Теория измерений. Основы теории точности средств измерений. Учебник

В.Н. Романов

ТОЧНОСТЬ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Санкт - Петербург 2006

Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Н. Романов

Точность средств измерений Изд. 2-е, дополненное

Санкт-Петербург 2006

Утверждено редакционно-издательским советом университета

УДК 681. 518 Романов В.Н. Теория измерений. Основы теории точности средств измерений. – СПб.: СЗТУ, 2006. – 154 с. Учебник разработан в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 653700 – «Приборостроение» (специальность 190100 – «Приборостроение») и направлению подготовки бакалавров 551500 – «Приборостроение». В книге рассмотрены основные вопросы теории точности средств измерений: характеристики погрешности средств измерений (СИ) и способы их нормирования, естественные пределы точности средств измерений, методы анализа и оценки точности функционирования СИ, методы синтеза СИ, структурные и алгоритмические методы повышения точности и помехоустойчивости СИ. Учебное издание предназначено для студентов четвертого курса, изучающих дисциплину «Точность измерительных устройств». Оно может быть использовано студентами, специализирующимися в области приборостроения, метрологии и измерительной техники, а также преподавателями вузов и аспирантами. Рецензенты: Кафедра автоматизации химико-технологических процессов СПб. гос. университета растительных полимеров (зав. кафедрой Г.А. Кондрашкова, д-р техн. наук, проф.); Э.И. Цветков, д-р техн. наук, проф. кафедры ИИТ СПб. гос. электротехнического университета.

© Романов В.Н., 2006 © Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2006

Введение Нет необходимости доказывать важность измерений для современной научной и практической деятельности. Достаточно сказать, что в России ежедневно выполняется более миллиона измерений, проводимых с помощью специальных измерительных приборов, устройств, систем. Поэтому разработка и создание средств измерений (СИ) является одним из основных направлений научно-технического прогресса, тесно связанным с развитием науки и технологии. Наблюдается постоянная тенденция возрастания требований к точности и достоверности измерений и, соответственно, к совершенствованию измерительной техники. В последние десятилетия существенный скачок в развитии средств измерений связан с успехами естественных наук (физики, химии, математики). Здесь прежде всего следует отметить открытие и освоение так называемых макроскопических квантовых эффектов (эффект Мейснера, эффект Джозефсона, квантовый эффект Холла и т.д.), а также широкое применение мощных когерентных источников излучения в оптическом и радиодиапазоне, прежде всего разработку лазерной спектроскопии высокого разрешения (ЛСВР), включающую спектроскопию поглощения, гамма спектроскопию и т.п. Использование перечисленных эффектов дает возможность достижения предельной точности измерений, определяемой ограничениями фундаментального характера (принцип неопределенности В. Гейзенберга). Среди факторов, оказавших значительное влияние на развитие приборостроения и измерительной техники, следует отметить принципиально новые подходы по использованию средств вычислительной техники (СВТ), в частности, введение

СВТ в измерительную цепь и распространение СВТ на функции управления экспериментом и принятие решений. Это сделало возможным переход к созданию нового поколения СИ, а именно, интеллектуальных средств измерений (интеллектуальных датчиков-сенсоров и компьютерных измерительных систем, использующих базы знаний и нейронные сети), которые представляют собой многофункциональные измерительные системы, отличающиеся от обычных средств измерений тем, что могут выбирать оптимальный алгоритм измерения в зависимости от условий задачи. Еще одним фактором, влияющим на развитие средств измерений, является удовлетворение возрастающих требований науки и промышленности к качеству измерений, прежде всего к их точности и достоверности, что обусловливает постоянный поиск новых принципов при создании средств измерений. Таким образом, отмеченные факторы: выход на естественные пределы точности измерений, компьютеризация средств измерений и появление интеллектуальных измерительных систем, а также возрастание требований к качеству измерений, приводят к тому, что проблема точности средств измерений при функционировании и проектировании становится ключевой проблемой приборостроения. При ее решении необходимо использование, наряду с традиционным математическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики, теории информации, теории планирования эксперимента, таких областей как системный анализ, теория множеств (в том числе, теория нечетких множеств), функциональный анализ, теория оптимальных алгоритмов, теория искусственного интеллекта, методы инженерии знаний и др.

Настоящее пособие имеет целью познакомить студентов как с классическими результатами по теории точности средств измерений, так и с новейшими достижениями в этой области. Это потребовало переработки большого объема информации, в частности, публикаций, относящихся как непосредственно к оценке точности измерений, так и к смежным областям физики и математики, без которых изложение было бы неполным и недостаточно ясным. Глава 1. Общие сведения о погрешностях и способах их нормирования 1.1. Два подхода к оценке точности измерения: погрешность и неопределенность В настоящее время существует два альтернативных подхода к оценке точности измерений. Первый – традиционный, опирающийся на классические курсы теории вероятностей и математической статистики, использует понятие погрешность (ошибка); он достаточно подробно и систематически рассмотрен в литературе (см., например, [22, 26, 42, 44]). Второй подход был предложен английскими учеными сравнительно недавно, однако быстро приобрел множество сторонников. Объясняется это тем, что первый подход требует для практических расчетов информации о виде закона распределения результатов измерений, что не всегда возможно. Кроме того в нем используются громоздкие и слабо обоснованные схемы сложения ошибок разной природы (случайных и систематических). С появлением средств измерений нового поколения, в частности, интеллектуальных, а также виртуальных (компьютерных) систем,

в которых используются знания разного характера (как количественные так и качественные), проявились отмеченные слабости и неудобство первого подхода. Поэтому как альтернативный ему был разработан второй подход, получивший в настоящее время широкое распространение, поддержанный рядом авторитетных международных организаций и многими национальными лабораториями. Ниже рассмотрены основные положения этого подхода, изложенные в международном стандарте [27]. Основными его идеями являются, во-первых, замена понятий «погрешность» и «истинное значение измеряемой величины» понятиями «неопределенность» и «оцененное значение измеряемой величины»; во-вторых, переход от разделения погрешностей по природе их проявления (на случайные и систематические) к разделению по способу оценивания неопределенностей измерений (по типу А – методами математической статистики, и по типу В – другими методами). Отказ от использования понятия погрешность результата измерения мотивируется тем, что оно опирается на понятие истинного значения, которое принципиально не может быть определено. Основным понятием является понятие «неопределенность измерения»1. В качестве характеристик не-

1

Следует отметить двусмысленность, обусловленную языковым несоответствием, возникающим

при переводе термина «неопределенность с английского на русский. Слово неопределенность (uncertainty) в английском языке используется в двух смыслах. Первый относится к значению элемента информации и является синонимом понятий неточность, неясность. Второй относится к достоверности элемента информации и соотносится с понятиями недостоверность, сомнительность, ненадежность. В излагаемом ниже подходе слово неопределенность используется в первом смысле.

определенности предлагается использовать стандартную неопределенность, суммарную неопределенность и расширенную неопределенность. Оценки перечисленных неопределенностей получаются из экспериментальных данных (оценки по типу А) и на основе дополнительной, в том числе экспертной, информации (оценки по типу В). Для описания неопределенностей применяется статистический подход независимо от способа их оценивания (при этом считается, что все поправки на систематические погрешности уже введены). В качестве оценки неопределенности измерения обычно используется расширенная неопределенность, а для промежуточных величин, на основе которых получают результат измерения, вычисляются стандартная неопределенность (и) и суммарная стандартная неопределенность (иs). Расширенная неопределенность ua вычисляется по формуле: ua = k·иs, где k – числовой коэффициент, называемый коэффициентом охвата. Рассмотрим процедуру оценки неопределенностей более подробно. Уравнение измерения имеет вид: y = f(x1,…, xm), где y – измеряемая величина, x1,…,xm – входные величины: непосредственно измеряемые или другие величины, влияющие на результат измерения; m – число входных величин; f – вид функциональной зависимости. Оценку измеряемой величины y вычисляют как функцию оценок входных величин x1,…, xm после внесения поправок на все известные систематические эффекты. На следующем этапе рассчитываются стандартные неопределенности входных величин u(xi) и коэффициенты корреляции r(xi, xj) оценок i-ой и j-ой входных величин (i = 1,…, m ; j = 1,…, m). Различают два типа оценок стандартной неопределенности:

-оценка по типу А – получение статистических оценок дисперсий распределения вероятностей на основе результатов измерений; -оценка по типу В – получение дисперсий на основе априорной нестатистической информации. Расчет стандартной неопределенности и учитывает как оценки по типу А, так и оценки по типу В. Исходными данными для расчета стандартной неопределенности по типу А являются результаты многократных измерений: xi1, xi2, …, ( i = 1,…, m). Стандартная неопределенность l-го единичного измерения (l=1,…, ni) вычисляется по формуле:

u ( xil ) = u A ( xil )

n

(

1 i x − x = iq i ni −1 ∑ q =1

)

