数学ソフトによる数式処理と関数 (新・数学とコンピュータシリーズ)

片 桐 重 延 監修 片桐重延 ・ 飯 田健 三 ・ 佐 藤 公 作 ・高 橋 公 共著

R

〈日本 複 写 権 セ ンター 委 託 出版 物 〉 本 書 の 全部 また は一 部 を無 断 で 複 写複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じられ て い ます 。本 書 か らの 複 写 を希 望 さ れ る場 合 は,日 本 複 写権 セ ン ター(03-3401-2382)に ご連 絡 くだ さい 。

序

文

  平成6年

度 よ り実 施 され た 新 しい 高 校 数 学 で は,コ

ン ピ ュ ー タ に関 す る取 扱 い

が い ま まで 以 上 に 重 視 され て い る。 それ は,こ れ か ら コ ン ピ ュ ー タ につ い て,ま た,コ

ン ピ ュ ー タ に関 連 す る 「数 学 」 に つ い て 学 ぼ う とす る人 々 に とっ て学 び が

い の あ る もの で あ る。元 来,日 本 の数 学 教 育 は,戦 後 長 い 間 大 学 進 学 者 の た め の, あ る い は,将 来 特 に数 学 を必 要 とす る人 々 の た め の もの で あ っ た 。 しか し,数 学 が 情 報 化,高

度 技 術 社 会 の た め に さ ま ざ まな か た ち で 関与 し て きた 現 在,も

はや

単 に,将 来,数 学 を特 に必 要 とす る人 々 や,理 工 系 を志 す 人 々 の た め の もの で は な くな り,よ

り広 い意 味 で の 知 的 ユ ー ザ ー とい わ れ る人 々 が 数学 を学 習 す る時 代

が き た の で あ る。 この こ と は,「 中等 教 育(中 学 ・高 校)に ー は,情 報 化,高

お け数 学 的リ テ ラ ー シ

度 技 術 社 会 にお け る一 般 知 識 人 が もつ べ き標 準 的 な教 養 を 目指

す こ とに な る」(数 学 教 育 の会)の 指 摘 に も端 的 に示 され て い る。 ま さ に,コ ン ピ ュ ー タ 関 連 の数 学 は,こ れ か ら の生 涯 教 育 の 基 盤 と して の数 学 で あ る とい っ て も 過 言 で は な い。  本 シ リー ズ(全10巻)は,コ

ン ピ ュ ー タ 関 連 の数 学 を次 の各 分 野 に分 け て企 画

し た。 そ れ は既 刊 の 「数 学 と コ ン ピ ュー タ シ リー ズ(全8巻)」 向 け に 発 展 さ せ,新

の 思 想 を よ り現 代

しい 中 等 数 学 の考 え を取 り入 れ た も の で あ る。

 第 一 は,  ● コ ン ピ ュ ー タ言 語 と処 理  ●

BASICに

よ る数 学 の 問 題 解 法

 ●

BASICに

よる高校数学

の 内容 で,コ 数 学A,数

ン ピ ュ ー タ関 連 の 数 学 を学 ぶ た め の基 盤 と新 しい 数 学,特

学Bの

内容 に準 拠 した もの で あ る。BASIC言

に 高校 の

語 は,こ れ らの教 科 書 の

ほ とん どで 使 用 され て い る言 語 で あ り,こ れ か ら も数 学 教 育 用 言 語 の 主流 と して 導 入 され るで あ ろ う。

第 二 は,

 ●行列 と線形 計算  ●数値計算  ●確率統計 に その 特 徴 が見 られ る よ う に,こ れ か らの 高 校 数 学,あ 学 に取 り入 れ られ るで あ ろ う。 行 列,線 ざ した 。 主 題 の性 格 上,や

るい は,大 学 初 年 度 の数

形計 算,数 値 計 算,確

率統計 の基礎 を目

や難 解 な 問題 も含 まれ るが,全 体 を とお して読 め ば 高

校 生 に も理 解 で き る よ うに 心 が けた つ も りで あ る。 い う まで も な く,高 校 現 場 で 数 学Cを

中 心 に これ か ら コ ン ピ ュー タ関 連 の数 学 を教 え よ う とす る先 生 方 や,大

学 で これ らの数 学 を 平 易 に学 習 し よ う とい う人 々 に とっ て も有 効 に利 用 で き る で あ ろ う。  第 三 は,   ● 数 学 ソ フ トに よ る 曲線 と図 形 処 理   ● 数 学 ソ フ トに よ る数 式 処 理 と関 数 に お い て 取 り上 げ た 数 学 ソ フ トウ ェ ア に よ る数 学 の 展 開 で あ る。 数 学 ソ フ トは い ま や ます ます 発 展 し,こ れ か らの数 学 で 欠 くこ とに で きな い 分 野 に な りつ つ あ る。 図 形 処 理 や 数 式 処 理,関

数 とグ ラ フ の扱 い に つ い て は,単 に 中 等 数 学 の み な らず

数 学 教 育 や 数 学 の研 究 にお い て も有 効 な手 段 にな る。 こ こで は,代 表 的 な 数 学 ソ フ トに つ い て取 り上 げ,問 題 の解 法 を試 み た 。  他 に  ● コ ン ピ ュ ー タ に よ る グ ラ フ ィ ック ス は,コ

ン ピ ュー タ グ ラ フ ィ ック ス を そ の基 盤 か ら誰 にで もわ か る よ う に や さ し く

解 説 した もの で あ り,  ● コ ン ピ ュ ー タ に よ る成 績 処 理 は,主

と して 小 学 校,中

学 期 ご との,ま た,学

学 校,高

等 学 校 に お け る教 科 担 任,学

年 担 任 の先 生 方 の

年 末 の成 績 処 理 と省 力 化 等 につ い て,誰

にで も利 用 で き る

よ う に解 説 した 。 ま た,こ した 。

こで は ソ フ トウ ェ ア を利 用 した 処 理 方 法 につ い て も示

 以 上,こ

れ か らコ ン ピ ュー タ を 学 習 す る人,コ

ン ピ ュー タ に 関 連 す る数 学 を学

習 し,教 育 し よ う とす る人,数 値 計 算 に習 熟 し数 学 の社 会 に お け る有 効 な活 用 を 図 る人,さ この 全10巻

らに,数 学 の ソ フ トウ ェ ア を有 効 に利 用 し よ う とす る人 々 に とっ て, の 書 が 座 右 の銘 の ご と く,有 効 に利 用 され る こ と を願 っ て や まな い 。

 な お,多 忙 な 中 を この シ リー ズ の執 筆 に あ た られ た 白石 和 夫,高 橋 公,飯 三,室

岡和 彦,佐

藤 公 作,志

賀 淳 一,山 路 進,金

田健

子 伸 一 の各 氏 に お 礼 を 申 し上 げ

る と と も に,本 シ リー ズ の 出版 を企 画 ・ 推 進 して くだ さっ た 東 京 電 機 大 学 出版 局, お よ び終 始 ご助 言 くだ さ った 同編 集課 長 朝武 清 実 氏 に深 甚 の 感 謝 を捧 げた い。 1995年3月

監修  片桐

重延

は じめ に   本 巻 は,こ れ か ら数 学 教 育 に お い て 使 用 され るで あ ろ う代 表 的 な数 学 ソ フ トウ ェ ア の 「関 数 ラ ボ 」,「デ ラ イ ブ 」,「マ ス キ ャ ド」 を取 り上 げ て,主

と して 数 式 処

理 と関 数 の 分 野 に つ い て 問 題 を 解 い た り,授 業 に有 効 に利 用 す る方 法 を解 説 す る。   章 に よ っ て取 り上 げ た ソ フ トウ ェ ア が 異 な る場 合 も,「 ソ フ トウ ェ ア の 基 本 操 作 」に従 っ て 問題 を処 理 す る と き に は,ど の 章 の 問題 も十 分 解 け る よ う に考 え た 。 した が っ て,各 自 の使 い 慣 れ た ソ フ トウ ェ ア,あ

る い は,最

も適 切 と思 わ れ る ソ

フ トウ ェア を使 っ て全 章 の 問 題 に 取 り組 ん で い た だ きた い。   元 来,数

学 ソ フ トウ ェア は,数 学 の 学 習 に コ ン ピ ュ ー タ を使 用 し た り,数 学 の

指 導 に コ ン ピ ュ ー タ を利 用 す る 際 の ツー ル と して 有 効 で あ る。 特 別 な コ ン ピ ュー タ に関 す る知 識 や能 力 を もた な くて も,そ れ ぞ れ の ソフ トウ ェア の 指 示 に 従 っ て 数 式 を入 力 し,簡 単 な操 作 を行 う こ と に よ っ て,計 算 した り,グ ラ フ を描 くこ と が で きる 。 これ は,ま さ に数 学 ソ フ トウ ェア の 利 点 で あ る。 ま た,係 数 のa,b, cや 文 字tを 変 数x,yと

は独 立 した パ ラ メ ー タ と して,指 定 した パ ラ メ ー タ の 変

化 に伴 うグ ラ フ を動 的 に表 示 で き る。 この こ と に よ り,点 の軌 跡 や グ ラ フの 変 化 の 様 子 を つ ぶ さ に見 る こ とが で き る。   本 書 が,こ

れ か ら数 学 を学 ぶ 人 が,数 学 ソ フ トウ ェ ア を使 用 し て数 学 的 事 実 を

発 見 した り,考 察 す る こ と を とお して 数 学 を学 ぶ 楽 し さ を味 わ い,教 師 と生 徒 が 体 験 を とお し て新 しい数 学 教 育 を創 造 す る契 機 に なれ ば,こ れ にす ぐる こ と は な い と存 ず る次 第 で あ る。

1995年5月

著 者 し るす

目

次

第1章    1.1 

ソフ トウェアの基本操作

1.2 

関 数 ラボ 

1

 [1]  機 能 の 概 要 

1

 [2]  数 式 の 入 力 

2

 [3]  計

算 

4

 [4]  グ ラ フ 

7

Mathcad(ウ  [1] 

イ ン ド ウズ 版) 

機 能 の 概 要 

 [2] Mathcadの

起動 

12 12 13

 [3] 

簡 単 な 計 算 

13

 [4] 

変 数 や 関 数 の 定 義 

14

 [5] 

レンジ 変 数 

15

 [6] 

領 域 の 移動 

16

 [7] 

グ ラ フ の 描 画 

17

 [8] 

数 列 の 和 と シ ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッ サ 

20

1.3 DERIVE 

22

 [1]  機 能 の概 要 

22

 [2] DERIVEの

22

立 ち上 げ と終 了 

 [3]  数 式 の入 力 

25

 [4]  三 角 比,対

30

数 の値 

 [5]  ベ ク トル,行 列 の表 記 と演 算 

第2章  数と式

31

2.1 整 2.2 

式 の加減 

35

整 式 の 乗 法 

2.3 整

38

式 の 除 法 

40

2.4 

因 数 分 解 

43

2.5 

平 方 根 の 計 算 

45

練 習 問 題 

第3章  3.1 

3.2 

3.3 

3.4 

48

関 数 関 数 と グ ラフ   [1] 

関

 [2] 

関 数 の グ ラ フ 

2次

数 

50 50 52

関 数 

56

 [1]  2次 関 数 とそ の グ ラ フ 

56

 [2]  2次 関 数 の 値 の変 化 

62

 [3]  2次 方 程 式 ・2次 不 等 式 

67

三 角 関 数 

78

 [1]  一 般 角 と三 角 関 数 

78

 [2]  三 角 関 数 の グ ラフ 

83

 [3]  三 角 関 数 の 合成 

89

 [4]  方 程 式 ・不 等 式 

92

指 数 関 数 ・対 数 関 数 

96

 [1]  指 数 の拡 張 

96

 [2]  指 数 関 数 

97

 [3]  方 程 式 ・不 等 式 

99

 [4]  対 数 と その 性 質 

100

 [5]  対 数 関 数 とそ の グ ラ フ 

102

 [6] 

3.5 

方 程 式 ・不 等 式 

104

分 数 関 数 ・無 理 関 数 

106

 [1]  分 数 関 数 とそ の グ ラフ 

106

 [2]  無 理 関 数 

110

練 習 問 題 

114

第4章  数 列 4.1 

4.2 

4.3 

等 差 数 列 ・等 比 数 列 

116

 [1]  数列 

116

 [2]  等 差 数 列 

117

 [3]  等 差 数 列 の和 

119

 [4]  等 比 数 列 

121

 [5]  等 比 数 列 の和 

122

 [6]  複 利 法 

123

い ろ い ろ な 数 列 と そ の 和 

124

 [1]  数 列 の 和 

124

 [2]  階 差 数 列 

126

 [3] 漸

128

化式 

数 列 の 極 限 

130

 [1]  数 列 の 収 束 と発散 

130

 [2]  無 限 級 数 

136

練 習 問 題  第5章  5.1 

137

微 分 ・積 分 関 数 と 極 限 

138

 [1]  収 束 す る様 子 

138

 [2]  極 限 値 を もつ 条 件 

140

 [3]  極 限 の文 章 題 

141

5.2 

5.3 

微

142

 [1]  微 分 係 数 

142

 [2]  導 関 数 

143

 [3]  微 分 係 数 の 図 形 的 意 味 

145

微 分 の 応 用 

5.4 

146

 [2]  平 均 値 の定 理 

148

 [3]  関 数 の増 減 

149

 [4] 

152

積

グ ラ フ の 凹 凸  分 

153

 [1]  不 定 積 分 

153

 [2]  置換 積 分 

155

 [3]  定 積 分 の 計 算 

156

 [4]  定 積 分 の 置換 積 分 

157

 [5]  定 積 分 と係 数 決 定 

158

区分求 積 法 と定 積 分 

159

積 分 の 応 用   [1]  面

積 

160 160

 [2]  媒 介 変 数 表 示 の グ ラ フ の面 積 

162

 [3]  極 座 標 表 示 の グ ラ フ の面 積 

163

 [4]  立 体 の 表示 

164

 [5]  体

166

積 

 [6]  曲線 の 長 さ   [7]  積 分 の 平 均 値 の定 理  5.6 

146

 [1]  接 線 の 方程 式 

 [6]  5.5 

分 

170 171

微 分 ・積 分 と 近 似 値   [1]  関 数 の近 似 値 

172 172

  [2]  定 積 分 の近 似 値

  173

練 習 問題

 174

問 お よ び練 習 問題 の 解 答

 177

索

  (1)  問 の 解 答

 177

  (2)  練 習 問 題 の 解 答

 196

引

 209

第1章  ソ フ トウ ェアの基 本 操作   こ の章 で は,「 数 式 処 理 と関 数 」を 取 り扱 う上 で,最

も適 切 と思 わ れ る 数 学 ソ フ トウ ェ

ア の 「関 数 ラ ボ 」,「デ ラ イ ブ 」,「マ ス キ ャ ド」 を 取 り上 げ る 。 各 々 の ソ フ トウ ェ ア に つ い て,基

本 操 作 を説 明 す る と と もに,数

処 理 に つ い て 「例 題 」,「問 」 を1つ

式 の 入 力,計

算,グ

ラ フ を描 く方 法,そ

の他 の

ひ とつ 解 く こ とに よ っ て 自然 に 理 解 で き る よ う に考

えた。

1.1  [1] 

関数 ラボ 機能 の概 要

 関 数 ラ ボ を起 動 す る と,図1.1に

示 す 画 面 が 表 示 さ れ る。 これ を初 期 画 面 と い

う。   初 期 画 面 の 上 段 に あ る7つ の項 目 を 「メ イ ン メニ ュ ー 」 とい う。 この 中 か ら使 用 す る項 目 を1つ 選 ん で 操 作 を 開 始 す る。 メ ニ ュー 項 目の 選 択 は,キ ー ボー ド ま た は マ ウ ス に よ っ て行 う。 そ の主 な機 能 は 次 の とお りで,選

ば れ た項 目 に従 っ て

そ れ ぞれ プ ル ダ ウ ンメ ニ ュー が表 示 され る。  (a)  数 式 入 力   (b)  編

集

数 式 の新 規 入 力 や 追 加 入 力,定 義 式,注 釈 の 入 力 をす る。

  対 象 式,定 義 式,記 録,グ

ラ フ の 削 除 や 編 集 を す る。

図1.1  関 数 ラ ボの 初 期 画 面 お よび 画 面 各 部 の 名 称

  (c)

グ ラ フ 

グ ラ フ を新 規 に 追加 し て描 い た り,指 定 した パ ラ メ ー タ を変

化 させ て グ ラ フ を動 的 に表 示(ア

ニ メ ー シ ョン)す

る。 また,点

の 座 標 値 の表 示

等 をす る。  (d)  座 標 軸  

座 標 軸 の 移 動,x軸,y軸

の 目盛 の 変 更,表 示 領 域 の拡 大 ・ 縮

小 を す る。

 (e)  計

算

  多 項 式 の 展 開 と計 算,文

字 の 置 き換 え と整 理,因

数 分 解,方

程 式 の 解 を求 め,微 分 ・積 分,数 値 計 算 等 を行 う。 また,計 算 環 境 の 設 定 を す る こ とが で き る。  (f)  印

刷 

記 録 した 数 式 や 注 釈,グ

 (g)  セ ッ シ ョ ン 

ラ フ,画 面 全 体 の 印 刷 をす る。

イ ブや パ ス の 変 更,作

関 数 ラ ボの 現 在 の状 態 の こ とで,全

画 面 の初 期 化,ド

ラ

成 した画 面 の 保 存 と読 み込 み 等 を す る。

[2]  数 式の入 力  数 式 や 注 釈 は,キ ー ボー ドか ら入 力 す る。 数 式 入 力 をす る の は,主 に対 象 式 エ リア と定 義 式 エ リア で あ り,キ ー ボ ー ドよ り入 力 パ ネ ル を用 い て 入 力 す る。 注 釈

は,記 録 エ リア や グ ラ フ エ リアヘ 入 力 す る。 計 算 の 実 行 や グ ラ フの 描 画 は,数 式 を入 力 して 初 め て 実 行 され る。   数 式 の 入 力 で し ば しば使 わ れ る記 号 や 特殊 文 字 は,フ 当 て られ て お り,ま た 演 算 記 号 の入 力 に は,フ た 「数 式 ブ ロ ック 」 を用 い る(表1.1)。

ァ ン ク シ ョン キ ー に割 り

ァ ン ク シ ョ ンキ ー に割 り当 て られ

数 式 ブ ロ ッ ク の 中 の〓 印 で 示 さ れ る もの

を数 式 ブ ロ ッ クの 要 素 とい い,数 式 ブ ロ ッ ク を選 択 して,要 素 に数 値 や文 字,記 号,数

式 等 を入 力 す る。 こ の こ とに よ っ て,中 学 や 高 校 の教 科 書 に で て くる数 式

表 現 と同 じ形 で 数 式 等 を入 力 す る こ とが で きる 。

表1.1 

フ ァ ンク シ ョ ンキ ー の 割 当 て

(1)  対 象 式 の 入 力  計 算 や グ ラ フ を描 くと き の対 象 とな る式 を入 力 す る。「式 ○ ○ の △ △ を求 め な さ い 」 の 式 ○ ○ に相 当 す る。 入 力 パ ネ ル に1回 入 力 で きる 式 は1つ で あ るが,追 加 に よ って 複 数 の 対 象 式 を計 算 や グ ラ フ描 画 の対 象 に す る こ とが で き る。  対 象 式 と して 入 力 で き る数 式 は,次 の よ うな もの で あ る。  (a)  単 純 式

等 号,不 等 号 を含 ま な い数 式  

 (b)  関 係 式

等 号,不 等 号 を含 む 数 式

 (c)  点   (d)  線 な ど。

座 標(x,yの 分 

座 標 軸)

な ど。

(例)

な ど。

  (例)

 （例)

線 分 表 現(点 をハ イ フ ン で つ な ぐ)

な ど。

 (例)

(2)  定義 式の入力   対 象 式 の 中 の 変 数 の値 を定 義 した り,関 数 や 数 列 を定 義 す る。 た だ し,x,y, iを定 義 す る こ とは で き な い。 これ らの 変 数 に 数値(数 式)を 代 入 す る に は,「 文 字 の 置 き換 え」 を行 う。  定 義 式 と して 入 力 で き る数 式 は,次 の よ う な タ イ プ の 等 式 で あ る。

  な お,注 釈 の 入 力 に つ い て は 数 式 入 力 の プ ル ダ ウ ン メ ニ ュ ー 「注 釈(記 録)」,「 注 釈(グ ラ フ)」 を 用 い る 。

[3] 

計

算

  メ イ ンメ ニ ュー の 「計 算 」を選 択 す る と,7つ

の プ ル ダ ウ ン メ ニ ュー が 表 示 され

る。 この メ ニ ュー か らそ れ ぞ れ の処 理 に応 じて項 目 を選 択 し,対 象 式 の計 算 を実 行 す る。 対 象 式 が複 数 の場 合 は,対 象 式 エ リア に登 録 され て い る順 に結 果 が 記 録 に 表 示 され る。 (1)  展 開 と計 算   多 項 式 の 展 開,分

数 の約 分,微

分 ・積 分 等 を行 い,記 録 エ リア の 最 後 の行 に計

算 結 果 を表 示 す る。   「計 算 環 境 の設 定 」 で 「分 数 式 約 分 」,「複 素 数 計 算 」 を 「ON」 に して,そ れ 分 数 式 の 約 分,複

れぞ

素 数 計 算 をす る こ とが で き る。

(2)  数 値 計 算   対 象式 の値 が 数 値 と し て計 算 され,結 果 が 数 値 で 表 示 さ れ る。(1)の

「展 開 と

計 算 」は,対 象 式 を数 式 と して 処 理 して い る の に対 して,「 数 値 計 算 」を選 択 す る と関 数 電 卓 に よ る計 算 と同 じ く数 値 計 算 を行 う。

(3)  文字の置 き換 え   対 象 式 の 中 の1文 字(数

式 を除 く)を 任 意 の 数 式(単

純 式)で

置 き換 え る こ と

が で き る。 さ ら に展 開 と計 算 を実 行 す る場 合 は,「 計 算 環 境 の 設 定 」で 「計 算 結 果 → 対 象 式 」 を 「ON」 に して計 算 結 果 を そ の ま ま対 象 式 に入 力 し,続 け て 「展 開 と 計 算 」 を行 う。 (4)  因 数 分 解   対 象 式 を因 数 分 解 す る。記 録 エ リア の 最 後 の行 に 因 数 分 解 の 結 果 が 表 示 され る。 因 数 分 解 で き る対 象 式 は有 理 係 数 の多 項 式 で,有 理 数 の 範 囲 で 因 数 分 解 す る。  分 数 式 の 場 合 は,分 母,分

子 に対 して 因 数 分 解 を行 う。 。

〓の と き次 の式 を求 め よ。

〔 例 題1〕

(1)

(2)

〔 解〕

対 象式

 記 録 の 最 後 の2式 問1 

次 の 式 をxの

 定義式

が 式 ①,②

 記 録(図1.2)

の 解 で あ る。

次 数 の 高 い もの か ら順 に 並 ベ よ。 図1.2

(1) (2) 問2 

次 の 式 を展 開 せ よ。

(1) (2) 〔 例 題2〕   次 の 式 を計 算 せ よ。 た だ し,分 数 式 は約 分 し,複 素 数 は 虚 数 単 位iを 用 い て表 せ 。

(1)

(2)

(3)

(4)

〔 解 〕 記 録(図1.3)

図1.3

問3  次の 方程式 を解 け。 ただ し,分 数 は約分 し,複 素 数 は虚 数単位iを 用 いて表 せ。

(1)

(2)

(3)

(4)

〔 例 題3〕

関 数f(x)=-x4+2x2+1の

極 大 値,極

小 値 を求 め

よ。

〔 解〕 をONの

「計 算 」 の 「計 算 環 境 の 設 定 」 で 「計 算 結 果 →対 象 式 」 状 態 に し てf'(x)を

求 め る と,-4x3+4x(=f'(x))が

対

象 式 に再 入 力 され る。

対 象式

f'(x)

  記 録(図1.4)   f(x)=0よ x =0,±1

り,方

程 式 を解 い て 図1.4

x =0で

極小 にな り

,極

小 値=1

x =±1で 極 大 に な り,極 大 値=2

問4  次 の数列 の初 項 か ら第20項 まで の和 を求 め よ。

(1)

(2)

問5  次 の関数 を微 分 せ よ。

(1

)(2)

(3)

(4)

〔 例 題4〕

〓の と き

〓を 求 め

よ 。

〔解 〕 記 録(図1.5)

図1.5

問6  次 の不定 積分 を求 め よ。

(1)

(2)

問7  次 の定積 分 を求 め よ。

[4] 

グ ラ フ

  メ イ ン メ ニ ュ ー か ら 「グ ラ フ 」を 選 択 す る と,7つ

の プル ダ ウ ン メ ニ ュー が 表 示

さ れ る 。 こ の メ ニ ュ ー か ら使 用 す る 項 目 を 選 択 し て グ ラ フ エ リ ア へ の グ ラ フ の 描

画(新 規 ・追 加),ア

ニ メ ー シ ョン,消 去,座 標 の表 示 等 を行 う。 また,「 表 示 環

境 の 設 定 」 を選 択 して グ ラ フ エ リア の 表 示 条 件 を任 意 に変 更 で き る。 (1) 

グ ラ フ を 描 く(新 規 ・追 加)

  「グ ラ フ を描 く」 を選 択 す る と,指 定 した 条 件 で グ ラ フ エ リア に対 象 式 の グ ラ フ を描 くこ とが で き る(た だ し,こ の と き対 象 式 の数 式 に パ ラ メー タが 含 まれ て い な い こ と)。 また,す で に グ ラ フが 表 示 さ れ て い る とき に は,新 規 を選 ぶ と前 の グ ラ フ は消 去 さ れ る。  グ ラ フ を 描 け る 数 式 は,お   ・座 標 表 現 に よ る 点(例

お む ね 次 の もの で あ る。 え ば,点(a

,b)な

ど)

  ・線 分  ・x

,yの

関 数(2変

,yの

不 等 式 に よ る領 域

  ・x

〔 例 題5〕2次

数x,yの

関 数 は2次

関 数y=2x2-4x+3の

形 式 な ど)

グ ラ フ を描 け。 また,頂 点 の座 標 と軸 の方

程 式 を求 め よ。 〔 解 〕

図1.6の

よ う に,頂

点 の 座 標 は(1,1),軸

の 方 程 式 はx=1で

ラ フ 上 で は 理 論 ど お り正 確 に は 測 定 さ れ な い こ と が あ る 。

問8 

次 の 関 数 の グ ラ フ を描 け。

(1) (3)

(2) 問9 

2次 関 数y=-x2+5x-4の

描 き,1≦x≦5に

グラフを

お け る最 大 値 と最 小 値 を 求

め よ。

問10 

2つ の 放 物 線y=4x2+5x…

-2x2-x…

①,y=

② の グ ラ フ を描 き,2つ の 曲 線 で

囲 まれ た 部 分 の面 積 を 求 め よ。   (注)  式 ① をy≧4x2+5x,式 -2x2-xと

② をy≦

不 等 式 と して 入 力 す る と,グ

ラ

図1.6

あ る が,グ

フ を描 く と き に共 通 部 分 を 斜 線 等 で 表 示 す る こ とが で き る。

(2)  ア ニ メー シ ョン   パ ラ メー タ の値 を 変 化 させ な が ら グ ラ フ を動 的 に表 示 す る。 「グ ラ フ」の プル ダ ウ ンメ ニ ュー か ら 「ア ニ メ ー シ ョン」 を選 ぶ と,グ ラ フエ リア に 対 象 式 の グ ラ フ が 黄 色 の線 で 表 示 さ れ,同 時 にパ ラ メー タパ ネ ル が 表 示 さ れ る。 指 定 した パ ラ メ ー タ を変 化 させ て グ ラ フの 変 化 をみ る。 この と き,目 的 に合 わ せ て 残 像 また は点 の 軌 跡 を 「ON」,「OFF」 〔例 題6〕

y =2x2+1…

に して グ ラ フ の状 態 を調 べ る こ とが で き る。 ①,y=-x+k…

② の グ ラ フ を 描 き ,2x2+1=-x+kの

解 の個 数 を調 べ よ。 〔解 〕 対 象 式 にy=2x2+1,y=-x+kを

入 力 し,ア ニ メ ー シ ョン でkの

値 を変

化 させ る。kの 値 に よ っ て 式①,② の グ ラ フの 状 態 か ら解 の 個 数 を調 べ る こ とが で き る。  (注)  kの 正 確 な 値 は2x2+1=-x+kの

判 別 式 よ り求 め る。

図1.7

問11  よ 。

残 像 を 「ON」 に し て,aが

変 化 し た と きのy=x2+ax-2の

グ ラ フ の 変 化 を調 べ

問12 

パ ラ メ ー タa,p,qの

値 を変 化 さ せ て,y=a(x-p)2+qの

グ ラ フ の 変 化 を調 べ

よ 。

問13 y=x+kがx2+y2=6と,①2点 れ ぞ れ に つ い てkの

で 交 わ る,② 接 す る,③ 共 有 点 を もた な い,そ

値 を求 めよ。

 (注)  お お よ そ の 目安 を 定 め,正 確 な値 は計 算 で 確 認 す る。

〔 例 題7〕tを

媒 介 変 数 と し てx=t-sint…

①,y=1-cost…

の 軌 跡 を 求 め よ 。一 般 に,x=a(t-sint),y=a(1-cost)で

② で 表 され る点 表 さ れ る曲 線 をサ イ

ク ロ イ ド曲 線 と い う 。 〔解 〕

問 題 の 曲 線 は,半

径1の

円 がx軸

あ る 。円 の 方 程 式 は(x-t)2+(y-1)2=1,点 象 式 に 入 力 し,ア る とき は

上 を 転 が る とき の 円周 上 の点 の 軌 跡 で の 座 標 を(t-sint,1-cost)と

ニ メ ー シ ョ ン グ ラ フ で 描 く と図1.8の

「点 の 軌 跡 」 を 「ON」

して対

よ うに な る。 軌 跡 を求 め

にす る。

図1.8

問14 r=sinnθ

と極 座 標 表 示 され た 曲 線 の グ ラ フ を描 け。 た だ し,n=2と

  (注) x=rcosθ,y=rsinθ,r=f(θ)と

して 媒 介 変 数 表 示 す る。

す る。

  座 標 軸 の プル ダ ウ ンメ ニ ュ ー か ら 「ズ ー ム ア ッ プ」 を選 ぶ こ と に よ り,任 意 の 領 域 を 画 面 い っ ぱ い に拡 大 す る こ とが で きる 。 拡 大 した い領 域 の左 上 す み に 十 字 カー ソル を移 動 し,左 上 す み の希 望 す る位 置(点)を マ ウ ス で ク リッ クす る か,同 時 に表 示 され る操 作 パ ネ ル の 矢 印 と決 定 を ク リ ッ クす る(キ ー操 作 はマ ニ ュ ア ル を参 照)。   次 に,右 下 す み の点 を ク リ ッ ク す る こ とに よ り拡 大 す る領 域 が定 ま り,「 決 定 」 を ク リ ック して 拡 大 す る。

〔 例 題8〕確率 た,見 〔 解 〕

密 度 関数f(x)=1/√2πe-x2/2で与 え られ る正規 分布曲 線 を描 け。 ま

や す くす るた め に グ ラ フ を拡 大 して 示 せ 。 ズ ー ム ア ッ プ の 機 能 を 用 い て,-4≦ｘ

≦4,-0.15≦ｙ

≦0.8程

度 に拡 大 す

る 。

図1.9

問15  ズ ー ム アツ プ の 機 能 を 用 い て,〓

の 近 くの関数 の状 態 を 調 べ よ。

1.2  [1] 

Mathcad(ウ

イ ン ドウズ 版)

機能 の概要

  Mathcadは

数 値 計 算,数

式 処 理,グ

ラ フ作 成 な ど の機 能 を備 えた ソ フ トで あ

る。 ノー トに 自 由 に記 述 して い く感 覚 で操 作 し て い けば よ い よ う に な って お り, 表 示 も数 学 の 専 門 書,教

科 書 の 記 述 と同 じ よ う に な る よ う に設 計 され て い る。 ウ

イ ン ドウ ズ版 で あ る た め,マ

ウ ス で簡 単 に 操 作 で き る よ う に な って い るが,キ ー

ボ ー ドだ け で も数 式 を入 力 で き る よ う にキ ー が 割 り当 て られ て い る。 繰 り返 し計 算 も レ ン ジ変 数 を使 って お り,プ ロ グ ラム を組 む とい う感 じで はな く,数 式 を記 述 す る とい う感 覚 で 数 列 の 漸 化 式 や グ ラ フ の作 成 を扱 う こ とが で き る。   数 値 計 算 に 重 きを 置 い てお り,数 式 処 理(シ う感 じ もす るが,「Maple」

ンボ リッ ク計 算)は 付 け足 し とい

とい う数 式 処 理 ソ フ トを使 い 結 果 をMathcadの

数式

で 表 して い る。 シ ン ボ リ ック計 算 で は無 理 数 の計 算 を近 似 小 数 で 行 わ な い で,無 理 数 の ま まで 扱 い,結 果 も無 理 数 を使 って 表 現 す る。 数 学 で は,こ の方 が都 合 が よい 。 数 値 計 算 は 自動 計 算 を して くれ るが,数 な らな い の で,ワ

式 処 理 は そ の つ ど操 作 しな け れ ば

ー ク シ ー トの数 式 を変 更 す る と即 座 に 結 果 の 数 式 が変 わ る とい

う よ うな こ とは な い 。   グ ラ フ ィ ッ ク ス に つ い て は,関 数 ラ ボ の よ う に動 き を 見 せ た りす る こ とが で き な い。 エ ラー 処 理 を して くれ な い た め,定 義 域 に は十 分 注 意 し な い とい けな い 。 ズ ー ム機 能 が な い な ど不 満 は残 るが,数 値 計 算 の 結 果 とグ ラ フ を 同 時 に見 せ られ た り,プ

リン ト教 材 の作 成 が容 易 で あ る こ とな ど利 点 も多 い。

  ウ イ ン ドウ ズ上 で 動 くの で,他 の ソ フ ト と同時 に使 う こ とが で き る。Mathcad 文 書 も同 時 に複 数 見 る こ とが で き る。 他 の ソ フ ト との デ ー タ の や り取 り も簡 単 で あ る,操 作 も覚 えや す い な ど便利 な点 が多 い 。   微 分 ・積 分 は 第5章 に説 明 す る。

