Элементы экономико-математического моделирования. Лабораторный практикум

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т

К афедраИ н формацион н ых Т ехн ологий и математических методов в э кон омике

Л а бора т орн ы й п ра к т и к у м п о к у рсу

Э лемен ты э кон омико-математичес кого моделирован ия Д ля ст у ден т ов 2-4 к у рсов дн ев н ог о и в ечерн ег о от делен и й эк он ом и ческ ог о ф а к у льтет а

Сос тавители: В .В . Д авн ис И .Н .Щ епин а С.И . М окш ин а О .С. В оищ ева С.С.Щ екун с ких

В орон еж 2001

Элем ен т ы ЭМ М В веден ие. Кру г в оп росов , ра ссм а т ри в а ем ы х в п редла г а ем ом ла бора т орн ом п ра к т и к у м е, в к люча ет в себя ра ск ры т и е п он ят и й и м ет одов м а т ем а т и ческ ог о м одели ров а н и я соц и а льн о – эк он ом и ческ и х си ст ем и п роц ессов . Ра ссм а т ри в а ют ся ба ла н сов ы е м одели в ст а т и ческ ой п ост а н ов к е, одн оф а к т орн ы е и м н ог оф а к т орн ы е м одели рег ресси и , м одельча ст и чн ог о ры н очн ог о ра в н ов еси я – п а у т и н ообра зн а я м одель. Кром е т ог о, в ла бора т орн ы й п ра к т и к у м в к лючен ы т а к и е п ри к ла дн ы е м одели , к а к м одельф орм и ров а н и я п рои зводст в ен н ой ф у н к ц и и , м одельф и рм ы и м одельп от реблен и я. Подробн о, н а п ри м ере к он к рет н ог о зада н и я п о к а ж дой т ем е, оп и са н а п оследов а т ельн ост ьп ров еден и я ра счет ов п о ф орм и ров а н и ю эк он ом и к о – м а т ем а т и ческ ой м одели . Д ля са м ост оят ельн ой ра бот ы ст у ден т ов п реду см от рен ы ла бора т орн ы е зада н и я. Цельла бора т орн ог о п ра к т и к у м а – зак реп лен и е зн а н и й п о т еори и и п ра к т и ческ ом у и сп ользов а н и ю м а т ем а т и ческ и х м оделей в слож н ы х эк он ом и ческ и х ра счет а х и в ы ра бот к а н а в ы к ов п ров еден и я ра счет ов с и сп ользов а н и ем элек т рон н ы х т а бли ц EXCEL в среде WINDOWS. 1. О с н овн ыеоперации матричн ой алгебры в EXCEL При в еден н ы е н и ж е у п ра ж н ен и я п редла г а ют ся ст у ден т а м для са м ост оят ельн ог о в ы п олн ен и я с ц елью п ов т орен и я и зак реп лен и я н а в ы к ов ра бот ы с т а бли чн ы м п роц ессором EXCEL п ри в ы п олн ен и и осн ов н ы х оп ера ц и й м а т ри чн о-в ек т орн ой а лг ебры .

7  2 5 1. Д ля м а т ри ц ы А=  6 3 4  н а йт и ее оп редели т ель A ,    5 − 2 − 3 −1 −1 −1 обра т н у ю м а т ри ц у A , п рои зведен и е A * A и A * A .

2

Элем ен т ы ЭМ М

1 2 1  2 3 1 2. Д ля м а т ри ц С= 0 1 2 и D=  − 1 1 0  н а йт и C , D ,      3 1 2  1 2 − 1 CD DC и п ров ери т ьсп ра в едли в ост ьра в ен ст в а : (CD) −1 = C −1 * D −1 = D −1 * C −1 1 3. Вы чи сли т ьD=ABC-3E, г де А= 0  1 С= [2 0 5].

= ( DC ) −1. 2 − 3 1  1 2  , В=  2 ,    0 4   3

 2 0 3 4 2   ' 2 4. Вы чи сли т ьD= ( AB) − C , г де А=  , В= 1 3 ,    1 0 5  0 5 0 3  С=  . 0 4  

5. Вы чи сли т ьм а т ри ц у В=11 * ( A −1 ) ' + A ' , г де

 2 −4 1  А=  1 − 1 − 1 .   1   − 2 3 6. На йт и X = A * A −1 + B * C + E , если

1 1 1 − 1 0 5 − 1 3 2 A = 2 1 0  , B = 3 4 5  , C = 1 2 − 1       1 − 1 1  1 − 1 2  7 − 5 3 

7. Предп ри ят и е п рои зводи т п роду к ц и ю т рех в и дов и и сп ользу ет сы рье дв у х т и п ов . Норм ы зат ра т сы рья н а еди н и ц у п роду к ц и и

2 1 3   . Ст ои м ост ь 1 3 4 еди н и ц ы сы рья к а ж дог о т и п а зада н а м а т ри ц ей В= [10 15] . к а ж дог о в и да зада н ы м а т ри ц ей А= 

3

Элем ен т ы ЭМ М Ка к ов ы общ и е зат ра т ы п редп ри ят и я н а п рои зводст в о 100 ед.п роду к ц и и 1-г о в и да , 200 ед. п роду к ц и и 2-г о в и да и 150 ед. п роду к ц и и 3-г о в и да ? 8 .О бу в н а я ф а бри к а сп ец и а ли зи ру ет ся п о в ы п у ск у и здели й т рех в и дов : са п ог , к россов ок и бот и н ок ; п ри эт ом и сп ользует ся сы рье т рех т и п ов : S1, S2, S3. Норм ы ра схода к а ж дог о и зн и х н а одн у п а ру обу в и и объ ем ра схода сы рья н а 1 ден ьзада н ы т а бли ц ей: Ви д сы рья

S1 S2 S3

Норм ы ра схода сы рья н а одн у п а ру , у сл.ед. Са п ог и Кроссов к и Б от и н к и 5 3 4 2 1 1 3 2 2

Ра сход сы рья н а 1 ден ь, у сл.ед. 2700 800 1600

На йт и еж едн ев н ы й объ ем в ы п у ск а к а ж дог о в и да обу в и , реш и в си ст ем у у ра в н ен и й мет одом обра т н ой м а т ри ц ы . 2. Э кон омико-математичес кая модель материальн ого балан с а произ водс тваи рас пределен ия продукции 2.1. При н ц и п и а льн а я схем а м еж от ра слев ог о ба ла н са и осн ов н ы е ба ла н сов ы е соот н ош ен и я. Предп олож и м , чт о эк он ом и ческ а я си ст ем а сост ои т и зn в заи м осв язан н ы х от ра слей (п редп ри ят и й, эк он ом и ческ и х объ ек т ов ). Ка ж да я от ра сльв ы ст у п а ет в роли п ост а в щ и к а п рои зводи м ой ею п роду к ц и и и в роли п от реби т еля п роду к ц и и дру г и х от ра слей си ст ем ы . Вв едем обозн а чен и я: i - п орядк ов ы й н ом ерот ра сли , п рои зводящ ей п роду к ц и ю, ( i =1,2,… ,n); j - п орядк ов ы й н ом ерот ра сли , п от ребляющ ей п роду к ц и ю, ( j = 1,2,… ,n);

X i - в а лов ой п роду к т i-ой от ра сли Yi - к он ечн ы й п роду к т j-ой от ра сли x ij - зат ра т ы п роду к ц и и i-ой от ра сли н а п рои зводст в о п роду к ц и и

4

Элем ен т ы ЭМ М j-ой от ра сли ; Vj - у слов н о-чи ст а я п роду к ц и я j-ой от ра сли ; Вся и н ф орм а ц и я об эк он ом и ческ ой си ст ем е п редст а в лен а в т а бли ц е: 1 2 … j … n И т ог о Кон . Ва л. О т ра сли п род. п род. 1 x1 j x11 x12 x1n Y1 X1 ∑ x1j j

2

x 21

x 22

x2 j

x2n

∑ x2 j

Y2

X2

Yj

Xj

Yn

Xn

∑ Yi

∑ Xi

j

… i

x i1

xi2

x ij

x in

∑ xij j

… n

x n1

xn2

xnj

x nn

∑ x nj j

И т ог о У слов .чи ст а я п род. Ва лов ой п род.

∑ x i1 ∑ x i 2

∑ x ij

∑ x in ∑ ∑ x ij

i

i

i

i

i

j

V1

V2

Vj

Vn

∑ Vj

i

j

X1

X2

Xj

Xj

∑X j j

О сн ов н ы е ба ла н сов ы е соот н ош ен и я: 1. Xi = Yi +

n

∑ x ij , j=1

i = 1,2,..., n

(1)

- ба ла н с м еж ду п рои зводст в ом и п от реблен и ем . 2. X j = Vj +

n

∑ x ij ,

i =1

j = 1,2,..., n

(2)

- ст ои м ост н а я ст ру к т у ра п роду к ц и и j-ой от ра сли . n

3.

n

∑ Yi = ∑ Vj

i =1

(3)

j=1

- ра в ен ст в о су м ма рн ог о к он ечн ог о п роду к т а и су м ма рн ой у слов н очи ст ой п роду к ц и и .

5

i

Элем ен т ы ЭМ М

n n

4.

∑ ∑ x ij

i =1 j=1

- п ром еж у т очн ы й п роду к т эк он ом и ческ ой си ст ем ы . 2.2. Пост роен и е м а т ем а т и ческ ой м одели Вв едем в ра ссм от рен и е коэ ффициен ты прямых з атрати ли техн ологичес киекоэ ффициен ты, ра ссчи т а н н ы е п о ф орм у ле: (4) a ij = x ij / X j, i, j = 1,2,..., n Коэф ф и ц и ен т ы a ij п ок а зы в а ют , ск олько еди н и ц п роду к ц и и i-ой от ра сли н еп осредст в ен н о зат ра чи в а ет ся в к а чест в е средст в п рои зводст в а н а в ы п у ск еди н и ц ы п роду к ц и и j-ой от ра сли . И сп ользов а н и е к оэф ф и ц и ен т ов п рям ы х зат ра т п озволяет п редст а в и т ьзап и сьба ла н са (1) в в и де: n

X i = Yi + ∑ a ij X j , j=1

i = 1, 2,..., n

(5)

