Динамика твердого тела

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА УДК 515.1, 531.01 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru Интересующ...

Author: Борисов А.В. | Мамаев И.С.

108 downloads 350 Views 3MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 515.1, 531.01

Интернет-магазин

http://shop.rcd.ru Интересующие Вас книги, выпускаемые нашим издательством, дешевле и быстрее всего приобрести через интернет-магазин. Регистрация в магазине позволит Вам • приобретать книги по наиболее низким ценам; • подписаться на регулярную рассылку сообщений о новых книгах; • самое быстрое приобретение новых книг до поступления их в магазины.

Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 384 стр. В книге рассмотрены основные формы уравнений движения твердого тела, включая движение в потенциальных полях, в жидкости (уравнения Кирхгофа), с полостями, заполненными жидкостью. Приведены условия понижения порядка этих уравнений и существования циклических переменных. Собраны практически все известные к настоящему времени интегрируемые случаи и способы их явного интегрирования. Для исследования широко используются компьютерные методы, позволяющие наглядно представить картину движения. Большинство результатов книги принадлежат авторам. Для студентов и аспирантов механико-математических и физических специальностей университетов, специалистов по математической физике и динамическим системам. ISBN 5-93972-055-2

Издание выполнено при финансовой поддержке Удмуртского государственного университета c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001

http://rcd.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Создатели динамики твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Эйлер, Леонард (20). Лагранж, Жозеф Луи (21). Пуансо, Луи (21). Кирхгоф, Густав Роберт (22). Клебш, Рудольф Фридрих Альфред (22). Жуковский, Николай Егорович (22). Ковалевская, Софья Васильевна (23). Пуанкаре, Анри Жюль (24). Ляпунов, Александр Михайлович (24). Стеклов, Владимир Андреевич (25). Чаплыгин, Сергей Алексеевич (25). Козлов, Валерий Васильевич (26).

ГЛАВА 1. Уравнения движения твердого тела и их интегрирование 27 § 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм . . . . . . . . . . 27 1. Пуассоновы многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Скобки Пуассона и их свойства (27). Невырожденная скобка. Симплектическая структура (30). Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу (31).

2. Скобка Ли – Пуассона . . . . . . . . . . § 2. Уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева 1. Уравнения Пуанкаре . . . . . . . . . . 2. Уравнения Пуанкаре – Четаева . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

32 33 33 35

Исторический комментарий (36).

3. Уравнения на группах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Различные системы переменных в динамике твердого тела . . 1. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Переменные Эйлера. Компоненты момента и направляющие косинусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Кватернионные параметры Родрига – Гамильтона . . . . . . 4. Переменные Андуайе – Депри . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Различные формы уравнений движения . . . . . . . . . . . .

37 38 39 39 40 42 45 47 47

4

Оглавление

1. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой .

47

Уравнения Эйлера – Пуанкаре на группе SO(3) (47). Уравнения движения в угловых скоростях и кватернионах (49). Кинетическая энергия твердого тела с неподвижной точкой (50).

2. Гамильтонова форма уравнений движения для различных систем переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Уравнения движения в алгебраической форме (51). Кватернионное представление уравнений движения (52). Канонические уравнения в углах Эйлера и переменных Андуайе – Депри (53).

3. Сечение Пуанкаре и хаотические движения . . . . . . . . . § 5. Уравнения движения твердого тела в евклидовом пространстве 1. Лагранжев формализм и уравнения Пуанкаре на группе E(3) 2. Кинетическая энергия твердого тела в R 3 . . . . . . . . . . 3. Гамильтонова форма уравнений движения твердого тела в R 3 § 6. Примеры и родственные постановки задач . . . . . . . . . . . 1. Движение твердого тела с неподвижной точкой в суперпозиции постоянных однородных силовых полей . . . . . . . . 2. Свободное твердое тело в квадратичном потенциале . . . . 3. Движение тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 59 59 60 61 62 62 63 64

Гироскоп и маятник Фуко (65). Спутник на круговой орбите вокруг Земли (66).

4. Относительное движение твердого тела с неподвижной точкой 66 5. Движение твердого тела по гладкой плоскости . . . . . . . 67 6. Гироскоп в кардановом подвесе . . . . . . . . . . . . . . . 68 Исторический комментарий (69).

7. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8. Падение тяжелого тела в жидкости, уравнения Чаплыгина . 71 Комментарии (72).

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования . . 1. Гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля – Арнольда . 2. Теория последнего множителя. Теорема Эйлера – Якоби 3. Разделение переменных. Метод Гамильтона – Якоби . . .

. . . .

. . . .

72 73 75 77

Геодезический поток на эллипсоиде (задача Якоби) [183] (78). Система с квадратичным потенциалом на сфере (задача Неймана) [251] (80). Комментарии (81).

ГЛАВА 2. Уравнения Эйлера – Пуассона и их обобщения . § 1. Уравнения Эйлера – Пуассона и интегрируемые случаи 1. Твердое тело с неподвижной точкой . . . . . . . . . 2. Аналогия Кирхгофа для упругой нити . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

85 85 85 87

5


3. Интегрируемые случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Абсолютное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 91

Неподвижные точки на сфере Пуассона (92). Периодические решения на сфере Пуассона (92). Квазипериодические (двухчастотные) траектории (92). Регулярные прецессии (92). Абсолютное движение, интегрируемые и неинтегрируемые ситуации (93).

§ 2. Случай Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Геометрическая интерпретация Пуансо . . . . . . . . . . . 2. Явное интегрирование и бифуркационный анализ . . . . . .

95 95 96

Движение в абсолютном пространстве (97). Герполодия (99).

3. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 § 3. Случай Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Приведение к одной степени свободы (102). Динамика полной системы (103).

1. Бифуркационная диаграмма и геометрический анализ движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2. Различные приведенные системы (по ψ и ϕ) . . . . . . . . . 105 3. Бигамильтоновость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4. Исторические комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 § 4. Случай Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 1. Явное интегрирование. Переменные Ковалевской . . . . . . 112 2. Бифуркационная диаграмма и классы Аппельрота . . . . . . 114 I. Решение Делоне [70] (114). II. (118). III. (118). IV. (121). Решение Бобылева – Стеклова (121).

3. Фазовый портрет и визуализация особозамечательных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Фазовый портрет при c = 0 (123). Фазовый портрет при c = = 1.15 (124). Решение Делоне (125). Решение Бобылева – Стеклова (126). Неустойчивые периодические решения и сепаратрисы (128).

4. Исторические комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Метод Ковалевской (130). Случай Ковалевской, его анализ и обобщения (131).

§ 5. Случай Горячева – Чаплыгина . . . . . . . . . . . 1. Явное интегрирование . . . . . . . . . . . . . 2. Бифуркационная диаграмма и фазовый портрет 3. Визуализация особо замечательных решений .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

132 133 133 137

Решение Горячева [65] (137). Устойчивые и неустойчивые периодические решения (141).

§ 6. Частные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1. Решение Гесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2. Перманентные вращения Штауде . . . . . . . . . . . . . . . 144

6


3. Регулярные прецессии Гриоли . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4. Решение Бобылева – Стеклова (1896 г.) . . . . . . . . . . . . 149 Устойчивость частных решений (150).

§ 7. Уравнения движения тяжелого гиростата . . . . . . . . . . . . 151 1. Гиростат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2. Случай Жуковского – Вольтерра . . . . . . . . . . . . . . . 152 Разделение переменных для случая Жуковского – Вольтерра (156). Явное решение В. Вольтерра (157).

3. Явное интегрирование остальных случаев . . . . . . . . . . 158 § 8. Связки твердых тел, ротатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Связка двух волчков (158). Тело с ротатором (160). Комментарий (162). Уравнения Лиувилля (162).

ГЛАВА 3. Родственные проблемы динамики твердого тела . . . . 164 § 1. Уравнения Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 1. Уравнения движения и физические интерпретации . . . . . 164 Динамика твердого тела в жидкости (164). Задача Бруна (166). Задача Гриоли (166). Система Неймана [251] (167). Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде [183] (167).

2. Интегрируемые случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Комментарии (170).

3. Случай осевой симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4. Случай Клебша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5. Семейство Стеклова – Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . 172 Комментарии (174).

6. Случай Чаплыгина (I) . . . . . . . . . . . 7. Случай Чаплыгина (II) . . . . . . . . . . 8. Интегрируемые обобщения с линейными мильтониане . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 175 . . . . . . . . . . 176 слагаемыми в га. . . . . . . . . . 177

Уравнения движения многосвязного тела (177). Обобщение Рубановского интегрируемого семейства Стеклова – Ляпунова (178). Обобщение случая Чаплыгина (I) (179).

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . 179 1. Уравнения движения и физические интерпретации . . . . . 179 Пуассонова структура и уравнения движения (179). Уравнения Пуанкаре – Жуковского (181). Исторические комментарии (181). Динамика твердого тела с полостью, содержащей жидкость (182). Динамика твердого тела в 4 — четырехмерный волчок Эйлера (183). Твердое тело в искривленном пространстве (184). Твердое тело в S 3 в жидкости (185). Система взаимодействующих спинов (185).

2. Случаи интегрируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3. Случай осевой симметрии (А. Пуанкаре) . . . . . . . . . . . 187

7


4. Случай Шоттки – Манакова . . . . . . . . 5. Случай Стеклова . . . . . . . . . . . . . 6. Случай интегрируемости с интегралом (М. Адлер, П. ван М¨ербеке) . . . . . . . . 7. Частные случаи при (M , p) = 0 . . . . .

. . . . . . . . . . . . четвертой . . . . . . . . . . . .

. . . . 187 . . . . 192 степени . . . . 195 . . . . 195

Первый случай Богоявленского (195). Второй случай Богоявленского (196).

8. Обобщение случая Гесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9. Интегрируемые обобщения с линейными слагаемыми в гамильтониане . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Аналог случая Рубановского на so(4) (197). Обобщение первого случая Богоявленского (198).

§ 3. Замечательный предельный случай уравнений Пуанкаре – Жуковского. Счетное семейство первых интегралов . . . . . . . . 199 § 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле . . . . . . 206 1. Обобщенные уравнения Эйлера – Пуассона . . . . . . . . . 207 Случай Эйлера (208). Обобщенный случай Лагранжа (208). Обобщенный случай Ковалевской (208). Обобщение случая Делоне (210). Обобщенный шаровой волчок (210). Аналог случая Гесса (211).

2. Система Бруна

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Представление Лакса и первые интегралы ([21, 31]) (212). Случай динамической симметрии (215). Задача Бруна в одном поле (216).

3. Кватернионные уравнения Эйлера – Пуассона . . . . . . . . 216 Шаровой волчок (a1 = a2 = a3 ) (218). «Случай Ковалевской» (219). «Случай Горячева – Чаплыгина» (219).

ГЛАВА 4. Циклические интегралы и понижение порядка . . . . . § 1. Линейные интегралы в динамике твердого тела . . . . . . . . 1. Классический интеграл площадей N3 = (M , γ) = c = const 2. Интеграл N3 − M3 = (M , γ) − M3 = c = const . . . . . . 3. Интеграл M3 = c = const (интеграл Лагранжа) . . . . . . . 4. Поднятие интегрируемых систем . . . . . . . . . . . . . . .

220 220 223 225 227 228

Обобщение семейства Яхьи – Ковалевской (229). Обобщенное семейство Горячева – Чаплыгина (231).

§ 2. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа . . 1. Явная квадратура обобщенного случая Лагранжа, ществования интеграла . . . . . . . . . . . . . . 2. Волчок на гладкой плоскости в поле тяжести . .

. . . . . . 231 условия су. . . . . . 232 . . . . . . 235

Комментарии (236).

3. Гироскоп в кардановом подвесе в осесимметричном поле . 236 4. Случай осевой симметрии в уравнениях Чаплыгина . . . . . 237 Комментарий (238).

8


5. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта . . 238 § 3. Случай Гесса: геометрия, циклическая координата и явное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 1. Потенциальная система на алгебре e(3). Циклическая координата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 2. Классический случай Гесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Исторический комментарий (244).

§ 4. Обобщения случая Гесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Линейные и квадратичные потенциалы (248). Известные интегрируемые случаи (250). Твердое тело на гладкой плоскости (251). Гироскоп в кардановом подвесе (253). Интеграл Гесса в уравнениях Чаплыгина (254).

ГЛАВА 5. Специальные вопросы динамики твердого тела . . . . 255 § 1. Твердое тело в сопротивляющейся среде . . . . . . . . . . . . 255 Система Лоренца (259). «Диагональная диссипация» (260). Комментарий (261). Шаровой волчок со сложной диссипацией (261).

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского и четырехмерного волчка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 1. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости 262 Уравнения Кирхгофа (262). Уравнения движения для многосвязного тела (267).

2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского . . . . . . . . . . . . . . 270 3. Движение твердого тела c гиростатом в искривленном пространстве. Стационарные движения . . . . . . . . . . . . . 274 Свободное движение тела в S 3 (275). Движение связки двух тел. Уравновешенный гиростат (277). Уравнения Кирхгофа на S 3 , L3 (279). Свободное твердое тело в пространстве Лобачевского (279). Комментарий (280).

§ 3. § 4. § 5. § 6.

Алгебра e(4) и ее орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Новая L − A-пара обобщенного волчка Горячева – Чаплыгина 284 Динамика ферромагнетика в магнитном поле . . . . . . . . . 288 Уравнение Ландау – Лифшица, дискретные системы и задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 1. Уравнение Ландау – Лифшица . . . . . . . . . . . . . . . . 291 2. Анизотропная XYZ-модель Гейзенберга . . . . . . . . . . . 292 Многомерные обобщения (294).

3. Эллипсоидальный бильярд и дискретные волчки . . . . . . 295 Комментарии (295).

§ 7. Различные обобщения случаев интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 1. Обобщение случая Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . 296

9


2. Обобщение случая Горячева – Чаплыгина . . . . . . . . . . 301 3. Случай Горячева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 § 8. Разделение переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 1. Разделяющие преобразования в интегрируемых задачах динамики твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Система Жуковского – Вольтерра (305). Случай Ковалевской (307). Преобразование Хайне – Хорозова для системы Ковалевской (311). Аналогия Колосова и ее обобщения (313). Исторический комментарий (315). Случай Чаплыгина (I) (315). Система Богоявленского (316).

2. Переменные «действие» и разделяющие переменные . . . . 317 § 9. Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем 320 Случай Эйлера (321). Случай Лагранжа (322). Случай Жуковского – Вольтерра (324). Комментарии (324).

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде 325 1. Движение точки по сфере и эллипсоиду (n = 2, 3). Аналогия с динамикой волчка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Двумерный эллипсоид и сфера (E 2 , S 2 ) (326). Трехмерный эллипсоид и сфера (E 3 , S 3 ) (327).

2. Гармонический осциллятор на S 2 , S 3 . Обобщение задач Неймана и Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Гуковские центры на сфере (329). Обобщение задачи Неймана на S 2 (331). Обобщение задачи Якоби на E 2 (332). Обобщение системы Неймана на S 3 (332).

3. Задача n гуковских центров на сфере . . . . . . . . 4. Система Гаффе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Небесная механика на двумерной и трехмерной сферах 1. Задача Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Эйлерова задача двух центров . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

334 335 336 336 338

Разделение переменных (339). Первые интегралы (340). Добавление гуковских центров (341).

3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя и кулоновского центра на трехмерной сфере . . . . . . . . . 342 Плоское пространство (343). Искривленное пространство (344).

§ 12. Новый интеграл четвертой степени уравнений Кирхгофа и Пуанкаре – Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Исторический комментарий (347).

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Авторский указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

ПРЕДИСЛОВИЕ

I. Мы начали писать эту книгу два года назад, задавшись целью собрать в ней все известные интегрируемые случаи в динамике твердого тела. Нам казалось, что такой проект мы осуществим достаточно быстро и книга должна была выйти в 2000 г. — в год 150-летия со дня рождения С. В. Ковалевской. Мы также хотели дать исчерпывающую информацию относительно открытого ею случая и метода. Однако постепенно наши планы расширились в основном вследствие активного использования численных экспериментов и методов компьютерной визуализации в сочетании с аналитическими вычислениями. В конце концов у нас сформировался совершенно новый взгляд на одну из самых классических областей механики, допускающий обобщение на всю динамику. В предисловии мы провозглашаем манифест компьютерной динамики, развитие и применение которой к динамическим проблемам теории волчков читатель найдет на протяжении всей книги. Компьютерные исследования в динамике, или просто компьютерную динамику, мы выделяем в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Каждый из этих методов обладает своими особенностями (устойчивость и пр.) и обладает внутренними параметрами (типа шага и точности). Поэтому результаты такого исследования, конечно, имеют лишь косвенное отношение к реальности. Однако аналогичные заключения можно сделать и относительно обычных аналитических (или сугубо математической) методов, требующих на каждом шаге строгих доказательств. При этом многие физически очевидные факты могут привести к неразрешимым математическим проблемам (которых особенно много в нелинейной динамике и математической теории хаоса). Мы здесь отметим только проблемы с доказательством эргодичности, вычислением энтропии, оценками малого параметра и применимостью КАМ-теории и пр. Решение этих проблем, тем не менее, нисколько не продвинет наше понимание замечательных законо-

Предисловие

11

мерностей, которые мы наблюдаем, следя за развитием хаоса в конкретных системах. В этой книге естественно завершена классическая ветвь динамики твердого тела, связанная с поиском возможных интегрируемых случаев. Вероятно, что другие случаи и интегралы, которые могут быть найдены в будущем, уже никогда не вызовут того внимания, как уже найденные и приведенные здесь. Классики пытались их использовать для понимания движения и делали это с переменным успехом. В динамике твердого тела увлечение геометрическими интерпретациями движения, восходящими к Пуансо, временами сменялось аналитическими исследованиями, большинство из которых, к сожалению, совершенно не было востребовано ни физиками, ни инженерами и вскоре становилось доступным лишь специалистам. Мы, возможно, в книге несколько пренебрегли доказательствами и точными формулировками. Мы использовали одновременно как достижения топологии, анализа и компьютерные эксперименты для получения достаточно полного представления о движении. Сложно сказать, достигли ли мы поставленной цели, но несомненно, что даже самые классические случаи (типа Лагранжа, Ковалевской и Горячева – Чаплыгина) приобрели в таком подходе второе рождение, вышли за рамки сухих вычислений и стали вполне осязаемыми. Возможно, что такой и должна быть основная цель механики — предъявить некоторый алгоритм, по которому можно разобраться со всем многообразием движений и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности. В этой книге мы пытаемся возродить традиции математической литературы времен Эйлера, который сам, по выражению Якоби [183], «хотя и рассматривает всегда только частные случаи, но подбирает их так удачно, что позже найденный общий метод по большой части прибавляет к его результатам очень мало или ничего». Таким образом, если считать установленными законы природы, приводящие к некоторой системе дифференциальных уравнений, то для ее анализа компьютерный и аналитический методы являются дополняющими друг друга. Здесь мы подчеркиваем отличие нашей точки зрения от широко распространенной и состоящей в том, что «настоящая наука» является аналитической, а компьютер способен дать только иллюстрации аналитическим методам и толчок для формулировок новых теорем. Это, конечно, также правильно, но лишь является побочным продуктом компьютерных исследований, которые имеют свою внутреннюю логику и систему описания физических феноменов. Систематическое развитие компьютерных иссле-

12


дований, открывающее новые области компьютерной (или «виртуальной») динамики — дело ближайшего будущего. В качестве исторического ракурса, или, скорее, курьеза, иллюстрирующего излишнюю веру в силу логического метода, заметим, что Лейбниц и Декарт в своих работах, прежде чем развивать собственно математические методы, «доказывали» существование движения и даже бога.

II. Кроме идеи компьютерной динамики в книге мы старались отразить самые современные методы пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли, лишь намеченные в нашей предыдущей книге «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике», которая, как нам кажется, имела определенный успех. В развитии этих методов динамика твердого тела играет особую роль. В некотором смысле она представляет собой полигон для испытания новых средств математики и в настоящее время трудно оценить ее значение, особенно для развития многих разделов топологии и нелинейных пуассоновых структур, неголономной геометрии, теории симметрий и тензорных инвариантов. Можно даже утверждать, что подобно тому, как понимание глубоких идей А. Пуанкаре о неинтегрируемости динамических систем стало возможным благодаря анализу задачи трех тел, результаты и методы Софуса Ли вошли в общую математическую культуру вследствие их приложения к динамике волчков, дающих примеры механической реализации наиболее естественных групп и алгебр Ли. Кроме того, в отличие от небесной механики и теории колебаний динамика твердого тела, с одной стороны, содержит ряд нетривиальных интегрируемых случаев, а с другой стороны, в силу компактности конфигурационного пространства наиболее предпочтительна для анализа хаотических движений.

III. При проверке почти всех современных и классических случаев интегрируемости использовалась система аналитических вычислений MAPLE. При этом некоторые уже известные ранее результаты оказались не совсем корректными, а другие были значительно упрощены. Компьютерная визуализация движения и численное интегрирование были проведены нами на программном комплексе «Компьютерная динами-


13

ка», созданном в научно-издательском центре «Регулярная и хаотическая динамика». За рамками книги оказались вопросы устойчивости частных движений и большинство прикладных и технических вопросов, достаточно полное изложение которых требует отдельной монографии. Тем не менее даже физик и инженер может извлечь из книги понимание общего формализма записи основных динамических уравнений, а также основных аспектов регулярного и хаотического поведения в динамике твердого тела. По этим вопросам книга может рассматриваться как справочник, в котором, тем не менее, мы стараемся пояснить вывод основных результатов, а иногда приводим полные доказательства. Мы не стали включать в книгу разделы, связанные с неголономными системами, а также многомерными обобщениями динамики твердого тела. Они достаточно обширны, и мы постараемся изложить их отдельно. Собранные нами в начале книги краткие исторические очерки о творцах динамики твердого тела позволяют проследить эволюцию идей этой области и, возможно, исправить некоторые исторические неточности.

ВВЕДЕНИЕ

1. В качестве введения мы приведем несколько кратких комментариев относительно основных этапов развития динамики твердого тела. Исторически первыми стали изучаться интегрируемые случаи. Наиболее популярные из них были найдены еще Эйлером (1758 г.) и Лагранжем (1788 г.) в период формирования и разработки общих принципов динамики. При этом базовой системой, на которой в последующие столетия апробировались различные математические методы, явились уравнения Эйлера – Пуассона, описывающие движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Существенно более сложный случай интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона, давший толчок новым исследованиям в области интегрируемых систем, был найден С. В. Ковалевской в 1888 г. Этот результат был высоко оценен Парижской Академией Наук, присвоившей С. В. Ковалевской в 1888 г. премию Бордена за мемуар о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Заметим, что до этого Академия Наук дважды объявляла конкурс на исследование по этому вопросу, но премия никому не присуждалась. Весной 1889 г. Ковалевская была удостоена премии Шведской Королевской Академии Наук за второй мемуар по задаче о вращении твердого тела. Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве – Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной.

Введение

15

2. Начиная с середины XIX и в начале XX столетий в динамике твердого тела были найдены интегрируемые случаи для различных постановок задач о движении твердого тела — движение тела в жидкости, движение тела, имеющего полости, заполненные жидкостью, гиростаты, неголономные задачи. Изучение этих задач стало возможным благодаря развитию общего формализма динамики, вершиной которого стали уравнения Пуанкаре, позволяющие представить уравнения движения твердого тела в групповых переменных. Здесь следует также упомянуть о прогрессе в гидродинамике идеальной жидкости и вихревой теории, основы которой были заложены Г. Гельмгольцем. На этом пути были получены уравнения для вектора завихренности, вполне аналогичные динамическим уравнениям для кинетического момента, а Пуанкаре впервые изучил прецессию земной оси, используя в качестве модели Земли твердое тело (мантию), имеющее полости, заполненные вихревой несжимаемой жидкостью (ядро). 3. Как уже отмечалось, в классический период для различных форм уравнений считалось первостепенным по важности нахождение случаев, фиксируемых ограничениями на параметры и начальные условия, явной разрешимости задачи в квадратурах; в современной терминологии — интегрируемых случаев. Случаи интегрируемости обычно связывают с именами их первооткрывателей. Среди них — известные западные математики и механики — Г. Кирхгоф, А. Клебш, П. Аппель, Ф. Брун, В. Вольтерра, крупные достижения принадлежат русским ученым — А. М. Ляпунову, В. А. Стеклову, Н. Е. Жуковскому, С. А. Чаплыгину. В этом смысле динамику твердого тела можно рассматривать как область, наиболее богатую содержательными интегрируемыми задачами, составляющими «золотой фонд» современной динамики. В классический период кроме нахождения первых интегралов особенно ценилось также получение явного решения в различных классах функций, в основном, эллиптических. Особых успехов здесь добились С. В. Ковалевская, В. Вольтерра, Г. Альфан, и их техника до сих пор во многом является непревзойденной. 4. В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А. Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамильтоновой динамической системы [144]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений: принцип усреднения, КАМ-теория и пр.

16

Введение

Основные уравнения динамики твердого тела в общем случае также являются неинтегрируемыми, а значит обладающими сложным непредсказуемым поведением [144], изучение которого составляет предмет новой области исследований, называемой детерминированным хаосом. Систематически эффекты неинтегрируемости в динамике твердого тела обсуждаются в монографии В. В. Козлова [92]. Важное значение книги [92] состоит также в том, что в отличие от неестественной тяги классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических систем, и на примере волчков Ковалевской и Горячева – Чаплыгина сделаны общие выводы о поведении линии узлов и углов собственного вращения. Последние результаты были получены с применением теоремы Лиувилля – Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. 5. Использование методов топологического анализа к интегрированию задач динамики твердого тела, а именно изучение перестроек торов Лиувилля при прохождении через критические значения, впервые предложено М. П. Харламовым [170] и получило свое развитие в теории топологических инвариантов, созданной для классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Почти все известные результаты, полученные с помощью этой техники, представлены в недавно вышедшей книге [25]. Комплексные методы, в основном приводящие к тем же результатам, пропагандируются в книге М. Оден [134]. 6. Подъем интереса к интегрируемым задачам динамики твердого тела в 1970–1990 гг., повлекший за собой открытие целой серии новых интегрируемых случаев, связан с развитием метода изоспектральной деформации (представления Лакса, L − A-пары). Как правило, большинство работ этого периода связано с многомерными обобщениями уже известных естественных физических аналогов. Развитие этого направления исследований также связано с проникновением в динамику идей теории групп и алгебр Ли, а также анализа общих (нелинейных и вырожденных) пуассоновых структур. С современным состоянием этих вопросов можно познакомиться по нашей книге [31]. Отметим также, что многие конструкции ли-алгебраического подхода и методов качественного анализа оказалось возможным перенести на неголономные задачи динамики твердого тела, где в последние десятилетия также добавилось несколько новых интегрируемых систем [52, 36]. 7. В последние десятилетия возникло еще несколько направлений, связанных с динамикой волчков. Одно из них возникло в квантовой механике

Введение

17

из анализа систем взаимодействующих спинов с анизотропией (цепочка или XY Z-модель Гейзенберга). Классическая модель здесь является основой для понимания динамики на квантовом уровне, которая, в некотором смысле, также может быть интегрируемой и хаотической. Исследования по квантовому хаосу пока только начинаются, они скоро перерастут в отдельную область науки, в которой вопросы квантового описания волчков займут значительное место. Прежде всего это связано с тем, что модель волчка является основной в квантовой теории углового момента, используемой в квантовой химии и молекулярной спектроскопии. Интересно также заметить, что приводимые в современной литературе по квантовой механике (см., например, [259]) условия интегрируемости и сами интегралы для спиновой модели являются упрощенными результатами классиков (В. Фрамм, Ф. Шоттки), полученными более столетия назад. Это обусловлено тем, что многие из современных физиков, далеко ушедших в области своих абстрактных и запутанных теорий (типа квантовой теории поля, теория гравитации), плохо ориентируются в вопросах, которые имеют естественное происхождение и связаны с динамикой обычного игрушечного волчка. 8. В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации «особо замечательных» решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева – Чаплыгина, решения Бобылева – Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически — но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился. Некоторые любопытные движения, имеющиеся у интегрируемых волчков, возможно, способны вызвать конкретные идеи по их практическому

18

Введение

использованию. Напомним, что, например, открытый более столетия назад волчок Ковалевской до сих пор не нашел своего применения, именно потому, что о его движении, несмотря на полное решение в эллиптических функциях, было практически ничего не известно. Мы также приводим некоторые неустойчивые периодические решения, порождающие семейство двоякоасимптотических движений, поведение которых является наиболее сложным и даже при наличии дополнительного интеграла выглядит неупорядоченным. При возмущении такие решения разрушаются в первую очередь и вблизи них в фазовом пространстве появляются целые области, заполненные уже «настоящими» хаотическими траекториями. Компьютерные исследования заставляют во многом «произвести ревизию» и понять истинный смысл аналитических исследований. Если некоторые аналитические результаты — типа разделения переменных оказываются очень полезными для изучения бифуркаций и классических решений, то их дальнейшее «развитие» до получения явных квадратур (через θ-функции) является практически бесполезным. Эти результаты собраны, например, в книгах [61, 72], но скорее имеют значение как упражнения по дифференциальным уравнениям, а не как методы динамического анализа. 9. Относительно ценности результатов классиков в динамике твердого тела ряд сомнений был высказан еще в 70-х годах прошлого столетия (К. Магнус [119]). Эпоха веры в безграничные возможности вычислительной техники породила убеждение, что все эти результаты являются бесполезными, и достаточно мощный компьютер способен спрогнозировать движение на любом интервале времени с достаточной точностью. Однако факт экспоненциально быстрого разбегания траекторий (связанный с неустойчивостью в целых областях фазового пространства) в типичных динамических системах, являющихся неинтегрируемыми, сделал такой компьютерный счет на достаточно больших интервалах времени не имеющим физического смысла, так как начальные условия для конкретных (прикладных) систем всегда известны с некоторой погрешностью. Кажется, что вполне надеяться на численные методы можно только в интегрируемой ситуации, в которой такого разбегания не происходит. Тем не менее, оказывается, что консервативные системы даже в стохастической ситуации сохраняют многие элементы интегрируемой динамики. При небольшом возмущении интегрируемой задачи продолжают существовать невырожденные периодические орбиты, не разрушается большинство условно-периодических движений (КАМ-теория).

Введение

19

При дальнейшем увеличении возмущения как с периодическими орбитами, так и с инвариантными торами происходят различного рода бифуркации, имеющие некоторые общие закономерности. Они определяют изменение всей структуры фазового потока, сочетающего в себе зоны с регулярным и хаотическим поведением, и задают сценарии перехода к хаосу. В динамике твердого тела эти исследования, кстати говоря, невозможные без высокоточного компьютерного моделирования, почти не были проведены. В этой книге мы приводим лишь несколько примеров хаотического движения и надеемся, что в ближайшем будущем в этой области появится много новых интересных результатов.

СОЗДАТЕЛИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Здесь мы приводим ряд сведений об ученых, получивших основные результаты, приведенные в книге. При этом мы касаемся их достижений только в динамике твердого тела, тогда как большинство из них получили также известные результаты в других областях математики и механики. Эти краткие очерки могут быть полезными для понимания эволюции основных идей и методов, а также для устранения некоторых исторических неточностей. Все очерки даны в хронологическом порядке. Эйлер, Леонард (15.4.1707 – 18.9.1783) — великий математик и механик. Родился в Швейцарии, значительную часть жизни провел в России (1727–41, 1766–83). Эйлер оставил вклад почти во всех разделах математики, его творчество трудно обозримо и включает более 865 исследований. В динамике твердого тела Эйлер разработал теорию моментов инерции и получил формулу распределения скоростей в твердом теле. В 1750 г. он получил уравнения движения в неподвижной системе координат, которые оказались малопригодными для применения. В цикле работ 1758–1765 гг. Эйлер впервые ввел подвижную систему координат, связанную с телом, и получил уравнения Эйлера – Пуассона в окончательной форме (вклад Пуассона, отразившийся в названии, видимо, состоит в систематическом их изложении в своем известном курсе механики). В них также используются углы ЭйлеЛ. Эйлер ра, получены кинематические соотношения, носящие имя Эйлера, а также указан случай интегрируемости при отсутствии поля тяжести. Этот случай Эйлер доводит до квадратур и разбирает различные частные решения. Отметим также вклад Эйлера в прикладные науки — кораблестроение, артиллерию, теорию турбин, сопротивление материалов.

Создатели динамики твердого тела

21

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736 – 10.4.1813) — великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате «Аналитическая механика» (в 2-х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г.), который рассмотрел эту задачу как соверЖ. Л. Лагранж шенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа – Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих «оскулирующих» переменных. Пуансо, Луи (3.1.1777 – 5.12.1859) — французский инженер, механик и математик. Дал геометрическую интерпретацию случая Эйлера, ввел понятия эллипсоида инерции, мгновенной оси вращения и связанные с ней понятия — полодий и герполодий (1851 г.). Привел геометрический анализ устойчивости вращения твердого тела вокруг главных осей эллипсоида инерции. Пуансо, в противовес Лагранжу, настаивал на преимуществе геометрических методов в механике над аналитическими — «во всех Л. Пуансо этих решениях мы видим только вычисления без какой-либо ясной картины движения тела» [252]. Идеи Пуансо далее были поддержаны и развиты Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Геометриче-

22


ский метод Пуансо использовал также при изучении статики («Элементы статики», 1803 г.). Кирхгоф, Густав Роберт (12.3.1824–17.10.1887) — немецкий физик и механик. В своих «Лекциях по математической физике» (1874–94, т. 1–4) заложил основы современной теории упругости, гидродинамики, оптики и электродинамики. Указал аналогию между уравнениями Эйлера – Пуассона и уравнениями изгиба упругой линии. Развивая идею Томсона и Тэта, свел задачу о движении твердого тела в Г. Р. Кирхгоф идеальной жидкости к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Нашел интегрируемый случай, характеризующийся осевой симметрией. Он привел его решение в эллиптических функциях и рассмотрел различные частные движения.

А. Клебш

Клебш, Рудольф Фридрих Альфред (19.1.1833 – 7.11.1872) — немецкий математик и механик. Основал журнал Mathematishe Annalen, который на протяжении шестидесяти лет являлся ведущим математическим журналом. Был специалистом по проективной геометрии и теории инвариантов алгебраических форм. Для уравнений Кирхгофа предложил новую форму записи, эквивалентную переходу от лагранжева описания к гамильтонову. Для этих уравнений указал случай существования дополнительного квадратичного интеграла, который, как потом выяснилось, тождественен интегралам Бруна и Тиссерана.

Жуковский, Николай Егорович (17.1.1847 – 17.3.1921) — русский механик, математик, инженер, по выражению В. И. Ленина — «отец русской авиации». В своей магистерской диссертации (1885 г.) заложил основы теории движения твердого тела с полостями, полностью заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Для многосвязных полостей отметил эквивалентность полученной формы уравнений с движением твердого тела с маховиком — гиростатом, ввел соответствующие динамические характеристики и провел их вычисления для полостей различной формы. Указал случай интегрируемости свободного гиростата, явное решение для которого было получено В. Вольтерра при помощи эллиптических функций (1899).


23

Исследовал «плоские» движения твердого тела в пространстве Лобачевского. Предложил геометрическую интерпретацию и свой метод сведения к квадратурам случая Ковалевской, при котором исследуется некоторая вспомогательная система криволинейных координат. Заметил маятниковый характер движения центра масс для случая Гесса, предложив для него интересное геометрическое исследование. В связи со своими исследованиями по гидроаэромеханике рассмотрел ряд модельных постановок задач о плоских движениях пластиН. Е. Жуковский нок под действием подъемной силы, обусловленной циркуляцией. В механике идеалом решения для Н. Е. Жуковского было геометрически наглядная и ясная картина движения, подобная интерпретации Пуансо. Отметим, однако, что полученные самим Жуковским интерпретации движения гиростата и случая Ковалевской достаточно сложны и не столь естественны. Ковалевская, Софья Васильевна (15.1.1850 – 10.2.1891) — знаменитая русская женщина-математик. В 1874 г. защитила диссертацию в Геттингене и получила степень доктора философии, в 1884 г. — заняла кафедру математики в Стокгольмском университете, в 1889 г. была избрана членом-корреспондентом Петербургской Академии наук. Являлась членом редколлегии журнала «Acta Mathematica». Первая в мире женщина — профессор математики. За открытие, после Эйлера и Лагранжа, треС. В. Ковалевская тьего случая интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона ей была присуждена премия Бордена (1888 г.), а за вторую работу о вращении твердого тела — премия Шведской Королевской Академии наук. В этих работах был также предложен так называемый метод Ковалевской, являющийся широко используемым тестом на интегрируемость и связанный с поведением общего решения на комплексной плоскости времени, а также получены явные квадратуры, использующие тэта-функции двух переменных. Преобразования, проведенные Ковалевской, до сих пор являются далеко не тривиальными и не поддаются какому-либо существенному упрощению.

24


Ковалевская занималась также общими вопросами интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (теорема Коши – Ковалевской), устойчивостью колец Сатурна, распространением света в кристаллах. Обладая эпистолярным талантом, Ковалевская оставила после себя несколько романов и воспоминаний, которые до их пор находят своих читателей. Пуанкаре, Анри Жюль (29.4.1854 – 17.7.1912) — знаменитый французский математик, физик, астроном и философ. В своем трехтомном трактате «Новые методы небесной механики» на примере задачи трех тел положил начало новому качественному исследованию динамических систем, указал препятствия к существованию аналитических интегралов для широкого класса динамических систем. Высказал, но не доказал соответствующие соображения относительно уравнений Эйлера – Пуассона. Установил новую форму уравнений динамики в групповых переменных, которая систематизировала частные результаты Эйлера и Лагранжа и оказалась наиболее пригодной для различных задач динамики твердого тела. Гамильтонов вариант этих А. Пуанкаре уравнений был предложен Н. Г. Четаевым. Развиваемый групповой формализм Пуанкаре применил к выводу уравнений твердого тела, содержащего полости, заполненные вихревой идеальной несжимаемой жидкостью. Для этих уравнений он указал случай интегрируемости, характеризующийся динамической симметрией. Он также получил эллиптическую квадратуру и использовал ее для объяснения различных эффектов в прецессии Земли, которую представлял себе как твердую оболочку (мантию) с жидким ядром. Указал также явные формулы для частот малых колебаний и получил необходимые условия устойчивости. Ляпунов, Александр Михайлович (6.6.1857 – 3.11.1918) — знаменитый русский математик и механик, создатель теории устойчивости движения. Нашел случай интегрируемости уравнений Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости. В обширном мемуаре 1888 г. указал и исследовал на устойчивость винтовые движения твердого тела в жидкости. Внес ясность в вопрос о корректности рассуждений Ковалевской, связанных с однозначностью решений в интегрируемых случаях, предложив при этом свой метод,

25


А. М. Ляпунов

В. А. Стеклов

С. А. Чаплыгин

основанный на введении малого параметра и исследовании уравнения в вариациях — метод Ковалевской – Ляпунова. Стеклов, Владимир Андреевич (9.1.1864 – 30.5.1926) — русский математик и механик, ученик А. М. Ляпунова. В 1894 г. защитил магистерскую диссертацию «О движении твердого тела в жидкости», где нашел новый случай интегрируемости уравнений Кирхгофа и доказал теорему о невозможности других случаев, в которых существует дополнительный квадратичный интеграл. Заметил аналогию между случаем Клебша и задачей Бруна. В 1909 г. указал новое интегрируемое семейство для задачи о движении твердого тела с полостями, заполненными жидкостью (уравнения Пуанкаре – Жуковского). Привел два частных решения уравнений Эйлера – Пуассона (одно из них — одновременно с Д. К. Бобылевым). Чаплыгин, Сергей Алексеевич (5.4.1869 – 8.10.1942) — русский математик и механик, один из основоположников современной гидроаэромеханики. Указал частный случай интегрируемости при нулевой постоянной площадей уравнений Эйлера – Пуассона, обобщив при этом более частное решение Д. Н. Горячева, а также более частные решения, характеризуемые системой линейных инвариантных соотношений. Для уравнений Кирхгофа также нашел аналогичный случай частной интегрируемости и его обобщения, исследовал винтовые движения, дал геометрическую интерпретацию различных движений, в частности, для случая Клебша). Вывел уравнения движения тяжелого твердого тела в жидкости и более подробно исследовал случай плоского и осесимметричного движения.

