARAGRAF.
52
x6. hARAKTERISTIKI RASPREDELENIQ
SLU^AJNOJ WELI^INY. kLASSIFIKACIQ RASPREDELENIJ
mY POSTROILI ESTX WEROQTNOSTNYH MODELEJ, I ESLI PRED NAMI STOIT ZADA^A IH KLASSIFIKACII, TO PERWAQ O^EWIDNAQ OSOBENNOSTX, KOTOROJ OBLADAET KAVDOE IZ RASPREDELENIJ SOOTWETSTWU@]EJ SLU^AJNOJ WELI^INY, \TO { NEPRERYWNOSTX ILI RAZRYWNOSTX FUNKCII RASPREDELENIQ. pOLU^ENNYE SEMEJSTWA RASPREDELENIJ MOVNO RAZBITX NA DWA KLASSA { DISKRETNYJ I NEPRERYWNYJ. gIPERGEOMETRI^ESKOE GG(N,M,n), BINOMIALXNOE B(n,p), PUASSONOWSKOE P() I GEOMETRI^ESKOE Geo(p) RASPREDELENIQ PRINADLEVAT K DIKRETNOMU KLASSU. pRI WYWODE \TIH RASPREDELENIJ MY WPOLNE MOGLI BY OGRANI^ITXSQ TEHNIKOJ \LEMENTARNOJ TEORII WEROQTNOSTEJ, POSKOLXKU PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW (ZNA^ENIJ SLU^AJNOJ WELI^INY X ) SOSTOQLI IZ KONE^NOGO ILI S^ETNOGO ^ISLA TO^EK, I FUNKCII PLOTNOSTI f (x j ) W OBLASTI IH NENULEWYH ZNA^ENIJ OPREDELQLI WEROQTNOSTI KAVDOGO \LEMENTARNOGO ISHODA X = x: gRAFI^ESKOE IZOBRAVENIE f (x) = f (x j ) KAK FUNKCII x PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM POZWOLQET NAIBOLEE POLNO PREDSTAWITX KARTINU OB]EGO RASPREDELENIQ WEROQTNOSTEJ I, ODNOWREMENNO, WYZYWAET NEKOTORYE ASSOCIACII S \NAGRUVENNYM STERVNEM", A TAKVE STREMLENIE HARAKTERIZOWATX RASPREDELENIE MASS PO STERVN@ TAKIMI MEHANI^ESKIMI HARAKTERISTIKAMI, KAK CENTR TQVESTI, MOMENT INERCII, ASIMMETRIQ I \KSCESS W RASPREDELENII MASS I PR. f (x)6
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
-
x
0
pRIBEGAQ K TAKOJ \MEHANI^ESKOJ" INTERPRETACII RASPREDELENIQ WEROQTNOSTEJ, MY SOOTNOSIM WEROQTNOSTX SOBYTIQ X 2 B PRI L@BOM B 2 B S MASSOJ U^ASTKA STERVNQ B I WY^ISLQEM WELI^INU \TOJ MASSY 53
PO FORMULE
X
P (B ) = f (x): x2B cENTR TQVESTI NAGRUVENNOGO STERVNQ NAZYWAETSQ SREDNIM ZNA^ENIEM SLU^AJNOJ WELI^INY X OBOZNA^AETSQ EX I WY^ISLQETSQ KAK X EX = xf (x): x2R
mOMENT INERCII OTNOSITELXNO TO^KI = EX RAWNYJ X DX = (x ; )2f (x) x2R
HARAKTERIZUET MERU RAZBROSA (UDALENNOSTI) OTDELXNYH TO^EK NAGRUVENIQ OT CENTRA MASS, I PO\TOMU W TEORII WEROQTNOSTEJ NAZYWAETSQ DISPERSIEJ SLU^AJNOJ WELI^INY X: kROME STANDARTNOGO OBOZNA^ENIQ 2 DX ZA WELI^INOJ DISPERSII ZAKREPLEN p SIMWOL W TO WREMQ KAK KWADRATNYJ KORENX IZ DISPERSII = DX NAZYWAETSQ STANDARTNYM OTKLONENIEM X: nESOMNENNYJ PRAKTI^ESKIJ INTERES PREDSTAWLQET TAKVE TO^KA DOSTIVENIQ MAKSIMUMA FUNKCII f (x) KAK NAIBOLEE WEROQTNOGO ZNA^ENIQ X: |TA TO^KA NAZYWAETSQ MODOJ RASPREDELENIQ X I KAK-TO TAK SLOVILOSX, ^TO STANDARTNOGO, NAIBOLEE RASPROSTRANENNOGO OBOZNA^ENIQ U \TOJ HARAKTERISTIKI NET, RAZWE LIX mod(X ): mY NE BUDEM TOROPITXSQ S WWEDENIEM DRUGIH HARAKTERISTIK RASPREDELENIQ X A TAKVE ILL@STRIROWATX NA KONKRETNYH RASPREDELENIQH WY^ISLENIQ EX DX I mod(X ), I SNA^ALA POPYTAEMSQ WWESTI ANALOGI \TIH HARAKTERISTIK DLQ SLU^AJNYH WELI^IN S NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ. k KLASSU NEPRERYWNYH RASPREDELENIJ PRINADLEVAT RAWNOMERNOE U(a,b) I POKAZATELXNOE E() RASPREDELENIQ. pRI POSTROENII \TIH WEROQTNOSTNYH MODELEJ FUNKCIQ RASPREDELENIQ IGRALA OPREDELQ@]U@ ROLX I TEOREMA 4.1 ISPOLXZOWALASX PO SU]ESTWU. gRAFI^ESKOE IZOBRAVENIE FUNKCII RASPREDELENIQ WRQD LI STOIT RASSMATRIWATX KAK STOLX VE NAGLQDNU@ ILL@STRACI@ RASPREDELENIQ WEROQTNOSTEJ, KAK, NAPRIMER, GRAFIK FUNKCII PLOTNOSTI (FUNKCII SKA^KOW) RASPREDELENIQ DISKRETNOGO TIPA. |TO ZAME^ANIE W RAWNOJ STEPENI OTNOSITSQ KAK K DISKRETNOMU, TAK I NEPRERYWNOMU KLASSU RASPREDELENIJ. gRAFIKI WOZRASTA@]IH FUNKCIJ S OBLASTX@ ZNA^ENIJ W INTERWALE 0 1 ] TAK POHOVI DRUG NA DRUGA, ^TO IH GLAWNAQ 54
PRIME^ATELXNOSTX { TO^KI PEREGIBA { \NA GLAZ" OPREDELQ@TSQ TOLXKO PRI WYSOKIH HUDOVESTWENNYH DOSTOINSTWAH GRAFI^ESKOGO IZOBRAVENIQ. dRUGOE DELO { PROIZWODNAQ FUNKCII, GDE \TI TO^KI PEREGIBA PREWRA]A@TSQ W TO^KI \KSTREMUMA. s DRUGOJ STORONY, PROIZWODNAQ FUNKCII RASPREDELENIQ W NEPRERYWNOM SLU^AE, TAK VE KAK I FUNKCIQ SKA^KOW DISKRETNOGO RASPREDELENIQ, DOPUSKAET MEHANI^ESKU@ INTERPRETACI@ FUNKCII PLOTNOSTI EDINI^NOJ MASSY, \RAZMAZANNOJ" PO BESKONE^NOMU STERVN@, I W RAMKAH \TOJ INTERPRETACII MY SNOWA MOVEM RASSMATRIWATX TAKIE HARAKTERISTIKI, KAK CENTR TQVESTI, MOMENT INERCII I TOMU PODOBNOE. iTAK, OPREDELIM FUNKCI@ PLOTNOSTI NEPRERYWNOGO RASPREDELENIQ F (x) KAK PROIZWODNU@ f (x) = dF (x)=dx KOTORAQ W NAEM SLU^AE OPREDELQETSQ PO^TI WS@DU PO MERE lEBEGA, ^TO, KAK BUDET W DALXNEJEM, WPOLNE DOSTATO^NO DLQ WY^ISLENIQ HARAKTERISTIK NEPRERYWNOGO RASPREDELENIQ. tAK, DLQ RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ f (x) = f (x j ) = 0 RAWNA NUL@ WNE SEGMENTA a b ] I f (x j ) = (b ; a);1 TO ESTX POSTOQNNA NA \TOM SEGMENTE. w SLU^AE POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ f (x j ) = 0 PRI x < 0 ( ) 1 f (x j ) = exp ; x ESLI x 0 I OTNESENIE TO^KI x = 0 K OBLASTI NULEWYH ZNA^ENIJ FUNKCII f O^EWIDNO NE IZMENIT ZNA^ENIJ INTEGRALXNYH HARAKTERISTIK RASPREDELENIQ ANALOGI^NOE ZAKL@^ENIE MOVNO SDELATX I OTNOSITELXNO KONCEWYH TO^EK a I b RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ U(a, b). fUNKCIQ RASPREDELENIQ IZ NEPRERYWNOGO KLASSA WYRAVAETSQ ^EREZ SWO@ FUNKCI@ PLOTNOSTI W WIDE F (x) =
Zx
;1
f (t)dt
A WEROQTNOSTX \POPADANIQ" X W NEKOTOROE PROIZWOLXNOE BORELEWSKOE MNOVESTWO B (WEROQTNOSTX SOBYTIQ B ) ZAPISYWAETSQ KAK Z Z P (X 2 B ) = B f (x)dx = R IB (x)f (x)dx GDE IB (x) { INDIKATORNAQ FUNKCIQ MNOVESTWA B: eSTESTWENNO, W SILU QWNOJ NEREGULQRNOSTI (RAZRYWNOSTI I PRO^IH PAKOSTEJ) PODYNTEGRALXNYH FUNKCIJ INTEGRALY W \TIH FORMULAH SLEDUET RASSMAT55
RIWATX KAK INTEGRALY lEBEGA PO LEBEGOWOJ MERE dx NA BORELEWSKOJ PRQMOJ (R B): cENTR TQVESTI STERVNQ S NEPRERYWNYM RASPREDELENIEM MASS, KOTOROE OPREDELQETSQ FUNKCIEJ PLOTNOSTI f (x) WY^ISLQETSQ PO IZWESTNOJ FORMULE Z1 = EX = xf (x)dx ;1
I NAZYWAETSQ, KAK I W DISKRETNOM SLU^AE, SREDNIM ZNA^ENIEM SLU^AJNOJ WELI^INY X: tO^NO TAK VE MOMENT INERCII = DX = 2
Z1 ;1
(x ; )2f (x)dx
NAZYWAETSQ DISPERSIEJ X A { STANDARTNYM OTKLONENIEM. nAKONEC, TO^KA DOSTIVENIQ MAKSIMUMA FUNKCII PLOTNOSTI: mod(X ) = arg max f (x) ; x2R MODOJ RASPREDELENIQ X: oKRESTNOSTX TO^KI mod(X ) OBLADAET NAIBOLXEJ KONCENTRACIEJ WEROQTNOSTNOJ MASSY.
lEKCIQ 9
eSTESTWENNO, RASSMOTREW DWA OSNOWNYH KLASSA RASPREDELENIJ, MY MOGLI BY TEPERX PRODOLVITX IZU^ENIE HARAKTERISTIK RASPREDELENIJ KAVDOGO TIPA, NO WOZNIKAET ESTESTWENNYJ WOPROS, A SU]ESTWU@T LI SMEANNYE DISKRETNO-NEPRERYWNYE RASPREDELENIQ ILI WOOB]E RASPREDELENIQ, NE PRINADLEVA]IE K IZU^ENNYM KLASSAM, I KAK TOGDA WY^ISLQTX IH SREDNIE ZNA^ENIQ I DISPERSII? ~TO KASAETSQ DIKRETNO-NEPRERYWNYH RASPREDELENIJ, TO O SU]ESTWOWANII I PRAKTI^ESKOJ CENNOSTI TAKIH RASPREDELENIJ UKAZYWAET SLEDU@]AQ WEROQTNOSTNAQ MODELX TEORII NADEVNOSTI. pREDPOLOVIM, ^TO PREDPRIQTIE WYPUSKAET IZDELIQ S POKAZATELXNYM RASPREDELENIEM DOLGOWE^NOSTI, NO W SILU SPECIFI^ESKIH DEFEKTOW PROIZWODSTWA KAVDOE IZDELIE S NEKOTOROJ WEROQTNOSTX@ p MOVET BYTX \MERTWOROVDENNYM", TO ESTX OTKAZATX PRI EGO \WKL@^ENII". w TAKOM SLU^AE FUNKCIQ RASPREDELENIQ DOLGOWE^NOSTI W OBLASTI x > 0 IMEET WID 56
(ISPOLXZUETSQ FORMULA POLNOJ WEROQTNOSTI) F (x) = p + (1 ; p)(1 ; expf;x=g) A SREDNIJ SROK SLUVBY EX
= 0 p + (1 ; p);1
Z1 0
x exp f;x=g dx = (1 ; p) ;
OPQTX NOWAQ FORMULA DLQ WY^ISLENIQ HARAKTERISTIK RASPREDELENIQ X! dALXE { BOLXE, OKAZYWAETSQ SU]ESTWUET E]E ODIN TIP RASPREDELENIJ, WY^ISLENIE HARAKTERISTIK KOTOROGO WOOB]E NEMYSLIMO WNE RAMOK TEORII INTEGRALA lEBEGA. pOMNITE, MY GOWORILI S WAMI O SWQZI MEVDU SHEMOJ ISPYTANIJ bERNULLI S WEROQTNOSTX@ USPENOGO ISPYTANIQ p = 1=2 I RAWNOMERNYM RASPREDELENIEM NA OTREZKE 0 1 ]? oKAZYWAETSQ, ESLI WEROQTNOSTX USPEHA p 6= 1=2 TO DWOI^NAQ DROBX, SOSTAWLENNAQ IZ REALIZACIJ INDIKATOROW USPEHA, PREDSTAWLQET REZULXTAT NABL@DENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY S WESXMA ZAGADO^NOJ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ. wO-PERWYH, \TA FUNKCIQ PO^TI WS@DU POSTOQNNA { PROIZWODNAQ OT NEE PO^TI WS@DU PO MERE lEBEGA NA (R B) RAWNA NUL@. tEM NE MENEE \TA FUNKCIQ WOZRASTAET, NEPRERYWNA(!), NO TO^KI EE ROSTA SOSTAWLQ@T S^ETNOE MNOVESTWO, IME@]EE, ESTESTWENNO, NULEWU@ LEBEGOWU MERU. sOOTWETSTWU@]AQ \TOJ FUNKCII RASPREDELENIQ WEROQTNOSTNAQ MERA P NA BORELEWSKOJ PRQMOJ SINGULQRNA OTNOSITELXNO MERY lEBEGA: ESLI MNOVESTWO B 2 B IMEET NULEWU@ LEBEGOWU MERU, TO OTS@DA NE SLEDUET, ^TO P (B ) = 0: rASPREDELENIQ TAKOGO WIDA, IME@]IE NEPRERYWNU@ FUNKCI@ RASPREDELENIQ, NO SINGULQRNYE PO OTNOENI@ K MERE lEBEGA, SOSTAWLQ@T KLASS SINGULQRNYH RASPREDELENIJ. lEGKO PONQTX, ^TO QWNAQ ZAPISX TAKIH RASPREDELENIJ WRQD LI WOZMOVNA. w NAEM PRIMERE S POSTROENIEM REALIZACIJ SLU^AJNOJ WELI^INY X S POMO]X@ SHEMY bERNULLI DLQ FUNKCII RASPREDELENIQ X SOSTAWLQETSQ NEKOTOROE OPERATORNOE URAWNENIE, I ESLI MY HOTIM RASS^ITATX WEROQTNOSTI POPADANIQ X W INTERWALY NA PRQMOJ, TO PRIDETSQ ISPOLXZOWATX ^ISLENNYE METODY REENIQ TAKIH URAWNENIJ. kONE^NO, MY NE BUDEM ZANIMATXSQ SEJ^AS WYWODOM URAWNENIQ, OPREDELQ@]EGO SINGULQRNU@ FUNKCI@ RASPREDELENIQ { \TO SLIKOM TRUDOEMKAQ ZADA^A, DLQ REENIQ KOTOROJ U NAS NET WREMENI. iTAK, MY RASSMOTRELI TRI TIPA RASPREDELENIJ: DISKRETNYJ, NEPRERYWNYJ I SINGULQRNYJ. uDIWITELXNO TO, ^TO DRUGIH TIPOW NE 57
SU]ESTWUET, O ^EM SWIDETELXSTWUET ZNAMENITAQ
tEOREMA lEBEGA.
l@BAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ PREDSTAWIMA W WIDE SUMMY TREH NEOTRICATELXNYH, NEUBYWA@]IH FUNKCIJ, ODNA IZ KOTORYH ABSOL@TNO NEPRERYWNA I IMEET NEOTRICATELXNU@ PROIZWODNU@ NA MNOVESTWE POLOVITELXNOJ LEBEGOWOJ MERY WTORAQ QWLQETSQ STUPEN^ATOJ I OBLADAET NE BOLEE ^EM S^ETNYM MNOVESTWOM TO^EK RAZRYWA (SKA^KOW) TRETXQ NEPRERYWNA, NO IMEET NE BOLEE ^EM S^ETNOE MNOVESTWO TO^EK ROSTA.
dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY WYHODIT IZ RAMOK NAEGO OB]EGO KURSA TEORII WEROQTNOSTEJ. w NE STOLX OTDALENNYE WREMENA, KOGDA W UNIWERSITETE ZANIMALISX PREPODAWANIEM FUNDAMENTALXNYH NAUK, A NE OBU^ENIEM PRIMITIWNOMU REMESLU, TEOREMA lEBEGA DOKAZYWALASX W OB]EM KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. iZ TEOREMY lEBEGA WYTEKAET, ^TO W ^ISTOM WIDE SU]ESTWUET TOLXKO TRI TIPA RASPREDELENIJ, IZ KOTORYH DWA (NEPRERYWNYJ I DISKRETNYJ) NAM ZNAKOMY, A TRETIJ { SINGULQRNYJ { ZAGADO^EN, I MY POKA NE W SOSTOQNII PREDSTAWITX SEBE, KAKIM OBRAZOM WY^ISLQTX INTEGRAL lEBEGA, Z EX = xdP (x) R
OPREDELQ@]IJ SREDNEE ZNA^ENIE SLU^AJNOJ WELI^INY X S SINGULQRNYM RASPREDELENIEM WEROQTNOSTEJ P (B ) B 2 B: sPEU OBRADOWATX WAS, ^TO MY NE BUDEM RASSMATRIWATX SINGULQRNYE WEROQTNOSTNYE MODELI. tEM NE MENEE SU]ESTWUET WESXMA OB]IJ PODHOD K OPREDELENI@ FUNKCII PLOTNOSTI DLQ L@BOGO, W TOM ^ISLE I SMEANNOGO, TIPOW RASPREDELENIJ, OPIRAQSX NA KOTORYJ MOVNO PREDLOVITX NEKOTORYJ OB]IJ METOD OPREDELENIQ I WY^ISLENIQ HARAKTERISTIK RASPREDELENIJ RAZLI^NYH TIPOW. |TOT PODHOD UKAZYWAET SLEDU@]AQ, NE MENE ZNAMENITAQ, ^EM TEOREMA lEBEGA, tEOREMA rADONA{nIKODIMA. pUSTX NA BORELEWSKOJ PRQMOJ (R B) ZADANY WEROQTNOSTX P I SIGMA-KONE^NAQ MERA PRI^EM P ABSOL@TNO NEPRERYWNA OTNOSITELXNO TO ESTX (B ) = 0 WLE^ET P (B ) = 0: tOGDA DLQ PO^TI WSEH PO MERE TO^EK x 2 R SU]ESTWUET TAKAQ EDINSTWENNAQ FUNKCIQ f (x) ^TO Z P (B ) = B f (x)d(x) 8B 2 B: (1) 58
|TA TEOREMA, DOKAZATELXSTWO KOTOROJ MY TAKVE OPUSKAEM (I NE POTOMU, ^TO WREMENI NET, A PROSTO { ZNANIJ NE HWATAET), POZWOLQET WWESTI ODNO IZ CENTRALXNYH PONQTIJ TEORII WEROQTNOSTEJ, POSTOQNNO ISPOLXZUEMOE PRI POSTROENII WEROQTNOSTNYH MODELEJ. oPREDELENIE 6.1. fUNKCIQ f (x) OPREDELQEMAQ SOOTNOENIEM (1) DLQ PO^TI WSEH PO MERE TO^EK x 2 R NAZYWAETSQ FUNKCIEJ PLOTNOSTI RASPREDELENIQ WEROQTNOSTEJ P PO MERE : |TA FUNKCIQ NAZYWAETSQ TAKVE PROIZWODNOJ rADONA{nIKODIMA MERY P PO MERE I IMEET MESTO SIMWOLI^ESKAQ ZAPISX f (x) = dP=d: w RAMKAH \TOGO OPREDELENIQ, WWEDENNAQ WYE FUNKCIQ PLOTNOSTI NEPRERYWNOGO RASPREDELENIQ ESTX PROIZWODNAQ rADONA{nIKODIMA WEROQTNOSTI P PO MERE lEBEGA d = dx NA BORELEWSKOJ PRQMOJ. tAK KAK WEROQTNOSTX P W SOOTWETSTWII S TEOREMOJ 4.1 OPREDELQLASX S POMO]X@ FUNKCII RASPREDELENIQ F (x) TO MY ISPOLXZOWALI TOT WARIANT PROIZWODNOJ rADONA{nIKODIMA, KOTORYJ SOWPADAET S OBY^NOJ PROIZWODNOJ FUNKCII F (x) DOOPREDELQQ \TU FUNKCI@ W TO^KAH, GDE PROIZWODNAQ NE SU]ESTWUET TAKIM OBRAZOM, ^TOBY NE WOZNIKALI DOPOLNITELXNYE RAZRYWY. ~TO VE KASAETSQ DISKRETNOGO SLU^AQ, TO ZDESX MY ISPOLXZOWALI PROIZWODNU@ rADONA{nIKODIMA PO S^ITA@]EJ MERE : DLQ L@BOGO B 2 B MERA (B ) RAWNA KOLI^ESTWU TO^EK S CELO^ISLENNYMI KOORDINATAMI, KOTORYE PRINADLEVAT B: nAPRIMER, BORELEWSKOE MNOVESTWO B = ;2:5 5] SODERVIT WOSEMX TO^EK S CELO^ISLENNYMI KOORDINATAMI ;2 ;1 0 : : : 5, I PO\TOMU (B ) = 8: w \DROBNYH" TO^KAH x 2 R MY POLAGALI f (x) = 0 HOTQ MOGLI BY WYBIRATX L@BYE DRUGIE ZNA^ENIQ PRI WY^ISLENII WEROQTNOSTEJ PO FORMULE (1). dELO W TOM, ^TO PRI INTEGRIROWANII PO DISKRETNOJ S^ITA@]EJ MERE INTEGRAL lEBEGA OT L@BOJ FUNKCII PREWRA]AETSQ W SUMMU ZNA^ENIJ \TOJ FUNKCII W CELO^ISLENNYH TO^KAH, I (1) PRINIMAET IZWESTNYJ NAM IZ \LEMENTARNOJ TEORII WEROQTNOSTEJ WID X X P (B ) = P (X = x) = f (x): x2B
x2B
tEPERX MY OBLADAEM OB]IM PODHODOM K OPREDELENI@ HARAKTERISTIK RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X: zNA^ITELXNAQ ^ASTX IZ NIH OPREDELQETSQ ^EREZ INTEGRAL lEBEGA PO MERE (WEROQTNOSTI) P OT SPECIALXNO PODOBRANNYH FUNKCIJ. 59
oPREDELENIE 6.2. pUSTX X { SLU^AJNAQ WELI^INA S RASPREDE-
LENIEM P I f (x) { FUNKCIQ PLOTNOSTI P PO SIGMA-KONE^NOJ MERE : mATEMATI^ESKIM OVIDANIEM L@BOGO IZMERIMOGO OTOBRAVENIQ g(X ) BORELEWSKOJ PRQMOJ W SEBQ (IZMERIMOJ FUNKCII OT SLU^AJNOJ WELI^INY X ) NAZYWAETSQ INTEGRAL lEBEGA Z Z Eg(X ) = R g(x)dP (x) = R g(x)f (x)d(x): w ^ASTNOSTI, MATEMATI^ESKOE OVIDANIE SLU^AJNOJ WELI^INY X WY^ISLQETSQ PO FORMULE Z Z EX = R xdP (x) = R xf (x)d(x): z A M E ^ A N I E. w OTE^ESTWENNOJ LITERATURE PO TEORII WEROQTNOSTEJ (NAPRIMER, W U^EBNIKE a.a.bOROWKOWA \tEORIQ WEROQTNOSTEJ") MATEMATI^ESKOE OVIDANIE OBOZNA^AETSQ LATINSKOJ BUKWOJ M A NE E:
mOMENTNYE HARAKTERISTIKI RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY. mATEMATI^ESKOE OVIDANIE FUNKCII g(X ) = (X ; a) OT k
SLU^AJNOJ WELI^INY X GDE k PRINIMAET TOLXKO CELO^ISLENNYE ZNA^ENIQ 1 2 : : : NAZYWAETSQ MOMENTOM k-GO PORQDKA SLU^AJNOJ WELI^INY X OTNOSITELXNO TO^KI a. eSLI a = 0 TO k = EX k NAZYWAETSQ PROSTO MOMENTOM k-GO PORQDKA SLU^AJNOJ WELI^INY X A ESLI a = EX (= 1) TO MOMENT k = E(X ; EX)k NAZYWAETSQ CENTRALXNYM MOMENTOM k-GO PORQDKA. iNOGDA, WO IZBEVANIE NEDORAZUMENIJ, MOMENTY k NAZYWA@TSQ NECENTRALXNYMI MOMENTAMI. pERWYJ NECENTRALXNYJ MOMENT 1 = EX NAZYWAETSQ SREDNIM ZNA^ENIEM ILI MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM SLU^AJNOJ WELI^INY X I OBOZNA^AETSQ OBY^NO BUKWOJ : wTOROJ CENTRALXNYJ MOMENT 2 = E(X ; )2 NAZYWAETSQ DISPERSIEJ SLU^AJNOJ WELI^INY X I OBOZNA^AETSQ ILI BUKWOJ 2 ILI WWODITSQ OPERATOR DX: nAPOMNIM, ^TO KWADRATNYJ KORENX p IZ DISPERSII: = DX MY DOGOWORILISX NAZYWATX STANDARTNYM OTKLONENIEM X: pOSKOLXKU IMEET TU VE RAZMERNOSTX, ^TO I NABL@DAEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA X TO W PRAKTI^ESKIH PRILOVENIQH W KA^ESTWE MERY \RAZBROSA" WEROQTNOSTEJ ISPOLXZUETSQ OBY^NO STANDARTNOE OTKLONENIE A NE DISPERSIQ 2: dLQ SREDNEGO I DISPERSII X SPRAWEDLIWO 60
pREDLOVENIE 6.1.
