Основы теории критичности, методы расчёта и возмущение реактивности реактора

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

А.М. Кузьмин

Основы теории критичности, методы расчёта и возмущение реактивности реактора

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2008

УДК 621.039 БКК 31.46я7 К 89 Кузьмин А.М. Основы теории критичности, методы расчёта и возмущение реактивности реактора: Учебное пособие. — М.: МИФИ, 2008 – 156 с. Учебное пособие по дисциплине «Теория ядерных реакторов» состоит из введения, четырёх разделов и приложения. В них представлены основные выводы о развитии цепной реакции деления ядер, условия критичности реактора, методы расчёта плотности потока нейтронов в односкоростном и многогрупповом диффузионном приближении, соотношения теории возмущений для эффективного коэффициента размножения нейтронов и применения их для расчёта коэффициентов реактивности реактора. Включено описание одного из приближённых методов расчёта потока нейтронов – метода условного разделения переменных. Изложение основ теории сопровождается примерами решения условно-критических задач для простых моделей реактора. Каждому разделу предшествует краткое описание приближений, с учётом которых рассматривается распределение нейтронов. Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов университета, обучающихся по специальности «Ядерные реакторы и ядерные энергетические установки». Оно может оказаться полезным также для магистров и поступающих в аспирантуру МИФИ по указанной специальности. Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы. Рецензенты: д-р. физ.-мат. наук В.В.Орлов д-р. физ.-мат. наук Н.В.Щукин ISBN 978-5-7262-1091-9

Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 4 Введение 5 Глава 1.Основные выводы о развитии цепной реакции деления 11 Глава 2.Условия критичности в односкоростном приближении 19 2.1. Реактор без отражателя 19 2.2. Задача о критичности многозонного реактора 25 2.3. Влияние отражателя на критические параметры реактора 30 2.4. Численный метод решения условно-критической задачи 37 2.5. Конечно-разностные уравнения двумерного реактора 44 Глава 3. Методы расчёта пространственно-энергетического распределения нейтронов 54 3.1. Реактор без отражателя в диффузионно-возрастном приближении 54 3.2. Многогрупповые уравнения и сечения реакций 64 3.3. Подготовка групповых микроскопических сечений 72 3.4. Спектр нейтронов в многогрупповом приближении 79 3.5. Двухгрупповой метод для многозонного реактора 82 3.6. Распределения нейтронов в реакторе с отражателем 86 3.7. Условно-критическая задача в Р1 - приближении 92 Глава 4.Теория возмущений для коэффициента размножения нейтронов 95 4.1. Основные соотношения теории возмущений 97 4.2. Итерационный метод решения сопряжённых уравнений 102 4.3. Сопряжённые уравнения для простых моделей реактора 103 4.4. Физический смысл сопряжённой функции 110 4.5. Применения соотношений теории возмущений 120 Список литературы 136 Приложения 138 Приложение 1. Метод условного разделения переменных 138 Приложение 2. Интегро-дифференциальное уравнение ценности нейтронов 148

3

ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие подготовлено на основе лекций, которые автор в течение многих лет читает студентам МИФИ по дисциплине «Теория ядерных реакторов», и включает лишь вопросы, относящиеся к теории критичности и методам расчёта реакторов, состоящих из однородных зон. При этом автор не претендует на строгое обоснование теории, всесторонний обзор и рассмотрение методов расчёта. Это делается в специальных курсах, которые студентам МИФИ предлагаются на последнем году обучения. Необходимый для ознакомления с пособием уровень подготовки ограничивается знанием основ нейтронной физики, способов описания распределений нейтронов в неразмножающих средах и методов решения уравнений математической физики. Вошедшие в пособие разделы теории реакторов более или менее подробно изложены в известных монографиях [1] − [5] и конспекте

лекций профессора В.В.Орлова [6] − [8] . К сожалению, эта литература давно не переиздавалась (более 20-ти лет) и в настоящее время практически отсутствует в библиотеках. Это обстоятельство послужило главной причиной написания предлагаемого пособия. Другая причина связана с желанием изложить те математические преобразования, которые, с одной стороны, необходимы для получения критических параметров реактора, а с другой стороны, часто не удаётся выполнить на лекциях из-за недостатка времени. Надеюсь, что такое пособие поможет студентам самостоятельно решать задачи по статике неоднородного реактора [13] , которые рекомендуются для успешного освоения теории реакторов. В отличие от конспекта лекций [6] в пособии больше внимания уделяется численным методам расчёта распределений нейтронов, получивших в последнее время широкое распространение. Вместе с тем рассматриваются также аналитические методы решения условно-критических задач. Владение такими методами позволяет не только быстро получить решение задачи для простых моделей реактора. Важно, что с помощью аналитических выражений

4

удаётся сделать выводы для большой группы задач, лучше понять физику протекающих в реакторах процессов и объяснить результаты, получаемые численными методами. Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю перспективных разработок НИКИЭТ, профессору В.В.Орлову и профессору МИФИ Н.В.Щукину, которые прочитали рукопись пособия и высказали полезные замечания. Эти замечания были учтены при подготовке пособия к печати.

ВВЕДЕНИЕ Теория критичности рассматривается для реакторов, состоящих из одной или нескольких зон разного состава, свойства которых со временем не меняются. Реактор имеет выпуклую внешнюю границу с вакуумом и достаточно большие размеры, поглощение нейтронов не велико. В этом случае угловое распределение нейтронов не должно сильно отличаться от сферически симметричного, и поток нейтронов можно получить, решая уравнение переноса нейтронов в P1 -приближении [1] . При нахождении распределения нейтронов ограничимся рассмотрением основных для реакторных задач процессов взаимодействия нейтронов с ядрами: радиационным захватом, делением ядер, упругим и неупругим рассеянием. В дальнейшем принимается, что распределение нейтронов деления сферически симметрично в лабораторной системе координат, одинаково для всех делящихся ядер и не зависит от энергии нейтрона, вызывающего деление. Кроме того, не учитываются различия между мгновенными и запаздывающими нейтронами, поскольку в основном исследуются условия существования в реакторе стационарного нейтронного поля. В P1 -приближении поток нейтронов φ (r , E , Ω, t ) , зависящий в общем случае в момент времени t от пространственных (координат вектора r ), энергетической E и угловых (описывающих направление полёта Ω ) переменных, представляется двумя первыми членами разложения в ряд по сферическим функциям

Yn (Ω) :

5

[

]

1 φ (r , E , t ) + 3 Ω J (r , E , t ) , (В.1) 4π где коэффициенты разложения φ ( r , E , t ) , J ( r , T , t ) имеют смысл

φ ( r , E , Ω, t ) =

проинтегрированных по телесному углу потока и тока нейтронов, соответственно. Для размножающей среды с внешним изотропным источником

мощностью

1 q(r , E , t ) 4π

они

находятся

из

следующих уравнений (для сокращения записи совокупности аргументов r , E или r , E ′ обозначаются в дальнейшем через x или x′ , соответственно):

1 ∂φ ( x, t ) = − div J ( x, t ) − Σ t ( E ) φ ( x, t ) + ∫ Σ s ,0 ( E ′, E )φ ( x′, t )dE ′ + υ ∂t E′

+ χ ( E ) ∫ν f Σ f ( E ′) φ ( x′, t ) dE ′ + q ( x, t ) ,

(В.2)

E′

1 ∂ J ( x, t ) 1 = − grad φ ( x, t ) − Σ t ( E ) J ( x, t ) + υ ∂t 3 + ∫ Σ s ,1 ( E ′, E ) J ( x′, t )dE ′ .

(В.3)

E′

Здесь υ = υ (E ) – скорость нейтронов, χ (E ) - спектр нейтронов деления, Σt ( E ) = Σ c ( E ) + Σ f ( E ) + Σ s ( E ) , Σ s ( E ) = Σ es ( E ) + Σin ( E ) ,

Σ c ( E ) , Σ f ( E ) , Σ es ( E ) , Σin ( E )

– макроскопические сечения

радиационного захвата, деления, упругого и неупругого рассеяния, соответственно, а сечения Σ s , 0 ( E ′, E ) и Σ s ,1 ( E ′, E ) совпадают с первыми 2-мя коэффициентами разложения дифференциального сечения рассеяния Σ s ( E ′, Ω′ → E , Ω) в ряд по полиномам Лежандра. Макроскопические сечения Σ p (E ) процессов p = c, s, f ,es,in и дифференциальные

Σ p ( E ′, Ω′ → E , Ω)

сечения

процессов

p = es,in однозначно связаны с концентрациями ρ l (r ) ядер сорта l, соответствующими микроскопическими сечениями σ p ,l ( E ) и

6

вероятностями

Wes ,l ( E ′, Ω′ → E , Ω)

упругого

и

неупругого

Win ,l ( E ′, Ω′ → E , Ω) рассеяния: Σ p ( E ) = ∑ σ p ,l ( E ) ρ l (r ) ,

p = c, s, f , es, in ,

(В.4)

l

ν f Σ f ( E ) = ∑ν f ,l ( E ) σ f ,l ( E ) ρl (r ) , а для p = es, in : l

Σ p ( E ′, Ω′ → E , Ω) = ∑ σ p ,l ( E ′)W p ,l ( E ′, Ω′ → E , Ω) ρ l (r ) . l

Если считать (как это делается во многих задачах), что упругое рассеяние сферически симметрично в системе центра инерции, а неупругое рассеяние – в лабораторной системе, то:

Wes ,l ( E ′, Ω′ → E , Ω) = Wes ,l ( E ′ → E , μ 0 ) , 1 Win ,l ( E ′ → E ) , 4π Σ s , 0 ( E ′, E ) = Σ s ( E ′) Ws ( E ′ → E ) , Win ,l ( E ′, Ω′ → E , Ω) =

Σ s ,1 ( E ′, E ) = Σ s ( E ′) Ws ,1 ( E ′ → E ) , где

μ0

–

косинус

угла

(В.5) рассеяния,

а

через

Ws ( E ′ → E ) , Ws ,1 ( E ′ → E ) обозначены средние по всем ядрам вероятности рассеяния. Учитывая принятые законы рассеяния, их можно представить в виде μ 0 =

Ws ( E ′ → E ) =

Al + 1 2

E′ , E

1 ∑ [σ es,l ( E′) Ws 0,l ( E′ → E ) + Σ s ( E ′) l + σ in ,l ( E ′) Win ,l ( E ′ → E )] ρ l (r ) ,

Ws ,1 ( E ′ → E ) =

1 Σ s ( E ′)

∑σ

es ,l

( E ′) Ws1,l ( E ′ → E ) ρ l (r ) ,

l

+1

где

E A −1 − l 2 E′

Ws 0,l ( E ′ → E ) = 2π ∫ Wes ,l ( E ′ → E , μ 0 ) dμ 0 , −1

7

+1

Ws1,l ( E ′ → E ) = 2π ∫ Wes ,l ( E ′ → E , μ 0 ) μ 0 dμ 0 . −1

В дальнейшем наряду с P1 -приближением рассматривается диффузионное приближение, к которому приходят, вводя дополнительно два допущения. Во-первых, учитывается, что при слабом отклонении углового распределения нейтронов от сферически симметричного распределения среднее по всем направлениям Ω значение 〈 Ωϕ 〉 гораздо меньше, чем 〈ϕ 〉 .

∫

Поэтому ожидается, что ток нейтронов J = Ωϕ dΩ будет мал, а Ω

его изменением за время (Σ tυ ) −1 можно пренебречь. Тогда в уравнении (В.3) принимают:

1 ∂ J (r , E , t ) = 0. ∂t υ(E)

(В.6)

Во-вторых, предполагается, что значения E ′ и E в интеграле уравнения (В.3) мало различаются, а сечение Σ s ,1 ( E ′, E ) слабо меняется в зависимости от E ′ . Тогда величина этого интеграла, совпадающая с вкладом от замедления нейтронов с энергией E ′ > E , не должна сильно отличаться от того значения, что даёт замедление нейтронов с энергией E до более низких значений. Поэтому можно считать, что:

∫Σ

E′

s ,1

( E ′ → E ) J (r , E ′, t ) dE ′ ≈ ∫ Σ s ,1 ( E → E ′) J (r , E , t ) dE ′ = E′

= μ ( E ) Σ es ( E ) J (r , E , t ) ,

(В.7)

где μ 0 ( E ) – средний косинус угла рассеяния, определяемый равенством

μ0 ( E ) =

1 ∑σ es,l ( E ) ∫ Ws1,l ( E → E ′) dE′ ρl (r ) . Σ es ( E ) l E′

В результате уравнение (В.3) превращается в равенство: J (r , E , t ) = − D( E ) grad φ (r , E , t ) , (В.8) если коэффициент D (E ) , называемый коэффициентом диффузии, представить в виде:

8

D( E ) = (3 Σ tr ( E )) −1 , Σ tr ( E ) = Σt ( E ) − μ 0 ( E ) Σ es ( E ) .

(В.9) Как известно, в таком виде записывается закон Фика, используемый при получении уравнения для потока нейтронов в диффузионном приближении. При этом для сечения Σtr (E ) , получившего название транспортного сечения, будем иметь равенство вида (В.4), если для каждого ядра сорта l ввести в рассмотрение транспортное микроскопическое сечение: σ tr ,l ( E ) = σ t ,l ( E ) − μ l ( E ) σ es ,l ( E ) , (В.10)

∫

где μ l ( E ) = Ws1,l ( E → E ′) dE ′ – среднее значение косинуса угла E′

рассеяния нейтронов на l-м ядре. Отметим, что предположение (В.6) хорошо выполняется во всех реакторных задачах (за исключением областей вблизи границы с вакуумом, где несправедливо, вообще говоря, и разложение (В.1)). Поэтому обычно при рассмотрении P1 - приближения исключают производную

∂J в уравнении (В.3). Что касается допущения ∂t

(В.7), то оно не выполняется, если в реакторе присутствуют лёгкие ядра замедлителя (прежде всего, ядра водорода), при упругих столкновениях с которыми может сильно уменьшиться энергия нейтронов. В этом случае следует отказаться от равенства (8) и использовать более точное соотношение:

grad φ (r , E , t ) + 3Σ t ( E ) J (r , E , t ) = = 3 ∫ Σ s ( E ′) Ws ,1 ( E ′ → E ) J ( r , E ′, t ) dE ′ .

(В.11)

E′

Очевидно, в односкоростном приближении оно преобразуется к виду (В.8). Выше отмечалось, что P1 -приближение не справедливо вблизи границы с вакуумом. Чтобы уменьшить связанную с этим погрешность расчёта, граничное условие при решении уравнений (В.2), (В.8) или (В.11) формулируют в виде равенства нулю потока нейтронов на так называемой экстраполированной границе реактора.

9

Под экстраполированной границей подразумевают такую эквидистантно удалённую от внешней границы S реактора поверхность S э с точками rэ = rs + d ⋅ n ( n – единичный вектор внешней нормали, rs – одна из точек внешней поверхности S , d – длина линейной экстраполяции ), что при линейной аппроксимации потока нейтронов в вакууме решение уравнения диффузии в реакторе вдали от границы S будет мало отличаться от точного решения [2]. При этом величина d меняется с изменением кривизны

поверхности

в

пределах:

0,71 λtr ≤ d ≤

4 λtr , где 3

1 – усреднённая по энергиям нейтронов транспортная Σ tr длина (значение 0,71λtr соответствует плоской границе с

λtr =

вакуумом). Таким образом, решение уравнения переноса нейтронов, сформулированного в диффузионном или P1 -приближении, будем искать среди функций, удовлетворяющих известному начальному условию и требованиям: φ (r , E , t ) и J , n - непрерывны r ∈V , 0 ≤ E ≤ E 0 ;

( )

φ (rэ , E , t ) = 0 , (В.12) φ (r , E , t ) – положительные и ограниченные внутри объёма V

функции. В дальнейшем множество функций, для которых выполнены условия (В.12), будем обозначать через Ω , а принадлежность функций этому множеству – символами: φ ∈ Ω .

10

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ О РАЗВИТИИ ЦЕПНОЙ РЕАКЦИИ ДЕЛЕНИЯ

Одной из главных в теории критичности реакторов является задача, связанная с обоснованием самоподдерживающейся цепной реакции деления ядер. В общем случае она будет рассмотрена в других разделах. Пока ограничимся решением этой задачи для реактора без отражателя (т.е. состоящего из одной однородной по составу активной зоны), распределение нейтронов в котором находится в односкоростном (или одногрупповом) диффузионном приближении. В этом приближении принимается, что все нейтроны имеют одну и ту же скорость, а микроскопические сечения взаимодействий не зависят от энергии E. Пусть цепная реакция деления возбуждается в момент времени t=0 внешним импульсным источником, создающим в этот момент в реакторе некоторое распределение плотности нейтронов q(r ) . В рассматриваемой модели реактора нестационарное уравнение (В.2) для потока нейтронов φ ( r , t ) (с учётом соотношения (В.8)) приводится к виду (для t>0):

1 ∂φ (r , t ) = D Δ φ (r , t ) − Σ a φ ( r , t ) + ν f Σ f φ ( r , t ) (1.1) υ ∂t φ (r , t ) ∈ Ω , φ (r ,0) = υ q (r ) , где параметры υ , D , Σ a = Σ c + Σ f и ν f заданы и не зависят от времени t. Здесь учтено, что div ( D grad φ ) = D Δ φ , поскольку D = const .

Решение задачи (1.1) получим, опираясь на представление о развивающейся во времени цепной реакции деления как последовательной смены нейтронов разных поколений. В этом случае считаем, что нейтроны n-го поколения появляются за счёт деления ядер среды нейтронами предыдущего поколения, а нейтроны нулевого поколения – за счёт внешнего источника. Тогда: ∞

φ (r , t ) = ∑φ ( n ) (r , t ) , n =0

11

(1.2)

где φ ( n ) ( r , t ) – потоки нейтронов n-го поколения, получаемые в результате последовательного решения уравнений:

1 ∂φ ( 0) (r , t ) = D Δφ ( 0) (r , t ) − Σ a φ ( 0) (r , t ) , φ ( 0) (r ,0) = υ q(r ) , υ ∂t ( n) 1 ∂φ (r , t ) = D Δφ ( n ) (r , t ) − Σ a φ ( n ) (r , t ) + ν f Σ f φ ( n−1) (r , t ) , υ ∂t φ ( n ) (r ,0) = 0, n = 1,2, . . . , (1.3) (n) (n) при условиях: φ (r , t ) ∈ Ω , φ (r , t → ∞ ) → 0, n = 0,1,2, . . . Интегрируя уравнения (1.3) по времени t в пределах 0≤ t < ∞ , получим уравнения сменяющихся поколений нейтронов: D Δφ ( 0 ) ( r ) − Σ a φ ( 0 ) (r ) + q(r ) = 0 , φ ( 0) (r ) ∈ Ω ,

D Δφ ( n ) (r ) − Σ a φ ( n ) (r ) + ν f Σ f φ ( n −1) (r ) = 0 ,

φ

(n)

(r )∈Ω ,

(1.4)

n = 1,2, . . . ∞

в которых φ ( n ) (r ) = φ ( n ) (r , t ) dt .

∫ 0

Решения уравнений (1.4) будем искать в виде разложений ∞

φ ( n ) (r ) = ∑ C m( n )ψ m (r )

(1.5)

m=0

по собственным функциям ψ m (r ) задачи

Δψ m (r ) + α m2 ψ m (r ) = 0, ψ m (r ) ∈ Ω , m = 0, 1, 2, . . .

(1.6) Известны следующие свойства собственных чисел и функций этой задачи: - собственные числа α m2 вещественны; если их пронумеровать

0 < α 02 < α12 ≤ α 22 ≤ . . . ;

в порядке возрастания, то:

(1.7)

- система собственных функций ψ m (r ) полна, ортогональна и линейно-независима; функции ψ m (r ) всегда можно выбрать вещественными и ортонормальными: ψ k ψ m dr = 0 , k ≠ m ; ψ m2 dr = 1, m = 0 ,1, 2 , . . . ; (1.8)

∫

V

∫

V

12

- наименьшему собственному числу α 02 соответствует единственная функция ψ 0 ( r ) , которая нигде внутри объёма V в нуль не обращается, её всегда можно считать неотрицательной при значениях r ∈ V ; остальные собственные функции ψ m (r ) таким свойством не обладают и являются знакопеременными в рассматриваемом объёме. Отметим также, что значение α 02 целиком определяется геометрической формой и размерами реактора. Подстановка разложений (1.5) в уравнения (1.4) и использование свойств (1.8) собственных функций ψ m (r ) даёт следующие соотношения для коэффициентов Cm(n ) :

C

(n) m

km =

= km C

( n −1) m

, C

ν f Σf , Σ a + α m2 D

( n) m

=k C n m

(0) m

, C

( 0) m

=

∫ q(r ) ψ

V

m

(r ) dr , где

Σ a + α m2 D

m = 0, 1, 2, . . . ; k0 > k1 ≥ k 2 ≥ . . .

(1.9)

В результате равенство (1.5) приводится к виду ( при r ≠ rэ ):

φ

(n)

(r ) = C

(0) 0

n

C m( 0 ) ψ m ( r ) ⎛ k m ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . k ψ 0 ( r ) + ∑ ( 0) m =1 C 0 ψ 0 ( r ) ⎝ k 0 ⎠ ∞

n 0

(1.10)

Из анализа выражения (1.10) следует, что для достаточно больших значений n (таких, что n>N, а N удовлетворяет N

⎞ N:

φ ( r ) = C0 ψ 0 ( r ) ,

C0 = C0( 0) k0n ;

φ ( n ) (r ) = φ (r ) , (1.11)

-при n>N отношение потоков

φ ( n ) (r ) = k0 . φ ( n−1) (r ) 13

(1.12)

Напомним, что в физике реакторов отношение (1.12), принимающее после смены большого числа поколений нейтронов постоянное значение, называют эффективным коэффициентом размножения нейтронов и обозначают как К эф . При этом распределение φ (r ) , определяемое равенством (1.11), называют асимптотическим потоком нейтронов. Делая в уравнениях (1.4) замену φ ( n −1) =

1 (n) φ и учитывая К эф

равенства (1.11), для потока φ (r ) получим уравнение:

D Δ φ (r ) − Σ a φ (r ) +

1 ν f Σ f φ (r ) = 0 , φ (r ) ∈ Ω . К эф

Пропорциональность

интегральных

(1.13) потоков

∞

φ ( n ) ( r ) = ∫ φ ( n ) ( r , t ) dt функции ψ 0 ( r ) имеет место, когда 0

φ ( n ) ( r , t ) = Tn (t ) ψ 0 ( r ) ,

(1.14)

причём, функции Tn (t ) удовлетворяют условиям:

Tn (0) = 0 ,

Tn (t → ∞) → 0 ,

n> N .

Приближённые зависимости их от времени t приведены на рис.1.1. Среднее время жизни t n каждого поколения нейтронов конечно

⎞ ⎛t ~ 1 ⎜ n υ Σ ⎟ и по прошествие достаточно большого времени a⎠ ⎝ N ~ t0 = ∑ t n в сумму (1.2) основной вклад будет вносить n =0

определённое число слагаемых с номерами n ∈δN t . Поскольку каждое из них имеет вид (1.14), то зависимость асимптотического потока нейтронов от времени выглядит следующим образом: φ (r , t ) = T (t ) ψ 0 (r ) , t>~ t0 . Подставляя это выражение в нестационарное уравнение (1.1) и учитывая равенство (1.6) для функции ψ 0 ( r ) , получим:

φ (r , t ) = C exp (t τ 0 ) ψ 0 (r ) , 14

t>~ t0 ,

(1.15)

где С – постоянный соотношениями:

К эф − 1

множитель,

T0

а

определяется

1 . (1.16) τ0 ϑ υ (Σ a + α 02 D) В этих равенствах параметр ϑ имеет смысл времени жизни 1 − 1 К эф называют реактивностью, а нейтронов, разность 1

=

,

ϑ=

параметр τ 0 – асимптотическим периодом реактора.

Рис.1.1. Зависимости функций

Tn (t ) , T (t )

от времени

t

На основе вышесказанного сделаем следующие выводы : 1. По прошествие достаточно большого времени (или смены большого числа поколений) после момента возбуждения цепной реакции деления и независимо от вида источника q(r ) в реакторе устанавливается асимптотическое φ (r ) , пространственное распределение нейтронов пропорциональное основной гармонике ψ 0 ( r ) уравнения (1.6). Амплитуда этого распределения в критическом реакторе (с К эф = 1 ) со временем не меняется и цепная реакция деления ядер является самоподдерживающейся. В некритическом реакторе амплитуда со временем возрастает (при К эф > 1 ) или уменьшается (если К эф < 1 ) по экспоненциальному закону

15

exp( t T0 )

(либо по закону

n К эф , если цепной процесс деления рассматривается как

смена поколений нейтронов). 2. Асимптотическое распределение потока нейтронов φ (r ) , определённое с точностью до постоянного множителя С, и эффективный коэффициент размножения нейтронов К эф можно получить, решая стационарное уравнение (1.13), представляющее собой уравнение баланса нейтронов в условно-критическом реакторе. Такой реактор отличается от реально существующего реактора лишь тем, что в нём

1 ν f . Если К эф = 1 , вместо значения ν f берётся ν~ f = К эф

то уравнение (1.13) совпадает с уравнением баланса нейтронов в критическом реакторе, а функция φ (r ) даёт в относительных единицах распределение потока нейтронов в критическом реакторе. 3. С формальной точки зрения получение К эф и асимптотического потока φ (r ) можно рассматривать как частный случай более общей задачи на собственные числа k m и соответствующие собственные функции ψ m (r ) :

1 ν f Σ f ψ m (r ) = 0 , km ψ m (r ) ∈ Ω, m = 0,1,…

D Δψ m (r ) − Σ a ψ m (r ) +

(1.17) При этом не надо искать все собственные числа и собственные функции. Достаточно ограничиться нахождением функции ψ 0 ( r ) , соответствующей самому большому по величине собственному числу k 0 = К эф . В общем случае для этого следует воспользоваться процедурой решения уравнений сменяющихся поколений (1.4), получившей название метода итераций источников деления (в котором номер поколения n совпадает с номером итераций). В этом методе в качестве начального источника q(r ) можно взять любую неотрицательную функцию, а

16

итерации прекратить при таком n , когда K ( n ) − K ( n −1) ≤ ε , где

ε

– заданная погрешность расчёта

K эф , а

K ( n ) = φ ( n ) φ ( n −1) .

В теории реакторов доказано [3] , что сделанные выше выводы сохраняют силу в самом общем случае и не зависят от того, в каком приближении записано уравнение переноса нейтронов. Например, если рассматривают диффузионное приближение с непрерывной зависимостью сечений от энергии E, то асимптотический поток нейтронов φ (r , E ) находят, решая вместо (1.13) уравнения:

− div J (r , E ) − Σ t ( E ) φ (r , E ) + ∫ Σ s ( E ′) Ws ( E ′ → E ) φ (r , E ′) dE ′ + E′

+

1 χ ( E ) ∫ν f Σ f ( E ′) φ (r , E ′) dE ′ = 0 , К эф E′

(1.18)

J (r , E ) = − D( E ) grad φ (r , E ) при условиях (В.12). Установлено, что это всегда можно сделать, используя метод итераций источников (т.е. решая уравнения вида (1.4), записанные в том же приближении). Получаемое при этом распределение φ (r , E ) пропорционально собственной функции ψ 0 (r , E ) , соответствующей ведущему собственному числу k0 = К эф :

φ (r , E ) = Cψ 0 (r , E ) .

