確率統計 (新・数学とコンピュータシリーズ)

片 桐重 延 監修 片 桐 重 延 ・室 岡 和 彦 共著

R〈日本 複 写権 セ ン ター 委 託 出版 物 〉  本 書 の 全 部 また は一 部 を無 断 で複 写 複 製(コ ピー)す るこ とは,著 作 権 法 上 での例 外 を除 き,禁 じ られ てい ます。 本 書 か らの複 写 を希 望 さ れ る場 合 は,日 本 複 写 権 セ ンター(03‐3401‐2382)に ご連 絡 くだ さ い。

序

文

  平 成6年 度 よ り実 施 さ れ た新 しい高 校 数 学 で は,コ

ン ピ ュー タに 関 す る取 扱 い

が い ま ま で 以上 に重 視 さ れ て い る。 そ れ は,こ れ か ら コ ン ピ ュ ー タ につ い て,ま た,コ

ン ピ ュー タに 関連 す る 「数 学 」 に つ い て 学 ぼ う とす る人 々 に と って 学 びが

い の あ る もの で あ る。 元 来,日 本 の 数 学 教 育 は,戦 後 長 い間 大学 進学 者 のた め の, あ るい は,将 来 特 に 数学 を必 要 とす る人 々 の た め の も ので あ っ た。 しか し,数 学 が 情 報 化,高 度 技術 社会 の た め に さ ま ざ まな か た ちで 関 与 して きた 現 在,も

はや

単 に,将 来,数 学 を 特 に必 要 とす る人 々 や,理 工 系 を志 す 人 々 の た めの もので は な くな り,よ

り広 い意 味 で の 知 的 ユ ーザ ー と いわ れ る人 々が 数 学 を 学 習 す る時 代

が きた の で あ る。 この こ と は,「 中等 教 育(中 学 ・高 校)に お け る数学 的 リテ ラー シー は,情 報 化,高 度 技 術 社 会 にお け る一 般 的 知 識 人 が もつ べ き標 準 的 な教 養 を 目指 す こ と に な る」(数 学 教 育 の会)の

指 摘 に も端 的 に示 され て い る。 ま さ に,

コ ン ピュ ー タ関 連 の数 学 は,こ れか らの生 涯学 習 の基盤 と して の数学 で あ る とい っ て も過 言 で は な い。   本 シ リー ズ(全10巻)は,コ

ン ピ ュー タ関連 の数 学 を 次 の 各 分 野 に 分 け て 企

画 した。 そ れ は既 刊 の 「数 学 と コ ン ピ ュー タ シ リー ズ(全8巻)」 現 代 向 け に発 展 さ せ,新

の思 想 を よ り

しい中 等 数 学 の 考 え を取 り入 れ た もの で あ る。

  第 一 は, ● コ ン ピ ュー タ言 語 と処 理 ●BASICに

よ る数 学 の 問題 解 法

●BASICに

よ る高 校数 学

の 内 容 で,コ 数 学A,数

ンピュ ー

タ関連 の 数学 を 学 ぶ た めの 基 盤 と新 しい数 学,特

学Bの 内 容 に準 拠 した も ので あ る。BASIC言

語 は,こ

に高 校 の

れ らの 教 科 書

の ほ とん どで 使 用 され て い る言 語 で あ り,こ れ か ら も教 学 教 育 用 言 語 の主 流 と し て導 入 され るで あ ろ う。

 第二 は ●行列 と線 形計算  ●数値 計算 ● 確率統計 に そ の 特 徴 が 見 られ るよ うに,こ れ か らの高 校 数 学,あ

るい は,大 学 初年 度 の数

学 に取 り入 れ られ るで あ ろ う,行 列,線 形 計 算,数 値 計 算,確 ざ した 。 主 題 の性 格 上,や

率統 計 の基 礎 を 目

や 難解 な 問題 も含 ま れ るが,全 体 を とお して読 め ば高

校 生 に も理 解 で き る よ う に心 が けたつ も りで あ る。 い う まで も な く,高 校 現場 で 数 学Cを 中 心 に これ か らコ ン ピュ ー タ関連 の数 学 を 教 え よ う とす る先 生 方 や,大 学 で こ れ らの数 学 を 平 易 に学 習 しよ う とい う人 々 に と って も有 効 に利 用 で き るで あ ろ う。  第 三 は, ● 数 学 ソフ トに よ る曲線 と図形 処 理 ● 数 学 ソフ トに よ る数 式 処 理 と関数 に お い て取 り上 げ た数 学 ソ フ トウ ェ ア に よ る数 学 の展 開 で あ る。 数学 ソ フ トは い ま や ま す ます 発 展 し,こ れ か らの数 学 で 欠 く こと の で きな い 分野 にな りつ つ ある。 図 形 処 理 や 数 式 処 理,関 数 と グ ラフ の扱 い につ い て は,単

に中 等 数 学 の み な らず

数 学 教 育 や 数 学 の研 究 に お い て も有 効 な手 段 に な る。 こ こで は,代 表 的 な数 学 ソ フ トに つ いて 取 り上 げ,問 題 の解 法 を試 み た。  他 に ● コ ン ピュ ー タに よ る グ ラ フ ィ ッ クス は,コ

ン ピュ ー タ グ ラ フ ィ ック スを そ の基 盤 か ら誰 に で も わか る よ うにや さ し く

解 説 した もの で あ り, ● コ ン ビュ ー タ に よ る成 績 処 理 は,主 と して小 学 校,中

学 校,高 等 学 校 にお け る教 科 担 任,学 年 担 任 の先 生 方 の

学 期 ご と の,ま た,学 年 末 の成 績 処 理 と その 省 力 化 等 につ い て,誰 き る よ う に解 説 した。 ま た,こ も示 した。

にで も利 用 で

こで は ソ フ トウ ェ アを 利 用 した処 理 方 法 につ いて

  以 上,こ

れか らコ ン ピュ ー タを 学 習 す る人,コ

ン ピュ ー タ に関 連 す る数 学 を 学

習 し,教 育 しよ う とす る人,数 値 計算 に習 熟 し数 学 の社 会 に お け る有 効 な 活 用 を 図 る人,さ

らに,数 学 の ソ フ トウ ェ アを 有 効 に利 用 しよ う とす る人 々 に と って,

この全10巻

の 書 が 座 右 の銘 の ご と く,有 効 に活 用 され る こ とを 願 って や ま な い 。

  な お,多 忙 な 中 を この シ リー ズ の執 筆 に あ た られ た 白石 和 夫,高 橋 公,飯 三,室

田健

岡和 彦,佐 藤 公 作,志 賀 清 一,山 路 進,金 子 伸 一 の各 氏 に お礼 を 申 し上 げ

る と と もに,本

シ リー ズの 出版 を 企 画 ・推 進 して くだ さ っ た東京 電機 大学 出版局,

お よ び終 始 ご助 言 くだ さ った 同編 集課 長 朝 武 清 実 氏 に深 甚 の感 謝 を捧 げ た い。 1995年3月

監修  片桐 重延

は じめ に   確 率 統 計 は従 前 か らあ る高 校 数 学 の一 分 野 で あ る。 しか し,今 回 の執筆 にあた っ て は,そ の 取 扱 い方 法 を一 新 す る と と もに,従 前 か らの確 率 統 計 の 内 容 に 多 く の新 しい内 容 を加 え た こ とに そ の特 徴 が あ る。 ま た,必 要 な箇 所 で は コ ン ピュ ー タを使 用 して 計 算 の能 率 化 を 図 った。   こと に,第1章 

個 数 の処 理 に於 て は,日 常 的 な素 材 を取 り上 げ,「 数 え あ げ

の原 理 」 を もと に して,も の の個 数 を数 え た り,そ の並 べ 方 を順 序 よ く作 る方 法 を取 扱 った。 そ の た め に,辞 書 式 順 序 に並 べ た り,樹 形 図 を作 った り,鳩 の巣 原 理 につ いて 紹 介 す る よ うに した。 これ らの こと を も とに して集 合 の要 素 の個 数 を 数 え た り,順 列 や組 合 せ の数 を数 え るな ど高 校 生 に も十 分 取 扱 え る よ うに考 え た。   第2章 

確 率 の基 礎 で は,不 確 な現 象 と確 率 の問 題 を取 り上 げ,確 率 の意 味 を

誰 に もわか る よ うに と考 え た。 そ して,条 件 付 確 率 へ と発 展 す る よ うに した。 ま た,第1章,第2章

に於 て は,コ

  第3章   確 率 分 布 で は,2項 第2章,第3章

ン ピ ュー タを初 歩 的 に取 扱 った。

分 布,正 規 分 布,そ の 他 の 分 布 を 取 扱 うと と もに,

で確 率 と確 率 分 布 の基 礎 の大 方 を取 り上 げ た っ も りで あ る。

  第4章 で は,確 率 の応 用 と して,ツ キ の確 率,情 報 量 と符 号 化,ゲ ー ムの理論 ,マ ル コ フ過 程を 紹 介 す るよ うに した。   第5章 

デ ー タ解 析,第6章 

統 計 的推 測,第7章 

従 前 か らの 取 扱 い を元 に して そ の 内容 を紹 介 した が,コ

多 変 量 の統 計 につ い ては, ン ピ ュー タが デ ー タ処 理

に重 要 な役 割 を果 た して い る。   以 上,確 率 統 計 を新 しい視 点 か ら取 り上 げ る と共 に コ ン ピ ュー タを そ の 場 そ の 場 で適 切 に利 用 した。 本 書 が これ か ら確 率 統 計 に つ い て学 ぼ う と して い る人達 に と って 少 しで もそ の端 諸 にな れ ば 幸 い と存 ず る次 第 で あ る。  

1995年5月 

著 者 しるす

目

次

第1章  個 数の処理 1.1 

1.2 

1.3 

順 列 ・組 合 せ  列 

1

 [1] 

順

1

 [2] 

重 複 順 列 

4

 [3] 

同 じ も の を 含 む 順 列 

5

 [4] 

組 合 せ 

6

 [5] 

重 複 組 合 せ 

8

 [6] 

順 列 ・組 合 せ の 構 成 

10

数 え あ げ の 原 理 

12

 [1] 

和 の 法 則 

13

 [2] 

積 の 法 則 

15

 [3] 

鳩 の 巣 原 理 

16

 [4] 

数 学 的 帰 納 法 

16

 [5] 

コ ン ピ ュ ー タ の 利 用 

18

応 用 問 題 

20

 [1] 

部 分 集 合 の 個 数 

20

 [2] 

出 会 い 数 

22

 [3] 

2項 定 理 

24

練 習 問 題 

25

第2童  確 庵 の 基 礎 2.1 

不 確 か な 現 象 と確 率 

27

2.2 

2.3 

2.4 

 [1] 

さ い こ ろ 投 げ 

27

 [2] 

男 児 の 出 生 率 

30

 [3] 

疑 似 乱 数 

30

 [4] 

シ ミュ レ ー シ ョ ン 

31

同 様 に 確 か ら し い と き の 確 率 

33

 [1] 

計 算 の し か た 

33

 [2] 

確

34

 [3] 

シ ミュ レ ー シ ョ ン 

認 

35

事 象 と 確 率 

37

 [1] 

根 元 事 象 と 標 本 空 間 

37

 [2] 

い ろ い ろ な 事 象 

39

 [3] 

加 法 定 理 

42

条 件 つ き 確 率 

45

 [1] 

確 率 の か け 算 

45

 [2] 

条 件 つ き 確 率 

46

 [3] 

事 象 の 独 立 

48

 [4] 

コ ン ピ ュ ー タ の 利 用 

50

練 習 問 題 

51

第3章  確率分布 3.1 

3.22 

独 立 試 行52 [1]独

立 試 行 の 性 質 

52

 [2] 

独 立 試 行 の 定 理 

54

 [3] 

シ ミュ レ ー シ ョ ン 

55

項 分 布57  [1] 

確 率 分 布 

57

 [2] 

2項 分 布 

59

 [3]  プ ログ ラム 

61

3.3  平 均 値 と分 散 

64

 [1]  平 均 値 

64

 [2] 

65

2項 分 布 の平 均 値 

 [3]  平 均 値 の確 認 

66

 [4]  分

68

 [5] 

散 

2項 分 布 の分 散 

69

3.4  正 規 分 布 

3.5 

3.6 

72

 [1]  連 続 確 率 

72

 [2]  確 率 密 度 関 数 

74

 [3]  正 規 分 布 

78

そ の 他 の 分 布 

83

 [1]  一 様 分 布 

83

 [2]  幾 何 分 布 

84

 [3]  超 幾 何 分 布 

85

 [4]  ポ ア ソ ン分 布 

87

中 心 極 限 定 理   [1]  和,積

の 分 布 

 [2]  大 数 の 法 則 

88 89 92

練 習 問 題 

96

第4章  確率 の応 用 4.1 

4.2 

ツ キ の 確 率   [1] 

ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク の 実 験 

 [2] 

得 点 の 確 率99

97 97

情 報 量 と 符 号 化   [1] 

情 報 量 

105 105

4.3 

 [2] 

ハ フ マ ン コ ー ド 

110

 [3] 

コ ー ドの 長 さ と情 報 量 

114

ゲ ー ム の 理 論115 [1]ゼ

4.4 

ロ和 ゲ ー ム 

115

 [2] 

混 合 戦 略 

117

 [3] 

プ ロ グ ラ ム 

122

マ ル コ フ 過 程   [1] 

124

推 移 の モ デ ル 化1 

24

 [2] 

行 列 の 積1 

26

 [3] 

マ ル コ フ過 程 

129

練 習 問 題 

第5章  5.1 

デ ー タ解 析 デ ー タ の 表 現   [1] 

5.2 

132

リー フ プ ロ ッ ト 

134

 [2] 

度 数 分 布 

135

 [3] 

累 積 度 分 布 

137

 [4] 

プ ロ グ ラ ム 

138

平 均 値 と 分 散140 [1]平

5.3 

134

均 値 

140

散 

143

 [2] 

分

 [3] 

デ ー タ の 標 準 化 

 [4] 

プ ロ グ ラ ム1 

メ ジ ア ン,モ

146 48

ー ド 

150

 [1] 

デ ー タ の 種 類 

150

 [2] 

メ ジ ア ン,モ

ー ド 

151

 [3] 

ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト 

154

5.4 

 [4] 

パ ー セ ン タ イ ル 順 位 

156

 [5] 

プ ロ グ ラ ム 

157

相 関 係 数 

159

 [1] 

相 関 図 

159

 [2] 

相 関 係 数 

160

 [3] 

プ ロ グ ラ ム 

161

練 習 問 題 

163

第6章  統計 的推測 6.1 

6.2 

6.3 

サ ン プ リ ン グ 

164

 [1] 

母 集 団 と標 本 

164

 [2] 

サ ン プ リ ン グ 

166

推

定 

171

 [1] 

点 推 定 

 [2] 

区 間 推 定1 

 [3] 

標 本 平 均 の 分 布 

178

 [4] 

平 均 値 の 推 定 

181

 [5] 

比 率 の 推 定 

185

検

172 75

定187

 [1] 

仮 説 と 判 断 

188

 [2] 

比 率 の 検 定 

191

 [3] 

平 均 値 の 検 定1 

 [4] 

プ ロ グ ラ ム 

練 習 問 題199

94 198

第7章  多変量 の統計 7.1 

回 帰 分 析   [1] 

201

直 線 の あ て は あ 

201

 [2] 

最 小2乗

法 

204

 [3] 

プ ロ グ ラ ム 

206

 [4] 

曲 線 の あ て は め 

208

 [5] 

プ ロ グ ラ ム 

211

7.2 

カ イ2乗

分 布 の 統 計 

212

 [1] 

カ イ2乗

検 定 の 方 法 

212

 [2] 

カ イ2乗

分 布 

214

 [3] 

ク ロ ス 集 計 

7.3 

218

t分 布 の 統 計 

219

 [1] 

t分 布 を 利 用 す る 問 題 

220

 [2] 

t分 布 の プ ロ グ ラ ム 

221

 [3] 

相 関 関 係 の 分 析 

225

練 習 問 題 

227

問 お よ び 練 習 問 題 の 解 答 

索

230

(1)  問 の 解 答 

230

(2)  練 習 問 題 の解 答 

238

引 

244

第1章  個数の処理   もの の 個 数 を 数 え た り,そ の 並 べ方 を順 序 よ く作 る方 法 は和 の法 則,積

の法 則 な どに ま

とめ られ る。 この原 理 は,集 合 の要 素 の個 数 や順 列 ・組 合 せ の個 数 を 数 え る こ と な ど に 応 用 され,さ

らに確 率 に用 い られ る。 こ こで は数 え あ げ の方 法 と原 理 を取 り上 げ,数

えあげ

や 組 合 せ の 基 本 的 な考 え方 の見 通 しを つ け る とと もに,離 散 確 率 へ の準 備 を行 う。

1.1 

順 列 ・組 合 せ

  情 報 化 社 会 で は多量 の デ ー タが あ ふ れ,情 報 を有 効 に収 集 し,整 理 す る こ とが 重 要 視 され て い る。 ま た,離 散 確率 で は与 え られ た条 件 を満 たす 場 合 を 考 え,そ の 個 数 を数 え あ げ る こ とが 必 要 に な る。 こ こで は順 列 ・組 合 せ と い う具 体 的 な問 題 を 中 心 に,そ れ らの 個数 を数 え あ げ る方 法 を調 べ て み よ う。

[1] 

順

列

  具 体 例 を も と に,デ (1) 

ー タ な ど を 並 べ る と き の 方 法 と特 性 に つ い て 考 え る 。

順 列 とは何 か

  デ ー タ の 式(1.1)の

よ う に,異

な る い くつ か の も の が あ る と き,そ

て を も れ な く並 べ る に は 工 夫 が 必 要 で あ る。

れ らの す べ

〔 例 題1〕

あ る 人 が,京 都,名 古 屋,大

阪 の 中 の2都 市 を巡 回 す る必 要 が で きた とい う。 巡 回 す る方 法 は どれだ けあ るか。

図1.1 

〔 解1〕

京 都,名

古 屋,大

順 序 に 並 べ る と,次

3都 市 の 巡 回

阪 を 先 頭 の ア ル フ ァベ ッ トk,n,oで

の よ う に6通

表 し,辞

書式 の

り に な る。

kn,ko,nk,no,ok,on

〔 解2〕

〔解1〕 と同 様 に,京 都,名 古屋,

大 阪 の 各場 合 を 樹 形 図 で 表 す。 図1.2の 右 端 の 文字 の個 数 か ら総 数6が 得 られ る。

図1.2 

樹 形図

〔 例 題1〕 で は3つ の異 な る ものか ら2つ 取 り出 して 並 べ る場 合 と,そ の個 数 を 考 え て い る。 一 般 に,n個 〔 例 題1〕 で は,例

の もの か らr個 取 り出 して並 べ た各 場 合 を順 列 と いう。

え ば,京

都 → 名古

屋 と名 古 屋 → 京 都 の 巡 回 の仕 方 が 異 な る もの と考 え て い る。 す なわ ち,

図1.3 

順 列

  図1.3が 巡 列 の す べ て で,こ れ は3つ の もの か ら2つ 取 り 出 して 並 べ た 順列 で あ る。 こ う した 順 列 を作 り,そ の個 数 を もれ な く数 え るた め に順 列 を辞 書 式 の順 序 に並 べ た り樹 形 図 を 作 った りす る。 例 え ば,図1.2の

樹 形 図 で は,左 側 の3本

の各 線 分 に つ いて 右 側 の 線分 が2本 ず つ あ るか ら,順 列 の個 数 は次 の よ うにな る。 3×2=6〔

本 〕 

(1.1)

(2) 

順列の個数

  n個 の 異 な る も の か らr個 取 り 出 し て 並 べ る順 列 の 個 数 は,式(1.1)と 考 え れ ば 式(1.2)の

よ う に な り,こ

の 式 をnPrと

同 様 に

表 す 。 す な わ ち,

(1.2)  こ こ で,nPnと

同 じ式 を

(1.3) で 表 し,nの

階 乗 と い う。 順 列 の 個 数 の 式(1.2)は

す こ と が で き る。 特 に0!は1と

階 乗 を 用 い て,次

の よ う に表

す る。

(1.4)   な お,rは0≦r≦nの と す る。 こ こ で,0!は

範 囲 と す る 。 ま たnP0は 式(1.4)でr=0,nと

何 も 並 べ な い 場 合 と 考 え て1

お い た次 の 式 に も う ま くあ て は ま

る。

  式(1.2)あ

る い は 式(1.4)か

問1  赤,黄,青,緑,茶

ら,nPrが

求 め ら れ る 。 例 え ば,n=4の

と き,

の色 を塗 った玉 が1個 ず つ あ る。 これ か ら3つ 選 ん で並 べ る方

法 は何 通 りあ るか。

(3) 

プ ログ ラ ム

 n個

の も の か らr個(0≦r≦n)と

って 並 べ る 順 列 の 個 数nPrの

掛 け 算 と割 り 算 の 個 数 は,式(1.2),式(1.4)で 計 算 量 の 少 な い 式(1.2)を

利 用 し てnPrを

計 算 に つ い て,

は そ れ ぞ れr個,n個 求 め る。

で あ る。

プ ロ グ ラ ム1.1 

計算の結果 60

図1.4

問2 

プ ロ グ ラ ム1.1を

用 い て7P0,7P1,…,7P7の

値 を 求 め よ。

[2]  重 複 順 列   今 度 は,同

〔 例 題2〕

じ も の を い くつ も 並 べ て よ い 場 合 に つ い て 考 え よ う。

数 字0,1を

合 わ せ て4つ

〔 解 〕 作 っ た 数 字 を 昇 順(小

並 べ て で き る 順 列 を 作 り,そ の 個 数 を 数 え よ。

さ い順)に

図1.5 

  こ れ ら の 順 列 で は0,1が も2通

り だ か ら,全

  一 般 に,n個

並 べ る と,次

の よ う に な る。

重 複順 列

重 複 して 用 い ら れ て お り,各

部 で24=16通

桁 の と りか たはいず れ

り あ る。

の も の か らr個 重 複 を 許 し て 並 べ る 順列 の こ と を 重 複 順 列 と い い,

そ の 個 数 はnr通

り あ る。

問3  次 の並 べ 方 は何 通 りあ る か。   (a) 赤,黄,青,緑

の色 の 玉 が3個 ず つ あ る。 こ れ か ら3つ 選 ん で 並 べ る方法

(b) 0と1を5個

並 べ る方 法

〔 注 〕 特 に問3(b)は2進

数 と関 連 す る。

[3]  同 じもの を含 む 順 列   同 じ もの を何 個 か 含 ん で何 種 類 か の もの を並 べ る順 列 に つ い て考 え る。 これ は, 2項 定 理 や独 立 試 行 の定 理 な どに登 場 し,応 用 場 面 の広 い タイ プ の順 列 で あ る。 〔 例 題3〕

文 字aを2個,bを3個

並 べ る順 列 をす べ て作 り,そ の 個数 を数 え よ。

〔 解 〕 作 った 順 列 を 辞 書 式 に 並 べ る と,次 の よ う にな る。

図1.6 

 個 数 を 数 え る に は,ま

の 順 列 を 作 れ ば,そ

の よ う な2!3!個

ず 文 字a,bが

区 別 で き る と 考 え て,

の 個 数 は 全 部 で5!通

の 順 列 はaabbbと

個 ず つ で き る の で,も

同 じ もの を含 む 順 列

りで き る。 こ の と き 例 え ば,

い う順 列 に な る 。ababbな

ど他 の順 列 も2!3!

との 順 列 の 個数 は 次 の 式 で 表 され る。

  一 般 に,文 字aをm個,bをn個

並 べ て で き る順 列 の 個 数 は,次

の式 で表 さ

れ る。

(1.5) この 式 は,次 に登 場 す る組 合 せ の個 数nCmと   3種 類,4種

同 じにな る。

類 の もの を並 べ る順 列 も同様 の 考 え 方 で 求 め る こ とが で き る。

問4 

コ イ ンを6回 投 げ た と き,表 が ち ょう ど2回 出 る場 合 の個 数 を求 め よ。

問5 

(1+x)5の

展 開 式 でx3の 項 は,xを3個,1を2個

並 べ た順 列 に な る こ とを 示 し,

x3の係 数 を 求 め よ

。

問6  同 じ大 き さ の赤 玉2個,白

玉3個,青

玉4個 を 並 べ る方 法 は 何 通 りあ るか。

[4]  組 合 せ   順 序 を 問 題 に せ ず,あ

る も の を 何 個 か 取 り 出 す 方 法 を 考 え よ う。 ま ず,順

列 と

の 関 係 を 具 体 例 で 調 べ て み る。

〔 例 題4〕

あ る グ ル ー プ で 仙 台,東

が 生 じた と い う。1人

京,名

が そ の 中 の3都

古 屋,京

都,大

阪 につ い て 調 べ る こ と

市 を 分 担 し て 調 べ る と き,調

べ方 には どん

な 場 合 が あ る か 。 そ の 個 数 も数 え よ 。 〔 解1〕

仙 台,東

式 に 並 べ る と,そ

京,名

古 屋,京

都,大

阪 を そ れ ぞ れs,t,n,k,oと

の 合 計 は 次 の よ う に10通

し,辞

書

り に な る。

kno,kns,knt,kos,kot,kst,nos,not,nst,ost 〔 解2〕

順 列 の 考 え 方 を 利 用 す る。 図1.7の

よ う に,1つ

の も の に6つ

の順列 が

あ る。

図1.7 

 し た が っ て,そ

順 列 と組 合せ の 関 係

の 個 数 は 次 の よ う に10通

り に な る。

〔 例 題4〕 の 〔 解1〕 の よ う に,異 な る もの か ら何 個 か 取 り出 した もの の こ と を 組 合 せ と い う。 異 な るn個 の もの か らr個 取 り出 した組 合 せ の個 数 を

と 表 す 。 そ の 値 は 次 の よ う に な る。

(1.6)   な お,nCrは0≦r≦nの か らnCr=nCn-rが   例 え ば,4個

整 数 と し,特 にnC0=nCn=1と

す る 。 こ こで 式(1.6)

成 り立 つ｡ の も の か ら 何 個 か 取 り 出 す 組 合 せ の 個 数 は,次

問7  赤,黄,青,緑,茶,紫

の よ うに な る。

の 色 を 塗 った 玉 が1個 ず つ あ る。 これ か ら3つ 選 び 出 す 方

法 は何 通 りあ るか 。

問8 

10人 を5,3,2人

に分 け る方 法 は何 通 りあ るか。

  こ こ で,組

合 せ の 個 数nCrを

計 算 す る 方 法 に は2通

計 算 量 は,そ

れ ぞ れ 次 の よ うに な る。

り あ り,掛

〓の 場 合,2n-1個

〓の 場 合,2r-1個

 前 者 の 方 が 計 算 量 が少 な い ので,前 者 で ア ル ゴ リズ ムを 作 る。 プ ロ グ ラ ム1.2

計算の結果 10

図1.8

け 算 と割 り算 の

問9 

プ ロ グ ラ ム1.2を

用 いて 次 の 各 値 を求 め よ。

7C0,7C1,7C2,7C3,7C4,7C5,7C6,7C7

[5]  重複組合 せ   今 度 は 同 じ デ ー タ や も の が,い

〔 例 題5〕

〔 例 題4〕 で 同 じ都 市 を 何 回 選 ん で も よ い と す る。 こ の と き,ど

な 組 合 せ が あ る か,ま 〔 解1〕

くつ も あ る 場 合 の 組 合 せ に つ い て 考 え る 。

仙 台,東

た そ の個 数 を数 え よ。

京,名

古 屋,京

都,大

阪 を そ れ ぞ れs,t,n,k,oで

れ ら を 重 複 して 用 い て よ い の で,図1.9の

図1.9 

〔 解2〕

組 合 せ が で き,そ

kknは で あ る。 逆 に,例

始 ま る4つ

か ら下 に 辞 書 式 に 並 ん で い る の で,各

な る 文 字 と文 字 の 間 を 仕 切 り￨で1通

の 個 数 は35に

な る。

の 各 グ ル ー プ は,と

も

組 合 せ は 文 字 を ○ で,異

り に 表 す こ と が で き る。 例 え ば,

〓  nosは〓

え ば, 〓はkns

 〓はost

を表 す。 した が って,仕 切 り と ○ の 並 べ 方 と組 合 せ の1対1対   と ころ で,○

表 せ ば,こ

重複 組合 せ

上 の 組 合 せ でkkk,nnn,ooo,sssで

に左 か ら右,上

の よ う

を3個,￨を4個

応 が つ け ら れ る。

並 べ た もの は 〔 例 題3〕 の 問題 場 面 と同様 の 「同

じもの を含 む順 列 」 だ か ら,式(1.5)と

同様 に考 えて その 個 数 は次 の よ うにな る。

  この よ うに,あ る もの を 重 複 して 取 り出 す 組 合 せ の こ とを重 複組 合 せ とい う。 一般 に ,n個 の もの か らr個 取 り出 す 重 複組 合 せ の個 数 をnHrで 表 す 。 この 値 は

次 の 式 で 表 さ れ る。 た だ し,rは0以

上 の 整 数 とす る 。

(1.7)  例 え ば,4個

の も のか らr個 取 り出 す重 複 組 合 せ の個 数 は,次 の よ うに な る。

問10  方 程 式x+y+z+u=7の

解 の 個数 を求 め よ。 た だ しx,y,z,uは0以

上 の整

数 とす る。

問11  7枚 の デ ィ スケ ッ トを3人 に分 け る方 法 は何 通 りあ るか 。 た だ し,ど

の 人 に も少 な

くと も1個 は与 え る もの とす る。

  重 複 組 合 せ の 個 数nHrを 1.2と

計 算 す る プ ロ グ ラ ム は,次

の式 を用 いて プロ グラム

同 様 に して 行 う。

(1.8) プ ロ グ ラ ム1.3

計算の結果 35

図1.10

問12 

プ ロ グ ラ ム1.3を

用 い て,次

の 各値 を求 め よ。

6H0,6H1,6H2,6H3,6H4,6H5,6H6,6H7

[6]  順 列 ・組 合 せ の構 成   順 列 や 組 合 せ の1つ ひ とつ を作 る方 法 は,構 成 的 組 合 せ と呼 ばれ て い る。 順 列 や組 合 せ の個 数 を計 算 す る こ と は容 易 で あ るが,順 列 や組 合 せ の1つ ひ とつ を作 り出 す こ と は一 般 に難 し くプ ロ グ ラ ム も長 くな る。 利 用 で き るn,rは

限定 的で

はあ るが,簡 単 な方 法 を こ こで は取 り上 げ る。 〔 例 題6〕1か 〔 解 〕3重

ら5ま で の 数 か ら3つ 選 ん で並 べ る 順列 を作 れ(順 列 の構 成)。

の ル ー プで3桁 の 整 数 を作 り,そ の 中 で 各桁 の数 が異 な る もの を選 ん

で 出 力 す れ ば よ い。 プ ロ グ ラ ム1.4

図1.11

計算の結果 123  153  245  341  423  514 

124  154  251  342  425  521 

125  213  253  345  431  523 

132  214  254  351  432  524 

134  215  312  352  435  531 

135  231  314  354  451  532 

142  234  315  412  452  534 

143  235  321  413  453  541 

145  241  324  415  512  542 

152 243 325 421 513 543

図1.12

問13  1か ら5の 数 字 か ら3個 取 り出 して並 べ る重 複 順 列 を構 成 す る プ ロ グ ラ ムを作 れ。

〔 例 題7〕1か 〔 解〕

ら5ま

で の 数 か ら3つ

プ ロ グ ラ ム1.4と (100の

取 り 出 す 組 合 せ を 作 れ(組

同 様 に し て,1か

位 の 数 字)＜(10の

ら5を

使 っ て 作 る3桁

位 の 数 字)＜(1の

合 せ の 構 成)。 の数 の中 で

位 の 数 字)

と な る もの を選 ん で 表示 す れ ば よ い。   プ ロ グ ラ ム1.5を

用 い て 重 複 組 合 せ を 構 成 して み よ う。 各 桁 で 重 複 す る数 が あ っ

て も よ い の だ か ら, (100の 即 ち,プ

位 の 数)≦(10の

ロ グ ラ ム の6行

の よ う にす れ ば よ い。

位 の 数)≦(1の

目 をIFi＜=jANDj＜=kTHEN

位 の 数)

プ ロ グ ラ ム1.5

計算の結果 123 

  1か ら5ま で,次

124 

図1.13

125 

134 

で の 数 か ら3つ

の よ う に35個

135 

145 

234 

235 

取 り 出 す 重 複 組 合 せ は,1か

245 

ら5か

345

ら な る3桁

の数

で き る。

111  112  113  114  115  122  123  124  125  133 134  135  144  145  155  222  223  224  225  233 234  235  244  245  255  333  334  335  344  345 355  444  445  455  555

問14  5つ の数1,2,3,4,5か

ら4個 取 り出 す重 複 組 合 せ を作 り出 す プ ロ グ ラ ム を 作 り,

そ の個 数 を求 め よ。

1.2  数 え あ げ の 原 理  場 合 の数 を求 め る と きの基 本 的 な法 則 は,数 え る対 象 を集 合 で表 現 す る こ と に

そ の特 徴 が あ る。 こ こで は,数 え あ げ の原 理 を 集 合 の 性質 と関 連 づ けて 示 そ う。

[1]  和 の 法 則   もの の集 ま りで そ の個 数 を数 え る と き,重 複 して 数 え な い よ う に注 意 す る。 和 の 法則 は,そ の と きの数 え方 を 問題 に す る。 〔 例 題8〕

大 小2個 の さ い こ ろ を振 って 出 た 目の 和 が6で あ るか,ま

た は ゾロ目

(同 じ数 の 目)で あ る場 合 の個 数 を求 め よ。 〔 解 〕2つ

の さ い こ ろで 大 き い方 の 目が1,小

さい方 の 目 が2の 場 合 を12の

よう

に 表 せ ば,和 が6で あ る場 合 は,次 の よ う に集 合 で表 す こと がで きる。

A={51,42,33,24,15}  ゾ ロ 目で あ る場 合 も,次 の よ う に集 合 で 表 す こ とが で きる。

B={11,22,33,44,55,66}  こ れ らの 集 合 の 個 数 を,そ

れ ぞ れn(A),n(B)と

表 せ ば,

n(A)=5, n(B)=6

 共 通 集 合 はA∩B={33}でn(A∩B)=1 で あ るか ら,和 集 合A∪Bの

個 数 は,

図1.14 

  2つ の こ と が らA,Bに n(B)で

表 す と き,Aま

つ い て,そ た はBの

共 通 集合

れ ら が 起 こ る場 合 の 個 数 を そ れ ぞ れn(A),

起 こ る 場 合,A∪Bの

個数 について次 の式 が成

り立 つ 。 こ れ を 包 除 の 原 理 ま た は 和 の 法 則 と い う。A∩BはA,Bが

と も に起 こ

る場 合 で あ る 。

(1.9)  同 様 に 集 合A,B,Cに   集 合A,B,Cの

つ い て も,和

和 集 合A∪B∪Cの

の 法 則 が 次 の よ う に 成 り立 っ 。 個 数 は,

に な る。

図1.15 

〔 注 〕AUBをAとBの

3つ の 共通 集 合

結 び,A∩BをAとBの

問15  1か ら100の 整 数 で4の 倍 数,6の   集 合A,Bの

結 びA∪Bと

倍 数,4ま

交 わ りA∩Bは,一

交 わ りと もい う。

た は6の 倍 数 の各 個 数 を求 め よ。 般 的 に次 の よ う に定 義 さ れ る。

ま た は, か つ,

  こ こ で 空 集 合 φ の 要 素 は0で n(φ)=0で 集 合Aの

あ る 。 ま た,全 補 集 合 をAと

あ るか ら,

体 集 合 をU,

表 せ ば,

で あ る か ら, 図1.16 

補 集合

(1.10) が 成 り立 つ。   ま た,集 合 で は次 の ド ・モ ル ガ ンの法 則 が成 り立 つ か ら

個 数 に つ い て も次 の性 質 が成 り立 つ。

図1.11 

問16  1か ら100ま で の整 数 の 中 で,4の

ト ・モ ル ガ ン の 法 則

倍 数 で も6の 倍 数 で もな い数 の個 数 を求 め よ(こ

の よ うな数 の こ とを オ イ ラ ー数 とい い,整 数 の 問題 に よ く登 場 す る)。

[2] 