2

,

(1.1.1)

n

где

i xi = 1 ∑ xiq , ni – число измерений переменной xi. ni q=1

Стандартная неопределенность результата измерения xi = xi , вычисленного как среднее арифметическое, равна: n

(

)

i 2 1 u ( xi ) = u A ( xi ) = x − x ∑ i . ni ( ni −1) q=1 iq

(1.1.2)

Исходными данными для оценки стандартной неопределенности по типу В является следующая априорная информация: - данные предшествовавших измерений величин, входящих в уравнение измерения; сведения о виде распределения вероятностей; - данные, основанные на опыте исследователя а также общие знания о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов;

- значения констант и справочных данных; - данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе и др. Неопределенности данных для такой информации обычно представляют в виде границ отклонения входной величины от ее оценки. В случае неизвестного закона распределения вероятностей наиболее часто используется для аппроксимации равномерный закон распределения1 в заданных (нижней и верхней) границах (bi–, bi+) для i-ой входной величины. При этом стандартная неопределенность, оцениваемая по типу В, определяется по формуле:

bi+ − bi− . 2 3

u ( xi ) = uB ( xi ) =

(1.1.3)

Для симметричных границ (± bi ) :

u ( xi ) = uB ( xi ) = b Для

оценки

3

.

(1.1.4)

коэффициента

корреляции

используются

согласованные пары результатов измерений (xik , x jk ); k=1,…, n: n

(

)

r xi , x j =

xik − xi ) ⎛⎜ x jk − x j ⎞⎟ ( ∑ ⎝ ⎠ k =1 n

n

xik − xi ) ∑ ⎛⎜ x jk − x j ⎞⎟ ( ∑ ⎠ k =1 k =1 ⎝ 2

2

,

(1.1.5)

где n – число совместных измерений (оценок) величин xi, xj. Для случая качественных экспертных оценок в виде рангов следует использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена [40]. 1

При использовании других модельных законов распределения (треугольного, трапецеидального)

выражения для оценок неопределенности по типу В будут иными [42].

После этого вычисляют суммарную стандартную неопределенность us. В случае некоррелированных оценок x1,..., xm

суммарная стандартная неопределенность вычисляется

по формуле: m ⎛

⎞ us2 ( y ) = ∑ ⎜ ∂f ⎟ ⎜ ⎟ i =1 ⎝ ∂xi ⎠

2

u2

( xi )

,

(1.1.6)

а при наличии корреляции:

us2

m ⎛

2

(

)

( )

m m ⎞ ∂ f 2 ⎜ ⎟ ( y ) = ∑ ⎜ ∂x ⎟ u ( xi ) + ∑∑ ∂∂xf ∂∂xf r xi , x j u ( xi ) u x j , j i =1 ⎝ i ⎠ i =1 j =1 i

(1.1.7)

где r (xi , x j ) – коэффициент корреляции, u (xi ) – стандартная неопределенность i-ой входной величины, оцененная по типу А или по типу В. Коэффициент охвата k при оценке расширенной неопределенности в общем случае дается выражением: k=tP(νeff), где tP(νeff) – квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степеней свободы νeff и уровнем доверия P:

veff =

us4 , 4 m u4 ( x ) ⎛ ∂f ⎞⎟ i ⎜ ∑ ⎜ ∂xi ⎟ i =1 vi ⎝ ⎠

(1.1.8)

где ν eff = n −1 (число степеней свободы). Значения коэффициента tP(n-1) приведены в [22, 42, 45]. В частности, для практически важных случаев k полагают равным: k = 2 при P=0,95 и k = 3 при P=0,99. Таким образом, изложенный подход распространяет гауссов закон сложения ошибок, характерный для случая косвенных измерений при условии нормального распределения результатов имерений (оценка по типу А), на случай оценки по типу В. В последнем случае ni равно числу свидетельств для переменной

xi. Если же используются нестатистические данные, то число степеней свободы полагается равным ni=∞ , что соответствует теоретическому значению. При представлении результата измерения с использованием неопределенности рекомендуется привести количество информации, достаточное для обеспечения возможности повторить весь процесс оценивания, а именно: алгоритм получения результата измерения; алгоритм расчета всех поправок и их неопределенностей; оценки неопределенностей всех используемых данных и способы их получения; алгоритм вычисления суммарной неопределенности и расширенной неопределенности (включая значение коэффициента k). Сравнительный анализ двух подходов показывает, что подход на основе неопределенности является более общим, чем подход на основе погрешности, так как он применим и для количественной статистической информации, и для качественной нестатистической, например, в виде свидетельств или оценок экспертов, справочных данных и т.п. 1.2. Нормирование метрологических характеристик средств измерений Под нормированием понимается установление пределов, следовательно, нормирование метрологических характеристик средств измерений (СИ) означает установление пределов их изменения, а к нормируемым характеристикам относятся такие показатели, которые определяют качество функционирования СИ. Как правило, метрологические характеристики служат для описания СИ определённого типа, например аналоговые приборы, меры, цифровые приборы и т.п., однако, в особо ответственных случаях эти характеристики устанавливают для конкретных экземпляров СИ (например, для образцовых СИ, для сложных системных СИ, в частности, интеллектуальных).

Нормируемые метрологические характеристики прежде всего должны давать возможность оценивать результат измерения и его точность при применении СИ данного типа, поэтому наиболее важными характеристиками СИ являются характеристики погрешности измерений. В общем виде результат измерений y(t) в момент времени t можно представить в виде: y(t ) = f [ x(t −τ ),ϕi , Z ] , (1.2.1) где x(t–τ) – значение измеряемой величины в момент t–τ , f(x) – характеристика преобразования СИ; ϕi – значения влияющих величин или неинформативных параметров входного сигнала; τвремя запаздывания (реакция СИ); Z – взаимодействие СИ с объектом измерения (например, потребление мощности). Действительное значение измеряемой величины можно получить, если характеристики преобразования и все влияющие величины будут иметь номинальные значения, т.е. τ=0; Z=0: yд(t)=fном (x(t), ϕ i ном , 0). Разлагая y(t) в ряд Тейлора до второго порядка малости по ∆y = y(t)-yд(t), имеем: n

Δy(t ) = (∂y / ∂f )δ f + ∑ (∂y / ∂ϕi )δϕi + (∂y / ∂t )τ + i =1

+(∂y / ∂Z )δ Z + o(Δy),

(1.2.2)

где Δf= f-fном; Δϕi =ϕi-ϕi ном. В этом выражении представлены все группы погрешностей. Первый член даёт основную погрешность СИ, обусловленную неидеальностью собственных свойств СИ, т.е. отличием реальной характеристики преобразования f от номинальной fном (или отличием действительного значения меры от номинального значения). Второй член содержит дополнительные погрешности – погрешности результата измерений, обусловленные реакцией СИ на изменение влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала относительно номинальных значений. Третий член представляет динамическую погрешность, т.е. погрешность, обусловленную инерционностью СИ и скоростью изменения входного сигнала. Отметим, что

динамическая погрешность СИ может быть вызвана разными причинами. Например, для цифровых измерительных приборов (ЦИП) различают динамическую погрешность 1-го и 2-го рода. Погрешность 1-го рода обусловлена инерционностью элементов измерительной части прибора. Динамическая погрешность 2-го рода возникает из-за того, что измерение проводится в момент t2 а результат приписывается либо началу цикла преобразования t1, либо концу t3. Это приводит к погрешностям ∆х1 или ∆х2 соответственно (см. рис.1). Максимальная приведённая динамическая погрешность второго рода: ε (t)=±Δx/xm=x'Tц/xm, где ∆х–максимальное изменение величины х(t) за время Тц; xm– максимальное значение x(t); x' – средняя скорость изменения х(t) за время Тц. Например, для x(t)=A sinωt динамическая ε (t)=ωТц. Таким образом, погрешность второго рода: динамические погрешности ограничивают допустимую частоту или скорость изменения измеряемой величины х(t) при заданном цикле Тц. x

Δx1

x(t) Δx2

t1

t2

t3

t

Рис.1. Динамическая погрешность 2-го рода в ЦИП: Tц=t3-t2.

Четвёртый член содержит погрешность, обусловленную взаимодействием СИ с объектом измерений (или другим компонентом измерительной цепи).

