О расчете нагревания масляного кабеля при коротком замыкании

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР. 1937 BULLETIN DE CACADEMIE DES SCIENCES DE L'URSS Classe des sciences Отделение математических mathematiques et naturelles и естественных наук

A. H. КРЫЛОВ О РАСЧЕТЕ НАГРЕВАНИЯ МАСЛЯНОГО К А Б Е Л Я ПРИ КОРОТКОМ ЗАМЫКАНИИ1 Дается численный метод расчета нагревания кабеля при коротком замыкании на основе применения метода наименьших квадратов к при­ ближенному решению уравнения теплопроводности. § 1. Завод «Севкабель» обратился ко мне за указаниями о способе расчета нагревания масляного кабеля в течение непродолжительного времени (около 3 сек.), следующего за коротким замыканием. Я указал на обычный прием решения подобного рода задач по методе фундаментальных функций, в данном случае бесселевых, с применением для определения коэффициентов разложений, удовлетворяющих началь­ ным условиям, способа наименьших квадратов, если не удается пред­ ставить эти коэффициенты в виде определенных интегралов. Некоторые предварительные расчеты, произведенные заводом, давали основание полагать, что в разложениях достаточно брать 8 первых членов; тогда вычисление по методе наименьших квадратов, если его вести на три знака логарифмической линейкой, взяв 48 условных урав­ нений и не вычисляя ни весов, ни вероятных ошибок, занимает у при­ вычного к такой работе вычислителя около 16—20 час. Но затем у меня возникло сомнение, не встретятся ли при решении этой задачи такие затруднения, при которых обычный способ решения окажется неприменимым. Поэтому я сделал попытку развить все необ­ ходимые общие формулы, не производя числовых расчетов. Оказалось, что единственное затруднение состоит в том, что, строго говоря, ре функции, которыми приходится пользоваться, не являются фундамен­ тальными, ибо они между собою не ортогональны, нахождение же «весов» г которыми ортогональность достигается, весьма затруднительно; поэтому практически приходится прибегать к методе наименьших квадратов, чтобы получить приближенные разложения, наметив в буквенной форме лишь общий ход вычислений, как о том указывается ниже. 1

Доложено 21 марта 1936 г. на сессии Группы математики Академии Наук СССР.

4

А. Н. КРЫЛОВ

В виду этой особенности поставленной задачи я позволяю себе изло­ жить ее в надежде, что кто-либо другой укажет более изящный способ решения, а главное, требующий меньшей затраты вычислительной работы. § 2. Поперечное сечение кабеля изображено схематически на чертеже. Напряжение весьма высокое (100000 V), но сечение кабеля таково, что при нормальной силе тока устанавливается тепловое состояние кабе­ ля, которое не вызывает его порчи. Не то будет при случайном коротком замыкании: ток почти мгно­ венно достигнет громадной силы (свыше 10000 А); между тем автома­ тические выключатели требуют около 3 сек., чтобы выключить генератор. Отсюда задача об определении теплового состоя­ ния кабеля в любой момент времени после короткого замы­ кания, причем время это не превышает 3 сек. Итак, мы делаем следующее основное допущение: сила тока в жиле устанавли­ вается гораздо быстрее, нежели происходит нагревание кабеля, поэтому принимаем, что все время процесса сила тока по­ стоянная, а значит, с момента t = 0 происходит постоянное на каждую единицу длины кабеля выделе­ ние тепла в жиле и с этого же момента происходит усиленная против нормальной отдача тепла маслу и изоляции. Кроме того, делается допущение, что все термические элементы (теплоемкость, теплопроводность, теплоотдача) от температуры не за­ висят и остаются постоянными. Таково задание, сформулированное в соответствии с предъявленными мне «Севкабелем» требованиями. Систему единиц берем CGS. Температуру выражаем в градусах Цельсия, причем за начальный уровень принимаем не температуру таяния льда, а температуру почвы, ибо это удобнее при развитии формул. Теплоемкость будем выражать в малых калориях, относя ее к единице массы, т. е. к грамму. Таким образом единицы будут: Количество тепла кал (малая калория), гг, кал 1 Хешюпроводность — г " ~OQ-' ГР, кал 1 1еплоемкость • -~г' Г

Vu

т

кал

1

1еплоотдача ^ Плотность

— г • -гтг? см2 °С —т- •

О РАСЧЕТЕ НАГРЕВАНИЯ МАСЛЯНОГО КАБЕЛЯ

5

Соответственно схеме сечения кабеля примем следующие обозначения термических элементов различных средин, приписывая маслу индекс 1, жиле—индекс 2, изоляции— индекс 3: Плотность Теплоемкость Теп ло пр о во дно сть Постоянная

Si Ki "1«

Теплоотдача Постоянная

Hi

1

1

~ КА,-

> (i == 1,2,3)

Индекс i у Н соответствует номеру поверхности. § 3. Обозначим через р.г(г, £)= е$, (£ = 1,2,3) температуру в момент времени t в слое, лежащем в расстоянии г от оси кабеля, беря значок i соответственно среде. Поставленная задача сводится к следующей математической: тре­ буется определить функции рх, p2, t>3? удовлетворяющие следующим диф­ ференциальным уравнениям (I), граничным условиям (II) и начальным условиям (III). 1°. Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я : дг dv, ~dt dv% ~dt

KI

\JF~T~T

дг ) '

^

— л 2 ^ 0r* "Г" г drJ^K^b2

— a2) '

V

'

(I)

Здесь Q есть выделяемое в 1 сек. на каждый сантиметр длины ка­ беля количество тепла после короткого замыкания. 2°. Для составления граничных условий принимаем: сквозь каждую поверхность раздела двух смежных средин проходит в 1 сек. коли­ чество тепла, пропорциональное разности (перепаду) температур по обе стороны этой поверхности, так что это количество протекающего тепла будет: п р и г = а . . . 2Tta-H1[v2(a,t) — ^ ( a , * ) ] , » »

r = 6 . . . 2тсб.#я[?а(М) — M M ) L r = c . . . 2 те • # 3 p3(c, t).

Соответствующие этому количеству тепла тепловые потоки в смеж­ ности с поверхностью раздела будут пропорциональны градиенту темпе­ ратуры и теплопроводности, т. е. при г -- а будет: для масла » жилы при г = Ъ будет: »

»

2 тг а г\х ( — -~ j 2тсат)2! 2 тс Ъ ?)2 (^А

,

~) ,

6

А. Н. КРЫЛОВ

для изоляции 2тсЪ ri3 ( ^ )

,

\ иг 'т=Ь

при г - с будет: »

»

2тсст) 3 (~Л

.

Положим для сокращения письма

Тогда получим следующие г р а н и ч н ы е у с л о в и я : для сх: при г = 0 должно быть сх (0,