sREDNEE ZNA^ENIE EX I DISPERSIQ DX OBLADA@T SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
10: E(aX + b) = aEX + b DLQ L@BYH POSTOQNNYH a b 2 R 20: D(aX + b) = a2DX DLQ L@BYH POSTOQNNYH a b 2 R TO ESTX
DISPERSIQ INWARIANTNA OTNOSITELXNO SDWIGOW SLU^AJNOJ WELI^INY X NA POSTOQNNU@ WELI^INU 30: DX = EX 2 ; (EX )2 = 2 ; 2 40: ainf E(X ; a)2 = DX TO ESTX arg inf E(X ; a)2 = EX: 2R a2R d O K A Z A T E L X S T W O. 10: dANNOE UTWERVDENIE ESTX PROSTAQ KONSTATACIQ SWOJSTWA LINEJNOSTI INTEGRALA lEBEGA. 20: D(aX + b) = E(aX + b ; a ; b)2 = a2E(X ; )2 = a2DX: 2 0 2 2 3 : DX = E(X ; EX ) = E X ; 2X EX + (EX ) = EX 2 ; 2EX EX + (EX)2 = EX 2 ; (EX )2 : 2 0 2 = 4 : E(X2 ; a) = E ((X ; ) ; (a ; )) 2 E (X ; ) ; 2(a ; )(X ; ) + (a ; ) = E(X ; )2 ; 2(a ; )E(X ; ) + (a ; )2 = DX + (a ; )2 DX PRI^EM RAWENSTWO DOSTIGAETSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA a = = EX: s MOMENTAMI SLU^AJNOJ WELI^INY X SWQZANY DWE ZAME^ATELXNYE HARAKTERISTIKI FORMY RASPREDELENIQ X : KO\FFICIENT ASIMMETRII 1 = 3=3 I KO\FFICIENT \KSCESSA 2 = 4=4 ; 3:
lEGKO ZAMETITX PO ANALOGII S DOKAZATELXSTWOM PUNKTA 20 PREDYDU]EGO PREDLOVENIQ, ^TO 1 I 2 INWARIANTNY OTNOSITELXNO LINEJNYH PREOBRAZOWANIJ SLU^AJNYH WELI^IN, TO ESTX X I aX + b IME@T ODINAKOWYE KO\FFICIENTY ASIMMETRII I \KSCESSA PRI L@BYH POSTOQNNYH a I b: kAK I WYE, MY BUDEM NAZYWATX MODOJ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X L@BU@ TO^KU mod(X ) DOSTIVENIQ LOKALXNOGO MAKSIMUMA U FUNKCII PLOTNOSTI f (x): eSLI MODA EDINSTWENNA, TO GOWORQT, 61
^TO RASPREDELENIE X UNIMODALXNO. kOGDA GRAFIK UNIMODALXNOJ KRIWOJ PLOTNOSTI IMEET \DLINNYJ HWOST" SPRAWA OT MODY (SM. RISUNOK NA \TOJ STRANICE), TO W WYRAVENII 3 KUBY POLOVITELXNYH OTKLONENIJ PEREWESQT OTRICATELXNYE KUBY, I KO\FFICIENT ASIMMETRII 1 BUDET POLOVITELEN. eSLI VE MODA \SWALENA" WPRAWO (DLINNYJ HWOST SLEWA OT MODY), TO 1 < 0: rASPREDELENIQ S SIMMETRI^NOJ FUNKCIEJ PLOTNOSTI, KAK, NAPRIMER, BINOMIALXNOE S p = 1=2 ILI RAWNOMERNOE U(a,b), OBLADA@T NULEWOJ ASIMMETRIEJ: 1 = 0: ~TO VE KASAETSQ KO\FFICIENTA \KSCESSA 2, TO EGO PODLINNYJ SMYSL MY POJMEM POSLE ZNAKOMSTWA W SLEDU@]EM PARAGRAFE S NORMALXNYM RASPREDELENIEM NA BORELEWSKOJ PRQMOJ, A POKA TOLXKO OTMETIM, ^TO POLOVITELXNYJ \KSCESS GOWORIT OB IZLINEJ \PIKOOBRAZNOSTI" { WYTQNUTOSTI WWERH KRIWOJ PLOTNOSTI, W TO WREMQ KAK OTRICATELXNOE ZNA^ENIE 2 UKAZYWAET NA BOLEE PLOSKIJ HARAKTER WERINY KRIWOJ PLOTNOSTI. lEKCIQ 10
pREVDE ^EM PEREJTI K PRIMERAM PO WY^ISLENI@ MOMENTNYH HARAKTERISTIK SLU^AJNYH WELI^IN, SLEDUET OBRATITX WNIMANIE NA TO, ^TO W RASSMOTRENNYH NAMI WEROQTNOSTNYH MODELQH SU]ESTWU@T DOWOLXNO KRUPNYE \LEMENTY, IME@]IE NULEWU@ WEROQTNOSTX, NAPRIMER, WO WSEH MODELQH P (X 2 (;1 0)) = 0: w SWQZI S \TIM WWODITSQ PONQTIE NOSITELQ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY, KAK ZAMYKANIQ MNOVESTWA fx 2 R : f (x) > 0g: tAKOE OPREDELENIE NOSITELQ NE QWLQETSQ DOSTATO^NO OB]IM I SWQZANO S MEROJ PO KOTOROJ WY^ISLQ62
ETSQ PLOTNOSTX f (x) NO POSKOLXKU MY DOGOWORILISX RASSMATRIWATX TOLXKO DISKRETNYE I NEPRERYWNYE RASPREDELENIQ ( { S^ITA@]AQ MERA ILI MERA lEBEGA), TO TAKOE OPREDELENIE WPOLNE RABOTOSPOSOBNO I POZWOLQET LEGKO NAJTI NOSITELX L@BOGO IZ ESTI IZWESTNYH NAM RASPREDELENIJ. nOSITELX RASPREDELENIQ BUDET OBOZNA^ATXSQ RUKOPISNOJ BUKWOJ X: nETRUDNO PONQTX, ^TO PRI WY^ISLENII MOMENTNYH I PRO^IH INTEGRALXNYH HARAKTERISTIK RASPREDELENIQ IZ OBLASTI INTEGRIROWANIQ MOVNO UBRATX WSE TO^KI, NE PRINADLEVA]IE X I PRI \TOM WELI^INA HARAKTERISTIKI OSTANETSQ NEIZMENNOJ. p R I M E R 6.1 (BINOMIALXNOE RASPREDELENIE B(n p)): nOSITELX \TOGO RASPREDELENIQ X = f0 1 : : : ng: dLQ WY^ISLENIQ PERWYH DWUH MOMENTOW BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ WOSPOLXZUEMSQ METODOM \DIFFERENCIROWANIQ PO PARAMETRU" I FORMULOJ BINOMA nX@TONA: n X Cnk ak bn;k = (a + b)n: k=0
pO OPREDELENI@ SREDNEGO ZNA^ENIQ = EX = "
n X k=0
2 kCnk pk (1 ; p)n;k = p 4
3
d Xn C k xk (1 ; p)n;k 5 = dx k=0 n x=p
# d n p dx (x + 1 ; p) = pn(x + 1 ; p)n;1 jx=p = np: x=p wTOROJ MOMENT 3 2 n n X X d d
2 = EX 2 = k2Cnk pk (1 ; p)n;k = p 4 dx x dx Cnk xk (1 ; p)n;k 5 = k=0 k=0 x=p " # " # d x d (x + 1 ; p)n = p d xn(x + 1 ; p)n;1 = p dx dx dx i x=p x=p h n;1 n;2 np (x + 1 ; p) + x(n ; 1)(x + 1 ; p) x=p = np(1 ; p) + (np)2 OTKUDA DISPERSIQ BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ 2 = EX 2 ; (EX )2 = np(1 ; p): s POMO]X@ ANALOGI^NYH, NO BOLEE UTOMITELXNYH WYKLADOK MOVNO NAJTI TRETIJ I ^ETWERTYJ MOMENTY, A TAKVE KO\FFICIENTY ASIMMETRII I \KSCESSA 1 = q 1 ; 2p 2 = 1 ;np6(1p(1;;p)p) : np(1 ; p) 63
sLEDOWATELXNO, BINOMIALXNOE RASPREDELENIE \SWALENO" WLEWO (DLINNYJ HWOST SPRAWA) PRI p < 1=2 SIMMETRI^NO, KAK NAM BYLO IZWESTNO RANEE, PRI p = 1=2 I \SWALENO" WPRAWO PRI p > 1=2: kO\FFICIENT \KSCESSA POLOVITELEN W OBLASTI p(1 ; p) < 1=6 A NAIBOLXEE PO ABSOL@TNOJ WELI^INE OTRICATELXNOE ZNA^ENIE 2 = ;2=n KOGDA p = 1=2: mODA B(n p) OPREDELQETSQ KAK CELO^ISLENNOE x PRI KOTOROM PROISHODIT SMENA NERAWENSTWA f (x j n p) < f (x + 1 j n p) NA OBRATNOE. nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO \TO NERAWENSTWO \KWIWALENTNO x +1 < p(n +1) TAK ^TO mod(X ) OPREDELQETSQ ^EREZ SRAWNENIE ZNA^ENIJ f (x j n p) PRI CELYH x 0 BLIVAJIH K p(n + 1): p R I M E R 6.2 (RASPREDELENIE pUASSONA P()). nOSITELX RASPREDELENIQ X = f0 1 : : : 1g { TO^KA x = 1 DOLVNA BYTX WKL@^ENA W NOSITELX PO TREBOWANI@ ZAMYKANIQ MNOVESTWA WEROQTNOSTI EDINICA. mOMENTNYE HARAKTERISTIKI PUASSONOWSKOGO RASPREDELENIQ MOVNO RASS^ITATX, ISPOLXZUQ TOT VE METOD DIFFERENCIROWANIQ PO PARAMETRU, NO PRO]E, WSPOMNIW, ^TO P() ESTX PREDEL B(n,p) PRI n ! 1 p ! 0 I np = PEREJTI K \TOMU PREDELU W MOMENTNYH HARAKTERISTIKAH BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ. w REZULXTATE POLU^AEM EX = DX = 1 = ;1=2 2 = ;1 A mod(X ) = ] POSKOLXKU ASIMMETRIQ P() WSEGDA POLOVITELXNA I GRAFIK f (x j ) \SWALEN" WLEWO. sLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA TO, ^TO U RASPREDELENIQ pUASSONA DISPERSIQ SOWPADAET SO SREDNIM ZNA^ENIEM: = 2 = : p R I M E R 6.3 (RAWNOMERNOE RASPREDELENIE U(a b)): nOSITELX RASPREDELENIQ X = a b ]: mODOJ RASPREDELENIQ QWLQETSQ L@BAQ TO^KA INTERWALA (a b) POSKOLXKU PLOTNOSTX f (x) = (b ; a);1 POSTOQNNA NA \TOM INTERWALE. nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO ESLI SLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET RASPREDELENIE U(0 1) TO Y = (b ; a)X + a b > a RASPREDELENA KAK U(a b): |TO PROISTEKAET IZ-ZA SLEDU@]EGO SOOTNOENIQ MEVDU FUNKCIQMI RASPREDELENIQ SLU^AJNYH WELI^IN: P (Y < x) = P ((b ; a)X + a < x) = P (X < (x ; a)=(b ; a)) = (x ; a)=(b ; a): w SILU \TOGO DLQ WY^ISLENIQ MOMENTNYH HARAKTERISTIK U(a b) DOSTATO^NO NAJTI SOOTWETSTWU@]IE HARAKTERISTIKI U(0, 1) I ZATEM WOSPOLXZOWATXSQ PREDLOVENIEM 6.1. 64
dLQ RASPREDELENIQ U(0, 1) IMEEM Z1
Z1
0
0
= EX = xdx = 1=2 2 = x2dx = 1=3
OTKUDA DISPERSIQ 2 = 1=3;1=4 = 1=12: sLEDOWATELXNO, DLQ RASPREDELENIQ U(a b) (SM. PREDLOVENIE 6.1) = a +(b ; a)=2 2 = (b ; a)2=12: sIMMETRI^NOE RAWNOMERNOE RASPREDELENIE U(a b) IMEET NULEWOJ KO\FFICIENT ASIMMETRII, W TO WREMQ KAK KO\FFICIENT \KSCESSA 2 OTRICATELEN (NE BUDEM ZANIMATXSQ EGO WY^ISLENIEM). p R I M E R 6.4 (POKAZATELXNOE RASPREDELENIE E()). nOSITELX RASPREDELENIQ X = 0 1 ] { RASIRENNAQ POLOVITELXNAQ ^ASTX PRQMOJ R: nAIBOLXEE ZNA^ENIE PLOTNOSTI f (x) = ;1 expf;x=g DOSTIGAETSQ W TO^KE x = 0 PO\TOMU mod(X )=0. mOMENTY POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ Z1 Z1 ; 1 k k
k = x expf;x=gdx = xk e;xdx = ;(k + 1)k = k!k 0
0
OTKUDA = 2 = 2 I STANDARTNOE OTKLONENIE = SOWPADAET SO SREDNIM ZNA^ENIEM. eSTESTWENNO, MOMENTNYE HARAKTERISTIKI DALEKO NE UNIWERSALXNY, I MOVNO PRIWESTI PRIMERY RASPREDELENIJ, U KOTORYH SU]ESTWUET OGRANI^ENNOE KOLI^ESTWO MOMENTOW, ILI NE SU]ESTWUET DAVE SREDNEGO ZNA^ENIQ. mY PRIWEDEM DWA IZ TAKIH RASPREDELENIJ, ODNO IZ KOTORYH MOVET PREDSTAWLQTX NEKOTORYJ PRAKTI^ESKIJ INTERES, A DRUGOE BUDET ISPOLXZOWATXSQ DLQ ILL@STRACIJ RAZLI^NYH PATALOGIJ W TEORII STATISTI^ESKOGO WYWODA OBA RASPREDELENIQ ZANOSQTSQ W KATALOG WEROQTNOSTNYH MODELEJ. rASPREDELENIE pARETO Par(a ): nALOGOWYE ORGANY OBY^NO INTERESU@TSQ RASPREDELENIEM GODOWYH DOHODOW TEH LIC, GODOWOJ DOHOD KOTORYH PREWOSHODIT NEKOTORYJ PREDEL a USTANOWLENNYJ ZAKONAMI O NALOGOOBLOVENII. tAKOGO RODA RASPREDELENIQ INOGDA S^ITA@T (K SOVALENI@, BEZ OSOBOGO \\KONOMI^ESKOGO" OBOSNOWANIQ) PRIBLIVENNO SOWPADA@]IMI S RASPREDELENIEM pARETO, WSQ WEROQTNOSTNAQ MASSA KOTOROGO SOSREDOTO^ENA W OBLASTI x > a (NOSITELX RASPREDELENIQ X = a 1 ]), I FUNKCIQ RASPREDELENIQ NA SEGMENTE X RAWNA ! F (x) = 1 ; xa x > a > 0: 65
|TO RASPREDELENIE, ZAWISQ]EE OT DWUMERNOGO PARAMETRA = (a ) S PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM = R+ R+ PRINADLEVIT NEPRERYWNOMU TIPU EGO FUNKCIQ PLOTNOSTI W OBLASTI x > a RAWNA !+1
f (x j ) = a xa : mOMENT k-GO PORQDKA U RASPREDELENIQ pARETO SU]ESTWUET TOLXKO PRI ZNA^ENIQH PARAMETRA > k NAPRIMER, NERAWENSTWO > 1 GARANTIRUET SU]ESTWOWANIE SREDNEGO ZNA^ENIQ, KOTOROE, KAK NETRUDNO PODS^ITATX, RAWNO a=( ; 1): eSLI SLU^AJNAQ WELI^INA X RASPREDELENA PO ZAKONU pARETO, TO, KAK LEGKO WIDETX, ln X IMEET POKAZATELXNOE RASPREDELENIE, \SDWINUTOE WPRAWO" NA WELI^INU ln a TAK KAK P (ln X < x) = P (X < ex) = F (ex): |TO ZAME^ANIE OB_QSNQET, PO^EMU RASPREDELENIE pARETO ADEKWATNO OPISYWAET RASPREDELENIE NABL@DAEMYH DOHODOW U LIC S WYSOKIM UROWNEM DOHODA. wSPOMNIM POSTULAT \OTSUTSTWIQ POSLEDEJSTWIQ", PRIWODQ]IJ K POKAZATELXNOMU RASPREDELENI@ DOLGOWE^NOSTI: WEROQTNOSTX TOGO, ^TO IZDELIE PROSLUVIT PROMEVUTOK WREMENI, NE MENXIJ s PRI USLOWII, ^TO ONO UVE OTRABOTALO SROK t NE ZAWISIT OT WELI^INY t: w OSNOWU MODELI pARETO POLOVEN TOT VE PRINCIP, TOLXKO W MULXTIPLIKATIWNOJ, A NE W ADDITIWNOJ, FORMULIROWKE: WEROQTNOSTX TOGO, ^TO DOHOD OTDELXNOGO LICA UWELI^ITSQ NE MENXE, ^EM W s RAZ, PRI USLOWII, ^TO ON UVE DOSTIG UROWNQ t NE ZAWISIT OT WELI^INY DOSTIGNUTOGO UROWNQ. |TO PROISHODIT, PO{WIDIMOMU, OT TOGO, ^TO OBLADA@]IJ BOLXIMI DOHODAMI STREMITSQ SOHRANITX DOSTIGNUTOE POLOVENIE I REDKO STREMITSQ WKLADYWATX BOLXIE KAPITALY W NOWYE OTRASLI S CELX@ NARA]IWANIQ DENEVNOJ MASSY. w TAKOM SLU^AE IZMEN^IWOSTX DOHODA ZA NABL@DAEMYE PERIODY WREMENI NOSIT SLU^AJNYJ HARAKTER I NE SWQZANA S WELI^INOJ KAPITALA, KOTORYM RASPOLAGA@T OTDELXNYE SUB_EKTY. w TO VE WREMQ U \PREDPRINIMATELEJ" RASPREDELENIE DOHODOW OTLI^NO OT ZAKONA pARETO. |TO TAK NAZYWAEMOE LOGARIFMI^ESKI NORMALXNOE RASPREDELENIE, S KOTORYM MY POZNAKOMIMSQ NESKOLXKO POZVE, OSWOIW NOWYE MATEMATI^ESKIE METODY POSTROENIQ WEROQTNOSTNYH MODELEJ. rASPREDELENIE kOI C(a b): oRUDIE S WRA]A@]IMSQ LAFETOM POME]AETSQ NA EDINI^NOM RASSTOQNII OT STENY, BESKONE^NO UHODQ]EJ W OBE STORONY. 66
