Механика. Определение плотности твердого тела методом гидростатического взвешивания: Методические указания к выполнению лабораторной работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Механика Методические указания к выполнению лабораторной работы

«Определение плотности твердого тела методом гидростатического взвешивания»

ПЕНЗА 2005

1

УДК 53 Приведены общие методические сведения по изучаемому явлению, описание лабораторной установки, порядок проведения измерений и обработки экспериментальных данных. Методические указания подготовлены на кафедре «Физика» и предназначены для студентов физико-математической и инженернотехнических специальностей. Ил. 4, библиогр. 3 назв.

Составители: А.В. Рудин, Вас.В. Евстифеев, Н.В. Костина, П.П. Першенков

Под редакцией профессора Викт.В. Евстифеева

Рецензент Р.В. Зайцев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Пензенского государственного педагогического университета

2

Цель работы: научиться производить измерения массы, объема и плотности твердых тел с различной степенью точности; усвоить способы вычислений погрешностей прямых и косвенных измерений. Приборы и оборудование: пружинный плотномер, измерительная мензурка, штангенциркуль, набор измеряемых тел, нитки, весы аналитические, набор гирь.

Теоретические сведения Плотностью ρ тела в его точке М называется отношение массы dm малого элемента тела, включающего точку М, к величине dV объема этого элемента: dm (1) ρ= dV Размеры рассматриваемого элемента должны быть столь малы, чтобы изменением плотности в его пределах можно было пренебречь. Но они должны быть во много раз больше межмолекулярных расстояний. Тело называется однородным, если во всех его точках плотность одинакова. Средней плотностью ρ неоднородного тела называется отношение его массы к объему: m (2) ρ = V Как видно из формулы (2) определение плотности сводится к определению массы тела и его объема. Определение массы может быть произведено путем его взвешивания на аналитических весах, т. е. путем сравнения с массой разновесов известной величины: n

m = ∑ mi , i =1

где mi - масса разновеса (гири), n- число разновесов.

3

(3)

Для определения веса небольших тел с высокой точностью (до десятых долей миллиграмма) служат аналитические весы. Аналитические весы (устройство) Подвижное коромысло К призмой О, изготовленной из закаленной стали, опирается на агатовую подушку П (см. рис.1). К концам коромысла на призмах ММ подвешены чашки весов ЧЧ, на которые помещаются взвешиваемое тело и гири (разновески). Пользоваться гирями меньше 10 мг обычно избегают, так как они крайне неудобны в обращении. Для взвешивания тел с точностью, лучшей чем 10 мг., часто пользуются рейтером – проволочной петлей весом 10 мг. Положение коромысла регистрируется с помощью стрелки С и шкалы Ш. Для защиты весов от загрязнения, от толчков и воздушных потоков их помещают в застекленный ящик с подъемными стенками. Чтобы предохранить призмы О, М и опорные подушки призм от

Рис.1

Рис.1а

преждевременного износа, весы в нерабочем состоянии необходимо арретировать. Это достигается путем поворота ручки А. При арретировании весов агатовая подушка П опускается, и коромысло весов ложится на колонку Б. При этом чашки весов поднимаются с помощью специальных подставок, выступающих из дна защитного ящика. Установочные винты В служат для приведения весов в горизонтальное по4