Е сли в в ест и следу ющ и е обозн а чен и я:

 a11 a12 a 21 a 22 A= ...  ... a  n1 a n 2

... a1n   X1  X  ... a 2 n   , X =  2 , ... ...   ...   X  ... a nn   n

 Y1  Y  Y =  2 ,  ...     Yn 

т о си ст ем у (5) м ож н о зап и са т ьв м а т ри чн о-в ек т орн ой ф орм е: AX + Y = X . (6) Си ст ем а у ра в н ен и й м еж от ра слев ог о ба ла н са яв ляет ся от ра ж ен и ем реа льн ы х эк он ом и ческ и х п роц ессов , в к от оры х содерж а т ельн ы й см ы сл м ог у т и мет ьли ш ьн еот ри ц а т ельн ы е зн а чен и я в а лов ы х в ы п у ск ов . Т а к и м обра зом, в ек т орв а лов ой п роду к ц и и сост ои т и зн еот ри ц а т ельн ы х к ом п он ен т ов и н а зы в а ет ся н еот ри ц а т ельн ы м : X ≥ 0 . Вст а ет в оп рос, п ри к а к и х у слов и ях эк он ом и ческ а я си ст ем а сп особн а обесп ечи т ьп олож и т ельн ы й к он ечн ы й в ы п у ск п о в сем от ра слям . О т в ет н а эт от в оп рос св язан с п он ят и ем п роду к т и в н ост и м а т ри ц ы к оэф ф и ц и ен т ов п рям ы х м а т ери а льн ы х зат ра т . Д ост а т очн ы м п ри зн а к ом п роду к т и в н ост и м а т ри ц ы А яв ляет ся ог ра н и чен и е н а в ели чи н у ее н орм ы , т .е. н а в ели чи н у н а и больш ей и зсу м м элем ен т ов м а т ри ц ы А в к а ж дом

6

Элем ен т ы ЭМ М ст олбц е. Е сли н орм а м а т ри ц ы А ст рог о м ен ьш е еди н и ц ы , т о эт а м а т ри ц а п роду к т и в н а . У слов и е о т ом , чт о a ij п ост оян н ы в н ек от ором п ром еж у т к е в ремен и , охв а т ы в а ющ ем к а к от чет н ы й, т а к и п ла н и ру ем ы й п ери оды , п озволяет реш а т ьзада чу , зак люча ющ у юся в т ом , чт обы н а ба зе да н н ы х об и сп олн ен и и ба ла н са за п редш ест в у ющ и й (от чет н ы й) п ери од оп редели т ьда н н ы е н а п ла н и ру ем ы й п ери од. Эт а зада ча м ож ет бы т ьп ост а в лен а в т рех в а ри а н т а х. Перв ы й в а ри а н т : п о зада н н ы м в а лов ы м у ров н ям п рои зводст в а в сех от ра слей (зада н в ек т ор X ) оп редели т ьобъ емы в ы п у ск а к он ечн ой п роду к ц и и (в ек т ор Y ). В эт ом слу ча е си ст ем у (6) у добн о зап и са т ьв в и де: (7) Y = X − A * X. Вт орой в а ри а н т : п о зада н н ы м у ров н ям к он ечн ой п роду к ц и и от ра слей (в ек т ор Y ) оп редели т ьобъ емы в а лов ой п роду к ц и и (в ек т ор X) . В эт ом слу ча е си ст ем а (6) п ереп и сы в а ет ся в в и де:

X = ( E − A) −1 * Y, г де E - еди н и чн а я м а т ри ц а ра зм ерн ост и n; ( E − A) −1 - обра т н а я м а т ри ц а к м а т ри ц е E − A .

(8)

Элем ен т ы эт ой м а т ри ц ы ест ькоэ ффициен ты полн ых материальн ых з атрат, п ок а зы в а ющ и е, ск олько в сег о н у ж н о п рои звест и п роду к ц и и i-ой от ра сли , чт обы п олу чи т ьеди н и ц у к он ечн ой п роду к ц и и j-ой от ра сли . И сходя и зт ог о, чт о к роме п рям ы х зат ра т су щ ест в у ют к осв ен н ы е зат ра т ы т ой и ли и н ой п роду к ц и и н а п редш ест в у ющ и х ст а ди ях п рои зводст в а , и м еет м ест о следу ющ ее оп ределен и е: коэ ффициен том полн ых материальн ых з атратн а зы в а ет ся су м м а п рям ы х и к осв ен н ы х зат ра т п роду к ц и и . Т рет и й в а ри а н т : п о от дельн ы м от ра слям зада ют ся у ров н и в а лов ой п роду к ц и и , п о дру г и м - у ров н и к он ечн ог о п роду к т а (в су м м е чи сло зада н н ы х в ели чи н ра в н о n). Т ребу ет ся оп редели т ьзн а чен и я ост а льн ы х n п ерем ен н ы х. В эт ом слу ча е ра счет н еи звест н ы х осу щ ест в ляет ся п о к ом би н и ров а н н ой схем е: (9) X1 = ( E − A11 ) −1 * ( Y1 + A12 * X 2 ) Y2 = ( E − A 22 ) * X 2 − A 21 * X1, (10) г де Y1 , X 2 - в ек т оры зада н н ы х у ров н ей к он ечн ог о и в а лов ог о п роду к т ов ; X1 , Y2 - в ек т оры и ск ом ы х у ров н ей в а лов ог о и к он ечн ог о

7

Элем ен т ы ЭМ М п роду к т ов ; i, k = 1,2 - блок и ра зби ен и я м а т ри ц ы Aik , к оэф ф и ц и ен т ов п рямы х зат ра т А. 2.3. При м ери п орядок в ы п олн ен и я ла бора т орн ог о зада н и я Ра сп ола г а я следу ющ и м и да н н ы м и об эк он ом и ческ ой си ст ем е, сост оящ ей и зт рех эк он ом и ческ и х объ ек т ов : P1 п ром ы ш лен н ост ь, P2 - сельск ое хозяйст в о, P3 - т ра н сп орт : О т ра сли Y P1 P2 P3 ∑

P1 P2 P3

20

50

10

0

200 40

X 300 500

0

240

∑

310

V X

390

Т ребу ет ся: 1. За в ерш и т ьсост а в лен и е ба ла н са . 2. Ра ссчи т а т ьм а т ри ц у к оэф ф и ц и ен т ов п рям ы х зат ра т , п олн ы х зат ра т , к осв ен н ы х зат ра т . 3. Ра ссчи т а т ьв а лов ы е в ы п у ск и 1-ой и 2-ой от ра слей и к он ечн ы й п роду к т 3-ей от ра сли н а п ла н и ру ем ы й п ери од п ри у слов и и у в ели чен и я к он ечн ог о п роду к т а п ерв ы х дв у х от ра слей н а 3%, ост а в и в бези зм ен ен и я объ ем в а лов ог о п роду к т а 3-ей от ра сли . 4. Ра ссчи т а т ьн ов у ю п рои зводст в ен н у ю п рог ра м му к а ж дой от ра сли . Порядок в ы п олн ен и я зада н и я. 1. Сост а в лен и е ба ла н са . 1.1. И сп ользу я ба ла н с м еж ду п рои зводст в ом и п от реблен и ем п роду к ц и и от ра сли P1 , н а йдем 3

3

∑ x1 j , а зат ем x13 : j=1

∑ x1j = X1 − Y1 = 300 − 200 = 100

j=1

8

Элем ен т ы ЭМ М

3

x13 = ∑ x1 j − ( x11 + x12 ) = 100 − ( 20 + 50) = 30 j=1

1.2.

И сп ользу я ба ла н с м еж ду п рои зводст в ом и п от реблен и ем п роду к ц и и от ра сли P2 , н а йдем Y2 , п редв а ри т ельн о п одсчи т а в

3

∑ x2 j :

j=1 3

∑ x 2 j = 10 + 0 + 40 = 50

j=1

3

Y2 = X 2 − ∑ x 2 j = 500 − 50 = 450 j=1

1.3.

И сп ользу я соот н ош ен и е м еж ду элем ен т а м и ст олбц а н а йдем

∑

n

∑x3 j :

j=1 3

∑ x 3 j = ∑∑ x ij − ∑ x1j − ∑ x 2 j = 310 − 100 − 50 = 160 j=1

1.4.

i j

j

j

И сп ользу я ба ла н с м еж ду п рои зводст в ом и п от реблен и ем п роду к ц и и от ра сли P3 , н а йдем X 3 :

X3 = Y3 + ∑ x 3 j = 240 + 160 = 400 j

1.5.

Вы чи сли м су м ма рн ы е зат ра т ы в сех т рех от ра слей н а п рои зводст в о п роду к ц и и п ерв ой от ра сли 3

∑ x 1 j = 20 + 10 = 30

j =1

1.6.

И сп ользу я ст ои м ост н у ю ст ру к т у ру п роду к ц и и от ра сли P1 , н а йдем ее у слов н о чи ст у ю п роду к ц и ю V1 : 3

V1 = X1 − ∑ x1 j = 300 − 30 = 270 j=1

1.7.

И сп ользу я соот н ош ен и е (3), п олу чи м у слов н о чи ст у ю п роду к ц и ю от ра сли P3 : 3

V3 = ∑Yj − V1 − V2 = 200+ 450+ 240− 270− 390= 230 j=1

9

,

Элем ен т ы ЭМ М

О п редели м су м м а рн ы е зат ра т ы н а п рои зводст в о п роду к ц и и от ра слей P2 и P3 :

1.8.

3

∑ x i 2 = X 2 − V2 = 500 − 390 = 110

i =1 3

∑ x i 3 = X 3 − V3 = 400 − 230 = 170

i=1

О п редели м зат ра т ы п роду к ц и и от ра сли P3 н а

1.9.

п рои зводст в о п роду к ц и и P2 и н а собст в ен н ы е п рои зводст в ен н ы е н у ж ды : 3

x 32 = ∑ x i 2 − x 12 − x 22 = 110 − 50 − 0 = 60 i=1 3

x 33 = ∑ x i3 − x 13 − x 23 = 170 − 30 − 40 = 100 i =1

О к он ча т ельн о п олу ча ем: О т ра сли

P1

P2

P3

∑

P1 P2 P3

20

50

30

10

0

0

∑

V X

Y

X

100

200

300

40

50

450

500

60

100

160

240

400

30

110

170

310

270 300

390 500

230 400

2. Ра счет м а т ри ц ы к оэф ф и ц и ен т ов п рям ы х зат ра т , п олн ы х зат ра т и к осв ен н ы х зат ра т . 2.1. Элемен т ы м а т ри ц ы к оэф ф и ц и ен т ов п рям ы х зат ра т ра ссчи т а ем п о ф орм у ле (4), п олу чи м :

0.066 0.1 0.075 A =  0.033 0 0 .1    0.12 0.25   0 2.2. Пров ерк а у слов и я ∑ a ij < 1, j=1,2, … ,n , г а ра н т и ру ющ ег о i

су щ ест в ов а н и е реш ен и я:

10

Элем ен т ы ЭМ М

∑ a i1 = 0.099 < 1 , ∑ a i 2 = 0.22 < 1 , ∑ a i 3 = 0.325 < 1 . i

i

i

2.3. Элем ен т ы м а т ри ц ы п олн ы х зат ра т ра ссчи т а ем п о ф орм у ле

A* = ( E − A ) −1, п олу чи м : 1.076 0.122 0.124 A* =  0.036 1.020 0.140    0.006 0.163 1.356

2.4. Элем ен т ы м а т ри ц ы к осв ен н ы х зат ра т ра ссчи т а ем п о ф орм у ле A = A − A , п олу чи м : '