pREDSTAWIM, ^TO STENA QWLQETSQ DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ R S NA^ALOM KOORDINAT W OSNOWANII PERPENDIKULQRA, OPU]ENNOGO IZ ORUDIQ NA STENU. sTWOL ORUDIQ RAZME]AETSQ PARALLELXNO STENE S NAPRAWLENIEM WYSTRELA W STORONU OTRICATELXNOJ POLUOSI, LAFET ORUDIQ NA^INAET RAWNOMERNO WRA]ATXSQ PO HODU ^ASOWOJ STRELKI, I PREVDE, ^EM STWOL ZAJMET PERWOE POLOVENIE PARALLELXNOE STENE, W SLU^AJNYJ MOMENT WREMENI PROISHODIT WYSTREL. |KSPERIMENTATORA INTERESUET RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY X REALIZACIQ x KOTOROJ SOWPADAET S KOORDINATOJ TO^KI POPADANIQ SNARQDA. pUSTX ' { SLU^AJNAQ WELI^INA, SOOTWETSTWU@]AQ WELI^INE UGLA, MEVDU PERPENDIKULQROM K STENE I POLOVENIEM STWOLA W MOMENT WYSTRELA. nAM BUDET UDOBNEE IZMERQTX ' W PREDELAH ; =2 =2 ] I TRAKTOWATX PREDPOLOVENIE O SLU^AJNOM MOMENTE WYSTRELA W TERMINAH RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ ' NA \TOM SEGMENTE. sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ RASPREDELENIQ ' PRI ; =2 x =2 RAWNA F (x) = (x + =2) ;1: o^EWIDNO, KOORDINATA TO^KI POPADANIQ (SM. RISUNOK) X = tg ' OTKUDA ISKOMAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) = P (X < x) = P (tg ' < x) = P (' < arctg x) = 1 arctg x + ! x 2 R
2 A FUNKCIQ PLOTNOSTI f (x) = 1 1 +1 x2 : sDWIG WPRAWO NA PARAMETR a I WYBOR MASTABNOGO PARAMETRA b OPREDELQET TO RASPREDELENIE, KOTOROMU MY PRISWOIM IMQ kOI I BUDEM OBOZNA^ATX C(a b) EGO FUNKCIQ PLOTNOSTI 2 !23;1 x ; a 1 f (x j a b) = b 41 + b 5 67
NOSITELEM RASPREDELENIQ QWLQETSQ RASIRENNAQ ^ISLOWAQ PRQMAQ X = R = ;1 +1 ]: lEGKO WIDETX, ^TO RASPREDELENIE kOI NE OBLADAET DAVE KONE^NYM SREDNIM ZNA^ENIEM, NE GOWORQ O MOMENTAH BOLEE WYSOKOGO PORQDKA. oDNAKO \TO RASPREDELENIE SIMMETRI^NO I IMEET QRKO WYRAVENNU@ MODU, mod(X )=a KOTORAQ S USPEHOM ZAMENQET SREDNEE ZNA^ENIE, KAK HARAKTERISTIKU POLOVENIQ CENTRA MASS. w SWQZI S \TIM POLEZNO SDELATX ZAME^ANIE O SREDNEM ZNA^ENII KAK HARAKTERISTIKE POLOVENIQ: ONO DEJSTWITELXNO IGRAET SWO@ ROLX TOLXKO W SLU^AE SIMMETRI^NYH RASPREDELENIJ, NO PRI BOLXIH ABSOL@TNYH ZNA^ENIQH 1 SREDNEE PERESTAET BYTX POLEZNOJ HARAKTERISTIKOJ RASPREDELENIQ, W TO WREMQ KAK MODA \WSEGDA HOROA". kAKIE VE HARAKTERISTIKI ISPOLXZU@TSQ PRI OPISANII RASPREDELENIJ, U KOTORYH OTSUTSTWU@T MOMENTY? oPREDELENIE 6.3 pUSTX FUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x) SLU^AJNOJ WELI^INY X STROGO WOZRASTAET W OBLASTI WSEH ZNA^ENIJ SWOEGO ARGUMENTA, DLQ KOTORYH 0 < F (x) < 1: tOGDA DLQ L@BOGO p 2 (0 1) KORENX xp = F ;1(p) URAWNENIQ F (x) = p NAZYWAETSQ p-KWANTILX@ RASPREDELENIQ X: w TOM SLU^AE, KOGDA F (x) NEPRERYWNA, NO NE STROGO MONOTONNA, TAK ^TO URAWNENIE F (x) = p IMEET MNOGO REENIJ, W KA^ESTWE p-KWANTILI OBY^NO BERETSQ NAIBOLXIJ ILI NAIMENXIJ IZ KORNEJ \TOGO URAWNENIQ, I WYBOR KORNQ OPREDELQETSQ SU]ESTWOM RASSMATRIWAEMOJ WEROQTNOSTNOJ PROBLEMY. w SLU^AE VE DISKRETNOGO RASPREDELENIQ \TO URAWNENIE MOVET WOOB]E NE IMETX REENIJ, I TOGDA W KA^ESTWE p-KWANTILI WYBIRAETSQ TO ZNA^ENIE x DLQ KOTOROGO ZNA^ENIE F (x) BLIVE WSEGO K ZADANNOMU p: kWANTILX S^ITAETSQ HARAKTERISTIKOJ POLOVENIQ, I S \TOJ TO^KI ZRENIQ OSOBOGO WNIMANIQ ZASLUVIWAET KWANTILX x0:5 KOTORAQ RAZDELQET WS@ WEROQTNOSTNU@ MASSU NA DWE ODINAKOWYE POLOWINKI. |TA KWANTILX NOSIT NAZWANIE MEDIANY RASPREDELENIQ I OBY^NO OBOZNA^AETSQ BUKWOJ m: u SIMMETRI^NYH RASPREDELENIJ (BINOMIALXNOE S WEROQTNOSTX@ USPENOGO ISPYTANIQ p = 1=2 RAWNOMERNOE I kOI) MEDIANA SOWPADAET S CENTROM SIMMETRII RASPREDELENIQ, A PRI NALI^II SREDNEGO ZNA^ENIQ U SIMMETRI^NOGO RASPREDELENIQ MEDIANA m = EX: eSLI p KRATNO 0.1, TO KWANTILX NAZYWAETSQ DECILX@, A ESLI p = 1=4 68
ILI 3=4 TO { KWARTILX@. s KWANTILQMI SWQZANY TAKVE NESKOLXKO HARAKTERISTIK RASSEQNIQ RASPREDELENIQ WEROQTNOSTEJ. o^EWIDNO, INTERWAL (x1;p xp) PRI DOSTATO^NO BLIZKIH K EDINICE ZNA^ENIQH p NAKRYWAET OSNOWNU@ ^ASTX WEROQTNOSTNOJ MASSY, I PO\TOMU RAZNOSTX xp ; x1;p p > 1=2 SLUVIT HARAKTERISTIKOJ TOLERANTNOSTI RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X: eSLI p = 3=4 TO RAZNOSTX x3=4 ; x1=4 NAZYWAETSQ SEMIINTERKWARTILXNOJ IROTOJ RASPREDELENIQ X: lEKCIQ 11
mY ZAWERIM \TOT PARAGRAF DOKAZATELXSTWOM ODNOGO ZAME^ATELXNOGO NERAWENSTWA, IGRA@]EGO ISKL@^ITELXNU@ ROLX PRI DOKAZATELXSTWE MNOGIH TEOREM (ILI, KAK ^ASTO GOWORQT, \ZAKONOW") TEORII WEROQTNOSTEJ. |TO NERAWENSTWO ILI, W BOLXEJ STEPENI, SLEDSTWIE IZ NEGO SWQZYWAET KWANTILXNYE I MOMENTNYE HARAKTERISTIKI RASSEQNIQ RASPREDELENIQ. pREDLOVENIE 6.2 (N E R A W E N S T W O ~ E B Y E W A). dLQ L@BOJ NEOTRICATELXNOJ IZMERIMOJ FUNKCII g (x) I L@BOGO " > 0 IMEET MESTO NERAWENSTWO P ( g(X ) > " ) E g"(X ) : d O K A Z A T E L X S T W O. eSLI E g(X ) = +1 TO NERAWENSTWO TRIWIALXNO. w SLU^AE KONE^NOGO MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ Z Z Z E g(X ) = R g(x)dP (x) = g(x)" dP (x) = "P (g(X ) > ") IZ KOTOROJ NEMEDLENNO SLEDUET NERAWENSTWO ~EBYEWA. sLEDSTWIE 6.1. dLQ L@BOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X S KONE^NYM SREDNIM ZNA^ENIEM EX I L@BOGO " > 0 IMEET MESTO NERAWENSTWO : (2) P (jX ; EX j > ") D"X 2 69
d O K A Z A T E L X S T W O. eSLI DISPERSIQ X NE SU]ESTWUET (RAWNA BESKONE^NOSTI), TO UTWERVDENIE SLEDSTWIQ TRIWIALXNO. w SLU^AE DX < 1 DOSTATO^NO ZAMENITX SOBYTIE jX ; EX j > " NA \KWIWALENTNOE jX ; EX j2 > "2 I PRIMENITX NERAWENSTWO ~EBYEWA. dOKAZANNOE NERAWENSTWO ^ASTO ISPOLXZUETSQ NA PRAKTIKE DLQ UNIWERSALXNOJ HARAKTERISTIKI TOLERANTNOSTI RASPREDELENIJ, OBLADA@]IH KONE^NYM SREDNIM I KONE^NOJ DISPERSIEJ 2: iMEETSQ W WIDU RASPROSTRANENNOE pRAWILO TREH SIGM. iNTERWAL S KONCAMI 3 SODERVIT PRIBLIZITELXNO 90% WEROQTNOSTNOJ MASSY RASPREDELENIQ X: dEJSTWITELXNO, ESLI W NERAWENSTWE (2) POLOVITX " = 3 TO POLU^IM: P ( ; 3 X + 3) = 1 ; P (jX ; j > 3) 8=9 0:9: tAK KAK PRAWILO 3 NOSIT UNIWERSALXNYJ HARAKTER, TO ONO DAET W BOLXINSTWE SLU^AEW SLIKOM GRUBU@ OCENKU TOLERANTNOSTI RASPREDELENIQ. nAPRIMER, MOVNO DOKAZATX, ^TO DLQ SIMMETRI^NYH RASPREDELENIJ S KONE^NYM TRETXIM MOMENTOM 3 SPRAWEDLIWO PRAWILO 2: INTERWAL S KONCAMI 2 SODERVIT 90% WEROQTNOSTNOJ MASSY RASPREDELENIQ. w DALXNEJEM, ^TOBY NE PISATX DLINNYE NAZWANIQ RASSMOTRENNYH NAMI RASPREDELENIJ, MY BUDEM UKAZYWATX RASPREDELENIE X POSREDSTWOM SSYLKI NA SIMWOL \TOGO RASPREDELENIQ, ISPOLXZUQ PRI \TOM ZNAK \KWIWALENTNOSTI, NAPRIMER, X B(n p) OZNA^AET, ^TO X IMEET BINOMIALXNOE RASPREDELENIE.
70
x7. pREDELXNYE TEOREMY W SHEME ISPYTANIJ bERNULLI. nORMALXNOE RASPREDELENIE
pRI WYWODE RASPREDELENIQ pUASSONA MY ISSLEDOWALI ASIMPTOTIKU BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ, KOGDA n ! 1 p ! 0 np = (const): sU]ESTWUET, ODNAKO, IROKIJ KLASS PRAKTI^ESKIH ZADA^, W KOTORYH POSTROENIE WEROQTNOSTNYH MODELEJ TREBUET ASIMPTOTI^ESKOGO ANALIZA BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ PRI FIKSIROWANNOM p 2 (0 1) I n ! 1: p R I M E R 7.1 (OPREDELENIE WIDIMOJ ZWEZDNOJ WELI^INY). nABL@DENIQ ZA IZMENENIEM BLESKA NEBESNYH SWETIL, W ^ASTNOSTI ZWEZD, QWLQETSQ ODNOJ IZ WAVNEJIH ZADA^ PRAKTI^ESKOJ ASTRONOMII. tOLXKO S POMO]X@ ANALIZA TAKIH NABL@DENIJ MOVNO OBNARUVITX PEREMENNYE ZWEZDY, POSTAWLQ@]IE INFORMACI@ O RASSTOQNIQH DO OTDALENNYH SWETIL (CEFEIDY), A TAKVE OB IH MASSAH, RAZMERAH I PR. (ZATMENNYE PEREMENNYE I SPEKTRALXNO-DWOJNYE ZWEZDY). wELI^INA BLESKA ZWEZDY OPREDELQETSQ WIDIMOJ ZWEZDNOJ WELI^INOJ { HARAKTERISTIKOJ SWETIMOSTI, PROPORCIONALXNOJ KOLI^ESTWU KWANTOW SWETA, ISHODQ]IH OT ZWEZDY I DOSTIGIH PRIBORA (\LEKTRI^ESKOGO FOTOMETRA, FOTOGRAFI^ESKOJ PLASTINKI I T.P.), KOTORYJ REGISTRIRUET POTOK LU^EWOJ \NERGII. s TO^KI ZRENIQ PROBLEMY POSTROENIQ WEROQTNOSTNOJ MODELI IZMEN^IWOSTI W POWTORNYH NABL@DENIQH BLESKA, MY IMEEM TU VE KARTINU, ^TO I PRI IZMERENIQH INTENSIWNOSTI RADIOAKTIWNOGO ISTO^NIKA: KAVDYJ KWANT SWETA S OPREDELENNOJ WEROQTNOSTX@ p DOSTIGAET REGISTRIRU@]EGO PRIBORA, I OB]EE KOLI^ESTWO REGISTRIRUEMYH KWANTOW OPREDELQET REZULXTAT NABL@DENIQ BLESKA ZWEZDY. pRINCIPIALXNOE RAZLI^IE S IZMERENIQMI RADIOAKTIWNOSTI SOSTOIT W DOSTATO^NO BOLXOM ZNA^ENII WEROQTNOSTI \USPENOGO ISHODA" p W TO WREMQ KAK OB]EE KOLI^ESTWO "ISPYTANIJ" n (W DANNOM SLU^AE { KOLI^ESTWO KWANTOW, NAPRAWLENNYH NA PRIBOR) ^REZWY^AJNO WELIKO. tAKIM OBRAZOM WOZNIKAET PROBLEMA ASIMPTOTI^ESKOGO ANALIZA BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ PRI FIKSIROWANNOM p I n ! 1: p R I M E R 7.2 (OPREDELENIE OB]EGO SODERVANIQ SERY W DIZELXNOM TOPLIWE). oB]EE SODERVANIE SERY SLUVIT ODNOJ IZ WAVNYH HARAKTERISTIK \KOLOGI^ESKOJ ^ISTOTY DIZELXNOGO TOPLIWA. rE^X IDET NE OB "\LEMENTARNOJ SERE" { PROCENTNOM SODERVANII HIMI^ESKOGO \LE71
MENTA S, ^TO S WYSOKOJ STEPENX@ TO^NOSTI OPREDELQETSQ S POMO]X@ SPEKTRALXNOGO ANALIZA WE]ESTWA, A SPOSOBNOSTI \LEMENTA S PRI SGORANII TOPLIWA SOEDINQTXSQ S KISLORODOM, OBRAZUQ SERNYJ GAZ SO2: iMENNO \TOT GAZ ^EREZ WYHLOPNYE TRUBY MAIN POPADAET W SREDU NAEGO OBITANIQ I SOEDINQETSQ S WODOJ, OBRAZUQ SERNU@ KISLOTU H2SO4: nU, A ^TO TAKOE SERNAQ KISLOTA, I ^TO ONA MOVET NATWORITX S NAIMI LEGKIMI, WY ZNAETE IZ KOLXNOGO KURSA HIMII. iTAK, RE^X IDET O HIMI^ESKOJ AKTIWNOSTI SERY, SODERVA]EJSQ W DIZELXNOM TOPLIWE W SWQZANNOM WIDE. aNALIZ \TOJ AKTIWNOSTI PROIZWODITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. bERETSQ OPREDELENNOE KOLI^ESTWO DIZELXNOGO TOPLIWA, SKAVEM 100 GRAMM, I SVIGAETSQ W ZAMKNUTOJ KOLBE. pRODUKTY SGORANIQ ^ASTI^NO WYPADA@T W ZOLU ILI W WIDE DYMA PO TRUB^ATOMU OTWODU POPADA@T W DRUGU@ ZAMKNUTU@ KOLBU, NAPOLNENNU@ WODOJ. sERNYJ GAZ SOEDINQETSQ S WODOJ, OBRAZUQ RASTWOR SERNOJ KISLOTY. tITRUQ \TOT RASTWOR OPREDELENNYM KOLI^ESTWOM ]ELO^I, MY MOVEM OPREDELITX OB]EE KOLI^ESTWO \LEMENTA SERY, KOTOROE IZ DIZELXNOGO TOPLIWA ^EREZ SVIGANIE I POSLEDU@]EE SOEDINENIE S KISLORODOM I WODOJ PERELO W SERNU@ KISLOTU. rAZDELIW \TO KOLI^ESTWO SERY NA WES ANALIZIRUEMOJ PROBY TOPLIWA (100 GRAMM) I UMNOVIW REZULXTAT NA 100%, MY POLU^IM REZULXTAT x NAEGO STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA PO NABL@DENI@ SLU^AJNOJ WELI^INY X: pOWTORNYE ANALIZY ANALOGI^NYH PROB TOJ VE PARTII TOPLIWA, W TEH VE USLOWIQH \KSPERIMENTA I NA TEH VE PRIBORAH UKAZYWA@T NA ZNA^ITELXNU@ IZMEN^IWOSTX REZULXTATOW KAVDOGO \KSPERIMENTA. mETROLOGI^ESKIJ ANALIZ ISPYTANIJ UKAZYWAET NA TO, ^TO \TA IZMEN^IWOSTX W PERWU@ O^EREDX OBUSLOWLENA SLU^AJNYM HARAKTEROM PROCESSOW \SPEKANIQ" OPREDELENNOGO KOLI^ESTWA SERY S DRUGIMI PRODUKTAMI SGORANIQ I WYPADENIQ IH W ZOLU, A TAKVE NEPOLNYM SOEDINENIEM SERNOGO GAZA S WODOJ. gRUBO GOWORQ, KAVDAQ MOLEKULA SERY TOLXKO S NEKOTOROJ DOSTATO^NO WYSOKOJ WEROQTNOSTX@ p MOVET DOSTI^X SWOEGO KONE^NOGO SOSTOQNIQ W MOLEKULE SERNOJ KISLOTY I WNESTI SWOJ WKLAD W REZULXTAT x NABL@DENIQ X: pONQTNO, ^TO KOLI^ESTWO n MOLEKUL SERY W PROBE TOPLIWA WESXMA WELIKO, TOGDA KAK WEROQTNOSTX p BLIZKA K EDINICE. sLEDOWATELXNO, MY IMEEM DELO S PROBLEMOJ ASIMPTOTI^ESKOGO ANALIZA BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ PRI RASTU]EM ^ISLE ISPYTANIJ n I POSTOQNNOJ WEROQTNOSTI USPEHA p: oGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM \TIH DWUH PRIMEROW, IZ KOTORYH LEG72
KO WIDETX, ^TO SU]ESTWUET OBIRNEJIJ KLASS STATISTI^ESKIH \KSPERIMENTOW, SWQZANNYH S NABL@DENIEM LINEJNOJ FUNKCII OT SLU^AJNOJ WELI^INY S BINOMIALXNYM ZAKONOM RASPREDELENIQ B(n, p), W KOTOROM p=const, A n ^REZWY^AJNO WELIKO. pROWEDEM ASIMPTOTI^ESKIJ ANALIZ TAKOJ SITUACII I NA^NEM EGO S ISSLEDOWANIQ ASIMPTOTI^ESKOGO POWEDENIQ X=n { ^ASTOTNOJ OCENKI WEROQTNOSTI p USPENOGO ISPYTANIQ W SHEME bERNULLI. tOT FAKT, ^TO PRI n ! 1 OTNOSITELXNAQ ^ASTOTA X=n STREMITSQ K p W OPREDELENNOM WEROQTNOSTNOM SMYSLE USTANAWLIWAET ODIN IZ OSNOWNYH ZAKONOW TEORII WEROQTNOSTEJ, OTKRYTYJ i.bERNULLI W XVII WEKE. tEOREMA 7.1. (zAKON BOLXIH ^ISEL bERNULLI). pUSTX X B(n p) tOGDA KAKOWO BY NI BYLO " > 0 ! X > " = 0: lim P ; p n!1 n .