26


Особую известность Чаплыгину принесли работы по неголономной механике, где он указал ряд интегрируемых задач динамики твердого тела: качение по плоскости осесимметричного тела, «шар Чаплыгина», сани Чаплыгина и др. Подобно Н. Е. Жуковскому стремился внести геометрическую наглядность в свои виртуозные аналитические вычисления. Козлов, Валерий Васильевич (род. 1.01.1950) — русский математик и механик, академик РАН (с 2000 г.). В цикле работ, объединенных в монографии «Методы качественного анализа в динамике твердого тела» (МГУ, 1980), доказал несуществование аналитических интегралов уравнений Эйлера – Пуассона, а также указал динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений — расщепление сепаратрис, рождение большого числа невырожденных периодических решений. Эти исследования «закрыли» проблему Пуанкаре, поставленную им в «Новых методах небесной механики» (т. 1), а также открыли новую эпоху в динамике твердого тела, в которой на первый план вышли методы качественного исследования, а не поиск частных решений заданной алгебраической структуры. В. В. Козловым также предложены новые методы анализа интегрируемых систем, основанные на В. В. Козлов использовании геометрической теоремы Лиувилля – Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. В качестве некоторого обоснования метода Ковалевской В. В. Козлов доказал ряд утверждений, связывающих ветвление общего решения на комплексной плоскости времени с несуществованием однозначных первых интегралов (гипотеза Пенлеве – Голубева). Для нахождения периодических решений в динамике твердого тела им впервые были применены вариационные методы.

ГЛАВА 1

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

§ 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм 1. Пуассоновы многообразия Большинство рассматриваемых в этой книге задач допускает запись в канонической гамильтоновой форме и обладает первым интегралом — интегралом энергии. Однако во многих случаях уравнения движения этих задач удобнее записывать не в канонической форме, а с помощью некоторой системы алгебраических переменных, наиболее приемлемой для исследований — поиска интегралов, частных решений, анализа устойчивости и пр. В этих переменных система не только сохранит многие свойства обычных гамильтоновых систем, но и приобретет некоторые характерные отличия, изучаемые в общей теории пуассоновых структур. С ней можно познакомиться по нашей книге [31]. Здесь мы вкратце изложим основные определения и результаты, необходимые для задач динамики твердого тела. Отметим также, что само развитие теории пуассоновых структур во многом было стимулировано динамикой волчков, так как последняя позволяет сделать абстрактные формулировки многих теорем более наглядными и естественными. Те, кто плохо знаком с дифференциальной и симплектической геометрией (здесь можно рекомендовать книги [75, 6, 7]), при чтении этого параграфа могут все результаты представлять себе в координатной форме и игнорировать иногда слишком формальную математическую терминологию. В ее основе лежат простые динамические факты, но при первом знакомстве она может казаться несколько оторванной от них. Скобки Пуассона и их свойства. уравнений динамики имеет вид q˙ = ∂H , ∂p

p˙ = − ∂H , ∂q

Обычная гамильтонова форма

H = H(q , p),

(1.1)

28

Глава 1

где канонические координаты (q , p) определены на некотором четномерном многообразии (q , p) ∈ M 2n — фазовом пространстве (dim M = 2n).

Функция H называется гамильтонианом. Величина n = dim M называется 2 числом степеней свободы гамильтоновой системы (1.1). Дивергенция векторного поля (1.1) равна нулю, то есть фазовый поток является несжимаемым (теорема Лиувилля). Если ввести скобку Пуассона двух функций F и G по формуле X ∂F ∂G ∂F ∂G {F, G} = − , (1.2) ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

то уравнения (1.1) можно переписать в виде q˙i = {qi , H},

p˙ i = {pi , H}.

(1.3)

Любая дифференцируемая функция F = F (q , p) также эволюционирует по гамильтонову закону: F˙ = {F, H}. (1.4) Уравнения (1.1) не являются инвариантными относительно произвольных координатных преобразований. Кроме того, при записи основных уравнений динамики твердого тела в виде (1.1) они теряют алгебраичность и приобретают особенности, не связанные с существом задачи (см. § 4 п. 2). Прежде чем привести уравнения движения в более приемлемой форме, сохраняющей основные свойства канонической записи, остановимся на инвариантном изложении гамильтоновой механики. При инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П. Дираку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона1 , определенных для функций, заданных на некотором многообразии M с координатами x = (x1 , . . . , xn ). Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям: 1◦ . {λF1 + µF2 , G} = λ{F1 , G} + µ{F2 , G}, λ, µ ∈ R — билинейность, 2◦ . {F, G} = −{G, F } — кососимметричность, 3◦ . {F1 F2 , G} = F1 {F2 , G} + F2 {F1 , G} — правило Лейбница, 4◦ . {{H, F }, G} + {{G, H}, F } + {{F, G}, H} = 0 — тождество Якоби. 1 В дальнейшем мы говорим как скобки, так и скобка Пуассона, допуская здесь некоторую вольность речи.

§ 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм

29

Скобку Пуассона {·, ·} мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие M , на котором она задана — пуассоновым многообразием. В приведенном определении мы отказались от требования невырожденности, (т. е. для любой функции F (x ) 6≡ const существует G 6≡ const, {F, G} 6≡ 0), которое заведомо выполнено для канонической структуры (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. В наших рассмотрениях пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира Fk (x ), коммутирующими со всеми переменными xi и, стало быть, с любыми функциями — G(x ) на M : {Fk , G} = 0. Функции Казимира называют также центральными функциями, казимирами или аннуляторами. Свойства 1◦ – 4◦ позволяют записать скобку Пуассона функций F и G в явном координатном виде {F, G} =

X i,j

{xi , xj } ∂Fi ∂Gj . ∂x ∂x

(1.5)

Базисные скобки J ij = {xi , xj } называются структурными функциями пуассонова многообразия M относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат x = (x1 , . . . , xn ) [7, 135]. Они образуют структурную матрицу (тензор) J = kJ ij k размера n × n. Если 0 E J= , E = kδij k, (1.6) −E 0 то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2). Структурная матрица J(x ) удовлетворяет следующим условиям, вытекающим из 1◦ – 4◦ : I. кососимметричность: J ij (x ) = −J ji (x ),

(1.7)

II. тождество Якоби: n X l=1

J

il ∂J

jk

∂xl

+J

kl ∂J

ij

∂xl

+J

jl ∂J

ki

∂xl

= 0.

(1.8)

Поэтому, например, всякая постоянная кососимметрическая матрица kJ ij k задает пуассонову структуру.

30

Глава 1

Инвариантный объект, определяемый тензором J является бивектором (бивекторным полем): J(dF, dG) =

X

J ij (x ) ∂Fi ∧ ∂Gj , ∂x ∂x

где dF — ковектор с компонентами ∂Fi . ∂x

Векторное поле X H = {x , H} определяет на многообразии (произвольной размерности) гамильтонову систему, которая в компонентной записи имеет вид X i x˙ i = XH (1.9) = {xi , H} = J ij (x) ∂Hj . ∂x j

Функция H = H(x) при этом также называется гамильтонианом (функцией Гамильтона. Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением [X H , X F ] = −X {H,F } . Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование (фазовый поток), сохраняющее скобки Пуассона. Функция F (x) называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю F˙ = X H (F ) = 0, это условие эквивалентно тому, что {F, H} = 0. Система уравнений F1 (x) = 0, . . . , Fk (x) = 0

(1.10)

задает систему инвариантных соотношений (определяющих инвариантное многообразие), если {Fi , H} = 0 на многообразии, определяемом условиями (1.10). Невырожденная скобка. Симплектическая структура. Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 2-форма. Действительно, для любой гладкой функции F операция X F = {F, ·} является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на M . Используя 1◦ – 4◦ , в этом случае можно показать, что в таком виде можно представить каждый касательный вектор. Определим 2-форму ω 2 по формуле ω 2 (X G , X F ) = {F, G}.

§ 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм

31

Из аксиом 1◦ - 4◦ следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 2-форма называется симплектической структурой, а многообразие M — симплектическим многообразием. P В координатном представлении форма ω 2 имеет вид ωij dxi ∧dxj , где P i,j kωij k = kJ ij k−1 , в каноническом случае (1.6) ω 2 = dpi ∧ dqi . К такому i

виду по теореме Дарбу [135] приводится локально всякая симплектическая структура. В следующем разделе мы сформулируем эту теорему в более общей форме.

Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои (листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. ЗАМЕЧАНИЕ. В динамике твердого тела для поиска интегралов, частных решений и анализа устойчивости обычно используется алгебраическая форма уравнений движения. Она также является предпочтительной при их численном интегрировании, вследствие того, что каноническая форма содержит особенности, связанные с вырождением локальных переменных в отдельных точках, например, углов Эйлера в полюсах сферы Пуассона, см. §§ 2, 3). Для вопросов качественного анализа и построения теории возмущений обычно используется каноническая форма записи, так как для нее эти методы наиболее развиты и алгоритмизованы.

Рангом пуассоновой структуры в точке x ∈ M называется ранг структурного тензора в этой точке (очевидно, что он четен). Под рангом пуассоновой структуры на всем многообразии M понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке x ∈ M. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален. Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных пуассоновых многообразий [31, 135]. Теорема 1. Пусть (M, {· , ·}) — пуассоново многообразие размерности n, и в точке x ∈ M ранг скобки {· , ·} локально постоянен и равен 2r

32

Глава 1

(рангу пуассоновой структуры). Тогда существует локальная система (канонических) координат x1 , . . . , xr , y1 , . . . , yr , z1 , . . . , zn−2r , в которой скобки Пуассона имеют вид {xi , xj } = {yi , yj } = {xi , zk } = {yi , zk } = {zk , zl } = 0, {xi , yj } = δij ,

где 1 6 i, j 6 r,

1 6 k, l 6 n − 2r.

В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями zi = P ci , (ci = const), а симплектическая структура на нем задается формой ω = dxi ∧ dyi . i

Через точки, для которых ранг скобки Пуассона не максимален (меньше 2r), проходят сингулярные симплектические листы (подробнее см. [31]). Системы на сингулярных симплектических листах также часто встречаются в механике [31, 141]. 2. Скобка Ли – Пуассона

Один из самых важных примеров пуассоновых структур связан с алгебрами Ли. Пусть ckij — структурные константы алгебры g в базисе v 1 , . . . , v n . Скобка Ли – Пуассона пары функций F, H, заданных на некотором (другом) линейном пространстве V с координатами x = (x 1 , . . . , xn ) и базисом ω 1 , . . . , ω n , определяется формулой {F, H} = где Jij (x ) =

P k

n X

i,j=1

Jij (x ) ∂F ∂H , ∂xi ∂xj

(1.11)

ckij xk — линейный по xk структурный тензор. Все необхо-

димые тождества 1◦ –4◦ (см. п. 1) для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли: 1. ckij = −ckji , X l m m l 2. (clim cm jk + ckm cij + cjm cki ) = 0. m

Cимплектические листы структуры Ли – Пуассона, как известно из теории алгебр Ли, представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли (см. [6, 7, 135]). Формальное изложение и соответствующее доказательство имеется, например, в [6]. Уравнения Гамильтона для структуры Ли – Пуассона в покомпонентной записи имеют

§ 2. Уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева

вид x˙ i = {xi , H} =

X k,j

ckij xk ∂Hj . ∂x

33

(1.12)

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнения (1.12) можно записать также в более инвариантном бескоординатном виде (1.13) x˙ = ad∗dH (x ), x ∈ ∗ , где ad∗ξ , ( ∈ ) — оператор коприсоединенного представления алгебры Ли : ad∗ξ : ∗ → ∗ .

В динамике твердого тела скобка Ли – Пуассона встречается наиболее часто. Это связано с тем, что конфигурационное пространство системы, как правило, является некоторой комбинацией естественных групп Ли (SO(3), E(3), . . .). Однако при редукции по циклическим переменным могут возникнуть нелинейные скобки Пуассона (см. §§ 1, 2 гл. 4). Обратимся теперь к выводу уравнений движения твердого тела из основных динамических принципов.

§ 2. Уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева 1. Уравнения Пуанкаре Наиболее естественные и удобные для исследований формы уравнений движения твердого тела могут быть получены из общих уравнений динамики в квазикоординатах. Лагранжева форма этих уравнений была установлена А. Пуанкаре [255], а гамильтонова — Н. Г. Четаевым [181]. Их возможные обобщения для неголономной ситуации рассматривались в [91, 154]. В динамике твердого тела уравнения Пуанкаре – Четаева приводят к гамильтоновым уравнениям с линейным структурным тензором, т. е. к только что рассматривавшейся структуре Ли – Пуассона (см. § 1). Приведем здесь свой вывод уравнений Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева, т. к. их обсуждение отсутствует в доступной литературе. Рассмотрим уравнения движения лагранжевой динамической системы, определенной обобщенными избыточными координатами q = (q 1 , . . . , qn ) (вообще говоря, зависимыми, то есть на них наложены m < n голономных связей вида fj (q ) = 0, j = 1, . . . , m) и квазискоростями ω = (ω1 , . . . , ωk ), которые выражаются через обобщенные скорости q˙i по формулам q˙i =

k X s=1

vis (q)ωs ,

i = 1, . . . , n.

(2.1)

34

Глава 1

При этом предполагается, что все голономные связи учтены, то есть ˙ = (∇fj , q)

X

vis (q)ωs

i, s

∂fj ≡ 0, ∂qi

j = 1, . . . m.

В случае k > n − m это условие приводит к тому, что между квазискоростями выполнены линейные по ωi соотношения. Величины ωs называются параметрами Пуанкаре и представляют собой компоненты скорости системы в (вообще говоря) неголономном базисе векторных полей X vs = vis (q) ∂ . (2.2) ∂qi i

Предположим, что векторные поля образуют замкнутую систему [v i , v j ] = csij (q )v s ,

i, j, s = 1, . . . , k.

(2.3)

В случае k 6 n это условие является следствием интегрируемости связей [135]. Если все csij являются постоянными, то поля v s определяют некоторую конечномерную алгебру Ли. Уравнения движения в переменных (q1 , . . . , qn , ω1 , . . . , ωk ) в лагранжевой форме имеют вид: d ∂L = X cs ω ∂L + v i (L), i = 1, . . . , k, (2.4) ri r dt ∂ωi ∂ωs r,s и называются уравнениями Пуанкаре, совместно с (2.1) они образуют полную систему уравнений движения. В формуле (2.4) дифференцирование вдоль векторного поля v i определено с помощью формулы (2.2). Если функция Лагранжа является однородной квадратичной формой от ее угловых скоростей (например, кинетическая энергия), то v i (L) = 0, и система (2.4) для определения ω отделяется и интегрируется отдельно. В этом случае уравнения (2.4) называются уравнениями Эйлера – Пуанкаре. Пуанкаре получил свои уравнения, используя вариационный принцип Гамильтона [255]. Приведем вывод уравнений (2.4) непосредственно из уравнений Эйлера – Лагранжа для случая, когда число компонент квазискорости = (ω1 , . . . , ωk ) совпадает с размерностью конфигурационного M k пространства, определяемого связями fj ( ) = 0, j = 1, . . . , m, т. е. k = n − m. Введем локальные координаты xi на M k , для которых уравнения Эйлера – Лагранжа можно записать в виде d dt

∂L − ∂ x˙i

∂L ∂xi

= 0,

i = 1, . . . , k.

(2.5)


35

Согласно (2.1), (2.2) справедливы следующие соотношения ωs =

k

ais x˙ i ,

x˙i =

i=1

s

=

k

bsi ωs ,

s=1

k

bsi i=1

∂ , ∂xi

(2.6)

i, s = 1, . . . , k,

где A = kais k, B = kbsi k — взаимнообратные матрицы (AB = E). Обозначим функцию Лагранжа, выраженную через квазискорости в виде ˜ , ) = L( , ˙ ). L(

(2.7)

˜ ˜ ∂bks ∂L = ∂ L + x˙ k ∂ L , ∂xi ∂xi k, s ∂ωs ∂xi ˜ i ∂L =

∂L bs , i = 1, . . . , k. ∂ x˙i s ∂ωs

(2.8)

Используя (2.6), находим

Подставим (2.8) в уравнения (2.5) и умножим их на матрицу A, в получившейся системе сделаем замену (2.6) и воспользуемся следующим представлением для структурных коэффициентов в (2.3): crsp (x) =

k, i

∂bp ∂bs akr bsi k − bpi k . ∂xi ∂xi

После приведения подобных членов получим уравнения (2.4). Для случая, когда число квазискоростей больше размерности конфигурационного пространства, рассуждения несколько усложняются вследствие того, что матрицы A, B не квадратные и не имеют обратных.

2. Уравнения Пуанкаре – Четаева Н. Г. Четаев видоизменил уравнения Пуанкаре (2.4), (2.1), воспользовавшись преобразованием Лежандра:

X i

Mi = ∂L , ∂ωi ωi Mi − L |ω→M = H(M , q).

(2.9)

36

Глава 1

Переменные Mi имеют смысл «квазиимпульсов». При этом ωi = ∂H/∂Mi и уравнения (2.4) можно записать в виде: X M˙ i = csri ∂H Ms − v i (H), i = 1, . . . , k. (2.10) ∂Mr rs

Чтобы получить замкнутую систему, надо добавить к (2.10) уравнения (2.1) в форме X q˙i = vis (q ) ∂H , i = 1, . . . , n. (2.11) ∂Ms s

Система уравнений (2.10), (2.11) является гамильтоновой с, вообще говоря, вырожденной скобкой Пуассона, определяемой для произвольных функций f (M , q ), g(M , q ) формулой [181] X X ∂g ∂f i ∂f ∂g i {f, g} = v (f ) − v (g) + csij Ms . (2.12) ∂Mi ∂Mi ∂Mj ∂Mi i

sij

Нетрудно проверить, что эта скобка удовлетворяет всем необходимым условиям 1◦ – 4◦ (§ 1, п. 1). Из соотношения (2.12) легко получить структурную матрицу J ij : X {Mi , Mj } = csij (q )Ms , s (2.13) {qi , qj } = 0, {qi , Mj } = vij (q ). Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона – Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). По этой же причине не получили дальнейшего развития его соображения относительно обобщений теоремы Рауса, связанных с наличием циклического интеграла и понижением порядка. Для уравнений Пуанкаре – Четаева при наличии первых интегралов (типа циклических) в гл. 4, §§ 1, 2 предложена новая процедура редукции, позволяющая получить уравнения приведенной системы в наиболее простой алгебраической форме и приводящая в некоторых случаях к нелинейным скобкам Пуассона.


37

3. Уравнения на группах Ли Конфигурационное пространство в динамике твердого тела, как правило, является некоторой естественной группой Ли. Например, при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки — это группа SO(3), при свободном движении твердого тела — E(3) = SO(3) ⊗s R3 , являющаяся полупрямым произведением алгебры вращений SO(3) и коммутативной алгебры трансляций R3 . В качестве базиса векторных полей v s (2.2) удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор ckij не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли [31]. Если гамильтониан H не зависит от qi , т. е. (v i (H) = 0), то уравнения для квазиимпульсов M1 , . . . , Mk замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции, при этом константы csij определяются алгеброй so(3). Для произвольной алгебры со структурными константами csij такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом также (как и в п. 1) называются уравнениями Эйлера – Пуанкаре. Если гамильтониан H зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v rs (q ) линейны по q , то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли – Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли – Пуассона соответствует полупрямой сум2 2 ме g ⊕s Rn , где Rn — пространство матриц n × n, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасательного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. § 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. Уравнения Гамильтона на группе Ли в естественной канонической структуре для задач динамики твердого тела (все группы в которой унимодулярны) всегда обладают стандартной инвариантной мерой. Это — аналог теоремы Лиувилля о соленоидальности канонического гамильтонова потока.

38

Глава 1

Детальный вывод уравнений движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле рассматривается в § 4. Более сложные уравнения, вывод которых использует основные принципы гидродинамики, описывающие движение твердого тела в жидкости, а также тела, имеющего полости, содержащие жидкость, рассматриваются в гл. 5, § 2. 4. Комментарии Таким образом, уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева — это лишь удобный аппарат для записи в произвольной системе переменных, в том числе избыточной, уравнений движения системы в лагранжевой и гамильтоновой форме. При этом возможность такого представления связана с существованием у системы тензорного инварианта — пуассоновой структуры, координатная запись которой зависит от выбора переменных, причем для избыточных переменных пуассонова структура будет заведомо вырождена. Следует сказать, что лагранжева система, функция Лагранжа которой невырождена по скоростям, заведомо обладает этим тензорным инвариантом. Интересно заметить, что связь между лагранжевой и гамильтоновой формой понятна большинству механиков только в канонической записи. Так в книге [21] гамильтонова форма уравнений динамики твердого тела считается заведомо установленной из некоторых не вполне естественных соображений, в частности, со ссылкой на работу [133], в которой реально автор, не зная общего формализма динамических уравнений, даже переоткрывает углы Эйлера и сопряженные им импульсы. Далее в [21] доказывается несколько странных теорем, что из гамильтоновой формы можно получить лагранжеву, при этом, конечно, возникает некоторая путаница, так как пуассонова коммутация компонент момента с импульсами и направляющими косинусами одинакова, и одни и те же уравнения Кирхгофа можно представлять себе как часть импульсных уравнений на группе E(3) — уравнения Эйлера – Пуанкаре для M , p, которая в случае отсутствия потенциала отделяется от позиционных уравнений (для направляющих косинусов), а с другой стороны — как гамильтоновы уравнения на SO(3), при этом необходимо интерпретировать компоненты импульсивной силы p как направляющие косинусы. В этом, кстати, заключается аналогия Стеклова [272] (см. также § 4 и гл. 3, § 1). Сложная координатная форма записи ньютоновских уравнений динамики спутника используется в [11], где даже наличие интеграла энергии становится неочевидным. Даже в замечательной книге [97] доказывается утверждение о «негамильтоновости» уравнений Эйлера – Пуанкаре (рассматриваемых в отрыве от по-

§ 3. Различные системы переменных в динамике твердого тела

39

зиционных переменных), что связывается с отсутствием инвариантной меры, имеющей определенную аналитическую структуру, отсутствующую, например, у разрешимых (неунимодулярных) групп Ли. Здесь следует упомянуть также книгу [249] и вообще работы этого же стиля (Дж. Марсден, А. Вейнстейн и др.), где из-за излишней формализации как форм динамических уравнений, так и процедуры редукции даже простые задачи требуют большого умственного напряжения. А немного более сложные механические проблемы остаются просто за рамками такого подхода.

§ 3. Различные системы переменных в динамике твердого тела При описании движения твердого тела используются различные системы переменных. Каждая система имеет свои преимущества и недостатки для каждой конкретной задачи. Так для поиска первых интегралов, исследования некоторых вопросов устойчивости и топологического анализа наиболее удобными являются такие переменные, в которых уравнения полиномиальны (или даже однородны). Для численного интегрирования, кроме простой системы дифференциальных уравнений желательно иметь наименьший порядок системы. Для качественного изучения, применения методов теории возмущений и нелинейной нормализации необходимы системы канонических переменных, наиболее отражающие специфику невозмущенной задачи. Здесь мы приводим основные наборы переменных, используемые в динамике твердого тела. На практике, особенно в приложениях к гироскопической технике, также используются различные комбинации и модификации этих систем, обладающих более специальными свойствами. 1. Углы Эйлера Рассмотрим твердое тело, вращающееся в потенциальном силовом поле вокруг неподвижной точки O. Для описания его движения используются различные системы переменных. Конфигурационное пространство, представляющее собой множество всех положений твердого тела, является группой Ли SO(3), и в качестве координат, определяющих положение твердого тела, можно взять, например, углы Эйлера θ, ϕ, ψ [9]. Для их введения расположим в точке O вершины двух ортогональных трехгранников: неподвижного OXY Z и подвижного Oxyz, жестко связанного с вращающимся твердым телом (рис. 1).

40

Глава 1

Первый поворот на угол ψ (угол прецессии) вокруг оси OZ переводит подвижный трехгранник Oxyz в положение Ox0 y 0 z 0 . Второй поворот на угол θ (угол нутации) совершается вокруг оси Ox0 , называемой линией узлов. Последний поворот на угол ϕ (угол собственного вращения) вокруг оси Oz совмещает оба трехгранника. Таким образом, три поворота, определяемые углами Эйлера θ, ϕ, ψ, позволяют полностью задать поРис. 1. Углы Эйлера ложение подвижного трехгранника относительно неподвижного. При этом проекции ω1 , ω2 , ω3 угловой скорости ω на оси подвижного трехгранника Oxyz выражаются через углы Эйлера следующим образом: ω1 = ψ˙ sin θ sin ϕ + θ˙ cos ϕ, (3.1) ω2 = ψ˙ sin θ cos ϕ − θ˙ sin ϕ, ˙ ω3 = ψ cos θ + ϕ. ˙ Эти соотношения называются кинематическими формулами Эйлера. Используя (3.1), несложно записать функцию Лагранжа системы L = ˙ θ) ˙ (см. § 6), при помощи которой определяются кано= L(ϕ, ψ, θ, ϕ, ˙ ψ, нические импульсы (посредством преобразования Лежандра): pϕ = ∂L , ∂ ϕ˙

pψ = ∂L , ∂ ψ˙

pθ = ∂L . ∂ θ˙

(3.2)

2. Переменные Эйлера. Компоненты момента и направляющие косинусы Рассмотрим другую систему переменных (M , α, β, γ), где M = = (M1 , M2 , M3 ) — компоненты кинетического момента в осях связанной с телом системы координат Oxyz, а α, β, γ — единичные орты неподвижного пространства в проекциях на те же оси. Матрица направляющих косинусов (матрица поворота), определяющая положение твердого тела в неподвижном пространстве   α 1 β1 γ 1 Q = α2 β2 γ2  , (3.3) α 3 β3 γ 3 является ортогональной и принадлежит группе SO(3).


41

Очевидно, что (α, α) = (β, β) = (γ, γ) = 1, (α, β) = (α, γ) = (β, γ) = 0, где круглые скобки повсюду в дальнейшем обозначают обычное скалярное произведение. Учитывая эти соотношения, получим, что угловая скорость в проекциях на подвижный трехгранник ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) может быть представлена ˙ T, ω e = QQ e = kωjk k с компонентами как кососимметрическая матрица ω ωij = −εijk ωk . Аналогичным образом, угловая скорость Ω = (Ω1 , Ω2 , Ω3 ) в проекциях ˙ на неподвижные оси OXY Z может быть получена из матрицы Q T Q. Направления векторов угловой скорости ω и Ω в подвижном и неподвижном пространстве задают конические поверхности, названные Пуансо подвижным и неподвижным аксоидами. Само движение твердого тела в этом случае представляется как качение без скольжения подвижного аксоида по неподвижному, которые в каждый момент соприкасаются по мгновенной оси вращения. Если рассмотреть свободное движение тела (без неподвижной точки), то в соответствующей интерпретации движение будет представлять собой качение одного аксоида по другому с проскальзыванием вдоль некоторой оси, которая определяет мгновенное винтовое (пространственно-вращательное) движение. Если на образующих аксоидов отложить мгновенные значения угловых скоростей, то получим соответственно подвижные и неподвижные годографы, представляющие в общем случае сложные пространственные кривые. Кинетический момент M при помощи функции Лагранжа L = = L(ω, α, β, γ) выражается через угловую скорость по формуле M = ∂L . ∂ω

(3.4)

Он связан с переменными Эйлера ϕ, ψ, θ, pϕ , pψ , pθ следующими соотношениями, получающимися из кинематических уравнений Эйлера (3.1), (3.2) sin ϕ (pψ − pϕ cos θ) + pθ cos ϕ, sin θ cos ϕ M2 = (pψ − pϕ cos θ) − pθ sin ϕ, sin θ M3 = p ϕ .

M1 =

(3.5)

42

Глава 1

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Наша терминология несколько отличается от принятого в динамике твердого физического определения момента M = ri × mi vi , которые совпадают, если L = T — кинетическая энергия. Различия возникают при наличии гироскопических сил, приводящих в лагранжиане к слагаемым, линейным по обобщенным скоростям. При этом определение (3.4), происходящее из преобразования Четаева, является более удобным. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Связь направляющих косинусов (3.3) с углами Эйлера выражается матрицей cos ϕ cos ψ− cos θ sin ψ sin ϕ cos ϕ sin ψ+ cos θ cos ψ sin ϕ sin ϕ sin θ Q = − sin ϕ cos ψ− cos θ sin ψ cos ϕ − sin ϕ sin ψ+ cos θ cos ψ cos ϕ cos ϕ sin θ . sin θ sin ψ − sin θ cos ψ cos θ

3. Кватернионные параметры Родрига – Гамильтона Как было замечено еще К. Гауссом, положение твердого тела может быть однозначно определено с помощью множества кватернионов λ = λ0 + iλ1 + jλ2 + kλ3 с единичной нормой λ20 + λ21 + λ22 + λ23 = 1. Они образуют группу Sp(1), которая является универсальной накрывающей группы SO(3) (SO(3) ≈ Sp(1)/ ± 1) [75]. Со способом введения таких избыточных координат, называемых в механике параметрами Родрига – Гамильтона, можно ознакомиться, например, в трактате Уиттекера [167]. Проясним геометрический смысл параметров λs [108, 167].

Рис. 2. Кватернионные параметры Родрига – Гамильтона.

Из кинематики известно, что из любого положения твердого тела, имеющего неподвижную точку O, можно перейти в заданное, совершая поворот


43

на угол χ относительно оси OL, связанной с телом (рис. 2). Ориентацию оси OL зададим единичным вектором e. Положение некоторой точки те−−→ ла определим радиус-вектором OM = r. Пусть после поворота вектор r 0 −−→ оказывается в положении OM = r0 . Вектор −−→0 −−→ p = OM − OM = r 0 − r можно выразить через r, e и χ. Указанная связь определяется формулой Родрига 1 p= θ × (r + 1 θ × r), (3.6) 2 1 2 1+ θ 4

где вектор θ = 2 tg

χ e 2

(3.7)

называется вектором конечного поворота. Этот вектор направлен по оси единичного вектора e и равен по величине 2 tg(χ/2). Пусть e = i cos α0 + j cos β 0 + k cos γ 0 , (3.8) где α0 , β 0 , γ 0 — углы, образуемые вектором e с осями x, y, z. Величины: λ0 = cos

χ , 2

λ2 = cos β 0 sin

χ , 2 χ λ3 = cos γ 0 sin 2

λ1 = cos α0 sin χ , 2

(3.9)

и есть параметры Родрига – Гамильтона. Параметр λ0 равен косинусу половинного угла χ, определяющего конечный поворот тела. Остальные параметры λ1 , λ2 , λ3 пропорциональны синусу половинного угла χ, умноженному на косинусы углов, образуемых осью OL с осями координат. Имеется связь параметров Родрига – Гамильтона с углами Эйлера θ, ϕ, ψ: ψ+ϕ ψ−ϕ λ0 = cos θ cos , λ1 = sin θ cos , 2 2 2 2 (3.10) ψ−ϕ ψ+ϕ λ2 = sin θ sin , λ3 = cos θ sin . 2 2 2 2 Направляющие косинусы α, β, γ связаны с кватернионами квадратичными соотношениями, задающими параметризацию Кэли группы SO(3),

44

Глава 1

при этом получается двулистное накрытие SO(3) трехмерной сферой S 3 — кватернионам λi и −λi соответствует один и тот же элемент из SO(3). Матрица направляющих косинусов (3.3) в кватернионном представлении имеет вид: Q=

λ20 + λ21 − λ22 − λ23

2(λ1 λ2 − λ0 λ3 )

2(λ0 λ2 + λ1 λ3 )

2(λ0 λ3 + λ1 λ2 ) λ20 − λ21 + λ22 − λ23 2(λ2 λ3 − λ0 λ1 )

2(λ1 λ3 − λ0 λ2 )

2(λ0 λ1 + λ2 λ3 )

λ20

−

λ21

−

λ22

+

λ23

.

(3.11)

В индексной форме для компонент матрицы Q = kQij k справедливо следующее выражение Qij = −2 λi λj + λ20 − 1 δij − λ0 λk εijk . 2

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Связь между проекциями угловой скорости Родрига – Гамильтона имеет вид

и параметрами

ω1 = 2(λ0 λ˙ 1 + λ3 λ˙ 2 − λ2 λ˙ 3 − λ1 λ˙ 0 ), ω2 = 2(−λ3 λ˙ 1 + λ0 λ˙ 2 + λ1 λ˙ 3 − λ2 λ˙ 0 ), ω3 = 2(λ2 λ˙ 1 − λ1 λ˙ 2 + λ0 λ˙ 3 − λ3 λ˙ 0 ).

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Аналогично параметрам Родрига – Гамильтона можно рассматривать комплексные величины α, β, γ, δ, удовлетворяющие условию αδ − βγ = 1, называемые параметрами Кэли – Клейна. Их можно рассматривать как компоненты комплексной матрицы вращения

U =

α β γ δ

с определителем, равным единице. Связь параметров Кэли – Клейна с параметрами Родрига – Гамильтона выражается формулами α = λ0 + iλ3 ,

β = −λ2 + iλ1 ,

γ = λ2 + iλ1 ,

δ = λ0 − iλ3 ,

а их выражение через углы Эйлера имеет вид i α = cos θ e 2

ψ+ϕ 2 ,

−i γ = i sin θ e 2

ψ−ϕ 2 ,

i β = i sin θ e 2

ψ−ϕ 2 ,

−i δ = cos θ e 2

ψ+ϕ 2 .


45

4. Переменные Андуайе – Депри Переменные Андуайе – Депри наиболее употребительны в теории возмущений и имеют динамическое происхождение, иллюстрируемое на рис. 3 (см. также [71, 92, 31]).

Рис. 3. Переменные Андуайе – Депри.

Здесь через OXY Z обозначен неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, Oxyz — подвижная система координат, жестко связанная с телом, Σ — плоскость, проходящая через точку закрепления и перпендикулярная вектору кинетического момента волчка M (3.5). В принятых обозначениях: L — проекция кинетического момента на подвижную ось Oz; G — величина кинетического момента; H — проекция кинетического момента на неподвижную ось OZ; l — угол между осью Ox и линией пересечения Σ с плоскостями Oxy и OXY ; g — угол между линиями пересечения Σ с плоскостями Oxy и OXY ; h — угол между осью OX и линией пересечения Σ с плоскостью OXY . Выражения для компонент кинетического момента через переменные L, G, H, l, g, h имеют вид p p M1 = G2 −L2 sin l, M2 = G2 −L2 cos l, M3 = L, G2 = M 2 , (3.12) то есть L, l являются цилиндрическими координатами на двумерной сфере в пространстве моментов M1 , M2 , M3 .

46

Глава 1

Для компонент всех направляющих косинусов имеются следующие выражения, которые в полном объеме, видимо, отсутствуют в имеющейся литературе: α1 = − sin l sin h cos g sin τ sin ζ + sin l sin h cos τ cos ζ−

− sin l sin g cos h sin τ − cos l sin h sin g sin ζ + cos l cos g cos h,

α2 = cos l cos g sin h sin τ sin ζ − cos l sin h cos τ cos ζ+ + cos l cos h sin g sin τ − sin l sin g sin ζ sin h + sin l cos h cos g, α3 = sin h cos τ cos g sin ζ + sin h sin τ cos ζ + cos τ sin g cos h,

β1 = −(sin l cos h cos g sin τ sin ζ − sin l cos h cos ζ cos τ − − sin l sin g sin h sin τ + cos l cos h sin g sin ζ+ cos l cos g sin h), (3.13) β2 = cos l cos h sin τ cos g sin ζ − cos l cos h cos ζ cos τ − − cos l sin g sin h sin τ − sin l cos h sin g sin ζ − sin l cos g sin h,

β3 = − sin h cos τ sin g + cos τ cos g sin ζ cos h + sin τ cos ζ cos h, γ1 = (sin ζ cos τ + sin τ cos ζ cos g) sin l + cos ζ sin g cos l,

γ2 = (sin ζ cos τ + sin τ cos ζ cos g) cos l − cos ζ sin g sin l, γ3 = sin ζ sin τ − cos τ cos ζ cos g,

где sin τ = L , sin ζ = H .

G G ЗАМЕЧАНИЕ 5. Выражение направляющих косинусов γi через переменные Андуайе – Депри содержится в нескольких источниках [9, 92, 28]. В этом случае форM1 мулы обратного пересчета имеют вид L = M3 , G = ( , ), l = arctg , M2 M2 γ1 − M 1 γ2 . Выражения для α3 , β3 могут быть просто получеg = arcsin M12 + M22 ны из геометрических соображений. Для получения всех остальных направляющих косинусов необходимо воспользоваться коммутационными соотношениями (4.16), приведенными в следующем параграфе. Указанные нами в книге [31] выражения параметров λi через переменные Андуайе – Депри не являются правильными. Выражения для них могут быть получены из соотношений 1 + α 1 + β2 + γ3 , 4 1 − α 1 + β2 − γ3 λ22 = , 4 λ20 =

1 + α 1 − β2 − γ3 , 4 1 − α 1 − β2 + γ3 λ23 = , 4 λ21 =

а сами λi будут определены с точностью до знака.

§ 4. Различные формы уравнений движения

47

5. Комментарии Система переменных Андуайе – Депри не разбивается на позиционную и чисто импульсную составляющие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Однако они очень удобны для применения метода теории возмущений, так как связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (невозмущенных) задачах динамики твердого тела — случаях Эйлера и Лагранжа — переменные G и L соответственно являются интегралами движения. Сходные системы «оскулирующих элементов», не обязательно являющихся каноническими, использовались еще Пуассоном, Шарлье, Андуайе и Тиссераном при построении теорий физической либрации Луны и вращательного движения планет в небесной механике. Их введение в этом веке А. Депри в работе [71] преследовало цель прояснить фазовую геометрию случая Эйлера (см. § 2 гл. 2) и позволило осознать их универсальный характер в динамике твердого тела — они использовались для применения методов качественного анализа в [92], где называются специальными каноническими переменными, и для численных исследований [28]. Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига – Гамильтона (а также Кэли – Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда «Теория волчка» [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге «Геометрия динамы» исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела.