Все погрешности, кроме первой, связаны не только со свойствами СИ, но и с условиями измерений. В связи с этим при нормировании метрологических характеристик на этапе проектирования и создания СИ закладывается основа для эксплуатации СИ в разных условиях. Метрологические характеристики конкретного СИ постоянны в данный момент, но с течением времени они изменяются из-за износа, старения, регулировки элементов, а по совокупности СИ данного типа они являются случайными из-за разброса параметров при изготовлении и условий эксплуатации. Поэтому при нормировании метрологических характеристик должна быть предусмотрена возможность оценки соответствия конкретного СИ установленным нормам, а также оценки предельной погрешности при использовании данного СИ (для этой цели лучше всего подходит предел допускаемых значений метрологической характеристики). Кроме того должна быть предусмотрена возможность определения вероятностных характеристик распределения погрешности результата измерений, проводимых любым СИ данного типа (для этого проводят усреднение значений метрологической характеристики по группе СИ). Последнее связано с необходимостью для изготовителя проведения значительного числа испытаний, что не всегда оправдано для СИ, эксплуатируемых в традиционных условиях. Метрологические характеристики СИ (МХ СИ ), регламентируемые в ГОСТ 8.009-84[17], используются для определения результатов измерений и расчётной оценки характеристик инструментальной составляющей погрешности измерений, расчёта метрологических характеристик каналов измерительных систем, оптимального выбора СИ и контроля СИ на соответствие установленным нормам. Комплекс метрологических характеристик конкретных СИ должен быть достаточен для оценок погрешностей результатов измерений в реальных условиях применения. МХ СИ следует выбирать так, чтобы контроль СИ можно было осуществлять при приемлемых затратах. Комплекс нормируемых МХ (НМХ) выбирается из следующего ряда характеристик (в соответствии с ГОСТ 8.00984).

Характеристики для определения результата измерений (без введения поправок). К ним относятся функция преобразования измерительного преобразователя или измерительного прибора с наименованной шкалой f(x) и значение однозначной или значения многозначных мер. Для этих характеристик нормируются номинальные значения или функции. Например, ГОСТ 6651-84 «Термопреобразователи сопротивления» нормирует номинальную функцию преобразования R(t)=W(t)·R(0), где R(0)сопротивление преобразователя при 0°С, W(t)- коэффициент, зависящий от температуры. Допускается не нормировать номинальные характеристики отдельных СИ, имеющих индивидуальные характеристики. В этих случаях нормируют пределы, в которых должна находиться индивидуальная характеристика. Нормируется также цена деления шкалы измерительного прибора или многозначной меры, вид выходного кода, число разрядов кода, цена единицы наименьшего разряда кода СИ, предназначенных для выдачи результатов в цифровом коде. Например, ГОСТ 13837-79 «Динамометры общего назначения» нормирует нижний предел минимальной цены деления динамометров как 0,01 от наибольшего предела измерений. Характеристики погрешности СИ. К ним относятся характеристики систематической и случайной составляющих погрешности и случайной составляющей погрешности от гистерезиса, либо характеристики погрешности СИ (если нецелесообразно разделение). Нормируемыми характеристиками систематической составляющей Δs погрешности являются её предельные значения Δsp либо значения Δsp с математическим ожиданием M[Δs] и стандартным отклонением (СТО) σ[Δs] распределения Δs по совокупности СИ данного типа. Величины M[Δs] и σ[Δs] указывают для СИ, выпускаемых партиями, если их можно использовать для оценки погрешности измерений (т.е. можно пренебречь их изменениями от времени и влияющих величин или возможно их нормирование в виде функций времени и условий применения). В остальных случаях нормируют пределы Δsp. Их определяют как границы интервала, в котором значение Δs всех СИ данного типа должно иметь вероятность P=1. Вероятность P=1 не контролируется, но по условию |Δs| ≤

|Δsp| проводится отбраковка неправильных СИ при приёмосдаточном контроле или поверке. На практике, зная распределение Δs можно установить границы по заданной P. Например, для случайного распределения при P=0,997: Δsp=M[Δs]±3 σ[Δs]. Нормируемой характеристикой случайной составляющей Δst погрешности СИ является предел σp[Δst] допускаемых значений СТО σ[Δst]. Если СИ предназначено для работы в условиях, при которых необходимо учитывать корреляцию случайной погрешности во времени, дополнительно может нормироваться нормализованная автокорреляционная функция rst[τ] или функция спектральной плотности Sst (ω). Нормируемой характеристикой случайной составляющей (ΔH) погрешности от гистерезиса является предел (без указания знака) вариации Hp выходного сигнала или показаний СИ. Характеристикой погрешности СИ (при нормальных или рабочих условиях применения) является значение погрешности. При её нормировании устанавливают пределы (положительные и отрицательные) Δp допускаемой погрешности и предел Hp допускаемой вариации. Нормирование пределов Δp допускаемой погрешности СИ без указания составляющих погрешности – наиболее простой и удобный для контроля способ нормирования. Это допустимо в следующих случаях: 1).СТО в каждой точке диапазона измерений не превышает установленной доли предела допускаемой погрешности σ[Δst]≤ Δp qmax/100; 2). СИ предназначено для совместного применения с другими СИ, и его погрешность в рабочих условиях применения практически полностью может быть определена нормированными границами (верхней и нижней: Δв, Δн), соответствующими нормальным условиям. Например, для штриховых мер длины, обладающих незначительной случайной погрешностью, нормируют предел допускаемой основной погрешности Δр. Силоизмерительные машины, напротив, характеризуются существенной случайной погрешностью, поэтому для них определяется предел допускаемой систематической погрешности Δsp=0,12% и предел допускаемых

значений СТО случайной погрешности σp[Δst] = 0,1% в диапазоне до 20% от верхнего предела измерений и 0,05% в диапазоне свыше 20%. Допускается нормирование функций или плотностей распределения систематической или случайной составляющей погрешностей СИ. Знание распределений позволило бы определить M[Δs], σ [Δs] и σ p(Δst) и доверительные интервалы для погрешности СИ, что повысило бы качество решения многих задач. Однако такое нормирование требует проведения большого объёма испытаний и на практике применяется редко. Характеристики чувствительности СИ к влияющим величинам. К ним относятся функции влияния f(ϕ) либо изменения ε(ϕ) значений МХ, вызванные изменениями влияющих величин в установленных пределах. При нормировании задают номинальную функцию влияния fs(ϕ) и пределы допускаемых отклонений от неё или верхнюю f*(ϕ) и нижнюю f*(ϕ) граничные функции влияния. Номинальные функции влияния служат для определения поправок к результатам измерений, обусловленных отличием значений влияющих величин от номинальных. Пределы допускаемых отклонений f(ϕ) от номинальной функции fs(ϕ) используют для контроля качества СИ. Если у СИ одного типа велик разброс функций влияния (>20% от номинального значения), то определение поправок с учётом номинальной функции может привести к существенной погрешности в результатах измерений. Поэтому для отдельных СИ целесообразно указывать индивидуальные функции влияния, а граничные функции влияния нормировать для типа СИ. Изменения ε(ϕ) значений метрологических характеристик, вызванные изменениями влияющих величин, нормируют путём установления пределов εp(ϕ) (положительных и отрицательных) допускаемых изменений характеристики при изменении влияющих величин в заданных пределах (т.е. пределов допускаемой дополнительной погрешности СИ). f(ϕ) и εp(ϕ) нормируют отдельно для каждой величины или для нескольких величин, если это необходимо для повышения точности измерений. Так, для измерительных потенциометров постоянного тока нормируют пределы дополнительных погрешностей от действия температуры окружающей среды, напряжения,

