Изучение основного закона вращательного движения твердого тела на маятнике Обербек. Методические указания к лабораторной работе

1

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский государственный университет

Евсеева Р.Я., Мясникова Т.П. Методические указания к лабораторной работе ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО ЗАКОНА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА для студентов нефизических факультетов

Ростов-на-Дону 2001

2

Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета. Протокол №

от

2001 г.

Авторы: Евсеева Р.Я - старший преподаватель кафедры общей физики Мясникова Т.П. - доцент кафедры физики твердого тела

3

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси имеет вид d ( Jw) = ∑ M . dt

Это

уравнение

(1) напоминает

уравнение

Ньютона

для

движения

материальной точки m

dv =∑F . dt

Роль массы m в уравнении (1) играет момент инерции J, роль скорости v - угловая скорость w, роль силы F - момент силы M. Если момент инерции J при вращении остается постоянным, то уравнение (1) переходит в J

dw = ∑M , dt

(2)

т.е. произведение момента инерции J твердого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение внешних сил

dw равно сумме моментов dt

∑ M относительно той же оси.

Напомним: 1. Угловое ускорение β =

dw d 2ϕ = 2 dt dt

(изменение угловой скорости w со

временем). 2. Угловая скорость w =

dϕ (изменение угла поворота радиуса-вектора со dt

временем). 3. w =

2π = 2πn , где T - период, n - число оборотов в единицу времени. T

4. w =

v , где v - линейная скорость. R

5. β =

a , a - линейное ускорение, R - радиус. R

4

6. Моментом инерции твердого тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси, т.е. J = ∫ r 2 dm = ∫ ρr 2 dV ,

где ρ - плотность тела, r - расстояние от элемента массы dm до оси вращения, dV - объем элемента массы dm . J зависит от формы и размеров тела. К примеру, для стержня относительно оси, проходящей через его конец 1 J = ml 2 3

( m - масса стержня, l - его длина ).

Для диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска J=

1 mR 2 , R - радиус диска. 2

Для шара относительно оси, проходящей через центр масс J=

2 mR 2 5

7. Момент силы - это векторное произведение r rr M = [r F ] ,

r M = rF sin α = dF ,

где r - радиус-вектор из точки О (оси

вращения) до точки приложения силы F , d - плечо силы, кратчайшее расстояние от оси вращения до направления действия силы F ,

α - угол

между r и F. ОПИСАНИЕ ПРИБОРА. ВЫВОД РАСЧЕТНЫХ ФОРМУЛ. Прибор - маятник Обербека - схематически изображен на рисунке. Он состоит из четырех стержней и двух шкивов (А) различного радиуса (R1 и R2), укрепленных на одной горизонтальной оси. На стержни надеваются одинаковые грузы массой m' , которые могут быть закреплены на разных

5

расстояниях l от оси вращения маятника. На шкив А наматывается нить, которая потом перебрасывается через вспомогательный легкий блок В. К свободному концу нити прикрепляется груз массой m, под действием которого маятник приводится в равноускоренное вращательное движение. Путь груза h за фиксированное время t отмечается по шкале с делениями. Силами трения пренебрегаем. Для поступательного движения груза m на нити можно записать 2ой закон Ньютона ma = mg − T ⋅ ,

(3)

Для вращательного движения маятника Jβ = TR

,

(4)

моменты силы P и N равны нулю, т.к. силы P и N проходят через ось вращения и их плечи равны нулю. Угловое ускорение маятника β и линейное ускорение груза а связаны соотношением

a = βR ,

(5)

т.к. вследствие нерастяжимости нити ускорение всех точек нити одинаково и равно ускорению любой точки поверхности шкива. Решая совместно уравнения (3), (4), (5), можно найти постоянное во времени значение ускорения. a=

g . 1+ J mR 2

(6)

С другой стороны, из формулы для равноускоренного движения груза m

6

h=

2h at 2 можно найти a = 2 . 2 t

(7)

Приравнивая (6) и (7), получим J = mR 2 (

gt 2 − 1) 2h

.

(8)

Используя уравнение (8), можно получить оба варианта проверки основного уравнения динамики вращательного движения (2). 1 вариант. При постоянном моменте инерции маятника J1=J2=const; изменяем момент внешних

сил,

меняя

груз

2 gt 12 2 gt 2 m1 R ( − 1) = m 2 R 2 ( − 1) 2h 2h 2 1

на

нити.

Проверяется

соотношение:

(9)

2 вариант. Момент инерции меняется при постоянных массе груза m и радиусе шкива R. Момент инерции маятника складывается из момента инерции его (J0) без грузов m' и из четырех одинаковых моментов инерции J' (для грузов m'); (10)

J = J 0 + 4J '

Применяя для грузов m' теорему Штейнера, можно записать для одного груза J ' = J 0' + m ' l 2

(11)

J = J 0 + 4 J 0' + 4m ' l 2

(12)

Тогда

Подставив это выражение в (8), получим для случая, когда грузы на кресте находятся на расстоянии l1 gt12 J 0 + 4 J + 4m l = m1 R ( − 1) 2h ' 0

' 2 1

2

когда грузы на кресте находятся на расстоянии l2

7

J 0 + 4 J 0' + 4m ' l 22 = m1 R 2 (

gt 32 − 1) . 2h

Вычтем из одного уравнения другое, найдем 4m ' (l12 − l 22 ) =

m1 R 2 g 2 (t1 − t 32 ) 2h

,

(13)

что соответствует фактически проверке соотношения J1 − J 2 =

M1

β1

−

M2

.

