Теорема вложения для многообразий Кантора

Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 352-369

УДК 510.6

ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ КАНТОРА*) Л. В. ШАБУНИН В в едение

Пусть тип

— фиксированные целые числа, причем 1 ^ т < п.

Многообразием Кантора Ст,п называется многообразие алгебр с т п~ арными и с п га-арными основными операциями, определимое в сигнатуре ft = {0ъ •. -, 9т, / ъ • • •, /«} тождествами / t ( 0 i ( s i , . . . , s n ) , . . . ,дт(хи... 9j(fi(xu...

,a„)) = a?j,

г = 1 , . . . ,п,

,ж т о ),... , / п ( я ь . . . ,ж т )) = a?j, j = 1 , . . . , т .

Многообразия Кантора „ исследовались в [1—14]. Б. Йонсон и А. Тарский [11] установили, что все С^-свободные алгебры конечных ран­ гов изоморфны. Чуть позже С. Сверчковский [12] показал, что

Ст^-сво­

бодные алгебры F(k), F(l) конечных различных рангов к, I изоморфны тогда и только тогда, когда к= /

(mod (п —

га)),

к ^ га и / ^ га.

В [2] исследовались решетки £ ( С т ? п ) подмногообразий многообразий С т , п . А.И. Мальцев заметил, что многообразия Ci,„ являются минимальными (или эквационально полными). В [2] также показано, что других мини­ мальных многообразий среди многообразий СШ)П нет и что при п > т ^ 2 *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 98-01-03309.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2001

Теорема, вложения для многообразий Кантора,

353

решетка L(C m>n ) континуальна. Из определяющих тождеств многообра­ зия С1П}П легко следует, что все алгебры в многообразии C m , n бесконечны или одноэлементны. В [13] доказана разрешимость элементарной теории произвольной конечно определенной алгебры из многообразия С\,п и уста­ новлено, что любые две С1,п-свободные алгебры F(&), F(l) рангов fc, I элементарно эквивалентны. В [14] получен следующий результат: любые две С т?п -свободные алгебры F(k), F(l) рангов Аг, I элементарно эквива­ лентны, если I; ) m и I ) т . Вопрос об элементарной эквивалентности С т , п -свободных алгебр F ( l ) , . . . , F(m) остается открытым. В настоящей работе устанавливаются следующие результаты: 1) всякая частичная С т?п -алгебра А изоморфно вложима в алгебру G = {A; 5(A)) многообразия С т > п ; 2) для любой конечно определенной алгебры G = (A; S) из С т , п разрешима проблема равенства слов; 3) для конечно определенных алгебр многообразия СШ)П разрешима проблема вхождения; 4) многообразие алгебр СТПуП имеет наследственно неразрешимую эле­ ментарную теорию. Понятия и обозначения, используемые ниже без пояснений, содер­ жатся в [7]. Графическое равенство слов обозначим символом =, а носите­ ля произвольной алгебры — тем же символом, что и саму алгебру. § 1. Вполне замкнутые представления Пусть G = (A; S) — алгебра из C m?n с множеством порождающих элементов А и множеством определяющих соотношений S, заданная в за­ мкнутом виде (см. [15, 16]). Замкнутый вид в данном случае означает следующее: 1) каждое соотношение из S имеет вид h(ai,...,a^h))

= ft,

где Л G ft, a i , . . . , a^hy ft € Ayfi(h) — арность операции h (такое соотноше­ ние называется табличным);

354

Л. В. Шабунин 2) 5 не содержит двух различных табличных соотношений с одина­

ковой левой частью; 3) S содержит соотношения g\{au...,an)

= b1}..., а п) = &* и нет соотношения с левой частью gj(ai,,..

, а п ) . Если (Ai;5i) не является вполне замкнутым заданием G,

то поступаем с (Ai;S\)

так же, как с (А; 5). Продолжая этот процесс,

в результате получим вполне замкнутое задание (представление)

(A;S)

алгебры G. В дальнейшем предполагаем, если не оговорено противное, что представление G = (A; S) вполне замкнуто. Определим на множестве W = Я (А) всех термов над Л сигнатуры Q бинарные отношения /3 и у. Отношение /3 состоит из всех пар вида (Pb...,Pn)),Pt), (9j(fl{Qu