§ 4. Различные формы уравнений движения 1. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой Приведем наиболее важные формы уравнений динамики твердого тела в различных системах переменных. По отношению к ним справедливы те же замечания, что и в предыдущем разделе. Их использование определяется целью исследования и зависит от конкретной постановки задачи. Уравнения Эйлера – Пуанкаре на группе SO(3). Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной в пространстве (в некоторой инерциальной системе отсчета). Конфигурационное пространство в этом случае — группа SO(3). Воспользуемся ее пред-

48

Глава 1

ставлением ортогональными матрицами направляющих косинусов (3.3) (см. § 3, п. 2)   α 1 β1 γ 1 Q = α2 β2 γ2  ∈ SO(3), (4.1) α 3 β3 γ 3 где, как и выше, α, β, γ — орты неподвижного пространства в проекциях на оси, связанные с телом. Угловая скорость твердого тела ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) в проекциях на те же оси находится из уравнений Пуассона β˙ = β × ω,

˙ = α × ω, α

γ˙ = γ × ω,

(4.2)

которые указывают на постоянство векторов α, β, γ в абсолютном пространстве. Переписывая (4.2) в матричной форме, получим ˙ T = −QQ ˙ T, e = QQ ω

˙ =ω e Q, Q

где



(4.3)

 0 −ω3 ω2 e =  ω3 ω 0 −ω1  . −ω2 ω1 0

С групповой точки зрения проекции угловой скорости в теле ω i соответствуют компонентам скорости точки на группе SO(3) в базисе левоинвариантных векторных полей. Аналогично проекции угловой скорости в пространстве Ωi соответствуют компоненты скорости в базисе правоинвариантных векторных полей ω=

X k

ωk ξ k ,

ξk = −

X ij

εkij αi ∂ + βi ∂ + γi ∂ . ∂αj ∂βj ∂γj

(4.4)

Для нахождения полей ξ k запишем производную по времени с учетом (4.3) df ∂f ∂f = Tr Q˙ T = Tr (e ω Q)T , dt ∂Q ∂Q

∂f ∂f

=

, ∂Q ∂Qij

группируя слагаемые при ωi , получаем векторные поля ξ i (4.4).

(4.5)

49


Коммутационные соотношения для векторных полей ξ k имеют вид (4.6)

[ξi , ξj ] = εijk ξ k ,

где εi,j,k — символы Леви-Чивита. Подставляя (4.4) и (4.6) в уравнения Эйлера – Пуанкаре (2.4), получим уравнения движения в форме d ∂L = ∂L × ω + ∂L × α + ∂L × β + ∂L × γ, (4.7) dt ∂ω ∂ω ∂α ∂β ∂γ которые совместно с (4.2) составляют полную систему уравнений движения твердого тела с неподвижной точкой. Система (4.2), (4.7) была получена Ж. Лагранжем во втором томе его знаменитой «Аналитической механики» [110]. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Приведем также уравнения движения (4.2), (4.7) в матричной форме, которая допускает простое обобщение на многомерный случай d dt

∂L ∂ ˜

= ˜ , ∂L + ∂L QT − ˜ ∂ ∂Q

∂L ∂Q

T

Q,

˙ = Q, Q

где ∂L = ∂L , ∂L = ∂L , и [· , ·] — обычный матричный коммутатор. ∂ω ∂ ij ∂Q ∂Qij

движения Уравнения в угловых скоростях и кватернионах. Помимо матричной реализации (4.1) в § 3 мы привели также кватернионную параметризацию группы SO(3), для которой векторные поля (4.4) также линейные функции координат. Действительно, можно показать, что на единичной сфере λ20 + λ2 = 1, λ = (λ1 , λ2 , λ3 ) компоненты угловой скорости (4.3) и векторные поля (4.4) имеют вид [97, 108]

ω1 = 2(λ0 λ˙1 − λ1 λ˙0 + λ3 λ˙2 − λ2 λ˙3 ), ω2 = 2(λ0 λ˙2 − λ2 λ˙0 + λ1 λ˙3 − λ3 λ˙1 ),

ω3 = 2(λ0 λ˙3 − λ3 λ˙0 + λ2 λ˙1 − λ1 λ˙2 ), 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ξ1 = , λ0 − λ1 + λ3 − λ2 2 ∂λ1 ∂λ0 ∂λ2 ∂λ3 ξ 2 = 1 λ0 ∂ − λ 2 ∂ + λ 1 ∂ − λ 3 ∂ , 2 ∂λ2 ∂λ0 ∂λ3 ∂λ1 ξ 3 = 1 λ0 ∂ − λ 3 ∂ + λ 2 ∂ − λ 1 ∂ . 2 ∂λ3 ∂λ0 ∂λ1 ∂λ2

Коммутационные соотношения для полей ξ k имеют также вид (4.6).

(4.8)

50

Глава 1

Уравнения Пуанкаре (2.4) с учетом (4.8) принимают вид d dt

∂L ∂ω

= ∂L × ω + 1 λ0 ∂L − 1 λ ∂L + 1 ∂L × λ, 2 ∂λ 2 ∂λ0 2 ∂λ ∂ω

λ˙0 = − 1 (ω, λ), 2

λ˙ = 1 λ0 ω + 1 λ × ω. 2 2

(4.9)

Кинетическая энергия твердого тела с неподвижной точкой в векторной и матричной форме может быть представлена в форме T = 1 (ω, Iω) = − 1 Tr(e ω Je ω ). 2 2

(4.10)

Здесь I = kIij k — тензор инерции твердого тела относительно неподвижной точки тела, компоненты которого определяются выражением Iij =

Z τ

(y 2 δij − yi yj )ρ(y) d3 y,

(4.11)

где интегрирование ведется по всем точкам y тела τ , а ρ(y) — его плотность в точке y. Тензор J = kJij k — также называется тензором инерции, но теперь он определяется по формуле Jij =

Z

yi yj ρ(y) d3 y,

(4.12)

τ

этот тензор чаще используется для многомерных обобщений. Связь между I и J дается соотношениями J = 1 (Tr I)E − I, 2

I = (Tr J)E − J.

(4.13)

В системе осей, связанных с телом, тензоры I и J представляют собой постоянные симметричные матрицы (в неподвижном пространстве I, J зависят от координат), которые вследствие коммутативности (IJ = JI) одновременно приводятся к диагональному виду. Соответствующая система координат в теле называется главной, а ее оси — главными осями (инерции).

51


2. Гамильтонова форма уравнений движения для различных систем переменных Уравнения движения в алгебраической форме. В гамильтоновой форме уравнения (4.2), (4.7) можно представить при помощи преобразования Лежандра M = ∂L , H = (M , ω) − L|ω→M . (4.14) ∂ω Для натуральной системы с кинетической энергией (4.10) и потенциальной энергией U (α, β, γ) находим M = Iω,

H = 1 (M , AM ) + U (α, β, γ), 2

(4.15)

где A = I−1 , M — компоненты кинетического момента в проекциях на подвижные оси, α, β, γ — компоненты направляющих косинусов. Исходя из общих формул (2.13), а также (4.6), получим, что скобка Пуассона определяется алгеброй so(3) ⊕s (R3 ⊕ R3 ⊕ R3 ), являющейся полупрямой суммой алгебры вращений и трех алгебр трансляций {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi βj } = −εijk βk ,

{Mi , αj } = −εijk αk , {Mi , γj } = −εijk γk ,

(4.16)

{αi , αj } = {βi , βj } = {γi , γj } = {αi , βj } = {αi , γj } = {βi , γj } = 0. Гамильтоновы уравнения движения в явной форме имеют вид ˙ = M × ∂H + α × ∂H + β × ∂H + γ × ∂H , M ∂M ∂α ∂β ∂γ ˙ = α × ∂H , α ∂M

β˙ = β × ∂H , ∂M

γ˙ = γ × ∂H , ∂M

(4.17)

H = 1 (M , AM ) + U (α, β, γ). 2 В виде (4.17) могут быть также представлены уравнения движения твердого тела в обобщенно-потенциальном, например, магнитном поле, в этом случае гамильтониан H содержит члены, линейные относительно M (см. далее). Скобка Пуассона (4.16) является вырожденной и обладает шестью функциями Казимира f1 = (α, α),

f2 = (β, β),

f3 = (γ, γ),

f4 = (α, β),

f5 = (α, γ),

f6 = (β, γ).

(4.18)

52

Глава 1

Размерность неособого симплектического листа, гомеоморфного (ко)касательному расслоению трехмерной сферы T ∗ S 3 , равна шести. Вследствие выполнения соотношений ортонормированности, симплектический лист определяется условиями: f1 = f2 = f3 = 1, f4 = f5 = f6 = 0. Так как симплектический лист является шестимерным, а система (4.17) имеет три степени свободы. В неподвижной системе координат положение и скорость твердого тела можно характеризовать проекциями ортов, связанных с телом, на неподвижные оси, которые выражаются через строки матрицы Q и проекциями вектора кинетического момента на те же оси

1

= (α1 , β1 , γ1 ), N1 = (

2

= (α2 , β2 , γ2 ),

, ), N2 = (

Несложно показать, что переменные , 1 , 2 , Ли – Пуассона, отличающуюся лишь знаком от (4.16)

{Ni , e1j } = εijk e1k ,

3

= (α3 , β3 , γ3 ),

, ), N2 = (

{Ni , Nj } = εijk Nk ,

{Ni , e2j } = εijk e2k , {eki , elj } = 0.

3

, ).

(4.19)

также образуют структуру

{Ni , e3k } = εijk e3k ,

(4.20)

Так, например, сферический маятник в потенциальном может быть просто записан при помощи переменных , 3 , где 3 — единичный вектор, направленный из центра закрепления к грузу, = ml2 , и = 3 × ˙ 3 — угловая скорость, l — длина маятника. Кроме того, справедливо соотношение ( , 3 ) = 0 — нулевая орбита e(3). Гамильтониан можно записать следующим образом H=

1 2ml2

2

+ U ( 3 ).

(4.21)

Таким образом, сферический маятник можно представить в виде сферического волчка на нулевой орбите алгебры e(3). Эти образующие удобно также использовать для описания редукции в случае существования интеграла Лагранжа F = M3 = const (см. §§ 1, 2 гл. 4).

Кватернионное представление уравнений движения. Для практических вычислений избыточность уравнений (4.17) является очень неудобной, так как, например, при численном интегрировании этих уравнений быстро нарушаются соотношения ортонормированности. Этого недостатка лишена кватернионная форма представления уравнений движения, указанная авторами в [30, 31]. Матрица направляющих косинусов в кватернионном представлении имеет вид (3.11), а соответствующие коммутационные


соотношения — {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , λj } = − 1 (εijk λk + δij λ0 ), 2

{Mi , λ0 } = 1 λi , 2

53

(4.22)

{λµ , λν } = 0.

Определяющая их алгебра Ли представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений so(3) и алгебры трансляций R4 : l(7) ≈ so(3) ⊕s R4 . Скобка (4.22) является вырожденной. Она обладает единственной функцией Казимира F (λ) = λ20 + λ21 + λ22 + λ23 . (4.23) Неособый симплектический лист также гомеоморфен кокасательному расслоению трехмерной сферы T ∗ S 3 , его размерность равна шести. Уравнения движения могут быть записаны в следующем виде ˙ = M × ∂H + 1 λ × ∂H + 1 ∂H λ − 1 λ0 ∂H , M 2 2 ∂λ0 2 ∂λ ∂M ∂λ (4.24) ˙λ0 = − 1 λ, ∂H , λ˙ = 1 λ × ∂H + 1 λ0 ∂H , 2 2 2 ∂M ∂M ∂M и для их интегрируемости также не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для реальных систем, происходящих из динамики твердого тела, гамильтониан H — однозначная функция на группе SO(3), и вследствие двукратного ее накрытия кватернионами (3.11) функция Гамильтона зависит лишь от квадратичных комбинаций λi λj . Тем не менее, системы с гамильтонианом, произвольно зависящим от кватернионов, встречаются в других разделах механики: искривленная небесная механика, система Леггетта, квантовая механика спинов (см. гл. 3, 4). Возможно, что форма (4.24) имеет более важный смысл именно в квантовой механике, где имеются эффекты, существенно связанные с дополнительными спиновыми переменными.

Канонические уравнения в углах Эйлера и переменных Андуайе – Депри. В углах Эйлера (θ, ϕ, ψ) и соответствующих им канонических импульсах pθ , pϕ , pψ уравнения движения имеют обычную гамильтонову форму p˙ = − ∂H , q˙ = ∂H , q = (θ, ϕ, ψ), p = (pθ , pϕ , pψ ) (4.25) ∂q ∂p ˙ которая получается из лагранжева формализма в переменных(θ, ϕ, ψ, θ,˙ ϕ, ˙ ψ) при помощи обычного преобразования Лежандра p = ∂L , H(p, q) = (p, q) , ∂ q˙ ˙ q,q→p,q

54

Глава 1

здесь L — функция Лагранжа, которая для натуральной системы имеет вид L = T − U (θ, ϕ, ψ), где лагранжиан определяется формулами (3.1). При этом кинетическая энергия твердого тела не зависит от ψ и имеет вид h sin ϕ 2 T = 1 (AM , M ) = 1 a1 (pψ − pϕ cos θ) + pθ cos ϕ + 2 2 sin θ 2 cos ϕ i (pψ − pϕ cos θ) − pθ sin ϕ + a3 p2ϕ . + a2 sin θ

(4.26)

Движение твердого тела в потенциальном поле описывается натуральной системой, а гамильтониан имеет вид: (4.27)

H = T + U (θ, ϕ, ψ).

∂U = 0 , что соот∂ψ ветствует инвариантности силового поля относительно вращений вокруг вертикальной оси, неподвижной в пространстве, то переменная ψ является циклической, а обобщенный импульс pψ = (M , γ) — сохраняется. При редукции по Раусу по углу прецессии ψ получается система, описывающая движение точки на сфере γ 2 = 1, где γ1 = sin θ sin ϕ, γ2 = sin θ cos ϕ, γ3 = cos θ, которая называется сферой Пуассона. При p ψ 6= 0 в гамильтониане возникают линейные по скоростям слагаемые (гироскопические члены), неустранимые координатными преобразованиями, соответствующие движению в обобщенно-потенциальном поле. Невозможность устранения связана с глобальным эффектом возникновения «монополя», величина которого вычисляется как интеграл от формы гироскопических сил по сфере Пуассона (см. [133]). На проблему «монополя» впервые обратил внимание П. Дирак в связи с проблемой квантования движения частицы по сфере. При p ψ = 0 приведенная система снова является натуральной. При наличии динамической симметрии a1 = a2 , кинетическая энергия (4.26) несколько упрощается и не зависит также от угла ϕ ! ! (pψ − pϕ cos θ)2 1 2 2 T = a p + + a 3 pϕ . (4.28) 2 1 θ sin2 θ Если потенциальная энергия не зависит от ψ

Если потенциал U также не зависит от ϕ (т. е. ∂U = ∂U = 0), иначе говоря ∂ψ

∂ϕ

U = U (θ) = U (γ3 ), то имеется еще один циклический интеграл p ϕ = = M3 = c2 = const — интеграл Лагранжа, соответствующий инвариантности системы относительно вращений вокруг оси динамической симметрии.


55

Получающаяся при редукции одностепенная система является интегрируемой (см. подробнее § 3 гл. 2). При pψ = c1 6= 0, но pϕ = c2 = 0 уравнения описывают движение сферического маятника. В переменных Андуайе – Депри уравнения движения также имеют вид (4.25), где q = (l, g, h), p = (L, G, H). Так как в переменных L, G, H, l, g, h не выделяются чисто позиционные координаты, однозначно задающие положение тела, т. е. в кокасательном расслоении T S 3 они «перемешивают» переменные базы и слоя, то в общем случае потенциал U зависит от всего набора переменных U = U (L, G, H, l, g, h). Кинетическая энергия T имеет вид T = 1 (G2 − L2 )(a1 sin2 l + a2 cos2 l) + a3 L2 . (4.29) 2

Снова несложно получить, что 1) если ∂U = 0, то существует интеграл площадей H = pψ = ∂h = (M , γ) = c = const, 2) если при a1 = a2 и ∂U = 0, то существует интеграл Лагранжа L = ∂l = c2 = const. Особенностью представления кинетической энергии в форме (4.29) является ее независимость от переменной g. Она позволяет сразу проинтегрировать задачу Эйлера — движение свободного волчка, для которого U ≡ 0 (см. § 1 гл. 2). Соответствующим циклическим интегралом является G = const, представляющий собой величину кинетического момента G2 = M 2 . Это обстоятельство делает переменные Андуайе – Депри полезными для геометрической интерпретации и анализа возмущенной ситуации. Фазовый портрет случая Эйлера на цилиндрической развертке сферы представлен на рис. 5. При наложении возмущения, например, поля тяжести, на фазовом портрете появляются хаотические движения вблизи сепаратрис, соединяющих неустойчивые равномерные вращения (рис. 6). Остановимся на методах визуализации фазового потока более подробно. 3. Сечение Пуанкаре и хаотические движения Для визуализации хаотических движений двухстепенных систем используют отображение Пуанкаре (сечение Пуанкаре, фазовое сечение), сводящее фазовый поток к дискретному двумерному отображению плоскости на себя. Опишем методику построения этого отображения, конкретизируя ее для динамики твердого тела. Здесь удобно использовать переменные Андуайе – Депри, а также секущую плоскость, впервые введенную в [215],

56

Глава 1

а также другие секущие плоскости, проясняющие различные стороны движения. Зафиксируем сначала уровень энергии (L, G, H, l, g) = E = const. Если поле осесимметрично, то переменная h является циклической и не входит в гамильтониан, а сопряженную ей переменную H, представляющую собой постоянную площадей, можно считать параметром. Таким образом, на уровне энергии мы имеем трехмерный фазовый поток. Выберем секущую плоскость g = g0 mod 2π, g0 = = const (в дальнейшем также используем l = l0 mod 2π, l0 = const) и рассмотрим последовательные пересечения отдельной траектории этой плоскости . . . , xn−1 , xn , xn+1 , . . . в одном и том же направлении, т. е. Рис. 4 sgn g(x ˙ n ) = sgn g(x ˙ n+1 ) (рис. 4). ЗАМЕЧАНИЕ 3. Последнее условие обусловлено тем, чтобы периодические орбиты, пересекающие плоскость g = g0 , вообще говоря, в двух точках, были бы неподвижными точками точечного отображения xn = x0 , n = 1, . . . (см. рис. 4).

Отображение Пуанкаре сопоставляет каждой точке x n ее последовательную итерацию xn+1 , принадлежащую той же фазовой траектории. Это отображение, вообще говоря, определено локально вблизи некоторого периодического решения, т. к. при действии фазового потока точка может сойти с секущей плоскости и более никогда на нее не вернуться. Тем не менее это отображение является очень полезным и иллюстрирует различные эффекты, связанные с возвращающимися траекториями. Оно обычно также называется отображением первого возвращения. Имеет смысл рассматривать отображения Пуанкаре и глобально, выделяя на фазовой плоскости области, для которых отображение Пуанкаре определено. Они называются областями возможных движений (ОВД). Обычно они определяются из существования решения для уравнения энергии (p, q ) = E, (p, q ) ∈ R4 , q = q0 = const (в нашем случае (p, q ) = = (L, G, l, g), q0 = g0 ). Если уровень энергии является компактным, то справедлива теорема Пуанкаре о возвращении и точка снова пересечет выбранную плоскость, причем бесконечно много раз. Очевидно, что на границе ОВД траектория касается секущей плоскости, т. е. происходит потеря трансверсальности пересечения. Глобальные отображения Пуанкаре еще плохо изучены. В динамике твердого тела на секущей плоскости мы далее выбираем

57


координаты l mod 2π, L/G из соображений компактности, т. к. |L/G| 6 1 (см. [215, 28]). Итерации отображения мы определяем при помощи численного интегрирования уравнений движения в переменных (M , γ), пересчитывая их при выводе на секущую плоскость в переменные (L, G, l, g) по формулам (3.12), (3.13) p p M1 = G2 − L2 sin l, M2 = G2 − L2 cos l, M3 = L, ! r r r 2 2 2 L H H L γ1 = 1− + 1− cos g sin l+ 1− H sin g cos l, G G G G G ! r r r 2 2 2 γ2 = H 1− L + L 1− H cos g cos l − 1− H sin g sin l, G

G

G

G

2 r 2 r H L 1 − H cos g. γ3 = − 1− L

G

G

G

G

G

(4.30)

Это связано с достижением необходимой точности численного интегрирования и сокращением времени счета. Отметим также, что в последних версиях наших программных средств мы используем также кватернионные уравнения в переменных (M , λ), которые позволяют достичь даже большей точности, и в то же время определить абсолютное движение твердого тела, необходимое для визуализации траекторий различных точек тела. Если для интегрируемых систем последовательные итерации отображения ложатся на инвариантные кривые, состоящие из периодических или квазипериодических движений (см. § 7), определенные дополнительным интегралом (рис. 5), то в общей (неинтегрируемой ситуации траектория может хаотическим образом заполнять целые области в фазовом пространстве (на уровне H = h, рис. 6). Отображение Пуанкаре возникло и постоянно используется в теории неинтегрируемости и детерминированного хаоса. Оно также полезно для изучения интегрируемых случаев, так как позволяет наглядно представить взаимное расположение различных частных решений в фазовом пространстве, среди которых имеются особо замечательные и имеющие важное значение (см. гл. 2). Для случая Эйлера на отображении Пуанкаре получается хорошо известная картина (ср. рис. 5). Кстати говоря, при введении переменных L, G, H, l, g, h в [71] А. Депри считал их основным достоинством наглядную интерпретацию решений задачи Эйлера, вполне заменяющую геометрическую интерпретацию Пуансо (§ 2 гл. 2). Далее мы используем описанную конструкцию для изучения как интегрируемых, так и неинтегрируемых случаев.

58

Глава 1

Рис. 5. Фазовый портрет задачи Эйлера. Устойчивые неподвижные точки и прямые |L| = G соответствуют устойчивым перманентным вращениям относительно большой и малой осей, неустойчивые точки — вращениям вокруг средней оси инерции, сепаратрисы образуются двоякоасимптотическими траекториями, связывающими неустойчивые перманентные вращения.

Рис. 6. Фазовый портрет (сечение плоскостью g = π ) для уравнения Эйлера – 2 Пуассона при h = 1.5, c = 1 и следующих параметрах тела: I = diag(1.5; 1.2), ! = (0.5, 0, 0). Видно удвоение периода орбиты, родившейся из перманентных вращений вблизи точек (π, 0) и (2π, 0) на рис. 5, а также расщепление сепаратрис к периодическим решениям, родившихся из перманентных вращений в точках ( π , 0) 2 и ( 3 π, 0) на рис. 5. 2

§ 5. Уравнения движения твердого тела в евклидовом пространстве

59

§ 5. Уравнения движения твердого тела в евклидовом пространстве 1. Лагранжев формализм и уравнения Пуанкаре на группе E(3) Пусть твердое тело движется в евклидовом пространстве R 3 , при этом его конфигурационное пространство совпадает с группой E(3). В матричной форме элементы группы можно представить в виде   x1  Q T x2   ∈ E(3), S=  x3  0 1

где Q ∈ SO(3) — матрица направляющих косинусов (3.3), а x — радиус-вектор некоторой фиксированной в теле точки C в проекциях на неподвижные оси (см. рис. 7). Запишем уравнения движения для проекций угловой скорости ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) и абсолютной скорости центра масс v = (v1 , v2 , v3 ) на оси, связанные с телом. По аналогии с (4.3) выпишем следующие очевидные геометриче- Рис. 7. Свободное твердое тело. ские соотношения ˙ =ω e Q, Q

(5.1)

˙ v = Qx.

Найдем теперь соответствующие базисные левоинвариантные поля на группе E(3). Для этого запишем производную по времени в силу уравнений (5.1)

∂f ∂f ∂f ∂f df = Tr Q˙T + + Q ,v , , x˙ = Tr (e ω Q)T dt ∂Q ∂x ∂Q ∂x

∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f

= ; = , , . ∂Q ∂Qij ∂ ∂x1 ∂x2 ∂x3

Группируя слагаемые при ωi , vi , находим X ω = ωk ξ k , ξk = − εkij αi ∂ + βi ∂ + γi ∂ , ∂αj ∂βj ∂γj ij

v = vi ζ i ,

ζ i = αi ∂ + βi ∂ + γ i ∂ . ∂x1 ∂x2 ∂x3

(5.2)

60

Глава 1

Коммутаторы базисных полей ξ i , ζ j имеют вид [ξ i , ξ j ] = εijk ξk ,

[ξ i , ζ j ] = εijk ζ k ,

[ζ i , ζ j ] = 0.

(5.3)

С учетом (5.2) и (5.3) запишем уравнения движения Пуанкаре (2.4) для динамики свободного твердого тела d ∂L = ∂L × ω + ∂L × v + ∂L × α + ∂L × β + ∂L × γ, dt ∂ω ∂ω ∂v ∂α ∂β ∂γ d ∂L = ∂L × ω + ∂L α + ∂L β + ∂L γ, dt ∂v ∂v ∂x1 ∂x2 ∂x3 ˙ ˙ = α × ω, α β = β × ω, γ˙ = γ × ω, x˙ 1 = α, ∂L , x˙ 2 = β, ∂L , x˙ 3 = γ, ∂L . ∂v ∂v ∂v

(5.4)

2. Кинетическая энергия твердого тела в R3 Представим радиус-вектор каждой точки твердого тела в неподвижной системе координат в виде q = QT y + x, где y — постоянный в теле радиус˙ T y+x˙ и интегрируя вектор данной точки. Дифференцируя по времени q˙ = Q по y получим кинетическую энергию как в векторном, так в матричном виде T = 1 (ω, Iω) + m(v, r × ω) + 1 mv 2 = 2 2 e r) + 1 mv 2 , = − 1 Tr(e ω Je ω ) + m(v, ω 2 2

(5.5)

1 R yρ(y) d3 y — радиусρ(y) d3 y — полная масса тела и r = m τ вектор центра масс в связанной с телом системе осей, ρ(y) — массовая плотность тела, а I, J определены соотношениями (4.11), (4.12). Если выбрать начало системы координат, связанной с телом, в центре масс, то r = 0 и кинетическая энергия разделяется на энергию поступательного движения и энергию вращения вокруг центра масс. Это утверждение составляет известную теорему Бернулли.

где m =

R

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Для движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа) в общем случае кинетическая энергия не может быть разделена на вращательную и поступательную составляющие.

§ 5. Уравнения движения твердого тела в евклидовом пространстве

61

3. Гамильтонова форма уравнений движения твердого тела в R 3 Для перехода к гамильтонову формализму (уравнениям Пуанкаре – Четаева) выполним преобразование Лежандра по формулам M = ∂L , ∂ω

p = ∂L , ∂v

H = (M , ω) + (p, v) − L|ω,v→M ,p .

(5.6)

Здесь M — момент импульса, p — импульс тела в проекциях на оси, связанные с телом. Скобка Пуассона переменных M , p, α, β, γ, x может быть найдена по формуле (2.12). Она полностью определяется видом полей (5.2) и их коммутаторами (5.3) и не зависит от конкретного вида функции Лагранжа. Единственным ограничением является условие невырожденности функции Лагранжа по скоростям. Окончательно находим следующие (ненулевые) скобки Пуассона {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , pj } = −εijk pk , {Mi , αj } = −εijk αk , {Mi , βj } = −εijk βk , {Mi , γj } = −εijk γk , {pi , x1 } = −αi ,

{pi , x2 } = −βi ,

(5.7)

{pi , x3 } = −γi .

Как было замечено в § 2, п. 3 при такой матричной реализации получается скобка Ли – Пуассона, соответствующая полупрямой сумме e(3) ⊕ s R12 . ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как следует из соотношений (5.7), при кватернионной параметризации группы вращений пуассонова структура в переменных , λ0 , " , # , будет содержать квадратичные скобки, так как направляющие косинусы квадратично зависят от кватернионов.

В векторной форме гамильтоновы уравнения движения записываются следующим образом ˙ = M × ∂H + p × ∂H + α × ∂H + β × ∂H + γ × ∂H , M ∂M ∂p ∂α ∂β ∂γ p˙ = p × ∂H − ∂H α − ∂H β − ∂H γ, ∂M ∂x1 ∂x2 ∂x3 ˙ = α × ∂H , α ∂M ∂H x˙ 1 = α, , ∂p

β˙ = β × ∂H , ∂M ∂H x˙ 2 = β, , ∂p

γ˙ = γ × ∂H , ∂M x˙ 3 = γ, ∂H . ∂p

(5.8)

62

Глава 1

Движение свободного твердого тела в потенциальном поле в системе центра масс (r = 0 в уравнении (5.5)) описывается натуральной механической системой с функцией Гамильтона в виде H = 1 (M , AM ) + 1 p2 + U (α, β, γ, x), 2 2m

(5.9)

где A = I−1 , и переменные M , p выражаются через скорости тела по формулам M = Iω, p = mv. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если потенциальная энергия в (5.9) может быть представлена в форме U = U1 ( , , ) + U2 ( ), то в уравнениях (5.8) отделяется система уравнений для переменных , , , , описывающих вращение тела вокруг центра масс. При этом, если вместо импульса в проекциях на подвижные оси # = m использовать импульс в неподвижном пространстве $ = m ˙ , отделяется также система, описывающая движение центра масс в каноническом виде ∂Hц.м. $˙ =− , ∂

˙ =

∂Hц.м. , ∂$

Hц.м. = 1 $ 2m

2

+ U2 ( ).

(5.10)

То есть пуассонова структура в переменных , , , , $ , не задается скобкой Ли – Пуассона, так как скобка между переменными $ , каноническая.

§ 6. Примеры и родственные постановки задач 1. Движение твердого тела с неподвижной точкой в суперпозиции постоянных однородных силовых полей Как показано в [31] любое количество полей в этом случае может быть сведено к трем взаимно перпендикулярным полям. Функция Гамильтона имеет вид H = 1 (M , AM ) − (r 1 , α) − (r 2 , β) − (r 3 , γ), 2

(6.1)

где r1 , r 2 , r3 — постоянные в теле векторы, задающие три, вообще говоря, различных центра приведения — аналогов центра тяжести. При r 1 = r 2 = 0 уравнения движения для M , γ отделяются и называются уравнениями Эйлера – Пуассона.

§ 6. Примеры и родственные постановки задач

63

2. Свободное твердое тело в квадратичном потенциале Пусть твердое тело движется в одном поле с квадратичным потенциалом

ϕ(q) = − 1 (q, Bq) − (g, q), 2

(6.2)

здесь B — постоянная симметрическая матрица, g — постоянный вектор. Потенциал (6.2) возникает, например, при разложении до второго порядка гравитационного потенциала вблизи поверхности Земли, а также кулоновского потенциала заряженного тела. Представляя радиус-вектор точки в неподвижном пространстве в виде q = QT y + x (y — радиус-вектор точки в теле) и интегрируя по объему тела находим потенциальную энергию в следующей форме (см. также [21]) U = 1 Tr(QT I1 QB) − 1 µ0 (x, Bx) − µ0 (g, x)− 2 2 − 1 µ0 (Qg, r 1 ) − µ0 (QBx, r 1 ). 2

(6.3)

R Здесь µ0 = µ(y) d3 y — суммарный «заряд» тела в заданном поле, а µ(y) — R τ его плотность, r 1 = µ10 yµ(y) d3 y — радиус-вектор центра приведения τ R поля, I1ij = (δij y 2 − yi yj )µ(y) d3 y. Для поля тяжести µ(y) — массовая плотность, µ0 = m — масса тела, r1 = r — радиус-вектор центра масс, I1 = I — тензор моментов инерции. В этом случае при выборе в неподвижном пространстве главных осей, соответствующих собственным векторам матрицы B, в системе центра масс гамильтониан системы может быть записан в форме H = 1 (M , AM ) + 1 p2 + 2 2m 1 + (b1 (α, Iα) + b2 (β, Iβ) + b3 (γ, Iγ)) − 1 m(x, Bx) − m(g, x), (6.4) 2 2 B = diag(b1 , b2 , b3 ). Таким образом, при этом поступательное и вращательное движения разделяются, причем обе системы могут быть проинтегрированы в квадратурах [21] (гл. 3, § 4) (что заведомо выполняется при равенстве инертной и гравитационной масс, т. е. для поля тяжести). Заметим также, что вращательное и поступательное движение разделяется для произвольного поля, если центр приведения поля совпадает с центром масс.

64

Глава 1

3. Движение тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат Пусть твердое тело совершает движение, при котором одна из его точек вращается равномерно с угловой скоростью Ω по окружности радиуса R. Выберем три системы координат: 1) неподвижная в пространстве (инерциальная) система координат OXY Z с началом в центре окружности O, 2) равномерно вращающаяся по окружности система с центром в точке C и базисными векторами eτ — вектор касательный к окружности, en — вектор нормали к плоскости окружности, eR — вектор, направленный из точки C в центр окружности, 3) система осей, жестко связанных с телом Cx1 x2 x3 и началом в точке C (см. рис. 8).

Рис. 8. Движение твердого тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат.

Конфигурационное пространство системы — группа SO(3), которую представим матрицами перехода Q ∈ SO(3) от системы осей твердого тела к вращающейся системе координат. Они имеют вид (4.1), где α, β, γ — проекции векторов eτ , en , eR на оси, связанные с телом. Введем еще одну матрицу B перехода от вращающейся системы координат к неподвижной (столбцы матрицы B — проекции ортов неподвижного пространства на векторы eτ , en , eR ). Положение точки твердого тела с радиус-вектором y в теле в неподвижном пространстве задается вектором q = BT (t)(QT (t)y + x),

(6.5)


65

где x — радиус-вектор точки C во вращающейся системе координат. Диф˙ T (t)(QT (t)y + xc ) + BT (t)Q ˙ T (t)y и интегриференцируя по времени q˙ = B ˙ по объему тела, находим кинетическую энергию в форме руя 1 m(q˙ , q) 2

T = 1 (ω, Iω) + Ω(ω, Iβ) − µ(ω, r × α) + 1 Ω2 (β, Iβ) − µΩ(r, γ), (6.6) 2 2 где µ = 2mRΩ, I — тензор инерции тела относительно точки C, r — радиусвектор центра-масс тела в проекциях на оси тела. Движение тела в потенциальном поле описывается функцией Лагранжа L = T (ω, α, β, γ) − U (α, β, γ),

(6.7)

где T — кинетическая энергия (6.6), а U — потенциальная энергия. Уравнения движения системы (6.7) определяются уравнениями Пуанкаре (4.2), (4.7). Выполняя преобразование Лежандра для системы (6.7), находим M = ∂L = I(ω + Ωβ) − µr × α, ∂ω H = 1 (M , AM ) − Ω(M , β) + µ(M , A(r × α))+ 2 + 1 µ2 (r × α, A(r × α)) + U (α, β, γ), 2

(6.8)

здесь A = I−1 . Уравнения движения имеют вид (4.17). К системе (6.8) сводятся следующие две классические задачи динамики твердого тела. Гироскоп и маятник Фуко. В этом случае U = r3 β3 , тело осесимметрично a1 = a2 = 1, r1 = r2 = 0, а гамильтониан может быть представлен в виде H= 1 (M12 +M22 +a3 M32 )−Ω(M , β)−µr3 (M1 α2 −M2 α1 )− 1 µ2 r32 α23 . (6.9) 2 2 В этом случае удобно воспользоваться переменными неподвижного пространства (4.19). Выбирая соответствующие единицы измерения длины и массы и обозначая вектор e3 = l, гамильтониан можно записать в виде H = 1 N 2 − ΩN2 + µ(N2 l3 − N3 l2 ) − 1 µ2 l12 − µl3 . (6.10) 2 2 Система на нулевой постоянной интеграла (N , l) = M 3 = 0 соответствует гироскопу без собственного вращения и называется маятником Фуко.

66

Глава 1

Спутник на круговой орбите вокруг Земли. Центр масс совпадает с началом координат вращающейся системы, т. е. r = 0. Ньютоновский потенциал в квадратичном приближении (при разложении по отношению размеров спутника к радиусу орбиты) имеет вид U = 3 Ω2 (γ, Iγ), 2

Ω2 = GM , R3

где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, R — радиус орбиты. Таким образом H = 1 (M , AM ) − Ω(M , β) + 3 Ω2 (γ, Iγ). 2 2

(6.11)

С различными динамическими эффектами в движении спутника по круговой орбите можно ознакомиться по книге [11]. 4. Относительное движение твердого тела с неподвижной точкой Пусть твердое тело со связанной с ним точкой O движется в системе координат с началом в ее центре O, которая в свою очередь также движется и вращается по заданному закону. Обозначая соответственно через Ω и V угловую и линейную скорости подвижной системы координат в проекциях на оси, связанные с телом, запишем функцию Лагранжа потенциальной системы в виде L = 1 (ω, Iω) + (ω, IΩ) − m(W , r) − U (α, β, γ). 2

(6.12)

Здесь ω — угловая скорость тела, W = d V — ускорение начала отсчета dt

подвижной системы, I — тензор инерции тела относительно точки O, m — полная масса, r — радиус-вектор центра масс, α, β, γ — орты подвижной системы. Все указанные векторы проектируются на оси тела, при этом Ω, V можно считать заданными функциями времени. Кинетический момент и гамильтониан системы (6.12) определяются следующим образом M = ∂L = I(ω + Ω), ∂ (6.13) H = 1 (M , AM ) − (M , Ω) + m(W , r) + U (α, β, γ), 2

а уравнения движения имеют вид (5.8). Примером подобных систем могут служить гироскопы и подвесы, размещенные на летательных аппаратах и искусственных спутниках, совершающих заданное движение.


67

5. Движение твердого тела по гладкой плоскости Кроме уравнений Эйлера – Пуассона, интересным механическим примером, в котором отделяются уравнения, описывающие эволюцию векторов ω, γ (или M , γ), является задача о движении твердого тела по гладкой плоскости в потенциале, зависящим от расстояния до этой плоскости. Вообще говоря, в абсолютном движении система имеет пять степеней свободы, но в силу того, что реакция плоскости при идеальном скольжении ей перпендикулярна, сохраняются две проекции импульса системы на эту плоскость. Выбирая систему координат, жестко связанную с телом с началом в центре масс (тем самым исключая его горизонтальное равномерное прямолинейное смещение) для движения в потенциальном поле U (γ) получим функцию Лагранжа L = 1 (ω, Iω) + 1 m(ω, r × γ)2 − U (γ), 2 2

(6.14)

где I — тензор инерции тела относительно центра масс, m — масса тела, ω — угловая скорость в проекциях на оси, связанные с телом, γ — вектор нормали к плоскости в тех же осях, а r — вектор из точки контакта в центр масс тела (см. рис. 9).

Рис. 9. Твердое тело на гладкой плоскости.

