ベクトル空間入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近 年 にお け る科 学 技 術 の 発展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の発 展 の 基 盤 には,数 学 の知 識 の応 用 もさ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な考 え方 の 素養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 き を望 め な い で あ ろ う.   編 者 らは,こ

の よ う な事 実 を 考 慮 し,数 学 の 各 分 野 に お け る基 本的 知 識 を確 実

に 伝 え る こ と を 目 的 と して 本 シ リー ズ の 刊 行 を企 画 した の で あ る.   上 の 主 旨 に したが っ て本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え 方 を平 易 に理 解 で きる よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に直 結 して,数 学 の基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高 等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に容 易 に は いれ る よ う書 かれ て あ る.   これ に よ って,高 校 の数 学教 育 に 携 わ る 人 た ち や 技 術 関 係 の 人 々の 参 考 書 と し て,ま

た学 生 の 入 門書 と して,ひ ろ く利 用 され る こ と を念 願 と し て い る.

  この シ リー ズ は,読 者 を 数学 とい う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に資 す る と と も に,つ

ぎの 段 階 にす す む た め の 力 を 養 うに 役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

序   高 校 の 数 学 に ベ ク トル が 導 入 され て か らす で に 久 し い.従

っ て ベ ク トル は ポ

ピ ュ ラ ー な 概 念 に な りつ つ あ る.し か し,高 校 に お け る 取 扱 い は"内 て の 計 算"が

主 で あ る か の よ うで,ベ

積を使 っ

ク トル の 意 味 の 理 解 に は 到 底 及 ぶ べ く も

な い と思 わ れ る.本 書 は そ の ベ ク トル を 正 し く理 解 で き る よ う,さ ら に す す ん で ベ ク トル 空 間 の 概 念 に ま で 発 展 させ て 解 説 した も の で あ る.   この た め に,ベ

ク トル の 理 解 に 必 要 な 幾 何 学 的 側 面 で あ る3次 元 ア フ ィン空

間 ま た は ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 性 質 に つ い て 説 明 し,そ の 幾 何 ベ ク トル の つ く る 3次 元 ベ ク トル 空 間 に つ い て 精 確 に 述 べ た.一 形 式 的 発 展 に過 ぎ な い の で,こ

般 の ベ ク トル 空 間 は そ の 自 然 な

の よ うな ベ ク トル 空 間 へ の 入 門 に よ っ て,い わ

ゆ る 線 形 代 数 学 の 直 観 的 理 解 も容 易 に な る もの と 確 信 して い る.   1章 は 集 合 と 実 数 に つ い て の準 備 で あ る.実 数 の 構 造 は2,3章

で 特 に利用 さ

れ て い る.   2章 も準 備 の 章 で,計 量 的 構 造 を も た な い ア フ ィン 空 間 の 説 明 で あ る.3章 は そ の 幾 何 ベ ク トル の 線 形 性 で あ り,線 形 性 は ベ ク トル 空 間 の 概 念 の 主 要 部 分 で あ る.高 校 の 数 学 で は ふ れ て い な い 部 分 で も あ る.4章

の 計 量 性 は,長

の 計 量 的 構 造 を も つ ユ ー ク リ ッ ド空 間 に つ い て 準 備 した 後,そ の 内 積 を 定 義 して 解 説 され る.5章

さ等

の 幾 何 ベ ク トル

は 空 間 の 点 変 換 で あ り,こ こ で も ア フ ィン

構 造 を た もつ ア フ ィ ン変 換 と計 量 的 構 造 を た もつ 合 同 変 換 に 分 け て 考 え,そ れ ぞ れ の 特 長 的 性 質 が 述 べ られ る.な

お,変 換 の 行 列 表 現 は 本 シ リー ズ の 奥 川 光

太 郎 著'線 形 代 数 学 入 門'に 述 べ られ て い る の で,行

列 表現 を使 わ ない 具 体的

変 換 式 で 取 扱 っ て あ る.   6章 はn次

元 ベ ク トル 空 間 で,こ

こ で は じめ て 実 数 体 上 の ベ ク トル 空 間 の 一

般 論 が これ ま で の 解 説 の 自然 な 発 展 と して 述 べ られ る.7章 ク トル 空 間,特

は 一般 の体上 の ベ

に 複 素 数 体 上 の そ れ を 簡 単 に 述 べ た も の で あ る.