積 の 法 則

  福 岡,東 京,成 田 を結 ぶ主 な 交通 手 段 が,図1.18の

図1.18 

よ うに あ げ られ る。

交通 手段の選び方

  この と き,福 岡 か ら東 京 に 行 く方 法 は2通 りで,そ の お の お の に つ い て東 京 か ら成 田空 港 に行 く方 法 は3通 りあ るか ら,福 岡 か ら成 田 空 港 に行 く方 法 は 2×3=6〔

通 り〕

の 方 法 が あ る。   2つ の こ と が らA,Bが 場 合 が 起 こ る と す る。A,Bを せ ば 次 の 式 が 成 り立 ち,こ

あ り,Aの

起 こ る そ の お の お の の 場 合 に 対 してBの

こ み に し た と き 起 こ る す べ て の 場 合 をA×Bと

各 表

れ を 積 の 法 則 と い う。

(1.11) 問17  あ る診 療 所 の 健 康 調 書 に は43人 が 登 録 してお り,そ の 調 書 に は身 長,体 重,血 糖 値 な ど12項

目の 記 載 項 目が あ る と い う。 これ を コ ン ピュ ー タで 記 憶 す る に は,何 個 の デ ー タ

の 空 きを 用 意 して お け ば よ いか 。

問18 

23×32=72の

約 数 の 個 数 を 求 め よ。

[3]  鳩 の巣 原 理   例 え ば,n+1羽

の 鳩 に 対 してn個

つ の 巣 箱 に 少 な く と も2羽

の 巣 箱 が あ っ た と す る。 こ の と き ど れ か1

の 鳩 が い る。

当 た り前 の よ うに 見 え る この こ とを鳩 の 巣 原 理 とい う。 鳩 の巣 原 理 は,あ る性 質 を 満 たす 場 合 の数 を数 え た り,あ る性 質 を もつ 場 合 が 実 際 に存 在 す る こ とを示 す と き に用 い られ る。 〔 例 題9〕

図1.19 

鳩 の 巣 原理

あ る学校 の学 生 が生 ま れ た月 を札 に書 い て箱 に入 れ る。 この 箱 か ら札

を 元 に戻 す こ と な く1枚 ず つ 取 り出 す と き,生 ま れ た 月 が 一 致 す る札 が必 ず あ る の は何 枚以 上 の と きか 。 〔 解 〕12枚

で は,1,2,…,12と

な る可 能 性 が あ るが,13枚

で は鳩 の 巣 原 理 か

ら,必 ず 同 じ数 字 が 存 在 す る。 よ って13枚 以 上 の と き一 致 す る札 が必 ず あ る。 問19  図1.20の

よ う な9列

の格 子 が あ り,

縦 の ます 目 に赤 と青 の色 を一 色 ず つ塗 ると き,   (a) 色 の塗 り方 は何 通 りあ る か。   (b) 同 じ塗 り方 の列 が1組 は あ る こ と を 示 せ。

図1.20 

色 の 塗 り分 け

[4]  数学的帰納法  1枚 の紙 を半 分 に折 れ ば2枚 に な る。 それ を また 半 分 に折 れ ば4枚 に な る。 こ う して で き る数 列; 1,2,4,8,16,…

の 第n番

目 の数 をanと す れ ば,

(1.12) と い う性 質 が 成 り立 つ 。   式(1.12)の

よ う に,an+1をanな

い う 。 特 に 式(1.12)の

ど を 用 い て 表 した 式 を 漸 化 式 ま た は 再 帰 式 と

数 列 は 自 然 数nに

つ い て,次

式 の よ う に表 さ れ る。

(1.13)   式(1.13)の

よ う に,anをnの

  再 帰 式(1.12)が

式 で 表 し た 式 を 明 示 式 と い う。

明 示 式(1.13)と

同 じで あ る こ と を 証 明 す る の に,次

の(1),

(2)を 示 す や りか た が あ る 。   (1) an=2nは,n=1で

成 り立 つ。

  (2) an=2nがn=kで   (1),(2)か

成 り立 つ と す れ ば,an=2nはn=k+1で

ら,式(1.12)と

式(1.13)は,す

図1.21 

つ い て 一 致 す る。

数学的 帰納法の意味

 こ の 証 明 で は,an+1=2an,a1=1か

とな って,an=2nが

べ て の 自 然 数nに

も成 り立 つ。

推 測 で き るが,こ

ら

れが 常 に成 り立つ こ と を(1),(2)で 示 して

い る。 この 方 法 を 数 学 的帰 納 法 とい う。  数 学 的 帰納 法 は,自 然数 に関 して帰 納 的 に得 た 式 や,数 え あ げ に つ い て推 測 し た性 質 が 常 に成 り立 つ こ とを確 認 す る と きに 用 い られ る。 問20  平 面 上 にn本

の 直線 が あ り,ど の2本

も平 行 で な く どの3本 す る。 このn本 分 の個 数 をanと

も1点 で交 わ ら な い と

の 直線 で分 け られ る平 面 の部 す れ ば,再 帰 関 係

an+1=an+n+1 が 成 り立 ち,次 の 明示 式 に な る こと を示 せ。

図1.22 n本

の直線の交点

[5] 

コ ン ピ ュー タ の利 用

  今 ま で に 取 り上 げ た 問 題 を コ ン ピ ュ ー タ を 用 い て 解 い て み よ う。 な お,プ

ログ

ラ ム が 小 さ い の で フ ロ ー チ ャ ー トは 省 略 す る 。

〔 例 題10〕1か

ら100ま

で の 整 数 で,4の

倍 数 で も6の

倍 数 で も な い もの の 個 数

を求 め よ。 〔 解 〕1か

ら100ま

で の 各 数 に つ い て,4の

倍 数 で も6の

倍 数 で もな い も の を 調

べ る。 プ ロ グ ラ ム1.6

計算の結果 67

 プ ロ グ ラ ム1.6の

と し た と き,ド

中 心 は3行

目 で あ る 。 こ の 行 と50行

・モ ル ガ ン の 法 則 か ら 同 じ値 が 得 られ る 。

  こ の プ ロ グ ラ ム を 使 っ てn=100,1000,10000の で き,そ

れ ぞ れ67,667,6667個

と きの 個 数 を 求 め る こ と が

に な る。 そ の 根 拠 を 探 る と き,包

る。

〔 例 題11〕72の 〔 解 〕72の

を,

約 数 を あ げ,そ

約 数 に は1と72を

の 個 数 を 求 め よ(問18)。 含 め る。

除 の原 理 を 用 い

プ ロ グ ラ ム1.7

計算の結果 1 

2 

3 

4 

6 

8 

9 

12 

  プ ロ グ ラ ム1.7は,72が1か べ,も

18 

ら72ま

36 

変 数sを

最 初0と

72 

12

で の 各 数 が72で

しそ う な ら そ の 数 を 表 示 し,最 後 に 変 数sを

〔 例 題12〕s=1+2+3+…+50の 〔 解〕

24 

割 り 切 れ る か ど うか を 調

カ ウ ン トす る。

値 を求 め よ。 お き,1,2,…

を 順 次 加 え て い く。

プ ロ グ ラ ム1.8

計算の結果 1275

 プ ロ グ ラ ム1.8の

計 算 の 結 果 は,次

の式 で 求 め た値 に等 しい こ とがわ か る。

(1.14)   こ こ で あ げ た 例 題 の よ う に,コ

ン ピ ュ ー タ で は 和 の 法 則 な ど の 原 理 を 使 わ ず,

条 件 を そ の ま ま 表 現 して 結 果 を 求 め る こ と が で き る。 こ の や りか た を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン と い い,そ

問21 

れ を 行 う プ ロ グ ラ ム を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン プ ロ グ ラ ム と い う。

次 の 問 題 を シ ミュ レー シ ョ ンプ ロ グ ラ ムを 作 って解 決 せ よ。

  (a)  〔例 題8〕

の問 題  

(b)  12+22+32+…+502の

値 を 求 め よ。

1.3  応 用 問 題   これ まで に挙 げた 数 え あ げの 方 法 を,さ [1] 

らに い くつ か の問 題 に応 用 す る。

部 分 集 合 の 個 数

  あ る場 合 の個 数 を 数 え る と き,対 象 を集 合 と考 え て個 数 を求 め る こ とが あ る。 〔 例 題13〕 〔 解1〕

集 合A={1,2,3,4}の

部 分 集 合 の個 数 を求 め よ。

要 素 の個 数 が0,1,2,3,4個

で あ る部 分 集 合 の個 数 を数 え る。

要 素 が0個;4C0=1個

  φ(空

要 素 が1個;4C1=4個

  {1},{2},{3},{4}

要 素 が2個;4C2=6個

  {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}

要 素 が3個;4C3=4個

  {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}

要 素 が4個;4C4=1個

 A(全

  よ っ て,1+4+6+4+1=16個 〔 解2〕

各 部 分 集 合 は,要

集 合)

体 集 合)

で き る。 素1が

あ る か な い か の2通

り で あ る 。 要 素2,3,4,5

に つ い て も 同 様 の こ と が い え る 。 部 分 集 合 に 要 素 が 属 し て い る と き ○,そ な い と き × を つ け る。 例 え ば,部

分 集 合{1,3}は

要 素1,3を

選 ん で い る か ら1,

3の 箇 所 に ○ を,2,4の

箇 所 に × を つ け る 。 部 分 集 合 の 取 り 方 は,1が2通

2,3,4に

り ず つ あ る。

つ い て も2通

  よ っ て,そ

の 個 数 は,

2×2×2×2=16〔 に な る。

個〕

うで

り,

図1.23 

〔 解3〕

要 素 の 選 び方

集 合A1={1},A2={1,2},A3={1,2,3},A4={1,2,3,4}と

集 合A1の

部 分 集 合 は φ,{1}の2個

  こ こ で,A0=φ

と し,集

合Amの

お け ば,

で あ る。 部 分 集 合 の 個 数 をn(Am)の

と表 せ ば,次

の よ

うに な る。

 一 方 ,集 合A2の 部 分 集 合 は,A1に

の よ う に2種

要 素2を 追 加 す るか 否 か で,

類 ず つ で き る か ら,

 同様 に 考 え て,

 し た が っ て,

図1.24 

 〔 例 題13〕 る の で,こ

再 帰 的 な 考 え方

に お い て,〔 解1〕,〔 解2〕 の 考 え 方 は 重 複 順 列 や 組 合 せ を 用 い て い れ ら を 組 合 せ 的 方 法 と い い,〔 解3〕 はAnをAn-1で

考 え る の で,こ

れ を再 帰 的方 法 とい う。   あ る もの を数 え る と き,そ れ を集 合 で と らえ 直 し,組 合 せ数 学 的 な考 え方 や再 帰 的 な考 え方 な どを使 う こ とを モ デ ル化 と い う。  〔 例 題13〕 で,要 素 の個 数 がn個 の 集 合Aの

部 分 集 合 の個 数 は2n個 あ る こ とが

推 測 さ れ,そ れ が常 に成 り立 つ こ と は数学 的帰 納 法 な どで示 す こ とが で き る。 問22  図1.25に

つ い て,次 の各 問 に 答 え よ。

  (a) 長 方 形ABCDの

辺 に平 行 な直線 が あ

る と見 た と き,長 方 形 の個 数 を求 め よ。   (b) ABCDを

碁 盤 の 目状 の街 とみ た と き,

Aか

行 く最 短 の 道 の本 数 を 求 め

らCに

よ。 図1.25 

長 方 形 と街 路

[2]  出会 い数   3つ の 数1,2,3を い は3番

目 に3が

並 べ る順 列 は6通 く る 場 合 は,次

り あ る が,1番

の よ う に4通

図1.26 

目 に2,あ

る

りあ る 。

出 会 い数

問23  プ ロ グ ラ ム1.4を 修 正 し,1,2,3,4,5を 目 にkが

目 に1,2番

並 べ た 順 列 で,21543の

よ う に 第k番

くる もの だ け を 表 示 す る よ う にせ よ。

  こ の よ う な 問 題 は 出 会 い の 問 題,帽

子 の 問 題,封

筒 の 問 題,一

致 の問 題 な ど と

呼 ば れ て い る。 和 の 法 則 を 利 用 し て 出 会 い 数 の 問 題 を 解 決 し よ う 。

〔 例 題14〕A,B,C,Dの4人

が 帽 子 を か ぶ っ て パ ー テ ィ に 出 席 し,会

場 の帽

子 か け に そ れ を か け た 。 帰 りが け に そ れ を 取 ろ う と し た と こ ろ帽 子 が 判 別 で きず, と り あ え ず 自分 の も の と 思 わ れ る 帽 子 を 取 っ た と い う。 こ の と き,4人 か が 自 分 の 帽 子 を と る場 合 は 何 通 りあ る か 。

の うち 誰

〔 解 〕Aが

自分 の 帽子 を と る場 合 の個 数 をn(A),Bが

個 数 をn(B)と

し,以 下 同様 にn(C）,n(D)を

自 分 の 帽 子 を と る場 合 の

定 め る と,自

分 の帽子 を とる と

い う こと は,他 の人 が そ の 帽子 を と らな い こ とだ か ら,

 ま た,

図1.27 

4つ の 集 合

 和 の 法 則 か ら,

(1.15)   この 問 題 か ら,一 般 の問 題 場 面 を作 り,そ の結 果 を推 定 す る こと は容 易 で,次 の よ うに い う こ とが で きる。 これ を 出会 い数 と い う。 〔 例 題15〕n人

に1か

らnま で の番 号 をつ け,1か

らnと い う数 字 を 書 い た カ ー

ドを 持 って 並 ぶ と き,少 な く と も誰 か1人 が 自分 の番 号 と カ ー ドの番 号 が一 致 す る場合 は何 通 りあ るか 。

〔 解〕

〔 例 題14〕 か ら類 推 し て,求

め る場 合 の 数 は 次 の よ う に な る 。

 1人 が 一 致 す る 場 合;(n-1)!×nC1  2人 が 一 致 す る 場 合;(n-2)!×nC2

  (n-1)人

が 一 致 す る 場 合;1!×nCn-1=n n

n人 全 員 が 一 致 す る 場 合;0×nCn=1

 求 め る個 数 は,包 除 の原 理 か ら次 の よ うに表 さ れ る。

(1.16) 問24  1か ら4ま で の数 字 を書 い た カ ー ド4枚 を横 に1列 にで た ら め に 並 べ る と き,ど kに つ い て も,左 か らk番 目 の カ ー ドの数 字 がkと

の

は な らな い場 合 は何 通 り あ るか 。

[3]  2項 定 理  場 合 の 数 の 視 点 か ら(a+b)nの 〔 例 題16〕

多 項 式(a+b)5を

〔 解 〕a3b2の

展 開 し た と き,a3b2の

係 数 はa,  bを 図1.28の

同 じ もの を 含 む 順 列 の 式(1.5)か

と な り,こ

展 開 式 に お け る各 項 の係 数 に つ い て調 べ よ う。

れ がa3b2の

 同 様 に して,(a+b)5の a5

よ う にaを3回,bを2回

ら,

係 数 と な る。

図1.28 

係 数 を求 め よ。

a3b2の

展開式で

,a4b,a3b2,a2b3,ab4,b5

の係 数 は,そ れ ぞ れ次 の式 で表 され る。

順 列

と る こ と に な る。

5C0,5C1,5C2,5C3,5C4,5C5   (a+b)nを はnCrで

展 開 し た と き,arbn-rの

表 さ れ,図1.29の

係 数

よ う に した もの

を パ ス カ ル の 三 角 形 と い う。   こ の と き,展

開 式 は,

図1.29 

パスカルの三角形

(1.17) の よ う に な り,こ   2項 定 理 は2項

れ を2項

定 理 と い う。 た だ し,nは

正 の 整 数 と す る。

分 布 の 基 礎 に な っ て い る。

問25 

2項 定 理 を 用 い て1.015を

問26 

4C0+4C1+4C2+4C3+4C4の

求 め よ。

値 を 求め

よ 。

  問26の 結 果 と 〔例 題13〕 を結 び つ け れ ば,次 の問 題 を 解 くこ とが で き る。   「要 素 の個 数 がn個

あ る集 合 の部 分 集 合 の 個 数 は2nで あ る。」

  もの の個 数 を数 え る こ とを 中心 に した組 合 せ 数 学 の こ とを 数 え あ げ 組 合 せ 論 と い う。 数 え あ げの 方 法 に は,自 然 数 と の対 応 をつ け る組 合 せ 論 的 な 方 法,再 帰 的 な関 係 を 導 く再 帰 的 な方 法,2項

定 理 の考 え方 を拡 張 した母 関 数 の方 法 な ど が あ

る。

練習問題 1.  易 の卦 は――

と―

を6個 用 い て〓

の よ うに 表 す 。―

を2個 用 い た 卦 の

個 数 お よ び,卦 の総 数 を求 め よ。 2.  5人 で じゃん け ん を1回 す る と き,次 の問 に答 え よ。 (1) 手 の 出 し方 は何 通 りあ る か。(2)  (3) 2人,3人,4人

1人 だ けが 勝 つ 場 合 は何 通 りあ るか。 

が 勝 つ場 合 は,そ れ ぞ れ何 通 り あ るか 。

(4) あ い こ に な る場 合 は何 通 りあ るか 。 3.  コ イ ンを6回 投 げ る と き,ち

ょ うどk回 表 が 出 る場 合 は何 通 りあ るか 。k=0,1,2,

3,4,5,6につ

い て 求 め よ 。 ま た,そ

4.  文 字a,bを5枚 (1) aが

れ らの 和 を 求 め よ 。

ず つ 書 い た カ ー ド10枚

ち ょ う ど0,1,2,3,4,5枚

(2)  2nCn=(nC0)2+(nC1)2+…+(nCn)2を 5.  5,55,555,5555,…   に な る 。 た だ し,nは2,5で   鳩 の巣 原 理 で証 明 せ よ。

と い う数 がn+1個

か ら5枚

無 作 為 に 取 り 出 す と き,

あ る の は そ れ ぞれ 何 通 りか 。 示せ。 あ る 。 こ の 中 の 少 な く と も1つ

はnの

倍 数

割 り切 れ な い 数 と す る 。 こ れ を プ ロ グ ラ ム を 作 っ て 確 か め,

第2章  確率の基礎   情 報 化 社会 で は,情 報 の伝 達 や処 理 が 確 実 に 行 わ れ る よ うに み え る。 しか し,降

水確 率

や 伝 達 ミスな ど,不 確 か な 現 象 が 新 しい 形 で 登 場 して い る。 こ こで は不 確 か な 現 象 を 可 能 性 の度 合 い と考 え て,確 率 を 取 り扱 う こ と に し よ う。

2.1  不 確 か な現 像 と確 率   現 代 で は コ ン ピュー タの 助 け を借 りて 不 確 か な現 象 の特 性 を 明 らか に し,起 こ りや す さ を求 め る こ とが で き る よ うに な って きた。 不 確 か な現 象 を 取 りあ げ,そ れ を数 学 的 に モデ ル化 す る に は ど う した らよ い だ ろ うか。

[1]  さ い こ ろ投 げ   さ い ころ投 げで は,初 め の状 態 が ほ ん の少 し変 わ った だ けで 異 な った結 果 が生 じ る。 原 因 → 結 果 の メ カ ニ ズ ム が再 現 で きな い現 象 を不 確 か な現 象 とい う。

図2.1 

不確 かな現象

  そ こで,さ

い ころ を投 げ る と きど ん な高 さ か らどん な位 置 で 投 げ た らど うな る

か と い う側 面 で の追 求 はせ ず,そ の代 わ り,1か

ら6の 目が 同 じ可 能 性 で 起 こ る

と考 え て 特 性 を探 求 す る。 不 確 か な現 象 の中 で,1の

目か ら6の 目の よ う に,そ

れ 以 上 分 け られ な い こ とが らがす べ て等 し く起 こ る こ と を同 様 に確 か ら しい とい う。 この 規 則 性 に着 目す れ ば,確 率 を計 算 す る こ とが で き る。 こ こで は,さ い こ ろ投 げ に お け る不 確 か さ の特 性 を さ らに詳 し く調 べ よ う。

図2.2 

同 様 に 確 か ら しい 起 こ り方

(1)  収 束 性  実 験 や 観 察 を繰 り返 し行 い,あ

る こ とが らAの 起 こ った 回数 を数 え た と き,

Aの 起 こ った 回数

/実験 回数 をAが

起 こ る相 対 頻 度,ま

た は相 対 度 数 と い う。

図2.3 

ば らつ き の よ う す

  さ い こ ろ振 りを 何 回 も繰 り返 す と き,図2.3の ほ ぼ 同 じ値 に な り,回 数 を 増 や した と き1/6を

よ うに,各 目 の 出 る相 対頻 度 は 中 心 に そ の ば らつ きが 小 さ くな っ

て い く。 (2)  無 規 則 性  一 方,さ

い こ ろを 実 際 に振 って 出 た 目を例 え ば40個 記録 す る と,次

の よ うに

な る。 11456

44654 

65413

11353

14224

51332 

35341

52321

 こ の 列 の2,4,6,… 15464

番 目 を 取 り 出 し て み る と, 51133 

の よ うに な るが,こ

42532

54531

の数 列 に規 則 性 は見 い出 せ な い。

  さい ころ 振 り を多 くの回 数 実 験 す る と,起 こ る こ とが らに次 の性 質 が あ る。 ・実 験 回 数 を 多 くす れ ば,各 目 の相 対 度 数 は一 定 の値1/6に ・部 分 的 に取 り出 した もの に規 則 性 が な い。   こ の2つ

近 づ く。  (2.1)

の 性 質 を で た ら め ま た は ラ ン ダ ム と い う 。 ま た こ の 性 質 を もつ 実 験 や

観 察 の こ と を 試 行 と い う。 ト ラ ン プ か らで た ら め に1枚 と 同 じ よ う に 考 え,特

取 り出す こと な ど も これ

に無 作 為 抽 出 と い う。

  じ ゃ ん け ん や コ イ ン投 げ が 本 当 に で た ら め な 結 果 に な る か ど うか は,性 質(2.1) に 照 ら し合 わ せ て 実 験 す る こ とで 判 断 す る こ と が で き る 。 な お,図2.3の20000 回 は,100人

の 人 が200回

ろ 投 げ を200回

行 っ た 試 行 の 結 果 を ま と め た も の で,100個

の さい こ

行 っ た 結 果 と 同 じ と み な し て い る 。 こ れ が 成 り立 つ 性 質 の こ と を

エ ル ゴ ー ド性 と い う。   さ い こ ろ 投 げ は 古 くか ら不 確 か な 現 象 と し て 知 ら れ,占 て き た の で,で

た らめ な こ と を 多 くの 人 が 経 験 的 に 知 っ て い る。 そ こ で,さ

投 げ や コ イ ン投 げ な ど で 考 え る確 率 の こ と を 経 験 的 確 率,数 問1  次 の 実 験 を行 い,で た らめ さ に つ い て の性 質(2.1)を   (a) 1円 玉 を50,100,200,400回  (b) 〓

い や か け事 な ど に用 い い ころ

学 的 確 率 な ど と い う。

調 べ よ。

投 げ て表 の 出 る 回数 を数 え る。 … の右 辺 の数 字 の 出方 を調 べ る。

[2]  男 児 の 出 生 率   日本 で は男 の 子 の 生 まれ る度 合 いが,女

の子 の そ れ よ り も少 し大 き い こ とが 知

られ て い る。 この 割 合 か ら,男 子 が生 まれ る確 率 は約0.51と

い え る。 男 児 が や

や 多 い の に は,生 物 的 に何 か 理 由 が あ るの で あ ろ う。 しか し,我 々 はそ の メカ ニ ズ ムを 考 え ず,起

こ る こ とが らと その 可 能 性 につ い て,統 計 的 な デ ー タを根 拠 に

して 確 率 を 定 め る。 この よ う な確 率 の 決

表2.1  男 児 の 出生 率

め 方 を 統 計 的確 率 とい う。統 計 的 確 率 は 多 数 の デ ー タか ら確 率 を 決 め よ う と い う の で あ る。 また,表2.1の

出生 率 の例 か

ら,日 本 の あ る家 で生 ま れ る子 ど もが 男 児 と女 児 で 同様 に確 か ら し くな い こ とが

〔 注〕 厚生統計協会 「 国民衛生の動向 ・   厚生 の指標」1995年8月

わ か る。 問2  画 鋲 を続 けて 投 げ た と き,針 が上 に 向 い た回 数 が 表2.2の ら,1個

よ う に な っ た。 こ の表 か

の画 鋲 を 投 げた と き,針 が上 を 向 く確 率 を求 め よ。 表2.2  画鋲 投 げ の実 験 結 果

[3] 

疑 似 乱 数

  で た らめ な 数 が生 じる現 象 の 中 に は,発 生 の しくみ は わ か って い て も事実 上不 確 か な 現 象 が あ る。 そ の 現 象 の で た らめ さ につ い て調 べ よ う。 (1)  πの 小数 の桁   πを10進 小 数 で表 す と,次 の よ う にな る。 π=3.1415926535

8979323846

2643383279

5028841971

6939937510

5820974944

5923078164

0628620899

8628034825

3421170679

8214808651

3282306647

0938446095

5058223172

5359408128

4811174502

8410270193

8521105559

6446229489

5493038196

  π の数 列 は マ チ ンの方 法 な ど で機 械 的 に作成 で き る。 しか し,そ の結 果 に つ い て は,例 え ば小 数 点 以 下 第50桁 らめ さ の性 質(2.1)で

が0で あ る こと は大 部 分 の 人 は知 らな い,で

た

吟 味 す る と ほぼ成 り立 つ。 そ こで,各 数 は0か ら9の 数 を

で た らめ に取 り上 げ るの と事 実 上 同 じに な る。   (2)  疑 似 乱 数   32ビ ッ トの コ ン ピ ュー タが作 る乱 数 は,基 本 的 に は次 の 漸 化 式 で 作 ら れ,こ の メ カ ニ ズ ム で作 られ る数 を疑 似 乱 数 と い う。

x0は 適 当 な 正 の 整数, aは4で 割 って1余 る正 の 整 数,cは   こ こ で,xn+1はaxn+cを231で 動 くが,xnを231で

割 っ た余 り を 示 す 。xnは0＜xn＜231の

割 っ た 数xn/2^31は0と1の

疑 似 乱 数 の 小 数 点 以 下 第6位

間 の 数 に な る 。 次 の 数 は,そ

の

疑似 乱数

数 表 に あ る乱 数 の 利 用 法 は こ こ で は ふ れ な い 。

問3  図2.4の

乱 数 の小 数 点 以 下 第1位 が 偶 数 に な る個 数,奇

3の 結 果 は,性 質(2.1)の

[4] 

間 を

を 四 捨 五 入 し た も の で あ る。

図2.4 

  な お,乱

正 の奇数

数 に な る個 数 を 求 め よ。 問

初 め の方 の部 分 的 な解 答 に な る。

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン

  あ る確 率 の 値 を,そ ン と い う。BASICで

れ が 起 こ る 現 象 を ま ね て 求 め る こ と を 確 率 の シ ミ ュ レー シ ョ はrnd(1)と

い う 関 数 で0か

ら1ま

で の 疑 似 乱 数 を 発 生 さ せ,

こ れ を 用 い て 確 率 の シ ミュ レ ー シ ョ ンを 行 う こ と が で き る。 プ ロ グ ラ ム2.1は, 疑 似 乱 数 を 扱 っ て さ い こ ろ 投 げ の シ ミ ュ レー シ ョ ン を 行 っ て い る 。

プ ロ グ ラ ム2.1

計 算 の結 果(初 期値1853) .157 

.158 

.191 

.168 

.171 

.155

図2.5

  こ の プ ロ グ ラ ム で は,   ・1行 目 のRANDOMIZEで,乱   ・4行 目 のRND(1)で,0か   ・5行 目 のINT(x*6)+1で,1か

数 の初 期 値 を で た らめ にす る。 ら1ま

で の 乱 数 を1つ

作 っ てxに

入 れ る。

ら6の 整 数 の 乱 数 を 作 りiを

さい こ ろの 目

とす る。   ・6行 目 のa(i)=a(i)+1で,さ   現 実 の 実 験 で も そ うだ が,こ

い こ ろ の 目iの 度 数a(i)を の シ ミュ レ ー シ ョ ンで1の

カ ウ ン トす る 。

目 の相 対 頻 度 が 確 率 に

近 づ く よ うす は 数 列 の 極 限 の よ う に 規 則 的 で は な い 。 こ れ が 確 率 の 実 態 で あ る 。 表2.3  1の 目の 相 対 頻 度

2.2  同様 に確 か ら しい とき の確 率   さ い こ ろ 投 げ で は,1の

目 が 出 る こ と が ら は,他

同 様 に確 か ら し い か ら確 率1/6と き の 確 率 の 計 算 を 行 い,コ

[1] 

の 目の お の お の が 出 る こ と と

計 算 さ れ る。 こ こ で は,同

様 に 確 か ら しい と

ン ピ ュ ー タ で 実 験 し て み よ う。

計 算 の しか た

  確 率 の値 を 計 算 す る と き の手 順 を 具 体例 で考 え る。 〔 例 題1〕

ジ ョー カ ー を 除 い た52枚 の トラ ンプ を よ く切 り,1枚 抜 き出 す と き,

それ が ハ ー トで あ る確 率 を求 め よ。 〔 解 〕 カ ー ドは全 部 で52枚,そ

  同 様 に 確 か ら し い 現 象,例 あ る こ と が らAが

の うちハ ー トは13枚 あ るか ら求 め る確 率 は,

え ば さ い こ ろ 振 り,ト

起 こ る確 率P(A)は,次

ラ ン プ,コ

イ ン投 げ な ど で は,

の よ う に して 計 算 を 行 う。

Aが 起 こ る場 合 の個 数

 (2.2)

/起 こ る場合 全部 の個 数   式(2.2)の

計 算 で は,順

列 の個 数 や組 合 せ

の 個 数 を 求 め て 確 率 を 求 め る。

問4  3本 の あ た り く じを 含 む10本 本 を 同 時 に 引 く と き,1本

の く じか ら3

図2.6 

く じ引 き

だ け が 当 た り く じで あ

る確 率 を 求 あ よ 。

問5  4人 で じ ゃん けん を す る と き,ち

〔 例 題2〕

大 小 の さ い こ ろ2個

ょ うど2人 が 勝 っ 確 率 を 求 め よ。

を 同 時 に投 げ た と き,そ

に な る場 合 は ど ち らが起 こ りや す い か。

の 和 が7に

な る 場 合 と8

〔 解 〕 大 小 の さ い こ ろ の出 方 を す べ て あ げ る と,表2.4の

よ うに36通 り に な る。

各 場 合 は同 様 に確 か ら しいか ら,和 が7の 場 合 と8に な る場 合 の個 数 を数 え て, 表2.4  出 る 目 の和

  よ っ て 和 が7に

な る場 合 が 起 こ りや す い。

  さ い こ ろ を3回

振 る と き も同様 に して個 数

63=216で,す

べ て の 場 合 を尽 くす こ と が で

き る。

問6  10円 硬 貨 と100円 硬 貨1枚 ず つ を 同 時 に投 げ た と き,起 こ り得 る場 合 を す べ てあ げ, そ れ ぞ れ の確 率 を求 め よ。

[2] 

確

認

  式(2.2)の

計 算 は,起

こる場 合 のす べ て が 同様 に確 か ら し く起 こる ことが 条 件

に な る。 現 実 と合 わ な い場 合 に は,起 こ る こ とが らを再 度 調 べ 直 す必 要 が あ る。 〔例 題3〕

次 の確 率 の求 あ方 につ い て,誤

りを正 せ。

  10円 硬貨 を2回 投 げ て表,裏 を見 る。起 こ り う る こ とが ら は表 表,表 裏,裏 裏 しか な い。 各 場 合 は,同 様 に確 か ら しい か ら表 裏 とな る確 率 は1/3で

〇〇  〇 表表  〔 解〕

●  表裏 

表 裏 の 出 方 の 実 験 を100回

そ の 確 率 が1/2と

あ る。

●● 裏裏 か ら500回

行 っ て み る と,表2.5の

な る こ と が ほ ぼ 確 実 に推 定 さ れ,上

よ う に な り,

の 結 論 と合 わ な い。

表2.5  実 験 結 果

  そ こで 〔 例 題2〕 の よ うに考 え る。 い ま仮 に10円 硬 貨2枚 とす れ ば,各 場 合 は表2.6の

が大 小 で 区 別 で き る

よ うに表 す こ とが で き,各 場 合 が 同様 に確 か ら し く

表2.6 

起 こ る とす れ ば,裏 と表 が 出 る確 率 は

と な っ て 実 験 結 果 と 合 う。 し た が っ て,起

コイ ンの 裏 表

こる

こ と が ら と そ の 確 率 は,

表表 が〓,表

裏 が〓,裏裏

が〓

とす れ ば よ い。   確 率 の 計 算 で は,同

様 に 確 か ら し く起 こ る こ と が ら を 現 実 に 見 合 う よ う に 考 え

る必 要 が あ る 。 〔 例 題3〕 は,過

問7  ゲ ー ム好 き のA君

去 の 数 学 者 が 間違 え た ほど の問 題 で あ った。

は,退 社 時 間 に な る と500円 硬 貨 を投 げて 退 社 後 の3行 動 を 公 平

に しよ うと して い る。   (a) 表 が 出 た ら駅 前 の ゲ ー ム セ ン ター に寄 る。   (b) 裏 が 出 た ら駅 裏 の ゲ ー ム セ ンタ ー に寄 る。   (c) コイ ンが立 った らま っす ぐ家 に帰 る。   彼 の方 法 を公 平 さ と い う点 か ら批 判 し,代 わ りに な る例 を1つ あ げよ。

[3] 

シ ミ ュ レー シ ョン

  2個 の コイ ンを投 げ,表 表,裏 表 か ど うか を見 る シ ミュ レー シ ョ ンを 次 の手 順 で行 お う。 ・0,1の

乱 数 をx=int(rnd(1)*2),y=int(rnd(1)*2)で2個

作 る。

・x=0,1で,1つ

目 の コ イ ン の 表,裏

を表 す。

・y=0

目 の コ イ ン の 表,裏

を 表 す。

,1で,2つ

・x+y=1で

,表

裏 また は裏 表 が 出 る事 象 を表 す。

  この シ ミュ レー シ ョ ンの結 果 は 〔 例 題3〕 と ほ ぼ 同 じ結 果 に な り,そ

の正 しさ

を裏 づ け る。

問8 

プ ロ グ ラ ム2.2の 結 果 を 用 いて,コ

イ ンが2回

と も裏 にな る相 対 頻 度 を 求 め よ 。

図2.7

プ ロ グ ラ ム2.2

計算の結果 0.256 

0.496

1000 

500 

0.258 

0.499

1500 

0.250 

0.493

2000 

0.248 

0.493

2500 

0.252 

0.492

2.3  事 象 と確 率   確 率 は,不 確 か な現 象 につ い て,そ の 中 の あ る こ とが らが起 こ る可 能 性 を 数 値 化 した もの で あ った。 こ こで は起 こ り得 る こ とが らを集 合 の考 え方 で 表 し,確 率 の 問 題 を解 決 しよ う。

[1]  根元事象 と標本空間   い ま,A,B2人

が じ ゃ ん け ん を し た と き に,あ

起 こ り得 る す べ て の 場 合 を 数 え る と,次 は,Aが

ぐー,Bが

い こ にな る確 率 を 求 め て み る。

の よ う に9通

ぱー を 出 し,「 ち ぱ 」 はAが

り に な る。 こ こ に 「ぐ ぱ 」

ち ょ き を,Bが

ぱ 一を 出す こと

を表す。   あ い こ に な る の は 「ぐ ぐ」,「 ち ち 」, 「ぱ ぱ 」 の3通

り に な る か ら,9通

りあ

る 各 場 合 の 起 こ り方 が 同 様 に 確 か ら し い と き,そ

の 確 率 は 次 の よ う に して 求 め ら

れ る。

図2.8 

  じゃん けん で起 こ り得 る こ とが ら は上 の9通

事 象

りあ り,各 場 合 はそ れ 以 上細 か く

で きず,そ れ らの起 こ り方 が み な 同様 に 確 か ら しい と き,そ れ ぞ れ の こ とが らを 根 元 事 象 とい う。 そ して,あ い こに な る事象Aは,根

元 事 象 を 用 い て,次

のよ

うに表 す こ とが で き る。 A={ぐ

ぐ,ち

ち,ぱ

ぱ}

  一 般 に,根 元 事 象 を す べ て集 め た集 合 の こ とを標 本 空 間 とい う。 一 方,根 元 事 象 の どれ か が起 こ る こ とが らは根 元 事 象 す べ て を含 む の で,こ れ を全事象 とい う。 全 事 象 は標 本 空 間 と同 じに な り,任 意 の事 象 は標 本 空 間 の部 分 集 合 に な る。