で詳 し く説 明 す るの で,こ

こで は数 列 とグ ラ フ作 成 を 中心

[2] 

Mathcadの

起動

  ウ イ ン ド ウ ズ の プ ロ グ ラ ム マ ネ ー ジ ャ ー の 中 のMathcadを の ウ イ ン ド ウ ズ が 現 れ る 。 ス ペ ー ス の 関 係 で,小

目 に命 令 メ ニ ュ ー が 並 んで い る が,そ

起 動 さ せ る と,次

さ な ウ イ ン ド ウ に し て あ る 。2行

の

どれ か をマ ウ ス で ク リ ック す る と,そ の 中 の命 令 が メ ニ ュー に な っ て現 れ る。 左 側 の ス イ ッ チ は数 式 入 力 の と き に使 用 す る もの で マ ウ ス で ク リ ック す る と,ル ー トや 指 数 を入 力 で き る よ うに な る。 式 を 入 力 した り,値 を代 入 した りす る ノー トに あ た る部 分 が 真 ん 中 の 白 い部 分 で あ る。 そ の左 上 に小 さな十 字 の マ ー クが あ るが, こ れ がMathcadの

[3] 

カー ソル で あ る。

簡 単な計算

  電 卓 で 行 う よ う な 計 算 をMathcadで

〔 例 題9〕

図1.11の

〔 解 〕(1) 

よ う に,分

行 う こ とが で き る。

数 と ル ー トを 使 っ た 計 算 を 実 行 せ よ 。

十 字 の カ ー ソル が あ る 所

に 数 値 が 入 力 さ れ る の で,マ し,左

図1.10

ボ タ ン を ク リ ッ ク し,カ

ウスを動か ー ソル を

好 き な所 へ移 動 さ せ る。  (2) 

「32/5+3.6」

と 入 力 す る と,32/5

+3.6と 表 示 さ れ る 。  (3) 

「=」 と 入 力 す る と,左

を 計 算 し て,右

辺の値

辺 に表 示 す る。 リ ター ン

図1.11

キ ー を 押 す と,そ  (4) 

れ が 確 定 し,カ

「¥2+¥3=」

ー ソル が 次 の 行 に 移 る 。

と入 力 す る と,〓=1.932と

表 示 さ れ,リ

ター ン キ ー

を押 す と確 定 し,カ ー ソル が 下 の 行 に移 る。  (注1) 

ル ー トの 入 力 は√

 (注2) 

キ ー ボ ー ドか ら 入 力 す る キ ー は 「と」 で く く っ て 示 す 。

問16 

図1.11の

の ボ タ ンを ク リ ッ ク して も よ い。

よ う に,√6＋√2/2=を

入 力 し,計 算 結 果が同 じに な る こ と を確 か め よ。

[4]  変数や関数の定義   変 数 は ア ル フ ァ ベ ッ トで 始 ま る 文 字 列 で 表 す 。2文 字 以 上 で あ っ て も よ い の で, 2aｂ と し て 積 を 表 し た い と き は 「2*a*ｂ

」と 入 力 し,2・a・bと

表 示 し な けれ ば な

ら な い 。関 数 は 数 学 と 同 じ よ う に カ ッ コ の 中 に 変 数 を 入 れ て,ｆ(x)と

表 せ ば よい 。

関 数 名 も2文 字 以 上 で あ っ て も よ い。 〔 例 題10〕ｒ=3と 〔 解 〕(1) 

し て,円 「ｒ:3」

  (2) 

「2*π*ｒ=」

  (3) 

「π*r^2=」

の 周 と面 積 を 求 め よ 。

と入 力 し,リ と入 力 し,リ と入 力 し,リ

タ ー ン キ ー を押 す 。 タ ー ンキ ー を押 す。 タ ー ン キ ー を押 す 。

図1.12

  (注1)  左 辺 の 変 数 に値 を代 入 した り,関 数 を定 義 し た りす る の は：=で

あ り,

:キ ー で 入 力 で き る 。

  (注2) 

=は 左 辺 の 式 の値 を計 算 す る記 号 で あ り,入 力 した段 階 で 値 の 計 算 が

行 わ れ る。   (注3) 

円周 率 π は左 に あ るπ をマ ウ ス で リ ッ ク して 入

力 す る。

〔例 題11〕f(x)=x2+2xの

と き,f(1.2)の

値 を求 め よ。

〔解 〕 次 の よ う に入 力 す る。  (1) 

「f(x):r^2」,ス

ペ ー ス キ ー,「+2*x」

と入

図1.13

力 し,リ  (2)

タ ー ンキ ー を押 す 。   「f(1.2)=」

問17 

△ABCの

と入 力 す る 。

面 積 を 辺 の 長 さa,b,cを

変 数 とす る 関fで

表 し,f(3,5,7)を

求

め よ。

[5] 

レンジ変数

  Mathcadに や,グ

は レ ン ジ 変 数 と い う 独 自 の 変 数 が あ り,こ

ラ フ の 描 画 が で き る 。i:=1..10と

値 を と り,x:=-2,-1.8..2と

す る と,iは1か

の 働 き で 繰 り返 し 計 算 ら10ま

で の 自然 数 の

す る と,xは-2,-1.8,-1.6,…,1.8,2の

実

数 を と る こ と に な る 。レ ン ジ 変 数 は 等 差 数 列 で 並 ん だ 値 の 集 合 で あ り,2つ し か 示 し て い な い 前 者 の 場 合 は,公

差 が1ま

た は-1,3つ

の 数 字 が 示 され て い る

後 者 の場 合 は,最 初 の2つ の 数 字 の 差 が 公 差 に な る。 〔 例 題12〕2か 〔解 〕

ら9ま で の 正 の平 方 根 の 値 を求 め よ。

図1.14の

ワー ク シ ー トを次 の よ う に し て入 力 す る。

 (1) 

「i:2;9」

 (2) 

「¥i=」

 (注) ..は；

〔 例 題13〕

と入 力 し,リ と入 力 し,リ

ター ン キ ー を押 す。

ター ン キ ー を押 す。

キ ー で 入力 で き る。

〔 例 題12〕 の数 値 の小 数 点 以 下 の けた 数 を変 更 せ よ。 図1.14

〔解 〕(1) 

[マ ス(M)]の

フ ォ ー マ ッ ト(F)]を 1.15の  (2) 

中 の[数

値

選 択 す る と,図

操 作 パ ネ ル が 現 れ る。 表 示 精 度 の と こ ろ を8に

し,了

解 を ク リ ッ ク す る と,小 数 点 以 下8け

た

で表 示 さ れ る。 問18 

1か ら15ま

で の 階 乗 を 求 め よ 。n!

とい う関 数 を使 っ て よ い 。た だ し,大 き な 数

の数 字

図1.15

も指 数 表 記 を し な い で 求 め よ。

〔例 題14〕a1=1,ai+1=ai+iで

〔 解〕

図1.16の

表 さ れ る 数 列 のa5,a101を

求 め よ。

よ う に 入 力 し て い く。

  (1)  3行 目が 漸 化 式 で あ る。 これ は 「a[i+1：a[i」

と入 力 し,ス

ー を押 した あ と

ペ ース キ

,「+i」 と 入 力 し,リ タ ー

ンキ ー を押 す 。   (2) 

レ ン ジ 変 数iが1か

繰 り返 さ れ,a101ま   (3) 

で

で 計 算 され る。

「a[5=」

「a[101=」

ら100ま

でa5=11が

でa101=5051が

表 示 さ れ,

図1.16

表 示 さ れ る。

 (注)  下 付 き文 字 を入 力 す るの は,左 のxiの ボ タ ン を ク リ ッ ク して も よい 。 問19 

15の 階 乗 を漸 化 式 を 使 っ て 求 め よ。

[6]  領域の移動   左 ボ タ ン で ド ラ ッ グ す る と,点 て い る 領 域 は,点

線 の ボ ッ ク スが 現 れ る。 そ の ボ ッ ク スが 掛 か っ

線 の ボ ッ ク ス で 囲 わ れ る 。 こ の こ と に よ り,そ

れ た こ と に な り,削

除,複

写,移

動 な どが で き る よ うに な る。 指 定 され た 領 域 の

中 に マ ウ ス カ ー ソ ル を 入 れ る と,十 ボ タ ン を 押 し,押

し た ま ま,マ

を 離 す と移 動 が 終 わ る(図1.17参

の領 域 が 指 定 さ

字 の カ ー ソ ル が 大 き くな る 。 そ こ で マ ウ ス の

ウ ス を 移 動 し た い と こ ろ ま で も っ て い き,ボ

タン

照)。

図1.17

 た だ し,数 式 の 移 動 をす る と図1.17の

よ う に定 義 され て い な い 関 数 を参 照 して

し ま う 結 果 に な る こ と が あ り。Mathcadは い く の で,う 削 除,複

墓 く配 置 す れ ば,見

写 に つ い て は,他

上 か ら 下 へ,左

か ら右 へ 式 を 評 価 し て

や す い 数 学 教 材 を 作 成 す る こ と が で き る 。 ま た,

の ウ イ ン ド ウ ズ の ソ フ ト と 同 じ よ う に[編

集(E)]の

メニ ュ ー の 中 に 命 令 が 入 って い る。

[7] 

グ ラフの描 画

  Mathcadの2次

元 グ ラ フ はxを

レ ン ジ変 数 と して 横 軸 に と り,  f(x)を 縦 軸 に

と っ て描 い た り,iを レ ン ジ変 数 と し,xi,yiを

軸 とした り,θ を レ ン ジ変 数 と し,

x(θ),y(θ)を 軸 と し た り,い ろ い ろ な 方 法 で 描 け る 。た だ し,既 定 値 で は グ ラ フ が小 さ く,軸 を表 示 して くれ な い な ど使 い に くい面 も あ る。 そ の た め,一 度 描 い て か ら修 正 す る必 要 が あ る。 また,複 数 の グ ラ フ を 同 じ座 標 に表 示 す る こ とが で き色,線

種 な ど を 自 由 に選 ぶ こ とが で き る。

  た だ し,関 数 値 が 虚 数 に な る と虚 部 を無 視 して グ ラ フ を描 いた り,0で 割 っ て し ま う と い うエ ラー が で るの で,定 義 域 に は 十 分 注 意 す る必 要 が あ る。 〔 例 題15〕y=x4の

グ ラ フを描 け。

〔 解 〕(1) 「x：-2,-1.8；2」 力 し,リ

と入

タ ー ン キー を押 す。

  (2) 「x^4」 中 の[グ

と 入 力 し,[グ

ラ フ 作 成]を

選 ぶ(@キ

ラ フ]の ー を押

し て も よ い)。   (3) 「x」

を 入 力 し,リ

押 す と,図1.18の

〔 例 題16〕

タ ー ンキ ー を 図1.18

グ ラ フが 表 示 され る。

〔 例 題15〕 の グ ラ フ フ ォ ー マ

ッ トを変 更 せ よ。 〔 解 〕

グ ラ フ の 中 を マ ウ ス で ク リ ッ ク す る と,青

い ボ ッ ク スで 囲 わ れ る。さ らに

y軸 の 上 端 の と こ ろ を ク リ ッ ク し,デ リ ー トキ ー を 押 し た 後,「3」を 入 力 し てTAB キ ー を 押 す と 下 端 に カ ー ソ ル が く る の で,同

様 に し て 「-1」 を 入 力 し て リ タ ー ン

キ ー を押 す 。   (2) 

[グ ラ フ]の

ー マ ッ ト]を 選 択 し 中 のy軸

の[マ

中 の[グ

ラフフォ

,図1.19の

パネル の

ー カ ヘ の ク リ ッ プ]を

チ

ェ ック す る。   (3) 

縦 横 の 尺 度 は正 確 に合 わ せ る方 図1.19

法 は な い の で,グ

ラ フ の サ イ ズ は手 作 業

で 変 更 す る。   (注)  グ ラ フ の サ イ ズ の 変 更 は グ ラ フ 外 の 点 か らマ ウ ス を ドラ ッグ し て グ ラ フ を 選 択 す る 。 次 に マ ウ ス を返 の と こ ろ で ドラ ッ グ して ボ ッ クス を広 げ て 大 き さ を 調 整 す る 。 最 後 に,グ

ラ フ外 の 点 を マ ウ

ス で ク リ ッ ク す る と,図1.20の

ようにな

図1.20

る。

問20 y=sinx(-π〓x〓2π)の

グ ラ フ を 描 け 。 ま た,x軸

の[マ

ー カ へ の ク リ ッ プ]を

チ ェ ック して ど うな る か 調 べ よ 。

〔 例 題17〕y=x4,y=x2,x2/4+(y-1)2 =1の3つ

の グ ラ フ を表 示 せ よ

〔 解 〕(1)  px(t), py(t)の

図1.21の

。

よ う に,x,t,

式 を入 力 す る。

  (2) 「x＾4」,ス

ペ ー ス キ ー,「,x^2」,

ス ペ ー ス キ ー,「,py(t)@」

と 入 力 し,グ

ラ フ 枠 が 表 示 さ れ た 後,「x,x,px(t)」

と

入 力 す る。   (3) 

TABキ

ー を 押 し,y軸

の上限 の

図1.21

 x：

と こ ろ で 「3」を 入 力 し,さ し,リ

ら にTABキ

ー を 押 し,下

限 の と こ ろ で 「-1」 を 入 力

ター ンキーを押す。

  (注) xの

関 数 の グ ラ フ を描 くだ け な ら横 軸 の変 数 はxだ

けで よ い の で あ る

が,媒 介 変 数 表 示 の グ ラ フ も描 くた め に,縦 軸 と横 軸 の変 数 が 対 応 す る よ う に xを2回 記 述 して い る 。

問21 

だ 円x2+y2/4=1,双

〔 例 題18〕 y

曲 線x2-y2/4=1の

=2x+1/-1の

グ ラ フ を 同 じ座 標 上に 描 け 。

グ ラ フ を描 け。

 x：=-5,-4.75..5と

し て,〔 例 題16〕 と 同 じ よ う に グ ラ フ を 描 こ う と す る と,

「異 常 な 処 理 が 行 な わ れ ま し た 」と い う エ ラ ー に な る 。 これ はxが1に に0で

なった とき

割 る こ と に な る か ら で あ る 。こ れ を 避 け る た め に は,x:=-5,-4.8..5と

す る 。パ ソ コ ン は2進

演 算 を し て い る た め,0.2ず

つ 増 え て い く と誤 差 の 関 係 で1

に な らな い の で あ る。

〔 解 〕 (1)   (2)    (3) 

=-10,-9・9..10,f(x)：=2x+1/x-1を

「f(x)@x」 TABキ

キ ー,-4,リ

入 力 す る｡

と入 力 す る。

ー,7,TABキ

ー,-3,TABキ

タ ー ン キ ー と順 に 押 し て い く(変

ー,f(x),TABキ

ー,6,TAB

な グ ラ フ が 現 れ て 驚 く と思 う が,

こ れ は 縦 軸 が レ ン ジ 内 の 最 大 値 と最 小 値 を上 端 と下 端 に と っ て い る た め で あ る)。   (4) 

グ ラ フ 内 を ク リ ッ ク し,[グ

ッ プ をx軸,y軸 が,縦

ラ フ フ ォ ー マ ッ ト]を 選 び,マ

両 方 チ ェ ッ ク し て,了

の 漸 近 線 が1本

解 を ク リ ッ ク す る(直

引 か れ て い る 。 実 は,こ

ー カへ の ク リ

角双 曲 線 が 現 れ る

れ は 漸 近 線 で は な く,x=1で

続 で あ る の に 結 ん で し ま っ た 結 果 で あ る 。 こ れ を 解 消 さ せ る に は,グ

不連

ラ フ の種 類

を 変 更 す る必 要 が あ る。   (5) 

[グ ラ フ フ ォ ー マ ッ ト]の パ ネ ル の 中 の[ト

レ ー ス1]を

種 を[ド

ロ ー]に

  (6) 

つ い で に 方 眼 表 示 に す る た め に,グ リ ッ ド ラ イ ン をx軸,y軸

ク リ ッ ク し,線

変 更 す る。 両方 チェ ッ

ク し,自 動 グ リ ッ ドの チ ェ ッ ク を 解 除(× の と こ ろ を ク リ ッ ク)し,グ

リ ッ ド数 を

10に 変 更 す る 。 了 解 を ク リ ッ ク す る 。 次 に 軸 を点 線 で 表 示 す る。   (7) 

縦 軸 の と こ ろ のf(x)を

ク し,「,0,x」

と入 力 し,何

ー を押 し

,横 軸 のxの

き,「,x,0」

ク リッ

回 かTABキ

と こ ろ に もっ て い

と 入 力 し,リ

タ ー ン キ ー を押

す 。 こ の グ ラ フ が 図1.22で

あ る。 図1.22

問22 

〔 例 題18〕 の グ ラフ のf(x)を2x+1

/x2-1に 変 更 して み よ。 また,レ

[8] 

ン ジ変 数xの

公 差 を小 さ く し,結 果 を 比 べ よ。

数列 の和 とシ ンボ リックプ ロセ ッサ

  Mathcadは

Σ の 演 算 子 を持 っ て い る が,普 通 に 数 値 計 算 す る 方 法 と シ ン ボ リ

ッ ク計 算 とい う文 字 式 の計 算 で 行 う方 法 の2通 は,[シ

りが あ る。 この シ ン ボ リ ック 計 算

ン ボ ル]と い うメ ニ ュ ー の 中 に入 っ て い る た め,初 め に[シ ン ボ リ ッ ク プ

ロセ ッサ の ロー ド]と い う項 目 を選 ん で か らで な い と使 用 で きな い。 式 の 展 開 ・ 因 数 分 解 ・数 列 の和 ・微 分 ・積 分 ・部 分 分 数 に 分 け る,方 程 式 を解 くな ど,か な りの こ とが で き る。 〔例 題19〕 〔解 〕4通   (1) 

初 項1,公

差3の

等 差 数 列 の 初 項 か ら第100項

ま で の和 を求 め よ。

りの 方 法 を示 す 。 まず1つ

の方法 は〔 例 題14〕 の よ うに 漸 化 式 を使 う方 法 で あ る。数 列{an}

を漸 化 式 で 定 義 し,和Snも

漸 化 式 で 定 義 す る。S100=で 実行 例 の よ うに第100項

まで の和 を求 め る こ とが で き る 。   (2)  次 に,Σ の演 算 子 を使 う方 法 で,Σ を ク リッ ク す る か,$キ の 後 に一 般 項3n-2かanを

置 き,Σ の下 にnを

入 力 し,「=」

ー を押 す。 Σ

と入 力 す る。

図1.23

 (3) 

も う1つ

 ①  ま ず,[シ  ② 

は,シ

ン ボ リ ック プ ロ セ ッサ を使 う方 法 を示 す 。

ン ボ ル]の

「$(3*k-2)」

中 の[シ

ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッサ の ロ ー ド]を 実 行 す る 。

と 入 力 し,TABキ

ーを押す。

 ③  「k」と入 力 し, Ctrｌ キー を押 しな が ら+キ ー を 押 す と,等 号 が 入 力 さ れ る。 この 等 号 は代 入 の:=と 計 算 結 果 を 求 め る=と

も,

も違 うの で 注

意 が 必 要 で あ る。  ④  続 け て,「1;n」

と入 力 し,リ

ター 図1.24

ン キ ー を押 す 。

 ⑤  この Σ の 式 の Σ の とこ ろ を ク リ ッ ク し,式 全体 を青 い ボ ッ ク ス で 囲 い,[シ ン ボル]の   (注1) 

中 の[シ

[マ ス]の

ンボ リ ック に評 価]を 実 行 す る。

中 の[数 値 フ ォー マ ッ ト]の パ ネ ル で[指

デ ィ フ ォル トは3に な っ て い る。14950と   (注2) 

[シ ンボ ル]の

中 の[導

数 し き い値]が

表 示 す るた め に は この 値 を6に す る。

出 フ ォー マ ッ ト]を 選 択 す る と,右 のパ ネ ル

が 現 れ る。 導 出 コ メ ン ト表 示,水 平 方 向 を チ ェ ック した の が,実 行 例 で あ る。 起 動 した とき の状 態 は,「 垂 直 方 向,ラ

問23 〓

イ ン挿 入 」 が チ ェ ック され た 状 態 で あ る。

を シ ン ボ リ ッ ク 計 算 で 求 め よ。また,n=100の

と き の和 を数 値 計 算 で 求 め よ。

1.3 

DERIVE

[1] 

機能 の概要

  DERIVEは,関

数 ラ ボ やMathcadと

同 じ よ う に,数 値 計 算,数

式 処 理,グ

ラ フ

描 画 な ど の 機 能 を 備 え た ソ フ トで あ る 。

  この ソ フ トは,ホ ノ ル ル の ソ フ トハ ウス が 企 画 した もの で あ り,諸 外 国 に ユ ー ザ ー が 多 くい る とい わ れ て い る。 メ ニ ュー は英 文 で あ る が,コ マ ン ドは そ の頭 文 字 を押 せ ば,処 理 が 完 了 す る。完 了 し な い場 合 は,次 の コ マ ン ド(階層 コ マ ン ドと い わ れ る)が 表 示 され,そ の つ ど必 要 な コ マ ン ドの頭 文 字 を押 す こ とに よっ て,目 的 の 処 理 が で き る シ ステ ム に な っ て い る。 この こ とか ら,慣 れ れ ば電 卓 を利 用 す る よ うな 感 覚 で扱 う こ とが 可 能 で あ る。   ま た,一 度 入 力 した 数 式 を再 利 用 で きる ば か りで な く,そ の 数 式 の一 部 分 を再 利 用 す る こ と もで き る機 能 を もつ 。 ま た,す で に入 力 した 数 式 を組 み合 わ せ た 数 式 を新 た に構 成 す る こ と もで き る。 この よ う な機 能 は,他 の ソ フ トに は 見 られ な い特 徴 で あ ろ う。   数 式 の 四則 な ど に つ い て は,第2章 算,三

角 比 や 対 数 の 値,ベ

で詳 し く述 べ るの で,こ

こで は,簡 単 な計

ク トル と行 列 の 表 示 と演 算 の 基 本 に つ い て述 べ る。 後

に紹 介 す る コマ ン ドか ら もわ か る よ う に,DERIVEは,グ

ラ フ の描 画 や 微 分 ・積

分 演 算 な ど も容 易 に こな す こ とが で き る。

[2]  DERIVEの (1) DERIVEの

立ち上げと終了 立 ち上げ

 カ レ ン ト ド ラ イ ブ にDERIVEの ト)の状 態 でA＞DERIVEと   DERIVEの

運 用 デ ィ ス ク を挿 入 し て,A＞(Aプ

キ ー イ ン し て,RETURNキ

ロ ンプ

ー を押 す。

フ ァイ ル が 本 体 に読 み 込 ま れ,デ ィ ス プ レイ 画 面 が 上 の部 分 と コマ

ン ドが表 示 され る下 の 部 分 とに分 割 され る。

 上 の部 分 は数 式 の 入 力 が 開 始 され る と,そ の 数 式 の入 力 ご と に,自 動 的 に番 号 (ラ ベ ル 番 号 と い う)が 付 さ れ て 表 示 さ れ る(図1.25)。

図1.25

(2)  コ マ ン ドの 表 示   コ マ ン ドの 表 示 部 分 に は, COMMAND：Author

Build

Options

Plot

Calculus

Quit

Declare

Remove

の よ う な コ マ ン ドが 表 示 さ れ,「Author」 示 部 分 は,TABキ   こ の2行

Expand

Simplify

ー ま た は ス ペ ー ス キ ー に よ っ て,順

ラ イ ン と 呼 ば れ,DERIVEが

Help

moVe

soLve

Manage

approX

に移 動 で き る。

呼 ば れ る 。 そ の 下 の 行 は,メ

ッセ ー ジ

現 在 実 行 し て い る コ マ ン ド の 内 容 ま た は 次 に 行 う実

行 コ マ ン ド を 表 示 す る 。 ま た 一 番 下 の 行 は,ス の 現 在 の 状 態 が 表 示 さ れ る 行 で あ る 。 記 号%の

テ ー タ ス ラ イ ン と 呼 ば れDERIVE 前 の 数 は,本

体 の メ モ リの 空 き の

の 表 示 に 続 く欄 は 入 力 行 の 編 集 モ ー ドが,上

書 き モ ー ドで あ る か

挿 入 モ ー ドで あ る か を,ま た,編 集 モ ー ド に続 く欄 はDERIVEに の 現 状(Algebra 

Jump

Window

が リバ ー ス 表 示 さ れ る 。 こ の リバ ー ス 表

は コ マ ン ドメ ニ ュ ー(図1.26)と

割 合 を 示 し,そ

Factor

Transfer

Windowな

ど)を 表 示 し て い る 。図1.26は,メ

で あ る。

図1.26

続 き,WINDOW ニ ュ ー 画面 の 説 明

(3)  コ マ ン ドの 実 行 と終 了   コ マ ン ド は,次

の2つ

の 方 法 の い ず れ か に よ っ て 実 行 さ れ る 。 そ の1つ

行 さ せ た い コ マ ン ド を リバ ー ス さ せ,そ る 。 も う1つ

は,リ

の 状 態 でRETURNキ

バ ー ス の 状 態 に 関 係 な く,コ

は,実

ー を押 す 方 法 で あ

マ ン ドの大 文 字 表 示 され て い る

ア ル フ ァベ ッ トを キー イ ンす る方 法 で あ る。   例 え ば,「Quit」 DERIVEは

が リ バ ー ス さ れ て い る 状 態 でRETURNキ

ー を 押 せ ば,

終 了 す る 。 ま た,リ バ ー ス さ れ て い る コ マ ン ド に 関 係 な く,キ ーA(大

文 字A,小

  Authorコ

文 字aの

い ず れ で も よ い)を 押 せ ば,コ

マ ン ドの 大 文 字 表 示 され て い るAを

章 で はAと 表 示 す る と共 に,Aに

マ ン ドAuthorが

実 行 され る。

強 調 す る意 味 で,こ

引 き続 い て,Sを

行 う こ とをASと

の節 と第2 表す こ とと

す る。 (4) 

コ マ ン ドの 構 成

  DERIVEの1つ

の コマ ン ドは,そ の コマ ン ドを 実 行 す る と,そ の コマ ン ドの次

に 必 要 な コマ ン ドが 表 示 さ れ る よ う に作 られ て い る。 こ の よ う にDERIVEの

各

コ マ ン ド は,そ れ まで の コ マ ン ドに設 定 さ れ て い る 条件 の も とで 表 示 され る とい う階 層 構 造 を備 え て い る。 こ こで は,階 層 を追 っ て の コマ ン ドの す べ て の 解 説 は で き な い が,以 下 で,メ

イ ン コマ ン ド(第1階 層 コマ ン ド)に つ い て,そ の 概 略 を

述 べ る に止 め る。   Author   

Build

式 入 力 の コマ ン ド,数 式 入 力 の 出 発 点

 す でに入力 した式 を組 み合わせ た式の作成

  Calculus 

微 分,積

分,極

限,累

積,Σ,テ

 

関 数,変

数,行

列,ベ

ク トル な ど の 宣 言

Declare 

  Expand   

Factor

  Help

ィ ラ ー 展 開 な どの導 入

展 開 計 算,計 算 せ よ の指 示

 因数分 解,素 因数分解 の指示  ヘ ル プ メ ニ ュー 画 面 の表 示

 すで に入力 した数式 を再 利用す る時 な どに使 用

  soLve

 方程式,不 等式 の解 の算出の指示

 

  Jump

Manage 

指 数 関 数,対 数 関 数,三

角 関 数 な どの 代 入 計 算 の指 示

  Options   

デ ィ ス プ レ イ,け

た 数 な どの 設 定

 画 面 設 定 に よ る グ ラ フ描 画 の 指 示

Plot

  ERIVEの

  Quit

終了

  Remove 

画 面 表 示 さ れ て い る数 式 の 削 除

  Simplify 

約 分 な どの単 純 化 計 算 の 進 行,計

 

Transfer 

 

moVe

 

Window 

LOAD,SAVE,PRINTな

算 せ よの 指 示

どの 入 出 力 の設 定

 画面表示 され てい る数式 の移 動 グ ラ フ ィ ッ ク ウ イ ン ドウ の表 示,分 割 な どの 指 示

 approX 

近似値計 算の設定

(5)  コ マ ン ドの 進 行 と 後 退   コマ ン ドに よ る処 理 が 終 了 す る と,メ ニ ュー 画 面 は 自動 的 に第1階 層 コマ ン ド 画 面 に な る。 また,コ マ ン ドが 進 行 して い る途 中 でESCキ

ー を押 す と,コ マ ン ド

は1階 層 だ け後 退 す る。 操 作 ミス を した 場 合 や,コ マ ン ドの確 認 を行 い た い場 合 に は,ESCキ

[3] 

ー に よっ て 必 要 な 数 の 階 層 数 を後 退 す る こ とが で き る。

数式 の入力

(1) Autherコ   ま ず,キ と,入

マ ン ド,Simplifｙ ーAを

コマ ン ド

押 す(リ バ ー ス さ れ て い るAutherをRETURNし

て も 同 じ)

力 画 面 が 表 示 され る。

電卓 的演算 とその結果表示   DERIVEは,数

値 計 算 を忠 実 に 実 行 す る。 そ し て,演 算 結 果 を整 数 また は約 分

し た 整 数 比(分 数)で 表 示 す る。 また,8^（1/2)は,2*2^(1/2)ま

た は2SQRT(2)の

よ うに 表 示 す る。 こ の場 合 も,整 数 と整 数 の 累 乗 の積 の形 で表 示 す る。  演 算 結 果 を近 似 表 示 す る方 法 に つ い て は,次 の 〔 例 題21〕 以 降 で 述 べ る。 〔 例 題20〕 法 に は-,乗

次 の 数 式 を入 力 して 演 算 結 果 を表 示 せ よ。 た だ し,加 法 に は+,減 法 に は*,除

 ①  3+4*5 ② 1/2*3 

法 に は/,累

乗 に は^を

③  3^2 

それ ぞ れ 用 い る。

④  9^(1/3)

 ⑤  2(8+7)/3＾2

 ⑥  27＾(1/2)

〔解 〕(1) Autherコ

マ ン ドに お け

るExpressionの

欄 に各 与 式 の ま ま に 入

力 し,RETURNキ

ー を 押 せ ば,入 力 式 が

画 面 に 表 示 さ れ る 。 こ の と き各 式 に は, 入 力 順 に 図1.27の

よ う な ラベ ル 番 号 が

付 け ら れ る 。① の 場 合,3+4*5と る と,画 面 に は3+45の

入力す

よ うに 半 角 スペ

ー ス が 乗 法 記 号 を代 用 した形 で表 示 され る。   (2) 

続 い て,各

ラベ ル 番 号 が リバ ー

ス さ れ て い る 状 態 で,Simplifyコ

マ ン

ド を 実 行 す る と,演 算 結 果 が 表 示 さ れ る 。 例 え ば,①

の 場 合 は,3+45が

さ れ て い れ ば,Simplifyコ

リバ ー ス マ ン ドを 実 図1.27

行 す る こ と に よ っ て 演 算 結 果23が

表 示

さ れ る。 他 の場 合 も同様 で あ る。   (3) 

こ の よ う に,DERIVEの

演 算 結 果 は 数 値 を整 数 ま た は 約 分 した 整 数 比

(分 数)で 表 示 さ れ る 。 こ こ で は,AはAuthorコ → はRETURNキ

マ ン ド,SはSimplifyコ

ー を押 す こ と を表 す 。

①

②

③

④

⑤ ⑥

マ ン ド,

問24  次 の数 式 を入力 して,演 算 結果 を表示 せ よ。 (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

⑥

電卓 的演 算 と近似 表示   approXコ

マ ン ド に よ っ て,有

効 数 字7け

た 目 を 切 り捨 て て6け

た 目 まで の演

算 結 果 が 表 示 さ れ る。 〔 例 題21〕

次 の 数 式 を 入 力 し て,演

①

②

④

⑤

  (注) ｜｜,√ 〔解 〕

③

は そ れ ぞ れ,ABS,SQRTで

① の 場 合 は,ABS(-8),②

AはAuthorコ

算 結 果 を表 示 せ よ。

の 場 合 は,SQRT(4+5)と

マ ン ド,SはSimplifyコ

れ 表 す 。 ま た,→

はRETURNキ

入 力 す る。

マ ン ド,XはapproXコ

そ れ ぞ れ 入 力 す る。 マ ン ドを そ れ ぞ

ー を押 す こ と を表 す 。

  ①  ②  ③  ④

 ⑤

 S→

分 子=4620680728035368559063782527286024015510290284149464858 47699333055955922805275437143   分 母=2546294970418107607835557110511722701314335492082420313 29517556169297662470417088272924672

 X→1.81466 

10-6

  画 面 の 右 に は み 出 し た 数 式 を ス ク ロ ー ル す る に は,CTRLキ

ー を 押 し な が ら,

 

右 矢 印 キ ー を押 す 。 左 端 の 数 式 が 消 え て,右 端 が 表 れ る まで ス ク ロ ー ル で き る。 問25  次 の数式 を入 力 して,演 算結 果 を表示 せ よ。 (2)

(1) O ptions,Notationの

(3)

(4)