  こ の よ うに,幾

何 学 的 側 面 の 準 備 の た め に 多 くの ペ ー ジ数 を さい た が,勿 論

幾 何 学 基 礎 論 を 述 べ よ う と い う意 図 は 毛 頭 な く,ベ ク トル 空 間 を 正 し く理 解 す る た め に 必 要 な 程 度 に と どめ た.た りに さ れ る傾 向 に あ る と き,ベ

だ,"幾

何 的 性 質 を 考 え る"こ

とが な お ざ

ク トル の 導 入 の た め に 基 本 的 な 幾 何 的 性 質 を 考

え る こ と は 特 に 意 義 深 い と思 う.   本 書 は8,9年 で あ る が,不

前 本 シ リー ズ 刊 行 の 初 期 に 著 者 の1人

が 著 述 を 企 画 した も の

慮 の 事 故 に よ り執 筆 が 困 難 とな り,共 著 で 刊 行 の は こ び に 至 った

の で あ る.こ の 間,本

書 の 刊 行 を 督 促 さ れ た 方 々 に 御 詫 び す る と と も に,辛 抱

強 く待 っ て 頂 い た 朝 倉 書 店 の 方 々 に 謝 意 を 表 した い. 1974年10月 著

者

目

1.  集 合,実

次

数 に つ い て の準 備

  1

  1.1  集

合

 1

  1.2  実

数

 8

2.  空 間 の ア フ ィ ン 構 造   2.1  結 合 性,平

行 性,次

  14 元性

 14

  2.2  空 間 の 順 序 性

  22

  2.3  直 線 の 連 続 性,ア

フ ィン 空 間

  30

  附 録 非 デ ザ ル グ幾 何

  37

3.  ベ ク トル の 線 形 性   3.1  幾 何 ベ ク トル,和   3.2  線 形 結 合,線

  39 ・ス カ ラ ー倍

 39

形 部 分空 間

  3.3  線 形 独 立 ・従 属,基

 43

底 ・成 分,数

  3.4  線 形 部 分 空 間 の 基 底 ・次 元,階   3.5  空 間 の 平 行 移 動,直

ベ ク トル 空 間

数

線 ・平 面 へ の 応 用

4.  ベ ク トル の 計 量 性   4.1  空 間 の 計 量 的 構 造,ユ

 54  59

 68 ー ク リ ッ ド空 間

  4.2  内 積,ユ

ー ク リ ッ ドベ ク トル 空 間

  4.3  外

積

  4.4  双 線 形 形 式,計

  47

 68   76   83

量 ベ ク トル 空 間

5.  空 間 の 点 変 換   5.1  空 間 の ア フ ィ ン変 換,ア

  86

 96 フ ィン写 像

  96

  5.2  線 形 写 像,線

形 変 換,座

  5.3  空 間 の 合 同 変 換,直

標変換

交変 換

  109

  5.4  直 交 変 換(つ づ き)    5.5  固 有 値,対

6.  n次

称 変 換,線

116 形 変 換(つ づ き) 

元 ベ ク トル 空 間

  6.1  ベ ク トル 空 間,同

 133

  6.2  有 限 生 成 ベ ク トル 空 間,基

  6.4  線 形 写 像,線

124

  133

形写 像

  6.3  計 量 ベ ク トル 空 間,正

  101

底 ・次 元

規直 交基 底

形 変 換,直

  6.5  n次 元 ア フ ィン空 間,ユ

  139   145

交 変換

  151

ー ク リ ッ ド空 間

  159

  附録 無 限 次 元 ベ ク トル 空 間 の 基 底 ・次 元

 165

7.  体 上 の ベ ク トル 空 間

 168

  7.1  体,複

素 数 体,有

限体

  7.2  体 上 の ベ ク トル 空 間,複   7.3  ユ ニ タ リ変 換,直

  168 素 計 量 ベ ク トル 空 間

交 変 換(つ づ き) 