,
,
d O K A Z A T E L X S T W O. wOSPOLXZUEMSQ RANEE DOKAZANNYM NERAWENSTWOM ~EBYEWA W FORME SLEDSTWIQ 6.1, GDE W SLU^AE BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ EX = np I DX = np(1 ; p): iMEEM ! D(X=n) np(1 ; p)=n2 p(1 ; p) X P n ; p > " "2 = = n"2 ! 0 "2 KOGDA n ! 1: zAKON BOLXIH ^ISEL RAZ_QSNQET PRIRODU STABILIZACII OTNOSITELXNOJ ^ASTOTY WYPADENIQ GERBA OKOLO ZNA^ENIQ p = 1=2 KOTORU@ MY NABL@DALI NA PERWOJ LEKCII PO TEORII WEROQTNOSTEJ. dEJSTWITELXNO, W SLU^AJNYH \KSPERIMENTAH NELXZQ UTWERVDATX, ^TO j X=n ; p j " NA^INAQ S NEKOTOROGO n: iSTINA W TOM, ^TO, NA^INAQ S NEKOTOROGO n \TO NERAWENSTWO WYPOLNQETSQ S L@BOJ, NAPERED ZADANNOJ I SKOLX UGODNO BLIZKOJ K EDINICE WEROQTNOSTX@. tAKIM OBRAZOM MY DOLVNY SKAZATX, ^TO W DANNOM SLU^AE NABL@DAETSQ SHODIMOSTX PO WEROQTNOSTI, KOTORAQ IMEET SOWERENNO DRUGU@ PRIRODU, ^EM TA SHODIMOSTX, KOTORU@ MY IZU^AEM W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. wYWOD ZAKONA BOLXIH ^ISEL SODERVIT TAKVE OB_QSNENIE FENOMENU, SWQZANNOMU S PORQDKOM n;1=2 OIBKI W PRIBLIVENII p (= 1=2) WELI^INOJ X=n:q dEJSTWITELXNO , W SLU^AE p = 1=2 STANDARTNOE OTp KLONENIE = D(X=n) = (2 n);1 RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY X=n SIMMETRI^NO, I W SILU PRAWILA \DWUH SIGM" INTERWAL 73
0:5 n;1=2 NAKRYWAET 90% CENTRALXNOJ ^ASTI OBLASTI WOZMOVNYH
ZNA^ENIJ X=n: eSTESTWENNO, ESLI NE DELITX X NA n TO X ! 1 PO WEROQTNOSTI, KOGDA n ! 1: nO ESLI X CENTRIROWATX EE SREDNIM ZNA^ENIEM np I ZATEM MASTABIROWATX STANDARTNYM OTKLONENIEMq, TO POSTROENNAQ TAKIM OBRAZOM SLU^AJNAQ WELI^INA Yn = (X ; np)= np(1 ; p) IMEET PRI n ! 1 NEWYROVDENNOE RASPREDELENIE. wID \TOGO RASPREDELENIQ USTANAWLIWAET ZNAMENITAQ PREDELXNAQ TEOREMA mUAWRA{lAPLASA (18 WEK!). pRI DOKAZATELXSTWE SU]ESTWENNO ISPOLXZUETSQ SLEDU@]IJ TEHNI^ESKIJ REZULXTAT. lEMMA 7.1. pUSTX X B(n p) n ! 1 I CELOE k ! 1 TAK ^TO 1 > p^ = k=n = O(1): tOGDA expf;nH (^p)g 1 + O(n;1) P (X = k) = f (k j n p) = q 1 2np^(1 ; p^) GDE H (x) = x ln xp + (1 ; x) ln 11 ;; xp 0 < x < 1: ,
d O K A Z A T E L X S T W O. wOSPOLXZUEMSQ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULOJ sTIRLINGA p n! = 2nnne;n 1 + O(n;1) DLQ FAKTORIALOW n! k! I (n ; k)! W BINOMIALXNOM KO\FFICIENTE Cnk I PREDSTAWIM FUNKCI@ PLOTNOSTI BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ W ASIMPTOTI^ESKOM WIDE: f (k j n p) = k!(nn;! k)! pk (1 ; p)n;k =
p2n nn e;npk(1 ; p)n;k 1 !! p2k kk e;kq2(n ; k) (n ; k)n;k e;n k 1 + O n = expfn ln n ; k ln k ; (n ; rk) ln(n ; k) + k ln p + (n ; k) ln(1 ; p)g 2n nk 1 ; nk +
1 + O n;1 :
dOKAZATELXSTWO ZAWERAETSQ O^EWIDNYMI PREOBRAZOWANIQMI WYRAVENIQ, STOQ]EGO W FIGURNYH SKOBKAH, K WIDU f;nH (^p)g: 74
lEKCIQ
12
tEOREMA 7.2. (lOKALXNAQ PREDELXNAQ TEOREMA mUAWRA{ p lAPLASA). pUSTX PRI n ! 1 CELOE k = np + O( n): tOGDA 8
9
< (k ; np)2 = 1 exp :; 2np(1 ; p) 1 + O n;1=2 : f (k j n p) = q 2np(1 ; p)
d O K A Z A T E L X S T W O. tAK KAK PO USLOWI@ TEOREMY p^ = k=n = p+O(n;1=2) TO ESTESTWENNO WOSPOLXZOWATXSQ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULOJ LEMMY 7.1, RAZLAGAQ FUNKCII (^p (1 ; p^));1=2 I H (^p) W RQD tEJLORA PO STEPENQM p^ ; p = O(n;1=2): iMEEM (^p (1 ; p^));1=2 = (p + O(n;1=2))(1 ; p + O(n;1=2)) ;1=2 = (p (1 ; p));1=2(1 + O(n;1=2)) I DLQ DOKAZATELXSTWA TEOREMY OSTAETSQ POKAZATX, ^TO 0 1 2 ( k ; np ) n H (^p) = 2np(1 ; p) + O @ p1n A : (1) rAZLOVIM p^ H (^p) = p^ ln pp^ + (1 ; p^) ln 11 ; ;p W RQD tEJLORA W OKRESTNOSTI TO^KI p^ = p : 3 2 (^ p ; p ) (^ p ; p ) 00 0 H (p) + H 000(p + (^p ; p)) H (^p) = H (p) + (^p ; p)H (p) + 2!
3!
GDE, KAK I W L@BOM RAZLOVENII tEJLORA, 0 < < 1: iMEEM H (p) = 0 I TAK KAK H 0(x) = ln(x=p) ; ln((1 ; x)=(1 ; p)) TO H 0(p) = 0: dALEE, H 00(x) = 1=x + 1=(1 ; x) OTKUDA H 00(p) = (p(1 ; p));1: nAKONEC, H 000(x) = ;x;2 + (1 ; x);2 ^TO WLE^ET OGRANI^ENNOSTX H 000(p + (^p ; p)) PRI BOLXIH n POSKOLXKU p OTGRANI^ENO OT 0 I 1. tAKIM OBRAZOM, p ; p)2 + O (^p ; p)3 H (^p) = 2(^ p(1 ; p) ^TO, O^EWIDNO, \KWIWALENTNO (1). 75
tEOREMA 7.3. (iNTEGRALXNAQ PREDELXNAQ TEOREMA mUAWRA{ lAPLASA). dLQ L@BYH POSTOQNNYH a I b I SLU^AJNOJ WELI^INY X B(n p) SPRAWEDLIWO ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE 0 1 Zb ;x =2 X ; np 1 @ A q nlim !1 P a np(1 ; p) < b = p2 a e dx: 2
(2)
d O K A Z A T E L X S T W O. iSPOLXZUQ TEOREMU 7.2, PREDSTAWIM WEROQTq NOSTX P (a Yn < b) S Yn = (X ; np)= np(1 ; p) W WIDE P (a Yn < b) = 8 9 0 11 < (k ; np)2 = 0 X 1 q exp :; 2np(1 ; p) @1 + O @ p1n AA (3) k2A 2np(1 ; p) GDE MNOVESTWO CELYH ^ISEL 8 < A = :k :
9
= a q k ; np < b : np(1 ; p) pRIMENENIE LOKALXNOJ PREDELXNOJ TEOREMY W DANNOM SLU^AE OPRAWDANO: ESLI k 2 A TO PRI n ! 1 SPRAWEDLIWO ASIMPTOTI^ESKOE PREDp STAWLENIE k = np + O( n): pOKAVEM TEPERX, ^TO PRAWAQ ^ASTX (3) PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU dARBU DLQ INTEGRALA W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (2). dLQ \TOGO POLOVIM xk = q k ; np xk = xk ; xk;1 = q 1 '(x) = p12 e;x =2 np(1 ; p) np(1 ; p) I RAZOBXEM OTREZOK a b ] TO^KAMI xk k 2 A: pOSKOLXKU xk ! 0 PRI n ! 1 A SUMMARNAQ DLINA OTREZKOW RAZBIENIQ X xk b ; a 2
k2A
TO ^ISLO OTREZKOW RAZBIENIQ RASTET S ROSTOM n W TO WREMQ KAK IH DLINA STREMITSQ K NUL@. sLEDOWATELXNO, X
k2A
Zb
'(xk )xk ;! '(x)dx: a
76
dLQ ZAWERENIQ DOKAZATELXSTWA OSTAETSQ TOLXKO ZAMETITX, ^TO 0 < '(x) < 1 I PO\TOMU PRI n ! 1 0 1 X 0 '(xk )xk O @ p1n A bp;na ! 0: k 2A
z A M E ^ A N I E. iNTEGRALXNAQ TEOREMA mUAWRA{lAPLASA INOGDA FORMULIRUETSQ W TERMINAH SLEDU@]EGO PRIBLIVENNOGO RAWENSTWA DLQ RASPREDELENIQ BINOMIALXNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X : pnpb;np;p
8
9
Z < x2 = 1 P (a X < b) p2 exp :; 2 dx n 1: a ; np p (1
)
(4)
np(1;p)
w TAKOJ ZAPISI TEOREMY ZNAK OZNA^AET ASIMPTOTI^ESKU@ \KWIWALENTNOSTX PRAWOJ I LEWOJ ^ASTEJ (4) (IH OTNOENIE STREMITSQ K EDINICE PRI n ! 1) LIX W SLU^AE NEZNA^ITELXNOJ UDALENNOSTI a I b OT CENTRA np BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ. dLQ \TOGO DOSTATO^NO SRAWNITX ZAPISX ODNOGO I TOGO VE UTWERVDENIQ S POMO]X@ FORMUL (2) I (4), ^TOBY UBEDITXSQ W SPRAWEDLIWOSTI FORMULY (4) LIX PRI p ZNA^ENIQH a I b PORQDKA np + O( n): w PROTIWNOM SLU^AE, KAK LEWAQ, TAK I PRAWAQ ^ASTI (4) S ROSTOM n STREMQTSQ K NUL@, NO S RAZNOJ SKOROSTX@. aSIMPTOTI^ESKIJ ANALIZ BINOMIALXNYH WEROQTNOSTEJ W OBp LASTQH, UDALENNYH OT np NA PORQDOK BOLXIJ, ^EM O( n) SOSTAWLQET SODERVANIE TEOREM O BOLXIH UKLONENIQH BINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ, KOTORYE W NAEM KURSE TEORII WEROQTNOSTEJ RASSMATRIWATXSQ NE BUDUT. kAK IZWESTNO IZ OB]EGO KURSA ANALIZA, INTEGRAL |JLERA{pUASSONA Z1 ;x =2 1 p2 e dx = 1 2
;1
PO\TOMU PRI L@BYH 2 R I 2 R+
x
8 29 8 9 Zx < t= < (t )2 = 1 exp dt = 2 exp : 22 dt 2 ;1 : 2 ;1
; ! = p1
x;
Z
p
;
; ;
ESTX FUNKCIQ RASPREDELENIQ, A 9 8 1 ' x ; ! = d x ; ! = p 1 exp 0 TO ;1)g = 0: lim exp f A ( i t ; A!1
tAKIM OBRAZOM,
'(t) = 1 ;1it :
mOVNO, KONE^NO, OBOJTISX I BEZ \TOJ KOMPLEKSNOJ ZAUMI, A PROSTO WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ |JLERA e z = cos z + i sin z I KAKIM-NIBUDX SPRAWO^NIKOM PO INTEGRALAM (NAPRIMER, RODNYM \dEMIDOWI^EM", A LU^E WSEGO SPRAWO^NIKOM PO INTEGRALXNYM PREOBRAZOWANIQM). p R I M E R 12.5 (RASPREDELENIE kOI C(0, 1)). iSPOLXZUQ FORMULU |JLERA, NAJDEM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ STANDARTNOGO (PARAMETR SDWIGA a = 0, PARAMETR MASTABA b = 1) RASPREDELENIQ kOI: Z 1 cos tx + i sin tx 1 '(t) = ;1 1 + x2 dx: iNTEGRAL OT SINUSA (TAK NAZYWAEMOE SINUS-PREOBRAZOWANIE fURXE) RAWEN NUL@, KAK INTEGRAL OT NE^ETNOJ FUNKCII PO SIMMETRI^NOMU OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT PROMEVUTKU. kOSINUS-PREOBRAZOWANIE fURXE NAJDEM, WOSPOLXZOWAWISX ^ETNOSTX@ FUNKCII cos x I OTWETOM K PRIMERU N 3825 ZADA^NIKA dEMIDOWI^A: Z1 tx dx = e;j t j: '(t) = 2 0 1cos + x2 i
p R I M E R 12.6 (STANDARTNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE N(0, 1)). rASSUVDAQ TAK VE, KAK I W SLU^AE RASPREDELENIQ kOI, I ISPOLXZUQ OTWET K PRIMERU N 3809, POLU^AEM 8 9 8 9 Z1 < x2 = < t2 = 2 '(t) = p 0 cos tx exp :; 2 dx = exp :; 2 : 2 115
hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII RASPREDELENIJ kOI I NORMALXNOGO PRI PROIZWOLXNYH ZNA^ENIQH PARAMETROW MOVNO POLU^ITX PROSTO LINEJNOJ ZAMENOJ PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ, NO LEGKO WIDETX, ^TO SPRAWEDLIWA OB]AQ FORMULA DLQ SEMEJSTW RASPREDELENIJ, ZAWISQ]IH OT PARAMETROW SDWIGA I MASTABA. pREDLOVENIE 12.1. hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ 'X (t) SLU^AJNOJ WELI^INY X OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI. 10: '(0) = 1 j '(t) j 1: 20: 'bX +a = e ta'X (bt): 30: eSLI X1 : : : Xn NEZAWISIMY W SOWOKUPNOSTI, TO i
' W ^ASTNOSTI, ESLI TO
Pn 1
Xk (t) =
n Y
1
'X (t) k
X1 : : : Xn NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY, 'P X (t) = 'nX (t): n 1
k
1
40: hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA WSEJ DEJSTWITELXNOJ OSI R: 50: eSLI SLU^AJNAQ WELI^INA X OBLADAET MOMENTAMI k = EX k k = 1 : : : n TO k = i;k '(k)(0) I DLQ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE tEJLORA
k ( i t ) n '(t) = 1 + k + o(t ) t ! 0: k=1 k ! n X
d O K A Z A T E L X S T W O. 10: |TO SWOJSTWO, PO SU]ESTWU, BYLO USTANOWLENO SRAZU VE POSLE OPREDELENIQ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII, KOGDA MY RASSUVDALI O EE SU]ESTWOWANII. 20: pO OPREDELENI@ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII 'bX +a(t) = Ee t(bX +a) = e taEe btX = e ta'X (bt): i
i
116
i
i
30: oPQTX RABOTAEM S OPREDELENIEM HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII:
'
Pn 1
Xk (t) =
8 < :
n X
9 = k
E exp it X = E 1
n Y
1
e tXk i
=
n Y
1
E
e tXk i
n Y
= 'Xk (t): 1
eSTESTWENNO, ESLI X1 : : : Xn ODINAKOWO RASPREDELENY, TO PROIZWEDENIE W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO RAWENSTWA SOSTOIT IZ ODINAKOWYH SOMNOVITELEJ I MY POLU^AEM 'nX (t): 40: tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO supt2R j '(t + h) ; '(t) j ! 0 KOGDA h ! 0: oCENIM PRIRA]ENIE HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII: j '(t + h) ; '(t) j = 1
Z
1
1
;1
Z r
;1
e (t+h)x ; eitx i
(cos hx
f (x)d(x)
1
Z
;1
j e tx jj e hx ; 1 jf (x)d(x) =
; 1)2 + sin2 hxf (x)d(x) =
i
1
Z q
;1
i
2(1 ; cos hx)f (x)d(x):
tAK KAK 0 1 ; cos hx 1 TO POSLEDNIJ INTEGRAL SHODITSQ RAWNOMERNO (PRIZNAK wEJERTRASSA) I MOVNO PEREHODITX K PREDELU PRI h ! 0 POD ZNAKOM INTEGRALA. nO lim (1 ; cos hx) = 0 h!0 KAKOWO BY NI BYLO x 2 R: sLEDOWATELXNO, lim
OTKUDA
1
Z q
h!0;1
2(1 ; cos hx)f (x)d(x) = 0
lim sup j '(t + h) ; '(t) j ! 0:
h!0 t2R
50: fORMALXNOE DIFFERENCIROWANIE k RAZ POD ZNAKOM INTEGRALA W FORMULE, OPREDELQ@]EJ HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@, PRIWODIT
NAS K SOOTNOENI@
'(k)(t) = ik
1
Z
;1
xk e txf (x)d(x):
117
i
eSLI k-YJ MOMENT k SU]ESTWUET, TO (NAPOMNIM, j e txj = 1) i
Z
1
;1
xk eitxf (x)d(x)
1
Z
;1
j x jk f (x)d(x) < 1
POSKOLXKU SU]ESTWOWANIE INTEGRALA lEBEGA OT FUNKCII WLE^ET EGO SU]ESTWOWANIE OT MODULQ \TOJ FUNKCII. tAKIM OBRAZOM, W SILU PRIZNAKA wEJERTRASSA, INTEGRAL SHODITSQ RAWNOMERNO, FORMALXNOE DIFFERENCIROWANIE POD ZNAKOM INTEGRALA OPRAWDANO, I MY POLU^AEM ISKOMU@ FORMULU DLQ WY^ISLENIQ MOMENTOW SLU^AJNOJ WELI^INY X POLAGAQ t = 0 : '(k)(0) = ik k : iTAK, SU]ESTWOWANIE MOMENTA k-GO PORQDKA WLE^ET SU]ESTWOWANIE k-OJ PROIZWODNOJ W TO^KE t = 0 FUNKCII '(t): eSLI SU]ESTWUET n MOMENTOW, TO MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ tEJLORA I POLU^ITX ASIMPTOTI^ESKOE (t ! 0) RAZLOVENIE HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII: n '(k) (0) n (it)k X X k k '(t) = t + o(t ) = 1 + k + o(tk ): k ! k ! k=0 k=1 iSPOLXZUQ SWOJSTWO 20 LEGKO NAHODIM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ RASPREDELENIJ C(a, b) I N( 2): eSLI X C(0 1) TO bX + a C(a b) I HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ kOI S PLOTNOSTX@ f (x) = b1 + ((x1 ; a)=b)2]
RAWNA (SM. PRIMER 12.5) 'bX +a(t) = expfiat ; bj t jg: aNALOGI^NO, ESLI X N(0 1) TO X + N( 2) I HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ S PLOTNOSTX@ 8 9 < (x ; )2 = 1 f (x) = p exp :; 2 2 2 n o RAWNA (SM. PRIMER 12.6) 'X +(t) = exp it ; 2t2=2 : lEKCIQ 19
iZ WSEH SWOJSTW HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII, USTANOWLENNYH W PREDLOVENII 12.1, NAIBOLEE PRIWLEKATELXNYM KAVETSQ SWOJSTWO 30 118
POZWOLQ@]EE NAHODITX HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ SUMMY NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN PO HARAKTERISTI^ESKIM FUNKCIQM SLAGAEMYH { OTKRYWA@TSQ NOWYE WOZMOVNOSTI W POSTROENII WEROQTNOSTNYH MODELEJ. nO PRI \TOM WOZNIKAET ESTESTWENNYJ WOPROS: SU]ESTWUET LI WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU HARAKTERISTI^ESKIMI FUNKCIQMI I FUNKCIQMI RASPREDELENIQ (ILI PLOTNOSTI). iZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA MY ZNAEM, ^TO NA KAVDOE PREOBRAZOWANIE fURXE Z1 '(t) = e txf (x)dx ;1 SU]ESTWUET OBRATNOE PREOBRAZOWANIE Z1 1 f (x) = 2 e; tx'(t)dt (1) ;1 HOTQ, NASKOLXKO MNE IZWESTNO, DOKAZATELXSTWA \TOJ FORMULY OBRA]ENIQ WAM NE DAWALOSX. tEM NE MENEE, INFORMACI@ O SPRAWEDLIWOSTI TEOREMY EDINSTWENNOSTI WY POLU^ILI, I MY TEPERX WOSPOLNIM PROBEL W WAEM OBRAZOWANII, DOKAZAW ANALOGI^NU@ TEOREMU DLQ BOLEE OB]EGO PREOBRAZOWANIQ fURXE{lEBEGA. tEOREMA 12.1. (FORMULA OBRA]ENIQ lEWI). eSLI F (x) { FUNKCIQ RASPREDELENIQ S.W. X , A '(t) { EE HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ, TO DLQ L@BYH TO^EK NEPRERYWNOSTI x I y FUNKCII F (x) IMEET MESTO i
i
FORMULA OBRA]ENIQ
ZA e; tx ; e; ty 1 F (y) ; F (x) = 2 Alim '(t)dt: (2) !1;A it d O K A Z A T E L X S T W O. zAMETIM SNA^ALA, ^TO PRAWAQ ^ASTX FORMULY OBRA]ENIQ (2) PREDSTAWLQET SOBOJ NESOBSTWENNYJ INTEGRAL W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ, TAK KAK '(t)=t MOVET OKAZATXSQ NEINTEGRIRUEMOJ FUNKCIEJ. eSLI SU]ESTWUET f (x) = dF (x)=dx I HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) INTEGRIRUEMA, TO (2) NETRUDNO POLU^ITX IZ FORMULY OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE (1) PROINTEGRIROWAW OBE ^ASTI (1) W PREDELAH OT x DO y. oBRATIMSQ TEPERX NEPOSREDSTWENNO K DOKAZATELXSTWU FORMULY (2), DLQ ^EGO RASSMOTRIM PRI y > x INTEGRAL ZA e; tx ; e; ty ZA Z1 e t(u;x) ; e t(u;y ) 1 1 '(t)dt = 2 dt f (u)d(u) JA = 2 it it ;A ;A ;1 i
i
i
i
i
119
i
W KOTOROM '(t) ZAMENENA NA OPREDELQ@]IJ EE INTEGRAL. lEGKO WIDETX, ^TO PRI FIKSIROWANNYH x I y PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ e t(u;x) ; e t(u;y) t W OBLASTI j u j < 1 j t j < 1 NEPRERYWNA I OGRANI^ENA, PO\TOMU MOVNO IZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ: 2 3 1 A t ( u ; x ) t ( u ; y ) Z Z ;e 7 5 f (u)d(u): dt JA = 21 64 e it ;1 ;A pREOBRAZUEM WNUTRENNIJ INTEGRAL IA W PREDELAH OT ;A DO A, DLQ ^EGO PREDSTAWIM EGO W WIDE SUMMY INTEGRALOW PO OTREZKAM ;A 0 ] I 0 A ] I W INTEGRALE PO OTREZKU ;A 0 ] SDELAEM ZAMENU t NA ;t. w REZULXTATE POLU^IM 2 t(u;y) ; e; t(u;y) 3 ZA e t(u;x) ; e; t(u;x) e 5 dt = IA = 4 ; it it 0 2 3 ZA sin(t(u ; x)) sin( t ( u ; y )) 5 dt 2 4 ; t t 0 POSKOLXKU (FORMULA |JLERA) (e z ; e; z )=2i = sinz. wY^ISLQQ INTEGRAL dIRIHLE Z1 sin( t) sgn dt = t 2 0 POLU^AEM SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ PRAWOJ ^ASTI (2): i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1 Z1 sgn(u ; x) ; sgn(u ; y) ]f (u)d(u): 2 ;1
pREDSTAWIM POSLEDNIJ INTEGRAL W WIDE SUMMY TREH INTEGRALOW PO OTREZKAM (;1 x ] x y ] I y 1), NA KOTORYH, SOOTWETSTWENNO, sgn(u;x) = sgn(u;y) = ;1, sgn(u;x) = ;sgn(u;y) = +1, sgn(u;x) = sgn(u ; y) = 1. tOGDA \TOT INTEGRAL, A SLEDOWATELXNO, I PRAWAQ ^ASTX (2), PRINIMAET OKON^ATELXNYJ WID Zy
x
f (u)d(u) = F (y) ; F (x) 120
USTANAWLIWA@]IJ SPRAWEDLIWOSTX FORMULY OBRA]ENIQ (2). iTAK, TEPERX MOVNO NE SOMNEWATXSQ, ^TO, POLU^IW KAKIM-LIBO SPOSOBOM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X , MY, PO SUTI DELA, UVE POSTROILI WEROQTNOSTNU@ MODELX, I OSTAETSQ TOLXKO, ISPOLXZUQ FORMULU (2), NAJTI FUNKCI@ RASPREDELENIQ X: pROILL@STRIRUEM \TOT METOD POSTROENIQ MODELI NA ODNOJ IZ CENTRALXNYH ZADA^ TEORII WOSSTANOWLENIQ, IME@]EJ BOLXIE PRIMENENIQ W PRAKTIKE I TEORII NADEVNOSTI SISTEM, PODWERGAEMYH W PROCESSE IH \KSPLUATACII REMONTU (WOSSTANOWLENI@), PROFILAKTIKE I REZERWIROWANI@ KOMPONENT S WYSOKOJ ^ASTOTOJ OTKAZA. gAMMA-RASPREDELENIE G( ). rASSMATRIWAETSQ SISTEMA, DOLGOWE^NOSTX KOTOROJ OPREDELQETSQ MOMENTOM OTKAZA X1 EE OTDELXNOGO \LEMENTA. pREDPOLOVIM, ^TO X1 E() TO ESTX FUNKCIONIROWANIE \LEMENTA PROTEKAET W RAMKAH POSTULATA \OTSUTSTWIE POSLEDEJSTWIQ". sISTEMA IMEET REZERW, SOSTOQ]IJ IZ n ; 1 TAKIH VE \LEMENTOW, I PRI OTKAZE RABOTA@]EGO \LEMENTA MGNOWENNO PODKL@^AETSQ ZAPASNOJ. tAKIM OBRAZOM, OB]AQ DOLGOWE^NOSTX SISTEMY OPREDELQETSQ REALIZACIXn EJ SLU^AJNOJ WELI^INY X = 1 Xi W KOTOROJ SLAGAEMYE NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY PO POKAZATELXNOMU ZAKONU E() S HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ (SM. PRIMER 12.4) '1(t) = (1 ; it);1: w SILU PUNKTA 30 PREDLOVENIQ 12.1 HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ X RAWNA '(t) = (1 ; it);n : pRIMENQQ OBRATNOE PREOBRAZOWANIE fURXE K '(t) (SOWETU@ WOSPOLXZOWATXSQ SPRAWO^NIKOM { TAKIE INTEGRALY NA NAEM BOGOUGODNOM FAKULXTETE S^ITATX TEPERX NE U^AT), POLU^AEM FUNKCI@ PLOTNOSTI RASPREDELENIQ DOLGOWE^NOSTI ( ) 1 x n ; 1 f (x) = f (x j n ) = (n ; 1)!n x exp ; x > 0 (ESTESTWENNO, f (x) = 0 PRI x 0). kAK BUDET WIDNO W DALXNEJEM, POLU^ENNOE RASPREDELENIE DOLGOWE^NOSTI S ZAMENOJ CELO^ISLENNOGO PARAMETRA n NA PROIZWOLXNYJ POLOVITELXNYJ PARAMETR OPISYWAET DOLGOWE^NOSTX NE TOLXKO REZERWIROWANNYH (ILI WOSSTANAWLIWAEMYH PRI OTKAZE) SISTEM, NO I DOLGOWE^NOSTX SISTEM, PODWERVENNYH IZNOSU, STARENI@, NAKOPLENI@ USTALOSTI, W OB]EM, WSEMU TOMU, ^TO POSTEPENNO NAKAPLIWAETSQ, A POTOM PRIWODIT K \GIBELI". w SWQZI S \TIMI ZAME^ANIQMI MY OPREDELQEM 121
G( ) POSREDSTWOM FUNKCII PLOTNOSTI ( ) 1 x ; 1 f (x j ) = ;() x exp ; x > 0 > 0 > 0
GAMMA-RASPREDELENIE
GDE
1
Z
;() = x;1e;xdx
{ GAMMA-FUNKCIQ |JLERA.