ложение. Гайки Р помогают совместить положение равновесия коромысла с нулевым делением шкалы Ш. Большинство современных аналитических весов снабжается воздушным демпфером (успокоителем колебаний). При освобождении от арретира (и при толчках) коромысло весов приходит в колебательное движение, которое у весов без демпфера продолжается довольно долго. Весы с демпфером успокаиваются после нескольких колебаний. Устройство демпфера поясняется на рис.1а. Две тонкостенные металлические чашки А и В вставлены друг в друга. Наружная чашка В прикреплена к колонке весов Б штангой С, а внутренняя чашка А подвешена к коромыслу К. Петля П соединяется с чашкой весов. Чашки А и В не касаются друг друга. При колебаниях коромысла воздух, находящийся между стенками чашек, приходит в движение. Возникающее при этом трение успокаивает весы. Так как сила трения покоя в газах равна нулю, то демпфер мало влияет на точность весов. Теория весов Одной из важнейших характеристик весов является их чувствительность δ. Чувствительностью весов называется отношение угла отклонения стрелки Δα к величине перегрузка на чаше весов Δp : Δα Δp (отклонение и перегрузок предполагаются малыми). Чувствительность правильно сконструированных весов не зависит ни от общей нагрузки на чашках весов, ни от начального их угла отклонения и является величиной постоянной - константой. Для вычисления δ обратимся к рис. 2. На нем пунктир АОВ схематически изображает начальное положение коромысла весов (их положение при грузах р на чашках), а сплошная линия А′ ОВ′ - положение, которое занимает коромысло под действием перегрузка Δр на левой чашке весов. Пусть центр тяжести коромысла находится в точке С. Введем следующие обозначения: АО=L – длина плеча коромысла, ОС= l ( О – точка опоры коромысла), Р – вес коромысла. В этих обозначениях условие равновесия коромысла в положении А′ ОВ′ (условие равенства моментов действующих на коромысло сил) имеет вид δ=

( p + Δp ) L ⋅ cos(α + Δα) = P ⋅ l ⋅ sinΔα + p ⋅ L ⋅ cos(α − Δα )

5

O B′

α

B

A A′

Δα

Δα

C

p p

p p+Δp P

P

Рис. 2 После несложных преобразований получим tgΔα =

Δp ⋅ L ⋅ cos α L(2 p + Δp )sinα + l ⋅ P

(4)

При малых углах tg Δα ≈ Δα . Разделив равенство (4) на Δ р , найдем δ=

L ⋅ cos α L(2 p + Δp )sinα + l ⋅ P

(4′)

Из (4 ′) следует, что чувствительность, вообще говоря, зависит от нагрузки р. Формула (4 ′) сильно упрощается, если опорные ребра всех трех призм ( О и М на рис. 1) лежат на одной прямой. В этом случае α = 0 и L δ= (5) = const P⋅l Чувствительность правильно сконструированных весов не зависит, таким образом, ни от нагрузки р , ни от величины перегрузка Δ р . 6

Методы взвешивания Существует ряд методов взвешивания, позволяющих избежать ошибок, связанных с величиной нагрузки р и величины перегрузка Δр . 1. Метод двойного взвешивания. Тело взвешивается два раза: сначала на одной, а затем на другой чашке весов. Пусть L1 и L 2 длины плеч коромысла, P – вес взвешиваемого тела, P1 и P2 - веса разновесков, уравновешивающие тело в первом и во втором случаях. Тогда, очевидно,

P1 L1 = P L2 ,

P2 L2 = P L1 .

Отсюда P = P1 P2 .

Замечая, что P1 ≈ P2 , найдем приближенно 2

⎛ ⎛ P − P1 ⎞ ⎛ P2 − P1 ⎞ P − P1 ⎞ P1 + P2 P − P1 ⎟⎟ = ⎟⎟ = P1 ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ P = P1 P2 = P1 1 + 2 ≈ P1 1 + 2⎜⎜ 2 P 2 2 2 2 P P P1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 1 1 1 2