〔 例1〕

さ い ころ を振 る と きの標 本 空 間 は,次 の6つ の根 元 事 象 か ら な る 集 合 で

あ る。 1の

目,2の

目,…,6の

目

  偶 数 の 目 が 出 る 事 象 は 集 合{2,4,6}で

〔 例2〕

コ イ ン を2回 表 表,表

投 げ る と き の 根 元 事 象 は,次

裏,裏

表,裏

  た だ し,「 表 裏 」 は1回 出 る 事 象 は,集

合{表

図2.9 

表 さ れ る。

で あ る。

裏

目 に 表,2回

裏,裏

の4つ

目 に 裏 が 出 る こ と が ら を 示 す 。 表 が1回

表}で 表 さ れ る 。

偶 数 の 目の事 象

図2.10 

表1回

の事 象

  事 象 を 利 用 し て 確 率 の 問 題 を 解 決 し て み よ う。

〔 例 題4〕

大 小2個

の さ い こ ろ を 振 り,ゾ

賭 率 で 賭 け る と き,ど

ロ 目 に な る か,和

が6に

な るか を 同 じ

ち ら に賭 け るの が有 利 か判 定 せ よ。

〔 解〕

標 本 空 間 は,図2.11の

1・2は

大 小 の さ い こ ろ の 目 が,そ

  ゾ ロ 目 に な る 事 象 は,次

よ う に36個

の 根 元 事 象 で 表 せ る。 こ こ で 例 え ば,

れ ぞ れ1,2で

の よ う に6つ

あ る こ とを 示 す 。

の根 元 事 象 か らな る。

{1・1,2・2,3・3,4・4,5・5,6・6}   ゾ ロ 目 に な る 確 率 は,

  他 方,和

が6に

な る 事 象 は 次 の よ う に5つ

の 根 元 事 象 か らで き て い る 。

{1・5,2・4,3・3,4・3,5・1}

 和 が6に な る確 率 は〓

と な っ て,ゾ

ロ 目 に賭 け る方 が 有 利 で あ る。

図2.11 

  一 般 に,あ 事 象Aが

る事 象Aに

2個 の さ い こ ろ 投 げ の 標 本 空 間

根 元 事 象 がm個

起 こ る確 率P(A)は,次

あ り,全 事 象 に根 元 事 象 がn個

あ れ ば,

の式 で求 め られ る。

(2.2)   さ い こ ろ を 使 っ た 賭 け の 方 法 は 数 多 く あ る が,〔 例 題4〕 の よ う に,確

率でそ の

有 利 性 を 判 断 す る こ と が で き る。 問9 

さ い ころ2個 を投 げ,目 の和 が6ま た は7で あ る場 合 と,目 の 差 が1で

あ る場 合 を

同 じ賭 け率 で賭 け る と き,ど ち らが有 利 か判 定 せ よ 。

[2] 

い ろ い ろ な事 象

  事 象 は集 合 と同 じ扱 い方 を す る こ とに特 徴 が あ る。 事 象 の 考 え 方 で 問題 を解 決 す る こ とを 考 え よ う。 (1)  空 事 象   コ イ ン投 げ で 図2.12の

よ うに側面 で

立 つ こ とが らは,実 際 に は起 こ らな い。 この よ う に,実 際 に は起 こ らな い事 象 の こ とを 空 事 象 と い い,φ

で表 す。 空 事

象 φが 起 こ る確 率 は0で あ る。

図2.12 

(2)  和 事 象 と積 事 象 大 小2個

の さ い こ ろ を 振 る と き,ゾ 1・1,2・2,3・3,4・4,5・5,6・6

ロ 目 に な る事 象 は

空事 象の例

と い う6つ

の 根 元 事 象 の ど れ か1つ

  こ こ で 例 え ば,共 る の で,集

に1の

目 が 出 る根 元 事 象 は1個

合 の 記 号 で{1・1}の

  こ の と き,ゾ

が起 こる ことが らで あ る。 の 要 素 を もつ 集 合 と 考 え られ

よ うに表 す 。

ロ 目 に な る事 象 をAと

す れ ば,Aは

次 の よ う に6つ

の根 元 事 象

の 和 集 合 と して 表 す こ と が で き る 。   A={1・1}∪{2・2}∪{3・3}∪{4・4}∪{5・5}∪{6・6}   た だ し,Aを

次 の よ う に 表 す こ と もあ る。

  A={1・1,2・2,3・3,4・4,5・5,6・6}   こ こ で 和 が8で

あ る 事 象 をBと

す れ ば,ゾ

ロ 目 で 和 が8の

事象 は次の よ うに

表 せ る。

図2.13 

  一 般 に,2つ

ゾ ロ 目の 事 象 と和 が8の

の 事 象A,Bが

Bの 和 事 象 と い い,A∪Bと つBが

あ っ た と き,Aま 表 す 。 ま た,2つ

起 こ る と い う事 象 をA,Bの

図2.14 

和 事 象A∪B

事象

た はBが の 事 象A

起 こ る と い う事 象 をA,

,Bが

積 事 象 と い い,A∩Bと

図2.15 

あ っ た と き,Aか 表す。

積 事 象A∩B

問10  一 組52枚

の トラ ンプ で,ハ ー トで あ る事 象 をA,絵

次 の事 象 をA,Bで

排

す る と き,

表 し,そ の確 率 を求 め よ。

(a) ハ ー トま た は絵 札 (3) 

札 で あ る事 象 をBと

 (b) ハ ー トの絵 札

反

  2個 の さ い こ ろ を 投 げ る 試 行 で,ゾ

ロ 目 の 根 元 事 象A={1・1}とB={2・2}

が 同 時 に 起 こ る こ と は あ り え な い 。 つ ま り,次

の 式 が 成 り立 つ 。

A∩B=φ,P(A∩B)=0

図2.16 

  一 般 に,事

排 反

象A,Bが

あ っ て 積 事 象A∩B=φ

あ る と い う。 ま た,事 の と き,A,B,Cは (4) 

図2.17 

象A,B,Cが

互 い に排 反

の と き,A,Bの

ことを排反 で

あ っ てA∩B=φ,B∩C=φ,C∩A=φ

互 い に 排 反 で あ る と い う。

余事象

  事 象Aが

あ った と き,Aが

事 象 をAの

余 事 象 とい い,Aで

え ば,2個

起 こ らな い 表す。例

の さ い ころ を 振 る と き,半 で

あ る事 象 をAと

す れ ば,Aは

丁 である

事 象 にな る。 図2.18 

  Aと そ の 余 事 象Aは

余 事 象

互 い に排 反 で,和 事 象 は全 事 象 だ か ら,次 の 関 係 が 成 り

立 つ。 A∩A=φ

  (空事 象)

A∪A=U   と こ ろ で,事

象A,Aに

(全事 象) お け る根 元 事 象 の 個 数 を,そ

 (2.4)

れ ぞ れn(A),n(A)と

す れ ば,

だ か ら,次

の 式 が 成 り立 つ 。

(2.5) 〔 例 題5〕a,b,c,d,eと

い う5枚

の 札 をA,Bと

い う2つ

の 箱 に 入 れ る と き,

ど の 箱 も空 に な ら な い 確 率 を 求 め よ 。 〔解 〕A,Bど

ち らか の 箱 が 空 に な る事 象 をEと

箱 に 入 れ る 方 法 は25通

り,A, 

  求 め る確 率 は 式(2.5)を

す る。5枚

Bが 空 に な る場 合 は,そ

の 札 をA,B2つ

れ ぞ れ1通

の

りず つ だ か ら,

用 いて

図2.19 

札を箱に 入れる

問11  1か ら100ま で の 数 が書 いて あ る札 か ら2枚 抜 き取 る と き,そ

の 積 が 偶 数 で あ る確

率 を求 め よ。

[3] 

加 法 定 理

  集 合 の和 の 法 則 を 利 用 して,和 事 象 の確 率 につ い て考 え よ う。 (1)  確 率 の 和 の 法 則   1.2節 の数 え上 げ の 原理 で は,和 の法 則 が 次 の よ う に成 り立 つ。

一 方 ,A,B,A∪B,A∩Bが

起 こ る確 率 は,そ

れ ぞ れ 次 の よ う に 表 さ れ る。

した が って,次

の式 が 成 り立 ち,こ れ を確 率 の加 法 定理 とい う。

(2.6) 〔 例 題6〕

一 組52枚

の ト ラ ン プ か ら1枚 抜 い た と き,そ

れ が ハ ー トか ジ ャ ッ ク

で あ る確 率 を求 め よ。 〔 解 〕1枚

の トラ ン プ が ハ ー トで あ る 事 象 をH,ジ

だ か ら,

ャ ッ ク で あ る事 象 をJと

図2.20 

トラ ン プ の 標 本 空 間

問12  1か ら100ま で の番 号 をつ け た100枚 の カ ー ドか ら1枚 抜 き取 る と き,そ た は6で 割 り切 れ る確 率 を 求 め よ。

す れ ば,

れ が4ま

  特 に,A,Bが

排 反 つ ま りA∩B=φ

の と き,P(A∩B)=0だ

か ら

(2.7) が成 り立 ち,確 率 の加 法性 とい う。 加 法 定理 とそ れ に 関連 す る式を まとめ てお く。   ・加 法 定 理;事

  ・加 法 性;A

象A

,Bが

,Bに

排 反 つ ま りA∩B=φ

  ・余 事 象;事 象AとAに

  式(2.7)を

つ い て,

の と き,

つ いて

利 用 して 確 率 を 求 め て み よ う。

〔 例 題7〕20個

の製 品 の 中 に3個 の 不 良 品 が 入 って い る。 この 中か ら無 作 為 に3

個 の製 品 を取 り出す と き,不 良 品 が1個 以 下 で あ る確 率 を 求 め よ。 〔 解 〕 取 り出 し方 は全 部 で20C3通 りあ る。 ま た,不 良 品 が0個,つ

ま り3個 と も

良 品 の場 合 は17C3通 り あ るか ら,そ れ が 起 こ る確 率 は

  不 良 品 が1個 あ る か ら,そ

の 場 合 は18C2・3C1通

り

れ が 起 こ る確 率 は

図2.21 

不 良 品 の 取 り出 し

 2つ の事 象 は排 反 だ か ら,求 め る確 率 は次 の値 に な る。

問13  赤玉3個,白 確 率 を求 め よ。

玉4個 入 って い る袋 か ら玉 を2個 同 時 に取 り出す と き,同

じ色 で あ る

2.4  条 件 つ き確 率  

くじ引 きで は何 番 目に 引 い て も当 た る確 率 は同 じで あ る とい わ れ る。 ここで は,

確 率 の値 を か け る こ との意 味 を探 り,条 件 つ き確 率 の 考 え 方 を ま と め よ う。 [1]   

確 率 の か け算

いま,A君

とB君 が コ イ ンを使 った ゲ ー ムで, A君 は次 の よ う に 考 え て い る。

  ・コイ ンを投 げ ,表 が 出 た らA君

の勝 ち 

・裏 が 出 た ら再 度 コイ ンを投 げ,表 が 出 た らA君

の 勝 ち,裏

が 出 た らB君 の

勝ち  

こ こで,表 裏 の 出 方 は次 の3通

  (a) 表   →A君

の勝 ち

  (b) 裏 表 →A君

の勝 ち

  (c) 裏 裏 →B君

の勝 ち

  A君 が 勝 つ 場 合 は,B君 が1円

りで あ る。

が 勝 つ 場 合 の2倍 あ る。 そ こ で(a),(b)の 場 合, A君

も らい,(c)の 場 合,B君

がA君

か ら2円 も らえ ば よ い 。 お 人 好 しのB君

は これ に賛成 し,こ のゲ ー ムを 行 った。 表2.7  ゲ ー ム の得 点1

  100回 繰 り返 し た と き,B君 でB君

は,B君

は 表2.7の

が 勝 つ(c)の 場 合 は,1回

目 に 裏 が 出 る 確 率 は1/2だ

か ら,こ

よ う に負 けが 重 な って し ま った 。 そ こ 目 に 裏 が 出 る 確 率 は1/2,さ

れをかけて

ら に2回

 これ に 対 して,A君

が勝 つ確 率 は余 事 象 の確 率 で次 の よ うに求 め た 。

  さ ら に 調 べ て 図2.22の

樹 形 図 を作 っ

た。 図2.22 

  新 た な ゲ ー ム で は,(a)で 点,B君

が-2点,(c)で

はA君 はA君

が+1点,B君

ゲ ー ム の モ デ ル

が-1点,(b)で

が-4点,B君

が+4点

はA君

が+2

と した。

表2.8  ゲ ーム の 得 点2

  100回

コ イ ン投 げ を 行 っ た 結 果,B君

公 平 で な い こ と の 判 断 は,第6章

[2] 

は 負 け て い る が ほ ぼ 公 平 に な っ た 。 な お,

の 検 定 で 行 う こ と が で き る。

条 件 つ き確 率

  上 の コイ ン投 げ の ゲ ー ム の問 題 で確 率 の積 の意 味 を考 えて み よ う。   ・1回

目の コ イ ン投 げ で裏 が 出 る事 象 をE,表

が 出 る事 象 をE

  ・2回

目の コイ ン投 げ で裏 が 出 る事 象 をF,表

が 出 る事 象 をF

とす る と き,標 本 空 間 が 次 の よ う にで き る。

図2.23 

コ イ ン投 げ の標 本 空 間

図2.24 

部 分 的 な 標 本 空間

 こ こで,B君

が勝 つ の は2回 と も裏 が 出 る事 象 だ か らE∩Fと

表 せ て,

(2.8) と計 算 され る。   式(2.8)で,前

の 方 の 確 率1/2は,図2.24で

  式(2.8)で,後

ろ の 確 率1/2はEと

事 象Eの

確 率 に な る。

い う条 件 が 成 り立 つ と き に 事 象Fが

成 り立 つ 確 率 にな って い る。 この 確 率 の こ とを条 件 つ き確 率 とい い,次 の式 で表 す。

  式(2.8)は

次 の 式 に な り,こ

の 式 を 確 率 の 乗 法 定 理 と い う。

(2.9)   こ う して 確 率 の か け 算 の 意 味 が 説 明 さ れ る。   次 に,乗

法 定 理 を 用 い て く じ引 き の 問 題 を 解 い て み よ う。

〔 例 題8〕10本

の う ち1本

が 当 た り で あ る く じを,A,Bの

こ の と き,Aが

当 た り く じ を 引 く確 率,お

よ びBが

順 に1本

ず つ 引 く。

当 た り く じを 引 く確 率 を求

め よ。 〔 解 〕Aが

当 た り く じ を 引 く確 率 は1/10,Bが

は ず れ,か

つBが

当 た る確 率 だ か ら,乗

当 た り く じ を 引 く確 率 は,Aが

法 定 理 の 式(2.9)か

ら,

こ こ に, 図2.25 

く じ引 き の 樹 形 図

は,Aが

は ず れ く じを 引 く確 率,

は,Aが

は ず れ の と き にBが

当 た る 条 件 つ き 確 率 で あ る 。 こ う し て,く

じ引 き

で 当 た る確 率 は順 番 に よ らな い こ とが 乗 法 定 理 で 示 され た 。

問14  10本 の うち3本 が 当 た りで あ る く じを,A,Bの が 当 た り く じを 引 く確 率,お

[3] 

よびBが

事 象 の 独 立

  条 件 つ き 確 率 を い くつ か の 具 体 例 で 調 べ,そ (1) 

順 に1本 ず つ 引 く。 こ の と き,A

当 た り く じを 引 く確 率 を求 め よ。

の 事 象 の 特 性 に つ い て 考 え よ う。

条 件 つ き確 率 の 事 象

〔 例 題9〕52枚1組

の ト ラ ン プ か らA君

しよ う 。 次 の 状 態 でA君

が1枚

抜 き 出 し,B君

が言 い当 て ると

が ハ ー トの ク イ ー ン で あ る と い っ た と き,当

た る確 率

を 求 め よ。   (a)  で た らめ に い っ た と き   (b)  B君 が 赤 い ハ ー トの 印 を 見 て し ま っ た と き 〔 解 〕(a)は

全 体 で52通

り あ り,ハ

ー トの ク イ ー ン の 場 合 は1通

り だ か ら,求

め

る確 率 は〓 (b)は 全 体 で ハ ー トの13通

り あ り,そ

の 中 で ク イ ー ン の 場 合 は1通

り だ か ら,

そ の確 率 は〓   〔 例 題9〕 の よ う に 条 件 つ き 確 率PA(B)は,も

と の 確 率P(B)よ

り も大 き くな

る。

問15  トラ ンプ の絵 札12枚

か ら元 に戻 さず に1枚 ず つ 引 き,1枚

2枚 目 も ダ イ ヤ で あ る確 率 を求 め よ。

目が ダ イヤ で あ ったと き,

(2) 

事 象 の 独 立,従

  あ る 事 象A,Bが

属 あ っ た と き,次

の2つ

  ・Aが 起 こ っ た と い う条 件 の も と でBが

の 条 件 つ き 確 率 を 考 え る。 起 こ る 条 件 つ き確 率;PA(B)

  ・Aが 起 ら な か っ た と い う 条 件 の も と でBが   こ の2つ

の 確 率 が 一 致 す る と き,事

象A,Bは

起 こ る 条 件 つ き確 率;PA(B) 独 立 で あ る と い い,そ

うで な い

と き 従 属 で あ る と い う。   A,Bが

独 立;PA(B)=PA(B)

  A,Bが

従 属;PA(B)≠PA(B)

〔 例 題10〕

さ い こ ろ を1個

あ る 事 象 をBと 〔 解〕

図2.26か

振 る と き,出

す る 。 こ の と き,A,Bは

る 目 が2以

下 で あ る 事 象 をA,偶

独 立 か従 属 か を調 べ よ。

ら,

図2.26 

  よ っ て,A,Bは   〔 例 題10〕

数 で

さ い こ ろの 事 象

独 立 で あ る。

で は,出

る 目 が1,2か

否 か は,偶

数 が 出 る確 率 に影 響 し な い 。 こ

れ が 独 立 の 具 体 的 な 意 味 で あ る。 一 方,〔 例 題10〕 で は,次

の 式 が 成 り立 つ 。

  PA(B)=PA(B)=P(B)   P(A)・P(B)=P(A∩B)   式(2.10)は,独

 (2.10)

立 か 従 属 か の 判 定 に よ く用 い ら れ る 。

問16  さ い ころ を1個 振 る と き,出 る 目 が3以 下 で あ る事 象 をA,偶 す る。 こ の と き,A,Bは

独 立 か 従 属 か を調 べ よ。

数 で あ る事 象 をBと

[4] 

コ ン ピュー タ の利 用

  本 節 の[1]で

取 り上 げ たA,B両

君 の ゲ ー ムを シ ミュ レー シ ョ ンす る こ と を

考 え,答 え が 正 しい こ とを確 認 して み よ う。   ・コ イ ンを投 げ,表 が 出 た らA君

の勝 ち とす る。

  ・裏 が 出 た ら再 度 コイ ンを投 げ,表 が 出 た らA君

の 勝 ち,裏

が 出 た らB君

の

勝 ち とす る。 プ ロ グ ラ ム2.3

計算 の 結 果(初 期 値46の 1 

2 

0 

1 ‐1 

場 合) 0 ‐2 ‐1 

‐ 4 ‐3 ‐2 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 

0 ‐2

0 

1 ‐1

0 

1 

2 

3 

1 

2 

3 

4 

5 

7 

8 

6 

7 

8 

9 

7 

8 

9 

8 

9 

10 

11 

12 

6 7

13 14 

15 16 

19 

20 

18 

19 

17 

18 

16 

17 

18

19 

20 

21 

19 

20 

21 

22 

20 

21 

22

23 

21 

19 

20 

21 

22 

23 

24 

25 

26

27 

25 

26 

27 

28 

26 

27 

25 

26 

27

28 

29 

30 

31 

29 

30 

31 

29 

30 

31

図2.27

こ こで,表 裏 の出 方 と乱 数,得 点 を 次 の よ う にす る。 (a) 表;x≧0.5→A君

の 勝 ち で,A君

(b) 裏 表;x＜0.5,y≧0.5→A君

17

18 

が+1点,B君

が-1点

の 勝 ち で,A君

が+1点,B君

が-1点

  (c) 裏 裏;x＜0.5,y＜0.5→B君

の 勝 ち で,A君

  プ ロ グ ラ ム で は 乱 数x,yを こ と を,y＜0.5の

と き2回

y＜0.5の

と きA君

の 得 点pの

ム を100回

行 う。 各 回 で,B君

作 り,x＜0.5の

期 値30の

と き1回

が+2点

目 の コ イ ンが 裏 で あ る

目 の コ イ ン が 裏 で あ る こ と を 表 す 。x＜0.5か 値 を2減

ら し,そ

の 得 点 は-pに

  実 行 結 果 は 初 期 値 に よ っ て 異 な り,ふ 例 え ば,初

が-2点,B君

よ う にB君

つ うB君

つ

れ 以 外 の と き1増 や す 。 こ の ゲ ー な る。 に と っ て 不 利 な 結 果 に な る が,

が 終 始 勝 ち 続 け る場 合 も あ る。

問17  プ ログ ラム2.3を 修 正 し,表2.8の

よ う に公 平 な 結 果 を作 り出 せ。

練習問題 1.  大 中 小 の さ い こ ろ3個 を 同 時 に 振 る と き,和 が7に な る場 合 と8に な る 場 合 は ど ち ら が 起 こ りや す いか 。 確 率 を 求 め て判 断 せ よ。 2.  2個 の さ い こ ろ を振 り,出 た 目の大 きい 方 が1,2,3,4,5,6で プ ロ グ ラ ム2.1を 修 正 し,1000回

あ る確 率 を そ れ ぞ れ 求 め,

繰 り返 して そ れ が 正 しい こ とを確 認 せ よ。

3.  プ ロ グ ラ ム2.1を 修 正 して コイ ン3個 を投 げ る シ ミュ レー シ ョ ン プ ロ グ ラム を作 り, 1000回 の試 行 で 表 の個 数 が0,1,2,3の 4.  1円,5円,10円 そ の 確 率Pを

相 対 頻 度 を そ れ ぞ れ 求 め よ。

玉 を 投 げ 表 裏 を見 る試 行 で,根 元事 象 の個 数 と,表 が2枚

出 る事 象,

求 め よ。

5.  〔 例 題7〕 の不 良 品 の各 個 数 の 確 率 と,プ ロ グ ラ ム2.1を 利用 した 相対 頻 度 を求 め よ。

第3章  確率分布   不確 か な 現 象 が あ る と き,起 こ り得 る こ とが ら(事象)と そ れ が起 こる可 能 性(確 率)で 確 率 の 基 本 的 な 概 念 が で き上 が って い る。 こ こで はい ろ い ろ な確 率 と,そ の 特 性 に つ い て さ らに探 求 す る。

3.1  独 立 試 行   東 京 とパ リの 天 気,さ

い ころ投 げ と ル ー レ ッ トな ど,2つ

の不 確 か な 現 象 が 無

関 係 で 起 こ る こ とが あ る。 こ う した実 験 や 観 察 で起 こ る確 率 の特 性 につ い て考 え よ う。 [1] 

独 立 試 行 の性 質

  さ い こ ろ は,出 た 目 を記 憶 して い るわ けで はな い か ら,各 回 に振 って 出 る目 は 互 い に無 関 係 で,極 端 な場 合 に は続 けて10回

も1の 目が 出 る こ と も起 こ る。 コ

イ ン投 げや 画 鋲 投 げ で も同様 の こと が い え る。

図3.1 

画鋲 投げ

  1回 目 の 画 鋲 投 げ と2回

目 の 画 鋲 投 げ が 無 関 係 で あ る こ と を 数 式 で 考 え て み る。

  1個 の 画 鋲 投 げ を 多 数 回 行 っ た と き,   P(1個

の 針 が 上 を 向 く確 率)=0.6745

  2個 の 画 鋲 投 げ の 試 行 で は,   P(2個

と も針 が 上 を 向 く確 率)=0.455

に な っ た 。 こ れ は, P(上

を 向 く)×P(上

を 向 く)=P(2個

と も 上 を 向 く) 

(3.1)

を示 して い る。   さ い こ ろ 投 げ で も,次 P(1回

目 に1の

=P(1回

の 式 が 成 り立 つ 。 目 が 出 る確 率)×P(2回

目 に1が

,2回

目 に 偶 数 の 出 る 確 率)

目 に 偶 数 が 出 る 確 率) 

  同 じ状 態 の もと で何 回 も繰 り返 す こ とが で き,起

(3.2)

こ った結 果 が偶 然 に支 配 さ れ

る実 験 や 観 察 の こ とを試 行 と い う。 試 行 を 何 回 も繰 り返 して行 い,こ の一 連 の試 行 を こみ に して1つ

の試 行 と考 え た と き,そ れ を反 復 試 行 とい う。

図3.2 

独 立試 行

  あ る試 行 で の 起 こ りや す さ と,他 の試 行 で の 起 こ りや す さの 間 に関 係 が な い と き2つ の実 験 試 行 を 独 立 試 行 とい う。 あ る試 行 が あ っ た と き,そ れ が独 立 試 行 か

ど う か は,式(3.1),式(3.2)と

同 様 の 式 で,次

の よ う に 判 断 す る。

P(A)P(B)=P(A∩B)    こ こ に,あ

(3.3)

る 試 行Sで

の 事 象 をA,他

を こ み に した と き,AとBが

の 試 行Tで

の 事 象 をBと

と も に 成 り立 つ 事 象 をA∩Bと

問1  あ る ○ × 式 の テ ス ト問 題 が2問 に ○ × を選 ん で 答 え た。A君

あ っ た。A君

し,試

行S,T

して い る。

は全 くわ か ら なか っ た ので,で

た らめ

の答 え が2問 と も合 って い る確 率 を 求 め よ。

[2]  独 立 試 行 の 定理   コイ ン投 げ の独 立 試 行 で は,10回

の試 行 で10回 と も表 に な る場 合 もあ り得 る。

こ こで は,あ る事 象 が反 復 試 行 で何 回 起 こるか に着 目 した計 算 を考 え よ う。 〔 例 題1〕

コ イ ン投 げ を10回 行 い,10回

〔 解 〕 各 回 で 表 が 出 る確 率 は1/2だ

  〔 例 題1〕 で は,コ

と も表 が 出 る確 率 を求 め よ。

か ら,10回

イ ン 投 げ で 表 が10回

連 続 し て 現 れ る こ と が1,000回

程 度 は あ る こ と を 示 して い る 。 一 般 に,1回 と き,n回

の 試 行 でn回Aが

と も表 が 出 る確 率 は

の 試 行 で 事 象Aが

続 け て 起 こ る 確 率 はpnに

に1回

起 こ る 確 率 がpの

な る。 こ れ を勝 ち続 け の

確 率 と い う。 問2  次 の 各 反 復 試 行 で 勝 ち続 け の確 率 を求 め よ。   (a) A,Bが

じ ゃん けん をす る と き, Aが 続 けて10回

勝つ確率

  (b) あ る家 族 で 男 児 が 続 け て10人 生 ま れ る確 率,た だ し男 児 が 生 ま れ る 確 率 は0.51と す る。

〔 例 題2〕A,Bが 〔 解〕

じ ゃ ん け ん を4回

じ ゃ ん け ん を1回

す る と き,Aが3回

す る と き,Aが

  Aが4回

と も 勝 つ 確 率 は,勝

  Aが3回

勝 つ 場 合 は,表3.1の

以 上 勝 つ 確 率 を 求め よ 。

勝 つ 確 率 は1/3で

あ る。

ち 続 け の 確 率 だ か ら(1/3)4 よ う に4C3=4通

  そ れ ぞ れ が 起 こ る 場 合 の 確 率 は(1/3)3(2/3)だ

り あ り, か ら,求

め る確 率 は

で あ る 。 な お,表3.1で

「-」 はBが

勝 つ か,あ

表3.1  Aが3回

  一 般 に,A,Bが をn回

ゲ ー ム を 行 い,各

行 っ た と き,Aがr回

い こ の 場 合 で あ る。

勝 つ場 合

回 でAが

勝 つ 確 率 をpと

勝 つ 確 率 は 次 の 式 で 示 さ れ,こ

す る。 こ の ゲ ー ム れ を独 立試 行 の 定 理

と い う。

(3.4)   特 に,Aがn回

と も 全 部 勝 つ 確 率 は,式(3.4)でr=n,nCn=1,(1-p)0=1

だ か ら,

(3.5) に な る。 こ れ は勝 ち 続 け の 確 率 と 同 じで あ る。   独 立 試 行 の 定 理 を 利 用 して 一 致 の 確 率 を 考 え て み よ う。 問3 

あ る学 校 の生 徒500人

と して,次

の 中 に1月1日

の場 合 の 確 率 を 小 数 点 以下 第3位

生 まれ の 人 が い るで あ ろ う か 。1年 を365日 ま で求 め よ。

  (a) 少 な くと も1人 い る確 率   (b) ち ょ う ど2人 い る確 率

[3] 

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン

  独 立 試 行 の 定 理 は,コ

イ ン投 げ や ル ー レ ッ トな ど の ゲ ー ム に 利 用 して,そ

敗 を 予 測 す る こ と が で き る。 次 の 例 題 と 問 は,確

〔 例 題3〕

さ い こ ろ を4個

1の 目 が 出 た と きB君

振 り,1の

の勝

率 が 始 ま る原 因 に な っ た 。

目 が 全 く出 な い と きA君

の 勝 ち と す る 。 こ の ゲ ー ム はA君,B君

の 勝 ち,1回

で も

の ど ち らに と っ

て有利か。 〔 解 〕A君

の 場 合,(5/6)4≒0.482

  B君 の 場 合,1-(5/6)4≒0.518   だ か らB君

の 方 が 有 利 で あ る。

問4  2個 の さい ころ を 振 り,6と6の 1回 以 上 出 る方 に,B君

ゾ ロ 目を 見 る こ とを24回 繰 り返 す。A君

は全 く出 な い 方 に賭 け た。A君,B君

の ど ち らが有 利 か。

  〔 例 題3〕 の 問 題 を 実 際 に コ ン ピ ュ ー タ で シ ミュ レ ー シ ョ ン し,そ しよ う。 プ ロ グ ラ ム3.1で

は,0か

ら5ま

の結果を確認

で の 整 数 を で た ら め に 出 す 乱 数 を4個

プ ロ グ ラ ム3.1

図3.3

はそれ が

計算 の 結 果(初 期値4712の .471 

.479 

.489 

場 合) .483 

作 り,0を

さ い こ ろ の1の

数Pに1を

加 え る 。Pの

.486 

.483 

目 と 考 え る 。0が1回 相 対 頻 度 が0.5を

  10回 の 実 行 結 果 平 均 は,A君

が 有 利 で あ る。 あ る こ と を 表 示 して い る。

数 が5000の

の反復 試 数が少 な い

よ う に多 い と き

落 ち つ い て い く こと が わ か る。 5000回

プ ロ グ ラム3.1を 利 用 し,1000回

3.2 

の 勝 ち と し,変

値 を 修 正 し て5000回

が 勝 つ チ ャ ン ス が あ る が,回

表3.2 

問5 

.493

も な け れ ばA君

越 え た と きA君

目 のnの

.517 

〔 例 題3〕 で は 確 率 の 差 が ほ ん の わ ず か だ か ら,回

と き勝 敗 が 逆 転 しA君 結 局,0.48に

.48 

の 勝 っ た 割 合 が0.4892で

  ば ら つ き の よ う す を み る た め に,2行 行 に す る(表3.2)。

.511 

の シ ミュ レー シ ョ ンの例

の試 行 でA君

の勝 つ割 合 を10個

書 け。

2項 分 布

  コ イ ン投 げで は,1回

の試 行 で 表 が 起 こ る確 率 が1/2で

あ っ て も,10回

とも

表 が 出 る確 率 は小 さ い。 こ こで は事 象 の数 値 化 とそ の確 率 の 関係 を 考 え る こ とに しよ う。

[1] 

確 率 分 布

  不 確 か な現 象 で 起 こ る,す べ て の場 合 を知 りた い と きが あ る。 この と き事 象 を 数 値 化 し,各 場 合 の確 率 を求 め て問 題 を解 決 す る。 〔 例 題4〕

あ る サ ー クル に は男子8人,女

選 ぶ の に,で

子7人 が い る。 こ こか ら4人 の 代 表 を

き るだ け 自然 に任 せ た いが,男 子 だ け あ る い は,女 子 だ け で は 困 る

と皆 考 え て い る。 無 作 為 に代 表 を選 ん で よ いか,確 率 で 判 断 せ よ。

図3.4 

〔 解〕

選 ん だ4人

男 女4人

の 選 び方

の 中 の 男 子 の 人 数 をXと

し,X=0,1,2,3,4の

め る。 こ こ で 例 え ば,女 子 だ け の 場 合 はX=0に

な る の で,そ

場 合 の確 率 を 求 の 確 率 をP(X=0)

と表 す 。

表3.3  男 子 の 人 数 と確 率 の分 布

  表3.3か

ら,男

子 だ け の 場 合 が 約20回

回 しか 起 こ ら な い の で,自   表3.3で

は,変

数Xに

の よ う に,X=kと

子 だ け の 場 合 が 約40回

に1

然 に任 せ て お い て もよ か ろ うと判 断 で き る。 は 男 子 の 人 数 が,確

確 率 を 示 して あ る 。 ま た,変 確 率 変 数 の 各 値X=kに

に1回,女

数Xを

率 に はX=0,1,2,3,4の

確 率 変 数 と い い,XやYな

対 す る 確 率 をP(X=k)の そ の 確 率P(X=k)を

率 分 布 と い う。 確 率 分 布 は,表3.3の

ど の 文 字 で 表 し,

よ う に 表 す 。 そ し て,表3.3

対 応 さ せ た も の を,確 よ う な 表 の 他 に 式(3.6)や

式 や グ ラ フで 表 す こ と もで き る 。 な お,こ

各 場 合 の

率 変 数Xの 図3.5の

確

よ う に,

の 確 率 分 布 を 超 幾 何 分 布 と い う。

(3.6)

図3.5 

  確 率 分 布 を 作 れ ば,確 る 。 な お,nCrの

確 率 分布 の グ ラ フ

率 変 数 の範 囲 と各 確 率 変 数 の起 こ りや す さが す べ て わ か

計 算 が 大 変 な と き に は,プ

問6  男10人,女10人

ロ グ ラ ム1 .2を 利 用 す る と よ い 。

の グル ー プか ら4人 の代 表 を選 ぶ こ とに な った。 で た ら め に 選 ん

だ と きの男 女 の バ ラ ン スに つ い て調 べ よ。

[2] 

2項

分 布

  1回 の コ イ ン投 げ で 表 の 出 る 確 率 は1/2で る と き,表

の 出 る 可 能 性 は3回

あ る。 い ま6回

だ け で な く,0回

か ら6回

の コ イ ン投 げ を 考 え

まで あ り得 る。 この と

き 各 回 数 の 起 こ りや す さ は ど う な る の で あ ろ う か 。 こ う し た 視 点 か ら確 率 分 布 を 考 え よ う。

〔 例 題5〕

コ イ ン を6回

投 げ た と き,表

の出 る回 数 の 値 の 範 囲 と各 回 の確 率 を 求

め よ。 〔 解〕

表 の 出 る 回 数 をXと

れ の 回 数 の 確 率 は,独 3.4に

す る とXは0,1,2,3,4,5,6の

立 試 行 の 定 理 の 式(3.4)か

値 を 取 り得 る。 そ れ ぞ ら式(3.7)が

導 か れ,結

果 は表

な る。

(3.7)