коэффициента искажения вспомогательного источника питания (если он есть) и внешнего магнитного поля. Динамические характеристики СИ. Различают полную динамическую характеристику, адекватно описывающую динамические свойства СИ, и частную, являющуюся функционалом или параметром полной. Полная динамическая характеристика устанавливается для линейных аналоговых СИ. Нормирование частной динамической характеристики допускается, когда она достаточна для учёта динамических свойств СИ при его применении. К частным характеристикам относятся: время реакции (время установления показаний или выходного сигнала) tr; коэффициент демпфирования γdam в x′′ + 2γ damϖ 0 x′ + ϖ 02 x = 0 , дифференциальном уравнении: описывающем линейное СИ второго порядка; значение резонансной собственной частоты ω0; постоянная времени Т; максимальная частота (скорость) измерений fmax ; Динамические характеристики нормируют путём установления номинальной характеристики и пределов (положительных и отрицательных) допускаемых отклонений от неё. Для СИ с большим разбросом динамических характеристик по типу СИ (>20% от номинальной характеристики) нормируют граничные динамические характеристики, используемые при контроле качества СИ, а для отдельных СИ устанавливают индивидуальную динамическую характеристику. К полным характеристикам относятся характеристики изменения выходного сигнала в зависимости от времени и входного сигнала (передаточная функция, импульсная весовая функция, переходная характеристика и т.д.) Неинформативные параметры выходного сигнала СИ нормируют путём определения номинальных параметров и пределов допускаемых отклонений от них либо наибольших или наименьших допускаемых значений параметров. Комплекс нормируемых метрологических характеристик устанавливается для конкретного типа СИ на основании принятой модели погрешности в реальных условиях применения. Используется два вида моделей погрешности. Первая модель имеет вид:

k

Δ1 = Δ0 s * Δ0 st * Δ0 H * ∑ Δci * Δ din ,

(1.2.3)

i=1

где ∆os-систематическая составляющая основной погрешности СИ; ∆ost –случайная составляющая основной погрешности; ∆оH– случайная составляющая основной погрешности, обусловленная гистерезисом; ∑∆сi – объединение дополнительных погрешностей, обусловленных действием влияющих величин и неинформативных параметров входного сигнала СИ; ∆dynдинамическая погрешность СИ; k - число дополнительных погрешностей. Вторая модель записывается в виде: k

Δ 2 = Δ 0 * ∑ Δci * Δ dyn ,

(1.2.4)

i=1

где ∆o – основная погрешность СИ (без разделения на составляющие). Символ * означает объединение погрешностей. Если принята первая модель, то * означает статистическое суммирование математических ожиданий и дисперсий для определения точечных и интервальных характеристик, в частности, интервала, в котором с заданной вероятностью находится погрешность измерений. Во второй модели * означает арифметическое суммирование модулей наибольших значений погрешностей, то есть соответствующих пределов допускаемых значений погрешностей (это грубая оценка). Какую модель принять, зависит от свойств СИ данного типа. Вторую модель применяют для СИ, у которых случайную составляющую погрешности можно считать несущественной. Основная погрешность выражается в виде: ∆o=∆os+Ho/2, где Но – вариация в нормальных условиях. Вторую модель применяют и при существенной случайной составляющей погрешности, если составляющие ∑∆ci и ∆dyn пренебрежимо малы, т.е. инструментальную погрешность измерений можно принять равной основной погрешности СИ. Если риск (потери), связанный с превышением допустимой погрешности велик, то применяется 1-ая модель. Например, для пирометров излучения регламентируют пределы допускаемых дополнительных погрешностей вследствие отклонения от номинальных значений напряжения питания, температуры и яркости, равные (0,3-0,5)∆р каждый, и в результате влияния внешнего магнитного поля –

(0,5-1)∆р. При вычислении по 2-ой модели предел допускаемой погрешности параметров в рабочих условиях составляет:(2,43,5)∆р. Применяя квадратичное суммирование (1-ая модель), получим предел (1,2-1,6)∆р, а при равномерном распределении дополнительных погрешностей в указанных пределах, предел составит (1,7-2,3)∆р. Правильность выбора модели проверяется при государственных испытаниях СИ. После выбора модели необходимо рационально выбрать комплекс нормируемых метрологических характеристик, соответствующих данной модели, назначению и свойствам СИ данного типа. Этот комплекс должен включать характеристики всех составляющих 1-й и 2-й модели, существенных для СИ данного типа. В ГОСТ 8.009-84 выделены группы СИ: меры (в том числе многозначные) и цифро-аналоговые преобразователи; аналоговые и цифровые измерительные и регистрирующие приборы; аналоговые и аналого-цифровые измерительные преобразователи, в том числе измерительные коммутаторы сигналов. Например, для аналоговых измерительных приборов с существенной случайной погрешностью при выборе 1-ой модели в перечень нормируемых метрологических характеристик входят: -цена деления равномерной шкалы или минимальная цена деления неравномерной шкалы; -пределы допускаемой систематической составляющей основной погрешности ∆sp (математическое ожидание М[∆s] и СТО σ[∆s] систематической составляющей основной погрешности рекомендуется нормировать, хотя это и необязательно); -предел допускаемой вариации Нр; -номинальная функция влияния fs(ϕ) и пределы допускаемых отклонений от неё; -номинальные значения характеристики взаимодействия СИ с устройством, подключённым к его входу и пределы допускаемых отклонений от них; -частные динамические характеристики; -номинальная полная динамическая характеристика и пределы допускаемых отклонений от неё.

1.3. Погрешность функционирования средств измерений

Общая классификация погрешностей (мы так же будем использовать термин «ошибка», как эквивалентный понятию погрешность) подробно рассмотрена в литературе [1–3, 26, 42]. Так, по способу представления погрешности делятся на абсолютные, относительные и приведенные, по зависимости от измеряемой величины различают аддитивные, мультипликативные и нелинейные погрешности (погрешности нелинейных искажений); по закономерности изменения погрешности делятся на систематические и случайные; по условиям появления – на статические и динамические; в зависимости от условий эксплуатации средств измерений (СИ) – на основные и дополнительные; по причинам появления – на методические и инструментальные. С точки зрения проектирования и функционирования СИ наиболее информативным является разделение погрешностей на методические и инструментальные, так как анализ их составляющих позволяет оценить погрешность результата измерения прибором определенного типа. Рассмотрим их для нескольких типов СИ. Аналоговые средства измерений (АСИ). Основной погрешностью АСИ является погрешность преобразования, обусловленная отклонением реальной функции преобразования от идеальной (номинальной) и зависящая от погрешности входной величины и условий измерений. Если погрешность входного сигнала не учитывается, то погрешность преобразования равна: Δyпр = fx − f 0 x = Δgx , (1.3.1) где f0 – оператор, соответствующий идеальной (номинальной) функции преобразования, а f – реальной; Δgx=Δg(x). Оператор f может быть составным, т.е. включать несколько разнотипных преобразований: f= f1 f2 f3….Обычно стремятся, чтобы функция (оператор) преобразования не зависела от входного сигнала в определенном диапазоне: (1.3.2) y = fx = f ( x) = const ( x) = K . Тогда для погрешности преобразования имеем: Δyпр = Kx − K0 x = ( K − K0 ) x = ΔKx . (1.3.3)

В общем случае функцию Δgx можно разложить в степенной ряд и выделить составляющие погрешности преобразования: ⎛ ∂Δg ⎞ 1 ⎛ ∂ 2Δg ⎞⎟ 2 Δg ( x) = Δg (0) + ⎜⎜ x + ... , (1.3.4) ⎟⎟ x + ⎜ 2 ⎜⎝ ∂x 2 ⎟⎠ ⎝ ∂x ⎠0 0 где

Δg(0)

–

аддитивная

погрешность;

⎛ ∂Δg ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ x – ⎝ ∂x ⎠0

мультипликативная погрешность, а следующие члены разложения дают нелинейную погрешность. Для аналоговых СИ с диапазоном измерения D погрешность преобразования изменяется в пределах: (1.3.5) Δyпр ∈[Δyпр min , Δyпр max ] , где Δ у пр min , у пр max – минимальное и максимальное значение погрешности соответственно: (1.3.5a) Δyпр min = min f ( x) − f 0 ( x) , x∈D

Δyпр max = max f ( x ) − f 0 ( x) . x∈D

(1.3.5б)

При учете погрешности входного сигнала погрешность преобразования определяется соотношением: Δyпр = Δgx + f Δx , (1.3.6) где fΔx≡f(x+Δx)–f(x). Расчет этой погрешности требует знания структурной схемы СИ и будет рассмотрен в §3.1. Цифровые средства измерений (ЦСИ). Основная погрешность ЦСИ состоит из следующих составляющих: погрешность дискретизации, погрешность квантования, погрешность реализации уровней квантования, погрешность, обусловленная порогом чувствительности, погрешность от действия помехи (погрешность входного сигнала). Первые две составляющие являются методическими, остальные – инструментальными. Рассмотрим наиболее характерные для ЦСИ погрешности: дискретизации и квантования. Погрешность дискретизации связана с тем, что непрерывный сигнал измеряется в фиксированные моменты времени. Согласно теореме Уиттекера (в русской литературе – теорема Котельникова) эта погрешность минимальна, если измерение проводить в интервалах времени Δt=1/2fmax , где fmax – верхний

