は
じ め
に
本 書 は 工 学 系 な ど複 素 関 数 論 を実 際 に使 い こ なす 必 要 が あ る学 生 を対 象 と し た 複 素 関 数論 の 入 門 書 で あ る.複 素 関 数 論 は広 い 意 味 で は 複 素 数 を変 数 に もつ 関 数 の性 質 を議 論 す る数 学 の １分 野 で あ る が,単
に複 素 関 数 論 とい った 場 合 に
は,１ つ の 複 素 変 数 の 関 数 を取 り扱 う.こ れ は,か
な り強 い 制 約 に な っ て い る
が,逆 に この よ う に制 限 す る こ と に よ り実 変 数 の関 数 に は な か っ た多 くの際 立 っ た性 質 が 現 れ る と と も に,実 変 数 の 関数 を理 解 す る 上 で も大 きな手 助 け とな る. そ して,複 素 関 数論 は 数 学 の 数 あ る理 論 の なか で も もっ と も洗 練 され,完 成 さ れ た 分 野 の ひ とつ に な って い る.ま た,そ れ ば か りで な く,複 素 関 数 論 は ポ テ ン シ ャル論 や流 体 力 学,電 磁 気学 等々,理 工 学 の 多 くの分 野 に幅広 い 応 用 を もっ て お り,理 工 学 の 学 生 が 学 ぶ 応 用 数 学 に お い て 中心 的 な役 割 を も っ て い る.本 書 は初 学 者 に,こ の よ うに 美 し くま た実 際 に 役 立 つ 複 素 関 数 論 の 一 端 にふ れ,理 解 し,味 わ っ て も ら うこ と を 目的 と した.そ の た め,本
シ リー ズ の 他 の 巻 と 同
様 に,題 材 を 限 定 した 上 で,わ か りや す さ を第 一 に考 え て執 筆 した.ま
た,複
素 関 数 論 の 応 用 面 の 効 用 に つ い て も類 書 よ りは 強 調 した. 本 書 は ８つ の 章 か ら構 成 さ れて い る が,あ
えて い え ば こ れ らは ３つ の部 分 に
分 け る こ とが で き る.ま ず １章 か ら ３章 まで は基 礎 部 分 で 導 入 的 な性 格 を もつ. 次 の ４章 か ら ６章 ま で は 複 素 関数 論 と して も っ と も興 味 深 い 中心 部 分 で あ る. これ らの 章 か ら複 素 関 数 の もつ 際 立 っ た性 質 が 明 らか に な る.終
わ りの ７章 と
８章 は ど ち らか と い え ば 応 用 に 関 連 して お り,複 素 関 数 論 の 効 用 を 示 す 部 分 に な っ て い る.具 体 的 に内 容 を記 す と以 下 の よ うに な る. 第 １章 で は 複 素 数 の 定義 や 四 則 か らは じめ て,複 素 平 面 や 複 素 数 列 につ い て 述 べ る.第
２章 で は 複 素 数 の 関 数 お よ び微 分 に つ い て議 論 して い る.本 章 で は
特 に複 素 関 数 が 微 分 で き る とい う こ とが,実 しい.第
３章 で は,実
関 数 と ど う違 うの か を 理 解 して欲
関数 で もお な じみ の 指 数 関 数 や 三 角 関 数,対
数関数 な ど