(1.19)

Причём, число k0 является действительным, положительным и превышает действительные части остальных собственных чисел (которые могут быть комплексными). Ему соответствует единственная собственная функция ψ 0 (r , E ) , обращающаяся в нуль лишь на экстраполированной границе. При этом задача о критичности реактора рассматривается в одной из двух постановок: - в уравнениях вида (1.18) принимают максимальное собственное число К эф = 1 и находят распределение потока нейтронов (как соответствующую этому числу

17

-

собственную функцию) и вполне определённое соотношение между параметрами критического реактора; при заданных свойствах реактора (макроскопических сечениях и размерах зон) находят К эф , как максимальное

собственное число задачи (1.18), и соответствующую ему собственную функцию, описывающую распределение нейтронов в условно-критическом реакторе. В заключение отметим, что на основе уравнения переноса нейтронов, записанного для условно-критического реактора, можно получить иные, чем при рассмотрении последовательных поколений нейтронов, определения К эф . В частности, интегрируя уравнение (1.18) по объёму V реактора и всем энергиям E , получим:

К эф = где

Rf Ra + RJ

,

(1.20)

R f = ∫ ∫ν f Σ f ( E ) φ (r , E ) dE dV

–

скорость

генерации

V E

нейтронов, Ra =

∫ ∫Σ

a

( E ) φ (r , E ) dE dV – скорость поглощения

V E

нейтронов, RJ =

∫ ∫ (J (r , E ) , n )dE dS – скорость утечки нейтронов s

S E

через внешнюю границу S объёма V ( n – единичный вектор внешней нормали),

∫ χ ( E )dE = 1 , выполнены условия (В.12) и E

∫ div J (r , E ) dV = ∫ (J (r , E ) , n )dS . s

V

В свою очередь, выражение

S

(1.20) нетрудно преобразовать к виду: К эф = К ∞ PJ , если считать, что: К ∞ =

Rf , Ra

PJ = 1 −

18

(1.21)

RJ . Ra + RJ

Глава 2. УСЛОВИЯ КРИТИЧНОСТИ В ОДНОСКОРОСТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

В односкоростном (одногрупповом) диффузионном приближении принимается, что вероятности взаимодействий не зависят от энергии и все нейтроны имеют одну и ту же скорость. Это приближение привлекает простотой описания распределения нейтронов и позволяет в одномерных геометриях реактора получить аналитическое решение задачи о критичности. Во многих случаях оно даёт качественно правильные результаты, а в некоторых (например, для больших тепловых реакторов с малым временем замедления нейтронов) – достаточно хорошие количественные оценки эффективного коэффициента размножения нейтронов. 2.1. Реактор без отражателя, геометрические параметры

Пусть реактор состоит из одной однородной по составу (гомогенной) активной зоны, ограниченной выпуклой поверхностью. На примере такого реактора в разделе 1 сделаны общие выводы о развитии цепной реакции деления. Остановимся на формулировке условия критичности и расчёте входящих в это условие параметров. Приведём уравнение (1.13) для асимптотического потока нейтронов φ (r ) к виду: Δ φ (r ) + ω φ (r ) = 0 , φ ( r ) ∈Ω , (2.1) где

⎛ К∞ ⎞ 1 − 1⎟ 2 , ⎟L ⎝ К эф ⎠

ω = ⎜⎜

K∞ =

ν f Σf Σa

,

L2 =

D - квадрат Σa

длины диффузии нейтронов, а ω – не зависящий от переменных r параметр. Воспользовавшись сделанными ранее выводами, получим: φ (r ) = Cψ 0 (r ) , если ψ 0 ( r ) – собственная функция, соответствующая наименьшему собственному числу α 02 задачи (1.6). Сравнивая уравнение (2.1) с уравнением (1.6) для функции ψ 0 ( r ) , убеждаемся, что должно выполняться равенство

ω = α 02 , 19

(2.2)

которое можно рассматривать как иную форму соотношения (1.9) при m = 0 (условия критичности). В критическом реакторе

К эф = 1 , параметр ω =

записи

K ∞ −1 L2

зависит лишь от материальных свойств активной зоны (микроскопических сечений и концентраций ядер) и его называют материальным параметром. Наименьшее собственное число α 02 задачи (1.6) как зависящее лишь от геометрии и размеров активной зоны – геометрическим параметром. В силу этого условие критичности реактора без отражателя формулируют в виде равенства материального и геометрического параметра (2.2). В реакторе с заданными размерами и свойствами активной зоны условие (2.2) позволяет найти эффективный коэффициент размножения и записать его в виде:

К эф = К ∞ РJ ,

РJ =

1

.

1 + α 02 L2

(2.3)

Здесь К ∞ имеет смысл коэффициента размножения бесконечной среды, а PJ – вероятности нейтронам избежать утечки из реактора. Чтобы в этом убедиться, определим вероятность утечки GJ , которая (при большой частоте рассматриваемого события) совпадает с отношением:

∫ (J (r ) , n )dS s

, G J = S~ ν Σ φ ( r ) dV ∫ f f

(2.4)

V

где J (rs ) – ток нейтронов на поверхности S, окружающей объём V и имеющей соотношением

внешнюю нормаль (В.8) для тока

∫ (grad φ , n )dS = ∫ Δφ dV S

n.

Воспользовавшись нейтронов, равенством

и условием баланса нейтронов в

V

реакторе, получим:

20

GJ =

− D ∫ Δφ (r ) dV V

Σ a ∫ φ (r ) dV − D ∫ Δφ (r ) dV V

.

V

Поскольку φ (r ) = Cψ 0 (r ) , а ψ 0 (r ) – собственная функция задачи (1.6), соответствующая числу α 02 , то для вероятности (2.4) будем иметь:

GJ =

α 02 L2 , а для вероятности PJ = 1 − GJ – выражение (2.3). 1 + α 02 L2

Использование в расчётах формул (2.2) и (2.3) предполагает получение геометрического параметра. Для этого необходимо найти решение задачи (1.6), отвечающее наименьшему собственному числу α 02 . Рассмотрим, как это делается, на примере реакторов, имеющих активную зону в форме шара или цилиндра конечных размеров. Поскольку эти геометрические формы обладают известными свойствами симметрии, то и собственные функции задачи (1.6) будут удовлетворять таким же свойствам. Сферический реактор радиуса R, симметричный относительно центра шара r = 0 . Собственные функции ψ m (r ) будут зависеть лишь от расстояния r от центра шара и их следует искать из решения задачи:

1 d ⎛ 2 dψ m ⎞ 2 ⎜r ⎟ + α m ψ m (r ) = 0 , 2 r dr ⎝ dr ⎠ ψ m ( Rэ ) = 0 , m = 0,1,2, … ,

0 ≤ r ≤ Rэ ,

(2.5)

где R э – радиус экстраполированной границы.

1 r

Используя подстановку ψ m ( r ) = ϕ m ( r ) , преобразуем (2.5) к уравнению:

d 2 ϕ m (r ) + α m2 ϕ m (r ) = 0 , 2 dr

0 ≤ r ≤ Rэ ,

21

ϕ m ( Rэ ) = 0 .

Линейно-независимыми решениями его являются функции: sin (α m r ) , cos (α m r ) . Поэтому общее решение уравнения (2.5) получим в виде:

ψ m ( r ) = Am

sin(α m r ) cos(α m r ) + Bm , r r

m = 0,1 , 2 ,…

где Am , Bm – постоянные множители, одновременно не равные нулю. Чтобы с помощью этих функций можно было получить ограниченный при всех 0 ≤ r ≤ R э поток нейтронов, необходимо принять: Bm = 0 . Кроме того, должно выполняться граничное условие:

ψ m ( Rэ ) = Am

sin(α m Rэ ) = 0, Rэ

что имеет место, когда sin(α m R э ) = 0 , а значит,

α m Rэ = π ( m + 1) , m = 0,1,… (отрицательные значения m не рассматриваются, поскольку не получаем новых линейно-независимых функций). Отсюда следует, что наименьшее собственное число задачи (2.4)

⎛π α = ⎜⎜ ⎝ Rэ 2 0

2

⎞ ⎟⎟ , ⎠

(2.6)

а асимптотическое распределение нейтронов φ ( r ) = C

sin(α 0 r ) . r

Отметим, что критический радиус сферического полученный с помощью равенств (2.2) и (2.6), равен:

Rэ =

π = ω

πL

K∞ − 1

.

реактора, (2.7)

Цилиндрический реактор радиуса R и высотой H. В таком реакторе поток нейтронов φ (r ) симметричен относительно оси цилиндра r = 0 и плоскости z = 0 , проходящей перпендикулярно оси через половину высоты. Поэтому собственные функции ψ m (r ) зависят лишь от переменных (r,z) и удовлетворяют уравнениям

22

1 d ⎛ dψ m ⎞ d 2ψ m + α m2 ψ m (r , z ) = 0, m = 0,1,… (2.8) ⎜r ⎟+ r dr ⎝ dr ⎠ dz 2 H ⎞ ⎛ и граничным условиям ψ m ( R э , z ) = 0 , ψ m ⎜ r ,± э ⎟ = 0 . 2 ⎠ ⎝ Решение уравнений (2.8) будем искать методом разделения переменных, представив ψ m ( r, z ) в виде произведения:

ψ m ( r, z ) = ϕ m ( r ) ξ m ( z ) .

(2.9)

Подставив (2.9) в уравнение (2.8), получим равенство:

1 1 d ⎛ dϕ m ( r ) ⎞ 1 d 2ξ m ( z ) = − α m2 . ⎜r ⎟+ dr ⎠ ξ m ( z ) dz 2 ϕ m (r ) r dr ⎝ Оно может выполняться лишь в том случае, когда

1 1 d ⎛ dϕ m ( r ) ⎞ 2 ⎜r ⎟ = − α r ,m , ϕ m (r ) r dr ⎝ dr ⎠ 1 d 2ξ m ( z ) = − α z2,m , ξ m ( z ) dz 2

ϕ m ( Rэ ) = 0 ,

(2.10)

⎛ Нэ ⎞ ⎟= 0 , ⎝ 2 ⎠

(2.11)

ξm ⎜ ±

где принято, что α r2,m + α z2,m = α m2 . Уравнение (2.10) путём замены

y = α r ,m r приводится к

уравнению Бесселя нулевого порядка:

y2

d 2ϕ m ( y ) dϕ ( y ) +y m + y 2ϕ m ( y ) = 0 . 2 dy dy

Поскольку частными решениями его являются функции Бесселя действительного аргумента: J 0 ( y ), Y0 ( y ) , то для общего решения уравнения (2.10) имеем ϕ m ( r ) = Am(1) J 0 (α r ,m r ) + Am( 2 ) Y0 (α r ,m r ) . Следует учесть, что функция Y0 (α r ,m r ) имеет логарифмическую особенность в точке r = 0 . Чтобы при этом поток нейтронов был всюду ограничен, необходимо принять Am( 2 ) = 0 . Общим решением уравнения (2.11) является сумма: ξ m ( z ) = Bm(1) cos(α z ,m z ) + Bm( 2 ) sin(α z ,m z ) ,

23

в которой из соображения симметрии решения относительно плоскости z = 0 примем Bm( 2 ) = 0 . Таким образом, собственные функции задачи (2.8) равны: ψ m ( r, z ) = Am J 0 (α r ,m r ) cos(α z ,m z ) . (2.12) Граничные условия (2.8) для этих функций выполняются, когда:

H ⎞ ⎛ cos⎜ α z ,m э ⎟ = 0 , 2 ⎠ ⎝

J 0 (α r ,m Rэ ) = 0 ,

m = 0,1, 2,…

Отсюда следует, что:

Hэ π = (m + 1) , m = 0 , 1, 2 , … , (2.13) 2 2 где b0 < b1 < b2 < …, b0 = 2,405 – корни функции Бесселя

α r ,m Rэ = bm , α z ,m

J 0 ( y ) . Здесь отрицательные значения m не рассматриваются по той же причине, что и раньше для сферического реактора. Соотношения (2.12) и (2.13) позволяют сделать вывод о том, что в цилиндрическом реакторе конечных размеров: - наименьшее собственное число задачи (2.8) α 02 равно 2

2

⎛ π ⎞ ⎛ 2,405 ⎞ ⎟⎟ , ⎟⎟ , α z2 = ⎜⎜ α = α + α , α = ⎜⎜ ⎝ Hэ ⎠ ⎝ Rэ ⎠ 2 0

2 r

2 z

2 r

(2.14)

- асимптотический поток нейтронов

φ (r , z ) = C J 0 (α r r ) cos(α z z ) .

(2.15) Замечание. При неограниченном возрастании одного из размеров цилиндрический реактор трансформируется либо в плоский реактор толщиной Н, либо в цилиндрический реактор радиуса R бесконечной высоты. Осуществляя в соотношениях (2.14) и (2.15) соответствующие предельные переходы, получим: - для плоского реактора толщиной Н:

α = 0, 2 r

⎛ π α = ⎜⎜ ⎝ Hэ 2 z

φ ( z ) = C cos(α z z ) ,

2

⎞ ⎟⎟ , ⎠ −

Hэ H ≤z≤+ э 2 2

,

(2.16)

- для бесконечного по высоте цилиндрического реактора радиуса R:

24

2

⎛ 2,405 ⎞ ⎟⎟ α = 0 , α = ⎜⎜ ⎝ Rэ ⎠ φ (r ) = C J 0 (α r r ) , 0 ≤ r ≤ Rэ . 2 z

2 r

(2.17)

2.2. Задача о критичности многозонного реактора

Ограничиваясь аналитическим методом решения задачи, рассмотрим многозонный реактор конечных размеров в одной из простых геометрий. В таком реакторе асимптотический поток φ (r ) = Cψ 0 (r ) зависит от одной переменной r, а в уравнении (1.13):

div( Dgrad φ (r )) =

1 d ⎛ ν dφ ( r ) ⎞ ⎜ Dr ⎟, rν dr ⎝ dr ⎠

(2.18)

где параметр ν принимает значения: 0 – для плоской геометрии, 1 – для цилиндрической геометрии и 2 – для сферической геометрии. Будем считать, что реактор симметричен относительно r = 0 и содержит n зон (n ≥ 2) .

Рис.2.1. Модель одномерного многозонного реактора

Пронумеруем зоны в направлении возрастания r (рис.2.1) и примем, что r = 0 совпадает с центром симметрии, а r = Rn – с экстраполированной границей реактора. Введём обозначения:

ΔRi = Ri − Ri−1 , β i2 =

К ∞(i ) 1 − 1 2 , i = 1,2, … , n , К эф Li

25

(2.19)

R0 = 0 ,

где

К ∞(i ) =

ν f Σ f ,i Σ a ,i

L2i =

Di Σ a ,i

–

квадрат

длины

диффузии,

а

– коэффициент размножения бесконечной среды со

свойствами i -й зоны. Тогда при r ∈ ΔRi материальный параметр ω принимает значения:

⎧⎪ β i2 , если К ∞(i ) ≥ К эф . 2 (i ) ⎪⎩ − β i , если К ∞ < К эф

ω =⎨

(2.20)

Учитывая, что параметры β i2 постоянны в пределах соответствующих зон, приведём уравнение (1.17) для функции ψ 0 ( r ) к системе n дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: Δψ 0,i (r ) ± β i2 ψ 0,i (r ) = 0 , i = 1,2,…, n , (2.21) где функции ψ 0 ,i ( r )

определены и непрерывны вместе с

производными до 2-го порядка включительно при r ∈ ΔRi . Чтобы можно было считать, что ψ 0 ( r ) = ψ 0 ,i ( r ) при r ∈ ΔRi , необходимо потребовать выполнения условий:

⎛ ν dψ 0,1 ⎞ ⎟ = 0 , ψ 0,n ( Rn ) = 0 , (2.22) ⎜⎜ r dr ⎟⎠ r =0 ⎝ ⎞ ⎛ dψ ⎛ dψ ⎞ ψ 0,i ( Ri ) = ψ 0,i +1 ( Ri+1 ) , Di ⎜⎜ 0,i ⎟⎟ = Di+1 ⎜⎜ 0,i+1 ⎟⎟ ⎝ dr ⎠ r =Ri +1 ⎝ dr ⎠ r = Ri i = 1,2, … , n − 1 .

(2.23) Отметим, что первое равенство в (2.22) равносильно условию ограниченности решения при r = 0 . Если в плоском реакторе конечных размеров отсутствует плоскость симметрии, то можно по свойствам первой зоны рассчитать длину линейной экстраполяции и, расположив начало координат на экстраполированной границе, принять ψ 0,1 (0) = 0 . Если переменная r в последней зоне может принимать сколь угодно большие значения (например, рассматривается модель бесконечного сферического реактора), то

26

второе условие в (2.22) заменяет требование ограниченности функции ψ 0,n ( r ) на бесконечности. Однако всегда в той или иной форме присутствует два граничных условия. Перейдём теперь к рассмотрению схемы получения критических параметров реактора и асимптотического потока нейтронов. Для этого вначале запишем общее решение каждого из уравнений (2.21) в виде ψ 0,i (r ) = Ai f ( β i r ) + Bi g ( β i r ) , (2.24)

Ai , Bi – одновременно не равные нулю коэффициенты, f i ( β i r ) , g i ( β i r ) – линейно-независимые частные решения,

где

приведённые в табл. 1 (для разных геометрий в зависимости от значения (2.20) материального параметра ω ). Здесь и в дальнейшем принимается, что β i = + β i2 . Таблица 1. Линейно-независимые решения одногрупповой задачи в одномерной геометрии 2 Геометрия,

ω = βi > 0

ν = 0 , 1, 2 Плоская,

ν =0

Цилиндрическая,

ν =1

Сферическая,

ν =2

f ( βi r)

g (βi r)

cos( β i r )

sin( β i r )

ω = − β i2 < 0 f ( βi r) g (βi r) ch( β i r ) sh( β i r )

J 0 (βi r )

Y0 ( β i r )

I0 (βi r)

K0 (βi r)

sin( β i r ) βi r

cos( β i r ) βi r

sh( β i r ) βi r

ch( β i r ) βi r

Примечание. В том случае, когда в какой-либо зоне (включая первую зону)

ω i = 0 , решениями уравнения (2.21) будут функции: g ( β i r ) = 1 – для любой из рассматриваемых геометрий, f ( β1r ) = r (при ν = 0) , −1 ln r (при ν = 1) , r (при ν = 2) . Если рассматривается неограниченно протяжённая

зона

без

гиперболические функции

размножения

(бесконечный

sh( β i r ) , ch( β i r )

exp ( β i r ) , exp (− β i r ) . Коэффициенты Ai , Bi (i = 1,2,…, n)

отражатель),

то

надо заменить экспонентами

находят с помощью равенств (2.22), (2.23). При этом полезно сначала сократить число

27

неизвестных, используя граничные условия (2.22). Если это сделано, то для определения оставшихся m = 2n − 2 неизвестных имеем столько же равенств (2.23), называемых часто «условиями сшивки». В результате получим однородную систему линейных уравнений, которая может быть записана в форме: Mˆ (u ) X = 0 , (2.25) где X – вектор неизвестных коэффициентов, а M (u ) – квадратная матрица порядка m × m с элементами, зависящими от критических параметров u реактора (значения К эф , размеров и др.). Нетривиальные решения системы уравнений (2.25) существуют, когда определитель Mˆ (u ) матрицы Mˆ (u ) равен нулю. Равенство

Mˆ (u ) =0

(2.26)

представляет собой условие критичности многозонного реактора. Оно устанавливает вполне определённое соотношение между значениями собственных чисел (включая К эф ), размерами и составами зон. Рассматривая его как уравнение относительно u , можно найти критическое значение u = u0 (например, значение

К эф , если размеры и свойства зон известны, или обогащение топлива в активной зоне критического реактора и т.п.). При этом важно иметь в виду, что уравнение (2.26) имеет бесконечное множество решений, и следует выбрать такое u0 , которое в дальнейшем приведёт к построению собственной функции ψ 0 (r ) , соответствующей ведущему собственному числу задачи (1.17). Например, если задача о критичности реактора рассматривается в постановке 2, то в качестве К эф нужно взять самое большое значение, при котором выполняется равенство (2.26). После нахождения критических параметров приступают к определению численных значений коэффициентов Ai , Bi . При этом следует учитывать, что вследствие (2.26) ранг ℜ( Mˆ ) матрицы Mˆ будет меньше или равен m − 1 . Поэтому приходится искать отличный от нуля определитель матрицы Mˆ , имеющий

28

наивысший порядок. Пусть таким окажется определитель порядка m − 1 , составленный из коэффициентов при неизвестных A2 , B2 , A3 , B3 ,…, An (предполагается, что неизвестные B1 , Bn с помощью равенств (2.22) выражены через A1 , An соответственно). Тогда можно положить A1 равным любому, кроме нуля, значению (например, выбрать A1 = 1 ) и с помощью известных методов линейной алгебры определить численные значения A2 , B2 , A3 , B3 ,…, An . После этого нетрудно, используя выражения (2.24), восстановить собственную функцию ψ 0 (r )

и получить

асимптотический поток в виде φ (r ) = Cψ 0 (r ) . При отсутствии ошибок в определении u0 ранг ℜ( Mˆ ) = m − 1 . Действительно, если ℜ( Mˆ ) < m − 1 , то решение системы уравнений (2.25) будет существовать, когда хотя бы два неизвестных будут независимыми. Например, если такими окажутся A1 , A2 , то, полагая сначала A1 = 1, A2 = 0 , а затем

A1 = 0, A2 = 1 , получим две разные собственные функции ψ 0(1) (r ), ψ 0( 2) (r ) . Однако это противоречит одному из ранее сделанных в главе 1 выводу: ведущему собственному числу К эф соответствует единственная собственная функция. Отметим, что изложенный выше способ получения асимптотического потока нейтронов легко распространить на реакторы, которые имеют конечные размеры, но свойства зон не меняются в направлениях, перпендикулярных оси r. Такие реакторы в дальнейшем будем называть конечными одномерными реакторами. Среди них важное место занимают цилиндрические реакторы конечной высоты, в которых поток нейтронов зависит от 2-х переменных: расстояния r от оси симметрии и расстояния z от плоскости симметрии, проходящей через половину высоты H цилиндра. В этом случае асимптотический поток нейтронов φ 0 ( r, z ) = Cψ 0 ( r, z ) , а задача о критичности решается при условиях типа (2.30) и дополнительных требованиях:

29

Hэ ⎞ Н Н ⎛ ⎟ = 0 , 0 ≤ r ≤ Rэ , − э ≤ z ≤ + э , 2 ⎠ 2 2 ⎝ Н где ± э – координаты торцевых экстраполированных границ с 2

ψ 0 ⎜ r ,±

вакуумом. В этом случае пространственные переменные разделяются и решение ψ 0 ( r, z ) ищется в виде произведения

ψ 0 ( r, z ) = ϕ 0 ( r ) ξ 0 ( z ) ,

ξ 0 ( z ) = B0 cos(α z z ) ,

где ξ 0 ( z ) – собственная функция, соответствующая наименьшему 2

⎛ π ⎞ ⎟⎟ задачи (2.11). числу α = ⎜⎜ ⎝ Hэ ⎠ Функция ϕ 0 ( r ) = ϕ 0,i ( r ) , r ∈ ΔRi , i = 1 , 2,…, n определяется из 2 z

решения следующей системы уравнений:

1 d ⎛ dϕ0,i (r ) ⎞ ⎜⎜ r ⎟⎟ + ± β i2 − α z2 ϕ0,i (r ) = 0 , r dr ⎝ dr ⎠ (i = 1,2, … , n)

(

)

r ∈ ΔRi

(2.27)

при условиях типа (2.22), (2.23). Задача (2.27), (2.22), (2.23) отличается от задачи (2.20) - (2.23) лишь тем, что теперь вместо значений ± β i2 стоят разности

± β i2 − α z2 , появившиеся в связи с необходимостью учитывать утечку нейтронов в аксиальном направлении. Очевидно, решение уравнений (2.27) находится так же, как уравнений (2.21). При этом необходимо только сделать замену параметра ± β i2 на величину а функции f (βi r ) , g (βi r ) выбирать для цилиндрической геометрии в зависимости от знака разности ± β i2 − α z2 .

± β i2 − α z2 ,

2.3. Влияние отражателя на критические параметры реактора

В качестве примера рассмотрим решение задачи о критичности сферически симметричного реактора, состоящего из активной зоны

30

(соответствующей значению i = 1 ) и отражателя (соответствует i = 2 ). В таком реакторе R1 , R2 – радиусы активной зоны и экстраполированной границы соответственно, а параметр ω принимает значения:

⎛ К (1)

⎞1

ω = β12 = ⎜⎜ ∞ − 1⎟⎟ 2 – в активной зоне при r ∈ ΔR1 , ⎠ L1 ⎝ К эф 1 – в отражателе лри r ∈ ΔR2 , L22 ΔR1 = R1 , ΔR2 = R2 − R1 .

ω = − β 22 = −

(2.28)

Общие решения уравнений (2.21) для сферической геометрии можно записать в виде:

sin ( β1r ) cos( β1r ) + B1 , r ∈ ΔR1 , β1r β1r sh( β 2 r ) ch( β 2 r ) + B2 ψ 0, 2 (r ) = A2 , r ∈ ΔR2 , β 2r β 2r где для определения коэффициентов A1 , B1 , A2 , B2 имеем два

ψ 0,1 (r ) = A1

граничных условия (2.22) и два «условия сшивки» (2.23). Из равенств (2.22) получим: B1 = 0 , B2 = − A2 th( β 2 R2 ) , а из условий (2.23) – однородную и линейную относительно неизвестных A1 , A2 систему уравнений. Раскрывая определитель (2.26) этой системы и приравнивая его нулю, придём к условию критичности

1 − β1R1 ctg ( β1 R1 ) =

D2 [1 + β 2 R1 cth( β 2 ΔR2 )] D1

(2.29)

и следующему выражению для собственной функции ψ 0 (r ) (полагая A1 = 1 ):

ψ 0 (r ) = ψ 0,1 (r ) =

sin ( β1r ) , β1 r

r ∈ ΔR1 ,

31

ψ 0 (r ) = ψ 0,2 (r ) =

sin ( β1R1 ) sh(β 2 ( R2 − r ) ) , sh( β 2 ΔR2 ) β1 r

r ∈ ΔR2 .

Остаётся с помощью равенства (2.29) определить критические параметры реактора.

Рис.2.2. Определение корней уравнений (2.30) и (2.33)

Пусть задача о критичности реактора решается в постановке 2 (когда нужно найти К эф при заданных размерах и свойствах зон). В этом случае равенство (2.29), рассматриваемое как уравнение относительно неизвестного К эф , определяет собственные числа задачи k0 , k1 ,… . Чтобы пояснить их получение, сделаем замену

α~ = β1R1 и запишем условие критичности в виде 1 − α~ ctg (α~ ) = h0 ,

(2.30)

где h0 известно и совпадает с правой частью равенства (2.29). Рис.2.2 иллюстрирует решение уравнения (2.30) и размещение его корней α~n (n = 0, ± 1, ± 2,…) на плоскости. Видно, что все α~n действительны, располагаются симметрично относительно оси α~ = 0 , а при значениях α~ ≥ 0 :

32

n π < α~n < (n + 1) π , n = 0,1,2,… Поскольку значения корней α~n и собственных чисел k n связны (как это следует из (2.28)) равенствами

k n = К ∞(1)

R12 , R12 + α~n2 L12

коэффициент

n = 0,1,… ,

размножения

а

нейтронов

К эф

эффективный совпадает

с

максимальным собственным числом k0 , то получим

К эф = К ∞(1) где α 02 =

α~02 2 1

R

R12 1 , = К ∞(1) 2 2 2 ~ R1 + α 0 L1 1 + α 02 L12

(2.31)

, а α~0 – наименьший по модулю корень уравнения

0 < α~0 < π . Из равенства (2.31) следует, что в критическом реакторе (когда К эф = 1 ) радиус

(2.30), удовлетворяющий неравенству

активной зоны должен совпадать с величиной:

R1 =

α~0 L1

К ∞(1) − 1

.

(2.32)

Очевидно, к такому же значению радиуса придём, решая задачу о критичности реактора в постановке 1 и считая, что неизвестным параметром является R1 . В этом случае вместо (2.30) придётся анализировать корни уравнения: 1 − α~ ctg (α~ ) = h(α~ ) , (2.33)

⎤ D2 ⎡ β 2 ~ 1 + α cth( β 2 ΔR2 )⎥ является линейной функцией ⎢ D1 ⎣ β1 ⎦ ~ параметра α . При этом необходимо ограничиться лишь значениями α~ > 0 , чтобы не получить отрицательных значений для R , и выбирать, как и раньше, наименьшее число α~ . где h(α~ ) =

1

0

Сравнивая значения К эф , R1 , рассчитанные по формулам (2.31), (0) , R1( 0 ) , (2.32) для реактора с отражателем, со значениями К эф

полученными по формулам (2.3), (2.7) для реактора без отражателя,

33

полезно отметить следующее. В условно-критических реакторах с ( 0) одинаковыми составами и радиусами R1 = R1( 0 ) зон К эф > К эф ,ав критических реакторах с одними и теми же составами активных зон R1 < R1( 0 ) . Это связано с тем, что в реакторе с отражателем часть нейтронов, вылетающих из активной зоны, возвращаются обратно и принимают участие в развитии цепной реакции деления ядер. В реакторе без отражателя эта часть нейтронов оказывается безвозвратно потерянной.

Рис.2.3. Особенности функции

f ( x) = x cth x

Изменение свойств отражателя (прежде всего, толщины ΔR2 и сечения поглощения Σ (a2 ) ) влияют на критический размер активной зоны. С ростом ΔR2 (при сохранении остальных параметров)

dh ~ cth( β 2 ΔR2 ) и, как dα~ видно из рис.2.2, снижаются α~0 и R1 . Однако при ΔR2 ≥ 2L2 это

уменьшается значение производной

снижение практически прекращается. Для выяснения влияния Σ (a2 ) на значение R1 правую часть равенства (2.33) преобразуем к виду

D ⎡ α~ x cth( x) ⎤ h(α~ ) = 2 ⎢1 + , β1 ΔR2 ⎥⎦ D1 ⎣ 34

x=

ΔR2 . L2

Учитывая зависимости, представленные на рис.2.2 и 2.3, нетрудно установить, что: - при Σ (a2 ) → ∞ значения L2 → 0 , x → ∞ , x cth( x) → ∞ , а поэтому α~0 → π , - при стремлении Σ (a2 ) функция h(α~ ) →

π , β1 к нулю: L2 → ∞ , x → 0 , x cth( x) → 1 , а R1 → R1( 0 ) =

α~ ⎞ D2 ⎛ ⎜⎜1 + ⎟. D1 ⎝ β1 ΔR2 ⎟⎠

Если в последнем случае принять, что

α~ β1 ΔR2

> R1( 0) )

π R (0) = 1 . Такое сокращение радиуса 2β1 2

активной зоны R1 приведёт почти к 8-кратному уменьшению критической массы реактора. Для этого необходимо, чтобы отражатель не поглощал нейтроны и имел достаточно большую толщину. В заключение отметим, что влияние отражателя на критический размер и распределение нейтронов в активной зоне можно оценить, и альбедо η пользуясь понятиями эффективной добавки δ отражателя. В качестве эффективной добавки принимают разность характерных размеров (радиуса или полутолщины) двух критических реакторов: реактора без отражателя и активной зоны реактора с отражателем (при одинаковых значениях β12 активных зон). Например, в случае сферического реактора: δ = R1( 0) − R1 . (2.34)

Используя определение (2.33), можно получить [4] следующее выражение для оценки δ активной зоны большого реактора (когда δ 0 выполнится неравенство:

К

(n)

−К

( n −1)

≤ ε , где К

(n)

=

∫q

(n)

V

(r ) dV

( n −1) ∫ q (r ) dV

.