*

1.009 0.022 0.049 A' =  0.003 1.020 0.040   0.006 0.043 1.106 

2. Ра счет в а лов ы х в ы п у ск ов 1-ой и 2-ой от ра слей и к он ечн ог о п роду к т а 3-ей от ра сли . 3.1. О п редели м в а лов ы е у ров н и п роду к ц и и от ра слей P1 , P2 н а п ла н и ру ем ы й п ери од, п редв а ри т ельн о в ы чи сли в н ов ы е у ров н и и х к он ечн ы х п роду к т ов :

Y1 = 200 *1.03 = 206

Y2 = 450 * 1.03 = 463.5

Ра счет п рои зведем п о схем е:

X1 = ( E − A11 ) −1 * ( Y1 + A12 X 2 ) ,  X1  г де X1 =   - и ск омы й в ек т орв а лов ой п роду к ц и и от ра слей X  2 P1 , P2 ; X 2 = X 3 - у ров ен ьв а лов ой п роду к ц и и 3-ей от ра сли ;  Y1  Y1 =   - н ов ы й в ек т орк он ечн ой п роду к ц и и от ра слей  Y2  P1 , P2 ; Aik - блок и ра зби ен и я м а т ри ц ы A :  a 13   a11 a12  A11 =  ; A = 12 a  .  a 21 a 22   23 

11

Элем ен т ы ЭМ М

307.9   513.8

Результа т ы ра счет ов : X1 = 

3.2. О п редели м объ ем к он ечн ог о п роду к т а от ра сли P3 п о схем е:

Y3 = (1 − A 22 ) * X 3 − A 21 * X1,  X1  г де X1 =   - в ек т орв а лов ой п роду к ц и и от ра слей P1 , P2 , X  2

н а йден н ы й н а п реды ду щ ем ш а г е; A21, A22 - блок и ра зби ен и я м а т ри ц ы A : A21 = (a 31, a 32 );

A22 = a 33

Резу льта т ра счет а : Y3 = 238.3 4. Ра счет п рои зводст в ен н ой п рог ра м м ы к а ж дой от ра сли . Ра счет ы п рои зведем п о ф орму ле (4), зап и са н н ой в в и де: x ij = a ij * X j (11) Результа т ра счет ов

∑

О т ра сли

P1

P2

P3

P1 P2 P3

20,321

51,380

30

101,701

10,161

0

40

50,161

0

61,656

100

161,656

30,482

113,036

170

313,518

∑

5. Результа т ы ра счет ов п .3, 4 п редст а в и м в ба ла н се н а п ла н и ру емы й п ери од: О т ра сли

P1

P2

P3

P1 P2 P3

20,321

51,380

30

10,161

0

0

61,656

∑

Y

X

101,701

206

307,7

40

50,161

463,5

513,7

100

161,656

238,3

400

313,518

907,8

∑

30,482

V X

277,218 400,664 230 307,7 513,7 400

113,036 170

12

907,8

Элем ен т ы ЭМ М 2.4. За да чи для са мост оят ельн ог о реш ен и я Задача 1. О п редели т ьн а п ла н и ру ем ы й п ери од п рои зводст в ен н у ю п рог ра м м у т рех г ру п п в заи м осв язан н ы х п редп ри ят и й: г р.1 в ы п у ск а ет ст а н к и , г р.2 - элек т ром от оры , г р.3 - м ет а ллоп рок а т . И звест н о, чт о да н н ы е п редп ри ят и я долж н ы да т ьн а родн ому хозяйст в у 15000 ш т . ст а н к ов , 77000 ш т . элек т ром от оров и 46000 т . п рок а т а . Норм ы ра схода эт и х и здели й для в заи м н ог о и собст в ен н ог о в осп рои зводст в а п ри в еден ы в т а бли ц е: Гру п п ы п редп ри ят и й 1 (в ш т .) 2 (в ш т .) 3 (в ш т .)

Прои зводст в ен н ое п от реблен и е 1 (н а 1 ш т .) 2 (н а 1 ш т .) 3 (н а 1 ш т .) 0,03 0,05 0,06 0,02 0,03 0,01 0,01 0,04 0,02

Задача 2. Ра сп ола г а я да н н ы м и об эк он ом и ческ ой си ст ем е, сост оящ ей и зчет ы рех эк он ом и ческ и х объ ек т ов : О бъ ек т ы 1 2 3 4 Y ∑ 1 2 3 4

∑ V X

0 170 160 400

120 80 150

30 50 10

380 430

30 80 20

600 480

80 1200

330

1. За в ерш и т ьсост а в лен и е ба ла н са . 2. Ра ссчи т а т ьм а т ри ц у к оэф ф и ц и ен т ов п рям ы х зат ра т , п олн ы х зат ра т , к осв ен н ы х зат ра т . 3. Пров ери т ьв ы п олн ен и е у слов и я, г а ра н т и ру ющ ег о су щ ест в ов а н и е реш ен и я. 4. Ра ссчи т а т ьв а лов ой в ы п у ск н а н ов ы й а ссорт и м ен т к он ечн ог о п роду к т а (450, 260, 130, 110). 5. Ра ссчи т а т ьн ов у ю п рои зводст в ен н у ю п рог ра м м у к а ж дог о эк он ом и ческ ог о объ ек т а . Задача 3. В сост а в е п и щ ек ом би н а т а 3 осн ов н ы х (1,2,3) и 2 заг от ов и т ельн ы х (4,5) ц еха . Д а н н ы е о м еж ц ехов ы х п от ок а х п роду к ц и и и объ ем а х к он ечн ог о в ы п у ск а в п редш ест в у ющ и й п ла н ов ом у п ери од п ри в еден ы в т а бли ц е:

13

X

2160

Элем ен т ы ЭМ М

№ ц ехов 1 2 3 4 5

М е ж ц е х о в ы е 1 2 3 0 50 70 10 0 20 30 40 0 270 380 700 350 900 800

п о с т а в к и 4 5 0 0 0 0 0 0 10 0 0 15

Кон ечн ы й п роду к т 900 1500 1600 0 0

Т ребу ет ся ра ссчи т а т ь: 1. Ва лов ы е объ емы в ы п у ск а п роду к ц и и к а ж ды м ц ехом ; 2. М а т ри ц у к оэф ф и ц и ен т ов п рям ы х зат ра т ; 3. Пров ери т ьв ы п олн ен и е у слов и я, г а ра н т и ру ющ ег о су щ ест в ов а н и е реш ен и я; 4. М а т ри ц ы к оэф ф и ц и ен т ов п олн ы х и к осв ен н ы х зат ра т ; 5. Ва лов ой в ы п у ск к а ж дог о осн ов н ог о ц еха н а 3 в а ри а н т а а ссорт и м ен т н ог о п ла н а к он ечн ой п роду к ц и и эт и х ц ехов в п редп олож ен и и , чт о объ ем заг от ов ок в п ла н ов ом п ери оде 4-г о ц еха у в ели чи т ся н а 8%, а 5-г о - н а 10%: I – у в ели чи т ьв ы п у ск к он ечн ой п роду к ц и и к а ж дог о осн ов н ог о ц еха н а 9%; II – у в ели чи т ьв ы п у ск к он ечн ой п роду к ц и и 1-г о ц еха н а 10%, 2-г о – н а 7%, 3-г о – н а 12 %; III– у в ели чи т ьв ы п у ск к он ечн ой п роду к ц и и 1-г о и 2-г о ц ехов н а 15%, а 3-г о н а 10% у м ен ьш и т ь; 6. Д ля III в а ри а н т а ра ссчи т а т ьп рои зводст в ен н у ю п рог ра мм у к а ж дог о ц еха . Задача 4. У слов н о эк он ом и к а ра зделен а н а 4 сек т ора : 1 - от ра сли , п рои зводящ и е средст в а п рои зводст в а (г ру п п а А), 2 - от ра сли , п рои зводящ и е п редм ет ы п от реблен и я (г ру п п а Б ), 3 - сельск ое хозяйст в о, 4 - п рочи е от ра сли . М еж от ра слев ы е п от ок и в п редш ест в у ющ ем п ла н ов ом п ери оде п ри в еден ы в т а бли ц е: О т ра сли О т ра сли п от ребляющ и е КоКон ечн ы й п рои зводящ и е Гру п п а А Гру п п а Б С/х Прочи еп рп роду к т Гру п п а А 96 17 9 40 318 Гру п п а Б 24 34 6 30 76 Сельск ое х-в о 48 8,5 6 20 67,5 Прочи е от р. 96 17 15 10 62

14

Элем ен т ы ЭМ М Т ребу ет ся: 1. По да н н ы м и сп олн ен н ог о ба ла н са ра ссчи т а т ь: 1.1. О бъ емы в а лов ой п роду к ц и и , в ы п у щ ен н ы е к а ж дой от ра слью; 1.2. М а т ри ц у к оэф ф и ц и ен т ов п рям ы х зат ра т ; 1.3. Пров ери т ьв ы п олн ен и е у слов и я, г а ра н т и ру ющ ег о су щ ест в ов а н и е реш ен и я. 2. Д ля п ла н ов ог о п ери ода в ы чи сли т ь: 2.1. М а т ри ц у к оэф ф и ц и ен т ов п олн ы х зат ра т ; 2.2. М а т ри ц у к оэф ф и ц и ен т ов к осв ен н ы х зат ра т ; 2.3. Ва лов ы й в ы п у ск к а ж дой от ра сли для т рех в а ри а н т ов п ла н а в ы п у ск а к он ечн ой п роду к ц и и : I – у в ели чи т ьв ы п у ск к он ечн ой п роду к ц и и в к а ж дой от ра сли н а 5%; II – у в ели чи т ьв ы п у ск к он ечн ой п роду к ц и и 1-ой от ра сли н а 4%, 2-ой – н а 6%, 3-ей – н а 7%, 4-ой – н а 6%; III– у в ели чи т ьв ы п у ск к он ечн ой п роду к ц и и 1-ой от ра сли н а 4%, 2-ой от ра сли – н а 6%, 3-ей – н а 7%, 4-ой – н а 6%; 2.4. Ра ссчи т а т ьм еж от ра слев ы е п ост а в к и , обесп ечи в а ющ и е а ссорт и м ен т в ы п у ск а к он ечн ой п роду к ц и и п о 2-м у в а ри а н т у . 3. М одели регрес с ион н ого ан ализ а Рег ресси он н ы м и н а зы в а ют м одели , осн ов а н н ы е н а у ра в н ен и и рег ресси и , и ли си ст ем е рег ресси он н ы х у ра в н ен и й, св язы в а ющ и х в ели чи н ы эн дог ен н ы х (в ы ходн ы х, зав и си м ы х) и эк зог ен н ы х (в ходн ы х, н езав и си м ы х) п ерем ен н ы х. Ра зли ча ют у ра в н ен и я п а рн ой (одн оф а к т орн ой) и м н ож ест в ен н ой (м н ог оф а к т орн ой) рег ресси и . 3.1. О дн оф а к т орн ы е рег ресси он н ы е м одели . Эт и м одели от ра ж а ют в заи м осв язьп ок а зат еля т ольк о с одн и м ф а к т ором . В общ ем слу ча е одн оф а к т орн у ю рег ресси он н у ю м одель м ож н о п редст а в и т ьв в и де: i = 1,..., n (1) yi = f ( x i , A) + Ei , г де: y i - зн а чен и е м одели ру ем ог о п ок а зат еля в i - ом п ери оде; x i - зн а чен и е ф а к т ора в i - ом п ери оде; A - п ост оян н ы е к оэф ф и ц и ен т ы (п а ра мет ры м одели );