⎛ P − P1 ⎞ ⎟⎟ создает Добавление к подкоренному выражению величины ⎜⎜ 2 ⎝ 2 P1 ⎠ небольшую погрешность, которая тем меньше, чем лучше выполняется неравенство P2 − P1 〈〈 P1 . Метод двойного взвешивания устраняет ошибки, связанные с неравноплечностью весов. 2. Метод тарирования. Тело, вес которого определяется, помещается на одну чашку весов и уравновешивается гирями или грузом, положенным на другую чашку. Если теперь снять тело, а на его место положить разновески до восстановления равновесия весов, то, очевидно, их вес будет равен весу тела. 3. Метод постоянной нагрузки (метод Менделеева). На одну чашку весов (например, левую) помещается некоторая стандартная, выбранная раз и навсегда гиря, вес которой заведомо больше взвешиваемого тела, а на другую – разновески, которыми добиваются возможно более точного равновесия весов. Затем на ту чашку, на которой находятся разновески, помещают взвешиваемое тело, а разновески снимают до тех пор, пока равновесие весов не будет восстановлено. Вес снятых гирь, очевидно, равен весу тела. 7

Последний метод позволяет не только исключить ошибки, связанные с неодинаковостью плеч, но и влияние нагрузки на чувствительность весов (измерения всегда производятся при одинаковой нагрузке). Определение положения равновесия Положение коромысла, при котором весы находятся в равновесии, регистрируется с помощью стрелки С на шкале Ш (см. рис. 1). Это положение обычно не совпадает с нулевым делением шкалы. Важной причиной, влияющей на смещение стрелки, является трение опорных призм о подушки. Трение приводит к тому, что при неизменной нагрузке весов стрелка может останавливаться против разных делений шкалы: появляется так называемая полоса застоя. Величина полосы застоя увеличивается при изнашивании призм и подушек, при их загрязнении и при увеличении нагрузки на чашки весов (у вполне исправных весов полоса застоя оказывается обычно малой величиной и слабо влияет на точность взвешивания). При работе с воздушным демпфером весы быстро успокаиваются и положение равновесия непосредственно отсчитывается по шкале. Перед началом работы необходимо найти положение нулевой точки (положение равновесия при ненагруженных весах) и оценить величину полосы застоя. Полоса застоя определяется по разбросу нескольких значений, полученных для нулевой точки в ряде последовательных опытов. При измерениях весы несколько раз арретируются и снимаются с арретира, в каждом из опытов положение стрелки измеряется и записывается. Среднее из полученных отсчетов принимается за положение нулевой точки, а отличие значений, найденных в отдельных опытах, от вычисленного среднего характеризует полосу застоя. При работе без воздушного демпфера весы качаются слишком долго, и нет смысла ждать их успокоения. Положение точки равновесия определяется по ряду последовательных отклонений стрелки при качании коромысла: 1 ⎛ n + n3 + n5 n2 + n4 ⎞ n0 = ⎜ 1 + ⎟ , 2⎝ 3 2 ⎠

(6)

где ni – число делений на шкале при колебаниях стрелки весов влево и вправо.

8

Правила обращения с весами 1. Не взвешивать на весах тела, массой выше предельно допустимой. 2. Изменять нагрузку на весах, открывать и закрывать дверцы разрешается только при арретированных весах. Арретирование весов и освобождение от арретира нужно 3. производить плавно, без толчков. Брать разновески и исследуемые тела следует только пин4. цетом. Все наблюдения производить при закрытых дверцах за5. щитного ящика весов. Не поднимать весы и не двигать их по столу при опущен6. ном арретире. 7. До окончательного подбора разновесков не освобождать арретир полностью. Не допускать попадания грязи и пыли на чашки весов, гирь 8. и исследуемого тела. После окончания работы необходимо арретировать и раз9. грузить весы. Порядок взвешивания По вертикальному отвесу установите весы в горизонталь1. ной плоскости. 2. Освободите весы от арретира и определите нулевую точку весов. Определите чувствительность весов. 3. 4. Проверьте правильность формулы (5). Для этого постройте график зависимости отклонения весов от величины перегрузка, создаваемого рейтером. 5. Проверьте равенство плеч весов. Для этой цели взвесьте один из разновесков сначала на одной, а затем на другой чашке весов. Оцените неравноплечесть коромысла и найдите поправку, которую необходимо вносить в результаты взвешивания. Проведите взвешивание исследуемых тел в отдельности. 6. Проведите взвешивание всех тел вместе. 7. 8. Рассчитайте суммарный вес всех исследуемых тел и определите, укладывается ли отличие суммарного веса от суммы их весов, 9