初 等 関 数 が複 素 関 数 に どの よ うに拡 張 され るの か に つ い て述 べ る. 第 ４章 で は複 素 関 数 の 積 分 につ い て 実 関 数 の 線 積 分 と対 比 して 導 入 したあ と,
複 素 関 数論 で 中心 的 な役割 を果 たすコ ー シ ー の積 分 定 理 を紹 介す る.そ
してコ ー
シ ー の定 理 か ら派 生 して 出 て くる い くつ か の 重 要 な定 理 や公 式 につ い て も言 及 す る.こ の 章 の 議 論 か ら,複 素 関 数 は も し １回 微 分 で きれ ば何 回 で も微 分 で き る とい う驚 くべ き性 質 を も っ て い る こ とが わ か る.第
５章 で は,複 素 数 の べ き
級 数 に つ い て 簡 単 に議 論 した あ と,い ろ い ろ な関 数 をべ き級 数 の 形 で 表 すテイ ラー展 開 や ロ ー ラ ン展 開 につ い て 説 明 して い る.そ して,ロ ー ラ ン展 開 を用 い て複 素 関 数 が もつ 特 異 点 を分 類 す る.第
６章 は留 数 に つ い て の 議 論 で あ り,留
数 を用 い る こ とに よ り,実 関 数 の 範 囲 で は 求 め る こ とが 困 難 で あ る 実 関 数 の 複 雑 な 積 分 が 簡 単 に 求 ま る場 合 が あ る こ とを 示 す. 第 ７章 で は複 素 関 数 に よる 写 像 を議 論 す る.特 に微 分 で き る 関数 に よ る写 像 は等 角 的(共 形 的)で あ る こ と を示 した あ と,代 表 的 な 関数 に よ る写 像 に つ い て 述 べ る.そ
して,こ の 写 像 を用 い る こ とに よ り,理 工 学 に お い て重 要 な応 用 を
もつ ラ プ ラ ス方 程 式 の 境 界 値 問題 が きれ い に解 け る場 合 が あ る こ と を示 す.第 ８章 は,複 素 関 数 論 の最 大 の 活 躍 の 場 で あ る と と も に,複 素 関 数 を あ る 意 味 で 視 覚 的 あ る い は 直感 的 に と らえ る 道 具 と も な る流 体 力 学 につ い て詳 し く説 明 し て い る. な お,話 の 筋 を理 解 す る上 で は,か え って わ か りに く くな る定 理 の 証 明 は 割 愛 した り,例題 や付 録 に ま わ した 部 分 もあ る.こ
うい った 証 明 を取 り扱 っ た 例
題は本 書 を は じめ に読 む と き には 読 み 飛 ば して も ら って もか ま わ な い. 原 稿 は注 意 深 く推 敲 した が,著 者 の 浅 学 の た め 思 わ ぬ 不 備 や誤 りが あ る こ と を恐 れ て い る.こ の 点 に 関 して は読 者 諸 賢 の ご批 評 を頂 い た上 で順 次 改 善 して い く予 定 で あ る. 最 後 に本 書 の 執 筆 に あ た り,お 茶 の 水 女 子 大 学 理 学 部 情 報 科 学 科 の 朝 倉 久美 子 さ ん と羽 田 み ず恵 さ ん に は め ん ど うな 式 の チ ェ ッ ク を含 む校 正 で ご協 力 頂 い た.ま
た朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に は本 書 の 出 版 に あ た り大 変 お 世 話 に な っ た.