  172 178

問 の 解 答

  185

参

書

  190

引

  191

表

 196

考

索 記

号

1. 集 合,実

数 に つ い て の準 備

  こ の 章 で は,ま ず 集 合 に つ い て 記 号 と用 語 を 準 備 す る.ま た,よ

く知 られ て

い る 実 数 の 四 則 演 算 な ど の 代 数 的 性 質 お よび 連 続 性 な ど の位 相 的 性 質 は,い

く

つ か の 基 礎 的 性 質 に 基 づ い て い る の で,そ れ ら に つ い て 後 章 の た め に 準 備 し て お こ う.

  1.1  集

合

  あ る 条 件 を み た し,き ま っ た 範 囲 を な して い る 互 い に 区 別 で き る もの の 集 り を 考 え,そ

れ を 集 合 と よび,そ

集 合 をXで,元

をxで

の 個 々 の もの を そ の 集 合 の 元 ま た は 点 と よぶ.

表 わ す と き,記 号 x∈Xま

は 元xが

集 合Xの

た はX∋x

元 で あ る こ とを 示 す.記

号

また は は そ の否 定,す

な わ ちxがXの

元 で は な い こ と,を 示 す も の とす る.

  い か な る も の も元 と し て 含 ま な い 集 り も1つ の 集 合 と考 え て 空 集 合 とい い, φ で 表 わ す こ と とす る.   元xが

集 合Xの

{x￨P(x)}と

元 で あ る条 件 が 条 件P(x)で

表 わ され る.ま たXの

与 え られ て い る と き,X=

元 がx,y,…,zで

あ る と きX={x,y,…,z}

と表 わ さ れ る.   集 合Aの

元 が す べ て 集 合Xの

元 で あ る と き,す な わ ち x∈A⇒x∈X

の と き,AはXの

部 分 集 合 で あ る と い い,記 A⊂Xま

で 表 わ す.こ

こに'⇒'は'な

号

た はX⊃A

ら ば'を 意 味 す る記 号 で あ る.集 合Aと

が 同 じ集 合 で あ る の は x∈A⇔x∈X

集 合X

の と き,す

なわち A⊂Xか

の と き で あ り,A=Xと る 記 号 で,い

つA⊃X

表 わ さ れ る.こ

わ ゆ る'必 要 か つ 十 分'を

こ に'⇔'は'⇒

  例 題1 

か つ 〓'を

意味す

意 味 す る.

φ ⊂X.

  例 題2 

(A⊂X,B⊂A)⇒B⊂X.

  集 合X,Yが

与 え ら れ て い る と き,以

下 の よ うに 種 々 の 第3の

集合 が定 義

さ れ る.   XとYの

和 集 合X∪Yと

を い う.す

はXま

た はYに

なわ ち X∪Y={x￨x∈Xま

XとYの

た はx∈Y}.

共 通 部 分 ま た は 交 わ りX∩Yと

体 の つ く る 集 合 を い う.す

はXとYの

元 でYに

両 方 に 属 す る元 全

なわち

X∩Y={x￨x∈Xか ま たXとYの

属 す る 元全 体 の つ くる集合

差 集 合 ま た はXに

つx∈Y}. 関 す るYの

属 さ な い も の の つ く る 集 合 を い う.す

補 集 合X-Yと

は,Xの

なわ ち

かつ   一 般 に 有 限 個 の 集 合X1,X2,…,Xnに ∪Xnお

よ び 共 通 部 分X1∩X2∩ X1∪X2∪ ={x￨あ

  例 題3   例 題4

 例題5

… ∩Xnが

様 に 和 集 合X1∪X2∪

定 義 さ れ る.す

… ∪Xn るi(1≦i≦n)が

X1∩X2∩ ={x￨す

対 し て も,同

存 在 し てx∈Xi},

… ∩Xn

べ て のi(1≦i≦n)に

対 しx∈Xi}.