измеренных в отдельности, в рамки ожидаемых погрешностей эксперимента. Измерение объема 1-й способ: объем тела правильной геометрической формы можно с определенной степенью точности вычислить по соответствующей математической формуле, предварительно измерив его линейные параметры. Например: V = a ⋅b⋅c ; (7) для прямоугольного бруска 1 для цилиндра V = πD 2 h ; (8) 4 1 для шара V = πD 3 . (9) 6 2-й способ: измерение объема твердых тел неправильной геометрической формы можно также осуществить с помощью измерительной мензурки. Для этого, к измеряемому телу привязывается тонкая проволока или нитка и погружается в наполненный водой (не доверху) мерный стакан или измерительную мензурку. По измерению уровня воды в мензурке определяется объем исследуемого тела. Оцените точность измерений объема этим методом. Зависит ли эта точность от объема исследуемого тела, от наклона стакана, от того, смачиваются стенки мензурки или стакана и поверхность тела? 3-й способ: Непосредственное измерение объема тела, если оно ограничено сложной поверхностью неправильной геометрической формы, затруднено, поэтому осуществляется путем взвешивания в воде и, применяя закон Архимеда, рассчитывают массу воды, вытесненной телом. Зная плотность воды, вычислением находится объем тела: V=

mж , ρж

(10)

где mж ,ρ ж - масса и плотность вытесненной телом воды.

Тогда плотность тела определится по формуле: ρ = ρж

m mж

10

(11)

Гидростатический метод измерения плотности Используя пружинный динамометр с линейной шкалой и жидкость с известной плотностью плотность испытуемого твердого тела можно определить и без измерения его объема. Сущность метода заключается в комбинированном действии на испытуемое тело квазиупругой силы деформированной пружины и выталкивающей архимедовой силы, действующих на погруженное тело в жидкость с известной плотностью, например, воду. Метод определения плотности сводится к последовательному взвешиванию тела на пружинном динамометре сначала в воздухе, а затем в воде. При взвешивании массой m в воздухеr на него действуют две сиr тела r r лы - сила тяжести FТ = mg и сила Архимеда FА = −ρ гVg , равнодействуюr щая которых по модулю равна силе упругости Fупр1 пружины динамометра (рис. 3). Тогда равновесное состояние взвешиваемого тела определяется векторной суммой всех действующих на него сил, равной нулю: r r r Fупр1 + FА + FТ = 0 .

(12)

Так как все силы направлены вдоль одной прямой, то векторное равенство (12) с учетом знаков можно заменить скалярной суммой:

Fупр1 + FА − FТ = 0 .

(13)

Подставив в уравнение (13) соответствующие выражения этих сил, получим:

kx1 + ρ гVg − mg = 0 ,

(14)

где ρ г - плотность газа (воздуха). При проведении взвешивания данного тела в воде получим аналогичное уравнение:

kx2 + ρ жVg − mg = 0 , где ρ ж - плотность жидкости (воды) при температуре опыта.

11

(15)

Решая систему уравнений (14) и (15) относительно объема тела V, получим:

V=

k x1 − x2 ⋅ . g ρж − ρг

(16)

Решая уравнение (14) относительно ρ тела, полуr Fупр

m x

r FА r FТ

Рис. 3

чим: ρ=

kx1 + ρг . Vg

(17)

Подставив значение V из выражения (16) в уравнение (17) для плотности исследуемого тела окончательно получим: x1 (ρ ж − ρ г ) + ρ г , (18) ρ= x1 − x 2

где x1 , x2 - величина деформации (растяжения) пружины динамометра при взвешивании в воздухе и в воде соответственно; 3 3 ρ г = 1,2кг/м , ρ ж = 998,2кг/м - табличные значения плотности воздуха и воды при комнатной температуре (t=20°С).

