Механика. Изучение собственных колебаний сосредоточенной системы: Методические указания к выполнению лабораторной работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Механика Методические указания к выполнению лабораторной работы

«Изучение собственных колебаний сосредоточенной системы»

ПЕНЗА 2005

1

УДК 53 Приведены общие методические сведения по изучаемому явлению, описание лабораторной установки, порядок проведения измерений и обработки экспериментальных данных. Методические указания подготовлены на кафедре «Физика» и предназначены для студентов физико-математической и инженернотехнических специальностей. Ил. 3, табл. 4, библиогр. 3 назв.

Составители: А.В. Рудин, Вас.В. Евстифеев, Н.В. Костина, П.П. Першенков

Под редакцией профессора Викт.В. Евстифеева

Рецензент Р.В. Зайцев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Пензенского государственного педагогического университета

2

Цель работы: ознакомление с простейшим случаем собственных гармонических колебаний на примере колебания пружинного маятника, которые в воздухе можно считать незатухающими. Приборы и оборудование: пружинный маятник с набором пружин и грузов, физический штатив с лапкой, измерительная линейка, сосуд с вязкой жидкостью, секундомер.

Теоретические сведения Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по синусоидальному (или косинусоидальному) закону. Гармонические колебания величины S описываются уравнением

k

m

x

m Рис.1

и сила тяжести

(1) S = A ⋅ cos(ω0 t + ϕ) , где А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний; (ω0 t + ϕ) - фаза колебаний в момент времени t; ω0 циклическая частота, ϕ - начальная фаза колебаний. Примером свободных гармонических колебаний являются колебания тела, подвешенного на невесомой пружине (рис. 1). На тело массой m действуют квазиупругая сила пружины r r Fуп = − kx

(2)

r r FТ = − mg ,

(3)

3

где k - коэффициент жесткости пружины; m- масса груза; g- ускорение свободного падения. Основное уравнение динамики поступательного движения для этого случая запишется в виде:

m

d 2x = − kx + mg . dt 2

(4)

Полагая здесь mg = + kx0 , где x0 - растяжение пружины (статическая деформация) под действием силы тяжести, получим:

d 2x m 2 = − k ( x − x0 ) , dt

(5)

где x0 = const. Введем обозначение x − x0 = x1 . Тогда можно записать, что d 2 x1 d 2 x = 2 , dt 2 dt и тогда уравнение (5) представится в виде m

d 2 x1 = −kx1 . dt 2

(6)

После преобразований окончательно получим m

x&1 + ω02 x1 = 0 ,

или где ω02 =

d 2 x1 + ω02 x1 = 0 , 2 dt

(7) (8)

k . m

Для полученного однородного дифференциального уравнения составим характеристическое уравнение. Введем новую переменную:

4

x = e λt ,

&x& = e λt ⋅ λ2 .

тогда

Уравнение (7) перепишем в виде: λ2 ⋅ e λt + ω02 ⋅ e λt = 0 , или

λ2 + ω02 = 0 .

Корни характеристического уравнения: λ 1 = iω 0 ,

λ 2 = −iω0 .

Общее решение дифференциального уравнения запишется в виде: x1 = C1e iω t + C 2 e − iϖt , 0

(9)

где С1 и С2 - произвольные постоянные. Описывающая колебания функция x1 (t ) должна быть вещественной. Для этого коэффициенты С1 и С2 нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие C1∗ e − iω t + C 2∗ e iωt = C1 e iω t + C 2 e − iωt . 0

0

(10)

(Здесь мы приравняли выражение (9) его комплексно сопряженному). Соотношение (9) будет выполнено, если C1 = C 2∗

C 2 = C1∗ .

или

(11)

Действительно, комплексное число в показательной форме имеет вид z = ρe iϕ .

(12)

Комплексно сопряженное число

z ∗ = ρe − iϕ .