なわ ち

…

 例題6

  集 合X1,X2,…,Xnの

直 積X1×X2×

序 づ け ら れ た)組(x1,x2,…,xn)の =(y1,y2,…,yn)で

… ×Xnと

は 元xi∈Xi(1≦i≦n)の(順

つ く る 集 合 を い う.こ

あ る の は す べ て のi(1≦i≦n)に

対 しxi=yiの

つ そ の と き に 限 る と す る.X=X1=X2=…=Xnの わ さ れ る.す

こ に(x1,x2,…,xn)

と き,こ

と き,か

の 直 積 はXnと

表

なわ ち Xn={(x1,x2,…,xn)￨xi∈X(1≦i≦n)}.

  集 合Xと

集 合Yが

与 え ら れ て,Xの

一 意 に 対 応 さ せ る 規 則fが

各 元xに

対 し てYの

定 ま っ て い る と き ,Xか

が 定 め ら れ て い る と い い,記

らYへ

あ る 元yを の(一 意)写 像f

号 f:X→Y

で 表 わ す.規

則fに

よ っ て 元x∈Xに

元y∈Yが

対 応 す る と き,

y=f(x) と 書 い て,yをxの

写 像fに

  写 像f:X→Y,g:Y→Zに

よ る 像 と い う. 対 し,写

像h:X→Zを

h(x)=g(f(x))  で 定 義 す る こ と が で き る.こ

(x∈X)

のhをfとgの

合 成 と よ び,

h=g°f:X→Z で 表 わ す.   写 像f:X→Yが はAの

元 のfに

与 え ら れ た と き,Xの よ る 像 の 集 合 で あ る.す

部 分 集 合Aのfに

よ る 像f(A)

なわち

f(A)={f(x)￨x∈A}(⊂Y). ま たYの のfに

部 分 集 合Bのfに よ る 像 がBに

よ る 逆 像 ま た は 原 像f−1(B)は,Xの

属 す る も の の つ く る 集 合 で あ る.す

元でそ

なわ ち

f−1(B)={x￨x∈X,f(x)∈B}(⊂X). y∈Bに f−1(y)と

対 し,1点yか 書 く.

ら な る 部 分 集 合{y}の

逆 像f−1({y})を

簡単 の ため

  例 題7   例 題8   例 題9   例 題10   例 題11   写 像f:X→Yが 義 さ れ,fが

全 射 ま た は 上 へ の 写 像 で あ る の はf(X)=Yの 単 射 ま た は1-1写

が 空 集 合 か1点

像 で あ る の は 各 元y∈Yに

と き と定

対 し逆 像f−1(y)

の み か ら な る 集 合 の と き と定 義 さ れ る.

  写 像f:X→Yが

全 射 か つ 単 射 の と き,fは

全 単 射 で あ る とい い,

また は と 書 き表 わ す.こ

れ は 各y∈Yに

の と きで あ り,全 単 射fの

が 定 義 で き る.た

対 し逆 像f−1(y)が

か らな る 集 合

逆写像

と えば 任 意 の 集 合Xに 1X:X→X, 

は 全 単 射 で あ り,そ

た だ1点

対 し恒等 写像

1X(x)=x 

(x∈X),

の 逆 写 像 も 恒 等 写 像 で あ る.

  全 単 射f:X∼Yが

存 在 す る と き,集

合X,Yは

対 等 で あ る,ま

た は1-1

対 応 が つ く と い う.   例 題12  ば,そ

写 像f:X→Y,g:Y→Zが

の 合 成g°f:X→Zも

  例 題13 

と も に 全 射,単 そ うで あ る.