0
sEMEJSTWO DWUHPARAMETRI^ESKIH GAMMA-RASPREDELENIJ fG( ) ( ) 2 R+ R+g SODERVIT, KAK ^ASTNYJ SLU^AJ, POKAZATELXNOE RASPREDELENIE ( = 1). gAMMA-RASPREDELENIE UNIMODALXNO: ESLI 1 TO modX = 0, A PRI > 1 MODA modX = ( ; 1):
u GAMMA-RASPREDELENIQ SU]ESTWU@T MOMENTY L@BOGO PORQDKA: ( ) Z1 1 x k + k ; 1 k = EX = ;() x exp ; dx = 0 ;( + k)+k = ( ; 1) ( ; k + 1)k : ;() w ^ASTNOSTI, EX = DX = 2: tEPERX, ISPOLXZUQ APPARAT HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ, MY MOVEM SOSTAWITX KATALOG IZU^ENNYH NAMI RASPREDELENIJ, DLQ KOTORYH SPRAWEDLIWA TEOREMA SLOVENIQ. X pREDLOVENIE 12.2. pUSTX X1 : : : Xn NEZAWISIMY I Sn = n1 Xk : tOGDA,
10
ESLI
Xk B( mk p ) k = 1 : : : n 122
TO
Sn B(
Xn
1 mk
p )
X
Xk P( k ) k = 1 : : : n 30 ESLI Xk C( ak bk ) k = 1 : : : n
TO
Sn P( n1 k ) n X X Sn C( n1 ak bk )
Xk N( k k2 ) k = 1 : : : n
TO
Sn N(
20 40
ESLI
ESLI
TO
1
Xn
1 k
n X
k2 )
1 1 k
Xn
Xk G( k ) k = 1 : : : n TO Sn G( ): d O K A Z A T E L X S T W O. sLEDU@]AQ TABLICA HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ OTDELXNYH SLAGAEMYH Xk I SUMMY Sn USTANAWLIWAET SPRAWEDLIWOSTX WSEH UTWERVDENIJ PREDLOVENIQ. 50
ESLI
10 B(m p) : X mk n mk 'Xk (t) = pe t + 1 ; p 'Sn (t) = pe t + 1 ; p 1 i
i
20 P() : n o nX o 'Xk (t) = exp k (e t ; 1) 'Sn (t) = exp n1 k (e t ; 1) i
i
30 C(a b) : n X o X 'Xk (t) = exp fitak ; j t jbk g 'Sn (t) = exp it n1 ak ; j t j n1 bk 40 N( 2) : Xn 2 Pn t t 2 'Xk (t) = exp itk ; 2 k 'Sn (t) = exp it 1 k ; 2 1 k 2
2
50 G( ) : Xn ; ; 'Xk (t) = (1 ; it) k 'Sn (t) = (1 ; it) 1 k :
nESKOLXKO SLOW O HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII MNOGOMERNOGO RASPREDELENIQ. eSLI X (n) = (X1 : : : Xn) { SLU^AJNYJ WEKTOR S FUNKCIEJ PLOTNOSTI fn(x(n)) = fn(x1 : : : xn) PO MERE dn(x(n) ) = d1(x1) dn(xn) TO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ OPREDELQETSQ KAK n-MERNOE PREOBRAZOWANIE fURXE-lEBEGA 'n(t(n)) = E exp i t(n) X (n) = n
o
Z
Rn
123
exp
8 n < X :
9 =
i tk xk fn(x(n))dn(x(n)): 1
o^ENX PROSTO, PO PRQMOJ ANALOGII S BINOMIALXNYM RASPREDELENIEM, NAHODITSQ HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ, I STOLX VE PROSTO, ESLI WOSPOLXZOWATXSQ OTWETOM K ZADA^E N 4220 IZ dEMIDOWI^A, HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ n-MERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ N( ) : 8 n < X :
'n(t(n)) = exp i
1
9
= X k tk ; 12 jk tj tk : 1jkn
dLQ MNOGOMERNOJ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII TAKVE SPRAWEDLIWY TEOREMY EDINSTWENNOSTI I UTWERVDENIQ, ANALOGI^NYE PREDLOVENI@ 12.1. iSPOLXZUQ APPARAT MNOGOMERNYH HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ, MOVNO POKAZATX, ^TO DLQ MULXTINOMIALXNOGO I MNOGOMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIJ SPRAWEDLIWY TEOREMY SLOVENIQ, I DOKAZATX SLEDU@]EE UDIWITELXNOE SWOJSTWO MNOGOMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ: L@BOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE Y (m) = AX (n) (S MATRICEJ A RAZMERNOSTI n m) SLU^AJNOGO WEKTORA X (n) N( ) DAET SLU^AJNYJ WEKTOR, IME@]IJ m-MERNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE SO SREDNIM A I KOWARIACIONNOJ MATRICEJ AA0 :
124
x13. hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII. kRITERIJ SLABOJ SHODIMOSTI
lEKCIQ 20{21
sLEDU@]AQ TEOREMA DAET UDOBNYJ KRITERIJ SLABOJ SHODIMOSTI RASPREDELENIJ SLU^AJNYH WELI^IN. tEOREMA 13.1. pUSTX f'n n 1g { POSLEDOWATELXNOSTX HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ I fFn n 1g { POSLEDOWATELXNOSTX SOOTWET-
STWU@]IH FUNKCIJ RASPREDELENIJ. eSLI PRI L@BOM FIKSIROWANNOM t 2 R POSLEDOWATELXNOSTX HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ SHODITSQ K NEKOTOROJ NEPRERYWNOJ W TO^KE t = 0 FUNKCII '(t), TO '( ) ESTX HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ NEKOTOROJ SLU^AJNOJ WELI^INY X S FUNKCIEJ RASPREDELENIQ F ( ) I Fn ) F . oBRATNO, ESLI Fn ) F I F ( ) ESTX FUNKCIQ RASPREDELENIQ, TO 'n (t) ! '(t) PRI L@BOM t 2 R I '( ) { HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X S FUNKCIEJ RASPREDELENIQ F ( ).
dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY (W MONOGRAFIQH PO TEORII WEROQTNOSTEJ ONA OBY^NO NAZYWAETSQ TEOREMOJ NEPRERYWNOSTI DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ) OSNOWANO NA RQDE WSPOMOGATELXNYH UTWERVDENIJ O SLABOJ SHODIMOSTI FUNKCIJ RASPREDELENIJ. lEMMA 13.1. wSQKAQ POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ RASPREDELENIQ
fFn n 1g SODERVIT PODPOSLEDOWATELXNOSTX fFn k 1g SLABO k
SHODQ]U@SQ K NEKOTOROJ OGRANI^ENNOJ NEUBYWA@]EJ I NEPRERYWNOJ SLEWA FUNKCII F ( ), T.E. Fnk (x) ;! F (x) PRI k ! 1 W L@BOJ TO^KE x NEPRERYWNOSTI FUNKCII F ( ).
eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fFn(x) n 1g SHODITSQ W KAVDOJ TO^KE x, TO PREDELXNAQ FUNKCIQ F (x) x 2 R MOVET I NE BYTX FUNKCIEJ RASPREDELENIQ, HOTQ, O^EWIDNO, F ( ) NE UBYWAET I EE IZMENENIE NA R : varF = supxF (x) ; inf xF (x) 1, IBO TAKOWY FUNKCII RASPREDELENIQ Fn( ) n = 1 2 : : : pRIMER TAKOJ POSLEDOWATELXNOSTI DA@T FUNKCII Fn( ) RAWNOMERNYH RASPREDELENIJ NA OTREZKAH n n + 1 ] n = 1 2 : : : : pOSKOLXKU Fn(x) = 0 PRI x < n, TO DLQ L@BOGO x 2 R SU]ESTWUET TAKOE N (DOSTATO^NO WZQTX N BOLXE x), ^TO Fn(x) = 0 DLQ WSEH n N . sLEDOWATELXNO, Fn(x) ! F (x) 0 I varF = 0. zAME^ANIE 13.1.
125
d O K A Z A T E L X S T W O L E M M Y 13.1. nA^NEM S WYBORA PODPOSLEDOWATELXNOSTI fFn k 1g KOTORAQ SHODITSQ SLABO K NEKOTOROMU PREDELU F OBLADA@]EMU UKAZANNYMI SWOJSTWAMI. pUSTX D = frn n 1g { S^ETNOE WS@DU PLOTNOE W R MNOVESTWO, NAPRIMER, MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL. ~ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX fFn(r1) n 1g OGRANI^ENA, I PO\TOMU SODERVIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fF1n(r1) n 1g: pUSTX F1(r1) { PREDEL \TOJ PODPOSLEDOWATELXNOSTI. rASSMOTRIM TEPERX POSLEDOWATELXNOSTX ^ISEL fF1n(r2) n 1g ONA TAKVE SODERVIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fF2n(r2) n 1g S NEKOTORYM PREDELOM F2(r2), PRI^EM nlim !1 F2n(r1) = F1(r1) IBO fF2n(r1) n 1g { PODPOSLEDOWATELXNOSTX SHODQ]EJSQ K F1(r1) POSLEDOWATELXNOSTI fF1n(r1) n 1g. tO^NO TAK VE POSLEDOWATELXNOSTX fF2n(r3) n 1g SODERVIT PODPOSLEDOWATELXNOSTX fF3n(r3) n 1g S PREDELOM F3(r3) PRI^EM nlim !1 F3n(r2) = F2(r2) nlim !1 F3n(r1) = F1(r1) IBO fF3n(r1) n 1g fF2n(r1) n 1g fF1n(r1) n 1g { INDEKSY KAVDOJ POSLEDU@]EJ PODPOSLEDOWATELXNOSTI WYBIRALISX IZ MNOVESTWA INDEKSOW PREDYDU]EJ. pRODOLVAQ \TOT PROCESS, MY UBEVDAEMSQ, ^TO DLQ L@BOGO k 1 ^ISLO Fk (rk ) ESTX OB]IJ PREDEL WSEH POSLEDOWATELXNOSTEJ fFjn(rk ) n 1g j = k k +1 : : : PRI^EM KAVDAQ POSLEDU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX ESTX PODPOSLEDOWATELXNOSTX PREDYDU]EJ. rASSMOTRIM DIAGONALXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX fFnn(rk ) n 1g: zA ISKL@^ENIEM PERWYH k ; 1 ^LENOW EE POSLEDU@]IE ^LENY WYBIRA@TSQ PO ODNOMU IZ RASSMOTRENNYH WYE POSLEDOWATELXNOSTEJ, SLEDOWATELXNO, nlim !1 Fnn(rk ) = Fk (rk ): tEM SAMYM DLQ WSEH x 2 D OPREDELENA NEUBYWA@]AQ FUNKCIQ F0(x) RAWNAQ Fk (rk ) ESLI x = rk I nlim !1 Fnn(x) = F0(x) 8x 2 D: fUNKCIQ F0( ) OGRANI^ENA I NE UBYWAET NA D, IBO \TIMI SWOJSTWAMI OBLADAET KAVDYJ ^LEN POSLEDOWATELXNOSTI fFnn n 1g: tEPERX OPREDELIM F (x) PRI L@BOM x 2 R POLAGAQ F (x) = sup F0(r): k
r<x r2D 126
pOKAVEM, ^TO F ( ) { ISKOMAQ FUNKCIQ, TO ESTX ONA (1) NE UBYWAET, (2) NEPRERYWNA SLEWA I (3)Fnn(x) ! F (x) W KAVDOJ TO^KE x NEPRERYWNOSTI FUNKCII F . (1) mONOTONNOSTX F SLEDUET IZ ANALOGI^NOGO SWOJSTWA F0: ESLI x y, TO F (x) = sup F0(r) sup F0(r) = F (y): r<x r N (") WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO j Fnn(r) ; F0(r) j < "=2 I PO\TOMU Fnn(x) ; F (x) Fnn(r00) ; F (x) = Fnn(r00) ; F0(r00) ] + F0(r00) ; F (x) ] "=2 + F0(r00) ; F (x) A TAKVE F (x) ; Fnn(x) F (x) ; Fnn(r0) = F (x) ; F0(r0) ] + F0(r0) ; Fnn(r0) ] F (x) ; F0(r0) + "=2: dLQ DOKAZATELXSTWA SHODIMOSTI Fnn(x) K F (x) DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO F0(r00) F (x00) A F0(r0) F (x0) A ZATEM WOSPOLXZOWATXSQ NERAWENSTWOM F (x00) ; F (x) < "=2: nO \TO PO^TI O^EWIDNO, POSKOLXKU 127
WYPOLNQ@TSQ STROGIE NERAWENSTWA x0 < r0 I r00 < x00: dEJSTWITELXNO, F0(r00) sup F0(r) = F (x00) r<x I, ANALOGI^NO, F0(r0) sup F0(r) = F (r0) F (x0): 00
r 0 I L@BOJ TO^KI x NEPRERYWNOSTI F RASSMOTRIM NEPRERYWNU@ FUNKCI@ f"(t) PRINIMA@]U@ ZNA^ENIE 1 PRI t < x ZNA^ENIE 0, ESLI t > x + " I MENQ@]U@SQ LINEJNO NA x x + " ]: tAK KAK x 1 Fn(x) = ;1 f"(t)dFn (t) ;1 f"(t)dFn (t) TO W SILU (1) 1 x+" limnsup Fn(x) ;1 f"(t)dF (t) ;1 dF (t) = F (x + "): aNALOGI^NO, S POMO]X@ FUNKCII f"(t) = f"(t + ") POLU^AEM NERAWENSTWO x 1 Fn(x) ;1 f" (t)dFn (t) = ;1 f" (t)dFn(t) OTKUDA 1 limninf Fn(x) ;1 f"(t)dF (t) F (x ; "): sLEDOWATELXNO, F (x ; ") lim inf n Fn(x) lim supn Fn(x) F (x + ") A TAK KAK x { TO^KA NEPRERYWNOSTI F TO W SILU PROIZWOLXNOSTI " IMEEM RAWENSTWO limninf Fn(x) = limnsup Fn(x) = lim n Fn(x) = F (x): k=0
.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
130
w BOLXINSTWE MONOGRAFIJ PO TEORII WEROQTNOSTEJ SLABAQ SHODIMOSTX RASPREDELENIJ OPREDELQETSQ SOOTNOENIEM (1) { IMENNO TAKIM OBRAZOM MOVNO RASPROSTRANITX PONQTIE SLABOJ SHODIMOSTI NA WEKTORNYE SLU^AJNYE WELI^INY (ILI SLU^AJNYE WELI^INY S ABSTRAKTNYM PROSTRANSTWOM IH ZNA^ENIJ). sLABAQ SHODIMOSTX RASPREDELENIJ OBOZNA^AETSQ TEM VE SIMWOLOM Pn ) P: tEPERX MY IMEEM WSE NEOBHODIMOE, ^TOBY USTANOWITX KRITERIJ SLABOJ SHODIMOSTI. d O K A Z A T E L X S T W O T E O R E M Y N E P R E R Y W N O S T I 13.1. eSLI Fn ) F TO 1 1 'n(t) = ;1 e txdFn(x) ! ;1 e txdF (x) = '(t) (DOSTATO^NO PRIMENITX LEMMU 13.1 K OGRANI^ENNOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII g(x) = e tx). pUSTX TEPERX POSLEDOWATELXNOSTX HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ f'n n 1g SHODITSQ K NEKOTOROJ NEPRERYWNOJ W TO^KE t = 0 FUNKCII '(t) I fFn n 1g { SOOTWETSTWU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ RASPREDELENIQ. tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO ' { HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SLU^AJNOJ WELI^INY S FUNKCIEJ RASPREDELENIQ F I Fn ) F . w SILU LEMMY 13.1 IZ POSLEDOWATELXNOSTI fFn n 1g MOVNO WYBRATX PODPOSLEDOWATELXNOSTX fFn k 1g SLABO SHODQ]U@SQ K NEKOTOROJ NEUBYWA@]EJ, NEPRERYWNOJ SLEWA FUNKCII F PRI^EM 0 F (x) 1: eSLI varF = 1 TO ESTX F { FUNKCIQ RASPREDELENIQ, TO (SM.(1)) 'n (t) ! '0(t) k ! 1 PRI L@BOM t 2 R GDE '0( ) { HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ, SOOTWETSTWU@]AQ FUNKCII RASPREDELENIQ F ( ): tAK KAK POSLEDOWATELXNOSTX f'n(t) n 1g SHODITSQ, TO WSE EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI IME@T ODIN I TOT VE PREDEL '(t), OTKUDA '0(t) = '(t) I '(t) t 2 R { HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ. nAKONEC, W SILU TEOREMY EDINSTWENNOSTI 12.1 WSE PODPOSLEDOWATELXNOSTI POSLEDOWATELXNOSTI fFn n 1g IME@T ODIN I TOT VE SLABYJ PREDEL F HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ KOTOROGO ESTX ' OTKUDA Fn ) F: iTAK, OSTALOSX POKAZATX, ^TO varF = 1: dOPUSTIM PROTIWNOE varF = < 1: tAK KAK '( ) NEPRERYWNA W TO^KE t = 0 I '(0) = 1 IBO 'n(0) = 1 PRI L@BOM n = 1 2 : : : TO DLQ L@BOGO " 2 (0 1 ; ) SU]ESTWUET OTREZOK ; ] NA KOTOROM j 1 ; '(t) j < "=2 = " ; "=2 < 1 ; ; "=2: fUNKCIQ '( ) INTEGRIRUEMA zAME^ANIE 13.2.