(2.39)

V

Если это произойдёт на итерации с номером n = p , то принимают:

К эф = К ( p ) ,

φ (r ) = C φ ( p ) (r ) .

(2.40)

При этом в задачах со значением К эф , сильно отличающимся от единицы, рекомендуется источник формуле:

q ( n ) (r ) =

q ( n ) (r )

рассчитывать по

1 ν f Σ f φ ( n ) (r ) . (n) К

Перейдём теперь к рассмотрению численного метода нахождения потоков нейтронов φ ( n ) (r ) . В основе метода лежит преобразование дифференциальных уравнений (2.37) в систему линейных алгебраических уравнений относительно значений φ ( n ) (rk ) в отдельных узлах rk заранее выбранной сетки разбиения. Такое преобразование может быть выполнено разными способами. Остановимся на одном из них, предложенном для решения уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами. Ограничимся

38

пока случаем многозонного реактора в одномерной геометрии, в которой поток нейтронов зависит от одной переменной r и

⎡ ν dφ ( n ) ⎤ = 0. выполняется условие симметрии ⎢r dr ⎥⎦ r =0 ⎣ Опуская в дальнейшем номер итерации n и учитывая, что в рассматриваемой геометрии

div J (r ) =

dφ (r ) r 1 d ν r J (r ) , grad φ (r ) = , ν r dr dr r

(

)

запишем уравнения (2.37), (2.38) в дифференциальных уравнений первого порядка:

(

виде

системы

)

d ν r J ( r ) − rν Σ ( r ) φ ( r ) + r ν q ( r ) = 0 , (2.41) dr dφ (r ) ~ + 3Σ(r ) J (r ) = 0 , (2.42) dr где источник q (r ) - кусочно-непрерывная функция, а транспортное ~ сечение Σ(r ) и сечение поглощения Σ(r ) - кусочно-постоянные −

функции,

терпящие

разрывы

на

границах

раздела

зон

r = Ri (i = 1,2,…, n) . Решения J (r ) , φ (r ) ищутся на множестве

непрерывных функций, удовлетворяющих граничным условиям: J (0) = 0 , φ ( Rn ) = 0 . (2.43) Здесь (как и раньше) принимается, что r = Rn находится на экстраполированной границе. Введём в рассмотрение две сетки узловых точек: {rk , k = 1,2,…, N } – основная сетка и rk −(1 / 2) , k = 1,2,…, N –

{

вспомогательная сетка. Координаты точек rk , rk −(1 / 2 ) чередуются и располагаются так, что:

}

этих

сеток

rk −(1 / 2) < rk < rk +(1 / 2 ) < rk +1 . Проинтегрируем уравнение (2.41) по переменной r в пределах интервала rk −(1 / 2 ) ≤ r ≤ rk +(1 / 2 ) , а уравнение (2.42) – в пределах интервала rk ≤ r ≤ rk +1 . В результате получим равенства

39

ν

rk + (1 / 2 )

ν

rk +(1/ 2 ) J (rk +(1/ 2 ) ) − rk −(1/ 2) J (rk −(1/ 2) ) +

∫ (Σφ − q)r

ν

dr = 0 , (2.44)

rk −(1 / 2 ) r k +1

~

φ (rk +1 ) − φ (rk ) + 3 ∫ Σ(r ) J (r ) dr = 0 , k = 1,2,… ,

(2.45)

rk

которые являются точными аналогами уравнений (2.41) и (2.42). Причём, первое из них выражает условие баланса нейтронов в rk + (1 / 2 )

объёме ΔVk =

∫r

ν

dr .

rk − (1 / 2 )

Дальнейшие преобразования зависят от размещения точек сеток относительно границ раздела зон. Обычно с целью упрощения расчётов принимают, что в пределах каждой зоны точки располагаются равномерно с шагом Δr (i ) . При этом возможны две ~ схемы размещения. По первой схеме на границы зон (где Σ , Σ , q терпят разрывы) попадают точки основной сетки, а по второй схеме – точки вспомогательной сетки. Установлено, что получаемые при этом разностные уравнения различаются порядком локальной аппроксимации решения. Хотя в пределе (при Δr (i ) → 0 ) они эквивалентны, но в случае конечного шага Δr (i ) разностные уравнения, соответствующие первой схеме размещения точек, дают более высокий порядок локальной аппроксимации [5] . Это означает, что при конечном шаге сетки первая схема позволяет получить значения потоков φ (rk ) с большей точностью, чем вторая. Поэтому остановимся на первой схеме размещения точек. Пусть N i – число точек вспомогательной сетки в i -й зоне. Тогда общее число узлов каждой сетки N =

n

∑N i =1

Δr (i ) будут равны: ΔR1 Δr (1) = , N1 − 0,5

Δr ( i ) =

ΔRi , Ni

40

i = 2,3,…, n .

i

, а шаги

(2.46)

Чтобы точнее выполнить первое из условий (2.42), расположим точки с координатами r(1 / 2 ) , r1

так, что r(1 / 2 ) = 0 ,

r1 =

Δr (1) . 2

Координаты остальных точек рассчитаем по формулам:

rk = rk −(1 / 2) + где Δrk − (1 / 2 )

Δrk −(1 / 2)

, rk +(1 / 2) = rk +

Δrk +(1 / 2)

, k = 1,2,… , (2.47) 2 2 = rk − rk −1 = Δr ( i ) , если rk − (1 / 2) ∈ ΔR (i ) .

В качестве примера на рис.2.4 приведено расположение точек основной и вспомогательной сетки в 3-зонном реакторе при N1 = 4 , N 2 = 5 , N 3 = 6 . Учитывая непрерывность потока и тока нейтронов, запишем разложения:

dφ (r − rk ) + … , rk −(1/ 2) ≤ r ≤ rk +(1/ 2) dr r =rk (2.48) dJ J (r ) = J (rk +(1/ 2 ) ) + (r − rk +(1/ 2) ) + … , rk ≤ r ≤ rk +1 dr r =rk +(1 / 2 )

φ (r ) = φ (rk ) +

Рис.2.4. Сетка размещения точек в 3-зонном реакторе

41

Для функции источника q (r ) , которая терпит разрыв в точке rk (если она находится на границе раздела зон), имеем:

dq (r − rk ) + … , dr r =rk +0 dq q (r ) = q − (rk ) + (r − rk ) + … , dr r =rk −0

q(r ) = q + (rk ) +

где q + (rk ) = lim q (r ) ,

rk < r ≤ rk +(1/ 2 ) , (2.49)

rk −(1/ 2) ≤ r < rk

q − (rk ) = lim q (r ) .

r →rk +0

r →rk −0

Основное допущение численного метода состоит в том, что в разложениях (2.48) и (2.49) можно ограничиться только первыми слагаемыми. Очевидно, это выполняется, когда функции φ (r ) , J (r ) , q(r ) слабо изменяются на соответствующих интервалах и шаг сетки Δr (i ) в каждой зоне мал. Тогда в уравнениях (2.44), (2.45) интегралы можно заменить выражениями: rk + (1 / 2 )

rk + (1 / 2 )

rk + (1 / 2 )

rk

rk − (1 / 2 )

rk

rk − (1 / 2 )

ν ν + ν − ν ∫ (Σ(r )φ (r ) − q(r ))r dr = φ (rk ) ∫ Σ(r )r dr − q (rk ) ∫ r dr − q (rk ) ∫ r dr

rk − (1 / 2 )

rk +1

~

~

∫ Σ(r ) J (r ) dr = Σ(r

k + (1 / 2 )

) J (rk +(1 / 2) ) Δrk +(1 / 2 ) .

rk

~

Здесь учитывается, что функция Σ(r ) постоянна на любом rk + (1 / 2 )

~

интервале rk < r < rr +1 и равна Σ(rk +(1 / 2 ) ) , а значения

∫ Σ(r )r dr ν

rk − (1 / 2 )

нетрудно получить, учитывая зависимость функции Σ(r ) от r. Вводя обозначения: φk = φ (rk ) , rk + (1 / 2 )

ΔVk =

∫r

ν

dr ,

J k + (1 / 2) = J (rk + (1 / 2) ) ,

~ ~ Σ k +(1 / 2) = Σ(rk +(1 / 2 ) ) ,

(2.50)

rk − (1 / 2 )

〈Σ〉 k =

1 ΔVk

rk + (1 / 2 )

ν ∫ Σ(r )r dr , 〈 q〉 k =

rk − (1 / 2 )

r

q − ( rk ) k ν q + ( rk ) + r dr ΔVk rk −∫(1 / 2 ) ΔVk

rk + (1 / 2 )

∫ r dr ν

rk

придём к конечно-разностным уравнениям вида ( k = 1, 2, … ):

rkν−(1/ 2) J k −(1/ 2 ) − rkν+(1/ 2 ) J k +(1/ 2) − 〈 Σ〉 k φk ΔVk = − 〈 q〉 k ΔVk .

42

(2.51)

Заменим в них токи нейтронов J k −(1 / 2 ) , J k +(1 / 2 ) выражениями:

φ −φ φ −φ , J k +(1 / 2) = ~ k k +1 . J k −(1 / 2 ) = ~ k −1 k 3Σ k −(1 / 2) Δrk −(1 / 2) 3 Σ k +(1 / 2) Δrk +(1 / 2)

(2.52)

Учитывая первое из условий (2.42) (которое в силу принятых обозначений запишется в виде J1 / 2 = 0 ), получим:

a1φ2 − b1 φ1 = − f1 , ak φk +1 − bk φk + ck φk −1 = − f k , ak =

(2.53)

k = 2,3,…, N − 1 .

(2.54)

rkν+(1/ 2 )

, bk = ak + ck + 〈Σ〉 k ΔVk , f k = 〈 q〉 k ΔVk − ~ 3 Σ k +(1/ 2 ) Δrk +(1/ 2 )

для значений k = 1, 2, … , а для коэффициентов ck имеем:

c1 = 0 ,

r ck = ~ k −(1 / 2) , k = 2,3,… . 3 Σ k −(1 / 2) Δrk −(1 / 2)

(2.55)

Уравнения (2.53), (2.54) образуют систему разностных уравнений 2-го порядка. Каждое содержит неизвестные потоки φk −1 , φk , φk +1 в трёх следующих одна за другой точках основной сетки. В таком случае решение ищется, используя метод факторизации, называемый также методом прогонки. Суть метода заключается в переходе к разностным уравнениям первого порядка:

φk +1 = μ k φk − θ k ,

φk −1 =

φk + θ k −1 , μ k −1

(2.56)

в которых коэффициенты μ k , θ k определяются так, чтобы равенства (2.53), (2.54) выполнялись как тождества. Заменяя в этих равенствах потоки φ k +1 , φk −1 выражениями (2.56), получим:

φ1 (a1 μ1 − b1 ) − a1θ1 = − f1 , φk (ak μ k −bk + ck μ k−−11 ) − ak θ k +

ck

μ k −1

θ k −1 = − f k , k = 2,3, …

Отсюда вытекают следующие соотношения коэффициентами μ k , θ k и μ k −1 , θ k −1 в двух узлах сетки:

43

между

b1 f , θ1 = 1 , a1 a1 b ck f c θ μk = k − , θ k = k + k k −1 , ak ak μ k −1 ak ak μ k −1

μ1 =

(2.57)

k = 2,3,…

Учитывая выражения (2.56) и (2.57), приходим к следующей схеме расчёта потоков. Вначале по значениям μ1 , θ1 , полученным

по формулам (2.57), определяют остальные коэффициенты μ k , θ k ,

последовательно перемещаясь от точки k = 2 до точки k = N − 1 . Записав второе соотношение (2.56) для точки k = N и учитывая, что φ N = 0 , находим значение φ N −1 . Затем по той же формуле (2.56) рассчитываем остальные значения потоков, двигаясь в направлении уменьшения номера k точки: φ N −2 , φ N −3 ,…, φ2 , φ1 .

В плоской геометрии (ν = 0) вместо первого условия в (2.43) может приниматься φ (0) = 0 . Это соответствует реактору, который не обладает свойством симметрии и в котором при r = 0 находится экстраполированная граница. Тогда можно к основной сетке разбиения в 1-й зоне добавить точку с номером k = 0 , поместив её на границу r = 0 . Считая по-прежнему, что N1 – число точек вспомогательной сетки в 1-й зоне, и рассчитывая шаг этой

зоне

по

формуле

Δr (1) =

ΔR1 , N1

получим:

сетки

в

r(1 / 2 ) =

Δr (1) , r1 = Δr (1) . Координаты других точек находятся по 2

формулам (2.47). На рис.2.4 (в верхнем правом углу) представлено расположение точек, когда N1 = 4 . В этом случае конечно-разностное уравнение (2.51), записанное для точки k = 1 , также приводится к виду (2.53). Однако для коэффициента b1 вместо (2.55) имеем:

1 b1 = a1 + ~ + 〈 Σ〉1 ΔV1 . 3 Σ1 / 2 Δr1 / 2

44

(2.58)

Остальные формулы ничем не отличаются от тех, которые получены ранее. В заключение отметим, что использование метода факторизации не приводит к возрастанию ошибок округления, т.е. расчётная схема (2.56) устойчива. Это можно продемонстрировать на примере плоского реактора без отражателя. Учитывая, что в таком ~ реакторе Σ , Σ , Δr не меняются от одной точки к другой, имеем: 1 2 ak = ck = ~ , bk = ~ + Σ Δr , 3 Σ Δr 3 Σ Δr

μk = 2 + h −

~ h = 3 Σ Σ (Δr ) 2 > 0 . Последовательность {μ k }, k = 1,2,…

1

μ k −1

, k = 2,3,…

μ1 = 2 + h ,

убывающей

и

ограниченной

снизу.

является монотонно Поэтому существует

lim μ k = ξ , который можно найти из равенства μ = 2 + h − k →∞

1

μ

, т.е.

как корни уравнения:

μ 2 − ( 2 + h) μ + 1 = 0 . Очевидно,

μ~ = 1 +

h − 2

нужно

выбрать

наименьший

корень

h2 + h , что вытекает из анализа сходимости 4

последовательности {μ k } (а также подтверждает рис.6). Причём,

~ < 1 , поскольку h > 0 . значение μ

Теперь допустим, что при расчёте потока нейтронов в точке rk возникла ошибка округления δ k , а вместо истинного значения φk

~

φk = φk + δ k . Тогда при переходе к другим точкам rk + s ( s ≥ 1) и определении φk + s по формулам (2.56) ошибка δ k + s = μ k μ k +1 μ k + s −1 δ k . Если считать,

получено

приближённое

значение

что значение k велико (т.е. точка rk находится далеко от границы),

~ и поэтому δ = ( μ~ ) s δ . то можно принять μ k = μ k +1 = … = μ k +s k

~ < 1 ), стремясь к нулю, Таким образом, ошибка убывает (так как μ со скоростью геометрической прогрессии.

45

2.6. Конечно-разностные уравнения двумерного реактора

Особенности численного метода расчёта распределений нейтронов в более сложных моделях рассмотрим на примере многозонного цилиндрического реактора, симметричного относительно центральной оси и диаметральной плоскости. Выбирая для описания нейтронного поля в таком реакторе цилиндрическую систему координат, получим, что поток φ ( r , z ) будет зависеть лишь от двух переменных: r и z – расстояний до оси и плоскости симметрии, соответственно. При этом ток нейтронов J (r , z ) = I (r , z ) er + Y (r , z ) ez , а уравнения (2.37) можно записать в виде (по-прежнему номер итерации опускаем):

1 ∂ (r I (r , z ) ) ∂Y (r , z ) + + Σ( r , z ) φ ( r , z ) = q ( r , z ) , ∂r ∂z r ∂φ (r , z ) ~ + 3 Σ( r , z ) I ( r , z ) = 0 , ∂r ∂φ (r , z ) ~ + 3 Σ( r , z ) Y ( r , z ) = 0 . ∂z

Как

и

раньше

считаем,

что

макроскопические

(2.59) (2.60) (2.61) сечения

~ Σ(r , z ) , Σ(r , z ) и источник q (r , z ) терпят разрывы на границах зон r = Ri (i = 1,2,…, n) , z = H j ( j = 1,2,…, m) , а при

r = Rn , z = H m

расположены

экстраполированные

границы

реактора (рис.2.5). Поток φ ( r , z ) и проекции тока I ( r , z ) , Y ( r , z ) нейтронов непрерывны в области удовлетворяют граничным условиям:

0 ≤ r ≤ Rn , 0 ≤ z ≤ H m

J (0, z ) = 0 , Y (r ,0) = 0 , φ ( Rn , z ) = 0 , φ (r , H m ) = 0 .

46

(2.62)

и

Рис.2.5. Расположение зон в 2-мерном цилиндрическом реакторе

Учитывая замечания, сделанные в разделе 2.4 (относительно расположения точек), разместим на отрезках 0 ≤ r ≤ Rn , 0 ≤ z ≤ H m по две системы узловых точек с постоянными

в

пределах

ΔRi = Ri − Ri−1

интервалов

ΔH j = H j − H j −1 шагами Δr и Δz (i )

( j)

и

соответственно. Как и в

одномерной геометрии, некоторые из точек основной системы Δr (i ) и попадут на границы раздела зон. Значения Δz ( j ) рассчитываем по формулам вида (2.45) при заданном числе узлов N i (или M j ) вспомогательных сеток на интервалах ΔRi (или ΔH j ). Пронумеровав точки в направлении удаления от начала координат, определим координаты точек,

{r , r k

k −(1 / 2 )

, k = 1,2,… , N }

на оси r, и координаты zl , zl −(1 / 2) , l = 1,2, …, M точек, находящихся на оси z. При этом

{

расположенных

}

следует учесть, что r1 =

n m Δr (1) Δz (1) , r1 / 2 = 0 , z1 = , z1 / 2 = 0 , N = ∑ Ni , M = ∑ M j . 2 2 i =1 j =1

47

Рис.2.6. Сетка точек и области интегрирования в геометрии цилиндрического реактора

r−z

Через точки с координатами (0, zl ) , (0, zl −(1 / 2 ) ) проведём плоскости, параллельные диаметральной плоскости z = 0 , а через точки с координатами (rk , 0) , (rk −(1 / 2) , 0) – цилиндрические поверхности с общей осью, расположенной при r = 0 . В результате область 0 ≤ r ≤ Rn , 0 ≤ z ≤ H m разбивается на ряд элементарных областей, а в плоскости, проходящей через ось цилиндра, образуется двумерная сетка основных (rk , zl ) , промежуточных

(rk , zl −(1 / 2 ) ) , (rk −(1 / 2) , zl )

и

вспомогательных

(rk −(1 / 2) , zl −(1 / 2) ) точек. В той же плоскости элементарным областям соответствуют прямоугольники, один из которых Δ k ,l (соответствующий области Wk ,l ) заштрихован на рис.2.6. Умножим уравнение (2.59) на r , а затем проинтегрируем по области Wk ,l , включающей точки с координатами

48

rk −(1 / 2) ≤ r ≤ rk +(1 / 2) , z k −(1 / 2 ) ≤ z ≤ zk +(1 / 2) , проинтегрируем

по

уравнение

области

(2.60)

Wk +(1 / 2),l :

rk ≤ r ≤ rk +1 , zl − (1 / 2) ≤ z ≤ zl + (1 / 2) , а уравнение (2.61) – по области rk −(1 / 2) ≤ r ≤ rk +(1 / 2) , zl ≤ z ≤ zl +1 . В результате

Wk ,l +(1 / 2 ) : получим: rk + (1 / 2 )

∫ [Y (r, z

l + (1 / 2 )

zl + (1 / 2 ) rk + (1 / 2 )

]

∫ ∫ Σ(r, z )φ (r, z )r dr dz +

) − Y (r , zl −(1/ 2) ) r dr +

rk −(1 / 2 )

zl − (1 / 2 ) rk − (1 / 2 )

zl + (1 / 2 )

+

∫ [r

k + (1 / 2 )

]

zl + (1 / 2 ) rk + (1 / 2 )

I (rk +(1/ 2 ) , z ) − rk −(1/ 2 ) I (rk −(1/ 2) , z ) dz =

zl −(1 / 2 )

∫ ∫ q(r , z ) r dr dz

zl − (1 / 2 ) rk − (1 / 2 )

(2.63) zl + ( 1 / 2 )

∫ [φ (r

k +1

zl − ( 1 / 2 )

rk +1 zl + (1 / 2 )

, z ) − φ (rk , z )]dz + 3 ∫

rk −(1 / 2 )

(2.64)

rk zl − (1 / 2 )

rk + (1 / 2 )

∫ [φ (r , z

~

∫ Σ(r, z ) I (r, z) dz dr = 0 ,

zl +1 rk + ( 1 / 2 )

l +1

) − φ (r , zl )]dr + 3 ∫

~

∫ Σ(r , z )Y (r , z)dr dz = 0 .

(2.65)

zl rk − (1 / 2 )

Дальнейшие преобразования в основном совпадают с теми, которые проводились в одномерной геометрии. Функции φ (r , z ) , I (r , z ) , Y (r , z ) раскладываются в ряды Тэйлора в окрестности точек, совпадающих с центрами элементарных областей Wk ,l , Wk +(1 / 2 ),l , Wk ,l +(1 / 2 ) соответственно. В качестве координат таких точек принимаются: (rk , zl ) - для потока φ ( r , z ) ,

(rk +(1 / 2) , zl ) - для проекции тока I (r , z ) и (rk , zl +(1 / 2 ) ) - для проекции Y ( r , z ) . Что касается функции q ( r , z ) , которая может терпеть разрывы на границах r = rk и z = zl , то она раскладывается координатами

в

ряды

Тейлора

в

окрестности

точек

с

(rk + 0, zl + 0) , (rk + 0, zl − 0) , (rk − 0, zl + 0) , (rk − 0, zl − 0) , принадлежащими разным областям Wk(,sl ) (они отмеченны на рис.2.6 значениями s=1, 2, 3, 4). Предполагая далее, что функции φ (r , z ) , I (r , z ) , Y (r , z ) , q(r , z ) слабо меняются в пределах

49

указанных

выше элементарных областей и шаги сеток малы, приходим к конечно-разностным уравнениям:

Δr , Δz ( rk −(1/ 2) I k −(1/ 2),l − rk +(1/ 2 ) I k +(1/ 2 ),l ) Δzl + (Yk ,l −(1/ 2) − Yk ,l +(1/ 2) ) ΔVk − (i )

( j)

− 〈 Σ〉 k ,l φk ,l ΔWk ,l = −〈 q〉 k ,l ΔWk ,l , (2.66) (k = 1,2, …, N − 1, l = 1,2, … , M − 1) φk −1,l − φk ,l , k = 2,3, … , N , l = 1,2,… , M − 1, I k −(1/ 2),l = ~ 3〈 Σ〉 k −(1/ 2),l Δrk −(1/ 2) φ −φ Yk ,l −(1/ 2 ) = ~ k ,l −1 k ,l , k = 1,2, … , N − 1, l = 2,3, … , M . 3〈 Σ〉 k , l −(1/ 2 ) Δzl −(1/ 2 ) (2.67) Здесь приняты следующие обозначения:

φk ,l = φ (rk , zl ) , I k −(1/ 2 ),l = I (rk −(1/ 2) , zl ) , Yk ,l −(1/ 2 ) = Y (rk , zl −(1/ 2) ) , φk ,l = φ (rk , zl ) , I k −(1/ 2 ),l = I (rk −(1/ 2) , zl ) , ΔVk =

rk + (1 / 2 )

∫ r dr ,

(2.68)

rk − (1 / 2 )

Δrk = rk +(1 / 2 ) − rk −(1 / 2 ) , Δzl = zl +(1 / 2 ) − zl −(1 / 2 ) , ΔWk ,l = ΔVk Δzl , Δrk = rk +(1 / 2 ) − rk −(1 / 2 ) , Δzl = zl +(1 / 2 ) − zl −(1 / 2 ) , Δzl −(1 / 2 ) = zl − zl −1 , 〈Σ〉 k ,l =

1 ΔWk ,l

zl + (1 / 2 ) rk + (1 / 2 )

∫ Σ(r, z ) r dr dz , 〈q〉 k ,l =

∫

zl − (1 / 2 ) rk −(1 / 2 )

1 ~ 〈Σ〉 k −(1 / 2 ),l = Δz l

zl + (1 / 2 )

~ ∫ Σ(rk −(1 / 2) , z ) dz ,

zl − (1 / 2 )

1 ΔWk ,l

zl + (1 / 2 ) rk + (1 / 2 )

∫

∫ q(r, z )r dr dz

zl − (1 / 2 ) rk − (1 / 2 )

1 ~ 〈 Σ〉 k , l −(1 / 2 ) = Δrk

rk + (1 / 2 )

~

∫ Σ( r , z

l −(1 / 2 )

) dr .

rk − (1 / 2 )

Уравнения (2.66) (каждое из них выражает баланс нейтронов в элементе объёма ΔWk ,l ) необходимо дополнить условиями (2.62), которые запишутся в виде:

J (1 / 2),l = 0 ,

Yk ,(1 / 2) = 0 ,

φ N ,l = 0 ,

φ k ,M = 0 .

(2.70)

Учитывая соотношения (2.67), (2.68) и первые два равенства (2.70), уравнения (2.66) можно привести к виду: ak ,l φk +1,l + bk ,l φk ,l +1 + ck ,l φk −1,l + d k ,l φk ,l −1 − pk ,l φk ,l = − f k ,l , (2.71)

50

где ak ,l =

rk +(1/ 2 ) Δzl ΔVk , bk ,l = ~ , ~ 3 〈 Σ〉 k +(1/ 2), l Δrk +(1/ 2 ) 3 〈 Σ〉 k ,l +(1/ 2) Δzl +(1/ 2 )

pk ,l = ak ,l + bk ,l + ck ,l + d k ,l + 〈 Σ〉 k ,l ΔWk ,l ,

f k ,l = 〈 q〉 k ,l ΔWk ,l ,

(2.72)

а коэффициенты ck ,l , d k ,l принимают значения:

c1,l = 0 ,

ck ,l =

rk − (1 / 2 ) Δzl , ~ 3 〈Σ〉 k − (1 / 2),l Δrk − (1 / 2 )

k = 2,3,… , l = 1,2,… ,

ΔVk , k = 1,2,…, l = 2,3,… . ~ 3 〈Σ〉 k , l − (1 / 2) Δzl − (1 / 2) Уравнения (2.71) вместе с условиями (2.70) на экстраполированных границах образуют систему из NM линейных алгебраических уравнений с таким же числом неизвестных. Каждое уравнение помимо потока φk ,l в точке d k ,1 = 0 ,

d k ,l =

(rk , zl ) содержит потоки в четырёх ближайших узлах двумерной сетки разбиения. Только в уравнениях, записанных при значениях k = 1, l = 1,2,… или для значений l = 1, k = 1,2,… , число неизвестных меньше. Поэтому сразу нельзя воспользоваться методом прогонки. Однако, если ввести в рассмотрение вектор φk с компонентами φ k ,1 , φk , 2 ,…, φk ,M −1 , то система уравнений (2.71) преобразуется к виду:

Aˆ1 φ2 − Bˆ1 φˆ1 = − F1 , Aˆ φ − Bˆ φ + Cˆ φ

k = 2,3,…, N − 1 , (2.73) где элементы векторов Fk , диагональных матриц Aˆ k , Cˆ k и трёх диагональных матриц Bˆ k непосредственно выражаются через k

k +1

k

k

k

k −1

= − Fk ,

коэффициенты (2.72). Теперь каждое уравнение становится «трехточечным», связывая значения неизвестных векторов в 3-х подряд стоящих узлах. Это позволяет для решения системы уравнений (2.73) применить метод матричной факторизации. Следуя изложенному в разделе 2.4 алгоритму и заменяя алгебраические операции матричными, запишем:

51

φk +1 = μˆ k φk − θ k , φk −1 = μˆ k−1 (φk + θ k −1 ) , k = 2,3,… .