• • , Qm), • • • , / n ( Q b

• • • > Qm)), Qj),

г=1,...,п, jf = 1, . . . , Ш,

где P i , . . . , P n , Q i , . . . , Q m e W. Отношение у состоит из всех пар вида (/•(Ьь •.•!&„,), *' = 1, •••,**, (5j(ab...,an),6j), j = l,...,m, где /»(bi,..., bm) = a4, # j ( a i , . . . , a n ) = bj — соотношения из 5 . Поскольку задание G вполне замкнуто, для любого набора ( b i , . . . , b m ) Е A m мно­ жество 5 либо не содержит ни одного соотношения с левой частью вида /«(fti,..., &m), либо содержит п соотношений с левыми частями /l(bl,..-,bm)?--4/n(*b--4bni)-

Аналогичное условие выполняется для наборов ( a i , . . . , a n ) E А п и соотно­ шений с левыми частями вида # j ( a i , . . . , a n ). Отношение /3 U 7 обозначим через /З7. Элементы из W = Q(A) бу­ дем называть 0,-слоеами в алфавите А или просто словами. Пусть р — произвольное бинарное отношение на W. Запись M->PN означает, что слово N получено из слова М в результате замены некоторо­ го вхождения слова Р в М на слово Q, где (Р, Q) 6 /о, тем самым отношение

356

Л. В. Шабунин

р индуцирует на множестве W бинарное отношение —>р. Бинарное отно­ шение р на множестве ft (А) называется совместимым с операциями из ft (стабильным относительно операций из ft), если

{PuQi))..^{PhQk)ep^{h{pu..^pk),h{Qh...)Qk))ep для любого h G ft, n(h) = fc, и любых P i , . . . ,Pjb,Qi,.. .,(?* £ ft (А). Отно­ шение —>p совпадает с совместимым замыканием отношения р и называ­ ется отношением р-редукции или, короче, отношением редукции. Рефлек­ сивно-транзитивное и рефлексивно-транзитивно-симметричное замыкания отношения —>р обозначим соответственно через -** и = р . Говорят, что слово Р £ W находится в нормальной форме относи­ тельно р (в р-нормальной форме), если не существует слова Q EW такого, что Р -> р Q. Слово Q называется р-нормальной формой слова Р , если Q находится в р-нормальной форме и Р ->* Q. В этом случае говорят, что Р имеет р-норлшльную форму Q. Отношение —>р называется нётеровым (конечно завершаемым), если не существует бесконечной последовательности вида Pi -> р Рг -»р Рз ->> Введем обозначение

PIPQ^±3N(P->;NAQ->;N). Отношение —>р называется локально конфлюэнтным

(удовлетворяющим

условию локального слияния, обладающим слабым свойством ромба), если \/PQR(P

->pQAP->pR=>QlPR).

Говорят, что отношение —>р обладает свойством Чёрча—Россера, если

р =р Q & зд (Р ->; д л Q ->; к). М. Ньюмен [17] доказал, что имеет место Т Е О Р Е М А 1. Пусть отношение —»р нётерово и локально конфлюэнтно. Тогда

Теорема вложения для многообразий Кантора,

357

1) отношение —>р обладает свойством Чёрча—Россера; 2) каждое слово Р имеет, и притом единственную,

р-нормальную

форму; 3) если слова Р и Q находятся в р-нормальной форме, то Р =р Q тогда и только тогда, когда Р = Q. Теоремы, подобные теореме 1, часто называют теоремами о нормаль­ ной форме или теоремами Чёрча—Россера (см. [18]). Для А-исчисления та­ кую теорему доказали А. Чёрч и Б. Россер [19]. М. Ньюмен [17] придал теореме Чёрча—Россера абстрактную форму (теор. 1). Т. Ивенс [20] ис­ пользовал теорему о нормальной форме для доказательства теоремы вло­ жения для конечно определенных квазигрупп. Д. Кнут и П. Бендикс [21] развили используемую технику и применили ее к исследованиям пробле­ мы равенства слов для свободных алгебр многообразий универсальных алгебр. Теорема Чёрча—Россера лежит в основе переписывающих систем (см. [22, 23]). Если отношение ~»р нётерово и локально конфлюэнтно, то через NFP(P)

обозначается единственная /9-нормальная форма слова Р . Че­

рез iVFp[W] обозначается множество всех слов из W, находящихся в рнормальной форме. Слова из NFP[W] называются нормальными (относи­ тельно р). Легко видеть, что Р

=/97

Q & Р = Q в G.

