Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения

И.М.Гелъфанд, Р.А.Минлос, З.Я.Шапиро ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ И ГРУППЫ ЛОРЕНЦА, ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Книга посвящена описанию и детальному изучению представлений группы вращений трехмерного пространства и группы Лоренца. Эти группы играют фундаментальную роль в теоретической физике. Рассчитывая на читателей-физиков, авторы собрали в своей книге весь основной материал теории представлений, который применяется в квантовой механике. Книга рассчитана также на читателей-математиков, изучающих представления групп Ли. Для них она может служить введением в общую теорию представлений. Содержание Предисловие 7 ЧАСТЬ I ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА Глава 1. Группа вращений и ее представления 9 § 1. Группа вращений трехмерного пространства 9 1. Определение группы вращений (9). 2. Введение параметров в группу вращений (10). 3. Инвариантное интегрирование (12). 4. Связь группы вращений с группой унитарных матриц второго порядка (14). 5. Определение представлений группы вращений (19). § 2. Бесконечно малые повороты и отыскание неприводимых 22 представлений группы вращений 1. Определение матриц Ak, отвечающих бесконечно малым поворотам (22). 2. Соотношения между матрицами Ak (24). 3. Вид неприводимого представления (28). 4. Разложение представления на неприводимые (33). 5. Примеры представлений (37). Добавление к § 2. Доказательство дифференцируемости матрицы Tg 41 § 3. Сферические функции и представления группы вращений 42 1. Определение сферических функций (42). 2. Дифференциальные операторы, отвечающие бесконечно малым поворотам (44). 3. Дифференциальное уравнение сферических функций (47). 4. Явное выражение сферических функций (49). 5. Разложение функций на сфере по сферическим функциям (53). § 4. Произведение представлений 54 1. Определение произведения представлений (54). 2. Преобразования, отвечающие в произведении представлений бесконечно малым поворотам (58). 3. Произведение двух неприводимых представлений (58). 4. Разложение произведения неприводимых представлений, когда одно из них имеет вес 1 или 1/2 (61). § 5. Тензоры и тензорные представления 65 1. Основные алгебраические операции над тензорами и инвариантные подпространства (66). 2. Определение весов неприводимых

представлений, на которые разлагается тензорное представление (72). 3. Разложение тензорного представления на представления, кратные неприводимым. Тензоры третьего ранга (74). § 6. Спиноры и спинорные представления 1. Определение спинора и спинорного представления (80). 2. Симметрические спиноры. Существование неприводимых представлении для любого (целого и полуцелого) веса l (81). 3. Основные операции над спинорами (83). 4. На какие неприводимые представления разлагается спинорное представление (85). Глава 2. Дальнейшие исследования представлений группы вращении § 7. Матричные элементы неприводимого представления (обобщенные сферические функции) 1. Операторы Ug (87) 2. Дифференциальные операторы, отвечающие бесконечно малым поворотам (88). 3. Зависимость матричных элементов от углов Эйлера ϕ1 и ϕ2 (91). 4. Обобщенные сферические функции (92). 5. Формула сложения для матричных элементов (98). 6. Разложение функций на группе вращений по обобщенным сферическим функциям (101). Добавление к § 7. Рекуррентные соотношения между обобщенными сферическими функциями § 8. Разложение векторных и тензорных полей 1. Разложение векторных функций (109). 2. Разложение произвольных величин (115). 3. Пример. Поле тензоров второго ранга (118). 4. Решение уравнений Максвелла (119). § 9. Уравнения, инвариантные относительно вращений 1. Определение инвариантных уравнений (126). 2. Преобразование условий инвариантности (127). 3. Определение матриц L1, L2, L3 (129). 4. Решение инвариантных уравнений (135). 5. Решение уравнений Дирака (141). 6. Матрицы L1, L2, L3 для случая κ ≠ 0 (другой вывод) (143). 7. Инвариантные уравнения с κ = 0 (149). § 10. Разложение произведения двух представлений. Коэффициенты Клебша — Гордона 1. Вычисление коэффициентов Клебша — Гордона (152). 2. Коэффициенты Клебша — Гордона для случая, когда одно из представлений имеет вес 1 или 1/2 (159). 3. Симметрия коэффициентов Клебша — Гордона (160). 4. Переход от канонического базиса в R1 × R1 к базису {ei f k } 5. Коэффициенты Рака (162). ЧАСТЬ II ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА Глава 1. Группа Лоренца и ее представления § 1. Группа Лоренца 1. Определение группы Лоренца (165). 2. Ортогональные системы координат (168). 3. Поверхности в четырехмерном пространстве,