(2.74)

Подставив в уравнения (2.73) вместо φ k +1 , φk −1 выражения (2.74), придём к следующим формулам для нахождения μˆ k , θ k :

μˆ1 = Aˆ1−1 Bˆ1 ,

θ1 = Aˆ1−1 F1 ,

μˆ k = Aˆ k−1 ( Bˆ k − Cˆ k μˆ k−1 ) ,

(2.75)

θ k = Aˆ k−1 ( Fk + Cˆ k μˆ k−1θ k −1 ) , k = 2,3,…

Рассчитав μˆ k , θ k (k = 1,2,…, N − 1) по формулам (2.75) и приняв

φ N = 0 , получим остальные вектора φ N −1 , φ N −2 ,…, φ1 , используя соотношения (2.74). Из равенств (2.74), (2.75) следует, что помимо сравнительно несложных операций вычисления диагональных матриц Aˆ k−1 , сложения и перемножения матриц приходится находить обратные матрицы μˆ k−1 . Поскольку μˆ k относятся к матрицам общего вида и имеют большую размерность (равную числу узлов M − 1 ), то получение μˆ k−1 для всех точек k = 1,2,…, N − 1 занимает много времени, а их хранение – большой объём памяти ЭВМ. Поэтому метод матричной факторизации не нашёл широкого применения при расчётах распределений нейтронов в 2- и 3-мерных геометриях. Обычно используют итерационные методы решения уравнений (2.71). Самым несложным, с точки зрения организации вычислений, является метод простой итерации. Он базируется на использовании важного свойства коэффициентов в уравнениях (2.71):

λk ,l =

ak ,l + bk ,l + ck ,l + d k ,l < 1, pk ,l

(2.76)

которое имеет место, поскольку 〈 Σ〉 k ,l > 0 . Поэтому предлагается на каждой итерации t сумму ak ,l φk +1,l + bk ,l φk ,l +1 + ck ,l φk −1,l + d k ,l φ k ,l −1 оценивать на потоках с предыдущей итерации. В результате приходят к следующей схеме: рk ,l φk(t,l) = f k ,l + ak ,l φk(+t −11,l) + bk ,l φk(t,l−+11) + ck ,l φk(−t −11,l) + d k ,l φk(t,l−−11) , (2.77)

52

где φk(t,l) – значения потоков в точках двумерной сетки на итерации

t = 1,2,… , а φk( 0,l) – любые неотрицательные числа. Итерационная схема (2.77) расчёта потоков всегда сходится [10] . Однако, если отношение (2.76) не очень сильно отличается от единицы, то приходится проводить много итераций. Поэтому обычно используют различные методы ускорения сходимости. Остановимся лишь на некоторых приёмах, связанных с иным способом организации вычислений. Если предположить, что итерации по схеме (2.77) сходятся монотонно, то можно ожидать более быстрое продвижение к искомому решению, используя при определении φk(t,l) информацию о потоках, полученных на той же итерации, но для других точек. Тогда итерационная схема принимает вид: pk ,l φk(t,l) = f k ,l + ck ,l φk(−t )1,l + d k ,l φk( ,tl)−1 + ak ,l φk(+t −11,l) + bk ,l φk(t,l−+11) . (2.78) Здесь принято, что для горизонтального ряда точек (с одним и тем же значением l) расчёт потоков ведётся в направлении роста k, а переход к следующему ряду всегда сопровождается увеличением l на единицу. В двумерных задачах с простой прямоугольной сеткой часто используется метод переменных направлений. В основе метода лежит переход на каждой итерации к 3-точечным уравнениям относительно φk +1,l , φk ,l , φ k −1,l (или φk ,l +1 , φk ,l , φ k ,l −1 ), которые могут быть решены методом прогонки. При этом считается, что слагаемые bk ,l φk ,l +1 , d k ,l φk ,l −1 (или ak ,l φk +1,l , ck ,l φk −1,l ), учитывающие перемещения нейтронов вдоль оси z (или r), получены на потоках из предыдущей итерации. Пусть φk(t,l) , φk(t,l+ ( 0.5)) – значения потоков в итерациях с номерами

t и t + (0.5) , где: t + (0.5) – условное обозначение номера итерации между t и t + 1 . Тогда итерационную схему получения потоков можно представить как последовательное решение двух систем уравнений: ak ,l φk(+t )1,l − pk ,l φk(t,l) + ck ,l φk(−t )1,l = − f k ,l − bk ,l φk( t,l−+(10.5)) − d k ,l φk( ,tl)−1 , (2.79)

53

bk ,l φ k(t,l++(10.5)) − pk ,l φ k(t,l+( 0.5)) + d k ,l φ k( ,tl+−(10.5)) = − f k ,l − ak ,l φ k(+t )1,l − ck ,l φk(−t +1,(l0.5)) . (2.80) Предполагается, что при рассмотрении системы (2.79) уравнения решаются для горизонтального рада точек, начиная с ряда l = 1 , а при рассмотрении системы (2.80) – для вертикального ряда, начиная с ряда k = 1 . В качестве начальных значений принимаются любые φ k( 0,l.5) ≥ 0 . Глава 3. МЕТОДЫ РАСЧЁТА ПРОСТРАНСТВЕННОЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕЙТРОНОВ

В односкоростном диффузионном приближении принималось, что диффузия, рождение и поглощение нейтронов происходит при одной и той же энергии. На самом деле появляющиеся в окрестности какой-либо точки r активной зоны нейтроны деления в процессе упругих и неупругих столкновений с ядрами теряют энергию, удаляются от места рождения, а часть из них может поглотиться или выйти за пределы зоны прежде, чем вызовут деления ядер топлива. Такой переход нейтронов из одной зоны в другую совместно с другими процессами отражается на скорости протекания цепной реакции деления, пространственных распределениях φ (r , E ) нейтронов разных энергий E и физических характеристиках реактора. 3.1. Реактор без отражателя в диффузионно-возрастном приближении

Оценим влияние перечисленных выше факторов на величину эффективного коэффициента размножения К эф и асимптотический поток φ (r , E ) в реакторе без отражателя, распределение нейтронов в котором находится в диффузионно-возрастном приближении. В этом приближении выделяются два интервала энергий: Ec < E < E0 – для замедляющихся нейтронов и 0 ≤ E ≤ Ec – для тепловых нейтронов, где E0 и Ec – условные верхние границы для

54

замедляющихся и тепловых нейтронов (часто Ec совпадает с энергией сшивки спектров Максвелла и Ферми). Наряду с понятиями, принятыми в главе 2, используются: - летаргия нейтронов u = ln

E0 , где E0 – заранее выбранное E

(обычно максимально возможное) значение энергии; - ступенька замедления Δ l = E (1 − ε l ) - наибольшее изменение энергии нейтрона при одном столкновении с ядром сорта l, если 2

⎛ A −1⎞ ⎟⎟ , до столкновения он имел энергию E, ε i = ⎜⎜ i ⎝ Ai + 1 ⎠

Ai –

атомная масса ядра; - замедляющая способность среды ξ Σ s , где ξ – средняя логарифмическая потеря энергии при одном столкновении нейтрона в смеси ядер; - возраст нейтронов τ , соответствующий энергии E (или летаргии u ): E0

u D( E ′) dE ′ D(u′) =∫ du′ ; (3.1) τ=∫ ξ Σ s ( E ′) E ′ 0 ξ Σ s (u′) E - плотность замедления j (r , u ) , равная числу замедляющихся

нейтронов, находящихся в единичном объёме в окрестности точки r и переходящих в единицу времени из области u ′ < u в область u ′′ > u : u

∞

j (r , u ) = ∫ Σ s (u′) φ0 (r , u′) ∫ Ws (u′ → u′′) du′′ du′ . 0

(3.2)

u

Ограничимся рассмотрением реактора достаточно больших размеров, в котором размножение нейтронов происходит в основном за счёт деления ядер топлива нейтронами низких энергий. Будем также считать, что: - все нейтроны деления появляются с одной и той же энергией Emax > E0 , а в качестве E0 выбрана условная энергия порога деления сырьевого материала;

55

- плотность замедления j (r , E0 ) может быть представлена в виде: E0

j (r , E0 ) = μ ∫ν f Σ f ( E ) φ0 (r , E ) dE ,

(3.3)

0

что соответствует определению коэффициента μ как отношения числа нейтронов, замедлившихся за порог E = E0 , к числу нейтронов, появившихся за счёт деления ядерного горючего нейтронами с энергиями 0 ≤ E ≤ E0 ; - замедление нейтронов происходит в основном за счёт упругих столкновений с ядрами, имеющими небольшие значения Δ l ; - упругое рассеяние нейтронов сферически симметрично в системе центра масс и плотность вероятности рассеяния равна

1 ⎧ , E ∈ [ε l E ′ , E ′] ⎪ Ws ,l ( E ′ → E ) = ⎨ E ′(1 − ε l ) , ⎪⎩ 0 , E ∉ [ε l E ′ , E ′] либо (если рассматривать в шкале летаргии):

⎧ exp(u′ − u ) , ⎪ Ws ,l (u′ → u ) = ⎨ 1 − ε l ⎪⎩ 0 ,

u ∈ [u′ , u′ + δ l ] u ∉ [u′ , u′ + δ l ]

(3.4) ,

где δ l = − ln (ε l ) – ступенька замедления в шкале летаргии; - сильное (резонансное) поглощение нейтронов сосредоточено при значении Е = Ес и учитывается с помощью коэффициента ϕ – вероятности избежать резонансного поглощения (тогда в уравнении (1.18) учитывается лишь слабое поглощение нейтронов). Энергетическое распределение замедляющихся нейтронов удобно описывать в функции летаргии. В этом случае уравнение (1.18) удаётся (в возрастном приближении) привести к более простому виду [2], выполнив следующие преобразования. Во-первых, дифференцируя равенство (3.2) по летаргии u , получим: ∞

u

∂ j (r , u ) = Σ s (u ) φ ( r , u ) ∫ Ws (u → u′′) du′′ − ∫ Σ s (u′)Ws (u′ → u ) φ (r , u′) du′ , ∂u u 0

56

∞

где

∫W (u → u′′) du′′ = 1 ,

так как при столкновениях с ядрами

s

u

нейтроны теряют энергию и летаргия u′′ примет одно из значений

u ≤ u′′ < ∞ . Тогда интеграл Qs = ∫ Σ s ( E′)Ws ( E′ → E ) φ (r , E ′) dE′ E′

будет равен разности

Qs = Σ s (u ) φ (r , u ) −

∂ j (r , u ) , а уравнения ∂u

(1.18) примут вид:

∂ j (r , u ) =0 , (3.5) ∂u J ( r , u ) = − D(u ) grad φ (r , u ) . При этом учтено, что в области 0 ≤ u ≤ uc не появляются нейтроны div J (r , u ) + Σ a (u ) φ (r , u ) +

деления и нет внешних источников нейтронов. Во-вторых, упростим выражение (3.2), считая, что плотность столкновения Σ s (u ) φ (r , u ) непрерывна и слабо меняется на интервале δ l = − ln ε l . В этом случае, записывая вместо (3.2) равенство

j (r , u ) = ∑ l

u

∫

Σ s , l (u′) φ (r , u′)

u −δ l

u ′ +δ l

∫W

s ,l

(u′ → u′′) du′′ du′

u

и принимая Σ s , l (u′) φ (r , u′) ≈ Σ s ,l (u ) φ (r , u ) при u − δ l ≤ u′ ≤ u , получим:

j (r , u ) ≈ ∑ Σ s ,l (u ) φ (r , u ) l

u u′+δ l

∫δ ∫ W

s ,l

u−

(u′ → u′′) du′′ du′ =

u

l

= ξ Σ s (u ) φ (r , u ) .

ξ Σ s = ∑ξ l Σ s ,l , ξl = l

(3.6)

u ′+δ l

u

∫δ ∫W

s,l

u−

l

(u′ → u′′) du′′ du′ = 1 +

u

ε l ln ε l 1 − εl

В результате в области 0 ≤ u ≤ uc уравнение (1.18) для потока

замедляющихся нейтронов φ ( r , u ) примет вид:

57

D (u ) Δ φ (r , u ) − Σ a (u ) φ (r , u ) =

∂ (ξ Σ s φ ) . ∂u

Учитывая определение (3.1) возраста нейтронов и соотношение (3.6), его обычно записывают в форме:

Δ j ( r ,τ ) − где Lτ2 =

1 ∂ j ( r ,τ ) , j ( r ,τ ) = 2 ∂τ Lτ

(3.7)

D (τ ) – квадрат длины диффузии нейтронов возраста τ . Σ a (τ )

При нахождении распределения тепловых нейтронов следует учитывать, что они в результате упругих столкновений с находящимися в тепловом движении ядрами могут как потерять, так и приобрести энергию. Поэтому плотность вероятности рассеяния Ws ( E ′ → E ) описывается более сложной по сравнению с (3.4) функцией, зависящей от особенностей связей атомов в молекулах и кристаллах. Это сильно затрудняет получение потока φ (r , E ) при энергиях 0 ≤ E ≤ Ec . В дальнейшем ограничимся простым приближённым способом, заключающимся в следующем. Известно [2], что в бесконечной среде без поглощения распределение тепловых нейтронов по энергиям описывается спектром Максвелла M ( E , T ) и выполняется принцип детального равновесия для потока Φ( E , T ) = υ ( E ) M ( E , T ) :

Σ s ( E ′) Ws ( E ′ → E ) Φ( E ′, T ) = Σ s ( E ) Ws ( E → E ′) Φ ( E , T ) , (3.8) где T – температура среды. Можно предположить, что в реакторе больших размеров при слабом поглощении распределение нейтронов по энергиям будет мало отличаться от спектра Максвелла по форме, но окажется сдвинутым в сторону больших энергий. Этот сдвиг происходит потому, что нейтроны не успевают прийти к тепловому равновесию из-за поглощения. В области энергий 0 ≤ Е ≤ Ес микроскопические сечения поглощения

σ a ,l ( E ) тяжёлых ядер топлива меняются по закону, близкому к виду:

σ a ,l ( E ) = σ a ,l ( E ( 0 ) ) 58

E (0) , E

где Е ( 0 ) – фиксированное значение энергии, а σ a ,l ( E ) – сечение поглощения нейтронов ядрами сорта l . Указанное смещение будет тем больше, чем больше среднее сечение поглощения Σ a ,T тепловых нейтронов и чем меньше замедляющая способность среды ξ Σ s . Учитывая известное соотношение между энергией и температурой ( E = kT ) , вводят в рассмотрение эффективную температуру нейтронов Т н :

Σ ⎞ ⎛ Т н = Т ⎜⎜1 + а а ,Т ⎟⎟ ξ Σs ⎠ ⎝

(3.9)

и описывают энергетическое распределение нейтронов функцией M ( E , Tн ) . В выражении (3.9): a – коэффициент, зависящий от связей атомов в веществе. Таким образом, приходят к представлению потока нейтронов φ0 (r , E ) в области энергий

0 ≤ E ≤ Ec в форме: φ (r , E ) = υ ( E ) M ( E , Tн )ψ T (r ) . Представим

в

уравнении

(1.18)

интеграл

(3.10) рассеяния

Qs ( E ) = ∫ Σ s ( E′)Ws ( E ′ → E ) φ (r , E′) dE′ в виде суммы E′

Qs ( E ) = Qs ,1 ( E ) + Qs , 2 ( E ) , где слагаемые имеют вид: Ec

Qs ,1 ( E ) = ∫ Σ s ( E ′) Ws ( E ′ → E ) φ (r , E ′) dE ′ , 0

E0

Qs , 2 ( E ) = ∫ Σ s ( E ′) Ws ( E ′ → E ) φ (r , E ′) dE ′ . Ec

Здесь первое слагаемое отвечает за появление нейтронов с энергией E в результате упругих столкновений тепловых нейтронов, а второе – в результате столкновений замедляющихся нейтронов. После этого проинтегрируем уравнение (1.18) по E в пределах 0 ≤ E ≤ Ec . Считая, что вероятность тепловым нейтронам при столкновениях с ядрами приобрести энергию

59

E ′ > Ec ничтожно мала, а также

принимая во внимание

соотношения (3.4), получим: Ec

∫Q

s ,1

0

Ec

Ec

Ec

0

0

0

( E ) dE = ∫ Σ s ( E ) φ (r , E ) ∫ Ws ( E → E′) dE ′ dE = ∫ Σ s ( E ) φ (r , E ) dE ,

(3.11) E0

∫Q

El

s ,2

Ec

( E ) dE = ∑ ∫ Σ s ,l ( E ′) φ (r , E ′) l

Ec

Ec

Ec

0

0

Ec − ε l E ′ dE ′ = j (r , Ec ) , (3.12) E ′ (1 − ε l )

− div ∫ J (r , E ) dE − ∫ Σ a ( E ) φ (r , E )dE + ϕ j (r , Ec ) = 0 , (3.13) ⎛

где El = min⎜⎜ E0 ,

⎝

Ec ⎞ ⎟ , концентрация ядер сорта l , σ s ,l ( E ) – ε l ⎟⎠

соответствующее микроскопическое сечение рассеяния и учтено, что из j (r , Ec ) нейтронов тепловыми становится лишь ϕ j (r , Ec ) нейтронов. Введём в рассмотрение усреднённые по потоку υ ( E ) M ( E , Tн ) сечения DT , Σ a ,T , ν f ,T Σ f ,T и скорость υT тепловых нейтронов (подробнее об усреднении сечений говорится в разделе 3.2): DT =

1 FT

Ec

∫ D( E )υ ( E ) M ( E, Tн ) dE, Σ a,T = 0

ν f ,T Σ f ,T =

1 FT

E

1 c ν f Σ f ( E ) υ ( E ) M ( E , Tн ) dE , FT ∫0

Ec

∫Σ

a

( E ) υ ( E ) M ( E , Tн ) dE ,

0

1

υT

=

1 FT

Ec

∫ M ( E, T ) dE, н

0

(3.14) Ec

где

FT = ∫υ ( E ) M ( E , Tн ) dE .

Тогда

уравнение

(3.13)

0

преобразуется к виду:

DT ΔφТ (r ) − Σ a ,T φТ (r ) + ϕ j (r ,τ c ) = 0 .

60

(3.15)

Ec

Здесь

φТ (r ) = ψ T (r ) ∫υ ( E ) M ( E , Tн ) dE

и

имеет

смысл

0

интегрального потока тепловых нейтронов. Такое выражение для функции φT (r ) и соотношение (3.6) для плотности замедления позволяют источник замедляющихся нейтронов (3.2) представить суммой:

j (r ,0) =

K∞

ϕ

τc

Σ a ,T φТ (r ) + ∫ kτ j (r ,τ ) 0

dτ , Lτ2

(3.16)

где K ∞ – коэффициент размножения в бесконечной среде, а

kτ = μ

ν f Σ f (τ ) . Σ a (τ )

Воспользуемся уравнениями (3.7), (3.15) для решения задачи о критичности реактора без отражателя, заменив в равенстве (3.16) параметры К ∞ и kτ соответственно отношениями:

~ К К∞ = ∞ К эф

,

~ k kτ = τ . К эф

При этом будем считать, что решения уравнений удовлетворяют условию φ (rэ , E ) = 0 и дают (с точностью до постоянного множителя) асимптотические распределения замедляющихся и тепловых нейтронов во всей области энергий 0 < E ≤ E0 . Для реактора, состоящего из одной зоны, пространственные распределения нейтронов разных энергий описываются одной и той же функцией. Поэтому плотность замедления j (r ,τ ) можно представить в виде: j (r ,τ ) = f (τ )φT (r ) . (3.17) Подставляя произведение (3.17) в уравнение (3.7), получим:

1 d f (τ ) 1 Δ φT (r ) + 2 = = −ω 2 , f (τ ) dτ Lτ φT (r )

где: − ω 2 – константа разделения переменных (отрицательная – из физических соображений об изменении j (r ,τ ) с ростом возраста τ ). Отсюда:

61

1 df (τ ) 1 = −ω 2 − 2 , f (τ ) dτ Lτ

Δ φT (r ) + ω 2 φT (r ) = 0 .

(3.18)

Решая первое уравнение (3.17) относительно функции f (τ ) при условии (3.16), получим равенство: j (r ,τ ) = f (0) exp − ω 2τ − g (τ ) φT (r ) , (3.19) в котором

(

)

~

f (0) =

ϕ −1 K ∞ Σ a ,T τc

τ

(

)

~ 1 − ∫ kτ exp − ω 2τ − g (τ ) dg (τ )

dτ . L2 0 τ

g (τ ) = ∫

,

(3.20)

0

Рассматривая затем выражение (3.19) при значении τ = τ с , преобразуем уравнение (3.15) к виду:

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ~ Σ a ,T ⎢ K ∞ exp − ω 2 τ c − g (τ c ) Δ φT (r ) + − 1⎥ φT (r ) = 0 . ⎥ DT ⎢ τ c ~ 2 ⎥ ⎢1 − ∫ kτ exp − ω τ − g (τ ) dg (τ ) ⎥⎦ ⎢⎣ 0

( (

)

)

Сравнение этого выражения с (3.18) для функции

φT (r )

показывает, что в качестве константы разделения ω следует взять решение уравнения: 2

ω 2 L2T =

( (

)

~ K ∞ exp − ω 2 τ c − g (τ c ) − 1, τc ~ 1 − ∫ kτ exp − ω 2 τ − g (τ ) dg (τ )

)

(3.21)

0

где L2T =

DT – квадрат длины диффузии тепловых нейтронов. Σ a ,T

Уравнение (3.18) для φT (r ) имеет такой же вид, как и уравнение

(1.6) для функции ψ m (r ) . Решения их ищутся на одном и том же множестве функций. Поэтому константа разделения ω 2 может принимать лишь дискретные значения, равные α 02 , α12 ,… и совпадающие (с точностью до знака) с собственными числами оператора Лапласа. Учитывая перечисленные ранее (в главе 1)

62

свойства этих чисел и соответствующих им собственных функций, приходим к выводу, что при получении нетривиального решения задачи (3.7), (3.15), (3.16) следует принять: ω 2 = α 02 . (3.22) При этом асимптотическое распределение нейтронов имеет вид:

φT (r ) = C ψ 0 (r ) , j (r ,τ ) = C f (0) exp(− ω 2 τ − g (τ ) )ψ 0 (r ),

(3.23)

где С – постоянный множитель, f (0) определяется равенством (3.20),

а

ψ 0 (r )

–

собственная функция,

соответствующая

наименьшему собственному числу α 02 задачи (1.6):

Δψ 0 (r ) + α 02 ψ 0 (r ) = 0 , Здесь, как и в разделе 2.1, число α

ψ 0 (rэ ) = 0 . 2 0

(3.24)

называют геометрическим

параметром, а константу разделения ω 2 – материальным параметром реактора без отражателя. Равенство (3.22) совместно с уравнением (3.21) относительно 2 ω и полученными ранее формулами расчёта α 02 позволяют определить критические параметры реактора: эффективный коэффициент размножения нейтронов К эф , критическую массу и др. Например, в реакторе с заданными свойствами (размерами и концентрациями ядер) значение К эф получим, заменяя в уравнении (3.21) ω 2 на α 02 . В результате придём к равенству:

(

)

τ

c K ∞ exp − α 02τ c − g (τ c ) 2 + ∫0 kτ exp − α 0τ − g (τ ) dg (τ ) , (3.25) 1 + α 02 L2T в котором первое слагаемое в правой части учитывает вклад от деления ядер топлива тепловыми нейтронами, а второе слагаемое – от деления ядерного горючего замедляющимися нейтронами. Используя соотношения (3.22) – (3.25), можно установить, что: - если в бесконечной среде без поглощения плотность замедления j (r , u ) как функция летаргии u постоянна, то в реакторе конечных размеров в присутствии поглощения нейтронов она уменьшается с ростом летаргии;

К эф =

(

63

)

-

для реактора на тепловых нейтронах (в котором обычно можно считать, что: kτ ≈ 0 ) формула (3.25) упрощается и принимает вид:

К эф = -

)

(3.26)

в выражении (3.26) экспоненциальный множитель имеет смысл вероятности замедляющимся нейтронам избежать утечки и поглощения при изменении их возраста от 0 до τ с (практически равному возрасту тепловых нейтронов), а множитель

-

(

К ∞ exp − α 02τ c − g (τ c ) ; 1 + α 02 L2T

1 1 + α 02 L2T

совпадает с вероятностью тепловым

нейтронам избежать утечки из реактора; в большом (или «физически большом») тепловом реакторе (в котором α 02τ с Ek , k = 1, 2, …, m , Em = 0 , E0 = Emax . Нейтроны с энергией E ∈ ΔEk называют нейтронами k-й группы. Вместо уравнений с непрерывно зависящими от E вероятностями

64

взаимодействий решается система уравнений для отдельных групп нейтронов с постоянными в интервале ΔEk сечениями. Переход к таким уравнениям связан с введением ряда допущений, снижающих точность определения К эф и распределений нейтронов. Чтобы выяснить причины возникновения погрешностей, рассмотрим в общих чертах схему построения многогрупповых уравнений. Считаем (как и в разделе 3.2), что все тепловые нейтроны находятся в m-й группе, и для них выполняется принцип детального равновесия. Вероятность их перехода в другие группы ничтожна мала. Остановимся сначала на преобразовании уравнений (1.18), описывающих распределение нейтронов в условно-критическом реакторе в диффузионном приближении. Как отмечалось во введении, такой реактор не должен включать водородосодержащие материалы. Проинтегрируем уравнения (1.18) по интервалу Δ Ek , предварительно записав второе из них в виде:

3 Σtr ( E ) J (r , E ) = − grad φ (r , E ) .

(3.28) Введём в рассмотрение средние макроскопические сечения Σ (pk ) , Σ (trk,i) так, чтобы

Σ(pk ) φ ( k ) (r ) = Σ

(k ) tr ,i

(J

∫Σ

p

( E ) φ (r , E ) dE ,

ΔE k

(k )

) ∫Σ

(r ) , ei =

tr

(

p = c , f , s, t

)

( E ) J (r , E ) , ei dE , i = 1, 2, 3 ,

(3.29) (3.30)

ΔEk

где:

φ ( k ) (r ) = ∫ φ (r , E ) dE , J ( k ) (r ) = ΔEk

единичные

орты,

направленные

вдоль

∫ J (r , E ) dE ,

а ei –

ΔEk

координатных

осей

xi ( x1 = x, x2 = y, x3 = z ) . Для тепловых нейтронов имеем: ( m) ( m) ∫ Σt ( E ) φ (r , E ) dE − ∫ ∫ Σ s ( E ′)Ws ( E′ → E) φ (r , E′) dE ′ dE = Σ a φ (r ) .

ΔEm

ΔEm ΔEm

Здесь учтено, что в силу принятых выше допущений при значениях

E ∈ Δ Em :

∫ W ( E → E′) dE′ = 1 , s

E′

Σ s ( E′) Ws ( E′ → E ) φ (r , E′) = Σ s ( E ) Ws ( E → E′) φ (r , E ) . 65

Для нейтронов групп k = 1, 2,…, m − 1 , теряющих энергию при столкновениях с ядрами среды:

∫

ΔE k

∫

Ek

Σ s ( E ) φ (r , E ) ∫ Ws ( E → E ′) dE ′ dE = Σ (dk → k ) φ ( k ) (r ) + Σ (dk )φ ( k ) ( r ) , 0

E0

k −1

(k →k ) (k ) ( j→k ) ( j) ∫ Σ s ( E′)φ (r , E′)Ws ( E′ → E ) dE′ dE = Σ d φ (r ) + ∑ Σ d φ (r ) , j =1

ΔE k E

где Σ (dk ) =

m

∑Σ

j =k +1

(k→ j) d

Σ (d j →k )φ ( j ) (r ) =

,

∫ Σ ( E′)φ (r , E ′) ∫ W ( E′ → E )dE dE′ , s

s

ΔE j

Σ

E

φ (r ) =

( k →k ) d

(3.31)

ΔEk

(k )

∫ Σ ( E )φ (r , E ) ∫ W ( E → E′)dE ′dE . s

s

ΔEk

Ek

Учитывая соотношения (3.29) – (3.31), придём к системе уравнений для потоков φ ( k ) (r ) (k = 1, 2,…, m) : k −1

χ (k )

j =1

K эф

− div J ( k ) (r ) − Σ (adk ) φ ( k ) (r ) + ∑ Σ (d j→k ) φ ( j ) (r ) +

3Σ

(k ) tr ,i

(J

(k )

) (

(r ) , ei = − grad φ

(k )

m

∑ν j =1

( j) f

Σ (f j ) φ ( j ) ( r ) = 0 ,

)

(r ) , ei , i = 1, 2, 3 ,

(3.32) (3.33)

в которой наряду с (3.31) приняты обозначения:

χ ( k ) = ∫ χ ( E ) dE ,

Σ (adk ) = Σ (ck ) + Σ (fk ) + Σ (dk ) ,

ΔEk

ν (f k ) Σ (fk )φ ( k ) (r ) = ∫ν f Σ f ( E )φ (r , E ) dE . Систему уравнений (3.32), (3.33) можно рассматривать как точный аналог исходных уравнений (1.18). Присутствующие в них средние сечения Σ (pk ) меняются с изменением координаты r (даже в пределах одной зоны реактора, где концентрации ядер постоянны), что создаёт определённые трудности при их решении. Основная же проблема состоит в том, что эти сечения являются

66

функционалами

внутригрупповых

распределений

φ (r , E ) , J (r , E ) ,

которые неизвестны. Можно было бы попытаться эти распределения приближённо получить, используя φ ( k ) (r ) , J ( k ) (r ) . Однако сделать это с хорошей значения точностью при сравнительно небольшом числе групп m не удаётся. Это касается, прежде всего, резонансной области, где микроскопические сечения сильно меняются в пределах малых интервалов энергии (шириной примерно 0,1 эВ). Сокращение же длин интервалов ΔEk приведёт к резкому увеличению числа групп m и, как следствие, времени расчёта. Поэтому поступают иначе. Вводится предположение о разделении пространственных и энергетических переменных у функций φ ( r , E ) , с помощью которых по формулам (3.29) – (3.30) находятся групповые сечения Σ (pk ) для какой-либо зоны реактора:

φ (r , E ) = f ( k ) ( E )ψ ( k ) (r ) , где Vi

f (k ) (E)

внутригрупповыми

f

(3.34)

– объём i -й зоны (например, активной зоны или

отражателя), (k )

E ∈ ΔEk , r ∈ Vi ,

–

известные

функции, (k )

g (E)

спектрами

связанные

с

равенствами

( E ) = υ ( E ) g ( E ) . Они выбираются с учётом особенностей (k )

взаимодействия нейтронов с ядрами среды в соответствующих энергетических интервалах (более подробно об этом сказано ниже). Отметим, что при выполнении предположения (3.34):

J (r , E ) = − D( E ) f ( k ) ( E ) gradψ ( k ) (r ) ,

E ∈ Δ Ek , r ∈ Vi .

