Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы 15.1. Вековые возмущения больших планет Рассмотрим так называемую теорию ...
15 downloads
167 Views
724KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы 15.1. Вековые возмущения больших планет Рассмотрим так называемую теорию вековых возмущений Лагранжа (метод Лагранжа). В отличие от схемы Гаусса определения вековых возмущений в планетной задаче (см. раздел 4.1), в которой вычисление вековых возмущений первого порядка элементов орбит гравитирующих тел предполагает непосредственное применение схемы осреднения вида (4.1.3) и при этом в процессе интегрирования не используется какое-либо разложение возмущающей функции, в методе Лагранжа в возмущающей функции планетной задачи N тел сохраняется лишь ее вековая часть*) с точностью до вторых степеней эксцентриситетов и наклонений орбит. Для описания движений в n-планетной задаче (задача N = n + 1 тел) используем систему координат Якоби, а в качестве канонических переменных выберем вторую систему элементов Пуанкаре (см. (2.5.8) и раздел 13.1) Λ j = ( μ ∗j a j )1 / 2 , λ j = n j (t − τ j ) + π j ,
ξ j = (2 ρ1 j )1 / 2 cos π j , η j = −(2 ρ1 j )1 / 2 sin π j ,
(15.1.1)
p j = (2 ρ 2 j )1 / 2 cos Ω j , q j = −(2 ρ 2 j )1 / 2 sin Ω j ,
где
μ ∗j = fm0 m j μ j , μ j = m jσ j −1 σ j , n j = μ ∗j 2 ( μ j L3j ),
j
σ j = ∑ mk , k =0
ρ1 j = μ ∗j a j [1 − (1 − e 2j )1 / 2 ] ,
ρ 2 j = 2[μ ∗j a j (1 − e 2j )] sin 2 (i j / 2), 1/ 2
j = 1, n,
f — гравитационная постоянная, m0 — масса центрального тела P0 (Солнца). Тогда дифференциальные уравнения движения будут представимы канонической системой
dΛ j dt dλ j
=
dξ j
∂F , ∂λ j
dt
∂F =− , dt ∂L j
=
∂F , ∂η j
dp j dt
dη j
∂F =− , dt ∂ξ j
=
dq j
∂F , ∂q j
∂F =− dt ∂p j
(15.1.2)
с 3n степенями свободы, в которых гамильтониан F выражается в виде (см. разделы 13.1 и 13.15)
μ ∗j 2 F =∑ + F1 . 2 j =1 2 μ j Λ j n
(15.1.3)
Как следует из (15.1.1), элементы ξj, ηj имеют величины порядка оскулирующих эксцентриситетов ej, а переменные pj , qj — величину порядка наклона sin(ij ⁄2) оскулирующей орбиты Pj (при ej ∑ | Bkj |, то во все время движения cos(π j − β l t − g l ) ≠ 0. Таk ≠l
ким образом, π j = β l t + g l + δ , где | δ |< π / 2 (при | Blj |> ∑ | Bkj | ). Кроме того, эксценk ≠l
триситет ej имеет нижнюю границу ⎛ ⎞ e j ≥ ⎜ | Blj | −∑ | Bkj | ⎟ > 0. k ≠l ⎝ ⎠ Применяя полученные результаты к движению больших планет Солнечной системы (за исключением Плутона**), орбита которого характеризуется большим эксцен− 0,24), получим, согласно Стоквеллу, характеристики движения, приветриситетом e ~ денные в таблице 7, в которой периоды T выражены в тысячах лет, наклоны орбит приведены по отношению к неизменяемой плоскости Лапласа, перпендикулярной к результирующему вектору момента количества движения рассматриваемой системы тел. *)
Приведенное утверждение, справедливое для уравнений первого приближения вида (15.1.6), применительно к большим планетам Солнечной системы (n = 9) известно как теорема Лапласа об устойчивости Солнечной системы. Следует заметить, что предположение о том, что массы mj (а точнее, Λ j ~ m j a j , j = 1, n ) являются
величинами одного порядка имеет существенный характер, так как если наряду с большими планетами Солнечной системы рассматривать и малые планеты (астероиды), то, как следует из (15.1.21), (15.1.22), теорема Лапласа заведомо уже не будет справедливой. **) Система Плутон-Харон является достаточно тесной (двойной) — период обращения Харона составляет 6,387 сут. Масса системы Плутон-Харон не превосходит величину 10−8 массы Солнца.
Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы
e 0,121 – 0,232 0 – 0,071 0 – 0,068 0,018 – 0,140 0,025 – 0,061 0,012 – 0,084 0,012 – 0,078 0,006 – 0,015
Меркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун
509
i° 4°44′ – 9°11′ 0 – 3 16 0 – 3 06 0 – 5 56 0 14 – 0 29 0 47 – 1 01 0 54 – 1 07 0 34 – 0 47
Tπ 237 139 137 72 300 47 324 2000
Таблица 7 TΩ 250 150 190 85 50 50 450 1900
15.2. Вековые возмущения астероидов Рассмотрим также движение малой планеты (астероида) с массой m′, существенно меньшей масс больших планет ( j = 1, n) . Переменные (15.1.1), относящиеся к исследуемой малой планете, будем отмечать единичным индексом. Тогда, согласно (15.1.10),
S 2′ = P2 + η1 P1 + P0η12 ,
(15.2.1)
где нижний индекс в правой части равенства (15.2.1) соответствует степени полинома P по переменным η 2 ,η3 ,...,η n , а следовательно, на основании (15.1.11) будем иметь*) dξ j dt
=μ
∂P2 ∂η j
( j = 2, n + 1), (15.2.2)
dξ1 = 2μη1 P0 + μP1 . dt
Здесь μ = m j β j ( j = 2, n + 1), а массы mj больших планет выражены в единицах массы
βj
Солнца,
—
некоторые
константы.
Но
из
(15.1.18)
следует,
что
n
μP1 = −∑ Bk sin( β k t + hk ) , поэтому k =1
n dξ1 = 2 μη1 P0 − ∑ Bk sin( β k t + hk ) . dt k =1
Аналогично из (15.1.11) и (15.1.18) получим n dη1 = 2μξ1 P0 − ∑ Bk cos( β k t + hk ). dt k =1
Следовательно, *)
В правой части первой группы уравнений (15.2.2) мы пренебрегли слагаемыми, пропорциональными μη , так как, согласно (11.1.1), η1 ~ m ′ γ существуют три стационарных решения (ei,0),
i = 1,3 (см. рис. 118). Фазовые траектории движения для частиц кольца Сатурна в случае рассматриваемого резонанса с Мимасом при γ = 0,6392 приведены на рис. 118а, а при γ = γ и γ = 0,6394 — на рис. 118б и в соответственно. На рис. 118б, в сепаратриса (в случае в состоящая из двух ветвей), разграничивающая области различных типов движений (I÷III), а также траектории, проходящие через нулевые значение эксцентриситета, изображены более ярко. esinS
a
0.003
б I
0
III
e1
e3= e2
e1
−0.003 −0.003
0
0.003
−0.003
ecosS
0
0.003
ecosS
esinS 0.005 в I III II e3
0
e2
e1
−0.005 −0.005
0
Рис. 118.