предел частотного спектра входного сигнала. Пусть входной сигнал является плавной функцией времени, тогда погрешность дискретизации может быть определена из следующих соображений. Проведем разложение входного сигнала в ряд Тейлора вблизи некоторой фиксированной точки t0: ⎛ ∂x ⎞ 1 ⎛⎜ ∂ 2 x ⎞⎟ x(t ) = x0 + ⎜⎜ ⎟⎟ Δt + (Δt )2 + ... . (1.3.7) 2 2 ⎜⎝ ∂t ⎟⎠0 ⎝ ∂t ⎠0 При измерении через конечный интервал времени Δt значение функции в момент t находится через среднее значение xср в интервале Δt, т.е. определяется первыми двумя слагаемыми в разложении (1.3.7). Таким образом, погрешность дискретизации определяется членами, квадратичными по Δt и более высокого порядка. Имеем: 1 ⎛⎜ ∂ 2 f ⎞⎟ x(t ) − x0 = xср + (Δt )2 + ... . (1.3.8) 2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂t ⎠0 С точностью до членов более высокого порядка по Δt погрешность дискретизации равна: 1 ⎛ ∂2 f ⎞ Δдискр = ⎜ 2 ⎟ (Δt )2 + ... . (1.3.9) 2 ⎜⎝ ∂t ⎟⎠ 0 Временной интервал измерения находится из условия, чтобы Δ дискр не превышало погрешности реализации уровней квантования: (1.3.10) Δ дискр ≤ Δ ркв , что дает:

2Δ ркв . (1.3.11) (∂ 2 f / ∂t 2 )0 Следует иметь в виду, что выбор интервала дискретизации влияет на динамическую погрешность СИ и искажение сигнала. Рассмотрим погрешность квантования. При переходе от аналогового к цифровому представлению входная величина x преобразуется в дискретную величину y: (1.3.12) y = x + Δ кв , где Δкв – погрешность квантования. Если начало шкалы квантования фиксировано, то величина x может соотноситься с ближайшим уровнем, с ближайшим меньшим или ближайшим большим. Соответственно (Δt )2 ≤

погрешность квантования является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [–k/2...k/2], [0...k] или [– k...0], где k –величина интервала квантования. Отсюда следует, что математическое ожидание этой погрешности равно 0: ( 1.3.13) M [Δ кв ] = 0 , а дисперсия равна: D[Δ кв ] =

k2 12

.

(1.3.14)

При случайной установке начала шкалы погрешность квантования оказывается распределенной по треугольному закону, так как она равна сумме двух случайных величин, равномерно распределенных в интервале [–k...0] и [0...k] соответственно. Поэтому ее математическое ожидание и дисперсия равны: ( 1.3.15) M [Δ кв ] = 0 , D[Δ кв ] =

2

2⎛k ⎞ k2 = ⎜ ⎟ 3⎝ 2⎠ 6

,

(1.3.16)

т.е. дисперсия возрастает в два раза по сравнению со случаем фиксированного начала шкалы. Так как математическое ожидание этой погрешности равно нулю, то она может быть исключена усреднением при проведении многократных измерений. Интеллектуальные средства измерений (ИнСИ). К ним относятся интеллектуальные датчики (сенсоры), интеллектуальные регистраторы, компьютерные измерительные системы, а также измерительные системы на нейронных сетях и виртуальные средства измерений. Все эти средства измерений используют знания, поэтому основная погрешность их функционирования определяется качеством используемых знаний – методов и алгоритмов, представленных в базе знаний. Наиболее характерными являются методические составляющие погрешности функционирования, а именно, ошибка обусловленная неадекватностью моделей Δнад, ошибка, обусловленная конечностью объема выборки (объема исходных данных) Δков и ошибка, возникающая из-за не идеальности выполняемых преобразований Δнид. Ошибка неадекватности определяется соотношением:

N

N

1

1

Δ над (θ (Δy)) = Nlim {[ f 0 (Δy j ) ] − [ f 0 (Δ A y j ) ]} , →∞

(1.3.17)

где θ(Δy) – характеристика погрешности (дисперсия, доверительный интервал, максимальное значение и т.д.); Δyj; ΔAyj – оценка погрешности, найденная по реальной и адекватной моделям, соответственно; f0 – идеальный оператор преобразования; N – объём выборки; черта сверху означает усреднение по числу измерений j = 1,…, N. Ошибка из-за конечности объема выборки: N

N

1

1

Δ ков (θ (Δy)) = [ f 0 (Δy j ) ] − Nlim {[ f 0 (Δ A y j ) ]}, →∞

(1.3.18)

Ошибка из-за не идеальности преобразования: N

N

1

1

Δ нид (θ (Δy)) = Nlim {[ f (Δy j ) ] − [ f 0 (Δy j ) ]} , →∞

(1.3.19)

где f и f0 – оператор реального и идеального преобразований соответственно. При практических расчетах следует учитывать, что объем выборки, необходимый для получения несмещенной оценки результата измерения, зависит от вида закона распределения экспериментальных данных. Например, в случае нормального закона распределения и близких к нему распределений Стьюдента, Пирсона, Фишера значение N=25...30 можно считать бесконечно большим. Ошибка считается значимой, если ее значение больше половины погрешности определения: Δ > 0,5SΔ , (1.3.20) т.е. если относительная ошибка определения погрешности δΔ >0,5; где SΔ – погрешность определения соответствующей ошибки. Рассмотрим пример. Пусть случайная величина y имеет нормальное распределение, которое аппроксимируется равномерным распределением. Требуется оценить доверительный интервал результата измерения. Для равномерного распределения дисперсия равна: ( ymax − ymin )2 D[ y] = , (1.3.21) 12 для нормального распределения: N 1 ( y j − yN )2 . D[ yN ] = (1.3.22) N ( N −1) ∑ j =1

Доверительный интервал для равномерного распределения при вероятности P=0,99: P( ymax − ymin ) 0,99 1.3.23) Δр = = ( ymax − ymin ) . 2 2 Доверительный интервал для нормального распределения: Δ н = tP, N −1( D[ yN ])1/ 2 , (1.3.24) где t – квантиль распределения Стьюдента, зависящий от P и N. При N→ ∞: t0,99=2,58. Расчеты показывают (см [42], c. 91), что Δн 1 и а11 T ⎛ sin 2π bt ⎞ 2ab ⎜ ⎟ ⎝ 2π bt ⎠ ⎛ sin π bt ⎞ ab ⎜ ⎟ cos 2π f 0t ⎝ π bt ⎠

e

−a t

X(f)

,a>0

X ( f )e− j 2π f τ 0 [ δ(f–f0)+ δ(f+f0)]/2 [ δ(f–f0) – δ(f+f0)]/2j ⎛ sin π f ⎞ − jπ ft T⎜ ⎟e ⎝ π fT ⎠ ⎧ a, ⎨ ⎩0, ⎧a, ⎨ ⎩ 0,

−b ≤ f ≤ b

f >b f0 − b / 2 ≤ f ≤ f0 + b / 2 f − f0 > b / 2

2a a + (2π f ) 2 a a + 2 2 2 2 2 a + 4π ( f + f 0 ) a + 4π ( f − f 0 ) 2 2

e

−a t

cos 2π f 0t , a > 0

∞

∫ x (u ) x (t − u )du 1

X1 ( f ) X 2 ( f )

2

−∞

Частотные характеристики систем. При анализе измерительной системы предполагается обычно, что она устойчива, имеет постоянные параметры и линейна. Динамические свойства такой системы описываются импульсной переходной функцией или весовой функцией, которая представляет собой реакцию системы на входной сигнал x(t) в виде дельта-функции, т.е. h(t ) = y (t ) при x(t ) = δ (t ) , (1.39) причем отсчет времени t начинается с момента подачи на вход системы дельта-функции. В общем случае реакция y(t) системы

на произвольный входной процесс x(t) определяется интегралом свертки (интеграл Дюамеля): ∞

y (t ) =

∫ h(τ ) x(t −τ )dτ ,

(1.40)

−∞

т.е. реакция системы y(t) есть взвешенная линейная сумма всех прошлых и будущих значений входного процесса x(t), где роль весов выполняют значения весовой функции в различные моменты времени. Так как реальная система реагирует на возмущение только когда оно поступило на вход системы, то имеет место равенство: h(t ) = 0 при τ < 0 . (1.41) Следовательно, нижний предел интегрирования в интеграле свертки равен нулю. Постоянство параметров системы означает, что её весовая функция не зависит от момента поступления сигнала на вход системы, т.е. выполняется соотношение: h(t ,τ ) = h(τ ) при − ∞ < t < ∞ , (1.42) Устойчивость системы означает, что если сигнал на входе ограничен, то и выходной сигнал также является ограниченным. Это условие выполняется, если справедливо соотношение: ∞

∫

h(τ ) dτ < ∞ .

(1.43)

−∞

Наконец, линейность системы означает, что весовая функция h(τ) не зависит от процесса на входе x(t): ∞

y (t ) = ∫ h(τ ) x(t −τ )dτ

при всех

x(t ) .