Таким образом, переменные разделяются у тока нейтронов J ( r , E )

(

)

и проекции J i (r , E ) = J (r , E ) , ei имеют одну и ту же зависимость от энергии. В результате сечения, определяемые равенствами (3.29) и (3.30), не будут зависеть от r в пределах объёма Vi . Более того, транспортные сечения Σtr( k,)i вдоль разных осей xi совпадут с одним и тем же значением Σ tr( k ) . Поэтому соотношения (3.30) принимают вид:

67

Σtr( k,)i = Σ (trk ) =

∫Σ

tr

( E ) D( E ) f ( k ) ( E ) dE

ΔEk

(k ) ∫ D( E ) f ( E ) dE

i = 1, 2, 3 ,

,

(3.35)

ΔEk

а уравнения (3.33) удаётся записать в форме

J ( k ) (r ) = − D ( k ) grad φ ( k ) (r ) ,

(3.36)

( k ) −1 tr

где D = (3Σ ) – коэффициент диффузии k-й группы. Используя предположение (3.34), соотношения (3.29) – (3.31), (3.35) можно привести к виду: Σ (pk ) = σ (pk,l) ρl , ( p = c, f , s, tr ) , Σ (d j→k ) = σ d( ,jl→k ) ρ l , (3.37) (k )

∑

∑

l

l

если считать, что ρl – концентрация ядер сорта l в какой-либо зоне реактора, а многогрупповые микроскопические сечения в той же зоне определяются равенствами:

∫σ

σ tr( k,l) = ΔE

∫σ

σ (pk,l) = ΔE

tr , l

( E ) D( E ) f ( k ) ( E ) dE

k

(k ) ∫ D( E ) f ( E ) dE

,

ΔE k

p ,l

( E ) f ( k ) ( E ) dE

k

∫

f ( k ) ( E ) dE

, ( p = c, f ) ,

(3.38)

ΔE k

σ d( ,jl→ k ) =

∫ ∫σ

s ,l

( E′) Ws ,l ( E′ → E ) f ( j ) ( E′) dE′ dE

ΔE j ΔE k

∫f

( j)

( E′) dE′

.

ΔE j

Здесь учтено, что D ( E ) = (3 Σ tr ( E ) ) . −1

Пусть теперь распределение нейтронов находится в Р1 приближении и в качестве исходных выбраны уравнения (6) и (15). Все преобразования, касающиеся уравнения (6), полностью совпадут с теми, которые привели к равенствам (3.32). Интегрирование же уравнения (15) по интервалу Δ Ek даёт

68

grad φ ( k ) (r ) + 3

∫ Σ (E ) J (r , E ) dE = 3 ∫ ∫ Σ (E′)W t

s ,1

s

( E′ → E ) J (r , E′) dE′ .

ΔE k E ′

ΔE k

(3.39) Запишем это равенство в проекциях на координатные оси и введём в рассмотрение средние сечения Σ (d ji→ k ) , Σ (t ik ) так, чтобы:

Σ d( ji→k ) J i( j ) (r ) =

∫ ∫ Σ ( E ′) W s

s ,1

( E ′ → E ) J i ( r , E ′) dE ′ dE , i = 1,2,3 ,

ΔE k ΔE j

Σ t( ik ) J i( k ) (r ) =

∫ Σt ( E ) J i (r , E ) dE −

ΔE k

E k −1

∫ ∫ Σ ( E′)W s

ΔE k

s ,1

( E ′ → E ) J i (r , E ′) dE ′ dE .

E

(3.40) Раньше (в диффузионном приближении) было установлено, что переменные у тока нейтронов J ( r , E ) разделяются, когда выполняется предположение (3.34). На основе уравнения (3.39) не удаётся прийти к такому утверждению [1] . Если же считать, что энергетические зависимости компонент J i (r , E ) тока J ( r , E ) описываются разными функциями, то равенства (3.40) дадут несовпадающие вдоль разных направлений ei сечения. Однако такое усложнение представляется мало оправданным, поскольку, во-первых, Р1 - приближение не даёт точного решения для потока нейтронов φ ( r , E , Ω) и, во-вторых, существует некоторая неопределённость в выборе внутригрупповых спектров. Поэтому в Р1 - приближении наряду с допущением (3.34) предполагается, что компоненты J i (r , E ) имеют общую зависимость от энергии E. Например,

если

при

получении

сечений

Σ(d ji→ k ) , Σ(t ik )

пренебречь анизотропией рассеяния, то можно принять:

J (r , E ) = − D ( E ) grad φ (r , E ) = − D( E ) f ( k ) ( E ) gradψ ( k ) (r ) , (для E ∈ ΔEk , r ∈ Vi ), где коэффициент диффузии D ( E ) определяется равенством (3.39). Тогда

Σ (d ji→k ) = Σ (d 1j→k ) ,

Σ t(ik ) = Σt(1k ) ,

а уравнение (3.40) преобразуется к виду:

69

i = 1, 2, 3 ,

k −1

grad φ ( k ) (r ) + 3Σt(1k ) J ( k ) (r ) = 3∑ Σ (d 1j → k ) J ( j ) (r ) .

(3.41)

j =1

Входящие в эти уравнения сечения Σ (d 1j → k ) , Σ t(1k ) рассчитываются по формулам вида (3.37), если в качестве соответствующих микроскопических сечений σ d( 1j,→l k ) , σ t(1k,l) принять:

σ d( 1j,→l k ) =

∫ ∫σ

es , l

( E′)Ws1, l ( E ′ → E ) D( E ′) f ( j ) ( E ′) dE′ dE

ΔE k ΔE j

,

( j) ∫ D( E′) f ( E′)dE′

ΔE j

(3.42)

σ

(k ) t1, l

=

∫σ

t ,l

( E ) D( E ) f ( k ) ( E )dE −

ΔE k

E k −1

∫ ∫σ

ΔE k

es , l

( E ′)Ws1,l ( E ′ → E ) D ( E ′) f ( k ) ( E ′)dE ′ dE

E

.

(k ) ∫ D( E ) f ( E )dE

ΔE k

Уравнения (3.32), (3.36) будем называть многогрупповыми уравнениями диффузионного приближения, а (3.32), (3.41) – многогрупповыми уравнениями P1 -приближения. Из условий (В.12) следует, что их решение следует искать среди функций: φ ( k ) (r ) ∈ Ω k , k = 1,2,…, m . (3.43) Здесь

каждое

множество

Ωk

образуют

(

функции

)

φ ( k ) (r ) ,

непрерывные вместе с произведением J ( k ) ( r ), n при всех значениях r ∈ V и обращающиеся в нуль на экстраполированной границе реактора: φ ( k ) ( rэ ) = 0 . Для примера получим двухгрупповых уравнений при тех допущениях, которые были перечислены в разделе 3.1. Будем считать, что замедляющиеся нейтроны с энергиями Ec ≤ E ≤ E0 образуют первую группу ( E0

– порог деления сырьевого

материала), а тепловые нейтроны с энергиями 0 ≤ E ≤ Ec – вторую группу. Энергетическое распределение замедляющихся нейтронов описывается функцией φ ( r , u ) , зависящей от летаргии u и удовлетворяющей уравнению (3.5). Для тепловых нейтронов

70

выполняется принцип детального равновесия, а их распределение описывается функцией φ ( r , E ) , зависящей от энергии E . Интегрируя уравнения (3.5) по летаргии u от 0 до uc = ln

E0 , Ec

получим: uc

uc

0

0

div ∫ J (r , u ) du − ∫ Σ a (u ) φ (r , u ) du + j (r ,0) − j (r , uc ) = 0 . (3.44) E ∈ [0 , Ec ]

Интегрирование уравнения (1.18) по переменной приводит к соотношению (3.13). При этом: j (r ,0) = j (r , E0 ) , j (r , uc ) = j (r , Ec ) ,

плотность замедления j (r , E0 ) определяется выражением (3.3), а

j (r , Ec ) – выражением (3.12). Проводя далее преобразования, аналогичные описанным выше, придём к уравнениям:

(

μ

)

div D (1) grad φ (1) (r ) − Σ (ad1) φ (1) (r ) +

(

div D

)

grad φ (r ) − Σ φ (r ) + Σ

(2)

( 2)

( 2) a

( 2)

К эф

(3.45)

φ (r ) = 0 ,

(1→ 2 ) d

где Q(r ) = ν (f1) Σ (f1) φ (1) (r ) + ν (f 2 ) Σ (f2 ) φ ( 2 ) (r ) ,

Σ (ad1) = Σ (a1) + Σ (d1) , Σ (d1→2) = ϕ Σ (d1) ,

Q (r ) = 0 , (1)

(

D ( k ) = 3 Σ(trk )

)

−1

(k = 1,2) .

Макроскопические сечения определяются равенствами (3.29), (3.31), (3.35) и принимают вид: Σtr( k ) =

∫Σ

ΔE k

tr

∫Σ

( E ) D ( E ) f ( k ) ( E ) dE ,

(k ) ∫ D( E ) f ( E )dE

Σ (pk ) =

ΔE k

ν (f k )Σ (fk ) =

ΔE k

f

Σ f (E) f

∫

( E ) f ( k ) ( E ) dE

∫

f ( k ) ( E ) dE

∑ ∫Σ

( E ) f (1) ( E )

ΔE k

∫ν

p

( E ) dE

f ( k ) ( E ) dE

p = c, f ,

ΔE k ~ El

(k )

,

,

Σ(d1→ 2 ) =

Ec

Ec − ε l E dE E (1 − ε l ) .

E0

∫f

ΔE k

В качестве распределений примем

l

s ,l

(1)

( E ) dE

Ec

f (1) ( E ) , f ( 2) ( E ) в этих формулах 71

f (1) ( E ) =

j0 ( Ec ) , ξ Σs (E) E

f ( 2) ( E ) = υ ( E ) M ( E , Tн ) .

Такой выбор внутригрупповых распределений предопределён тем, что в области E > Ec отсутствует резонансное поглощение нейтронов, а вторую группу образуют лишь тепловые нейтроны. В результате получим:

D

Σ

=

(1)

(1) a

=

ξ Σs uc

ξ Σs uc

uc

D(u )

ξ Σs τ c

s

uc

∫ ξ Σ (u) du = 0

ξ Σs Σ a (u ) (1) (1) Σ = du ν , f f ∫0 ξ Σ s (u ) uc

uc

D ( 2 ) = DT ,

Σ (a2 ) = Σ a ,T ,

где константы DT , Σ a ,T , ν f Σ f ,T (3.12),

ξ Σs

,

а среднее значение определяется из равенства:

Σ (d1) =

ξ Σs

, (3.46)

uc

ν f Σ f (u ) ∫0 ξ Σ s (u ) du ,

uc

ν (f 2) Σ (f2 ) = ν f Σ f ,T , рассчитываются по формулам замедляющей

способности

u

c uc du . =∫ ξ Σs ξ Σ s (u ) 0

(3.47)

В дальнейшем уравнения (3.45) с константами, получаемыми по формулам (3.46) и (3.47), будем называть двухгрупповыми уравнениями диффузионно-возрастного приближения. 3.3. Подготовка групповых микроскопических сечений

Точность многогруппового метода расчёта потоков φ ( k ) (r ) зависит от того, насколько хорошо известны зависимости сечений реакций σ p , l ( E ) и спектров нейтронов g ( k ) ( E ) от энергии. Значения σ p , l ( E ) , Ws ,l ( E ′ → E ) и Ws1,l ( E ′ → E ) восстанавливают на основе экспериментально полученных данных и рассчитанных с использованием различных теоретических моделей взаимодействия нейтронов с ядрами. В дальнейшем остановимся лишь на

72

особенностях подготовки групповых сечений σ (pk, l) , связанных с выбором спектров g ( k ) ( E ) . При этом ограничимся рассмотрением тех сечений, которые присутствуют в уравнениях (3.32), (3.36) многогруппового диффузионного приближения. Серьёзных проблем с получением спектров g ( k ) ( E ) не возникает, когда выбрано настолько большое число групп m , что в пределах каждого энергетического интервала Δ Ek микроскопические сечения σ p , l ( E ) не претерпевают больших изменений с энергией E . Тогда в первом приближении можно принять: σ (pk,l) = σ p ,l ( E k −1 / 2 ) , ( p = c, s, f , t ), σ d( ,jl→k ) = σ s ,l ( E j −1 / 2 ) Ws ,l ( E j −1 / 2 → Ek −1 / 2 ) ,

где Ek −1 / 2 =

1 ( Ek −1 + Ek ) , k = 1, 2,…, m . 2

Рассчитав с такими групповыми сечениями распределения φ ( k ) (r ) , можно при необходимости уточнить значения σ (pk, l) по формулам (3.38), получив предварительно внутригрупповые потоки f ( k ) ( E ) с помощью известных интерполяционных алгоритмов и средних по объёму Vi рассматриваемой зоны значений φi ( k ) =

1 φ ( k ) (r ) dV . ∫ Vi Vi

Обычно расчётные исследования реакторов проводятся при сравнительно небольшом числе энергетических групп. Например, распределения нейтронов в реакторах типа ВВЭР рассчитываются в 4-групповом приближении, а в быстрых реакторах – в 26групповом приближении. В этом случае внутригрупповые спектры g ( k ) ( E ) (или потоки f ( k ) ( E ) ) получают, решая вспомогательные задачи о распределении нейтронов в бесконечных средах со свойствами той зоны, для которой необходимо знать групповые сечения σ (pk, l) . Рассмотрим один из таких подходов, впервые предложенный для расчётов быстрых реакторов [11] .

73

Выделим четыре энергетических интервала: 0 ≤ E ≤ Ec – для тепловых нейтронов, Ec ≤ E ≤ Ein – для нейтронов, замедляющихся в условиях сильного резонансного поглощения, Ein ≤ E ≤ E f – для нейтронов, замедляющихся при наличии неупругого рассеяния и E f ≤ E ≤ Emax – для быстрых нейтронов, вызывающих деления ядер сырьевого материала. Пусть номера групп, попадающих в указанные интервалы, образуют множества I m , I r , I in , I f соответственно. Учитывая изменения σ p , l ( E ) с энергией и особенности формирования спектра нейтронов в реакторах, примем следующие зависимости g ( k ) ( E ) (совпадающие в соответствующих энергетических интервалах с известными спектрами нейтронов): при 0 ≤ E ≤ Ec и k ∈ I m :

g ( k ) ( E ) = Am

⎛ E ⎞ E 1 ⎟⎟ – exp ⎜⎜ − ET ET ⎝ ET ⎠

спектр Максвелла ( ET – энергия, соответствующая эффективной температуре нейтронов); при Ec ≤ E ≤ Ein и k ∈ I r : g ( k ) ( E ) = Ar

1 1 – спектр E ξ Σt ( E ) E

Вигнера, где Σ t ( E ) = Σ sp + Σ r ( E ) , Σ r ( E ) – сечение в резонансе, а Σ sp – сумма сечения рассеяния на лёгких ядрах и сечения потенциального рассеяния на тяжёлых ядрах топлива; при

Ein ≤ E ≤ E f и

k ∈ I in :

g ( k ) ( E ) = Ain

1 1 – E ξ Σ sp E

спектр Ферми; при E f ≤ E ≤ Emax и k ∈ I f : g ( k ) ( E ) = A f exp(− E ) sh 2 E – спектр нейтронов деления (энергия E берётся в Мэв). Здесь Am , Ar , Ain , A f – постоянные множители, а Ec , Ein , E f – условные граничные значения для энергий тепловых нейтронов, неупругого рассеяния и порога деления ядер сырьевого материала. Предложенные выше зависимости g ( k ) ( E ) дают лишь приближённое представление о распределениях нейтронов по

74

энергиям. Поэтому полученные на их основе микроскопические сечения σ (pk, l) приходится корректировать в процессе многогруппового расчёта. В первую очередь, это относится к сечениям радиационного захвата σ c(,kl) и деления σ (f k,l) тяжёлых ядер топлива, а также к сечениям увода нейтронов σ d( k, l→k +1) , полученных при сравнительно низких энергиях. Корректировка сечений σ c(,kl) и σ (f k,l) (а также σ tr( k, l) ) связана с необходимостью учёта блокировки резонансов в условиях сильного резонансного поглощения, а сечений σ d( k, l→k +1) – с уточнением зависимостей

g ( k ) ( E ) , когда ширина энергетических групп меньше ступеньки замедления. Остановимся вкратце, как это можно сделать, считая, что в реакторе отсутствуют лёгкие замедлители, и при оценке σ tr( k, l) по формулам вида (3.38) можно принять, что коэффициент

диффузии D( E ) = (3 Σtr ( E ) ) . Для учёта влияния эффекта блокировки резонансов на сечения воспользуемся методом факторов резонансной самоэкранировки. В этом методе предполагается, что резонансы в сечениях разных элементов не перекрываются. Тогда, пронумеровав все резонансы, оказавшиеся внутри интервала Δ Ek , в порядке возрастания −1

энергии E (r = 1, 2,…) и введя в рассмотрение для каждого элемента l сечение разбавления

σ 0, l =

1

ρl

∑σ j ≠l

t, j

(E) ρ j ,

(3.48)

можно считать, что оно не будет зависеть от энергии E при E ∈ Δ Ek(r ) , если резонансы являются узкими и далеко отстоящими друг от друга (рис.3.1).

75

Рис.3.1. Расположение резонансов у сечения элементов

(l = 1,2)

в группе

двух

k:

ΔEk( r ) = Ek( r +1 / 2 ) − Ek( r −1 / 2 ) , Ek( r −1 / 2 ) =

Er

σ t ,l ( E )

Ek( r ) + Ek( r −1 / 2 ) , 2

– энергия, соответствующая максимальному

сечения

σ t ,l

в окрестности r-го резонанса

Заменяя в спектре Вигнера полное макроскопическое сечение Σt (E ) суммой Σt ( E ) = ρl σ t(l ) ( E ) + σ 0, l , преобразуем формулы

(

)

(3.38) к виду:

σ (pk,l) ∑ r

1 dE 1 dE , = ∑ ∫ σ p ,l ( E ) E σ ( E ) + σ E ( r ) σ t ,l ( E ) + σ 0 ,l (r) r t l l , 0 , ΔE ΔE

∫ k

k

p = c, f , s ; σ tr( k, l)

∑ ∫ (σ r ΔE ( r ) k

1 2 t ,l ( E ) + σ 0, l )

(3.49) 1 dE dE . = ∑ ∫ σ tr , l ( E ) 2 E (σ t ,l ( E ) + σ 0,l ) E r ΔE ( r ) k

Эти равенства при значениях σ t , l k1 ≥ k 2 ≥ … , то: выполнялись неравенства

К эф = k0 , φ ( k ) (r ) = Cψ 0( k ) (r ) , где C – постоянный множитель. В общем случае для определения К эф используется метод итераций источников и различные численные алгоритмы нахождения потока нейтронов. Однако для некоторых простых моделей реактора удаётся получить аналитические решения. Они дают представление о спектре нейтронов в различных реакторах, пространственных распределениях замедляющихся и тепловых нейтронов, позволяют оценить критический размер реактора. Остановимся вначале на одной из простых моделей. Рассмотрим реактор, состоящий из одной активной зоны (реактор без отражателя), и будем считать, что при значениях r = rэ находится одинаковая для всех групп нейтронов экстраполированная граница. В этом случае решения уравнений (3.53) можно искать методом разделения переменных: ψ n( k ) (r ) = I n( k )ψ n (r ) , k = 1, 2,… , m , (3.54) где I n(k ) – независящие от переменных r амплитуды. Заменяя в уравнениях (3.53) функции ψ n( k ) (r ) произведениями (3.54), получим (как и в односкоростном приближении), что константа разделения метода совпадает с собственными числами α 02 < α12 < α 22 < … задачи (1.7), наибольшему собственному числу

k0

соответствует

α 02

(называемое

также

геометрическим

параметром реактора), а асимптотические потоки φ ( k ) (r ) равны:

φ ( k ) (r ) = C I 0( k )ψ 0 (r ) , k = 1,2,…, m . 80

(3.55)

В этом выражении ψ 0 (r ) – собственная функция задачи (1.7), соответствующая числу α 02

Δψ 0 (r ) + α 02ψ 0 (r ) = 0 ,

ψ 0 (rэ ) = 0 ,

(3.56)

а амплитуды I 0( k ) – решения уравнений: k −1

χ (k )

j =1

К эф

− α 02 D ( k ) I 0( k ) − Σ (adk ) I 0( k ) + ∑ Σ (d j→k ) I 0( j ) +

m

∑ν l =1

(l ) f

Σ (fl ) I 0(l ) = 0 ,

k = 1, 2, … , m . (3.57) Поскольку равенства (3.57) образуют систему линейных однородных уравнений, то значения I 0( k ) могут быть определены лишь с точностью до постоянного множителя. Удобно его выбрать так, чтобы:

1 m (l ) (l ) (l ) ∑ν f Σ f I 0 = 1. К эф l =1

(3.58)

k −1

Тогда

I 0( k ) =

χ ( k ) + ∑ Σ (d j→k ) I 0( j ) j =1 (k )

α D 2 0

+ Σ (adk )

k = 1,2,…, m ,

,

(3.59)

что позволяет без итераций рассчитать I 0( k ) последовательно, начиная с I 0(1) . После этого нетрудно с помощью равенства (3.58) найти К эф . Если окажется, что значение К эф ≠ 1 , то необходимо изменить свойства реактора, пересчитать амплитуды I 0( k ) и вновь проверить выполнение условия (3.58). Значения I 0( k ) дают представление о спектре нейтронов

f ( k ) (k = 1,2,…, m) в реакторе. Подразумевая под величиной f ( k ) (r ) отношение f ( k ) (r ) =

φ ( k ) (r ) m

∑φ

(k )

, получим, что в реакторе

(r )

k =1

без отражателя спектр нейтронов не зависит от пространственных координат r .

81

3.5. Двухгрупповой метод для многозонного реактора

В случае многозонного реактора аналитическое решение задачи о критичности существует лишь в одномерной геометрии. Хотя оно может быть получено при произвольном числе энергетических групп, в дальнейшем ограничимся 2-групповым приближением и реактором на тепловых нейтронах. Будем считать (как и в разделе 3.1), что все замедляющиеся (быстрые) нейтроны включены в 1-ю группу, тепловые – во 2-ю группу, а асимптотические распределения потоков φ (1) (r ) , φ ( 2 ) (r ) находятся, решая уравнения (3.45) и рассчитывая макроскопические сечения по формулам (3.46), (3.47). Введем в рассмотрение оператор Lˆ λ = Δ − λ , где λ – константа, а Δ – оператор Лапласа, определенный на множестве функций Ω Δ , непрерывных вместе с частными производными 2-го порядка. (С – Действие такого оператора на функцию Сψ (r ) произвольный множитель, не зависящий от переменных r ) заключается в следующем: Lλ (Cψ ) = C Δψ (r ) − λ Cψ (r ) . (3.60) Тогда уравнения (3.45) для любой зоны реактора с постоянными свойствами можно записать в виде (индекс зоны пока опускаем):

~ 1 ⎞ (1) K ∞ Σ (a2) ( 2) ⎛ φ (r ) , ⎜ Δ − ⎟ φ (r ) = − τ⎠ ϕ D (1) ⎝ 1 ⎞ ( 2) ϕ Σ (d1) (1) ⎛ Δ − φ ( r ) φ (r ) , = − ⎜ ⎟ L2 ⎠ D(2) ⎝

где

τ τ= c , 1+ ε

K ~ K∞ = ∞ , K эф

(3.61) (3.62)

ν (f1) Σ (f1) ⎞ uc ⎛⎜ (1) ⎟. Σa − μ ε= 〈ξΣ s 〉 ⎜⎝ К эф ⎟⎠

В

дальнейшем считаем, что квадрат длины диффузии тепловых нейтронов L2 ≠ τ . Подействуем на обе части уравнения (3.61) оператором

1⎞ ⎛ ⎜ Δ − 2 ⎟ . Учитывая равенство (3.62) , получим: L ⎠ ⎝

82

~ K ∞ − 1 − ε (1) ⎛ 1 1 ⎞ (1) Δ (Δφ (r )) − ⎜ + 2 ⎟ Δφ (r ) − φ (r ) = 0 . (3.63) L2 τ c ⎝τ L ⎠ К такому же виду приводится уравнение для функции φ ( 2 ) (r ) , (1)

если на обе части равенства (3.62) подействовать оператором

1⎞ ⎛ (1) ⎜ Δ − ⎟ . Это говорит о том, что общие решения для φ (r ) и τ⎠ ⎝ (2) φ (r ) строятся на базе одних и тех же частных решений. В качестве таких решений можно взять функции ψ (r ) ∈ Ω Δ , не равные тождественно нулю и удовлетворяющие равенству: Δψ (r ) + ωψ (r ) = 0 , (3.64) где параметр ω выбирается таким, чтобы уравнение (3.63) обращалось в тождество. Полагая φ (1) (r ) = Cψ (r ) и учитывая (3.64), установим, что значения ω должны совпадать с корнями квадратного уравнения:

~ K∞ −1 − ε ⎛ 1 1⎞ + − = 0. ω ⎟ 2 L2τ c ⎝L τ ⎠

ω2 + ⎜ Дискриминант

этого

уравнения

(3.65)

~ 1 2 4K ∞ δ = ( − 2 ) + 2 > 0. τ L L τc 1

Поэтому корни ω = ω1 , ω = ω 2 являются действительными, различными и определяются равенствами:

~ 1 ⎛ 1 1⎞⎡ 4 ( К ∞ − 1 − ε ) τ L2 ⎤ ω1 = ⎜ 2 + ⎟ ⎢− 1 + 1 + ⎥, (1 + ε ) (τ + L2 ) 2 ⎥ 2⎝ L τ ⎠⎢ ⎣ ⎦ ~ 2 ⎤ ⎡ 1⎛ 1 1⎞ 4 ( К ∞ − 1 − ε )τ L ω2 = − ⎜ 2 + ⎟ ⎢1 + 1 + ⎥. 2⎝ L τ ⎠ ⎢ (1 + ε ) (τ + L2 ) 2 ⎥ ⎣ ⎦

(3.66)

~

Зависимости ω1 и ω 2 от размножающих свойств зоны ( K ∞ ) приведены на рис.3.2 (для случая, когда L2 < τ ). Видно, что

~

ω1 < 0 при K ∞ < 1 + ε , ~ ω 2 < 0 при K ∞ ≥ 0 .

~

ω1 ≥ 0 при K ∞ ≥ 1 + ε ,

83

Рис.3.2. Зависимости корней уравнения (3.65) от величины коэффициента

~ К∞ .

Таким образом, функции ψ 1 (r ) , ψ 2 (r ) , удовлетворяющие уравнениям Δψ 1 (r ) + ω1ψ 1 (r ) = 0 , Δψ 2 (r ) + ω2ψ 2 (r ) = 0 , (3.67) являются частными решениями бигармонического уравнения (3.65). Поэтому общие решения для потоков φ (1) (r ) , φ ( 2 ) (r ) записываются в виде:

φ (1) (r ) = A1(1)ψ 1 (r ) + A2(1)ψ 2 (r ) , φ ( 2) (r ) = A1( 2)ψ 1 (r ) + A2( 2 )ψ 2 (r ) ,

(3.68)

где А1(1) , А2( 2 ) , А2(1) , А1( 2 ) – постоянные множители, из которых два множителя (например А1(1) и А2( 2 ) ) могут принимать любые значения, а остальные зависят от них. Действительно, подставляя в уравнение (3.62) сначала φ (1) = А1(1)ψ 1 (r ) , φ ( 2) = А1( 2 )ψ 1 (r ) , а затем φ (1) = А2(1)ψ 2 (r ) ,

φ ( 2) = А2( 2)ψ 2 (r ) получим тождество, когда 84

A1( 2) = p A1(1) , A2(1) = ~ p A2( 2) ,

ϕ Σ (d1) , p = (2) Σ a (1 + ω1L2 )

(1 + ω2 L2 )Σ (a2) ~ . p= ϕ Σ (d1)

(3.68)

Очевидно, в обоих случаях выполняется также равенство (3.61), так как ω1 , ω 2 – корни уравнения (3.65). Теперь можно приступить к получению условия критичности и асимптотических распределений нейтронов. Эта часть условнокритической задачи решается так же, как в односкоростном приближении. Однако выражения для потоков φ (1) (r ) и φ ( 2 ) (r ) (зависящих в любой одномерной геометрии от одной переменной r ) должны быть записаны, учитывая соотношения (3.69) и вид частных решений уравнений (3.67). Соответствующие функции приведены в табл.1.1. Предположим, что любую зону с номером i = 1, 2, ... можно

~

считать либо активной зоной с K ∞( i ) > 1 + ε i , либо отражателем с

~ K ∞( i ) = 0 .