こ こ に記 して感 謝 の 意 を表 した い. 2004年 ８月 河 村 哲 也
目
次
１. 複 素 数 と 複 素 平 面 1.1 複
素
１
数
１
1.2 複 素 平 面
３
1.3 複 素 数 列 と 極 限
２. 正 則 関 数
10
13
2.1 複 素 数 の 関 数
13
2.2 複 素 関 数 の 微 分
15
2.3 コ
18
ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式
2.4 正 則 関 数
22
2.5 有理
26
関 数
３. 初 等 関 数
28
3.1 指 数 関 数
28
3.2 双 曲 線 関 数
31
3.3 三 角 関 数
33
3.4 べ き 乗 根 と リ ー マ ン 面
36
3.5 対
42
数 関 数
4. 複 素 積 分
47
4.1 複 素 関 数 の 積 分
47
4.2 コ
54
ー シ ー の 積 分 定 理
4.3 不 定 積 分
62
4.4 コ
64
ー シ ー の 積 分 公 式
５. 関 数 の 展 開
74
5.1 べ き 級 数
74
5.2 テイラ
ー 展 開
78
5.3 ロ ー ラ ン 展 開
86
5.4 特 異 点 の 分 類
90
６. 留 数 定 理 と そ の 応 用
95
6.1 留
数 定 理
95
6.2 実 関 数 の 定 積 分 の 計 算
99
７. 等 角 写 像
111
7.1 複 素 関 数 に よ る 写 像
111
7.2 等 角 写 像 の 定 理
115
7.3 １ 次
117
関
数
7.4 初 等 関 数 に よ る 写 像
121
7.5 等 角 写 像 の 応 用
124
８. 流 体 力 学 と 関 数 論 8.1 質 量 保 存 法 則
131
8.2 渦 な し流 れ と 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル
134
8.3 簡 単 な 流 れ
137
8.4 完 全 流 体 中 の 物 体 に 働 く力
141
付
録 コー シ ー の 積 分 定 理 のグ ールサ
略解
索
131
146 に よ る 証 明
146
151
引
164
１ 複 素 数 と 複 素 平 面
1.1 複素
数
正 の実 数 どう しの積 は正 の実数 であ り,負 の実数 ど うしの積 も正 の実 数であ実 数である,ま
た,０
ど う し の 積 は０ で あ る.し
も負 の 実 数 に な る こ と は な い が,本
た が っ て,ど
の よ う な 実 数 を２ 乗 し て
書 で は ２乗 す れ ば 負 の 実 数 に な る よ う な 仮
想 的 な 新 し い 数 を 考 え る こ と に す る. い ま,２
乗 し て-b2と
な る よ う な 数 をbiま
た は-biと
記 す こ と に す る .こ
こ でｂ は 実 数 で あ り,ま たｉ は ふ つ う の 文 字 の よ う に 計 算 で き る が ,ｉ の２ 乗 が 出 て くれ ば-１
に な る 数,す
なわ ち i2=-1(1
と 約 束 す る.ｉ
.1)
を 虚 数 単 位 と い う． こ の よ う に す れ ば (bi) 2=b2i2=-b2
(-bi)2=(-b)2i2=-b2 と な り,２ 乗 す れ ば 負 の 実 数-b2と う.た
だ し,b=0の
き が 現 れ る が,こ と え ば,以
と きbiは
な る.biま
た は-biを
実 数 ０ と 約 束 す る.計
の と き もi2=-1を
次 に 実 数ａ
と 虚 数biの
虚 数)と
算 に よ っ て はi3以
・i〓-2,ｉ6〓(i2)3〓(-1)3〓-1
形 式 的 な 和 の 形 を し た 新 しい 数
い
上 のべ
使 っ てｉ の 次 数 を 下 げ る こ と に す る.た
下 の よ う に 計 算 す る.i 3〓i2
虚 数(純
α= a+bi=a十ib(1.2) を導 入 す る.こ の よ うな 数 を複 素 数 とい う.複 素 数 でb=0と
す れ ば 実 数ａ と
な る た め,複 素 数 は そ の特 殊 な場 合 と して 実 数 を含 ん で い る とみ なせ る.複 素 数 の 実 数 部 分,す な わ ち,式(1.2)のａ
を α の 実 数 部 ま た は実 部 とい い,虚 数 部