Z
Z
i
i
i
k
k
131
NA L@BOM OTREZKE ; ] TAK KAK ONA ESTX PREDEL INTEGRIRUEMYH NA ; ] I OGRANI^ENNYH FUNKCIJ 'n( ) (SM.NA^ALO DOKAZATELXSTWA FORMULY OBRA]ENIQ). sLEDOWATELXNO, (NAPOMNIM, j a j ; j b j j a ; b j)
Z
1 ; 21 '(t)dt 21 (1 ; '(t))dt ; ; 1 j 1 ; '(t) jdt < 1 ; ; "=2 2 ; Z
Z
OTKUDA,
1 '(t)dt > + "=2: 2 ; Z
(3)
nERAWENSTWO (3) POLU^ENO NAMI TOLXKO IZ PREDPOLOVENIQ NEPRERYWNOSTI FUNKCII '( ) W TO^KE t = 0: pOKAVEM TEPERX, ^TO IZ SDELANNOGO NAMI PREDPOLOVENIQ varF = < 1 WYTEKAET NERAWENSTWO, PROTIWOPOLOVNOE (3). pUSTX Fn ) F A SOOTWETSTWU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ 'n (t) ! '(t) PRI 8t 2 R: iMEEM 1 tx 1 tx ' ( t ) dt = e dF ( x ) dt n n ; ; ;1 ;1 ; e dt dFn (x) = k
k
Z
k
Z
j x j>A
Z
Z
i
k
itx ; e dt dFnk (x) +
Z
Z
j x jA
Z
Z
i
k
itx ; e dt dFnk (x)
Z
GDE A { NEKOTOROE POLOVITELXNOE ^ISLO. tAK KAK F (A) ; F (;A) varF TO Fn (A) ; Fn (;A) < + "=4 NA^INAQ S NEKOTOROGO k: u^ITYWAQ, ^TO INTEGRAL tx e x ; e; x = 2 sin( x) e dt = ; ix x I, SLEDOWATELXNO, PO MODUL@ NE PREWOSHODIT 2 (NAPOMNIM, j sin x j j x j), POLU^AEM k
k
i
Z
i
i
Z
Z
j x jA ; Z
j x j>A
Z
;
e txdt dFn (x) 2 ( + "=4) i
k
e txdt dFn (x) = 2 i
k
Z
j x j>A
132
sin( x) dF (x) nk x
Z
j x j>A
2 dF (x) 2 : j x j nk A
eSLI WYBRATX A = 4= " TO
1 ' (t)dt + "=2 2 ; nk ^TO PROTIWORE^IT (3) PRI k ! 1 I, SLEDOWATELXNO, PREDPOLOVENI@ = varF < 1: iTAK, F { FUNKCIQ RASPREDELENIQ, ' { SOOTWETSTWU@Z
]AQ EJ HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ I Fn ) F:
133
x14. pREDELXNYE TEOREMY TEORII WEROQTNOSTEJ lEKCIQ 22
hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII QWLQ@TSQ WESXMA MO]NYM INSTRUMENTOM DLQ POSTROENIQ WEROQTNOSTNYH MODELEJ I POZWOLQ@T BEZ OSOBYH TEHNI^ESKIH SLOVNOSTEJ POLU^ITX IZWESTNYE NAM ZAKONY TEORII WEROQTNOSTEJ, ZNA^ITELXNO RASIRQQ IH OBLASTX DEJSTWIQ. sEJ^AS MY POLU^IM BOLEE SILXNYJ, ^EM p.l. ~EBYEWA, ZAKON BOLXIH ^ISEL I OBOB]IM PREDELXNU@ TEOREMU mUAWRA{lAPLASA NA SUMMY NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN S PROIZWOLXNYM OB]IM ZAKONOM RASPREDELENIQ.
f
tEOREMA 14.1 Xn n
(ZAKON BOLXIH ^ISEL hIN^INA). pUSTX
1g { POSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH ODINAKOWO RASPREDE-
LENNYH SLU^AJNYH WELI^IN S KONE^NYM MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM = EX1 : tOGDA Xn
n X 1 = n
k=1
Xk
!P
:
d O K A Z A T E L X S T W O. w SILU KONE^NOSTI PERWOGO MOMENTA HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ KAVDOGO SLAGAEMOGO DOPUSKAET ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE (PREDLOVENIE 12.1, P. 50) Xk ( ) = 1+ i + ( ) iZ SWOJSTW 20 I 30 PREDLOVENIQ 12.1 SLEDUET, ^TO '
'X
n
( ) = 1+i + t
t
n
o
t
t !!n n
t
o t :
:
o^EWIDNO, X n ( ) ! ( ) = t FUNKCIQ ( ) NEPRERYWNA W TO^KE = 0 I SOOTWETSTWUET HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII KONSTANTY { SLU^AJNOJ WELI^INE, PRINIMA@]EJ ZNA^ENIE S WEROQTNOSTX@ EDINICA. tAKIM OBRAZOM, W SILU TEOREMY NEPRERYWNOSTI 13.1 n ) A POSKOLXKU SLABAQ SHODIMOSTX K POSTOQNNOJ WLE^ET SHODIMOSTX PO WEROQTNOSTI (PREDLOVENIE 11.2), TO n ! P nAIBOLEE SILXNYJ REZULXTAT W ZAKONAH BOLXIH ^ISEL PRINADLEVIT a.n.kOLMOGOROWU, KOTORYJ DOKAZAL, ^TO PRI SU]ESTWOWANII kONE^NO, NAM, KAK WSEGDA, NE MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ n ;! P :N : HWATAET WREMENI DOKAZATX ^TO-NIBUDX STOQ]EE, I ESLI W x11 Q WWODIL '
t
' t
i
e
'
t
X
X
X
:
:
134
PONQTIE SHODIMOSTI PO^TI NAWERNOE, TO \TO DELALOSX TOLXKO DLQ TOGO, ^TOBY SEJ^AS HOTQ BY UPOMQNUTX OB USILENNOM ZAKONE BOLXIH ^ISEL a.n.kOLMOGOROWA. a ^TO BUDET, ESLI OTKAZATXSQ OT USLOWIQ KONE^NOSTI ILI SU]ESTWOWANIQ SREDNEGO ZNA^ENIQ E 1? sLEDU@]IJ PRIMER POKAZYWAET, ^TO SHODIMOSTI K POSTOQNNOJ WELI^INE NE BUDET. p R I M E R (NARUENIQ ZAKONA BOLXIH ^ISEL.) pUSTX 1 n NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY PO ZAKONU kOI C(0, 1). hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ STANDARTNOGO ( = 0 = 1) RASPREDELENIQP kOI ( ) = expf;j jg HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SUMMY n = n1 k RAWNA n( ) = expf; j jg NAKONEC, HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ NORMIROWANNOJ SUMMY n = n RAWNA n( ) = expf;j jg I MY SNOWA POLU^ILI TO VE SAMOE STANDARTNOE RASPREDELENIE kOI! kONE^NO, WNUTRI KAVDOGO IZ NAS TEPLILASX NADEVDA, ^TO n BUDET SHODITXSQ PRI ! 1 K MODE RASPREDELENIQ kOI mod( 1) = 0 NO, UWY, ZAKONY PRIRODY (MATEMATIKI) NEUMOLIMY I, WY^ISLQQ ARIFMETI^ESKOE SREDNEE L@BOGO KOLI^ESTWA REALIZACIJ SLU^AJNYH WELI^IN S RASPREDELENIEM kOI, MY TAKVE BUDEM (W SREDNEM) DALEKI OT MODY, KAK I NA PERWOM AGE NAEGO STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA. iZU^IM TEPERX BOLEE PODROBNO ASIMPTOTI^ESKOE ( ! 1) RASPREP DELENIE n1 k X
X :::X
a
' t
t
'
t
b
S
n t
X
X
S =n
'
t=n
t
X
n
X
n
X :
f
tEOREMA 14.2
Xn n
(CENTRALXNAQ PREDELXNAQ TEOREMA). pUSTX
1g { POSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH, ODINAKOWO RASPREDE-
LENNYH SLU^AJNYH WELI^IN S KONE^NYMI MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM EX1 = I DISPERSIEJ DX1 = 2: tOGDA PRI L@BOM x 2 R
0 Xn 1 Xk ; n 1 lim P @ 1 p < xA = (x) = p
!1
n
Zx ;t2=2 e dt:
2 ;1
n
d O K A Z A T E L X S T W O. rASSUVDENIQ TE VE, ^TO I PRI WYWODE ZAKONA BOLXIH ^ISEL, NO ISPOLXZUETSQ SU]ESTWOWANIE DWUH MOMENTOW U k w SILU P. 50 PREDLOVENIQ 12.1 HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ NORMIROWANNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY k = ( k ; ) U KOTOROJ E k = 0 I D k = 1 DOPUSKAET ASIMPTOTI^ESKOE ( ! 0) PREDSTAWLENIE X :
Y
Y
X
t
=
1 0 2 t 2 + o(t )A : 'Yk (t) = @1 ;
2
135
Y
tEPERX, W SILU P. 20 PREDLOVENIQ 12.1, HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ NORMIROWANNOJ SUMMY Xn n X 1 k; 1 p n= p k = 1 IMEET ASIMPTOTIKU 0 1n 2 2 A @ Sn ( ) = 1 ; 2 + ( ) o^EWIDNO, ;t =2 Sn ( ) ! ESLI ! 1 A \TO, KAK NAM IZWESTNO IZ x12, ESTX HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ STANDARTNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ N(0 1) pOSKOLXKU PREDELXNAQ NORMALXNAQ FUNKCIQ ( ) NEPRERYWNA NA WSEM R, TO FUNKCIQ RASPREDELENIQ n SHODITSQ K ( ) PRI L@BOM 2 R sU]ESTWU@T OBIRNEJIE ISSLEDOWANIQ PO RASPREDELENIQM SUMM SLU^AJNYH WELI^IN, W KOTORYH CENTRALXNAQ PREDELXNAQ TEOREMA OBOB]AETSQ NA SLU^AJ \SLABO ZAWISIMYH" ILI RAZNO RASPREDELENNYH, NO OBLADA@]IH ODINAKOWYM PORQDKOM MALOSTI, SLU^AJNYH WELI^IN RASSMATRIWA@TSQ SUMMY SLU^AJNYH WEKTOROW I SUMMY SLU^AJNYH \LEMENTOW, PRINIMA@]IH ZNA^ENIQ W ABSTRAKTNYH PROSTRANSTWAH, I T.D., I T.P., TAK ^TO NE PERESTAEX UDIWLQTXSQ, KAK \TO MOVNO ^TO-TO E]E SDELATX W OBLASTI TOGO, GDE, KAVETSQ, WSe UVE SDELANO. mY NE BUDEM UGLUBLQTXSQ W \TU OBIRNEJU@ TEMATIKU I ZAJMEMSQ BOLEE PRIKLADNYMI WOPROSAMI { PRODOLVIM POSTROENIE WEROQTNOSTNYH MODELEJ, MATEMATI^ESKOJ OSNOWOJ KOTORYH SLUVAT PREDELXNYE TEOREMY TEORII WEROQTNOSTEJ. wEROQTNOSTNYE MODELI ROSTA. uSLOWIMSQ UPOTREBLQTX TERMINOLOGI@, SWQZANNU@ S BIOLOGI^ESKIMI ISSLEDOWANIQMI O PRILOVENIQH K DRUGIM OBLASTQM ESTESTWOZNANIQ POGOWORIM NIVE, POSLE WYWODA OSNOWNOGO URAWNENIQ MODELI. pREDPOLOVIM, ^TO MY POSADILI S WAMI MALENXKOE DEREWCE (SAVENEC) WYSOTY 0 I WO WSE POSLEDU@]IE GODY PROIZWODIM ZAMERY WYSOTY RASTU]EGO DEREWA. nAS INTERESUT PROGNOZ WYSOTY 1 2 DEREWA PO ISTE^ENII LET. eSTESTWENNO, NA EVEGODNYJ PRIROST WYSOTY DEJSTWUET OGROMNOE KOLI^ESTWO PRIRODNYH FAKTOROW: TEMPERATURA, OSADKI, SOLNE^NOE OSWE]ENIE, PLODORODIE PO^WY I T.P., PO\TOMU MY, O^EWIDNO, IMEEM DELO SO STOHASTI^ESKIM PROGNOZOM, KOTORYJ S
n
'
t
t
o t
n
'
n
X
Y
t
e
2
n
n
:
:
x
S
x
x
x x :::
n
136
x
:
FORMULIRUETSQ, PRIMERNO, KAK SLEDU@]EE ZAKL@^ENIE: \~EREZ 60 LET S WEROQTNOSTX@ 0,9 WYSOTA DEREWA BUDET NE MENXE 15 METROW." kONE^NO, TAKOJ PROGNOZ, KAK I W SLU^AE ODNOKRATNOGO PODBRASYWANIQ MONETY, NELXZQ PRIMENITX K ODNOMU POSAVENNOMU DEREWU, NO EGO MOVNO ISPOLXZOWATX W PROGNOZE \ZRELOSTI" LESNOJ POSADKI, SOSTOQ]EJ IZ BOLXOGO ^ISLA DEREWXEW, I TOGDA NAE ZAKL@^ENIE BUDET OTNOSITXSQ PRIBLIZITELXNO K 90% SAVENCEW. iTAK, MY DOLVNY TRAKTOWATX ZAMERY 1 2 W TERMINAH REALIZACIJ KOMPONENT POSLEDOWATELXNOSTI SLU^AJNYH WELI^IN 1 2 I POPYTATXSQ FORMALIZOWATX W MATEMATI^ESKIH TERMINAH PRI^INU \RAZBROSA" W ZNA^ENIQH EVEGODNYH PRIRA]ENIJ k = k ; k;1 WYSOTY DEREWA. eSTESTWENNO PREDPOLOVITX, ^TO PRIROST k WYZWAN SUMMARNYM DEJSTWIEM WSEH TEH PRI^IN ROSTA, O KOTORYH MY GOWORILI WYE, TO ESTX DEJSTWIEM NEKOTOROGO NEOTRICATELXNOGO \IMPULXSA" k ( 0) mEVDU k I k SU]ESTWUET PRIBLIVENNAQ LINEJNAQ SWQZX k = k k GDE k ZAWISIT OT WYSOTY k;1 DEREWA, KOTOROJ ONO DOSTIGLO PO ISTE^ENII LET. pOLOVIM k = ( k;1) S ESTESTWENNYM USLOWIEM NEOTRICATELXNOSTI I NEPRERYWNOSTI FUNKCII () tAKIM OBRAZOM, MY PRIHODIM K REKURENTNYM SOOTNOENIQM, KOTORYE OPISYWA@T EVEGODNYJ PRIROST WYSOTY DEREWA, =1 2 (1) k ; k ;1 = k ( k;1 ) nAM OSTALOSX TOLXKO SDELATX NEKOTORYE PREDPOLOVENIQ, KASA@]IESQ RASPREDELENIQ SLU^AJNYH WELI^IN k = 1 2 bUDEM S^ITATX, ^TO \TI SLU^AJNYE WELI^INY NEOTRICATELXNY, NEZAWISIMY, ODINAKOWO RASPREDELENY I OBLADA@T KONE^NYMI MOMENTAMI WTOROGO PORQDKA: SREDNIM ZNA^ENIEM = E k I DISPERSIEJ 2 = D k nAPOMNIM, ^TO MY INTERESUEMSQ RASPREDELENIEM SLU^AJNOJ WELI^INY n REALIZACIQ n KOTOROJ UKAZYWET RAZMER KONKRETNOGO DEREWA PO ISTE^ENII LET. pEREPIEM PERWYE REKURENTNYH SOOTNOENIJ (1) W WIDE = k ; k;1 =1 x x :::
X X :::
X
:
X
X
k
g X
g
X
X
g X
k
a
X
:
:::
k
b
::::
:
x
n
n
k
X
X
( ;1)
g Xk
k
:::n
I PROSUMMIRUEM LEWYE I PRAWYE ^ASTI \TIH RAWENSTW. w REZULXTATE POLU^IM n n X X k ; k ;1 = 1
k
X
1
X
( ;1 )
g Xk
137
:
eSLI KAVDYJ IMPULXS WYZYWAET NEZNA^ITELXNYJ PRIROST DEREWA, TO ESTX WSE k = k ; k;1 MALY, TO, TRAKTUQ PRAWU@ ^ASTX POSLEDNEGO RAWENSTWA KAK INTEGRALXNU@ SUMMU, POLU^AEM PRIBLIVENNOE RAWENSTWO ZX X
X
n X 1
k
=
dt
x0
()
g t
(2)
GDE = n { OKON^ATELXNYJ RAZMER DEREWA. tAK KAK FUNKCIQ ( ) POLOVITELXNA, TO INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (2) PREDSTAWLQET SOBOJ NEKOTORU@ MONOTONNO WOZRASTA@]U@ FUNKCI@ ( ) pRIMENENIE CENTRALXNOJ PREDELXNOJ TEOREMY 14.2 K LEWOJ ^ASTI (2) PRIWODIT K UTWERVDENI@: PO ISTE^ENII DOSTATO^NO BOLXOGO SROKA POSLE POSADKI DEREWA ( 1) RASPREDELENIE EGO WYSOTY 2 OPREDELQETSQ SOOTNOENIEM ( ) N( 2) GDE = = 2 w SILU MONOTONNOSTI FUNKCII () 0 1 ( ) ; A ( )= ( )= ( ( ) ( )) = @ X
X
g x
h X :
n
X
h X
na
nb :
h
F x
P X < x
P h X
h x
< h x
:
oSTALOSX REITX PROBLEMU S WYBOROM FUNKCII ( ) eSLI POSTULIROWATX, ^TO PRIROST WYSOTY DEREWA PROPORCIONALEN DOSTIGNUTOJ WYSOTE. TO ESTX POLOVITX ( ) = A IMENNO TAKOE PREDPOLOVENIE NAIBOLEE ^ASTO ISPOLXZUETSQ W MODELQH ROSTA, TO MY PRIDEM K SLEDU@]EMU RASPREDELENI@ SLU^AJNOJ WELI^INY lOGARIFMI^ESKI-NORMALXNOE RASPREDELENIE LN( ) pRI ( ) = INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (2) S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO ; ln 0 RAWEN ln TAK ^TO ln N( 2) I FUNKCIQ RASPREDELENIQ ln ; ! 0 ( )= g
g t
:
t
X:
:
g t
t
x
X
X
X
x
F x
FUNKCIQ PLOTNOSTI ( j
f x
x >
8 9 < (ln x ; )2 = exp :; 22 : x
) = p1 2
|TO UNIMODALXNOE, REZKO ASIMMETRI^NOE ( 1 0) RASPREDELENIE, GRAFIK PLOTNOSTI KOTOROGO IMEET SLEDU@]IJ WID:
138
>