Л Е М М А 1. Отношение -*/з 7 нётерово (конечно завершаемо). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно. Л Е М М А 2. Отношения -л$, —»7 и -->/?7 локально

конфлюэнтны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно (см. [18, 20, 22]). Следовательно, для отношения ->/з7 справедлива теорема 1. Другими словами, имеет место Т Е О Р Е М А 2. Пусть G = (А; 5) — вполне замкнутое представле­ ние алгебры G € Ст,п. Тогда

358

Л. В. Шабунин 1) отношение —^7 обладает свойством Чёрча—Россера, т. е. для

любых слов Р и Q из Q(A) выполняется (Р = Q в G) }7RAQ

->£ 7 Л);

2) каждое слово Р имеет, и притом единственную,

/Зу-нормальную

форму; 3) ес/ш слова Р uQ находятся в /Зу-нормальной форме, то Р —^ Q тогда и только тогда, когда Р = Q. Слова, находящиеся в /37-нормальной форме, называем нормальны­ ми. В силу теоремы 2 алгебру G рассматриваем как множество

NF^[fl(A)]

всех нормальных слов из Q(A) с операциями из П, определяемыми следу­ ющим образом: gj(Pu

. . . , Рп) = NFfr{9j(Pu

/ | ( Q l , . . . , Q ro ) = NFfr(fi{Qu

. . . , P n )),

j = 1 , . . . , m,

• • • , Om)), » - 1, • • • , П,

для любых нормальных слов P i , . . . , P n , Qi, • . •, QmПусть G — (A]S) — конечно определенная алгебра из C m ,„. Как из­ вестно [15], задание всякой конечно определенной алгебры из произволь­ ного многообразия алгебр может быть приведено за конечное число шагов к замкнутому виду (добавлением новых образующих элементов и упроще­ нием исходной системы определяющих соотношений). Выше показано, что от замкнутого задания можно перейти к вполне замкнутому. Отсюда и из теоремы 2 вытекает Т Е О Р Е М А 3. Для любой конечно определенной алгебры G = (А; 5) из СтуП разрешима проблема равенства слов.

§ 2. Теорема вложения 2.1. Частичной СтуП-алгеброй называется непустое множество А, на котором определены частичные операции 6ш) также определено в А и равно а,- для каждого i = 1 , . . . , тг; 2) если 6 i , . . . , 6 m 6 А и значения a; = /i(bi,...,6 m )» * = 1,...,п, определены в А, то элемент gj(a\,...,

an) также определен в А и равен bj

для каждого j = 1 , . . . , га. Обозначим через 5(A) множество всех табличных соотношений, име­ ющих место в частичной С™1П-алгебре А. Частичная С т?п -алгебра А опре­ деляет в многообразии C m , n алгебру G = (A;S(A))

с множеством поро­

ждающих элементов А и множеством определяющих соотношений

S(A).

Алгебру G называем свободным замыканием частичной С т ,„-алгебры А и обозначаем через А. Следуя [16], дадим описание простого свободного расширения ча­ стичной С т?п -алгебры А. Пусть 6 i , . . . , 6 m € А и слово / i ( b i , . . . , b m ) не определено в А при некотором г, г = 1 , . . . , п. Рассмотрим два случая. Случай fj(b\,...,

1. Существует j ф г, 1 ^ j

^ тг, такое, что слово

6m) не определено в А. Добавим к множеству А новый элемент

с ^ А, а к множеству S(A) — соотношение /•(Ьъ-..,&т) = с Полученные множества обозначим соответственно через А* и 5(Ai). Оче­ видно, что множество А\ с операциями, определенными согласно 5(Ai), является частичной СШгП-алгеброй и простым свободным расширением А. С л у ч а й 2. Для всех j ф г, 1 ^ j ^ п, слово / j ( b i , . . . , bm) определено в А и имеет значение aj. Добавим к множеству А новый элемент с $ А, а к множеству S(A) — соотношения /•(bi,...,fc m ) = с, flfjb(oi,..Maj-i,c,ae-+i,..

. , a n ) = bk, k = l , . . . , r a .

Полученные множества обозначим соответственно через А! и 5(Ai). Оче­ видно, что и в этом случае множество А\ с операциями, определенными согласно 5(Ai), является частичной Cw,„-алгеброй и простым свободным расширением А.

360

Л. В. Шабунин Аналогично действуем, когда в А не определено слово gj{ail...,

an)

при некоторых « i , . . . , an £ А: добавляем к А новый элемент с £ А, а к множеству 5(A) — либо соотношение gj(ai,.