0.005
ecosS
542
Часть III. Основные задачи небесной механики
У частицы P (изображающей точки), "движущейся" по фазовой траектории, эксцентриситет орбиты периодически изменяется от значения emin (равного нулю при u = 0) до emax. При приближении траекторий (за счет соответствующего изменения интеграла энергии u = F) к сепаратрисе (случаи б и в на рис. 118) период обращения по ним, определяемый, как и в случае ограниченного эллиптического варианта задачи трех тел (см. разделы 15.3 и 15.5), вещественным периодом T = 2ω ℘-функции Вейерштрасса (см. (8.7.19), (8.7.25)), неограниченно возрастает. Для рассматриваемой системы для различных γ удается также вычислить значения эксцентриситетов, больших полуосей орбит частиц кольца в произвольные моменты времени, а также определить величины радиусов оскулирующих эллиптических орбит в апоцентре и перицентре rπ. В частности, величины эксцентриситетов частиц с различными γ ~ a в фиксированные моменты времени представлены на рис. 119 (а — T0 = 58,40 сут, б — 2T0, T0 — соответствует максимальному значению эксцентриситета при γ = γ = 0,6393 ). e a
0.004
б e
0.002
0.002
0.001
0.63924
0.63932
γ
0.63924
0.63932
γ
Рис. 119. Анализ полученных решений [69] позволяет заключить, что чем ближе движение частиц к точной соизмеримости, тем, в среднем, больше эксцентриситет их орбит, а это, в свою очередь, приводит к менее плотному расположению их орбит. Будем далее полагать, что кольцо Сатурна первоначально (в момент t0) состоит из частиц, двигающихся по круговым орбитам. Рассмотрим в этом случае изменение радиус-вектора r частицы в зависимости от начального значения ее большой полуоси a0. На рис. 120 заштрихована область возможного изменения r в зависимости от a0 (радиус орбиты Мимаса принят за единицу). Если начальная средняя плотность частиц в кольце была мала (так называемая бесстолкновительная модель), то, очевидно, первоначальное (исходное) распределение плотности частиц N(a0) по орбитам, близким к круговым (с радиусом ~ a0 ), будет изменяться с течением времени в соответствии с различиями значений для амплитуд и пе-
Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы
543
риодов изменения эксцентриситета. Из полученных решений следует, что для произвольного момента времени t имеется, по крайней мере, два экстремальных значения (максимум и минимум) плотности распределения N(a,t), свидетельствующие о непрерывном существовании области пониженной плотности в кольце. r 0.640 Δr
0.635
Δa 0.63925
0.63950
a0
Рис. 120. Диапазон Δrπ (r0 ) = rπ max − rπ min , в котором должны находиться в перицентре ор-
биты частицы, имеющие в t0 радиус-векторы r = r0 (естественно, речь не идет об их единовременном расположении), при фиксированном значении r0 характеризует, очевидно, вероятность нахождения рассматриваемой частицы P, имеющей в t0 радиусвектор r0, в перицентре орбиты в некоторой определенной точке r′ указанного интервала. Чем больше Δrπ , тем меньше вероятность локализации частицы в точке (в окрестности) r ′ ∈ rπ (r0 ) . Зависимости rπ max = r0 и rπ min = a(1 − emax ) от r0 = γ изображены на рис. 121. Минимальная вероятность локализации частиц (минимальная плотность частиц) соответствует расстоянию r0 = 0,63928 (1,186⋅105 км) от Сатурна*). Интервал "неопределенности" для частиц в этом случае составляет величину Δr = 2,6⋅10−3 (482,35 км). В случае модели со столкновениями (начальная плотность частиц в кольце достаточно велика, так что происходят постоянные столкновения между ними) всякая частица с начальной круговой орбитой радиуса r = a0 под действием резонансных возмущений P′ (Мимаса) переходит в область r ≶ a0 (e > 0) и после столкновения с другой частицей начинает двигаться по орбите с a ≷ a0. Затем процесс повторяется многократно и по истечении определенного времени, зависящего от начальной плотности частиц и механизма взаимодействия частиц, частицы кольца Сатурна должны покинуть резонансную область Δa ~ 2⋅10−4 (37,85 км) или (см. рис. 121) Δr = 6,2⋅10−3 (1150,22 км). Таким образом, на основе представлений о локальности резонансного взаимодействия возмущающего спутника со средой макрочастиц, в которой их коллективными взаимодействиями (давление, самогравитация и т.п.) можно пренебречь, удается пока*)
Радиус-вектор центра "деления Кассини" по результатам наблюдений принято считать равным 1,195⋅105 км.