表3.4  表の 出る回数 と確率

  コイ ン投 げを6回 行 う場 合 は,表 が3回,裏 く,そ の確 率 は全 体 の約63%に にX=3を

も3回 出 る場 合 が 最 も起 こ りや す

もな る。 しか も確 率 分 布 の 形 は,図3.6の

よう

中 央 に して左 右 対 称 の形 に な る。

  次 に,1回

で起 こる確 率 が1/2以

外 の値 にな る現 象 に つ い て確 率 分 布 を調 べ て

み よ う。 〔例 題6〕A君

とB君 が6回

じゃん け ん を す る と き,A君

が勝 つ 回数 で可 能 性 が

最 も高 い の は何 回 か 。確 率分 布 を作 って調 べ よ。 〔 解 〕1回 にA君

の じ ゃん け んでA君

が 勝 つ 確 率 は1/3で,6回

じ ゃん けん を す る と き

が勝 つ 回数 は0回 か ら6回 ま で あ る。 こ こでA君

て 確 率 分 布 を 求 め る。独 立試 行 の定 理 の式(3.4)か

が勝 つ 回 数 をXと

ら,X=0,1,2,…,6の

おい 各確

率 は,次 の よ う にな る。

(3.8)   表3.5か

ら,A君

が 勝 つ 可 能 性 が 最 も高 い の は2回

の と きで あ る。

表3.5  表の出 る回数 と確率

  表3.4と

表3.5を

折 れ 線 グ ラ フ に す る と 図3.6の

異 な る こ と が わ か る 。 こ れ は1回 い(山

の 頂 上)の

で 起 こ る 確 率pの

の高さ と幅が

値 に 依 存 し,最

も起 こ り や す

回 数 の 計 算 は,

〔例 題5〕 で は6×(1/2)=3,  と な る こ と が 推 定 さ れ る 。 証 明 は 式(3.12)を る。

よ う に な り,山

〔 例 題6〕 で は6×(1/3)=2 用 い て で き る が,こ

こで は 省 略 す

図3.6 

コ イ ン投 げ とじ ゃ ん け ん の 確 率

 確 率 分 布 の 中で も,独 立 試 行 の定 理 を適 用 で き,X=kと

な る確 率 が,

(3.9) と な る確 率 分 布 の こ と を2項

分 布 と い い,B(n,p)と

表す。

〔 例1〕

式(3.7)はn=6,〓

でB(6,1/2)と

表 せ る。

〔 例2〕

式(3.8)はn=6,〓

でB(6,1/3)と

表 せ る。

  2項 分 布 は コ イ ン投 げ や ゲ ー ム,ミ られ る 。2項 分 布 は 問7の

ス の 回 数 な ど 日 常 的 な 現 象 の 中 に 数 多 く見

よ う に 訪 問 件 数 の 決 定 に も利 用 さ れ,ミ

ス の 回 数,信

号 待 ち の 回 数 な ど に も適 用 さ れ る 。

問7 

あ る保 険 の 訪 問 販売 で は10件

に1件

しか 勧 誘 に成 功 しな い と い う。1日 に15件

訪 問 販 売 を義 務 とす る人 が い る と して,彼 が1日 に 勧 誘 に成 功 す る件 数 と,そ うす を調 べ よ。 た だ し,確 率 が0.05未

問8  A君

は20ペ

の確 率 の よ

満 の と き は可 能 性0と み な す。

ー ジ の書 類 に1個 の割 合 で転 記 ミスを す る と い う。A君

が10ペ

ー ジの

書 類 を転 記 した と き,転 記 ミス の よ うす を問7と 同 様 に して 調 べ よ。

[3] 

プ ロ グ ラム

  2項 分 布B(n,p)の

各X=kに

の

お け る確 率 の 値 を 求 め,疑 似 乱 数 でB(n,p)

の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 う プ ロ グ ラ ム を 作 っ て み よ う。 プ ロ グ ラ ム3 .2で は,じ ん け ん の 回 数n,お れ ば,n回

でA君

よ び1回 が0回

の じ ゃ ん け ん でA君

勝 つ 確 率 か らn回

数 を 使 っ て シ ミュ レ ー シ ョ ンを 行 い,相

図3.7

プ ロ グ ラ ム3.2

が 勝 つ 確 率p=1/3を

入力 す

勝 つ 確 率 ま で が 求 め ら れ る。 ま た,乱

対 頻 度 を 計 算 す る。

ゃ

計算の結果 0 

問9 

1 

2 

3 

4 

5 

6

0.088 

0.263 

0.329 

0.219 

0.082 

0.016 

0.001

0.089 

0.287 

0.322 

0.211 

0.069 

0.022 

0.000

プ ロ グ ラ ム3.2を 用 い て6回 の じ ゃん けん の 確 率 分 布 を 作 れ。

  プ ロ グ ラ ム3.2で,例 る と,次

え ばn=10で

同 じ値 に 保 ち,pを0.1か

の よ う に 山 が 左 か ら右 に 移 動 す る 。

図3.8 

2項 分 布B(10,p)

ら0.9ま

で変 え

3.3  平 均 値 と 分 散   確 率 分 布 の よ うす を示 す代 表 的 な数 値 に平 均 値 と分 散 が あ る。 この値 の求 め 方 と特 性 につ い て調 べ よ う。

[1] 

平 均 値

  あ る 町 内 で1000円 1000本

で,各

ご と に 宝 く じを1枚

等 の 賞 金 と 本 数 は 表3.6の

は テ ィ ッ シ ュ で,こ

れ を10円

も らえ る とい う。 この 宝 く じは 全 部 で よ う に な っ て い る と い う。 た だ し,5等

に 換 算 した と しよ う 。 表3.6  宝 く じの本 数 と賞 金

い まA君

が そ の 宝 く じを1回

引 い た と す る。

表3.7  宝 く じの本 数 と賞 金

  こ の と き,A君 A君  

が 各 賞 金 を 手 に す る 確 率 は 表3.7の

が 期 待 して よ い 金 額 は,次

よ う に な り,こ

の宝 く じに

の よ う にな る。

50000×0.002+5000×0.018+1000×0.04+200×0.14+10×0.8 =266〔

こ の 値 を,表3.7の

円〕

確 率 分 布 の期 待 値 また は平 均 値 と い う。 表3.8  確率分布

  確 率 変 数Xがx1,x2,…,xnの 確 率 分 布 が 表3.8の

値 を と り,各X=xkに

お け る 確 率 がpkで

あ る

よ う に な って い る と し よ う。 こ の 確 率 分 布 の 平 均 値 は,次

の式

で 表 さ れ る。 こ の 値 は確 率 変 数Xの

期 待 値 で も あ る の で,こ

れ をE(X）

と表す。 (3.10)

問10  表3.3を

用 いて,〔 例 題4〕 の 確 率分 布 の 平均 値 を 求 め よ。

問11  フ ラ ン ス と イ タ リア に挟 ま れ た 小 国 モ ン テ カル ロ は,と ば くで有 名 で あ る。

  モ ン テ カ ル ロ の ル ー レ ッ ト は,1つ に37個

の 溝 が あ り,そ

れ に0か

の 円盤

ら36ま

での

数 が 記 さ れ て い る 。 こ の 円 盤 が 回 転 し,ボ ル が 溝 の1つ ル 賭 け,そ

ー

に 入 る 。 あ る 人 が あ る 溝 に1ド の 溝 に ボ ー ル が 入 る と36ド

け 取 り35ド

ル 儲 け,そ

れ 以 外 な ら1ド

ル受 ル損

を す る。 彼 の儲 け の平 均 値 を求 め よ。 図3.9 

[2] 

2項

ル ー レ ッ ト

分 布 の 平均 値

  2項 分 布 の平 均 値 は,期 待 され る値 や 可 能 性 が 最 も高 い回 数 を求 め る と き に使 わ れ る。 こ こで は2項 分 布 の平 均 値 を計 算 し,そ れ が正 しい こと を確 認 す る。 〔 例 題7〕A,B両

君 が じ ゃん けん を2回 す る と き,A君

に な るか 。 〔 解 〕 期 待 で き る回 数Xの

分 布 は表3.9の

よ うに な る。

表3.9  2回 の じ ゃん けん の確 率 分 布

この じゃん け ん で,A君

が勝 つ 回 数 の平 均 値E(X)は

が勝つ 回数 は平均 何 回

と な り,じ

ゃ ん け ん でA君

が 勝 つ 回 数 は平 均0 .667回

で1回

に満 た な い こ とに な

る。 〔 例 題7〕 の 平 均 値 は,2項

分 布B(2,1/3)の

今 度 はB(2,p),B(3,p)の

〔 例 題8〕2項 〔 解 〕2項

平 均 値 を 考 え,B(n,p)の

分 布B(2,p),お

よ びB(3,p)の

分 布B(2,p)は,1回

表3.10 

B(2,p)の

表3.11の B(2,p)の

な った。

平 均 値 を 求 め て み よ う。

平 均 値 を 求 め よ。

の 試 行 で 起 こ る 確 率 がpで

回 繰 り返 して で き る か ら,そ 布B(3,p)は

平 均 値 でE(X)=2/3に

の 分 布 は 表3.10の

あ る と き に 試 行 を2

よ うに な る。 同 様 に して確 率 分

よ う に な る。 確 率 分 布

表3.11 

B(3,p)の

確 率分 布

平 均 値 は,

(3.11) と な る 。 同 様 に し てB(3,p)の

平 均 値 は,次

の よ うに な る。

問12  〔 例 題5〕,〔 例 題6〕 の確 率 分 布 の平 均 値 を そ れ ぞ れ表3 .4,表3.5か も とにB(n,p)の

ら求 め,そ れ を

平 均 値 を推 定 せ よ。

[3]  平 均 値 の確 認   こ れ ま で の 計 算 か ら,2項

分 布B(n,p)の

平 均 値 はnpに

な る ら しい 。 こ れ が

正 し い こ と を 確 認 し て み よ う。   1.1節

の 組 合 せ,お

よ び1.3節

の2項

定 理 か ら,次

の こ とが わ か って い る。

(3.12)

(3.13)   2項 分 布B(n,p)は,1回 と す る 。 こ の 試 行 をn回

の 試 行 で あ る こ と が らAが 繰 り返 す と き,こ

起 こ る 確 率 がpで

と が らAがk回

あ る

起 こ る確 率 が 次 の 式

で 表 され て い る。

 したが っ て,こ の確 率 分 布 の平 均 値 は次 の式 に な る。

(3.14)   式(3.12)を

代 入 す る と,npが

共 通 因 数 と な るか ら,こ

れ で く く る と式(3.13)

が 利 用 で き る。

(3.15)   式(3.15)を

〔例 題9〕

使 え ば,今

ま で の 計 算 量 が 次 の よ う に 軽 減 さ れ る。

次 の 確 率 分 布 の 平 均 値 が 等 し くな る こ と を 示 せ 。

 (a)   コ イ ン 投 げ を6回   (b) A,B2人

行 い,表

の 出 る回 数 を確 率 変 数 と して数 え る と き

が じ ゃ ん け ん を9回

行 い,Aが

勝 つ 回 数 を 確 率 変 数 と して 数 え

るとき 〔解 〕(a) 

6×(1/2)=3〔

回〕  

(b) 9×(1/3)=3〔

回〕

[4] 

分

散

  確 率 分 布 の よ う す は 平 均 値 だ け で は わ か ら な い 。 例 え ば,〔 例 題9〕 で は2つ 平 均 値 は 一 致 す る が,確

率 分 布 の よ う す は 表3.12お

て い る 。 こ の 違 い は,(b)の

よ び 図3.10の

の

よ う に異 な っ

方 の ば らつ き が 大 き い こ と に よ る。 表3.12  2つ の 確 率 分 布

  この よ うに,確 率 分 布 の よ うす を知 る に は,ば

らつ きの 度 合 い も必 要 に な る。

ば らつ き の度 合 い を数 値 化 す る と き の ア イ デ ア に は,次 の よ うな 平 均 偏 差,分 散 の求 め方 が あ る。 そ の考 え方 を示 そ う。

図3.10 

2つ の確 率 分 布

(1)  平 均 偏差  平 均 か らの 差 の 平 均 値 を とれ ば,〔 例1〕 の場 合 は,平 均 値 を3と

して 次 の式 に

な る。

この方 法 の こ とを平 均 偏 差 とい う。 しか し,実 際 に は次 の 式 の 方 を用 い る。

(2) 

散

分

 平 均 か らの差 の 平 方 の 平 均 値 を とれ ば,〔 例1〕 の場 合 は,次 の式 に な る。

(3.16)   こ の式 で求 め た 値 を 分 散 と いい,V(X)で い,σ(X)で

表 す 。 ま た√V(X)を

標 準 偏 差 とい

表す。確率分布

の平 均 値 をE(X)=mと

す る と き,分 散 は次 の 式 で 表 され る。 (3.17)

  な お,度

数 分 布 表 や シ ミ ュ レー シ ョ ン の 結 果 を 利 用 す る と き に は,確

代 わ り に 相 対 頻 度 を 用 い る 。 コ ン ピ ュ ー タ で は後 述 の プ ロ グ ラ ム3.4で

問13  〔 例 題4〕 で男 子 の人 数 の 平 均値 は2.1335人

率pnの 計 算 す る。

で あ っ た。 この 分 布 の 分 散 と標 準偏 差 を

求めよ。

[5] 

2項

分 布 の 分 散

  2項 分 布B(1,p),B(2,p),B(3,p)の み よ う。 こ れ ら の 平 均 値 は,そ か っ て お り,こ

れ と 式(3.17)を

分 散V(X)を,nとpの れ ぞ れp,2p,3pで

式 で 表 して

あ る こ と が 式(3.15)か

らわ

用 い て 各 場 合 の 分 散 を 次 の よ う に求 め る こ とが

で き る。 (a)   B(1,p)の

分散

(3.18) (b)   B(2,p)の

分散

(3.19)

(c)   B(3,p)の

分散

 2項 分 布B(n,p)の

分 散 は,次

の 式 に な る こ と が 知 られ て い る 。

(3.20)

(3.21) 問14  A,B2人

が じ ゃん けん を9回 行 う。Aが

〔 例 題9〕 の(a),(b)は,そ

勝つ 回 数Xの

分 散 と標 準 偏 差 を求 め よ。

れ ぞ れB(6,1/2),B(9,1/3)の2項

分 布 で あ り,

そ の 分 散 は そ れ ぞ れ1.508,1.992に

な る。 後 者 の 分 布 の 方 が 分 散 の 値 が 大 き く,

ば らつ き が 大 き い こ と を 示 して い る。   2項 分 布 でnが

大 き い と き の 平 均 値 と,分

散 を 利 用 して 分 布 の よ う す を 調 ベ よ

う。

〔 例 題10〕

あ る 養 魚 場 に は,や

い う。 こ の 養 魚 場 か ら90匹

ま め と ニ ジ マ ス が1:2の

の 魚 を 取 り 出 し た と き,や

比率で飼 わ れて い る と ま め が い る平 均 値 と標 準

偏 差 か らや ま め の 分 布 を 求 め よ 。 〔 解 〕90匹

中 に い る や ま め をX匹

と す れ ば,Xは2項

分 布B(90,1/3)に

か ら,   平 均 値 はE(X)=90×(1/3)=30〔

匹〕

  分 散 はV(X)=90×(1/3)(2/3)=20   標 準 偏 差 は σ(X)=√20=4.47〔

 この確 率 分 布 で,ち

匹〕

ょう ど30匹 の や ま めが 取 り出 せ る可 能性 を 求 め る と,

な る

(3.22)

と小 さ い 。 そ こ で,平

均 値 を 中 心 に して2σ(X)の

範 囲 を と り,

(3.23) の 範 囲 の 確 率 を 式(3.22)と

同 様 に して 求 め る と,次 表3.13 

  表3.13か

ら式(3.23)の

と な る 。 一 方,プ

だ か ら,や

2項 分 布B(90,1/3)

範 囲 の 確 率 は,

ロ グ ラ ム3.2を

ま め が21匹

の よ うに な る。

用 い て 計 算 す る と,

以 下,39匹

以 上 の こ と は と も に20回

に1回

よ り も少 な

い 。

図3.11

 

B(90,1/3)の確率

  同 様 に して,E(X)-σ(X)≦x≦E(X)+σ(X)の

分 布

範 囲 の 確 率 は,約0.68

に な る 。 こ の よ う な 考 え 方 を 区 間 推 定 と い う。

(3.24)

 2項 分 布 で はnが 大 きい と き,次 の式 が成 り立 つ 。

(3.25) (3.26) 問15  あ るテ レ ビの視 聴 率 は12%で 見 て い た家 庭 の95%が

あ る とい う。900世 帯 に調 査 した結 果,こ の テ レ ビを

含 ま れ る範 囲 を,式(3.26)を

利 用 して 求 め よ。

3.4  正 規 分 布   2項 分 布 や宝 く じの確 率 分 布 で は,確 率 変 数Xは0,1,2,3な

どの離 散 量 で あ っ

た。 これ に対 して待 ち時 間 な ど連 続 量 を扱 う確 率 の考 え 方 と,そ の代 表 的 な確 率 分 布 で あ る正 規 分 布 につ い て調 べ て み よ う。

[1]  連 続 確 率  連 続 的 な量 が登 場 す る確 率 の問 題 で は,面 積 を利 用 して 確 率 を 求 め る こ とが で き る。 そ の よ うな問 題 を い くつ か 解 き,そ の特 性 につ い て考 え る。 〔 例 題11〕0以

上1以

下 の 数a,bを

無 作 為 に と る。 点(a,b)が

半 径1の

円の内

部 に あ る確 率 を 求 め よ 。 〔 解〕

点(a,b)は0≦

ａ ≦1,0≦b≦

1の 正 方 形 に 一 様 に 分 布 し,そ

の面積 は

1で あ る 。

 この 正 方 形 の 内 部 で 半 径1の 円 の 面 積 は1/4π

だから,求

0.7854で

あ る。

め る 確 率 は1/4π

≒

図3.12 

円の 内部 に あ る確 率

〔 例 題11〕 の よ うに,連 続 的 に で た らめ な値 を とる変 数x,yの

確 率 を考 え る と

き,こ の 確 率 を 連 続 確 率 また は連 続 型 の 確 率 とい う。 一 方,各 根 元 事象 に 対 して

同様 な確 か ら しさ の成 り立つ 確 率 を離 散 確 率 とい う。 問16

図3.13の よ うに,a=1(cm)間

隔で

並 ん だ縞 の上 に長 さd=0.6(cm)の

針 が縞

の 直線 に 直 角 に落 ち る。 この と き,針 が 縞 の 直 線 の ど れ か に交 わ る 確率 を 求 め よ。

図3.13 

〔 例 題12〕 〔 解 〕0と1の

針 が 交 差 す る確 率

〔 例 題11〕 の 問 題 を コ ン ピ ュー タ で シ ミ ュ レー シ ョ ン せ よ 。 間 の 乱 数a,bを

と り,a2+b2＜1を

え て 確 率 を 近 似 す る 。 プ ロ グ ラ ム3.3で

は1000個

満 た す 点(a,b)の の 点(a,b)を

個 数 を数

作 り,条

件を満

た す も の の 相 対 頻 度 を 確 率 の 近 似 値 に す る。 プ ロ グ ラ ム3.3

計算の結果  1000

.784

  プ ロ グ ラ ム3.3でn=10000の し さ を 裏 づ け る。 な お,問16で

と き 相 対 度 数 は0.7864と

の正

針 の傾 きを 任 意 とす れ ば ビ ュ ッ フ ォ ンの 針 の 問

題 に な る。

問17  問16の

な り,〔 例 題11〕

問 題 を コ ンピ ュー タ で シ ミュ レー シ ョ ンせ よ。

[2]  確 率 密 度 関 数   い ま,あ る駅 か ら電 車 が10分 お き に発 車 し,A君

はその電車 で通 学す るのに

時 刻 に無 頓 着 に駅 に行 く とす る。 この と き駅 で 電 車 を待 つ 時 間 をt分 とす れ ば, tは0≦t≦10を

満 たす 任 意 の数 で,t分

が で き,い ま,tをxで

以 下 待 つ確 率 はP(X≦t)と

表 す こと

置 き換 え る と,

(3.27) と な る。 関 数y=P(X≦x)の

こ とを確 率 分 布 関数 とい う。

  こ こで,確 率 密 度 関数 の考 え方 を用 い て確 率 分 布 の平 均 値,分 散 を求 め よ う。  あ る関 数f(x)≧0の f(x)の

と き,〓f(x)dxを,x軸,y軸,直

グ ラ フで 囲 ま れ た部分 の面積 と し,こ の記 号〓

  確 率P(X≦t)=t/10を

面 積 で 考 え れ ば,x軸,y軸,直

で 囲 ま れ た 部 分(図3.14)の

面 積 に な り,定

線x=tお

よ びy=

を定 積 分 と い う｡ 線x=t,y=1/10

積 分 で 次 の よ う に 表 す こ と が で き る。

(3.28) この と きの 関 数

(3.29) を確 率 密 度 関 数 と い う。   確 率 分 布 関 数 をF(x)=P(X≦x)と P'(X≦x)に

す れ ば,確

な る。 逆 に,確 率 密 度 関 数f(x)が

率 密 度 関 数 はF'(x)=

わか り,確 率 変 数 がa≦X≦b

の値 を と る と き,確 率 分布 関数P(a≦X≦t)は,

(3.30) と表 現 さ れ る 。 な お,aは-∞,bは

∞ で も よ い。

  ま た,確

値 を と る と き,そ

率 変 数Xがa≦X≦bの

1に な る か ら,次

の 式 が 成 り立 つ。

の 確 率 はP(a≦X≦b)=

(b)

(a) 図3.14 

確 率 分 布 関 数 と確 率 密 度 関 数

(3.31)

〔 例 題13〕

あ る 会 社 の 蛍 光 灯 ラ ン プ がx日

式 で 表 さ れ,100日 A君

以 内 で 切 れ る 確 率 は1-e-axと

以 内 で 切 れ る 確 率 は0.181で

あ る こ と が わ か っ て い る と す る。

が こ の 会 社 の 蛍 光 灯 ラ ン プ を 買 っ た と き,1年(365日)の

れ る確 率 を 求 め よ。 た だ し,a,eは 〔 解 〕1-e-100a=0.181か

  eを 底 と す る 自 然 対 数 を と っ て,

よ っ て,P(x≦t)=1-e-0.002t

定 数 でe=2.71828と

ら,e-100a=0.819と

い う

な る。

点灯 時 間以 内 に 切 す る。

図3.15 

〔 例 題13〕 は,次

〔 例 題14〕

蛍 光 灯 が切 れ る確 率

の よ う に 確 率 密 度 関 数f(x)か

確 率 密 度 関 数f(x)を

ら問 題 を 解 く こ と が で き る 。

求 め て,〔 例 題13〕.の 問 題 を 解 け 。

〔解 〕 確 率 分 布 関 数 はF(x)=1-e-0.002xだ

か ら,こ

れ を 微 分 して

(3.32) 求 め る確 率 は,次 の定 積 分 で 表 され る。

  駅 の待 ち合 わせ 時 間 の 問題 で は,確 率 密度 関 数 が式(3.29)の に な る ので,こ

よ う に定 数 関 数

の よ うな確 率 分 布 の こ とを一 様 分 布 とい う。 〔 例 題13〕 で は確 率

密 度 関 数 が,式(3.32)の

よ うに 指数 関数 に な るの で,こ

の確 率 分 布 の こ と を 指

数 分 布 と い う。 指 数 分 布 は,も の が 消耗 す る と きの確 率 な どに現 れ る。   連 続 確 率 の 平 均 値,分 散 を考 え よ う。 離 散 確 率 で は,X=kと

の と き,そ

の 平 均m=E(X)と

分 散V(X)は,次

  連 続 確 率 の 平 均 値 の計 算 で も,X=axに え,axの

範 囲a≦ax≦bでaxpxの

な る確 率 が

の よ う に して 求 め た 。

対 す る確 率 がpx=f(ax)に

な ると考

和 を定 積 分 で求 め れ ば,次 の式 に な る。

(3.33)   分 散 も 同 様 に して,X=axに

つ い て(ax-m)2pxの

和 を 定 積 分 で と れ ば,

(3.34) と な る 。 な お,標

〔 例 題15〕

準 偏 差 σ(X)=√V(X)で

式(3.29)で

〔 解〕   平 均 値E(X)と

あ る。

表 さ れ る一 様 分 布 の 平 均 値 と分 散 を 求 め よ 。 分 散V(X)は,確

率 密 度 関 数f(x)=1/10か

ら次 の よ う

に 求 め られ る。

(3.35) (3.36)

問18〔

例 題14〕 で ラ ンプ が切 れ る時 間 の 平 均 値 と分 散 を 求 め よ。

  連 続 確 率 分 布 の シ ミュ レー シ ョ ンを プ ロ グ ラ ム3.4で 率 密 度 関 数 に も つ 一 様 分 布 に つ い て0＜a＜10の k≦x≦k+1(k=0,1,…,9)に 分 散 を 計 算 す る。 プ ロ グ ラ ム3.4

行 お う。 式(3.29)を

乱 数aを

作 り,一

あ る相 対 頻 度 で 確 率 分 布 を 求 め,そ

確

定 の区 間 の 平 均 値,

計算の結果 0.5 

0.09 

1.5 

2.5 

0.10 

0.09 

3.5 

0.10

4.5

  0.12 

5.5 

6.5 

0.10 

7.5 

0.10 

0.10 

8.5 

0.09 

9

0

.5

.10

平 均5.028 分 散8.949216 標 準 偏 差2.991524

  プ ロ グ ラ ム3.4を こ う して 〔 例 題15〕

実 行 した 平 均 値,分

散 は,〔 例 題15〕 の 結 果 と ほ ぼ 一 致 す る 。

の 理 論 計 算 が プ ロ グ ラ ム3.4の

実験 結 果 で確 か め られ た。

[3]  正 規 分 布  2項 分 布B(90,1/3)の

折 れ 線 グ ラ フ は 図3.11で

示 さ れ て い る が,こ

れ と

(3.37) の グ ラ フ は ほ ぼ 一 致 す る(図3

.16)。2項

分 布B(n,p)でnが

大 き くp≠0,1の

と き,

(3.38) の 関 数 で 近 似 さ れ る 。 こ こ に,σ=√np(1-p),m=npで   関 数 式(3.39)の の 分 布 をN(m,σ2)に

あ る。

グ ラ フ を 正 規 分 布 曲 線 と い い,図3.17の 従 う 正 規 分 布 と い い,平

均 値 はm,分

形 に な る 。 ま た,こ 散 は σ2に な る 。

(3.39)  こ こ にeは  ま た,1円

自 然 対 数 の 底 で,e=2.71828… 玉500個

で あ る。

の 重 さ を 測 定 し た と き,誤

差 の 度 数 分 布 が 表3.14の

よ う

図3.16 

正 規 分 布 と2項 分 布

図3.17 

に 得 ら れ,そ mg)。

の 平 均 値 はX=0.08,分

そ の 値Xの

度 数 分 布 は,式(3.39)の

正 規 分 布

散 はs=4.50に

な っ た(誤

差 の 単 位 は

関数 で近 似 で き る。

表3.14  誤 差 の 度 数 分 布 表

  特 にm=0,σ=1の 布 と い い,図3.18の

と き の 関 数 は 式(3.40)と

な り,そ

の分布 を標 準正規 分

よ う に な る。

(3.40)   正 規 分 布 は,式(3.39)の

よ う に2項

分 布B(n,p)のnが

大 き い 場 合,お

よび

図3.18 

表3.14の

誤 差 の度 数 分 布 な ど とほ ぼ一 致 す る。 そ の た め正 規 分 布 を 誤 差 分 布 と

も い う 。2項 分 布 の 反 復 数nや 値,分

度 数 分 布 の 度 数nを

散 の 値 は正 規 分 布 のm,σ2に

布 でnが

標 準正 規 分 布

大 き く,逆

にpが0に

大 き く す る と,そ

れ らの平均

近 づ く こ と が 知 られ て い る 。 な お,2項

近 い と き の 分 布 は3.5節[4]の

分

ポ ア ソ ン分 布 で

考 え る。

問19  さい ころ を60回 振 る と き,1の

  次 に,正 (1) 

確率分布を正規分布 で近似 せ よ。

規 分 布 に つ い て の基 本 的 な性 質 を調 べ て み よ う。

平 均 値mの

  式(3.39)の

目 の 出 る 回数Xの

役割

グ ラ フ をx軸

方 向 に-mだ

け 平 行 移 動 す る と,

(3.41) に な る。 こ の 関 数 の グ ラ フ は,xの

代 わ り に-xを

y軸 に 関 し て 対 称 に な る 。 し た が っ て,式(3.39)の て 対 称 で 図3.19の (2) 

代 入 して も同 じ式 に な る か ら, グ ラ フ は 直 線x=mに

よ うに な る。

標 準 偏 差 σの役 割

  式(3.39)で

σ の 値 を1,1.5,2な

ど と し た グ ラ フ は,図3.20の

こ の 形 か ら,σ の値 が 大 き く な る と グ ラ フ の 山 が 低 く な り,横 か る。

関 し

よ う に な る。 に広 が る こ と が わ

図

 mの 役 割(α=1)

3.19

図

3.20

 αの 役 割(m=1)

(3)  面 積 を 求 め る   連 続 確 率 で は,確 率 密 度 関数 とx軸 で囲 まれ た部 分 の面 積 は1に な る。 標 準 正 規 分 布 の分 布 曲 線 式(3.40)の 範 囲 に お け る面 積 を,図3.21の

図3.21 

f(x)の

グ ラ フ とx軸 で囲 まれ た部 分 の,-a≦x≦aの よ うに して台 形 公 式 で 求 め よ う。

作 る面 積 の 近 似

図3.22 a=2の

と きの 面積

式(3.41)をy=f(x)と

お け ば,

面積

(3.42) プ ロ グ ラ ム3.5で

はa=1,2,3に

つ い て 式(3

.40)の-a≦x≦aに

プ ロ グ ラ ム3.5

計算 の結果 1 2 3

図3.23

  .682689

  .9544992   .9972995

お け る面

積 を,分

割 数n=1000の

台 形 公 式 で 計 算 す る。

  正 規 分 布 で は次 の 性 質 が 成 り 立 つ｡た

だ し,m=E(X),σ=σ(X)と

す る。

(3.43) (3.44) (3.45) 〔 例 題16〕

正 規 分 布N(3,22)で

〔 解 〕 正 規 分 布N(3,22)の

だ か ら 式(3.43)か

確 率 密 度 関 数 は,直

求 め よ。 線x=3に

つ いて 対 称 で

ら,

問20  標 準 正 規 分 布N(0,1)に (a)

確 率P(5≦X)を

お け る次 の 確率 を求 め よ。

  (b)

3.5  そ の 他 の 分 布   こ こで は2項 分 布,正 [1] 

規 分 布 以 外 の 分 布 を 現 象 例 に も とづ い て考 え て み よ う。

一 様 分 布

  さ い こ ろを 振 り,出 る 目 をXと

す る と きの 確 率 分 布 は,図3.24か

ら次 の よ う

に な る。

(3.46)   そ の 平 均 値 はE(X)=3.5,分 う な 確 率 分 布 の こ と を(離   連 続 確 率 で は,式(3.29)の

散 はV(X)=35/12≒2.9167で 散 型 の)一

あ る。 こ の よ

様 分 布 と い う。

よ うに確 率 密 度 関 数 が定 数 関 数 で

 表 され る確 率 分 布 の こ とを一 様 分 布 とい う。 この と きの確 率 分 布 関 数 は,一 次

図3.24 

一 様 分 布(離 散 型)

図3.25 

関 数 に な る 。 コ ン ピ ュ ー タ のrnd(1)で

疑 似 乱数 の 一 様 分 布

作 り 出 す 疑 似 乱 数 は 一 様 分 布 に な る(図

3.25)。

[2]  幾 何 分 布   ゲ ー ムや さ い ころ振 りを繰 り返 す と き,一 方 的 に勝 ち続 け た り同 じ目が 続 けて 出 る こ とが あ る。 この続 け る回 数 を確 率 変 数Xと

す る確 率 分 布 を 幾 何 分 布 と い

う。   い ま,さ い ころ を1の 目 が 出 る まで 振 る とす る。 そ の と き各 回 数 の 確 率 は,1 回 目で1の

 

目 が 出 る確 率,2回

で1の

目が 出 る確 率 は,そ れ ぞ れ 次 の 式 に な る。

Xの 確 率 分 布 は,次 の式 で表 さ れ る。

(3.47)

〔 例 題17〕

さ い ころ を振 り1の 目が 出 る まで繰 り返 す と き,平 均 何 回 繰 り返 す

か 。

〔 解 〕 繰 り返 しの 回数Xに

つ い て の平 均 値 は,

こ こ で,r=5/6と

す れ ば,第n番

目 ま で と った 値E(X)は,

(3.48) こ こ で,式(3.48)か

ら 式(3.49)を

引 け ば 式(3.50)が

で き る。

(3.49)

(3.50) nが 大 き く な る と,(5/6)nやn(5/6)nは0に

な る か ら,

 よ っ て,平 1/6(1-r)2=6 均 値 (回) はE(X)=

  幾 何 分 布 は確 率 変 数 を無 限 大 まで と り,そ の 確 率 が指 数 関数 に な る。 そ の平 均 値 は ゲ ー ム で獲 得(損

を)す

る金 額 や ゲ ー ムの 回数 の め や す にな って い る。 また,

分 散 は平 均 値 の計 算 と同 様 の考 え方 で 導 くこ とが で き る。 問21  コ イ ンを裏 が出 る まで 投 げ続 け る と き,そ の 回数Xの

平 均 値 と分 散 を求 め よ。

[3]  超 幾 何 分 布   2.3節 (a)  20個

の 〔 例 題7〕,3.2節 の 製 品 の 中 に3個

の 個 数Xの

の 〔 例 題4〕 の 問 題 と確 率 分 布 は,次 の 不 良 品 が あ る 箱 か ら3個

の よ う に な る。

を 取 り出 す と き の 不 良 品

確率分布

( b)  男 子8人,女

子7人 か ら4人 の 代 表 を選 ぶ と き,男 子 の人 数Xの

確率分布

こ れ ら の 確 率 分 布 の 表 と グ ラ フ は,次 表3.14 

図3.26 

の よ う に な る。

2つ の超 幾 何 分 布

超幾何分布 のグラフ

 上 の(a),(b)の よ うに,集 団 の 中 か ら適 当 な個 数 を取 り 出 す と き,あ

る性 質 を

もつ グル ー プの個 数 につ いて の確 率分 布 を超 幾 何 分 布 と い う。

図3.27 

  大 き さNの

集 団 の 中 で 性 質Aを

M)個 あ る と す る 。 こ のN個 質Aを

も つ 確 率 は,超

い と き,M/N=pと

超 幾何 分布 の 現 象

もつ グ ル ー プ がM個

の 集 団 か らn個

幾 何 分 布 の 式(3.51)で お き,式(3.51)を

も た な い グ ル ー プ が(N-

取 り 出 し た と き,そ

の 中 のk個

が性

示 さ れ る 。 集 団 の 大 き さNが

大 き

式(3.52)の2項

分 布 で近 似 す る。

(3.51) (3.52)   こ の 近 似 式 か ら平 均 値 がE(X)=np,分

散 がV(X)=np(1-p)と

して求 め

られ る 。

問22  A君

は,コ

ンサ ー トに100人 が 無料 招 待 され る と聞 き,5枚

した が,応 募 者 は400人

に も な り抽 選 にな っ た。A君

の 申 し込 み は が き を 出

の はが きで 少 な く と も1枚

は抽選 に

当 た る確 率 を 求 め よ。 また,抽 選 に 当 た る平 均 枚 数 を 求 め よ。

[4] 

 nが

ポ ア ソ ン 分 布

大 き い2項

分 布B(90,1/3)は

正 規 分 布 で 近 似 で き る こ と が,式(3.37)

で 示 さ れ た 。 しか し,こ

の 条 件 はpが

くpが

分 布 を 近似 す る こ とを 考 え る。

小 さ い と き の2項

〔 例 題18〕

コ イ ン を500回

投 げ10回

ず つ 区 切 る と き,表

数Xの

確 率 分 布 を調 べ よ。

〔 解〕

コ イ ン投 げ で 表 が 連 続 して10回

投 げ の 中 に,表

が10回

小 さ い と き に は あ て は ま らな い 。nが

出 る 確 率 は1/210で

連 続 して 出 る 回 数 がk回

  1回 の 試 行 で 起 こ る確 率 が2-10の

試 行 を500回

が10回

大 き

続 けて出 る回

あ る 。500回

のコイ ン

あ る とす る。 反 復 す る2項

分 布 だ か ら,X=

kと な る 確 率 は,

(3.53) とな る。

〔 例 題18〕 で,式(3.53)の

計 算 は 難 しいの で

(3.54) と し て 近 似 す る 。 こ の 式 で 表 さ れ る 確 率 分 布 を ポ ア ソ ン 分 布 と い う。   式(3.53),(3.54)の