Разобьем

подмножества

Ip

множество и

I

номеров

зон

на

два

I 0 , включив в I p номера активных

(размножающих) зон, а в I 0 – номера неразмножающих зон (отражателей). Введем для корней ω1 , ω 2 в i -й зоне обозначения:

ω1 = β i2 , ω 2 = −γ i2 , если i ∈ I p ; 1 1 ω1 = −υ i2 = − , ω 2 = −ϑi2 = − 2 , если i ∈ I 0 , τi Li а для частных решений уравнений (3.67) в той же зоне – обозначения:

~ f ( β i r ) , g ( β i r ) и f (γ i r ) , g~ (γ i r ) , если i ∈ I p ~ ~ f (υ i r ) , g~ (υ i r ) и f (ϑi r ) , g~ (ϑi r ) , если i ∈ I 0 .

Тогда потоки быстрых φ (1) (r ) и тепловых φ ( 2 ) (r ) нейтронов в

i -й зоне (толщиной ΔRi = Ri − Ri −1 ) принимают вид:

85

если i ∈ I p , то для r ∈ ΔRi :

[

]

~ φi(1) (r ) = ai f ( β i r ) + bi g ( β i r ) + ~pi ci f (γ i r ) + d i g~ (γ i r ) ,

~ φi( 2 ) (r ) = pi [ai f ( β i r ) + bi g ( β i r )] + ci f (γ i r ) + d i g~ (γ i r ) ; если i ∈ I 0 , то для r ∈ ΔRi : (3.70) ~ (1) ~ φi (r ) = ai f (υi r ) + bi g (υi r ) , ~ ~ φi( 2) (r ) = pi ai f (υi r ) + bi g~ (υi r ) + ci f (ϑi r ) + d i g~ (ϑi r ) , где a i , bi , ci , d i – произвольные множители, независящие от переменной r , p i , ~ pi – коэффициенты связи (3.69), рассчитываемые по свойствам i -й зоны. Значения неизвестных a i , bi , ci , d i получим, используя

[

]

граничные условия, а также условия непрерывности потоков

φ ( к ) (r ) и проекций токов D ( k )

dφ ( k ) (k = 1,2) на границах зон. В dr

результате придем к системе линейных (относительно перечисленных выше неизвестных) однородных уравнений с определителем Д (и ) , зависящим от параметров u реактора. Из равенства Д (и ) = 0 получим критические значения и = и 0 параметров, а затем (как и в односкоростном приближении) определим для всех зон множители a i , bi , ci , d i , предварительно приняв один из них равным единице. После этого по формулам (3.70) рассчитаем асимптотические распределения потоков φ (1) (r ) ,

φ ( 2 ) (r ) . При этом возникают те же проблемы, которые обсуждались в разделе 2.2. 3.6. Распределения нейтронов в реакторе с отражателем

Воспользуемся полученными выше соотношениями для определения критического размера сферически симметричного реактора. Рассмотрим сначала случай, когда имеется одна активная зона, а при r = Rэ располагается экстраполированная граница.

86

Тогда потоки нейтронов в активной зоне φ1 (r ) , φ1 удовлетворять условиям: (1)

⎡ 2 dφ ( k ) ⎤ (k ) ⎢r dr ⎥ = 0 , φ1 ( Rэ ) = 0 , ⎣ ⎦ r =0 (k ) 0 ≤ φ1 (r ) < ∞ при 0 ≤ r ≤ Rэ ,

к = 1,2 ,

( 2)

(r ) должны (3.71)

а частными решениями уравнений (3.67) являются следующие функции:

sin( β 1 r ) cos( β 1 r ) , g (β1r ) = , β1 r β1 r sh(γ 1 r ) ~ ch(γ 1 r ) ~ f (γ 1 r ) = , g (γ 1 r ) = , γ 1r γ 1r f ( β1r ) =

1⎛ 1

1 ⎞⎡

(3.72)

4( К − 1 − ε ) τ L2 ⎤

1 1 ∞ где β12 = ⎜⎜ 2 + ⎟⎟ ⎢− 1 + 1 + ⎥, 2 ⎝ L1 τ 1 ⎠ ⎢⎣ (1 + ε ) ( L12 + τ 1 ) 2 ⎥⎦

1⎛ 1 1 ⎞⎡ 4 ( К ∞ − 1 − ε )τ 1 L12 γ 12 = ⎜⎜ 2 + ⎟⎟ ⎢ 1 + 1 + 2 ⎝ L1 τ 1 ⎠ ⎢⎣ (1 + ε ) ( L12 + τ 1 )

⎤ ⎥. ⎥⎦

(3.73)

Однако не все функции (3.72) войдут в выражения (3.70) для потоков φ1 (r ) , φ1 (1)

( 2)

(r ) . Необходимо учитывать, что любая sin( β1r ) cos( β1r ) функция вида ψ (r ) = a1 + b1 или β1r β1r sh(γ 1r ) ch(γ 1r ) ψ (r ) = c1 + d1 , являющаяся решением уравнения γ 1r γ 1r

(3.64), должна удовлетворять равенствам (3.71). Нетрудно установить, что первое из них (при r = 0 ) будет выполнено, если b1 = 0 и d1 = 0 , а второе (при r = Rэ ) – если с1 = 0 и

sin( β1Rэ ) = 0 . В результате для определения критического радиуса получим соотношение:

β1Rэ = π .

(3.74) Таким образом, асимптотические распределения потоков имеют вид:

87

φ1(1) (r ) = a1

sin( β 1 r ) , β1r

φ1( 2) (r ) = a1 p1

sin( β1 r ) . β1r

(3.75)

Это согласуется с представление многогрупповых потоков в форме (3.55) и приводит к тому, что:

ϕ1Σ (d1,)1 φ1( 2) (r ) = = . p 1 φ1(1) (r ) Σ (a2,1) (1 + β 12 L12 )

(3.76)

Поскольку обычно в активной зоне теплового реактора из-за сильного поглощения тепловых нейтронов топливом Σ (a2,1) > Σ (d1,)1 ,

ϕ1 < 1 , то значение p1 < 1 , и следовательно, в реакторе без отражателя при всех 0 ≤ r ≤ Rэ поток тепловых нейтронов меньше потока быстрых нейтронов. Чтобы выяснить влияние отражателя на распределение нейтронов, рассмотрим реактор, состоящий из активной зоны радиуса R , окруженной бесконечным отражателем. В таком реакторе должны выполняться условия:

⎡ 2 dφ1( k ) ⎤ (k ) (k ) ⎢r ⎥ = 0 , 0 ≤ φ1 < ∞ , 0 ≤ φ 2 (r ) < ∞ , dr ⎦ r = 0 ⎣

φ ( R) = φ ( R), (k ) 1

(k ) 2

(k ) 1

D

dφ1( k ) dr

=D

(k ) 2

r =R

dφ2( k ) dr

, r =R (2)

а при построении зависимостей φ (1) (r ) , φ (r ) функциями (3.72) могут рассматриваться (при R ≤ r ):

(3.77) (3.78) наряду с

~ 1 1 f (υ 2 r ) = exp (−υ 2 r ) , g~ (υ 2 r ) = exp (υ 2 r ) , υ2 r υ2r ~ 1 1 f (ϑ2 r ) = exp(−ϑ2 r ) , g~ (ϑ2 r ) = exp(ϑ2 r ) , ϑ2 r ϑ2 r 1 1 , ϑ2 = . Здесь учтено, что в неограниченно где υ 2 = L2 τ2 протяженных зонах без размножения вместо гиперболических sh(αr ) , ch(αr ) следует брать экспоненты функций exp(−αr ) , exp(αr ) .

88

Так же, как в реакторе без отражателя, для выполнения условия (3.77) при r = 0 необходимо в выражениях (3.70) для потоков в активной зоне принять b1 = 0 , d 1= 0 . Из условий ограниченности решений на бесконечности следует, что в отражателе b 2 = 0 ,

d 2 = 0 . Поэтому имеем: sin( β1 r ) ~ sh(γ 1 r ) φ1(1) (r ) = a1 + p1c1 , 0≤ r ≤ R, β1r γ 1r sh(γ 1 r ) sin( β1 r ) φ1( 2 ) (r ) = p1 a1 + c1 , 0≤ r ≤ R, (3.79) β1r γ 1r 1 φ2(1) (r ) = a2 exp(−υ 2 r ) , R ≤ r > 1 . Тогда, вводя в рассмотрение эффективную π – критический радиус реактора добавку δ = Rэ − R (где Rэ = β1 89

без отражателя), условие критичности принимает вид:

β1δ = arctg ( β1 L2 ) + arctg ( β1 τ ) − arctg

β1 , γ1

(3.81)

откуда нетрудно оценить критический радиус R реактора с отражателем. Выражения (3.79) для потоков нейтронов (в случае, когда (1) D1 = D2(1) ) могут быть преобразованы к виду:

⎡ sin( β 1 r ) sh(γ 1 r ) ⎤ − η1 , γ 1r ⎥⎦ ⎣ β1 r

φ1(1) (r ) = a1 ⎢

⎡ sin( β 1r ) η sh(γ 1r ) ⎤ − 1~ ⎥ , p1 p1 γ 1 r ⎦ ⎣ β1r ⎛ r−R⎞ R ⎟ , φ2(1) (r ) = φ1(1) ( R) exp⎜ − ⎟ ⎜ r τ 2 ⎠ ⎝

φ1( 2 ) (r ) = a1 p1 ⎢

φ2( 2 ) (r ) = p2 φ1(1) ( R) где

η1 =

R r

(3.82)

⎡ ⎛ r − R ⎞ ⎛ φ ( 2 ) ( R) ⎞ ⎛ r − R ⎞⎤ , ⎟+⎜ 1 ⎟ ⎜⎜ − ⎟⎟⎥ 1 exp − ⎢exp⎜ − τ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ p2 φ1(1) ( R) ⎟⎠ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎝ L2 ⎠⎥⎦

⎡ tg ( β1δ ) ⎤ β1 τ 2 cos( β1δ ) γ1 − 1⎥ , ⎢ β1 sh(γ 1 R) + γ 1 τ 2 ch(γ 1 R) ⎣⎢ β1 τ 2 ⎦⎥

1 − γ 12 L12 ~ p1 p1 = < 0, 1 + β 12 L12

0 < η1 L1 ,

δ
0 , что эквивалентно условию: r =R

φ1(1) ( R) ⎛ L2 ⎞ ⎛⎜ L ⎞Σ > ⎜1 + ⎟ 1 + 2 ⎟ (a1,)2 . ( 2) φ1 ( R) ⎝ R ⎠ ⎜⎝ τ 2 ⎟⎠ Σ d , 2 ( 2)

(3.84)

Учитывая неравенства (3.83), (3.84) и принимая во внимание выражения (3.74) и (3.80), приходим к соотношению: 2

⎛L ⎞ 1 + π ⎜⎜ 1 ⎟⎟ (2) ( 2) Σ a ,1 ⎝ Rэ ⎠ > ⎛⎜1 + L2 ⎞⎟ Σ a , 2 . ⎜ ϕ1Σ (d1,)1 1 + L2 τ 2 ⎟⎠ Σ (d1,)2 ⎝ R 2

Оно показывает, что рост потока тепловых нейтронов в отражателе можно ожидать в реакторе с небольшим размером активной зоны и отражателем, имеющим высокую замедляющую способность и низкое поглощение тепловых нейтронов. Отличенные особенности отражены на рис.10, где приведены зависимости φ (1) (r ) и φ ( 2 ) (r ) для реактора с указанными выше свойствами. 3.7. Условно-критическая задача в P1 - приближении

Задачи о критичности многозонного реактора обычно решаются, используя метод итераций источников. Этот метод, изложенный в разделе 2.4 для односкоростной модели, нетрудно обобщить на случай многогрупповых моделей. Отличие будет состоять лишь в том, что теперь на каждой n -й итерации вместо одного уравнения вида (2.37) решается система уравнений для потоков нейтронов φ n( k ) (r ) ∈ Ω ( k ) n -го поколения ( k = 1, 2,…, m ): k −1

div J n( k ) (r ) + Σ (adk )φn( k ) (r ) = ∑ Σ (d j→k )φп( j ) (r ) + χ ( k ) qn−1 (r ) . j =1

92

(3.85)

m

Здесь

распределение

q n −1 (r ) = ∑ν (f k ) Σ (jk )φ n(−k1) (r )

источников

k =1

известно, а токи нейтронов того же поколения J связаны с потоками φ

grad φ

(k ) n

(k ) n

(k ) n

(r ) могут быть

(r ) соотношениями:

(r ) + 3Σ (trk ) J n( k ) (r ) = 0 , k = 1,2..m ,

(3.86) если рассматривается диффузионное приближение (3.36), и соотношениями: k −1

grad φn( k ) (r ) + 3Σ (t1k ) J n( k ) (r ) = 3∑ Σ (d j1→k ) J n( j ) (r ) ,

(3.87)

j =1

если рассматривается P1 -приближение (3.41). Как и в односкоростной модели, итерации прекращают, когда при заданной погрешности ε > 0 выполнится неравенство вида (2.38). Полученные на последней итерации n = p значение K ( p ) и функции φ p( k ) (r ) принимаются в качестве решения условнокритической задачи: K эф = K ( p ) , φ ( k ) (r ) = Cφ p( k ) (r ) ,

k = 1, 2,…, m .

(3.88)

Также рекомендуется на 1-й итерации источник q0 (r ) задавать в виде

неотрицательной функции,

рассчитывать по формуле:

q n (r ) =

а для

1 K (n)

m

∑ν k =1

(n + 1) -й итерации (k ) f

Σ (jk )φ n( k ) (r ) .

Каждое из уравнений (3.85) совпадает по форме с уравнением (2.37) односкоростной модели и решается численно с использованием известных алгоритмов. В случае диффузионного приближения, когда принимаются соотношения (3.86), можно воспользоваться алгоритмами, изложенными в разделах 2.4 и 2.5. При использовании Р1 -приближения и соотношений (3.87) они претерпевают незначительные изменения. Поясним их на примере многозонного реактора в одной из простых одномерных геометрий. Уравнения (3.85), (3.87) для k -й группы нейтронов запишем в виде 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка (индексы группы и номера итераций опущены):

93

d (rν J (r )) ν + r Σ(r ) φ (r ) = rν q(r ) , (3.89) dr dφ ( r ) ~ + 3 Σ(r ) J (r ) = 3 q~ (r ) , (3.90) dr ~ где макроскопические сечения Σ(r ) , Σ(r ) и распределения q (r ) , q~ (r ) терпят разрывы на границах зон, поток φ (r ) и проекция тока J (r ) непрерывны при всех значениях 0 ≤ r ≤ Rэ и удовлетворяют условиям J (0) = 0 , φ ( Rэ ) = 0. Разместив в области изменения переменной r основные и вспомогательные точки с координатами rl < rl +(1 / 2 ) < rl +1 (l = 1, 2,...) , проинтегрируем уравнение (3.89) по r ∈ rl −(1 / 2) , rl +(1 / 2 ) , а уравнение (3.90) – по r ∈ [re , re +1 ] . Проведя с

[

]

полученными равенствами те же преобразования, что и в разделе 2.4, придем к конечно-разностным уравнениям: rlν−(1 / 2) J l −(1 / 2) − rlν+(1 / 2) J l +(1 / 2) − 〈 Σ〉 l φl ΔVl = −〈 q〉 l ΔVl , (3.91)

φl − φl +1

q~l +(1 / 2 ) , +~ Σl +(1 / 2)

l = 1, 2,… , (3.92) J l +(1 / 2) = ~ 3Σl +(1 / 2 ) Δrl +(1 / 2) ~ ~ φl = φ (rl ) , J l +(1 / 2) = J (rl +(1 / 2) , где q l +(1 / 2 ) = q ( rl + (1 / 2 ) ) , ~ ~ Σ l + (1 / 2 ) = Σ(rl +(1 / 2) ) , а остальные обозначения совпадают с принятыми в разделе 2.4. Если теперь из уравнения (3.91) исключить J l −(1 / 2 ) , J l +(1 / 2 ) , используя для них соотношения (3.92), то получим систему 3-точечных уравнений, отличающихся от равенств (2.54) лишь способом расчёта источников f l :

q~l +(1 / 2 ) q~l −(1 / 2) ν . f l = 〈 q〉 l ΔVl − rl +(1 / 2 ) ~ + rl −(1 / 2) ~ Σ l +(1 / 2) Σ l −(1 / 2) ν

(3.93)

Такая система легко решается методом прогонки. Если при использовании диффузионного приближения всегда f l ≥ 0 , то теперь не исключается появление отрицательных значений для источников f l и, возможно, для потоков φ e . Как

94

видно из выражения (3.93), необходимым (но не достаточным) условием для получения φl < 0 будет выполнение неравенства: ν q~l +(1 / 2 ) ⎛ rl −(1 / 2) ⎞ ⎜ ⎟ − ~ Σl +(1 / 2) ⎜⎝ rl +(1 / 2) ⎟⎠

q~l −(1 / 2 ) > 〈 q〉 l ΔVl , ~ Σ l −(1 / 2) ~ ~ что имеет место, когда или значения Σl +(1 / 2 ) и Σl −(1 / 2 ) сильно ~ ) различаются, либо проекция тока (от которой зависят q l + (1 / 2 )

намного превышает поток нейтронов (от которого зависит 〈 q〉 l ). Но при этом не применимо P1 -приближение и, следовательно, надо переходить к более точному описанию распределения нейтронов. Глава 4. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА РАЗМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ

В практике расчётов ядерных реакторов часто требуется найти изменения различных физических характеристик, вызванные небольшими отклонениями технологических параметров: концентраций ядер, микроскопических сечений, температур и т.п. В общем случае эта задача решается с помощью методов теории возмущений, использующей такие понятия, как сопряжённые операторы и сопряжённые функции. Определение. Пусть Mˆ – линейный оператор, определённый на функциях ϕ ∈ Ω ⊂ Н , принадлежащих некоторому плотному в гильбертовом пространстве Н множеству Ω . Тогда сопряжённым к Мˆ называют такой оператор Мˆ + , определённый на функциях ϕ + ∈ Ω + ⊂ Н , что выполняется тождество:

ϕ + , Мˆ ϕ = Мˆ +ϕ + ,ϕ , где скобки

,

(4.1)

обозначают скалярное произведение стоящих

внутри них и разделённых запятой функций. Опираясь на определение (4.1), можно любому оператору линейного уравнения переноса нейтронов, записанному в какомлибо приближении, поставить в соответствие сопряжённый

95

оператор. В результате придём к сопряжённому уравнению реактора относительно сопряжённой функции ϕ + , принадлежащей множеству Ω+ ⊂ Н и позволяющей (при известном распределении нейтронов) изменения рассматриваемой характеристики реактора выразить через отклонения технологических параметров. В этом разделе изложенный выше подход использован для получения изменения δК эф эффективного коэффициента размножения нейтронов К эф . При этом считается, что реактор состоит

из

нескольких

зон

разного

состава,

а

К эф

и

асимптотические потоки нейтронов φ ( к ) ( r ) находятся из решения условно-критической задачи (3.32), (3.36), (3.43) в многогрупповом диффузионном приближении. Микроскопические сечения определяются по формулам (3.38) и не меняются при изменении технологических параметров. Основные уравнения рассматриваемого приближения для потоков φ ( k ) ( r ) перепишем в виде:

− div J ( k ) (r ) − Σ (adk ) φ ( k ) (r ) + k −1

+ ∑ Σ (d j→k ) φ ( j ) (r ) + j =1

1 ( k ) m ( l ) (l ) (l ) χ ∑ν f Σ f φ (r ) = 0 , K эф l =1

3 Σ (trk ) J ( k ) ( r ) + grad φ ( k ) ( r ) = 0 ,

(4.2)

k = 1, 2,…, m ,

(4.3) приняв те же обозначения для макроскопических сечений в k-х энергетических группах Σ (adk ) , Σ (d j→k ) , Σ (trk ) , ν (f k ) Σ (fk ) , χ ( k ) , что и в разделе 3.1. Как и раньше, будем считать, что решения уравнений (4.2), (4.3) ищутся среди функций φ ( k ) (r ) ∈ Ω k , а множества Ω k описываются условиями: φ ( k ) ( r ) , J ( k ) ( r ) , n – непрерывны при r ∈ V ,

(

)

φ (rэ ) = 0 , k = 1,… m . (4.4) Здесь n – единичный вектор нормали к границе раздела двух сред, а rэ – радиус-вектор точек экстраполированной границы. (k )

96

4.1. Основные соотношения теории возмущений Пусть u = (u1 , u2 ,…un ) – вектор технологических параметров T

с

известными

компонентами

u j ( j = 1, 2,… n ) ,

которым

соответствуют определённые значения размеров зон и макроскопических сечений. Из решения системы уравнений (4.2), (4.3) при условиях (4.4) получены значение К эф и распределения

φ ( k ) (r ) , J ( k ) ( r ) . Предположим, что затем произошло изменение одного или нескольких технологических параметров до значений u′j = u j + δu j . Это повлечёт за собой изменения макроскопических сечений (в одной или нескольких зонах, а может быть – в какойлибо части отдельной зоны) до значений: Σ′tr( k ) = Σ tr( k ) + δΣ tr( k ) , Σ′ad( k ) = Σ (adk ) + δΣ (adk ) , Σ′d( j→k ) = Σ (d j→k ) + δΣ (d j→k ) ,

ν ′f( k )Σ′f( k ) = ν (f k )Σ(fk ) + δ (ν (f k )Σ(fk ) ) .

(4.5)

В результате изменится решение задачи (4.2) – (4.4):

′ = К эф + δК эф , К эф

φ ′( k ) (r ) = φ ( k ) (r ) + δφ ( k ) (r ) ,

J ′( k ) (r ) = J ( k ) (r ) + δJ ( k ) (r ) .

(4.6) Реактор с первоначально заданным вектором u технологических параметров будем называть невозмущённым реактором, реактор с изменённым вектором u ′ = u + δu – возмущённым реактором, а изменение δu – возмущением

′ , φ ′( k ) ( r ) , J ′ ( k ) ( r ) реактора. Новые значения К эф уравнениям: k −1

− div J ′( k ) (r ) − Σ′ad( k )φ ′( k ) (r ) +

+ ∑ Σ′d( j→k )φ ′( j ) (r ) + j =1

удовлетворяют

1 ( k ) m ( l ) (l ) (l ) χ ∑ν ′f Σ′f φ ′ (r ) = 0 , ′ К эф l =1

3Σ′tr( k ) J ′( k ) (r ) + gradφ ′( k ) (r ) = 0 , k = 1, 2, …, m (k ) и ищутся при условиях φ ′ ( r ) ∈ Ω k , k = 1, 2, … , m .

(4.7) (4.8)

(4.9) Принимается, что с изменением технологических параметров спектр нейтронов деления χ ( k ) , k = 1, 2,… m , и область V

97

изменения аргументов r не меняются. Получение эффективного коэффициента размножения и асимптотических потоков нейтронов путём решения уравнений (4.2) - (4.4) для невозмущённого реактора будем называть невозмущённой задачей, а нахождение тех же характеристик из решения уравнений (4.7) - (4.9) – возмущённой задачей. ′ − К эф можно получить при заданном Изменение δК эф = К эф

δu j = u′j − u j

отклонении

технологических

параметров,

не

прибегая, вообще говоря, к методам теории возмущений. Для этого возмущённую задачу (4.7) - (4.9) достаточно решить столько раз, сколько вносится в реактор различных возмущений. Например, если требуется определить изменения δК эф , происходящие при изменении каждого из n технологических параметров, то следует помимо одной невозмущённой задачи (4.2) – (4.4) решить n возмущённых задач вида (4.7) - (4.9), задавая для каждой из них

u ′ = u ( j ) = (u1 , u2 ,…u j −1 , u j + δu j , u j +1 ,… un ) , T

вектор

j = 1, 2,… n ,

К эф = К

( j) эф

, δК

и ( j) эф

получая

=К

( j) эф

соответствующие

значения

− К эф . Такой способ будем называть

разностным методом определения δК эф . Он имеет следующие недостатки: 1. Если n велико, то придётся потратить много времени для ( j) нахождения всех значений δК эф , j = 1, 2,…, n . Например, это имеет место, когда в качестве возмущений рассматриваются изменения микроскопических сечений, а расчёты проводятся в 26- групповом приближении. ′ при 2. Если погрешность ε определения значений К эф , К эф решении задач (4.2) - (4.4) и (4.7) - (4.9) сравнима с изменением δК эф (т.е. δК эф ≈ ε ), то можно получить неправильное представление о зависимости δК эф от δu j . Это может случиться, когда изменения

δu j

малы,

например, при нахождении температурных коэффициентов реактивности.

98

Введём в рассмотрение функции φ + ( k ) (r ) и векторные функции

J + ( k ) (r ) = J x+ ( k ) ex + J y+ ( k ) e y + J z+ ( k ) ez проекциями J

+(k ) x

(r ) , J

+(k ) y

(k = 1,2,…, m)

с

(r ) , J z+ ( k ) (r ) на координатные оси

x , y , z соответственно ( ex , e y , ez – единичные орты). Будем считать, что они определены при значениях удовлетворяют условиям: φ + ( k ) ( r ), J + ( k ) ( r ) , n – непрерывны при r ∈ V ;

(

r ∈V

)

φ + ( k ) ( rэ ) = 0 .

(4.10)

Умножая уравнения (4.7) на φ

+(k )

(r ) , а уравнения (4.8) – скалярно

на функции J ( r ) , интегрируя по переменным r ∈ V складывая, получим: +(k )

m

∑ ∫φ

+( k )

k =1 V

и

[

(r ) − div J ′( k ) (r ) − Σ′ad( k ) φ ′( k ) (r ) +

r −1

+ ∑ Σ′d( j →k )φ ′( j ) (r ) + j =1

m

и

(

1 ( k ) m (l ) (l ) (l ) ⎤ χ ∑ν ′f Σ′f φ ′ (r )⎥ dV + ′ К эф l =1 ⎥⎦

)

+ ∑ ∫ J + ( k ) (r ) , 3Σ′tr( k ) J ′( k ) (r ) + grad φ ′( k ) (r ) dV = 0 .

(4.11)

k =1 V

Преобразуем выражение (4.11), используя формулу Грина:

∫ div( f (r ) g (r ))dV =∫ f (r ) div g (r ) dV + ∫ (g (r ), grad f (r )) dV =

V

V

V

= ∫ f (rs ) ( g (rs ), n ) dS ,

(4.12)

S

где S – поверхность, ограничивающая объём V, n – единичный вектор внешней нормали, а f ( r ), g ( r ) – непрерывные вместе со своими частными производными 1-го порядка функции радиусвектора точки r . Учитывая при этом условия (4.4) и (4.10), будем иметь:

99

∫φ ∫ (J

+(k )

V

V

(

)

(r ) div J ′( k ) (r )dV = − ∫ J ′( k ) (r ) , grad φ + ( k ) (r ) dV

+(k )

)

V

(r ) , grad φ ′( k ) (r ) dV = − ∫ φ ′( k ) (r ) div J + ( k ) (r )dV

.

(4.13)

V

Кроме того, меняя порядок суммирования, получим: m

k −1

m

m

k =1

j =1

k =1

j = k +1

∑φ + ( k ) (r )∑ Σ′d( j →k )φ ′( j ) (r ) = ∑φ ′(k ) (r ) ∑ Σ′d(k → j )φ + ( j ) (r ) . (4.14) Возмущённые значения макроскопических сечений заменим суммами (4.5), воспользуемся равенствами (4.6), а среди функций, удовлетворяющих условиям (4.10), выберем такие, которые будут решениями уравнений:

− div J +

+( k )

(r ) − Σ φ (k ) ad

+( k )

(r ) +

m

∑Σ

j = k +1

φ +( k ) ( r ) +

(k→ j) d

m

1 (k ) (k ) ν f Σ f ∑ χ (l )φ +(l ) (r ) = 0 , К эф l =1

3Σtr( k ) J + ( k ) (r ) + gradφ + ( k ) (r ) = 0 ,

(4.15)

k = 1, 2, …, m .

(4.16)

В результате придём к равенству:

⎛ 1 ⎞ + m ⎟ G′ = −δ⎜ 3 δΣ tr( k ) J +( k ) (r ), J ′( k ) (r ) dV + ∫ ⎜К ⎟ f ∑ k =1 V ⎝ эф ⎠ m k −1 ⎡ + ∑ ∫ φ +( k ) (r ) ⎢− δΣ (adk )φ ′( k ) (r ) + ∑ δΣ (d j→k )φ ′( k ) (r ) + k =1 V j =1 ⎣ ⎤ 1 (k ) m + χ ∑ δ (ν (f k ) Σ (fk ) )φ ′( k ) (r )⎥ dV , К эф l =1 ⎦⎥

(

в котором G′f + =

m

)

(4.17)

m

( k ) +( k ) ( l ) ( l ) (l ) ∫ ∑ χ φ (r ) ∑ν f Σ f φ ′ (r ) dV .