利 用

O ptions,Notationに

続 い てDecimal,Digits:に

適 当 な 数 を 入 力 し て,演

算

結 果 表 示 の 有 効 けた 数 を決 め る こ とが で き る。   例 え ば,2.1^10を,そ

Sコ マ ン ドで 画 面 表 示 す る と,1667.98を

の ま ま

Dicimal,Digits:を10に

し て 画 面 表 示 す る と,1667.988097を

O ptions,Precisionの

得 る が,

得 る。

利 用

O ptions,Precisionに

続 い て,Approximate,Exact,Mixedモ

か を選 び,そ れ に続 くDigits:に

ー ドの い ず れ

数 値 を入 力 す る と,数 学 演 算 上 の 精 度 な らび に,

表 示 けた 数 を決 定 す る こ とが で き る。 〔 例 題22〕

次 の 数 式 を入 力 して,モ ー ドを変 えて 演 算 結 果 を表 示 せ よ。

①

②

〔解 〕S,X等

 (注)  π はPIで

入力

の 各 コ マ ン ド に よ っ て 操 作 の 進 行 を 示 す 。 π はPIで

入 力 す る。

① こ の 計 算 をApproximateモ

ま た,こ

の 計 算 をExactモ

ー ド,Digits:を20に

す れ ば,

ー ド に よ っ て 行 え ば,Digits:が6で

も20で

も

〓以 上 に は計 算 が 進 まな い 。 次 に,Mixedモ

ー ドに よっ て 行 え ば

Digits:が6で, Digits:が20で, 図1.28は,そ

の 表 示 例 で あ る。

  ②  Exactモ

ー ド で 行 え ば,Aπ

SQRT(163)S→SQRT(163)π  こ の 計 算 をApproximateモ Digits:6で

ー ド,

行 え ば

  SQRT(163)πOPA→S 40.1091   Digits:20で

行 え ば 

SQRT(163)πOPA→

→

S→40 .109169991132519755   ま た,Exactモ

ー

SQRT(163)π

以 上 に は計 算 が 進 まな い 。

  次 に,Mixedモ Approximateモ

問26 

ド で 行 え ば,

ー

ド で 行

算 結 果 を 表 示 せ よ 。た だ し,Approximate,Exact,Mixed

の 各 モ ー ド で,Digitsは6,20と

(1)

  Buildコ

図1.28

ー ドの場 合 と同 じ計 算 結 果 が 得 られ る。

次 の 数 式 を 入 力 し て,演

(2) Buildコ

え ば,

せ よ。 (2) 

マ ン ド の 働 き(数 マ ン ド は,す

を も つ。 例えば,うべル番

式 を 組 み 立 て る)

で に入 力 した 数 式 を用 い て 新 し い 数 式 を組 み 立 て る働 き 号1:,2:に

て い る と し よ う。 キ ー ワ ー ドBを

そ れ ぞ れSQRT(3),SQRT(2)/2が 押 す と,BUILD

入力 され

first expression#?が

れ る 。 矢 印 キ ー に よ っ て リバ ー ス し て い る 数 式 を1:に

し てRETURNキ

表示 さ ー を押

す。   次 に,BUILD:Operator:の を 押 し,リ :O perator:の

中 の 演 算 記 号 か ら+を

バ ー ス し て い る 数 式 を2： 中 の 演 算 記 号 か らDoneを

選 択 し てRETURNキ

に し てRETURNキ 選 択 し てRETURNキ

連 の 操 作 に よ っ て ラ ベ ル番号3:に,SQRT(3)+SQRT（2）/2が表示

ー

ー を 押 す 。BUILD ー を押 す 。この 一 され る。

(参 考)式

の 一 部 分 を リバ ー ス さ せ て,そ

出 す こ と が で き る 。 こ の よ う に,式

の 式 の 部 分 をBコ

マ ン ドに よ っ て 引 き

の リ バ ー ス さ れ て い る 部 分 を強 調 部 分 と い う 。

shiftキ ー を 押 し な が ら 矢 印 キ ー を 押 す 操 作 に よ っ て,式

の 一 部 分 を リバ ー ス さ せ

る こ とが で き る。 (3) Removeコ

マ ン ド の 働 き(不

 Removeコ ば,ラ

マ ン ドは,画

ベ ル 番 号3:の

面 か ら い くつ か の 数 式 を 消 去 す る と き に 用 い る 。例 え

数 式 が 必 要 な い 式 と す る 。 キ ー ワ ー ドRを

REMOVE:Start:?End:?が ー が 共 に3で

表 示 さ れ る 。Start:並

あ る とき

,RETURNキ

(4) 

マ ン ド は,Start:?の

ナ ンバ

画 面 か ら消 去

数 の ラ ベ ル 番 号 か ら,

数 の ラ ベ ル 番 号 ま で の 数 式 の ブ ロ ッ ク を 消 去 す る働 き を も っ て い る 。 moVeコ

  moVeコ

マ ン ド の 働 き(数 マ ン ド は,す

式 表 示 位 置 の 移 動)

で に入 力 され て い る数 式 の 表 示 位 置 を移 動 す る と き に

用 い ら れ る 。例 え ば,ラ ベ ル 番 号3:の

数 式 を ラ ベ ル 番 号2:の

が あ る と す る 。 キ ー ワ ー ドVを End:?が

表 示 さ れ る 。Before:ナ

を 共 に3に

し てRETURNキ

2:の

押 す と,

び にEnd:の

ー を 押 す と,ラ ベ ル 番 号3:が

さ れ る 。 こ の よ う に,Removeコ End:?の

必 要 な 数 式 の 消 去)

前 に移 動 す る必 要

押 す と,MOVE:Before:?Start:? ン バ ー を2,Start:並

ー を 押 す と,ラ

び にEnd:の

ベ ル 番 号3:の

ナ ンバ ー

数 式 が ラベ ル 番号

数 式 の 前 に移 動 で き る。

  こ の よ う に,moVeコ

マ ン ド は,数 式 の ブ ロ ッ ク を 必 要 な 位 置 に 移 動 す る 働 き

を もっ て い る。

[4] 

三 角 比,対

  DERIVEは

数 の値

三 角 比 や 指 数,対 数 の 値 な ど特 殊 な 関 数 の値 を 求 め る こ とが で き る

よ う に作 られ て い る。 こ こで は,そ の 操 作 に つ い て 述 べ る。   三 角比 に お け る角 度 は,弧 度 法(180°=π)で あ る。 した が っ て,x° に対 応 す る 弧 度 はx× π/180に よ っ て得 られ る。   また,指 数 に関 し て,EXP(z)はezを

表 す 。 ま た,底 がWで

はLOG(Z,W)で

自 然対 数 を表 す。

表 さ れ る。LOG(z)は

真 数 がZの

対数

〔 例 題23〕

次 の 数 式 の 値 を 求 め よ 。 ま た,approXコ

マ ン ド に よ り,そ の 値 の 近

似 値 を求 め よ。

④

① ②

③

⑤ 〔 解 〕SIN,COS,TANは,そ はPIで

表 す 。 ま た,角

  ま た,対

数 は 底 が10,真

れ ぞ れ の ア ル フ ァ ベ ッ ト を 入 力 し,弧

度法 の π

は 括 弧 で く く る 必 要 が あ る。 数 が2の

場 合 はLOG(2,10)で

表 す。

① ② ③ ④ ⑤ 問27 

次 の 数 式 の 値 を 求 め よ。 また,approXコ

(1)

(2)

(3)

(5)

(4)

[5] 

ベク トル,行 列の 表記 と演算

  DERIVEに

お け る ベ ク トル は,数

は,Declare vetoRコ Ctrl+Jキ

マ ン ド に よ る近 似 値 を求 め よ 。

の 組 の 列 と し て 表 示 さ れ る 。ベ ク トル の 入 力

マ ン ドを 用 い る 。 次 元 を 入 力 し てRETURNキ

ー を 押 し,要 素 を 順 に 入 力 す る 。i番 目 の 要 素 をxiと

トル は,

で 表 示 され る。

す る4次

ー または 元 のベ ク

  また,行 列 は そ れ ぞれ の行 ベ ク トル が 同 じ個 数 の要 素 を持 って い るベ ク トル の 組 で あ るが,DERIVEの

場 合 はDeclare Matrixコ

(Rows),列(Columns)の  i行j列

マ ン ドを用 い て 入 力 す る。行

数 に 引 き続 い て各 要 素 を入 力 す る。

の要 素 がxijの2行3列

の行列 は

で表 示 さ れ る。 〔 例 題23〕

次 の ベ ク トル を 入 力 せ よ 。

②

①

〔 解 〕 ① の ベ ク トル は,ま Dimension：

に お い て3を

の っ どRETURNキ

ン ド を 用 い て,Matrixキ 素 に3,(2,1)要

umns:へ

問28 

マ ン ド を 用 い てvectoRキ

入 力 し,Vector

ー を 押 す と,画

  ② の ベ ク トル は,3行1列

(1,1)要

ず,Declareコ

element：

面 に[2,3,4]が

に 順 に2,3,4を

ー を押 す 。 入 力 し,そ

表 示 され る。

の 行 列 と し て 入 力 す る 。 し た が っ て,Declareコ ー を押 す 。DMコ 素 に4,(3,1)要

の カ ー ソ ル の 移 行 はTABキ

マ ン ドRows：3columns:1と 素 に5を

入 力 す る 。Rows：

マ し て,

か らCol

ー を 用 い る(〔例 題24〕 参 照)。

次 の ベ ク トル を 入 力 せ よ。

(1)

(2)

〔 例 題24〕

次 の 演 算 結 果 を表 示 せ よ。

①

②

〔 解 〕 ① ま ず,ベ

ク トル ［2,3,4],[4,5,6]を

そ れ ぞ れ 入 力 す る 。 次 に,Buildコ

マ ン ド を 用 い る 。 カ ー ソ ル を ベ ク トル[2,3,4]を

表 示 す る ラ ベ ル 番 号 に 移 し て,

first

の 中 か ら 演 算 子+を

expressionと

す る 。Build

parametor：

選 択 し て,

RETURNキ

ー を 押 す 。続 い て,カ ー ソ ル を ベ ク トル[4,5,6]を

号 に 移 し て,Doneコ る。Sコ

マ ン ド キ ー を 選 ぶ と,画

マ ン ド を 押 す と,簡

  ② Bコ

マ ン ド に よ り,ベ

中 か ら*を

選 ん で,ラ

キ ー を 押 す と,画 表 示 し て,こ

  ① D

R

約 化 さ れ て,結

面 に[2,3,4]+[4,5,6]が 果 の[6,8,10]が

ク トル[2,3,4]をfirst

ベ ル 番 号 の 位 置 に5を

面 に[2,3,4]5が

表 示 す る ラベ ル番

表 示 され る。

expression,parametor:の

上 書 き入 力 す る 。 こ こ で,RETURN

表 示 さ れ る 。 同 様 に,[4,5,6](-4)を

れ ら の ベ ク トル をBuildコ

表 示 され

画面

マ ン ドに よ っ て加 え る。

Dimension:3→2→3→4→[2,3,4],同

様 に,[4,5,6]を

得 る。

B[2,3,4]+[4,5,6]→Done→S→[6,8,10]

 ②

 B B

[2,3,4]*5,同

様 に,B[4,5,6]*(-4)

[2,3,4]5+[4,5,6](-4)S→[-6,-5,-4]

問29  次の演 算結 果 を表示 せ よ。 (1) (2) 〔 例 題25〕

次 の①,②

①

の 行 列 を 画面 表 示 し,③ の演 算 を行 え。

 ③

 ②

〔 解 〕Declare Matrixを

用 い る 。Declare Matrix

す る 。Rows:とColumns:の   ① の 場 合 は,(1,1)要

移 行 はTABキ 素 に2,(1,2)要

Rows:2Columns:2と

ー を 用 い る。

素 に3,(2,1)要

素 に4,(2,2)要

素 に5を

入 力 す る。   ② の 場 合 は,各

要 素 の 順 にa,b,c,dを

 いず れ の場 合 も,RETURNキ

入 力 す る。

ー を押 せ ば,画 面 に そ れ ぞ れ〓

がそ

れ そ れ表 示 され る。  ③ の場 合 は,前 の ベ ク トル の例 題 の 場 合 と同様 に,Buildコ す る。

マ ン ドを用 い て演 算

②

① ③

問30  次 の行 列 の演算 をせ よ。 (1)

(2)

第2章  数 と式   こ の 章 は,DERIVEを 因 数 分 解,さ

らに,不

う。 こ こ で は,数   DERIVEの い が,コ

使 用 し て数 と式 の 計 算 を扱 う。DERIVEは,整

定 の 定 数 が 用 い られ て い る数 式 の演 算 な ど を極 め て 明 解 に 取 り扱

と式 との 関 連 で,簡

単 な 方 程 式 や 不 等 式,平

処 理 メ ニ ュ ー が 英 文 で,ま た,マ

マ ン ドの 階 層 構 造 を 理 解 し て,数

2.1 

式 の四則 並 び に

方根 の扱 い に もふれ る。

ウ ス使 用 可 能 な シ ス テ ム に は な っ て い な

式 の 扱 い に 挑 戦 し て み よ う。

整式の加減

(1)  直接の 入力と簡単 化   DERIVEは,Authorコ 力 し,続

マ ン ド を 用 い て,2つ

い てSimplifyコ

以 上 の 整 式 の 和 ・差 を 表 す 式 を 入

マ ン ド に よ っ て そ の 式 を 簡 単 化 し て,そ

の結 果 を表 示 さ

せ る こ とが で き る。   こ こ で は,Authorコ

マ ン ド の 実 行 をA,Simplifyコ

の コ マ ン ドの 実 行 も 同 様 に,そ ま た,RETURNキ

〔例 題1〕

① ②

マ ン ド の 実 行 をS,そ

の他

の 大 文 字 表 示 さ れ て い る ア ル フ ァベ ッ トで 表 す 。

ー を押 す こ とを→ で 表 す こ と とす る。

次 の数 式 を入 力 して,計

算 結 果 を表 示 せ よ。

〔解 〕(1) 

第1階

層 コ マ ン ド画 面 に お い て,Authorコ

マ ン ド(キ ーAを

押 す)

を実 行 す る。  (2) 

Author

expression：

に お い て,与

式 の ま ま入 力 し て,RETURNキ

ー を

①

押す。

② 問1 

次 の計 算 をせ よ。

(1) (2) (2) 

Buildコ

マ ン ドを 利 用 して の 入 力 と簡 単 化

 Build コ マ ン ド を 利 用 し て,整

式 の 和 ・差 を 求 め て み よ う 。

〔 例 題2〕2x2-3x+5と-5x2-7x+3の

和,並

び に後 の 式 か ら前 の 式 を 引 い

た差 を求 め よ。 〔 解 〕(1) A2x2-3x+5と-5x2-7x+3を   (2) 

2x2-3x+5を

し,オ ペ レ ー タ か ら+を を 合 わ せ てRETURNキ

そ れ ぞ れ 入 力 す る。

表 す ラ ベ ル 番 号 に カ ー ソ ル を 合 わ せ,Bコ 選 び,続

い て-5x2-7x+3を

ー を 押 し,Doneコ

マ ン ドを実 行

表 す ラベ ル 番 号 に カ ー ソル

マ ン ド を 実 行 す る 。差 も 同 様 に す る 。

① ② 問2 x2-3x+7と3x-10x-8と

の和,並 び に 後 の 式 か ら前 の 式 を 引 い た 差 を求 め よ 。

(3)  整式定義(関 数)を利用 しての入 力と簡単化  Declare Functionコ

マ ン ド を 用 い る と,整 式 に 名 前 を つ け る こ と が で き る 。

DFコ マ ン ド を 実 行 す る と メ ッ セ ー ジ ラ イ ン に は, DECLARE

FUNCTION

name：

と入 力 待 ち の 状 態 が 表 示 さ れ る 。 こ こ の ラ イ ン に,式 てRETURNキ

の 名 前,例

え ばPを

入 力 し

ー を 押 す と, DECLARE

FUNCTION

value：

と 再 び 入 力 待 ち の 状 態 に な る 。 こ こ に 例 え ば,2x2-3x+5を キ ー を 押 す と,画

入 力 し てRETURN

面 には

P(x):=2x2-3x+5 が 表 示 さ れ る 。 こ の こ と は,整 式2x2-3x+5がP(x)と

名 付 け られ た と 考 え る こ

とが で き る。

〔 例 題3〕P=2x2-3x+5,Q=-5x2-7ｘ+3,R=-ｘ+3と の 計 算 を せ よ。

① ② ③ ④ 〔 解 〕 (1)

 DF コ マ ン ドで,

とす る 。  (2)

① ③

②

 Aコ マ ン ドで,

す る と き,次

の式

 ④ と入 力 す る 。 続 い て,Sコ  図2.1は,入

マ ン ドを実 行 す る。

力 画 面 の例 を示 す 。

①

③

結 果の み表 示

② ④

図2.1

  (注)  整 式 を入 力 して,〔例 題2〕 の解 の よ う に,Buildコ

マ ン ドを用 い て各 式 の

計 算 結 果 を 求 め る こ と もで き る。  で あ る と き,次 の 計 算 を せ よ。

問3 (2)

(1)

2.2 

整式 の乗法

  整 式 の 積 は,整 ドの 他 にExpandコ

式 の和 ・ 差 の 場 合 と同 様 に,Authorコ

マ ン ド,Simplifyコ

マ ン

マ ン ドを使 用 す る。

整 式 の 直接 入 力 と展 開 計 算   例 え ば,A（x+2)(x+3)はS→(x+2)(x+3)の

よ う に,Simplifyコ

マ ン ドを

実 行 し て も変 化 し な い が,

の よ う に,Expandコ

マ ン ド を 実 行 す る と,積

の 展 開 が 行 わ れ る。

展 開 はEコ マ ン ド Bコ マ ン ドとEコ マ ン ドの 利 用  一 度 入 力 した 整 式 を利 用 す る場 合 は ,Bコ

マ ン ドを使 用 す る。B(ラ

ベ ル 番 号)

*（ ラ ベ ル 番 号)に よ っ て,2つ

の 整 式 の 積 が 表 示 さ れ,Eコ

マ ン ドに よ っ て 展 開

が 実 行 さ れ る。  整 式 定 義(関 数)の 利 用 とEコ マ ン ドに よ る展 開  あ る整 式 を後 に利 用 す る場 合 は,整 式 定 義 を す る と便 利 で あ る。   例 え ば,A（x):=x+2,B（x):=x+3と

定 義 す る と,

 A (x)*B(x)→E→x2+5x+6 で 展 開 が 完 了 す る。 〔例 題4〕

次 の 整 式 の積 を 求 め よ。

①

②

〔 解 〕 それ ぞ れ の 整 式 を直 接 入 力 し,Eコ

マ ン ドを実 行 して展 開 す る。

②

①

問4 

A=x2+3x+2,B=x+2と

(1)

して,次

の式 を計算 せ よ。

(2)

〔 例 題5〕

次 の式 の 計 算 をせ よ。

① ② 〔解 〕Aコ

マ ン ドで各 与 式 を入 力 す る。① はSコ マ ン ドまた はEコ マ ン ドで 簡 単

化 ま た は 展 開 す る 。② はEコ マ ン ドで 展 開 す る。

① ②  〓Eコ マ ン ド で

  展 開 す る式 が 複 数 の 文 字 を含 む 場 合Eコ

〓 xと す る と,

マ ン ドを実 行 す る と どの文 字 に 着 目

す る か の 問 い合 せ が あ る。 問 い 合 せ を無 視 して も展 開 は実 行 され る。 この例 題 で

は着 目す る第2,3の 問5 

文 字 は無 視 して展 開 して い る。

次 の 式 を 計 算 せ よ。

(1) (2) (3) (4) (5)

⑥

2.3 

整式 の除法

  整 式x2+2x-3を

整 式x+1で

割 る計 算 を 実 行 し て み よ う。

 Aコ マ ン ド で,(x2+3x-2)/（x+1)を

を 得 る 。 引 き 続 い て,こ

を 得 る 。 こ こ で,x+2が

〔 例 題6〕

の 式 にEコ

入 力 し て,実

マ ン ドを 実 行 す る と,

こ の 除 法 に お け る 商 で-4が

次 の整 式PをQで

② ① 〓と 置 く。

続 い て,

Bコ マ ン ド を 実 行 し て,

を 得 る。  こ こ で,Eコ

余 りで あ る。

割 っ た とき の商 と余 りを 求 め よ。

①

〔 解〕

行 キ ー を 押 す と,

マ ン ド を 実 行 す る と,

を得 る。   入 力 画 面 は 図2.2の よ っ て,商

よ う に な る。

は3x2-7x+22,余

り は-71

 ②  ① と 同 様 に し て,

を 得 る 。よ っ て,商 はx2+2x+1,余

り は3 図2.2

すで に入 力 され てい る数式の取 り込み   リバ ー ス さ れ て い る 数 式 は,F3キ

ー を押 す こ とに よ って メ ッセ ー ジ ラ イ ン に取

り込 む こ と が で き る 。   例 え ば,DFコ

マ ン ドの,DECLARE

FUNCTION

name:に

お い て,Pを

入

力 して DECLARE

FUNCTION

VALUE：

と入 力 待 ち に な っ た と き,数 式x3+3x2+3x+4が 態 でF3を

リバ ー ス さ れ て い れ ば,こ の 状

押 せ ば,そ の ラ ベ ル 番 号 の 数 式 が 取 り込 ま れ,REIURNキ

そ の 数 式 がPと

ー を 押 せ ば,

名 付 け られ た こ とに な る。

問6  次 の 問 に 答 え よ。   (1) x4+x2+1をx2-x+2で   (2)  整 式Aを3x+2で

割 っ た と き の 商 と余 りを 求 め よ。 割 る と,商 がx2+x+1で

余 りが5で

あ る 。 整 式Aを

求め

よ。

〔 例 題7〕A(x)=x3-ax2+(a+1)x+b,Q(x)=x-2に

つ い て,次

の 問 い に答

えよ。  ①  P(x)がQ(x)で  ②  余 り をr(a)と  

〔 解 〕(1)DFコ

割 り切 れ る と き のa,bの す る と き,r(a)＞0と マ ン ド に よ り,

間 の 関 係 式 を 求 め よ。

な るaの

値 の 範 囲 を 求 め よ。

と入 力 す る 。   (2) AP(x,a,b)/Q(x)と

し て,Eコ

  こ の と き,P(x,a,b)を EXPAND

ど の 文 字 変 数 の 式 と と ら え る か 第1変

variable

variable

と入 力 待 ち と な る が,第1変 まRETURNキ   (3) 

数xを

数 をa,bの

EXPAND

第1変

数 と して 入 力 す る。

い ず れ か に 決 め る 。 そ こ で, 2： 数 が 決 定 し て い る の で,第2変

ー を 押 し て も,同 DERIVEに

数 を決 め ず に その ま

じ形 の 結 果 を得 る。

よ る 計 算 時 間(こ の 場 合,1.0seconds)が

と な る 。 こ の 表 示 は,商

数 を決 め る 。

1：

と入 力 待 ち と な る の で,変   続 い て,第2変

マ ン ドを実 行 す る。

がx2+(2-a)x-a+5,余

表 示 さ れ,画

りが-2a+b+10で

面 は

あ るこ と

を表 す。   ① の 答 は,2a-b-10=0で   (注)  (2)でEXPAND 定 す る と,演

ある。 variable

1:に

お い て,x以

外 の 文 字a(ま

た はb)を

指

算結果 は

の よ うに変 化 す る。   (4) DFコ   (5) Aコ   (6) 

マ ン ド を 実 行 し て,R(a,b):=-2a+b+10と マ ン ド よ り,R(a,b)＞0

soLveコ

行 す る と,

整 式 定 義 す る。

マ ン ド を 押 し,SOLVE

variable:に

対 し てaを

入 力 して 実

を得 る。 ② の 答 は,

問7 

〓で あ る。

次 の 問 に答 え よ。

(1)

 〓で割 り切 れ る よ うに,定

(2)

 〓で も

2.4 

数aの

値 を 定 め よ。

〓で も割 り切 れ る と き,定 数a,bの

値 を求 め よ。

因数分解

  数 式 は,Factorコ

マ ン ド を 実 行 す る こ と に よ っ て,そ の 数 式 を 因 数 分 解 す る こ

とが で き る。   例 え ば,整

数 「1234567890」

はAuthorコ

マ ン ド で 入 力 し て,Factorコ

マ ン ド

に よっ て

と素 因 数 分 解 で き る 。 こ の と き の 算 出 所 要 時 間 は0.0∼1.0secondsで   文 字 変 数 を 含 ん だ 式 の 因 数 分 解 に も,以 下 に 説 明 す る よ う にFactorコ

あ る。 マ ン ド

が 用 い ら れ る。 FACTOR

Amount:の

利 用

  文 字 変 数 を 含 ん だ 式 を 入 力 し て,Factorコ FACTOR

マ ン ド を 実 行 す る と,

expression：#

に 続 い て,RETURNキ

ー を押 す と

FACTOR：Amount:Trivial

squarefree

が 表 示 され る。 Trivialは,通

分 計 算 の 因数 分 解 に使 用

 例 え ば, Squarefreeは,平

方 因 数 を く くり出 す と きに使 用

 例 え ば, Rationalは,有   例 え ば,

理 数 の範 囲 まで の 因 数 分 解 に使 用

Rational

raDical

Complex

raDicalは,根

号 が 必 要 な数 の範 囲 まで の 因数 分 解 に使 用

 例 えば, Complexは,複

素 数 の 範 囲 まで の 因数 分 解 に使 用

 例 え ば, 〔 例 題8〕

次 の 式 を因 数 分 解 せ よ。

① 〔 解 〕(1)Aコ  (2) Fコ

② マ ン ドでx2-7x+12を

入 力 す る。

マ ン ド でRかDかCFactoringを

選 ん で キ ー を押 す 。

① ②

を 得 る。

問8  次 の式 を因数 分解 せ よ。 (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

〔例 題9〕

次 の 式 を文 字xに

つ い て因 数 分 解 せ よ。

①

②

〔解 〕 ①

②

  (参 考)x2-x+1やx2+x+1は 数 の 範 囲 まで の 因 数 分 解 と な る。

そ れ ぞ れ,FCコ

マ ン ドを 実行 す れ ば,複 素

と表 示 さ れ る 。

問9  次の式 を因数分 解 せ よ。 (1)

(2)

(3)

(4)

2.5 

平 方根 の計算

(1)  平 方 根 の 計 算   DERIVEは に お い て,根 (DEFORT）

第1章

で も 述 べ た よ う に,OPTIONS

PRECISION:Exactモ

ー ド

号 の 付 い た 数 の 計 算 は 近 似 値 に 変 換 さ れ な い 。DERIVEの

初期設定

で は,Exactモ

ー ドが 指 定 さ れ て い る の で,平

方 根 の計 算 は根 号 の ま

まで 表 示 さ れ る こ とに な る。   例 え ば,√2+√8はAuthorコ

マ ン ド で,SQRT(2)+SQRT(8)と

画 面 に もSQRT(2)+SQRT(8)が

表 示 さ れ る 。Sコ

行 す る と,画

面 に は3

  ま た,Authorコ

と 表 示 さ れ,Sコ

SQRT(2)の

次 の 計 算 をせ よ。

入 力 す れ ば,画

マ ン ド に よ り,

と計 算 結 果(分 母 の 有 理 化)が 表 示 され る。 〔 例 題10〕

マ ン ド ま た はEコ

よ う に計 算 結 果 が 表 示 さ れ る。

マ ン ドで1/SQRT(2)と

マ ン ド ま た はEコ

入 力 す る と,

面 には

マ ン ド を実

①

②

③

④

 ⑥

⑤ 〔解 〕

これ まで 通 り

√75は,

〓と入 力 す る 。 他 も同様 で あ る。

① ASは省略

②

 以 下,

③ ④ ⑤ ⑥

問10 

次 の計 算 をせ よ。

(1)

 (2)

(3)

 (4)

(2)  式の 値の算出 M

anege

S

 数 式 の文 字 変 数 に 文 字 あ る い は値 を代 入 す る に は,

ubstituteコ

マ

ン ドを用 い る。  

Manage

Substituteコ MANAGE

マ ン ド を 実 行 す る と,メ

SUBSTITUTE

を 表 示 す る。RETURNキ

expression：#

ー を押 す と,文 字 変 数 がxの

は,

MANAGE

SUBSTITUTE

を 表 示 す る 。 ま た,ス Enter と な り,変数xへ

replace

ッセ ー ジ ラ イ ン は

value：x

テー タスライ ンは for x

の代 入 を促 す 。

場 合,メ

ッセ ー ジ ラ イ ン

 代 入 す る値 を文 字xに

上 書 き し て,RETURNキ

ー を押 す と,画 面 に は代 入 し

た ま まの 式 が 表 示 され る。 この 数 式 をSま た はEコ マ ン ドで 簡 単 化 また は展 開 す る と式 の 値 の計 算 結 果 が 算 出 され る。   例 え ば,a=2,b=-3の

と き のa+bの

値 を 求 め る に は,

 A a+b→a+b  MS コ マ ン ド に 続 い てRETURNキ MANAGE に 対 し,文

ー を 押 し,

SUBSTITUTE

字aに2を

  ま た,MANAGE

value:a

上 書 きす る。 SUBSTITUTE

に 対 し,文 字bに-3を

value:b

上 書 き し て,RETURNキ

ー を 押 す 。Sコ

マ ン ド に よ り,

-1を 得 る 。

〔 例 題11〕

次 の 問 に答 え よ。

  ① x=3の

と き,x3-4x2+3x-6の

  ② x=3+√5,y=3-√5の

〔 解 〕 ①Aコ   Manage

値 を求 め よ。 と き,x3+x2y+xy2+y3の

値 を求 め よ。

マ ン ド を 実 行 し て,x3-4x2+3x-6を

Substituteコ MANAGE

マ ン ドに続 い て

SUBSTITUTE

に 対 し,文 字xに3を

入 力 す る。

value:x

上 書 き し て,RETURNキ

ー を 押 す と,S→

に よ り-6を

得 る。   ② Aコ

マ ン ド を 実 行 し て,x3+x2y+xy2+y3を

  Manage

Substituteコ MANAGE

に 対 し,文

SUBSTITUTE

SUBSTITUTE

に 対 し,文 字yに3-SQRT(5)を よ り168を

マ ン ドに続 い て

字xに3+SQRT(5)を

MANAGE

得 る。

入 力 す る。

value:x 上 書 き し て,RETURNキ

ー を 押 し,

value:y 上 書 き し て,RETURNキ

ー を 押 す と,S→

に

問11 

次 の 問 に答 え よ。

(1)

 〓の と き,x4-x3-6x2+9x-4の

(2)

値 を求 め よ 。

 〓の と き,2x2-3xy+2y2の

値 お よ びx3+y3の

値 を求 め

よ。 (3) x2-16x+16=0の

と き,x3-13x2-30x+32の

〔例 題12〕x=√3+1の

と き,

の 値 を 求 め よ 。 た だ し,√3=1.732と 〔 解 〕(1)    (2) 

ま ず,Aコ

続 い て,MSコ

RETURNキ

値 を求 め よ。

す る。

マ ン ド に よ り,(x^2-x+1)/(x-1)を マ ン ド に よ り,文

入 力 す る。

字xにSQRT(3)+1を

上 書 き し て,

ー を 押 す と, 〓を 得 る 。Eま

た はSコ

マ ン ド に よ り,

〓を 得 る 。

Aコ マ ン ド に よ り, 入 し て,X→

〓を 入 力,MSコ

に よ り3.30933を

問12

マ ン ド に よ り,文 字aに1.732を

代

得 る。

 〓の と き,x+y,xy,x3+y3の

値 を 求 め よ。

練習問題 1.  あ る整 式 で,整 式2x3+5x2+4を

割 る と,商 がx+1で,余

る 整 式 を 求 め よ。 2.  整 式x3-6x2+13x-4をx-2の     (x-2)3+a(x-2)2+b(x-2)+6 とな る と い う。a,bの

値 を求 め よ 。

3.  次 の 各 式 を 因 数 分 解 せ よ 。

降 べ き の順 に 整 理 す る と,

りが-6x+1で

あ る 。あ

(1)

(2) (4)

(3) 4. x8-16を

係 数 が 実 数 の範 囲 で 因 数 分 解 せ よ。

5.  次 の 各 式 を簡 単 に せ よ 。

(1) (2) 6.  a+b+c=0の

7. xyz=1の

と き,次

と き,次

の 値 を求 め よ 。

の式 の値 を求 め よ。

8. xの 整 式4x3-3x2+ax+bがx2-2x-3で

割 り切 れ る よ う に す る と き のa,bの

を求 め よ 。 9.  次 の 式 を簡 単 に せ よ 。

(1) 10

(2) . 〓の と き,2x3-7x2+5x+2の

値 を 求 め よ。

値

第3章  関

数

  こ の章 で は,2つ

の 数 量x,yの

対 応 関 係 と し て 関 数y=f(x)を

取 り扱 う。2次 関 数 や

三 角 関 数,指 数 関 数,分 数 関 数 な ど,い ろ い ろ な 関 数 を具 体 的 に 取 りあ げ,関 数y=f(x) の グ ラ フ を 利 用 し て,そ の 特 徴 を調 べ て 関 数 の 理 解 を 深 め る。 さ ら に,そ の応 用 と し て, 方 程 式f(x)=0や

不 等 式f(x)≧0,f(x)＜0な

ど の 解 が どの よ う な 意 味 を も つ か を考 え

る。   な お,こ

の 章 で は,グ

ラ フ の 表 示 機 能 が 豊 富 な 「関 数 ラ ボ 」 を利 用 して 関 数 の グ ラ フ

を描 き,そ の 特 徴 を 調 べ た り,い

3.1 

ろ い ろ な 問 題 を解 決 す る。

[1] 

関 数 とグ ラ フ 関

数

 つ る 巻 き バ ネ に 図3.1の ま で100gご

よ う に 重 り を つ け,そ

と に 重 り を つ け た と き,表3.1の

が え ら れ た 。 こ の と き,重 y〔mm〕 と す る と2つ

り をx〔g〕,伸

の 変 量x,yの

間 に は,次

の 伸 び を 測 る 。100gか 結果

び を の関係

式 が 成 り立 つ 。  た だ し,

 この 関 係 式 か ら,重

リが350gの

とき の伸 び は

図3.1

ら700g

表3.1

1.2×350=420〔mm〕

で あ る こ とが,直

  この例 の よ うに,2つ が た だ1つ

の変 数x,yが

数 の範 囲 をyの

お の お の の 値 に対 してyの

関 数 で あ る とい う。 また,変数xの

変 域(定 義 域)と

変 数(値 域)と

値 域 は0≦y≦840で

13cmの

あ って,xの

ず つ 定 ま る とき,yはxの

て 考 え る数 の範 囲 をxの

〔例 題1〕

接 測 定 を し な く と も求 め ら れ る 。

い い,xの

値

値 とし

値 に対 応 して 変 数yが

とる

い う。 上 の例 の 関 数 で は,定 義 域 は0≦x≦700,

あ る。

図3.2の

よ う に,縦8cm,横

長 方 形 の厚 紙 が あ る。 この 四 隈

か ら1辺 の 長 さ がx〔cm〕 の 正 方 形 を切 り取 り,残

りの部 分 を折 り曲 げ て,ふ

た

の な い 直 方 体 の箱 を作 る。 この と き,直 方 体 の体 積Vとxの

定 義 域 を求 め よ。

〔 解〕 直 方 体 の体 積 はxの 関 数 で あ り, 図3.2

  定 義 域 は,x＞0か  一 般 に

,2つ

つ8-2x＞0か

の 変 数x,yが

ら,0＜x＜4

あ っ て,xの

1つ ず つ 定 ま る と き,yはxの

お の お の の 値 に対 応 し てyの

関 数(function)で

値が ただ

あ る と い い,

  な どの 記 号 で表 す 。 こ の と き,変 数xを   関 数y=f(x)に い い,f(a)で

お い て,x=aに

表 す 。f(a)がxの

独 立 変 数,yを

従 属 変 数 と もい う。

対 応 す るyの 値 をx=aに

お け る関 数 の 値 と

式 で 表 され て い る と き,特 に こ とわ らな けれ ば,

関 数y=f(x)の 〔 例 題2〕

定 義 域 は,式

ｆ(x)が 意 味 を もつ よ うな 数 の 範 囲 と考 え る。

次 の 関 数y=f(x)の

値f(a),f(a-1)を

定 義 域 を求 め よ。また,関 数 ラ ボ を用 い て 関 数 の

求 め る 方 法 を い え。

(1)

 関数

 (2)

〔 解 〕 定 義 域 は,(1)実  (3)根

数 全 体  (2)分

号 内 が 正 で あ る実 数,す

  (3)

母 が0で

 関数

な い実 数,す

な わ ち,x≠1

な わ ち,x≦2

 関 数 の値 を求 め る に は,次 の 操 作 を行 う。  1.  「数 式 入 力 」,「定 義 式 」 で

と入 力 す る。

 2.  「数 式 入 力 」 の

「 対 象 式(新

規)」 でf(a)と

入 力 す る。

 3.  「数 式 入 力 」 の

「 対 象 式(追

加)」 で ｆ(a-1)と

入 力 す る。

 4.  「計 算 」 の 「展 開 と計 算 」 を選 択 す る。  記 録 エ リア に結 果 が 表 示 さ れ る。   以 下,(2),(3)に

る だ けで,後 問1 

は同 じ操 作 を繰 り返 す 。

関 数f(x)=√2x+3に

 (1) 

[2] 

お い て,次

の もの を求 め よ。

 (2)  定 義 域

関 数 の 値f(3),f(a-1)

関数 のグ ラフ

  関 数y=f(x)が

与 え ら れ て い る と き,

定 義 域 に 属 す る す べ て の 実 数aに て,座 標 平 面 上 でaをx座 y座 標 に も つ 点(a,f(a))全 図 形 を 関 数y=f(x)の   ま た,y=f(x)を と い う。

〓 と定義式 の入力 を変え

つ いて も

対 し

標 に,f(a)を 体 が つ くる

グ ラ フ とい う。 そ の グ ラ フ の方 程 式

図3.3

〔例 題3〕y=2x-3の 〔解 〕1. 