15

Элем ен т ы ЭМ М

E i - слу ча йн а я в ели чи н а , п редст а в ляюш а я собой т у ча ст ь в а ри а ц и и п ок а зат еля y i , к от ора я н е объ ясн яет ся соот в ет ст в у ющ и м и и зм ен ен и ям и ф а к т ора x i ;

n- к оли чест в о п ери одов , за к от оры е ра ссм а т ри в а ют ся да н н ы е. Ч ем н и ж е у ров ен ьв озм ож н ы х зн а чен и й слу ча йн ой в ели чи н ы Е , т ем т очн ее оп и сы в а ет ся п роц есс в заи м одейст в и я ф а к т ора х с п ок а зат елем у . Поэт ом у п а ра м ет ры рег ресси он н ой м одели н а ходят ся и зу слов и я м и н и м и зац и и су м м ы к в а дра т ов от к лон ен и й:

S = ∑ ( y i − f ( x i , A)) 2 → min

(2)

i

Ва ж н ы м м ом ен т ом п ри п ост роен и и рег ресси он н ы х зав и си м ост ей яв ляет ся в ы борф у н к ц и и f, зада ющ ей к он к рет н у ю ф орм у св язи . Ка к п ра в и ло, п ри в ы боре н а и более п ри ем лем ой ф орм ы св язи п ри бег а ют к сов м ест н ом у п ри м ен ен и ю м ет одов , и сп ользующ и х эм п и ри ческ и й и лог и ческ и й п одход. Эм п и ри ческ и й п одход п редп ола г а ет дет а льн ы й а н а ли з и сходн ы х да н н ы х п у т ем г ра ф и ческ ог о п редст а в лен и я зав и си м ост и у от х в в и де лом а н ой ли н и и , а т а к ж е п ост роен и я ряда п робн ы х зав и си м ост ей и в ы бора т ой и зн и х, к от ора я обесп ечи в а ет т ребу ем ы й у ров ен ьт очн ост и , обла да ет н еобходи м ы м н а бором св ойст в . На п ри м ер, если ест ьосн ов а н и е счи т а т ь, чт о п ри рост п ок а зат еля п рои сходи т п роп орц и он а льн о и зм ен ен и ям ф а к т ора , т о в к а чест в е рег ресси он н ой модели в ы би ра ют ли н ейн у ю: yˆi = a 0 + a1x i , i = 1,..., n (3)

здесьy i − т еорет и ческ ое зн а чен и е результа т и в н ог о п ри зн а к а , п олу чен н ое п о у ра в н ен и ю рег ресси и . Па ра м ет р a1 н а зы в а ет ся коэ ффициен том регрес с ии. О н п ок а зы в а ет , н а ск ольк о еди н и ц в средн ем и зм ен яет ся п ок а зат ель, если ф а к т ори зм ен и лся н а еди н и ц у . Т есн от а св язи п ок а зат еля с ф а к т ором оп ределяет ся коэ ффициен том корреляции:

1 ∑ y i x i − xy n r= , σx σ y

(4)

г де σ x , σ y - средн и е к в а дра т и ческ и е от к лон ен и я, в ы чи сляем ы е п о ф орм у ла м :

16

Элем ен т ы ЭМ М

σx =

1 2 ∑ (xi − x) , n −1

σy =

1 2 ∑ ( y i − y) , n −1

x , y - средн и е а ри ф м ет и ческ и е зн а чен и я ф а к т ора х и п ок а зат еля у . Ч ем бли ж е зн а чен и е к оэф ф и ц и ен т а к орреляц и и к еди н и ц е, т ем т есн ее св язь. При r = 1 св язьф у н к ц и он а льн а я, т .е. п рояв ляет ся оп ределен н о и т очн о в к а ж дом от дельн ом слу ча е. При r=0 ли н ейн ой св язи н ет . Е сли r >0, т о зав и си м ост ьп рям а я, т о ест ь с рост ом ф а к т ора ра ст ет п ок а зат ель, если r 2,1, т о н у лев а я г и п от еза H 0 (ли н ейн ой зав и си м ост и н ет ) от в ерг а ет ся в п ользу а льтерн а т и в н ой г и п от езы H1 (ли н ейн а я зав и си м ост ьест ь). 6. Рег ресси он н а я м одельм ож ет бы т ьи сп ользов а н а для п рог н оза объ ем а еж едн ев н ой в ы ру чк и ма г а зи н а , к от оры й п осет ят 600 п ок у п а т елей. Д ля эт ог о следу ет х=600 п одст а в и т ьв рег ресси он н ое у ра в н ен и е (19):

y = 2.4177 + 0.00874 * 600 = 7.661

О т сюда , п рог н ози ру ем а я дн ев н а я в ы ру чк а для ма г а зи н а с 600 п осет и т елям и в ден ьра в н а 7,661 у .е. Д ля п рог н оза в а ж н о п ом н и т ь, чт о обсу ж да ют ся т олько зн а чен и я н езав и си м ы х п ерем ен н ы х, н а ходящ и еся в п редела х от н а и м ен ьш ег о до н а и больш ег о зн а чен и я ф а к т орн ог о п ри зн а к а и и сп ользу ем ы е п ри созда н и и м одели . Т а к , и зда н н ы х н а ш ег о п ри м ера и звест н о, чт о чи сло п осет и т елей н а ходи т ся в п редела х от 420 до 1010, следов а т ельн о и п редск а зан и е еж едн ев н ой в ы ру чк и мож ет бы т ьсдела н о т олько для м а г а зи н ов с чи слом п ок у п а т елей от 420 до 1010 челов ек . 3.5. При м ерла бора т орн ог о зада н и я п о п ост роен и ю м н ог оф а к т орн ой м одели рег ресси и По в ы борочн ы м да н н ы м , п редст а в лен н ы м в т а бли ц е, о в ы ра бот к е дет а лей за см ен у 14 ра бочи м и ц еха т ребу ет ся в ы яв и т ь зав и си м ост ьп рои зводи т ельн ост и т ру да (y) от дв у х ф а к т оров : в н у т ри см ен н ы х п рост оев (x1) и к в а ли ф и к а ц и и ра бочи х (x2)

25

Элем ен т ы ЭМ М Порядк ов ы й н ом ер ра бочег о

Вн у т ри см ен н ы е п рост ои , м и н . x1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 8 12 9 13 12 20 14 22 13 18 16 24 11

Кв а ли ф и к а ц и я ра бочег о (т а ри ф н ы й ра зряд), x2 3 4 5 4 5 6 2 4 2 5 3 3 2 4

Д н ев н а я в ы ра бот к а ра бочег о, ш т . y 86 88 94 87 92 94 77 92 75 90 80 82 74 90

Порядок в ы п олн ен и я зада н и я 1. Т еорет и ческ и й а н а ли зи сходн ы х да н н ы х п озволяет у ст а н ов и т ь н а ли чи е п ри чи н н о-следст в ен н ой св язи ф а к т орн ы х п ри зн а к ов (в н у т ри см ен н ы х п рост оев и к в а ли ф и к а ц и и ра бочи х) с результа т и в н ы м п ок а зат елем - п рои зводи т ельн ост ью т ру да в ли н ейн ой ф орм е:

y = a 0 + a1x1 + a 2 x 2

2. Д ля оц ен к и п а ра м ет ров рег ресси он н ой м одели п ров едем п оследов а т ельн ост ьдейст в и й, оп и са н н ы х в п . 3.4. За м ет и м п ри эт ом , чт о в ок н е "Входн ой и н т ерв а л Х " от м еча ют ся г ра н и ц ы блок а "Вн у т ри см ен н ы е п рост ои " и "Т а ри ф н ы й ра зряд". Полу чи м у ра в н ен и е рег ресси и в и да :

y = 75.9 − 0.42x 1 + 4.23x 2

3. О ц ен к а к а чест в а п олу чен н ог о у ра в н ен и я. Сов ок у п н ы й к оэф ф и ц и ен т м н ож ест в ен н ой к орреляц и и ра в ен 0,96, чт о г ов ори т о дост а т очн о в ы сок ой ст еп ен и св язи м еж ду резу льта т и в н ы м и дв у мя ф а к т орн ы м и п ри зн а к а м и . По зн а чен и ю сов ок у п н ог о к оэф ф и ц и ен т а м н ож ест в ен н ой дет ерм и н а ц и и м ож н о г ов ори т ьо т ом , чт о 92% в а ри а ц и и п рои зводи т ельн ост и т ру да обу слов лен о дв у м я а н а ли зи ру ем ы м и

26

Элем ен т ы ЭМ М ф а к т ора м и . Зн а чи т , в ы бра н н ы е ф а к т оры су щ ест в ен н о в ли яют н а п ок а зат ельп рои зводи т ельн ост и т ру да . О бщ а я оц ен к а а дек в а т н ост и у ра в н ен и я м ож ет бы т ь п олу чен а с п омощ ью ди сп ерси он н ог о F - к ри т ери я Ф и ш ера . Полу чен н ое зн а чен и е к ри т ери я Fра сч.=63,82 . Эт о больш е соот в ет ст в у ющ ег о т а бли чн ог о зн а чен и я. Следов а т ельн о, у ра в н ен и е рег ресси и зн а чи м о и м ож ет бы т ьп ри г одн о для п ра к т и ческ ог о и сп ользов а н и я. 3.6. За да чи для са мост оят ельн ог о реш ен и я Задача 1. Д а н н ы е оп роса в осьм и г ру п п сем ей о ра схода х н а п роду к т ы п и т а н и я в зав и си м ост и от у ров н я доходов сем ьи п ри в еден ы в т а бли ц е (чи сла от н оси т ельн ы е в ра счет е н а 100 ру б. дохода и ра схода ): Д оходы сем ьи Ра сходы н а п роду к т ы п и т а н и я

1,4 3,3 5,5 7,6 9,8 12,0 14,7 18,9 1,1 1,4 2,0 2,4 2,8 3,1 3,5 4,0

Т ребу ет ся: - п редст а в и т ьда н н ы е т а бли ц ы г ра ф и ческ и ; - в ы дв и н у т ьг и п от езу о в и де ф у н к ц и и зав и си м ост и ра сходов н а п и т а н и е от дохода сем ьи ; - ра ссчи т а т ь п а ра м ет ры м одели рег ресси и и оц ен и т ьк а чест в о п ост роен н ог о у ра в н ен и я; - н а йт и к оэф ф и ц и ен т к орреляц и и и к оэф ф и ц и ен т дет ерм и н а ц и и и п оясн и т ьи х эк он ом и ческ и й смы сл; - ра ссчи т а т ьт еорет и ческ и е зн а чен и я ра сходов н а п и т а н и е п о м одели и п ост рои т ьг ра ф и к и ф а к т и ческ и х и ра счет н ы х да н н ы х. Задача 2. Резу льта т ы обследов а н и я десят и ст а т и ст и ческ и одн ородн ы х ф и ли а лов ф и рм ы п ри в еден ы в т а бли ц е (ц и ф ры у слов н ы е): № ф и ли а ла 1 2 3 4