V k =1

l =1

Уравнения (4.15), (4.16) будем называть сопряжёнными уравнениями условно-критического (невозмущённого) реактора, а выражение (4.17) – точной формулой теории возмущений для изменения реактивности. Использование формулы (4.17) в расчётах изменения реактивности предполагает знание распределений φ ′( k ) ( r ), J ′( k ) ( r ) в возмущённом реакторе. Это приводит (как и в

100

случае разностного метода нахождения δК эф ) к большому объёму вычислений, когда рассматривается много различных возмущений. Можно существенно сократить вычисления, если предположить, что возмущения малы, а решение задачи (4.7) - (4.9) меняется непрерывно с изменением δu , т.е. отклонения δК эф , δφ ( k ) , δ J ( k ) ,

δ Σtr( k ) , δ Σ(adk ) , δ Σ(d j → k ) , δ (ν (f k ) Σ(fk ) ) , δu являются величинами одного и того же порядка малости. При этом речь идёт об изменении нормированного асимптотического потока в любой части реактора. Заменим в равенстве (4.17) возмущённые значения

ν ′f( k )Σ′f( k ) , φ ′( k ) , J ′( k )

суммами

(4.5),

(4.6).

Ограничиваясь

слагаемыми первого порядка малости Ο( δu ) , получим:

δ К эф К

2 эф

(

m

)

m

G +f = ∑ ∫ 3δΣtr( k ) J + ( k ) (r ), J ( k ) ( r ) dV − ∑ ∫ φ + ( k ) (r ) δ Σ (adk ) φ ( k ) (r ) dV + k =1 V

k =1 V

k −1

m

+ ∑ ∫ φ +( k ) (r )∑ δ Σ (d j→k ) φ ( k ) (r )dV + k =1 V

+

j =1

m

m 1 ( k ) +( k ) χ φ ( r ) δ (ν (fl ) Σ (fl ) )φ ( l ) (r ) dV , ∑ ∑ К эф V∫ k =1 l =1 m

где

m

G +f = ∫ ∑ χ ( k )φ + ( k ) (r )∑ν (fl ) Σ (fl )φ (l ) (r )dV , V k =1

(4.18) (4.19)

l =1

⎛ 1 ⎞ δК ⎟ = − 2эф . ⎜К ⎟ К эф ⎝ эф ⎠

и принято, что в рассматриваемом случае δ ⎜

Соотношение (4.18) называют формулой теории малых возмущений. Она позволяет ограничиться решением всего лишь двух задач (4.2) - (4.4) и (4.10), (4.15), (4.16), сформулированных для невозмущённого реактора. Не требуется находить распределения нейтронов в возмущённых реакторах. За счёт этого удаётся заметно снизить вычислительные затраты по сравнению с теми, которые делаются при использовании точной формулы (4.17). Однако соотношением (4.18) можно пользоваться лишь в том случае, когда возмущение реактора мало. При этом должно

101

быть близко к нулю не только значение δК эф , но и отклонения

δφ ( k ) (r ) при любых r ∈ V , k = 1, 2, … , m . 4.2. Итерационный метод решения Получение распределений φ ( k ) (r ) , φ + ( k ) (r ) связано с рассмотрением двух задач на собственные значения: решением системы однородных уравнений (4.2), (4.3) или (4.15), (4.16) при условиях (4.4) или (4.10), включающих обращение в нуль искомых функций на внешней (экстраполированной) границе реактора. Известно, что эти задачи имеют одинаковый спектр собственных значений, состоящий лишь из отдельных чисел k0 , k1 ,… . Самое большое (по модулю) число

k0 = max ( k0 , k1 ,…)

является

действительным, положительным и имеет смысл эффективного коэффициента размножения нейтронов К эф . Ему соответствует единственное решение: векторная функция ψ 0 (r ) с компонентами

ψ 0( k ) (r ) в задаче (4.2) – (4.4) и векторная функция ψ 0+ (r ) с компонентами ψ 0+ ( k ) ( r ) в задаче (4.15), (4.16). Поскольку собственные функции определены с точностью до постоянных множителей, то можно считать, что φ ( k ) (r ) = ψ 0( k ) (r ) , φ + ( k ) (r ) = ψ 0+ ( k ) (r ) . Для нахождения собственных функций, соответствующих максимальному числу k 0 = К эф , используется метод итераций источника. Ранее (в разделе 1) для реактора без отражателя в односкоростном диффузионном приближении была продемонстрирована сходимость метода к функции ψ 0 (r ) .

Обоснование сходимости метода в общем случае дано в работе [3] . В главе 3 изложен алгоритм метода для определения φ ( k ) (r ) в многогрупповом асимптотических потоков диффузионном приближении. При решении сопряжённых уравнений (4.15), (4.16) он выглядит следующим образом.

102

На каждой n-й итерации последовательно, начиная с последней энергетической группы нейтронов m , решаются уравнения:

− div ( D ( k ) grad φn+ ( k ) (r )) + Σ (adk ) φn+ ( k ) (r ) = ν (f k ) Σ (fk ) f n+−1 (r ) + +

m

∑Σ

j = k +1

(k→ j ) d

φn+( j ) (r ) , k = m, m − 1, m − 2,…1 ,

(4.20)

где f n+−1 ( r ) – источник, который на 1-й итерации задаётся в виде не равной тождественно нулю положительной функции, а на следующих итерациях рассчитывается по формуле: m

f n+ (r ) = ∑ χ ( k )φn+( k ) (r ) ,

n = 1, 2, …

k =1

Каждое из уравнений (4.20) при известной правой части имеет вид односкоростного уравнения диффузии с источником и решается при условиях (4.10), обычно, численным методом. Итерации прекращаются при таком n=N, когда впервые при заданной погрешности ε > 0 выполнится неравенство: (n) ( n −1) (n) , К эф − К эф ≤ ε К эф

где К

(n) эф

=

∫f

+ n

(r )dV

V

∫

f n+−1 (r )dV

- приближённое значение К эф на n-й

V

итерации.

К эф = К

(N) эф

Полученные

, φ

+(k )

(r ) = φ

+(k ) N

таким образом (r ) принимаются в

значения качестве

решения уравнений (4.15), (4.16). 4.3. Сопряжённые уравнения для простых моделей реактора Односкоростное приближение. В этом приближении вероятности взаимодействий нейтронов с ядрами среды не зависят от энергии нейтронов. Поэтому рассматривается только одна группа нейтронов и принимается, что φ (1) (r ) = φ (r ) и

φ + (1) (r ) = φ + (r ) . Асимптотический поток нейтронов φ ( r ) и сопряжённая функция φ + (r ) являются решениями одинаковых уравнений:

103

div(D grad φ (r ) ) − Σ a φ (r ) +

(

)

1 ν f Σ f φ (r ) = 0 , К эф

div D grad φ + (r ) − Σ a φ + (r ) +

1 ν f Σ f φ + (r ) = 0 К эф

(4.21)

и принадлежат одному и тому же множеству функций. Поэтому φ + (r ) = C φ (r ) , где множитель С может принимать любое не равное нулю значение. В результате выражение (4.18) преобразуется к виду: ⎤ δК эф 1 ⎡ 1 2 δ (ν f Σ f ) φ 2 (r )⎥ dV , = + ∫ ⎢3δΣ tr D 2 grad φ (r ) − δΣ a φ 2 (r ) + 2 К эф G f V ⎢⎣ К эф ⎥⎦

∫

где G +f = ν f Σ f φ 2 (r ) dV .

(4.22)

V

Реактор без отражателя. Пусть реактор без отражателя состоит из одной однородной активной зоны и имеет единую для всех групп нейтронов экстраполированную границу. Тогда можно, воспользовавшись методом разделения переменных, искать распределения φ ( k ) (r ) , φ + ( k ) (r ) в виде: (4.23) φ ( k ) (r ) = I 0( k ) ψ 0 (r ) , φ + ( k ) ( r ) = I 0+ ( k ) ψ 0 (r ) , где ψ 0 (r ) – собственная функция, соответствующая ведущему собственному числу α 02 (называемому также геометрическим параметром реактора) задачи: (4.24) Δψ 0 ( r ) + α 02 ψ 0 ( r ) = 0 , ψ 0 ( rэ ) = 0 , а I 0( k ) , I 0+ ( k ) (k = 1, 2, … , m) – неизвестные множители, независящие от пространственной переменной r . Подставляя в уравнения (4.2), (4.3) и (4.15), (4.16) вместо (k ) φ (r ) , φ + ( k ) (r ) выражения (4.23) и учитывая равенство (4.24), получим алгебраические уравнения для определения множителей I 0( k ) , I 0+ ( k ) . При этом уравнения и алгоритм расчёта амплитуд I 0( k ) ничем не отличается от приведённых в разделе 3.4 (см. формулы (3.57) – (3.59)). Для нахождения I 0+ ( k ) имеем однородную систему уравнений:

104

− α 02 D ( k ) I 0+( k ) − Σ (adk ) I 0+( k ) +

m

∑Σ

j =k +1

( k → j ) +( j ) d 0

I

+

1 ( k ) ( k ) m ( l ) +( j ) ν f Σ f ∑ χ I0 = 0 , К эф l =1

k = 1, 2, … , m , решение которой нормировкой:

нетрудно

(4.25) воспользовавшись

получить,

m

К эф = ∑ χ ( j ) I 0+( j ) .

(4.26)

j =1

В результате придём к простым формулам расчёта I 0+ ( k ) (начиная со значения I 0+ ( m ) для последней группы):

ν (f k ) Σ (fk ) + I

+( k ) 0

=

m

∑Σ

j =k +1 (k )

α 02 D

( k → j ) +( j ) d 0

I

,

+ Σ (adk )

k = m, m − 1,…,1 .

(при известных значениях I 0( k ) , I 0+ ( k ) ) получим с

Величину К эф

помощью формул (3.58) или (4.26). Представление решений уравнений (4.2), (4.3) и (4.15), (4.16) в форме (4.23) позволяет изменение δ К эф , обусловленное малым изменением свойств реактора в пределах объёма V0 ⊂ V , записать в виде: (4.27) δ К эф = δ tr K + δ c K + δ d K + δ f K , где отдельные слагаемые отвечают за изменения соответствующих макроскопических сечений и рассчитываются по формулам: m

δ tr K = 3∑ δΣ (trk ) ( D ( k ) ) 2 I 0( k ) I 0+( k ) ξ 0 , k =1 m−1

δ d K = ∑ I 0( k ) k =1

m

∑ δΣ

j =k +1

(k→ j) d

( I 0+( j ) − I 0+( k ) ) ξ1 ,

δ f K = ∑ [δ (ν (f k ) Σ (fk ) ) I 0( k ) − δΣ (fk ) I 0( k ) I 0+( k ) ]ξ1 . m

k =1

105

m

δ c K = −∑ δΣ (ck ) I 0( k ) I 0+( k ) ξ1 , k =1

(4.28)

ξ0 =

Здесь

∫ grad ψ

∫ψ

2

0

(r ) dV

V0

,

2 ∫ψ 0 (r ) dV

ξ1 =

внимание,

2 ∫ψ 0 (r ) dV

k −1

m −1

k =2

j =1

k =1

и принято

V

Σ (dk ) =

что

m

(r ) dV

V0

V

во

2 0

∑ I 0+( k ) ∑ δΣ(d j→k ) I 0( j ) = ∑ I 0(k )

m

∑ δΣ

j =k +1

m

∑Σ

j = k +1

(k → j ) d

( k → j ) +( j ) 0 d

I

,

а

поэтому

.

Двухгрупповые уравнения диффузионно-возрастного приближения. В этом приближении рассматривается 2-е группы нейтронов: замедляющиеся (или быстрые) и тепловые нейтроны. Основные допущения перечислены в разделе 3.1 пособия, а уравнения для потоков быстрых φ (1) (r ) и тепловых φ ( 2 ) (r ) приведены в разделе 3.3 той же главы. В том же приближении получим следующие сопряжённые уравнения для функций φ + (1) (r ) , φ + ( 2) (r ) :

( div (D

) (r ) ) − Σ

div D (1) grad φ + (1) ( r ) − Σ (ad1) φ + (1) ( r ) + Σ (d1→ 2 ) φ + ( 2 ) ( r ) = 0 , ( 2)

grad φ + ( 2 )

( 2) a

φ + ( 2) (r ) +

μ К эф

ν (f 2) Σ(f2) φ + (1) (r ) = 0 .

Если воспользоваться выражениями (3.46), (3.47) макроскопических сечений, то их можно записать в виде:

1 ϕ Δφ + (1) ( r ) − φ + (1) ( r ) = − φ + ( 2) (r ) , τ~ τ 1 + ( 2) K + ( 2) Δφ (r ) − 2 φ (r ) = − ∞2 φ + (1) (r ). L ϕL

для

(4.29)

Сопряжённые уравнения (4.29), как и уравнения (3.61), (3.62) для потоков нейтронов φ (1) (r ), φ ( 2 ) (r ) , приводятся к виду (3.63). Вследствие этого их решения строятся на базе одних и тех же функций ψ 1 (r ), ψ 2 (r ) , удовлетворяющих уравнениям (3.67) при

значениях ω1 , ω2 , определяемых выражениями (3.66). Поэтому имеем:

106

φ + (1) (r ) = A1+ (1)ψ 1 (r ) + A2+ (1)ψ 2 (r ) , φ + ( 2) (r ) = A1+ ( 2)ψ 1 (r ) + A2+ ( 2 )ψ 2 (r ).

(4.30)

Но теперь для коэффициентов A1+ (1) , A1+ ( 2 ) , A2+ (1) , A2+ ( 2 ) получим, используя уравнения (4.29), соотношения: A1+ ( 2 ) = p + A1+ (1) , A2+ (1) = ~ p + A2+ ( 2) , (4.31)

p+ =

где

τ c (1 + ω1τ ) , ϕτ

~ p+ =

ϕτ . τ c (1 + ω2τ )

Если ограничиться рассмотрением одномерной геометрии реактора, а линейно-независимые решения уравнений (3.67) обозначить так же, как в разделе 3.5, то для i -й зоны реактора выражения (4.30) примут вид:

~

- в случае активной зоны (когда K ∞(i ) > 1 + ε i , а параметры принимают значения ω1 = β i2 , ω2 = −γ i2 , определяемые по формулам (3.66)): ~ φi+ (1) (r ) = ai+ f ( β i r ) + bi+ g ( β i r ) + ~pi+ ci+ f (γ i r ) + d i+ g~ (γ i r ) ; (4.32) ~ φi+( 2 ) (r ) = pi+ ai+ f ( β i r ) + bi+ g ( β i r ) + ci+ f (γ i r ) + d i+ g~(γ i r ); 1 1 ~ - в отражателе (где K ∞( i ) = 0 , ω1 = −υi2 = − , ω2 = −ϑi2 = − 2 ): Li τi

[

]

[

]

~

φi+ ( 2 ) (r ) = ci+ f (ϑi r ) + di+ g~(ϑi r ) ;

φ

+ (1) i

[

]

~ ~ (r ) = a f (υi r ) + bi+ g~(υi r ) + ~ pi+ ci+ f (ϑi r ) + di+ g~(ϑi r ) . + i

+ i

+ i

+ i

Здесь: a , b , c , d

+ i

(4.33)

– множители, выбираемые так, чтобы

выполнялись условия (4.10), а pi+ , ~ pi+ – коэффициенты связи (4.31), рассчитываемые по свойствам i -й зоны. Для каждой геометрии выражения (4.32), (4.33) принимают определённый вид. Как и при нахождении потоков нейтронов, выполнение граничных условий приведёт к исключению некоторых частных решений (путём приравнивания нулю стоящих перед ними множителей). Например, для реактора с одной активной зоной (которой соответствует i = 1 ) в сферически симметричной геометрии:

107

φ1+ (1) (r ) = a1+

sin ( β1r ) , β1 r

φ1+ ( 2) (r ) = a1+ p1+

sin ( β1r ) . β1 r

(4.34)

Таким образом, сопряжённые функции (как и потоки нейтронов в реакторе без отражателя) имеют одну и ту же зависимость от пространственной координаты r . При этом:

φ1+ ( 2) (r ) (1 + ε1 ) (1 + β12τ ) + = = p . 1 φ1+ (1) (r ) ϕ

(4.35)

Поскольку в тепловом реакторе с резонансным поглотителем вероятность ϕ < 1 , а значение ε1 обычно близко к нулю, то в активной зоне p1+ > 1 и, следовательно, выполняется неравенство:

φ1+ ( 2) (r ) > φ1+ (1) (r ) .

Если активная зона (i = 1) радиуса R окружена бесконечным отражателем (i = 2) , то в той же геометрии:

⎡ sin ( β1r ) sh (γ 1r ) ⎤ p1+η1+ − p1+ ~ при 0 ≤ r ≤ R , γ 1 r ⎥⎦ ⎣ β1 r ⎡ sin ( β1r ) sh (γ 1r ) ⎤ φ1+ ( 2) (r ) = a1+ p1+ ⎢ − η1+ при 0 ≤ r ≤ R , γ 1 r ⎥⎦ ⎣ β1 r

φ1+ (1) (r ) = a1+ ⎢

φ2+ ( 2) (r ) = φ1+ ( 2) ( R)

⎛ r −R⎞ R ⎟ exp⎜⎜ − r L2 ⎟⎠ ⎝

при r ≥ R ,

(4.36)

⎛ r−R⎞ R ⎟+ exp⎜ − ⎜ ⎟ r τ 2 ⎠ ⎝ ⎛ r−R⎞ R ⎟ при r ≥ R , +~ p2+ φ1+( 2 ) ( R ) exp ⎜⎜ − r L2 ⎟⎠ ⎝

φ2+(1) (r ) = [φ1+(1) ( R) − ~p2+ φ1+( 2) (r )]

где η1+ =

γ 1 sin ( β1R) + β1 L2 cos( β1R) , β1 sh(γ 1R) + γ 1 L2 ch(γ 1R)

108

p1+ ~ p1+ =

1 + β12τ 1 1 (надкритический реактор), то λ0 > 0 ,

(4.50)

если К эф < 1 (подкритический реактор), то λ0 < 0 . Множитель ϑ0 имеет размерность времени. Его можно трактовать как время жизни (мгновенных) нейтронов в реакторе произвольной формы. 3. Собственные функции критического реактора. В критическом реакторе (где К эф = 1, λ0 = 0 ) уравнения (4.41) для компонент ϕ 0( k ) (r ) собственной функции ϕ 0 (r ) совпадают по виду с уравнениями (4.2) для асимптотических потоков φ ( k ) (r ) . Решения их ищутся на одном и том же множестве функций. То же самое можно сказать в отношении функций ξ 0+ ( k ) (r ) и φ + ( k ) (r ) , получаемых из решения уравнений (4.44) и (4.15) соответственно. Поэтому (4.51) φ ( k ) (r ) = C ϕ 0( k ) (r ) , φ + ( k ) (r ) = C + ξ 0+ ( k ) (r ) , где C , C + – не равные нулю постоянные множители, выбираемые обычно из условий нормировки. Для некритического реактора соотношения (4.51) не выполняются. В этом можно убедиться, рассматривая переход к соответствующему условно-критическому реактору. В одном случае это делается за счёт изменения числа нейтронов деления (заменяя ν

(k ) f

на

ν (f k ) К эф

), а в другом случае – за

счёт изменения поглощения нейтронов (заменяя макросечения

Σ (adk ) на сумму Σ (adk ) +

λ0 ). υ (k )

114

Коэффициенты Ai в формуле (4.46) определим, используя начальное условие (4.38), которое запишем в виде (заменив индекс i на j): ∞

φ ( k ) (r ,0) = ∑ A j ϕ (j k ) (r ) ,

k = 1, 2,…, m .

j =0

Умножим обе части этого равенства на функцию

1

υ (k )

ξi+ ( k ) (r ) ,

проинтегрируем по переменным r ∈ V и сложим. Учитывая свойство ортогональности (4.47), получим:

Ai = m

где

γi = ∑∫

1

γi

m

1

∑∫υ k =1 V

1

(k ) k =1 V υ

(k )

φ ( k ) (r ,0)ξi+ ( k ) (r ) dV ,

ϕi( k ) (r ) ξ i+( k ) (r ) dV ,

(4.52)

i = 0,1, 2, … .

Выражение (4.46) позволяет обобщить выводы, сделанные ранее (в главе 1) на базе простой модели реактора (без отражателя, в односкоростном диффузионном приближении). Учитывая свойства (4.45) и (4.50) собственных чисел, нетрудно установить, что при t → ∞ потоки φ ( k ) (r , t ) стремятся к распределениям

φ0( k ) (r , t ) = A0 exp(λ0t )ϕ 0( k ) (r ) . Потоки φ0( k ) ( r , t ) в критическом реакторе ( λ0 = 0 ) не зависят от времени t, а в некритическом К эф реакторе (λ0 ≠ 0) меняются с периодом T0 = ϑ0 . Для 1 − К эф расчёта ϑ0 в многогрупповом приближении имеем формулу (4.49). Переход от начальных распределений φ0( k ) ( r ) к асимптотическим потокам φ 0( k ) ( r , t ) определяется близостью собственных чисел

λ0 , λ1 и происходит за время δ t ≈

3 . λ0 − λ1

Асимптотическая ценность нейтронов

Рассмотрим критический реактор с заданными свойствами, который до момента времени t = 0 работал на постоянной

115

мощности, однозначно связанной со скоростью деления ядер W0 .

W0

Пусть значению

соответствуют распределения потоков

нейтронов φ0( k ) (r ) и сопряжённых функций φ0+ ( k ) (r ) , удовлетворяющих уравнениям (4.2), (4.3), (4.15), (4.16) и соотношениям (4.51). Будем считать, множители C , C + находятся из условий: m

C∑

∫Σ

l =1 r ′∈V

(l ) f

ϕ 0(l ) (r ′) d r ′ = W0 ,

а собственные функции ϕ i ( r ) , ξ i ( r )

C C + = W0 ,

(4.53)

нормированы так, что в

γ i = 1 (i = 0,1,…) . Тогда потоки φ0( k ) (r ) будут иметь размерность см−2 с −1 , функции φ0+ ( k ) (r ) – размерность соотношениях (4.47)

с −1 (если скорость нейтронов брать в см сек −1 , сечения деления – в см −1 , а объём – в см 3 ). Предположим, что в момент времени t = 0 в единичный объём, находящийся в окрестности точки r ′ , поместили Δ q (s ) нейтронов s-й группы. Распределения нейтронов φ ( k ) (r , t ) при t > 0 даёт решение уравнений (4.2) с начальным условием: φ ( k ) ( r ,0) = φ0( k ) ( r ) + Δ q ( s )υ ( s )δ ( r − r ′)η ( k − s ) , r ∈ V , k = 1, 2, … m , (4.54)

⎧1, k = s , а δ (r − r ′) – дельта-функция Дирака. ⎩0 , k ≠ s

где η (k − s ) = ⎨

Такое решение было получено ранее и записано в виде разложения (4.46). При этом коэффициенты Ai рассчитываются по формулам (4.52), в которых вместо функции φ (r ,0) берётся сумма (4.54).

116

t Δq нейтронов при t = 0

Рис.4.2. Изменение мощности при помещении

W (t )

со временем

(s )

По истечении некоторого промежутка времени в реакторе установится новое распределение потоков φ1( k ) (r ) , которому соответствует новое значение мощности W1 = W0 + ΔW (также измеряемое скоростью деления ядер). Причём, φ1( k ) (r ) = φ ( k ) (r , t → ∞) = A0 ϕ0( k ) (r ) , A0 =

1

γ0

m

1

∑∫υ k =1 r ∈V

(k )

ξ 0+( k ) ( r )φ ( k ) (r ,0) d r .

Используя выражение (4.54) для потоков φ ( k ) (r ,0) , а также выбранное выше условие нормировки собственных функций (γ 0 = 1) и соотношения (4.53), получим: A0 = C + Δ q ( s ) ξ 0+ ( s ) (r ′) ,

m

W1 = ∑ ∫ Σ (fk )φ1( k ) (r ) d r = W0 + Δ q ( s ) φ0+ ( s ) (r ′) .

Отсюда следует: φ0+ ( s ) (r ′) =

k =1 r ∈V

ΔW , Δq( s)

(4.55)

Δ W = W1 − W0 – изменение асимптотической мощности реактора. Очевидно, изменение ΔW > 0 . При ином (чем в (4.53)) выборе величины необходимо говорить лишь о С 0+ ΔW . пропорциональности: φ0+ ( s ) ~ Δq(s) где

117

Поскольку значения s и r ′ были выбраны произвольно, то полученный в виде (4.55) результат относится к любой группе k и точке r . Таким образом, значение сопряжённой функции φ 0+ ( k ) ( r ) в критическом реакторе равно (или пропорционально) тому изменению асимптотической мощности реактора, которое происходит при помещении одного нейтрона, имеющего

( )

2 1 mn υ ( k ) , в единичный объём в 2 окрестности точки r . Поэтому функция φ 0+ ( k ) (r ) получила название ценности нейтронов группы k в точке r реактора по

кинетическую энергию E ( k ) =

отношению к асимптотической мощности или асимптотической ценности нейтронов. Из сказанного выше следует, что ценность +(k ) φ 0 (r ) ≥ 0 , k = 1, 2,… m во всех точках r ∈ V (обращается в + нyль лишь на экстраполированной границе), а величина G f ,

определяемая выражением (4.19), имеет смысл ценности нейтронов деления. При внесении в реактор дополнительного источника нейтронов δ q ( k ) ( r ) , распределённого непрерывно по объёму V для каждой группы k, полное изменение мощности

ΔWq можно

оценить по формуле: m

ΔWq = ∑ ∫ φ +( k ) (r ) δ q ( k ) (r ) dV ,

(4.56)

k =1 V

если константы С 0 , С 0+ получены из выражений (4.53) и принято, что γ 0 = 1 (см. формулу (4.47)) . Кроме того, имеет место следующий закон сохранения асимптотической ценности: «Ценность первоначально помещённых в реактор δ q нейтронов равна сумме ценностей вторичных нейтронов, появившихся за малый промежуток времени Δt из δ q впущенных нейтронов». Здесь вторичными нейтронами называют как возникшие в результате рассеяния и деления ядер нейтроны, так и те из δ q нейтронов, которые не испытали столкновений с ядрами среды за

118

время Δt . В приложении 2 дано применение этого закона сохранения к получению интегро-дифференциального уравнения для ценности нейтронов. Теперь можно дать простое объяснение изображённым на рис.4.1 зависимостям сопряжённых функций φ + ( k ) (r ), k = 1,2 (4.36). Учитывая, что φ + (1) (r ) – ценность быстрого, а φ + ( 2) (r ) – ценность теплового нейтрона на расстоянии r от центра реактора, имеем: - ценность φ + ( 2) (r ) почти во всей активной зоне больше ценности φ + (1) (r ) из-за того, что тепловые нейтроны при столкновении с ядрами топлива имеют большую вероятность вызвать деление этих ядер, чем быстрые нейтроны; - ценность любого нейтрона в отражателе меньше ценности того же нейтрона в активной зоне, поскольку помещаемый в отражатель нейтрон может привести к изменению мощности реактора лишь в том случае, если он в результате диффузии попадёт в активную зону; однако этому препятствуют процессы поглощения нейтрона в отражателе и утечки его из реактора; - ценности нейтронов φ + ( k ) (r ), k = 1, 2 по мере удаления от центра активной зоны непрерывно уменьшаются сначала (при приближении r к радиусу активной зоны R) за счёт возрастания вероятности утечки нейтронов в отражатель, а затем (при удалении r от R) – за счёт уменьшения вероятности нейтронам вернуться в активную зону. В заключение отметим, что понятие асимптотической ценности нейтронов и закон сохранения ценности можно распространить на некритические состояния реактора. В этом случае необходимо рассматривать условно-критический реактор, отличающийся от реально существующего лишь тем, что в нём при одном делении любого ядра появляется

νf

К эф

нейтронов. Как известно, в таком

реакторе существует стационарное распределение нейтронов, и

119

можно говорить об асимптотической мощности и её изменении при помещении дополнительного числа нейтронов. 4.5. Применения соотношений теории возмущений

Соотношения (4.18), (4.19) позволяют оценить изменение реактивности (при известных значениях δ Σ tr( k ) , δ Σ (adk ) и т.д.), используя решения лишь двух примерно одинаковых по вычислительным затратам задач (4.2) – (4.4) и (4.10), (4.15), (4.16), сформулированных для невозмущённого реактора. Время счёта при этом практически не зависит от числа возмущаемых параметров. Единственное требование состоит в том, чтобы каждое из возмущений было мало. В противном случае расчёты по формулам (4.18), (4.19) могут привести к заметным погрешностям в определении δ К эф . Это

иллюстрирует

рис.4.3,

на

котором

представлены

⎛ 1 ⎜К ⎝ эф

⎞ ⎟ от изменения δ N 5 концентрации U-235 в ⎟ ⎠ активной зоне реактора (через N 5( 0 ) обозначена концентрация

зависимости − δ ⎜

урана-235 в невозмущённом реакторе). Видно, что совпадение результатов расчёта по точной формуле (4.17) и формуле теории малых возмущений (4.18) имеет место в том случае, когда величина δ N 5 мала.