グ ラ フ を か け。

「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新

規)」 でy=2x-3を

入 力 す る。

2.  「グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を 描 く(新 規)」 を 選 択 し,線   図3.4の き が2の

の種 類 を決 定 す る。

よ う に,点(0,-3)を

通 り,傾

右 上 が り の 直 線 と な る 。 な お,

直 線 とy軸

と の 交 点 は(0,-3),-3をy

切 片 と い う。x軸

と の 交 点 のx座

2x-3=0か

らx切

片 は3/2で

  a,bが

定 数 で,a≠0の

xの1次 通 り,傾

標 は

と き,xの1次

関 数 と い う 。1次 関 数y=ax+bの き がaの

図3.4

あ る。 式ax+bで

表 さ れ る 関 数y=ax+bを,

グ ラ フ は,図3.5の

よ う に 点(0,b)を

直 線 で あ り,そ の 増 減 は 次 の 通 りで あ る 。 こ こ で,y=ax+bを

直線 の 方 程 式 とい う。

(1)a＞0の

(2)a＜0の

と き

図3.5 

と き

1次 関 数y=ax+bの

(3)a=0の

と き

グラ フ

(1) 

a＞0の

と き,xが

増 加 す る とyも

増 加 す る。グ ラ フ は 右 上 が り とな る。

(2) 

a＜0の

と き,xが

増 加 す る とyは

減 少 す る。グ ラ フ は 右 下 が り とな る。

(3) 

a=0の

と き,xの

増 減 に か か わ ら ずyは

平行 となる。

定 数bで

あ る 。グ ラ フ はx軸

に

〔 例 題4〕y=￨x+2￨の

グ ラ フ をか け。

〔解 〕 「関 数 ラ ボ」は,絶 対 値 の 内 部 が2次 以 下 の 多 項 式f(x)の き の 関 数y=￨f(x)｜ 「SHIFT+F2」

場 合,絶

対値つ

も 正 確 に か く こ とが で き る。 絶 対 値 記 号 は 数 式 ブ ロ ッ ク

で 入 力 す る。 操 作 手 順 は次 の よ うに な る。

1.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新 規)」 でy=￨x+2￨を

入 力 す る。

2.  「グ ラ フ」の 「グ ラ フ を描 く(新 規)」 を選 択 し,線 の 種 類 を 決 定 す る。 関 数y=｜x+2｜ x +2≧0,す

は絶 対 値 の定 義 か ら, な わ ち,x≧-2の

と き,y=x+2 x +2＜0,す

な わ ち,x＜-2の

と

き,y=-(x+2)

図3.6

を表 す か ら,そ の グ ラ フ は 図3.6の

よ う にx=-2を

折 り 目 とす る折 れ 線 に な る。

  (注)  不 等 式 と共 通 部 分 の グ ラ フ をか け る こ と を利 用 して,絶 対 値 つ きの 関 数 y=￨x+2￨の

グ ラ フ を,次 の よ う に して か くこ と もで き る。

  1.  「対 象 式(新 規)」を選 び,直 線 の 方 程 式y=-(x+2)を 加)」 で,定

義 域x≦-2を

入 力 し,「 対 象 式(追

入 力 す る。

  2.  「グ ラ フ を描 く(新 規)」 を選 ぶ と,「 共 通 部 分 の グ ラ フで す か 」 と聞 い て く る の で 「Yes」 を選 ぶ 。 す る とy=-(x+2)(x≦-2)の

グ ラ フ をか く こ とが

で き る。   3.  再 び,「 対 象 式(新 規 ・追 加)」 で,y=x+2と-2≦xを

入力す る。

  4.  「グ ラ フ を描 く(追 加)」 を選 ぶ と,共 通 部 分 の確 認 パ ネ ル の 表 示 後,追 加 してy=x+2(-2≦x)の

グ ラ フを か く。

  以 上 の 操 作 を繰 り返 して,絶 対 値 つ きの 関数y=￨f(x)￨や グ ラ フ を容 易 にか く こ とが で き る。た だ し,a＜x≦b,a≦x＜bの

区間 で異な る関数の よ うに 不 等 号 が

異 な る区 間 の と き は,共 通 部 分 の グ ラ フ を か くこ とが で きな い の で,両 方 の 不 等 号 を そ ろ え たa≦x≦b,ま

た は,a＜x＜bで

入 力 す る。

問2 

次 の関 数 の グラ フをか け。

  〔例 題3〕 の1次

) 3 (

) 2 (

(1)

関 数y=2x-3の

グラ

フ を利 用 し て,不 等 式2x-3≦0を すxの

みた

値 の範 囲 を求 め て み よ う。

 1次 関 数y=2x-3の りの直線で,x=3/2の  x＜3/2の と き,グ あ る か らy＜0で

グ ラ フ は右 上 が とき,y=0で ラ フがx軸

あ る。

の下 方 に

あ り,

 x＞3/2の と き,グ

ラ フがx軸

の上方 に

図3.7

あ るか らy＞0  し た が っ て,不

等 式2x-3≦0を

み た すxの範囲

はx≦3/2で

あ る。

 上 の 例 の よ う に,不 等 式 を み た す変 数 の 値 の範 囲 を求 め る こ とを不 等 式 を 解 く と い い,そ   a＜0の 3.8の き,y=0と

の範 囲 を不 等 式 の 解 とい う。 と き,1次

よ う に,右

関 数y=ax+bの

グ ラフは図

下 が り の 直 線 で,x=-b/aの

と

な る 。 し た が っ て,

 不 等 式ax+b＞0の

解 は,x＜-b/a

不 等 式ax+b＜0の

解 は,x＞-b/a

問3  グ ラ フを利用 して,次 の不 等式 を解 け (1)

(2)

図3.8

3.22 

次 関数

[1] 

関数 とその グラ フ

2次

 y がxの

関 数 で,y=-3x2やy=2x2+5x-3の

と き,yをxの2次  一 般 に

よ う に,xの2次

式 で 表 され る

関 数 と い う。

,xの2次

関 数 はa,b,cを

定 数(a≠0)と

して

の 形 の 式 で 表 さ れ る。   2次 関 数 の特 徴 を そ の グ ラ フ を か き,調 べ て み よ う。 (1) y=ax2の

グラ フ

  「関 数 ラ ボ 」 の 「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 機 能 を 利 用 し て,aを な グ ラ フ を か く と,図3.9を   2次 関 数y=ax2の  ①  任 意 のxに

得 る。

グ ラ フ は 放 物 線 と呼 ば れ,次 対 し て,a(-x)2=ax2で

の性 質 が あ る。

あ る か ら,グ

で あ る。 この対 称 軸 を放 物 線 の 軸,放

(a)a＞0の

パ ラ メ ー タ とす る動 的

ラ フ はy軸

物 線 と軸 との 交 点 を頂 点 とい う。

(b)a＜0の

と き 図3.9

に関 して対 称

とき

 ② 

こ の 放 物 線 は,a＞0の

 ③  グ ラ フ は 点(0,0)を  ④ 

と き 下 に 凸,a＜0の 通 る。

2次 関数y=ax2は,a＞0の a＜0の

(2)  2次

関 数y=a(x-p)2+qの

  定 数a,p,qを 定数a,p,qの

と き上 に凸 で あ る とい う。

と き,x＜0で

減 少 し,x＞0で

増 加 す る。

と き,x＜0で

増 加 し,x＞0で

減 少 す る。

グラ フ

変 化 さ せ た2次

関 数y=a(x-p)2+qの

動 的 な グ ラ フ を 観 察 し,

働 き を調 べ よ う。

  「関 数 ラ ボ 」は,y=a(x-p)2+qを

入 力 し た だ け で 定数a,p,qを

し て 処 理 し て く れ る 。 パ ラ メ ー タ と し て 処 理 で き る 文 字 は3つ 1変 数 の 整 式 と 円,楕

〔 例 題5〕y=a(x-p)2+qの

〔 解〕 ①  係数aの

円,双

曲 線 の2変

役 割 …a＞0の

る際 のx軸

え る式 は

式 まで で あ る。

グ ラ フ を描 き,定

り,￨a￨が 増 加 す る とグ ラ フ はy軸   ② pの

数2次

パ ラ メー タ と ま で,扱

数a,p,qの

役 割 を考 察 せ よ。

と きグ ラ フ は下 に凸,a＜0の

と き上 に 凸 で あ

に近 くな る こ とか らグ ラ フ の形 状 を示 す 。

役 割 …放 物 線 の 頂 点 のx座

標,ま

へ の移 動 の大 き さ を示 す(図3.10参

図3.10 pの

た はy=ax2の 照)。

変化 によるグラフ

グ ラ フ を 平行 移 動 す

  ③ qの

役 割 …頂 点 のy座

標,ま

たは

y軸 へ の移 動 の 大 き さ を示 す(図3.11参 照)。  (注)  「関 数 ラ ボ 」 に よ る グ ラ フ 表 示 は,キ ー操 作 の場 合 で は,次 の よ うに操 作 す る。

 1.  対 象 式(新 規)で,2次 y =a(x-p)2+qを

関数 の式

入 力 す る。

  2.  ア ニ メ ー ショ ン を 選 ぶ 。   3.  係 数a,p,qを

 4.  係 数a,p,qの し,残

び3.,4.の

キ ー でpの

値 の 枠 を 反 転 さ せ,

役 割 を 理 解 す るた め に 表 示 設 定 パ ネ ル でHELPキ 行 キ ー を 押 し,ONに

操 作 を 繰 り返 し,係

  な お,初 期 画 面 で はx,yの る。x,yの

変 化 さ せ る と き,↓

ー で 増 加 ・減 少 さ せ る 。

像 を 反 転 さ せ,改

 5.再

変 化 に よ るグ ラ フ

そ れ ぞ れ独 立 に変

化 さ せ る 。 例 え ば,pを XFER・NFERキ

図3.11 qの

ー を押

設 定 す る。

数a,p,qを

それ ぞれ 独 立 に変 化 さ せ る。

範 囲 は-8≦x≦8,-7.176≦y≦7.176に

設 定 してい

表 示 範 囲 を 変 え た い と き は,「 座 標 軸 」の プ ル ダ ウ ン メ ニ ュ ー 「原 点 の

移 動 」 と 「倍 率 の 変 更 」,「 ズ ー ム ア ッ プ 」 を 選 び,表

示 し た いx,yの

範 囲 を指 定

す る。

平 行移動 によ る2次 関数 のグ ラフ   2次 関 数y=a(x-p)2+qの

グ ラ フ は,y=ax2の

グ ラ フ をx軸 はx=pと

方 向 にp,y軸

方 向 にqだ

け平 行 移 動 した 放 物 線 で,頂 点 は(p,q),軸

なる。

  a,p,qの

変 化 に 応 じた グ ラ フ を よ く観 察 し,平 行 移 動 を図3.12の

よ うに図式

化 し,そ の 式 表 現 と対 応 させ て理 解 して お く こ とが 大 切 で あ る 。   一 般 に,y=f(x)の

グ ラ フ をx軸

方 向 に+p,y軸

方 向 に+qだ

け平 行 移 動 した

グ ラ フの 方 程 式 は,   とな る。 この 平 行 移 動 の 考 え は,こ れ か ら学 習 す る無 理 関 数y=√ax+aや

分数

(a)

(b) 図3.12

関数

〓指 数 関 数y=ax,三

関数y=asin(bx+c)な 関 数 の グ ラ フ,あ )+qや ど,平

ど,い

角

ろい ろ な

る い は 直 線y=m(x-p

円(x-a)2+(y-b)2=r2な

面 図 形 に も 広 く応 用 で き る 考 え で

あ る。 図3.13 

平行移動 のグラフ

問4  次 の放物 線 の軸 と頂 点 を求 め,そ の グ ラ フ をか け。

(1) (3) 

(2) 2次

関 数y=ax2+bx+cの

  一 般 形 で 表 さ れ た2次 +bx+cの

グ ラ フ と,そ

調 べ る。 初 め に,2次

グラフ 関 数y=ax2

の性 質 につ い て 関 数y=2x2+4x

+5に つ い て 考 え て み よ う 。

図3.14

  し た が っ て,2次

関 数y=2x2+4x+5の

1を 軸 と し,点(-1,3)を  一 般 に

グ ラ フ は,図3.14の

頂 点 とす る下 に 凸 の 放 物 線 で あ る。

,y=ax2+bx+cは

次 式 の よ う に変 形 で き る。

す な わ ち,y=ax2+bx+cはy=a(x-p)2+qと   し た がつ て,2次

よ う に,直 線x=

変 形 す る こ とが で き る 。

関数y=ax2+bx+cの

 軸が直線

グ ラ フ は,

〓頂 点が点〓

の放 物 線 で あ る。 〔 例 題6〕2次

関数 (3．1)

の グ ラ フ に つ い て,次  (1) 

の 問 に 答 え よ。

2次 関 数 式(3.1)の

頂 点 の 座 標 お よ び 軸 を 求 め,グ

 (2) y=-1/2x2-3x-5の

グ ラ フ は,式(3.1)の

ラ フ を か け。

グ ラ フ を ど の よ うに 平 行移動

した もの か 。  (3) 

方 程 式(3.1)の

グ ラ フ と,原 点 に

関 し て対 称 な グ ラ フ の 方程 式 を求 め よ。 〔解 〕

式(3.1)は,

と変 形 で き る か ら 頂 点 は(2,3),軸 程 式 はx=2,グ

ラ フ は 図3.15と

の方 なる。

 (2)

図3.15

か らx軸 方 向 に-5,y軸  (3) 

関 数 式(3.1)と

方 向 に-7/2だ

け平 行移動 した もの で あ る。

原 点 に 対 称 な グ ラ フ の 頂 点 は(-2,-3)で

あ る 。求 め る2

次 関 数 の グ ラ フ は下 に凸 で あ る か ら,そ の方 程 式 は,

〔 例 題6〕 の(3)の  点P(x,y)と

「関数 ラ ボ」 に よ る確 認

原 点 に 関 して 対 称 な 点 をQと

る。 この こ と を利 用 して,2次

す る と,Qの

座 標 は(-x,-y)で

あ

関 数 式(3.1)と 原 点 に関 して対 称 な2次 関 数 の グ ラ

フ を描 い て み る。 操 作 は次 の とお りで あ る。

図3.16

1.  「定 義 式 」 を 選 ん で 関 数 式(3.1)

2.  関 数 式(3.1)の

グ ラ フ 上 の 点Pを

か く た め[対

象 式(新

規)]で(t,f(t))と

入 力 す る。

3.  [対 象 式(追 加)]で

点Pと 原 点 に関 して対 称 な 点Qの 座 標 を(-t,-f(t)),

さ らに 原 点 に関 して 対 称 な こ と を確 認 す る線 分PQを -(-t,-f(t))を

追 加 入 力 す る。

図 示 す る た め,(t,f(t))

4.  ア ニ メ ー シ ョ ン を 選 び,「 点 の 軌 跡 」をONに

でtの 値 を増 加 ・減 少 させ,点P,Q,線

分PQを

「表 示 環 境 の設 定 」を選 び,「方 眼 表 示 」をONに y =bが

設 定 し,XFER・NFERキ

ー

動 的 に表 示 す る。 その 際,

す る と,方 眼 の格 子 直 線x=a,

表 示 され ,頂 点 の座 標 な ど が読 み 取 りや す くな る。

問5  次 の 問 に答 え よ。  (1) y=-x2-3x-2の

グ ラ フ を描 け。

 (2) y=-x2+2x+3の

グ ラ フ は(1)の

グ

ラ フ を ど の よ う に平 行 移 動 し た も の か 。  (3) y=ax2+bx+cの

グ ラ フ が 図3.17の

と き,a,b,c,b2-4ac,a+b+cの

符 号

を決 定 せ よ。   (4) 

頂 点 が(5,-2)で,点(0,7)を

通 る放 物

線 の 方程 式 を求 め よ。

図3.17

[2]  2次 関数の値の変化  2次 関 数

は,

と 変 形 で き る 。 そ の グ ラ フ は,図3.18の よ う に,頂 点 の 座 標 が(-3,-2)で,下

に 図3.18

凸 の 放 物 線 で あ る。 グ ラ フ を用 い て 関 数

の値 の 変 化 を調 べ る と,次 の よ うに な る。す な わ ち,xの 値 は,x＜-3の

範 囲 で は減 少 し,x＞-3の

小 とな り,最 小 値 は-2で 最 大 値 は な い。

値 が 増 加 す る と き,yの

範 囲 で は増 加 す る。x=-3の

あ る。 また,関 数yの

と き最

値 は限 りな く大 き くな るか ら,

(a)a＞0の

と き

(b)a＜0の

と き

図3.19

  2次 関 数y=ax2+bx+cの

グ ラ フ を 考 え る こ と に よ り,関 数 の 値 の 変 化,お

よ

び そ の 最 大 値 ・最 小 値 は 次 の よ う に な る(図3.19)。

 (1)  a＞0な

〓で は減 少,

値 は,

小値 は  (2) 

ら ば下 に 凸 の放 物 線 で あ るか ら,xの 値 が 増 加 す る と き関数yの 〓で は増 加,

〓の とき最 小 と な り,最

〓最 大 値 はな い。

a＜0な

ら ば,

〓で は 増 加,

〓の と き最 大 とな り,最 大 値 は

〓で は減 少 〓最 小 値 は な い 。

  次 に,定 義 域 に制 限 が あ る場 合 の2次 関 数 の 最 大 値 と最 小 値 に つ い て 考 え て み よ う。y=f(x)の

定 義 域 がa≦x≦bで

あ

る と き,そ の定 義域 を括 弧 内 で 示 して,

と表 す 。

 次 の2次

関数

図3.20

の グ ラ フか ら,値 域 は

〓で あ る。

 し た が っ て,関 数yはx=-3の

と き 最小 値-2を

とり,x=2の

と き最 大値

21/2を と る 。

  こ の よ う に,定 義 域 に制 限 が あ る場 合 の2次 関 数 の最 大 値 と最 小 値 は,関 数 の グ ラ フ を利 用 して,軸x=pの 数 の 値f(a),f(b)に

位 置,お よ びxの

範 囲a≦x≦bの

着 目す る とよ い。

 な お,〔 例 題3〕 の 直 方 体 の 体 積Vの

問題 で は,Vはxの

と表 せ た か ら,y=4x3-42x2+104xの

グ ラ フ は 図3.21と

と,0＜x＜4の   実 際,微

両 端 に お け る関

範 囲 で はyの

な る。 これ を利 用 す る

値 の 最 大 値 が 存 在 す る こ と が わ か る。

分 の 考 え 方 を 応 用 す る と,3次 〓の と き,最

関 数 と して

大値

関y=4x3-42x2+104xは,

〓を も つ こ と が 確 か め ら れ る 。

(a)

(b) 図3.21

「関 数 ラ ボ 」 で は,上 の 事 柄 が 次 の操 作 で容 易 に確 か め られ る。 1.  「数 式 入 力 」 で 4x3-42x2+104xと

2.  f'(x)=0と 力 す る。

「定 義 式 」 を 選 び,f(x)=x(8-2x)(13-2x)ま

た はf(x)=

入 力 す る。

な るxを

求 め る た め,「 対 象 式(新

規)」 を 選 び,f'(x)=0と

入

3.  「計 算 」 の 「展 開 と 計 算 」 を 実 行 す る と,f'(x)=0と

な る2つ

のxが

記 録エ

〓,〓 と順 に 出 力 され る。

リア に

4.  0＜x＜4の

 〓の と き の 関 数f(x)の

範 囲 にあ る

た め に 「対 象式(新

〓と入 力 す る 。

規)」 を選 び,

5.  「計 算 」 の 「展 開 と計 算 」 を実 行 す る と,値

問6  次 の2次

関 数 の 最 大 値,ま

値 を求 め る

〓が え られ る。

た は 最 小 値 を 求 め よ。 また,そ

の と き のxの

値 を求 め

よ 。

(1) (2) 〔 例 題7〕

0≦x≦1に

関 数f(x)=x(x−a)の

区 間

お け る最 小 値 を求 め よ。

〔 解 〕 初 め に,手

順1.と2.に

よ り,グ

フ を か く範 囲 を設 定 し,区 間0≦x≦1を

ラ

図

示す る。 1.  「座 標 軸 」 の

「ズ ー ム ア ッ プ 」 で 左 上

隅 を 指 定 し,グ −2≦x≦3

ラ フ を か く範 囲 を 図3.22

,−3≦x≦5程

度 に す る。

2.  「対 象 式(新 規)」 で0≦x≦1と の 種 類 を 選 び,区

間0≦x≦1を

入 力 し,「 グ ラ フ を描 く(新 規)」 で 線 や 区 間 図 示 す る 。(図3.22)

3.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新 規)」 でy=x(x−a)を の 方 程式k=a/2を

入 力 す る。

4.  「グ ラ フ 」 の 「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を 選 び,aの を 観 察 し,区

「対 象 式(追 加)」 で軸

間0≦x≦1に

値 の 変 化 に応 じた 動 的 グ ラ フ

お け る 最 小 値 を 求 め る(図3.23)。

と変 形 で き る か らy=f(x)の フ は,軸 をx=a/2,頂

グラ

点 を(a/2,-a2/4)

に もつ放 物 線 で あ る。aが 変 化 す る と放 物 線 の 軸 と頂 点 が 動 き,最 小 値 も 変 化 す る か らy=f(x)の

グラ フ

は,図3.24の

よ う に,軸 の位 置 が 区

間0≦x≦1の

① 左 外,② 内,③ 右 外

図3.23

に あ る3と お りに分 け られ る。 そ こ で,そ

れ ら3と

お り の 場 合 のaの

範 囲 を 調 べ る と,

 ①  軸 の位 置 が 区 間0≦x≦1の

左 外 に あ る とき,a/2≦0か

 ②  軸 の位 置 が 区 間0≦x≦1の

内 に あ る と き,0＜a/2≦1か

 ③  軸 の位 置 が 区 間0≦x≦1の

右 外 に あ る とき,a/2＞1か

以 上 の こ と か ら 区 間 の 両 端 で の 値f(0),f(1)に と,図3.24の  ①  a≦0の

よ う に,aの と き,最

 ②  0＜a≦2の  ③  a＞2の

値 に よ っ て,3と

注 意 し,最

らa≦0 ら0＜a≦2 らa＞2

小 値mを

考 察 す る

お りに場 合 分 け で き る。

小 値m=0(x=0)

と き,m=〓 と き,m=1-a(x=1)

とす る。

問7 

2次 関 数y=2ax-x2の-1≦x≦1に

そ の グ ラ フ をか け。

お け る 最 大 値M(a),最

小 値m(a)を

求 め,

(b)

(a)

(c) 図3.24

[3]  2次 方程式・2次 不等式 (1)  2次

方程 式

  a,b,cを

定 数,a≠0と

して

の 形 で 表 さ れ る方 程 式 をxに

つ い て の2次

を2次 方 程 式 の 解 とい う。3.1節で は,1次 1次 不 等 式ax+b＞0やax+b≦0な

方 程 式 とい い,こ

れ を み た すxの

関 数y=ax+bの

グ ラ フ を利 用 して,

ど の解 を求 め た 。 こ こで は,2次

関 数y=

値

ax 2+bx+cの   2次

グ ラ フ を利 用 して

,2次

方 程 式ax2+bx+c=0の

と し た と き のxの

方 程 式ax2+bx+c=0の

解 は,2次

値,す

な わ ち,2次

解 を求 め る。

関 数y=ax2+bx+cに

関 数 の グ ラ フ とx軸(y=0)と

お い てy=0 の 共 有 点 のx

座 標 で あ る。

〔例 題8〕2次

方 程 式x2-2x-3=0

の 解 を求 め よ。 〔 解 〕2次

関 数y=x2-2x-3はy=

(x-1)2-4と

変 形 で き る か ら,そ

フ は 図3.25と

な り,x軸

を も つ 。共 有 点 のx座 =0か

らx=-1

,3で

 した がっ て,2次 は 異 な る2個

と2個

の共 有 点

標 は(x-3)(x+1) あ る。

方 程 式x2-2x-3=0

の 解,x=-1,3を

〔 例 題9〕2次

のグ ラ

もつ。

図3.25

方 程 式-x2+2x-1=0

の解 を求 め よ。 〔解 〕2次

関 数y=-x2+2x-1はy

=-(x-1)2と

変 形 で きるか ら

ラ フ は 図3.26と

な り,x軸

点 を も つ 。 共 有 点 のx座 =0か

らx=1で

の共 有

標 は-(x-1)2

方 程 式-x2+2x-1

の 解x=1を

  上 の 場 合 は,2個 え て,こ

と1個

の グ

あ る。

  し た が っ て,2次 =0は1個

,そ

もつ

。

の 解 が 重 な っ た と考

図3.26

の 解 を 重 解 と い う。 ま た,2次

関 数 の グ ラ フ がx軸

け もつ と き,2次  こ こ で,2次

と 共 有 点 を1個

関 数 の グ ラ フはx軸 関数

だ

と接 す る とい い,その 共 有 点 を接 点 とい う。

(3.2) の グ ラ フ を利 用 して,2次

方程 式 (3．3)

の 解 の 個 数 を調 べ る。   a＞0の

と き,関

に よ っ て,次

数 の 式(3.2)の

の よ う に3と

グ ラ フ とx軸

と の 共 有 点 の 個 数 はb2-4acの

お り の 場 合 に 分 け る こ と が で き る 。 す な わ ち,

 ①  b2-4ac＞0な

らば,y座

標 は負 とな るか らx軸

との 共 有 点 の個 数 は2個

 ②  b2-4ac=0な

らば,y座

標 は0と な るか らx軸

との 共 有 点 の個 数 は1個

  ③ b2-4ac＜0な

ら ば,y座

標 は 正 と な る か らx軸

との 共 有 点 は な い 。

  a＜0の

と き,関 数 の 式(3.2)の

に よ っ て,同

様 に し て3と

 し た が っ て,2次

異 な る2個

グ ラ フ とx軸

らば

と の 共 有 点 の 個 数 は,b2-4acの

値

お りの 場 合 に 分 け る こ と が で き る 。

方 程 式(3.3)の

(a)b2-4ac＞0な

値

解 の 個 数 は,aの

(b)b2-4ac=0な

の解

正 負 に か か わ らず,図3.27の

らば

1個 の解(重 解)

(c)b2-4ac＜0な

らば

解 をもたない

図3.27

よ う に ま と め ら れ る 。た だ し,図 の2次

関 数y=ax2+bx+cの

グ ラ フ は, a＞0の

と き で あ る。   b2-4acを2次

方 程 式ax2+bx+c=0の

判 別 式(Discriminant)と

い い,文 字D

で表 す こ とが あ る。

〔 例 題10〕2次

方 程 式x2-6x+k=0の

に変 わ る か調 べ よ。

解 の 個 数 は, kの 値 に よ っ て ど の よ う

〔 解 〕 求 め る2次 方 程 式 の 解 の個 数 は,2次

関数y=x2-6x+kとx軸

の交点

の個 数 に よ っ て調 べ る こ とが で き る。

 1.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新 でy=x2-6x+kを

規)」

入 力 す る。

  2.  「グ ラ フ 」 の 「ア ニ メ ー ショ ン 」 を

選 び,kの

値 の 変 化 に 応 じた2次

数 の 動 的 グ ラ フ とx軸

関

との 交 点 を

観 察 す る。 y=x2-6x+k=(x-3)2+k-9で る か ら,こ 3.28の

の2次

図3.28

関 数 の グ ラ フ は,図

よ う に,kの

も常 に 直 線x=3を 個 数 は,2次

あ

ど ん な 値 に対 し て

軸 に も ち,kの

関 数 の グ ラ フ とx軸

値 に よ っ て上 下 に移 動 す る。2次 方 程 式 の 解 の との共 有 点 の 個 数 で あ るか ら,

 ①  k-9＜0,す

な わ ちk＜9の

と き,異

 ②  k-9=0,す

な わ ちk=9の

と き,1個

 ③  k-9＞0,す

な わ ちk＞9の

と き,解

 D=b2-4ac=(-6)2-4k=4(9-k)と

な る2個

の解

の解 を もた な い。

す る と

,前

頁 の ま と め か ら 次 の3つ

に場

合 分 けが で き る。  ①  D＞0,す

な わ ち,9-k＞0,ゆ

 ②  D=0,す

な わ ち,k=9の

と き,1個

 ③  D＞0,す

な わ ち,k＞9の

と き,解

問8 

2次 方 程 式x2+ax+a=0の

え にk＜9の

と き,異

な る2個

の解

の解 を もた な い 。

解 の 個 数 は,aの

値 に よっ て どの よ うに変 わ るか を

調 べ よ。

(2)  2次

不等式

 不 等 式 の す べ て の 項 を左 辺 に移 項 してxに

の よ う に,xの2次

つ い て整 理 した と き,

式 と不 等 号 で 表 され る式 を,xに

つ い て の2次

不 等 式 とい い,

こ れ を 満 た すxの   3.1節

値 を2次

で は,1次

ax+b≦0な

不 等 式 の解 とい う。

関 数y=ax+bの

グ ラ フ を 利 用 し て,1次

ど の 解 を 求 め た 。 こ こ で は,2次

し て,2次

関 数y=ax2bx+cの

不 等 式ax2+bx+c≧0,ax2+bx+c＜0の

〔 例 題11〕2次

不 等 式ax+b＞0や グ ラ フ を利 用

解 を求 め る 。

不 等 式x2-2x-3≧0

の 解 を求 め よ。 〔 解 〕1. 

「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新

規)」 でy=x2-2x-3を

入 力 す る。

2.  「グ ラ フ 」の 「グ ラ フ を 描 く(新 規)」

を選 び,線

の種 類 を決 定 す る.

 2次 関 数y=x2-2x-3の 3.29の と2個

よ う に,下

に 凸 の 放 物 線 で,x軸

の 共 有 点(-1,0),(3,0)を

 x 2-2x-3≧0を

もつ 。

み た すxの

は,関y=x2-2x-3の

上,ま

グ ラフは図

図3.29

値 の範 囲

た は,x軸

グ ラ フ がx軸

よ り上 方 に あ る部 分 に対 す るxの

 し た が っ て,x2-2x-3≧0の

値 の 範 囲 で あ る。

解 は,x≦-1とx≧3の

範 囲 を合 わせ た範 囲 で あ

る。 この 範 囲 を

と 表 す 。 ま た,不

等 式x2-2x-3＜0の

下 方 に あ る 部 分 に 対 す るxの

 一 般 に

,xに

整 理 し,a＞0と

解 は,y=x2-2x-3の

値 の 範 囲 で あ る こ と か ら,次

グ ラ フ がx軸

の よ う に求 め られ る。

つ い て の2次 不 等 式 は,す べ て の 項 を左 辺 に移 項 してxに な る よ う に し,

の よ う な形 に で き る。

よ り

つ いて

  2次 方 程 式ax2+bx+c=0が

異 な る 解 α,β(た だ し

α＜ β)を も つ と き,2次

関 数y=ax2+bx+cの

は,図3.30の

に 凸 の 放 物 線 で,x軸

よ う に,下

2点(α,0),(β,0)で

グ ラ フ と異 な る

交 わ る。 図3.30

  し た が っ て,   2次 不 等 式  ax2+bx+c＞0の

解 は,x＜

α,β＜x

  2次 不 等 式 ax2+bx+c≦0の

解 は,α ≦x≦ β

で あ る。

問9  次 の2次 不等式 を解 け。 (1) (2)   次 に,2次

関 数y=ax2+bx+cの

グ ラ フがx軸

と接 す る場 合,お よ びx軸

との

共 有 点 が な い場 合 の2次 不 等 式 の解 を調 べ よ う。 〔 例 題12〕2次 〔 解 〕1.「

不 等 式-x2+2x-1≧0の 数式入力」 の

「対 象 式(新

解 を求 め よ。 規)」 でy=-x2+2x-1を

2.  「グ ラ フ」 の 「グ ラ フ を描 く(新 規)」 を選 び,線 フか らyの 値 が 負 とな らな いxの

範 囲 は,x=1の

入 力 す る。

の種 類 を決 定 す る。 グ ラ み で あ る こ とが わ か る。

  2次 関 数y=-x2+2x-1はy=-(x -1)2と 変 形 で き る か ら,そ の グ ラ フ は 図 3.31の

よ う に,上

と 点(1,0)で

に 凸 の 放 物 線 で,x軸

接 し,x軸

上,ま

り下 方 に あ る 。 ゆ え に,y≧0と x =1の

た はx軸

よ

な るの は

と きだ けで あ る。

 し た が っ て,   2次 不 等 式-x2+2x-1≧0の

 ま た,2次

関数y=-x2+2x-1の

解 は,

グ

図3.31

ラ フ か ら,2次  一 方

不 等 式-x2+2x-1＞0は,解

,2次

を もた な い 。

不 等 式-x2+2x-1≦0の

〔 例 題13〕2次 〔 解 〕1. 