(12′)

По формуле Эйлера выражения (12) и (12′) можно переписать в тригонометрической форме: z = ρ ⋅ (cos ϕ + i sin ϕ) ,

5

z ∗ = ρ ⋅ (cos ϕ − i sin ϕ) . (13)

При сложении комплексных чисел складываются отдельно их вещественные и мнимые части:

z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y 2 ) = ρ[(cos ϕ + cos ϕ ) + i (sin ϕ − sin ϕ )] = 2ρ cos ϕ , где 2ρcos ϕ - является вещественной частью. Представим удовлетворяющие условию (11) коэффициенты C1 и C 2 в показательной форме, обозначив их модуль через А/2, а аргумент через ϕ: C1 =

1 iϕ Ae , 2

C2 =

1 − iϕ Ae . 2

(15)

Подстановка этих выражений в (9) дает x1 =

1 A[e i ( ω t + ϕ ) + e −i ( ω t + ϕ ) ] = Acos(ω0 t + ϕ) . 2 0

0

Таким образом, общее решение уравнения (7) примет вид:

x1 = Acos(ω0 t + ϕ) ,

(16)

которое эквивалентно уравнению (1).

Рис. 2

Поскольку косинус - периодическая функция с периодом 2π , различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение, равное 2π (см. рис.2).

Этот промежуток времени Т называется периодом колебания. Он может быть определен из следующего условия: [ω0 (t + T ) + ϕ] = [ω0 t + ϕ] + 2π , откуда:

6

ω0 t = 2π , а T =

2π . ω0

(17)

Учитывая, что период колебаний связан с частотой ν соотношением 1 T= , ν получим: ω0 =

(18)

2π = 2πν , T

(19)

где ν - число колебаний в единицу времени. За единицу измерения частоты принимается 1 Гц = 1 с-1. Таким образом, ω0 дает число колебаний за 2π секунд. Величину ω0 называют круговой или циклической частотой. За единицу измерения принимается 1 рад/сек. Учитывая, что (см. уравнение (8)) ω02 =

k k k , получим: ω0 = или T = 2π . (20) m m m

Из уравнения (20) следует, что T ≈ m и T ≈ 1

k.

Для проверки соотношения (20) используется простейший вид пружинного маятника (см. рис. 3). При колебаниях реального пружинного маятника коэффициент пропорциональности между смещением груза и силой, действующей на нижний конец пружины, не совпадает с коэффициентом пружины k. Этот коэффициент оказывается сложным образом зависящим от условий процесса колебаний. Одной из основных причин такого эффекта является обмен энергией между пружиной и грузом. В общем случае при колебаниях груза пружина растягивается в разных точках не одинаково. В ней, как в распределенной колебательной системе, возбуждаются колебания, забирающие на себя часть энергии груза и изменяющие условия взаимодействия груза и пружины. Для модели линейного распределения скорости в пружине точка подвеса не движется, а конец пружины, прикрепленный к грузу, движется с максимальной скоростью груза. Кинетическая энергия пружины пропорциональна квадрату ее скорости. Распределение энергии вдоль пружины иллюстрируется на

7

примере квадратной пирамиды, построенной на основе графика скорости. Объем пирамиды соответствует величине кинетической энергии:

Eк

пр

⎛ m0 ⎞ 2 ⎜ ⎟υ mi n m0 1 2 1 mυ 2 ⎝ 3 ⎠ 2 = ∑ Δxi υ x = ⋅ υ l= = . 2 i =1 2l 3 3 2 2 i

m0 = ml - масса элемента пружины; l i =1 m0 - масса пружины; l - длина пружины.

Здесь:

n

∑ Δxυ

2 xi

=V - объем пирамиды;

Тогда полная кинетическая энергия маятника определится:

m ⎞ 2 ⎛ ⎜ m + 0 ⎟υ 3 ⎠ , Eк = ⎝ 2 m0 - эффективная масса пружинного маятника. 3 Подставляя выражение для эффективной массы пружинного маятника в уравнение (20) для периода колебаний маятника с учетом массы пружины получим уравнение: где m +