80

87 87

103 108

125

152

165 165

транзитивные относительно группы Лоренца. Компоненты связности группы Лоренца (168). 4. Связь группы Лоренца с группой комплексных матриц второго порядка с определителем, равным единице (172). 5. Связь между собственной группой Лоренца и группой комплексных матриц второго порядка с определителем, равным единице (другое изложение) (178). 6. Группа Лоренца как группа движений в пространстве Лобачевского (180). 7. Определение представлений группы Лоренца и основные понятия теории представлений (181). 8. Связь между представлениями собственной группы Лоренца и представлениями группы комплексных матриц второго порядка. Двузначные представления собственной группы Лоренца (184). 9. Двузначные представления общей группы Лоренца (186). 10. Основные различия между представлениями группы вращений трехмерного пространства и группы Лоренца (188). § 2. Инфинитезимальные операторы и представления собственной группы 189 Лоренца 1. Основные однопараметрические подгруппы в группе Лоренца (189). 2. Представление элементов собственной группы Лоренца в виде произведения основных однопараметрических подгрупп (191). 3. Определение инфинитезимальных операторов (192). 4. Вид инфинитезимальных операторов для неприводимых представлений собственной группы Лоренца (193). 5. Однозначные и двузначные представления собственной группы Лоренца (200). 6. Сопряженные представления (200). 7. Конечномерные представления собственной группы Лоренца (202). 8. Унитарные неприводимые представления собственной группы Лоренца (204). 9. Инвариантная эрмитова билинейная форма (206). § 3. Представления полной и общей групп Лоренца 212 1. Предварительные замечания (212). 2. Неприводимые компоненты представления собственной группы Лоренца, порожденного неприводимым представлением полной группы (214). 3. Оператор пространственного отражения (217). 4. Неприводимые однозначные представления общей группы Лоренца (221). 5 Двузначные представления общей группы Лоренца (222). 6. Билинейная эрмитова невырожденная форма, инвариантная относительно представления полной группы Лоренца (226). § 4. Спиноры и спинорные представления собственной группы Лоренца 228 1. Спиноры ранга 1 (228). 2. Опускание индексов у спиноров первого ранга (236). 3. Спиноры высших рангов (237). 4. Симметрические спиноры. Реализация всех неприводимых конечномерных представлений собственной группы (239). 5. Опускание индекса у спиноров высших рангов (246). 6. Другое описание спинорного представления (248). 7. Унитарные представления собственной группы Лоренца (251). 8. Замечание о тензорах (252). 9. Различие

между спинорными и тензорными представлениями группы Лоренца (257). § 5. Конечномерные представления полной и общей групп Лоренца. Биспиноры 1. Биспинор первого ранга (258). 2. Общий случай. Биспиноры ранга (k, n) (261). 3. Неприводимые представления общей группы (264). 4. Тензорные представления полной и общей групп Лоренца (265). § 6. Произведение двух неприводимых конечномерных представлений собственной группы Лоренца 1. Разложение кронекеровского произведения двух неприводимых представлений собственной группы Лоренца на неприводимые (266). 2. Коэффициенты Клебша — Гордона (270). Глава 2. Релятивистски-инвариантные уравнения § 7. 1. Определение релятивистски-инвариантных уравнений (274). 2. Условия релятивистской инвариантности уравнений для случая, когда κ ≠ 0 (276). 3. Определение матриц L0, L1, L2, L3 (279). 4. Релятивистски-инвариантные уравнения с κ = 0 (282). 5. Уравнения, инвариантные относительно полной группы Лоренца (284). 6. Замечание об операторах Tg. Случай общей группы Лоренца (286). § 8. Уравнения, получаемые из инвариантной функции Лагранжа 1. Инвариантная функция Лагранжа (288). 2. Уравнения, получаемые из инвариантной функции Лагранжа (291). 3. Уравнения, получаемые из инвариантной функции Лагранжа (окончание) (295). 4. Величины, образуемые из волновой функции ψ и инвариантной формы (296). 5. Замечание о величинах, составленных квадратично из волновой функции ψ (299). § 9. Примеры релятивистски-инвариантных уравнений 1. Уравнение Дирака (303). 2. Уравнение Даффина для скалярных частиц (308). 3. Уравнение Даффина для векторных частиц (310). 4. Уравнение для двухкомпонентного нейтрино (312). 5. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в пустоте (316). 6. Уравнение Паули — Фирца (318). 7. Примеры бесконечномерных инвариантных уравнений (322). § 10. Определение значений массы покоя и спина частицы 1. Плоские волны. Вектор энергии — импульса (324) 2. Система покоя. Масса покоя (329). 3. Спин покоящейся частицы (331). 4. Спин частицы в произвольной системе координат (332). 5. Частицы с нулевой массой покоя (335). 6. Поляризация частиц с нулевой массой покоя (335). 7. Масса покоя и спин частиц, описываемых уравнениями из предыдущего параграфа (337). 8. Бесконечномерные уравнения (341). § 11. Заряд и энергия релятивистских частиц

257

266

274 274

288

303

324

342

1. Определение заряда и энергии (343). 2. Конечномерные уравнения с положительным зарядом и матрицей L0, приводящейся к диагональному виду (344). 3. Конечномерные уравнения с положительной энергией и матрицей L0, приводящейся к диагональному виду (346). 4. Уравнения с положительным зарядом и матрицей L0, не приводящейся к диагональному виду (348). 5. Теорема Паули (351). 6. Бесконечномерные уравнения с положительным зарядом или энергией (353). Дополнения 355 Библиография 369