解 は,実

不 等 式x2-4x+5≧0の 「数 式 入 力 」 の

解 を 求め よ 。

「 対 象 式(新

2.  「グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を 描 く(新

グ ラ フか らyの

規)」 でy=x2-4x+5を 規)」 を 選 び,線

値 が 負 と な らな いxの

よ う に,下

最 小 値1は

よ り

すべ て の 値 に

あ る。

  した が っ て,2次

  ま た,2次

の グ ラ フ は図

に 凸 の 放 物 線 で,yの

上 方 に あ る 。す な わ ち,xの

の 解 は,実

の 種 類 を決 定 す る。

変 形 で き る か ら,そ

正 で あ る 。 グ ラ フ はx軸

対 し てy＞0で

入 力 す る。

範 囲 は,実 数 全 体 で あ る こ とが わ か る。

  2次 関数y=x2-4x+5はy=(x-2)2+1と 3.32の

数 全 体 で あ る こ とが わ か る。

不 等 式x2-4x+5≧0

数 全 体 で あ る。 不 等 式x2-4x+5≦0は,解

を もた な い。   一 般 に,a＞0,b2-4ac≦0の 次 関数y=ax2+bx+cの

図3.32

グ ラ フ とx軸

との位 置 関 係 は,図3.33の (b))で

と き,2

よ う に接 す る場 合(図(a))と,共

有 点 が な い場 合(図

あ る。

(a)b2-4ac=0の

と き

(b)b2-4ac＜0の 図3.33

 し た がっ て,2次

不 等 式ax2+bx+c＞0の

解 は,

と き

b2-4ac＜0の  ま た,2次

と き,実

数全体

不 等 式ax2+bx+c＜0は,解

を もた な い。

問10  次 の不等 式 を解 け。 (2)

(1) 〔例 題14〕

次 の 条 件 の2次 不 等 式 を み た すkの

(1) 

す べ て の 数kに

(2) 

区 間-2≦x≦2の

〔 解 〕(1) 

範 囲 を求 め よ。

対 し て,x2+kx+3≧k す べ て の 数xに

不 等 式  x2+kx+3≧kか

 こ こ で,y=x2+kx+3-kの

よ うなkの

(3)

対 し て,x2+kx+3≧k

ら,x2+kx+3-k≧0。

グ ラ フ が,す

べ て のxにつ

い てx軸

の上 方 に あ る

値 を調 べ る。

1.  「数 式 入 力 」 の

「 対 象 式(新

規)」 でy=x2+kx+3-kを

2.  「グ ラ フ」の 「ア ニ メ ー ショ ン」を選 び,kの

入 力 す る。

値 を変 えて 条 件 を み た すkの

範 囲 を 調 べ る。   実 際,x2+kx+3-k=0の

判 別 式Dに

式 を 解 い て-6≦k≦2を

る よ うなkの

あ る こ とが 読 み 取 れ る 。

範 囲 でy=x2+kx+3の

グ ラ フがy=kの

値 を調 べ る。

1.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新 規)」 で y=x2+kx+3を

入 力 す る。

2.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(追 加)」 で y=kを

入 力 す る。

3.  「グ ラ フ 」 の 「ア ニ メ ー ショ ン 」 を 選

び,kの

値 を変 えて 条 件 を み た すkの

範 囲 を調 べ る。  (2) -2≦x≦2の

この不 等

得 る。

 こ の 結 果,-6≦x≦2で

〔 別 解 〕 す べ て のxの

つ い て,D=k2-4(3-k)≦0。

範 囲 に 注 目す る た

め,そ れ 以 外 の領 域 を斜 線 で 表 示 して お く。

図3.34

グ ラ フの 上 に あ

1.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新

規)」 でx＞2を

2.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(追

加)」 でx＜-2を

入 力 す る。 入 力 す る。

3.  「グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を 描 く(新 規)」 で 「共 通 部 分 」 のNoを 塗 り つ ぶ し パ タ ー ン と し て 斜 線 を 選 択 す る と,図3.34と の1.,2.と

選 ぶ 。 次 に,

な る 。こ の 後 で,(1)

同 じ操 作 を 行 い,斜 線 の な い 区 間 で 常 にy=x2+kx+3-kがx軸

の 上 方 に あ る と き のkの

値 の範囲

を調 べ る(図3.35)。   軸 の 位 置 とx=-2,2で

の 値,お

よび

最 小 値 に注 目 す る と,次 の3つ の 場 合 分 け で き る。   (ア)  軸 が 区 間 の 左 外 に あ る 。つ ま り, x=〓

の と き ,x=-2で

小 値7-3kと

最

な る。 こ れが 正 で あ れ

ば よ い 。 す な わ ち,k≦4の

と き,7 図3.35

-3k≧0と

な る 。 こ れ は 条 件k≦4

に適 さ な い。  (イ)  軸 が 区 間 内 に あ る と き,-2＜-k/2≦2,つ

-k/ 2で 最 小 値〓 わ せ て,-4≦k≦2

とな る。これが0以

 (ウ)  軸 が 区 間 の 右 外 に あ る と き,2＜-k/2,つ

 最 小 値 は7+kと 以 上 か ら求 め るkの 問11 

す べ て の 数xに

ま り,-4≦k＜4の

な る。7+k≧0か

と き,x=

上 で あ れ ば よ い か ら条 件と 合

ま り,k＜-4の

と き,x=2で

ら条 件 と合 わ せ て,-7≦k＜-4

範 囲 は,-7≦k≦2 対 して,2次

不 等 式kx2+3x+k＞0が

成 り立 つ 定 数kの

値 の範

囲 を求 め よ 。

【発 展 】2つ

の 関 数 の グ ラ フの 共 有 点

  2次 関 数y=ax2+bx+cの x座 標 は,y=ax2+bx+cとy=0の

グ ラ フ とx軸,す

な わ ち,直

連 立 方 程 式,す

線y=0と

な わ ち,2次

の共 有 点 の

方 程 式ax2+bx

7

+c=0の

解 で あ る。

  こ の考 え を発 展 させ て,2つ

の 関 数 の グ ラ フ の共 有 点 の 個 数 や そ の 座 標 を求 め

て み よ う。

〔 例 題15〕

〓につ い て以 下 の 問 に 答 え よ。

関数

 (1) y=f(x)の

グ ラ フ を か け。

 (2) 曲線y=f(x)と

直線y=-1/2x+kと

の 共 有 点 の個 数 を求 め よ。

〔解 〕 「関 数 ラ ボ」 で は 区 間a≦x≦bと て,定

関 数y=f(x)の

義 域 付 き 関 数y=f(x)(a≦x≦b)の

(1)y=f(x)の

共 通部分 の グラ フと し

グ ラ フ をか く こ とが で き る。

グ ラ フ を か くた め の 操 作

1.  「数 式 入 力 」 の

「対 象 式(新

規)」 でy=x2を

2.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(追 加)」 でx≦1を

入 力 す る。

入 力 す る。

3.  「グ ラ フ」の 「グ ラ フ を描 く(新規)」 を 選 ん だ後,共

通 部 分 を選 び,線

類 を 選 択 す る。 4. 

「対 象 式(新

規 」)でy=-x2+2xを

5. 

「対 象 式(追

加)」 で1≦x≦2を

6. 

「グ ラ フ を か く(追 加)」 で,共

部 分,次 .  4.か

入 力 す る。 入 力 す る。 通

い で 線 の種 類 を選 択 す る。 ら6.と

-4(2＜x)の

同 様 の 操 作 でy=x2 グ ラ フ を か く(図

3.36)。

(2)に

つい て

 上 の(1)の

操 作 に 引 き続 い て

1.  「 対 象 式(新 規)」でy=-1/2x+k を入 力 す る 。 図3.36

の種

2.  「グ ラ フ 」 の 「ア ニ メ ー ショ ン 」 を 選 び,kの

値 の変 化 に よ っ て交 点 の個 数

が どの よ う に変 化 す るか を調 べ る。   直線y=-1/2x+kはkが 動 す る 。(1)で

か い た グ ラ フ とkの

  放 物 線y=x2…

て え た2次

変 化 す る に つ れ て,直 線y=-1/2xと

変 化 に よ る直 線 の グ ラ フ との 交 点 を調 べ る。

① と 直線y=-1/2x+k…②が接する

方 程 式2x2+x-2k=0の重解

  し た が っ て,共

の は,式

条 件12+16k=0か

 ま た,y=-x2+2xとy=-1/2x+kが

接 す る の は,前

式2x2-5x+2k=0の重

平 行 で 上 下 に移

条 件25-16k=0か

らk=25/16で

有 点 の 個 数 は,図3.37か

らkの

② を式 ① に代 入 し

ら,k=-1/16で

と 同 様 に 考 え て2次方程

あ る。

値 に よ っ て,次

の よ う に場 合 分

けで きる。

(a)k=-1/16の

(b)k=1,

とき

25/1 6の

とき

図3.37

(ア) k＜1/16の

と き0個

(ウ) -1/16＜k＜1,25/16＜kの

 (イ) k=-1/16の

と き2個

あ る。

と き1個

 (エ) k=1,25/16の

と き3個

(オ)1＜k＜25/16の

問12 

と き4個

2次 関 数y=-x2+2x-1と

直 線y=-2x+mの

グ ラ フ の 共 有 点 の 個 数 は,m

の い ろ い ろ な 値 に 対 し て どの よ う に 変 わ るか を調 べ よ。

3.3 

三 角 関数

[1]  一般角と三角関数 (1)一

般角

  こ こで は,角 の概 念 を一 般 角 に ま で拡 張 し,こ の 角 に対 し て三 角 関 数 を定 義 し, 三 角 関 数 の 性 質 や 相 互 の 関 係 を理 解 す る。   い ま まで 角 は0° か ら360° まで の範 囲 で 考 え て きた が,回 転 な ど,応 用 上 は360° よ り大 き な角 や-30°   平 面 上 で 点Oを

な ど,負 の角 も考 え る と便 利 で あ る。

中 心 と して 回 転 す る半 直 線OPを

考 え る。 この よ う な 半 直 線

O Pを 動 径 とい い,回 転 の は じめ の 位 置 を示 す 半 直 線OXを

始 線 とい う。 回転 に は2つ の 向 きが あ る の

で,時 計 の 針 と同 じ向 き に進 む 回 転 を正 の 向 きの 回 転 とい い,時 計 の針 と反 対 の 向 き に進 む 回転 を負 の 向 きの 回 転 と い う。 ∠XOPの 位 置 か ら動 径OPが

大 き さ は始 線OXの

どれ だ け回 転 して きた か に よ っ 図3.38

て 定 ま る。  一般 に ∠XOPの

,∠XOPの

大 き さ の1つ

大 き さ θ は,次

を α°とす れ ば,

の よ う に表 せ る。

(nは 整 数) これ を 動 径OPの て,い

表 す 一般 角 とい う。 角 の単 位 と し

ま まで 直 角 の1/90を1°(度)と

す る60分 法 図3.39

を 用 い て きた 。   こ の 他 に,図3.40の

よ う に,半 径rの

等 し い 長 さ の 弧ABに

対 す る 中 心 角 の 大 き さ を1

ラ ジ ア ン(弧

度)と

定 め,こ

円 で,rに

れ を 単 位 と して 角 の 大

き さ を測 る 弧 度 法 とい わ れ る 方 法 が あ る。 これ に よ れ ば,180°,360°

は ち ょ う ど π 〔ラ ジ ア ン 〕,2π 〔ラ ジ

図3.40

ア ン 〕で あ る 。   ラ ジ ア ン と度 との 間 に は

ラジア ン ラジア ン と い う 関 係 が あ る 。1ラ

ジ ア ン は 約57° で あ る 。 一 般 角 θ を 弧 度 法 で 表 す と,次

の よ うになる。

(nは 整 数)   数 学 で は,弧 度 法 を用 い る こ とが 便利 で あ り,こ れ か ら は特 に 断 わ りの な い限 り,角 の 大 き さ は弧 度 法 に よ る もの と し,単 位 名 の ラ ジ ア ン は つ け ず に,単 π や2π な ど とか く こ と にす る。 (2)  三 角 関 数   座 標 平 面 上 で,x軸

の正 の 部 分 を始 線 に と

り,角 の 動 径 と原 点Oを

中心 とす る半 径rの

円 との 交 点 をP(x,y)と

す る。 この と き,

の 値 は,半 径rに

関 係 な く定 ま る θの 関 数 で

ある。   こ れ ら の 関 数 を そ れ ぞ れ 角 θ の 正 弦,余 弦,正

接 とい い,ま

す な わ ち,

と め て三 角 関数 と い う。 図3.41

に,

  r=1の

と きの 円 を特 に単 位 円 とい う。単 位 円 にお い て は,x座

標,y座

標がそ

れ ぞ れ角 θの余 弦,正 弦 で あ る。 す な わ ち,

で あ る。

  〔 例 題16〕

次 の い ろ い ろ な角 に対 す る三 角 関 数 の値 を求 め よ。

(1)

(2)

(3)

〔 解 〕「 関 数 ラ ボ 」は60分 法,弧

(4)

度 法 どち らの 角 で も,そ の 角 に対 す る三 角 関 数

の 値 を 求 め る こ と が で き る 。 三 角 関 数 は 数 式 ブ ロ ッ ク 「SHIFT+F3,F4,F5」 入 力 す る 。 キ ー ボ ー ドか ら   そ の 操 作 手 順 は,次

「sinx｣と

で

入 力 し て も正 弦 関 数 と し て 処 理 し な い 。

の よ うに な る。

1.  「SHIFT+F3(F4,F5)」

で 正 弦 記 号 「sin」(余 弦cos,正

接tan)を

入力

す る。

2.  次 の操 作 で 角 を入 力 す る。 (ア)60分

法 表 示 の と き … 角 の 大 き さ に次 い で 「XFER+F10」

で角度記 号

「° 」 を 入 力 す る。  (イ)  弧 度 法 表 示 の と き …

3.  TABキ

「π」 は[XFER+F2」

で 入 力 す る。

ー で 三 角 関 数 の 入 力 状 態 を終 了 す る。

4.  メ ニ ュー 「計 算 」 の 「展 開 と計 算 」 また は 「数 値 計 算 」 を選 び,改 行 キ ー を押 す と値 は記 録 エ リア に 出 力 され る。  な お,「 展 開 と計 算 」で は,

〓と,そ の 整 数 倍 の 角 に対 して 三 角 関 数

の 値 が 分 数 の ま ま得 られ る。 そ の他 の 角 に対 す る三 角 関 数 の値 は,「 数 値 計 算 」で 求 め る。   例 え ば,sin15°

を 「数 値 計 算 」 で 求 め る と10桁

が 得 ら れ る が,「 展 開 と計 算 」を 実 行 す る と,数

の 小 数0.2588190451で

その値

式 と し て 処 理 さ れ る の で,sin  15°

の ま ま で あ る 。 ま た,tanπ/2やtan3π/2は定義

さ れ て い な い か ら,そ

の値 は求 め ら

れ ず,「 展 開 と計 算 」 を 実 行 し て も 「tanの 引 数 の 範 囲 エ ラ ー で す 」 と い う エ ラ ー メ ッセ ー ジ が 出 さ れ る。   角 θ の 表 す 動 径 と単 位 円 の 交 点Pの 3.42を

利 用 し て,い

座 標 が(cosθ,sinθ)で

あ る こ と か ら,図

ろ い ろ な 角 に対 す る三 角 関 数 の 値 を求 め る。

(b)

(a)

(c)

(d)

図3.42

表3.2

問13 

次 の い ろ い ろ な 角 に対 す る 三 角 関 数 の 値 を 求 め よ。

(2)

) 5 (

) 3 (

(1)

(4)

(3)  三角 関数の性 質  単 位 円 と一 般 角 θ を表 す 動 径 との 交 点Pの

で あ る か ら,

座 標 を(x,y)と

す れ ば,

  点P(x,y)は

円x2+y2=1上

こ の 式 の 両 辺 をcos2θ

に あ る か ら,

で 割 る と,

と い う 関係 が 成 り立 つ。   ま た,角

θ,-θ

す る 。P,P'は

図3.43

の 表 す 動 径 と単 位 円 と の 交 点 を そ れ ぞ れP(x,y), 

図3.44の

よ う に,x軸

P'(x',y')と

に 関 し て 対 称 で あ る か らx'=x,y'=-yで

あ る 。 し た が っ て,

図3.45

図3.44

 さ ら に,角 y')と す る y'=xで

θ,π/2-θ の 表 す 動 径 と単 位 円 と の 交 点 を そ れ ぞ れP(x,y),P'(x',

。P,P'は

あ る

図3.45の

。 し た が っ て,

よ う に,直線y=xに

関 し て 対 称 で あ る か らx'=y,

で あ る。

問14 

「関 数 ラ ボ 」 を利 用 し て,三

[2] 

三角 関数 のグ ラフ

角 関 数 の次 の 性 質 を確 か め よ 。

  こ こ で は,直 角 三 角 形 の 角 に対 す る 『辺 の比 』 を発 展 さ せ,孤 度 法 で測 られ た 実 数 の 関数 と し て三 角 関 数 の グ ラ フ をか き,三 角 関 数 の特 徴 を調 べ よ う。 〔例 題17〕

単 位 円周 上 の 点Pのy座

に し て,単 位 円 周 上 の 点Pの き,そ

標 が 角 θの 正 弦sinθ

を表 す こ と を も と

動 き と対 応 さ せ て,正 弦 関数y=sinθ

の グラフをか

の性 質 を調 べ よ。

ま た,余 弦 関 数y=cosθ,正

接 関数y=tanθ

の グ ラ フ を か き,そ の 性 質 を 調 べ

よ 。

〔解 〕 「関 数 ラ ボ 」に は,方 眼 や 目盛 を表 示 した り,座 標 軸 の 刻 み を π単 位 に し た りす るの に便 利 な 表 示 環 境 設 定 の機 能 が あ る。   (1) 

正 弦 関 数y=sinθ

の グラフ

 まず,「 座 標 軸 」 の 「原 点 の 移 動 」 と 「倍 率 の 変 更(x,y同 範 囲 を-2＜x＜9,-5＜y＜5程

時)で,x,yの

度 に設 定 す る。 次 い で,「 グ ラ フ」の 「表 示 環 境

の 設 定 」 で 「座 標 軸 きざ み(x)」 を 「π」 にす る。 単 位 円 を点(-1,0)を き,動 径OPや

表示

単 位 円 上 の点Pと

グ ラ フ上 の 点Qを

中 心 にか

結 ぶ線 分 な ど をか くた め,以

下 の よ う に入 力 す る。   単 位 円 の 方 程 式 「(x+1)2+y2=1」(な

動径OP； 三 角 関 数 の グ ラ フ上 の点Q； Pと グ ラ フ上 の点Qを

結 ぶ線 分PQ;

お,単 位 円 は あ らか じ め か い て お く)

  「グ ラ フ 」 の 「ア ニ メ ー ショ ン」 を選 び, XFERキ ー で θの 値 を 増 加 さ せ る と,単 位 円 上 の 点Pの

運 動 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ンが 観

察 で き,θ-y座

標 上 に点Qの

動 きが 示 さ れ

る 。

 (2) y=cosθ

  動 径OPと

の グラフ

グ ラ フ上 の点Q,線

分PQを

以

下 に変 更 す る。 図3.46

動径OP;

三 角 関 数 の グ ラ フ上 の 点Q；

Pと グ ラ フ上 の 点 を結 ぶ線 分PQ;

 (3) y=tanθ

 x,y表

の グ ラ フ

示 範 囲 を-3≦x≦13,-7≦y≦7

程 度 に設 定 す る。 単 位 円 の 他 に,以 下 を入 力 す る。

図3.47

漸近線 ；

線分OT； 三 角関数の グラフ上 の点Q；

Tと

グ ラ フ上 の 点 を結 ぶ線 分TQ；

三 角 関 数 の性 質 と して は,  (1) 

正 弦 関 数y=sinθ

  ①  定義域 は実数全体,値 域 は

図3.48

 ②  グ ラ フは 原 点 に関 して 対 称 で あ る。   ③ xの  (2) 

値 が2π 増 え る ご と に同 じ変 化 を繰 り返 す 。 余 弦 関数y=cosθ

 ①  定 義 域 は実 数 全 体,値 域 は-1≦y≦1  ②  グ ラ フ はy軸   ③ xの

に関 して 対 称 で あ る。

 (3) 

値 が2π 増 え る ご とに 同 じ変 化 を繰 り返 す 。 正 接 関数y=tanθ

 ①  定 義 域 はx=π/2+nπ(nは

整 数)を 除 く実 数 全 体

  ② 値 域 は実数全体  ③  グ ラ フ は原 点 に 関 し て対 称 で あ る。   ④ xの

値 が π増 え る ご と に同 じ変 化 を繰 り返 す 。

 ⑤  直線x=π/2+nπ(nは

整 数)に 限 りな く近 づ く,こ の 直 線 を漸 近 線 とい う。

 (4)  周 期 関 数  三 角 関 数 の 性 質 か らxが

ど ん な値 で も

で あ る。

 一 般 に,ど ん なxに

で あ る定 数pが

対 して も

あ る と き,関 数f(x)を

周 期 関 数,pを

周 期 とい う。周 期 の う ち正

の最 小 数 を基 本 周 期 とい う。  三 角 関 数y=sinx,y=cosx,y=tanxは

そ れ ぞ れ2π,2π,π を基 本 周 期 とす

る周 期 関 数 で あ る 。 こ の周 期 性 が 三 角 関 数 の最 も重 要 な 性 質 で あ る。

(a)y=sinx

(c)y=tanx

(b)y=cosx 図3.49

〔 例 題18〕

次 の 関 数 の グ ラ フ を か き,基 本 の 関 数y=sinx,y=cosxの

グラフ

と の 位 置 関 係 を い え 。ま た,そ れ ら を 比 較 し,y=asin(bx+c),y=acos(bx+c) に お け る 係数a,b,cの

果 た す 役 割 を考 察 せ よ。

(2)

(1)

(3)

(4) 〔解 〕(1) y=sin2xの

グ ラ フ を か く操 作 を 示 す 。

1.  「グ ラ フ 」 の 「表 示 環 境 の 設 定 」 で,「 座 標 軸 き ざ み(x)」 2.  「数 式 入 力 」 の 3.  「グ ラ フ 」 の

を 選 択 し,基

(1)か

ら(4)の

「対 象 式(新

入 力 す る。

規)」 を 選 び,線

規 」)でy=sinxを

「グ ラ フ を 描 く(追

本 の 関数y=sinxの

以 下,(2),(3),(4)に

規)」 で,y=sin2xを

「グ ラ フ を 描 く(新

4.  「数 式 入 力 」 の 5.  「グ ラ フ 」 の

「対 象 式(新

を 「π」 に す る 。

の 種 類 を選 択 す る 。 入 力 す る。

加)」 を 選 び,3.の

操 作 と異 な る線 の種 類

グ ラ フ を追 加 す る。

つ い て も同様 の 操 作 を行 う。 グ ラ フ は 図3.50の

と お りで あ る 。 そ れ ぞ れ の グ ラ フ か ら基 本 の

(1)

(2)

(3)

(4)

図3.50

関 数y=sinx,y=cosxの

グ ラ フ と の 関 係 は,次

の よ うに ま とめ られ る。

(1) y=sinxの

グ ラ フ をx軸

の 方 向 に1/2倍

(2) y=cosxの

グ ラ フ をx軸

の 方 向 に2倍

(3) y=sinxの

グ ラ フ をx軸

の 方 向 にπ/4平行 移 動 した もの。基 本 周 期 は2π

(4)

に 縮 小 し た も の。 基 本周期

は π

に 拡 大 し た も の 。 基 本 周 期 は4π

 〓 と変 形 で き る の で,y=cosxの

ラ フ をx軸 向 に3倍

の 方 向に1/2倍 に縮小 した ものをπ/4平 行移動 し,さ らにy軸方

に拡 大 した もの 。 基 本 周 期 は π

  し た が っ て,y=asin(bx+c),y=acos(bx+c)に す 役 割 に つ い て,次   a…y軸

グ

の よ うに ま とめ られ る。

の 方 向 へ の 拡 大 ・縮 小 の 大 き さ

お け る 係 数a,b,cの

果 た

b…x軸

の 方 向 へ の 拡 大 ・縮 小 の大 き さ。 こ の と き,基 本 周期 は と もに〓

c…x軸 の 方 向 へ の 平 行移動 の大 き さで,-c/bだ

け平 行 移 動

関 数 の グ ラ フ の 拡 大 ・縮 小 〔 例 題18〕

の(4)〓

と変 形 で き る の

は,〓

で,y=cosxの

倍,y軸

グ ラ フ をx軸

方 向 に3倍

方 向 に1/2

し,さ ら にx軸

方向

にπ/4だ け 平 行 移 動 した グ ラ フ とな る。 (図3.51) 図3.51

  一 般 に,y=f(x)の p倍,y座

標 をq倍

グ ラ フ のx座

標 を

した グ ラ フの 方程 式

は,

で あ る。   (注)  「関 数 ラ ボ 」で 動 的 グ ラ フ 表 示 が で き る の は,整 円,楕 円,お よ びsinx,logx,exの

よ う な 基 本 と な る 関 数f(x),g(x)に

タ が 含 ま れ な い 和kf(x)+lg(x)(k,lは   例 え ば,y=asinx+bcosxやy=a/x+qな

や〓

問15 

(1)

式 で 表 さ れ るn次

定 数)の

(2)

パ ラメ ー

形 で 表 され る場 合 で あ る。 ど は で き る が,y=asin(bx+c)

な どの 動 的 な グ ラ フ は表 示 で き な い 。

次 の 関 数 の グ ラ フ を か け。 また,そ

関数 と

の 基 本 周 期 を求 め よ 。

(3)

(4)

[3]  (1) 

三角 関数の合成 三 角関数の 加法定理

  α,β の 三 角 関 数 の 値 が わ か っ て い る と き,2つ

の 角 の 和 α+β と 差 α-β の 三

角 関 数 の 値 を α,β の 三 角 関 数 の 値 で 表 す 。   図3.52の

よ う に,単

Q(cosβ,-sinβ)を と す る と,頂 PQ=RAで

位 円 上 にxOP=α,xOQ=β

と る。△OPQを

点R,Aの

と な る2点P(cosα,sinα),

原 点 の 回 りに β だ け 回 転 し た も の を△ORA

座 標 は そ れ ぞ れ(cos(α+β),sin(α+β)),(1,0)で

あ る か らPQ2=RA2と

あ る。

な る。

(a)

(b) 図3.52

  し た が っ て,(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2={cos(α+β)-1)}2+sin2(α+β) と な り,両

辺 を 整 理 す る と,

(3.4) 式(3.4)と

〓を 利 用 す

る と,

(3.5)

(3.6) で あ る 。 こ の 式(3.4),(3.5),(3.6)を

〔 例 題19〕cos75°,tan15° 〔解 〕1. 

総 称 し て 三 角 関 数 の 加 法 定 理 とい う。

の値 を求 め よ。

「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新

2.  「数 式 入 力 」 の

「 対 象 式(追

規)」 で,cos75°

加)」 でtan15°

3.  「計 算 」 の 「数 値 計 算 」 を 選 び,改

を入 力 す る。

行 キ ー を 押 す と,そ

リ ア に0.2588190451,0.2679491924と11桁 算 」 で はcos75°,tan15°

を入 力 す る。

れ ぞれの値が記録 エ

で 出 力 さ れ る 。 な お,「 展 開 と計

の ま ま で あ る。

三 角 関 数 の 加 法 定 理 か ら,

(2)  三 角 関 数 の 合 成 〔 例 題20〕

関数y=sinx−√3cosx

の グ ラ フ を か け 。 ま た,そ

の 最 大 値 ・最

小 値 を求 め よ。 〔解 〕1. 