分 でIを 除 い た 数,す な わ ち,式(1.2)のｂ
を α の 虚 数 部 また は虚 部 とい う.そ
して 実部 お よ び虚 部 をそ れぞ れ 記 号ReとImで
表 す.し
たが っ て,式(1.2)で
は
Reα=a,Imα=b(1.3) とな る.複 素 数 の 虚 部 の符 号 を逆 に した 複 素 数 を も との 複 素 数 の 共役 複 素 数 と よび,複 素 数 の 上 にバ ー を つ け て 表 す.す 数は
な わ ち,式(1.2)の
複 素 数 の 共役 複 素
α =a-ib(1.4)
で あ る.ま た,定 義 か ら共 役 複 素 数 の 共役 複 素 数 は も との 複 素 数 に な る.す わ ち,=
な
α=α( 1.5)
が 成 り立 つ,複 素 数 の 実 部 と虚 部 を そ れ ぞ れ２ 乗 して足 した 数 の 平 方 根 をそ の 複 素数 の絶 対 値 と よび,実 数 と同 じ く絶 対 値 記 号 をつ け て表 す.し
た が っ て,複
素 数(1.2)の 絶 対 値 は￨ α￨=√a2+b2(1.6) で あ る. ◇ 間1.1◇２
つ の 複 素 数2+3i,-3-4iに
つ い て,そ れ ぞ れ 実 部,虚 部,共
役複 素 数,絶 対 値 を求 め よ. ２つ の複 素数 の 実 部 お よ び虚 部 が そ れ ぞ れ等 しい と き,２ つ の 複 素 数 は等 しい と定 義 す る,ま た 複 素 数 の 四 則 は,前 述 の よ うに 虚 数 単 位2を
あ た か も文 字 の
よ うに み な して 実 数 と同 じ よ う に計 算 す る こ と に よ り定 義 す る.こ の と き,22 が 現 れ た 場 合 に はi2=-1を
用 い て 実 数 で 置 き換 え る.具 体 的 に は2つ
素数 α= a+ib,〓=c+id の 和,差,積,商
は
の複
α+β=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)(1.7)
α-β= (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)(1.8) αβ=(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i2bd=(ac-bd)+i(ad+bc)(1.9)
(1.10) と な る.た 複 素 数〓
だ し,商
に お い て は β≠0と
仮 定 し,ま
た 分 母 と分 子 に 分 母 の 共役
を 掛 け て 分 母 を 実 数 に し て い る.
例題1.1 α=2+3i,β=-3-4iの
と き 次 の 計 算 を せ よ.
(1)α+β,(2)α-β,(3)α
β,(4)〓,(5)α〓,(6)α2
【 解 】(1)α+β=(2+3i)+(-3-4i)=(2-3)-(3-4)i=-1-i (2)α-β=(2+3i)-(-3-4i)=(2+3)+(3+4)i=5+7i (3)αβ=(2+3i)(-3-4i)=-6+12+(-9-8)i=6-17i (４)〓
(5)α〓=(2+3i)(2-3i)=4+9=13 (6)α2=(2+3i)2=4-9+12i=-5+12i ◇ 間1.2◇
α=2+3i,β=-3-4iの
(1)α-〓,(2)〓,(3)α
1.2複
素
平
と き次 の計 算 をせ よ.
β2
面
複 素 数 は実 部 お よび 虚 部 を表 す２ つ の 実 数 の 組 か らつ く られ て い る た め実,実 部 をｘ 座 標,虚
部 をｙ 座 標 と して 平 面 内 の１ 点 と して表 す こ とが で き る.逆
に平 面 内 の１ 点 はｘ 座 標 を実 部,ｙ 座 標 を虚 部 に とれ ば１ つ の 複 素 数 に対 応 づ けら れ る.こ の よ う に,平 面 内 の１ 点 と１ つ の 複 素 数 は１ 対１ の 対 応 を して い
る .平 面 を 複 素 数 に 対 応 させ た と き,そ の 平 面 を複 素 平 面 ま た は ガ ウ ス(Gauss) 平 面 と い う.た -2+iを
と え ば,図1.1に
お い て 点Ｐ
と 点Ｑ
は２ つ の 複 素 数1+2iと
表 す,
図1.1
さ て,平 る た め,複
複素平面