確 率 分 布 を 比 較 す る と,表3.15の

  ポ ア ソ ン分 布 は,2項

分 布 でnが

大 き く てpが

よ う に ほぼ一 致 す る。

小 さ い 現 象,つ

ま り ほ と ん ど起

表3.15  2項 分 布 と ボ ア ソ ン分 布

図3.28 

ポ ア ソ ン 分布 の グラ フ

こ ら な い こ と が ら に つ い て 多 数 回 の 反 復 を 行 う試 行 の と き に 現 れ る。 こ の 現 象 を 確 率 分 布 に あ て は め る と き に はnｐ=λ   ポ ア ソ ン分 布(3.54)で

はnpが

と し て 使 う。

一 定,1-pを1と

み な せ ば 平 均E(X),分

散

V(X)は,  

E(X)=np=λ,V(X)=np(1-p)=λ

と な る。

問23  あ る会 社 で 製 作 す る カ ラーCRTの ると い う。 このCRT100個

歩 留 ま り(完 成 品 の で き る割 合)は99.5%で

あ

の 中 で2個 以 上 の 故 障 品 が 見 つ か る確 率 を 求 め よ。

3.6  中心 極 限定 理   こ こ で は 確 率 変 数 の 和,積

に 着 目 して 平 均 値 の 意 味 を 探 り,コ

レー シ ョ ン に 利 用 し て み よ う。

ン ピ ュー タ シ ミュ

[1]  和,積

の分 布

  さ い こ ろ を2個 振 る と き,そ の和 や積 で新 しい確 率 変数 が作 られ る。 確 率 変 数 の和,お 〔 例 題19〕

よ び積 の分 布 の よ うす を探 り,確 率 の 問題 を分 析 しよ う。 ふ つ うの さ い こ ろ と,正 四 面 体 に1か

ら4の 数 を 刻 ん だ さ い こ ろ を

作 り,こ れ らを 同時 に振 る と き,目 の和 の各 確 率 とそ の平 均 値,分 散 を求 め よ。 〔 解 〕 ふ つ うの さ い ころ を振 る試 行 で 出 る 目 をX,正 行 で 出 る 目 をYと

す れ ば,そ の 確 率 分 布 は次 の と お りで あ る。

表3.17  Xの

一 方 ,目

確率 分布

表3.18 

の 和X+Yは2,3,…,9,10の 表3.19 

各 値 で,各

らX+Yの

分 布 は,次

場 合 は 表3.19の

よ う に な る。

正 四 面体 の さ い ころ

の よ う にな る。

表3.20  X+Yの

こ こ に,X+Yが4の

Yの 確 率 分 布

和 の 事象

図3.29 

表3.19か

四面 体 の さ い ころ を振 る試

確率分布

と き の 確 率 は次 の よ う に して 求 め る 。

  X+Yの

確 率 分 布 の平 均 値E(X+Y),分

散V(X+Y)は,次

の よ うに して

求 め る。

〔 例 題19〕 か ら確 率 変 数X,Yの こ れ を 確 率 変 数X,Yの で な く,X+Y+Zの +Xな

確 率 変 数 に な る こ と が わ か る。

和 の 確 率 変 数 と い う。 和 の 確 率 変 数 はX+Yの よ う に,3つ

の 和 や 同 じ確 率 変 数Xの

形 だ け

和X+X,X+X

ど に つ い て も考 え られ る。

  次 に,X,Yの 3.18か

和Z=X+Yも

らX,Yの

平 均 値,分 平 均 値,分

散 と和X+Yの

そ れ を 比 べ て み よ う 。 表3.17,表

散 は 次 の 値 に な る。

(3.55) (3.56)

 一 方

,E(Z)=6,V(Z)=25/6だ

か ら,〔 例 題19〕 で は 次 の 等 式 が 成 り 立 つ｡

(3.57) (3.58) 問24  コ イ ンと 画鋲 が1個 ず つ あ る。 画 鋲 を投 げ た と き針 が 上 に な る確 率 が0.4で

あ ると

い う。 この 事 象 を表 が 出 る事 象 と し,こ れ らを投 げて コ イ ンま た は 画鋲 の 表 が 出 る個 数 を Xと す る と き,Xの

確 率 分 布 と平 均 値,分 散 を求 め よ。

  式(3.57),式(3.58)で

は 加 法 性 に つ い て の 整 っ た 式 が 示 さ れ て い る が,積

つ い て も 同 様 の 式 が 成 り立 つ こ と が 予 想 さ れ る 。 そ こ で ,積

に

の確 率 変 数 と その 確

率 分 布 を 考 え て み よ う。

〔 例 題20〕

〔 例 題19〕 の 問 題 場 面 で,2つ

率 分 布 と,そ 〔 解〕

の 平 均 値,分

表3.17,表3.18でXYの

の さ い こ ろ を 振 る と き 目 の 積XYの

確

散 を求 め よ。 と る 値 と,そ

の確 率 分 布 を計 算 す る と次 の よ う

に な る。 表3.21  XYの

XYの

確 率分布

平均 値 と分 散 を,次 の よ う に して 求 め る。

〔 例 題20〕 算 しよ う。

で 計 算 し たXYの

平 均 値,分

散 を 式(3.55),式(3.56)を

用 いて計

一 方

,

だ か ら,積 の 確 率変 数 につ いて

(3.59) が 成 り 立 つ が,V(XY)≠V(X)V(Y)と 〔 例 題19〕 の 確 率X,Yで

な る。

は

が 成 り立 つ 。 こ の 関 係 が 成 り立 つ 確 率 変 数X,Yの

こ と を 独 立 な 確 率 変 数 と い う。

問25  コイ ンと画 鋲 が2個 ず つ あ る。 画 鋲 を 投 げ た と き針 が上 に な る確 率 が0.4に

な った

と し,こ の事 象 を表 が 出 る事 象 と い う こ とに しよ う。 これ らを投 げて コ イ ン ま た は画 鋲 の 表 が 出 る個 数 をXと

す る と き,Xの

  一 般 に 確 率 変 数X+Y,XYの 数 の 法 則,中

心 極 限 定 理,統

平 均 値,分 散 を求 め よ。

平 均 値,分

散 に つ い て 次 の 基 本 性 質 が あ り,大

計 的 推 測 な ど に 用 い ら れ る。

E(X+Y)=E(X)+E(Y) X,Yが

独 立 な と き,E(XY)=E(X)E(Y)

X,Yが

独 立 な と き,V(X+Y)=V(X)+V(Y)

[2] 

大 数 の 法 則

 n個

の さ い こ ろ投 げ の よ うす を シ ミュ レー シ ョ ンの助 け を借 りて 探 り,そ の 特

性 を ま とめ よ う。

〔 例 題21〕2個 Y)/2の 〔 解〕

の さ い こ ろ を 投 げ,各

分 布 と 平 均 値,分 出 る 目2つ

さ い こ ろ の 目 をX,Yと

散 を求 め よ。

の 平 均(X+Y)/2の

各 場 合 と,そ

の確 率 の 確 率 分 布 は次 の と

お りで あ る。 表3.22  2個 の さ い こ ろの 目の 平均

図3.30 

XとX+Y/2の

分 布

1個 の さい こ ろで 出 る 目 の平均 値 と分 散 は,

と な り,X,Yは

平均値

す る と き,(X+

独 立 だ か ら式(3.55)か

ら式(3.58)を

用 いて

分散

プ ロ グ ラ ム3.6で

な ど,和 の 確 率 分 布 を シ

ミ ュ レ ー シ ョ ン し よ う。 プ ロ グ ラ ム3.6

計算の結果 ?6 1 0.000 

 2 0.061 

平 均 値3.548

  プ ロ グ ラ ム3.6は,n個 1000回

行 い,平

 3 0.415 

 4 0.439 

 5 0.085 

  6 0.000

 分 散.539696

の さ い こ ろ を 投 げ て 出 る 目 の平 均 値 を求 め る試 行 を

均 値1,2,…,6の

相 対 度 数 で確 率 を求 め る よ うに した。 プ ロ グ ラ

ム3 .6でnを

大 き く し て い く と,図3.31の

よ う に,正

散 σ2が 小 さ く な る こ と が わ か る 。 た だ し,平

規 分 布N(3.5,σ2)の

分

均 の計算 方 法 か ら平 均 値 に 多 少 の

偏 りが あ る。 表3.23  平 均 値 の 分 布

図3.31 n個

こ の こ と か らn個

の平 均 の 分 布

の さ い こ ろ を 振 り 出 る 目X1,X2,…,Xnの

平 均 値 の確 率 変 数

(3.60) と,そ

の 平 均 値E(Sn)=m,分

散V(Sn)=σ2,定

数e＞0に

つ い て,次

の こと

が 推 定 で き る。  (a) n→

∞ の と き,P(￨Sn-m￨≧e)→0 

  (b) Snの 分 布 はN(m,σ2)に X1,X2,…,Xnを

(3.61)

従 う。

互 い に 独 立 で,平

均 値E(Xk)=m,分

 

(3.62) 散V(Xk)=σ2が

等

しい確 率 変 数 とす る。Snを 式(3.60)の

よ う に と る と き式(3.61),式(3.62)が

成 り立 つ こ とが知 られ,前 者 の こ とを大 数 の法 則,後 者 の こ とを 中心 極 限 定 理 と い う。   大 数 の法 則 は個 々 のXは で,そ

予 測 で き な くて も,多 数 の平 均 を と れ ば 高 い 可 能 性

の結 果 を予 測 で きる こと を示 して い る。 中心 極 限定 理 は,平 均 値 を と る確

率 変 数 が,正 規 分 布 で近 似 で き る こ と を示 して い る。 これ らは,推 測 統 計 の 根 拠 に な っ て い る。

練習問題 1.  2個

の さ い こ ろ を 振 り,大

2.  A,Bが

き い 方 の 目 をXと

じ ゃ ん け ん を4回

す る と き,Aが3回

す る と き,Xの

確 率 分 布 を求 め よ。

以 上 勝つ 確 率 を シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で 求

めよ。 3.  分 散 の 式(3.17)は,次

の 式 で も導 か れ る こ と を示 せ 。 こ れ をE(X2)-E(X)2と

表す。

 V(X)=(x12p1+x22p2+…+xn2pn)-m2  

こ の 式 を 用 い て 表3.11か

4.  プ ロ グ ラ ム3.3を 5.  コ イ ン1個

らB(3,p)の

利 用 し て 半 径 が1の

を 投 げ,表

が 出 る 回 数Xの

の 確 率 分 布 を 表 で 表 し,そ 実 験 を 行 い,結

求めよ。

確 率 分 布 に つ い て,和X+X,X+X+X

の 平 均 値 と分 散 を 求 め よ 。 ま た,プ

ロ グ ラ ム3 .2を

利 用 して

果 を確 認 せ よ。

6.  〔例 題4〕 の 確 率 分 布 を2項

分 布 で 近 似 し,男

近 似 の 確 率 分 布 を プ ロ グ ラ ム3.2で 7.  10個

分 散V(X)を

球 の 体 積 を 近 似 せ よ。

の さ い こ ろ を 振 り,出

子 の人 数 の 平 均 値 と分 散 を 求 め よ。 こ の

シ ミュ レ ー シ ョ ン せ よ 。

る 目 の 平 均 値 と 分 散 を 求 め よ 。 ま た,プ

用 し て シ ミユ レ ー シ ョ ン を 行 え 。

ロ グ ラ ム3.6を

利

第4章  確率の応用   これ ま で の章 で確 率 の概 念 につ い て一 通 り学 ん だ。 こ こで は,確 率 の概 念 を い く つ か の 不 確 か な現 象 に応 用 し,必 要 に応 じて コ ン ピ ュー タを利 用 して み よ う。

4.1 

ツ キ の確 率

  い ま,A君

とB君

が コ イ ン投 げ を し,表

が 出 た らA君が

勝 ち で+1点,B君

が 負 け で-1点,裏

が 出 た ら そ の 逆 と す る ゲ ー ム を 繰 り返 し 行 う と す る 。 こ の

ゲ ー ム の 各 回 でA君

が ど こ ま で 得 点 を あ げ られ る か 探 る こ と に し よ う。

[1] 

ラ ン ダ ム ウ ォー ク の 実 験

  コ イ ン投 げ で 得 点 の 推 移 の 実 験 を して み よ う。 コ イ ン投 げ の 模 擬 実 験 を100回 行 い,変

数sを

sに 加 算 し,そ

最 初0(s0=0)と

お き,表

が 出 た ら+1,裏

が 出 た ら-1を

の 値 を 表 示 す る 。 実 際 に コ イ ン投 げ を 行 っ て も よ い が,コ

得 点 イ ン投

げ と シ ミ ュ レ ー シ ョ ンの 結 果 に ほ と ん ど 違 い は 出 な い 。   プ ロ グ ラ ム4.1で

は,INT(RND(1)*2)*2で0,2の

乱 数 を,式(4.1)で1,

-1の 乱 数 を 作 る。

(4.1)

プ ロ グ ラ ム4.1

計 算 の 結果(乱 数 の 初 期 値28の -1 0 

1 0 -1 0 -1 0 1 

場 合) 2

3  2  3  4  3  2  1  2  1  0 -1  0  1  2  3  4  5  6  5  4 3  2  1  0 -1  0 1  0  1  2 3  4  5  6  5  6  7 8  7  6 5  4 5 

4 3 

2  3  4  3  2

3  4  5  6  5  4  3  2  3  2 3  4  3 4  3  2 3  4  3  2 1  2  1  0 -1  -2  -3  -2  -1 -2 -1  0 -1  0  1  0 1  0 -1  -2

図4.1

問1 

プ ロ グ ラ ム4.1を 修 正 して100回

数 を数 え よ。 また,￨s￨≧10と   問1で

は,100回

の実 験 を20回

な る割 合 が30%程

実 行 し,s＜0の

の コ イ ン投 げ を 行 っ た と き の 得 点sの

図4.2 

個 数 とs＞0の

度 あ る こ とを確 認 せ よ。

ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク(100回)

分 布 を調 べ て い る。

個

 結 果の考察   プ ロ グ ラ ム4.1でsの れ て い る が,A君

推 移 は 図4.2,図4.3の

が ツ イ て い る と き(x軸

よ う に な り,得

点 の範囲 が 限 ら

よ り上 の と き)が 意 外 に 長 く,ツ

入 れ 代 わ る こ と は あ ま り な い 。 こ の よ う な 推 移 を1次

キが

元 の ラ ンダ ム ウ ォー ク と い

う 。 ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク は ゲ ー ム の 得 点 や す ご ろ く,ブ

ラ ウ ン運 動 な ど に 見 られ

る。

図4.3 

[2] 

ラ ン ダ ム ウ ォー ク 〔1000回 初 期 値28)

得 点 の 確 率

  確 率 を 応 用 し,上

の コ イ ン投 げ で 考 察 し た こ と の 根 拠 をn=1,2,3の

場合 を も

と に考 え る。 (1) 

得 点 の推 移 と確 率

  コ イ ン投 げ をn回  

A君

が 得 た 得 点 をsn,そ

  確 率P(sn)の

n =2の

と き,snの

次 の よ う に お く。

れ を 得 る 確 率 をP(sn)

計 算 の しか た は1,2回

〔 例 題1〕n=1,2の 〔 解 〕n=1の

行 っ た と き,sn,P(sn)を

目 の計 算 を次 の よ うに吟 味 す れ ば わ か る。

と る 各 値 と 確 率P(sn)を

と き,コ イ ンの 表 が 出 た と きs1=1,裏

と き ,コ

イ ン が 表 表 の と きs2=2,表

求 め よ。

が 出 た と きs1=-1だ

裏 の と きs2=0,裏

か ら,

裏 の と きs2=

-2だ か ら,

 2回 目 と3回 目の 得 点 の 確 率 分布 は次 の よ うに な り,各 平 均 は0に な る。 表4.1  2回 目 の得 点

問2 

n=4の

 n回

と る 各 値 と,そ

目 の 得 点snは,m=snと

 n=2の

 n

と きs4の

=3の

と き,sn=-2,0,2,こ

と き

と な る か ら,nが -n≦m≦nの

表4.2  3回 目の 得 点

の確 率 を求 め よ。

す れ ば, の と き,

,sn=-3,-1,1,3,こ

偶 数(奇 数)の

の

と きmは

と き,

偶 数(奇

数)だ

け を と る。 よ っ て,

と き,

は,0,1,2,3,…,n

の 値 を と る 。 図4.4と   ・得 点mを

あ わ せ て 考 え る と ,次

得 る方 法 は, 〔 通 り〕

・得 点mを

の こ とが わ か る。

得 る 確 率P(sn=m)は

 (4.2)

,

(4.3)

図4.4 

得 点 と そ の確 率

(2)  各 回 の 得 点 と そ の確 率   A君

の 得 点 が0に

な る の は,偶

それぞれ

の 確 率 はn=2,4,6で,

に な る。

〔例 題2〕A,B両 〔解 〕n回

数 回 目 に 限 られ,そ

君 のn回

目 にA君

目 の 得 点 が0に

の 得 点snが0に

な る確 率 を 求 め よ 。

な る 確 率P(sn=0)は,図4.4と

式(4.3)

か ら, ・nが

奇 数2k-1の

と き,

(4.4) ・nが 偶 数2kの

と き,

(4.5)

問3  上 の ゲ ー ムで10回

(3) 

目にA君

を 得 る確 率 をそ れ ぞ れ 求 め よ 。

シ ミ ュ レー シ ョン

  確 率P(sn)の

値 を,度

数 分 布 に よ る 近 似 値 と 式(4.3)に

て み よ う 。 プ ロ グ ラ ム4.1を -6か

が0点,2点,4点

ら6ま

次 の よ う に 修 正 し,6回

で の数 の相 対 度 数 を求 め る。

よ る理 論 値 で 比 較 し

目 の 得 点s6を100個

出 し,

プ ロ グ ラ ム4.2

計算 の 結果(乱 数 の 初 期値26703の

場合)

02

64 20 2 46

23 8 3

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 結 果 の 一 例 と 理 論 値 を,表4.3に

示 す。

表4.3  s6の 確 率

図4.5は,得

点mの

確 率 分 布 が2項

図4.5 

分 布 と 同 じ形 に な っ て い る の で,こ

s6の 相 対 度 数 と理 論値,近

似値

れ を

    

正 規 分 布N(0,6)で

近 似 し て 表4.3に

追 加 した 。 た だ し,表4.3で

き に と る の で 正 規 分 布 の 確 率 密 度 関 数 を,式(4.6)の

よ う に2倍

はmを1お して あ る。

(4.6)

問4  5回 目 の 得点s5の 確 率 分布 の 式 と近似 式 を 求 め,そ れ ぞ れ の 値 を計 算 せ よ。   表4.3で

はsnの

確 率 分 布 をN(0,n)で

近 似 し た が,そ

れ が 正 しい こ と を 次 に

示 そう 。

(4)  平 均 値 と分 散  3回 目 の得 点 の平 均 値,分 散 を求 め,n回 ン投 げ の 各 回 でA君  例 え ば,1回

で あ り,そ

目の得 点 の 分 布 を 近 似 しよ う。 コ イ

の と る得 点 は1と-1で

あ り,各 回 は互 い に独 立 で あ る。

目の 得 点s1の 確 率 分 布 は,

表4.4  s1の 確 率 分 布

の 平 均 値,分

散 は次 の よ うに な る。

平均値

分散

s2の 確 率 分 布 は 表4.5の

〔 例 題3〕3回

目 の 得 点s3の

よ う に な る か ら,そ

の 平 均 値,分

確 率 分 布 の 平 均 値E(s3)と

散 は 次 の 値 に な る。

分 散V(s3)を

求 め よ。

〔 解〕

表4.2でs3の

図4.4か

確 率 分 布 が 示 さ れ て い る か ら,

ら,s1,s2とs3に

  s3=1,s3=3の

は 次 の 関 係 が 成 り 立 つ｡

場 合 に つ い て も 同 様 の こ と が い え て,3.6節

た 確 率 変 数 の 和X+Yと,そ

の 確 率 の 考 え 方 に よ っ て,次

  コ イ ン投 げ で 各 回 は 独 立 だ か ら,式(3.55),式(3.56)を が,次

〔 例 題19〕 で 扱 っ

の 式 が 成 り立 つ 。

用 い て 平 均 値,分

散

の よ う に 求 め ら れ る。

 こ の 考 え 方 をs2,s3に

適 用 す る と,次

の よ う に な る。

 2回 目s2=s1+s1

  3回 目s3=s1+s1+s1

 こ の 手 続 き を 続 け る と,確

率 変 数snはs1の

和 と して,次

(n個 の和)

の よ う に表 され る。

(4.7)

(4.8) (n個 の和)   こ う して 得 点snの   ま た,図4.4か

分 布 は 平 均 値0,分

らsnの

得 点 分 布 は2項

散nに

な る こ とが 示 され る。

分 布 と 同 じ形 に な り,正 規 分 布N(0,n)

で 近 似 で き る。

問5  5回 目 の得 点s5の 確 率 分 布 の理 論 値 と,そ の近 似 式 を式(4.3),式(4.6)か

ら導 き,

プ ロ グ ラ ム を作 っ て そ の値 を 求 め よ。

4.2  情 報 量 と符 号 化   現 在 の情 報 化 社 会 で は多量 の情 報 が あ ふ れ,さ ま ざ ま な 情 報 の 伝 達 量 が飛 躍 的 に増 加 して い る。 こ こで は情 報 の 価 値 を,起

こ りに く さの 視 点 か ら情 報 量 と して

表 し,そ れ を使 って 効 率 的 な 伝 達 の た め に記 号 を コー ド化 す る こ と を考 え る。

[1] 

情 報 量

  順 番 を 決 め た り,あ

る 選 択 を す る の に,く

じ や さ い こ ろ,コ

チ ャ ン ス を 公 平 に す る こ と が よ く あ る。 そ こ で は,コ は ず れ と い う情 報 を,あ 価 値 が あ り,そ (1)   

る 確 率 で 得 て い る。 そ し て,得

イ ンな ど を使 って

イ ン の 裏 表,く

じの 当 た り

難 い チ ャ ンス の情 報 ほ ど

れ を 得 る 確 率 は 小 さ い で あ ろ う。

情報量

コ イ ン投 げ で 表 が 出 た こ と を 知 る と き の 情 報 量 は,次

〔 例 題4〕

コ イ ン をn回

投 げ,n回

の よ う に して 求 め ら れ る。

と も表 が 出 た こ と を 知 る と き の 情 報 量Inを

め よ 。 た だ し,1回

の コ イ ン投 げ で 表 が 出 る と き の 情 報 量 を1と

〔 解〕

投 げ,と

コ イ ン を2回

の2倍 あ る と考 え れ ば,

も に 表 が 出 る と き,情

求

す る。

報 の 価 値 は コ イ ン1回

の とき

と な る。 コ イ ン をn回

投 げ,n回

と も表

が 出 る と き の 情 報 量 は,

(4.9) とな る。

図4.6 

〔 例 題4〕 で は,n回

の と も表 が 出 る確 率 はpn=2-nだ

コ イ ンの 情 報 量

か ら,式(4.9)は

(4.10) と 表 す こ と もで き る 。 例 え ば,5回 こ と の 情 報 量Iは,次

 この 値 は,マ

さ い こ ろ を 投 げ た と き,す

べ て1の

目が 出 る

の値 に な る。

ニ ュ ア ル 計 算 で 次 の よ う に 求 め ら れ る。

問6  次 の こ とが らが起 こ った こ とを知 る と きの情 報 量 を 求 め よ 。   (a) さい ころ投 げ で5の   (b) 120456の よ うに,6桁

目が 出,か つ コイ ン投 げ で 表 が 出 た こ とを知 る と き。 の数 か らな る く じの 中 に 当 た り く じが1本 あ る と い う。 そ の

番号 を 知 る と き。

 次 の 例 題 は,条 件 つ き確 率 と も関 連 す る現 実 的 な問 題 で あ る。 〔 例 題5〕A君

が ト ラ ン プ の 種 類(ス

ペ ー ド,ク

ラ ブ,ダ

よ う と して1枚

の カ ー ドを い じ っ て い る う ち に,そ

か っ た と し よ う。 こ の こ と に よ っ て 得 る 情 報 量Iを 〔 解 〕A君

が 例 え ば ダ イ ヤ を 当 て る 確 率 は1/4で

ドと い う情 報 を 得 た と き,図4.7の   ゆ え に,赤

よ う に,当

イ ヤ,ハ

ー ト)を 当 て

れ が 赤色 で あ る こと が偶 然 わ 求 め よ。 あ る が,A君

が 赤 い色 の カ ー

た る 確 率 は1/4か

い 色 の カ ー ドが 見 え た こ と で 得 る情 報Iは,次

ら1/2に

な る。

の式 で表 され る。

図4.7 

 あ る 試 行 の 結 果,事

象Aが

得 ら れ る 情 報 量IAを,次

トラ ン プ の 色か ら得 る情 報 量

起 こ る 確 率 がp(A)の

と き,そ

れ が 起 こ る こ とで

の よ う に決 め る。

(4.11)   そ れ は 次 の4つ (a)  確 率1,つ

の条 件 に も とづ い て い る。

ま り必 ず 起 こ る 事 象Uか

ら は 全 く情 報 が 得 ら れ な い と 考 え,IU=

0と す る 。 (b)   よ り 起 こ り に く い 事 象Aの P(A)≦P(B)と (c) A,Bが IA +IBと

す る と き,IA≧IBと

り大 き くす る。 つ ま り

す る。

独 立 な 事 象 の と き,つ ま りP(A∩B)=P(A)P(B)の

と き,IA∩B=

す る。

(d)  確 率0.5と

な る事 象Aが

  例 え ば,さ

い こ ろ を5個

と な る。 こ の 情 報 量 は,コ イ ンを3回

情 報 量IA(≧0)を,よ

起 こ る と き の 情 報 量 を1と

す る。

振 り,1の

目 が2回

出 る こ と で 得 られ る 情 報 量 は,

イ ン を2回

投 げ て す べ て 表 が 出 る と き の 情 報 量 と,コ

投 げ て す べ て 表 が 出 る と き の情 報 量 の間 に あ る。

問7  車 の ナ ンバ ー プ レー トは,「 あ12-34」 な1文 字 と,-で

の よ う に,「 あ」 か ら 「ん 」 まで の ひ らが

区 切 られ た4桁 の数 字 か らな って い る。 い ま,ひ

らが な を46文

よ び0か ら9の 数 字 が 同 じ頻 度 で 用 い られ て い ると して,次 の情 報 量 を求 め よ。  (a) ひ らが な1文 字 を 知 る と きの情 報 量  (b) 上2桁

の数 字 を 知 る と きの 情報 量

字,お

(2) 

エ ン トロ ピー

  互 い に 排 反 な 事 象Aiが

起 こ る情 報 量-log2p(Ai)の

平 均 値 に つ いて 考 え る。

全事象 互 い に排 反 に つ いて の情 報 量 の平 均 値,

を エ ン ト ロ ピ ー と い い,そ   例 え ば,コ

の 単 位 を ビ ッ ト と い う。

イ ンが も つ 情 報 量 は,次

の 値 に な る。

 (4.12)

〔ビ ッ ト〕

  こ れ は,コ

イ ン を 投 げ て 表 が 出 る こ と を1,裏

が 出 る こ と を0と

1ビ ッ トで 表 現 で き る こ と を 示 して い る。 エ ン トロ ピ ー は,あ す 情 報 の 種 類 が,2進

〔 例 題6〕

し,あ

わせ て

る情 報 源 が 作 り 出

数 で 何 桁 に な る か を 示 し て い る。

さ い こ ろ を1個

振 っ た と き,次

 (a)  1の 目 が 出 る 事 象 と,そ

の エ ン トロ ピ ー を 求 め よ 。

う で な い 事 象 の エ ン トロ ピ ーI1

 (b)  出 る 目 の エ ン ト ロ ピ ーI2

(a) 〔 解〕  

  (b)

〔 例 題6〕 の 考 え 方 か ら,表4.6の

確 率

表4.6  確 率 分 布

分 布 に 対 す る エ ン トロ ピ ーが 求 め られ る。   す な わ ち,

の 確 率 分 布 の エ ン トロ ピ ーIは,次

の 式 で 表 され る。

(4.13) 問8  大 小 の コ イ ンを2枚 投 げ表 表,表 裏,裏 表,裏 裏 が 出 る事 象 の エ ン ト ロ ピ ー を 求 め

よ。 ま た,表 が 出 る回 数 の 確 率 分 布 の エ ン トロ ピー を求 め よ。   問8は,根

元 事 象;表

表,表

裏,裏

れ,表

の 回 数 に 着 目 し た 場 合,1.5ビ

(3) 

プ ロ グ ラム

表,裏

裏 の 個 数4個

が2桁

の2進

数で表 さ

ッ ト必 要 な こ と を 意 味 し て い る 。

  確 率 分 布 が 与 え ら れ た と き,そ

の エ ン トロ ピ ー を 求 め る プ ロ グ ラ ム を 考 え よ う。

〔 例 題7〕2項

エ ン ト

分 布B(n,p)の

ロ ピー を プ ロ グ ラム を作 って求 め よ。 〔 解〕

自 然 数nと0＜p＜1の

と に,k=0,1,…nに

数pを

も

ついて

(4.14) を 計 算 し,さ

ら に 式(4.13)を

用 いて エ

ン ト ロ ピ ー を 求 め る 。 な お,い

ろいろな

nに つ い て 計 算 す る た め,nに

つ いて反

復 す る ル ー プ を 設 け る。

図4.8 プ ロ グ ラ ム4.3

計算 の 結 果(p=0.5) 12 3 45 6

 1  1.5

 1.811278   2.030639   2.198192   2.333362

  例 え ば,2項

分 布B(n,0.5)の

エ ン トロ ピ ー は,単

調 に 増 加 す るnの

関数に な

る(図4.9)。

図4.9 

B(n,0.5)の

エ ン トロ ピ ー

図4.10 

 

図4.10か

ら,2項

き は,p=0.5で

分 布B(n,p)に

つ い て の エ ン ト ロ ピ ー はpを

エ ン トロ ピー

変 化 さ せ る と

エ ン トロ ピ ー が 最 大 に な る こ と が 予 想 さ れ る 。

問9 

2項

4.2を

利 用 して 求 め よ 。

[2] 

B(n,p)の

分 布B(10,p),P=0.1,0.2,…,0.9に

対 す る エ ン トロ ピ ー を,プ

ロ グラム

ハ フ マ ンコー ド

  現 代 で は文 字 や 記 号 を 通 信 す る と きに は,す べ て2進 数 の コ ー ドで行 う。 これ

を 符 号 化 とい い,変 換 手 順 を符 号 化 ア ル ゴ リズ ム とい う。 起 こ りや す さを もと に した符 号 化 アル ゴ リズ ム に つ い て調 べ て み よ う。 (1)  暗 号 解 読   3桁 か ら5桁 の2進 数

を,ア

ル フ ァ ベ ッ トや 空 白 と い っ た 文 字 に 割 り 当 て て 通 信 を す る と き,一

定 のア

ル ゴ リズ ム で 符 号 化 す る こ と を 考 え る 。

〔例 題8〕

図4.11か

ら,(a)は

暗 号 を 解 読 し,(b)は

図4.11の

頂 上(つ け根)か

コ ー ドの 誤 り を た だ せ 。

(a) (b) 〔 解 〕(a) 

ら初 め て 最 初 の 数 字 を 読 み,0な

な ら右 に 行 く。 こ の ア ル ゴ リズ ム で,コ 暗 号 はthe

shopと

ら 左 に,1

ー ドと 文 字 が 次 の よ う に 対 応 す る か ら,

解 読 で きる。 空 白,

(b)  図4.11で と8番

文 字 と コ ー ドを 対 応 さ せ る と き,う

だ か ら,4番

目 の1110を1101に,8番

ま く対 応 し な い の は,4番

目 の101を100に

直 す。

〔 例 題8〕 の よ う な ア ル ゴ リズ ム で 作 っ た コ ー ドを ハ フ マ ン コ ー ドと い う 。   ま た,コ

ー ド中 の2進

数 の個 数 を そ の

コ ー ドの 長 さ と い い,例 長 さ は4で

あ る。 な お,グ

え ば,1101の ラ フ理 論 で は,

こ う し た 図 を 木 構 造 と い い,最

も上 の

部 分 を 根,最

分を経

も下 の 文 字 を 葉,線

路 と い う。 図4.11 

問10〔

例 題8〕

の ア ル ゴ リ ズ ム で,the

season

opensを

符 号化 の 木

コ ー ド化 せ よ 。

(2) 

コ ー ド化 の ア ル ゴ リ ズ ム

  文 字 を コ ー ド化 し て 通 信 す る と き,よ コ ー ド011に,確

率 の 小 さ い 文 字,例

く使 う文 字,例

え ばwを

え ば 図4.11でsを

長 い コ ー ド1110に

短 い

した方 が 通 信

の 効 率 が 上 が る 。 こ の 観 点 か ら文 字 を コ ー ド化 して み よ う。 あ る文 を ハ フ マ ン コ ー ドで コ ー ド化 し て 送 信 した い と き,次

の 手 順 で 行 う。

  (a) 各 文 字 が 利 用 さ れ る 統 計 的 確 率 を 調 べ る 。   (b) 確 率 の 値 に つ い て 昇 順 に 文 字 を 並 べ,符

〔例 題9〕you

send

me

correct

codesと

い 。 各 文 字 の 出 現 確 率 が 表4.7の こ の 文 を2進

号 化 の 木 を 作 る。

い う 文 を ハ フ マ ン コ ー ド化 して 送 信 し た

よ う で あ っ た と き,ハ

フ マ ン コ ー ドを 構 成 し,

数 の コ ー ドに 直 せ 。 表4.7  出 現確 率

〔 解 〕 各 文 字 を 葉 と して,出

現 確 率 の 小 さ い 方 か ら 順 に 並 べ る。 た だ し,出

率 に あ ま り差 が な いsとc,oとeは

同 じ順 位 と し て お く 。 次 に,並

同 じ 出 現 頻 度 の も の を 経 路 で 結 び,そ

現確

べ た文 字 で

の 上 に 合 計 を 書 く(図4.12)。

表4.8  出 現 頻 度順 位

  並 べ た 数 の 列 に つ い て,さ

ら に 合 計 を そ の 上 に 書 く。

図4.12 

 次 に,ほ

4.13)｡

葉 を経 路 で結 ぶ

ぼ 同 じ数 ど う しを 線 分 で 結 ん で い って 根 の あ る 木 構 造 を 描 く(図

図4.13 

符 号 化 の 木1

図4.14 

 最 後 に,経 路数 が 多 いr,mな

符 号 化 の 木2

どの文 字 が両 脇 に く る よ うに文 字 を並 べ替 え る。

こ う して符 号 化 の 木 が 出 来上 が る(図4.14)。 表4.9 

  図4.14の

ハ フ マ ンコ ー ド

符 号化の木か ら 〔 例 題9〕 で 取 り 上 げ た 文 の 文 字 が,表4.9の

よ うに

コ ー ド化 さ れ,   you

send

me

correct

codes

と い う文 が次 の よ うに送 信 さ れ る。  00001 

100  110  001  010  101  1110  00010 

  011  100  00000 

〔 例 題9〕 で は,各 は3ビ

00000 

101  011  00011 

001  1111  101  001

001  011  100  00010 

文 字 の 出 現 しや す さ か ら符 号 化 さ れ,出

ッ トで コ ー ド化 さ れ る。 一 方,出

101  010

現 頻 度 の 高 いoやu

現 頻 度 の 低 いyやdは5ビ

ッ トと い う ビ ッ

ト数 の 多 い コ ー ドに な っ て い る 。   な お,表4.7の

出 現 確 率 は あ る 英 語 の 文 章 の ご く一 部 か ら得 て 確 率 の 総 和 を1

に した 値 な の で 一 般 的 な 値 で は な く,表4.10の

問11 

英 字 新 聞 な ど で は,ア

と い う。

値 の方 が現 実 に近 い。

ル フ ァ ベ ッ ト の 文 字 や 記 号 の 出 現 確 率 が 表4.10の

よ うにな る

表4.10 

 図4.15は,出 し,次

現 確 率 を100倍

出 現 確率

し た 値 か ら作 成 した 符 号 化 の 木 で あ る。 符 号 化 の 木 を 完 成

の 文 を コ ー ド化 せ よ 。 the

chance

to see

it

図4.15 

符 号 化 の 木3

[3]  コー ドの長 さ と情 報 量   ハ フ マ ン コ ー ドで は 各 文 字 の 出 現 確 率 を も と に した が,こ 字 の 情 報量 が 計 算 で きる。 例 え ば 〔 例 題9〕 のyは,表4.7か  

出 現 確 率 は0.05

 

