Элементы квантовой статистики: Пособие по выполнению домашнего задания

1. РАВНОВЕСНОЕ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Основные теоретические сведения Равновесное электромагнитное излучение, заключенное в полости с температурой стенок T, представляет собой совокупность фотонов, распределенных по модам r — типам волн, характеризующимся своей частотой ω, волновым вектором k и поляризацией. Среднее число фотонов в моде (заселенность моды) зависит лишь от энергии фотонов ε Ф = hω и от температуры стенок. Моды, r характеризующиеся разным направлением распространения волн (разными k ) или разными поляризациями, при совпадающих частотах ω заселены одинаково. Это следует из распределения Бозе-Эйнштейна, справедливого для бозонов (частиц с целым спином), в котором следует принять значение химического потенциала равным нулю 1 n = hω . (1.1) e kT − 1

В интервале частот от ω до ω + dω имеется dN(ω) различных мод. ВеличиdN на D ( ω ) = называется спектральной плотностью мод и для вакуумироdω ванной полости объемом V рассчитывается по формуле V ω2 . (1.2) 2 3 π ⋅c Используя эти величины и формулу для энергии фотона ε Ф = hω , можно найти среднюю энергию электромагнитного излучения в интервале частот от ω до ω + dω dε ( ω ) = hω ⋅ n ⋅ dN ( ω ) = hω ⋅ n ⋅ D ( ω ) ⋅ dω = U (ω) ⋅ dω . Входящая в это выражение величина U ( ω ) = hω ⋅ n ⋅ D ( ω ) имеет смысл спектральной плотности энергии электромагнитного излучения в объеме V. Используя (1.1) и (1.2), можно записать формулу Планка D ( ω) =

U ( ω) =

V ⋅ h ⋅ ω3 ⋅ π 2 ⋅ c3

1 hω e kT

.

(1.3а)

−1

Учитывая взаимосвязь частоты ω с длиной волны λ, эту формулу можно преобразовать к виду 8π ⋅ h ⋅ c ⋅ V 1 U (λ) = ⋅ . (1.3б) 5 hc λ e λkT − 1

При излучении с поверхности абсолютно черного тела, модель которого представляет собой небольшое отверстие в полости (рис. 1.1.), поток энергии, испускаемый единицей площади тела (отверстия на рис. 1.1) по всем направлениям в пределах телесного угла 2π, называется энергетической светимостью и обозначается буквой R*. Из этого потока на интервал длин волн dλ приходится величина dRλ* = rλ ⋅ dλ , где rλ называется спектральной плотностью энергетической светимости (или испускательной способностью). Она связана со спектральной плотностью энергии излучения U(λ) соотношением c rλ = U (λ) . (1.4) 4V

T Рис. 1.1. Модель абсолютно черного тела.

Рис. 1.2. Испускательная способность абсолютно черного тела.

На рис. 1.2 приведен график зависимости спектральной плотности энергетической светимости от длины волны. Интегрирование этого выражения с учетом формулы Планка по всему возможному диапазону длин волн приводит к закону Стефана-Больцмана для энергетической светимости абсолютно черного тела ∞

R = ∫ rλ ⋅ dλ = σ ⋅ T 4 . ∗

.

–8

2.

4

(1.5)

0

Величина σ = 5,67 10 Вт/м К называется постоянной Стефана-Больцмана. Положение максимума на графике спектральной плотности энергии электромагнитного излучения абсолютно черного тела (и на графике испускательной способности) можно определить по закону смещения Вина T ⋅ λ max = b , (1.6) . –3 . где b = 2,9 10 м К. Величина максимума спектральной плотности энергетической светимости зависит от температуры rmax = a ⋅ T 5 , (1.7) . –5 3. 5 где a = 1,3 10 Вт/м К .

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Гл. 1, п.п. 1-5, гл. 7, п.п. 34, 35. – М.: Наука, 1989. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Гл. 26, п.п. 197-200, гл. 30, п.п. 235. – М.: Высшая школа, 1990.

2. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ Основные теоретические сведения

Колебания кристаллической решетки являются одним из основных видов внутреннего движения в твердом теле, когда составляющие его структурные частицы (атомы, молекулы, ионы) колеблются около положения равновесия — узлов кристаллической решетки. Амплитуда этих колебаний увеличивается с ростом температуры, но всегда остается значительно меньше, чем пространственный период решетки. Когда температура достигает некоторого критического значения, кристаллическая решетка разрушается, начинается процесс плавления. При расчете энергии кристаллической решетки П. Дебай учел, что колебания атомов не являются независимыми. В этом случае сложное движение N упруго связанных между собой атомов, обладающих 3N степенями свободы и совершающих малые колебания вблизи своих равновесных положений, можно представить как суперпозицию 3N различных независимых друг от друга волнообразных движений атомов решетки – упругих колебаний, называемых нормальными модами. В соответствии с выводами квантовой механики энергия каждой моды с частотой ω может иметь только дискретные значения ε n = ⎛⎜ n + 1 ⎞⎟ hω , (2.1) 2⎠ ⎝ 1 hω характеризует энергию нулевых колебагде n = 0, 1, 2, ..., ∞, а величина 2 ний. Квант энергии упругих колебаний ε = hω называется фононом. Между упругими волнами в кристаллах и электромагнитными волнами в полости существует глубокая аналогия. Среднее число фононов в одной моде с частотой ω, как и в случае с фотонами, определяется формулой 1 . (2.2) n = hω e kT − 1