「グ ラ フ 」 の 「表 示 環 境 の 設

定 」で,「 座 標 軸 き ざ み(x)」 を 「π」, 方 眼 表 示 を 「ON」 2.  「数 式 入 力 」 の で,y=sinx−√3cosxを

に す る。 「対 象 式(新

規)」 入 力 す

る。 3.  「グ ラ フ 」の 「グ ラ フ を 描 く(新 規)」 図3.53

を 選 び,線

の種 類 を選 択 す る 。

  関数y=sinx−√3cosx… は1つ

① の グ ラ フ は 図3.53と

な る 。 図 か ら式 ① の グ ラ フ

の 三 角 関 数 の グ ラ フ に な る こ と が わ か る 。 こ れ は,y=sinxの

軸 方 向 に2倍   ま た,グ

し た も の をx軸

グ ラ フ をy

方 向 にπ/3だ け 平 行 移 動 し た グ ラ フ で あ る 。

ラ フ か ら−2≦y≦2,し

た が っ て,最

  三 角 関 数 の 加 法 定 理 を 用 い る と,与

大 値 は2,最

小 値−2で

あ る。

式 は

と変 形 で き る。   一 般 に,asinx+bcosxに を と り,動

径OPの

つ い て も点P(a,b)

表 す 角 を α とす る と,

で あ る か ら,

図3.54

と変 形 で き る 。   こ の よ う に 変 形 す る こ と を 三 角 関 数 を 合 成 す る と い う 。 合 成 し た 際 の√a2+b2 は 原 点 と(a,b)の

距 離,α

はtanα=b/aを

 関 数y=sinx−√3cosxを

最 大 値 が2と 最 大 値 が−2と で あ る。

な るxの

満 た す 角 を表 す 。

と な る か ら,

合 成 す る と,〓

値 は,〓

な るxの 値 は,〓

か ら〓 か ら〓

(nは 整 数)

(nは 整 数)

問16 

次 の 問 に 答 え よ。

  (1)  5sinx+12cosxを

合成 せ よ。

  (2)  関 数y=cosx+cosxの

[4] 

最 大 値 と最 小 値,お

よ び そ の と き のxの

値 を求 め よ。

方程式 ・不等 式

〔 例 題21〕0≦x＜2π

の範 囲 で,次

(1)

の 等 式 をみ た すxの

値 を求 め よ。

(2)

〔 解 〕(1)の

関 数 ラ ボ に よ る解 答 。y=

tanxとy=−1と

の 交 点 のx座

標 を探

せ ば よい 。 1.  「グ ラ フ 」の 「表 示 環 境 の 設 定 」で, 「座 標 軸 き ざ み(x)」 示 を 「ON」

を 「π」,方 眼 表

にす る。

2.  「数 式 入 力 」 の で,y=tanxを

「対 象 式(新

規)」

入 力 す る。

3.  「グ ラ フ 」の 「グ ラ フ を 描 く(新 規)」 を 選 び,線

フ 上 でy=−1と x≦2π

 (2) 

と 図3.55か

2cosx−1=0か

の 交 点 のx座

図3.55

の 種 類 を 選 択 す る。 グ ラ の 交 点 を 探 す 。0≦ で あ る。

ら〓

らcosx=1/2で

標 を探 す。 図3.56か

あ る 。(1)と

ら,〓

同 様 にy=cosxとy=1/2

で あ る。

〔(2)の別 解 〕 単 位 円 と動 径 との 交 点 の座 標 が(cosx,sinx)で =1/2と 単 位 円 の 交 点 をP,Qと あ る。

す る と,動 径OP,OQの

あ るか ら,直 線x

表 す 角 が 求 め るxの

値で

図3.56

 し た が っ て,図3.57か

図3.57

ら

〓で あ る。

  〔例 題21〕 の よ うに,未 知 の 角 の三 角 関 数 を含 む等 式 を三 角 方 程 式,方 程 式 を み た す 角 を三 角 方 程 式 の 解 とい う。三 角 関 数 は 周期 関 数 だ か ら,基 本 周 期kπ の 範 囲 で 解 αが 見 つ か る と,そ の 解 に基 本 周 期 の 整 数 倍 を た した 角 α+knπ も解 で あ る。   例えば,三

角 方 程 式2cosx−1=0に

と 余 弦 関数y=cosxの よ り,解

お い て はcosx=1/2か

グ ラ フ との 交 点 のx座

ら,解

は直線y=1/2

標 と考 え る こ と も で き る。 図3.58 … で あ り,こ れ ら は 一

はx=…,〓

図3.58

般 角で〓

(nは

整 数)と 表 す こ と が で き る 。 し た が っ て,方

や 不 等 式 で は,基 本 周 期 の 範 囲0≦x＜2π 〔 例 題22〕0≦x＜2π

の と き,不

程 式

で 解 を 正 し く求 め る こ とが 大 切 で あ る 。

等 式sinx−√3cos≧√3を

み た すxの

値 の

範 囲 を求 め よ。 〔 解 〕y=sinx−√3cosxとy=√3と

の 交 点 のxの

座 標 を探 せ ば よい 。

1.  「グ ラ フ 」 の 「表 示 環 境 の 設 定 」 で,「 座 標 軸 き ざ み(x)」 を 「ON」

に す る。

2.  「数 式 入 力 」 の

「対 象 式(新

3.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(追 で,y=√3を

を 「π」,方 眼 表 示

規)」 で,y=sinx−√3cosxを

入 力 す る。

加)」

入 力 す る。

4.  「グ ラ フ 」の 「グ ラ フ を 描 く(新 規)」 を 選 び,線

の 種 類 を選 択 して グ ラ フ

を 描 く。   2つ の グ ラ フ の 交 点 のx座 0≦x＜2π

標 を 探 し,

の 範 囲 でy=sinx−√3cosx

の グ ラ フ が 直 線y=√3よ

り上 方 に あ る

xの 範 囲 を 求 め る 。  図3.59か

図3.59

ら,2π/3≦x≦

π で あ る。

〔 別 解 〕 不 等 式 の 左 辺sinx−√3cos

xを 合 成 し て 不 等 式 は2si

√3 と な る 。 ゆ え に,〓

で あ る 。直 線〓

と単位 円の交点 を

P,Qと

らOQま

す る と,OPか

を表 す 角 が 求 め るxの

n(x−π/3)≧

での動径

値 の範 囲 で あ る。

図3.60

 図3.60か

 した が って,求

問17 

〓で あ る 。

ら,

0≦x＜2π

め るxの

値 の範囲 は

〓で あ る 。

の と き,次 の 三 角 方 程 式 お よ び不 等 式 を解 け。

(1) (2) (3) (4)

〔 例 題23〕sinx+kcosx=3が,0≦x≦π/2で

解 を も つ よ う に 定数kの範

囲 を

定 め よ。 〔 解 〕

方 程 式sinx+kcosx=3の

の グ ラ フ の 交 点 のx座 にkの

解 は,曲

線y=sinx+kcosπ

標 で あ る 。し た が っ て,こ の 曲 線 が 直 線y=3と

値 を定 め れ ば よ い。

1.  「グ ラ フ 」の 「表 示 環 境 の 設 定 」で, 「座 標 軸 き ざ み(x)」 2.  「数 式 入 力 」 の

を 「π」 に す る 。

「対 象 式(新

で,y=sinx+kcosxを

入 力 す る。

3.  「数 式 入 力 」 の で,x=3を

規)」

「対 象 式(追

加)」

入 力 す る。

4.  「グ ラ フ 」 の 「ア ニ メ ー シ ョ ン 」 を 選 び,0≦x＜π/2の範 +kcosxの

囲 で,y=sinx

グ ラ フ が 直 線y=3と

共 有 点 を も つ よ う なkの る 。 図3.61の

 実 際 に は,次

値 を求 め

よ うに な る。

の よ う に し てkの

範 囲 を求 め る 。

図3.61

と 直 線y=3 交わ るよ う

  sinx=s,cosx=tと た,0≦x≦π/2か

す る 。sin2x+cos2x=1で らs≧0,か

つt≧0で

あ る か らs2+t2=1と

あ る。 こ こ で,〔

例 題23〕

をs

な る。ま

,tで

言い替

え

る と, s+kt=3…

がs≧0,t≧0の

①   か つ,s2+t2=1…

②

範 囲 で 解 を 持 て ば よ い と い う こ と に な る か らs=3−kt,こ

式 ② に 代 入 す る と,(1+k2)t2−3kt+8=0と

な る 。tは 実 数 で あ る か ら2次

の 実 数 解 の 条 件 を 用 い て,(3k)2−4(1+k2)×8≧0と と な る 。 ゆ え に,k≦−2√2,k≧2√2と   s≧0,t≧0で 問18 

数kの

方 程 式kcosx−sinx+2k=0が

3.4  [1] 

あ る か ら,定

れ を 方程式

な る 。 こ れ を 整 理 し て,k2≧8

なる。 範 囲 は,k≧2√2と

な る。

実 数 解 を 持 つ よ うに,定 数kの

範 囲 を 求 め よ。

指 数 関 数 ・対 数 関 数 指数 の拡張

  高 等 学 校 で は,数

は整 数 → 有 理 数 → 実 数 → 複 素 数 へ と拡 張 さ れ,そ れ に応 じて

演 算 法則 も自然 数 や 整 数 の場 合 と同 じ よ う に複 素 数 の 範 囲 まで成 り立 つ 。   指 数 につ い て も,a＞0と

して,

と定 め れ ば,指 数 は 自然 数 か ら整 数 へ と拡 張 で き る。 また,

と累 乗 根 を用 い て定 め れ ば,整 数 か ら有 理 数 へ と指 数 法 則

が そ の ま ま保 存 さ れ る よ うに 拡 張 さ れ る。   実 数 へ の 拡 張 は,有

理 数 の 場 合 と 異 な る が,や

は り上 の 指 数 法 則 が そ の ま ま保

存 さ れ る よ う に 拡 張 で き る。   例 え ば,2√2に

お い て は,√2が

有 理 数 の 数 列{1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,

… ｝が 限 り な く 近 づ く 数 と 考 え

,数

列{21,11.4,21.41,21.414,21.4142,21.41421,…

め る と,{2,2.639015822,2.657371628,2.664749650,2.665119089,2.665137562,… の よ う に,一

定 の 数2.6651441…

限 り な く近 づ く 数 を2√2と

｝

… に 限 り な く近 づ い て い く。 こ の 有 理 数 の 数 列 が

定 め るの で あ る。

[2]  指 数関数   aを1で

な い 正 の定 数 とす る 。 実 数 全 体 を定 義域 とす る 関 数

をaを 底 とす る指 数 関数 とい う。  一 般 に

,指

数 関 数 の グ ラ フ は 図3.62の

(a)a＞1の

よ うに な る。

と き

(b)0＜a＜1の

と き

図3.62

 指 数 関数y=ax(a＞0)に

は,次 の よ う な性 質 が あ る。

 ①  定 義 域 は 実 数 全 体,値  ②  a＞1の

とき,xの

0＜a＜1の

 ③  グ ラ フ は点(0,1)を

域 は正 の 数 全 体

値 が 増 加 す る と,yの

と き,xの

｝を 順 次 求

値 も増 加 す る。

値 が増 加 す る と,yの 通 り,x軸

値 は減 少 す る。

が漸近線 で ある。

  ② の 性 質 に 関 連 し て,例 は2倍

あ る か ら,xが1増

加 す る とyの 値

〓で は1/2倍 とな る。

と な り,

一般 に

え ば,2x+1=2x21で

,f(x)=axと

す れ ば,

と な る。 こ れ が 指 数 関 数 の重 要 な特 徴 で あ る。 〔 例 題24〕

次 の 指 数 関 数 の グ ラ フ を か き,y=2xと

(1)

(3)

(4)

規)」 で,y=−2xを

入 力 す る。

(2)

〔解 〕1. 

「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新

2.  「グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を 描 く(新 3.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新

  (3),(4)に も か き,(1)か   な お,1つ

な る 線 の 種 類 は4つ

つ い て も3.と4.の ら(4)ま

規)」 を 進 び,線

規)」 で,y=2x+1を

4.  「グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を 描 く(追 選 択 す る(異

の位 置 関 係 を調 べ よ。

の 種 類 を選 択 す る 。 入 力 す る。

加)」 を 選 び,(1)と

は 異 な る線 の 種 類 を

で あ る)。

操 作 を 行 う 。 ま た,基

本 と な るy=2xの

グラ フ

で の グ ラ フ と の 位 置 関 係 を調 べ る 。

ひ と つ グ ラ フ を か い て い く他 に,対

象 式 を 順 次 追 加 し て 入 力 し(15

個 ま で 数 式 を 入 力 で き る),「 グ ラ フ を 描 く(新 規)」 を 選 び,そ

れ らの グ ラ フ を 同

時 に か くこ と もで き る。   グ ラ フ は図3.63の y =2xと

とお りで あ り,

の位 置 関 係 は次 の とお りで あ

る。   (1) x軸

に 関 して対 称

  (2) x軸

の 方 向 に−1だ

け平 行 移 動

  (3) x軸

の 方 向 に+3だ

け平 行 移 動

  (4) y軸

に関 して 対 称 図3.63

問19  べ よ。

関 数 ラ ボ を用 い て,次 の 関 数 の グ ラ フ をか き,y=3xの

グ ラ フ との位 置 関 係 を 調

(1)

[3] 

(3)

(2)

(4)

方程式 ・不 等式

  指 数 に 未 知 数 を含 む 等 式 ・不 等 式 を指 数 方 程 式 ・指 数 不 等 式 とい う。 こ こで は, 指 数 方程 式 ・指 数 不 等 式 の解 を求 め て み よ う。 〔 例 題25〕

次 の 指 数 方 程 式 お よ び指 数 不 等 式 を解 け 。

(1) 〔 解〕

(3) 「関 数 ラ ボ」で 解 を求 め られ る の は,因 数 分 解 が で き る高 次 方 程 式 と2元

連 立 方 程 式 で あ る。三 角 方 程 式 同様,2つ

の 関 数 の グ ラ フ の 交 点 のx座

標 とし て,

指 数 方 程 式 お よ び 指 数 不 等 式 の解 を求 め て み る。   (1) y=92−xとy=27と 1.  「グ ラ フ 」 の

の 交 点 のx座

標 を探 せ ば よ い 。

「表 示 環 境 の 設 定 」 で,方

眼 表 示 を 「ON」

2.  「座 標 軸 」 の 「原 点 の 移 動 」 と 「倍 率 の 変 更(x,y別 範 囲 を−4≦x≦4,0≦y≦28程

々)」 で,グ

規)」 で,y=92−xを

4.  「数 式 入 力 」 の

加)」 で,y=27を

「対 象 式(追

5.  「グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を 描 く(新

入 力 す る。 入 力 す る。

規)」 を 選 び,線

の 種 類 を 選 択 し,グ

を 描 く。 ら,2つ

の グ ラ フ の 交 点 のx

座 標 を 探 す とx=1/2と   (2) 

(1)の1.で

な る。 グ ラ フの 表 示 範 囲

を−4≦x≦4,0≦y≦135程 2.か ら5.と =125を

度 に 設 定

同 様 の 操 作 で,y=52x−1とy

入 力 し て グ ラ フ を 描 き,y=52x−1

の グ ラ フ が 直 線y=125よ xの 範 囲 を 求 め る 。

ラフの表示

度 に設 定 す る。

3.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新

  図3.64か

にす る。

り上 方 に あ る 図3.64

ラフ

  図3.65か

ら 求 め るxの

範 囲 は,x≧2

と な る 。 計 算 で は 次 の よ う に 解 く。   (1) 

92−x=27か

ら,(32)2−x=3で

る 。 し た が っ て,2(2−x)=3と え にx=1/2で   (2) 

な る。 ゆ

あ る。

52x−1≧53で あ る 。 底5は1よ

大 き い か ら2x−1≧3と て,x≧2で

あ

り

な る。 し た が っ

ある。 図3.65

問20  次 の指 数 方程 式お よび指 数不 等式 を解 け。 (1)

(2)

[4]  対数 とその性質   指 数 関 数y=3xの すxが

た だ1つ

グ ラ フ か ら わ か る よ う に,正 の 数Mに 定 ま る 。こ の 値xを3を

底 と す るMの

対 し て,3x=Mを

みた

対 数 と い い,x=log3Mと

表 す。   一 般 に,a＞0,a≠1の を 底 と す るMの

と き,正

の 数Mに

対 数 と い い,x=log3Mと

対 し て,ax=Mと

な るxの

表 す 。 ま た,Mをaを

真 数 とい う。   a0=1,a1=aで

あ る か ら,こ

れ を対 数

で 書 き 直 す と1oga1=0,logaa=1と る 。 ま た,正

の 数M,Nに

M,aq=Nと

す る と,

な

つ い て,ap=

これ を対 数 で書 き直 す と,

  と こ ろ が,p=logaM,q=logaNて る か ら,

図3.66

値 を,a

底 と す るxの

  こ の よ う に,指 数 に つ い て 成 り立 つ 性 質 を対 数 で 書 き直 す と,次 の対 数 の 性 質 が 得 られ る。

 対 数 の基本 性質 a＞0,a≠1,M＞0,N＞0の

〔 例 題26〕

と き,

次 の 式 を簡 単 にせ よ。

(1) 〔 解 〕

(2) 「関 数 ラ ボ 」 で の 対 数 の 入 力 は,数

な わ ち,[SHIFT+F7]を

式 ブ ロ ッ ク[SHIFT+F7]で

押 す と対 数 記 号log□□

が 表 示 さ れ,そ

行 う。 す こ で,対

数 の数

式 ブ ロ ッ ク の 要 素 で あ る 底,真 数 を 順 に 入 力 す る 。eを 底 とす る 自 然 対 数 の 入 力 の 数 式 ブ ロ ッ ク は,[SHIFT+F6]で

あ る。

1.  「数 式 の 入 力 」 の 「対 象 式(新

規)」 で,log2(4+√7)+log2(4−√7)を

入

力 す る。 2.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(追

加)」 で,log2√3+31og2√2−log2√6を

入力

す る。 3.  「計 算 」 の 「数 値 計 算 」 を 選 ぶ と,結

果 が(1)は2,(2)は1と

リ ア に 出 力 さ れ る 。 な お,「 展 開 と計 算 」で は 式 の ま ま処 理 さ れ,値 れ な い 。 実 際 に は,対  (1)は

与式

 (2)は

与式

問21 

(1)

数 の 性 質 を利 用 して 次 の よ う に求 め る。

次 の式 を簡 単 に せ よ。

(2)

し て 記 録エ は求め ら

[5] 

対数 関数 とその グラフ

 一 般 に

をaを

,a＞0,a≠1の

底 と す るxの

と き,正

の 数xを

定 義 域 とす る 関数

対 数 関 数 と い う 。 対 数 関 数 の グ ラ フ は,図3.67の

よ うに な

る。

a＞1の と き

0＜a＜1の

(a)

と き

(b) 図3.67

 対 数 関 数y=logaxに

は,次 の よ うな 性 質 が あ る。

 ①  定 義 域 は 正 の 数 全 体,値  ②  a＞1の   0＜a＜1の

と き,xの と き,xの

 ③  グ ラ フ は点(1,0)を f(x)=logaxと

域 は実 数 全 体

値 が増 加 す る とyの 値 も増 加 す る。 値 が 増 加 す る とyの 値 は減 少 す る。 通 る。 ま た,y軸

が 漸 近 線 で あ る。

す れ ば,対 数 の 性 質 か ら

とな る。 これ は2次 関 数 や 三 角 関 数 に は な い対 数 関 数 の 重 要 な特 徴 で あ る。 〔 例 題27〕

次 の対 数 関 数 の グ ラ フ をか け。また,基 本 の 関数y=log2xと

と,そ れ ぞ れ どん な位 置 関 係 に あ るか 調 べ よ 。

(1)

(2)

(3)

グラフ

〔 解 〕1. 

「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新 規)」

で,y=log1/2xを

入 力 す る。

2.  「グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を 描 く(新 規)」 を 選 び,線

の種 類 を選 択 して グ ラ フ を

描 く。   (2),(3)に

つ い て も1.と2.の

操 作 を行

い 異 な る線 の 種 類 を選 択 し て グ ラ フ を 描 く。 図3.68

  ま た,基

と な るy=log2xの

き,(1)か

ら(3)ま

  な お,1つ

グ ラ フ も描

で の グ ラ フ との位 置 関 係 を 調 べ る。

ひ と つ グ ラ フ を か い て い く他 に,(1)か

し て 入 力 し,「 グ ラ フ を描 く(新 も で き る 。 グ ラ フ は 図3.68の

規)」

を選 び,そ

れ らの グ ラ フ を同 時 にか く こ と

の 位 置 関 係 は,次

の よ う に な る。

に関 して対 称

  (2)のy=log2(−x)はy軸

に関 して対 称

  (3)のy=log2(x−3)はx軸

方 向 に+3だ

問22 

次 の 対 数 関 数 の グ ラ フ をか き,y=log2xと

け平 行 移 動 の位 置 関 係 を調 べ よ。

(1) (2) (3) (4) 指 数 関 数  y=2x 

(3.7)

対 数 関 数  y=log2x 

(3.8)

の グ ラ フ の位 置 関 係 を調 べ て み よ う。 式 (3.7),(3.8)の か ら,そ

グ ラ フ は,図3.69と

れ ら は 直 線y=xに

対 象 式 を順 次 追 加

と お りで あ る 。

  グ ラ フ か ら基 本 の 対 数 関 数y=log2xと   (1)のy=log1/2xはx軸

ら(3)の

な る

関 して 対 称 図3.69

で あ る 。 い ま,式(3.7)上 と す る と,b=2aで,こ a=log2bと をQと

の 点 をP(a,b) れ を対 数 で 表 す と

な る 。(b,a)を

す れ ば,点Qは

式(3.8)上

こ と を 示 し て い る 。P,Qは 標,y座

座 標 とす る点 にある

そ れ ぞ れx座

標 が 入 れ替 わ っ て い る点 だ か ら

図3.70の

よ う に,直線y=xに

関 し て対 図3.70

称 とな る。   し た が っ て,指 数y=log2xの

数 関 数y=2xと

グ ラ フ は,直

対数 関 線y=xに

関 して対 称 で あ る こ とが 示 さ れ る。 逆 関 数 と その グ ラ フ  一 般 に,xの

関数y=f(x)に

yの 値 を 定 め る と,逆 ど1つ

お い て,

にxの

だ け 定 ま る と き,xはyの

す 。x=f-1(y)はy=f(x)と 数 をxで

y=logaxは

入 れ 替 え てy=f-1(x)をy=f(x)の

と き 対 数 の 定 義 か らx=logayで

指 数 関数y=axの

  2点P(a,b),Q(b,a)は

方 程式

表

逆 関数 とい う。 あ る か ら対 数 関 数

逆 関 数 で あ る。 直 線y=xに

フ と そ の 逆 関 数y=f-1(x)の

[6] 

関 数 と考 え ら れ る 。 こ の 関 数 をx=f-1(y)と

逆 の 対 応 を 表 す 関 数 で あ る 。関 数 を 表 す と き は 独 立 変

表 す か ら,xとyを

  例 え ば,y=axの

図3.71

値 が ち ょう

関 し て 対 称 で あ る か ら,y=f(x)の

グ ラ フ は,直

線y=xに

グラ

関 して対 称 とな る。

・不 等 式

  真 数 に 未 知 数 を含 む等 式 ・不 等 式 を対 数 方 程 式 ・対 数 不 等 式 とい う。 対 数 方 程 式 ・対 数 不 等 式 の 解 を求 め て み よ う。 〔 例 題28〕

(1)

次 の 対 数 方 程 式 ・対 数 不 等 式 を解 け 。

(2)

  〔 解 〕

「関 数 ラ ボ 」 で 直 接 解 を 求 め る

こ と が で き な い の で,2つ フ の 交 点 のy座

の関数 のグ ラ

標 と し て,対

数 方程 式 ・

対 数 不 等 式 の 解 を求 め て み る。   (1) y=log3(x-3)+log3(x-5)と y =1と

の 交 点 のx座

標 を探 せ ば よい 。

し か し,y=log3(x-3)+log3(x-5)の ま ま で は グ ラ フ を か け な い の で,y= log3(x-3)(x-5)と

変 形 し て か ら,以 下

図3.72

の操 作 を行 え ば よい 。 1.  「グ ラ フ 」 の

「表 示 環 境 の 設 定 」 で,方

眼 表 示 を[ON」

2.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新

規)」 で,y=log3(x-3)(x-5)を

3.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(追

加)」 で,y=1を

4.  「グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を 描 く(新

に す る。 入力 す る。

入 力 す る。

規)」 を 選 び,線

の 種 類 を選 択 して グ ラ フ

を 描 く。   図3.72か

ら 真 数 の み た すxの

探 す とx=6と

範 囲,x＞5で2つ

の グ ラ フ の 交 点 のxの

な る 。 計 算 で は 次 の よ う に 解 く。

  真 数 は 正 で あ る か らx-3＞0,かつx-5＞0で

あ る 。 ゆ え に,x＞5と

数 の 性 質 ① か ら 与 式 を 変 形 し てlog3(x-3)(x-5)=log33で -3)(x-5)=3と +12=0と

な る 。ゆ え に,(x-2)(x-6)= あ る か ら,x=6と

な

る。 (1)の1.で

の 移 動 」を 選 び,xの ≦15程

「座 標 軸 」 の 「原 点 表 示 範 囲 を-1≦x

度 に 設 定 す る 。 後 は2.か

ら4.と

同 様 の 操 作 で,y=log5(3x-2)とy=2 を 入 力 し,y=log5(3x-2)の

グ ラ フが 直

な る。対

あ る 。 ゆ え に(x

な る 。整 理 し て,x2-8x

0で あ る 。x＞5で

  (2) 

座 標 を

図3.73

線y=2よ

り下 方 に あ るxの

条件x＞2/3と

範 囲 を求 め る。図3.73か

合 わ せ て2/3＜x＜9で

ら求 め るxの

範 囲 は,真 数

あ る。

 計 算 で は次 の よ う に解 く。   真 数 は 正 で あ る か ら3x-2＞0で l og5(3x-2)＜log532と

あ る。

ゆ え に,x＞2/3と

な る。 与 式 か ら

な る。

 ゆ え に,3x-2＜25,す

な わ ち,x＜9と

な る 。 以 上 か ら,2/3＜x＜9と

な る。

問23  次 の対数 方程 式 お よび対 数不 等式 を解 け。 (2)

(1)

3.5 

分 数 関数 ・無 理 関 数

[1]  分数 関数 とそ のグ ラフ  〓の よ うに,xの 数 関 数,ま

分 数 式 で 表 され る 関 数 をxの

た は有 理 関 数 とい う。 分 数 関 数 の 定 義 域 は分 母 を0に

しな いす べ て の

実 数 で あ る。   例 え ば,上

の3つ の 分 数 関 数 の定 義 域 は それ ぞ れ 次 と な る。 {x￨xは す べ て の実 数}

(1)

 y =a/xの グ ラ フ

〔 例 題29〕

分数 関数

〓の グ ラ フ を か け。

〓お よ び

分

〔 解 〕1. 

「数 式 入 力 」 の

「対 象 式(新

規)」 で,y=1/xを

2.  「グ ラ フ」 の 「グ ラ フ を描 く(新 規)」 を選 び,線

入 力 す る。

の種 類 を選 択 して グ ラ フ

を描 く。 3.  「数 式 入 力 」 の 4.  「グ ラ フ 」 の

「対 象 式(新

「グ ラ フ 描 く(追

 以 下, 3.74の

規)」 で,y=2/xを

入 力 す る。

加)」 を 選 び,線

〓に つ い て も3.と4.の

の 種 類 を選 択 す る。

操 作 を 繰 り返 す 。 グ ラ フ は 図

と お りで あ る 。

  分 数 関数y=a/xの

グ ラ フ は図3.74の

曲線 とな り,こ れ を双 曲線 とい う。分 数 関

数 の グ ラ フ に は,次 の よ うな性 質 が あ る。

(a)a＞0の

とき

(b)a＜0の 図3.74

 ①  定 義 域 はx≠0で,x=0に

対 応 す る グ ラ フ上 の点 は な い。

 ②  a＞0の

と き,グ ラ フ は第1象

限 と第3象

限 に あ る。

a＜0の

と き,グ ラ フ は第2象

限 と第4象

限 に あ る。

 ③  グ ラ フ は 原 点 に 関 して 対 称 で あ る。   ④ x軸,y軸

が漸 近 線 で あ る。

とき

 〓の グラフ

(2)

〔 例 題30〕

〓の グ ラ フ をか け。 また そ の漸 近 線

分数 関数

の 方程 式 を求 め よ。 〔 解 〕

グ ラ フ は 図3.75(a),(b)の

は 直線  x=1,y=-3,図(b)で

と お りで あ る 。 漸 近 線 の 方 程 式 は,図(a)で は 直 線x=2,y=1で

  す で に 学 ん だ よ う に,方

程 式y=f(x)の

あ る。

グ ラ フ をx軸

だ け 平 行 移 動 し た グ ラ フ の 方 程 式 は,y-q=f(x-p),す

方 向 にp,y軸

方 向 にq

な わ ち,y=f(x-p)+q

で あ っ た。

(b)

(a) 図3.75

〓の グ ラ フ は,

し た が っ て,例 題 の -1,y軸 方 向 に-3だ

グ ラ フ をx軸

方 向 に2,y軸

x =2 ,y=1で

あ る。

 一 般 に

,

方向に

け平 行 移 動 した ブ ラ フで,漸 近 線 は直 線x=-1, y=-3で 〓と変 形 で き る か ら,

〓は

あ る 。 ま た,

〓の グ ラ フ をx軸

方 向 に1だ

〓の グ ラ フ は,

〓の

け平 行 移 動 した グ ラ フで,漸 近 線 は直 線

〓の グ ラ フ をx軸

方 向 にp,y軸

方 向に

qだ け 平 行 移 動 した グ ラ フで,漸 近 線 は直 線x=p,y=qで

あ る。

 〓は〓 と変 形 で き るか ら,そ の グ ラ フ は〓

の グラフ

を 平行 移 動 した もの で あ る。 (3)  方 程 式 ・不 等 式   R(x)を

分 数 式 とす る。 与 え られ た 式 を整 理 して

の 形 に な る方 程 式 を分 数 方 程 式 とい う。 また,

な ど の形 に な る不 等 式 を分 数 不 等 式 とい う。   こ こで は,分 数 方 程 式 に帰 着 で き る問 題 を考 えて み よ う。

〔例 題31〕 て,次

〓 ① と1次 関 数

分数 関数

〓② の グ ラ フ に つ い

の 問 に答 え よ。

 (1)  式① と式 ② の 関数 の グ ラ フ を 同一 座 標 平 面 上 に か け。  (2) 

1次 関 数 式 ② の 分 数 関 数 式 ① よ り上 に あ る と き のxの

値 の範 囲 を求 め

よ 。

〔 解〕

(1)の グ ラ フ を描 く手 順

1.  「数 式 入 力 」 の 「対 象 式(新 規)」 で,

〓を入 力 す る。

2.  「数 式 入 力 」 の

〓を追 加 入 力 す る。

「対 象 式(追

加)」 で,

3.  「グ ラ フ」 の 「グ ラ フ を描 く(新 規)」 を選 び,線

の種 類 を選 択 す る と2つ

の グ ラ フ が 同 時 に え られ る。 (2) 

(1)の 操 作 に 引 き続 い て

4.  「グ ラ フ」 の 「表 示 環 境 の設 定 」 で,方 眼 表 示 を 「ON」 に し て1次 関 数 の グ ラ フ が 分 数 関 数 よ り上 に あ る と きのxの グ ラ フ は,図3.76の

値 の範 囲 を調 べ る。

とお りで あ る。 分 数 関 数 の漸 近 線 はx=-1,y=-2で

あ

 y

(b)

(a) 図3.76

る。 ① と② の 交 点 のx座

標 は分 数 方 程 式〓

,す な わ ち〓

の 解 で あ る 。 上 の 分 数 式 を 整 理 し て,2(1-x)=(x-4)(x+1)と に,x2+x-6=0で x=-3

,2で

あ る。 因 数 分 解 し て(x+3)(x-2)=0と

な る。 ゆ え な る 。 こ れ よ り,

あ る。

 x≠1で あ る こ と も考 え,1次 関 数② の グ ラ フが 分 数 関 数 ① の グ ラ フ よ り上 に あ る と き のxの

問24 

値 の 範 囲 を 求 め る と,-3＜x＜-1,2＜xで

次 の 問 に 答 え よ。

 (1)  双 曲 線  (2) 

[2] 

〓と直 線y=xの

グ ラ フ を利 用 し て,分

交 点 を求 め よ。

数 不 等 式〓

を解 け。

無理 関数

=√x-2やy=√x2+x+3の をxの

あ る。

よ う に,根 号 の 中 にxを

含 む式 で 表 され る関 数

無 理 関 数 とい う。無 理 関 数 の 定 義 域 は,根 号 の 中 を負 に しな い す べ て の 実

数 で あ る。 例 え ば,上 の2つ {x￨x≧2},{x￨xは

の無 理 関 数 の 定 義 域 は そ れ ぞ れ 次 とな る。 す べ て の 実 数}

う。

(1)  無 理 関 数y=√axと 〔 例 題32〕

その グラフ

次 の 各 組 の 関 数 の グ ラ フ を か き,2つ

の 関 数 は互 い に逆 関 数 に な っ

て い る こ とを 確 か め よ。

(1)

(2)

(3) 〔 解 〕1. 

「数 式 入 力 」 の

2.  「グ ラ フ 」 の

「対 象 式(新

「グ ラ フ を 描 く(新

規)」 で,y=√2xを 規)」 を 選 び,線

入 力 す る。 の 種 類 を 選 択 す る。

3.  「数 式 入 力 」 の

「対 象 式(新

規)」 で,

〓を入 力 す る。

4.  「数 式 入 力 」 の

「対 象 式(追

加)」 で,x≧0を

入 力 す る。

5.  「グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を描 く(追 加)」 を選 び,共 〓 (x≧0)を

通 部 分 の グ ラ フ す な わ ち,

か く。

6.  さ ら に,「 対 象 式(新

規)」 で,y=

xを 入 力 し,「 グ ラ フ 」 の 「グ ラ フ を

か く(追 加)」 を選 び,直 線y=xの グ ラ フ を 追 加 し て か き(

図

3.77(a)),グ

ラ フ が 直 線y=xに

関

し て対 称 で あ る こ とか ら,2つ

の関

数が互 いに逆関数 になってい るこ と を確 か め る。  (2),(3)に

つ い て も同 様 の操 作 を行

  各 組 の グ ラ フ は 図3.77(b)(c)の  〓 をxに れ 替 え る とy=2√x(x≧0)と

関数

図3.77 

(a)

とお りで あ る。

つ い て 解 く と,x=√2y(y≧0)で な る 。 す な わ ち,無

あ る 。 こ こ でx,yを

理 関 数y=√2x(x≧0)は,2次

〓の 逆 関 数 で あ る。逆 関 数 の グ ラ フ は直 線y=xに

で あ るか ら,無 理 関数y=√2x(x≧0)の

入

グ ラ フ は原 点 を頂 点,x軸

関 して 対 称 を軸 とす る右

開 きの 放 物 線 の 上 半 分 で あ る(図3.77(a))。 〓の グ ラ フ は 原 点 を頂 点,y軸

 (2)の

線 の 右 半 分 で あ るか ら,無 理 関 数y=√-2x(x≦0)の

を軸 とす る上 に 凸 の 放 物 グ ラ フは 原 点 を頂 点,x軸

を軸 とす る左 開 きの 放 物 線 の 上 半 分 で あ る(図3.77(b))。  (3)のy=x2(x≦0)の

グ ラ フ は原 点 を頂 点,y軸

左 半 分 で あ るか ら,無 理 関 数y=-√x(x≧0)の

を軸 とす る下 に 凸 の 放 物 線 の グ ラ フ は原 点 を頂 点,x軸

とす る右 開 きの放 物 線 の下 半 分 で あ る(図3.77(c))。

(c)

(b) 図3.77

(2) y=√ax+bの

グラフ

 y=√4-2xはy=√-2(x-2)と で き る か ら,無 理 関 数y=√4-2xの ラ フ はy=√-2xの に2だ

グ ラ フ をx軸

け平 行 移 動 した もので,頂

(2,0),軸 がx軸

変形 グ 方向 点が点

で 右 に凸 の放 物 線 の 上 半

分 で あ る。  一 般 に

,y=√ax+bは〓

図3.78

を軸

と変 形 で き るか ら,そ の グ ラ フ はy=√axの 移 動 した もの で,頂 点 が 点〓

グ ラ フ をx軸

軸 がx軸

方 向 に〓

だ け平行

の 放 物 線 の上 半 分 で あ る。

(3)  無 理 方程 式 ・無 理 不 等 式  √x

+3=x-3や√5x-3≦7の

よ う に,根 号 の 中 に未 知数xが

含 まれ て い る方

程 式 ・不 等 式 を無 理 方 程 式 ・無 理 不 等 式 とい う。  こ こで は,無 理 方 程 式 に帰 着 で き る問 題 を考 え て み よ う。 〔例 題33〕

無 理 関 数y=√x+3…

① と1次 関 数y=x-3…

② のグ ラ フについて

次 の問 に答 え よ。  (1)  式 ① と式② の 関 数 の グ ラ フ を同 一 座 標 平 面 上 にか け。  (2)  無 理 関 数 ① の グ ラ フが1次

関 数 式 ② よ り上 に あ る と き のxの

を求 め よ。

〔解 〕(1) 

式 ① と式 ② の 関 数 の グ ラ フ をか く操 作

1.  「数 式 入 力 」 の

「対 象 式(新

規)」 で,y=√x+3を

2.  「数 式 入 力 」 の

「対 象 式(追

加)」 で,y=x-3を

3.  「グ ラ フ 」 の (2) 

(1)の

「グ ラ フ を 描 く(新

入 力 す る。 入 力 す る。

規)」 を 選 び グ ラ フ を 描 く 。

操 作 に 引 き続 い て

4.  「グ ラ フ 」の 「表 示 環 境 の 設 定 」で,

方 眼 表 示 を 「ON」 に して 無 理 関 数 の グ ラ フ を1次 関 数 の グ ラ フ よ り上 に あ る と き のxの 交 点 のxの

値 の範 囲 を調 べ る。

座 標 は,

無理 方程 式√x+3=x-3 の 解 で あ る 。 こ れ はx+3=(x-3)2, か つ,x≧3と +6=0か

ら,因

(x-1)(x-6)=0,ゆ

同 値 で あ る 。x2-7x 数 分 解 して え に,x=1,6と

図3.79

値 の範 囲

な る 。 し た が っ て,x≧3か

  この 交 点 のxの

らx=6と

座 標 と図3.79か

グ ラ フ よ り上 にあ る とき のxの 問25 

な る。

ら,無 理 関 数 ① の グ ラ フが1次

関数② の

値 の 範 囲 を 求 め る と,-3≦x＜6で

あ る。

次 の 問 に 答 え よ。

 (1) 

グ ラ フ を利 用 し て,無 理 不 等 式√2x+3≧xを

 (2) 

無 理 方 程 式x-1=√25-x2を

解 け。

解 け。

練習問題 1.  グ ラ フ が 次 の 条 件 を み た す よ う な2次  (1) 

頂 点 が(2,1)で,点(0,5)を

 (2) 

軸 がx=-2で,点(1,-6),(-1,2)を

関 数 を求 め よ。

通 る。 通 る。

2.  2次 関 数y=ax2+bx+cの

グ ラ フ が,次 の2と

お りの 場 合 に つ い て(1)か

ら(5)の

  符 号 を 決 定 せ よ。

(b)

(a) 図3.80

(1)a 

(2)b 

(3)c 

3.  2次 関 数y=x2+px+qの

(4)b-4ac 

(5)a+b+c

グ ラ フ の頂 点 は,pが

と な る か 。 「関 数 ラ ボ 」 やMathcadの 4.  方 程 式￨x2-3x-4￨=x+kが3個

変化 す るにつ れ て どの よ うな軌跡

動 的 グ ラ フ 表 示 機 能 を用 い て 調 べ よ 。 以 上 の 実 数 解 を もつ よ う に,定 数kの

値の範 囲 を

定 め よ。 5.  2次 関 数y=mx2-2x+mの 交 わ ら な い と き のmの

グ ラ フ が,x軸 値 の 範 囲 を求 め よ。

と(1)2点

で 交 わ る(2)接

す る(3)

6. x2+y2=1の

と き,2x+y2の

最 大 値 お よ び 最 小 値 を求 め よ。 また,そ

の と き のx,y

の 値 を求 め よ 。 (ヒ ン ト)y2=1-x2≧0か

らxの

入 す る と,F(x)はxの2次 7.  0＜x＜1で

あ るxの

変 域 に制 限 が あ る 。y2=1-x2をF(x)=2x+y2に

関 数 に な る。 値 に対 し て,常

が 成 り立 つ よ う な定 数aの

に,不 等 式

値 の 範 囲 を 求 め よ。

8.  動 的 グ ラ フ 表 示 を利 用 し,t≦x≦t+1に 値M(t)お

よ び最 小 値m(t)を

求 め,そ

9.  次 の 関 数 の グ ラ フ を か け。 ま た,そ

(1) 10. 