情 報 量 は-log20.05≒4.32

と な る。 一 方,表4.11で

表4.11 

ら,平

ら,

比 較 す る と,〔 例 題9〕 に お け る 各 文 字 の 情 報 量 と コ ー

ドの 長 さ が ほ ぼ 等 し い こ と が わ か る 。

  表4.11か

の 出 現 確 率 か ら各 文

情 報 量 と コ ー ドの 長 さ

均 コ ー ド長 を 調 べ て み よ う。

you

send

me

correct

codes

の 文 に お け る各 文 字 の エ ン ト ロ ピ ーI,お

よ び 平 均 コ ー ド長Cは

次 の よ う に な る。

(4.15)

(4.16)

よ っ て,こ

問12 

の エ ン ト ロ ピ ーIと

〔 例 題9〕

を 表4.11か

平 均 コ ー ド長Cは

の ハ フ マ ン コ ー ドに お い てmute 

secondの

エ ン ト ロ ピ ー と 平 均 コ ー ド長

ら求 め よ。

4.3 

ゲ ー ム の理 論

  ゲ ー ム の 理 論 は,身

近 な 問 題 に 確 率 を 応 用 す る 格 好 の テ ー マ で あ る。 こ こ で は,

2人 で 行 う単 純 化 さ れ た ゲ ー ム を,身

[1] 

ほ ぼ等 し くな る。

近 か な 表 現 で 考 え て み よ う。

ゼ ロ 和 ゲ ー ム

  L球

団 の ピ ッ チ ャ ー 園 川 が,強

打 者 と し て 恐 れ ら れ て い るO球

団 の イチ ロー

選 手 と 向 か い 合 っ て マ ウ ン ドに 立 っ て い る と しよ う 。 園 川 は 直 球 と変 化 球(カ ブ)を 武 器 に し,イ

チ ロー は そ の ど ち ら

表4.12 

ー

打率の利得表

か の 手 で く る か を 予 想 して 打 率 を 上 げ よ う と す る 。 今 ま で の イ チ ロ ー の 予 想 と, そ れ が 当 る 確 率 をO球

団 が次 のよ うに

調 べ た。 (1) 

利 得 表 の利 用

  表4.12を

イ チ ロ ー 側 の 利 得 表 と い い,次

の こ と を 示 し て い る。

  ・直 球 が く る と イ チ ロ ー が 予 想 し た と き,直

球 だ っ た 場 合 が3割5分,予

想 に

反 して カ ー ブ だ っ た 場 合 が2割   ・カ ー ブ が く る と イ チ ロ ー が 予 想 し た と き,カ

ー ブ だ っ た 場 合 が3割,予

想 に

 

反 し て 直 球 だ っ た 場 合 が1割5分

  ゲ ー ム の 理 論 で,対 法 を 方 略(ス 方 略 は2通

戦 者 の 打 つ 手 を 戦 略 と い い,ど

ト ラ テ ジ ー)と

い う。 こ の 場 面 で は,両

の 戦 略 を 選 ぶ か そ の選 択 方 者 の 戦 略 は 直 球 と カ ー ブで,

りず つ あ る 。

  こ の対 決 で は,で

き る だ け安 全 で,損

が 少 な い 選 択 を お 互 い に と る と仮 定 し,

次 の 方 略 で プ レ ー が 進 行 す る。   ・行,つ

ま り イ チ ロ ー側 か ら見 た と き,行

の あ る 第1行 ・列 ,つ

を選 ぶ 。

〔 例 題10〕

の 最 大 値 の 小 さ い 方0.3(＜0.35)の

を選 ぶ 。

利 得 表4.12に

〔 解 〕 ①   イ チ ロ ー は,各 行 目,つ  

 

ま り 園 川 の 側 か ら見 た と き,列

あ る 第2列

よ っ て プ レ ー は ど う 進 行 す る か,そ 行 の 最 小 値 を 探 す(0.2と0.15)。

②  園 川 は,イ

③  イ チ ロ ー は,園

④  園 川 は,イ と0.3)の

 

ま り カー ブを 選 ぶ 。

川 が カ ー ブ を 投 げ る と 見 て と り,2列

び ② に 戻 り,②

目(0.35と0.15)

ま り直 球 を選 ぶ。

→ ③ → ④ → ⑤ → の よ うに循 環 を繰 り返 す 。

の プ レ ー で は両 者 の 予 想 が 表4.13 

う し た ゲ ー ム を 鞍 点 が な い ゲ ー ム と い う。 の 場 合,2人

2人 ゲ ー ム と い い,両

目(0.15

ま り直 球 を 選 ぶ 。

川 が 直 球 を 投 げ る と 見 て と り,1列

ぐる ぐる回 って 安 定 す る こ とが な い。 こ

ま た,こ

目(0.2と0.3)

ま りカ ー ブを選 ぶ。

中 で 損 の 少 な い 方 の 列,つ

の 中 で 利 得 の 大 き い 方 の 行,つ

〔例 題10〕

目(0.35と

チ ロ ー が カ ー ブ を 予 想 し て い る と 見 て と り,2行

⑤  イ チ ロ ー は,園

  以 下,再

そ れ が 最 大 で あ る1

チ ロ ー が 直 球 を 予 想 し て い る と 見 て と り,1行

の 中 で 利 得 の 大 き い 方 の 行,つ  

の 進 行 状 況 を示 せ。

ま り 直 球 を 最 も安 全 と考 え て 選 ぶ 。

0.2)の 中 で 損 の 少 な い 方 の 列,つ  

の 最 小 値 の 大 き い 方0.2(＞0.15)

が プ レー す るの で 者 の 取 り う る戦 略

ゲ ー ム の推 移

は 共 に 直 球 と カ ー ブ の2種

類 しか な い の で2×2ゲ

ー ム と い う。 ま た,対

戦 者 は

お 互 い の 方 略 を 完 全 に 知 る こ と が で き る と 仮 定 して い る の で 完 全 情 報 ゲ ー ム と い い,一

方 の 得 点 が 他 方 の 失 点 に な っ て い る の で ゼ ロ 和 ゲ ー ム と も い う。 こ こ で あ

げ た ゲ ー ム は,完

全 情 報2×2の2人

ゼ ロ和 ゲ ー ム と い う最 も基 本 的 な ゲ ー ム の

例 で あ る。   こ の プ レ ー で は,両

者 は 互 い に 相 手 の 戦 略 を 予 想 し な が ら,安

て 利 得 を 最 大 に し,損

失 を 最 小 限 に し よ う と して,い

択 す る 。 利 得 表4.12に

よ る選 択 で は,例

え ば,次

全 を基 本 に お い

くつ か の 戦 略 か ら1つ

の 方 略 で 安 全 性,利

得(損

を選 失)

の ね らい を具 体 化 して い る。   ・安 全 の 方 略;イ

チ ロ ー が,行

の最 小 値 に着 目す る。

  ・利 得 最 大 の 方 略;イ

チ ロ ー が1列(0.35と0.15)の

  ・損 失 最 小 の 方 略;園

川 が1行(0.35と0.2)の

  こ の 方 略 を ミ ニ マ ッ ク ス 法 と い い,ゲ 現 実 の 人 間 は,こ

最 大 値0.35を 最 小 値0.2を

選 ぶ。

選ぶ。

ー ム の 理 論 の 中 心 を な す 考 え 方 で あ る。

こ に あ げ た 戦 略 や 方 略 だ け で 行 動 す る わ け で は な く,ミ

ニマ ッ

ク ス法 は 手 堅 す ぎ て と き に は 最 良 の 方 法 と な ら な い こ と が あ る 。   し か し,行

動 の パ タ ー ン と して ミニ マ ッ ク ス 法 は 基 本 的 で あ り,集

基 づ く戦 争 や 市 場 開 拓 な ど に 有 効 に な る。 実 際,ゲ 戦 で 実 際 に 用 い ら れ,現

問13  A君

とB君

団 の 行動 に

ー ム の 理 論 は,第2次

世 界大

在 で も選 挙 運 動 や 市 場 獲 得 に 利 用 さ れ て い る 。

が 表4.14の

利得 表 に従 っ

表4.14  利 得 表

て 得 点 を 得 る と い うル ー ル で,ゲ ー ム を 行 う と き の 推 移 を 調 べ よ。 た だ し,ゲ

ー ム はA

君 か ら開 始 す る も の とす る。

  問13の

ゲ ー ム で は,上

の 両 者 と も同 じ手,つ

の 戦 略 を 両 者 が 選 び 続 け る 。 こ の 戦 略(1行2列)を

ま りⅠ の 行 とⅡ の 列(2行2列

目)

鞍 点 と い う。

[2]  混 合 戦 略  これ ま で の ゲ ー ム で は,相 手 が どん な戦 略 を選 択 した か,そ の方 略 を他 方 が 完

全 に 知 り 得 る と 仮 定 した 。 しか し,実 しか で き な い 。 そ の 場 合,事

〔 例 題11〕

際 に は相 手 の方 略 を対 戦 者 は予 想 す る こ と

態 は か な り複 雑 に な る 。

園 川 が 直 球 を 投 げ る 確 率 をp=0.4と

し た と き,イ

チ ロ ー の打 率 を求

め よ。 〔 解〕

イ チ ロ ー が 直 球 を 予 想 し た と き,利

イ チ ロ ー が カ ー ブ を 予 想 し た と き,利

〔 例 題11〕 か ら,イ

得 表4.12の1行

目 か ら,

得 表4.12の2行

目か ら

チ ロ ー は 直 球 を 予 想 し た 方 が 有 利 に な る 。 こ の よ う に,園

川 が 直 球 を 投 げ る と きの 確 率 で イ チ ロー の とる方 略 が 決 ま る。   園 川 が 直 球 を 投 げ る 確 率 をpと こ の プ レ ー で は,イ の 打 率 は,そ

す れ ば,カー

ブ を 投 げ る 確 率 は1-pで

チ ロ ー が 直 球 を 予 想 し た 場 合,お

あ る。

よ び カ ー ブを 予 想 した場 合

れ ぞ れ次 の よ う にな る。

 (a)  イ チ ロ ー が 直 球 を 予 想 し た と き の 打 率

直線1

 (4.17)

  p=1の p=0の

と き,0.35(表4.15の1行1列 と き,0.2(同1行2列

目,図4.16の 目,直

線1の

直 線1の

右 端)

左 端)

 (b)   イ チ ロ ー が カ ー ブ を 予 想 した と き の 打 率

直線2

 (4.18)

  p=1の

と き,0.15(同2行1列

  p=0の

と き,0.3(同2行2列

表4.15 

目,直 目,直

線2の 線2の

右 端) 左 端)

利 得 表

図4.16 

確 率pと

打率 の関係

 この プ レー で は,対 戦 者 は相 手 の 方 略 を確 率 で 予 想 し,利 得 表 を利 用 して 安 定

性 の も と に 利 得,あ

る い は損失 が 最適 に な る よ うに 方 略 を 決 め る。

  こ こ で,式(4.17),式(4.18)を 〔 例 題12〕

園 川 が 確 率pで

p=0.1,0.5の 〔 解〕

も と に両 者 の 方 略 を 考 え て み よ う 。 直 球 を 選 ぶ と き,ど

場 合 を も と に,両

次 の 各 場 合 は,園

  (a) p=0.1の

の よ うな プ レ ーが展 開 さ れ る か 。

者 が と る べ き方 略 を 求 め よ 。

川 の 確 率pに

対 し て,イ

チ ロ ー が 期 待 で き る打 率 で あ る。

場合

直線1 直線2 よ っ て,イ  (b) p

=0

チ ロ ー は 直 線2(カ

ー ブ)を 選 び,こ

の と き の 打 率 は0 .285に

な る。

.5の 場 合

直線1 直線2 よ っ て,イ

チ ロ ー は 直 線1(直

球)を 選 び,こ

図4.17 

の と き の 打 率 は0.275に

な る。

確 率 と 打 率2

  ・イ チ ロ ー は 打 率 を 最 高 に し た い の で

,園

川 の 各 確 率pに

対 し,常

に 直 線1,

2の 高 い 方 の 戦 略 を 選 ぶ 。  ・園 川 は イ チ ロ ー の 打 率 を 最 低 に 抑 え た い の で   直球 を投 げ る。  こ れ が 両 者 の 最 善 の 方 略 で あ る。  直 線1,2の

交 点 は,連

か ら,p=1/3と

な る。

立 方程 式

,直

線1,2の

交 点 の 確 率pで

  し た が って,園

川 は 直 球 を 確 率1/3,カ

最 善 で あ る 。 こ の と き,イ

ー ブ を 確 率2/3で

チ ロ ー は 直 球,カ

投 げ続 け る 方 略 が

ー ブ の ど ち らで を 予 想 して も 同 じ打

率 で,

だ か ら,そ

れ は2割5分

〔 例 題12〕 で は,対

に な る。

戦 者 は 安 全 で か つ 最 良 の 選 択 を,あ

る確 率 で と る。 こ う し

た ゲ ー ム の こ と を 混 合 戦 略 と い う。 問14  A,B両

君 が 表4.16の

戦 略 の ゲ ー ム を行 うと き,B君

表4.16利

利 得 表で混 合 はⅠ,Ⅱ

得 表

をど

の よ う な確 率 で 選 ぶ の が最 善 策 か 。

  今 度 は,イ

〔 例 題13〕 1-qと 〔 解〕

チ ロ ー の 最 善 策 を 求 め て み よ う。

表4.15で す る と き,園

イ チ ロ ー 選 手 が 直 球 を 選 ぶ 確 率 をq,カ

ー ブを 選 ぶ 確 率 を

川 が 選 ぶ 戦 略 と イ チ ロ ー の打 率 を求 め よ。

園 川 選 手 が 直 球 を 選 ぶ 場 合,お

よ び カ ー ブ を 選 ぶ 場 合 の イ チ ロ ー の 打 率 は,

次 の よ う に な る。   (a)  園 川 が 直 球 を 選 ぶ と き,

直線1

 (4.19)

 (b)  園 川 が カ ー ブ を選 ぶ と き,

直線2 こ の と き の 打 率 とqの

 (4.20)

関 係 は,図4.18の

図4.18 

よ う に な る。

打 率 とqの

関係

  こ の と き,園

川 は で き るだ けイ チ ロ ーの 打 率 を 低 くお さえ よ う とす る。 そ れ に

対 し て イ チ ロ ー は,2直

線 の 交 点 を 選 ぶ の が よ い 。 そ こで,次

の連 立 方 程 式 を 解

く。

  解 を 求 め る とq=0.5,し い 。 こ の と きy=0.25,つ

たが って 直 球 と カ ー ブ の比 率 を 半 々 に す る の が よ ま り イ チ ロ ー の 最 善 の 打 率 は2割5分

と な り,〔 例 題

12〕 の 解 と 一 致 す る 。

問15 

利 得 表4.16の

ゲ ー ム で,A君

〔 例 題14〕A,B両 る 。A君

は ど ん な 確 率 でⅠ,Ⅱ

君 が 相 手 に見 え な い よ うに交 互 に お金 を 置 くゲ ー ム を して い

は 何 も 出 さ な い か,5円

か10円

か の3通

20円 の ど れ か を 出 す も の と す る 。 ま た,両 A君

が,奇

数 の と き,B君

作 り,A,Bの

り の 出 し 方 を し,B君

は1円

か

君 が 出 した お 金 の 合 計 が 偶 数 の と き

が そ れ を も ら え る も の と す る。 こ の ゲ ー ム の利 得 表 を

最 善 の方 略 を調 べ よ 。

〔 解 〕A君

の 利 得 を 調 べ る 。A君

の と き,B君 A君

を選 ぶ のが 最 善 か 。

が1円,20円

表4.17  A君

が0円

の 利得 表

出 し た 場 合,

の 利 得 は そ れ ぞ れ-1円,+20円

で あ る 。 同 様 に し て,A君 円 の と き も調 べ る と,表4.17の

が5円,10 利 得表

が で き る。

  B君 が1円 を 出す 確 率 をqと す れ ば,20円

出 す確 率 は1-qに

な る。 よ っ て各

行 の 戦 略 に対 す る値 は,次 の 式 で 表 され る。 1行 目

 (4.21)

2行 目

 (4.22)

3行 目

 (4.23)

  A君 はで き るだ け効 果 を 上 げ よ うとす る ので3つ が 大 き い方 を 選 ぶ。

の直 線 の う ち,qに

対 す る値

  図4.19の

最 も上 の 折 れ 線 に対

して,Bは

そ の 最小 直を と る の で,

1行 と2行

の 直 線 の 交 点 がBの

最

善 の 方 略 に な る。   式(4.21),(4.22)で 式 を 作 り,解

連立 方 程

を 求 め る。

図4.19 

利得 と確 率 の 関 係

よ っ て,

  B君

は45:7の

割 合 で1円

と20円

を 出 せ ば,毎

れ が 最 善 の 方 略 で あ る 。 こ の と き,A君

は0円

回1.83円

か5円

程 度 の 損 で 済 み,こ

を 出 し,10円

は出 さな い

方 略 を と る。 問16〔

例 題14〕 で,A君

の最 善 の 方 略 を 求 め よ。

〔 例 題14〕 で は,A君

が0円

の と き の 確 率 をpと

pで-p+6(1-p),20p-25(1-p)の

す る と,5円

交 点 か ら,A君

の 確 率 で そ れ ぞ れ0,5円,10円

を 出 し,B君

れ1円,20円

を 出 す の が 最 善 の 策 で あ る。

  し か し,毎

回A君

が1.83円

は45/52,7/52の

儲 け る こ と に な る の で,B君

を 出 す 確 率 は1-

は31/52,21/52,0 確 率 で,そ

れ ぞ

は このゲ ー ムはや ら

な い 方 が 最 も よ い と い う結 論 に な る 。 〔 例 題14〕

の ゲ ー ム も表4.12の れ を2×3の

場 合 と 同 様 に,A君

る と0に

な る の で,こ

2×nの

ゼ ロ 和 ゲ ー ム に も適 用 で き る 。 な お,ゲ

の 得 点 とB君

の得 点 を加 え

一 般 ゼ ロ 和 ゲ ー ム と い う。 同 様 の 考 え 方 は, ー ム の 理 論 に は,2×nで

和 が

ゼ ロ で な い ゲ ー ム も あ る。

[3]    2×nの

プ ロ グ ラ ム 一 般 ゼ ロ和 ゲ ー ム の 解 を コ ン ピ ュ ー タで 求 め て み よ う。A君

ゲ ー ム を 行 い,A君

がn通

り の 手 を も ち,そ

れ ら を 戦 略1,戦

略2,…,戦

とB君

が 略n

と し,B君

が2通

を 戦 略1,戦

り の 手 を 持 ち,そ

略2と

ム の 利 得 表 をA君

す る。 ま た,こ

表4.18 

れ ら

A君 の 利 得 表

のゲ ー

の 立 場 か ら,表4.18

の よ う に 作 る。   こ こ でB君

が 戦 略1を

選 ぶ 確 率 をqと

す れ ば,,式(4.21),式(4.22),式(4.23) と 同 様 に,次

の 式 が 得 られ る 。

1行 目

2行 目

n行 目  こ こでi行 目の 直線 とj行 目の 直線 の連 立 方 程 式 を解 い て,次 の式 が得 られ る。

  こ の 図4.19の のi,ｊ

よ う に 太 い 直 線 を 作 っ た と き のyが

に対 して 次 の 連 立 方 程 式 を 解 い て,A君

最 小 に な るi,jを

の 最 善 の 値z,そ

求 め,こ

の と き の 確 率p

が 求 め ら れ る。

  プ ロ グ ラ ム4.4で プ ロ グ ラ ム4.4

は,A君

の 戦 略 の 個 数nと,利

得 表 の 値 をdata文

で 入 力 す る。

A 

計算の結果 ,Bの 最 善 の 確 率.5961539 ,Bの 最 善 の 利 得1.826923

4.4 

.8653846   -1 .826923

マル コフ過 程

  現 代 社 会 は競 争 の社 会 で も あ る。 大 手 新 聞 社 は発 行 部 数 の推 移 に気 を 使 い,各 テ レ ビ局 は視 聴 率 の 変 化 に 一喜 一 憂 す る。 こ う した 変 化 を 単 純 化 す る と発 行 部 数 や 視 聴 率 の よ うす が 見 え て く る。 こ こで は行 列 を 用 い て 一 定 の 確 率 が 与 え られ た と きの推 移 につ いて 考 え る。

[1] 

推 移 の モ デル 化

  情 報 化 社 会 で は多 方 面 の 情 報 が 行 き交 って い る。 そ の 情 報 は,競 合 す る企業 間 の 浮 沈 を左 右 す る。 そ の基 本 的 な例 に つ い て考 え て み よ う。 〔 例 題15〕

東 京 とそ の周 辺 で は,夕 刊 紙 が 事 実 上A,Bの2紙

か も毎 週 そ の市 場 占有 率 が次 の よ うに変 化 す る と い う。

に 独 占 され,し

  ・A紙 を買 った読 者 は翌 週80%が

再 びA紙

を買 い,20%がB紙

に変 え る。

  ・B紙 を買 った読 者 は翌 週75%が

再 びB紙

を買 い,25%がA紙

に変 え る。

 最 初 に同 じ占有 率 で あ った と き,1週 〔 解 〕1週

間 後,2週

間 後 の各 社 の 占有 率 を 求 め よ。

間 後 の 占有 率 は,次 の よ う にな る。

A社 B社  2週 間 後 の 占 有 率 は,次

の よ うに な る。

A社 B社 (1) 

表 現 の しか た

〔 例 題15〕 の 変 化 を 示 す 図4.20を

図4.20 

 ま た,変

シ ャ ノ ン線 図

化 の よ うす は表4.19の 表4.19 

シ ャ ノ ン 線 図,図4.21を

図4.21 

よ う に 表 す こ と が で き,こ

推 移 グ ラ フ

れ を 推 移 表 と い う。

推移表

図4.22

  この表 で は,わ

推 移 グ ラフ と い う。

 推 移 行 列

くを取 り去 って も流 れ は変 わ らな い の で,図4.22の

よ う に数

字 とか っ こで 表 す こ とが で き る。 こ う して で きた 数 の 集 ま りを 推 移 行 列 とい う。   数 を行 と列 に並 べ た数 の集 ま りを行 列,行 列 の各 数 の こ と を成 分,第i行j列 の成 分 を 第ij成 分,第kk成 らな る行 列 の こ とをm×n(型

分 の こ とを 対 角 成 分 と い う。m個 の)行 列 と い い,n×n行

の 行 とn個 の 列 か

列 の こ と をn次

の正方

行 列 と い う。   行 列 は,コ

ン ピ ュー タで推 移 の変 化 を包 括 的 に と らえ,ま た計 算 す る の に便 利

で あ る｡

問17  図4.22の

推 移 行 列 につ い て,次 の 各 問 に答 え よ。

 (a) 行 列 の型 は何 か 。  (b) 

何 次 の正 方 行 列 か。

 (c) 対 角 成 分 は何 か。 (d) 

0.2は 第何 行 何 列 の成 分 か。

(2) 

行列計算

〔 例 題15〕 の 計 算 を 行 列 で 行 お う。1週

間 後 の 占 有 率 は,次

の よ うに 行 列 で 表

す ことが で き る。

A社 B社  こ こ で,行

列 の 計 算 は 次 の よ う に な り,結

果 は2×1行

列 で 表 さ れ る。

(4.24)  2週 間 後 の 占有 率 も同 様 に して,次 の よ うに計 算 す る。

A社 B社

問18  〔 例 題15〕 の3週 間 後 の 占有 率 を,小 数 点 以 下 第5位 を 四 捨 五 入 して求 め よ。

[2] 

行 列 の積

  行 列 の積 とそ の 計 算 方 法 につ いて 考 え よ う。 (1)  積 の定 義 と計 算   図4.22を2回

繰 り返 す推 移 は,図4.23の

よ うに な る。

図4.23 

 図4.23で,例 ら,次

え ばA→Aと

繰 り返 しの 推 移

な る 確 率 は,A→A→AとA→B→Aの

和 だ か

の 値 に な る。

そ の 他 の推 移 の確 率 も同 様 に して 求 め られ る。

こ れ ら4つ

の 式 を,行

列 の 式(4.24)と

同 じ形 で 求 め る。

(4.25) こ こで 行 列 を 文 字 で 表 し,そ の 累 乗 の 計 算 を 考 え る。 (4.26) と お け ば,式(4.25)はPPと

な る の で,こ

れ をPPをP2と

表 し,行

列Pの2乗

とい う。 式(4.26)のPで

は,

(4.27)

と な る。   さ ら に,P2PをP3,P3PをP4な ま た,行

列PとQに

つ い て 式(4.25)の

問19  行 列 の式(4.27)を

(2) 

ど と 表 し,こ

利 用 してP4を

れ らを行 列 の 累 乗 と い う。

規 則 で 行 うPQを

行 列 の 積 と い う。

求 め よ。

プ ログ ラ ム

  行 列 の 積 を 求 め る プ ロ グ ラ ム を 作 っ て み よ う。 プ ロ グ ラ ム4.5で Qの

成 分 をdata文

で 与 え て お き,行

列Rに

行 列 の 積PQの

は,行

計 算 結 果 を 入 れ る。

こ の プ ロ グ ラ ム は,2×2行 くn×n行 数nもdata文

プ ロ グ ラ ム4.5

図4.24

列P,

列 だ けで な

列 で も計 算 で き る よ う に,次 で 入 力 す る。

計算 の結果 .6900001 .31

  特 に,QをPと   例 え ば,プ

す れ ばR=P2,QをP2と ロ グ ラ ム4.5の

列P3が

求 め られ る 。

 

data 

0.69, 0.3875 

  data 

行 列P,行

求 め られ る。

成 分 に あ た るdata文

計 算 結 果(P3) 

を次 の よ うに 修 正 す

0.6295  0.463125  0.3705 

0.31,  0.6125

  さ ら に,P3を

  .6125

す れ ばR=P3が

行 列Qの

れ ば,行

  .3875

列Qのdata文

0.536875

に 入 れ て お け ば,行

列P6が

求 め られ

る 。

data 

問20 

 計算結果(P6)

0.6295 

0.463125

data

 0.3705 

0.536875

 0.5678582

 0.5401775

data

 0.6295 

0.463125

 0.4321420

  0.4598226

data

 0.3705 

0.536875

プ ロ グ ラ ム4.4を

利 用 し てP9を

求 め よ。

[3]  マ ル コ フ過 程  

プ ロ グ ラ ム4.5を

〔 例 題16〕11人

利 用 して 行 列 の 問 題 を 解 決 して み よ う。

の 人 が あ る情 報a;「aで

う。 こ の と き,情

報aを

あ る」 を電 話 で順 番 に 伝 達 す る と しよ

誤 っ て 否 定 し 「aで な い 」 と 伝 え て し ま う 確 率 は0.05

で あ る と い う。   一 方,情

報aの

否 定 情 報 を 再 び 否 定 し て し ま う確 率 は0.1で

め に 「aで あ る 」 と 流 した 情 報 が11人 〔 解 〕aで 図4.25,そ

な い と い う情 報 をa'と

目 の 人 に 正 し く伝 わ る 確 率 を 求 め よ 。

表 せ ば,1回

の 推 移 行 列 は 図4.26のPの

あ る と い う。 は じ

の 伝 達 で 情 報a,a'の

よ う に 表 さ れ る。

伝達 状態 は

図4.25 

図4.26 

推 移 グ ラ フ

  プ ロ グ ラ ム4.5を

用 い てP10を

推 移 行 列

計 算 す る 。 そ れ に はP2,P4,P8,P8P2を

求

め る。

た だ し,各 成 分 は小 数 点 以 下 第5位 を 四 捨 五 入 して あ る。

図4.27 

  11人

目 の 人 が 情 報aをaと

る確 率 は0.2677に

正確 に 伝 達 され る 割 合

して 受 け 取 る 確 率 は0.7322に

減 り,誤

な る 。 そ の 途 中 の 人 が 誤 る 確 率 の 数 値 はpnの

って 受 け 取

第1行1列

成 分

低 く て も10回

伝 達 す

で 示 さ れ る(図4.27)。

〔 例 題16〕 で は,1人1人 る と,約1/4が

が 誤 っ て 伝 達 す る 確 率 は0.05と

誤 る こ と を示 す 。

  一 方,aで

な い と い う情 報 を 最 初 に 伝 達 し た 場 合,aで

率 は0.4646と

な り,半

  な お,100回

分 以 上 が 誤 る こ と を 示 し て い る。

以 上 の 伝 達 で はaで

ほ ぼ2/3で

一 定 の 値 に な り,こ

列 の 累 乗 の 計 算 が 必 要 で,そ   一 方,〔 例 題16〕

な い と正 し く伝 わ る確

あ る こ と が 正 し く 伝 達 さ れ る 確 率 は0.66667,

れ を定 状 状 態 と い う。 定 状 状 態 を 調 べ る に は行

れ に は コ ン ピ ュ ー タ が 有 効 な 道 具 に な る。

の よ う に各 回 が 独 立 な 試 行 で,推

移 行 列 の 積 に よ って あ る定

状 状 態 に 収 束 す る 現 象 の こ と を マ ル コ フ 過 程 と い う。 マ ル コ フ 過 程 で は1回 の 変 化 は 小 さ く て も,収

束 結 果 は も と の 状 態 と は か け 離 れ る こ と が 多 い。

問21  隣 りあ うA国

で は,毎

とB国

民 がB国

民 に な る人 がA国

逆 にB国

民 がA国

年A国

の 全 人 口 の1%,

民 に な る 人 がB国

口 の0.8%い

る と い う。 初 め にA国

民 だ け,B国

にB国

年 後,20年

の全 人 にA国

民 だ け い る と し て 丸10

後 の 両 国 に い るA,B国

民 の比 図4.28 

率 を求 め よ。  マ ル コ フ過 程 で 特 異 な 状 態 に 落 ち つ く例 と し て,次

〔 例 題17〕

問21と

同 じ状 況 で,B国

に 戻 る こ と が な い と し た と き,A国

の よ うな 問 題 が あ る。

の将 来 を 予 測 せ よ。 移 行 列 は 図4.30で

図4.30 

 P10,P100を

推 移 グ ラ フ

民 に な っ た 人 は 居 心 地 が よ い た め にA国

〔 解〕   こ の 問 題 で 移 動 の 状 態 は 図4.29,推

図4.29 

ごと

表 され る。

推 移 行 列

推 移 グ ラ フ

計 算 す る と,次

の よ う に な る。

(4.28)

民

  A国

に お け るA国

民 の 割 合 は 約10年

〔 例 題17〕 で は,式(4.28)か 1:2に

後 に は 約90%,100年

後 に37%に

ら初 め の 人 口 が ど う で あ れ,A,B両

な る こ とが 予 想 さ れ る 。 この 計 算 結 果(図4.31)は

図4.31 

  この結 果 に よ れ ば,A国

な る。

国民 の比率 が

それ を 裏 づ け る。

吸収マ ルコフ過程

の首 相 は早 急 に手 を打 た な い と民 族 の存 亡 に関 わ る こ

と に な る。1つ の場 所 に入 った ら出 られ な い,ブ ラ ック ホ ール の よ う な マ ル コ フ 過 程 を吸 収 マ ル コ フ過 程 とい い,過 疎 化 の社 会 現 象 だ け で な く生 物 の住 み分 け な ど の 自然 現 象 に も見 られ る。 こ う した現 象 を数 学 的 に考 察 す ると きに はコ ン ピュー タに よ る大 量 の デ ー タ処 理,大 量 の計 算 が必 要 に な る。 そ の こ と に よ って 結 果 を 洞 察 した り分 析 す る こ とが で きる。

練習問題 1.  コ イ ン投 げ の ゲ ー ム で4回 な る確 率p(s3=k)で m=-4

,-2,0,2,4と

し,こ

2.  コ イ ン 投 げ の ゲ ー ム で,A君 p(Tn=0)をn=6ま 3. 問11の

目 に 得 点mに

表 し,確

率p(s4=m)を

な る 確 率p(s4=m)を,3回

目 に 得 点kに

求 め よ 。 た だ し,k=-3,-1,1,3,

れ 以 外 の 確 率p(s3=k),p(s4=m)は0と がリ

ー ド し 続 け た 後n回

で 求 め よ。 ヒ ン ト:P(T6=0)=P(T5=1)/2と

文 の 平 均 情 報 量 と 平 均 コ ー ド長 を 求 め よ 。

す る。 目 で 得 点 が0に 図4.4

な る確 率

4.  利 得 表4.20でAか

らゲー ムを始 め る と

表4.20

  き,完 全 情 報 ゼ ロ和 ゲ ー ム と,一 般 ゼ ロ和   ゲ ー ム(混 合 戦 略)の 両 方 に つ い て 最 適 解 を調 べ よ。

5.  A,B,Cの3状

態 の1回 の変 化 が次 の確 率 で 表 され て い る と き,10回

うす を調 べ よ。 A→A,B,Cの

確 率 が,そ

れ ぞ れ0.4,0.3,0.3

B→A,B,Cの

確 率 が,そ

れ ぞ れ0.4,0.3,0.3

C→A,B,Cの

確 率 が,そ

れ ぞ れ0.6,0.2,0.2

後 の変 化 の よ

第5章  デ ータ解析   この 章 で は,あ

るね ら いで集 め た デ ー タ を 調 べ るた め に,度 数 分 布表 な ど に表 す方 法 と,

そ の 平 均値 や 分 散 な どの 代 表値 の求 め方 に つ い て考 え よ う。 この テ ーマ は記 述 統 計 と も呼 ば れ,推 測 統 計 と と もに統 計 の主 要 な 内容 に な って い る。

5.1  デ ー タ の 表 現   市 場 調 査 や 健 康 調 査 な どの 目的 で デ ー タを 集 め る と き,情 報 源 の傾 向 を知 る た め に さ ま ざ ま な統 計 的 な表 現 や数 値 化 が行 わ れ る。 これ を デ ー タ解 析 と い う。 こ こで は,リ ー フプ ロ ッ ト,ヒ ス トグ ラム,相 対 度 数 グ ラフな どで デ ー タの傾 向 を 表 現 し,平 均 値 と分 散 な ど で数 値 化 す る こと を考 え よ う。

[1] 

リ ー フ プ ロ ッ ト

  表5.1は,某 さ が20の

学 校 の 男 女20名

デ ー タ,資

ず つ の テ ス トの 点 の 集 ま り で あ る 。 こ れ を 大 き

料 な ど と い う。 ま た,85,74な

ど個 々 の デ ー タ を 変 量 と い

う 。 こ の デ ー タ を い く つ か の 方 法 で 表 し て テ ス トの 特 性 を 探 っ て み よ う。 表5.1 

テ ス トの デ ー タ

  表5.2を

リー フ プ ロ ッ ト ま た は デ ジ タ ル グ ラ フ と い い,度 数 分 布 を 調 べ た りデ ー

タ の 特 性 を 調 べ る の に使 う 。 リー フ プ ロ ッ トは,表5.3の プ ロ グ ラ ム5.1の 表5.2 

計 算 結 果 の よ う に デ ー タ そ の も の を 並 べ る こ と も あ る。 リー フ プ ロ ッ ト

  表5.2,表5.3で

は 表5.1の

表5.3 

男 子 の 点 を20点

プ 分 け を し て い る 。 こ の よ う に,グ の こ と を 幹,ま

よ う に 昇 順 に並 べ た り,

た は 級,各

を そ の 級 の 下 限,最

順 序 づ け た リー フ プ ロ ッ ト

台,30点

ル ー プ 分 け で20点

台,…,90点 台,30点

台 で グ ルー

台 な どの各 範 囲

級 に 入 る 個 数 を 度 数 と い う。 級 に あ る デ ー タ の 最 小 値

大 値 を 上 限 と い う。 ま た デ ー タ の 範 囲 を レ ン ジ と い う。 こ の

デ ー タ の レ ン ジ は25点

か ら92点

で あ る。 表5.3の

よ う に順 序 化 した リー フ プ ロ ッ

トで は 直 ち に レ ン ジ を 読 み と る こ と が で き る。

[2]  度 数 分 布  

リ ー フ プ ロ ッ ト と 同 じ 枠 組 み で,図5.1の

ま た,例

え ば 表5.3で

中 点 値 と い い,図5.4の

各 級20,30,…,90の

う 。 こ こ で,例

中 央 の 値24.5,34.5,…,95.5を

よ う に 定 め る 。 各 中 点 値 と 度 数 の 組,お

数 の 組(14.5,0),(104.5,0)で (104.5,0)を

よ う に 度 数 分 布 を 作 る こ とが で き る。

よ び そ の両 端 の

決 ま る 点(24.5,2),(34.5,1),…,(94,5,1),

結 ん で で き る 図5.2の え ば,20,21,…,29の

各 級 の

よ うな 折 れ 線 グ ラ フの こ とを 度数 多角 形 と い 中 点 値 を 図5.4の

よ うに定 め た。

図5.1 

図5.2 

問1  表5.1の

度 数 分 布

度 数 多角 形

女 子 の デ ー タに つ い て リー フ プ ロ ッ ト,度 数 分 布 表 を 作成 せ よ。

相対度数分布   各 級 に お け る数 値 を 表5.4の

よ う に 全 体 の 割 合 で 表 し,こ

れ を相 対 度 数 表 と い

う。 表5.4  相 対度 数 表

  度 数 分 布 と同 様 に して 作 る,図5.3の

棒 グ ラ フ を 相 対 度 数 分 布,ま

グ ラ ム と い う。 相 対 度 数 分 布 で は棒 線 の長 さの和 は1に な る。

た は ヒス ト

図5.4  図5.3 

問2  表5.1の

[3] 