β2

(14)

УПРАЖНЕНИЕ 1 При постоянном моменте инерции системы проверяется соотношение (9), т.е., что J 1 = J 2 , что равносильно соотношению M1

β1

=

M2

β2

(15)

Изменение момента силы M, а вместе с тем и изменение углового ускорения β, достигается либо изменением радиуса шкива R, на который наматывается нить, либо изменением массы груза m, висящего на нити (при этом изменяется сила натяжения нити T). По указанию преподавателя нужно изменять либо R, либо m, либо и то и другое. 1. Расположите цилиндры на кресте вдали от оси на одинаковом расстоянии l1, которое надо измерить. Фактически это расстояние от середины цилиндра m' до оси. 2. Навесив на нить груз массой m1, определите время t1, втечение которого этот груз проходит путь h, повторив опыт 3-5 раз. 3. Навесив на нить груз массой m2, определите время t2, втечение которого этот груз проходит тот же путь h.

8

4. Данные измерений занесите в таблицу, заполнив строки 1 и 2. Строка 3 заполняется при выполнении упражнения 2. N Опыта 1

m, кг.

l, м

m1=

l1=

2

m2=

l1=

3

m1=

l2=

R, м

h, м

t, c

Средн. Знач.

t1 ∆t1 t2 ∆t2 t3 ∆t3

5. Использовав данные 1 и 2 строк таблицы, произвести вычисления J1 и J2; J 1 = m1 R12 (

gt12 − 1) 2h

J 2= m 2 R 22 (

gt12 − 1) 2h

,

6. Относительную ошибку можно вычислить (пренебрегая единицей в формуле (8), т.к. ε=

gt 2 >> 1 ) следующим образом 2h

∆J ∆m ∆R ∆t ∆h ≈ +2 + +2 , где m t h J R

∆m = 5 мг, ∆h = 1 см, ∆R = 0,1 см, ∆t = 0,3 с

или из среднего.

7. Абсолютная ошибка метода может быть найдена по формуле ∆J = εJ

.

Таким образом, вычисляются ошибки для J1 и J2. 8. Окончательный результат представляется в виде

9

J 1 ± ∆J 1 ≈ J 2 ± ∆J 2 .

УПРАЖНЕНИЕ 2 Второй вариант проверки основного закона динамики вращательного движения твердого тела заключается в проверке соотношения (14) J1 − J 2 =

M1

β1

−

M2

β2

,

(при постоянном радиусе шкива R=const и массе груза на нити m=const), что фактически выливается в проверку уравнения (13). Изменение

момента

инерции

маятника

Обербека

достигается

изменением положения цилиндров на кресте. 1. Все грузы на кресте перемещают ближе к оси маятника и определяют их расстояние l2 (от середины груза до оси маятника). 2. На нить прикрепляют груз m1 (меньшей массы) и определяют время его падения t3 с высоты h. Результаты измерений заносят в ту же таблицу, в строку №3. 3. Использовав данные опытов №1 и №3, производят вычисления по формуле (13). 4. Относительную ошибку для левой части формулы (13) можно вычислить по формуле, ε1 =

∆m ' ∆l +2 , ' l1 − l 2 m

для правой части формулы (13);

10

ε2 =

∆m1 ∆R ∆h ∆t +2 + +2 , m1 R h t1 − t 3

в предположении, что ∆l1 ≈ ∆l 2 ≈ ∆l = 0,1см , ∆t1 ≈ ∆t 2 ≈ ∆t = 0,3с , ∆m ' = ∆m1 = 5 мг .

УПРАЖНЕНИЕ №3. Определение величины момента сил трения в оси маятника. К концу нити, намотанной на тот или иной шкив, прикрепляют груз маленькой массы, постепенно увеличивая его до тех пор, пока маятник не начнет вращаться. Не менее трех раз находим наименьшее значение веса этого груза. Потом находят среднее арифметическое из полученных величин. (mmin ср g). Величина момента сил трения в оси маятника будет равна М тр = m min ср gR ,

где R - радиус соответствующего шкива. Величина момента силы натяжения M = m1 ⋅ ( g − a) R = m1 ( g −

2h )R . t12

Относительная ошибка, допускаемая при пренебрежении силой трения, может быть определена по формуле: ε=

M тр М

100% .

11

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какими физическими величинами характеризуется вращение твердого тела вокруг неподвижной оси? 2. Что такое момент инерции точки; твердого тела? От чего он зависит? В каких единицах измеряется? 3. Чему равен момент инерции цилиндра, диска, стержня, шара? 4. Что такое угловая скорость? Как она связана с линейной скоростью? 5. Что такое угловое ускорение? Как оно связано с линейным ускорением? 6. Что такое момент силы? Плечо силы? 7. Как записывается и читается основной закон динамики вращательного движения твердого тела? 8. Что представляет собой маятник Обербека? 9. В чем заключается в работе проверка основного уравнения динамики твердого тела? 10. Выведите рабочие формулы. 11. Выведите формулу относительной погрешности

∆J . J

12. Как практически определяется момент сил трения?

ЛИТЕРАТУРА 1. Физический практикум. Механика и молекулярная физика. /под. ред. В.И.Ивероновой: -М. : наука. 1967. 2. И.В.Савельев. Курс общей физики. Т.1.-М.:Наука, 1978.

12

ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ 1. Перед тем, как начинать измерения, необходимо хорошо закрепить грузы m' на кресте Обербека, а также стержни. 2. После прохождения телом m пути h, необходимо придержать маятник, проследив, чтобы тело m не сорвалось с нити.