Прои зводи т ель Ф он дов оору ж е Эн ерг ов оору ж н ост ьт ру да (у ) н н ост ь(х1) ен н ост ь(х2) 74 33 56 84 34 58 73 36 67 93 35 70

27

Элем ен т ы ЭМ М

5 6 7 8 9 10

56 71 117 111 135 125

33 37 39 42 43 44

73 77 78 99 93 96

Т ребу ет ся: - п ост рои т ьм одельм н ож ест в ен н ой ли н ейн ой рег ресси и п рои зводи т ельн ост и т ру да от ф а к т оров ф он до- и эн ерг ов оору ж ен н ост и ; - оц ен и т ьа дек в а т н ост ьп ост роен н ог о у ра в н ен и я; - н а йт и к оэф ф и ц и ен т м н ож ест в ен н ой к орреляц и и и сов ок у п н ы й к оэф ф и ц и ен т дет ерм и н а ц и и и оха ра к т ери зов а т ьст еп ен ь сов м ест н ог о в ли ян и я ф а к т оров н а п рои зводи т ельн ост ьт ру да ; - ра ссчи т а т ьт еорет и ческ и е зн а чен и я п рои зводи т ельн ост и т ру да п о модели и п ост рои т ьг ра ф и к и ф а к т и ческ и х и ра счет н ы х да н н ы х. 4. П аутин ообраз н ая модель 4.1. М еха н и зм п ост роен и я п а у т и н ообра зн ой м одели . Д ост а т очн о п олн ое п редст а в лен и е о т ом , к а к и м обра зом п рои сходи т “н а щ у п ы в а н и е” сост оян и я ра в н ов еси я н а ры н к е т ов а ров , да ет т а к н а зы в а ем а я п а у т и н ообра зн а я м одель. Е е п ост роен и е осн ов а н о н а п редп олож ен и и , чт о сп рос и п редлож ен и е яв ляют ся ф у н к ц и ями от ц ен ы . Вв едем обозн а чен и я:

yct - сп рос в м ом ен т в рем ен и t; y nt - п редлож ен и е в м ом ен т в рем ен и t; pt - ц ен а т ов а ра в м ом ен т в рем ен и t. Е ст ест в ен н о счи т а т ь, чт о сп рос в да н н ы й момен т в рем ен и зав и си т от ц ен ы в эт от ж е м ом ен т в рем ен и :

yct = ap t + b ,

(1) а п редлож ен и е - от ц ен ы в п редш ест в у ющ и й м ом ен т в рем ен и :

28

Элем ен т ы ЭМ М

y nt = cp t −1 + d ,

(2)

yct = y nt ,

(3)

т о ест ьи м еет ся зап а зды в а н и е в реа к ц и и п рои зводст в а н а и зм ен ен и е ц ен ы . Т а к к а к с у в ели чен и ем ц ен ы сп рос обы чн о п а да ет , а п редлож ен и е в озра ст а ет , т о а 0. Ра в ен ст в о в к а ж ды й м ом ен т в рем ен и сп роса и п редлож ен и я

зав ерш а ет оп и са н и е п а у т и н ообра зн ой м одели . И зсоот н ош ен и я (3) лег к о п олу ча ет ся м одельдля ц ен ы в в и де ра зн ост н ог о у ра в н ен и я п ерв ог о п орядк а :

pt = c / a * p t −1 + (d − b) / a ,

(4) Зн а чен и е ц ен ы , п ри к от ором у ст а н а в ли в а ет ся ра в ен ст в о сп роса и п редлож ен и я и к от орое н е п ри в оди т к да льн ейш и м и зм ен ен и ям и х, обозн а чи м черезp* . Эт о и м ен н о т а ц ен а , для к от орой в сост оян и и ра в н ов еси я сп роса и п редлож ен и я сп ра в едли в о соот н ош ен и е:

c d−b p* = p* + , a a

(5)

от к у да п олу ча ем ее зн а чен и е:

p* =

γ , 1− c /a

г де γ =

d−b . a

(6)

И сследов а н и е п роц есса , оп и сы в а ем ог о м оделью, н а сходи м ост ь да ет осн ов а н и е у т в ерж да т ь:

c ; < 1 , т о п ри t → ∞ p t → p* a 2. Е сли r = 1 , т о п ри t → ∞ p t к олеблет ся ок оло ра в н ов есн ог о

1. Е сли r =

зн а чен и я; 3. Е сли r > 1 , т о п ри t → ∞ ц ен а бу дет от к лон ят ься н а в се больш у ю в ели чи н у от ее ра в н ов есн ог о зн а чен и я. Гра ф и ческ и п роц есс “н а щ у п ы в а н и я “ра в н ов есн ы х ц ен хорош о п рои ллюст ри ров а н н а ри су н к е:

29

Элем ен т ы ЭМ М

4.2. При м ери п орядок в ы п олн ен и я ла бора т орн ог о зада н и я п о ра счет у т ра ек т ори и и зм ен ен и я ц ен ы , п редлож ен и я и сп роса . По да н н ы м т а бли ц ы ра ссчи т а т ьт ра ек т ори и и зм ен ен и я ц ен ы , сп роса и п редлож ен и я и п ост рои т ьг ра ф и к дв и ж ен и я ц ен ы к ра в н ов есн ом у сост оян и ю:

№ п /п

Цен а

Сп рос

Предлож ен и е

1

7,50

23,25

10,13

2

15,38

19,32

12,87

3

19,25

17,39

14,24

4

21,12

16,44

14,90

5

24,21

14,90

15,98

6

25,53

14,24

16,44

7

28,25

12,89

17,39

8

33,75

10,13

19,32

30

Элем ен т ы ЭМ М Порядок в ы п олн ен и я зада н и я. 1. Вв едем и сходн ы е да н н ы е н а ра бочи й ли ст EXCEL. 2. О ц ен и м п а ра м ет ры рег ресси он н ой зав и си м ост и сп роса от ц ен ы с п ом ощ ью п а к ет а А н ализ дан н ых и ли с п ом ощ ью в ст роен н ой ф у н к ц и и ли н ейн ой рег ресси и . Резу льта т ы ра счет а бу ду т следу ющ и е:

y ct = −0.5p t + 27

(7)

3. О ц ен и м п а ра м ет ры рег ресси он н ой зав и си м ост и п редлож ен и я от ц ен ы . Результа т ы ра счет а бу ду т следу ющ и е:

y nt = 0.35p t −1 + 7.5

(8)

4. За п и ш ем у слов и е ра в н ов еси я сп роса и п редлож ен и я:

− 0.5p t + 27 = 0.35p t −1 + 7.5

и ли :

pt =

(9)

0.35 27 − 7.5 p t −1 + − 0.5 0.5

(10)

5. Ра ссчи т а ем т ра ек т ори и и зм ен ен и я ц ен ы , сп роса и п редлож ен и я: а ) н а св ободн ое п оле ра бочег о ли ст а EXCEL (н а п ри м ер, в ячейк и А12 и А13 ) дв а ж ды в в едем зн а чен и е п ерв он а ча льн ой ц ен ы , ра в н ой 7,5; б) в ячейк у А14 в в едем ф орм у лу (10) и ск оп и ру ем ее в блок А15… А27; в ) в ячейк у В12 в в едем ф орм у лу (7) и ск оп и ру ем ее в блок В13… В27; г ) в ячейк у С12 в в едем ф орм у лу (8) и ск оп и ру ем ее в блок С13… С27; д) в ячейк и Д 12 и Д 13 в в едем соот в ет ст в ен н о ф орм у лы (7) и (8) и п оследн юю и зн и х ск оп и ру ем в блок Д 14… Д 27. В результа т е эт и х дейст в и й т а бли ц а ра счет н ы х зн а чен и й т очек т ра ек т ори й бу дет и м ет ьследу ющ и й в и д: Цен а

Т ра ек то рия Т ра ек то рия Т ра ек то рия движ ен ия к спро са предло ж ен ия ра вн о весн о й цен е

7,500

23,254

10,124

23,254

7,500

23,254

10,124

10,124

31

Элем ен т ы ЭМ М

33,771

10,124

19,326

10,124

33,771

10,124

19,326

19,326

15,359

19,326

12,877

19,326

15,359

19,326

12,877

12,877

28,263

12,877

17,397

12,877

28,263

12,877

17,397

17,397

19,219

17,397

14,229

17,397

19,219

17,397

14,229

14,229

25,557

14,229

16,449

14,229

25,557

14,229

16,449

16,449

21,115

16,449

14,893

16,449

21,115

16,449

14,893

14,893

24,228

14,893

15,984

14,893

24,228

14,893

15,984

15,984

6. По да н н ы м , оп и сы в а ющ и м т ра ек т ори ю ц ен ы , сп роса и п редлож ен и я, п ост рои м г ра ф и к т и п а XY, н а зн а чи в Х блок А12… А27, Y1 – блок В12… В27, Y2 – блок С12… С27, Y3 блок Д 12… Д 27. Пост роен н ы й г ра ф и к бу дет и мет ьследу ющ и й в и д :

с прос / пре дложе н и е

25 тра екто рия спроса

20 15

тра екто рия предло ж ен ия

10 5 0 0

10

20

30

цен а

32

40

тра екто рия движ ен ияк ра вн о весн о й цен е

Элем ен т ы ЭМ М 4.3 За да ча для са м ост оят ельн ог о реш ен и я. По да н н ы м т а бли ц ы п ост ройт е рег ресси он н ое у ра в н ен и е п редлож ен и я и а в т орег ресси он н ое у ра в н ен и е ц ен ы . И сп ользуя п а ра м ет ры эт и х у ра в н ен и й, в ы чи сли т ьп а ра м ет ры у ра в н ен и я сп роса . О п редели т ьра в н ов есн у ю ц ен у . С п ом ощ ью п ост роен н ы х у ра в н ен и й сг ен ери ров а т ьн а боры да н н ы х и п ост рои т ьг ра ф и к т ра ек т ори и “н а щ у п ы в а н и я” ра в н ов есн ой ц ен ы .