Описание установки 8

Принципиальная схема установки приведена на рис 4. Пружинный плотномер - динамометр образован из стальной пружины 1 цилиндрической формы, измерительной линейки 2 с миллиметровыми делениями, и сосудом 3 с дистиллированной водой. Пружина 1 верхним концом закреплена к лапке штатива 4 в вертикальном положении. К нижнему концу пружины прикреплен тонкий проволочный подвес 5, к которому

12

2

4 9

1 x2

5

x1

3 6

7 Рис. 4.

подвешивается испытуемое тело 6. Подвес 5 снабжен указателем 7, расположенным у поверхности измерительной линейки 2, которая с помощью лапки 8 закрепляется к общему штативу 9.

Порядок выполнения работы. Задание 1. Определение плотности испытуемого твердого тела методом гидростатического взвешивания. 1. Установить стрелку указателя 7 на нулевое деление измерительной линейки посредством перемещения вдоль вертикальной оси. 2. Подвесить исследуемое тело (по указанию преподавателя) к подвесу динамометра и по шкале линейки измерить деформацию пружины x1. 3. Подвести сосуд с водой к исследуемому телу и плавно поднимая его вверх добиться полного погружения тела в воду. 4. По шкале измерительной линейки измерить деформацию пружины динамометра x2. 5. Опустить сосуд с водой и разгрузить пружину. 6. Рассчитать плотность исследуемого твердого тела по формуле (18). Значения плотности воды и воздуха взять из справочных таблиц [3] для соответствующей комнатной температуры tк. 7. Рассчитать абсолютную и относительную погрешности измерений плотности твердого тела по формулам: 2

2

⎛ Δx ⎞ ⎛ 2Δx ⎞ ⎟⎟ . ε = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ x1 ⎠ ⎝ x1 − x2 ⎠

(19)

Погрешностями величины плотности ρ ж и ρ г , определяемыми косвенным путем, ввиду их малости пренебрегаем. Тогда Δρ = ρ ⋅ ε .

(20)

Измеренное значение плотности записать в виде: ρ и = ρ ± Δρ .

13

(21)

Задание 2. Определение плотности твердого тела точным взвешива-

нием. 1. Определить массу исследуемого тела методом взвешивания на аналитических весах с точностью до 0,001 г. 2. Измерить штангенциркулем размеры испытуемого твердого тела (по указанию преподавателя) и рассчитать его объем. 3. Измерить объем исследуемого тела с помощью измерительной мензурки или измерительного стакана методом погружения. 4. Сравнить полученные значения объема тела. 5. Рассчитать плотность испытуемого твердого тела по формуле (2) и оценить относительную и абсолютную погрешности измерений по формуле: 2

2

⎛ Δm ⎞ ⎛ ΔV ⎞ ερ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . ⎝ m ⎠ ⎝ V ⎠

6. Сравнить полученные значения плотности ρ по формулам (2) и (18). Их доверительные интервалы должны перекрываться.

Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4.

Дайте определение силы, массы и плотности тела. Методы измерения объема и массы тел. Устройство и принцип действия равноплечих весов. До каких пор имеет смысл уменьшать величину l с целью увеличения чувствительности весов. 5. Что такое полоса застоя весов и с чем связано ее появление? 6. Сформулируйте закон Архимеда. 7. Выведите формулу (18). 8. Что такое абсолютная и относительная погрешность измерений? 9. Как рассчитывается погрешность косвенных измерений. 10. Какая разница между плотностью и удельным весом?

14

Литература 1. 2. 3.

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. Учебник. 4-е изд., испр. –М.: В.Ш., 2002. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. –М.: Наука, 1989. Руководство к лабораторным работам по физике. Под ред. Л.Л. Гольдина. Изд. 2-е. –М.: Наука, 1973.

15