直 積(X×Y)×ZとX×Y×Zは

対 応 さ せ る こ と に よ っ て1-1対   集 合Xに

お いて 同値 関係

は そ の 関 係 に あ る(x∼yと 定 し て い て,各

元x,y,z∈Xに

射 また は 全 単 射 な ら

元((x,y),z)に

元(x,y,z)を

応 が つ く. ∼

が 与 え ら れ て い る と は,任

書 き,xとyは

意 の 元x,y∈X

同 値 で あ る と い う)か

ない か が確

対 して x∼x, 

(反 射 律)

x∼y⇒y∼x, 

(対 称 律)

(x∼y,y∼z)⇒x∼z, 

(推 移 律)

が 成 り立 つ と き を い う.こ

の と き,元x∈Xと

同 値 な 元 全 体 の つ く るXの

部

分集合  (1.1)  をxの

[x]={y￨y∈X,x∼y}

同 値 類 と よ ぶ.

  定 理1.1 

(ⅰ)  x∈[x].

  (ⅱ)  つ ぎ の 条 件(1)∼(6)は   (1) 

x∼y,(2) 

(5) 

xとyが

互 い に 同 値 で あ る:

y∈[x],(3)  あ る 同 値 類[z]に

x∈[y],(4) 

[x]=[y],

属 す る,(6)

  証 明   (ⅰ)  反 射 律 よ り 明 ら か.   (ⅱ) 

(1)⇔(2)⇔(3)定

な ら ばy∼z,し (1)と

義 と 対 称 律 よ り 明 ら か.(1)⇒(4)z∈[y]

た が っ て(1)と

対 称 律 よ りy∼xだ

(6)⇒(1)  さ ら に,こ

推 移 律 よ りx∼z,す

な わ ちz∈[x].逆

か ら 同 様.(4)⇒(5)(ⅰ)よ

(2)⇔(3)よ

り 明 ら か.(5)⇔

りx,y∈[z]とz∈[x]∩[y]と

の と き(1)⇔(2)よ

は

りx∼z,z∼yと

は 同 値 で あ る. な り,推

移 律 よ りx∼y. (証 終)

  こ の 定 理 よ り,各 れ はxの

元x∈Xに

同 値 類[x]で

代 表 元 と よ び,yは[x]を  (1.2)  と 書 き,同

対 し てxを

あ る.同

含 む 同 値 類 は た だ1つ

値 類[x]に

対 し,そ

表 わ す と も い う.∼

存 在 し,そ

の 元y∈[x]を[x]の

に よ る 同 値 類 の集 合 を

X/∼={[x]￨x∈X} 値 関 係 ∼ に よ っ てXを

類 別 し て え ら れ る 商 集 合,ま

た はXに

お

い て 互 い に 同 値 な 元 を 同 一 視 し て え ら れ る 等 化 集 合 と よ ぶ.   例 題14 

元x∈Xに

る こ と に よ っ て,全

そ れ を 含 む た だ1つ

  例 題15 

を対 応 させ

射 p:X→X/∼, 

が え ら れ る.こ

の 同 値 類[x]∈X/∼

p(x)=[x]

れ を 商 集 合 へ の 自 然 な 射 影 と よ ぶ.

自 然 数 の 集 合 をN={1,2,3,…}で

表 わ す.直

積N×Nに

て, (n,m)∼(n′,m′)⇔n+m′=m+n′

 

((n,m),(n′,m′)∈N×N)

おい

に よ り ∼

を 定 義 す れ ば,∼

集 合N×N/∼

はN×Nに

お け る 同 値 関 係 で あ る.さ

ら に,商

は整 数 の集 合 Z={0,±1,±2,…}

と1-1対

応 に あ る.実

際,同

値 類[(n,m)]∈N×N/∼

に 整 数n−m∈Zを

対 応 さ せ れ ば よ い.   例 題16 

直 積Z×Nに

お い て,

(p,n)∼(p′,n′)⇔pn′=np′ に よ り ∼

を 定 義 す れ ば,∼

集 合Z×N/∼

 

はZ×Nに

((p,n),(p′,n′)∈Z×N) お け る 同 値 関 係 で あ る.さ

は 有 理 数 の 集 合Qと1-1対

に 有 理 数p/nを   集 合Xに

際,同

値 類[(p,n)]

対 応 さ せ れ ば よ い. お い て 順 序 関 係