Если тело является всюду выпуклым и касается плоскости всегда одной своей точкой, то вектор r однозначно выражается через вектор γ при помощи гауссовой проекции поверхности тела на единичную сферу γ=−

grad F (r) , | grad F (r)|

(6.15)

где F (r) = 0 — уравнение, задающее поверхность тела. Для невыпуклых

68

Глава 1

тел уравнение (6.15) допускает несколько решений r = r(γ) и как правило необходимо рассматривать дополнительные уравнения удара. Для эллипсоида с главными полуосями b1 , b2 , b3 несложно получить r = k(b21 γ1 , b22 γ2 , b23 γ3 ),

k = (b21 γ12 + b22 γ22 + b23 γ32 )−1/2 .

(6.16)

После преобразования Лежандра из (6.14) получаем M = ∂L = Jω, ∂

J = I + ma ⊗ a,

H = 1 (IAM , AM ) + 1 m(a, AM )2 + U (γ), 2

(6.17)

2

где a = r × γ, A = J−1 . Согласно (4.16) скобка Пуассона переменных M , γ определяется алгеброй e(3). Для поля тяжести потенциальная энергия тела может быть представлена в виде U (γ) = mg(r, γ),

Рис. 10. Гироскоп в кардановом подвесе. Внешняя рамка карданова подвеса S e вращается вокруг неподвижной в пространстве оси Le , на ней закреплена ось вращения Li внутренней рамки S i . Ось вращения твердого тела (гироскопа) L закреплена на внутренней рамке.

g — ускорение свободного падения. Несложно также обобщить систему посредством добавления к телу ротора с гиростатическим моментом K , при этом в гамильтониане (6.17) появляются линейные по M слагаемые. Если тело является шаром с произвольным эллипсоидом инерции, но центр масс расположен в геометрическом центре, то получается либо система Эйлера (при K = 0) (см. § 2 гл. 2), либо система Жуковского – Вольтерра (при K 6= 0) (см. § 7 гл. 2).

6. Гироскоп в кардановом подвесе Гироскоп в кардановом подвесе представляет собой систему нескольких тел, соединенных между собой с помощью цилиндрических шарниров (см. рис. 10) [119]. Рассмотрим случай, наиболее часто встречающийся в технике, при этом оси Le и Li , L и Li взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке O [119]. Выберем неподвижную систему координат с началом в точке O

69


и осью OZ, направленной вдоль оси вращения L e , свяжем с телом подвижную систему координат с началом в точке O и осью Oz, направленной вдоль оси L. Пусть α, β, γ — проекции ортов неподвижного пространства на оси, связанные с телом, причем γ — вектор, соответствующий оси OZ. Функция Лагранжа гироскопа в потенциальном поле может быть записана в виде !2 ω1 γ 1 + ω 2 γ 2 1 1 e L = (ω, Iω) + I + (6.18) 2 2 γ12 + γ22 # " γ32 1 i 2 2 i i + I1 (ω1 γ2 −ω2 γ1 ) +(ω1 γ1 +ω2 γ2 ) I2 +I3 2 2 −U (α, β, γ), 2(γ12 +γ22 ) γ1 +γ2 где ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) — проекции угловой скорости на оси, связанные с телом, I — тензор моментов инерции твердого тела относительно точки O, I e — момент инерции рамки S e относительно оси Le , I1i , I2i , I3i — главные моменты инерции внутренней рамки. Гамильтонова форма системы (6.18) может быть получена при помощи преобразования Лежандра (4.14). При этом функция Гамильтона системы в общем случае слишком громоздка, приведем ее вид при условии, что тело динамически симметрично относительно оси L (I 1 = I2 ): H = 1 a3 M32 + 1 a1 k(M12 + M22 )+ 2 2 " ! # γ32 1 2 i 2 e i i 2 + a1 k I1 (M1 γ1 +M2 γ2 ) + I +(I3 −I2 ) 2 2 (M1 γ2 −M2 γ1 ) + 2 γ1 +γ2 +U (α, β, γ), k=

(1 +

a1 I1i )

e

1 + a1 I +

a1 (I3i

−

I2i )

γ32 γ12 + γ22

!!−1

,

(6.19)

где A = I−1 = diag(a1 , a2 , a3 ). Приведем без вывода уравнения еще двух замечательных задач, связанных с движением твердого тела в жидкости. Их систематическое изучение мы отложим до гл. 3. Подробный вывод содержится в § 2 гл. 5. Исторический комментарий. Маятник и гироскоп Фуко были предложены известным французским физиком Леоном Фуко (1819–1868) в качестве приборов, с помощью которых можно наблюдать вращение Земли относительно абсолютного пространства.

70

Глава 1

Идея с маятником оказалась наиболее плодотворной и в качестве демонстрации приводится в школьном курсе физики. Тем не менее полный анализ нелинейной модели — обычно рассматриваются только малые колебания — до сих пор отсутствует. Она является неинтегрируемой. Одна из первых попыток учета конечности амплитуды размаха принадлежит Каммерлинг-Оннесу, открывшему сверхпроводимость. Опыты с гироскопом, поставленные Фуко (1852 г.), не привели к вполне удовлетворительному результату — гироскоп слишком быстро терял скорость вследствие трения и возникала хаотическая прецессия оси вращения. По замыслу — ось симметричного гироскопа должна была оставаться постоянной в неподвижном пространстве, что делало бы возможным измерить вращение Земли. Тем не менее в процессе создания своего гироскопа Фуко предложил ряд технических новшеств, одним из которых является использование карданова подвеса, который, кстати, до Д. Кардано (1501–1576) был известен французскому архитектору У. де Гонкуру в XIII веке. Фуко также заметил, что если лишить гироскоп одной степени свободы, то ось его вращения стремится совпасть с угловой скоростью переносного вращения основания подвеса, связанного с угловой скоростью вращения Земли. Это позволяет определить направление на Северный полюс и широту места установки прибора. Анализируя два характерных положения двухстепенного гироскопа относительно поверхности вращающейся Земли, Фуко изобрел два новых прибора — гирокомпас и гироширот, который нашли свое техническое воплощение лишь в конце XIX века и начале XX века (Обри, Сперри, Аншютц и др.) в конструкциях управления торпедами и летательными аппаратами. Л. Фуко принадлежит также само название — гироскоп, буквально означающее наблюдение вращения. Более подробно о различных применениях гироскопа можно прочитать в книгах Р.Граммеля [66] и К. Магнуса [119]. 7. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа) Гамильтониан системы в этом случае имеет вид (см. § 2 гл. 5) H = 1 (M , AM ) + (M , Bp) + 1 (p, Cp) + U (α, β, γ, x). 2 2

(6.20)

Здесь A, C — симметричные матрицы (присоединенные моменты инерции и массы, определяемые геометрией тела и его инерционными свойствами), B — произвольная матрица, которая для тела, обладающего тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, пересекающимися в центре


71

масс тела, может быть выбрана равной нулю. Уравнения движения имеют вид (5.8). Отметим, что обычно уравнениями Кирхгофа называют частный случай (6.20), в котором U (α, β, γ, x) ≡ 0, т. е. случай инерционного движения. Для него система уравнений для (M , p) замыкается (это — уравнения Эйлера – Пуанкаре на e(3)) и анализ во многом близок к уравнениям Эйлера – Пуассона (см. подробнее § 1 гл. 3). 8. Падение тяжелого тела в жидкости, уравнения Чаплыгина Рассмотрим движение в жидкости в однородном поле тяжести тела, для которого три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии пересекаются в центре масс [176]. Несложно показать, что в этом случае центр масс тела совпадает с центром масс вытесняемого объема жидкости. Гамильтониан системы имеет вид H = 1 (M , AM ) + 1 (p, Cp) − µ(x, γ). 2 2

(6.21)

Как можно показать из уравнений (5.8), полный импульс системы определяется уравнением p = P1 α + P2 β + (P3 − µt)γ, где P = (P1 , P2 , P3 ) = const — начальный импульс, который является векторным интегралом движения. Пусть начальный толчок равен нулю: P = 0, в этом случае отделяется система уравнений, описывающая эволюцию переменных M , γ, а гамильтониан такой приведенной системы будет явно зависеть от времени H ∗ = 1 (M , AM ) + 1 µ2 t2 (γ, Cγ), 2 2

(6.22)

где, как ясно из предыдущего изложения, A — тензор присоединенных моментов инерции, C — тензор присоединенных масс (см. также [95]). Уравнения движения системы (6.22) называются уравнениями Чаплыгина [176]. Существует два частных случая системы (6.22), для которых уравнения движения могут быть сведены к уравнению маятникового типа (¨ x = at2 sin x). Первый случай соответствует плоскопараллельному движению тела в жидкости пластинки, а второй — движению осесимметричного твердого тела. Последний случай подробнее разобран в § 1 гл. 3. Неинтегрируемость системы (6.22), как в общем случае, так и в осесимметричном и плоском случаях показана в работе [96].

72

Глава 1

Комментарии. 1. Уравнения системы (6.22) были впервые получены С. А. Чаплыгиным в его студенческом сочинении (1890 г.), опубликованном существенно позже в полном собрании его сочинений (1933 г., т. 1). Возможно, что от публикации результата Чаплыгин воздержался вследствие того, что не смог явно проинтегрировать эти уравнения. Кроме того, В. А. Стеклов получил эти уравнения независимо и опубликовал их в своей известной книге [160] (1893 г.), где также привел некоторые качественные результаты о поведении тела. 2. В работе [175] С. А. Чаплыгин указал также случай, когда сила тяжести уравновешена силой Архимеда (средняя плотность тела равна плотности жидкости), но центр масс тела не совпадает с центром масс вытесненного объема жидкости. При этом тело находится под действием пары сил, и его полный импульс в абсолютном пространстве сохраняется: P = P1 α + P2 β + P3 γ, где P = (P1 , P2 , P3 ) = const. Если «начальный толчок» выбран вдоль вертикальной оси: P = P γ, то эволюция векторов M , γ (γ — направлен вдоль поля тяжести) описывается системой на e(3) с функцией Гамильтона H = 1 (M , AM ) + 1 P 2 (Cγ, γ) − µ(r, γ), 2 2

(6.23)

где r — вектор, соединяющий центр масс тела с центром масс вытесненного объема. Это справедливо также в общем случае, когда симметричное тело двигается в жидкости под действием уравновешенных сил (имеются только моменты сил) — уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой (центром масс) отделяются.

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования Дифференциальные уравнения, в том числе гамильтоновы, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. В то же время, как заметил Дж. Биркгоф [13], «если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес.» В этом высказывании Биркгофа, считавшего динамическую проблему решенной, если предъявлен некоторый алгоритм для описания поведения всех ее траекторий, содержится указание на связь интегрируемости с особым, регулярным характером движения в фазовом пространстве.

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования

73

Такая регулярность достигается при наличии у системы достаточного количества законов сохранения — первых интегралов, полей симметрий или других тензорных инвариантов. Мы изложим здесь несколько основных подходов к интегрируемости гамильтоновых и общих дифференциальных уравнений, связанных с отысканием решений системы в квадратурах. Решить систему в квадратурах — это представить ее решение с помощью конечного числа «алгебраических» операций (включая обращение функций) и «квадратур» — вычисления интегралов от известных функций. Различные аспекты интегрируемости освещены в обзорах [74, 136, 8] (см. также [97]). 1. Гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля – Арнольда Следующая теорема связывает интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах с наличием достаточно большого набора ее первых интегралов. Теорема 2. Предположим, что на симплектическом многообразии M 2n = (p, q) = (p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn ) даны n функций в инволюции F1 , . . . , Fn : {Fi , Fj } ≡ 0, i, j = 1, . . . , n. Предположим также, что на Mf — многообразии уровня интегралов {x ∈ M 2n : Fi = ci , i = 1, . . . , n} n функций Fi независимы. Тогда: 1. Mf — гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона H = F1 . 2. Если многообразие Mf связно и компактно, то оно диффеоморфно n-мерному тору (рис. 11) T n = {(ϕ1 , . . . , ϕn )

mod 2π}

Рис. 11. Квазипериодическое движение на торе и на его развертке.

74

Глава 1

3. Фазовый поток с функцией Гамильтона H определяет на M f условно-периодическое движение, т. е. в некоторых угловых координатах ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) имеем уравнения dϕ = ω, dt

ω = ω(c1 , . . . , cn ) = (ω1 , . . . , ωn ).

4. Канонические уравнения с функцией Гамильтона H интегрируются в квадратурах. ЗАМЕЧАНИЕ. Эта теорема в упрощенном варианте (утверждается только интегрируемость в квадратурах) была сформулирована Буром и обобщена Ж. Лиувиллем. Ее классическое доказательство имеется, например, в трактате Э. Уиттекера [167]. Приведенная формулировка теоремы принадлежит В. И. Арнольду [6].

В рассматриваемом случае гамильтонова система называется интегрируемой по Лиувиллю (или вполне интегрируемой). Можно показать, что для такой системы в окрестности каждого тора существуют переменные, называемые «действие-угол» (I, ϕ mod 2π) = (I1 , . . . , In , ϕ1 mod 2π, . . . , ϕn mod 2π), в которых гамильтониан H(I) не зависит от угловых переменных ϕ mod 2π, а уравнения движения принимают вид I˙ = − ∂H = 0, ∂ϕ

˙ = ∂H = ω(I), ϕ ∂I

Следовательно, I(t) = I 0 , ω(I) = ω(I 0 ) = (ω1 , . . . , ωn ). Переменные действие I «нумеруют» инвариантные торы T n = Mf 2n в M , а переменные угол ϕ равномерно на них меняются, вообще говоря, с n различными частотами ω1 , . . . , ωn . Такое движение называется квазипериодическим. Переменные действие-угол имеют большое значение в теории возмущений. В некоторых случаях число независимых первых интегралов может быть больше чем n = 1 dimM 2n . При этом не все они находятся в инво2 люции и приводят к некоммутативной интегрируемоcти системы. В этом случае инвариантное многообразие Mf в компактном случае является тором размерности, меньшей n [132]. В динамике твердого тела встречаются как коммутативные, так и некоммутативные наборы интегралов. Последние имеют место для вырожденных систем, обладающих избыточными симметриями (динамически симметричных и шаровых волчков). В этих случаях говорят также, что система является суперинтегрируемой.


75

ЗАМЕЧАНИЕ 1. По теореме Якоби, согласно которой скобка Пуассона двух интегралов снова является интегралом, их полное семейство образует некоторую, вообще говоря, бесконечномерную алгебру Ли. Один из таких примеров рассмотрен в приложении. Исследование алгебры интегралов необходимо также при различных способах редукции системы, то есть приведению к меньшему числу степеней свободы (§ 1 гл. 4). Связь некоммутативной интегрируемости с редукцией Дирака обсуждается в книге [31] (см. также [32]). ЗАМЕЧАНИЕ 2. Предположение о компактности и связности Mf обычно выполняется в динамике твердого тела, вследствие компактности конфигурационного пространства, например, являющегося группой SO(3), и ограничений на импульсы, накладываемые интегралом энергии. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если на Mf интегралы становятся зависимыми, то их общий уровень не является, вообще говоря, гладким многообразием. В пространстве постоянных первых интегралов (c1 , . . . , cn ) эти значения образуют бифуркационные поверхности, явный вид которых изучен для большинства известных интегрируемых систем [25] (см. гл. 2).

Теоретически интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах не обязательно может быть связана с наличием необходимого количества первых интегралов. Она может быть обусловлена полями симметрий, различными инвариантными формами и другими тензорными законами сохранения [31, 83]. Содержательные примеры, однако, относятся лишь к частным сочетаниям таких тензорных инвариантов. Сейчас мы рассмотрим еще одну типичную ситуацию. 2. Теория последнего множителя. Теорема Эйлера – Якоби Многие задачи динамики твердого тела могут быть проинтегрированы и другим, восходящими к Эйлеру и Якоби, способом. Речь идет о теории последнего множителя, в которой для интегрируемости системы в квадратурах, кроме достаточного количества первых интегралов, необходимо установить существование некоторой инвариантной меры. Достоинством этого метода является то, что он может быть применен не только к гамильтоновым системам, но, вообще говоря, к произвольным, например, к неголономным. Ряд неголономных систем, имеющих нетривиальную меру и интегрируемых по теории последнего множителя, указал С. А. Чаплыгин [179]. В этой книге мы их не рассматриваем, но подчеркнем, что в XIX веке под интегрируемостью большинства задач динамики твердого тела понимали именно интегрируемость по Эйлеру – Якоби, так как гамильтонова структура,

76

Глава 1

например, уравнений Эйлера – Пуассона (см. § 1 гл. 2) не была отчетливо понята. Остановимся на этом методе более подробно. Рассмотрим произвольную автономную систему дифференциальных уравнений в Rn x˙ = v(x), x ∈ Rn , (7.1)

и пусть g t — ее фазовый поток. В общем случае для интегрируемости этой системы надо знать не менее чем n − 1 первых интегралов. Однако, если уравнение (7.1) имеет интегральный инвариант с гладкой плотностью µ(x), то есть для любой измеримой области D ⊂ Rn и для всех t выполнено Z Z µ(x) dx = µ(x) dx, g t (D)

D

то для интегрируемости системы (7.1) достаточно знать n − 2 первых интеграла. Напомним, что по теореме Лиувилля гладкая функция µ : R n → R R является плотностью интегрального инварианта µ(x) dx тогда и только тогда, когда div(µv) = 0. (7.2) Если µ(x) > 0 при всех x, то формула (7.2) определяет некоторую меру в Rn , инвариантную относительно действия g t . Наличие меры облегчает интегрирование дифференциальных уравнений. Эйлер назвал µ интегрирующим множителем (его называют также последним множителем). Справедливо следующее утверждение — теорема Эйлера – Якоби о последнем множителе [8, 91]. Теорема 3. Предположим, что система (7.1) уравнений с интегрирующим множителем µ имеет n − 2 первых интеграла F1 , . . . , Fn−2 . Пусть на инвариантном многообразии Mc = {x ∈ Rn : Fs (x) = cs , 1 6 s 6 n−2} функции F1 , . . . , Fn−2 независимы. Тогда 1. решения уравнения (7.1), лежащие на Mc , находятся в квадратурах. Если Lc — связная компактная компонента множества уровня и v(x) 6= 0 на Lc , то 2. Lc — гладкое многообразие, диффеоморфное двумерному тору, 3. на Lc можно выбрать угловые координаты ϕ1 , ϕ2 mod 2π так, чтобы в этих переменных уравнение (7.1) на Lc приняло следующий вид λ1 λ2 ϕ˙ 1 = , ϕ˙ 2 = , Φ(ϕ1 , ϕ2 ) Φ(ϕ1 , ϕ2 ) где λ1 , λ2 = const, а Φ — гладкая положительная функция, 2π-периодическая по ϕ1 и ϕ2 .


77

Функция Φ(ϕ1 , ϕ2 ), задающая инвариантную меру, вообще говоря, не приводится к постоянной и движение на торе хотя и происходит по прямолинейным обмоткам (рис. 11), но неравномерно. Отметим, что в случае гамильтоновой системы такое приведение всегда возможно, что является следствием теоремы Лиувилля – Арнольда. Для общих систем (7.1), например диссипативных, мера, как правило, заведомо отсутствует и установление их интегрируемости является отдельной проблемой (§ 1 гл. 5). Общего метода здесь, видимо, не существует, и в зависимости от конкретных наборов законов сохранения (тензорных инвариантов), вообще говоря, не являющихся автономными, возможно различное поведение системы. 3. Разделение переменных. Метод Гамильтона – Якоби Явное решение гамильтоновых уравнений в канонической форме в большинстве случаев может быть получено с помощью метода разделения переменных [183]. В этом случае задача интегрирования для n-степенной гамильтоновой системы сводится к отысканию решения уравнения Гамильтона – Якоби в частных производных H ∂S , q = α1 , ∂q

(7.3)

которое зависит от n постоянных S(q, α1 , . . . , αn ) и удовлетворяет условию невырожденности

2

det ∂ S 6= 0. ∂qi ∂αj

Рассмотрим функцию S(q, α1 , . . . , αn ), которая в этом случае называется полным интегралом уравнения (7.3), в качестве производящей функции канонического преобразования (q , p) → (β, α): p = ∂S , ∂q

β = ∂S . ∂α

(7.4)

Для новых канонических переменных α, β согласно (7.3) получим уравнения движения в виде [183, 128] α˙ i = − ∂H = 0, ∂βi

β˙ i = ∂H = δ1i , ∂αi

i = 1, . . . , n,

78

Глава 1

где δij — символ Кронекера. Эти уравнения легко интегрируются: αi = α0i , α0i ,

βi = δ1i t + βi0 ,

(7.5)

βi0

где = const. Таким образом, (7.5) совместно с (7.4) задают решение канонических уравнений q (t), p(t) в виде системы алгебраических уравнений. Переменные разделяются, если удается подобрать координаты на конфигурационном пространстве, для которых полный интеграл представляется в виде n X S(q, α) = Sk (qk , α1 , . . . , αn ). (7.6) k=1

По Якоби метод разделения переменных состоит в том, что для задачи ищется такая система (вообще говоря, криволинейных) координат, в которых имеет место (7.6). Якоби также нашел одну замечательную замену, которая привела его к эллиптическим координатам и позволила проинтегрировать задачу о геодезических на эллипсоиде — даже в многомерном случае. Он также предложил обратить ситуацию и «найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена» [183]. ЗАМЕЧАНИЕ. Для вырожденных систем (с избыточным набором интегралов) может существовать несколько систем координат, в которых переменные разделяются, например, гармонический осциллятор, задача Кеплера и др.

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. § 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. Геодезический поток на эллипсоиде (задача Якоби) [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве R3 с декартовыми координатами x1 , x2 , x3 задан уравнением x22 x23 x21 + + a1 a2 a3 = 1, где a1 > a2 > a3 > 0 — квадраты главных полуосей.

(7.7)


79

Эллиптические координаты λ1 , λ2 , λ3 в R3 определяются как корни кубического уравнения x21 x22 x23 f (λ) = + + = 1, (7.8) a1 − λ a2 − λ a3 − λ

причем λ3 < a3 < λ2 < a2 < λ1 < a1 . Декартовы координаты выражаются через эллиптические при помощи вычетов функции f (λ) (7.8) в точках a1 , a2 , a3 по формулам x21 =

(a1 − λ1 )(a1 − λ2 )(a1 − λ3 ) , (a2 − a1 )(a3 − a1 ) x23 =

x22 =

(a2 − λ1 )(a2 − λ2 )(a2 − λ3 ) , (a1 − a2 )(a3 − a2 )

(a3 − λ1 )(a3 − λ2 )(a3 − λ3 ) . (a1 − a3 )(a2 − a3 )

В новых переменных эллипсоид (7.7) задается уравнением λ 3 = 0, при этом λ1 , λ2 задают систему ортогональных координат на нем. Переписывая гамильтониан свободного движения материальной точки единичной массы по эллипсоиду (7.7) в этих координатах, находим 2 H= g(λ1 )p21 + g(λ2 )p22 , λ1 − λ 2 (7.9) g(λ) = (a1 − λ)(a2 − λ)(a3 − λ),

то есть переменные разделяются. Используя выражение для канонических импульсов p1 = (λ1 − λ2 ) p2 = (λ2 − λ1 )

λ1 λ˙ 1 , 4(a1 − λ1 )(a2 − λ1 )(a3 − λ1 ) λ2 λ˙ 2 , 4(a1 − λ2 )(a2 − λ2 )(a3 − λ3 )

получаем уравнения движения в форме dλ1 dt , = p λ1 − λ 2 R(λ1 )

dλ2 dt , = p λ2 − λ 1 R(λ2 )

(7.10) (λ − α1 )(λ − a1 )(λ − a2 )(λ − a3 ) R(λ) = − , λ где α1 — константа разделения, удовлетворяющая неравенствам a 3 0 эти алгебры изоморфны алгебре su(3), при x < 0 — алгебре su(2, 1), при x = 0 — полупрямой сумме (so(2) ⊕ su(1)) ⊕s X 2 .

285

§ 4. Новая L − A-пара обобщенного волчка Горячева – Чаплыгина

Вследствие полупростоты можем отождествить алгебру с коалгеброй при помощи скалярного произведения (форма Киллинга) g = − Tr(X · Y),

X, Y ∈
J2 > J1 > 0.

§ 6. Уравнение Ландау – Лифшица

293

Эта система (6.7) называется анизотропной XYZ-моделью Гейзенберга (см. § 2 гл. 3). Система (6.7) рассматривалась в классической и квантовой постановке. Задачи о стационарных решениях этой модели рассматривались в работах [67, 47] — в частности, в связи с нахождением волновых функций квантового гамильтониана. Еще более ранние исследования по последнему вопросу восходят к Бете, рассмотревшего изотропную XXX-модель, и к Бакстеру, построившему (в принципе) все собственные функции для полностью анизотропной XYZ цепочки квантовых спинов 1/2. Для полностью анизотропной цепочки с произвольным спином пока получены лишь отдельные результаты [67]. Рассмотрим стационарные решения системы (6.7), представляющей собой по существу модель взаимодействующих волчков. Они удовлетворяют уравнению S n × J(S n + S n+1 ) = 0, n = 1, . . . , N (6.8) или

S n−1 + S n+1 = λn J−1 S n ,

(6.9)

где множитель λn находится из условия |S n+1 | = 1. Действительно, 1 = |S n+1 |2 = | − S n−1 + λn J−1 S n |2 = λ2n |J−1 S n |2 − 2λn (S n , J−1 S n ) + 1 и имеется две возможности: λn = 0 или λn =

2(S n−1 , J−1 S n ) . |J−1 S n |2

(6.10)

Первый случай обычно отбрасывается из физических соображений, а система (6.9)–(6.10) определяет некоторое дискретное отображение (двумерное), исследование которого представляет собственный теоретический интерес. Несложно установить, что система (6.10) обладает первыми интегралами (т. е. функциями, инвариантными при отображении (6.9), (6.10)): F1 = (S n , J−1 S n+1 ),

F2 = |JS n |2 + |JS n+1 |2 − (S n , JS n+1 )2 , (6.11)

которые, если ввести новые переменные по аналогии с заменой (6.4) (при a = 0) M = S n × JS n+1 , γ = S n , можно переписать в виде det J2 F12 = (J2 M , M ) − det J2 (J−2 γ, γ), F2 = M 2 + (J2 γ, γ).

При этом вследствие специального вида замены F3 = (M , γ) = 0.

(6.12)

294

Глава 5

Интегралы (6.12) совпадают с интегралами системы Неймана (см. § 2 гл. 3), записанной в алгебре e(3), определяемой переменными M , γ на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0. Они указаны Я. И. Грановским и А. С. Жедановым [67]. В этом смысле систему (6.9)–(6.10) можно считать дискретным аналогом системы Неймана, а наличие интегралов (6.12) позволяет говорить об ее интегрируемости. Это название оправдано также тем, что уравнение (6.8), почти эквивалентное (6.9)–(6.10), в континуальном пределе переходит в стационарное уравнение Ландау – Лифшица (см. (6.1)) 2 S × d S2 + JS = 0, dx

S 2 = 1,

(6.13)

которое также можно представить в форме d2 S + JS = λ(x)S, dx2

S 2 = 1,

(6.14)

это уравнение, как показано в первом пункте, эквивалентно обычной непрерывной задаче Неймана. Заметим, что дискретное уравнение Ландау – Лифшица представляет физический интерес в системах, когда континуальное приближение неприменимо, то есть когда решение существенно меняется на расстояниях порядка шага решетки. Многомерные обобщения. А. П. Веселовым был предложен многомерный аналог отображения (6.9)–(6.10), в котором векторы S принадлежат k-мерной сфере Sn ∈ S k ⊂ Rk+1 , J = diag(J0 , . . . , Jk ). Интегралы (6.12) для этого случая можно записать в удобной симметричной форме, если воспользоваться § 1 гл. 3 (интегралы К. Уленбек [278]) Fα (x, y) = x2α +

X (x ∧ Jy)2αβ

β6=α

Jα2 − Jβ2

,

n X

Fα = 1,

(6.15)

α=0

где x = S n , y = S n+1 , (x ∧ y)αβ = xα yβ − xβ yα , α = 0, 1, . . . , n. Эти интегралы также были указаны А. П. Веселовым в [47]. В [48] приведен дискретный аналог теоремы Лиувилля, который позволяет для интегралов (6.15) определить понятие инволютивности, придать отображению (6.9)–(6.10) смысл группового сдвига на лиувиллевых торах. Кроме того, в работе [48] указаны общие формулы для решения в тэта-функциях.

295

§ 6. Уравнение Ландау – Лифшица

3. Эллипсоидальный бильярд и дискретные волчки Как было замечено еще Дж. Биркгофом [13], задача Якоби о геодезических при стремлении к нулю одной из полуосей эллипсоида определяет некоторый интегрируемый бильярд (эллиптический бильярд). При этом точка движется внутри эллипса по прямой, а отскок происходит по идеальному закону: угол падения равен углу отражения, причем величина скорости не меняется. В n-мерном случае явные формулы для отображения типа (6.9)– (6.10) имеют вид [47] qk+1 − qk qk − qk−1 − = λk Aqk , |qk+1 − qk | |qk − qk−1 | λk =

2(Aqk , qk − qk−1 ) , |qk − qk−1 ||Aqk |2

(6.16)

причем (Aq k , q k ) = 1, q k ∈ Rn+1 , A = diag(a1 , . . . , an ) — уравнение n-мерного эллипсоида. Отображение (6.16) обладает полным набором инволютивных (в смысле [48]) интегралов Fα =

p2α

+

X (p ∧ q)2αβ

β6=α

bβ − b α

,

bα = a−1 α ,

pk =

qk+1 − qk . |qk+1 − qk |

(6.17)

В работе [48] получены также явные формулы для точек ударов в тэта-функциях. В работах [48, 53] рассматривается n-мерный диcкретный аналог уравнений Шоттки – Манакова (свободного волчка) на SO(N ). M k+1 = ωk M k ω −1 k ,

M k = ω −1 k I − Iω k ,

I = diag(I1 , . . . , IN ).

ω k ∈ so(N ),

(6.18)

Для четырехмерного волчка соответствующее семейство первых интегралов можно явно выписать, пользуясь результатами § 2 гл. 3. В работе [53] обсуждаются также вопросы получения общего решения в тэта-функциях. Комментарии. В последнее время появилось довольно много работ, посвященных дискретизациям классических случаев динамики твердого тела [207]. Существуют некоторые соображения из механики, аналогичные предельному переходу Биркгофа в задаче о геодезических, позволяющие от (n + 1)-мерного волчка (на SO(n + 1)) перейти к n-мерному (SO(n)). Однако целесообразность и физический смысл таких постановок задач пока не

296

Глава 5

может быть вполне оправдан. Тем более, что реальные дискретизации, возникающие при применении разностных методов, не вписываются в эту схему, и, например, стандартное отображение Чирикова, используемое в качестве модельного примера для изучения хаотической динамики, получается дискретизацией интегрируемой задачи о движении математического маятника. Возможно, что изучение таких дискретизаций полезно для разработки численных методов интегрирования нелинейных систем.

§ 7. Различные обобщения случаев интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона В силу особого математического и прикладного значения уравнений Эйлера – Пуассона, изучение их интегрируемых случаев привело к ряду работ, в которых эти случаи были обобщены в разных направлениях. Одним из них является добавление в гамильтониан гиростатического момента и дополнительных потенциальных слагаемых. Другое возможное обобщение связано с тем, что случаи интегрируемости рассматриваются на пучке скобок Пуассона. Наконец, можно рассмотреть самый общий случай — когда дополнительные параметры появляются как в гамильтониане, так и в скобках Пуассона. В качестве оправдания рассмотрения таких задач, т. е. включения интегрируемого случая в более общее интегрируемое семейство укажем, что оно помогает глубже понять его динамическое происхождение, а также отделить специфические свойства (например, возможность интегрирования в эллиптических функциях), не типичные для всех представителей семейства. Другие интересные физические обобщения на случай суперпозиции различных силовых полей рассмотрены в § 4 гл. 3, §§ 1, 4 гл. 4 (см. также [31, 21]). Известны также их обобщения на кватернионные уравнения Эйлера – Пуассона (§ 4 гл. 3). 1. Обобщение случая Ковалевской Первое обобщение принадлежит С. А. Чаплыгину [178], который на нулевом уровне интеграла площадей (M , γ) рассмотрел суперпозицию случая Ковалевской и своего случая в уравнениях Кирхгофа. Д. Н. Горячев добавил [64] в это семейство сингулярное слагаемое вида a2 , не ссылаясь на γ3

более ранний результат Чаплыгина. Последнее связано, видимо, с тем, что Чаплыгин и Горячев рассматривали разные задачи (уравнения Кирхгофа

§ 7. Различные обобщения случаев интегрируемости

297

и движение тела с неподвижной точкой в потенциальных полях соответственно), а в их время взаимосвязь между ними не была отчетлива понята. Между прочим, в работе [63] Д. Н. Горячев добавил аналогичное сингулярное слагаемое в случай Горячева – Чаплыгина. В обоих случаях он решает обратную задачу динамики. 1. Первое обобщение связывает случай Ковалевской и случай Чаплыгина в единое интегрируемое семейство на нулевом уровне (M , γ) = 0. Наиболее общий гамильтониан имеет вид H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + λM3 + 2 + r1 γ1 + r2 γ2 + 2b1 γ1 γ2 + b2 (γ22 − γ12 ) + 1 a2 , 2 γ3

(7.1)

λ, r1 , r2 , b1 , b2 , a = const. Соответствующий интеграл четвертой степени можно представить в форме 2 γ2 − γ2 F = M12 − M22 − a 1 2 2 − 2r1 γ1 + 2r2 γ2 − 2b2 γ32 + γ3 2 γ1 γ2 + 4 M12 M22 − a 2 − r1 γ2 − r2 γ1 + b1 γ32 − γ3 + − 4λ(M3 + λ) M12 + M22 + a 1 + 12 γ3

+ 8λγ3 M1 (r1 + b1 γ2 − b2 γ1 ) + M2 (r2 + b1 γ1 + b2 γ2 ) ,

(7.2)

с помощью поворота вокруг оси Ox3 можно исключить один из параметров r1 , r2 , b1 , b2 (традиционно полагают b1 = 0). Семейство (7.1) использовано нами в § 1 гл. 4 для построения наиболее общего интегрируемого семейства для кватернионных уравнений (4.24) гл. 1, для которых получается общий случай интегрируемости с линейным интегралом и интегралом четвертой степени. Наиболее общее семейство (7.1) было указано Х. Яхьей [286]. Более ранние результаты, содержащие дополнительные ограничения на свободные параметры в (7.1) принадлежит Д. Н. Горячеву (λ = 0) [63] и С. А. Чаплыгину (a = 0, λ = 0) [175]. 2. Другое обобщение на нулевом уровне постоянной площадей, предложенное Х. Яхьей [285], связано с добавлением двух различных сингулярных

298

Глава 5

добавок. Гамильтониан и интеграл имеют вид H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + r1 γ1 + r2 γ2 + p ε + 1 a2 , 2 2 2 2 γ3 γ1 + γ2 a, ε, r1 , r2 = const,

при этом на нулевой константе площадей частный интеграл имеет вид: !2 a(γ12 − γ22 ) 2 2 F = M1 − M2 − 2r1 γ1 + 2r2 γ2 − + γ32 !2 aγ1 γ2 + 4 M1 M2 − r 1 γ 2 − r 2 γ 1 − + γ32 ! p a γ12 + γ22 M12 + M22 ε + 4ε p + 2 + . γ1 + γ22 γ32 γ12 + γ22

Отметим, что в работе Х. Яхьи [285] интеграл F указан неверно, хотя, возможно, это и связано со странной опечаткой. Интересно отметить, что при a = 0 этот случай является общим случаем интегрируемости (и не связан с нулевым уровнем интеграла площадей). 3. Другое направление обобщений связано с изменением структуры скобок Пуассона, возможно, с соответствующим изменением формы гамильтониана (см. § 2, гл. 3). Рассмотрим следующее однопараметрическое семейство скобок Пуассона — пучок < x : {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{Mi , γj } = −εijk γk ,

{γi , γj } = −xεijk Mk , (7.3) где x = const — параметр. При x = 1 скобка (7.3) соответствует алгебре so(4), при x = 0 — e(3), при x = −1 — so(1, 3). Полагая x = ±R2 , γ → Rγ и устремляя R к бесконечности, получим ретракцию от алгебр so(4) и so(1, 3) к e(3). Скобка (7.3) имеет две квадратичные функции Казимира F1 = (M , γ),

F2 = x(M , M ) + (γ, γ),

(7.4)

их постоянный всюду в дальнейшем обозначим F1 = c1 , F2 = c2 . Классический случай Ковалевской (§ 4 гл. 2) допускает обобщение на пучок скобок, причем также сохраняется возможность добавить гиростат H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + λM3 + µγ1 . 2

(7.5)


299

Дополнительный интеграл несколько видоизменяется (в него входит параметр пучка x), его можно представить в следующей форме F = k12 + k22 − λ{k1 , k2 } − 4λ2 (M12 + M22 ) =

= (M12 − M22 − 2µγ1 + µ2 x)2 + 4(M1 M2 − µγ2 )2 − − 4λ M3 (M12 + M22 + µ2 x) − 2µM1 γ3 − 4λ2 (M12 + M22 ),

(7.6)

здесь k1 = M12 − M22 − 2µγ1 + µ2 x, k2 = 2(M1 M2 − µγ2 ). При λ = 0 это обобщение было указано в работах И. В. Комарова [104, 239], его интегрирование с помощью обобщенного метода Ковалевской выполнено нами в [34, 197] (см. также § 8 гл. 5). Интегрируемость системы (7.5) при λ 6= 0 указана авторами, по-видимому, впервые (см. также [34, 197]), ее явное интегрирование до сих пор не выполнено. Бифуркационный анализ системы (7.5) (как при λ = 0, так и при λ 6= 0) также не выполнен, и вопрос о (траекторном, топологическом) изоморфизме систем при x = 0 и при x 6= 0 остается открытым. Можно лишь показать, что они не переводятся друг в друга при помощи неоднородного вещественного линейного преобразования. Вопрос о бигамильтоновости и наличии спектрального представления Лакса здесь также остается открытым. Отметим, что коммутатор {k1 , k2 }, входящий также в выражение интеграла (7.6) при гиростатическом параметре λ, имеет структуру, сходную с интегралом Горячева – Чаплыгина {k1 , k2 } = 4 M3 (M12 + M22 + µ2 x) − 2µM1 γ3 .

(7.7)

Этот факт пока не имеет разумного объяснения. Укажем только, что между волчками Ковалевской и Горячева – Чаплыгина имеется также несколько странная взаимосвязь на уровне пар Лакса, отмеченная в [193]. При λ = 0 для системы (7.5) существует аналог частного (периодического) решения Делоне при k1 = k2 = 0, в этом случае коммутатор (7.7) на уровне инвариантных соотношений k1 = k2 = 0 также задает интеграл третьей степени (см. также § 4 гл. 2). 4. Интерпретация Г. К. Суслова интегрируемости волчка Ковалевской. Г. К. Суслов указал в своем известном учебнике [163] систему трех новых переменных для волчка Ковалевской, которые в некотором новом времени изменяются весьма простым образом — их траекторией является эллипс, получающийся пересечением цилиндра с плоскостью. Его рассуждения обобщаются на случай системы (7.5) при λ = 0 и x 6= 0.