図1.2極
座標
面 内 の１ 点 は 上 記 の 直 角 座 標 だ け で な く極 座 標 を 用 い て も指 定 で き 素 数 を 表 す 点 も 極 座 標 を 用 い て 表 示 で き る.い
ま,複
素数
α= a+ib
を 考 え る と,こ 図1.2に
れ は 複 素 平 面 内 で(a,b)と
い う 座 標 を も つ１ 点Ｐ
に 対 応 す る が,
示 す よ うに 極 座 標 で は a=rcosθ,b=rsinθ(1.11)
で あるか ら α=r cosθ 十irsinθ=r(cosθ+isinθ)(1.12) と表 せ る.こ
こ で,ｒ
の な す 角 度 で,そ
は 点Ｐ
れ ぞ れａ
と 原 点 Ｏ の 間 の 距 離,θ
は 線 分OPと
実 軸(ｘ
軸)
とｂ を 用 い て
r=√a2+b2,〓(1.13)
で 表 さ れ る,た
だ し,式(1.13)を
用 い る 場 合,た
じ θ を 与 え る こ と に な る た め,θ はCOSθ (1.12)の
とaが
と え ば1+2と-1-2で
同 じ符 号 に な る よ う に と る.式
よ う な 複 素 数 の 表 示 を 極 形 式 と い う.式(1.6)と(1.13)か
あ る こ と が わ か る た め,rは
複 素 数 の 絶 対 値 と よ ば れ る.一
角 と よば れ θ=argα(1.14)
は同
方,θ
らr=｜
α｜で
は複 素 数 の偏
と いう 記 号 で 表 す. な お,sinやcosに
は2π
り に,θ+2nπ(n:整
数)と
角 と い っ た 場 合 には2π と,原
の 周 期 性 が あ る た め,式(1.12)に
お い て,θ
お い て も右 辺 は 同 じ値 に な る.言
の 整 数 倍 の 不 定 性 が あ る(幾
い 換 え れ ば,偏
何 学 的 に考 え れ ば あ る点
点 を何 周 か し て き た 点 と は 同 じ点 を 表 す こ と に 対 応 し て い る).そ
偏 角 を-π＜θ〓π＊ う.そ
し て,主
に 制 限 し て 一 通 り に 決 め る こ とが あ る が,こ
値 で あ る こ と を 明 記 す る た め,大
の かわ
文 字 のＡ
こで,
れ を 主値 とい
を 用 い てArgα
と記
す こ と が あ る. 例題1.2 次 の 複 素 数 を 極 形 式 で 表 せ. (1)1-i,(2)-√3+i 【 解 】(1)｜α｜=√1+1=√2Argz=tan-1(-1)=-π/4 し た が って1-i=√2(cos(-π/4)+isin(-π/4)) (2)｜α｜=√3+1=2Argz=tan-1(-1/√3)=5π/6 し た が って-√3+i=2(cos(5π/6)十isin(5π/6))
◇ 問1.3◇
次 の 複 素 数 を 極 形 式 で 表 せ．
(1)1+i,(2)-1-ｉ,(3)1一√3i 以 下 に 複 素 数 の 四 則 の 幾 何 学 的 な 意 味 を 複 素 平 面 を 用 い て 考 え て み よ う． ２つ の 複 素 数 α=a+ib,β=c+idを
表 す 点 をＰ,Ｑ
と す る .和
α+β=(α+c)+i(b+d)
図1.3複
*0〓θ＜2π
に とる こ と もあ る
。
素 数 の和
は
で あ る か ら,和
を 表 す 点 は 図1.3の
の も う ひ と つ の 頂 点Rと
よ う にOPとOQを2辺
と す る 平 行4辺
形
な る.
例 題1.3 次 の 不 等 式(三
角 不 等 式)を 証 明 せ よ. (1.15)
図1.4三
【 解 】z1=x1+iy1,z2=x2+iy2と
お く.図1.4か
は 三 角 形 の3辺
角 形 の2辺
の 長 さ に な る た め,三
角不等式
ら￨z1￨,￨z2￨,￨z1+z2￨ の 長 さ の 和 は 他 の1辺
の
長 さ よ り長 い こ と を 用 い れ ば よ い. 計 算 に よ っ て 証 明 す る た め に は,
で あ る か ら,式(1.15)の
右 辺 の2乗 か ら左 辺 の2乗
を引 い た もの が 正 で あ
る こ とを 示 せ ば よい.こ の と き
(右 辺)2-(左
辺)2
と な る が,
で あ る ため, ◇ 問1.4◇
次 の 不 等 式 を証 明 せ よ.