. . , a n ) = с,

если при некотором А; ^ j , А; = 1 , . . . , т , слово 0fc(ai,..., a n ) не определено в Л, либо соотношения 5 j ( a i , . . . , a n ) = с,

/ t ( 6 i , . . . , b j - i , c , b j + i , ...,6m) = a*, i - 1, ...,те, если при всех А; ^ j , А: = 1 , . . . , га, слова gk{o а (а € А) изоморфно вложима в любое ее простое сво­ бодное расширение. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно. Из леммы 3 и теоремы 1.3 [16] следует Т Е О Р Е М А 4. Всякая частичная Ст>п-алгебра А изоморфно вло­ жима в алгебру G = (A; 5(A)) многообразия C m>n . 2.2. Частичную С т>п -алгебру А назовем полной, если ее множество табличных соотношений S(A) удовлетворяет условиям: 1) если в S(A) встречается соотношение / i ( 6 i , . . . , Ьт) — а, при неко­ торых г, 1 ^ г ^ тг, &i,...,6 m ,a, £ А, то 5(A) содержит и соотношения / j ( b i , . . . , 6m) = а3 для всех j ф г, 1 ^ j ; ^ тг, при некоторых ay £ А. 2) если в 5(A) встречается соотношение gj{a\,...,

a n ) = 6j при неко­

торых j , 1 ^ j ' ^ га, a i , . . . , a n , 6 j £ А, то S(A) содержит и соотношения I ^ k ^i т, при некоторых Ь& £ А.

Теорема вложения для многообразий Кантора

361

Очевидно, что каждая частичная С т>п -алге6ра А изоморфно вложима в соответствующее расширение В, которое является полной частич­ ной Сгп^-алгеброй. Если множество А конечно, то В является конечносвободным расширением А (см. [16]). Всякая полная частичная С т)П -алгебра А задает в многообразии C m>n алгебру G = (A; 5(A)), имеющую вполне замкнутое представление. Обратно, если алгебра G из многообразия C m>n имеет вполне замкнутое представление (А; 5), то для произвольных h из £1 и a i , . . . , ам(/ф 6 из А положим ft(ai,...,

а^(д)) = Ь & (соотношение fe(ai,..., о,ц(н)) ~ b £ S),

в результате получим полную частичную С т , п -алгебру (А, П). 2.3. Пусть А — частичная СГГ1,п-алге6ра. Множество ее табличных соотношений S(A) задает на множестве £}(А) всех слов сигнатуры Q, = ~ {7 /2(a-ft,ft,..-,ft)-> 7 а-(а-ft) =ft. Таким образом, /г(/2(Ь,. ..,b),ft,...,ft) =/j 7 Ь,

т.е. в алгебре (5fc,a) верно равенство (4). Аналогично доказывается, что для любых ftj, Ь2,ftиз В& (Sfc, a) f= Ф(.)(&ь Ь2,ft) т ^ 2 имеет наследственно неразрешимую элементарную теорию. ЗАМЕЧАНИЕ. Класс К всех симметрических групп Sk конечных степеней к € и, & > 2, можно рассматривать и в сигнатуре {-,""1}. То­ гда для наших целей достаточно положить /з(&ъ • • •» &m) = kj"1? не меняя определений других функций /,-(fti,..., bm).

§ 4. Неразрешимость теории многообразия C m , n при га = 1 Пусть ft = {g, / 1 , . . . , /„} — сигнатура многообразия Ci, n . Алгебраи­ ческая система (А, г), где г — бинарное отношение, называется графом, если г — иррефлексивное симметричное отношение. Известно [25], что класс К всех конечных графов (А, г) имеет наследственно неразрешимую

Теорема вложения для многообразий Кантора

367

элементарную теорию. Покажем, что класс К относительно элементарно х

определим в С\>п, Пусть (А, г) — конечный граф. Положим B = AU{a\aeA}U

{cajb I (a, b) G r} U {са,ь | (а, Ь) 6 r } .

Обозначим через S(B) множество, состоящее из следующих соотношений: 1) #(а, Ь , . . . , b) — cGj5 для каждой пары (а, Ь) G г; 2) fi(ca,b) = « , /|(с 0 ,ь) = Ь, где г = 2, ...,гг; (а,Ь) G г; 3) #(а, а , . . . , а) = а, где а £ А; 4

) Л ( а ) = а> Л( а ) ~ ^, г А е г = 2 , . . . , те; а € Л;

5) #(са,ь, Са,г»..., cafi) = ь, fi{ca,b) = са,ь, где г = 2 , . . . , те; (а, Ь) G г. Ясно, что множество J3 с частичными операциями сигнатуры fi, опре­ деленными согласно табличным соотношениям из 5 ( 5 ) , является полной частичной Сх|П-алгеброй. Следовательно, алгебра В = (В; 5(B)), принад­ лежащая многообразию С\„, имеет вполне замкнутое представление. В си­ лу теоремы 2 алгебру В рассматриваем как множество всех нормальных слов из Q(B) с операциями из О, определенными согласно § 1. В частности, имеем включение В С В. В языке Q определим формулы: А(х) :

/г(х)=:х,

Ф г (з,у) : 3z3w(g(x,y,...,y)=:

z Ag(z,w>...}w)

= w).