300

Глава 5

Действительно, если положить k1 = M12 − M22 − 2µγ1 + µ2 x, z=

M12

k2 = 2(M1 M2 − µγ2 ),

+ M32 ,

то для них получаются простые уравнения k˙ 1 = 2M3 k2 ,

k˙ 2 = −2M3 k1 ,

z˙ = M3 k2 ,

которые заменой времени dτ = M3 dt сводятся к линейным. Эти уравнения обладают интегралами h = z − 1 k1 + µ2 x = const, 2

k 2 = k12 + k22 = const,

задающими указанный эллипс в пространстве переменных (k 1 , k2 , z). 5. «Суперпозиция» случаев Ковалевской и Чаплыгина. Существует обобщение интегрируемых случаев Ковалевской и Чаплыгина (с гиростатом), включающее их в единое семейство на всем пучке < x . В этом случае аналог константы площадей также полагается равным нулю (M , γ) = 0, т. е. указанное обобщение является частным случаем интегрируемости. Гамильтониан удобнее представить в форме [21] H = 1 α2 M12 + α1 M22 + (α1 + α2 )M32 − λM3 + 2 (7.8) + r1 γ1 + r2 γ2 − 1 (a1 − a2 )(γ12 − γ22 ), 2 где α1 = 1−xa1 , α2 = 1−xa2, a1 , a2 = const. Результат об интегрируемости системы при λ 6= 0 является новым. Интеграл в этом случае имеет вид F = k12 + α1 α2 k12 − λ{k1 , k2 } − 4λ2 (M12 + M22 ), k1 = α1 M12 − α2 M22 −(a1 − a2 )γ32 − 2(γ1 r1 − γ2 r2 )+ x α1 r 1 γ 2 + α 2 r 2 γ 1 r r + 2x α1 α2 , α1 α2 1 2 2 2 α r + α 1 1 2 r2 {k1 , k2 } = 4M3 α1 M12 − α2 M22 − x − α α

α1 r12 − α2 r22 , α1 α2

k 2 = M 1 M2 − 2

1 2

− 4γ3 ((a1 − a2 )(M1 γ1 − M2 γ2 ) − 2(M1 r1 + M2 r2 )).

(7.9)


301

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнения движения для F можно представить в форме F˙ = {F, H} = (a1 − a2 )(

, )f (

, ).

где f (M , ) — некоторая (полиномиальная) функция от M , . Таким образом, при a1 = a2 этот случай становится общим случаем интегрируемости, соответствующий гиростатическому обобщению случая Ковалевской. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Обобщения случаев интегрируемости с сингулярными добавками (см. предыдущий пункт) на пучке M x до сих пор не найдены.

2. Обобщение случая Горячева – Чаплыгина В этом разделе мы приведем аналогичные случаю Ковалевской обобщения случая Горячева – Чаплыгина. Отметим, что обобщение на пучок (7.3) связано с введением на нем аналога переменных Андуайе – Депри, которые оказываются разделяющими для всех представителей пучка. Эта идея нахождения аналога случая Горячева – Чаплыгина принадлежит авторам [34, 197], она также проходит при наличии гиростата (но не сингулярного члена, для которого переменные Андуайе – Депри уже не являются разделяющими). 1. Рассмотрим сначала обобщение, при котором к гамильтониану добавляется гиростатический момент и сингулярное слагаемое H = 1 (M12 + M22 + 4M32 ) + λM3 + µγ1 + 1 a2 , 2 2 γ3

(7.10)

где λ, µ, a = const. При этом дополнительный интеграл также имеет третью степень по моментам F = M3 + λ M12 + M22 + a2 − µM1 γ3 . 2 γ3 Сам Д. Н. Горячев в работе [63] указал обобщение (7.10) при нулевом гиростатическом моменте λ = 0 (при λ 6= 0, a = 0 оно было указано Л. Н. Сретенским [159]). В полной форме обобщение (7.10) было предложено И. В. Комаровым и В. Б. Кузнецовым [105], которые также привели некоторую квантовомеханическую интерпретацию сингулярного слагаемого. 2. Для получения обобщения случая Горячева – Чаплыгина на пучок скобок (7.3) построим на нем аналог переменных Андуайе – Депри.

302

Глава 5

Положим компоненту M3 равной одной из импульсных переменных L = M3 .

(7.11)

Канонически сопряженная ей координата l ({l, L} = 1) на подалгебре so(3) с образующими M1 , M2 , M3 может быть найдена путем интегрирования гамильтонова потока с функцией Гамильтона =L dM1 dM2 = {M1 , L} = M2 , = {M2 , L} = −M1 , dl dl dM3 = {M3 , L} = 0. dl

(7.12)

Отсюда с учетом коммутационного соотношения {M 2 , M2 } = −M3 находим p p M1 = G2 − L2 sin l, M2 = G2 − L2 cos l, (7.13) где G2 = M12 + M22 + M32 — функция Казимира подалгебры so(3). Положим G в качестве второй импульсной переменной и построим канонически сопряженную ей координату g. Для этого выберем H = G в качестве нового гамильтониана, тогда соответствующий ей поток на всем пучке < x имеет вид dγ = 1 γ × M, G dg

dM = 0, dg

(7.14)

где g — переменная канонически сопряженная G. Согласно (7.14) M не зависит от g, а для γ при помощи уравнений (7.14) и функций Казимира (7.4) находим γ = H2 M + α (M × e3 sin g + GM × (M × e3 ) cos g), G G α2 =

2 c2 − xG2 − H2

G

G2 − L 2

(7.15) ,

e3 = (0, 0, 1),

здесь c2 = xM 2 + γ 2 , а через H — традиционно обозначена постоянная площадей c1 = (M , γ). Таким образом, (7.11), (7.13), (7.15) задают симплектические координаты на всем пучке < x , которые при x = 0, c = 1 переходят в известные координаты Андуайе – Депри в динамике твердого тела.


303

3. Используя (7.11), (7.15), найдем обобщение случая Горячева – Чаплыгина частной интегрируемости для пучка < x . Выберем гамильтониан в форме = 1 (G2 + 3L2 ) + λL + a(cos l cos g + L sin l sin g), 2 G

(7.16)

где a, λ —константы. По сравнению с [92] в (7.16) добавлено линейное по L слагаемое, интерпретируемое на алгебре e(3) как компонента гиростатического момента. Система (7.16) допускает разделение переменных. Действительно, выполним каноническую замену переменных L = p 1 + p2 ,

G = p 1 − p2 ,

q1 = l + g,

q2 = l − g.

(7.17)

При этом гамильтониан (7.16) может быть представлен в форме p3 − p32 p2 − p22 a (p sin q + p sin q ). =1 1 −λ 1 + 1 2 2 p1 − p 2 p1 − p 2 1 2 p1 − p 2

(7.18)

Выражая гамильтониан (7.16) с помощью (7.11), (7.13), (7.15) в переменных M , γ при нулевой постоянной площадей (M , γ) = H = 0, находим γ1 = 1 (M12 + M22 + 4M32 ) + λM3 + µ . 2 |γ| Дополнительный интеграл в этом случае имеет вид γ3 F = M3 + λ (M12 + M22 ) − µM1 . 2 |γ|

(7.19)

(7.20)

Для алгебры e(3) имеем |γ| = 1 и получаем классический случай Горячева – Чаплыгина, для которого указанный метод разделения переменных был предложен В. В. Козловым [92]. При x 6= 0 семейство (7.19), (7.20) было найдено авторами [34, 197]. 3. Случай Горячева В заключение приведем один экзотический частный интегрируемый случай, не имеющий непосредственного отношения к уравнениям Эйлера – Пуассона, но обладающий интегралом третьей степени, близким к интегралу Горячева – Чаплыгина. Он был указан Д. Н. Горячевым [63] и при

304

Глава 5

(M , γ) = 0 гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид b −2/3 H = 1 M12 + M22 + 4 M32 − 3 1 γ1 + b2 γ3 , (7.21) 2 3 4 3 M3 γ 1 b M 1/3 F = 8 (M12 + M22 )M3 + 64 M33 + 2M1 − 4 γ b1 − 4 2γ 3 γ3 , 3 3 27 3 3 b1 , b2 = const.

§ 8. Разделение переменных 1. Разделяющие преобразования в интегрируемых задачах динамики твердого тела В этом параграфе собраны основные приемы явного решения интегрируемых случаев динамики твердого тела. При этом мы ограничиваемся указанием разделяющих преобразований (которые, вообще говоря, связаны не только с конфигурационным, но и со всем фазовым пространством), а не приводим всю процедуру интегрирования, связанную в динамике твердого тела с обращениями абелевых интегралов и манипуляциями с тэта-функциями различных видов. Ценность разделяющихся переменных заключается в том, что с их помощью становится возможным упростить решение некоторых задач. Одна из них связана с топологическим анализом, имея разделяющиеся переменные, исследование бифуркаций поверхностей уровня первых интегралов можно свести к анализу кратных корней некоторого характеристического полинома. Вторая — построение набора переменных типа действие-угол, необходимых для применения теории возмущений и различных процедур квантования (в частности, квазиклассического). К сожалению, для многих интегрируемых задач динамики твердого тела, обладающие необходимым набором первых интегралов, разделяющие преобразования не найдены. Однако это не препятствует, например, для проведения топологического анализа, где можно получить бифуркационные множества непосредственно с помощью исследования критических уровней первых интегралов. Возможно, для того, чтобы «разделить» такие системы, необходимо по иному сформулировать цель исследования. В то же время известные разделяющиеся преобразования, которые мы постараемся здесь привести в наиболее естественном виде, составляют «золотой фонд» динамики и подчеркивают своеобразие динамических задач, связанных с динамикой волчка. Отметим, что в гл. 2 и 3 некоторые явные

305

§ 8. Разделение переменных

решения — для случаев Эйлера, Лагранжа, Клебша — уже были приведены, и мы не будем на них останавливаться. Подчеркнем, что в последнем случае явное решение известно на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0, где система эквивалентна задаче Неймана, интегрируемой при помощи разделяющих сфероконических координат на сфере Пуассона (см. § 7 гл. 1). Для задачи Жуковского – Вольтерра мы по сравнению с двумя уже указанными в § 7 гл. 2 приводим еще одно, более геометрическое решение, позволяющее понять характер затруднений, связанных с явными выражениями и через эллиптические функции. Некоторые результаты, связанные с интегрированием классических систем (типа Ковалевской, Горячева – Чаплыгина, Чаплыгина) на пучках скобок Пуассона, были получены авторами в [34, 197]. Отметим, что метод разделения переменных случая Горячева – Чаплыгина, приведенный в предыдущем параграфе, позволил также явно указать его обобщение, например, на алгебру so(4), получить которое какими-либо особыми приемами не удавалось. Такой подход близок к первоначальной идее Якоби, который советовал «идти обратным путем» и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена [183]. Система Жуковского – Вольтерра. Рассмотрим явное решение для случая Жуковского – Вольтерра, основываясь на методе, предложенном А. Вангерином в 1889 г. [281] и развитым в [57]. По сравнению с оригинальным аналитическим решением В. Вольтерра, которое обсуждается в § 7 гл. 2 этот метод является более наглядным и геометрическим. В дальнейшем при интегрировании случая Жуковского – Вольтерра мы пользуемся уравнениями движения в форме ˙ = M × AM + M × K , M

(8.1)

которое обладает интегралами (энергия и величины момента) вида (M , AM ) + (M , 2K ) = 2h = const, M 2 = f = const,

(8.2)

где A = diag(a1 , a2 , a3 ), K = (k1 , k2 , k3 ) ∈ R3 . Воспользуемся следующим геометрическим наблюдением. Линия пересечения двух квадрик общего положения вида (Ai M , M ) + (M , K i ) = ci ,

i = 1, 2

(8.3)

306

Глава 5

(где M , K i ∈ R3 , ci = const, Ai — матрицы 3 × 3), лежит на некотором конусе в R3 . f = M − ξ и сложим уравнения (8.3) Действительно, сделаем замену M

λ с постоянными коэффициентами λ, µ. Полагая, что вектор ξ и отношение µ удовлетворяют системе четырех уравнений (λA1 + µA2 )ξ = − 1 (λK 1 + µK 2 ), 2 (8.4) ((λA1 + µA2 )ξ, ξ) + (ξ, λK 1 + µK 2 ) = λc1 + µc2 ,

находим уравнение конуса в виде f, M f) = 0. ((λA1 + µA2 )M

(8.5)

Применим это наблюдение к интегралам (8.2). Используя (8.4), находим в данном случае вектор ξ в виде ξ = −(A + xE)−1 K,

λ = 1, µ = x,

где E — единичная матрица. Из (8.4) получим уравнение четвертой степени для определения x −((A + xE)−1 K, K) = 2h + xf.

(8.6)

Поскольку уравнение (8.6) имеет полюсы на вещественной оси, оно допускает некоторое вещественное решение x0 , для которого найдем также соответствующий вектор ξ(x0 ). Запишем уравнение (8.5) в виде

где

f2 f2 M M 1 f32 , + 22 = M 2 b1 b2 b21 =

x0 + a 3 , x0 + a 1

f = M − ξ(x0 ), M b22 =

(8.7)

x0 + a 3 . x0 + a 2

f1 , M f2 следующим обраВоспользуемся однородностью (8.7) и выразим M зом f1 = b1 M f3 sin ϕ, f2 = b2 M f3 cos ϕ. M M (8.8) Подставив найденные соотношения в интеграл энергии (8.2), получим квадратное уравнение для M3 : f32 + b(ϕ)M f3 + c = 0, a(ϕ)M

(8.9)


307

где коэффициенты a(ϕ), b(ϕ) имеют вид a(ϕ) = 1 (a1 b21 sin2 ϕ + a2 b22 cos2 ϕ + a3 ), 2 k b k 2 b2 k3 1 1 sin ϕ + cos ϕ + , b(ϕ) = x0 x0 + a 1 x0 + a 2 x0 + a 3 c = −h + (K, (A + x0 E)

−1

(8.10)

K)+

+ 1 ((A + x0 E)−1 K, A(A + x0 E)−1 K). 2

Для того чтобы получить уравнение, описывающее эволюцию угла ϕ, воспользуемся системой (8.1), из которой, учитывая (8.7), находим уравнеf3 ние для M b22 f b21 f ˙ f f f M 3 = (a2 − a1 )M1 M2 + 2 M1 k2 − 2 M2 k1 . b1 b2

Используя (8.7), (8.8), (8.9) и производя прямые вычисления, находим уравнение для ϕ ϕ˙ 2 =

(x0 + a1 )(x0 + a2 ) (b(ϕ)2 − 4a(ϕ)c) = P2 (cos ϕ, sin ϕ), x20

(8.11)

где a(ϕ), b(ϕ), c определены согласно (8.10), а P2 (x, y) — полином второй степени от двух переменных. Квадратура уравнения (8.11) выполняется при помощи эллиптических функций. Можно показать [57], что подходящим выбором знаков и корня x0 проекции угловой скорости в этом случае могут быть найдены как вещественные функции времени. В заключении еще раз отметим неявный характер решения (происходящий хотя бы из-за того, что приходится решать для x уравнение (8.6)) четвертой степени, не позволяющий сделать никаких динамических выводов, кроме того, преобразования к эллиптическим функциям (8.11) в этом случае не связаны с пуассоновой структурой задачи. Случай Ковалевской является исторически первым случаем, в котором разделение переменных не может быть получено методом Гамильтона – Якоби, т. е. разделяющие переменные не находятся на конфигурационном пространстве. В этом случае, однако, имеется нетривиальное преобразование фазовых переменных, включающее как обобщенные координаты, так и импульсы, приводящие к уравнениям Абеля – Якоби и к разделяющимся переменным на плоскости. Возникающая при этом интегрируемая система,

308

Глава 5

описывающая движение материальной точки на евклидовой плоскости под действием некоторого потенциала приводит к известной аналогии Колосова (см. ниже). Остановимся на общем случае Ковалевской с гамильтонианом H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + γ1 , 2

(8.12)

определенном на пучке скобок {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , γj } = −εijk γk , {γi , γj } = −xεijk Mk . (8.13) Его явное интегрирование было рассмотрено нами в [34, 197]. Сведение к уравнениям Абеля – Якоби при x 6= 0 использует рассуждения Г. К. Суслова, предложившего свой метод интегрирования случая Ковалевской [163]. Скобка (8.13) имеет две квадратичные функции Казимира l = (M , γ), c = x(M , M ) + (γ, γ).

(8.14)

При этом дополнительный интеграл (обобщенный интеграл Ковалевской, указанный в [104], см. также § 7) имеет вид k 2 = k12 + k22 , k1 = M12 − M22 − 2γ1 + x,

Определим новые переменные

z1 = M1 + iM2 , ζ1 = k1 + ik2 , 2

ζ1 ζ2 = k .

(8.15)

k2 = 2M1 M2 − 2γ2 . z2 = M1 − iM2 , ζ2 = k1 − ik2 ,

Воспользуемся уравнениями движения для z1 , z2 iz˙1 = M3 z1 − γ3 ,

−iz˙ 2 = M3 z2 − γ3 ,

соотношениями (8.15) и выразим γ1 , γ2 , γ3 , M3 по формулам γ1 = 1 z12 + z22 − 1 (ζ1 + ζ2 ) + x , 4

4 2 i i 2 2 γ2 = − z1 − z2 + (ζ1 − ζ2 ) , 4 4 z˙ z + z˙2 z1 z˙ + z˙2 γ3 = i 1 2 , M3 = i 1 . z1 − z 2 z1 − z 2

(8.16)

309


Подставим теперь найденные выражения в интегралы (8.14) и гамильтониан (8.12). Разрешая полученные уравнения относительно z 1 , z2 , находим ζ1 ζ2 2 2 (z − z2 ) , z˙22 = R2 − (z1 − z2 ) , 4 1 4 2 z˙1 z˙2 = −R − 1 (2h − x) (z1 − z2 ) , 4

z˙12 = R1 − где

(8.17)

2 2 R = R(z1 , z2 ) = 1 z12 z22 − h z12 + z22 + l (z1 + z2 ) + k − c + xh − x , 4

2

4

R1 = R(z1 , z1 ),

4

R2 = R(z2 , z2 ),

(8.18) здесь h — константа интеграла энергии (8.12). Осталось исключить из полученных уравнений ζ 1 , ζ2 , для чего воспользуемся интегралом Ковалевской (8.15)

2 ζ1 ζ2 (z1 − z2 )4 = k (z1 − z2 )4 . R2 − z˙22 = 16 16 Перегруппируем слагаемые в полученном выражении и представим его в форме 2 2 k2 (z1 − z2 )4 z˙1 z˙2 z˙1 z˙2 +√ = √ +1 − = f1 , √ 16R1 R2 R1 R2 R 1 R2 (8.19) 2 2

R1 − z˙12

z˙1 z˙ − √2 √ R1 R2

=

z˙1 z˙2 −1 √ R 1 R2

−

k2 (z1 − z2 )4 = f2 , 16R1 R2

где функции f1 , f2 могут быть выражены через z1 , z2 , если произведение z˙1 z˙2 подставляется из уравнений (8.17). Последним шагом является введение переменных Ковалевской по формулам √ √ R − R1 R2 R + R1 R2 s1 = , s2 = . (8.20) 2(z1 − z2 )2 2(z1 − z2 )2 √ Выразим из этих соотношений R = (s1 + s2 )(z1 − z2 )2 , R1 R2 = = (s2 − s1 )(z1 − z2 )2 и подставим в правые части (8.19). В результате находим f1 =

f (s1 )

f (s2 )

f2 = , 2 (s1 − s2 ) f (s) = 2s + 1 (2h − x) + 1 k 2s + 1 (2h − x) − 1 k . 4

(s1 − s2 )2

,

4

4

4

(8.21)

310

Глава 5

Для левых частей (8.19) получаются соотношения, задающие переход к некоторым криволинейным координатам dz1 dz ds +√ 2 =p 1 , √ R1 R2 ϕ(s1 )

dz ds dz1 −√ 2 =p 2 , √ R1 R2 ϕ(s2 )

(8.22)

где ϕ(s) — полином третьей степени, 2 2 1 k c 3 2 2 ϕ(s) = 4s + 2hs + (2h − x) − + s+ l . 16 16 4 16 Подставляя (8.22) в уравнения (8.19) и учитывая (8.21), находим уравнения движения в переменных s1 , s2 p p f (s1 )ϕ(s1 ) f (s2 )ϕ(s2 ) s˙ 1 = , s˙ 2 = . (8.23) s1 − s 2 s2 − s 1 Полином ϕ(s) можно определить стандартными методами, использующими приведение эллиптических интегралов к стандартному виду. Приведем здесь рассуждения, сходные с проведенными Сусловым [163]. Переменные Ковалевской являются решениями квадратного уравнения Q(z1 , z2 , s) = (z1 − z2 )2 s2 − Rs + G = 0,

(8.24)

где G=

R 2 − R 1 R2 = − l z1 z2 (z1 + z2 )+ 8 4(z1 − z2 )2

2 + 1 (2h − x)2 − k2 + 4c 3 (z1 + z2 )2 − lh (z1 + z2 ) + l . 64 2 4 4

2

2

2

∂Q ∂Q ∂Q , , и исключим из них ∂s ∂z1 ∂z2 с помощью уравнения (8.24) s, z1 , z2 соответственно. Прямым вычислением можно проверить, что

Вычислим квадраты производных

∂Q ∂s

2

= R 1 R2 ,

∂Q ∂z1

2

= ϕ(s)R2 ,

∂Q ∂z2

2

= ϕ(s)R1 .

Составим теперь полный дифференциал функции Q dQ =

∂Q ∂Q ∂Q dz1 + dz2 + ds = 0. ∂z1 ∂z2 ∂s

Разделив его на произведение ϕ(s)R1 R2 и учитывая возможность извлечения корня с разными знаками, получим соотношение (8.22).


311

Преобразование Хайне – Хорозова для системы Ковалевской. Рассмотрим другой метод интегрирования системы Ковалевской, использующий нелинейное (и очень неочевидное) комплексное преобразование фазового пространства, которое переводит систему Ковалевской в систему Неймана [225]. Рассмотрим сначала случай x = 0 (соответствующий алгебре e(3)). Следуя [225], выберем для системы Ковалевской гамильтониан в форме H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + 2γ1 , 2

(8.25)

при этом интеграл Ковалевской можно привести к виду k2 =

M2 − M2 1

2

4

− µγ1

2

+

M M 2 1 2 − µγ2 . 2

(8.26)

Определим новые (комплекснозначные) переменные q1 =

M12 + M22 + 4 , 4M2

q2 = −i q3 = i

L1 =

M1 , M2

4M1 γ3 − M3 (M12 + M22 − 4) , 4M2

L2 = −i

M12 + M22 − 4 , 4M2

L3 = i

2γ3 , M2

(8.27)

4M1 γ3 − M3 (M12 + M22 + 4) . 4M2

Уравнения движения на фиксированном уровне первых интегралов для переменных L, q можно представить в форме L˙ = q × Qq , где

q˙ = q × L,



 c1 = 1 −ic1 i(c2 + 1) −h c1  , Q =  −ic1 i(c2 + 1) c1 1 − c2

(8.28)

(8.29)

причем постоянные c1 , c2 выражаются через функции Казимира и интеграл (8.26) по формулам c1 = (M , γ), а h — константа энергии (8.25).

c2 = γ 2 − k 2 ,

312

Глава 5

Интегралы (8.25) и (8.26) преобразуются в квадратичные интегралы системы Неймана (ср. § 1 гл. 3) (q, q) = 1, (L, L) + (Qq, q) = −h,

(L, q) = 0,

−(QL, L) + det Q(Q−1 q, q) = −4k 2 .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В работе [188] приводится рациональное преобразование, связывающее системы Ковалевской и Хенона – Хейлеса с системой Шоттки – Манакова на so(4), обобщающее указанный результат. Преобразование (8.27) для e(3) было установлено Хайне и Хорозовым с использованием лорановских разложений общего решения по степеням комплексного времени. Применяя ту же процедуру, Бехливанидис и ван М¨ербеке показали, что цепочка Тоды и волчок Горячева – Чаплыгина могут быть получены как частные случаи более общей интегрируемой системы [190].

Система Ковалевской на пучке скобок (8.13) также сводится с системе Неймана с помощью преобразования (8.27). Этот результат указан нами в [34, 197]. Действительно, гамильтониан в этом случае остается прежним (8.25), при этом функции Казимира задаются уравнениями (8.14), а аналог интеграла Ковалевской имеет вид: !2 !2 M12 − M22 M1 M2 2 − γ1 + x + − γ2 . (8.30) k = 4 2 Тогда после преобразования переменных (8.27) уравнения движения будут иметь вид, аналогичный (8.28) e , L˙ = q × Qq

q˙ = q × L,

(8.31)

e отличается от матрицы Q лишь тем, что константу c 2 необгде матрица Q ходимо определить по формуле c2 = xM 2 + γ 2 − k 2 + x(x − h),

а k 2 определено (8.30). Уравнения движения (8.31) представляют собой систему на e(3) с гамильтонианом и интегралом e = (l, l) + (Qp, e p) = 4x − h, H e L) − det Q( e Q e −1 q , q ) = 4(k 2 − x2 ), F = (QL,


313

то есть снова задачу Неймана. При этом переменные Ковалевской (8.20) являются сфероконическими координатами на сфере q 2 = 1, в которых разделяются переменные в задаче Неймана. Отметим, что при добавлении гиростатического момента (§ 7 гл. 5) преобразование (8.27) не позволяет свести систему Ковалевской к задаче Неймана и получить разделение переменных (в сфероконических координатах). Эта задача до сих пор явно не проинтегрирована. Аналогия Колосова и ее обобщения. В работе Г. В. Колосова [101] приведено преобразование фазовых переменных и времени, сводящее задачу Ковалевской на e(3) к динамике точки на евклидовой плоскости в некотором потенциальном поле, для которого разделяющими являются эллиптические координатами. Это — известная аналогия Колосова, позволяющая использовать в динамике твердого тела некоторые соображения из небесной механики. Рассмотрим аналогичную процедуру для задачи Ковалевской на пучке (8.13). В этом случае аналог преобразования Колосова приводит к динамике частицы на некоторой осесимметричной поверхности непостоянной кривизны. Следуя [106], выразим из уравнений движения функцию Гамильтона. Для этого в уравнениях движения (8.23) сделаем замену (здесь мы используем гамильтониан (8.12) и интегралы в форме (8.14) и (8.15)) si → si − 1 (h + x ), 2 4

i = 1, 2,

(8.32)

и представим их в форме (s1 − s2 )2 s˙ 2i = g(si ), f (si )

i = 1, 2

f (s) = 4(s − x + 1 k)(s − x − 1 k), 4 2 4 2 2 g(s) = 4s3 − (2h + 3 x)s2 + (c − k 2 + x )s + κ, 2 4 3 1 x κ = (k 2 h + 2l2 − ch) + (h2 + k 2 − c) − x . 2 4 4

(8.33)

ЗАМЕЧАНИЕ. Вид замены (8.32) определяется требованием, чтобы константа энергии в полиноме g(s) содержалась лишь при четных степенях переменной s.

Вычитая в (8.33) первое уравнение из второго, исключим константу κ

314

Глава 5

и выразим из получившегося уравнения энергию H=

U (s1 , s2 ) =

(s1 − s2 )2 s˙ 21 s˙ 22 − + U (s1 , s2 ), 2(s21 − s22 ) f (s1 ) f (s2 ) 2 2(s21 + s1 s2 + s22 ) + 1 (c − k 2 + x )

2

4

s1 + s 2

(8.34)

.

После замены времени dτ = 2(s1 − s2 ) dt и перехода к каноническим ds импульсам pi = ∂H0 , s0i = i , i = 1, 2, имеем систему с разделяющимися dτ ∂si переменными. Рассмотрим теперь переменные s1 − x , s2 − x как эллиптические 4

4

координаты на плоскости (u, v) u = 2 s1 − x s2 − x + k , 4 4 2 k r 2 k 2 − s2 . v = ±2 s21 − k 2 4 4 k

Записывая в координатах u, v энергию (8.34), получим выражения H = T + U, 2 2 T = 1 1 + x (u0 + v 0 ), 2 2ρ

2(ρ2 + ρ21 ) − k 2 + c + 3xρ + x2 4ρ2 − 2uk + c + 3xρ + x2 = , U= 2ρ + x 2ρ + x p p ρ = u2 + v 2 , ρ1 = (u − k)2 + v 2 .

(8.35)

Система (8.35) описывает движение точки в потенциальном поле по искривленной поверхности. Ее гауссова кривизна, уже не являющаяся постоянной, может быть вычислена по метрике, определенной кинетической энергией T : 4x K=− . (2ρ + x)3 Как следует из (8.35), кривизна может изменить знак лишь в точках, где потенциальная энергия обращается в бесконечность, поэтому движение происходит лишь в областях с одинаковым знаком кривизны. При x = 0 мы также имеем K = 0, что совпадает с классическим результатом Колосова об аналогии с движением частицы в плоском пространстве.


315

Исторический комментарий. В работе [102] Г. В. Колосов развивает метод Гамильтона – Якоби для интегрирования различных задач динамики твердого тела. Он, в частности, рассматривает случай Горячева – Чаплыгина, Клебша, Бобылева – Стеклова, I-й случай Чаплыгина для уравнений Кирхгофа. Записав уравнения в канонической гамильтоновой форме по аналогии с движением материальной точки, Г. В. Колосов ищет канонические преобразования в фазовом пространстве, разделяющие переменные, тем самым пытаясь обобщить свои результаты относительно случая Ковалевской. В работе [102] указано также частное периодическое решение для случая Клебша, характеризующееся двумя независимыми инвариантными соотношениями вида F1 = aM3 + bγ3 , F2 = = (αM1 γ1 + βM2 γ2 )/(εM12 + δγ22 ), a, b, α, β, ε, δ = const. Эти соотношения возникают при ограничении на константы первых интегралов, получающегося из бифуркационных условий (т. е. потери независимости интегралов). Описанная в этом параграфе технология введения канонических переменных типа действие-угол, использующая уравнения Абеля – Якоби, по существу развивает наблюдения Колосова, пытавшегося придать нетривиальным алгебраическим преобразованиям, предложенных Ковалевской и Чаплыгиным, разумный геометрический смысл с точки зрения канонических преобразований фазового пространства. Случай Чаплыгина (I). Рассмотрим явное интегрирование в частном случае Чаплыгина на пучке скобок (8.13) при нулевой постоянной площадей. Примем следующие обозначения функций Казимира (M , γ) = 0,

xM 2 + γ 2 = c.

(8.36)

Гамильтониан и дополнительный интеграл в этом случае имеют вид (см. § 2 гл. 3) H = 1 (α2 M12 + α1 M22 + (α1 + α2 )M32 ) − 1 (a1 − a2 )(γ12 − γ22 ) = h , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F = (α1 M1 − α2 M2 − (a1 − a2 )γ3 ) + 4α1 α2 M1 M2 = k , где α1 = 1 − xa1 , α2 = 1 − xa2 (k > 0). Разделение переменных в этой задаче на e(3) было выполнено С. А. Чаплыгиным [175], а на so(4) — О. И. Богоявленским [21] на всем пучке — в работе [34, 197]. Разделяющие переменные s1 и s2 определяются по формулам [21, 175] u+k

u−k

s1 = v , s 2 = v , u = α1 M12 + α2 M22 , v = (a2 − a1 )γ32 .

(8.37)

316

где

Глава 5

Эволюция s1 и s2 определяется уравнениями: q q s˙ 1 = − (1 − s21 )(δ1 − β1 s1 ), s˙ 2 = − (1 − s22 )(δ2 − β2 s2 ),

(8.38)

δ1,2 = 2(h ± k) − x (h ± k)(a1 + a2 ) + (a1 − a2 )2 c , β1,2 = 2(a1 − a2 ) c − 1 x(h ± k + c(a1 + a2 )) , 2

т. е. уравнения движения интегрируются в эллиптических функциях времени. Система Богоявленского. Аналогично в эллиптических функциях интегрируется на пучке второй частный случай Богоявленского [21] с гамильтонианом (см. § 2 гл. 3) H = 1 a1 M12 + a2 M22 + a3 M32 + 2 + 1 ((a2 + a3 )γ12 + (a1 + a3 )γ22 + (a1 + a2 )γ32 ) 2x

=h 2

(8.39)

и интегралом F = ((a3 − a2 )γ12 + (a1 − a3 )γ22 +

+(a1 − a2 )γ32 )2 + 4(a3 − a1 )(a3 − a2 )γ12 γ22 = k 2 . Постоянные функций Казимира определены формулой (8.36). На so(4) интегрирование приведено в [21], в общем случае — в [34, 197]. При введении переменных u−k u+k s1 = v , s 2 = v , где u = (a3 − a2 )γ12 + (a3 − a1 )γ22 , v = (a1 − a2 )γ32 , уравнения движения принимают вид q q s˙ 1 = − (1 − s21 )(δ1 − β1 s1 )/2, s˙ 2 = − (1 − s22 )(δ2 − β2 s2 )/2, (8.40) причем постоянные δi , βi выражаются формулами

(2a3 − a1 − a2 ) (h ± k) + a1 a2 a3 c( a2 − a1 − a1 ), 3 1 2 2 = (a1 − a2 )(a3 c − 1 (h ± k)), 2

δ1,2 = β1,2


317

где h — постоянная гамильтониана (8.39). Для переменных s 1 , s2 квадратура получается в эллиптических функциях. Отметим, что уравнения (8.38), (8.40) являются вырожденными уравнениями Абеля – Якоби, то есть каждое из двух уравнений зависит только от одной переменной s 1 или s2 , а двумерный абелев тор распадается на одномерные. 2. Переменные «действие» и разделяющие переменные Разделяющие переменные могут быть использованы для построения бифуркационных диаграмм и топологического анализа [170]. Другим их использованием является получение переменных действие-угол, необходимых для изучения возмущенной задачи, а также целей квантования. Здесь мы приведем один из методов, аналогичный использованному в [106] и применим его к случаям Ковалевской, Горячева – Чаплыгина и Чаплыгина (I) на всем пучке скобок (8.13). По сравнению с обычно цитируемой, но слишком формальной процедурой, предложенной А. П. Веселовым и С. П. Новиковым [54], этот алгоритм является более естественным и использует обычный метод введения переменных действие-угол для систем с разделяющимися переменными по Гамильтону – Якоби. Он состоит из нескольких пунктов: 1. Нахождение переменных Абеля s1 , s2 , которые коммутируют в первоначальной пуассоновой структуре: {s1 , s2 } = 0. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Существование коммутирующего набора переменных Абеля s1 , s2 может быть также установлено при помощи рассуждений, приведенных в книге [92], связанных с приведением уравнений типа (8.23) к стандартному виду на торе.

2. Используя уравнение энергии в переменных s i , s˙ i , вводятся канонические импульсы pi , удовлетворяющие дополнительному требованию, что система pj , si является разделяющей. 3. Имея набор разделенных переменных, переменные действие-угол вводятся по известному алгоритму [124]. Случай Ковалевской. Можно проверить, что переменные Ковалевской (8.20) s1 , s2 коммутируют. При этом они удовлетворяют уравнениям (8.23) p p f (s1 )ϕ(s1 ) f (s2 )ϕ(s2 ) s˙ 1 = , s˙ 2 = − , (8.41) s1 − s 2 s1 − s 2

318 где

Глава 5

f (s) = 2s + 1 (2h − x) + 1 k 2s + 1 (2h − x) − 1 k , 4 4 4 4 2 2 ϕ(s) = 4s3 + 2hs2 + 1 (2h − x)2 − k + c s + l 16 16 4 16

(8.42)

(переменная s1 изменяется от 0 до ∞, а s2 параметризует окружность). Выделим в (8.42) интеграл движения κ = 1 (2h − x)2 − k 2 : 16

f (s) = 4s2 + (2h − x)s + κ,

2 ϕ(s) = s 4s2 + 2hs + κ + c + l 4 16

(8.43)

и исключим из (8.43) постоянную κ. Из получившегося уравнения найдем энергию h как функцию si и s˙ i : p p 2 a21 + x21 − a22 + x22 x l + + , h = −2(s1 + s2 ) + s1 − s 2 64s1 s2 4 (8.44) 16s2i x + 4si c + l2 (s1 − s2 )s˙ i ai = , xi = . √ 64si 2 si Введем вместо скоростей s˙ i обобщенные импульсы pi по формуле Z ∂h ds˙ i + F (s ), pi = i ∂ s˙ i s˙ i

(8.45)

где F (si ) — произвольная функция от si , добавление F (si ) не изменяет уравнений движения (поскольку определяет каноническое преобразование). В результате интегрирования получим p xi + x2i + a2i 1 pi = √ ln . (8.46) ai 2 si Запишем гамильтониан системы Ковалевской (8.44) в переменных s i , pi √ √ 2 a1 ch(2p1 s1 ) − a2 cos(2p2 −s2 ) l x h = −s1 − s2 + + + . (8.47) s1 − s 2 8s1 s2 8 Переменные si являются разделяющими для гамильтониана (8.47). Если ввести константу разделения κ1 , то получим два уравнения, которые


интегрируются независимо друг от друга: 2 √ 2s21 + s1 h − x + l + κ1 = a1 ch(2p1 s1 ), 4 64s1 2 √ 2s22 + s2 h − x + l + κ1 = a2 cos(2p2 −s2 ). 4 64s2

319

(8.48)

Подставляя в (8.48) выражения (8.46), получим уравнения Ковалевской (8.41), константа разделения κ1 связана с постоянной κ по формуле κ = 2κ1 − c . 8 Переменные «действие» теперь находятся по формуле I 1 Ii = p(si ) dsi , 2π

где pi предполагаются выраженными из (8.48), а область интегрирования зависит от параметров и значений интегралов системы.

Случай Горячева – Чаплыгина. Переменные q1 , q2 (7.17) уже являются разделяющими. При этом, как легко проверить, они коммутируют между собой на уровне (M , γ) = 0. Обозначим через κ постоянную разделения, тогда из (7.16) находим p31 − λp21 + ap1 sin q1 − hp1 = κ, 2 p32 − λp22 + ap2 sin q2 − hp2 = κ. 2

(8.49)

Переменные «действие» могут быть получены по формуле I 1 I =− qi (pi ) dpi , 2π где qi (pi ) выражаются с помощью (8.49). ЗАМЕЧАНИЕ 3. Так как api cos qi p˙ i = − ∂H = − , p1 − p 2 ∂qi

(8.50)

то, воспользовавшись (8.49), получаем уравнения Абеля в виде p˙ i = −

Φ(pi ) , 2(p1 − p2 )

Φ(z) = 4a2 z 2 − (2 Y − z 3 + 2λz 2 + 2hz)2 .