С учетом (2.1) и (2.2) можно записать формулу для среднего значения энергии моды с частотой ω

ε(ω)

1 = hω + 2

hω

(2.3)

.

hω e kT

−1 В отличие от электромагнитных волн спектр фононных мод ограничен сверху величиной ωD, имеющей название дебаевской частоты. Смысл этого ограничения становится ясным, если учесть, что в кристаллах не могут существовать упругие волны, длина которых меньше расстояния между соседними атомами. Значение ωD, определенное из требования равенства общего количества мод числу степеней свободы 3N, рассчитывается по формуле: 1

3 ⎞3 ⎛ 6π 2 ⋅ N ⋅ CЗВ ωD = ⎜ (2.4) ⎟ . V ⎝ ⎠ Спектральная плотность фононных мод D(ω) определяется схожей с (1.2) формулой, но с поправочным множителем 3/2, который учитывает, что в твердом теле, помимо поперечных волн двух поляризаций, могут распространяться еще и продольные волны 3V D ( ω ) = 2 3 ω2 , (2.5) 2π ⋅ CЗВ где V — объем кристалла, CЗВ — скорость упругих волн в кристалле, соответствующим образом усредненная по поляризациям, частотам и направлениям. С учетом формул (2.3) и (2.4) можно получить выражения для спектральной плотности энергии упругих колебаний U(ω) (типа 1.3а) и полной энергии упругих колебаний твердого тела

ω

U=

D

∫ 0

9N h U ( ω ) dω = U 0 + 3 ⋅ ωD

ω

D

∫

ω 3 ⋅ dω

hω 0 e kT

.

(2.6)

−1 где U0 — энергия нулевых колебаний кристаллической решетки. Анализ приведенного соотношения становится нагляднее, если для температуры T ввести масштабную единицу, называемую температурой Дебая: hω θD = D . (2.7) k Наибольший интерес представляют результаты вычисления в двух предельных случаях: –при высоких температурах (T >> θD) U ≈ U 0 + 3N ⋅ k ⋅ T , (2.8) 3π 4 ⋅ N ⋅ k ⋅ T 4 –при низких температурах (T > θD –при T > θD и необходимое для нагревания количество теплоты можно найти с помощью формулы (2.8) Q2 ≈ ΔU = 3 N A ⋅ k ⋅ ΔT = 3RΔT . Выполним расчеты: 3 ⋅ 3,144 ⋅ 8,31 ⋅ 104 Q1 = Дж = 46,8 мДж , 5 ⋅ 4703 Q2 = 3 ⋅ 8,31 ⋅ 10 Дж = 249,3 Дж . Пример 6 Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре Т = 0 К, если известно, что их средняя энергия равна 1,5 эВ. Решение Концентрацию свободных электронов можно определить с помощью формулы (3.3) для энергии Ферми, которая связана со средней энергией свободных электронов соотношением (3.4). После преобразований расчетная формула примет вид 3

3

1 ⎛ 2m ⋅ E ( 0 ) ⎞ 2 1 ⎛ 10me ⋅ E ⎞ 2 n = 2 ⎜ e 2F = ⋅ ⎟ . ⎟ 2 ⎜ 2 h h 3π ⎝ 3π 3 ⎠ ⎝ ⎠ . 28 –3 Выполнив расчет, получим ответ: n = 2,1 10 м .

Пример 7 Образец из чистого полупроводника нагревают на ΔT = 125 К от температуры T1 = 250 К. При этом его удельная электрическая проводимость увеличивается в 800 раз. Как она изменится при последующем нагревании еще на ΔT = 125 К? Решение Используя формулу температурной зависимости удельной электрической проводимости чистого полупроводника (3.8), можно записать отношение ее значения σ2 при температуре T2 = T1 + ΔT к значению σ1 при температуре T1:

ΔE ⎛ 1 1 ⎞ − 2k ⎜⎝ T1 T2 ⎟⎠

σ 2 ΔE ⎛ 1 1 ⎞ ΔE ΔT = ⋅ . ⎜ − ⎟= σ1 2k ⎝ T1 T2 ⎠ 2k T1T2 Аналогичное соотношение можно записать и для значений σ3 при температуре T3 = T1 + 2ΔT и σ2 : ΔE ⎛ 1 1 ⎞ − σ3 2k ⎜⎝ T2 T3 ⎟⎠ σ ΔE ⎛ 1 1 ⎞ ΔE ΔT ⋅ . =e или ln 3 = ⎜ − ⎟= σ 2 2k ⎝ T2 T3 ⎠ 2k T2T3 σ2 Решая полученную систему уравнений (исключая ширину запрещенной зоны ΔE), получим: σ ΔE ΔT ΔT T1T2 σ T σ T1 σ ln 3 = ⋅ = ⋅ ⋅ ln 2 = 1 ⋅ ln 2 = ⋅ ln 2 . σ 2 2k T2T3 T2T3 ΔT σ1 T3 σ1 T1 + 2ΔT σ1 Учитывая, что T1 + 2ΔT = 2T1, это выражение можно упростить σ T1 σ 1 σ σ ln 3 = ⋅ ln 2 = ⋅ ln 2 = ln 2 . σ 2 T1 + 2ΔT σ1 2 σ1 σ1 σ2 =e σ1

Тогда

σ3 σ2 = ≈ 28,3 . σ2 σ1

или

ln