(1.44)

0

В частности, для линейной системы случайный входной процесс с гауссовским распределением порождает гауссовский процесс на выходе. В реальных ситуациях, например, при резком изменении входного сигнала или при исследовании разрушений конструкций под действием случайных нагрузок, линейность не выполняется. Однако если изучаемый объект не является сильно нелинейным, то можно использовать линейное приближение. Динамические свойства изучаемых объектов принято описывать не самой весовой функцией h(τ), а некоторым ее линейным преобразованием, вид которого зависит от конкретной задачи. Наиболее удобно для идеальной системы, обладающей

перечисленными выше свойствами, пользоваться преобразованиями Фурье, которые позволяют непосредственно описывать динамические характеристики системы в некоторой частотной области. Преобразования Фурье весовой функции h(τ), удовлетворяющей условию h(τ)=0 при τ 0) . ∑ k =1 A′( pk ) n

(3.5)

l

Если корни кратные, то есть A( p) = a0 ( p − p1) 1...( p − pn )ln ,

то

L−1 определяется выражением (формула Хевисайда):

L−1[W ( p)] =

l

pt 1 [ ( p − pk ) k B( p)e ](lk −1) p = pk ∑ A( p) k =1 (lk −1)! n

(3.6)

Выражение (3.6) можно представить в виде:

L−1[W ( p)] =

n lk

l −i pk t

H kit k ∑∑ k =1 i =1

e , (t > 0) ,

(3.7)

где l

i −1 ( p − p ) k B( p) 1 d k H ki = [ ] p= pk . (i −1)!(lk −1)! dpi−1 A( p)

Отметим, что система устойчива, если корни отрицательные действительные части. В частности, если W ( p) =

(3.8) рk

имеют

1 , то ( p − p1)( p − p2 )( p − p3 )

h(t ) = L−1[W ( p)] = C1e p1t + C2e p2t + C3e p3t ,

(3.9)

где

1 1 ; C2 = ; ( p1 − p2 )( p1 − p3 ) ( p2 − p1)( p2 − p3 ) 1 . C3 = ( p3 − p1)( p3 − p2 ) C1 =

(3.10)

Вместо формулы Хевисайда можно использовать разложение, применяемое при решении дифференциальных уравнений. Если А(р) и В(р) не имеют совпадающих корней, то каждому действительному корню рk уравнения А(р)=0 отвечает lk простых дробей вида:

cl c1 c2 k , ,..., , 2 lk p − pk ( p − pk ) ( p − pk )

(3.11)

где lk – кратность корня рk. Каждой паре комплексносопряженных корней рk =α+iβ отвечает lk простых дробей вида:

d1

p + gl p + g1 p + g2 k d d , ,..., , 2 lk 2 2 2 2 2 lk 2 2 ( p −α ) + β [( p −α ) + β ] [( p −α ) + β ]

где lk – кратность корней рk=α+iβ. Тогда L−1[W ( p)] находится как сумма обратных преобразований Лапласа таких слагаемых. В частности,

L−1[ 1 ] = e p1t , p − p1

(3.12)

L−1[

p1t 1 = te , ] ( p − p1)2

(3.13)

L−1[

p+ g ] = C1eα t sin( β t + ϕ ) , 2 2 ( p −α ) + β

(3.14)

где C1 = 1 [(α + g )2 + β 2 ]1/2 , ϕ = arctg α β +g ;

β

1 L−1[ ] = 1 3 eα t (sin β t − β t cos β t ) . 2 2 2 [( p −α ) + β ] 2β

(3.15)

Вопросы этого раздела рассмотрены, например, в [20, 45]. 4. Типы распределений, используемых при оценке надежности СИ

Распределение Вейбулла. Оно является Плотность распределения задается выражением:

f ( x; a, b, c) = c / b(( x − a) / b)c−1 exp{−(( x − a) / b)c},

непрерывным. (4.1)

где х – случайная величина; x>a, b>0, c>0, a – параметр сдвига, b – параметр масштаба, с – параметр формы. При испытаниях на долговечность параметр а обозначает длительность начального периода, в течение которого происходят отказы. Интенсивность отказов и плотность распределения Вейбулла принимают различные формы при разных с. В частности, при с>1 распределение одновершинное, и интенсивность отказов возрастает с течением времени. При с 0 ,

(4.5) где λ имеет смысл интенсивности отказов. Иногда употребляется другой параметр b=1/λ. Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения при с=1. В теории надежности это распределение является статистической моделью времени безотказной работы для системы с большим числом последовательно соединенных элементов. Вероятность отказа системы за время t дается выражением:

P0 (t ) = 1− exp(−λt ) .

(4.6)

Для этого распределения характерна резко выраженная правосторонняя (положительная) асимметрия, кроме того, математическое ожидание равно среднеквадратичному отклонению. Математическое ожидание определяется выражением:

∞

E[ x] = D[ x] = ∫ xλ exp(−λ x)dx = 1/ λ .

(4.7)

0

Биномиальное и отрицательное биномиальное распределение. Эти распределения являются дискретными. Предположим, что проводится серия независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода: успех или неудача. Обозначим вероятность успеха р, а вероятность неудачи q=1–р. Предполагается, что р одинаково в каждом испытании. Например, при контроле СИ р – вероятность, что СИ будет годным, а q – что негодным. Тогда вероятность того, что в последовательности из n испытаний успехи осуществляются в точности k раз, дается выражением:

P( x = k ) = Cnk p k q n−k , 0 < p < 1.

(4.8)

Функция (4.8), определенная при k=0,1,…,n, задает биномиальное распределение с параметрами n и p. Это очень важное дискретное распределение, широко используемое при статистическом контроле качества продукции, при описании систем массового обслуживания и т.п. Биномиальное распределение симметрично при р=0,5; при р0,5 распределение более пологое слева. При расчетах вероятностей удобно рекуррентная формула:

P(k +1) = (n − kp) P(k ) /((k +1)q) .

(4.9)

Математическое ожидание для этого распределения равно E[x=k]=np; а дисперсия D[x=k]=npq, т.е. дисперсия меньше среднего. Отрицательное биномиальное распределение получило свое название в связи с тем, что формула распределения вероятностей для него определяется разложением бинома с отрицательной степенью. В этом распределении число испытаний является случайной величиной, и число успехов k становится параметром. Распределение позволяет определить вероятность числа неудач r до k-го успеха, которая равна члену биномиального разложения выражения pk(1–q)-k, включающему qr, а именно:

P( x = r ) = Ckr+r −1 p k q r ; n ≥ 0; 0 < p < 1 .

(4.10) Математическое ожидание равно: E[x=r] = kq/p, а дисперсия: D[x]=kq/p². Легко видеть, что для этого распределения наблюдаемая дисперсия больше наблюдаемого среднего. Отрицательное биномиальное распределение имеет интересные приложения. Например, оно позволяет оценить «склонность» к отказам, авариям, несчастным случаям объектов некоторого типа. Распределение Пуассона. Это распределение является дискретным. Если в биномиальном распределении положить np=λ и при постоянном λ увеличивать n (n →∞), то биномиальное распределение перейдет в распределение Пуассона с параметром λ. Это распределение используется для определения вероятности появления относительно редких случайных событий в единицу времени, на единицу площади или объема, например, число случаев брака, число внезапных отказов, число стихийных бедствий и т.д. на единицу времени или пространства. Вероятность числа таких событий за фиксированный интервал времени дается выражением P( x = r ) = λ r e−λ / r !, 0 < λ < ∞ . (4.11) Математическое ожидание для этого распределения равно дисперсии: Е[х]=D[х]=λ, и определяется параметром λ. Распределение имеет положительную асимметрию λ⎯0,5, которая стремится к нулю с ростом λ, т.е. с увеличением λ распределение становится более симметричным, отдельные вероятности при λ1 – сначала увеличиваются, затем уменьшаются. Максимум распределения приходится на ближайшее целое, меньше λ. При четном λ имеются два равных максимума вероятностей. Отметим, что сумма случайных величин, каждая из которых имеет распределение fi , имеет обобщенное распределение Пуассона ∞

(hi )t = e−λt ∑ [(λt )n / n!] f in∗ , n∗ –

n =0

(4.12)

свертка n функций fi . В частности, если распределение где f i fi пуассоновское, то f i2∗ = f (r;2λ ) , где f (r;2λ ) – распределение вида (4.11).