kONE^NO, W PRAKTI^ESKIH PRILOVENIQH CELESOOBRAZNEE OPERIROWATX NE S A S EGO NATURALXNYM LOGARIFMOM = ln POSLE ^EGO PROIZWODITX WSE RAS^ETY, ISPOLXZUQ MODELX NORMALXNOGO RASPREDELENIQ. lOGARIFMI^ESKI-NORMALXNYJ ZAKON NOSIT DOSTATO^NO UNIWERSALXNYJ HARAKTER. |TOMU RASPREDELENI@ POD^INQETSQ RAZMER TRE]INY W ISPYTUEMOM OBRAZCE MATERIALA, KOTORYJ PODWERGAETSQ CIKLI^ESKIM NAGRUVENIQM \NA IZGIB" { WY MOVETE SAMI BEZ OSOBYH FANTAZIJNYH USILIJ PERESKAZATX NAI POSTROENIQ S WYSOTOJ DEREWA W TERMINAH RAZMERA TRE]INY. aNALOGI^NYE RASSUVDENIQ MOGUT BYTX TAKVE PRIMENENY W IZU^ENII ROSTA DOHODOW U OTDELXNYH LIC DOSTATO^NO ODNORODNOJ ^ELOWE^ESKOJ POPULQCII. pROWODIMYE W \TOM NAPRAWLENII STATISTI^ESKIE ISSLEDOWANIQ UKAZYWA@T NA HOROEE SOGLASIE S LOGARIFMI^ESKI-NORMALXNYM RASPREDELENIEM DOSTATO^NO NIZKIH DOHODOW, W TO WREMQ KAK DLQ UMERENNYH I WYSOKIH DOHODOW BOLEE PODHODQ]IM QWLQETSQ RASPREDELENIE pARETO. w RAMKAH POSTROENNOJ NAMI MODELI ROSTA ^ASTO WOZNIKAET ZADA^A, KOTORU@ MOVNO TRAKTOWATX KAK NEKOTORU@ ALXTERNATIWU K PROBLEME WYWODA RASPREDELENIQ RAZMERA, DOSTIGNUTOGO K OPREDELENNOMU SROKU \RASTU]IM" OB_EKTOM ISSLEDOWANIQ. pUSTX FIKSIROWAN NEKOTORYJ UROWENX RAZMERA (DEREWA, TRE]INY, DOHODA) I NAS INTERESUET RASPREDELENIE MOMENTA WREMENI (NOMERA CIKLA), NA KOTOROM \TOT RAZMER BUDET DOSTIGNUT. uDIWITELXNO, ^TO W RAMKAH NAEJ MODELI \TO RASPREDELENIE NE ZAWISIT OT WYBORA POLOVITELXNOJ FUNKCII () I POLU^ITX EGO MOVNO PUTEM SLEDU@]IH TRIWIALXNYH RASSUVDENIJ. rASPREDELENIE bIRNBAUMA{sAUNDERSA BS( ). pUSTX { SLU^AJNAQ WELI^INA, REALIZU@]AQ MOMENT DOSTIVENIQ ZADANNOGO RAZMERA tOGDA SOBYTIE \KWIWALENTNO SOBYTI@ n (NAPOMX
Y
X
x
g
x:
> n
X
139
< x
NIM, WSE k 0) { K MOMENTU WREMENI WYSOTA DEREWA E]E NE DOSTIGLA UROWNQ iTAK, 0 1 ( ) ; ( )= ( n ) = ( ( n) ( )) = @ p A (3) zAMENIM TEPERX NA \NEPRERYWNU@" PEREMENNU@ I WWEDEM NOWYE p p PARAMETRY I OPREDELIW IH URAWNENIQMI = ( ) = cEPO^KA RAWENSTW (3) POZWOLQET NAM ZAPISATX RASPREDELENIE SLU^AJNOGO MOMENTA WREMENI W KOTORYJ DEREWO (TRE]INA, DOHOD,) DOSTIGNET ZADANNOGO UROWNQ : 0 0v v 11
n
x:
P
> n
P X
< x
P h X
h x
< h x
b
n
na
n
:
t
h x =b
=
a=b:
x
()= (
F t
P
0
:
|TO UNIMODALXNOE RASPREDELENIE, KOTOROE NAZYWAETSQ RASPREDELENIEM bIRNBAUMA{sAUNDERSA, I MY BUDEM OBOZNA^ATX EGO BS( ). gRAFIK PLOTNOSTI BS-RASPREDELENIQ (Q, NADE@SX, WY DOSTATO^NO OBRAZOWANY W OBLASTI MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, ^TOBY NAJTI PROIZWODNU@ OT ( )) O^ENX POHOV NA FUNKCI@ PLOTNOSTI GAMMA-RASPREDELENIQ. BS-RASPREDELENIE IGRAET BOLXU@ ROLX PRI RAS^ETAH NADEVNOSTI OB_EKTOW, DOLGOWE^NOSTX KOTORYH OPREDELQETSQ RAZWITIEM TRE]IN, PRIWODQ]IH K GIBELI OB_EKTA. rASSMOTRIM E]E ODNO RASPREDELENIE, ^ASTO ISPOLXZUEMOE W PRAKTI^ESKIH RAS^ETAH NADEVNOSTI SLOVNYH SISTEM. rASPREDELENIE wEJBULLA W( ) (MODELX SLABOGO ZWENA). iMEETSQ CEPX, SOSTOQ]AQ IZ BOLXOGO ^ISLA ZWENXEW. dOPUSTIM, ^TO PRO^NOSTI 1 n OTDELXNYH ZWENXEW MOVNO TRAKTOWATX KAK REALIZACII NEZAWISIMYH, ODINAKOWO RASPREDELENNYH SLU^AJNYH WELI^IN 1 n nA OBA KONCA CEPI PODAETSQ RAWNOMERNO WOZRASTA@]AQ NAGRUZKA, I FIKSIRUETSQ NAPRQVENIE, PRI KOTOROM PROISHODIT RAZRYW CEPI. o^EWIDNO \TO NAPRQVENIE RAWNO PRO^NOSTI NAISLABEJEGO ZWENA CEPI, PO\TOMU EGO MOVNO TRAKTOWATX KAK REALIZACI@ SLU^AJNOJ WELI^INY
F t
n
x :::x
n
X :::X :
X
= 1min kn
Xk :
eSLI ( ) { FUNKCIQ RASPREDELENIQ KAVDOGO k = 1 TO FUNKCIQ RASPREDELENIQ OPREDELQETSQ POSREDSTWOM SLEDU@]IH RAS^ETOW, W KOTORYH SU]ESTWENNO ISPOLXZUETSQ NEZAWISIMOSTX 1 n: ) =1; ( ) =1; ( 1 n( ) = ( n )= F x
X
k
: : : n
X
X :::X
G
x
P X < x
P X
x
140
P X
x : : : X
x
1;
n Y
) = 1 ; (1 ; ( ))n k =1 pRI BOLXIH ESTESTWENNO WMESTO n( ) ISPOLXZOWATX EE ASIMPTOTIKU. oDNAKO PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM ( 0) WEROQTNOSTX n( ) ! 1 ESLI ! 1 I PO\TOMU MY DOLVNY PROWESTI NORMIROWKU PO ANALOGII S TEM, KAK \TO DELALOSX W CENTRALXNOJ PREDELXNOJ TEOREME, ^TOBY RASPREDELENIE NE WYROVDALOSX, KOGDA ! 1 pONQTNO TAKVE, ^TO PO WEROQTNOSTI SHODITSQ K NUL@, PO\TOMU NORMIROWKU SLEDUET PROIZWODITX DOMNOVENIEM NA NEKOTORU@ RASTU]U@ FUNKCI@ OT pRI \TOM NAM NE IZBEVATX USLOWIJ NA POWEDENIE FUNKCII RASPREDELENIQ ( ) PRI ! 0+ { DOPUSTIM, ^TO ( ) GDE I { NEOTRICATELXNYE ^ISLA (UDIWITELXNO, NO WSE IZU^ENNYE NAMI RASPREDELENIQ, SOSREDOTO^ENNYE NA POLOVITELXNOJ POLUOSI, UDOWLETWORQ@T \TOMU USLOWI@). fUNKCIQ RASPREDELENIQ ( ) NORMIROWANNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY = 1= NE WYROVDAETSQ S ROSTOM I PREDELXNOE RASPREDELENIE NAHODITSQ S POMO]X@ SLEDU@]IH WYKLADOK: (
P Xk
x
F x
n
G
:
x
x >
n
G
x
X
n
:
X
X
n:
F x
x
F x
ax
a
W x
Y
n
X
n
( )= (
W x
P Y < x
0 1 ; @1 ; a
)= x
1=
n
P
X
0: wYBEREM t < t 1 ] I PODS^ITAEM WEROQTNOSTX TOGO, ^TO W KAVDOM IZ PROMEVUTKOW Tk Tk + t) GDE Tk = t1 + : : : + tk k = 1 : : : n PROIZOLO TOLXKO PO ODNOMU SOBYTI@, W TO WREMQ KAK W PROMEVUTKAH
0 t1) I Tk + t Tk+1) k = 1 : : : n ; 1 SOBYTIJ NE BYLO. o^EWIDNO, PRI t ! 0 ASIMPTOTIKA \TOJ WEROQTNOSTI DOLVNA IMETX WID fn(t1 : : : tn)(t)n I \TO OBSTOQTELXSTWO POZWOLIT NAM POLU^ITX ISKOMU@ FUNKCI@ PLOTNOSTI fn: w SILU POSTULATA (P2) NEZAWISIMOSTI PRIRA]ENIJ WSE IZ RASSMATRIWAEMYH 2n SOBYTIJ O POQWLENII PO ODNOMU ILI POLNOMU OTSUTSTWI@ INCIDENTOW W UKAZANNYH WREMENNYH PROMEVUTKAH QWLQ@TSQ NEZAWISIMYMI WEROQTNOSTX POQWLENIQ ROWNO ODNOGO SOBYTIQ W KAVDOM IZ PROMEVUTKOW Tk Tk + t) k = 1 : : : n RAWNA (POSTULAT (P1)) p1(t) A WEROQTNOSTI OTSUTSTWIQ SOBYTIJ W PROMEVUTKAH 0 t1) I Tk + t Tk+1) RAWNY SOOTWETSTWENNO p0(t1) I p0(tk+1 ; t) k = 1 : : : n ; 1: tAKIM OBRAZOM, WEROQTNOSTX SOWMESTNOGO OSU]ESTWLENIQ WSEH 2n SOBYTIJ W TERMINAH FUNKCII px(t) RAWNA p0(t1
)pn(t) 1
nY ;1 1
p0 (tk+1 ; t) :
eSLI t ! 0 TO PRIMENENIE FORMULY (1) DAET p0(t1) = expf;t1g pn1 (t) = n expf;ntg(t)n n(t)n 149
(3)
p0 (tk+1 ; t) = exp f;tk+1 + tg exp f;tk+1g : pODSTAWLQQ POLU^ENNYE ASIMPTOTIKI W (3), POLU^AEM S TO^NOSTX@ DO MNOVITELQ (t)n PRAWU@ ^ASTX (2). dOKAZANNOE PREDLOVENIE POZWOLQET NAM DOSTATO^NO PROSTO USTANOWITX RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY REALIZACIQ KOTOROJ SOOTWETSTWUET MOMENTU PERWOGO DOSTIVENIQ PUASSONOWSKIM PROCESSOM ZADANNOGO UROWNQ h: sLEDSTWIE 15.1. sLU^AJNAQ WELI^INA IMEET GAMMA-RASPREDELENIE G(m ;1) GDE PARAMETR FORMY m PRINIMAET CELO^ISLENNOE ZNA^ENIE, RAWNOE h ESLI h CELOE, I RAWNOE h ] + 1 ESLI h DROBNOE. d O K A Z A T E L X S T W O. NEMEDLENNO WYTEKAET IZ REZULXTATA PREDLOVENIQ 15.1, POSKOLXKU m X = k 1 GDE 1 : : : m NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY W SOOTWETSTWII S POKAZATELXNYM RASPREDELENIEM E(;1) (NAPOMNIM, ^TO IMENNO TAKIM OBRAZOM WWODILOSX GAMMA-RASPREDELENIE W x12). uSTANOWLENNAQ SWQZX GAMMA-RASPREDELENIQ S PUASSONOWSKIM POTOKOM SOBYTIJ OTKRYWAET NOWU@ OBLASTX PRILOVENIJ \TOGO RASPREDELENIQ. |TO { WEROQTNOSTNYE MODELI IZNOSA I STARENIQ. pROSTEJIJ PRIMER POSTROENIQ TAKOJ MODELI DAET ISSLEDOWANIE PROCESSA IZNOSA PROTEKTORA AWTOMOBILXNOJ INY. rEZONNO S^ITATX, ^TO RAZLI^NOGO RODA PREPQTSTWIQ, WOZNIKA@]IE NA PUTI DWIVENIQ AWTOMOBILQ I PRIWODQ]IE K REZKOMU TORMOVENI@, REALIZU@T PUASSONOWSKIJ POTOK SOBYTIJ. kAVDOE REZKOE TORMOVENIE PRIWODIT K UMENXENI@ GLUBINY r PROTEKTORA NA OPREDELENNU@ (PREDPOLOVIM, DLQ PROSTOTY,{ ODINAKOWU@) WELI^INU r: w TAKOM SLU^AE \OBLYSENIE" IN NASTUPIT POSLE m TORMOVENIJ, GDE m W SOOTWETSTWII SO SLEDSTWIEM 15.1 OPREDELQETSQ UROWNEM h = r=r: e]E ODNO ZAME^ATELXNOE SWOJSTWO PUASSONOWSKOGO PROCESSA, HARAKTERIZU@]EE OSOBOGO RODA SLU^AJNOSTX W POTOKE SOBYTIJ, SOSTOIT W SLEDU@]EJ SPECIFIKE USLOWNOGO RASPREDELENIQ MOMENTOW POQWLENIQ FIKSIROWANNOGO ^ISLA n SOBYTIJ NA FIKSIROWANNOM PROMEVUTKE WREMENI 0 T ]: tO^NAQ FORMULIROWKA \TOGO SWOJSTWA OSU]ESTWLQETSQ W TERMINAH SPECIALXNOGO SLU^AJNOGO WEKTORA, IGRA@]EGO WAVNU@ ROLX W MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE. 150
pUSTX X1 : : : Xn { SLU^AJNYJ WEKTOR, ZADANNYJ NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE ( A) S NEZAWISIMYMI ODINAKOWO RASPREDELENNYMI S PLOTNOSTX@ f (x) PO MERE lEBEGA KOMPONENTAMI. wEKTOR X 1 ] : : : X n ] POLU^ENNYJ IZ ISHODNOGO WEKTORA UPORQDO^IWANIEM EGO KOMPONENT PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM ! 2 NAZYWAETSQ WARIACIONNYM RQDOM. tAKIM OBRAZOM, PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM ! 2 KOMPONENTY WARIACIONNOGO RQDA UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWAM X 1 ](!) : : : X n ](!) I ESLI x1 = X1(!) : : : xn = Xn(!) TO x 1 ] = minfx1 : : : xng x 2 ] RAWEN WTOROMU PO WELI^INE ZNA^ENI@ SREDI x1 : : : xn x 3 ] { TRETXEMU I T.D., TAK ^TO REALIZACIQ (PRI \LEMENTARNOM ISHODE !) POSLEDNEJ KOMPONENTY WARIACIONNOGO RQDA x n ] = maxfx1 : : : xng: fUNKCIQ PLOTNOSTI ISHODNOGO WEKTORA X1 : : : Xn S NEZAWISIMYMI, ODINAKOWO NEPRERYWNO RASPREDELENNYMI KOMPONENTAMI RAWNA fn(x1 : : : xn) =
n Y
k=1
f (xk )
A FUNKCIQ PLOTNOSTI WARIACIONNOGO RQDA OTLI^NA OT NULQ TOLXKO W OBLASTI x1 x2 : : : xn I RAWNA gn(x1 : : : xn) = n!fn(x1 : : : xn): dLQ TOGO, ^TOBY UBEDITXSQ W \TOM, DOSTATO^NO PRIMENITX METOD, KOTORYJ ISPOLXZOWALSQ PRI DOKAZATELXSTWE POSLEDNEGO PREDLOVENIQ. dLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO RQDA x1 < x2 < : : : < xn ARGUMENTOW FUNKCII PLOTNOSTI gn() I x < min1kn;1(xk+1 ; xk ) WY^ISLIM WEROQTNOSTX SOBYTIQ A, SOSTOQ]EGO W TOM, ^TO ODNA IZ KOMPONENT ISHODNOGO WEKTORA X1 : : : Xn POPADET W INTERWAL x1 x1 +x) (SOBYTIE A1), DRUGAQ, IZ OSTAWIHSQ n ; 1 KOMPONENT, W INTERWAL x2 x2 + x) (SOBYTIE A2), I T.D., TAK ^TO POSLEDNQQ IZ OSTAWIHSQ KOMPONENT DOLVNA POPASTX W INTERWAL xn xn + x) (SOBYTIE An). w SILU NEZAWISIMOSTI KOMPONENT SOBYTIQ A1 : : : An NEZAWISIMY, I PO\TOMU 0n 1 n \ Y P (A) = P @ Ak A = P (Ak ): 1
1
eSLI F (x) { FUNKCIQ RASPREDELENIQ, SOOTWETSTWU@]AQ PLOTNOSTI f (x) TO WEROQTNOSTX SOBYTIQ A1 RAWNA n F (x1 + x) ; F (x1)] POSKOLXKU U KAVDOJ KOMPONENTY WEROQTNOSTX POPASTX W UKAZANNYJ INTERWAL x1 x1 + x) ODNA I TA VE I RAWNA RAZNOSTI ZNA^ENIJ FUNKCII RASPREDELENIQ NA KONCAH INTERWALA, A SAMO SOBYTIE A1 SOSTOIT IZ n NESOWMESTNYH SOBYTIJ POPADANIQ SOOTWETSTWU@]IH KOMPONENT 151
W \TOT INTERWAL. wEROQTNOSTX SOBYTIQ A2 SOSTOQ]EGO IZ n ; 1 NESOWMESTNYH SOBYTIJ POPADANIQ ODNOJ IZ OSTAWIHSQ KOMPONENT SLU^AJNOGO WEKTORA W INTERWAL x2 x2 + x) W SILU TEH VE DOWODOW RAWNA (n ; 1) F (x2 + x) ; F (x2)] : pRODOLVAQ W TOM VE DUHE, PRIDEM K POSLEDNEMU SOBYTI@ An WEROQTNOSTX KOTOROGO RAWNA F (xn+x);F (xn): pEREMNOVAQ \TI WEROQTNOSTI, POLU^AEM n Y P (A) = n! F (xk + x) ; F (xk ) ] k=1
^TO PRI x ! 0 \KWIWALENTNO n!fn(x1 : : : xn)(x)n TAK ^TO MNOVITELX PERED (x)n DAET ISKOMU@ FUNKCI@ PLOTNOSTI gn(x1 : : : xn) WARIACIONNOGO RQDA. w ^ASTNOSTI, FUNKCIQ PLOTNOSTI WARIACIONNOGO RQDA RAWNOMERNOGO NA INTERWALE 0 T ] RASPREDELENIQ gn(x1 : : : xn) = n!T ;n 0 x1 : : : xn T: (4) tEPERX SFORMULIRUEM OBE]ANNOE SWOJSTWO PUASSONOWSKOGO PROCESSA. pREDLOVENIE 15.2. sOWMESTNOE RASPREDELENIE MOMENTOW 1 : : : : : : n POQWLENIQ n SOBYTIJ NA INTERWALE 0 T ] PUASSONOWSKOGO PROCESSA PRI USLOWII, ^TO W \TOM INTERWALE POQWILOSX ROWNO n SOBYTIJ, SOWPADAET S RASPREDELENIEM WARIACIONNOGO RQDA RAWNOMERNOGO NA INTERWALE 0 T ] RASPREDELENIQ.