が 成 り立 ち証 明が 終 わ る.
図1.5 複 素 数 の 差
差 につい ては α-β=α+(-β) と 考 え る.こ
こ で-β=(-c)+(-d)iは
対 称 の 位 置 の 点Ｑ
と な る.し
た が っ て,差
る 平 行 四 辺 形 の も う ひ と つ の 頂 点Ｒ 積 や 商 に つ い て は,２
図1.5の
よ う に 点Ｑ
と原 点 に関 して
を 表 す 点 はOPとOQを２
辺 とす
に な る.
つ の 複 素 数 を極 形 式 で 表 す と 意 味 が は っ き りす る.す
な わ ち, α=r1(cosθ1十isinθ1),β=r2(COSθ2十isinθ2) と書 け ば,積
は
αβ=r1r2(COSθ1十isinθ1)(COSθ2+isinθ2) =r1r2((cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2十sinθ2cosθ1)) =r1r2(COS(θ1+θ2)+iSin(θ1+θ2))
と な る.こ
の こ と は,αβ
を 表 す 点 は,図1.6の
よ う に 原 点 か ら の 距 離 が２ つ の
複 素 数 の 絶 対 値 の 積 で あ り,ｘ 軸 と な す 角 度 は,２ つ の 複 素 数 の 偏 角 の 和 に な っ て い る こ と を 意 味 す る.特 α に 掛 け る と,α 換 え れ ば,点Ｐ
に 絶 対 値 が１ で 偏 角 が ψ の 複 素γ
の 絶 対 値 は 変 わ ら ず,偏
を 表 す 複 素 数ｚ はeiψを
だ け 回 転 す る こ と に な る(図1.7).こ
を,あ
る複素数
角 が ψ だ け 増 え る こ と に な る.言
い
掛 け る こ とに よ り原 点 まわ りに 角 度 ψ の こ と は,平
面上 の 点 を原 点 ま わ りに あ
る 角 度 回 転 さ せ た と き の 位 置 を 求 め る 場 合 に 利 用 で き る.
図1.6
複 素 数 の 積図1.7
回転(eiψと
の 積)図1.8
2iの積
例題1.4 (1,2)を 原 点 の ま わ りに45度
回 転 させ た 点 の 位 置 を求 め よ.
【 解】
と な る か ら,(一√2/2,3√2/2).
虚 数 単 位ｉ は 大 き さ１ の 複 素 数 で あ り,極
と書 くこ とが で きる.し た が っ て,あ 数 を原 点 ま わ りに90度 22=-1の
形式 では
る複 素 数 にｉ を掛 け る こ とは,そ
回転 させ る こ と を意 味 す る.こ
幾 何 学 的 な 意 味 づ けが で きる.す i =1×i
の複 素
の こ と か ら,２ お よび
な わ ち,
,-1=l×i×i
で あ る か ら,図1.8に
示 す よ うに この 式 は点(1,0)を
せ た もの が(0,1),す
なわ ちiで あ り,さ ら に2を90度
複 素 平 面 上 で90度
回転 さ
回 転 させ る と(-1,0)に
な る こ と を意 味 して い る. 原 点 以 外 の 点Ｓ の まわ りで 点Ｐ を角 度 θ回 転 させ る場 合 に は次 の よ う にす る.ま ず 点Ｓ を原 点 とす る よ うな 新 しい 複 素 平 面 を導 入 す る.も
との複 素 平 面
で 点Ｓ を 表 す 複 素 数 をzs,点Ｐ
しい 複 素 平 面
で は点Ｐ はz-zsと
な る,そ
を表 す 複 素 数 をｚ とす れ ば,新 こで,角 度 θだ け 回 転 させ る と