Гамма-распределение. Это распределение является непрерывным и используется для описания случайных величин, ограниченных с одной стороны. Его плотность имеет вид ⎛ ⎞ f ( x) = 1 ⎜ x − a ⎟ bΓ(c) ⎝ b ⎠

c−1

e

− x −a b ;

x ≥ 0; b > 0; c ≥ 0,5 ,

(4.13)

где а – параметр сдвига, b – параметр масштаба, с – параметр формы, Г(с) – известная гамма-функция. Если с – положительное целое число, то Г(с)=(с-1)!. Обычно полагают при расчетах а=0, а вместо b используют другой параметр λ=b⎯¹. При изменении параметра λ форма распределения не меняется, а меняется только масштаб. В частности, при с1 представляет собой одновершинную кривую с максимумом в точке х=(с-1)/λ. Гаммараспределение описывает время, необходимое для появления ровно c независимых событий (например, отказов), если они происходят с постоянной интенсивностью. Гамма-распределение играет важную роль в теории массового обслуживания, где рассматриваются задачи, связанные с ожиданием в очереди. Если, например, заявки на контроль и ремонт СИ поступают с постоянной интенсивностью (λ единиц в месяц) независимо друг от друга, а контроль и ремонт СИ производится партиями объемом c, то время, за которое будут проверены все приборы является случайной величиной, подчиняющейся гаммараспределению. Его широкое использование объясняется тем, что гамма-распределение принимает самые разнообразные формы. Частными случаями этого распределения являются распределения: Эрланга, когда параметр с – натуральное число; "хи-квадрат", когда параметр λ=0,5 и с кратно 0,5; экспоненциальное, когда параметр с=1. Часто гаммараспределение используется в альтернативной форме:

f ( y) = 1 y p−1e− y , 0 < p < ∞ , Γ( p )

(4.14)

где p – параметр формы и введена новая переменная y=(x–a)/b. Математическое ожидание в этом случае равно: M[y]=p; дисперсия равна математическому ожиданию, т.е. D[y]=p. Вопросы, изложенные в данном разделе, рассмотрены, например, в [22, 35, 45].

5. Примеры решения задач

Задача 1. Фильтр нижних частот (ФНЧ) имеет следующие параметры: R =200 кОм, C =0,4 мкФ. Требуется определить погрешность фильтра по амплитуде на граничной частоте ω=ωg. Решение. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра дается выражением (3.33) [42]: 1 H (ω ) = . 2 2 1+ ω / ωg

Определим граничную частоту ω g = 1/ RC . Подставляя исходные данные, найдем ω g =12,5 Гц. Значение АЧХ на этой частоте равно: H (ω g ) =

1 = 0, 71 1+1

.

Относительная погрешность ФНЧ равна: δ H (ω ) = g

H (ω g ) − H (0) H (0)

=

0, 71 − 1 = 0, 29 = 29% . 1

Погрешность фильтра понимается здесь как уменьшение амплитуды сигнала на выходе по сравнению с сигналом на входе. Задача 2. Фильтр верхних частот (ФВЧ) имеет следующие параметры: R =50 кОм, C =0,1 мкФ. Требуется определить погрешность фильтра по амплитуде на частоте ω=10ωg. Решение. АЧХ ФВЧ дается выражением (3.40) [42]: H (ω ) =

ω / ωg 1 + ω 2 / ω g2

.

Определим граничную частоту ω g = 1/ RC . Подставляя исходные данные, найдем ω g =200 Гц. Значение АЧХ на частоте ω=10ωg равно: 10 H (10ω g ) = = 0,995 . 2 1 + 10

Относительная погрешность ФВЧ равна: δ H (10ω ) =

H (10ω g ) − H (∞)

g

H (∞ )

=

0,995 − 1 = 0, 005 = 0,5% . 1

Задача 3. Полосовой фильтр (ПФ) имеет следующие параметры: R1 = R2 =100 кОм, C1 = C2 =0,2 мкФ. Требуется определить погрешность фильтра по амплитуде на частоте ωg. Решение. АЧХ ПФ дается выражением (3.44) [42]: H (ω ) =

ω / ωg . 1 + ω 2 / ω g2

Определим граничную частоту ω g = 1/ RC . Подставляя исходные данные, найдем ω g =50 Гц. Значение АЧХ на частоте ωg равно: H (ω g ) =

1 = 0,5 . 1+1

Относительная погрешность ПФ равна: δ H (ω ) = g

0,5 − 1 = 0,5 = 50% . 1

Задача 4. Определите предельную точность осциллографа при температуре 40о C, если его входное сопротивление 200 МОм, полоса частот 10 МГц. Решение. Точность осциллографа ограничена тепловым шумом. Для определения эффективного напряжения теплового шума используем формулу Найквиста (2.3.13): U R2, эфф = 4kTRΔν Подставляя исходные данные, найдем: U R2, эфф = 4 ⋅1,38 ⋅10−23 ⋅ 3,13 ⋅102 ⋅ 2 ⋅102 ⋅106 ⋅10 ⋅106 = 35 ⋅10−6 , U R , эфф ≅ 6 ⋅10−3 В .

Задача 5. Определите предельную точность вакуумного диода при температуре 20о C, если величина тока 10 мА, полоса частот 100 кГц. Решение. Точность диода ограничена дробовым эффектом. Для определения эффективного эффективного шумового тока используем уравнение Шотки (2.3.35): I S2, эфф = 2eI 0 Δν . Подставляя исходные данные, найдем: I S2, эфф = 2 ⋅1,6 ⋅10−19 ⋅ 20 ⋅10−3 ⋅ 2 ⋅102 ⋅103 = 12,8 ⋅10−16 , I S , эфф ≅ 3, 6 ⋅10−8 А . Задача 6. Определите число фотонов, которое в среднем должен зарегистрировать фотодиод на длине волны 400 нм в полосе частот 100 кГц за время 10 мс. Решение. Значение числа фотонов ограничено квантовым шумом приемника. Для определения числа фотонов используем ф.(2.3.45) для эквивалентной мощности шума на детекторе: PR , эфф = 2hνΔν

Подставляя исходные данные, найдем число фотонов: n = Pt / hν = 2Δν t = 2 ⋅105 ⋅10 ⋅10−3 = 2 ⋅103 . Задача 7. Измерительное устройство состоит из 4 последовательно соединенных элементов с функциями преобразования f1 =2, f2 =3, f3 =2, f4 =3. Определите относительную погрешность сигнала на выходе, если относительная погрешность функций преобразования элементов составляет δf1 =1%, δf2 =2%, δf3 =3%, δf4 =1%. Погрешность входного сигнала считать пренебрежимо малой. Решение. Применим ф.(3.1.9), полагая δ x = 0 :

4

δ y = ∑ δ fi i =1

Подставляя исходные данные, найдем δ y = 7% . Задача 8. Измерительное устройство состоит из 4 параллельно соединенных элементов с функциями преобразования f1 =2, f2 =3, f3 =2, f4 =3. Определите относительную погрешность сигнала на выходе, если относительная погрешность функций преобразования элементов составляет δf1 =1%, δf2 =2%, δf3 =3%, δf4 =1%. Погрешность входного сигнала считать пренебрежимо малой. Решение. Применим ф.(3.1.18), полагая δ x = 0 : 4

4

i =1

i =1

δ y = ∑ f iδ f i / ∑ f i .

Подставляя исходные данные, найдем δ y = 1, 7% . Задача 9. Измерительное устройство состоит из 2-х элементов, соединенных параллельно по схеме с отрицательной обратной связью. Функции преобразования элементов f1 =3 (прямая цепь), f2 =1(обратная цепь). Определите относительную погрешность сигнала на выходе, если относительная погрешность функций преобразования элементов составляет δf1 =4%, δf2 =0,1%. Погрешность входного сигнала считать пренебрежимо малой. Решение. Применим ф.(3.1.28а), полагая δ x = 0 : δ y = (δ f1 + f1 f 2 signf 2 δ f 2 ) / Q . Подставляя исходные данные, найдем δ y = 1, 075% . Задача 10. При определении скорости звука в тонком стержне из аллюминия были получены следующие резуьлтаты: среднее значение v = 5060 м / с , средняя ошибка Sv = 3% (число измерений n=5). Исследовалось также влияние на результат измерения