(8.51)

320

Глава 5

Случай Чаплыгина (I). На нулевом уровне интеграла (M , γ) = 0 переменные s1 , s2 (8.37) коммутируют. Из системы уравнений (8.38) на пучке найдем энергию E = h + const как функцию s1 , s2 , s˙ 1 , s˙ 2 : s˙ 2 s˙ 2 2c 1 E=1 + 2 − x (1 − xa1 )(1 − xa2 ) U (s1 ) + U (s2 ) , (8.52) 2 g(s1 ) g(s2 )

где

g(s) = (1 − s2 ) x(a2 − a1 )s + 2 − x(a1 + a2 ) , −1 U (s) = x(a2 − a1 )s + 2 − x(a1 + a2 ) .

Вводя сопряженные импульсы по формуле (8.45) pi =

s˙ i , (1 − s2i )(x(a1 − a2 )si + 2 − x(a1 + a2 ))

получим функцию Гамильтона в разделяющихся переменных H = 1 g(s1 )p21 + g(s2 )p22 − 2c (1 − xa1 )(1 − xa2 ) U (s1 ) + U (s2 ) . (8.53) x 2

Используя константу разделения κ, можно записать

1 g(s )p2 − 2c (1 − xa )(1 − xa )U (s ) = κ, 1 2 1 x 2 1 1 1 g(s )p2 − 2c (1 − xa )(1 − xa )U (s ) = E − κ 1 2 2 x 2 2 2

(8.54)

и вычислить переменные «действие» I pi (si ) dsi . Ii = 1 2π

§ 9. Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем В этом параграфе приведем явные формулы для двоякоасимптотических движений в интегрируемых системах, которые выражаются через элементарные (гиперболические и тригонометрические) функции. Эти формулы необходимы для анализа возмущенной системы, когда двоякоасимптотические поверхности расщепляются и величина этого расщепления в первом

§ 9. Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем

321

порядке по малому параметру получается из вычисления несобственного интеграла Пуанкаре – Мельникова вдоль двоякоасимптотических траекторий интегрируемой системы. Кроме того, эти решения представляют собственный интерес, поскольку практически только для них можно сделать вывод о поведении системы из анализа явных формул. В остальных случаях явные формулы для решения в тэта-функциях не позволяют сказать о решении практически ничего. Наиболее подробно динамические эффекты, приводящие к неинтегрируемости и связанные с расщеплением сепаратрис, рассмотрены в книге В. В. Козлова [97]. Случай Эйлера. В § 2 гл. 2 было показано, что неустойчивыми периодическими решениями являются перманентные вращения тела вокруг средней оси эллипсоида инерции. Приведем здесь двоякоасимптотические решения для полной системы (переменные M , α, β, γ). Для упрощения выражений и исключения лишних параметров выберем специальную систему координат в неподвижном пространстве, для которой ось OZ направлена Рис. 81 вдоль вектора кинетического момента (который сохраняется в абсолютном пространстве, см. рис. 81). В этом случае в системе главных осей тела имеем p M 2 = f = const, (M , α) = (M , β) = 0, (M , γ) = f, а зависимость этих величин от времени имеет вид M =

√fb

32

b31

1 , ±pf th αt, ch αt

√

fb21 1 , b31 ch αt

b b b b α= − 21 cos ωt− 32 th αt sin ωt, ± sin ωt , ∓ 32 cos ωt ± 21 th αt sin ωt , b31 b31 ch α b31 b31 b b b b β= 21 sin ωt− 32 th αt cos ωt, ± cos ωt , ± 32 sin ωt ± 21 th αt cos ωt , b31 b31 ch αt b31 b31 γ=

b

32

b31

1 , ± th αt, ± b21 1 , ch αt b31 ch αt

(9.1)

322

Глава 5

√ гдеpbij = ai − aj , a1 < a2 < a3 — обратные моменты инерции, α = √ = f (a3 − a2 )(a2 − a1 ), ω = a2 f — угловая скорость перманентного вращения вокруг средней оси. Различные знаки плюс и минус соответствуют вращениям вокруг средней оси в разных направлениях, которые определяют два разных неустойчивых периодических решения приведенной системы. Двоякоасимптотические решения сматываются с одного периодического решения и наматываются на второе. Апекс средней оси эллипсоида инерции в неподвижном пространстве задается вектором p = (α2 , β2 , γ2 ), как несложно показать с помощью (9.1), он двигается по локсодроме — кривой на сфере, составляющей постоянный угол θ0 с меридианами, проходящими через точки пересечения с осью OZ (см. рис. 18 гл. 2), причем b32 b21 cos θ0 = √ . a2 a3 + a 1 a2 − a 3 a1 Кроме того, угол прецессии √ средней оси меняется с постоянной угловой скоростью, равной ω = a2 f — скорости перманентных вращений вокруг средней оси. При исследовании возмущений случая Эйлера, в которые добавляется потенциал, симметричный относительно вращений вокруг неподвижной в пространстве оси n = (n1 , n2 , n3 ), двоякоассимптотические решения для случая Эйлера в уравнениях Кирхгофа, где вектор γ имеет смысл импульсивной силы (см. § 1 гл. 3). Явные выражения для двоякоасимптотических движений были применены к изучению интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона и Кирхгофа в ситуации полной динамической несимметрии (см. [97]). Случай Лагранжа. Для волчка Лагранжа, гамильтониан которого представим в форме (см. § 3 гл. 2) H = 1 (M12 + M22 + aM32 ) + µγ3 , 2 существует вращение вокруг вертикальной оси M1 = M2 = 0,

M3 = const,

γ1 = γ2 = 0,

γ3 = 1,

(9.2)

отвечающее положению равновесия (а не периодической орбите) приведенной системы, которое будет неустойчивым при выполнении условия Ма√ иевского |(M , γ)| = |c| < 2 µ. Явные формулы двоякоасимптотических

§ 9. Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем

323

решений для равномерных вертикальных вращений следующие: M1 = 2α cos βt, ch αt

M2 = 2α sin βt, ch αt

M3 = const,

γ1 =

αc cos βt − 2α2 sh αt sin βt, µ ch αt µ ch2 αt

γ2 =

αc sin βt + 2α2 sh αt cos βt, µ ch αt µ ch2 αt γ3 = 1 −

(9.3)

2α2 , µ ch2 αt

p где α = 1 4µ − c2 , β = 1 c(2θ − 1). 2 2 Асимптотические решения (9.3) были впервые отмечены Клейном и Зоммерфельдом [238]. Ненулевые характеристические показатели для решения (9.2) равны ±α ± iβ. При M30 6= 0 и выполнении условия Маиевского αβ 6= 0 и приведенное равновесие будет иметь тип седло-фокус. Оказывается, что при возмущении волчка Лагранжа неустойчивое равновесие не исчезает, но вместо сдвоенных асимптотических поверхностей (9.3) возникают трансверсальные гомоклинные траектории, препятствующие существованию дополнительного аналитического интеграла [97]. Траектория апекса оси симметрии волчка Лагранжа задается уравнением [66] p p 4α2 − 2µu 4α2 − 2µu c ψ = arctg − arcth , c 2α 2α

(9.4)

где u = 1 − cos θ, а θ, ψ — углы нутации и прецессии. Подставляя (9.3) в (9.4), находим зависимость прецессии от времени ψ = − 1 ct + arctg 2α th αt . c 2

При больших t второе слагаемое мало отличается от константы, и, следовательно, ось волчка прецессирует с постоянной скоростью. Тем не менее, визуально это почти не заметно, т. к. она занимает фактически вертикальное положение γ3 → 1 (см. рис. 24 гл. 2). Аналогичные формулы можно записать для обобщений случая Лагранжа в уравнениях Кирхгофа (§ 1 гл. 3) и Пуанкаре – Жуковского (§ 2 гл. 3).

324

Глава 5

Случай Жуковского – Вольтерра. Приведем вид двоякоасимптотических движений в пространстве моментов (M1 , M2 , M3 ). В этом случае, как показано в § 7 гл. 5, траектории, представляющие собой пересечения квадрик 1 (M , AM ) + (M , K ) = h, M 2 = f, (9.5) 2 лежат на некотором конусе. Для асимптотических траекторий вершина этого конуса лежит на поверхностях (9.5) и решение может быть получено в элементарных функциях [57]. Наиболее простое решение получается в случае, когда имеется ненулевой гиростатический момент только вдоль средней оси: K = (0, k, 0). Двоякоасимптотические решения при этом можно представить в форме √ x f sin ϕ M3 = p , a1 a2 a3 1 (a + x)(a + x) cos2 ϕ + sin2 ϕ + 2 3 a1 + x a2 + x a3 + x 2 s s p a3 + x a3 + x M1 = − M3 cos ϕ, M2 = −(a2 + x) f + M sin ϕ, a1 + x a2 + x 3 ϕ p ln tg = ± (a1 + x)(a3 + x)f (t − t0 ), (9.6) 2 где x = ± √k − a2 . f

Решение для вектора γ и других направляющих косинусов в явном виде неизвестно. Комментарии. 1. Для случаев Ковалевской и Горячева – Чаплыгина возможные аналитические представления для асимптотических решений указаны в § 4, § 5 гл. 2. Ни одно из этих решений пока не было использовано для изучения неинтегрируемости. 2. В работе [242] указаны явные аналитические выражения для асимптотических решений к неподвижной точке в случае Клебша. Оказывается, что в общем случае (M , γ) = c 6= 0 в этой задаче существует три типа неподвижных точек: эллиптические, типа седло-центр и седлового типа. В последнем случае характеристические показатели при определенных c имеют вид ±(α + iβ), α, β ∈ R, αβ = 0 и ситуация аналогична задаче Лагранжа. Указанные двоякоасимптотические решения были использованы для изучения возмущений случая Клебша в работе [114]. Отметим, что как замечено Деванеем [203] при c = 0, сепаратрисы к гиперболической точке трансверсально пересекаются, что, тем не менее, не противоречит интегрируемости системы Неймана, а условие β = 0, возникающее в этом случае, создает дополнительные сложности при исследовании возмущенной ситуации.

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде

325

Рис. 82. Движение средней оси эллипсоида инерции гиростата Жуковского – Вольтерра при асимптотических движениях к перманентным вращениям в разные стороны вокруг средней оси.

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде 1. Движение точки по сфере и эллипсоиду (n = 2, 3). Аналогия с динамикой волчка Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в случае шарового тензора инерции A = λE, λ = const, E = kδij k в потенциальном (обобщенно-потенциальном) поле изоморфны уравнениям движения материальной точки по поверхности трехмерной сферы S 3 в аналогичном поле. Эта аналогия была установлена в [18, 89] (см. также [31]). При этом в осесимметричном поле V = V (γ) динамика шарового волчка на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0 эквивалентна движению материальной точки на двумерной сфере S 2 . Оказывается, что эта аналогия справедлива и в многомерном случае, если воспользоваться сингулярными орбитами e(n), она подробно обсуждается в [31]. Здесь мы рассмотрим лишь реальное твердое тело и двумерную и трехмерную сферы, однако приведем даже более общую аналогию, рассмотрев движение точки не по сферам S 2 , S 3 , а по эллипсоидам E 2 , E 3 . Между динамикой твердого тела, теперь уже не шарового, а трехосного и движением точки по эллипсоиду в потенциальных полях также существует вза-

326

Глава 5

имосвязь, имеющая теперь характер траекторного изоморфизма. Частным случаем является аналогия, отмеченная в § 1 гл. 3 между интегрируемыми задачами Якоби о геодезических и случаем Клебша в уравнениях Кирхгофа. Как показано в [31], она справедлива также для случая Клебша на e(4) и задачи Якоби на трехмерном эллипсоиде E 3 . Рассмотрим сначала двумерный случай. Двумерный эллипсоид и сфера (E 2 , S 2 ). Пусть точка движется в евклидовом пространстве с координатами q = (q 1 , q2 , q3 ) по поверхности эллипсоида E 2 , заданного уравнением (q , Bq ) = 1, B = diag(b1 , b2 , b3 ). Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями приводят к системе Bq , ∂V − (q˙ , Bq˙ ) ∂q q¨ = λBq − ∂V , где λ = (10.1) ∂q (Bq , Bq ) (масса точки предполагается единичной). В избыточных канонических переменных (p, q ) ∈ R6 имеем гамильтониан [8, 31] H = 1 (p × n)2 + V (q ), 2

Bq n=p , (Bq , Bq )

(10.2)

здесь n — нормаль к поверхности. Для системы (10.2) выполним каноническое преобразование p, q → p 0 , q 0 , соответствующее сжатию вдоль главных осей эллипсоида: q 0 = B1/2 q , p 0 = B−1/2 p и перейдем к новым переменным по формулам γ = q 0, M = p 0 × q 0. (10.3) В результате получается гамильтонова система, определенная скобкой e(3), нулевым уровнем функции Казимира (M , γ) = 0 и гамильтонианом (M , AM ) + V (γ), H = 1 det B 2 (γ, Bγ) После замены времени dτ =

A = B−1 .

(10.4)

det B dt и на уровне энергии H = E = ( , B )

= 1 c det B мы получим гамильтонову систему на e(3) с гамильтонианом 2

2V (γ) H 0 = 1 (M , AM ) + 1 (γ, Bγ) −c 2 2 det B

и нулевым уровнем энергии H 0 = 0.

(10.5)


327

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Справедливо более общее утверждение, согласно которому гамильтонова система на e(3) вида H=

F (M , ) + V ( ) G( )

на уровне энергии H = h траекторно эквивалентна (после замены времени dt = = G( ) dτ ) системе на e(3) с гамильтонианом H 0 = F (M , ) + (V ( ) − h)G( ) на нулевом уровне H 0 = 0.

В § 1 гл. 3 показано, что при таком траекторном (вследствие замены времени) изоморфизме задача Якоби изоморфна случаю Клебша на нулевой постоянной площадей. При B = E имеем движение по сфере S 2 и гамильтониан (10.4) можно записать в виде H = 1 M 2 + V (γ), 2

(10.6)

который описывает движение шарового волчка при (M , γ) = 0. Этот полный (без замены времени вдоль траектории) изоморфизм несложно понять из различных соображений, в частности, можно провести непосредственные вычисления в углах Эйлера. Трехмерный эллипсоид и сфера (E 3 , S 3 ). Движение точки по трехмерному эллипсоиду E 3 уже не связано непосредственно с динамикой обычного трехмерного тела в каком-либо потенциальном поле. Аналогия возможна, если рассмотреть движение четырехмерного волчка, т. е. волчка на e(4) (в n-мерном случае имеется взаимосвязь между E n и волчком на e(n) [195, 253]). Мы не будем здесь останавливаться на ее описании, так как она носит формальный характер (см. [31]). Более естественной является изоморфизм между движением точки на S 3 в некотором силовом поле и динамикой шарового волчка в аналогичном поле. При этом поле не предполагается обязательно осесимметричным, а система имеет три степени свободы. Движение материальной точки по трехмерной сфере, заданной уравне3 P нием qi2 = 1, в лагранжевом виде имеет вид i=0

qï = − ∂V + λqi , ∂qi

где V — потенциал.

λ=

3 X qi ∂V − q˙i2 , ∂qi i=0

i = 0, . . . , 3,

(10.7)

328

вид

Глава 5

В избыточных канонических переменных (p, q) гамильтониан имеет (p, q)2 H = 1 p2 − + V (q), (10.8) 2 (q, q)

где через ( ·, ·) обозначено скалярное произведение четырехмерных векторов p, q. Определим новые переменные Mi , λµ по формулам Mi = 1 (πi − Li ), 2

λµ = q µ ,

Li = 1 εijk Mjk , πi = M0i , π = (π1 , π2 , π3 ), L = (L1 , L2 , L3 ), 2 Mµν = qµ pν − qν pµ , i, j, k = 1, 2, 3, µ, ν = 0, . . . , 3. (10.9) Несложно видеть, что переменные M , λ коммутируют аналогично кватернионным переменным в динамике твердого тела (4.22) § 4 гл. 1, а функция Гамильтона (10.8) имеет вид H = 1 M 2 + V (λ) 2

(10.10)

и описывает движение шарового волчка в произвольном потенциальном поле. Для векторов π, L и M выполняются следующие соотношения π = 2(q0 q × M + q (M , q ) + q02 M ),

L = 2(q0 q × M + q (M , q ) − q 2 M ),

(10.11)

M = 1 (π − L), 2

задающие сингулярную орбиту в алгебре e(4) (образованную переменными (π, L, q0 , q ), q = (q1 , q2 , q3 )), гомеоморфную касательному расслоению к трехмерной сфере T S 3 (см. § 3 гл. 5). ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для компонент N = 1 (Z + L), N = (N1 , N2 , N3 ) и λ, так2 же коммутирующих кватернионным образом на сингулярной сфере, справедливо 2 2 M = N . В шаровом волчке они соответствуют проекциям кинетического момента на неподвижные оси. Простейшие формулы пересчета для M , N , Z , L следующие M = 1 ( Z − L), 2

N = 1 ( Z + L), 2 Z

= M +N,

L = N − M.

(10.12)


329

Указанные аналогии с движением точки позволяют перенести на динамику твердого тела ряд интегрируемых задач (и вообще различных методов) небесной механики в пространствах постоянной кривизны (в частности, в S 2 и S 3 ). В книге [31] обсуждается общий формализм уравнений движения «искривленной» небесной механики, а также приводится ряд качественных отличий ее от обычной. Тем не менее большинство интегрируемых задач плоской небесной механики переносится на искривленную ситуацию. Они подробно рассмотрены в следующем параграфе. Рассмотрим две интегрируемые системы на S 2 и S 3 , одна из которых связана с различными вариациями относительно задач Якоби и Неймана, а другая является более новой и обладает дополнительным интегралом третьей степени. Для обсуждения первой задачи рассмотрим сначала аналог потенциала упругого осциллятора на сфере. 2. Гармонический осциллятор на S 2 , S 3 . Обобщение задач Неймана и Якоби Гуковские центры на сфере. В плоском пространстве справедлива теорема Бертрана, согласно которой существует только два закона центральных сил, для которых все траектории являются замкнутыми. Один из них — ньютоновский, а другой — гуковский, при этом замкнутые кривые всегда являются эллипсами. Подобное утверждение справедливо и для трехмерной сферы, если в качестве гуковского потенциала принять V = µ tg 2 θ, µ = const. Аналог ньютоновского потенциала V = µ ctg θ, µ = const подробно рассмотрен в § 11, где также приведены основные интегрируемые задачи «искривленной» небесной механики. В избыточных координатах гуковский потенциал имеет вид V = c2 — q0

постоянно встречающихся сингулярных добавок в динамике твердого тела (см. § 7 гл. 5). В плоском случае существует избыточный набор квадратичных интегралов, образующих так называемый «тензор Фрадкина» (по терминологии физиков) [68]. Соответствующий аналог можно рассмотреть и для сферы. Приведем сначала явные выражения для двумерной сферы в более общей ситуации — когда гуковские центры произвольной интенсивности находятся в трех взаимно перпендикулярных полюсах, а затем приведем соответствующие формулы для n-мерной сферы.

330

Глава 5

1. Двумерная сфера S 2 . Уравнения Гамильтона на алгебре e(3) с гамильтонианом 2 2 X ci 1 M 2 + 1 X c γj + γk + const H = 1M 2 + 1 = (10.13) i 2 2 2 2 γi2 γi2 обладают на уровне (M , γ) = 0 тремя интегралами γ22 γ32 + c 3 2, γ22 γ3

F1 = M12 + c2

F3 =

M32

F2 = M22 + c2

γ12 γ32 + c 3 2, γ12 γ3

γ2 γ2 + c2 22 + c3 12 . γ1 γ2

(10.14)

Коммутация этих интегралов на уровне (M , γ) = 0 приводит к еще одному кубическому интегралу {Fi , Fj } (M ,γ)=0 = (−1)(ijk) 4F0 , M (10.15) M M F0 = M1 M2 M3 − γ1 γ2 γ3 c1 31 + c2 32 + c3 33 . γ1 γ2 γ3 Любопытно отметить сходство этого интеграла с дополнительным интегралом в системе Гаффе, при однородной записи он допускает обобщение на весь пучок скобок < x (см. далее). 2. n-мерная сфера S n . В этом случае удобнее воспользоваться лагранжевыми уравнениями на сфере S n = {(q , q ) = 1},

q = (q0 , q1 , . . . , qn ) ∈ Rn+1

с неопределенным множителем. Если представить потенциал в виде V (q ) = n P ci =1 , то они будут иметь вид 2 2

i=0

qi

qï =

ci + λqi , qi3

i = 0, 1, . . . , n,

λ = −q˙ 2 − 2V (q ).

(10.16)

В 2n-мерном фазовом пространстве имеется n(n + 1) квадратичных интеграла (являющихся непосредственным обобщением интегралов (10.14)) cj c Fij = (q˙i qj − q˙j qi )2 + qi2 2 + qj2 2i , i, j = 0, 1, . . . , n. (10.17) qj qi В такой форме они указаны В. В. Козловым, Ю. Н. Федоровым в [99]. Из них (2n − 1) интеграла являются независимыми, что приводит к замкнутости всех траекторий. При этом система является суперинтегрируемой.


331

Обобщение задачи Неймана на S 2 . Существенно ранее, в 1877 г., что не отметили авторы [99], на интегрируемость уравнений (10.16) обратил внимание Е. Росохатиус [263] даже для более общего случая — для n потенциала X ci V = 1 k(Aq , q ) + 1 , (10.18) 2 2 q2 i=0 i

где A = diag(a0 , a1 , . . . , an ). Система (10.18) представляет собой суперпозицию n-мерной системы Неймана (которая также может рассматриваться как анизотропный осциллятор) и набора аналогов гуковских осцилляторов, помещенных во взаимно ортогональных точках сферы. Росохатиус установил интегрируемость системы (10.19) при помощи разделения в сферических координатах (аналогично n-мерной системе Неймана § 7 гл. 1). Представление Лакса и полный набор инволютивных интегралов указал Ю. Мозер в работе [128]. В качестве частного случая приведем соответствующие интегралы для трехмерной и двумерной сферы, последние из которых можно считать естественными обобщениями обычной системы Неймана и случаев Клебша уравнений Кирхгофа (§ 1 гл. 3). При этом необходимо требовать, чтобы (M , γ) = 0, т. е. дополнительный интеграл является частным. На алгебре e(3) гамильтонианы и интеграл {H, F } (M ,γ)=0 = 0 можно записать в виде 3 X ci 1 1 1 2 H = M + k(Aγ, γ) + , 2 2 2 2 γ i=1 i

X cj γk2 ck γj2 (10.19) ai + , F = 1 (M , AM ) − 1 k det A(Aγ, γ) + 1 2 2 2 γj2 γk2 i,j,k A = diag(a1 , a2 , a3 ),

k, ci = const.

В более симметричном виде это семейство можно представить следующим образом γ2 γ2 γ2 γ2 L1 = kγ12 + 1 M32 + c1 22 + c2 12 + 1 M22 + c1 32 + c3 12 , a1 − a 2 a1 − a 3 γ1 γ2 γ1 γ3 L2 = kγ22 + L3 = kγ32 +

γ2 γ2 γ2 γ2 1 M32 + c2 12 + c1 22 + 1 M12 + c2 32 + c3 22 , a2 − a 1 a2 − a 3 γ2 γ1 γ2 γ3 γ2 γ2 γ2 γ2 1 M22 + c3 12 + c1 32 + 1 M12 + c3 22 + c2 32 , a3 − a 1 a3 − a 2 γ3 γ1 γ3 γ2 ai , ci = const.

(10.20)

332

Глава 5

Отметим, что добавление в (10.18) потенциала задачи Неймана (k 6= 0) снимает вырождение и траектории перестают быть замкнутыми. Кроме того, можно сказать, что если динамически симметричные, но не шаровые волчки, типа Горячева – Чаплыгина и Ковалевской, при (M , γ) = 0 допускают добавление лишь одного сингулярного слагаемого c2 , соответствующего γ3

выделенной оси симметрии, то (шаровой) случай Клебша (задача Неймана) допускает сразу три (взаимно ортогональных) слагаемых. Обобщение задачи Якоби на E 2 . Оказывается, что близкие по форме слагаемые могут быть добавлены в задачу Якоби о геодезических на эллипсоиде. Приведем вид гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерного случая, т. е. для гамильтоновой системы (10.4) на e(3) и на уровне (M , γ) = 0 3

X ci (AM , M ) k H=1 + (Aγ, γ) + 1 , 2 (Aγ, γ) 2 2 ai γi2 i=0

3 X (AM × γ) ci F = + (Aγ, γ) k − . 2 (Aγ, γ) a γ2 i=0 i i 2

(10.21)

Интеграл F обобщает интеграл Иоахимсталя, в избыточных переменных на сфере он приведен в [94]. На эллипсоиде в R 3 с уравнением (q , A−1 q ) = 1 потенциал (10.21) соответствует 3

X ci U (q ) = 1 k(q , q ) + 1 , 2 2 qi2

(10.22)

i=0

т. е. суперпозиции обычной (евклидовой) упругой пружины и некоторых сингулярных членов. Случай ci = 0, k 6= 0 был известен еще Якоби. На уровне (M , γ) = 0 система (10.21) траекторно изоморфна некоторому шаровому волчку в поле потенциала четвертой степени по γ и более сложного сингулярного потенциала. В связи с разделением переменных на S 2 (и вообще на S n ) можно поставить вопрос о полиномиальных потенциалах, для которых система является разделимой. В полиномиальном случае он разрешен в [18, 283]. Соответствующие системы, описывающие движение шарового волчка, как правило, не являются физически реализуемыми. Обобщение системы Неймана на S 3 . Рассмотрим систему Неймана с сингулярными слагаемыми на S 3 , а также соответствующий шаровой


333

волчок. В кватернионных переменных M , λ0 , λ1 , λ2 , λ3 (10.9) гамильтониан имеет вид 3 X ci H = 1 M 2 + 1 k(Aλ, λ) + 1 , 2 2 2 2 (10.23) λ i=0 i A = diag(a0 , a1 , a2 , a3 ).

Дополнительные интегралы представим в симметричном виде с помощью избыточного инволютивного семейства, аналогичного (10.20), G0 = kλ20 + +

−2 2 −2 2 2 2 π22 + c0 λ−2 π 2 + c0 λ−2 0 λ2 + c 2 λ2 λ0 0 λ3 + c 3 λ3 λ0 + 3 , a0 − a 2 a0 − a 3

G1 = kλ21 + +

G2 =

(10.24)

−2 2 2 π 2 + c2 λ−2 2 λ0 + c 0 λ0 λ2 + + 2 a2 − a 0

−2 2 −2 2 2 2 L23 + c2 λ−2 L2 + c2 λ−2 2 λ1 + c 1 λ1 λ2 2 λ3 + c 3 λ3 λ2 + 1 , a2 − a 1 a2 − a 3

G3 = kλ23 + +

−2 2 2 π12 + c1 λ−2 1 λ0 + c 0 λ0 λ1 + a1 − a 0


kλ22 +

−2 2 2 π12 + c0 λ−2 0 λ1 + c 1 λ1 λ0 + a0 − a 1

−2 2 2 π32 + c3 λ−2 3 λ0 + c 0 λ0 λ3 + a3 − a 0


где πi , Li определены формулами (10.9). Интегралы Gµ удовлетворяют двум соотношениям 3 3 X X 2 Gµ = kλ , aµ Gµ = H, µ=0

µ=0

где λ2 — норма кватерниона, а H — гамильтониан (10.23).

334

Глава 5

3. Задача n гуковских центров на сфере Последний известный интегрируемый вариант из гуковских потенциаci лов , отличный от (10.18) тем, что гуковские центры притяжения r i , 2 ( , ri )

i = 1, . . . , n помещены не по взаимно ортогональным осям, а произвольно располагаются на одном экваторе, приводит к системе, которую для простоты рассмотрим для случая двумерной сферы (т. е. соответствующей системы на e(3)). Гамильтониан и дополнительный интеграл (при (M , γ) = 0) имеют вид n X ci H = 1M 2 + 1 + U (γ3 ), 2 2 2 (r i , γ) i=1 (10.25) n X ci 2 2 F = M3 + (1 − γ3 ) . (ri , γ)2 i=1

В выражении (10.25) присутствует произвольная функция U (γ3 ), которая означает добавление произвольного «центрального» поля, центр которого расположен на перпендикуляре к плоскости гуковских потенциалов (см. рис. 83). В частности, на полюс можно поместить еще один гуковский центр. В этом случае из результатов о редукции по переменной ψ ± ϕ (см. § 7 гл. 5, § 1 гл. 4) сразу следует, что интегрируема также пространственная задача, т. е. о движении точки на трехмерной сфере S 3 под действием n гуковских центров, распоРис. 83 ложенных на экваторе. Отметим, что евклидов аналог рассматриваемой задачи тривиален — разделение возможно уже в декартовых координатах (получается n линейных связанных осцилляторов). При этом расположение гуковских центров произвольно. В криволинейной ситуации, уже на двумерной сфере, задача о движении в поле трех произвольно расположенных гуковских центров не является интегрируемой. Хотя это строго не доказано, несложно сделать соответствующие эксперименты, демонстрирующие хаотическое поведение. Квадратичный интеграл F в (10.25) связан с разделением задачи в сфериче-


335

ских координатах (θ, ϕ). Действительно, гамильтониан H можно записать следующим образом n p2ϕ 1 X ci H = 1 p2θ + + + U (θ) = 2 2 2 2 sin2 θ sin θ cos (ϕ − ϕi ) i=1 n X ci 1 1 2 2 p = pθ + + + U (θ), ϕ 2 cos2 (ϕ − ϕi ) 2 sin2 θ i=1

где θ, ϕ — координаты движущейся материальной точки, а ϕ i задает положение i-го гуковского центра на экваторе (рис. 83). Выражение в скобках и представляет собой дополнительный интеграл движения (10.25). Заметим также, что если гуковские центры расположены не на большом круге сферы, то задача уже не интегрируема. 4. Система Гаффе

В заключении рассмотрим довольно экзотическую систему на S 2 {γ 2 =1} с потенциалом U = ε(γ1 γ2 γ3 )−2/3 , ε = const, недавно найденную и исследованную Б. Гаффе [213, 214]. Гамильтониан и интеграл (при (M , γ) = 0) имеют вид a2 (γ12 + γ22 + γ32 ) , H = 1 (M12 + M22 + M32 ) − 1 2 2 (γ1 γ2 γ3 )2/3 M M M F = M1 M2 M3 + a2 γ 1 + γ 2 + γ 3 (γ1 γ2 γ3 )1/3 . 1

2

(10.26)

3

Несмотря на отдельные частные результаты [214, 277], явного интегрирования системы (10.26) до сих пор не выполнено. Сумма γ 12 + γ22 + γ32 , равная единице, сохранена в (10.26) для однородности. вид

ЗАМЕЧАНИЕ 3. L − A-пара для системы (10.26) приведена в [277]. Она имеет

где y =

d L = [L, A], dt λ M3 + ay3 M2 − ay2 λ M1 + ay1 L = M3 − ay3 M1 − ay1 λ 2 + ay2

(γ1 γ2 γ3 )1/3

.

0 y3−1 y2−1 2a −1 A= (y , y ) y3 0 y1−1 3 y2−1 y1−1 0

,

,

336

Глава 5

Отметим также, что интегрируемость системы и вид интегралов (10.26) сохраняется на всем пучке скобок (аналогично случаю Горячева – Чаплыгина) {Mi , Mj } = εijk Mk ,

{Mi , γj } = εijk γk ,

{γi , γj } = xεijk Mk

(10.27)

и на нулевом уровне (M , ) = 0.

§ 11. Небесная механика на двумерной и трехмерной сферах Как развитие аналогии, указанной в предыдущем параграфе, рассмотрим движение материальных точек, взаимодействующих по закону ньютоновского притяжения (точнее, его аналогу) на пространствах постоянной кривизны, в качестве которых мы выберем компактные двумерную и трехмерную сферы S 2 и S 3 (кстати, А. Эйнштейн предлагал использовать S 3 как статическую модель реального мира). Хотя почти все изложенные результаты справедливы и для (некомпактного) пространства Лобачевского, мы не приводим их здесь подробно, ориентируясь лишь на приложения к динамике шарового волчка. В силу отсутствия группы преобразований Галилея такая небесная механика обладает некоторыми отличиями от плоской. Например, задача двух тел здесь не тождественна задаче о центральном поле. Более того, первая задача оказывается неинтегрируемой в отличие от второй. Тем не менее часть интегрируемых задач небесной механики плоского пространства (задача Кеплера, двух центров) обобщается и для искривленного пространства, а значит порождает интегрируемые шаровые волчки. 1. Задача Кеплера Рассмотрим задачу о движении частицы в поле ньютоновского центра, помещенного в один из полюсов θ = 0 трехмерной сферы q 02 + q12 + q22 + + q32 = 1. Напомним, что аналог ньютоновского потенциала для сферы S 3 имеет вид (здесь q = (q1 , q2 , q3 ) обозначает трехмерный вектор): V = −α ctg θ = −α

q0 , |q |

q 2 = q12 + q22 + q32 ,

(11.1)

где α — гравитационная постоянная, а θ — один из углов сферической системы координат в R4 , оставшиеся обозначим ϕ, ψ. Он получается как

§ 11. Небесная механика на двумерной и трехмерной сферах

337

решение уравнения Лапласа – Бельтрами для S 3 1 ∂ sin2 θ ∂V + 1 ∂ sin ϕ ∂V + ∂θ ∂ϕ sin2 θ ∂θ sin2 θ sin ϕ ∂ϕ +

2 1 ∂ V = 0, (11.2) sin2 θ sin2 ϕ ∂ψ 2

инвариантное относительно группы SO(3) и имеющее особенность в полюсе θ = 0. При этом особенность возникает также в противоположном полюсе — в одном она притягивающая, а в другом — отталкивающая. Как показано в предыдущем параграфе, уравнения движения частицы можно представить как динамику шарового волчка в кватернионных переменных (M , q0 , q1 , q2 , q3 ) ≡ (M , λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ), коммутирующих согласно (4.22) § 1 и гамильтонаном q0 H = 1M 2 − α . 2 |q |

(11.3)

Известно, что в плоском случае алгебра интегралов задачи Кеплера является избыточной и кроме естественных интегралов углового момента L = (L1 , L2 , L3 ) содержит векторный интеграл Лапласа – Рунге – Ленца A [229, 31]. Как показано В. А. Фоком [169] и П. Баргманом, эти два векторных интеграла L и A образуют алгебру O(4) для отрицательных и алгебру O(3, 1) — для положительных значений энергии. Аналогичный факт справедлив и для искривленного пространства — т. е. существует аналог вектора Лапласа – Рунге – Ленца, который, однако, образует с компонентами момента L, задаваемого соотношениями (10.9), не обычную алгебру Ли, а некоторую квадратичную алгебру, названную в [68] алгеброй Якоби. В избыточных угловых моментах π, L (10.9) частицы на S 3 (образующих алгебру so(4)) векторный интеграл Лапласа – Рунге – Ленца имеет вид q A=L×π+α . (11.4) |q | Он образует с компонентами углового момента Li следующую нелинейную скобку

{Li , Lj } = εijk Lk , {Li , Aj } = εijk Ak , {Ai , Aj } = −2εijk Lk (H + L2 ). (11.5)

338

Глава 5

Система (11.3) является суперинтегрируемой, а интегрируемость некоммутативной. В более естественных для динамики твердого тела переменных M , N интегралы L и A имеют вид ( L = N − M, (11.6) A = 2N × M − α , |q |

где Mi — проекции кинетического момента на оси, связанные с телом, а Ni — на оси, связанные с пространством (N1 = (M , α), . . .). В частности, если рассмотреть инвариантное (q0 = 0) многообразие задачи Кеплера, представляющеe двумерную сферу S 2 , то на ней возникает динамическая система на алгебре e(3), обладающая на уровне (M , γ) = 0, γ = (q 1 , q2 , q3 ) гамильтонианом и интегралами γ3 H = 1M 2 − αp , 2 2 γ1 + γ22 (11.7) αγ1 αγ2 F 1 = M 3 , F2 = M 1 M 3 + p , F3 = M 2 M 3 + p . γ12 + γ22 γ12 + γ22

При этом ньютоновский центр расположен в точке γ 1 = γ2 = 0, γ3 = 1. Все траектории шарового волчка, соответствующего задаче Кеплера, являются периодическими (как для S 2 , так и для S 3 ), при этом «изображающая» материальная точка движется в зависимости констант первых интегралов по коническому сечению [229, 240]. Можно рассмотреть различные возмущения задачи Кеплера — в частности, ограниченную задачу двух тел на S 2 . В [200] показано, что последняя задача является хаотической, траектории не являются эллипсами, и имеется некоторое смещение перигелия, позволяющее нетрадиционным образом (не связанным с эффектами ОТО) интерпретировать результаты астрономических наблюдений. Доказательство отсутствия аналитических интегралов, по предположению авторов, было недавно получено С. Л. Зиглиным. 2. Эйлерова задача двух центров На двумерной и трехмерной сферах сохраняет свою интегрируемость также классическая задача Эйлера о движении материальной частицы в поле двух неподвижных ньютоновских центров. Рассмотрим для простоты случай двумерной сферы S 2 , разделение переменных для которого приведено в работе В. В. Козлова, А. О. Харина [240]. Тем более, как показано в [31] при помощи редукции по циклической переменной (интегралу момента)


339

«пространственная» задача на S 3 может быть сведена к «плоской» (на S 2 ) при добавлении в полюс, расположенный на перпендикуляре к плоскости двух центров, одного гуковского центра (см. далее). ЗАМЕЧАНИЕ 1. Движение частицы в поле одного ньютоновского и одного гуковского центра будет интегрируемым, что является следствием обобщения Лагранжа задачи двух центров, при котором посередине между ними добавляется упругая пружина (оно также справедливо на S 2 ). При этом интенсивность одного ньютоновского центра необходимо устремить к нулю.

Разделение переменных. Поместим ньютоновские центры на сфере x21 + x22 + x23 = 1 в точках (α, β, 0), (−α, β, 0), α > 0, β > 0, α2 + β 2 = 1 и определим криволинейные (сфероконические) координаты как корни квадратного уравнения f (w) =

x21 x22 x23 (w − ξ 2 )(w + η 2 ) + + , = w w − α2 w + β2 (w − α2 )(w + β 2 )w

(11.8)

где 0 < ξ < α2 , 0 < η < β 2 . С помощью вычетов несложно получить явные выражения для декартовых координат p p (α2 − ξ 2 )(α2 + η 2 ) (β 2 + ξ 2 )(β 2 − η 2 ) , x1 = sgn(x1 ) , x2 = sgn(x2 ) α β x3 =

ξη , αβ

(11.9)

где sgn(x) обозначает знак переменной x. Функция Гамильтона в переменных ξ, η принадлежит к лиувиллевому типу, а система в них разделяется H = 1 (M , M ) − µ1 ctg θ1 − µ2 ctg θ2 = 2 (α2 − ξ 2 )(β 2 + ξ 2 ) (α2 + η 2 )(β 2 − η 2 ) 2 2 =1 + p pη + ξ 2 ξ2 + η2 ξ2 + η2 p sgn(x2 )(µ1 + µ2 ) (α2 − ξ 2 )(β 2 + ξ 2 ) + + ξ2 + η2 p sgn(x1 )(µ1 − µ2 ) (α2 + η 2 )(β 2 − η 2 ) + , ξ2 + η2

(11.10)

где θi — угол между радиус-вектором частицы и радиус вектором i-го центра.