544
Часть III. Основные задачи небесной механики
зать, что гравитационные эффекты, вызванные орбитальной соизмеримостью в задаче трех тел, качественно позволяют объяснить наличие делений в структуре кольца Сатурна и, в частности, деления Кассини*). Однако количественного совпадения нет (исследованный резонансный эффект, вызванный действием Мимаса, является, согласно данным таблицы 8, наибольшим из возможных по отношению к щели Кассини), что свидетельствует о проявлении иных (негравитационных) механизмов, влияющих на формирование наблюдаемой общей структуры кольца Сатурна**). При этом следует иметь в виду, что выше речь шла о достаточно больших — "гравитационно-активных" — частицах (характерный размер частиц d ≳ 1 м), которые и должны покидать указанные "области избегания", в то время как размеры делений, определяемые из оптических наблюдений, могут заметно отличаться от этих областей***). rπ
rπ max
0.6390
rπ min
0.6370
0.63924
0.63948
r0 = γ
Рис. 121. Полученные выше результаты не противоречат теореме Пуанкаре "о возвращениях" (интегрируемая система рано или поздно возвращается в начальное состояние). Дело в том, что в рамках ограниченной задачи трех тел в качестве исследуемой компоненты системы рассматривается некоторая (пробная) частица P кольца, которая пассивно гравитирует в поле тяготения центрального тела P0 и возмущающего P′. В полном соответствии с теоремой Пуанкаре исследуемая (выбранная) частица по истечении времени t ∗ возвращается в начальное состояние; при этом P′ также занимает исходную конфигурацию по отношению к P0. Однако период возврата для другой (например, соседней, сколь угодно близкой к первой) частицы P, также являющейся компонентой кольца P0, будет отличен от t ∗ . Поскольку для частиц, имеющих непрерывный ряд зна*)
Так называется "тонкая структура" кольца Сатурна здесь не рассматривается [70]. Заметим, что предложенный в работе [70] "новый механизм" радиального дрейфа волны плотности при наличии вязкости среды также не позволяет количественно объяснить пространственную структуру деления Кассини. ***) Косвенным свидетельством существования ранее частиц (глыб) достаточно больших размеров в районе колец Сатурна является наличие на Мимасе кратера Гершеля размером ~130 км. **)
Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы
545
чений начальных условий, мера частиц, которые обладают несоизмеримыми друг с другом периодами возвращений, составляет континуум (а для дискретного ряда в общем случае — значительную величину), то повторение исходной конфигурации всей системы (совокупности различных частиц P, а также P0 и P′) на космогонических интервалах времени практически невозможно. Следовательно, система как целое (кольцо P0 − спутник P′) эволюционирует во времени, по меньшей мере на космогонических интервалах*). Система в целом уже не является интегрируемой. И в заключение заметим, что рассмотренный в данном разделе механизм формирования кольцеобразных структур Сатурна, помимо других планет-гигантов, может быть характерен для широкого класса астрономических объектов, имеющих дискообразную форму и находящихся в поле тяготения центрального сгустка вещества. К числу таких объектов, в частности, могут быть отнесены аккреционные диски вокруг звезд в двойных системах и предгалактические структуры. 15.7. Дополнения Все отдаленные от Солнца большие планеты, начиная с Земли, обладают естественными спутниками. Их конкретное число N для каждой планеты приведено в табл. 9. Исследование эволюции Солнечной системы в значительной степени связано с проблемой устойчивости этих спутниковых систем, то есть с разрешением вопроса о том, являются ли эти спутники постоянными членами планетных систем или они могут удаляться от основной планеты на значительные расстояния и тем самым становиться самостоятельными членами Солнечной системы?
Планеты P1
Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон
Число спутников N 1 2 24 28 18 8 1
Массы планет в единицах массы Солнца μ⋅106 3,036 0,3227 954,8 285,9 43,55 51,78 0,008
Постоянная Якоби [C(L1)-3]⋅103 20,74 9,577 170,3 100,1 53,27 57,02 —
Таблица 9 Расстояние точек либрации от Солнца P0 (расстояние P0 − P1 принято за единицу) L1 L2 0,9900 1,0100 0,9953 1,0048 0,9324 1,0688 0,9548 1,0461 0,9757 1,0246 0,9741 1,0262 — —
Один из возможных подходов к разрешению этой проблемы основан на привлечении модели ограниченной круговой задачи трех тел, которая, как было показано в разделе 13.13, позволяет путем вычисления постоянной Якоби определить соответствующие данным начальным условиям области движения спутника (пассивно гравитирующей материальной точки). *)
Здесь, естественно, речь идет о так называемой "бесстолкновительной модели", когда частицы не испытывают взаимных соударений.