(z-zs)(cosθ+isinθ)
と な る が,こ
の 点 は も と の 平 面 で はzs+
(z-zs)(cosθ+isinθ) で あ る, 例題1.5ド ・モ ア ブ ル(deMoivre)の
定 理
(cosθ 十isinθ)n=cosnθ
十isinnθ(1.16)
を 証 明 せ よ. 【 解 】z=cosθ+isinθ
と お く と,￨z￨=1な
角 度 θ だ け 回 転 し た も の で あ る.同
の で,z=1・zは
様 に,zn=1・z・z…
度 θ ず つｎ 回分 回 転 し た も の に な る.し
の 積 と考 え る.一
方,
で あ る か ら,
図1.9
は(1,0)を
た が っ て,zn=cosnθ+isinnθ
となる。
商 に つ い て は α と1/β
点(1,0)を
複素数の商
角
と な る.し な り,偏
た が っ て,商
を 表 す 複 素 数 の 絶 対 値 は２ つ の 複 素 数 の 絶 対 値 の 商 と
角 は２ つ の 複 素 数 の 偏 角 の 差 に な る こ とが わ か る(図1.9).
例題1.6 次 の 方 程 式 ま た は 不 等 式 で 表 さ れ る 領 域 を 複 素 平 面 上 に 図 示 せ よ. (1)(2)(3) 【解 】(1)-π/3<argz0の
と き.mは
偶 数 でr=√2nπ,2θ=π/2+2kπ,z
=√2nπe(π/4+κπ)i=±√2nπeπi/4; 同 様 にn＜0の
と きmは
奇 数 でr=√-2nπ,2θ=π/2+(2k+1)π,z=
±√-2nπ e3iπ/4 【3.3】(１)sinz=(eiz-e-iz)/(2i)=(1/2)(e-y+ey)sinx-(i/2)(e-y-ey)cosx 虚 部=0よ 数)ま
りx=π/2+nπ
た はz=b(b:任
ま た はy=0,z=(π/2+nπ)+ia(a=任
意 の実
意 の 実 数)
(２)coshz=(ez+e-z)/2={(ex+e-x)cosy+i(ex-e-x)siny}/2 虚 部=0よ inπ(b:任
りx=0ま
た はy=nπ,z=ia(a:任
意 の 実 数)ま
意 の 実 数)
【 3.4】(１)tanh(-z)=(e-z-ez)/(e-z+ez)=-(ez-e-z)/(ez+e-z)=-tanhz (２)
〓(３)〓 【3.5】(１)z+1=w=reiθ lnr
→logw=lnr+i(θ+2nπ)=1-i
=1→r=e;θ=-1,n=0ゆ
(２)cosz=w=reiθ
え にz=ee-i-1=e1-i-1
→logw=lnr+i(θ+2nπ)=1→r=e,θ=0,n=0
→w=e,cosz=e=(eiz+e-iz)/2;(eiz)2-2eeiz+1=0→eiz=
た はz=b+
∫cxy ∫
e±√e2-1=eixe-y x=2nπ,y=-ln(e=√e2-1)→z=2nπ-iln(e±√e2-1) 【3.6】(１)√2i=√2e(π/2+2nπ)i=√2e(π/4+nπ)i→√2eπi/4=1+i (２)〓
(３)(1+i)i=eilog(1+i)=ei(ln2+(π/4+2nπ)i)→e-(π/4+2nπ)+iln2 =e-(π/4+2nπ)(cos(ln2)+isin(ln2))
第 ４章 問4.1(１)〓
(２)〓 (３)∫zsinzdz=-zcosz+∫coszdz=-zcosz+sinz+C 問4.2(１)〓 2ds=∫31x(x
-1)2√2dx=√2[x4/4-2x3/3+x2/2]31
=20√2/3 (２)〓 問4.3〓