T = 2π

m0 3 = T 1 + m0 , 0 k 3m

m+

(20′)

m - собственная частота пружинного маятника, без учета k массы пружины. Рассмотренный выше случай является идеализированным, так как в реальных условиях всегда существуют силы трения и сопротивления (например, в подвесе, в воздухе), которые приводят к диссипации энергии и затуханию колебаний. При наличии сил сопротивления Fr , которые при небольших скоростях υ можно считать пропорциональными скорости, т. е. где

T0 = 2π

Fr = −r ⋅ υ ,

8

(21)

уравнение движения (6) несколько видоизменится: m

где

d 2x = −kx1 − rυ , dt 2

(22)

dx , а r - постоянная величина, коэффициент сопротивления. dt Тогда уравнение (22) примет вид

υ=

d 2x dx + 2 β + ω02 x = 0 , 2 dt dt

(23)

r k - коэффициент затухания, ω0 = - циклическая частота. 2m m Решение этого линейного дифференциального уравнения найдем аналогично уравнению (6), которое запишется в виде:

где β =

x = A0 e − βt ⋅ cos(ωt + ϕ) ,

(24)

где ω = ω02 − β 2 - циклическая частота затухающих колебаний, которые не являются периодическими; A = A0 e − βt - амплитуда колебаний, зависящая от времени, которая убывает по экспоненциальному закону; A0- начальная амплитуда при t=0. Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающихся на один период, равно: At = e βT . At +T

(25)

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм логарифмическим декрементом затухания

θ = ln

At = βT . At +T

9

(26)

Описание установки

7 2

3

1 6

9

4

э.с. 8

5

Рис. 3.

Установка - пружинный маятник состоит из пружины 1 (рис. 3), одним концом жестко закрепленной в лапке 2 штатива 3, а к свободному концу, на длинном подвесе 4, подвешивается исследуемый груз 5. К подвесу 4 закреплен указатель 6, расположенный у поверхности вертикально закрепленной к штативу 3 измерительной линейки 7.

Для исследования затухающих колебаний пружинный маятник снабжен стеклянным цилиндром 8 с вязкой жидкостью (глицерином). Измерение времени n колебаний маятника осуществляется с помощью электронного секундомера 9. Пружинный маятник, посредством опускания груза вниз, выводят из положения равновесия и отпускают. Под действием сил тяжести и упругости пружины маятник совершает гармонические колебания, с периодом Т, который вычисляется по формуле t T= , n где t - время n полных колебаний. Значение амплитуды колебаний А отсчитывается непосредственно по шкале измерительной линейки, как разность начального x0 (равновесного) положения груза и максимального отклонения груза от положения равновесия A = x0 − xmax .

10

Порядок выполнения работы Задание 1. Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом. Для определения коэффициента жесткости пружины k статическим методом измеряется длина l , на которую растянется пружина при подвешивании к ней груза известной массы m. Из условия

kc =

Fi , где Fi = mi g , g – сonst xi

находится величина k. Измерения проводятся для каждой пружины при трех различных грузах m1, m2, m3. Масса указана на грузах. Оценить погрешность измерений величины k по формуле 2

2

Δk ⎛ Δm ⎞ ⎛ Δx ⎞ εk = = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . k ⎝ m ⎠ ⎝ x ⎠ Данные прямых измерений и вычислений свести в таблицу 1.

Номер опыта 1. 2. ...

Номер пружины

m, г

x, см

k, Н/м

Таблица 1 εk, k, % Н/м

Задание 2. Нахождение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза. Измеряется период Т собственных колебаний пружинного маятника для одной из пружин с коэффициентом жесткости k при разных грузах и строится зависимость Т2 от массы груза m. Для измерения Т выводят груз из положения равновесия примерно на 30-50 мм и измеряют секундомером промежуток времени t, в течение

11

которого маятник совершит n колебаний (n=10−20). Величина Т определяется из соотношения Т = t/n. Данные прямых измерений и вычислений свести в таблицу 2.

Номер опыта 1. 2. ...