ヒス トグ ラ ム

女 子 の デ ー タの ヒス トグ ラム,相 対 度 数 多 角 形 を作 成 せ よ。

累 積 度 数 分 布

  デ ー タ に よ っ て は,表5.5の 図5.6の

級 の 中点値

よ う な 累 積 度 数 曲 線(パ

累 積 度 数 表 か ら 図5.5の

累 積 度 数 分 布,あ

レ ー ト図)を 作 る と,そ

るい は

の特牲 が わか る場合 が

あ る。 表5.5  累 積度 数表

図5.5 

累積度数分布

  累 積 度 数 分 布 で は右 端 の 値 が度 数 の 合 計 を 表 し,パ レー ト図 で は 曲線 は常 に 右 上 が りに な る。

図5.6 

問3  表5.1の

[4] 

パ レ ー ト図

女 子 の デ ー タ につ い て 累 積度 数 分 布,パ

レー ト図 を作 成 せ よ。

プ ロ グ ラ ム

  表5.1の

デ ー タ を 入 力 し,リ

ー フ

プ ロ ッ トと度 数 分 布 を作 成 す る プ ロ グ ラム を 考 え よ う。 入 力 した デ ー タ を 昇 順 に 並 べ て 級 ご と に ま とめ れ ば, リー フ プ ロ ッ ト に な る 。

図5.7

60  

プ ロ グ ラ ム5.1

計算の結果 級  20  3 40 50 70 80 90

度 数 累 積   リ ーフプ ロツ 卜 2  0  1   3

 2 

2  3   6

8 

25  27 30   40 

45 

47

50  52

2  10   5  15 

60  70 

65 72 

74 

75 

4  19   1  20 

  81  92

82 

85 

86

プ ロ グ ラ ム5.1で

は使 う変 数 を,次

・デ ー タ の 大 き さ をn ,レ

77

の よ う に し て い る。

ン ジ(範 囲)の 下 限 をmin,上

・ リ ー フ プ ロ ッ トと 度 数 分 布 表 の 級 の 幅 をhと 表5.1の

男 子 の デ ー タ で は,次

の 値 を 用 い る。

す る。

限 をmaxと

す る。

  プ ロ グ ラ ム は こ れ ら の 変 数 を も と にn個

の デ ー タ を 入 力 し,バ ブ ル ソ ー トで デ ー

タ を 昇 順 に 並 べ て リー フ プ ロ ッ ト,度 数 分 布 表,累

問4 

プ ロ グ ラ ム5.1を 利 用 して,表5.1の

積 度 数 分 布 表 を作 成 す る。

女 子 の デ ー タの 度 数 分 布 表,累

積度 数分布 表

お よ び リー フ プ ロ ッ トを作 成 せ よ。

5.2  平 均 値 と分 散  

あ る デ ー タ 全 体 を 表 す 値 と して 平 均 値 を よ く使 う。 ま た デ ー タ の 散 ら ば り方 を

表 現 す る 値 と し て 分 散 が 使 わ れ る が,そ

[1] 

 

平 均 値

平 均 値 の 計 算 は,デ

ー タに よ って は多 少 の工 夫 が 必 要 に な る。 主 な平 均 値 の計

算 方 法 を あ げ て み よ う。 な お,平 (1)   

の求 め方 と利 用 法 を考 え る。

均 値 は も と の デ ー タ と 同 じ単 位 に な る 。

平均値

あ る デ ー タ が あ っ た と き,個

で 割 っ た 数 値 を 平 均 値 と い い,例 た と き,平

均 値xは

々 の デ ー タ の 和 を と り,そ え ばxで

れ を デ ー タ全 体 の 個 数

表 す 。 デ ー タa1,a2,…,anが

あっ

次 の よ う に して 求 め ら れ る 。

(5.1)   平 均 値 に は,式(5.1)の

変 形 と して い くつ か の 求 め 方 が あ る 。 特 に,〔 解3〕 の

方 法 を 仮 平 均 法 と い う。

〔 例 題1〕 〔 解1〕

表5.1の

男 子 の デ ー タの平 均 値 を求 め よ。

〔 解2〕

表5.4で,級

の 中 点 値 と度 数 を か け て 平 均 値 を 求 め る。

〔 解3〕

表5.1で,仮

の平 均 値 点60と の偏 差 の平 均 値 を 求 め,最

後 に60点 を 加

え る。

  度 数 分 布 表 が あ る と き や,平

均 値 の 概 数 が わ か っ て い る と き,式(5.1)の

バ リ

エ ー シ ョ ンを 〔解2〕 や 〔 解3〕 の よ う に して 使 う こ と も で き る 。 〔解2〕 で は,各 級 の 中 点 値24.5,34.5,…,94.5を

用 い る た め,〔 解1〕 と 多 少 の 違 い が で き る が,

そ れ は本 質 的 な こ とで は な い。   デ ー タ の 度 数 分 布 表 が 表5.6の

表5.6  度 数 分 布 表

よ うに

与 え られ た と き,〔 解2〕 の 方 法 は 次 の 式 で 表 され る。

(5.2)   な お,確

率 の 平 均 値(期 待 値)は 式(5.1)と

同 様 の 計 算 で 求 め る が,確

合 は ま だ 起 こ ら な い 事 象 につ い て 一 種 の 予 測 を 行 い,そ 値 で あ る 。 そ れ に 対 し て 式(5.1)は,あ こ の よ う に,同

問5  表5.1の

率の場

こで 期 待 で き る値 が平 均

る デ ー タの よ うす を示 す代 表 値 で あ る。

様 の 式 で もそ の意 味 が異 な るの で 注意 を 要 す る。

女 子 の デ ー タの 平 均値 を 求 め,男 子 の 場 合 と比 較 せ よ。

(2)  相 乗 平 均 値   ロ シア な どの 国 で は イ ンフ レが 進 み,名 の 平均 賃 金 の よ うす は式(5.1)の

目賃 金 の ア ッ プが 毎 年 行 わ れ,今 ま で

よ うな平 均 値 で は わ か らな い。 毎 年 飛躍 的 な生

産 拡 大 を続 け るあ る メ ー カ ーの 電気 製 品 の平 均 生 産 台 数 な ど も これ に属 して いる。

  例 え ば,あ

る ロ シ ア人 の 月 給 が1989年 表5.7 

  こ の7年

か ら次 の よ う に 変 わ っ た と す る。 月給 の 移 り変 わ り

間 に お け る彼 の 給 料

の 平 均 値 は,4.87万 に な る。 一 方,も

ル ー ブ ル と の デ ー タの

対 数 を と る こ とが 特 に 経 済 統 計 な ど で よ く行 わ れ る 。 こ の デ ー タ の 常 用 対 数 を と り,そ 値 を 求 め る と0.553に

の平均

な る。

  対 数 の 平 均 値 は も との 数値 で は100.553=3.572〔 と な り,こ

万 ルー ブ ル〕

図5.8 

給 料 の 移 り変 り

の値 の方 が実 態 を反

映 す る。 こ の こ と は 図5.8,図 5.9か

ら もわか る。

  さ て,こ

の 値3.572を

直 さ ず に 求 め る と,次

対 数 に の よ うに

な る。

図5.9 

  一 般 に,正

の 値 の デ ー タa1,a2,…,anの

次 の 式 で 表 さ れ,こ

給 料 の 移 り変 り(対 数)

対 数 を と っ た と き の 平 均 値xは,

れ を 相 乗 平 均 と い う。

(5.3)

問6 

あ る 染 め 物 工 場 に は染 料 の プ ー ル(埋

め 込 ん だ 壺)が

あ り,そ

れ らに つ い て ア ル カ リ

度 が 次 の よ う に 測 定 さ れ た と い う。 こ れ ら の 平 均 値 を 求 め よ 。 た だ し,phは 対 数 を と っ て い る た め,相  

イ オ ンの値 の

乗 平 均 を と る必 要 が あ る 。

7.8  7.4  7.9  7.5  1.4  7.5  7.6

(3) 

移動平均

  例 え ば,表5.8の

よ う に 日 々 変 動 す る 株 の 値 動 き も5日

ずつの平均値を とって

い け ば 大 き な 流 れ の よ うす が わ か る。 こ の よ う な デ ー タ を 時 系 列 デ ー タ と い い, こ の と き の 平 均 値 を 移 動 平 均 と い う。 な お,図5.10で の 平 均 値 を8月1日

に プ ロ ッ トし て あ る。 表5.8  8月 のJ社

図5.10 

[2] 

分

 こ こ で は,分

は7月29日

の株 価 と移 動 平 均

8月 のJ社

の 株価 と移 動 平 均

散 散 と 標 準 偏 差 を 求 め,デ

ー タの標 準 化 を考 え よ う。

か ら8月3日

(1) 

分

散

  表5.1で

は 男 子 の 平 均 値 が61.75,女

ど差 が な い。 しか し図5.11の

子 の 平 均 値 が61.55で,平

均 値 に ほ とん

度 数 多 角 形 か ら わ か る よ う に,そ

の散 らば り方 に

大 き な 差 が あ る。 ち ら ば り の 度 合 い を 数 値 化 す る た め に,平 方 の 平 均 値 を と り,こ の 平 均 値xが

れ を 分 散 と い い,υ

わ か って い る と き,分

均 値 か らの 偏 差 の 平

で 表 す 。 デ ー タa1,a2,…,anと

そ

散υ は 次 の よ う に して 求 め られ る。

(5.4)

図5.11 

男女 の 得 点 の ち らばり

 分 散 に は い くつか の 求 め 方 が あ る。 〔 例 題2〕

表5.1の

男 子 の デ ー タ の 分 散 を 求 め よ。

〔 解1〕

〔解2〕

度 数 の平 方 の平 均値 を求 め,も と の平 均 値 の平 方 を 引 く。

〔 解3〕

度 数 分 布 表 が与 え られ て い る と き度 数 の平 方 の平 均 値 を求 め,も

均 値 の 平 方 を 引 く。

と の平

〔 解1〕 と 〔 解2〕 の 値 は 丸 め 誤 差 を 除 い て 常 に 一 致 す る が,〔 解3〕 の 値 は 多 少 異 な る 。 し か し,そ

れ は 本 質 的 な も の で は な い 。 表5.6の

度 数 分 布 表 と 平 均 値x

が 与 え ら れ て い る と き,〔 解3〕 の 解 は 次 の 式 で 求 め られ る。

(5.5)

問7  表5.1の

女 子 の デ ー タに つ いて 分 散 を式(5.4)で

布 表 を もと に して 式(5.5)で

(2) 

求 め よ。 ま た問1で

作 った 度 数 分

求 め よ。

標 準偏 差

  分 散s2の

平 方 根√s2=sの

標 準 偏 差 は√416.99=20.42〔

こ と を 標 準 偏 差 と い う 。 表5.1で

男子 の デー タの

点 〕,女 子 の 標 準 偏 差 は√214.92=14.66〔

点 〕に

な る。   標 準 偏 差 が 小 さ い 女 子 の デ ー タ は,男 る こ と が 図5.12,図5.13か

子 よ り も平 均 値 の ま わ り に ま と ま っ て い

らわ か る。

図5.12 

男子のち らばり

図5.13 

女 子 の ち らば り

[3]   

デ ー タの 標準 化

集 め た デ ー タa1,a2,…,anか

ら求 め た平 均 値xと 標 準 偏 差sで 作 った デ ー タ

(5.6) は,平

均 値0,標

準 偏 差1に

れ た デ ー タ の こ と をz-ス

な る 。 こ の 方 法 を デ ー タ の 標 準 化 と い い,標

生 デ ー タ は,平 と が あ り,そ

コ ア と い う。 ま た,100点

均 値50点,標

準 偏 差10点

準化 さ

満 点 で 行 っ た テ ス ト結 果 の

で 「標 準 化 」 し た 方 が わ か り や す い こ

の 場 合 に は 次 の 式 を 用 い る。 こ う し た デ ー タ は,そ

れが正規分布 に

従 う と き 真 価 を 発 揮 す る。

(5.7)  こ う し て 作 っ た デ ー タ の こ と をt-ス

〔 例 題3〕z-ス タ を 入 力 し て,各 〔 解 〕

コ ア,t-ス

コ ア と い う。

コ ア の プ ロ グ ラ ム を作 成 し,表5.1の

あ る男子 の デー

ス コア の デ ー タ を求 め よ。

こ の デ ー タ で は,平

均 値x=61.75〔

た 。 各 点 数 か らx=61.75を こ れ は プ ロ グ ラ ム5.2で

点 〕,標 準 編 差s=20.42〔

引 き,s=20.42で

割 れ ばz-ス

行 え る。 結 果 は 表5.9の

点 〕で あ っ

コ ア が求 め られ る。

よ う に な る。

プ ロ グ ラ ム5.2

表5.9 

  各 点 数 か らx=61.75を

男子 のz-ス

引 き,s/10で

コア

割 り50を

足 せ ばt-ス

コ アが 求 め られ

る。 こ の 手 順 は プ ロ グ ラ ム5.2の4∼6行 't-ス

目 のzをtに

コア

t=(a-m)/s*10+50 PRINT

USING 

"###.##";t

END

の よ う に 修 正 す れ ば よ い 。 結 果 は小 数 以 下 を 四 捨 五 入 し表5.10の 表5.10 

問8 

表5.1の

タ の 平 均 値,標

女 子 の デ ー タ に つ い て,z-ス 準 偏 差 はx=62.0,s=14.66で

〔例 題3〕 と 問8で 図5.15の

男 子 のt-ス

得 たz-ス

よ う に な り,男

よ う に な る。

コア

コ ア とt-ス

コ ア を 求 め よ 。 な お,こ

の デー

あ る。

コ ア とt-ス

コ ア の 度 数 多 角 形 を 作 る と,図5.14,

女 の平 均 値 とち らば りが一 致 す る こ とが わ か る。

図5.14 

図5.15 t‐

Z‐ ス コ ア

スコ ア

[4] 

プ ログ ラ ム

  デ ー タを入 力 し,そ れ を処 理 す る方 法 と して デ ー タそ の もの を入 力す る場 合 と, 度 数 分 布 表 を代 入 す る方 法 が あ る。 これ らを 行 うプ ロ グ ラムを 作 ろ う。 (1) 

生デ ータ

  プ ロ グ ラ ム5.3で と そ の 大 き さnを 均 値,分

散,標

は,デ

ー タ

入 力 して,平

準 偏 差 を 求 め,

z-ス コ ア,t-ス

コアを出力

す る 。 計 算 の 結 果 は,次

のよ う

に な る。

図5.16

プ ロ グ ラ ム5.3

計算の結果 平 均 値,分

散,棟

準 偏 差;61.75,416.9873,

20.42027

z-ス コア 1.14 

0.60 0.94 0.99 0.16 

-0 .82 -0.48  t-スコア

1.19 -0

.72 -0.58 -1.70 

0.75 -1.55 -0.09 -1.80 -1.07 

0.65 

61 

56 

59 

60 

52 

62 

43 

44 

33 

65

42 

45 

57 

34 

49 

32 

39 

56 

54 

55

1.48

0 .40 

0.50

(2)  度 数 分 布   度 数 分 布 表 か ら平 均 値,分 散 な ど の値 を求 め る プ ロ グ ラム を作 って み よ う。 プ ロ グ ラム5.4で 度 数 分 布 表 の級 の 中点 値 と度 数 を入 力 し,平 均値 を式(5 .2),分 散 を式(5.5)で

求 め る。

図5.17

プ ロ グ ラ ム5.4

計算の結果 平均値,分 散,標 準偏 差

; 6.3,4.227497,2.056088

問9  問1の 度 数 分 布 表 につ い て,女 子 の平 均 値,分 散,標 準 偏 差 を求 め よ。

5.3   

メ ジ ア ン,モ

ー ド

あ る ね ら い で デ ー タ を 収 集 す る と き,平

均 値 や 分 散 で は,そ

せ な い こ と が あ る 。 デ ー タ の もつ 性 質 と,ね と し て メ ジ ア ン,モ

[1] 

ら い を う ま く表 せ な い と き の 表 し方

ー ドにつ いて 考 え よ う。

デ ー タ の種 類

  統 計 処 理 を 行 い,そ 順 位,番

の 特 性 を う ま く表

の 特 性 を と ら え る た め の デ ー タ に は,長

号 な ど が あ っ て,次

も 異 な る。

の よ う に 分 類 で き,そ

さ,重

さ,点

数,

れ に 応 じて デ ー タ 処 理 の 方 法

(1)  比 率 尺 度   長 さ,重 さ,面 積,体 積,時 間 な ど,日 常 よ く使 わ れ る数 量 の 尺 度 を 比 率 尺度 と い う。 この 尺 度 の 目盛 りは等 間 隔 にで き,1m,1.1mの

よ うに 目盛 りが 等 間 隔

で,そ れ らに は意 味 が あ る。 比 率 尺 度 で は2m+3m=5m,3×(2g)=6g の よ う に単 位 の加 減 乗 除 が で き る。 (2)  間 隔 尺 度   テ ス トの点 数,知 能 テ ス トの点,摂 氏 や 華 氏 の 温 度 な ど の尺 度 を間 隔 尺 度 と い う。 こ の尺 度 は等 間 隔 の 目盛 りで測 定 で き るが,そ ま た3点+4点=7点,10度-3度=7度

の間 隔 に一般 的 な意味 はな い。

とい う加 減 算 は可 能 で あ るが,2×

3点 の よ うな乗 除算 は意 味 を もた な い。 (3)  順 序 尺 度   成 績 順 位,マ

ラ ソ ンの順 位,鉱 石 の硬 度 な ど の尺 度 を順 序 尺 度 とい い,順 位 づ

け はで き る が,1位

と2位 の差 に一 般 的 な意 味 は な い。 等 間隔 の 目 盛 りで は 差 が

測 定 で き な い尺 度 で あ る。 (4)  名 義 尺 度   保 健 証 の登 録 番 号,電 話 番号,出 席 番 号 な ど の尺 度 を名 義尺 度 とい い,数 量 間 に大 小 関 係 や等 間 隔 性 もな く四 則 演算 は無 意 味 で あ る。 問10  次 の デ ー タの 尺 度 を い え 。   (a)

 表5.3で

昇順 に並べたデー タ

  (b)  あ る野 球 球 団 の 一軍 選 手 の1シ   (c)

 ある学校 の学生 の学生 番号

  (d)  1円 玉100個

[2] 

の重 さ

メ ジ ア ン,モ

  こ こ で は,メ (1) 

ー ズ ン中 に お け るホ ー ム ラ ン数

ー

ジ ア ン,モ

ド ー ド,4分

位 数 の 求 め 方 に つ い て 考 え よ う。

メ ジア ン

  あ る デ ー タ が あ っ た と き,表5.2の ら順 に 並 べ た り,あ

る い は 降 順,つ

よ う に 各 デ ー タ を 昇 順,つ

ま り小 さ い 値 か

ま り大 き い値 か ら順 に並 べ た と き に メ ジ ア ン

が 現 れ る 。 デ ー タ の 個 数 が 奇 数 の と き,並 が 偶 数 の と き,中   例 え ば,0か

央 に あ る2個

ら9ま

べ た デ ー タ の 中 点 値 を,デ

ー タ の個 数

の デ ー タ の 平 均 値 を メ ジ ア ン と い う。

でのデー タ

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9

の メ ジ ア ンは,中 5.4の20か

央 に あ る2個

ら29の

の デ ー タ4,5の

デ ー タ で は,メ

の デ ー タ が 同 じ場 合 は,そ

平 均 値 を と っ て4.5と

ジ ア ン は24.5で

あ る。 な お,中

央 に あ る2個

れ を メ ジ ア ン と す る。 メ ジ ア ン は,表5.3の

序 づ け た リー フ プ ロ ッ トを 作 っ た り,プ

す る。 図

よ うに 順

ロ グ ラ ム で デ ー タ を ソ ー ト して 求 め る こ

と が で き る。 (2) 

モ ー

ド

  度 数 分 布 で 最 も度 数 の 多 い 級 の 中 央 の 値 を モ ー ドと い う。 デ ー タ に よ っ て は, モ ー ドが2つ

以 上 あ る 場 合 が あ る 。 例 え ば,次

の 各 場 合 の よ う に,モ

ー ドの 個 数

は デ ー タ に よ っ て 異 な る。 (a)2,3,4,4,5,8,9の

モ ー

ド は4で

あ

モ ー

ド は5と9で

(b)1,3,5,5,7,9,9,10の

問11  表5.1の

あ

る 。

女子 の デ ー タの メ ジ ア ン,モ ー ドを 求 め よ。

  度 数 分 布 表 が 与 え ら れ た と き の メ ジ ア ン,モ

〔 例 題4〕

る 。

あ る ク ラ ス の22人

ー ドは 次 の よ う に し て 求 め る 。 表5.11  兄 弟 数 の 度 数

で 本 人 も含

め た 兄 弟 の 人 数 を 調 べ た と こ ろ,表5.11 の よ うに な った。 この度 数 分 布 表 の メ ジ ア ン と モ ー ドを 求 め よ 。 〔 解〕

モ ー ドは 最 も度 数 の 多 い 級2人

  ま た,こ

で あ る。

の デ ー タ を 昇 順 に 並 べ た と き,メ

る 変 量 だ か ら,級2の

幅 を(11-4):10に

ジ ア ンMeは22の 配 分 し,メ

半 分 の11に

対 す

ジ ア ンを次 の式 で求 め る。

(5.8)

 一 般 に

,メ

ジ ア ンMeは

次 の式 で求 め る。

(5.9)   こ こ で,ai-1:中

央 値 の あ る級

の 下 限,h:級

の 幅,N:デ

の 総 数,fi:中

央 値 の あ る級 の 度

数si-1:中

ー タ

央 値 の あ る級 ま で の

度 数 で あ る。

図5.18 

問12  表5.5の

(3) 

メ ジ ア ンの 求 め 方

度 数 分 布 の メ ジ ア ン と モ ー ドを 求 め よ 。

4分 位 数

  デ ー タ を 昇 順 に 並 べ た と き,左 と い い,q1で

表 し,75%の

か ら25%の

位 置 に 対 応 す る 値 を 上 位4分

そ れ ら は メ ジ ア ン の 求 め 方 と 同 様 に,デ 間 の デ ー タ の メ ジ ア ン,最

位 置 に 対 応 す る 値 を 下 位4分 位 数 と い い,q3で

ー タ を 昇 順 に 並 べ,最

位数 表 す。

小 値 とメ ジア ンの

大 値 とメ ジア ンの 間 の メ ジ ア ンと して求 め る こ とが で

き る。   例 え ば,表5.1の 式(5.11)の

男 子 の デ ー タ を 昇 順 に 並 べ た と き,q1,q3は

概 略,式(5.10),

よ う に し て 求 め る。

(5.10) (5.11)  4分 位 数 の 計 算 と 同 様 の 考 え 方 で,メ

ジ ア ンMeを

求 め る こ とが で き る。

図5.19 

4分

位 数 と メ ジア ン

(5.12)   度 数 分 布 表 が 与 え ら れ て い る と き の4分

位 数 は,例

え ば 表5.11の

次 の よ う に し て 求 め る。 一 般 的 な 式 は,プ

ロ グ ラ ム5.4お

デ ー タ で は,

よ び5.5で

考 え る。

(5.13)

(5.14)

  同 様 に し て,メ

ジ ア ン も求 め

られ る。

問13  表5.1の 数 と 上 位4分

女 子 の 下 位4分

位

位 数 の概 略 の値 を求

め よ。 図5.20 

[3] ボ

ッ ク スプ ロ ッ ト

  表5.3の

順 序 づ け た リー フ プ ロ ッ トで,男

メ ジ ア ン は(65+70)/2=67.5〔 79.0点

4分 位 数 と メ ジ ア ン

子 の 点 数 の レ ン ジ は25点

点 〕,下 位4分

位 数 は46.0点,上

か ら92点,

位4分

位 数 は

で あ る。 こ れ ら の 数 値 を 次 の よ う に ボ ッ ク ス プ ロ ッ トで 表 現 す る こ と が

で き る。

(1) 

ボ ッ クス プ ロ ッ ト

図5.21 

  ボ ッ ク ス プ ロ ッ トで は,下 の 間 を ボ ッ ク ス で 描 き,最 を 線 分 で 描 き,ひ 50%が

あ り,こ

の 間,上

位4分

男 子 の ボ ッ ク スプ ロ ッ ト

位4分

位 数q1=46.0か

小 値25とq1=46

.0の 間,q3=79.0と

げ と い う 。 ボ ッ ク ス プ ロ ッ トで は,ボ の 範 囲 を4分

位 区 間 と い い,qで

(2) 

の 間 に25%ず

最 大 値92の

間

位 数 とメ ジア ン

つ が あ る 。 ま た,左

つ が あ る 。 図5.21で

の

は,46.0と

つ が 集 中 し て い る。

2つ のボ ッ ク ス プ ロ ッ ト

  表5.1の

女 子 の デ ー タ ス コ ア で は レ ン ジ は35点

分 位 数,上

位4分

ジ ア ン,下

位4

だ か ら,男 女 の デ ー タを ボ ッ

の よ うに な る。

図5.22 

  図5.22か

か ら91点,メ

位 数 は そ れ ぞ れ62.5,50.5,73.0点

ク ス プ ロ ッ トで 比 較 す る と,次

男女 の ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト

ら女 子 の 点 が メ ジ ア ン の ま わ り に 集 中 して い る こ と が わ か る 。 度 数

分 布 や 度 数 多 角 形 な ど と 同 様 に,ボ し,標

位 数q3=79.0

ッ ク ス の 間 に デ ー タの

表 す 。 下 位4分

位 数 と メ ジ ア ンの 間 に 全 デ ー タ の25%ず

ひ げ の 区 間 と 右 の ひ げ の 区 間 に デ ー タ の25%ず 67.5,67.5と79点

ら上 位4分

準 偏 差 と 同 様 に4分

問14  次 の デ ー タ は,1994年

位 区 間qで

ッ ク ス プ ロ ッ トで も デ ー タ の 散 ら ば り を 表 現 も散 ら ば り を 数 量 化 す る こ と が で き る 。

に おけ る あ る20県

の13歳 男 女 の 体 重 の 平 均値 で あ る。 こ の

デ ー タ か ら 男 女2つ

の ボ ッ ク ス プ ロ ッ トを 作 り,そ

の特 徴 を あ げ よ。

表5.12  各 県 の体 重 の平 均 値

[4] 

パ ー セ ン タ イ ル 順位

  ここで は,デ ー タを昇 順 に並 べ た と きの順 位 を点 数 化 す る こ とを考 え る。 与 え られ た デ ー タ を昇 順 に並 べ て,そ の 順 位 を デ ー タ の 個 数 で 割 り100倍

した 整 数

〔%〕で表 現 した 順 序 尺 度 の デ ー タを,パ ー セ ンタ イ ル 順位 ま た は百分 位 と い い, PRで

表 す。

(1)  デ ー タ か ら求 め る 〔 例 題5〕

次 の 大 き さ20の

デ ー タを パ ー セ ン タイ ル 順 位 で 表 せ 。

85  74  81  82  65  86  47  50  27  92  45  52  77  30  60  25  40  75  70  72

〔 解〕

デ ー タ を リー フ プ ロ ッ ト等 で 次 の よ う に 昇 順 に 並 べ る 。 25  27  30  40  45  47  50  52  60  65  70  72  72  74  75  81  83  85  86  92

  デ ー タ の 順 位 を20で

割 り100倍

す る 。 た だ し,同

じ値 の と き は 同 じ順 位 と し,

続 く順 位 を60  60 70の

よ う に と ば す 。 こ れ が パ ー セ ン タ イ ル 順 位 で あ る。

5  10  15  20  25  30  35  40  45  50  55  60  60  70  75  80  85  90  95  100

 パ ー セ ン タイ ル順 位 は,も

との間 隔 尺 度 の デ ー タを 「等 距 離 」 の順 序 尺 度 にす

る と き,例 え ば,成 績 を無 視 して順 位 だ け を問 題 にす る場 合 に用 い られ る。 〔 例 題5〕 の パ ー セ ン タ イ ル 順 位 か ら わ か る よ う に,PR=50と も と の デ ー タ の メ ジ ア ン で あ り,PR=25の の デ ー タ が 上 位4分

問15 

表5.12の

位 数q3に

デ ー タ が 下 位4分

な る。

女 子 のデ ー タを パ ー セ ン タイ ル順 位 で 示 せ 。

な る デ ー タが 位 数q1,PR=75

(2) 

累 積 度 数 分 布 表 か ら作 る

  例 え ば,表5.5の

累 積 度 数 分 布 表 を も と に し た 昇 順 の デ ー タ と,そ

のパ ー セ ン

タ イ ル順 位 は次 の よ うに な る。 表5.13 

こ こ で,例  ①  47を  

の 生 徒 の パ ー セ ン タ イ ル 順 位 は,次

の手 順 で 求 め る。

挟 む パ ー セ ン タイ ル順 位 を探 す。

47は40と50の

 ②  47を  

え ば47点

パ ー セ ン タ イ ル順 位

間 に あ り,こ

れ を 挟 む パ ー セ ン タ イ ル 順 位 は20と35

挟 む パ ー セ ン タ イ ル 順 位 の 区 間 を 比 例 配 分 す る。

区 間20≦x≦35を(47-40):(50-40)の

  ③   小 数 点 以 下 第1位

比 で比 例 配 分 す る。

を4捨5入

す る。

す な わ ち,

(小数点以下第1位4捨5入) (5.15)

[5]  プ ロ グ ラ ム   度 数 分 布 表 をdata文

で 入 力 し,昇

順 に 並 べ て メ ジ ア ン,4分

位 数,モ

ー ドを

求 め る プ ロ グ ラ ム を 作 って み よ う 。   プ ロ グ ラ ム5.5で

は,表5.14の

表5.14  度 数 分布 表

形 の度 数

分 布 表 で 表 さ れ た デ ー タ を ペ ア に して 入 力 し, モ ー ド と各 代 表 値 を 求 め る 。 ま ず,級

の個 数

mと デ ー タ の 大 き さ つ ま り 度 数 の 合 計nを, 次 に 級 の 値 と そ の 度 数xk,fk,k=1,2,…, mをdata文

で 読 み 込 み,モ

4分 位 数 を 求 め る 。 こ こ で,メ

ー ド,メ

ジ ア ン,

ジ ア ンMe,下

そ れ ぞ れ 式(5.16),式(5.17),式(5.18)を

位4分

位 数q1,上

用 い る。

位4分

位 数q3は,

(5.16) (5.17) (5.18)   こ こ に 式(5.16)の 級 の 下 限,fiは

メ ジ ア ン で は,h=10は

そ の 級 の 度 数,si-1は

式(5.18)のq3に

計算の結果 モード60

メジ アン62

下 位4分 位 数   50 上 位4分

そ の 級 ま で の 累 積 度 数 で,式(5.17)のq1,

つ いて も同 様 で あ る。

プ ロ グ ラ ム5.5

位 数 73.33334

メ ジ ア ン が あ る 級 の 幅,xiは

その

問16  右 の 表5.15は,子

犬21匹

表5.15 

が お 座 りが 完 成

お座 りの回 数

す るま で の 練 習 回 数 の度 数 分 布 表 で あ る。 こ の 表 か らモ ー ド,メ ジア ン,下 位4分

位 数,上

位4分

位 数 を 求 め よ。

5.4  相 関 係 数   組 に な っ た デ ー タ(ai,bi)に

つ い て,aiの

値 で 表 し て み よ う。 い ま,10人

の 生 徒 に つ い て,数

社 会,芸

術 の 点 が 表5.16の

デー タの関連 性 を数

学Ⅰ と数 学Ⅱ,英

語,体

育,

よ う に な っ て い る と し よ う。 表5.16 

  な お,表5.16で

デ ー タ とbiの

数 学 と各 教 科 の 点

は,数 学Ⅰ の 点 数 に1点 ず つ 加 算 した点 を数 学Ⅱ の 点 数 と して

あ る。

[1] 

相 関図

  表5.16の

デ ー タ を 数 学Ⅰ の 点 と 比 較 し関 連 性 を 見 る た め に,横

点 を 縦 軸 に,そ   図5.23で

軸 に 数 学Ⅰ の

の 他 の 点 を プ ロ ッ ト し た 。 こ れ を 相 関 図 と い う。

は,数

学Ⅱ の 点 が 数 学Ⅰ の 点 の 一 次 関 数 で 表 せ,し

か も 数 学Ⅰ の 点

が よ く な れ ば 数 学Ⅱ の 点 も よ く な る 。 こ れ を 完 全 な 正 の 相 関 が あ る と い う 。図 5.24の

数 学Ⅰ と英 語 の 関 係 を 強 い 正 の 相 関 が あ る と い う。

  一 方,図5.26の

よ う に,強

い 負 の 相 関 も あ り,こ

の場 合 に は傾 き が 負 の 形 に

表 せ る。 な お,強 い相 関,弱 い相 関,相 関 が な い状 態 に明 確 な区 別 は な い。

図5.23 

完 全 な正 の相 関

図5.26 

強 い負の相関

問17  表5.16の

図5.24 

図5.27 

強 い正 の 相 関

弱い負の相関

図5.25 

図5.28 

弱 い正 の相 関

相関 が な い

デ ー タか ら,国 語 と体 育,国 語 と社 会 の相 関 図 を 作 成 し,相 関 の正 負 お よ

び強 弱 を い え。

[2] 

相 関 係 数

  相 関 の度 合 い を数 値 化 して み よ う。 例 え ば,数 学Ⅰ と英 語 の相 関 は次 の よ うに 行 う。 (a) 平 均 値 を求 め る  

数 学Ⅰ の平 均 値x=5.5〔

 

英 語 の平 均 値y=6.4〔

点〕 点〕

(b) 標 準 偏 差 を求 め る  

数 学Ⅰ の 標準 偏 差sx=1.77

 

英 語 の標 準 偏 差sy=1.43

(c) 積 の平 均 値 を 求 め る

 これ らの 数 値 か ら,数 学Ⅰ と英 語 の相 関係 数rxyを 次 の よ う に して求 め る。

(5.19)   特 に,式(5.19)の

分 子 の 式(5.20)を

共 分 散 と い い,sxyで

表 し,回

帰 で利用

す る 。 す な わ ち,

(5.20) 問18  国 語 の点 の 平均 値,標 準 偏 差,数 学Ⅰ と国 語 の 積 の平 均 値 を求 め,そ

れ らの値か ら

数 学Ⅰ と 国語 の 相 関係 数 を 求 め よ。

  式(5.11)で 係 数 は表5.17の

求 め た 数 学Ⅰ と数 学Ⅱ,英

語,国

語,体

育,社

会,芸

術 との 相 関

よ う に な る。 表5.17  相 関 係 数

 この 表 か ら相 関 の状 態 と相 関係 数 につ い て,次 の こ とが わ か る。 表5.18  相 関 と相 関 係 数 の関 係

〔 注 〕 相 関 関係 が あ るか ど うか の統 計 的 な検 定 は7.3節 で 行 う。

[3] 

プ ログ ラム

  プ ロ グ ラ ム で 相 関 係 数 を 求 め て み よ う。 プ ロ グ ラ ム5.6は,ペ の デ ー タ が 与 え ら れ た と き,平 い る。