代

お け る2次

関 数f(x)=x2-2x+4の

最大

れ ぞれ の グラ フをか け。 の 基 本 周 期,お

よ び 最 大 値,最

小 値 を 求 め よ。

(2) (  )内 の 範 囲 で,次

の 方 程 式,不

等 式 を解 け。

(1) (2) 11.  次 の 関 数 の グ ラ フ を か け。 ま た,最

(1)

大 値 お よ び最 小 値 が あ れ ば求 め よ。

(2)

12.  次 の 方 程 式,不

(1)

(3)

等 式 を解 け 。

(2)

(3)

(4) 13.  1＜x＜3の

と き,関 数y=log2x(2n-x)が

最 大 値 を もつ よ う に 自然 数nを

定 め,そ

の と きの 最 大 値 を求 め よ 。 (ヒ ン ト)[数 式 入 力/定 義 式]を 選 び,「fn(x)=log2x(2n-x)」 y=f2(x) 14.

,y=f3(x),…

分 数 関 数〓

よ う に定 数mの 15. x,yを

と定 義 し,関 数y=f1(x),

の グ ラ フ を か い て 調 べ る。 の グ ラ フ と1次 関 数y=mx+1の

グ ラ フ が 共 有 点 を もた な い

値 の範 囲 を 定 め よ。

実 数 と す る と き,2つ

の 関 数〓

に つ い て,

各 問 に答 え よ。 (1)  式 ①,② (2)  方 程 式〓 か 調 べ よ。

の グ ラ フ が 接 す る と き のmの

値 を 求 め よ。

の解 の個 数 は,mの

値 に よ っ て どの よ う に 変 化 す る

第4章  数

列

  数 列 の 中 に は 計 算 が 面 倒 で,内 容 は面 白 い の に今 ま で あ ま り扱 え な か っ た もの も あ る。 面 倒 な と こ ろ を パ ソ コ ンに ま か せ て,数

列 の 美 し さ,規 則 性,グ

習 し て い く。 こ の 章 は,す べ てMathcadで 計 算 に 強 い こ と,グ

ラ フ との 関 連 な ど を学

進 め て い く こ と に す る。Mathcadは,数

値

ラ フ も描 け る こ と,数 式 表 記 が 数 学 に近 い こ とな ど が 特 徴 で あ り,

さ ら に表 計 算 ソ フ トの よ う な再 計 算 機 能 を 備 え て い る の で,数

値,数

式 を変 えて何 回 も

試 行 す る こ とが で き る。

4.1  [1] 

等 差 数 列 ・等 比 数 列 数

列

  あ る 規 則 に よ っ て1列

に 並 ん で い る 数 の 列 を 数 列 と い う 。 数 列 はa1,a2,a3,…

の よ う に 下 付 き文 字 を 使 っ て 表 し,そ … と い う 。n番 は,各

目 に あ る項anを

れ ぞ れ こ の 数 列 の 初 項,第2項,第3項,

第n項

項 が 簡 単 に 求 め られ る 。 こ のanを

〔 例 題1〕anが

(1) 〔 解 〕Mathcadは

と い う 。anがnの

式 で 表 さ れ て い る とき

一 般 項 と い う。

次 の よ うに 表 され る数 列 の,初 項 か ら第5項

(2) 配 列 変 数 をa1,anな

まで を求 め よ。

(3) ど と表 す の で,こ

れ を そ の ま ま数 列 の 項

と し て 使 え る 。 添 え 字 の 部 分 は 第1章

で 説 明 した レ ン

ジ 変 数 を 使 用 す る 。 図4.1の

よ う に 入 力 し て い く。 初

め に 「n:1;5」

ター ン キ ー を押 す。 次 に

と 入 力 し,リ

「a[n:2*n-1」

と入 力 し,リ

ら に 「a[1=」

と 入 力 し,リ

ター ンキ ー を押 す 。 さ

タ ー ン キ ー を押 す。 この

方 法 で は 式 が 縦 に 並 ん で い くが,図4.1は

コ ンパ ク ト

に 表 示 で き る よ う に 式 を 移 動 し て い る 。:=と=の い に 注 意 し,2n-1の

図4.1

入 力 は2とnの

違

間 に ・を 入 れ る

の を 忘 れ な い よ う に す る 。anの 式 を 変 更 す れ ば(2), (3)も

同様 に調 べ られ る。

 (注)  初 項 か ら第5項 「a[n=｣,リ

ま で の 表 示 は,図4.2の

よ う に,

タ ー ン と 入 力 す る こ と に よ り,求

める こ

図4.2

と もで きる 。

問1 

anが 次 の よ うに 表 さ れ る数 列 の,初

(1) 

項 か ら第5項

[2] 

(2) 

まで を 求 め よ。

(3)

等差 数列

 一 定 の 数 を 次 々 に加 え て 得 られ る数 列 を等 差 数 列 とい い

,そ の 一 定 の数 を公 差

と い う。 〔 例 題2〕

次 の 等 差 数 列 の 初 項 か ら第5項

まで

求 め よ。  (1) 

初 項1,公

 (2) 

初 項-2,公

差3 差-1

〔 解 〕Mathcadで な して い るが,レ

は,レ ン ジ変 数 が 等 差 数 列 を ン ジ変 数 は末 項 も入 力 しな けれ

ば な らな い 。 図4.3の

よ う に入 力 す れ ば よい 。 レ 図4.3

ン ジ変 数 の 右 辺 は初 め の 数 値 が 初 項 で,カ

ン マ の後 が 第2項

項 で あ る。(1)の 実 行 例 の よ う に末 項 が13で

で あ り,‥ の 後 が 末

な く,15に な っ て い て も第5項

まで

の結 果 は同 じで あ る。   図4.4の

よ う に,anとan+1と

の 関 係 式(漸 化 式)で 定 義 す る 方 法 も あ る 。こ の 方

法 で はa6も

定 義 さ れ る こ と に な る。

図4.4

  初 項a,公

差dの

図4.5

等 差 数 列 の 一 般 項 はa+(n-1)dで

も あ る 。 図4.5が

実 行 例 で あ る が,(図4.4)と

問2 

差-3の

初 項100,公

〔 例 題3〕 〔解 〕

第5項

初 項 をa,公

違 い,a6は

等 差 数 列 の 第30項

が19,第11項 差 をdと

連 立 さ せ て 解 く と,a=3,d=4で

が43で

あ る の で,こ れ を 使 う 方 法 定 義 され な い。

を求 め よ 。

あ る等 差 数 列 の 初 項 と公 差 を 求 め よ 。

す る と,a+4d=19,a+10d=43で

あ る。 これ ら を

あ る が,こ れ をMathcadで

図4.6の

よ うに 解 く

こ とが で き る。

  まず,a,dの

推 定 値 を定 め,GivenとFind関

数 の 間 に連 立

方 程 式 を記 述 して や れ ば よい 。 連 立 方 程 式 が 足 りな い とエ ラ ー と な る の で 注 意 が 必 要 で あ る。 解 が2組

以 上 あ る と き は,

そ の う ち で 推 定 値 に近 い もの が 選 ば れ る。 このGivenか

ら

Find関 数 ま で を ソル ブ ロ ッ ク と呼 び,解 を求 め る機 能 を ソル

図4.6

バ と呼 ん で い る。Find関 数 は ベ ク トル で値 を返 す の で,解 を変 数 に代 入 す る とき はベ ク トル に代 入 し な い とい け な い。

 公 差 は 直 線 の傾 き の よ うな もの で あ り,図4.7の よ う に 求 め る こ と も で き る。 初 項 は〓 り,a=a5+(1-5)dで

あ り,こ

よ

れ を使 う。 図4.7

問3 

第5項

が-3で,第13項

が-19で

あ る等差 数列 の

初 項 と公 差 を求 め よ。

[3] 

等差 数列 の和

  等 差 数 列 を グ ラ フ に表 して み る と,図4.8の 値 が 階 段 上 に増 減 し て い くの で,こ

よ うに

の よ う にひ っ く り

返 し て加 え て や る とす べ て が 同 じ高 さ に な り,等 差 数 列 の 初 項 か ら 第n項 2Sn=n(a1+an)で

ま で の 和 をSnと

す る と,

あ る。 したが っ て,

図4.8

ま た,an=a1+(n-1)dで

〔例 題4〕

あ る か ら,

初 項3,公

か ら第10項

等 差 数 列 の初 項

ま で の和 を求 め よ。

〔解 〕 図4.9の3行 第n項

差2の

まで の 和Snが

目の漸化 式 で初項 か ら 計 算 され る。これ は,等

差 数 列 に 限 らず どん な数 列 で も よ い。 図4.8 の よ う な グ ラ フ に す る た め に,あ

る関 数 値 か

ら他 の 関 数 値 まで の 差 の部 分 を表 示 す るエ ラ ー バ ー を使 う。y軸 の1番 フ を表 し,2番

目 の式aiは 棒 グ ラ

目 と3番 目の 式ai,an-i+1+a

iの 差 の 部 分 を エ ラ ーバ ー で 表 す た め に グ ラ フ 図4.9

フ ォ ー マ ッ ト を,図4.10の

よ う に 変 更 す る 。3行

目 の 漸 化 式 を 使 っ て 求 めたSn

の値 と公 式 を使 っ た 値 とが確 か に等 しい こ とが確 認 で き る。

図4.10

問4  次 の 等 差 数 列 の 初 項 か ら第10項  (1)  初 項1,公  (2)  初 項100,公

〔 例 題5〕

まで の 和 を求 め よ 。

差3 差-2

初 項30,公

差-2の

等 差 数 列 に お い て,第 何 項 か ら負 とな るか 。ま た,

初 項 か ら第 何 項 ま で の和 が 初 め て 負 とな る か。 〔 解 〕 計 算 で 普 通 に求 め る だ けで は イ メ ー ジ が わ か な い。まず は次 のMathcad の ワ ー ク シ ー ト でanとSnの

変 化 を調

べ る 。 折 れ 線 グ ラ フ よ り,棒

グ ラ フの ほ

う が 数 列 の グ ラ フ と い う感 じが 出 る。 Mathcadの

棒 グ ラ フ は,負 の 値 の と き 下

向 き に 表 示 す る こ と が で き な い の で,エ ラー バ ー で表 現 した 。   実 際 はanとSnは anが は,こ

色 で区別 してい る。

正 で あ る と きSnが

増 加 す る こ と

の 図 で 実 感 す る こ と が で き る 。a

n =30+(n-1)(-2)＜0よ

り,第16項

負 と な る の で あ る が,グ け て,a15,a16な 法 も あ る 。Snも

よ り

ラ フ で予 測 をつ

ど の値 を調 べ る とい う方 同様 で あ る 。

問5  初項20,公 差-2の

等 差数 列 の初 項 か 図4.11

ら第 何項 まで の和 が 最大 とな るか。

[4] 

等 比数列

  一 定 の 数 を次 々 に か け て得 られ る 数 列 を等 比 数 列 とい い,そ の 一 定 の 数 を公 比 とい う。 〔 例 題6〕 の10項

初 項10,公

比-1.5の

等 比 数列 の初 め

を調 べ よ。

〔解 〕

図4.12の

よ う に,Mathcadの

ト を 作 成 す る 。2行

ワ ー ク シー

目 の 漸 化 式 に よ り等 比 数 列 に

な る 。 公 比 が 負 な の で こ の 数 列 は 正,負 互 に と る 。 こ の た め,〔 例 題5〕 ー で 表 示 を した

。an=a1rn-1で

と同様 にエ ラー バ あ る が,こ

成 り立 つ こ と を 最 後 にn=10で

問6 

初 項1,公

比0.5

 (3)  初 項200,公

比-0.5

第3項

を調 べ よ。 図4.12

比2

 (2)  初 項100,公

〔 例 題7〕

の式 が

確 か め て い る。

次 の 等 比 数 列 の 初 め の 第10項

 (1) 

の値 を交

が12で

第8項

が384で

ある等

比 数 列 の 初 項 と公 比 を求 め よ。 〔 解 〕

図4.13の

よ う に,ソ

ル ブ ロ ッ ク を使 っ て

求 め る 。 一 般 項 の 公 式an=arn-1の

ま まで は ソル

ブ ロ ッ ク に 使 え な い の で 関 数 を 使 うが,ソ

図4.13

ル ブロ

ッ ク で 求 め る変 数 は,関 数 の 引 数 にな っ て い な い とい け な い た め この よ う に表 す 。 問7  次 の 等 比 数 列 の 初 項 と公 比 を 求 め よ。 た だ し,r＞0と

(1) (2)

す る。

[5] 

等 比数列 の和

 公 比rの

等 比 数 列 の初 項a1か

r≠1の r =1の

ら第n項

まで の 和Snは,

と き,〓 と き,Sn=na

で あ る。

〔例 題8〕

初 項2,公

〔解 〕 図4.14の

比3の

等 比 数 列 の初 項 か ら第10項

ま で の和 を求 め よ。

よ う に,〔 例 題4〕 と同 じ方

法 で 求 め,公 式 で 計 算 した 値 と比 べ て み る。 値 が 浮 動 小 数 点 表 示 で表 さ れ て し ま った と き は,[マ

ス]の 中 の[数 値 フ ォー マ ッ ト]の パ

ネ ル で[指

数 し きい 値]を6と

で も して や れ

ば よい 。

図4.14

〔 例 題9〕

引 数 を初 項,公 比,項 数 とし て,等 比 数 列 の和 を求 め る関 数 を作 成 し,

次 の 等 比 数 列 の和 を求 め よ。  (1) 

初 項2,公

比3,項

数10

 (2) 

初 項3,公

比1,項

数20

〔 解 〕 図4.15の

よ うに 作 成 す る。 公 比 が1

の こ と もあ るの でif関 数 を使 用 す る。 この 関 数 は初 めの 引数 が真 で あ る と き,次 の 引 数 の 値 を と り,偽 で あ る と き は3番

目 の 引数 の 値

図4.15

を と る。 問8  初 項2,公

比-0.5の

問9  初 項 か ら第5項 ら第15項

等 比 数 列 の 第10項

まで の 和 が2,初

まで の 和 を求 め よ 。

か ら第20項

項 か ら第10項

までの和 を求 め よ。

ま で の 和 が66で

あ る と き,初 項 か

[6] 

複 利 法

  利 息 の 計 算 に は単 利 法 と複 利 法 が あ る。 単 利 法 は 毎期 末 に 元 金 に対 して だ けの 利 息 を計 算 す る方 法 で あ り,複 利 法 は 毎 期 末 に計 算 した 利 息 を元 金 に繰 り入 れ る 方 法 で あ る。 複 利 法 は利 息 が 利 息 を 生 む こ とに な る 。 この2つ が で て くるかMathcadで 〔 例 題10〕10万

で ど の程 度 の 違 い

確 認 して み よ う。

円 を 年 利 率5%で10年

間 預 金 す る。1年

ご と の複 利 で 預 け る

場 合 と単利 で 預 け る場 合 の 違 い を調 べ よ。 また,年 利 率 を4%,6%に よ。 〔 解 〕 元 金 をA,利 て,図4.16の

率 をr,年 数 をnと

し

よ う に作 成 す る。レ ン ジ変 数

をi,複 利 の元 利 合 計 をai,単 利 の 元 利 合 計 をbiと し,グ ラ フ は 図4.17の

パ ネル の よ

う に棒 グ ラ フ,エ ラ ー バ ー を組 み 合 わ せ て い る。短 い 年 数 で は単 利 も複 利 も大 差 な く, そ の 傾 向 は金 利 が 低 い ほ ど強 くな っ て い く こ とが わ か る。 問10〔

例 題10〕 に お い て,半 年 複 利 とす る と

ど う な る か 確 か め よ。

〔 例 題11〕 利 率5%,1年

年 の 初 め に10万

円 ず つ,年

ご と の 複 利 で10年

間積 み立

て て い く と,10年

後 の 元 利 合 計 は い く らに

な る か 。 ま た,単

利 の 場 合 と比 較 し て み よ 。

〔 解 〕n=10,A=10,r=0.05と

図4.16

し て,i年

目 に積 み 立 て た 元 金 の 最 終 の 元 利 合 計 を ai万

円 と す る と,ai=A(1+r)n-i+1で

あ 図4.17

変 えて調べ

る。   Sn=a1+a2+…+anと

し,図4.18の

よ う に ワー ク シ ー トを作 成 す る 。 これ は 〔例 題10〕 に 修 正 を加 え た も の で あ る 。2 行 目 でn-i+1をjiと

お い て い る が,レ

ン ジ変 数 の入 っ て い る式 を代 入 す る とき は,配 列 で な け れ ば な ら な い か ら で あ る 。 次 の 節 で 説 明 す る Σ を 使 え ば,も っ と簡 潔 に 記 述 で き る。

問11 

年 の 初 め にA〔 円 〕ず つ 積 み 立 て て

い き,20年

後 に 元 利 合 計 を1000万

い 。 年 利 率 を5%と

す る と,A〔

円に した 円 〕は い く ら

で あれ ばよいか 。 図4.18

4.2  [1] 

いろいろな数 列 とその和 数列の和

  数 列{an}の り,こ

れ は〓

〔例 題12〕

初 項 か ら 第n項

す る と,Sn=a1+a2+…+anで

と も表 され る。

次 の 和 を求 め よ 。

(1) 

〔解 〕(1)は

ま で の 和 をSnと

(2)

図4.19の

よ う に作 成 す れ ば よ い。Mathcad

の Σ は下 に レ ン ジ変 数 を付 け る こ と に よ っ て 和 を 計 算 す る。 Σ は 「$」と入 力 す るか,Σ

を ク リ ック す れ

ば よ い。 初 め に一 般 項 の 部 分 が 入 力 で き る状 態 に な っ て い る の で,そ れ を 入 力 し,次 にTabキ

ー を押 し,Σ の 下

図4.19

あ

の と こ ろ で｢k=」  (2) 

と入 力 す れ ば よい 。

一 般 項 は(2k-1)2で

あ り,末 項 はk=15と

し て 得 ら れ る の で,後

は(1)

と同 様 にす れ ば よい 。

問12 

次 の 和 を 求 め よ。

(1)

(2)

〔例 題13〕

次 の 和 をnで

表せ。

(1)

(2)

〔解 〕 変 数nを

文 字 の ま ま で計 算 す る の は,第2章

で 説 明 した シ ン ボ リ ック計

算 を しな けれ ばな らな い 。 1. 

[シ ン ボ ル]の

中 の[シ

2. 

[シ ン ボ ル]の

中 の[導

ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッ サ の ロ ー ド]を

実 行 す る。

出 フ ォ ー マ ッ ト]を 選 択 し,図4.20の

よ うに設 定

す る。

3.  〔例 題12〕 の よ う に Σ と 一 般 項 を 入 力 し,Σ 4. 「k」

の 下 の 入 力 に移 る 。 と入 力 し,

ctrlキ ー を押 し な が ら

+キ ー を 押 し,「1;n」

と入 力 し,リ

タ ー ンキ

ー を押 す 。 これ で Σ の 式 の 入 力 が終 わ る。

図4.20

5.  Σ の と こ ろ を ク リ ック す る と Σ の式 全 体 が選 択 され,[シ

ン ボ ル]の メニ

ュー の 中 を見 る と使 え る命 令 が 黒 い文 字 で 表 示 され て い るの で,そ の 中 の[シ ンボ リッ ク に評 価]を

選 択 す る。

6.  計 算 結 果 と表 示 され,そ   にな って い る の で,[シ   以 上 で 図4.21の

の 下 に結 果 が 現 れ る。 そ の結 果 が 選 択 され た ま ま

ン ボ ル]の 中 の[式 の 因 数 分 解]を 選 択 す る。

左 側 の 式 の計 算 が 終 わ る。 真 ん 中 の 式 も同様 に や れ ば よい が,

初 め に計 算 させ る とき に[簡 素 化]を 選 択 して もよ い。 この ほ う が式 が 展 開 さ れ て 短 くな る。

図4.21

 (注)  シ ン ボ リ ッ ク計 算 は 自動 計 算 を して くれ な い の で,式 を変 更 した と き は, 結 果 を 削 除 し て か ら も う一 度 同 じ手 順 で 操 作 し な け れ ば な らな い。 問13 

次 の 和 をnで

表 せ。

(1) (2) (3)

[2] 

階差 数列

  数 列{an}に い い,こ

対 し て,an+1-anを

れ をbnと

を 数 列{an}の

階差 と

お い た と き,数 列{bn}

階 差 数 列 とい う。

〔例 題14〕an=n2-n+1(n=1,2,…, 10)で

定 ま る 数 列{an}の

階 差 数 列{bn}

を 調 べ よ。

〔解 〕 図4.22の

よ う に作 成 す る。 階 差

数 列 の項 数 は も との 数 列 の項 数 よ り1少 図4.22

な い の で,レ ン ジ変 数 の 範 囲 も1少 な く して お く。biを 表 示 す る位 置 はanよ

り少

し下 にず ら して お くと階 差 とい う感 じが で る。数 列{an}の 各 項 を み て も そ の規 則 性 は 見 つ けづ らい が,階 差 数 列 は一 目 で 等 差 数 列 に な っ て い る こ とが わ か る。 ま た,階

差 の 部 分 の グ ラ フ は エ ラ ー バ ー で 表 して あ り,初 項 に 階 差 を す べ て た す と

a10に な る こ と もす ぐわ か る。 問14 

一 般 項 が 次 の 式 で 表 さ れ る数 列 の 第10項

(1) 

(2) 

まで に つ い て 階 差 を調 べ よ 。

(3)

〔例 題14〕 の 中 で調 べ た が,初 項 に 階 差 数 列 の和 をた す こ とで 一 般 項 を求 め る こ とが で き る。 数 列{an}の

〔例 題15〕

対 して,

次 の数 列 の 一 般 項 を

求 め,第10項 (1) 

階 差 数 列 を{bn}と す る と,n≧2に

を計 算 せ よ。

1,3,7,15,31,… 

(2)

2,4,9,17,28,…

〔解 〕(1)  図4.23の

数 列 の 第5項

ま で を,

よ う に列 ベ ク トル の 成 分

と し て 入 力 す る 。 列 ベ ク トル の 入 力 は 次 の よ う に行 う。 1. 

「a:｣と

中 の[マ

入 力 し,[マ ト リ ッ ク ス]を

る と,図4.24の

ス]の 選択 す

パ ネ ル が現 れ 図4.23

る。 2.  行 を5,列

を1に

設 定 し て,作

成 を チ ェ ッ ク す る と列 ベ ク トル が 現 れ,そ

の 第1成

分 にカー ソ

ル が お か れ る。 図4.24

3. 

1つ の 成 分 を 入 力 し た らTabキ

を 繰 り 返 し,最 4. 

[マ ス]の

後 に リタ ー ン キー を押 せ ば よい 。

中 の[組

しな い と第1成

み 込 み 変 数]を

分 がa0と

か ら,シ

選 び,ORIGINを1に

設 定 す る。 こ う

な っ て し ま う。

  次 に右 の ほ う で レ ン ジ変 数i,階 ク トルbの

ー で 次 の 成 分 に 移 り,ま た 入 力 す る 。 こ れ

差biを 決 め,真 ん 中 で 「b=｣と す る と,列 ベ

成 分 が 表 示 さ れ る。これ が 階差 で あ る。階 差 数 列 の 一 般 項 は2kで

ある

ン ボ リ ッ ク計 算 で簡 素化 を行 う とanが 求 め られ る。

  図4.23で

は,導 出 フ ォ ー マ ッ トは水 平 方 向 に し て あ る。結 果 の式 が 選 択 され た

状 態 に な っ て い るの で,[編 入 す る と き に[編 集]の

集]の

中 の[貼

中 の[複 写]を

選 択 して や る と,後 でanに

代

り付 け]で 入 力 す る こ とが で き る。a1を 求 めて

い る の は,階 差 数 列 を使 っ た 一 般 項 の公 式 はn〓2で

成 り立 つ の で,n=1の

とき

が ど う な っ て い る か を確 か め る必 要 が あ る か らで あ る。  (2) 

(1)で 作 成 した ワー ク シ ー トを修 正 す る。列 ベ ク トルaの

第1成 分 を ク

リ ッ ク し,そ こ に カ ー ソル を お き,数 値 を修 正 す る。 次 の 成 分 に移 る の はTabキ ー で あ る 。 リタ ー ン キ ー を押 す と,列 ベ ク トルbの 階 差 数 列 が2,5,8,11,…

で あ り,一 般 項 が3k-1で

成 分 は 自動 的 に計 算 され る。 あ る の で,Σ の 後 を修 正 す る。

簡 素 化 結 果 を削 除 して か ら,式 を選 択 して簡 素 化 を行 う。その 結 果 をanに 代 入 す る と,あ 問15 

とは 再 計 算 を し て くれ る。

次 の 数 列 の 一 般 項 を 求 め よ 。

(1) 

[3] 

1,3,-1,7,-9,… 

1,3,6,10,15,… 

(3) 

1,2,2,3,3,4,4,…

漸 化 式

  数 列{an}の

隣 接 す る項 の 間 の 関係 を漸 化 式 とい う。等 差 数 列,等 比 数 列 の 関係

an+1=an+d,an+1=ranは 列{an}が

(2) 

隣 接2項 間 の漸 化 式 で あ る。 これ と初 項 が 定 ま る と数

定 ま る。an+2=an+1+anは

2項 が 定 ま る と数 列{an}が 〔 例 題16〕

隣 接3項

間 の漸 化 式 とい い,こ れ は初 項 と第

定 ま る。

次 の漸 化 式 で 表 さ れ た 数 列 の 初 項 か ら第5項

まで を 求 め よ。 た だ

し,n=1,2,3,…a1=1と

す

る 。

(1) (2) (3) 〔 解 〕 図4.25を

作 成 す る。 これ は(1)で

変 更 す る こ と に よ っ て,(2),(3)も

調 べ た わ け で あ るが,漸 化 式 の部 分 を

調 べ られ る。(1)は

階差 数 列 が 等 差 数 列,

(2)は 階 差 数列 が 等 比 数 列 と な っ て い る。(3)に つ い て は,階 差 数 列 の 階 差(第2 階 差 と い う)が 等 比 数 列 に な っ て い る。 この こ とを調 べ た の が 図4.26で 差 は項 の 数 が減 っ て し ま うの で 第8項

まで を調 べ て い る。Mathcadで

与 え られ た と き,一 般 項 を求 め る こ とは で き な い が,レ す れ ば,第50項,第90項

は漸 化 式 が

ン ジ変 数 の 範 囲 を大 き く

な ど を簡 単 に 求 め る こ とが で き る。

図4.25

問16 

ある。階

次 の よ う に 定 義 さ れ る数 列 の初 項 か ら第5項

図4.26

ま で 求 め よ 。 た だ し,n=1,2,3,…

 で あ る とす る。

(1) (2) 〔 例 題17〕

次 の よ う に定 義 さ れ る数 列 の初 項 か ら第8項

まで 求 め,階 差 も表 示

せ よ。

〔 解 〕 図4.27の

よ う にす れ ば よい 。 この 数 列 は

フ ィボ ナ ッ チ数 列 と呼 ば れ て お り,階 差 数 列 も ま た 同 じ漸 化 式 を満 た して い る。 自然 界 で もひ まわ りの種 の 配 列 な ど に この 数 列 が 現 れ る。 問17 

次 の よ う に 定 義 され る数 列 の 初 項 か ら第5項

まで 求 め よ 。

4.3 

図4.27

数列 の極限

[1]  数列の収束と発散  項 が 限 りな く続 く数 列 を無 限数 列 とい う。無 限 数 列 に お い て,nを

限 りな く大 き

くし て い った と き を考 え る。anが あ る一 定 の値α に近 づ く と き,数 列{an}はα 収 束 す る と い い,α い う 。anが 列{an}は

を 数 列{an}の

極限値 と

一 定 の 値 に 近 づ か な い と き,数 発 散 す る とい う。

〔 例 題18〕

一般 項 が 次 の式 で表 さ れ た

無 限 数 列 の収 束,発

散 を調 べ よ。

(1)

(2)

(3) 〔 解 〕(1) 

図4.28の

よ う に す る と,a

nは 一 定 の 値 に 近 づ き そ う で あ る。nを

大 き

図4.28

に

く す る と,a100=0.99009901な

ど と な っ て,極

こ の 極 限 は 収 束 が 遅 い の で,nを

限 値 は1で

あ る こ とが 予 想 され る。

か な り大 き く し な い と1に

を 実 感 で き な い 。と こ ろ がN=10000と

限 り な く近 づ く様 子

す る と,配 列 の 要 素 が 多 す ぎ て エ ラ ー と な

っ て し ま う 。 こ れ を さ け る た め に はanを

使 わ ず に 関 数 を 使 い,図4.29の

す れ ば よ い 。 こ の と き 変 数 をn=100,200,300,…

な ど と100お

ように

きに大 き く して い

け ば も っ と収 束 が 速 くな る と思 う か も し れ な い が,

図4.29

 整 数 値nは

連 続 し て い な け れ ば な らな い 。 ま た,グ ラ フ を棒 グ ラ フ で な くエ ラ

ー バ ー に し た の は,項 が負 にな った と き に見 や す くす るた め で あ る。  (2) 

図4.28の

ワ ー ク シ ー ト の 一 般 項 を 修 正 し,

N=12と

す る と,増

N=50と

す る と,急 激 に 大 き く な っ て し ま う が,Mathcad

の グ ラ フ はy軸

加 の 仕 方 が よ くわ か る(図4.30)。

の 目 盛 を 自 動 的 に 変 更 す る の で,

一 応 枠 の 中 に は グ ラ フが 治 ま っ て い る

。 こ の 数列 は発

散 す る こ と が わ か る。 図4.30

図4.31

 (3) 

図4.28を

修 正 し,N=20と

す る と,交 互 に 正,負

の 値 を と り,振 動 す る

こ とが 予 想 さ れ る 。 図4.29の

ワ ー ク シ ー トの 一 般 項 を 修 正 し,N=30と

正 の 値 は1に,負

近 づ き,振

の 値 は-1に

す る と,

動 す る こ とが わ か る 。

問18  一般 項 が次 の式 で表 され た無 限数列 の収束,発 散 を調べ よ。 (1)

(2)

〔例 題19〕a1=-1,

〓 (n=1,2,3,…)で

定 義 さ れ る 数 列{an}の

収 束,発 散 を調 べ よ。 〓に お い て,

〔解 〕 関 数 x =a1と

す る と,y=a2と

y座 標a2をxに

な る。この

代 入 す る とy=a3

と な る 。 こ の よ う に 次 々 と 直線y=

上 に点 が と られ て い くが, 図4.32

直 線 上 を近 づ けて い っ て も,点

と点

を結 ぶ 矢 印 が 直 線 と重 な っ て し ま い,見

に くくな る。

  直 線y=xも y=xと

か く と,y=a2と

の 交 点 のx座

で,図4.32の

標 がa2な

よ うに,anがy座

の 標と

して 求 め られ て い く様 子 が 図 示 で き る。 また,折

れ線 の近 づ い て い く先

は2直 線 の交 点 で あ る の で,数 列 の 極 限 の計 算 を し な い で も,極 限 値2 が グ ラ フ よ りわ か る こ と に な る。  こ の 折 れ 線 をMathcadで

表 した 図4.33

の が 図4.33で

あ る。

  Mathcadで

は ベ ク トル の 矢 線 を 表 現 で き な い の で,点(a1,a2)を

に と っ て お く。 点 を 表 示 す る た め に ト レ ー ス1を プ を 線 」と設 定 し て い る 。 ま た,折 グ ラ フ の よ う に し,ト