систематических ошибок, вызванных градиентом температуры в образце ( θ1 ), непараллельностью торцов (θ 2 ) и анизотропией образца (θ 3 ). Значения границы систематической ошибки для этих факторов составляют: θ1 = 2% , θ 2 = 3% , θ 3 = 3% . Требуется оценить точность результата измерения с учетом случайных и систематических составляющих. Решение. Решим задачу двумя способами: используя понятие погрешности (ошибки) и понятие неопределенности. Будем считать, что случайные ошибки имеют нормальное распределение, а систематические – равномерное. Доверительную вероятность примем равной P=0,95. 1-й способ. Для решения используем формулы теории ошибок [42]. Доверительный интервал определяется выражением: Δ = tP ⋅ SΣ , где SΣ – суммарная ошибка, а tP – параметр, определяемый как среднее взвешенное случайной и систематической, зависящий от доверительной вероятности. Имеем следующие соотношения: tP =

t1P ⋅ Sθ + t2 P ⋅ Sv ; SΣ = Sθ2 + Sv2 ; t1P ⋅ Sθ = k1 Sθ + Sv

m

∑θi2 ; Sθ = i =1

m

Sθ2 ; ∑ i =1 i

Sθi = θi / 3 , где m – число систематических составляющих, P – доверительная вероятность. В нашем случае m=3, P=0,95. Значение коэффициента k1 зависит от вероятности и определяется приближенно. В нашем случае оно равно k1 = 1,1 (при P=0,95). Значение t2P определяется по таблице распределения Стьюдента при P=0,95 и числе степеней свободы n − 1 . В нашем случае n − 1 = 4 и t2 P = 2,8 . Для остальных величин расчеты дают: Sθ = 2,7% , t1P ⋅ Sθ = 4,7% , tP = 2, 4 , SΣ = 4,04 . Доверительный интервал равен Δ = 2, 4 ⋅ 4,04 = 9,7% . 2-й способ. Для решения используем формулы (1.1.2 –1.1.8). Расширенная неопределенность задается выражением: ua = k ⋅ uS . Подставляя исходные данные, найдем:

uS = 4,04% , ν eff = 13,7 . Из таблицы распределения Стьюдента определим коэффициент k (при P=0,95): k = 2,145 . Неопределенность результата ua = 8,7% . Таким образом, оценки первым и вторым способом получаются близкими. Расширенная неопределенность, характеризующая точность результата, меньше на 1%, чем доверительная ошибка. Отметим еще раз, что основное преимущество второго подхода в более ясной схеме сложения неопределенностей, имеющих разное происхождение. Сложение ошибок в первом подходе основано на прближенных полуэмпирических соотношениях, не имеющих строгого обоснования.

Литература

1. Азизов А.М., Гордов А.Н. Точность измерительных преобразователей. – Л.: Энергия, 1975. 2. Алиев Т.М., Тер-Исраелов Г.С., Тер-Хачатуров А.А. Вероятностные измерительно-вычислительные устройства. – М.: Энегроатомиздат, 1983. 3.Алиев Т.М., Тер-Хачатуров А.А. Измерительные устройства: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1991. 4. Алиев Т.М., Тер-Хачатуров А.А., Шекиханов А.М. Интерационные методы повышения точности измерений. – М.: Энергоатомиздат, 1986.

5. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. – М.: Мир, 1976. 6. Антушев Г.С. Методы параметрического синтеза сложных технических систем. – М.: Наука, 1989. 7. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. 8. Бендат Дж., Пирсол А. Применения спектрального анализа. – М.: Мир, 1983.

корреляционного

и

9. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. – М.: Мир, 1974. 10. Браславский Д.А., Петров В.В. Точность измерительных устройств. – М.: Машиностроение, 1976. 11. Бромберг Э.М., Куликовский К.Л. Тестовые методы повышения точности измерений. – М.: Энергия. 1978. 12. Ван-дер-Зил А. Шум. Источники, описание, измерение. – М.: Сов. радио, 1973. 13. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. – М.: Сов. радио, 1972. 14. Гарднер М., Бернс Дж. Переходные процессы в линейных системах. – М.: Физматгиз, 1961. 15. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных систем. – М.: Сов. радио, 1973. 16. ГОСТ 1.25-76.ГСС. Метрологическое обеспечение. Основные положения. 17. ГОСТ 8.009-84.ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики СИ. 18. Земельман М.А. Автоматическая коррекция погрешностей измерительных устройств. – М.: Издательство стандартов, 1972.

19. Золотова Т.М., Кербников Ф.И., Розенблат М.А. Резервирование аналоговых устройств автоматики. – М.: Энергоатомиздат, 1986. 20. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. – Киев: Наукова думка, 1986. 21. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. – М.: Мир, 1971. 22. Крамер Г. Методы математической статистики. – М.: Мир, 1975. 23. Кунце Х.-И. Методы физических измерений. – М.: Мир, 1989. 24. Макшанов А.В., Мусаев А.А. Робастные методы обработки результатов измерений: Учеб. пособие. – М.: Оборонгиз, 1980. 25. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. – М.: Радио и связь, 1968. 26. Методы электрических измерений: Учеб. пособие/Под редакцией Э.И. Цветкова. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. 27. МИ 2552-99. Рекомендация. ГСИ. Применение "Руководства по выражению неопределенности измерений". – СПб.: ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 1999. 28. Моисеев В.С. Системное проектирование преобразователей информации. – Л.: Машиностроение, 1982. 29.Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. – М.: Финансы и статистика, 1982. 30. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки результатов измерений. – М.: Радио и связь, 1983. 31. Островерхов В.В. Динамические погрешности аналогоцифровых преобразователей. – Л.: Энергия. 1975. 32. Отнес Р., Эмоксон Л. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982. 33. Отт Г.У. Методы подавления шумов и помех в электронных системах. – М.: Мир, 1979. 34. Петров Б.Н. Принцип инвариантности в измерительной технике. – М.: Наука, 1976. 35. Петрович М.Л., Давидович М.И. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ. – М.: Финансы и статистика, 1989. 36. Пирс Дж. Символы, сигналы, шумы. Закономерности и процессы передачи информации. – М.: Мир, 1967. 37. Рей Ф. Статистическая физика. – М.: Наука, 1986.

38. Робинсон Ф.Н.Х. Шумы и флуктуации в электронных схемах и цепях. – М.: Атомиздат, 1980. 39. Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем. – М.: Сов. радио, 1975. 40. Романов В.Н. Планирование эксперимента: Учеб. пособие. – СПб.: СЗПИ, 1992. 41. Романов В.Н. Системный анализ для инженеров. - СПб.: СПб. гос. университет, 1998. 42.Романов В.Н., Комаров В.В. Анализ и обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие. – СПб.: СЗТУ, 2002. 43. Романов В.Н., Соболев В.С., Цветков Э.И. Интеллектуальные средства измерений. – М.: РИЦ "Татьянин день", 1994. 44. Соренков Э.И., Телига А.И., Шаталов А.С. Точность вычислительных устройств и алгоритмов. – М.: Машиностроение, 1976. 45. Справочник по специальным функциям/Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. – М.: Наука, 1979. 46. Фундаментальные проблемы теории точности/Под ред. В.П. Булатова, И.Г. Фридлендера. – СПб.: Наука, 2001. 47. Хампель Ф. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1989. 48. Хьюбер П. Робастность в статистике. – М.: Мир, 1984. 49. Шляндин В.М. Цифровые измерительные устройства: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1981. 50. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. – М.: Радио и связь, 1981.

Оглавление

Введение Глава 1. Общие сведения о погрешностях и способах их нормирования 1.1. Два подхода к оценке точности: погрешность и неопределенность 1.2. Нормирование метрологических характеристик средств измерений 1.3. Погрешность функционирования средств измерений Глава 2. Естественные пределы измерений

2.1. Область субъективных измерений 2.2. Принцип неопределенности Гейзенберга и ограничения на точность измерений 2.3. Шумы и причины их появления в измерительных устройствах 2.4. Фазочувствительные детекторы и усилители Глава 3. Методы оценки точности средств измерений 3.1. Метрологический анализ 3.2. Метрологический синтез 3.3. Оптимизация динамических характеристик средств измерений Глава 4. Повышение точности и помехоустойчивости средств измерений (СИ) 4.1. Методы повышения точности СИ 4.2. Методы повышения помехоустойчивости СИ 4.3. Статистические методы оценки надежности СИ Приложения 1. Характеристики случайных процессов 2. Корреляционные функции и спектральные плотности 3. Определение переходной функции системы 4. Типы распределений, используемых при оценке надежности СИ 5. Примеры решения задач Литература

3 5 5 11 21 31 31 32 35 48 52 52 71 86 98 98 105 115 122 122 135 144 146 151 157

Романов Вадим Николаевич Точность средств измерений

Учебное издание

Редактор И.Н. Садчикова Сводный темплан 2005 г. Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97. Подписано в печать 22.06.05. Б.Кн.-журн.

Формат

П.л. 9,685 Тираж 150.

Б.л. 4,842

60*84

1/16

РТП РИО СЗТУ

Заказ

______________________________________________________________________ Северо-Западный государственный заочный технический университет РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации Вузов Санкт-Петербурга 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5.