Номер пружины

m, г

х, см

t, с

Т, с

Таблица 2 T, T 2, с с2

Задание 3. Нахождение зависимости собственных колебаний пружинного маятника от коэффициента жесткости пружины. Измеряется период собственных колебаний Т пружинного маятника для всех имеющихся пружин при одном и том же грузе m0 (по указанию преподавателя) и строится график зависимости Т2 от k. Величины параметров принять следующие: А=5-10 мм, n=10, m=100 г. Используя измеренное значение периода колебаний маятника Т и зная массу груза m провести расчет коэффициента жесткости по формуле k g = 4π 2 m ⋅ n 2 t 2 и сравнить с коэффициентом жесткости k, полученным статическим методом. Оценить погрешность результатов. 2

⎛ o ⎞ Δk g ⎛ Δm ⎞ ⎜ 2 Δ t ⎟ , εk = = ⎜ ⎟ + k ⎝ m ⎠ ⎜ t ⎟ ⎝ ⎠ 2

где

o

Δ t = tn, p ⋅ σ X ;

t n , p = 2,78 - коэффициент Стьюдента (при n=5, p=0,95);

n 1 (t − ti )2 - средне квадратичное ∑ n(n − 1) i =1 значения времени t n- колебаний.

σX =

отклонение

среднего

Значения k и Δk для каждой пружины, полученные статическим и динамическим методами, свести в таблицу 3 и объяснить возможные расхождения значений.

12

Таблица 3 Номер пружины

Метод cтатический k , Н/м Δk , Н/м

динамический k , Н/м Δk , Н/м

1. Задание 4. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника и коэффициента трения r. Для определения логарифмического декремента затухания θ пружинного маятника груз массы m помещают в сосуд с жидкостью и измеряют период колебаний Т и время t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится до 10% своей первоначальной величины, т. е. до Аt= 0,1А0. Измерения следует проделать для нескольких начальных амплитуд (10, 20, 30 мм), причем для каждого значения амплитуды рекомендуется проделать не менее пяти измерений. Данные прямых измерений и вычислений свести в таблицу 4.

Номер опыта

Номер пружины

A0, мм

At, мм

N

t, с

n

Таблица 4 tk , θ c

По данным измерений вычисляют логарифмический декремент из соотношения θ= при Аt=0,1A0,

T A0 ln t At

A0 = 10 , ln10=2,3. At

Зная θ , по формуле θ = T 2m находят коэффициент силы трения r:

r=

2mθ . T

Оценить погрешность измерений θ и r по формулам:

13

⎛ Δo t ⎞ Δθ ε0 = = ⎜ ⎟ ⎜ tk ⎟ θ ⎝ ⎠

2

⎛ ⎜ 2 ⎛ Δt ⎞ ⎜ ΔA +⎜ ⎟ + ⎝ t ⎠ ⎜ A ln A0 ⎜ t At ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2

,

θ = θ ± Δθ ,

где Δθ = ε 0 ⋅ θ . 2

2 2 ⎛ Δo t ⎞ Δr Δ m ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ Δθ ⎞ ⎛ + ⎜ ⎟ , r = r ± Δr , εr = = ⎜ ⎟ + r ⎝ m ⎠ ⎜ t ⎟ ⎝ θ ⎠ ⎝ ⎠ где Δr = ε μ ⋅ μ .

Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Какие колебания называются свободными? Дайте определение гармонических колебаний. Назовите условия их возникновения, запишите уравнение этих колебаний и начертите график. Что называется фазой колебаний? В каких единицах измеряется фаза? Запишите дифференциальное уравнение, описывающее гармонические колебания тела на пружине и приведите его решение. Выведите формулу для определения периода колебаний пружинного маятника. Как изменяется период колебаний пружинного маятника составленного из двух пружин, если пружины соединить: последовательно, параллельно. Ответ обоснуйте.

Литература 1. 2. 3.

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. Учебник. 4-е изд., испр.–М.: В.Ш., 2002. Хайкин С. Э. Физические основы механики. Учебное пособие для университетов. –М.: Физматгиз, 1963. Руководство к лабораторным работам по физике. Под ред. Л.Л. Гольдина. Изд. 2-е. –М: Наука, 1973.

14