Пусть D = {P G В | В |= А(Р)}. В силу теоремы 2 для любого Р из В (f1(P) =

P*B)a I Ж И Ф г (Р,0)} = {(а, Ь)ЕА2\В\= В силу теоремы 2 для любых а, Ь из А имеем (Bh*r(a,6))^(a,i)er.

Ф г (а, Ь)}.

Л. В. Шгьбунин

368

Таким образом, алгебраические системы (D, rD) и (А, г) изоморфны. Тем самым доказана ТЕОРЕМА неразрешимую

7. Многообразие алгебр Ci?„ имеет

элементарную

наследственно

теорию.

ЛИТЕРАТУРА 1. А. А. А Катаев, О многообразиях Л( т ? п ), Алгебра и логика, 9, N 2 (1970), 127-136. 2. А. А. Акатаев, Д. М. Смирнов, Решетки подмногообразий многообразий алгебр, Алгебра и логика, 7, N 1 (1968), 5—25. 3. В. П. Белкин, О некоторых решетках квазимногообразий алгебр, Алгебра и логика, 15, N 1 (1976), 12-21. 4. Д. М. Смирнов, Решетки многообразий и свободные алгебры, Сиб. матем. ж., 10, N 5 (1969), 1144-1160. 5. Д. М. Смирнов, Канторовы алгебры с одним порождающим. I, Алгебра и логика, 10, N 1 (1971), 61-75. 6. Д. М. Смирнов, Базисы и автоморфизмы свободных канторовых алгебр конечного ранга, Алгебра и логика, 13, N 1 (1974), 35—62. 7. Д. М. Смирнов, Многообразия алгебр, Новосибирск, Наука, 1992. 8. Д . М. Смирнов, О представимости многообразий Кантора, Алгебра и ло­ гика, 34, N 4 (1995), 464-471. 9. Д. М. Смирнов, О размерностях многообразий Кантора и Поста, Алгебра и логика, 35, N 3 (1996), 359-369. 10. Г. Хигман, Конечно определенные бесконечные простые группы, в кн.: "Разрешимые и простые бесконечные группы", М., Мир, 1981, 87—147. 11. В. Jonsson, A. Tarski, On two properties of free algebras, Math. Scand., 9, N l a (1961), 95-101. 12. 5. Swierczkowski, On isomorphic free algebras, Fundam. Math., 50, N 1 (1961), 35-44. 13. Л. В. Шабунин, О конечно-определенных и свободных алгебрах многооб­ разий Кантора, Сиб. матем. ж., 38, N 2 (1997), 450-462.

Теорема вложения для многообразий Кантора

369

14. Л, В. Шабунищ Об элементарной эквивалентности свободных алгебр мно­ гообразий Кантора, Алгебра и логика, 38, N 2 (1999), 228—248. 15. Т. Evans, The word problem for abstract algebras, J. Lond. Math. Soc, 26, N 1 (1951), 64-71. 16. M. M, Глухое, Свободные разложения и алгоритмические проблемы в Rмногообразиях универсальных алгебр, Матем. сб., 85, N 3 (1971), 307—338. 17. М. N. A. Newman, On theories with a combinatorial definition of "equivalence", Ann. Math. (2), 43, N 2 (1942), 223-243. 18. X. Барендрегт, Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика, М., Мир, 1985. 19. A, Church, J. В. Rosser, Some properties of conversion, Trans. Am. Math. Soc, 39 (1936), 472-482. 20. T. Evans, On multiplicative systems defined by generators and relations. I. Normal form theorems, Proc. Camb. Philos. Soc, 47, N 4 (1951), 637-645. 21. D, Knuth,

P. Bendix, Simple word problems in universal algebras, in:

Computational Problems in Abstract Algebras (ed. J. Leech), Oxford a. o., Pergamon Press, 1970, 263-297. 22. Б. Бухбергер, Р. Лоос, Упрощение алгебраических выражений, Компью­ терная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления, М., Мир, 1986, 23-65. 23. G. Huet, Confluent reductions: abstract properties and applications to term rewriting systems, J. ACM., 27, N 4 (1980), 797-821. 24. А. И, Мальцев, Алгебраические системы, М., Наука, 1970. 25. Ю. Л. Ершов, Проблемы разрешимости и конструктивные модели, М., На­ ука, 1980.

Адрес автора:

ШАБУНИН Леонид Васильевич, РОССИЯ, 428017, г, Чебоксары, Московский пр., д. 54, кв. 28. Тел.: 44-54-27. e-mail: [email protected]

Поступило 10 сентября 1999 г.