d O K A Z A T E L X S T W O. sNOWA ISPOLXZUEM METOD ASIMPTOTI^ESKOGO PREDSTAWLENIQ FUNKCII PLOTNOSTI. wYBEREM NA INTERWALE 0 T ] UPORQDO^ENNYJ RQD IZ n TO^EK 0 < t1 < : : : < tn < T A TAKVE WYBEREM t MENXEE L@BOGO IZ PROMEVUTKOW, OGRANI^ENNYH TO^KAMI t1 : : : tn: pUSTX A = B0 \n1 (Ak Bk ) { SOBYTIE, SOSTOQ]EE W TOM, ^TO W KAVDOM IZ INTERWALOW tk tk + t) k = 1 : : : n POQWITSQ ROWNO PO ODNOMU PUASSONOWSKOMU SOBYTI@ (\TI PUASSONOWSKIE SOBYTIQ OBOZNA^A@TSQ Ak ), A W INTERWALAH 0 t1) tk + t tk+1) k = 1 : : : n ; 1 tn + t T ] PUASSONOWSKIH SOBYTIJ NE BYLO (\TI \PODSOBYTIQ" OBOZNA^A@TSQ Bk k = 0 : : : n). sOBYTIE, SOSTOQ]EE W TOM, ^TO NA INTERWALE 0 T ] POQWILOSX ROWNO n PUASSONOWSKIH SOBYTIJ (USLOWIE) OBOZNA^IM B: w \TIH OBOZNA^ENIQH DOKAZATELXSTWO PREDLOVENIQ SOSTOIT W WYWODE SLEDU@]EJ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULY (SM. FORMULU (4)): P (A j B ) = P (A \ B )=P (B ) = n!T ;n: 152
pOWTORQQ RASSUVDENIQ, KOTORYE MY PROWODILI PRI DOKAZATELXSTWE PREDLOVENIQ 15.1 PRI t ! 0 POLU^AEM P (A \ B ) = 8
39 = 5 + ( t ; t ; t ) + T ; t ; t 1 k +1 k n : 1 8 2 39 nX ;1 < = n 4 5 exp :; t1 + (tk+1 ; tk ) + T ; tn (t)n = ne;T (t)n: 2
< (t)n exp ; 4 nt + t
nX ;1
1
pOSKOLXKU WEROQTNOSTX POQWLENIQ ROWNO n SOBYTIJ W PROMEVUTKE
0 T ] RAWNA P (B ) = (T )ne;T =n! TO gn(t1 : : : tn)(t)n P (A \ B )=P (B ) n!T ;n: dOKAZANNOE PREDLOVENIE PROLIWAET SWET NA FENOMEN PUASSONOWOSTI SPORADI^ESKOGO FONA METEOROW (SM. PRIMER 7 IZ x1). pO-WIDIMOMU, SPORADI^ESKIE METEORNYE ^ASTICY RAWNOMERNO ZAPOLNQ@T PROSTRANSTWO OKOLO ORBITY zEMLI, I PRI EE DWIVENII MY NATALKIWAEMSQ NA OTDELXNYE ^ASTICY (PUASSONOWSKIE SOBYTIQ) TAK, ^TO MOMENTY \TIH STOLKNOWENIJ WYSTRAIWA@T WARIACIONNYJ RQD RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ. wINEROWSKIJ PROCESS
wERNEMSQ K PRIMERU 15.4 I RASSMOTRIM BROUNOWSKOE DWIVENIE NA PLOSKOSTI. ~ASTICA WE]ESTWA POME]AETSQ W NA^ALO DEKARTOWOJ SISTEMY KOORDINAT (x y) NA PLOSKOSTI, I TRAEKTORIQ EE DWIVENIQ OPISYWAETSQ KRIWOJ S PARAMETRI^ESKIM URAWNENIEM x = x(t) y = y(t): nAS INTERESU@T KONE^NOMERNYE RASPREDELENIQ DWUMERNOGO PROCESSA Z (t) = (X (t) Y (t)) DLQ ^EGO DOSTATO^NO OPREDELITX SOWMESTNU@ FUNKCI@ RASPREDELENIQ F (x1 y1 x2 y2 : : : xn yn) = P (X (t1) < x1 Y (t1) < y1 : : : X (tn) < xn Y (tn) < yn): mY NA^NEM S O^EWIDNOGO USLOWIQ NEZAWISIMOSTI I ODINAKOWOJ RASPREDELENNOSTI KOMPONENT X (t) I Y (t) PROCESSA Z (t): hAOTI^ESKOE DWIVENIE OTDELXNYH, NE SWQZANNYH DRUG S DRUGOM MOLEKUL TOLKAET ^ASTICU W NAPRAWLENII OSI OX WNE ZAWISIMOSTI OT TOGO, ^TO DELA@T 153
DRUGIE MOLEKULY, SPOSOBSTWU@]IE EE DWIVENI@ W NAPRAWLENII OY: tAKIM OBRAZOM, BROUNOWSKOE DWIVENIE NA PLOSKOSTI MOVNO RASSMATRIWATX KAK PRQMOE PROIZWEDENIE DWUH ODNOMERNYH ODINAKOWO RASPREDELENNYH BROUNOWSKIH DWIVENIJ. sU]ESTWUET NESKOLXKO MODELEJ ODNOMERNOGO BROUNOWSKOGO DWIVENIQ X (t) t 2 R+ IZ KOTORYH MY OSTANOWIMSQ NA PROSTEJEJ, PREDLOVENNOJ n.wINEROM W NA^ALE XX WEKA, I PO\TOMU NOSQ]EJ NAZWANIE WINEROWSKOGO PROCESSA. pOSTROENIE MODELI OSU]ESTWLQETSQ PO ANALOGII S WYWODOM NORMALXNOGO RASPREDELENIQ PUTEM PREDELXNOGO PEREHODA W BINOMIALXNOM RASPREDELENII PRI NEOGRANI^ENNOM WOZRASTANII ^ISLA ISPYTANIJ bERNULLI. rAZOB_EM WREMENNU@ OSX T = R+ NA MALYE INTERWALY ODINAKOWOJ DLINY 1=n WWEDEM \DISKRETNOE WREMQ" t = k=n k = 0 1 : : : I BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO ^ASTICA DWIVETSQ \RYWKAMI" W \TI MOMENTY WREMENI, PEREDWIGAQSX S WEROQTNOSTX@ 1/2 WPRAWO NA NEKOTORU@ WELI^INU ILI, S TOJ VE WEROQTNOSTX@ 1/2, WLEWO NA TAKU@ VE WELI^INU KOTORAQ NE ZAWISIT OT WREMENI t: tAKOJ DISKRETNYJ SLU^AJNYJ PROCESS Xn(t) t = k=n k = 0 1 : : : TRAEKTORIQ xn(t) KOTOROGO OPREDELQET POLOVENIQ ^ASTICY W KAPILLQRE W MOMENTY WREMENI t MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUMMY NEZAWISIMYH ODINAKOWO RASPREDELENNYH SLU^AJNYH WELI^IN, PRINIMA@]IH WSEGO DWA RAWNYH PO MODUL@ ZNA^ENIQ. dEJSTWITELXNO, PUSTX X1 X2 : : : { BESKONE^NAQ POSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN, KAVDAQ IZ KOTORYH PRINIMAET ZNA^ENIQ +1 ILI {1 S ODINAKOWOJ WEROQTNOSTX@ 1/2. tOGDA Xn(t) =
tn X i=0
Xi
PRI L@BYH t = k=n k = 0 1 : : : : tAK KAK SLU^AJNYE WELI^INY Xn(t1) : : : Xn(tm) ODNOZNA^NO OPREDELQ@TSQ PRIRA]ENIQMI Xn(ti) ; Xn(ti;1) i = 1 : : : m t0 = 0 Xn(0) =0 PROCESSA Xn(t) I \TI PRIRA]ENIQ NEZAWISIMY W SOWOKUPNOSTI W SILU NEZAWISIMOSTI BINARNYH SLU^AJNYH WELI^IN X1 X2 : : : A Xn(ti) ; Xn(ti;1) =
nti X j =nti;1 +1
Xj
TO KONE^NOMERNYE RASPREDELENIQ PROCESSA S NEZAWISIMYMI PRIRA]ENIQMI fXn (t) t 0g ODNOZNA^NO OPREDELQ@TSQ RASPREDELENIQMI SLU^AJNOJ WELI^INY Xn(t) PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM ZNA^ENII t: |TO 154
ESTX SLEDSTWIE NE TOLXKO NEZAWISIMOSTI BINARNYH SLU^AJNYH WELI^IN, NO I TOGO, ^TO PRIRA]ENIE Xn(ti) ; Xn(ti;1) IMEET TO VE RASPREDELENIE, ^TO I Xn(ti ;ti;1): pO\TOMU, ESLI f (x j t) { FUNKCIQ PLOTNOSTI Xn(t) TO FUNKCIQ PLOTNOSTI KONE^NOMERNYH RASPREDELENIJ PROCESSA RAWNA m Y f (xi ; xi;1 j ti ; ti;1) 1 GDE, KAK I WYE, t0 = 0 x0 = 0: nE TRUDNO PONQTX, ^TO MY ZATEQLI WS@ \TU IGRU S DISKRETNYM DWIVENIEM BROUNOWSKOJ ^ASTICY TOLXKO DLQ TOGO, ^TOBY POTOM PEREJTI K PREDELU PRI n ! 1 WOSPOLXZOWAWISX CENTRALXNOJXPREDELXNOJ TEn OREMOJ. nO W TAKOM SLU^AE NEOBHODIMO NORMIROWATX 1 Xi: tAK KAK EXi = 0 A DXi = 1 TO USLOWIE NEWYROVDAEMOSTI PROCESSA Xn(t) p PRI n ! 1 SOSTOIT W WYBORE PROPORCIONALXNYM 1= n: w SWQZI S \TIM WWODQT PARAMETR 2 KOTORYJ NAZYWA@T KO\FFICIENTOM DIFFUZII (ON HARAKTERIZUET SKOROSTX DWIVENIQ ^ASTICY), I POLAGA@T
= =pn: pRI TAKOM WYBORE MY POLU^AEM DISKRETNYJ SLU^AJNYJ PROCESS tn X Xn(t) = pn Xi: 0 w SILU CENTRALXNOJ PREDELXNOJ TEOREMY PRI KAVDOM FIKSIROWANNOM ZNA^ENII t SLU^AJNAQ WELI^INA Xn(t) SHODITSQ SLABO K SLU^AJNOJ WELI^INE S NORMALXNYM N(0 2t) RASPREDELENIEM. iSPOLXZUQ TEPERX PREDSTAWLENIE KONE^NOMERNYH RASPREDELENIJ ^EREZ RASPREDELENIQ PRIRA]ENIJ, MY MOVEM DATX SLEDU@]EE OPREDELENIE WINEROWSKOGO PROCESSA. oPREDELENIE 15.1. sLU^AJNYJ PROCESS fX (t) t 0g U KOTOROGO FUNKCIQ PLOTNOSTI KONE^NOMERNOGO RASPREDELENIQ OPREDELQETSQ FORMULOJ n Y
ft :::tn (x1 : : : xn) = (2 );n=2n (ti ; ti;1);1=2 1
1
9 8 n (xi ; xi;1 )2 = < 1 X exp :; 22 (t ; t ) i i;1 1
NAZYWAETSQ WINEROWSKIM SLU^AJNYM PROCESSOM. 155
lEKCIQ 25
kAK I W SLU^AE PUASSONOWSKOGO PROCESSA, DLQ PRAKTI^ESKIH PRILOVENIJ NESOMNENNYJ INTERES PREDSTAWLQET RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY = inf f t : X (t) h g REALIZACIQ KOTOROJ SOOTWETSTWUET MOMENTU PERWOGO DOSTIVENIQ WINEROWSKIM PROCESSOM UROWNQ h > 0: k SOVALENI@, DLQ WINEROWSKOGO PROCESSA TEHNIKA WYWODA RASPREDELENIJ FUNKCIONALOW OT TRAEKTORIJ PROCESSA DOSTATO^NO SLOVNA, I DLQ OWLADENIQ \TOJ TEHNIKOJ TREBUETSQ SPECIALXNYJ APPARAT, WO MNOGOM WYHODQ]IJ ZA RAMKI OB]EGO KURSA TEORII WEROQTNOSTEJ. oDNAKO, ^TO KASAETSQ DISKRETNOGO ANALOGA WINEROWSKOGO PROCESSA, KOTORYJ MY RASSMATRIWALI DO OPREDELENIQ 15.1, TO ZDESX RASPREDELENIE \PERWOGO PERESKOKA" MOVNO POLU^ITX, ISPOLXZUQ NESLOVNU@ TEHNIKU KOMBINATORNYH WYKLADOK. rASSMOTRIM, KAK I WYE, POSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN fXi i 1g, PRINIMA@]IH WSEGO DWA ZNA^ENIQ +1 I {1 S ODINAKOWYMI WEROQTNOSTQMI 1/2. wWEDEM DISKRETNYJ SLU^AJNYJ PROCESS t X S (t) = Xi t = 0 1 : : : S (0) = 0 i=0 (DLQ NAGLQDNOSTI MOVNO SOEDINITX POSLEDOWATELXNO TO^KI (t s(t)) TRAEKTORII s(t) t = 0 1 : : : PROCESSA S (t) PREDSTAWIW TRAEKTORI@ W WIDE LOMANOJ LINII). nAPOMNIM, ^TO DISKRETNYJ ANALOG Xn(t) WINEROWSKOGO PROCESSA X (t) POLU^AETSQ IZ PROCESSA S (t) ZAMENOJ t NA tn S t = k=n IpPOSLEDU@]IM MASTABIROWANIEM EGO TRAEKTORII: Xn(t) = S (tn)= n: rASSMOTRIM WSE TRAEKTORII, PROHODQ]IE ^EREZ DWE ZADANNYE TO^KI A1 = (t1 s1 = s(t1)) I A2 = (t2 s2 = s(t2)) t1 < t2 I NAZOWEM U^ASTOK TRAEKTORII MEVDU \TIMI TO^KAMI PUTEM IZ TO^KI A1 W TO^KU A2: |TI PUTI OBLADA@T TEM ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM, ^TO U NIH ^ISLO p SLAGAEMYH Xi i = t1 + 1 : : : t2 PRINQWIH ZNA^ENIE +1, ODINAKOWO I RAWNO (t2 ; t1 + s2 ; s1)=2 ESLI, KONE^NO, POSLEDNEE ^ISLO CELOE, { W PROTIWNOM SLU^AE NE SU]ESTWUET TRAEKTORII, PROHODQ]EJ ^EREZ \TI TO^KI. dEJSTWITELXNO, ESLI OBOZNA^ITX q ^ISLO OTRICATELXNYH ({1) SLAGAEMYH, TO p + q = t2 ; t1 I p ; q = s2 ; s1 ^TO I DAET UKAZANNU@ FORMULU DLQ RAS^ETA p: iZ \TIH VE SOOTNOENIJ LEGKO POLU^ITX FORMULU DLQ OB]EGO ^ISLA N PUTEJ, PROHODQ]IH ^EREZ TO^KI A1 I A2 O^EWIDNO, N = Cpp+q = Cqp+q : 156
sLEDU@]IE DWE LEMMY UKAZYWA@T PROSTOJ METOD DLQ RAS^ETA ^ISLA PUTEJ IZ NA^ALA KOORDINAT W TO^KU (k m) KOTORYE RASPOLOVENY NIVE UROWNQ m: lEMMA 15.2 (PRINCIP OTRAVENIQ). ~ISLO PUTEJ IZ TO^KI A1 = (t1 s1) s1 > 0 W TO^KU A2 = (t2 s2) s2 > 0 KOTORYE KASA@TSQ ILI PERESEKA@T OSX t HOTQ BY ODIN RAZ, RAWNO ^ISLU WSEWOZMOVNYH PUTEJ IZ TO^KI A01 = (t1 ;s1 ) W TO^KU A2: d O K A Z A T E L X S T W O. mEVDU MNOVESTWOM PUTEJ IZ A1 W A2 UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ LEMMY, I MNOVESTWOM WSEWOZMOVNYH PUTEJ IZ A01 W A2 MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE, ISPOLXZUQ SLEDU@]IJ PRINCIP OTRAVENIQ (SM. RISUNOK). s6 A1.;;@
o
t1
A01
;A2 ; @@;;@ ;@ @@;;@ ;; @; -t t0 @@ ;;@@;; t2 @@; .
. .. .. .. .. . . .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. ... .. .. .
.
pUTX IZ A1 W A2 DOLVEN PO KRAJNEJ MERE ODIN RAZ KOSNUTXSQ OSI WREMENI t PUSTX t0 > t1 { ABSCISSA PERWOGO KASANIQ (NAPOMNIM, s1 = s(t1) > 0). tAKOMU PUTI S ORDINATAMI s(t1) > 0 s(t1 + 1) > 0 : : : s(t0 ; 1) > 0 s(t0) = 0 s(t0 + 1) : : : s(t2) SOPOSTAWIM PUTX S ORDINATAMI ;s(t1 ) < 0 ;s(t1 + 1) < 0 : : : ;s(t0 ; 1) < 0 s(t0) = 0 s(t0 + 1) : : : s(t2) KOTORYJ PRINADLEVIT WTOROMU MNOVESTWU, TO ESTX OTRAZIM U^ASTOK PUTI IZ A1 W A2 NA PROMEVUTKE t1 t0] ZERKALXNO OTNOSITELXNO OSI t A DALXE OSTAWIM PUTX BEZ IZMENENIQ. lEGKO UBEDITXSQ, ^TO \TO WZAIMNO ODNOZNANOE SOOTWETSTWIE { KAVDOMU PUTI WTOROGO MNOVESTWA OTWE^AET TAKOJ VE \ZERKALXNYJ" OBRAZ IZ PERWOGO MNOVESTWA, IBO PUTI IZ WTOROGO MNOVESTWA OBQZATELXNO PERESEKA@T OSX t TAK 157
KAK ;s(t1) < 0 A s(t2) > 0: tAKIM OBRAZOM, OBA MNOVESTWA SODERVAT ODINAKOWOE ^ISLO PUTEJ. rASSMOTRIM TEPERX PUTI IZ NA^ALA KOORDINAT (0 0) W TO^KU (k m) S 0 < m k: oB]EE ^ISLO TAKIH PUTEJ, KAK BYLO POKAZANO WYE, Nkm = Cpk GDE p = (m + k)=2 ESLI ONO CELOE, W PROTIWNOM SLU^AE Nkm = 0: lEMMA 15.3. ~ISLO PUTEJ IZ NA^ALA KOORDINAT W TO^KU (k m) 0 < m k U KOTORYH s(t) > 0 PRI WSEH t = 1 2 : : : k RAWNO Nk;1m;1 ; Nk;1m+1 = mk Nkm:
d O K A Z A T E L X S T W O. l@BOJ PUTX IZ (0 0) W (k m) UDOWLETWORQ@]IJ USLOWI@ LEMMY, PROHODIT ^EREZ TO^KU (1 1): sLEDOWATELXNO, ESLI WY^ESTX IZ OB]EGO ^ISLA PUTEJ Nk;1m;1 IZ TO^KI (1 1) W TO^KU (k m) ^ISLO M PUTEJ, KOTORYE SOEDINQ@T \TI TO^KI, KASAQSX ILI PERESEKAQ OSX t TO POLU^IM ISKOMOE ^ISLO PUTEJ IZ (0 0) W (k m) LEVA]IH W PERWOM KWADRANTE. w SILU LEMMY 15.2 M RAWNO OB]EMU ^ISLU PUTEJ IZ TO^KI (1 ;1) W TO^KU (k m) PO\TOMU M = Nk;1 m+1: lEMMA 15.4. ~ISLO PUTEJ IZ NA^ALA KOORDINAT W TO^KU (k m) 0 < m k U KOTORYH s(t) < m PRI WSEH t = 1 2 : : : k ; 1 RAWNO Nk;1m;1 ; Nk;1m+1 = mk Nkm: (5) d O K A Z A T E L X S T W O. dOSTATO^NO POMESTITX NA^ALO KOORDINAT W TO^KU (k m) I TRAKTOWATX UROWENX m KAK OSX ABSCISS. iSPOLXZUQ FORMULU DLQ RAS^ETA N KOTORAQ BYLA POLU^ENA W LEMME 15.3, POLU^AEM (5).
pOSLEDNQQ LEMMA USTANAWLIWAET RASPREDELENIE MOMENTA = minft : S (t) X mg PERWOGO WYHODA NA UROWENX m DISKRETNOGO PROCESSA S (t) = t1 Xi t = 0 1 : : : : dEJSTWITELXNO, FORMULA (5) WY^ISLQET KOLI^ESTWO TRAEKTORIJ OPREDELENNOGO WIDA, SWQZANNOGO S IH POLOVENIEM W MOMENT t = k: mY MOVEM SGRUPPIROWATX BESKONE^NOE MNOVESTWO TRAEKTORIJ PROCESSA S (t) W 2k RAWNOWEROQTNYH KLASSA W SOOTWETSTWII S RAZLI^IQMI W PUTQH, SOEDINQ@]IH NA^ALO KOORDINAT S DOSTIVIMYMI TO^KAMI, ABSCISSA KOTORYH RAWNA k: |TO RAWNOSILXNO K PEREHODU K DRUGOMU WEROQTNOSTNOMU PROSTRANSTWU, GDE SOSTOIT 158
IZ 2k RAWNOWEROQTNYH TO^EK, I NAS INTERESUET WEROQTNOSTX SOBYTIQ, SOSTOQ]EGO IZ mNkm=k \LEMENTARNYH ISHODOW, TAK ^TO SPRAWEDLIWA lEMMA 15.5. wEROQTNOSTX TOGO, ^TO DISKRETNYJ PROCESS S (t) WPERWYE DOSTIGNET UROWNQ m W MOMENT WREMENI t = k RAWNA m N = m C(k+m)=2 2k k km 2k k k GDE k I m DOLVNY IMETX ODINAKOWU@ ^ETNOSTX, m k: tEPERX OBRATIMSQ K DISKRETNOMU ANALOGU Xn(t) WINEROWSKOGO PROCESSA X (t) I MOMENTU n = minft : Xn(t) hg PERWOGO WYHODA PROCESSA Xn(t) NA UROWENX h > 0: pEREPIEM OPREDELENIE n W TERMINAH MOMENTA : 8 9 = = min < t : p S (nt) m p : n n n GDE m = hpn=: iZ \TOJ ZAPISI WIDNO, ^TO FUNKCIQ PLOTNOSTI SLU^AJNOJ WELI^INY n (k +m)=2 gn(t) = P (n = t) = 2m k k Ck GDE k = nt S O^EWIDNYMI OGRANI^ENIQMI NA WOZMOVNYE ZNA^ENIQ PEREMENNOJ t I PARAMETROW h I : iZU^IM ASIMPTOTI^ESKOE POWEDENIE gn(t) PRI n ! 1 I FIKSIROWANNOM h: lEGKO PONQTX, ^TO TEM SAMYM MY USTANAWLIWAEM ASIMPTOTI^ESKOE POWEDENIE WEROQTNOSTI G(t + 1=n) ; G(t) = P (t < t + 1=n) g(t) n1 PRI n ! 1 I \TO POZWOLIT NAM NAJTI FUNKCI@ PLOTNOSTI g(t) MOMENTA PERWOGO DOSTIVENIQ UROWNQ h WINEROWSKIM PROCESSOM X (t): n ! 1 TO 8 9 < h2 = h gn(t) p 3=2 exp :; 22t : 2 t n
pREDLOVENIE 15.3. eSLI
d O K A Z A T E L X S T W O. nAM PREDSTOIT ISSLEDOWATX ASIMPTOTIKU WYRAVENIQ m k! 2k k k+2m ! k;2m ! 159
W KOTOROM k = nt m = hpn= I n ! 1: pOSKOLXKU k k + m I k ; m S ROSTOM n STREMQTSQ K BESKONE^NOSTI, TO, KAK MY \TO DELALI RANXE PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY mUAWRA{ lAPLASA, WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ sTIRLINGA p n! = 2 nn+1=2e;n(1 + O(1=n)) I PREDSTAWIM FUNKCI@ PLOTNOSTI W ASIMPTOTI^ESKOM WIDE gn(t) k mp 2 k 2 kk+1=2 e;k 2(k+m)=2+1=2+(k;m)=2+1=2 (k + m)(k+m)=2+1=2 (k ; m)(k;m)=2+1=2 e;(k+m)=2 e;(k;m)=2 = m !; k m ; m !; k;m ; m p 3=2 1 + 1; k k 2 k pOSKOLXKU m=k ! 0 TO STEPENI 1=2 NE WLIQ@T NA ASIMPTOTIKU, I PROSTYE ALGEBRAI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ DA@T 1 k 0 !; m m ! m 2 ; m m m gn(t) p 3=2 @1 ; k2 A 1 + k 1; k : 2 k eSLI TEPERX PODSTAWITX W PRAWU@ ^ASTX m = hpn=, k = nt I WOSPOLXZOWATXSQ ZAME^ATELXNYM PREDELOM, OPREDELQ@]IM ^ISLO e TO POLU^IM OKON^ATELXNYJ REZULXTAT 8 9 < h2 = h gn(t) p 3=2 exp :; 2t2 : 2 t n 1 2
+ 2
2
2
2
1 2
2
iTAK, MY USTANOWILI, ^TO n ) FUNKCIQ PLOTNOSTI KOTOROGO IMEET WID 8 29 < = a g(t) = p 3=2 exp :; a2t a = h= 2 t A FUNKCIQ RASPREDELENIQ G(t) WYRAVAETSQ ^EREZ FUNKCI@ RASPREDELENIQ () STANDARTNOGO NORMALXNOGO ZAKONA N(0 1) SOOTNOENIEM 8 29 Zt 1 < = a p exp :; a dx = G(t) = p 2x 2 0 x x 160
8
9
" a !# Z1 < u2 = 2 p exp ; du = 2 1 ; p : t 2 a=pt : 2 oDNAKO, \TO SOWSEM NE OZNA^AET, ^TO MY POLU^ILI FUNKCI@ RASPREDELENIQ MOMENTA PERWOGO PERESKOKA WINEROWSKIM PROCESSOM ZADANNOGO UROWNQ. w NAEM DOKAZATELXSTWE IMEETSQ OGROMNAQ \DYRA"{ MY NE RASPOLAGAEM USLOWIQMI, PRI KOTORYH SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI KONE^NOMERNYH RASPREDELENIJ PROCESSA (SLABAQ SHODIMOSTX) WLE^ET SHODIMOSTX RASPREDELENIJ FUNKCIONALOW OT \TOGO PROCESSA. k S^ASTX@, W NAEM SLU^AE S DISKRETNYM ANALOGOM WINEROWSKOGO PROCESSA WSE OBSTOIT BLAGOPOLU^NO. sLEDUET OTMETITX, ^TO RASPREDELENIE PERWOGO PERESKOKA IGRAET WAVNU@ ROLX W MODELQH TEORII NADEVNOSTI, KOGDA OTKAZ SISTEMY WYZYWAETSQ USTALOSTNYMI RAZRUENIQMI, WYZWANNYMI HAOTI^ESKIMI POQWLENIQMI \PIKOWYH" NAGRUZOK, KOTORYE WOZNIKA@T WO WREMENI PODOBNO LOKALXNYM MAKSIMUMAM TRAEKTORII WINEROWSKOGO PROCESSA.
161