№ п/п

Ц ен а в момен тt

Ц ен а в момен тt-1

П редлож ен ие

1

-

5

6,74

2

22,52

22,52

12,87

3

10,25

10,25

8,58

4

18,84

18,84

11,58

5

12,83

12,83

9,48

6

17,04

17,04

10,95

7

14,09

14,09

9,92

8

16,15

16,15

10,64

5. П римен ен иепроиз водс твен н ых фун кций в э кон омикоматематичес ком моделирован ии 5.1. Пон ят и е п рои зводст в ен н ой ф у н к ц и и и ее осн ов н ы е св ойст в а . П роиз водс твен н ой фун кцией н а зы в а ет ся ф у н к ц и я в и да

Y = F( X) ,

(1)

г де Y- объ ем п рои зводст в а ;

X = ( x1,x 2, ..., x n ) - в ек т орп рои зводст в ен н ы х зат ра т ;

33

Элем ен т ы ЭМ М

x i - объ ем зат ра т i-г о ф а к т ора п рои зводст в а ;

n – чи сло ф а к т оров п рои зводст в а . О н а в ы ра ж а ет к оли чест в ен н у ю в заи м осв язьп рои зводст в ен н ы х зат ра т и в ы п у ск а п роду к ц и и . О бы чн о п редп ола г а ют , чт о ф а к т оры п рои зводст в а п ри н а длеж а т эк он ом и ческ ой обла ст и , т о ест ьв се н еот ри ц а т ельн ы , и ли X ∈ R +n О сн ов н ы е св ойст в а ПФ : 1. Е сли от су т ст в у ет хот я бы оди н ф а к т орп рои зводст в а , т о в ы п у ск п роду к ц и и ра в ен н у лю: F( x1, x 2 ,..., x k −1,0, x k +1,..., x n ) = 0 (2) 2. Е сли X ≥ X , т о Y ≥ Y . О бы чн о эт о св ойст в о зам ен яет ся у си лен н ы м в а ри а н т ом . Предп ола г а ет ся, чт о ПФ дв а ж ды 2

1

2

1

ди ф ф ерен ц и ру ема я ф у н к ц и я, т о ест ьF( X ) ∈ D2 ( R +n ) и в эк он ом и ческ ой обла ст и ( R n+ ) в се п ерв ы е ча ст н ы е п рои зводн ы е п о зат ра т а м н еот ри ц а т ельн ы :

∂F ≥ 0, ∂x i

i = 1,..., n

(3)

3. Вт оры е ча ст н ы е п рои зводн ы е в R n+ от ри ц а т ельн ы :

∂2F ∂x 2i

i = 1,..., n

< 0,

(4)

Эт о св ойст в о у т в ерж да ет сп ра в едли в ост ьзак он а у бы в а ющ ей п рои зводи т ельн ост и ф а к т оров . 4. ПФ – одн ородн а я ф у н к ц и я ст еп ен и α , если

F(λx1, λx 2 ,..., λx n ) = λα F( x1, x 2 ,..., x n )

(5)

5.2 При м еры п рои зводст в ен н ы х ф у н к ц и й В эк он ом и к е н а и более ча ст о п ри м ен яют ся дв у хф а к т орн ы е п рои зводст в ен н ы е ф у н к ц и и , т о ест ьзав и сящ и е от дв у х п а ра м ет ров . Д а ди м н ек от оры е п ри м еры ПФ .

34

Элем ен т ы ЭМ М 1. Ф у н к ц и я Кобба -Д у г ла са :

Y = Ax1α1 x α2 2 , A > 0, α1, α2 ≥ 0 α1 + α 2 = 1

(6)

2. Л и н ейн а я п рои зводст в ен н а я ф у н к ц и я (ф у н к ц и я с п олн ы м в заи м озам ещ ен и ем ресу рсов ): (7) Y = a1x1 + a 2 x 2 , a1,a 2 ≥ 0 3. ПФ “зат ра т ы -в ы п у ск ” (ф у н к ц и я с п олн ы м в заи м одоп олн ен и ем ресу рсов ). Эт а ф у н к ц и я яв ляет ся одн ой и ззада н н ы х п роп орц и й, к от оры м и для п рои зводст в а одн ой еди н и ц ы в ы п у ск а оп ределяет ся к оли чест в о зат ра т к а ж дог о в и да :

Y = min(

x1 x 2 , ), a1 a 2

a1 , a 2 > 0

(8)

5.3 При м ери п орядок в ы п олн ен и я зада н и я п о п ост роен и ю ПФ н а осн ов е реа льн ы х да н н ы х. Предп олож и м , чт о н еобходи м о оц ен и т ьра бот у н ек от орой от ра сли , если и звест ен объ ем п рои зводст в а от ра сли Y, зат ра т ы т ру дов ы х ресу рсов L и объ ем и сп ользуем ог о к а п и т а ла К:

№ n/n

Y

K

L

1

100

100

100

2

101

107

104.8

3

112

114

110

4

122

122

117.2

5

124

131

121.9

6

122

138

115.6

7

143

149

125

8

152

163

134.2

9

151

176

139.9

10

126

185

123.2

35

Элем ен т ы ЭМ М

11

155

198

142.7

12

159

208

147

13

153

216

148.1

14

177

226

155

15

184

236

156.2

16

169

244

152.2

17

189

266

155.8

18

225

298

183

19

227

335

197.5

20

223

366

201.1

21

218

387

195.9

22

231

407

194.4

23

179

417

146.4

24

240

431

160.5

И сходя и зт еорет и ческ и х зн а н и й м ож ем п редп олож и т ь, чт о зав и си м ост ьобъ ем а п рои зводст в а от т ру да и к а п и т а ла оп и сы в а ет ся ПФ Кобба -Д у г ла са . Вы дв и н ем т ри г и п от езы о п редп ола г а ем ой зав и си м ост и : 1. Y = A * K α * Lβ , α

г де α > 0,

β > 0, A > 0

(9)

β

2. Y = A * K * L , г де α > 0, β > 0, α + β = 1, A > 0 (10) 3. Е сли обозн а чи т ьчерезλ -т ем п т ехн и ческ ог о п рог ресса , т о ф у н к ц и я Кобба -Д у г ла сса п ри м ет в и д:

Y = Ae λt * K α * Lβ , г де λ > 0, α > 0, β > 0, α + β = 1, A > 0, t-в рем я (11) За да н и е: н еобходи м о оц ен и т ьзн а чен и я п а ра м ет ров A, α, β, λ с п ом ощ ью ли н ейн ог о рег ресси он н ог о а н а ли за и оп редели т ь, к а к а я и зг и п от езн а и лу чш и м обра зом от ра ж а ет эм п и ри ческ и е да н н ы е ра ссм а т ри в а ем ой от ра сли .

36

Элем ен т ы ЭМ М Порядок в ы п олн ен и я зада н и я 1. Пров ерк а 1-ой г и п от езы : а ) ПФ в и да (9) п ри в едем к ли н ейн ому в и ду п у т ем лог а ри ф м и ров а н и я:

ln Y = ln A + α ln K + β ln L

(12)

б) обозн а чи в

Z = ln Y, W1 = ln K, W2 = ln L, β 0 = ln A, β1 = α, β 2 = β, п олу чи м у ра в н ен и е м н ож ест в ен н ой

рег ресси и :

Z = β 0 + β1W1 + β 2 W2

(13)

в ) с п ом ощ ью в ст роен н ой ф у н к ц и и ли н ейн ой рег ресси и и ли с п ом ощ ью серв и сн ог о п а к ет а “Ан а ли зда н н ы х” оц ен и м п а ра м ет ры β 0 , β1 , β 2 :

β 0 = -0,04302 ,

β1 = 0,245099,

β2 = 0,766056

.

г ) зап и ш ем п а ра м ет ры α = β1 и β = β 2 и в ы чи сли м п а ра м ет р А. Д ля эт ог о н а йдем эк сп он ен т у от к он ст а н т ы рег ресси и β0 с п ом ощ ью .

α = 0.245 β = 0.766 A = 0.958

д) ра ссчи т а ем т еорет и ческ и е зн а чен и я объ ем а п рои зводст в а п о ф орм у ле:

Y* = 0.958K0.245 L0.766

(14)

е) с п ом ощ ью п ост рои м г ра ф и к и ф а к т и ческ и х Y и т еорет и ческ и х Y * зн а чен и й объ ем а п рои зводст в а от ра сли .

37

Элем ен т ы ЭМ М

300 250 200 Y

150

y*

100 50 0 0

10

20

30

Вы в од: п олу чен н а я ф у н к ц и я (14) дост а т очн о хорош о от ра ж а ет реа льн ы е да н н ы е. Зн а чен и е к оэф ф и ц и ен т а дет ерм и н а ц и и

R 2 = 0.955 г ов ори т о хорош ей ф у н к ц и он а льн ой зав и си м ост и . Кром е т ог о, су м м а α + β = 0.245+0.766=1.11 бли зка к 1, п оэт ом у м ож н о п редп олож и т ь, чт о реа льн а я зав и си м ост ь, в озм ож н о, оп и сы в а ет ся ПФ Кобба -Д у г ла сса . Ги п от езы 2 и 3 п ров ери т ьса м ост оят ельн о. Д а ди м ли ш ь н еобходи м ы е к ом м ен т а ри и : 2. Д ля ф у н к ц и и Кобба -Д у г ла сса , т .к . α + β = 1, м ож н о зап и са т ь:

Y = A * K α * Lβ = A * K α * L1− α (15) Y K Сдела в зам ен у п ерем ен н ы х Z = , X = , п олу чи т е: L L α Z = A * X . После лог а ри ф м и ров а н и я у ра в н ен и е рег ресси и п ри м ет в и д:

ln Z = ln A + α ln X

(16)

3. Д ля ф у н к ц и и , в к от орой у чт ен т ехн и ческ и й п рог ресс, п родела т ь т е ж е п реобра зов а н и я, чт о и для ф у н к ц и и Кобба -Д у г ла сса . В резу льта т е п олу чи т е:

Z = Ae λt Xα . После лог а ри ф м и ров а н и я бу дет е и м ет ь

у ра в н ен и е м н ож ест в ен н ой рег ресси и :

ln Z = ln A + α ln X + λt ,

(17)

38

Элем ен т ы ЭМ М для к от орог о оп ределяют ся п а ра м ет ры α, A и λ . t п ри н и м а ет зн а чен и я от 1 до 24. 6. М одель фирмы 6.1. Эк он оми к о-м а т ем а т и ческ а я м одельзада чи Пу ст ьп рои зводст в ен н а я ф и рм а в ы п у ск а ет оди н в и д п роду к ц и и и ли мн ог о в и дов , н о в п ост оян н ой ст ру к т у ре. О бозн а чи м черезХ - г одов ой в ы п у ск ф и рмы в н а т у ра льн ов ещ ест в ен н ой ф орм е. Д ля п рои зводст в а п роду к ц и и ф и рм а и сп ользует н а ст оящ и й т ру д L- средн ее чи сло зан ят ы х в г од, и п рош лы й т ру д в в и де средст в т ру да К (осн ов н ы е п рои зводст в ен н ы е ф он ды ) и п редм ет ов т ру да М (зат ра чен н ое за г од т оп ли в о, эн ерг и я, сы рье и т .п .). Пу ст ь x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) - в ек т ор-ст олбец в озм ож н ы х объ емов зат ра т ра зли чн ы х в и дов ресу рсов . Т ог да т ехн олог и я ф и рм ы оп ределяет ся п рои зводст в ен н ой ф у н к ц и ей в и да : (1) X = F( x ), г де F(x)- дв а ж ды н еп реры в н о ди ф ф ерен ц и ру ем а я ф у н к ц и я и м а т ри ц а ее в т оры х п рои зводн ы х от ри ц а т ельн о оп ределен а . Ра ссм от ри м ф у н к ц и ю п ри бы ли : П(х)=рF(x) - Wx, (2) г де р– ц ен а еди н и ц ы п роду к ц и и , W = (W1, W2 ,..., Wn ) - в ек т ор-ст рок а ц ен ресу рсов . Е сли н ет дру г и х ог ра н и чен и й н а ра зм еры в ов лек а ем ы х в п рои зводст в о ресу рсов , к ром е ест ест в ен н ог о т ребов а н и я и х н еот ри ц а т ельн ост и , т о зада ча н а м а к си м у м п ри бы ли п ри обрет а ет в и д: max[pF(x ) − Wx ]. (3) x ≥0