340

Глава 5

Несложно также видеть, что добавление к (11.10) трех взаимоортого3 P αi нальных гуковских центров, т. е. потенциала V (x ) = 1 , выражение 2 2

i=1

которого в переменных ξ, η получается с помощью формул

xi

ξ2 2 2 η2 1 = 1 1 = α β 1 + 1 , − , x21 ξ 2 + η 2 ξ 2 − α2 η 2 + α2 x22 ξ2 + η2 ξ2 η2 (11.11) ξ2 η2 1 = 1 + 2 x23 ξ2 + η2 β2 + ξ 2 β − η2 не влияет на разделение системы (11.10). Это обобщение задачи двух центров также указано в [240]. В случае одного гуковского центра, помещенного посередине между двумя ньютоновскими, получается обобщение Лагранжа задачи двух центров, который в плоском случае показал, что такое добавление упругой пружины не влияет на разделение переменных. Это обобщение обсуждается уже у К. Якоби в его «Лекциях по динамике». Если в плоском случае возможно получить явное решение задачи двух центров с помощью эллиптических функций, то для задачи в искривленном пространстве такое решение непосредственно получить не удается. Качественное исследование задачи двух центров в плоском случае имеется в трактате Шарлье [182], в пространственном — в [1], для искривленного пространства соответствующие исследования проведены в [118]. Первые интегралы. Явные алгебраические выражения для первых интегралов задачи двух центров можно получить, используя разделение (11.10), (11.11). Для простоты приведем выражение гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерной сферы (на уровне (M , γ) = 0) µ1 (βγ3 + αγ2 ) H = 1M2 − p − 2 2 γ1 + β 2 γ22 + α2 γ32 − 2αβγ2 γ3 µ2 (βγ3 − αγ3 ) , −p 2 γ1 + β 2 γ22 + α2 γ32 + 2αβγ2 γ3

(11.12)

F = α2 M22 − β 2 M32 + 2αβ(V1 − V2 ),

где функции V1 , V2 получаются из выражений для одной из («почти сохраняющихся») компонент интегралов Лапласа – Рунге – Ленца каждого


341

из центров (1)

A2 = (βM3 + αM2 )(βM2 − αM3 ) + V1 , (2)

A2 = (βM3 − αM2 )(βM2 + αM3 ) + V2 , µ1 (βγ2 − αγ3 ) V1 = p , 2 γ1 + β 2 γ22 + α2 γ32 − 2αβγ2 γ3

(11.13)

µ2 (βγ2 + αγ3 ) V2 = p . 2 γ1 + β 2 γ22 + α2 γ32 + 2αβγ2 γ3

Отметим, что выражение для интеграла (11.12), приведенное в [209], неправильно. Неправильный вид дополнительного интеграла указан также для плоской задачи двух центров в книге [141]. Этот интеграл в канонических переменных (p, q) имеет вид c c H = 1 (p21 + p22 ) − r1 − r2 , 1 2 2 p p r1 = (x − c)2 + y 2 , r2 = (x + c)2 + y 2 ,

c = const,

(11.14)

c (q − c) c (q + c) 1 1 2 1 F = 1 ((p1 q2 − p2 q1 )2 − c2 p22 ) + c − . r1 r2 2

Нам неизвестно, где интеграл (11.12) был указан ранее, несмотря на более, чем двухсотлетнюю историю задачи. Добавление гуковских центров. Приведем явный вид интеграла типа (11.12) при добавлении в систему трех взаимноортогональных гуковских центров. Эта общая форма интеграла охватывает как аналог обобщения Лагранжа (см. [31]), так и пространственную (на S 3 ) задачу, при редукции которой по циклическому интегралу L3 = C = const в приведенный потенциал добавляется «ортогональный» гуковский центр U∗ = −c1 ctg θ1 − c2 ctg θ2 + C2 , 2γ1

(11.15)

где C — постоянная циклического интеграла. ЗАМЕЧАНИЕ 2. «Объяснение» появления сингулярности в (11.15) имеется в § 1 гл. 4. Она возникает при редукции по линейному интегралу L3 = N3 − M3 .

342

Глава 5

Гамильтониан и интеграл в общем случае могут быть записаны в виде βγ3 + αγ2 H = 1 M 2 − µ1 p − 2 2 2 γ1 + β γ22 + α2 γ32 − 2αβγ2 γ3

γ2 + γ2 βγ3 − αγ2 − µ2 p + 1 c1 2 2 3 + 2 γ1 γ12 + β 2 γ22 + α2 γ32 + 2αβγ2 γ3 γ2 + γ2 γ2 + γ2 + 1 c2 1 2 3 + 1 c3 1 2 2 + C(α2 γ22 − β 2 γ32 ), 2 2 γ2 γ3

F = α2 M22 − β 2 M32 + 2αβ(V1 − V2 ) − −

(11.16)

c1 2 2 (β γ2 − α2 γ32 )− γ12

c2 2 2 c3 2 2 β γ1 + 2 α γ1 + 2Cα2 β 2 γ12 , γ22 γ3

где c1 , c2 , c3 — интенсивности гуковских центров, V1 , V2 определены соотношениями (11.13), постоянная C появляется перед слагаемыми, включающими некоторое силовое поле типа задачи Неймана (но теперь уже не произвольное). Еще раз отметим, что все интегралы являются частными — они существуют при условии (M , γ) = 0. 3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя и кулоновского центра на трехмерной сфере В заключении рассмотрим одну задачу о движении заряженной частицы в поле магнитного полюса (монополя) и кулоновского центра, которая изучалась в 19-ом веке Биркеляндом в связи с проблемой северных сияний — разумеется, в евклидовом варианте. Пуанкаре рассмотрел задачу о монополе в R3 , указал соответствующий векторный потенциал, и то, что траектории частицы являются геодезическими на конусе. Аппель добавил в предыдущую постановку кулоновский центр и показал, что на развертке конуса частица описывает конические сечения [2]. Обобщим эти наблюдения на S 3 , напомнив предварительно евклидов случай. Заметим также, что хотя в этой задаче также сохраняется аналогия с движением шарового волчка, все уравнения и результаты удобно представлять в обычных сферических координатах. Штермер рассмотрел движение заряженной частицы в поле магнитного диполя, как более реалистичной модели магнитного поля Земли. Полученные им уравнения оказались неинтегрируемыми, однако, пытаясь решать их


343

численно, Штермер предложил свой метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, носящий его имя. В случае искривленного пространства задача Штермера также не является интегрируемой. Плоское пространство. Функция Лагранжа, описывающая движение заряженной частицы в R3 под действием монополя и кулоновского центра, имеет вид ˙ − γ cos θψ˙ + α , L = 1 (r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 sin2 θψ) r 2

(11.17)

где r, θ, ψ — сферические координаты в R 3 , e — заряд частицы, γ — интенсивность монополя, α — заряд кулоновского центра. Для частицы сохраняется вектор обобщенного момента M = r × r˙ − γ r , (11.18) |r | а частица движется по конусу M , r = const. Выберем систему коор|r |

динат, для которой ось Oz направлена вдоль M , при этом θ = θ0 = const,

θ˙ = 0.

(11.19)

Функция Лагранжа приобретает вид L = 1 (r˙ 2 + r2 sin2 θ0 ψ˙ 2 ) − γ cos θ0 ψ˙ + α r. 2

(11.20)

Переменная ψ — циклическая, ей соответствует интеграл ∂L = pψ = |M |. ∂ψ С помощью интеграла энергии траектория может быть найдена при помощи квадратуры dr = c sin θ0 dψ, r 2 2αq c 2 r 2E + r − 2 r (11.21) (pψ + γ cos θ0 ) c= , sin θ0 где E — величина энергии. Определив новую угловую переменную ϕ = sin θ0 ψ,

(11.22)

344

Глава 5

получим уравнение траектории в виде r=

p , 1 + e cos(ϕ − ϕ0 )

p, e, ϕ0 = const.

(11.23)

Если считать ϕ и r полярными координатами на плоскости, то уравнение (11.23) задает коническое сечение (эллипс, гиперболу, параболу), причем параметры эллипса p, e зависят лишь от параметров задачи и постоянных интегралов E, c. Геометрический смысл замены (11.22) заключается в том, что выполняется развертка конуса на плоскость. Таким образом, траектория частицы может быть получена следующим образом. Зафиксировав постоянные E, c, мы получим на плоскости (r, ϕ) некоторое коническое сечение. Выберем конус с углом раствора θ0 (на котором лежит траектория частицы), поместим его в фокус эллипса и будем катить без проскальзывания по плоскости — след эллипса на конусе и есть искомая траектория в пространстве. В случае α = 0 (отсутствие кулоновского центра) на плоскости получаются прямые и соответственно геодезические на конусе (задача Пуанкаре). Искривленное пространство. Обобщим приведенную геометрическую интерпретацию на случай движения частиц в искривленном пространстве. Зададим гномоническую проекцию трехмерной сферы S 3 q02 + q 2 = 2 = R = k −1 в трехмерное пространство R3 r = (x1 , x2 , x3 ) по формулам q r=p , 1 − kq 2

(11.24)

где q = (q1 , q2 , q3 ) — вектор, составленный из трех компонент четырехмерного вектора q . Выберем сферические координаты в R 3 x1 = r sin θ cos ψ,

x2 = r sin θ sin ψ,

x3 = r cos θ

и представим в них функцию Лагранжа L=

αq 1 r˙ 2 2 ˙2 2 2 + r θ + r sin θ ϕ ˙ − γR cos θ0 ψ˙ + r . 2 2 2(1 + kr ) 1 + kr

Векторный интеграл обобщенного момента имеет вид M =

1 r × r˙ − γ r . |r | 1 + kr 2

§ 12. Новый интеграл четвертой степени

345

Выбирая систему координат, в которой вектор M направлен вдоль оси Oz, получим θ = θ0 = const, θ˙ = 0. (11.25) Используя циклический интеграл pψ = ∂L и интеграл энергии с уче∂ψ том (11.25), получим 1 + kr2 2 r˙ 2 E=1 + c −α r, 2 (1 + kr2 )2 r2

c=

pψ + γ cos θ0 , sin θ0

что позволяет определить уравнение траектории dr = c sin θ0 dψ. r 2 2qα r2 2E − kc2 + r − c2

(11.26)

r

В переменных (r, ψ), где ϕ = sin θ0 ψ, решение уравнения (11.26) снова определяет коническое сечение вида (11.23). Траектория также получается намоткой линии (11.23) на конус с центром в одном из фокусов. Аналогично задача Пуанкаре (α = 0) приводит к геодезическим на конусе. Можно повторить все рассуждения для пространства Лобачевского.

§ 12. Новый интеграл четвертой степени уравнений Кирхгофа и Пуанкаре – Жуковского Недавно В. В. Соколов указал новый случай интегрируемости уравнений Кирхгофа (§ 1 гл. 3) с дополнительным интегралом четвертой степени. В этом параграфе мы в наиболее естественной форме указываем его обобщение на пучок скобок Пуассона вида {Mi , Mj } = εijk Mk ,

{Mi , γj } = εijk γk ,

{γi , γj } = xεijk Mk ,

(12.1)

с функциями Казимира F1 = x(M , M ) + (γ, γ),

F2 = (M , γ).

(12.2)

На этом пучке мы рассматриваем систему с квадратичным гамильтонианом H = 1 (AM , M ) + (BM , γ) + 1 (Cγ, γ), 2 2

346

Глава 5

где матрица A всегда может быть выбрана диагональной A= diag(a 1 , a2 , a3 ), C = kcij k — симметричной, а матрица B = kbij k, вообще говоря, является произвольной (с помощью линейных преобразований, сохраняющих скобку (12.1), B можно привести к симметричной, что иногда не совсем удобно). При x = 0 получаются классические уравнения Кирхгофа, при x = 1 — уравнения Пуанкаре на so(4), описывающие движение тела с полостями, заполненными вихревой несжимаемой жидкостью. Гамильтониан и дополнительный интеграл нового интегрируемого случая на пучке скобок (12.1) имеют вид H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + M3 (αγ1 + βγ2 ) − 1 (α2 + β 2 )γ32 , α, β = const 2 2 (12.3) F = k 1 k2 , k 1 = M 3 , k2 = M3 (M12 + M22 + M32 + x(βM1 − αM2 )2 )+

2(αM1 + βM2 )(M1 γ1 + M2 γ2 ) + 2αM32 (αγ1 + βγ2 )+ M3 (αγ1 + βγ2 )2 − (α2 + β 2 )(2M1 γ1 + 2M2 γ2 + M3 γ3 ).

(12.4)

Любопытно отметить, что для функций k1 , k2 выполнены равенства k˙ 1 = −2(βγ1 − αγ2 )k1 ,

k˙ 2

= 2(βγ1 − αγ2 )k2 ,

(12.5)

т. е. k1 = 0 и k2 = 0 являются инвариантными соотношениями. Отметим, что если линейные соотношения типа k1 = M3 = 0 существуют, например, для случаев типа Лагранжа и Гесса (имеются в виду уравнения Эйлера – Пуассона), то кубичные инвариантные соотношения в динамике твердого тела, видимо, совсем не рассматривались. Приведем еще одну форму для дополнительного интеграла (12.4), проясняющую некоторую выделенность нулевого значения интеграла площадей F = M32 M12 + M22 + M32 + x(αm2 − βM1 )2 + 2α(M3 γ1 − M1 γ3 )+ + 2β(M3 γ2 − M2 γ3 ) + (αγ1 + βγ2 )2 + (α2 + β 2 )γ32 + + 2M3 (αM1 + βM2 − (α2 + β 2 )γ3 )(M , γ).

Остановимся вкратце на явном вычислении показателей Ковалевской. Нетрудно проверить, что динамическая система с гамильтонианом (12.3) и скобками (12.1) имеет ровно два однопараметрических семейства решений вида Mi = Xi t−1 , γi = Yi t−1 . Первое из них задается формулами X3 = Y3 = 0,

Y12 + Y22 = 0,

2αY2 − 2βY1 = 1,

x1 = 2X2 (αY1 + βY2 ).

§ 12. Новый интеграл четвертой степени

347

Для второго семейства решений

X1 = αY3 , X2 = βY3 , X3 = −αY1 − βY2 , 1 + x(α2 + β 2 ) Y12 + Y22 + Y32 = x , 2αY2 − 2βY1 = −1. 4

Для обоих семейств показатели Ковалевской одинаковы и равны {−1, 0, 1, 2, 2, 2}, что вполне согласуется с тестом на отсутствие других особенностей на комплексной плоскости времени, кроме полюсов. Исторический комментарий. Интегралы четвертой степени для уравнений Кирхгофа были найдены С. А. Чаплыгиным (на e(3)) при дополнительном условии (M , γ) = 0 [175]. На so(4) соответствующее (частное) семейство было указано О. И. Богоявленским [21], случай общей интегрируемости с интегралом четвертой степени был указан М. Адлером и П. ван Ме¨ рбеке [185]. Случай (12.3) на пучке скобок не связан ни с одним из этих случаев и является существенно новым. Прежде всего это связано с природой дополнительного интеграла, который является произведением двух инвариантных соотношений. Отметим также, что для случаев Ковалевской и Богоявленского [175, 21] дополнительный интеграл представим в виде F = k12 + k22 , где k1 , k2 являются квадратичными функциями, их совместный уровень определяет некоторое инвариантное многообразие. Для случая Ковалевской оно соответствует решению Делоне. Условия существования алгебраических интегралов уравнений Кирхгофа изучал Р. Лиувилль, который опубликовал в докладах Парижской Академии наук некоторые необходимые условия [245] (кстати, как и в гамильтониане (12.3) при bij 6= 0, i 6= j), пообещав в последующих работах привести соответствующие интегралы степени более второй. Однако этих публикаций не последовало. В недавних исследованиях алгебраической интегрируемости заранее предполагалось, что все матрицы A, B, C являются диагональными [155]. В работах [98, 27] относительно аналогичной интегрируемости уравнений Кирхгофа предполагается, что матрица A определяется матрицей инерции I реального твердого тела A = I−1 , а все моменты инерции являются различными. Только в этом случае существуют неустойчивые периодические решения (перманентные вращения) и сепаратрисы к ним, играющие ключевую роль в соответствующих доказательствах.

ЛИТЕРАТУРА [1] Алексеев В. М. Обобщенная пространственная задача двух неподвижных центров. Классификация движений. Бюллетень ин-та теор. астрономии, 1965, т. 10, №4, с. 241–271. [2] Аппель П. Теоретическая механика. В 2-х т., М., Физматгиз, 1960, 515 с., 487 с. Пер. с франц.: Appell P. Traité de mécanique rationnelle. Paris, Gauthier–Villars, ed. 4-th, v. 1, 1919, 619 p.; v. 2, 1924, 575 p. [3] Аппельрот Г. Г. По поводу § 1 мемуара С. В. Ковалевской «Sur le problème de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe». Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1892, т. 16, вып. 3, с. 483–507. [4] Аппельрот Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1910, т. 27, вып. 3, с. 262–334, т. 27, вып. 4, с. 477–561. [5] Арнольд В. И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и идеальной жидкости. Усп. мат. наук, 1969, т. 24, №3, с. 225–226. [6] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. M.: Наука, 1991. [7] Арнольд В. И, Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, 168 с. [8] Арнольд В. И, Козлов В. В, Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 1985, т. 3, 304 c. [9] Архангельский Ю. А. Аналитическая динамика твердого тела. M.: Наука, 1977. [10] Баркин Ю. В., Борисов А. В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа и родственных задач динамики твердого тела. Депонировано в ВИНИТИ, №5037–В89, M., 1989. [11] Белецкий В. В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. М.: Наука, 1965.

Литература

349

[12] Биркгоф Г. Гидродинамика. М. – Л.: Гостехиздат, 1954. Пер. с англ.: Birkhoff G. Hydrodynamics. A study in logic, fact and similitude. Princeton Univ. Press, 1960, 244 с. [13] Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. Ижевск, Изд-во РХД, 1999. Пер. с англ.: Birkhoff G. Dynamical systems. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 1927, v. 9, 296 p. [14] Бобенко А. И. Уравнения Эйлера на алгебрах e(3) и so(4). Изоморфизм интегрируемых случаев. Функ. ан. и его прил., 1986, т. 20, №1, с. 64–66. [15] Бобылев Д. К. Об одном частном решении дифференциальных уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1892, т. 16, вып. 3, с. 544–581. [16] Богоявленский О. И. Интегралы четвертой степени для уравнений Эйлера на шестимерных алгебрах Ли. Докл. АН СССР, 1983, т. 273, №1, с. 15–19. [17] Богоявленский О. И. Интегрируемые задачи динамики связанных твердых тел. Изв. АН СССР, сер. матем., 1992, т. 56, №6, с. 1139– 1164. [18] Богоявленский О. И. Интегрируемые случаи динамики твердого тела и интегрируемые системы на сферах S n . Изв. АН СССР, сер. матем., 1985, т. 49, №5, с. 899–915. [19] Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики. Изв. АН СССР, сер. матем., 1984, т. 48, №5, с. 883–938. [20] Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на шестимерных алгебрах Ли. Докл. АН СССР, 1983, т. 268, №1, с. 11–15. [21] Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991, 320 с. [22] Болотин С. В. Вариационные методы построения хаотических движений в динамике твердого тела. Прикл. Мат. Мех., 1992, т. 56, №2, с. 230–240. [23] Болсинов А. В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейства функций в инволюции. Изв. АН СССР, сер. матем., 1991, т. 55, №1, с. 68–92.

350


[24] Болсинов А. В., Борисов А. В. Представление Лакса и согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли. Мат. заметки (в печати). [25] Болсинов А. В. Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, т. 1, 2. [26] Борисов А. В. К задаче Лиувилля. В сб. Численное моделирование в задачах механики, М.: МГУ, 1991, с. 110–118. [27] Борисов А. В. Необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа, Reg. & Chaot. Dyn., 1996, v. 1, №2, p. 61–73. [28] Борисов А. В., Емельянов К. В. Неинтегрируемость и стохастичность в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во Удм. ун-та, 1995. [29] Борисов А. В., Мамаев И. С. Адиабатический хаос в динамике твердого тела. Reg. & Ch. Dyn., 1997, т. 2, №2, с. 65–78. [30] Борисов А. В., Мамаев И. С. Нелинейные скобки Пуассона и изоморфизмы в динамике. Reg. & Ch. Dyn., 1997, т. 2, №3/4, с. 72–89. [31] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 464 с. [32] Борисов А. В., Мамаев И. С. Скобки Дирака в геометрии и механике. В кн. Дирак П. Лекции по теоретической физике. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, с. 191–230. [33] Борисов А. В., Мамаев И. С. Случай Гесса в динамике твердого тела. Прикл. Мат. Мех., 2001 (в печати). [34] Борисов А. В., Мамаев И. С., Холмская А. Г. Случай С. В. Ковалевской и новые интегрируемые системы динамики. Вестн. молодых ученых, СПб, Прикл. Мат. Мех., 2000, №4, с. 13–25. [35] Борисов А. В., Симаков Н. Н. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела. Reg. & Ch. Dyn., 1997, т. 2, №1, с. 64–75. [36] Борисов А. В., Федоров Ю. Н. О двух видоизмененных интегрируемых задачах динамики. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1995, №6, с. 102–105. [37] Борисов А. В., Цыгвинцев А. В. Показатели Ковалевской в классической динамике I, II. Reg. & Ch. Dyn., 1996, т. 1, №1, с. 29–37. [38] Борисов А. В., Цыгвинцев А. В. Метод Ковалевской в динамике твердого тела. Прикл. Мат. Мех., 1997, т. 61, №1, с. 30–36. [39] Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков, ОНТИ-НКТП, 1934. Пер. с нем.: Born M. Vorlesungen u¨ ber Atommechanik.


351

[40] Буров А. А. О неинтегрируемости уравнений движения гиростата в кардановом подвесе. В сб: Зад. иссл. уст. и стабил. движ., М.: ВЦ АН СССР, 1986, с. 3–10. [41] Буров А. А. О частном интеграле в задаче о движении тяжелого твердого тела, подвешенного на стержне. В сб: Зад. иссл. уст. и стабил. движ., М.: ВЦ АН СССР, 1986, с. 93–95. [42] Буров А. А. О частных интегралах уравнений движения твердого тела по гладкой горизонтальной плоскости. В сб: Зад. иссл. уст. и стабил. движ., М.: ВЦ АН СССР, 1985, с. 118–121. [43] Буров А. А., Карапетян А. В. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого твердого эллипсоида по гладкой плоскости. Прикл. Мат. Мех., 1985, т. 49, №3, с. 501–503. [44] Буров А. А., Рубановский В. Н. Об одном решении уравнений типа Кирхгофа – Клебша. В сб: Зад. иссл. уст. и стабил. движ., М.: ВЦ АН СССР, 1987, с. 83–86. [45] Буров А. А., Субханкулов Г. И. О существовании дополнительных интегралов уравнений движения намагничивающегося твердого тела в идеальной жидкости при наличии магнитного поля. Прикл. Мат. Мех., 1984, т. 48, №5, с. 745–749. [46] Вебстер А. Г. Механика материальных точек, твердых, упругих и жидких тел. Лекции по математической физике. М.-Л.: ГТТИ, 1933, 634 с. Пер. с англ.: Webster A. G. The Dynamics of particles and of rigid, elastic and fluid bodies. Leipzig, Teubner, 1925. [47] Веселов А. П. Интегрирование стационарной задачи для классической спиновой цепочки. Теор. и мат. физ., 1987, т. 71, №1, с. 154–159. [48] Веселов А. П. Интегрируемые системы с дискретным временем и разностные операторы. Функ. ан. и его прил., 1988, т. 22, №2, с. 1–13. [49] Веселов А. П. Параметрический резонанс и геодезические на эллипсоиде. Функ. ан. и его прил., 1992, т. 26 с. 74–75. [50] Веселов А. П. Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на so(4). Докл. АН СССР, сер. мат., 1982, т. 270, №6, c. 1298–1300. [51] Веселов А. П. Уравнения Ландау – Лифшица и интегрируемые системы классической механики. Докл. АН СССР, 1983, т. 270(5), с. 1094–1097.

352


[52] Веселов А. П., Веселова Л. Е. Потоки на группах Ли с неголономной связью и интегрируемые неголономные системы. Функц. анализ и его приложения, 1986, т. 20, вып. 4, с. 65–66. [53] Веселов А. П., Мозер Ю. Дискретные варианты некоторых классических интегрируемых систем и факторизация матричных полиномов. В кн. Ю. Мозер Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, с. 255–294. Пер. с англ.: Moser J., Veselov A. P. Disctete version of some classical integrable systems and factorisation of matrix polinomials. Comm. Math. Phys., 1991, v. 139, p. 217–243. [54] Веселов А. П., Новиков С. П. Скобки Пуассона и комплексные торы. Труды МИАН СССР, 1984, т. 165, с. 49–61. [55] Веселова Л. Е. О двух задачах динамики твердого тела. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1986, №5, с. 90–91. [56] Веселова Л. Е. О динамике твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1985, №2, с. 64–67. [57] Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. Пер. с англ.: J. Wittenburg. Dynamics of Systems of Rigid Bodies. B. G. Teubner, Stuttgart, 1977. [58] Герц Г. Принципы механики изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР, 1959, 386 с. Пер с нем. Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik in neuen Zusammenhange dargestellt. Ges. Werke, Bd. 3, Leipzig, Barth., 1910, 312 s. [59] Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: ГИТТЛ, 1953. [60] Горр Г. В., Илюхин А. А., Ковалев А. М., Савченко А. Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. Киев: Наукова думка, 1984, 288 с. [61] Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наукова думка, 1978, 296 с. [62] Горячев Д. Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела. Варшава, 1910, 62 с. [63] Горячев Д. Н. Новые случаи движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Варшавские Университетские Известия, 1915, кн. 3, с. 1–11.


353

[64] Горячев Д. Н. Новые случаи интегрируемости динамических уравнений Эйлера. Варшавские Университетские Известия, 1916, кн. 3, с. 1–13. [65] Горячев Д. Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае A = B = 4C. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1900, т. 21, вып. 3, с. 431–438. [66] Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. В 2-х т. М. – Л.: Издво ин. литер., 1952. Пер. с нем.: R. Grammel. Der Kreisel. Seine theorie und seine anwedungen. Berlin, 1950, Bd. 1,2. [67] Грановский Я. И., Жеданов А. С. Решение доменного типа в анизотропных магнитных цепочках. Теор. и мат. физ., 1987, т. 71, №1, с. 143–153. [68] Грановский Я. И., Жеданов А. С., Луценко И. М. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. I. Осциллятор; II. Проблема Кеплера. Теор. и мат. физ., 1992, т. 91, №2, с. 207–216; №3, с. 396–410. [69] Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Сборник, посвященный памяти С. В. Ковалевской, Изд-во АН СССР, М.-Л., 1940, 186 с. [70] Делоне Н. Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов движения твердого тела около неподвижной точки, данных С. В. Ковалевской. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1892, т. 16, вып. 2, с. 346–351. [71] Депри А. Изучение свободного вращения твердого тела около неподвижной точки с помощью фазовой плоскости. Сб. пр. «Механика», 1968, №2, с. 3–9. Пер. с англ.: A. Deprit Free rotation of a rigid body studied in the phase plane. Amer. J. Phys., 1967, v. 35, №5, p. 424–428. [72] Докшевич А. И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера – Пуассона. Киев: Наукова думка, 1992, 168 с. [73] Домогаров А. С. О свободном движении гиростата. С-Пб, 1893, 175 с. [74] Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы I. Итоги науки и техники, Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 1985, т. 4, с. 179–288. [75] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. т. 1,2, М.: Эдиториал УРСС, 1998.

354


[76] Жуковский Н. Е. Геометрическая интерпретация рассмотренного С. В. Ковалевской случая движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Собр. соч., т. 1, М., 1948, с 294–339 (Изд. 1-е: Сообщение 1.III.1892 на заседании Моск. Мат. Общ-ва, отд. издание: Москва, 1896.) [77] Жуковский Н. Е. О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы. Полн. собр. соч., т. 1, ГТТИ, 1937, с. 490–535. [78] Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью I, II, III. Собр. соч., т. 1, М., 1949, с. 31–152. (Изд. 1-е: Журнал рус. физ.-хим. общества, 1885, т. 17, отд. 1, вып. 6, c. 81–113; вып. 7, с. 145–149; вып. 8, с. 231– 280.) [79] Жуковский Н. Е. Локсодромический маятник Гесса. Собр. соч., т. 1, М., 1948, с. 297–310. (Изд. 1-е: Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1893, т. V, вып. 2, с. 37–45.) [80] Ивин Е. А. Разделение переменных в задаче о движении гиростата. Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1985, №3, с. 69–73. [81] Ивин Е. А. Прямое и сопряженное представление движения связки двух твердых тел. Три новых случая интегрируемости. Сб. Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. под. ред. В.В. Козлова, А. Т. Фоменко, МГУ им. М.В. Ломоносова, 1986, с. 72–77. [82] Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998, 168 с. [83] Картан Э. Интегральные иварианты. Серия РХД, M.: Эдиториал УРСС, т. 1, 1998. (Приложение: Козлов В. В. Интегральные инварианты после Пуанкаре и Картана. с. 218–260) [84] Каток С. Б. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела. Усп. мат. наук, 1972, т. 27, №2, с. 126–133. [85] Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: АН СССР, 1962. Пер. с нем.: Kirchhoff G. R. Vorlesungen u¨ ber mathematische Physik. Mechanik. Leipzig, 1874. [86] Ковалевская С. В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки. в кн. Ковалевская С. В. Научные работы (Классики науки).


355

М., 1948, с. 153–220. (Изд. 1-е: Kowalewsky S. Sur le probléme de la rotation d’un corps solide autor d’un point fixe. Acta. math., 1889, v. 12, №2, p. 177–232.) [87] Ковалевская С. В. Мемуар об одном частном случае задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, когда интегрирование производится с помощью ультраэллиптических функций времени. В кн.: Ковалевская С. В. Научные работы (Классики науки). М., 1948, с. 235–244. (Изд. 1-е: Kowalewsky S. Mémoires sur un cas particulies du probléme de la rotation d’un corps pesant autour d’un point fixe, cú l’integration s’effectue a´ l’aide de fonctions ultraelliptiques du tems. — Mémoires présentés par divers savants a´ l’Académie des seiences de l’Institut national de France, Paris, 1890, v. 31, p. 1–62.) [88] Козлов В. В. Две интегрируемые задачи классической динамики. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1981, №4, с. 80–83. [89] Козлов В. В. Интегрируемые случаи задачи о движении точки по трехмерной сфере в силовом поле с потенциалом четвертой степени. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1985, №3, с. 93–95. [90] Козлов В. В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1985, №6, с. 28–33. [91] Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики. Успехи механики. 1985. т. 8. №3. с. 85–101. [92] Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, 256 стр. [93] Козлов В. В. О падении тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1989, №5, с. 10–16. [94] Козлов В. В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде. Прикл. Мат. Мех., 1995, т. 59, вып. 1, с. 3–9. [95] Козлов В. В. Об устойчивости положений равновесия в нестационарном силовом поле. Прикл. Мат. Мех., 1991, т. 55, №1, с. 12–19. [96] Козлов В. В. О полиномиальных интегралах динамических систем с полутора степенями свободы. Мат. заметки, 1989, т. 45, №4, с. 46–52. [97] Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, Изд-во Удм. ун-та, 1995. [98] Козлов В. В., Онищенко Д. А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. Докл. АН СССР, 1982, т. 266, №6, c. 1298–1300.

356


[99] Козлов В. В., Федоров Ю. Н. Интегрируемые системы на сфере с потенциалом упругого взаимодействия. Мат. заметки, т. 56, 1994, вып. 3, с. 74–79. [100] Колосов Г. В. Заметка о движении твердого тела в несжимаемой жидкости в случаях В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова. Изв. Рос. Акад. наук, 1919, т. 13, c. 711–716. [101] Колосов Г. В. Об одном свойстве задачи Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1901, т. 11, с. 5–12. [102] Колосов Г. В. О некоторых видоизменениях начала Гамильтона в применении к решению вопросов механики твердого тела. С-Пб, 1903. [103] Колосов Г. В. Траектория, описанная концом главного момента количеств движения в задаче С. В. Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела. Записки Унив. Юрьев, 1904, 1, с. 1–3. [104] Комаров И. В. Базис Ковалевской для атома водорода. Теор. и мат. физ., 1981, т. 47, №2, c. 67–71. [105] Комаров И. В., Кузнецов В. Б. Обобщенный гиростат Горячева – Чаплыгина в квантовой механике. Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика, 1987, Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. IX, с. 134–141. [106] Комаров И. В., Кузнецов В. Б. Квазиклассическое квантование волчка Ковалевской. Теор. и мат. физ., 1987, т. 73, №3, c. 335–347. [107] Котельников А. П., Фок В. А. Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике. М. – Л.: ГИТТЛ, 1950. [108] Кошляков В. Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. М.: Наука, 1985, 288 с. [109] Кузьмина Р. П. О бифуркационном множестве в задаче о движении тяжелого тела с неподвижной точкой. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1982, №1, с. 3–10. [110] Лагранж Ж. Аналитическая механика. т. 2, М.–Л.: ГИТТЛ, 1950, 440 c. Пер. с франц.: Lagrange J. L. Mécanique analytique. Oeuvres de Lagrange, v. 12, Paris, Gauthier–Villars, 1889, 391 p. [111] Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947, 928 с. Пер. с англ.: Lamb H. Hydrodynamics. ed. 6-th, N. Y. Dover publ., 1945.


357

[112] Ламб Г. Теоретическая механика. т. 3, ОНТИ НКТП СССР, 1936, т. 3, 380 c. Пер. с англ.: Lamb H. Highner mechanics. Cambridge Univ. Press, 1929. [113] Леви – Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механки. т. II, ч. 2, М. – Л.: Изд-во ин. литер., 1951. Пер. с итальян.: Levi – Civita T., Amaldi U. Lezioni di meccanica razionale. Bologna, v. 2, 1927. [114] Лерман Л. М. Неинтегрируемость и стационарные волны сложного профиля для уравнений Ландау – Лифшица. Письма в ЖЭТФ, 1990, т. 51, вып. 6, с. 336–339. [115] Ляпунов А. М. Новый случай интегрируемости уравнений движения твердого тела в жидкости. Собр. соч., т. 1, М., 1954, с. 320–324. (Изд. 1-е: Сообщ. Харьк. мат. общ-ва, сер. 2, 1893, т. 4, №1-2, с. 81-85.) [116] Ляпунов А. М. Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Собр. соч., т. 1, М., 1954, с. 402–417. (Изд. 1-е: Сообщ. Харьк. мат. общ-ва, сер. 2, 1894, т. 4, №3, с. 123-140.) [117] Ляпунов А. М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. Собр. соч., т. 1, М., 1954, с. 276–319. (Изд. 1-е: Сообщ. Харьк. мат. общ-ва, сер. 2, 1888, т. 1, №1-2, с. 7-60.) [118] Мамаев И. С. Аналитические и численные исследования гамильтоновых систем на алгебрах Ли. Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, Москва, МГУ им. Ломоносова, 1998, 75 c. [119] Магнус К. Гироскоп. Теория и приложения. М.: Мир, 1974, 526 с. Пер. с нем.: Magnus K. Kreisel. Theorie und Anwendungen. Spriger-Verlag, 1971. [120] Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. М.-Л.: Изд-во ин. литер., 1951, 468 с. Пер. с англ.: Macmillan W. D. Dynamics of rigid bodies. N. Y. London, 1936. [121] Манаков С. В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела. Функ. ан. и его прил., 1976, т. 10, №4, с. 93–94. [122] Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992, 336 c. [123] Маркеев А. П. Об устойчивости плоских движений твердого тела в случае Ковалевской. Прикл. Мат. Мех., 2001, №1, с. 51-58.

358


[124] Маркеев А. П. Теоретическая механика. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 570 с. [125] Мельхиор П. Физика и динамика планет. т. 4, М., Мир, 1976, 485 с. (Пер. с франц.: Melchior P. Physique et dynamique planétaires. v. 4, Vander-éditeur, 1973.) [126] Мерцалов Н. И. Задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку при A = B = 4C и интеграле площадей k 6= 0. Изв. АН СССР, Отд. тех. наук, 1946, №5, с. 697–701. [127] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли. в кн. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1979, вып. 19, с. 3–94. [128] Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. В кн. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, т. 1. Пер. с англ.: Moser J. Integrable Hamiltonian system and spectral theory. Lezioni Fermiane, Piza, 1981. [129] Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965, 440 с. [130] Нейштадт А. И. Об эволюции вращения твердого тела под действием суммы постоянного и диссипативного возмущающих моментов. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1980, №6, c. 30–36. [131] Некрасов П. А. Аналитическое исследование одного случая движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1896, т. 18, вып. 2, с. 161–274. [132] Нехорошев Н. Н. Переменные действие-угол и их обобщения. Труды Моск. Мат. Общ-ва, 1972, т. 26, с. 181–198. [133] Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Усп. мат. наук, 1982, т. 37, №5(227), с. 3–49. [134] Оден М. Вращающиеся волчки. Курс интегрируемых систем. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 216 с. Пер. с англ.: Audin M. The spinning tops. A course on integrable systems. Cambridge Univ. Press, 1997. [135] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989, 638 с. Пер. с англ.: Olver P. Applications of Lie groups to differential equations. Springer, 1986.


359

[136] Ольшанецкий М. А., Переломов А. М., Рейман А. Г., Семенов-ТянШанский М. А. Интегрируемые системы II. Итоги науки и техники, Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 1987, т. 16, с. 86–226. [137] Орехов В. И. Топологический анализ натуральных систем с квадратичными интегралами. Прикл. Мат. Мех., 1985, т. 49, №1, с. 10–15. [138] Орешкина Л. Н. Объединение двух задач динамики твердого тела, Изв. АН СССР, сер. Мех. тв. тела, 1986, №5, с. 36–43. [139] Орешкина Л. Н. О необходимых и достаточных условиях существования четвертого квадратичного интеграла в некоторых задачах динамики. Мех. тв. тела, Респ. межвуз. сборник, Киев, 1988, вып. 20, с. 18–29. [140] Ошемков А. А. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационная диаграмма интегрируемых случаев динамики твердого тела на so(4). Усп. мат. наук, 1987, т. 47, №6, с. 199–200. [141] Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990, 240 с. [142] Переломов А. М. Представление Лакса для систем типа С. Ковалевской. Функ. ан. и его прил., 1982, т. 16, №2, с. 80–81. Англ. вариант: Perelomov A. M. Lax representation for the systems of Kovalevsky type. Comm. Math. Phys., 1981, p. 239–241. [143] Погосян Т. И., Харламов М. П. Бифуркационные множества и интегральные многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил. Прикл. Мат. Мех., 1979, т. 43, №3, с. 419–428. [144] Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн. Избранные труды, т. 1, М.: Наука, 1971. Пер. с франц.: Poincaré H. Le méthodes nouvelles de la mécanique célesta. Paris, Gauthier-Villars, 1892. [145] Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. М.: Наука, 1983, т. 2, 544 с. Пер. с англ.: Routh E. J. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Dover Publ. New York, v. 2. [146] Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли. Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 95, 1980, с. 3–54. [147] Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений. Функ. ан. и его прил., 1988, т. 22, №2, с. 87–88.