均 値 と標 準 偏 差,共

ア に な っ たn組

分 散 お よ び相 関 係 数 を 求 め て

問19  英語 と 国語,体 育,社 会,芸

術,国

語 と体 育,

社 会,芸 術,体 育 と社 会,芸 術,社

会 と芸術 の各相 関

係 数 を プ ロ グ ラム5.6を 用 いて 求 め よ。 〔 注 〕 相 関 で は,ペ ア に な っ た 組 の デ ー タ の 関 連 性 を 相 関 係 数 と して 数値 化 した。 この考 え方 を利 用 し,7章 の よ う に各 相 関係 数 の大 き さ か ら2種 類 の デ ー タの 関 係 の 強 さの 分 析 や,一 方 の デ ー タ か ら他 の デ ー タの 推 測 を 行 う こ とが で きる。

図5.29

プ ロ グ ラ ム5.6

計算の結果 平均 値5.5

  6.4

  1.428285

標 準 偏 差  1.746425 相 関 係 数.7617079

練習問題 1.  あ る 自 動 車 工 場 で 働 く5人  

の 初 任 給 は,次

の 通 り で あ る と い う(単

位 万 円)。

16,16,19,20,22  (1)  5人

  (2)  6人

の 初 任 給 の 平 均 値,メ 目 に50万

2.  表5.19の

ジ ア ン,モ

ー ドを 求 め よ 。

円 の 人 が 加 わ っ た と き の 上 の 各 値 は ど う な る か｡

デ ー タ は,ア

メリ カ に お け る 男 女 の 既 婚 者 の 累 積 し た 割 合 で あ る(単

位%)。

表5.19

 

度 数 多 角 形,平

3.  2回

均 値,メ

ジ ア ン な ど を 用 い て2つ

の 数 学 の テ ス トが あ り,A君

の 点 は そ れ ぞ れ82,88点

の 方 が で き が よ か っ た か 。 た だ し,1回 80点,標

準 偏 差 は5,6点

4.  表5.20の

デ ー タ は,30個

の デ ー タの 特 徴 を あ げ よ。

目 と2回

で あ った。 ど ち らの テ ス ト

目 の テ ス トで は そ れ ぞ れ 平 均 点 は72,

で あ った。 表5.20

の ミ ル ク1cc

中 の バ ク テ リ ア の 個 数 で あ る。 平 均 値 と 標 準 偏 差 を 求 め,そ

5.  1か

ら9ま

で の 数 か ら い ろ い ろ な4数

の と き の4数,お た だ し,同 は1.118で

の特 徴 に つ い て述 べ よ。

を と る と き,そ

よ び 標 準 偏 差 の 最 大 値,最

の 平 均 値 の 最 大 値,最

小 値 と そ の と き の4数

じ数 が あ っ て も よ い と す る 。 例 え ば,4数1,2,3,4の あ る｡

小値 とそ

を そ れ ぞ れ 求 め よ。

平 均 値 は2.5,標

準 偏差

第6章  統計的推測   推 測 統 計 の ね らい はデ ー タを 解 析 して,そ

こか ら何 か情 報 を 引 き 出す こ と で あ る。 こ こ

で は,少 しの デ ー タか ら多 くの情 報 を 引 き出 す た め に サ ンプ リ ング,推 定,検

定 につ いて

考 え,そ れ らで 用 い る数学 モ デ ル を ま とめ る こ とに す る。

6.1  サ ン プ リ ン グ   あ る集 団 の 特 性 を つ か む の に,そ

こか らで き るだ け少 な い デ ー タを収 集 して で

き るだ け有 益 な 情 報 を得 た い。 デ ー タを う ま く収 集 す る と き の工 夫 につ いて 探 っ て み よ う。

[1] 

母 集 団 と標 本

  い ま,パ ソ コ ンで は機 能 の多 様 化 が進 ん で お り,買 う人 に と って は限 られ た 機 能 で 安 い か,値 段 が 多少 高 くて もパ ソ コ ン通 信 な ど の機 能 が あ る方 を 買 うか 迷 う と ころ で あ る。 (1)  全 数 調 査   学 校 や 企 業 の あ る課 で パ ソ コ ンを導 入 しよ う とす る と き,そ こ に い る人 全 員 に つ い て調 査 を行 い,各 人 の希 望 の最 大 公 約 数 的 な条 件 を明 らか にす るこ とにな る。 ま た,各 学 校 で行 う健 康 調 査 や,5年

に1回 行 う国勢 調 査 の よ うな調 査 もあ る。

こ の よ う な 調 査 を 全 数 調 査 と い う 。 全 数 調 査 は,ふつ

う多 く の 労 力,時

間,費

用

を 必 要 とす る。 (2) 

標本調査

  消 費 者 に 対 して パ ソ コ ン メ ー カ ー は,売 そ こ で,パ

れ 筋 の 見 極 め が 最 大 の ポ イ ン トに な る。

ソ コ ン メ ー カ ー は タ ー ゲ ッ トを 若 者,中

調 査 を 行 う 必 要 が 生 じ る 。 こ の 場 合,若 を 対 象 に 調 査 を 行 い,全 標 本 調 査 は,マ

高 年,女

性 な どに 絞 って市 場

者 全 員 を 対 象 に で き な い の で,そ

の一 部

体 像 を 知 ろ う と す る。 こ の よ う な 調 査 を 標 本 調 査 と い う。

ー ケ ッ ト リサ ー チ だ け で な く選 挙 の と き の 支 持 率 調 査,あ

る製 品

の 中 の 不 良 品 の 割 合 の 調 査 な ど で 行 わ れ る。

図6.1 

全 数 調 査.と標 本 調 査

(3)  母 集 団 と標 本   我 々 が そ の特 性 を調 べ た い対 象 を母 集 団 とい う。 母 集 団 は個 々 の人 や物 か らな り,そ れ らを個 体 とい う。 母 集 団 に お け る個 体 の個 数 を母 集 団 の 大 き さ と い う。 ま た,母 集 団 の部 分 集 合 を標 本 とい い,そ の個 数 を標 本 の 大 きさ と い う。 母 集 団 の状 況 を反 映 す る よ うに標 本 を選 び 出 す こ とをサ ンプ リン グ(抽 出)と い う。 選 挙 の支 持 率 調 査 や パ ソ コ ンの売 れ筋 調 査 な ど,現 実 の標 本 調 査 で は労 力,時 間, 費 用 をで き る だ け少 な く し,し か も母 集 団 を代 表 す る よ う にサ ンプ リ ング をす る 必 要 が あ る。 母 集 団 の状 況 を そ の ま ま反 映 しな い標 本 の こ とを偏 った標本 とい い, 特 殊 な場 合 を除 いて,こ

の よ うな サ ンプ リ ング を避 け る必 要 が あ る。

[2] 

サ ンプ リング

  サ ンプ リン グは統 計 学 の1つ の分 野 で,標 本 調 査 を行 う よ う に な って 起 こ って き た。 そ の意 味 と実 際 の方 法 につ い て調 べ よ う。 (1)  サ ンプ リ ング の意 味   サ ンプ リング は,ど ん な方 法 で 標 本 を選 び 出す か,標 本 の大 き さを どれ だ け に す るか,標 本 か ら得 た結 果 に ど の程 度 の信 頼 が お け る か を問 題 に して きた 。 これ らの 問 題 は,次 の3つ に焦 点 が 絞 られ る。  (a) 問 題 が置 か れ た状 況   パ ソ コ ンの売 れ筋 は景 気 に左 右 さ れ,同

じ調 査 で も結 果 が異 な る。 また,あ

る問 題 は,抽 出 した標 本 を元 に戻 す復 元 抽 出 が不 可 能 で あ る。   (b) 調 査 に使 え る手 段   電 話 に よ る調 査,書

き込 み調 査 等 の手 段 で労力,費

用 が違 い,標 本 の大 き さ

に影 響 す る。  (c) 処 理 方 法   正 規 分 布 な ど,ど の モ デ ル を使 うか で信 頼 性 に違 い が生 じる。   母 集 団 か ら標 本 を サ ンプ リング して デ ー タを収 集 す る と き,期 待 通 り に しか も 効 果 的 に デ ー タを収 集 す る必 要 が あ る。 サ ンプ リン グを確 率 的 な サ ンプ リング と 非 確 率 的 な サ ンプ リング に分 け る こと が で きる。 (2)  確 率 的 サ ンプ リング   母 集 団 の ど の個 体 も同 じ確 率 で,ど

れ も互 い に独 立 に選 ば れ る と き,そ の抽 出

方 法 を 単 純 ラ ン ダ ム サ ン プ リン グ と い い,選 ば れ た標 本 を無 作 為 標 本 と い う。 無 作 為 標 本 を実 現 す る方 法 と して,コ イ ン投 げ,く

じ引 きが あ る が,乱 数 表 か ら取

り出 した数 字 や コ ン ピュ ー タ の疑 似 乱 数 が よ く使 わ れ る。

〔 例 題1〕

あ る 学 校 の 学 校 新 聞 で は,全

員450人

の 中 か ら40人

を 選 び,全

員 の

動 向 を 知 り た い と考 え て い る 。 ラ ン ダ ム サ ン プ リ ン グ の 方 法 を 調 べ よ 。 〔 解 〕450人

の 生 徒 に001か

ら450ま

で の番 号 をつ け る。 こ の番 号 の 中 か ら大 き

さ40の

標 本 を,次

の ど れ か の方 法 で ラ ン ダム サ ンプ リ ングす れ ば よ い。

(a)  乱 数 さ い を 投 げ る   乱 数 さ い は 色 のつ い た 正20面 つ に 書 か れ て い る 。3つ

体 の さ い こ ろ で,0か

の 乱 数 さ い を 選 び,次

ら9ま

で の 数 字 が2面

ず

の 手 順 を 行 う。

  ①   3つ の乱 数 さ い を投 げ る。   ②  赤 の 目 の数 を100の 位,青 の 目 の 数 を10の 位,黄

の目

の数 を1の 位 とす る3桁 の数 を作 る。   ③  数 字 が 重 複 した り450よ

り

大 き い場 合 は,そ れ を 捨 て, ①,② を繰 り 返 して40個

の

図6.2 乱数 さい(提 供 ㈱ 加藤数物製作 所)

数 字 を 作 る。 (b)  乱 数 表 を 引 く   乱 数 表 は,上 下,左 右,斜

めの どれ を と って も0か ら9ま で の 数 字 が 同 じ確 率

で 現 れ る よ う に2桁 の 数 字 を 並 べ た表 で あ る。 い ま乱 数 表 がn行 あ る と き,乱 数 さ いや,1か

らnま で の数 字 を書 い た カ ー ドか ら1枚 選 ん で 開 始 す る行mを

び,そ れ を 戻 して 再 び カ ー ドを 引 いて 数kを

決 め た後,乱

数 表 の 第m行

選

の 第k

番 目の 数 か ら,次 の ①,② の手 順 で40個 の数 字 を 求 め る。   ①  2桁 の数 字 を そ れ ぞ れ の数 字 と み な し,3桁 ず つ 区 切 って3桁 の数 を作 る。   ②  3桁 の数 字 が450よ

り大 きい か 重 複 す る と きは,そ の数 を捨 て,そ

れ以 外

の と きそ の数 を記 録 す る。 (c) コ ン ピ ュー タ で疑 似 乱 数 を作 る   ①  プ ロ グ ラム6.1を 実 行 す る。   ②  新 しい乱 数 系 列 を入 力 して くだ さい(-32768to 

32768)→?

とい う表 示 が 現 れ る か ら,実 際 に は4個 の乱 数 さ いで4桁 の数 を作 り,入 力 す る。

表6.1  乱 数 表

  な お,筆

者 が 上 の3つ

た と こ ろ,所

の方 法 を行 っ

要 時 間 は次 の よ うに な っ

た。  

・乱 数 さ い  −−43分

 

・乱 数 表  −−26分

 

・コ ン ピ ュ ー タ  −−14分

  この 結 果 は コ ン ピ ュー タの便 利 さを 示 して い る 。 な お,疑 は 周 期,一 あ り,第7章

似 乱 数 の吟 味 に

様 性 の 検 定,連

の検 定 等 が

の練 習 問題 で そ の検 定 を

扱 う。

図6.3

プ ロ グ ラ ム6.1

計 算 の 結 果(乱 数 の初 期 値19370) 16  37  156  348  229  86  305  25  42  183 164  110  139  328  80  172  27  158  425  200 20  31 

問1 

60  33 

287  238 

222  204 

プ ロ グ ラ ム6.1を

343 173  334  389 

320  430 

437  450 

299  386 

273 232

実 行 して 数 字 を 求 め,1∼90,∼180,∼270,∼360,∼450の

各 級 の度 数 を計 算 して,こ の乱 数 の均 一 性 に つ い て調 べ よ。

〔 例 題1〕 で作 成 した デ ー タ40個 か ら度 数 多 角 形 を 作 っ て み る と,図6.4の

よ

うに な り,無 作 為 標 本 が 比 較 的 一 様 に分 布 して い るの は乱 数 表 だ け の よ うに見 え る。 しか し,そ れ は単 な る偶 然 で あ ろ う。なお,大

き さ40程 度 の ラ ン ダム サ ンプ

リン グで も,平 均 値 を とれ ば母 集 団 で あ る全 生 徒 の実 態 を反 映 で きる場 合 が多 い。

図6.4 

(3) 

層 別 サ ンプ リング

〔 例 題1〕 の 高 校 で は,同 (270人)お

り,高

後 者 か ら16人 得 た。

乱 数 の 度 数 多角 形

じ系 列 の 中 学 校 か ら そ の ま ま 進 学 す る 内 部 生 が60%

校 受 験 組 の 外 部 生 が40%(180人)い

を 無 作 為 抽 出 し,学

る の で,前

者 か ら24人,

校 外 で の 学 習 時 間 に つ い て,表6.2の

結 果 を

表6.2  学 習 時 間 の調 査

図6.5 

学 習 時 間 の 度 数 多角 形

  こ の調 査 で は,単 純 ラ ンダ ムサ ンプ リ ングを行 う と,図6.5の が2つ

合計 のように山

で き るが,内 部 生 と外 部 生 に分 け る と実 態 を よ く把 握 で き る。 内部 生 と外

部 生 と い った グル ー プ に分 けて か ら標 本 を ラ ン ダム サ ンプ リ ングす る方 法 の こ と を 層 別 サ ンプ リング と い う。 この場 合,母 集 団 に お け る内 部,外 部 の人 数 に比 例 して 各 層 の標 本 の 大 き さを 決 め るの で比 例 抽 出 とい う。 〔例 題2〕

表6.2で

比 例 抽 出 した24人

表6.3  制 服 変 更 希望 者 の割 合

の 内 部 生 と16人 の 外 部 生 に対 して,学 校 の 制 服 を変 え る希 望 を 同 時 に と った と こ ろ,次 の よ うな人 数 に な った。 この こ とか ら,全 生 徒 の変 更 希 望 者 の割 合 を推 測 せ よ。 〔 解 〕 内 部 生24人,外

部生16人

の賛 成 者 の割 合 は,そ れ ぞ れ次 の値 に な る。

 一 方 ,全 校 生 徒 に対 す る内 部 生,外 部 生 の割 合 は そ れ ぞ れ,

 だ か ら,全 校 生 徒 の賛 成 の割 合 は,

と推 測 さ れ る 。

問2〔

例 題2〕 で,内 部 の 生 徒 の 賛 成 者 が9人,外

部 の 生 徒 の賛 成 者 が10人

の と きの 割 合

は ど うな るか。

(4)  非 確 率 的 サ ン プ リン グ   ラ ン ダ ム性 に基 礎 を置 か な い抽 出方 法 を非 確 率 的 サ ンプ リン グ と い い,標 本 と 母 集 団 の主 要 な特 性 が異 な る。 しか し,問 題 に よ って は こ の サ ンプ リングが有 用, あ るい は一 部 に利 用 す る こ とが不 可 欠 な場 合 が あ る。   例 え ば,木 箱 に入 った オ レン ジの 中 で腐 った もの の 割 合 を 見 るの に,表 面 の オ レ ン ジだ け見 て 全体 の腐 り方 を推 定 す る。 底 の方 の オ レ ンジ は表 面 よ り もた く さ ん 腐 って い るで あ ろ う。 表 面 の腐 り方 か ら全体 の割 合 を知 る こ とが で きれ ば,こ の 方 法 で 十 分 で あ る。 この よ うな サ ン プ リ ングを 効 率 的 サ ンプ リング とい う。

問3 

あ る鉱 石 は 比 重 が 重 く,オ ー ス トラ リア か ら船 積 み して くる途 中 で 振 動 の た め,含

有 率 が1mの

深 さに つ い て1%増

す よ うに な る とい う。 あ る船 に6mの

て き た鉱 石 の表 面 の含 有 率 を調 べ た と ころ3%で

高 さ で バ ラ積 み し

あ った 。 この船 の 鉱 石 の平 均 含 有 率 を 求

めよ。

6.2 

推

定

  あ る母 集 団 か ら一 定 の大 きさ の標 本 を ラ ン ダ ムサ ン プ リン グ した とす る。 そ の 標 本 の 平 均 値 を求 め,そ れか ら母 集 団 の平 均 値 を予 測 す る方 法,あ

るい は標 本 の

中 の あ る性 質 の割 合 か ら,母 集 団 に お け るそ の性 質 の割 合 を予 測 す る方 法 につ い

て考 え よ う。 そ の背 景 に は区 間 推 定 の考 え方 が あ る。

[1]  点推定   表6.2は,270人

の 内部 生 か ら24人 の 標 本 を ラ ン ダ ム に と っ た と き の1日 の

学 校 外 の学 習 時 間 で あ る。 この標 本 の大 き さ は24で 代 表 値 は,次 の よ うに な る 。  

平 均 値 はx=1.125〔

時 間 〕,分 散 はs2=0.484,標

準 偏 差 はs=0.696〔

時間 〕

一 般 に,標 本 の平 均 値 を標 本 平 均,標 本 の分 散 を標 本 分 散 標 準 偏 差 を標 本 標 準 偏 差,標 本 の あ る性 質 の比 率 を標 本 比 率 とい い,こ れ らを標 本 値 とい う。   一 方,母 集 団 の平 均 値 を母 平 均,母 集 団 の分 散 を母 分 散,母 集 団 の標 準 偏 差 を 母 標 準 偏 差,母 集 団 の あ る性 質 を母 比 率 と い い,こ れ らを総 称 して母 数 とい う。   標 本 平 均,標 本 分 散 な ど の標 本 値 を もと に母 数 を 推 定 す る こと を統 計 的推 定 と い う。 統 計 的 推 定 に は,例 え ば 「母 平 均 はm=1.125〔 る点 推 定,お

よ び,例 え ば,「 母 平 均mは,区

時 間 〕で あ る」 と推 定 す

間28≦m≦32に

あ る」 と推 定

す る区 間 推 定 が あ る。 点 推 定 に は多 数 の標 本 値 を と り,そ の平 均 値 を用 い て母 数 を 推 定 す る方 法 が あ り,そ の平 均 値 の こ とを 不 偏 推 定 値 と い う。   大 き さnの 標 本 を と り,そ の平 均 値 をx,分 標 本 平 均xの 平 均 値X,母 式(6.1),式(6.2)の

散 をs2と す る と き,母

平 均mと

分 散 σ2と標 本 分 散 の 平 均 値S2に は次 の 関 係 が あ り,

右 辺 の値 は,そ れ ぞ れ 母 平 均m,母

分 散 σ2の 不 偏 推 定 値

で あ る。

母平 均

 (6.1)

母分 散

 (6.2)

図6.6 

不 偏 推 定 値 に よる 点 推 定

  標 本 の 大 き さ が30以 と が 知 られ て お り,こ 30未

上 の と き,σ の 代 わ り にSを

の 方 法 を 大 標 本 法 と い う。 そ れ に 対 し て 標 本 の 大 き さ が

満 の と き,式(6.2)や

問4  表6.2か

〔 注1〕

用 い て も さ しつ か え な い こ

後 述 のt分

布 を 用 い,こ

れ を 小 標 本 法 と い う。

ら外 部 生 の学 習 時 間 の母 平 均,母 分 散 を 不 偏 推 定 値 で 点 推 定 せ よ。

式(6.1)が

成 り立つ 理 由 は,次 の手 順 で 考 え る こ とが で き る。

(a) 大 き さ1の 標 本 を取 り出 して 平 均 値xを 求 め る。   この操 作 は,母 集 団 か ら1つ の デ ー タを取 り出 す の と同 じで,こ の操 作 を母 集 団 の大 き さN回

行 い,そ の平 均 値 を求 め る と母 平 均mに

な る。

  こ こで,母 集 団 か ら1つ の標 本xを 取 り出す こ とを,母 集 団 の確 率 分 布 に従 う 確 率 変 数Xの

実 現 値 がxで あ る と考 え れ ば,そ の 平 均 値 は母 平 均 と一 致 す る。

す な わ ち,

(6.3) (b)  大 き さnの 標 本 を取 り出 し,そ の平 均 値xを 求 め る。

(6.4)  こ こ でx1,x2,…,xnは   平 均 値xを

確 率 変 数Xの

  式(6.4)の

各xiを(a)の

母 集 団 か ら取 り 出 し た デ ー タ で あ る。 実 現 値 とす る 。 確 率 変 数Xの

実 現 値 と考 え る と,次

の 式 が 成 り立 つ 。

(6.5)

  よ って,標 本 平 均 の平 均 値 は母 平 均 の 不 偏推 定 値 にな る こ とが 示 され た。 〔 注2〕

式(6.2)が

成 り立 つ 理 由 も,次 の よ うに説 明 され る。 た だ し,標 本 平 均

xが わ か って い る とす る。 (a)  大 き さ1の 標 本xを 取 り出 して 母 平 均mと

偏 差 平 方(x-m)2を

求 め る。

 こ の操 作 を 母 集 団 の 大 き さN回

行 い,そ の平 均 値 を求 め る と母 分 散 σ2に なる。

(6.6)  式(6.3)と

同 様 に してxiを 確 率 変数Xの

実現 値 と考 え る と,次 の式 が成 り立つ｡ (6.7)

(b) 大 き さnの 標 本 を取 り出 し,標 本平 均xと の偏 差 平 方 の平 均 値 を求 め る。

(6.8)   こ こ でx1,x2,…,xnは,母   分 散s2を

操 作(b)で 多 数 計 算 し,そ

  各(xi-x)2を,確 と,式(6.7)か

集 団 か ら取 り 出 した デ ー タ で あ る。

率 変 数Xか ら式(6.9)が

の 平 均 値s2を

求 め る。

ら作 っ た 確 率 変 数(X-X)2の

実 現 値 と考 え る

成 り立 つ 。

(6.9) (c)  S2を 確 率 変 数 と し,そ の 実 現 値 がs2で あ る と考 え る と,次 の式 が 成 り立 つ 。 (6.10)

 よ っ て,母

分 散 σ2の 不 偏 推 定 値 は

  式(6.5),式(6.9)の あ る。

よ う に,平

〓と な る こ と が 示 さ れ た。

均 値 を と る こ とが 母 数 の不 偏 推 定 値 の 特 徴 で

[2]  区 間 推 定   点 推 定 の 考 え 方 は 一 応 も っ と も の よ う に み え る。 しか し実 際 に サ ン プ リ ン グ す る と,母

平 均 が1.125時

間 ち ょ うど に な る チ ャ ン ス はあ ま り な い。 そ こで

「何 時

間 か ら何 時 間 ま で な ら 間 違 い は ま ず な い 」 と い う答 え 方 を す る 。

〔 例 題3〕

人 口1万

率 は60%で

人 の あ る 町 の 町 長 選 挙 でA氏

あ る と い う。 こ の 町 の 住 民 か ら50人

に 投 票 す る 人 数 は,実 〔 解1〕

が 立 候 補 し,A氏

に対 す る支 持

を ラ ン ダ ム に 選 ん だ と き,A氏

際 に は 何 人 に な る か 調 べ よ 。 ま た,100人

の 場 合 は ど う か。

シ ミュ レ ー シ ョ ン で 実 験 す る 。1万 人 の 住 民 が ほ ぼ 均 一 で あ る とす れ ば,

ど の 住 民 も60%の

確 率 でA氏

に つ い て は,0＜xk＜1の

と して,そ

に 投 票 す る と し て よ い 。 し た が っ て,50人

乱 数xkを50個(k=1,2,…,50)を

の と き,A氏

に投 票 した。

の と き,A氏

に投 票 しなか っ た。

の 度 数 を 数 え る と実 際 の 投 票 数iに

る 。 しか し こ の 投 票 数 は,残

と り,

な

念 な が らy=30に

な る 場 合 は 少 な い 。 そ こ で プ ロ グ ラ ム6.2で,こ の 実 験 を50回,100回 る と,図6.8の

繰 り返 してiの

よ うに な る。

  プ ロ グ ラ ム6.2で

は 図6.8か

ら,50人,100人

を 選 ん だ 場 合 に 支 持 者 の 人 数x,yは 人,60人

分布を調 べ

そ れ ぞ れ30

を 中 心 に,ほ ぼ20＜x＜40,45＜y＜

75の 範 囲 で ば らつ く こ とが わ か る 。

図6.7

の標本

   

プ ロ グ ラ ム6.2

計 算 の結 果(乱 数 の 初 期 値16370) ?50,10 20 0 0  .11 

  40 .01 .1 

.03 .01 .07 

.03 

.11 

.01 

.06  .06 

.11 .05 

 . 09  .01 0 

.13 0

0

〔 解1〕 の シ ミュ レ ー シ ョ ン結 果 は 乱 数 の 初 期 値 に よ っ て 異 な る が,図6.8の ラ フ は,n=50,100に

つ い て,そ

グ

れ ぞ れ の 支 持 者 の 人 数 と相 対 度 数 を 表 示 し た

もの で あ る。

図6.8 

〔 解2〕

支持 率60%の

プ ロ グ ラ ム6.3は,2項

の と き の 支 持 者 の 人 数x,yも

と きの 支持 者 の 人数 と相 対 度 数

分 布 の 式 を 用 いて 確 率 を 求 め た も の で あ る。 こ 〔 解1〕 と ほ と ん ど 同 じ状 況 に な る。

0

プ ロ グ ラ ム6.3

計算の結果 ?  50

95%の 区間24 .026 

0.040 

  36 0.058 0.078 0.096 

0.115 0.111 0.099 0.081 

 こ こ で,2項 ・50人

0.109

0.061 0.042 0.026

分 布B(n,p)でp=0.6と

し た と き,

の場 合

  平 均 値np=30〔

人 〕,標

準偏差

人 〕,標

準偏差

・100人 の 場 合 平 均 値np=60〔 と な る。 式(3.25),お

  こ こ で,信

よ び 式(3.26)か

頼 度95%,99%の

な る 。 例 え ば,信

頼 度95%の

ら,次

確 実 さ で い え る支 持 者 数xは,表6.4の 範 囲 は 次 の よ う に な り,こ

い う。 n =50の

99%の

の 関係 が成 り立 つ。

場 合;24≦x≦36〔

人〕

信 頼 区 間 に つ い て も同様 で あ る。

れ を95%の

範囲 に 信頼区間 と

表6.4  支 持 者 の信 頼 区 間

問5 

〔 例 題3〕 と同様 に,50人

95%,99%で

の 町民 を ラ ン ダ ム に 選 ん だ と き の 支 持 者xの

求 め よ。 た だ し,A氏

の支 持 率 が40%に

信頼 区 間 を

な った とす る。

[3]  標 本 平 均 の分 布   あ る母 集 団 か ら大 き さが一 定 の サ ンプ ル を ラ ン ダ ム に取 り出 して 平 均 値 を 計 算 す る と き,そ の値 が どの よ うに な るか調 べ て み よ う。 まず,次 〔 例 題4〕 mgの

次 の デ ー タ は,1円

玉]100個

の 重 さ を,1gか

の実 験 を 行 お う。 

らの軽 重 を デ ジ タ ル秤 で

単 位 で 調 べ た も の で あ る。 表6.5  1円 玉 の 重 さ100個

(例 え ば,-13は0.987g,8は1.008gを

 こ こ か ら ラ ン ダ ム に標 本 を 取 り 出 す 実 験 を 行 い,次   (a) 100個

の 重 量 の 平 均 値 と 標 準 偏 差(母 平 均,母

  (b) n=10〔

個 〕の 標 本 を1つ

  (c) n=10〔

個 〕の 標 本 を20回

  (d) n=4〔

個 〕 の 標 本 を20回

た だ し,標 〔 解 〕(a) 

取 り 出 し,平 取 り 出 し,平 取 り出 し,平

表 す)

の 問 い に答 え よ。 標 準 偏 差)を

求めよ。

均 値 と標 準 偏 差 を 求 め よ 。 均 値 の 平 均 値 と標 準 偏 差 を 求 め よ。 均 値 の 平 均 値 と標 準 偏 差 を求 め よ。

本 の 取 り 出 し は復 元 抽 出 で 行 う。

プ ロ グ ラ ム6.4か

ら,母

平 均m,母

(b)  〔 例 題1〕 の 〔 解1〕 に 従 っ て 乱 数 さ い2個

標 準 偏 差 σ は,次

を10回

投 げ,次

の よ う に な る。

の数字 を得 た。

 この 数 字 を 番号 とす る1円 玉 の 重 さ は,次 の10個 の数 値 で あ る。

  こ の 数 値 の 平 均 値 はx=0.7〔mg〕,標 (c)  1か ら100の

整 数 の 乱 数 を10個

準 偏 差 は σ=4.88〔mg〕 作 り,表6.5の

に な る。

デ ー タか らそ れ に相 当 す る

番 号 の 数 値 を 重 複 な く取 り 出 し て 平 均 値 を 計 算 す る 。 こ の 実 験 を プ ロ グ ラ ム 6.4で20回

繰 り返 して 結 果 を 求 め る と,例

  こ の と き の 標 本 平 均 の 平 均 値 は0.56,標 (d) n=4の

と き も同 様 に し て,例

2.49で あ る 。 プ ロ グ ラ ム6.4

え ば 次 の 値 に な る。

準 偏 差 は1.58で

あ る。

え ば 標 本 平 均 の 平 均 値 は1.58,標

準偏 差 は

  な お,表6.4の 6.5の  

デ ー タ をdata文

デ ー タ に つ い て,大

でendの

後 に 置 くが,こ

こで は 省 略 す る。 表

きさ を変 え て 〔 例 題4〕 と 同 様 の 実 験 を 行 う と,

母 平 均m=0.58,母

標 準 偏 差 σ=4.85

か ら抽 出 し た 標 本 値 の 例 と して,表6.6の

値 が得 られ た。

表6.6  標本平均 と標本標準偏差 の例

図6.9 

  表6.6か

標本平均値 の度数分布

ら標 本 平 均xは 母 平 均mと

ほぼ 一 致 し,標 本 標 準 偏 差sと 母 標 準 偏

差 σに つ いて,次 の式 が成 り立つ こ とが わ か る。   (a) 標 本 の大 き さnが 母 集 団 の大 きさNに

 (b) 標 本 の 大 き さnがNに

比 べ て小 さい(n≦20)と

比 べ て小 さ くな い(n≧30)と

き,

き,

(6.11)

  ま た,標

本 平 均 の 度 数 分 布 は,図6.9の

問6  プ ロ グ ラム6.4をn=30で

[4] 

よ う に 正 規 分 布 に 従 う。

実 行 し,式(6.11)を

確 認 せ よ。

平 均 値 の 推 定

  母 平 均 が わ か ら な い と き,ラ

ン ダ ム抽 出 した標 本 の平 均 値 か らそ れ を推 定 しよ

う。 (1) 

標準偏差の使い方

〔 例 題5〕

あ る休 校 日 の学 校 で 急 に女 子 の体 重 の平 均 値 が 必 要 にな った と す る。

校 内 を 探 し た 結 果,得

られ た の は次 の デ ー タだ けで あ った 。

  昨 年 度 全 生 徒 の 平 均 値m=51.3〔kg〕,標 ク ラ ス40人

分 の デ ー タ の 平 均 値x=50.6〔kg〕,標

  こ の 情 報 を も と に 今 年 度 の 体 重 を95%の 〔 解1〕

昨 年 度 の 標 準 偏 差 σ=6.61は,年

 母平均m,標 の 正 規 分 布N(m,σ2/40)に

〔 解2〕

準 偏 差s=6.11〔kg〕

。

信 頼 区 間 で 調 べ よ。

と っ た とす れ ば,式(3.60)か

準 偏差 従 う か ら,式(3.44)に

め る 信 頼 区 間 は,X=50.6と

今 年 度 の 標 本 標 準 偏 差s=6.11を

  母 分 散 は 不 偏 推 定 値 の 式(6.2)か

年 度 の1

ご と に 変 動 し な い も の と し て,今

に も 流 用 す る 。 多 数 の 標 本 平 均Xを

よ っ て,求

準 偏 差 σ=6.61〔kg〕,今

ら,

よ っ て,

お い て,

利 用 す る。

らXは,

年度

 標本平均xは,母

平均m標

ら,〔 解1〕 と 同 様 に95%の

〓の標 準 正 規 分 布 に 従 うか

準偏差

信 頼 区 間 は,次

図6.10 

の よ う に な る。

母平均 の推定

〔 例 題5〕 の 〔 解1〕 は 母 標 準 偏 差 が わ か っ て い る 場 合 の,〔 解2〕 は 母 標 準 偏 差 が わ か らな い と き の,母 問7  100円 玉50個

標 準 偏 差 の 求 め 方 で あ る。

の重 さ を測 っ た と こ ろ平 均 値X=4.800〔g〕,標

に な った。100円 玉 の重 さmの

信 頼 区 間 を 信 頼 度95%で

求 め よ。

  コ イ ン は 母 平 均 の 推 定 の 実 験 を 行 い や す い 対 象 で あ る。1円 3.75g(1匁)の mg程

重 さ が あ る。 しか し,実

度 の 偏 差 が 確 認 さ れ,大

き さ100程

際 に は1円

準 偏 差s=28〔mg〕

玉 は1g,5円

玉 で は15mg,5円

玉 は

玉 で は30

度 で は正 規 分 布 と は い い に く い こ と が

あ る。 (2) 

公

式

  あ る母 集 団 か ら大 き さnの

標 本 を ラ ンダ ムサ ンプ リン グ した と きの標 本 平 均 が

xで あ っ た と す る 。 こ の と き 母 集 団 の 平 均 値mの と して 信 頼 度95%,99%の

95%の

信 頼 区間

信 頼 区 間 は,母

標準偏 差 を σ

それ ぞ れ で 次 の よ う に な る。 〓(6.12)

99%の

〔 注 〕95%の

信頼 区間

〓(6.13)

信頼区間で は

〓を切 り上 げ て,

〓を切 り上 げ て

間 で,

〓と し た 。 同 様 に,99%の

信 頼 区

〓と す る こ と が あ る 。

 母 標 準 偏 差 が わ か らず,標 本 標 準 偏 差sで 代 用 す る と き式(6.10)に

よ る,

(6.14)  ま た は,大

き さnの

標 本x1,x2,…,xnと

  た だ し,n≧25の

標 本 平 均xを

も と に し た次 の式 を 用 い る。

と き σ とsの 値 は ほ ぼ 等 し くな る の で,sで

代用 す る ことが

で き る。 (3) 

プ ロ グ ラム

  標 本 平 均 か ら母 平 均 を 推 定 す る プ ロ グ ラ ム を 作 っ て み よ う。 こ の 処 理 で は,出 力 は95%お

よ び99%の

  母 平 均 の 処 理 で は,次

信 頼 区 間 で あ る が,入

力 は多 様 な 問題 場 面 が あ る。

の 入 力 条 件 に 応 じて 計 算 を 変 え る 必 要 が あ る 。

  (a)  母 標 準 偏 差 σ が わ か っ て い る か ど う か 。  

わ か っ て い る と き,σ で 式(6.12),式(6.13)を わ か っ て い な い と き,式(6.14)を

使 う。

使 う。

 (b)  標 本 の デ ー タ を 入 力 す る か ど う か 。  

入 力 す る と き,デ

ー タ か ら標 本 平 均x,標

入 力 し な い と き,標

本 平 均xと

本 標 準 偏 差sを

標 本 標 準 偏 差sの

求 め る。

値 を 入 力 す る。 た だ し,

(a)で σ が わ か っ て い る と き,σ の 値 を 入 力 す る 。  プ ロ グ ラ ム6.4で

は 変 数p,dを

次 の よ う に 用 い て 処 理 を 行 う。

  p=1の

と き母 標 準 偏 差 σが わ か り,p=0の

  d=1の

と き デ ー タ を 入 力 し,d=0の

処 理 した 結 果 を 信 頼 度95%,99%の2つ

と き 標 本 標 準 偏 差sを

と きx,sま

使 う。

た は σ を入 力 す る。

の 信 頼 区 間 で 表 示 す る。

図6.11

プ ロ グ ラ ム6.5

計算の結果 95%信 頼 区間 2.097633=<m=