Эт о зада ча н ели н ейн ог о п рог ра мм и ров а н и я. Необходи м ы м и у слов и ям и ее реш ен и я яв ляют ся у слов и я Ку н а -Т а к к ера :

∂П ∂F = p − W ≤ 0, ∂x ∂x ∂П ∂F x = (p − W) x = 0 ∂x ∂x

(4)

Е сли в оп т и м а льн ом реш ен и и и сп ользов а н ы в се в и ды ресу рсов , т .е. x > 0 , т о у слов и я (4) п ри н и м а ют в и д: *

39

Элем ен т ы ЭМ М

∂F( x * ) = W, p ∂x и ли ∂F( x *) = Wj , p ∂x j

(5)

j = 1,..., n

т .е. в оп т и ма льн ой т очк е ст ои м ост ьп редельн ог о п роду к т а да н н ог о ресу рса долж н а ра в н ят ься ег о ц ен е. Е сли ра ссм а т ри в а т ьзада чу н а м а к си м у м в ы п у ск а п ри зада н н ом объ ем е и здерж ек С : (6) max F( x ) , Wx ≤ C x ≥0

т о эт о зада ча н ели н ейн ог о п рог ра м м и ров а н и я с одн и м ли н ейн ы м ог ра н и чен и ем и у слов и ем н еот ри ц а т ельн ост и п еремен н ы х. Д ля ее реш ен и я в н а ча ле ст рои м ф у н к ц и ю Л а г ра н ж а : L( x, λ) = F( x ) + λ(C − Wx ) , а зат ем м а к си м и зи ру ем ее п ри у слов и и н еот ри ц а т ельн ост и п ерем ен н ы х:

max L ( x, λ ) . x ≥0

У слов и я Ку н а -Т а к к ера для эт ой зада чи

∂F − λW ≤ 0 ∂x ∂F ( − λW ) x = 0 ∂x

(7)

п олн ост ью сов п а да ют с (4), если λ =

1 . p

6.2. При м ери п орядок в ы п олн ен и я ла бора т орн ог о зада н и я Вы п у ск одн оп роду к т ов ой ф и рм ы зада ет ся п рои зводст в ен н ой ф у н к ц и ей Кобба -Д у г ла сса :

X = F( K, L) = 3K 2 / 3L1 / 3 . На а рен ду ф он дов и оп ла т у т ру да в ы делен о 150 ден .ед., ст ои м ост ь а рен ды еди н и ц ы ф он дов Wk =5 ден .ед./ед.ф ., ст а в к а зара бот н ой п ла т ы WL =10ден .ед./чел.; ц ен а еди н и ц ы п роду к ц и и p=5ден .ед..

40

Элем ен т ы ЭМ М

*

О п редели т ьм а к си м а льн ы й в ы п у ск X дв у м я сп особа м и : п о зада че н а м а к си м у м п ри бы ли и п о зада че н а м а к си м у м в ы п у ск а п ри зада н н ом объ ем е и здерж ек . Реш ен и е п рои ллюст ри ров а т ьг ра ф и ческ и , п ост рои в и зок ост ы (ли н и и п ост оян н ы х и здерж ек ) для С=50,100,150 и и зок в а н т ы *

(ли н и и п ост оян н ы х в ы п у ск ов ) для Х =25.2; X . О п редели т ьп редельн у ю н орм у замен ы одн ог о зан ят ог о ф он да м и в оп т и м а льн ой т очк е. Порядок в ы п олн ен и я зада н и я. 1. О п редели м оп т и м а льн ы й в ы п у ск п роду к ц и и п о зада че н а м а к си м у м в ы п у ск а (см . (6) ): 1.1. Т .к . F(0, L)=F(K, 0)=0, т о в оп т и м а льн ом реш ен и и

K * > 0, L* > 0. Следов а т ельн о, у слов и я (7) п ри н и м а ют в и д:

∂F = λ WK , ∂K ∂F = λ WL ∂L

(8)

1.2. Подст а в и м в (8) в и д п рои зводст в ен н ой ф у н к ц и и

F( K , L ) = 3K 2 / 3L1 / 3 ; п олу чи м: 2

L1 / 3 K1 / 3

K

2/3

L2 / 3

= λ WK , (9)

= λWL

1.3. Подели м в (9) 1-ое у ра в н ен и е н а 2-ое:

L WK = , K WL 2L 5 1 т .е. = = , K 10 2 2

и ли K=4L

(10)

41

Элем ен т ы ЭМ М

1.4. Подст а в и в (10) в у слов и е WK K* + WL L* = 150, н а ходи м : L = 5; K = 20 . *

*

Следов а т ельн о, X = 37,8 2. О п ределен и е оп т и м а льн ог о в ы п у ск а п о зада че н а м а к си м у м п ри бы ли п редла г а ем п ров ест и са м ост оят ельн о. 3. Прои ллюст ри ру ем реш ен и е зада чи г еом ет ри ческ и . Д ля эт ог о п ост рои м и зок ост ы для С=50, 100, 150 и и зок в а н т ы для Х =25,2; 37,8 : 3.1. Вв едем зн а чен и я L (н а п ри м ер, от 0 до 20) в ячейк и А1:A20; 3.2. Я чейк и В1:B20, С1:C20, D1:D20 зап олн и м зн а чен и ям и К, ра ссчи т а н н ы м и и зу ра в н ен и я 5К +10L=C (C=50, 100, 150) 3.3. Я чейк и Е 1:Е 20, F1:F20 зап олн и м зн а чен и ям и К, ра ссчи т а н н ы м и и зу ра в н ен и я *

3K 2 / 3 L1 / 3 = X (Х =25,2; 37,8)

о сн о вн ы е про изво д. ф о н ды

3.4. Вы дели м блок А1:F20 и с п ом ощ ью п ост рои м и зок ост ы и и зок в а н т ы , в ы бра в “т очечн ы й” в а ри а н т п ост роен и я г ра ф и к ов . Пост роен н ы й г ра ф и к долж ен и м ет ьв и д г ра ф и к а , и зобра ж ен н ог о н а ри с.

40

C=50 C=100

30

C=150 Х=25,2

20

Х=37,8 10 0 0

5

10

15

средн ее число за н ятых

42

20

25

Элем ен т ы ЭМ М

В оп т и м а льн ой т очк е (20, 5) и зок в а н т а X = 37,8 и и зок ост а С=150, п роходящ и е черезэт у т очк у , к а са ют ся, п оск ольку , сог ла сн о (8), н орм а ли к эт и м к ри в ы м, зада н н ы е г ра ди ен т а м и *

(

∂F ∂F , ), WK , WL ), к олли н еа рн ы . ∂K ∂L

4. Ра ссчи т а ем н орм у зам ен ы т ру да ф он да м и в оп т и м а льн ой т очк е:

∂F

K* 20 1 ∂ L SK = = * = = , ∂F 2*5 2 2L ∂K

т .е. оди н ра бот а ющ и й м ож ет бы т ьзам ен ен дв у м я еди н и ц а м и ф он дов . 6.3. За да чи для са м ост оят ельн ог о реш ен и я. За да ча 1. Прои зводст в ен н а я ф у н к ц и я ф и рмы и м еет следу ющ и й в и д:

X = −4 x12 + 24x1 + 2 x1x 2 + 6 x 2 − x 22 , г де x1, x 2 -зат ра т ы ресу рсов . О п редели т ьм а к си м а льн ы й в ы п у ск и обесп ечи в а ющ и е эт от в ы п у ск зат ра т ы ресу рсов . За да ча 2. Прои зводст в ен н а я ф у н к ц и я в и да :

X = 5x11 / 3 x12/ 3 x13/ 3 оп и сы в а ет зав и си мост ьм еж ду зат ра т а м и ресу рсов x1, x 2 , x 3 и в ы п у ск ом X. О п редели т ьм а к си м а льн ы й в ы п у ск , если x1 + x 2 + x 3 = 9 . Ка к ов ы п редельн ы е п роду к т ы в оп т и ма льн ой т очк е? За да ча 3. Прои зводст в ен н а я ф у н к ц и я ф и рм ы и меет следу ющ и й в и д:

X = 3x11 / 3 x 22 / 3 .

О п редели т ьп редельн ы е п роду к т ы п о ресу рса м и п ост рои т ь и зок в а н т у Х =3. На йт и н орм у зам ен ы п ерв ог о ресу рса в т оры м в т очк е x1 = x 2 = 1 .

43

Элем ен т ы ЭМ М 7. М одель потреблен ия 7.1. Предп очт ен и я п от реби т еля и ег о ф у н к ц и я п олезн ост и . Вв едем обозн а чен и я: n – к он ечн ое чи сло ра ссма т ри в а ем ы х т ов а ров ; x = (x 1 , x 2 ,..., x n ) - в ек т ор-ст олбец т ов а ров , п ри обрет ен н ы х п от реби т елем за оп ределен н ы й срок п ри зада н н ы х ц ен а х и доходе за т от ж е срок . Прост ра н ст в о т ов а ров – эт о м н ож ест в о в сев озм ож н ы х н а боров т ов а ров х с н еот ри ц а т ельн ы м и к оорди н а т а м и : C = {x : x ≥ 0 }. Предп ола г а ет ся, чт о к а ж ды й п от реби т ельи м еет св ои п редп очт ен и я н а н ек от ором п одм н ож ест в е п рост ра н ст в а т ов а ров X ⊂ C , т .е. для ∀x , y ∈ X и м еет м ест о одн о и зт рех соот н ош ен и й: x f y (н а борх п редп очт и т ельн ее y) x p y (н а борх м ен ее п редп очт и т ельн ее, чем y) x ≈ y (оба н а бора обла да ют оди н а к ов ой ст еп ен ью п редп очт ен и я) О т н ош ен и я п редп очт ен и я обла да ют св ойст в а м и : 1) если x f y, y f z, x f z (т ра н зи т и в н ост ь) (н ен а сы щ а ем ост ь: больш и й 2) если x > y, т о x f y н а борв сег да п редп очт и т ельн ее м ен ьш ег о) О т н ош ен и я п редп очт ен и я п от реби т еля м ож н о п редст а в и т ьв в и де ф у н к ц и и п олезн ост и U(x), т а к ой, чт о и зx f y следу ет U(x)>U(y) и и зx ≈ y следу ет U(x)=U(y). Т а к ое п редст а в лен и е м н ог ов а ри а н т н о. На п ри м ересли U(x)-ф у н к ц и я п олезн ост и , т о С*U(x), lnU(x) – т а к ж е ф у н к ц и и п олезн ост и . Предп ола г а ет ся, чт о ф у н к ц и я п олезн ост и обла да ет св ойст в а ми :