546
Часть III. Основные задачи небесной механики
Пусть некоторая планета P1 с массой μ обращается вокруг Солнца P0 по круговой орбите единичного радиуса и при этом масса Солнца равна 1 − μ, а единица времени выбрана так, чтобы гравитационная постоянная f обращалась в единицу. Тогда, обозначая через r1 расстояние спутник — Солнце, а через r2 — расстояние спутник — планета, согласно (13.13.8) и (13.13.11) для интеграла Якоби будем иметь следующее выражение: 2(1 − μ ) 2μ x2 + y2 + + − V 2 = C, (15.7.1) r1 r2 в котором x = q1 , y = q 2 — координаты спутника P2 во вращающейся с угловой скоростью n = 1 системе координат с центром в точке G центра масс Солнца и планеты (см. рис. 93 раздела 13.13), V — относительная скорость спутника, C — интегральная постоянная Якоби. Как следует из результатов раздела 13.13, если постоянная Якоби C будет больше значения C(L1), отвечающего точке либрации L1 (см. рис. 94 раздела 13.13), то материальная точка P2 (спутник) в рамках рассматриваемой модели всегда будет двигаться в окрестности планеты P1. В таблице 9 приведены значения масс планет μ, соответствующие величины C(L1), а также расстояние коллинеарных точек либрации L1 и L2 (см. рис. 94) от Солнца для всех планет, обладающих спутниками, за исключением Плутона*). Следует заметить, что точки либрации L1 и L2 (неустойчивые по Ляпунову — см. раздел 13.7) для всех планет располагаются значительно дальше, чем орбиты спутников этих планет. Так, например, для системы Солнце—Земля точки либрации L1 и L2 находятся на расстоянии ~1,5 млн. км, превосходящем расстояние между Землей и Луной примерно в 4 раза. Обозначим далее большую полуось орбиты спутника P2 через a2, его среднее движение — через n2. Тогда, считая расстояние r1 от спутника до Солнца равным расстоянию между планетой и Солнцем, то есть r1 = 1, и предполагая, что движение спутника является круговым (r2 = a2), для относительной круговой скорости спутника во вращающейся с угловой скоростью n = 1 системе координат q1Gq2 (см. рис. 93), получим**) V 2 = a22 (1 m n2 ) 2 . (15.7.2) Следовательно, из (15.7.1), пренебрегая слагаемым μ2, будем иметь ⎞ ⎛ 2 C = 3(1 − μ ) + μ ⎜⎜ − 1⎟⎟ − a 22 (1 m n2 ) 2 . ⎝ a2 ⎠ *)
(15.7.3)
Так как система Плутон—Харон является достаточно "тесной" (двойной) — период обращения Харона составляет 6,378 сут, а большая полуось его орбиты всего 20 тыс. км и при этом массы Харона и Плутона близки по величине — то к этой системе неприменима модель ограниченной задачи трех тел. **) В (15.7.2) знак минус соответствует случаю, когда направление обращений планеты относительно Солнца и спутника относительно планеты совпадают. Знак плюс отвечает противоположным направлениям обращений.
Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы
547
Здесь предполагалось, что расстояние от спутника до центра масс G системы Солнце— планета равно расстоянию 1 − μ от точки G до планеты. Результаты вычислений постоянной (15.7.3) по орбитальным элементам спутников свидетельствуют о том, что для всех массивных спутников, за исключением четырех спутников Юпитера — VIII, IX, XI и XII — выполняется неравенство C > C(L1), означающее их устойчивость по Хиллу (см. разделы 13.13 и 5.3). Элементы орбит спутников Юпитера, неустойчивых по Хиллу, приведены в табл. 10. Спутник Ананке (XII) Карме (XI) Пасифе (VIII) Синопе (IX)
Большая полуось орбит a, тыс. км
Эксцентриситет e
21100 23300 23700 23800
0,169 0,207 0,380 0,275
Таблица 10 Наклонение к плоскости орбиты планеты, i° 147 163 148 153
Все эти спутники обладают "обратными движениями". Следует заметить, что отсутствие устойчивости по Хиллу у спутников Юпитера, указанных в табл. 10, еще не означает, что они в будущем должны обязательно покинуть окрестности Юпитера. Полученные результаты лишь свидетельствуют о том, что такая возможность в рамках рассматриваемой модели имеется.