Рис.4.3. Сравнение результатов расчёта по формулам (4.17) и (4.18)

120

Можно отметить, что формула малых возмущений (4.18)

⎛ 1 ⎞ ⎟ от величины δ N 5 , а ⎜К ⎟ ⎝ эф ⎠

приводит к линейной зависимости − δ ⎜

точная формула (4.17) отражает истинный вид этой зависимости. Несмотря на это в инженерной практике обычно используются соотношения теории малых возмущений, что связано, главным образом, со сравнительно небольшими вычислительными затратами. Остановимся на некоторых применениях этих соотношений. Эффективности материалов

Пусть возмущающим свойства реактора параметром является концентрация N i (r ) ядер сорта i (например, урана-238), а возмущение состоит в том, что на величину Δ N i меняется концентрация лишь этих ядер в единичном объёме в окрестности точки r . Такое возмущение можно описать формулой:

l ≠i ⎧0, , ⎩ Δ N i δ (r ′ − r ), l = i

δ N l (r ′) = ⎨

если r ′ ∈ V – произвольная точка реактора, а l = 1, 2,… i,… L – порядковый номер присутствующих в реакторе ядер. Происходящие при этом изменения макроскопических сечений в группах k = 1, 2, … m имеют вид:

δ Σ (pk ) (r ′) = σ (pk,i) Δ N i δ (r ′ − r ) ,

p = c, f , tr , d ,

(4.57)

(k ) где p – тип процесса взаимодействия, а σ p ,i – соответствующее

микроскопическое сечение взаимодействия нейтронов группы k с ядрами сорта i. Предполагается, что при изменении концентраций ядер микроскопические сечения не меняются. Коэффициентом чувствительности реактивности H i (r ) по отношению к концентрации ядер сорта i в точке r будем называть то изменение реактивности реактора

121

δρ =

δ К эф 2 К эф

,

которое вызвано внесением одного ядра этого сорта в единичный объём, расположенный в окрестности рассматриваемой точки. Поскольку происходящее при этом изменение концентрации δ N i можно считать бесконечно малым, то:

H i (r ) =

1 ∂К эф ∂ρ , = 2 ∂N i ( r ) К эф ∂N i ( r )

(4.58)

где производные находятся при известных значениях концентраций N1( 0 ) (r ), N 2( 0) (r ),…, N L( 0) (r ) в невозмущённом реакторе. Значения H i (r ) определим по формуле (4.18), принимая

Δ Ni = 1

ядер . см 3

Учитывая

при

этом

выражение

(4.57)

и

определение (4.58), получим: 1 m (k ) (k ) H i (r ) = + ∑ 3σ tr( k,i) J ( k ) ( r ), J +( k ) (r ) − φ +( k ) ( r ) σ ad (r ) + ,i φ G f k =1

[

(

k −1

+ φ +( k ) ( r ) ∑ σ d( ,ji→k ) φ ( j ) ( r ) + j =1

)

m ⎤ 1 χ ( k ) φ + ( k ) ( r ) ∑ν (f j,i) σ (f j,i) φ ( j ) (r ) ⎥ . К эф j =1 ⎦⎥

(4.59) Очевидно, при произвольных (но достаточно малых) изменениях δ N i (r ) концентраций всех присутствующих в реакторе ядер: L

δ ρ = ∑ ∫ H i (r ) δ N i (r ) dV .

(4.60)

i =1 V

Сравнение значений H i (r ) для разных ядер позволяет выяснить, в какие части реактора следует поместить (или извлечь) те или иные материалы, чтобы необходимым образом воздействовать на реактивность. В первом приближении можно оценить также количество вводимых материалов. В качестве примера рассмотрим распределения коэффициентов чувствительности H i (z ) в плоской геометрии реактора, состоящего из одной активной зоны толщиной 2h0 . Значения

H i (z ) получим в односкоростном диффузионном приближении, 122

воспользовавшись формулой (4.22). Ограничимся случаем трёх сильно различающихся по своим свойствам материалов (i= 1, 2, 3): 1 – рассеивающий нейтроны материал: σ s > 0, σ c = σ f = 0, σ tr = σ s (1 − μ~ ) , 2 – поглотитель нейтронов: σ c > 0, σ s = σ f = 0, σ tr = σ c , 3 – делящийся материал:

μ~

σ f > 0, σ s = σ c = 0, σ tr = σ f .

Здесь – средний косинус угла рассеивания нейтронов. Материалы с перечисленными свойствами будем называть «идеальными». Кроме того примем, что невозмущённый реактор является критическим и имеет достаточно большие размеры, так что: К эф = 1, 3α 02 D 2 1кэВ находится ~80 % всех нейтронов и для их ценностей: I + ( k ) > I + ( j ) , k < j . Это связано с такими факторами как:

уменьшение

сечения

поглощения,

рост

числа

ν (kf ) и

увеличение скорости генерации нейтронов за счёт деления ядер сырьевого материала (U-238) c ростом энергии нейтронов E. В результате значение ργ′ может сделаться положительным, что рассматривается как один из недостатков таких реакторов. Одним из способов борьбы с этим недостатком является уменьшение размеров активной зоны. При этом возрастает геометрический параметр α 02 и увеличивается вклад от изменения утечки нейтронов. Ядерная составляющая КРТ рассчитывается, учитывая зависимости микроскопических сечений элементов от температуры в области тепловых и резонансных энергий нейтронов. Она всегда

133

в качестве одного из слагаемых включает доплеровский коэффициент реактивности ρ д′ . Этот коэффициент отражает вклад в КРТ от изменения ширины резонансных уровней у (k ) микроскопических сечений σ p ,l в тех энергетических группах

k ∈ Δ , которые находятся в области энергий E ≤ 100 кэВ. В этой области энергий с ростом температуры Т увеличиваются как (k ) (k ) сечения радиационного захвата σ c ,l , так и сечения деления σ f ,l для тяжёлых ядер топлива. Поэтому величина доплеровского коэффициента ρ д′ зависит от соотношения ядер горючего (U-235, Pu-239) и ядер сырьевого элемента (U-238). Продемонстрируем это для реакторов на быстрых нейтронах, в которых можно пренебречь изменениями сечений для тепловых нейтронов (из-за их крайне малой доли в спектре) и считать, что величина ядерной составляющей практически совпадает со значением ρ д′ . (k ) Известно, что микроскопические сечения σ p ,l в резонансной

области энергий зависят не только от температуры Т, но и соотношения ядер поглотителя и замедлителя. В многогрупповой системе ядерных данных это учитывается (см. раздел 3.3) с (k ) помощью факторов резонансной самоэкранировки f p, l , заданных для

σ 0( ,kl)

нескольких

1 = Nl

∑σ j ≠l

(k ) t, j

значений

Nj ,

и

сечения приращений

разбавления факторов

Δf p(,kl ) = f p(,kl ) (T2 ) − f p(,kl ) (T1 ) , заданных при каждом значении σ 0( ,kl) для двух интервалов температур ΔT = T2 − T1 . Используя эти данные, можно при известных концентрациях ядер температуре

T = T0 ∈ ΔТ

(k ) сечений σ p ,l и производных

оценить

∂f

(k ) p,l

∂T

значения :

T =T0

134

Nl

и

блокированных

σ где

σ~

(k ) p ,l

(k ) p ,l

= σ~ p( k,l) f p(,kl ) (σ 0( ,kl) , T0 ) , –

неблокированные

∂f p(,kl ) ∂T

≈

Δf p(,kl )

T =T0

сечения,

ΔT

,

соответствующие

бесконечному разбавлению и температуре 300 К. Ограничимся рассмотрением реактора с большим размером активной зоны и топливом, содержащим два сорта тяжёлых ядер: урана-235 с концентрацией N 5 и урана-238 с концентрацией ядер

N8 . Будем считать, что при получении ρд′ можно пренебречь вкладом от изменения утечки нейтронов (вследствие малого значения геометрического параметра α 02 ) и спектра нейтронов (изза близких значений ценностей нейтронов в выражении m −1

∑ I 0( k ) k =1

m

∑ δΣ

j =k +1

(k→ j) d

Изменения

(I

+( j ) 0

)

− I 0+( k ) ).

δΣ(ck ) , δΣ(fk )

макроскопических

сечений

радиационного захвата и деления, обусловленные возрастанием температуры топлива на δТ , можно записать в виде:

⎡

δΣ (pk ) = ⎢ N 8 σ (pk,8) ⎢⎣

(k ) (k ) 1 ∂f p ,8 1 ∂f p , 5 ⎤ (k ) + N σ ⎥ δT , 5 p,5 f p(,k8) ∂T f p(,k5) ∂T ⎥⎦

где блокированные микроскопические сечения σ и

производные

∂f p(,kl ) ∂T

заданной температуре

(k ) p ,l ,

p = c, f , (4.75) (k ) факторы f p, l

(l = 5, 8, k ∈ Δ ) рассчитываются

Т0

при

в области резонансных энергий

нейтронов с номерами групп k ∈ Δ . Подстановка этих выражений в соотношения (4.28), (4.29) даёт

ρд′ =

δρ δТ

= А5 N 5 − A8 N 8 , Т =Т 0

где

135

(4.76)

А5 =

1 G +f

⎡ 1 ∂f f( ,k5) ⎛ ( k ) ( k ) ( k ) m ( j ) +( j ) ⎞⎤ ⎜ν f ,5 σ f ,5 I 0 ∑ χ I 0 − σ (f k,5) I 0( k ) I 0+( k ) ⎟⎥ − ⎢ (k ) ∑ ⎜ ⎟ k∈Δ ⎢ j =1 ⎠⎥⎦ ⎣ f f , 5 ∂T ⎝

⎡ 1 ∂f c(,k5 ) ( k ) ( k ) +( k ) ⎤ σ c ,5 I 0 I 0 ⎥ , ⎢ (k ) ∑ ∂T k∈Δ ⎣ f c , 5 ⎦ (k ) 1 1 ∂f А8 = + ∑ ( k ) c ,8 σ c(,k8) I 0( k ) I 0+( k ) , G f k∈Δ f c ,8 ∂T 1 − + Gf

A5 > 0 ,

A8 > 0 .

Здесь учтено, что в области резонансных энергий нейтронов σ (f k,8) = 0 . Воспользуемся формулой (4.76) для выяснения зависимости доплеровского коэффициента реактивности ρ д′ от обогащения топлива Ζ :

Ζ=

N5 , N

N = N 5 + N 8 = const .

В первом приближении примем, что множители А5 , А8 не зависят

ρд′ ≈ N ( A5 + A8 )Ζ − N A8 . Отсюда следует, что при малом обогащении топлива ρ д′ < 0 , а при большом обогащении ρ д′ > 0 . Таким образом, при небольших значениях обогащения топлива основное влияние на величину ρ д′

от обогащения

Ζ . Тогда

оказывает увеличение ширины резонансных уровней у сечения захвата нейтронов ядрами U-238, а при высоком обогащении топлива – увеличение ширины резонансных уровней у сечения деления ядер U-235. Список литературы

1. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов / Пер. с англ.: Под ред. В.Н.Артамкина. М.: Атомиздат, 1974, 496 с. 2. Фейтберг С.М., Шихов С.Б., Троянский В.Б. Теория ядерных реакторов. Т.1. Элементарная теория реакторов. Учебник для вузов. – М.: Атомиздат, 1978, 400 с. 3. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.: Атомиздат, 1973, 376 с.

136

4. Бартоломей Г.Г., Бать Г.А., Байбаков В.Д., Алхутов М.С. Основы теории и методы расчёта ядерных энергетических реакторов. Учебное пособие для вузов / Под ред. Г.А.Бать. М.: Энергоатомиздат, 1982, 572 с. 5. Галанин А.Д. Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах. Учебное пособие для вузов. - М.: Энергоатомидат, 1984, 416 с. 6. Орлов В.В. Статика однородного реактора. Конспект лекций. – М.: МИФИ, 1983, 104 с. 7. Орлов В.В. Статика неоднородного реактора. Конспект лекций. – М.: МИФИ, 1984, 68 с. 8. Орлов В.В. Кинетика реактора. Конспект лекций. – М.: МИФИ, 1985, 78 с. 9. Марчук Г.И. Методы расчёта ядерных реакторов. М.: Госатомиздат, 1961, 667 с. 10. Шишков Л.К. Методы решения диффузионных уравнений двумерного ядерного реактора. М.: Атомиздат, 1976, 112 с. 11. Уолтер А., Рейнольдс А. Реакторы – размножители на быстрых нейтронах / Пер. с англ. А.А.Ванькова, В.В.Яровицина. М.: Энергоатомиздат, 1986, 624 с. 12. Групповые константы для расчёта реакторов и защиты. Справочник / Л.П.Абагян, Н.О.Базазянц, М.Н.Николаев, А.М.Цибуля: Под ред. М.Н.Николаева. – М.: Энергоиздат, 1981, 232 с. 13. Петрова Т.Е., Хромова М.Ф. Сборник задач и упражнений по статике неоднородного реактора. – М.: МИФИ, 1991, 28 с.

137

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 Метод условного разделения переменных

При оптимизационных исследованиях реакторов в 2- или 3мерных геометриях часто с целью экономии расчётного времени прибегают к приближённым методам получения асимптотических распределений нейтронов. Остановимся на кратком изложении одного из таких методов, широко используемого в инженерной практике и получившего название метода условного разделения переменных (МУРП). Особенности МУРП рассмотрим вначале на примере расчёта и асимптотического распределения нейтронов в К эф цилиндрическом реакторе, состоящем из активной зоны, окружённой отражателями (боковым и торцевыми). Будем считать, что он симметричен относительно оси r = 0 и плоскости z = 0 , известны свойства и размеры всех зон. Сечение части такого реактора плоскостью, проходящей через ось симметрии, совпадает в пределах 0 ≤ r ≤ R2 , 0 ≤ z ≤ H 2 с приведённым на рис.2.5, если

r = R2 , z = H 2

–

координаты

экстраполированных

границ

реактора. Здесь же указаны координаты r = R1 , z = H 1 внешних границ активной зоны и номера зон (i, j ) , причём первый индекс номер i -го радиального слоя толщиной i указывает ΔRi = Ri − Ri −1 (i = 1, 2, R0 = 0 ), а второй индекс – номер j - го аксиального слоя толщиной ΔH j = H j − H j −1 ( j = 1, 2, H 0 = 0) . В таком реакторе поток нейтронов

φ 0 ( r, z ) = Cψ 0 ( r, z ) , а

функция ψ 0 ( r , z ) зависит от двух переменных и находится из решения задачи (1.13) как собственная функция двумерного уравнения:

138

⎞ 1 ∂ ⎛ ∂ψ 0 ( r , я ) ⎞ ∂ ⎛ ∂ψ 0 (r , z ) ⎞ ⎛⎜ ν f Σ f − Σ a ⎟ψ 0 ( r , z ) = 0 , ⎜rD ⎟+ ⎜D ⎟ +⎜ ⎟ r ∂r ⎝ ∂r ∂z ⎠ ∂z ⎝ ⎠ ⎝ К эф ⎠

ψ 0 (r , z ) ∈ Ω ,

(П.1.1) где в описание множества Ω наряду с условиями (В.12) входят условия симметрии решения:

⎛ ∂ψ 0 ( r, z ) ⎞ ⎜ ⎟ = 0, ∂r ⎝ ⎠ r =0

⎛ ∂ψ 0 ( r, z ) ⎞ ⎜ ⎟ = 0. ∂z ⎝ ⎠ z =0

(П.1.2)

Проинтегрируем уравнение (П.1.1) по толщине каждого слоя и введём обозначения:

ψ 0 ( r, z ) = ψ i , j ( r , z ) ,

ϕ i , j ( r ) = ∫ψ 0 ( r, z )dz , ΔH j

r ∈ ΔRi , z ∈ ΔH j ,

ξ i , j ( z ) = ∫ψ 0 ( r, z ) r dr .

(П.1.3)

ΔRi

В уравнениях, полученных после интегрирования по интервалам ΔH 2 и ΔR2 , сделаем замену: ⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ 2, j ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ . ⎟⎟ , D2, j ⎜⎜ Di , 2 ⎜⎜ i , 2 ⎟⎟ = D1, j ⎜⎜ 1, j ⎟⎟ = Di ,1 ⎜⎜ i ,1 ⎟⎟ ⎝ ∂z ⎠ z = H ⎝ ∂z ⎠ z = H ⎝ ∂r ⎠ r = R ⎝ ∂r ⎠ r = R 1

1

1

1

Такая замена возможна в силу непрерывности проекций токов на границах зон, а выполнена она для того, чтобы учесть в дальнейшем влияние преимущественного перемещения нейтронов из активной зоны в отражатель на распределения нейтронов в отражателях. Предположим, что в пределах каждой зоны искомое решение можно представить в виде произведения функций, зависящих лишь от одной переменной: (П.1.4) ψ i, j (r , z ) = θi , j (r ) ζ i, j ( z ) , при этом равенства (П.1.3) примут вид: ϕi , j (r ) = θ i , j (r ) ∫ ζ i , j ( z ) dz , ξ i , j ( z ) = ζ i , j ( z ) ∫ θ i , j (r )r dr . ΔH j

(П.1.5)

ΔRi

Очевидно, это предположение должно хорошо выполняться вдали от границ раздела зон с разными свойствами. Поэтому следует ожидать, что МУРП даст хорошую точность расчёта интегральных характеристик (типа отношения чисел процессов в зонах) реактора

139

с достаточно большими размерами зон. В таких реакторах допущение (П.1.4) нарушается в отношении сравнительно небольшого числа нейтронов. Используя предположение (П.1.4), придём к системе уравнений относительно неизвестных функций ϕ i , j ( r ) , ξ i , j ( z ) , зависящих лишь от одной переменной: для зон аксиальных слоёв, в которых i = 1, 2 (0 ≤ r ≤ R2 ) ,

1 d ⎛ dϕi ,1 (r ) ⎞ (П.1.6) ⎜r ⎟ + (ωi ,1 − γ i ,1 ( H1 ) )ϕi ,1 (r ) = 0 , r dr ⎜⎝ dr ⎟⎠ D 1 d ⎛ dϕ i , 2 ( r ) ⎞ ⎜⎜ r ⎟⎟ + (ωi , 2 − γ i , 2 ( H 2 ) )ϕ i , 2 ( r ) + γ i ,1 (H 1 ) ) i ,1 ϕ i ,1 (r ) = 0 , r dr ⎝

dr

Di , 2

⎠

(П.1.7) в зонах радиальных слоёв, где j = 1, 2 (0 ≤ z ≤ H 2 ) ,

d 2ξ1, j ( z ) dz 2 d 2ξ 2, j ( z )

dz

2

+ (ω1, j − α1, j ( R1 ) )ξ1, j ( z ) = 0 ,

(П.1.8)

D1, j

+ (ω2, j − α 2, j ( R2 ) )ξ 2, j ( z ) + α1, j ( R1 )

D2, j

ξ1, j ( z ) = 0 . (П.1.9)

⎛ К ∞(1,1) ⎞ 1 − 1⎟ 2 > 0 – в активной зоне, ⎟L ⎜ К ⎠ 1,1 ⎝ эф 1 = − 2 < 0 – в остальных зонах, Li , j

Здесь ω1,1 = ⎜

ωi , j

а параметры α i , j ( Ri ) , γ i , j ( H j )

(i = 1, 2, j = 1, 2) находятся по

формулам:

α i , j ( Ri ) ∫ ϕi , j (r ) r dr = Ri

dϕi , j ( Ri ) dr

ΔRi

γ i, j ( H j )

∫ξ

i, j

( z ) dz =

ΔH j

dξ i , j ( H j ) dz

.

,

(П.1.10) (П.1.11)

Решения уравнений (П.1.6) - (П.1.9) будем искать на множествах непрерывных и неотрицательных функций, удовлетворяющих

140

следующим (вытекающим из требований, накладываемых на ψ 0 ( r, z ) ) условиям:

⎛ dϕ1, j ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0, ϕ 2 , j ( R2 ) = 0, ϕ1, j ( R1 ) = ϕ 2 , j ( R1 ) , ⎝ dr ⎠ r =0 ⎛ dϕ ⎞ ⎛ dϕ ⎞ = D2 , j ⎜⎜ 2, j ⎟⎟ , D1, j ⎜⎜ 1, j ⎟⎟ ⎝ dr ⎠ r = R1 ⎝ dr ⎠ r = R1

⎛ dξ i ,1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0, ξ i , 2 ( H 2 ) = 0, ξ i ,1 ( H 1 ) = ξ i , 2 ( H1 ) , ⎝ dz ⎠ z =0 ⎛ dξ ⎞ ⎛ dξ ⎞ . Di ,1 ⎜⎜ i ,1 ⎟⎟ = Di , 2 ⎜⎜ i , 2 ⎟⎟ ⎝ dz ⎠ z = H1 ⎝ dz ⎠ z = H1

(П.1.12)

(П.1.13)

Таким образом, решение двумерного уравнения (П.1.1) заменяется решением системы из четырёх (по числу слоёв в реакторе) одномерных уравнений (П.1.6) - (П.1.9). Однако эта система оказывается нелинейной из-за зависимости параметров γ i , j ( H j ) , α i , j ( Ri ) от искомых функций. Поэтому используется итерационный метод, в котором последовательно решаются две задачи: задача «А» – решение уравнений (П.1.6), (П.1.7) при условиях (П.1.12) для функций ϕ i , j ( r ) , описывающих радиальные распределения в слоях j = 1, 2, и задача «В» – решение уравнений (П.1.8), (П.1.9) при условиях (П.1.13) для функций ξ i , j ( z ) , описывающих аксиальные распределения в слоях i = 1, 2 . На каждой n-й итерации выполняются следующие вычисления. По заданным (на первой итерации) или полученным из ( n−1) предыдущей итерации (при n=2, 3, …) значениям γ i , j ( H j ) = γ i , j (n) решается задача «А», находятся распределения ϕ i , j ( r ) = ϕ i , j ( r ) , (n) наименьшее собственное число α1,1 и оценивается эффективный (n ) коэффициент размножения нейтронов К эф = К А из равенства:

⎛ K (1,1)

⎞ 1

α1(,n1) = ⎜⎜ ∞( n ) − 1⎟⎟ 2 − γ 1(,n1−1) . ⎠ L1,1 ⎝ KА 141

(П.1.14)

Соответствующая

ϕi(,n1 ) (r ) ϕ (r ) = ( n ) ϕi , 2 (r ) ( n)

α1(,n1)

числу при

собственная

r ∈ ΔRi (i = 1, 2)

функция

используется

для

определения по формулам (П.1.10) параметров α i , j ( Ri ) . При этом

α1,1 ( R1 ) = α1(,n1) , что легко установить путём интегрирования уравнения (П.1.6) по r ∈ ΔR1 . Полученные

таким

образом

значения

α i , j ( Ri ) = α i(,nj )

используются при решении задачи «В». В результате определяется (n) наименьшее собственное число γ 1,1 задачи, соответствующие ему (n) (n ) распределения ξ i , j ( z ) и оценивается значение K эф = K B из

соотношения:

⎛ K (1,1)

⎞ 1

γ 1(,n1) = ⎜⎜ ∞( n ) − 1⎟⎟ 2 − α1(,n1) . ⎠ L1,1 ⎝ KB Затем

ξ (n) ( z ) =

с

использованием

(П.1.15)

собственной

ξ ( z) , z ∈ ΔH j , ( j = 1, 2) ξ ( z) ( n) 1, j ( n) 2, j

по

формулам

функции (П.1.11)

рассчитываются параметры γ i , j ( H j ) . Причём, как и в задаче «А» (но только интегрированием уравнения (П.1.8) по z ∈ ΔH 1 ), можно ( n) установить, что γ 1,1 ( H1 ) = γ 1,1 . На этом заканчивается одна

итерация. Итерационный счёт продолжается до тех пор, пока не перестанут меняться (в пределах заданных погрешностей) значения α i(,nj) , γ i(,nj) , K A( n ) , K B( n ) . Если это произойдёт, начиная с итерации n=N, то в качестве эффективного коэффициента размножения двумерного реактора принимается: K эф = K A( N ) или K эф = K B( N ) , а собственные функции ϕ ( N ) ( r ) , ξ

(N )

двумерного распределения ψ 0 ( r , z ) .

142

( z ) используются для оценки

Следует отметить, что функции ϕ ( N ) ( r ) , ξ ( N ) ( z ) , полученные из решения соответствующих однородных задач, определены с точностью до постоянных множителей A0 , B0 . Поэтому для согласованных между собой распределений введём обозначения: ϕ i(,0j) ( r ) = A0 ϕ i(,Nj ) ( r ), ξ i(,0j ) ( z ) = B0 ξ i(, Nj ) ( z ) , а один из неизвестных множителей выразим через другой множитель из условия равенства интегральных потоков:

∫ϕ

(0) i, j

( r ) r dr =

ΔRi

∫ξ

( 0) i, j

( z )dz

ΔH j

(которое можно записать для любой зоны реактора). Теперь, учитывая предположение (П.1.4) и соотношения (П.1.5), получим:

ψ i , j ( r, z ) =

ϕ i(,0j) ( r ) ξ i(,0j ) ( z ) ( 0) ∫ ϕ i, j ( r )r dr

r ∈ ΔRi , z ∈ ΔH j .

,

(П.1.16)

ΔRi

Отсюда видно, что построенное на базе функций (П.1.16) двумерное распределение ψ 0 ( r , z ) может терпеть разрывы на границах зон. Это является прямым следствием предположения (П.1.4), которое (как ранее отмечалось) в рассматриваемом случае строго не выполняется. (n) (n) Что касается нахождения неизвестных функций ϕ i , j ( r ), ξ i , j ( z ) , то на каждой итерации это выполняется с использованием известных методов. Так, однородные уравнения (П.1.6), (П.1.8) решаются так же, как для реактора с отражателем (раздел 2.2). При (n) (n) известных распределениях ϕ i ,1 ( r ), ξ1, j ( z ) уравнения (П.1.7) или (П.1.9) являются неоднородными. Решение каждого из них (n) (например, определение ϕ i ,2 ( r ) в задаче «А») представим, опуская номер итерации n , в виде

~

ϕ i ,2 ( r ) = Ai , 2 ϕ~i , 2 ( r ) + f i ,2 ( r ) , i = 1, 2 ,

(П.1.17)

где ϕ~i , 2 ( r ) – решение соответствующего однородного уравнения 1 d ⎛ dϕ~i , 2 ⎞ (П.1.18) ⎜⎜ r ⎟⎟ + (ωi , 2 − γ i , 2 ) ϕ~i , 2 (r ) = 0 , r dr ⎝ dr ⎠

143

~

а f i , 2 ( r ) – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

~ f i , 2 ( r ) = Ci , 2 ϕ i ,1 ( r ) .

Частное решение удобно искать в форме:

Подставляя сумму (П.1.17) в уравнение (П.1.7) и учитывая равенства (П.1.6) и (П.1.18), получим:

Ci , 2 =

γ i ,1 Di ,1 , i = 1, 2. Di , 2 (ωi ,1 − γ i ,1 ) − (ωi , 2 − γ i , 2 )

Реактору с активной зоной, окружённой отражателем, можно сопоставить эквивалентный «голый» (без отражателя) реактор, в котором материальный ω (2.1) и геометрические α r2 , α z2 (2.14) параметры равны: ω = ω1,1 , α r2 = α1,1 , α z2 = γ 1,1 , а

радиус

Rэ

и

Hэ

высота

принимают

значения:

Rэ = R + δ r , H э = H + 2δ z . Если добавки δ r , δ z выбрать так, чтобы:

⎛ 2,405 ⎜⎜ ⎝ Rэ + δ r

2

⎞ ⎟⎟ = α1,1 , ⎠

⎛ π ⎜⎜ ⎝ H э + 2δ z

2

⎞ ⎟⎟ = γ 1,1 , ⎠

то решение задачи о критичности эквивалентного реактора при условиях

φ ( Rэ , z ) = 0 ,

φ (r , ± 0,5H э ) = 0

даст те же значения К эф и асимптотического потока нейтронов

φ (r , z ) , что и полученные выше в приближении (П.1.4) в активной зоне реактора с отражателем. МУРП может быть использован для приближённого расчёта потока нейтронов в более сложных моделях реакторов. Например, если рассматривается многозонный реактор с m слоями в аксиальном и n слоями в радиальном направлениях, а асимптотический поток нейтронов ищется в односкоростном диффузионном приближении, то придём к следующим двум системам одномерных уравнений. Для функций ϕ i , j ( r ) , описывающих радиальные распределения нейтронов в зонах j -х аксиальных слоёв, получим уравнения:

144

1 d ⎛ dϕi , j (r ) ⎞ ⎜r ⎟ + (ωi , j − γ i , j ( H j )ηi , j − γ i , j ( H j −1 ) (1 − ηi , j −1 ) )ϕi , j (r ) + r dr ⎜⎝ dr ⎟⎠ +

Di , j +1 Di , j

γ i , j +1 ( H j ) (1 − ηi , j ) ϕi , j +1 ( r ) +

Di , j −1 Di , j

γ i , j −1 ( H j −1 )ηi , j −1 ϕi , j −1 (r ) = 0 ,

(П.1.19) где параметры γ i , j ( H j ) рассчитываются по формулам вида (П.1.11), а значения γ i , j +1 ( H j ) , ηi , j определяются равенствами: γ i , j +1 ( H j )

∫

ξ i , j +1 ( z ) dz =

dξ i , j +1 ( H j )

ΔH j +1

dz

ηi, j

,

dξ i , j ( H j ) ⎧