∂U > 0 - с рост ом п от реблен и я бла г а п олезн ост ьра ст ет ; ∂x i ∂U 2) lim = ∞ - н ебольш ой п ри рост бла г а п ри ег о x i →0 ∂x i 1)

п ерв он а ча льн ом от су т ст в и и резко у в ели чи в а ет п олезн ост ь;

44

Элем ен т ы ЭМ М

3)

∂ 2U ∂x i2

< 0 - с рост ом п от реблен и я бла г а ск орост ьрост а

п олезн ост и зам едляет ся; 4)

∂U = 0 - п ри очен ьбольш ом объ ем е бла г а ег о x i →∞ ∂x i lim

да льн ейш ее у в ели чен и е н е п ри в оди т к у в ели чен и ю п олезн ост и . П редельн ой полез н ос тью товаран а зы в а ет ся п редел от н ош ен и я п ри ра щ ен и я п олезн ост и к в ы зва в ш ем у эт от п ри рост п ри ра щ ен и ю т ов а ра :

∆U ∂U , = ∆x i → 0 ∆x i ∂x i lim

(1)

Т а к и м обра зом , п редельн а я п олезн ост ьп ок а зы в а ет , н а ск олько в озра ст ет п олезн ост ь, если т ов а рв озра ст ет н а м а лу ю еди н и ц у . П оверхн ос тью без раз личия н а зы в а ет ся г и п ерп ов ерхн ост ь ра зм ера (n-1), н а к от орой п олезн ост ьп ост оян н а : U(x)=C – const, и ли dU =

∂U dx i = 0 i =1 ∂x i n

∑

(2)

У слов и е (2) озн а ча ет , чт о к а са т ельн а я к п ов ерхн ост и безра зли чи я п ерп ен ди к у лярн а г ра ди ен т у п олезн ост и . П редельн ой н ормой з амен ы одн ого товарадругим н а зы в а ет ся от н ош ен и е п редельн ы х п олезн ост ей эт и х т ов а ров :

∂U dx ∂x − 2= 1 dx1 ∂U ∂x 2

(3)

Норм а зам ен ы п ок а зы в а ет , ск ольк о т ребу ет ся еди н и ц в т орог о т ов а ра , чт обы зам ен и т ьв ы бы в ш у ю еди н и ц у п ерв ог о т ов а ра . Б ю дж етн ым мн ож ес твом н а зы в а ет ся м н ож ест в о т ех н а боров , к от оры е м ож ет п ри обрест и п от реби т ель, и м ея доход М : B = {x : px ≤ M },

г де p = (p1, p 2 ,..., p n ) - в ек т ор-ст рок а ц ен .

45

Элем ен т ы ЭМ М 7.2. За да ча п от реби т ельск ог о в ы бора За да ча ра ц и он а льн ог о п ов еден и я п от реби т еля н а ры н к е *

зак люча ет ся в в ы боре т а к ог о п от реби т ельск ог о н а бора x , к от оры й м а к си м и зи ру ет ег о ф у н к ц и ю п олезн ост и п ри зада н н ом бюдж ет н ом ог ра н и чен и и . Ф орм а льн о зада ча п от реби т ельск ог о в ы бора и м еет в и д:

U( x ) → max

п ри у слов и ях:

px ≤ M

(4)

x≥0

Д ля реш ен и я эт ой зада чи н а у слов н ы й эк ст рем у м п ри м ен и м м ет од Л а г ра н ж а . Вы п и сы в а ем ф у н к ц и ю Л а г ра н ж а :

L( x, λ) = U(x ) − λ( px − M).

Необходи м ы е у слов и я лок а льн ог о эк ст рем у м а : n

∑ p j x*j = M

(5)

j=1

∂L ∂U( x *i ) * = − λ pi = 0 , ∂x i ∂x i

i=1,2,… n

(6)

И з(6) следу ет , чт о п от реби т ельп ри ф и к си ров а н н ом доходе *

т а к в ы би ра ет н а бор x , чт о в эт ой т очк е от н ош ен и я п редельн ы х п олезн ост ей ра в н ы от н ош ен и ям ц ен :

∂U (x1* ) ∂U( x *n ) : ... : = p1 : ... : p n ∂x1 ∂x n

(7)

7.3. При м ери п орядок в ы п олн ен и я ла бора т орн ог о зада н и я Ф у н к ц и я п олезн ост и п от реби т еля и м еет в и д:

U( x1 , x 2 ) = 3x12 / 3 x12/ 3 .

О п редели т ьм а к си м а льн у ю п олезн ост ь, если п от реби т ельи м еет доход в 100д.е., а ц ен ы т ов а ров соот в ет ст в ен н о ра в н ы 5 и 10д.е./е.т .. Ка к ов а н орм а зам ен ы в т орог о т ов а ра п ерв ы м в оп т и ма льн ой т очк е?

46

Элем ен т ы ЭМ М Порядок в ы п олн ен и я зада н и я 1. Ра ссм от ри м а н а ли т и ческ ое реш ен и е да н н ой зада чи . Т а к к а к бюдж ет н ое ог ра н и чен и е в оп т и м а льн ой т очк е долж н о в ы п олн ят ься к а к ра в ен ст в о, т .е.

5 x1* + 10x *2 = 300,

(1)

и в си лу т ог о, чт о в се т ов а ры н еобходи м ы , т .е. у слов и е н еот ри ц а т ельн ост и п ерем ен н ы х бу дет в ы п олн ен о а в т ом а т и ческ и , у слов и я лок а льн ог о эк ст рем у м а (5), (7) для да н н ой зада чи п ри м у т в и д следу ющ ей си ст ем ы у ра в н ен и й:

 2 x *2 5 1  = = * 10 2 x  1  * * 5x 1 + 10x 2 = 100

(2)

И зп ерв ог о у слов и я в ы т ек а ет , чт о 4 x *2 = x1* ; п одст а в ляем эт о соот н ош ен и е в о 2-ое у ра в н ен и е си ст ем ы (2) и н а ходи м :

x 1* =

40 10 ; x *2 = . 3 3

Следов а т ельн о, оп т и м а льн ы й н а борт ов а ров x * = (

40 10 , ), 3 3

а м а к си м а льн а я ф у н к ц и я п олезн ост и U max =25,2 2. Геом ет ри ческ ое реш ен и е да н н ой зада чи сост ои т в следу ющ ем . Д оп у ст и м ое м н ож ест в о (т о ест ьм н ож ест в о н а боров бла г , дост у п н ы х для п от реби т еля) п редст а в ляет т реу г ольн и к , ог ра н и чен н ы й осями к оорди н а т и бюдж ет н ой п рям ой. На эт ом м н ож ест в е т ребу ет ся н а йт и т очк у , п ри н а длеж а щ у ю к ри в ой безра зли чи я с м а к си м а льн ы м у ров н ем п олезн ост и . Пои ск эт ой т очк и м ож н о и н т ерп рет и ров а т ь г ра ф и ческ и к а к п оследов а т ельн ы й п ереход н а ли н и и в се более в ы сок ог о у ров н я п олезн ост и до т ех п ор, п ок а эт и ли н и и ещ е и м еют общ и е т очк и с доп у ст и м ы м м н ож ест в ом . Гра ф и ческ а я и ллюст ра ц и я реш ен и я да н н ой зада чи , к ог да бюдж ет н а я п рям а я и м еет в и д у ра в н ен и я 5 x1 + 10x 2 = 100 , а у ров ен ьм а к си м а льн ой п олезн ост и 3x 12 / 3 x 12/ 3 = 25,2 п редст а в лен а н а ри с.

47

Элем ен т ы ЭМ М

15 12 9

x2

M=100 U=25,2

6 3 0 0

3

6

9

12

15

18

21

24

x1

3. Ра ссчи т а ем н орм у зам ен ы одн ог о т ов а ра дру г и м в оп т и м а льн ой т очк е:

∂U ∂U

∂x1 ∂x 2

=

2 x *2 x 1*

10 3 = 1, = 40 2 3 2*

т .е. п от ребу ет ся 2 ед. в т орог о т ов а ра , чт обы зам ен и т ьодн у в ы бы в ш у ю еди н и ц у п ерв ог о т ов а ра . 7.4. За да ча для са м ост оят ельн ог о реш ен и я О п редели т ь, к а к ой н а борт ов а ров в ы берет п от реби т ель, обла да ющ и й доходом в 300ден .ед., если ег о ф у н к ц и я п олезн ост и U( x1 , x 2 , x 3 ) = 3 x1x 2 x 3 , а ц ен ы т ов а ров p1 =2д.е./е.т ., p 2 =4д.е./е.т ., p 3 = 1д.е. / е.т .

48

Элем ен т ы ЭМ М Литература 1. Ф едосеев В.В., Га рм а ш А.Н., и др. Эк он ом и к о-м а т ем а т и ческ и е м ет оды и п ри к ла дн ы е м одели : У чебн ое п особи е для в у зов .- М .: Ю НИ Т И , 1999. 2. За м к ов О .О ., Т олст оп ят ен к о А.В., Ч ерем н ы х Ю .Н. М а т ем а т и ческ и е м ет оды в эк он ом и к е.- М .: М ГУ и м. М .В. Л ом он осов а , И зд-в о “Д ело и Серв и с”, 1999. 3. В.А. Колема ев . М а т ем а т и ческ а я эк он ом и к а .- М .: Ю НИ Т И ,1998. 4. Д а в н и с В.В., Л и ха чев а Л .Н., Эйт и н г он В.Н. М одели м а к роэк он ом и ческ ог о ра в н ов еси я.- Ворон еж , И зд-в о ВГУ ,1995. 5. Д ра йп ерН., См и т Г. При к ла дн ой рег ресси он н ы й а н а ли з.-М .: Ф и С, 1986. Содерж ан ие 1. Вв еден и е. 2. О сн ов н ы е оп ера ц и и м а т ри чн ой а лг ебры в EXCEL. 3. Эк он ом и к о-м а т ем а т и ческ а я модельм а т ери а льн ог о ба ла н са п рои зводст в а и ра сп ределен и я п роду к ц и и . 4. М одели рег ресси он н ог о а н а ли за. 5. Па у т и н ообра зн а я м одель. 6. При м ен ен и е п рои зводст в ен н ой ф у н к ц и и в эк он ом и к ом а т ем а т и ческ ом м одели ров а н и и . 7. М одельф и рм ы . 8. М одельп от реблен и я. 9. Л и т ера т у ра .

Сост а в и т ели : Д а в н и с Ва лери й Вла ди ми ров и ч Щ еп и н а И ри н а На у м ов н а М ок ш и н а Св ет ла н а И в а н ов н а Вои щ ев а О льга Ст а н и сла в ов н а Щ ек у н ск и х Св ет ла н а Ст а н и сла в ов н а Реда к т ор:

Б у н и н а Т .Д .

49

3 3 5 16 29 34 40 45 50