∫ C1zdz=∫1-2(x-i)dx+∫2-1(1+yi)idy=[x2/2-ix]1-2+i[iy2/2+y]2-1 =- 3〓
C2zdz=∫1-2(x+(x+1)i)(1+i)dx=(1+i)[(1+i)x2/2+ix]1-2=-3 問4.4正
方 形 の ４ 辺 を(0,0)か
ら 反 時 計 ま わ り にC1,C2,C3,C4と
左 辺=∫C
1fdx+∫C2gdy+∫C3fdx+∫C4gdy =0+∫10dy+∫01(-1)dx+0=1+1=2;右 問4・5(１)∫i1(z+1)2dz=[(z+1)3/3]i1-(-10+2i)/3
辺=∫∫S(1+1)dxdy=2
(２)∫1+i0zez2dz=[ez2/2]1+i0(e2i-1)/2=(cos2-1)/2+i(sin2)/2 問4・6(１)特
異 点:z=1;〓
(２)特 異 点::z=2〓
章末 問 題 【4・1】(１)〓 (２)〓 ∫C
Re(z)dz=∫20x(1+2i)dx=(1+2i)[x2/2]20=2(1+2i)
す る と
【4・2】(1)∫1-i1+iz3dz=[z4/4]1-i1+i=0 (2)∫i0sinhzdz=[coshz]i0=coshi-cosh0=cos1-1 (3)∫0-πizcoszdz=[zsinz]0-πi-∫0-πisinzdz=[zsinz+cosz]0-πi= 1+πsinhπ-coshπ 【4.3】(1)特
異 点 は〓
(2)特
異 点 は〓
(3)積 分 路 内 の 特 異 点 はz=-1だ 【4.4】logzの
不 定 積 分 はzlogz-zで
け な の で(1)と
同 じ く2πi/3
あ る.
(1)[zlogz-z]exp(2πi)exp(0)=(2πi-1)-(-1)=2πi (2)[zlogz-z]exp(-4πi+πi/2)exp(πi/2)=(i(-4π+π/2)i-i)-(i(π/2)i-i)=i(-4πi)=4π
【 4・5】〓が 成 り 立 つ が,￨ΔZm￨はzm-1とzmを て,右
辺 は 点z0,z1,…,znを
値 が0に
通 る 折 れ 線 の 長 さ を 表 す.そ
近 づ く よ う にn→∞
ま た 左 辺 は∫cf(z)dzに
両 端 と す る 弦 の 長 さ で あ る.し こ で,￨zm￨の
最大
と す れ ば 折 れ 線 の 長 さ は 曲 線 の 長 さLと
な り,
な る.
第5章 問5。1(1)1/R=lim￨an+1￨/￨an￨=lim((n+1)3/3n+1)(3/n3)=lim(1+1/n)3/3 →1/3;R=3 (2)1/R=lim(2n+2)!/((n+1)!)2×(n!)2/(2n)!=lim(2n+2)(2n+ 1)/(n+1)2=4;R=1/4 (3)1/R=〓(n-n)1/n=〓n-1=0;R=∞ 問5.2(1)f'=-sinz,f"=-cosz,f(3)=sinz,…;f(0)=1,f'(0)=0,f"(0) =-1,f(3)(0)=0,… f(z)=1-z2/2!+z4/4!+… (2)f'=coshz,f"=sinhz,f(3)=coshz,…;f(0)=0,f'(0)=1,f"(0)=0 ,f(3)(0)=1,… f(z)=z+z3/3!+z5/5!+・・ 問5.3(1)f=1/(1-z3)=1+z3+z6+z9…, (2)f=z2-z6/3!+z10/5!-… 問5.4(1)f=1+(z2+z3)+(z2+z3)2+…=1+z2+z3+…
たが っ
・
(2)f=∫z0(1-t2+t4/2-…)dt=[t-t3/3+t5/10一
…]z0=z-z3/3
+z5 /10-… 問5.5(1)0