360


[148] Рубановский В. Н. Применение метода малого параметра к уравнениям движения тела в жидкости, Вест. МГУ, сер. мат. мех., 1967, №3, с. 80–87. [149] Рубановский В. Н. Новые случаи интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела в жидкости. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1968, №2, с. 99–106. [150] Рубановский В. Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений. Теор. и приложна механика, 1974, т. 5, №1, с. 67–79. [151] Рубановский В. Н. О квадратичных интегралах уравнений движения твердого тела в жидкости. Прикл. Мат. Мех., 1988, т. 52, №3, c. 402–414. [152] Рубановский В. Н., Самсонов В. А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988. [153] Румянцев В. В. К динамике твердого тела, подвешенного на струне. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1983, №4, с. 5–15. [154] Румянцев В. В. Об уравнениях Пуанкаре – Четаева. Прикл. Мат. Мех., 1994, т. 58, №3, c. 3–15. [155] Садетов С. Т. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа, Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1990, №3, с. 56–62. [156] Самсонов В. А. О вращении твердого тела в магнитном поле. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1984, №4, с. 32–34. [157] Соколов В. В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа, Теор. и мат. физика, 2001 (в печати). [158] Сретенский Л. Н. О некоторых случаях интегрирования уравнений движения гиростата. Докл. АН СССР, Механика, 1963, т. 149, №2, c. 292–294. [159] Сретенский Л. Н. О некоторых случаях движения тяжелого твердого тела с гироскопом. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1963, т. 149. №2. c. 292–294. [160] Стеклов В. А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков, 1893, 234 с. [161] Стеклов В. А. Один случай движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1896, т. 8, вып. 1, с. 19–21.


361

[162] Стеклов В. А. О некоторых возможных движениях твердого тела в жидкости. Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, антропологии и этнографии, 1895, т. 7, с. 10–21. [163] Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1946, 655 с. [164] Татаринов Я. В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1974, №6, с. 99–105. [165] Татаринов Я. В. Частотная невырожденность волчка Лагранжа и уравновешенного гиростата в кардановом подвесе. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1987, №4, с. 30–36. [166] Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. Изд-во Факториал, Удм. ун-т, 1995, 446 с. [167] Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 584 с. Пер. с англ.: Whittaker E. T. A treatise on the analytical dynamics. ed. 3-d, Cambridge Univ. Press., 1927. [168] Федоров Ю. Н. Представления Лакса со спектральным параметром, определенном на накрытиях гиперэллиптических кривых. Мат. заметки, 1993, т. 54, №1, с. 94–109. [169] Фок В. А. Атом водорода и неевклидова геометрия. Изв. АН СССР, отд. мат. и естеств. наук, 1935, №2, с. 169–188. [170] Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. [171] Харламов П. В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверхностью. ПМТФ, 1963, №4, с. 17–29. [172] Харламова Е. И. О движении твердого тела вокруг неподвижной точки в центральном ньютоновом поле. Известия Сибирского отделения АН СССР, 1959, №6, с. 7–17. [173] Чаплыгин С. А. Геометрическая интерпретация движения в жидкости тела винтовой симметрии. Собр. соч., т. 3, М.-Л.: ГИТТЛ, 1950, с. 288–291. [174] Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 125–132. (Изд. 1-е: Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1904, т. 12, вып. 1, с. 1–4.)

362


[175] Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 337–346. (Изд. 1-е: Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1903, т. 11, вып. 2, с. 7–10.) [176] Чаплыгин С. А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости. Полн. собр. соч., т. 1, 1933, с. 133–150. [177] Чаплыгин С. А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости. Собр. сочинений, т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 312–336. [178] Чаплыгин С. А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 194–311. (Изд. 1-е: Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1897, т. 20, вып. 1, с. 115–170; вып. 2, с. 173–246.) [179] Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 76–101. (Изд. 1-е: Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1903, т. 24, вып. 1, с. 139–168.) [180] Чаплыгин С. А. Характеристическая функция в динамике твердого тела. (Сообщено 19 дек. 1900 г. на Моск. Мат. Общ-ве) Собр. соч., т. 3, М.-Л.: ГИТТЛ, 1950, с. 260–282. [181] Четаев Н. Г. Об уравнениях Пуанкаре. Прикл. Мат. Мех., 1941, т. 5, №2, с. 253–262. [182] Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1996. Пер. с нем.: Charlie C. L. Die Mechanik des Himmels. Walter de Gruyter & Co, 1927. [183] Якоби К. Лекции по динамике. М. – Л., 1936, 272 с. Пер. с нем.: Jacobi C. G. J. Vorlesungen u¨ ber Dynamik. Berlin, G. Reimer, 1884, 300 S. [184] Яхья Х. М. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1987, №4, с. 88–90. [185] Adler M., van Moerbeke P. A new geodesic flow on so(4). Probability, statistical mechanics and number theory. Advances in mathematics supplementary studies, 1986, v. 9, p. 81–96. [186] Adler M., van Moerbeke P. Geodesic flow on so(4) and intersection of quadrics. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1984, v. 81, p. 4613–4616. [187] Adler M., Moerbeke P. van. The algebraic integrability of geodesic flow on so(4), Invent. Math., 1982, v. 67, p. 297–331. [188] Adler M., van Moerbeke P. The Kowaslewski’s and Henon – Heiles motion as Manakov geodesic flow on SO(4) — a two-dimensional family of Lax pairs. Comm. Math. Phys., 1988, v. 113, №4, p. 659–700.


363

[189] Amperé A. M. Sur quelques nouvelles propriétés des axes permanents de rotation des corps et des plans directeurs de cas axes. Mém. Acad. Sci. Paris, 1921–1822, v. 5., p. 86–152. [190] Bechlivanidis C., van Moerbeke P. The Goryachev – Chaplygin top and the Toda lattice. Comm. Math. Phis, 1987, v. 110, p. 317–324. [191] Benvenuti P., Balli R. Risolubilita per quadrature del problema del moto di un solido soggeto a forze di potenza nulla. Atti. Acc. Naz., Linsei Rend., Sci. fis. math. e natur., 1974, v. 56, p. 1–12. [192] Blaschke W. Nicht-Euklidische Geometrie und Mechanik. I, II, III, Hamburger Mathematische Einrelsсhriften, 1942, Bd. 34, S. 45–47. [193] Bobenko A. I., Kuznetsov V. B. Lax representation and new formulae for the Gorjachev – Chaplygin top. J. Phys. A, 1988, v. 21, p. 1999–2006. [194] Bobenko A. I., Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalisations and explicit solutions. Comm. Math. Phys., 1989, v. 122, №2, p. 321–354. [195] Borisov A. V., Mamaev I. S. Some Comments to the Paper of Perelomov A. M. A note on geodesics on ellipsoid. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №1, p. 92–94. [196] Borisov A. V., Mamaev I. S. Integrable nonholonomic problems on body rolling on a surface. Reg. & Ch. Dyn. (в печати). [197] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kholmskaya A. G. Kovalevskaya top and generalizations of integrable systems. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 6, №1, p. 1–16. ¨ [198] Brun F. Rotation kring fix punkt. Ofversigt at Kongl. Svenska Vetenskaps Akad. Förhadl. Stokholm, 1893, v. 7, p. 455–468. [199] Burov A. A., Motte I., Stepanov S. Ya. On motion of rigid bodies on a spherical surface. Reg. & Ch. Dyn., №3, 4, p. 61–66. [200] Chernoivan V. A., Mamaev I. S. The restricted two-body problem and the Kepler problem in the constant curvature space. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, v. 4, №2, p. 112–124. ¨ [201] Clebsch A. Uber die Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit. Math. Annalen, Bd. 3, 1871, S. 238–262. [202] Deryabin M. V. On asymptotics of the solution of Chaplygin equation, Reg. & Chaot. Dyn., 1998, т. 3, №1, с. 91–97.

364


[203] Devaney R. L. Transversal homoclinic orbits in an integrable system. Amer. J. Math., 1978, v. 100, №3, p. 631–642. [204] Dullin H. R., Richter P. H., Veselov A. P. Action variables of the Kovalevskaya top. Reg. & Ch. Dyn., 1998, v. 3, №3, p. 18–26. [205] Dullin H. R., Richter P. H., Juhnke M. Action integrals and energy surfaces of the Kovalevskaya top. Int. J. of Bif. and Chaos, 1994, v. 4, №6, p. 1535–1562. [206] Faye I. On the meromorphic non integrability if Euler’s equations on SO(4). Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №4, p. 477–483. [207] Fedorov Yu. N. Discrete versions of some algebraic integrable systems related to generalized Jacobians. side III —Symmetrics and integrability of difference equations, Sabaudia, 1998, p. 147–160, CRH Proc. Lect. Notes, v. 25, Amer. Math. Soc., Providence, RI2000. [208] Fedorov Yu. N. Integrable systems, Poisson pencils, and hyperelliptic Lax pairs. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №2, p. 171–180. [209] Fedorov Yu. N., Kozlov V. V. A Memoir on integrable systems. Springer, Monographs in Mathematics, 2001 (to appear). [210] Feingold M., Peres A. Regular and chaotic motion of coupled rotators. Physica D, 1983, v. 9, p. 433–438. ¨ [211] Frahm W. Uber gewisse Differentialgleichungen. Math. Annalen, 1875, Bd. 8, S. 35–44. [212] Francoise J. P. Monodromy and the Kovalevskaya top. Astérisque, 1987, 150–151, p. 87–108. [213] Gaffet B. J. A completely integrable Hamiltonian motion on the surface of a sphere. J. Phys. A, 1998, v. 31, p. 1581–1596. [214] Gaffet B. J. An integrable Hamiltonian motion on a sphere: II. The separation of variables. J. Phys. A, 1998, v. 31, p. 8341–8354. [215] Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Chaotic motions and transition to stochasticily in the classical problem of the heavy rigid body with a fixed point. Nuovo Cimento, 1981, v. 61B, №1, p. 1–20. [216] Gavrilov L. Remarks on the equations of heavy gyrostat. Докл. Болг. Ак. Наук, 1989, т. 42, №5, с. 17–20. [217] Gavrilov L., Ouazzani-Jamil M., Caboz R. Bifurcation diagrams and Fomenko’s surgery on Liouville tori of the Kolossoff potential U = ρ+ ρ1 − − k cos ϕ. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4 serie, 1993, t. 26, p. 545–564.


365

[218] Golo V. L. Nonlinear regimes in spin dynamics of superfluide 3 He. Lett. Math. Phys., 1981, v. 5, p. 155–159. [219] Goriely A., Nizette M. Kovalevskaya Rods and Kovalevskaya Waves. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №1, p. 95–106. [220] Greenhill A. G. On the motion of a top and allied problems in dynamics. Quart. J., 1877, v. XI, p. 176–194. [221] Grioli G. Esistenza e determinazione delle prezessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico. Ann. mat. pura ed appl., 1947, v. 26, fasc. 3–4, p. 271–281. [222] Grioli G. Moto attorno al baricento un giroscopio soggeto a forze potenza nulla. Rend. di Math. e dilla sue appl., Univ. Roma, Ist. Naz. Alta. Math., 1947, №5, 6. [223] Grioli G. Sul moto di un corpo rigido asimmetrico soggeto a forze potenza nulla. Rend. del Sem. Math. Univ. de Padova, 1957, p. 27. [224] Hadeler K. P., Selivanova E. N. On the case of Kovalevskaya and new examples of integrable conservative systems on S 2 . Reg. & Ch. Dyn., 1999, v. 4, №3, p. 45–52. [225] Haine L., Horozov E. A. Lax pair for Kowalewski’s top. Physica D, 1987, v. 29, p. 173–180. [226] Haine L. Geodesic flow on SO(4) and abelian surfaces. Math. Ann., 1983, v. 4, p. 435–472. [227] Halphen G. Sur le mouvement d’un solide dans un liquide. J. math. pure et appl., 1988, v. 4, p. 28–37. ¨ [228] Hess W. Uber die Eulerschen Bewegungsgleichungen und u¨ ber eine neue particulare Lösung des Problems der Bewegung eines starren Körpers un einen festen Punkt. Math. Ann., 1890, Bd. 37, №2, S. 178–180. [229] Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry I. J. Phys. A, v. 12, 1979, №3, p. 309–323. [230] Husson E. Recherche des intégrales algebriques dans le mouvement d’un solide pesant autour d’un point fixe. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, Ser. 2, 1906, v. 8, p. 73–152. [231] Jacobi C. G. J. Sur la rotation d’un corps. Gesammelte Werke, Berlin, 1882, Bd. 2, S. 289–352. [232] Jacobi C. G. J. Second mémoire sur la rotation d’un corps non soumis a´ des forces accélératrices. Gesammelte Werke, Berlin, 1882, Bd. 2, S. 427–467.

366


[233] Kötter F. Bemerkungen zu F. Kleins und A. Sommerfelds Buch u¨ ber die Theorie des Kreisels. Berlin, 1899. [234] Kötter F. Die von Steklow und Liapunow entdeckten intergralen Fälle der Bewegung eines starren Körpers in einer Flüssigkeit. Sitzungsber. K o¨ nig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Bd. 6, 1900, p. 79–87. [235] Kötter F. Sur le cas traité par M-me Kowalevski de rotation d’un corps solide autour d’un point fixe. Acta Math., 1893, v. 17, №1–2. ¨ [236] Kötter F. Uber die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit, I, II. J. Reine Angew. Math., 1892, Bd. 109, S. 51–81, 89–111. [237] Klein F. The mathematical theory of the top. Chelsea, 1896. ¨ [238] Klein F., Sommerfeld A. Uber die Theorie des Kreisels. New York: e. a. Johnson reprint corp., 1965, 966 S. [239] Komarov I. V. A generalization of the Kovalevskaya top. Phys. Lett., 1987, v. 123, №1, p. 14–15. [240] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Cel. Mech. and Dyn. Ast., v. 54, 1992, p. 393–399. [241] Leipnik R. B., Newton T.A. Double strange attractor in rigid body motion with linear feedback control. Phys. Lett., 1981, v. 86(2), №2, p. 63–67. [242] Lerman L. M. More about the structure of integrable waves for the Landau – Lifshits equations. Select Math. from Sov., 1993, v. 12, №4, p. 333–351. [243] Lesfari A. Abelian surfaces and Kowalevski’s top. Ann. Scient. Ec. Nor. Sup., 1988, v. 21, 4 ser., p. 193–223. [244] Liouville J. Développements sur un chapitre dela Méchanique de Poisson. J. Math. Pures et Appl., 1858, v. 3, p. 1–25. [245] Liouville R. Sur le mouvement d’un solide dans un liquide indéfini. Comp. Rend. Ac. Sc., ser. 2, 1896, p. 874–876. [246] Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130–141. [247] Magyari E., Thomas H., Weber R., Kaufman C., Müller G. Integrable and nonintegrable classical spin clusters. Integrability criteria and analytic structure of invariants. Z. Phys. B, Condensed Matter, 1987, v. 65, p. 363–374. [248] Maki K., Ebisawa H. Exact magnetic ringing solutions in superfluid 3 He−B. Phys. Rev., 1976, v. 13B, №7, p. 2924–2930.


367

[249] Marsden J., Ratiu T. S. Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems. Springer-Verlag, 1994. ¨ [250] Minkowski H. Uber die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. Sitzungsber. König. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1888, v. 30, p. 1095–1110. [251] Neumann C. De problemate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultraellipticorum slassem revocatur. Rein. und Agew. Math., 1859, v. 56, p. 46–63. [252] Poinsot L. Théorie nouvelle de la rotation des corps. J. math. pures et appl., 1851, v. 16. [253] Perelomov A. M. A note on geodesics on ellipsoid. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №1, p. 89–94. [254] Perelomov A. M., Ragnisco O., Wojciechowski S. Integrability of two interacting N-dimensianal rigid bodies. Comm. Math. Phys., 1986, v. 102, p. 573–583. [255] Poincaré H. Sur le forme nouvelle des equations de la mecanique. C. R. Acad. Sci. Paris, v. 132, 1901, p. 369–371. Пер. с франц.: Пуанкаре А. Последние работы. Ижевск, Изд-во РХД, 2001, с. 72–73. [256] Poincaré H. Sur la precession des corps deformables. Bull. Astr., 1910, v. 27, p. 321–356. Пер. с франц.: Пуанкаре А. Последние работы. Ижевск, Изд-во РХД, 2001, с. 74–111. [257] Poinsot L. Théorie nouvelle de la rotation des corps. J. math. pures et appl., 1851, v. 16, p. 9–130, p. 289–336. [258] Ramani A., Grammaticos B., Dorizzi B. On the quantization of the Kowalevskaya top. Phys. Lett., 1984, v. 101A, №2, p. 69–71. [259] Reichl L. E. The transition to chaos in conservative classical systems: quantum manifestations. Springer, 1992. [260] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. A new integrable case of the motion of the 4-dimensional rigid body. Comm. Math. Phys., 1986, v. 105, p. 461–472. [261] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. Lax representation with a spectral parameter for the Kowalewski top and its generalizations. Lett. Math. Phys., 1987, v. 14, p. 55–61. [262] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. Reduction of Hamiltonian systems, Lie algebras and Lax equations. I, II. Invent. Math., 1979, v. 54, p. 81–100; 1981, v. 63, p 423–432.

368


¨ [263] Rosochatius E. Uber die Bewegung eines Punktes. Inaugural Dissertation, Univ. Göttingen, Berlin, 1877. [264] Rueb Ad. Specimen inagurale de motu gyratorio corporis rigidi nulle vi acceleratrice sollicitati. Auctore Adolpho, Stephano Rueb, Roterodamonsi (Utrecht), 1834, v. 4, p. 74. ¨ [265] Schottky F. Uber das analytische Problem der Rotation eines starren Körpers in Raume von vier Dimensionen. Sitzungsber. Ko¨ nig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1891, Bd. XIII, S. 227–232. [266] Schwartz F., Steeb W.H. Symmetries and first integrals for dissipative systems. Jorn. Phys. A, Math. Gen. 17, 1984, p. 819–823. [267] Selivanova E. N. New examples of integrable conservative systems on S 2 and the case of Goryachev – Chaplygin. Commun. Math. Phys., 1999, v. 207, p. 641–663. [268] Selivanova E. N. New families of conservative systems on S 2 possessing an integral of fourth degree in momenta. Ann. of Glob. An. and Geom., 1999, v. 17, p. 201–219. [269] Srivastava N., Kaufman C., Müller G., Magyari E., Weber R., Thomas H. Classical spin clasters: integrability and dynamical properties. J. Appl. Phys., 1987, v. 61, №8, p. 4438–4440. [270] Srivastava N., Kaufman C., Müller G., Weber R., Thomas H. Integrable and nonintegrable classical spin clasters. Z. Phys. B, Condensed Matter, 1988, v. 70, p. 251–268. ¨ [271] Staude O. Uber permanente Rotationaxen bei der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt. J. reine und andew. Math, 1894, Bd. 113, H. 4, S. 318–334. [272] Stekloff V. A. Remarque sur un probleme de Clebsch sur le mouvement d’un corps solide dans un liqiude indefini en sur le probleme de M. de Brun. Comp. Rend. Ac. Sc. Paris, 1902, v. 135, p. 526–528. [273] Stekloff V. A. Sur le mouvement d’un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoidale remple par un liquide incompressible en sur les variations des latitudes. Ann. de la fac. des Sci.: de Toulouse, Ser. 3, 1909, v. 1. [274] Tannenberg W. Sur le mouvement d’un corps solide pesont autour d’un point fixe: cas particulier signalé par M-me Kowalewsky. Bordeaux, Gounouilhou, 1898.


369

[275] Tisserand F. Traite de mecanique celeste. Theorie de la figure des corps celestes et de leur mouvement de rotation. Paris, Gauthier-Villars, 1891. [276] Thomson W., Tait P. Treatise on Natural Philosophy. vol. 1, Oxford, 1867, 727 p. [277] Tsiganov A. V. Lax representation for an integrable motion on the sphere with a cubic second invariant. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, v. 4, №3, p. 21–29. [278] Uhlenbeck K. Minimal 2-spheres and tori in S k . Preprint, 1975. [279] Vanhaecke P. Linearising two-dimensional integrable systems and the construction of action-angle variables. Math. Z., 1992, v. 211, p. 265–33. [280] Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes. Acta Math., 1899, v. 22, p. 201–358. ¨ [281] Wangerin A. Uber die Bewegung miteinnander verbundener Körper. Univ.-Schrift Halle, 1889. [282] Weber H. Anwendung der Thetafunktionen zweiter Verändlicher auf Theorie der Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. Math. Ann. 1879, Bd. 14, S. 143–206. [283] Wojciechowski S. Integrable one-particle potentials related to the Neumann system and the Jacobi problem of geodesic motion on an ellipsoid. Phys. Lett. A, v. 107, №3, p. 106–111. ¨ [284] Woude W. Uber die Staudischen Kreiselbewegungen. Math. Z., 1923, Bd. 16, S. 170–172. [285] Yehia H. M. New generalizations of the integrable problems in rigid body dynamics. J. Phys. A: Math. Gen, 1997, v. 30, p. 7269–7275. [286] Yehia H. M. New integrable problems in the dynamics of rigid bodies with the Kovalevskaya configuration. I – The case of axisymmetric forces. Mech. Res. Com., 1996, v. 23, №5, p. 423–427.

АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ Абель Н. Г. 80, 131, 317 Адлер М. 84, 131, 189, 190, 195 Альфан Г. 15, 101, 111, 174 Ампер А. М. 146 Андуайе А. 45, 47, 53, 301 Аппель П. 15, 342 Аппельрот Г. Г. 84, 114, 149, 247 Арнольд В. И. 73, 74 Архимед 72, 269 Бакстер Р. 293 Баргман П. 337 Барнетт С. 288 Бельтрами Е. 337 Бернулли И. 60 Бертран Ж. 329 Бете Г. 293 Бехливанидис К. 312 Биркгоф Г. 185, 279 Биркгоф Дж. 72, 82, 150, 295 Биркелянд Х. 342 Бобенко А. И. 192, 284 Бобылев Д. К. 25, 121, 124, 126, 149 Богоявленский О. И. 176, 189, 196, 198, 212, 316 Болл Р. 184 Болотин С. В. 90 Болсинов А. В. 192 Бонненбергер 101 Борисов А. В. 189, 200, 206 Борн М. 156 Брун Ф. 15, 22, 166, 204, 212, 215 Буров А. А. 251

Ван-дер-Воуде В. 146 Вангерин А. 305 Ванек П. 84 Вебер Г. 172, 174 Вейерштрасс К. 101, 130, 157 Вейль Г. 26 Вейнстейн А. 39 Веселов А. П. 192, 292, 294, 317 Веселова Л. Е. 290 Вильсон К. 292 Вольтерра В. 15, 68, 152, 157 Гаврилов Л. 158 Галилей Г. 336 Гамильтон У. Р. 34, 42, 43, 191, 216 Гаусс К. 42, 263, 314 Гаффе Б. 335 Гейзенберг В. 17, 185, 292 Гельмгольц Г. 15 Герц Г. 106 Гесс В. 89, 94, 97, 100, 240 де Гонкур У. 70 Горячев Д. Н. 25, 89, 129, 132, 137, 212, 219, 221, 225, 226, 288, 296, 297, 319, 336 Граммель Р. 100, 111, 145, 236 Грановский Я. И. 294 Гринхилл А. Г. 97, 100, 256, 260 Гриоли Г. Д. 94, 146 Гюссон Э. 90 Даламбер Ж. Л. 21 Дарбу Г. 31, 82, 99, 101, 111

Авторский указатель

Деваней Р. 172, 324 Делоне Н. Б. 114, 124, 125 Депри А. 45, 53, 57, 301 Дирак П. 28, 54, 75, 210, 292 Дирихле П. Л. 270 Докшевич А. И. 114, 122 Домогаров А. С. 108

371

Кузьмина Р. П. 144 Кэли А. 43, 44, 100, 183

Лагранж Ж. Л. 14, 21, 49, 52, 101, 208, 263, 322 Лакс П. 83, 214 Ламб Г. 170, 171, 181, 268 Ландау Л. Д. 167, 291 Жеданов А. С. 294 Лаплас П. С. 268, 337 Жуковский Н. Е. 15, 22, 68, 131, 152, Лапорте О. 132 181, 182, 185, 243, 270, 274 Леви-Чивита Т. 49, 221 Леггетт А. Дж. 53 Зиглин С. Л. 90, 338 Лежандр А. М. 69, 273 Зоммерфельд А. 47, 108, 256, 323 Лекорню Л. А. 97 Ленин В. И. 22 Ивин Е. А. 161, 162 Ленц Х. Г. 337 Иоахимсталь Ф. 332 Ли С. 32, 221 Лиувилль Ж. 26, 73, 82, 91, 162 К¨енигс Г. 101 Лиувилль Р. 170, 347 К¨еттер Ф. 131, 157, 174 Лифшиц Е. М. 167, 291 Казимир Г. 29, 31 Лобачевский Н. Е. 23, 185, 336 Кардано Д. 70 Лондон Ф. 288 Каток С. Б. 144 Лоренц Е. 259 Кельвин В. 182 Лоттнер Е. 111 Кеплер И. 78, 336 Кирхгоф Г. Р. 15, 22, 60, 87, 97, 164, Любанский Г. 282 Ляпунов А. М. 15, 24, 131, 169, 170 165, 169, 171, 267 Клебш А. Р. Ф. 15, 22, 78, 164, 167, Магнус Г. 237 169, 171, 172, 267, 326 Магнус К. 111, 145 Клейн Ф. 44, 47, 108, 256, 323 Маиевский Н. В. 323 Клиффорд В. 184 Мак-Куллах Дж. 101 Кобб Г. 175 Ковалевская С. В. 10, 14, 23, 81, 83, Мак-Миллан В. Д. 108 Максвелл Дж. К. 101 111, 131, 219, 315 Козлов В. В. 16, 26, 90, 176, 238, 250, Мамаев И. С. 189 Манаков С. В. 184, 187, 188, 312 289, 303, 330, 338 Колосов Г. В. 132, 174, 308, 313, 315 Маркеев А. П. 150 Марков А. А. 131 Комаров И. В. 152, 158, 301 Марсден Дж. 39 Крамерс Х. А. 156 Кузнецов В. Б. 284, 301 Мельников В. К. 321

372


Мельхиор П. 274 Садов Ю. А. 100 ван М¨ербеке П. 84, 131, 189, 190, Самсонов В. А. 289 Семенов-Тян-Шанский М. А. 132, 195, 312 195, 209, 212 Мерцалов Н. И. 132, 134, 150 Сильвестер 101 Минковский Г. 172 Смейл С. 144 Мищенко А. С. 195 Соколов В. В. 169, 189, 345 Мозер Ю. 211, 331 де Спарр 97 Сретенский Л. Н. 152, 288, 301 Н¨етер Э. 221 Нейман К. 78, 80, 167, 265, 294, 324, Стеклов В. А. 15, 25, 72, 121, 124, 126, 149, 166, 169, 170, 188, 238 329 Субханкулов Г. И. 251 Некрасов П. А. 243, 247 Суслов Г. К. 131, 299, 308 Новиков С. П. 191, 317 Оден М. 16, 111 Онищенко Д. А. 176, 250 Остроградский М. В. 263 Ошемков А. А. 192 Паули В. 156, 282 Пенлеве П. 130, 131 Переломов А. М. 132 Пикар Э. 132 Пуанкаре А. 12, 24, 33, 34, 47, 55, 130, 182, 188, 270, 282, 292, 321, 342, 344 Пуансо Л. 11, 21, 94, 95 Пуассон С. Д. 21, 27, 47, 48, 54, 62, 92 Раус Э. Дж. 36, 54, 220, 224 Рейман А. Г. 132, 195, 209, 212 Рикатти Я. П. 243 Риман Б. 83 Родриг О. 42, 43, 216 Росохатиус Е. 211 Рубановский В. Н. 177, 197 Рунге К. 337 Руэб С. 100

Танненберг В. 131 Татаринов Я. В. 144 Тиссеран Ф. 22, 47, 162, 166 Тихомандрицкий М. А. 175 Томсон В. 165 Уиттекер Э. 42, 74, 82, 108 Федоров Ю. Н. 330 Фок В. А. 337 Фоменко А. Т. 195 Фрадкин Е. С. 329 Фрам В. 183, 276 Фуко Л. 65, 69 Фукс И. А. 132 Фурье Ж. Б. 93 Хайне Л. 190, 311, 312 Харин А. О. 338 Харламов М. П. 16 Харламова Е. И. 172, 175 Хилл Дж. У. 168 Хит Р. 184 Хорозов Е. 311, 312 Цыгвинцев А. В. 200


373

Чаплыгин С. А. 15, 25, 71, 72, 75, 83, Штермер К. Ф. М. 343 89, 132, 133, 169, 170, 172, 176, Штуди Э. 47 205, 219, 238, 247, 250, 291, 296, Эйлер Л. 14, 20, 39, 47, 53, 62, 75, 86, 315, 319, 336 94, 208, 321 Четаев Н. Г. 24, 33 Эйнштейн А. 336 Шарлье К. Л. 47 Эрмит Ш. 101 Шоттки Ф. 183, 187, 188, 192, 276, Якоби К. Г. Я. 11, 75, 78, 80, 97, 100, 312 101, 111, 168, 295, 329, 337, 340 Штауде О. 118, 144 Яхья Х. 152, 158, 177, 210, 297 Штеккель П. 82

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелев тор 82 Аксоид неподвижный 41 — подвижный 41 Алгебра Ли 32, 37 — Якоби 337 Алгебраическая интегрируемость 131 Аналогия Кирхгофа 87 — Колосова 313 Апекс 103

Геодезический поток на эллипсоиде 78 Герполодия 96, 99 Гиперэллиптическая квадратура 112 — кривая 81 Гирационный эллипсоид 142, 146, 240 Гироскоп Фуко 65, 69 — в кардановом подвесе 68 — — в осесимметричном поле 236 — — случай Гесса 253 Гиростат 151, 277 Бигамильтоновость 107 Главные оси инерции 50 Бильярд эллиптический 295 Бифуркационная диаграмма 98, 104, Годограф неподвижный 41 114, 133, 154 — подвижный 41 — поверхность 75 Группа Ли 37 Бифуркационный анализ 96 Движение абсолютное 93 Вектор Лапласа – Рунге – Ленца 337 — двоякоасимптотическое 95, 320 — Паули – Любанского 282 — двухчастотное 93 Волчок Максвелла 101 — квазипериодическое 57, 74, 92 — дискретный 295 — периодическое 57 — на гладкой плоскости 67, 235 — стационарное 274 — — случай Гесса 251 — точки по сфере 325 — спящий 110 — — по эллипсоиду 325 — четырехмерный 183, 262, 275 — трехчастотное 93 — шаровой 218, 249, 327 — условно-периодическое 74 — — с диссипацией 261 Диаграмма Смейла 144 Дивизор 83 Гамильтониан 28, 30, 86 Гамильтонова система 30 Естественная каноническая структу— форма 27 ра кокасательного расслоения 37

Предметный указатель

Завихренность 182, 270 Задача Бруна 166, 204, 216 — Гриоли 166 — Кеплера 336 — Неймана 80, 98, 167, 215, 291 — — краевая 265 — Штермера 343 — Якоби 78, 167 — двух центров 338 Закон Гука 88 Изоморфизм линейный 191, 194 Импульс канонический 40 Инвариантная кривая 57 — мера 39, 75 — — стандартная 37 Инвариантное многообразие 30 — соотношение 30, 37 Инвариантный тор 74 Интеграл Иоахимсталя 332 — Ковалевской 112 — Колосова 174 — Лагранжа 52, 54, 227, 231 — импульсивного момента 164, 165 — неавтономный 258 — площадей 86, 223 — полный 77 — циклический 55, 220 Интерпретация Пуансо 95 — Суслова 299 Искривленное пространство 184, 274 Каноническая структура на кокасательном расслоении 37 Канонические координаты 28 Квазиимпульс 36 Квазикоордината 33 Квазискорость 33

375

Кватернионы 42 Класс Аппельрота 114 Контракция 180 Конус Штауде 144 Координаты сфероконические 80, 98 — эллиптические 79 Локсодрома 99, 243 Маятник Фуко 65, 69 — локсодромический 243 Меандровый тор 142, 143 Метод Ковалевской 130, 190, 217 Модель Гейзенберга 292 Момент импульсивный 267 — кинетический 40, 41, 45, 85 Монополь 54, 224 — магнитный 292, 342 Направляющие косинусы 37, 40, 42, 43, 48 Некоммутативная интегрируемость 74 Неподвижная точка 92 Область возможных движений 56 Обобщение Рубановского 178, 197 — задачи Неймана 329, 331, 332 — — Якоби 329, 332 Обобщенное семейство Яхьи – Ковалевской 229 Обобщенный случай Делоне 210 — шаровой волчок 210 Орбита коприсоединенного представления 32 Отображение Пуанкаре 55 — первого возвращения 56 Параметры Кэли – Клейна 44 — Пуанкаре 34 — Родрига – Гамильтона 42

376


Первый интеграл 30 Переменная циклическая 54, 82 Переменные Андуайе – Депри 45, 47, 53, 55, 86 — — аналог 301 — Эйлера 40, 86 — действие-угол 74, 317 Поднятие интегрируемых систем 228 Поле обобщенно-потенциальное 51, 54 — с квадратичным потенциалом 63 — силовое однородное 62 — симметрий 75 Полодия 95 Последний множитель 76 Потенциал гуковский 329, 334 — ньютоновский 329 Потенциальное течение жидкости 263 Правило Лейбница 28 Предельный случай уравнений Пуанкаре – Жуковского 199 Представления Лакса 83 Преобразование Галилея 336 — Лежандра 35, 40, 51, 53 — Хайне – Хорозова 311 Прецессия псевдорегулярная 105 — регулярная 92, 105 Приведенный потенциал 144 Присоединенная масса 265 Пространство Лобачевского 279, 345 — конфигурационное 34, 36, 47 — фазовое 28 Пуассонова структура 29, 38 Пуассоново многообразие 27, 29 Пучок пуассоновых структур 180 Равновесие относительное 144, 186

Разделение переменных 77, 317 Ранг пуассоновой структуры 31 Редукция Рауса 105, 220 Ретракция 180 Решение Бобылева – Стеклова 121, 126, 149 — В. Вольтерра 156 — Гесса 142 — Горячева 134, 137 — Гриоли 94, 146 — Делоне 114, 125 — в квадратурах 73 — периодическое 56, 92 Ротатор 158, 160 Связь голономная 33 Семейство Стеклова – Ляпунова 172, 178, 194 Сепаратриса 57, 90, 95, 128 Сила гироскопическая 42, 54 — импульсивная 164, 267 — концевая 87 Симплектическая структура 31 Симплектический лист 31, 52 — сингулярный 32 Симплектическое многообразие 31 Система Бруна 212 — Гаффе 335 — Жуковского – Вольтерра 305 — Лоренца 259 — Неймана 294 — интегрируемая 74 — натуральная 51, 54 — неголономная 75 — суперинтегрируемая 74 — центра масс 60, 63 Скобка Ли – Пуассона 32, 37 — Пуассона 28, 36 — — вырожденная 51


— — каноническая 29 — — невырожденная 30 Скорость угловая 40, 48 Случай Адлера – ван М¨ербеке 189, 195 — Богоявленского (I) 189, 195 — — явное интегрирование 316 — Богоявленского (II) 189, 196 — Гесса 89, 196, 211, 221, 240 — — обобщенный 247 — Горячева 303 — Горячева – Чаплыгина 89, 132, 319 — — обобщенный 219, 221, 231, 284, 301 — Гринхилла 256, 260 — Жуковского – Вольтерра 152 — Кирхгофа 169, 262 — Клебша 169, 171, 191, 204 — Клейна – Зоммерфельда 256 — Ковалевской 89, 111, 317 — — на пучке 308, 312 — — обобщенный 208, 219, 221, 296 — Лагранжа 89, 102, 232 — — обобщенный 208 — Ляпунова 169 — Пуанкаре 187, 188 — Сретенского 152 — Стеклова 169, 188, 192 — Чаплыгина (I) 169, 175, 320 — — явное интегрирование 315 — Чаплыгина (II) 169, 176 — Шоттки – Манакова 187, 188, 292 — Эйлера 57, 89, 95, 208 Спектр частот 93 Спин 185 Странный аттрактор 256 Сфера Пуассона 54, 223 Сферический волчок 52 — маятник 52, 55

377

Твердое тело в пространстве Лобачевского 279 — — в сопротивляющейся среде 255 Тело на струне 250 Тензор Фрадкина 329 — инерции 50 Тензорный инвариант 38, 75 Теорема Бернулли 60 — Дарбу 31 — Лагранжа 263 — Лиувилля 28, 37 — Лиувилля – Арнольда 73 — Н¨етер 221 — Эйлера – Якоби 75, 76 — Якоби 75 Тест Пенлеве – Ковалевской 131 Тождество Якоби 28, 29 Углы Эйлера 39, 42, 53 Угол нутации 40, 94 — прецессии 40, 103 — собственного вращения 40, 103 Уравнение Гамильтона – Якоби 77 — Ландау – Лифшица 291 Уравнения Абеля – Якоби 80, 112 — Гамильтона 37, 51 — Кирхгофа 38, 70, 164, 279 — Лиувилля 162 — Пуанкаре 33, 34, 38, 50 — Пуанкаре – Жуковского 179, 262, 270 — Пуанкаре – Четаева 33, 35, 38 — Пуассона 91 — Чаплыгина 71 — — осесимметричный случай 237 — — случай Гесса 254 — Эйлера – Кирхгофа 88 — Эйлера – Пуанкаре 34, 37, 38, 47

378


— Эйлера – Пуассона 62, 85 — — кватернионные 207, 216 — — обобщенные 207 — движения канонические 53 — — кватернионные 52 — — многосвязного тела 267 — — твердого тела в евклидовом пространстве 59 — — твердого тела с неподвижной точкой 47 — — твердого тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат 64 — — твердого тела с полостью, содержащей жидкость 182

— на группах Ли 37 Условие Маиевского 110 Фазовый портрет 55 — поток 30, 55, 56 Ферромагнетик в магнитном поле 288 Функция Гамильтона 30 — Казимира 29, 31, 51 — гироскопическая 103, 234 — структурная 29 Шар Чаплыгина 205 Эллипсоид инерции 146

Борисов Алексей Владимирович Мамаев Иван Сергеевич

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Дизайнер М. В. Ботя Технический редактор А. В. Широбоков Корректор М. А. Ложкина

Подписано в печать 29.06.01. Формат 60 × 841/16 . Печать офсетная. Усл. печ. л. 22,32. Уч. изд. л. 22,54. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Тираж 1000 экз. Заказ № Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика» 426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13. Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00. http://rcd.ru E-mail: [email protected] Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка». 610033, г. Киров, ул. Московская, 122.

Динамика твердого тела

Recommend Documents