問19 

〔例 題19〕

「シ ン ボ ル を 角,ト

れ 線 は 配 列an,an+1を

使 っ て,媒

直 線 上 に初 め レー ス タ イ 介変数表示 の

レ ー ス タ イ プ を 段 と設 定 す れ ば よ い 。

に お い て,a1=5と

し た と き,ど

の よ うに な る か 。

〔 例 題20〕a1=2,an+1=2an-1(n=1,2,3,…)で

定 義 さ れ る 数 列{an}の

収 束,

発 散 を調 べ よ。 〔 解 〕

〔 例 題19〕

と 同 様 に す れ ば よ い が,漸 化 式 を 変 更 す る と き,修 正 が し や す く

な る よ う に 改 良 し よ う 。 まず,関 x1,x2で

決 め,表

数 の グ ラ フ を か く た め の レ ン ジ 変 数xの

示 す る 領 域 の 左 端,右

端,下

端,上

範 囲 を

端 の 値 を 列 ベ ク トルrに

代

入 す る。   ベ ク トル に し た 理 由 は,要 素 間 の 移 動 がTabキ ま た,行

列,列

ベ ク トル を 使 う と き は[マ

ス]の

ー で 簡 単 に 行 え る か ら で あ る。 中 の[組

「ORIGIN」

を1に

列 目 が0列

と い う 具 合 に な っ て し ま う。 列 ベ ク トルrの

下 端,上

設 定 し た ほ う が よ い 。 こ う し な い と,行

端 の 値 に な っ て い る 。 こ れ ら は,r1,r2,r3,r4で

に 入 れ て あ る 。 ま た,漸 ば,こ る。

み 込 み 変 数]の 列 の1行

目 が0行,1

成 分 が 順 に 左 端,右 利 用 で き,グ

端,

ラ フ の4隅

化 式 も 関 数 を 使 っ て 表 現 す る よ う に し た 。 図4.34を

の 数 列 が 発 散 す る こ と が わ か る 。a1の

中 の

見れ

値 を変 え る と ど う な る か も試 し てみ

図4.34

問20〔

例 題20〕 は収 束 し な い が,2直

線 の 交 点 のx座

標1は

数 列{an}の

一 般 項 を求 め

る 上 で 重 要 な 役 割 を果 た す 。 そ れ を 利 用 して 手 計 算 で 一 般 項 を 求 め よ。 〔 例 題21〕

(n=1,2,3,…)が

数 列{an}は,〓

る。 初 項 が 次 の場 合 の収 束,発 散 を調 べ よ。 (1) 

(2) 

図4.35

(3)

図4.36

成

り立 っ て い

〔解 〕(1)〔

例 題20〕 の ワ ー ク シ ー トのa1とf(x)を

分 を 順 に-3,3,-3,3と

す る と,図4.35の

変 更 し,ベ

実 行 例 と な る 。極 限 値 は√2で

う で あ る 。 極 限 値 の 近 くの 様 子 を も う 少 し 詳 し く見 る た め に,rの 1.5,1,1.5と

し,Nを25と

a24で 小 数 第8位  (2)  4.37が

(1)に

す る と,図4.36の

(1)に

図4.38が

あ るよ

成 分 を 順 に1 ,

実 行 例 と な る 。収 束 は 少 し遅 い が,

お い て,a1=2と

し,rの

お い て,a1=-2と

得 ら れ,こ

成 分 を 順 に0.8,2.3,0.5,2と

す れ ば,図

あ る。

し,rの

成 分 を 順 に-10,0,-10,0と

す れ ば,

れ は発 散 す る こ とが わ か る。

図4.37

図4.38

 〓で定 義 さ れ る数 列{an}が 収 束 す る と き

問21 の 初 項a1の

満 た す 条 件 を 求 め よ。

〔 例 題22〕a1=4,

〓で 定 義 さ れ る数 列{an}の 〔解 〕

成

ま で 正 し くな っ て い る。

得 ら れ る 。 こ の 極 限 値 も√2で

 (3) 

ク トルrの

収 束,発 散 を調 べ よ。

〔 例 題20〕 の ワ ー ク シ ー ト に お い て,a1=4,

rの 成 分 を 順 に-5,5,-5,5と 得 ら れ る 。こ の 極 限 値 は√2で

す る と,図4.39が あ る が,驚

く ほ ど収 図4.39

束 が 速 く,a6で

小 数 第8位

列 の 極 限値 はa1＞0な

まで 正 しい値 が 得 られ る。 こ の漸 化 式 で 定 め られ る数

数y=x2-2のx=anに

ら√2,a1＜0な

ら-√2で

お け る 接 線 とx軸

あ る。また,こ の漸 化 式 は2次 関

との 交 点 のx座

標 をan+1と

した と き

成 り立 っ て い る関 係 で あ り,こ の よ う に して 方程 式 の 解 の近 似 値 を求 め る 方 法 を ニ ュー トン法 と呼 ん で い る 。

問22

 〓で定 義 され る数 列{an}の 収 束,発 散

を調 べ よ。

[2] 

無 限級数

  無 限 数 列{an}に

対 し て,a1+a2+a3+…+an+…

表 す 。 無 限 級 数 の 初 項 か ら第n項

を無 限 級 数 と い い,〓

ま で の 和Snの

き,こ の 無 限級 数 は収 束 す る とい う。数 列{Sn}が

つ くる 数 列{sn}が

〓の収 束,発

無 限級 数

散 を調 べ よ。 〔解 〕

図4.40の

す る 。 こ れ は1に

よ う に,ワ

ー ク シ ー トを作 成

収 束 す る の で あ る が,近

づ き

か た を グ ラ フで 確 認 す る。 単 に答 を 求 め る だ け で あ る な ら,シ

ン ボ リ ッ ク 計 算 で,次

の ように

求 め られ る 。

計算 結果1

図4.40

問23  次 の無 限級数 の収 束,発 散 を調 べ よ。 (1)

(2)

(3)

収束する と

発 散 す る と き,こ の 無 限 級 数 は

発 散 す る とい う。

〔 例 題23〕

と

練習問題 1. Mathcadで

は,mod(m,n)は

整 数mを

整 数nで

〓 で 表 さ れ る数 列{an},{bn}の

上 の最 小 の整 数 を表 す。 か ら第10項

割 っ た 余 り を表 し,ceil(x)はx以

ま で を 求 め よ 。 ま た,初

項 か ら 第10項

初項

ま で が1,1,1,0,0,0,1,1,1,0と

表

され る 数 列 の 一 般 項 を求 め よ 。 2.  an=3n-1,bn=7n-4で

表 され る 数 列{an},{bn}の

共 通 の 項 を 小 さ い もの か ら順 に

並 べ た 数 列 の 一 般 項 を求 め よ。 3.  数 列1,2・2,3・22,4・23,…

を 漸 化 式 で 表 し,初

4.  f(n,x)=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1と

 (1)  1000万  (2) A〔

円 を20年

ま で の 和 を 求 め よ。

す る と き,f(n,x)をMathcadの

し て 定 義 し,f(20,2),f(30,1),f(40,-1)を

5.  あ る銀 行 の 金 利 は預 金,貸

項 か ら 第10項

関 数 と

求 め よ。

付 け の どち ら も年 利 率5%の

複 利 で あ る とす る。

借 り る とそ の 元 利 合 計 は い く ら に な る か 。

万 円 〕を 毎 年 末 に 積 み 立 て,20年

後 の 元 利 合 計 が(1)の

金額 にな る よう に

Aを 定 め よ。  (注)  返 済 金 を積 み 立 て て お い て,最

後 に ま と め て 返 済 す る と考 え る と,毎 年 の 返 済 金

は 同 じ額 に な る。 こ の よ う な返 済 方 法 を元 利 均 等 払 い と い い,住

宅 ロー ン な ど に使 わ

れ て い る。 6.  a1=1,an+1=3an+n(n=1,2,3,…)で

項 ま で の 階 差,第2階

定 義 さ れ た 数 列{an}に

差 を求 め,一

し,

定 ま っ た と き,直 線y=xに

点 をAn+1と

極 限 を調 べ よ 。た だ

〓と す る 。

8.  平 面 上 の 点A0(0,4)を

点 をBnと

般 項 を求 め よ 。 〓に よ っ て定 ま る 数 列{an}の

7. x1=a,

つ い て 初 項 か ら 第8

出 発 点 と し て,点 列A1,A2,A3,… 関 す るAnの

す る。x軸 に関 す るBnの

対 称 点 をA'nと

対 称 点 をB'nと

す る 。n→ ∞ の と き,Anは

を 次 の よ う に定 め る 。A4nが し,AnA'nを2:1に

し,直 線y=xに

ど の よ う な点 に近 づ くか 。

内分 す る

関 す るB'nの 対 称

第5章  微 分 ・積 分   こ の 章 で はMathcadと

関 数 ラ ボ を使 用 し て,微 分 ・積 分 を 取 り扱 う。Mathcadは

値 計 算 と数 式 計 算 に お い て威 力 を 発 揮 し,プ

数

リ ン ト教 材 作 成 に も向 い て い る。 関 数 ラ ボ

は グ ラ フ 表 示 の しや す さ,機 能 の 豊 富 さ に 加 え,パ

ラ メ ー タ を変 化 さ せ て 動 き を 見 せ る

こ とが で き て 提 示 教 材 と して の利 用 に 有 効 で あ る。 両 方 を併 用 して 効 果 の あ る 利 用 を考 え る こ と に す る。

5.1  [1] 

関数 と極 限 収束 する様 子

〔 例 題1〕

〓を 求 め よ 。

〓は1で あ り,こ の こ とは教 科 書 で 証 明 され て い るが,実 際 に ど

〔 解〕

の よ う な近 づ き方 を して い る か は載 っ て い な い 。 x +2で

〓な どは約分 すれ ば

あ る の で,近 づ き 方 は 明 ら か で あ る が,こ の 例 で は 約 分 で き な い の で コ ン ピ

ュ ー タ で 調 べ る し か な い 。Mathcadを

使 用 し て ワ ー ク シ ー ト図5.1を

作 成 した 。

図5.1

0に 近 づ く数 列 を f(a-hi)の

〓と し,右 側 極 限,左 側 極 限 を調 べ る た め にf(a+hi),

値 を 表 示 さ せ た 。 ま た,f(x)の

グ ラ フ を 表 示 し て い る の で,1に

近 づ

く様 子 を グ ラ フ か ら も つ か む こ と が で き る 。aやf(x)を

変 更 す る こ と に よ り,い

ろ い ろ な 極 限 を 調 べ る こ と が で き る。 ま た,Mathcadの

グ ラ フ は グ ラ フ の 上 限,

下 限 な ど を後 か ら修 正 す る の が 面 倒 で あ る か ら あ ら か じ めx1,x2,y1,y2な と 入 力 し て お い て,そ

ど

れ ら の 変 数 に 値 を 代 入 す る こ と に よ り適 切 な 表 示 が で き る

よ う に した 。  (注)  Mathcadは2進

演 算 を し て い る の で,

〓とす る と誤 差 を生 じ る こ

とが あ る が,表 示 が10進 小 数 な の で近 づ き か た を見 る に は,こ れ が 好 都 合 で あ る。

問1  次 の 極 限 値 を調 べ よ。

(1)

(3)

(2)

問2  次 の 極 限 値 を調 べ よ。

(1)

(2)

[2]  極限値をもつ条件 〔 例 題2〕 〔 解〕

教 科 書 の よ う に 計 算 で 求 め る の で は な く,関 数 ラ ボ で グ ラ フ で 描 い て 調 べ

て み よ う 。 図5.2の を1つ

〓が 有 限 な値 と な る よ う にkの 値 を定 め よ。

入 力 し,ア

よ う に,ア

ニ メ ー シ ョ ン でkの

値 を変 化 させ て み る。対 象 式

ニ メ ー シ ョ ン を 実 行 す る だ け で よ い 。k=2の

と き,グ

ラ フが つ

図5.2

な が っ て 見 え(実 際 は,x=1の

と ころ で 不 連 続 で あ る),極 限値1/4 を もつ こ とが 確

認 で き る。 関 数 ラ ボ の グ ラ フ メニ ュー の 中 の[表 示 環境 の 設 定]を 度 を 「高 」 に設 定 して お く と,k=2と

な る直 前 の状 態 が 図5.3の

選 び,表 示 精 よ う に な り,極

限 値 を持 た な い と きの 状 態 を 実 感 で き る。 た だ,表

示精 度 の関 係 で 不 連 続 の グ

ラ フの はず が つ な が っ て し ま って い る 。 これ を避 け るた め に は,倍 率 を変 更 して や れ ば よ い。

 〓が有 限 な値 とな る よう にk

問3

図5.3

の 値 を 定 め よ。

[3] 

極 限の文章題

〔 例 題3〕  をPと

曲 線y=cosx上

す る 。tが0に

〔 解 〕(0,1)以 P(0,p)と

の3点(0,1),(-t,cost),(t,cost)を

近 づ く と き,Pは

外 の2点

はy軸

通 る 円 の 中心

ど の よ う な 点 に 近 づ くか 。

に 関 し て 対 称 で あ る か ら,中 心 はy軸

お く と,t2+(p-cost)2=(1-p)2,こ

れ をpに

つ い て 解 く と,

 し た が っ て,

 ゆ え に,原 点 に近 づ くが,こ  図5.4の

れ を関 数 ラ ボで 確 認 して み よ う。

よ うに,関 数 ラ ボ に入 力 す る。

関 数 ラ ボ は記 録 を見 る と ど う入 力 す れ ば よい か,左 側 の記 号 で わ か る よ う に な っ て い る。1行 目 は対 象 式(新 規)の 入 力 で, 2∼4行

目 は対 象 式(追 加),5行

目 は定

義 式 の 入 力 で あ る。 ア ニ メ ー シ ョ ンで tを0に 近 づ け て い くと,点Pが づ い て い く様 子 が 確 認 で き る。

上 に あ り,

原 点 に近 図5.4

問4 

放 物線y=x2上

の3点(0,0),(-t,t2),(t,t2)を

通 る 円 の 中 心Pはt→0の

と き,

ど ん な 点 に 近 づ くか 。 関 数 ラ ボ で 確 か め て み よ 。 円 も表 示 し て み よ。

5.2  [1] 

微

微 分係 数

〔例 題4〕 〔 解〕

分

関 数f(x)=￨x2-x-2￨のx=aに

〔 例 題1〕

作 成 し,aの

お け る微 分 係 数 を 調 べ よ。

の 関 数 の 極 限 と 同 じ よ う なMathcadの

ワ ー ク シ ー ト図5.5を

値 を変 更 す る こ と に よ っ て微 分 係 数 を調 べ る。

図5.5

  こ の結 果 よ り,a=2で

微 分 可 能 で な い こ とが わ か る。 ま た,こ の例 のg(hi)の

小 数 部 分 の 変 化 がhiの 変 化 に等 し くな っ て い るが,こ の理 由 は,微 分 係 数 を計 算 〓に な る か ら で あ る 。

した と き に

問5 

関 数f(x)=√x+1に

お い て,微

分 可 能 で な い と こ ろ を あ げ,Mathcadで

確認せ

よ。

〔例 題5〕

関 数f(x)の

Mathcadの

微分 係数 を

演 算 子 を 用 い て 求 め よ。

〔解 〕Mathcadの

数 値 計 算 で は,微

分 図5.6

〓を微 分 係 数 を求 め る こ とに使

演算 子

用し て い る 。図5.6の

〓の ボ タ ン を ク リ

よ うに 入 力 す る。

キ ー を 押 し て 入 力 す る 。〓

の 後 にf(x)ま

た は直 接xの

数 の 値 を計 算 す る。yと 置 いた と きは結 果 が0と

[2]   xの

す る か,?

式 を置 いた とき,微 分 係

な る。

導 関 数 値aに

対 し て,f'(a)を 対 応 させ る関 数 を導 関 数 とい う。Mathcadの

数値 計

算 で は 導 関 数 を求 め る こ とは で きな い が,〔 例 題6〕 の よ う に グ ラ フ は描 くこ とは で き る 。 シ ン ボ リ ッ ク計 算 で は 高校 程 度 の 関 数 はす べ て微 分 で き るが,結 が 示 さ れ るの で,初

果の み

め の うち は検 算 に利 用 す る ぐ らい に とど めた ほ うが 良 いで あ

ろ う。 〔例 題6〕 め,そ 〔解 〕

関 数f(x)=x3-3xのx=-2,-1.75,…,2に

お け る微 分 係 数 を求

れ を グ ラ フ に せ よ。 図5.7の

よ う なMathcadの

ワ ー ク シ ー ト を 作 る 。g(x)が

導関数 になって

い る 。 点 に マ ー ク を つ けて 対 応 表 の点 とグ ラ フ との 関 連 を つ けや す くして い る。 こ の マ ー ク の 付 け か た は,図5.8の

よ う に,[グ

ラ フ]の

中 の[グ

ラフフォーマ ッ

図5.7

図5.8

ト]で[ト

レ ー ス1]を

選 び,シ

〔例 題7〕

次 の 式 をMathcadの

ン ボ ル を 「角 」 に す れ ば よ い 。

シ ン ボ リ ック計 算 で 計 算 せ よ。

(1)

(2)

〔解 〕

シ ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッ サ を ロ ー ド し た 後,式

ク に評 価]を

実 行 す る 。(1)に

高 次 導 関 数 は,こ

つ い て は,さ

の実 行 例 の よ うに〓

な い と き は,変 数xを 行 す る。

(3)

ら に[簡

全 体 を 選 択 し,[シ 素 化]を

ン ボ リッ

実 行 す る 。(3)の

を複 数 個 記 す 。 また,微 分 記 号 を つ けて

どれ か1つ 選 択 して お い て,[変 数 につ い て微 分]を3回

実

図5.9

問6  次 の 関数 を微 分せ よ。 (1)(2)

(3)

 (3次 導 関 数)

[3]  微分係数の図形的意味   関y=f(x)に

お い て,f'(a)はx=aに

数 の 定 義 に お い てh→0の

お け る接 線 の 傾 き に等 しい が,微 分 係

と きに 平 均 変 化 率 が 接 線 の 傾 き に限 りな く近 づ くこ と

は,関 数 ラ ボ の よ う な ソ フ トで 実 際 に近 づ け て み る とわ か りや す い。

〔 例 題8〕 〔 解 〕

関数

〓に お い て,f'(a)の

図 形 的意 味 を調 べ よ。

関 数 ラ ボ の ア ニ メ ー シ ョ ン 機 能 を使 う 。 入 力 は 図5.10に

は 見 や す く な る よ う に,図5.11の

図5.10

よ う に 変 更 し て お く。

図5.11

示 す。 座 標 軸

  定 義 式 の関 数 とaの 値 を変 更 す れ ば,別 の 関 数 で 調 べ る こ とが で き る。直 線 の 傾 き を強 調 し よ う と考 え,横 と縦 の線 分 を何 本 か 表 示 した 。hを 変 化 させ る と き増 減 幅 を*1.05と

す る と,接 点 の近 くで 近 づ き か た が ゆ っ く り と な り,わ か りや す

くな る。 問7〔

例 題8〕

5.3  [1] 

に お い て,f(x)=ex,a=0と

して 調 べ よ。

微分 の応用 接線 の方程 式

 接 線 を扱 う と き は,接 点 を動 か した り,グ ラ フ を変 形 した りす る必 要 が あ るの で,関 数 ラ ボ の 方 が 有 効 で あ る。3次

関 数 と4次 関 数 に接 線 に 関 す る面 白 い 性 質

が あ るの で,そ れ を示 そ う。 〔 例 題9〕

関 数y=x3-ax上

の 点(p,p3-ap)に

お け る接 線 を調 べ よ。

〔 解 〕 関 数 ラ ボ で 次 の よ う に入 力 し,ア ニ メ ー シ ョンでpの を調 べ よ う。 次 にaの

値 を 変 化 させ,接 線

値 を変 化 させ,グ

ラ フ を観 察 す る 。操 作 を し て い て 気 が つ

い た と思 うが,接 点 の 他 の 共 有 点 のx座

標 が 一 定 で あ る。計 算 し て他 の共 有 点 の

x座 標 を求 め る と-2pと

図5.12

な る。(-2p,f(-2p))も

対 象 式 に追 加 してaの

図5.13

値 を変

化 さ せ た の が 図5.13で

あ る。

  3次 関 数 は平 行 移 動 して 変 曲 点 を原 点 に 持 っ て くる と,y=mx3+nxの に な る。mの

形 の式

値 に よ っ て グ ラ フが 拡 大 ・縮 小 す る こ とに な る の で,y=x3-axは

拡 大 や縮 小 を考 え な け れ ば,す べ て の 形 を表 す こ と に な る。aの 値 を変 化 させ て, 3次 関 数 の グ ラ フの 形 を よ く見 る とよ い。 問8  関 数y=x3-ax上

の 点(p,p3-ap)に

囲 まれ た 部 分 の 面 積 がpの

お け る 接 線 と,こ の3次

値 に よ っ て 定 ま り,aの

関 数 の グ ラ フ とで

値 に よって変化 しな い ことを計算 で

確 かめ よ。

〔 例 題10〕

関 数y=x4+ax2+bxの

た 部 分 が,a,bの 〔解 〕

原 点 に お け る 接 線 と,こ

の 曲 線 とで 囲 まれ

値 を変 え る こ とに よ っ て ど う な る か調 べ よ。

関 数 ラ ボ で 図5.14の

よ う に 入 力 し,ア ニ メ ー シ ョ ン でa,bの

み る 。aの 値 を 変 え る と 図5.15の

よ う に な り,bの

値 を変 え て

値 を 変 え る と 図5.16の

な る 。aが 負 の と き,直 線 と 曲 線 で 囲 ま れ る 部 分 が2つ

で き る が,こ

の2つ

よ うに の面 積

が 等 し い こ と が 予 想 さ れ る。   計 算 し て み る と 確 か に 等 し くな っ て い る 。 〔 例 題9〕 で 考 え た よ う に,ど

ん な4

次 関 数 も 平 行 移 動 し て,y=lx4+mx2+nxの

よ り拡

形 に す る こ とが で き る 。lに

大 ・縮 小 さ れ る の で,y=x4+ax2+bxが

図5.14

問9〔

例 題10〕 の2つ

〔例 題11〕

す べ て の 形 を 表 す と考 え て よ い 。

図5.15

図5.16

の 部 分 の 面 積 が 等 し い こ とを 計 算 で 確 か め よ。

関 数y=x4+ax2+bx上

の 異 な る2点

で 同 時 に 接 す る 接 線 を調 べ

よ 。

〔 解〕

〓と 定 義 す る と,p=0と

〔 例 題10〕 に お い て,

ー シ ョ ン でa

,bの

値 を 変 化 さ せ る と,aが

変 化 さ せ る と,図5.17の

よ う に な り,bを

の 関 数 はy=x4+ax2とy=bxの

入 れ 替 わ る 。ア ニ メ

負 の と き求 め る 接 線 が 表 示 さ れ る 。aを 変 化 さ せ る と 図5.18の

よ う に な る。こ

グ ラ フ を三 角 関 数 の 合 成 の よ う に 加 え た と考

え られ る。

図5.17

図5.18

 前 者 の 関 数 は2つ の極 小 値 が 等 しい の で,極 小 の と こ ろで 同 時 に 接 す る接 線 を 持 つ 。そ の1つ の 点 のx座 るの で,グ 問10 

標が

〓で あ る。この グ ラ フ に後 者 の グ ラ フが 加 わ

ラ フが ね じれ るだ け で接 点 のx座

標 は変 わ らな い 。

〔 例 題11〕 の 接 線 を 計 算 で 求 め よ。 また,〔 例 題10〕 と 〔 例 題11〕 の 接 線 の傾 きが 等

し い こ と も確 認 せ よ。

[2] 

平均 値の定理

 関 数f(x)がa〓x〓bで

と な るcが

連 続,a＜x＜bで

微 分 可 能 の とき,

存 在 す る。

  この 定 理 は,図 で 考 え る とわ か りや す いが,コ で は,cの

ン ピ ュー タ で 図 を描 か せ た だ け

存 在 す る こ とは わ か っ て もcの 値 が正 確 に い くつ に な るか を は っ き り

と 調 べ る の は 大 変 で あ っ た 。と こ ろ が,Mathcadのroot関 と,次

数 とい うの を利 用 す る

の 例 の よ う に簡 単 に 調 べ る こ とが で き る。

〔 例 題12〕f(x)=sinxの

と き,〓

1＜c＜6と

な るcの

値 を

求 め よ。 〔 解〕

図5.19の

よ う に,Mathcadの

ー ク シー トを入 力 す る の と き の よ う に,上

。 グ ラ フ は 図5.4

端 にｙ2,下

を 入 力 し て あ り,y軸

ワ

端 にｙ1

に つ い て マ ー カへ

の ク リ ッ プ を チ ェ ッ ク し て あ る 。root関 数 は事 前 に推 定 値 を 入 力 す る。   例 え ば,x=1

root(x2-2,x)と

と,x2-2=0の

解 の う ち1に

す る

近 い もの を

求 め る こ と が で き る 。こ の 例 で は,xは

グ

ラ フ を描 く と きの レ ン ジ 変 数 に使 用 して い る の で,変

数cを

記 述 し たcの

推 定 値 を2に

1つ のcの

使 用 し た 。1行

目に

す る と,も

う

値 を 表 示 し,接 線 も そ こ で の

接 線 に 変 わ る。y=h(x)が

接 線 の 式 を表

図5.19

し,y=g(x)が2点(a,f(a)),(b,f(b)) を 通 る直 線 の 式 を 表 す 。

問11 

〔例 題12〕

に お い て,f(x)=xe-x,a=-1,b=3,c=0と

して平 均値 の定 理 を調べ

よ。

[3] 

関 数の増 減

  コ ン ピ ュ ー タで グ ラ フが 簡 単 に 描 けて し ま う と,増 加 ・減 少 は グ ラ フ を み て明 らか にわ か っ て し ま うが,極 値 の位 置 を正 確 に調 べ た りす る と な る と,増 加 ・減

少 と接 線 の 傾 き や 導 関 数 との 関 係 が 理 解 で きて い な け れ ば な ら な い。 まず,接 線 との 関連 は 〔 例 題9〕 の よ う に 曲線 の 接 線 を 曲線 上 で動 か して 実 感 す る こ とが 大 切 で あ る。   ま た,次 の 〔例 題13〕 の よ う に同 じ座 標 上 に関 数 と,そ の 導 関 数 を 同時 に表 示 さ せ,関 連 づ け る 方 法 もあ る。 〔 例 題13〕f(x)=(x2-1)exの y=f(x)とy=f'(x)の f(x)の

増 減 を調 べ よ。

〔 解 〕

図5.20の

よ うに グ ラ フ を描 い て

み る と,f(x)はf'(x)が し,負

正 の とき増 加

の と き減 少 し て い るの が わ か る。

ま た,f'(x)=0の 0と

と き,

グ ラ フ を 描 き,y=

な り,増

と ころ で接 線 の 傾 きが 加 ・減 少 の 境 目 と な り,極 図5.20

値 とな っ て い る のが わ か る。 問12 

〔 例 題13〕 の 関 数 を,次

(1)

の も の に変 え て 調 べ よ。

(2)

  極 値 とな る と こ ろでf'(x)=0で

あ るか ら,そ の 方 程 式 を解 け ば,極 値 の 値 を正

確 に求 め る こ とが で き る。Mathcadの

シ ンボ リ ッ ク計 算 をす れ ば,近 似 値 で な い

厳 密 な 解 を求 め られ る場 合 もあ るが,自 動 計 算 を して くれ な い し,操 作 も繁 雑 に な る の で,root関

〔 例 題14〕 〔 解 〕

数 を使 い,近 似 値 で 求 め て み よ う。

〓の極 値 を求 め よ。

関数

図5.21の

よ う に,Mathcadの

推 定 値 をc1=-0.6,c2=2と

し,root関

ワ ー ク シ ー トを 入 力 す る。f'(x)=0の 数 で 求 め,そ れ をf(x)に

解 は

代 入 して極 値 を

求 めた。  ま た,root関

数 は シ ー カ ン ト法(割 線 法)を 用 い て お り,「 収 束 し ま せ ん 」と い う

エ ラー メ ッセ ー ジ が 表 示 さ れ る こ とが あ る。 また,誤

っ た解 を表 示 して し ま う こ

と もあ るの で 推 定 値 に 気 を付 け,グ

ラフ

で 確 認 す る必 要 が あ る。 問13 

f(x)を 次 の 関 数 に 変 更 し,極 値

を調 べ よ。 (1) 

(2) 

(3) 〔例 題15〕

関f(x)= 〓がx

と る と き,定

=1で

数a,bの

値 を定 め よ。

〔解 〕Mathcadは1つ 調 べ るroot関

極 大 値5を

の方程 式の解 を

図5.21

数 の 他 に,連 立 方 程 式 の 解

を 求 め る ソルバ とい う もの が あ る。 これ は,GivenとFind関 式 を 記 述 し,Find関

数 の 間 に連 立 方 程 数 で 解 の 値 を求 め る

の で あ る 。 た だ し,方

程 式 の 数 が 足 りな

い とエ ラー とな っ て し ま うの で 注 意 が 必 要 で あ る 。図5.22の トを 作 成 す る 。root関

よ う に,ワ

数 と同 じで 推 定 値

が 必 要 で あ る 。 関 数f(x)が

定 数a,bを

含 ん で い る と き は,f(x,a,b)と とa,bを

ー クシー

しな い

定 数 と み な し て し ま い,a,bの

値 を 求 め る こ とが で き な く な る 。 未 知 数 が2つ

あ る と き は,Find関

数 は ベ ク トル

図5.22

で 値 を返 す の で,

〓と い うベ ク トル に 代 入 し て い る。

  ベ ク トル は[マ ス]の メ ニ ュ ー の 中 の[マ はa,bの

値 を求 め る だ け でa,bに

トリ ッ ク ス]で 作 成 す る。Find関

数

代 入 し て くれ るわ けで は な い の で,こ の 代 入 が

必 要 とな る。 この ソル バ も正 し くな い 解 を求 め て し ま う こ とが あ る の で,グ

ラフ

を描 い て 確 認 す る必 要 が あ る。 う ま く求 め られ な い と き は,推 定 値 を変 更 し て も う一 度 試 し て み る。 問14 

関 数f(x)=ax3+bx2+(a2-16)x+cはx=-1で

を と る。 ま た,極

[4] 

極 大 値 を と り,x=2で

小 値 の絶 対 値 は極 大 値 の2倍

で あ る と い う。a,b,cの

極小値

値 を求 め よ 。

グ ラフの凹凸

  グ ラ フの 凹 凸 は増 減 と同 じ よ う に,関 数 ラ ボ を使 い,曲 線 上 で 接線 を 動 か し, 変 化 を見 る と よい 。そ の 際 に残 像 をonに

す る とわ か りや す い。接 線 が 右 回 りに 回

転 す る と上 に 凸 で あ り,そ の と き,f"(x) は 負 で あ る。接 線 が 左 回 りに回 転 す る と 下 に 凸 で,f"(x)は

正 で あ る。凹 凸 の入 れ

代 わ る境 目 を 変 曲 点 とい うが,こ

の点 を

正 確 に求 め る とな る と,Mathcadの

数値

計 算 が 威 力 を発 揮 す る。 〔 例 題16〕

関 数f(x)=(x2-1)exの

ラ フ を 描 き,x軸

グ

と の 交 点,極 値,変

曲点

を調 べ よ。 〔 解 〕

図5.23の

よ う に,Mathcadの

ワ

ー ク シー トを作 成 す る。 こ の グ ラ フ の x軸 と の 交 点 は 自 明 で あ る が,関

数 を変 更

した とき の た め に調 べ てお き た い。   次 に,y=f'(x)の

グ ラ フ とx軸

との 交

図5.23

点 のx座

標 が 極 値 のx座

の 交 点 のx座

標 とな っ て い る こ と と,y=f"(x)の

標 が 変 曲 点 のx座

ま た は極 小 とな る 点 で あ るが,も

グ ラ フ とx軸

と

標 と なっ て い る こ と を確 認 す る。(b,f(b))が 極 大 う1つ

の 点 を調 べ た い と き は,bの

推 定 値 を変

更 す る。root関 数 は,こ の 例 の よ う に横 に並 べ て 記 述 す る こ とが で き る が,ソ ル バ はGivenとFindま

で(ソ ル ブ ロ ッ ク と い う)の 中 に別 の ソル ブ ロ ッ ク を 入 れ る

こ とが で きな い の で,横 に並 べ た りす る と エ ラー とな る。 問15 

〔 例 題16〕 の 関 数 を次 の もの に 変 更 し,極 値,変

(1) 

(2) 

5.4  [1] 

積

曲 点 を 調 べ よ。

(3)

分

不定積分

  Mathcadの

数 値 計 算 に は不 定 積 分 は な い 。シ ン ボ リ ック計 算 で は 自動 計 算 を し

て くれ な い の で,そ の つ ど操 作 しな け れ ば な らな い。Mathcadは

数値計算 がメ イ

ンで あ る た め,定 積 分 の演 算 子 は あ るが,不 定 積 分 の 演 算 子 は持 って い な い 。 高 校 で 習 う関 数 はす べ て求 め て くれ る が,途

中経 過 を示 し て くれ な い の で 初 め の う

ち は検 算 に使 う ぐ らい に した ほ うが よい で あ ろ う。 〔 例 題17〕

次 の 関 数 をMathcadを

(1)  〔解 〕[シ

(2) 

ン ボ ル]の

出 フ ォ ー マ ッ ト]を る 。 図5.24の

使 っ て積 分 せ よ。 (3)

中 の[シ

ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッ サ の ロ ー ド]を

「垂 直 方 向 ラ イ ン 挿 入 な し 」,「 コ メ ン ト表 示 あ り」 に 設 定 す

よ う に 関 数 を 入 力 し,変

数 に つ い て 積 分]を

選 択 し,[導

数xを1つ

選 択 し(ど のxで

も よ い),[変

実 行 す る。

  同 様 に し て,(2),(3)も

計 算 す る 。cos2xはcos(x)2と

入 力 しな け れ ば な らな

い こ と に 注 意 す る 。 関 数 を 修 正 し て も う一 度 計 算 し直 す と き は

,微

分結 果 を削除

図5.24

して お か な い と前 の表 示 が 重 な っ て し ま う。 問16 

次 の 関 数 の 不 定 積 分 を求 め よ 。 た だ し,a,bは

(1) 

(2) 

定 数 とす る 。

(3)

〔 例 題18〕f(x)=(5x-3)√1-xの

不

定 積 分 の グ ラ フ を調 べ よ。

〓は,f(x)の

〔 解〕 の う ちでx=aの

不定積 分

と き0と な る もの で あ

る の で,こ れ を使 い,関 数 を与 えた とき, そ の 不 定 積 分 の グ ラ フ を表 示 さ せ る こ と が で き る。   図5.25の

よ うに,Mathcadの

ワー ク

シ ー トを作 成 す る。定 積 分 の 記 号 は∫ を ク リ ッ ク す るか,&キ

ー を押 せ ば 入 力 で

き る。自動 計 算 を して くれ るの で,aの 値 や関 数 を変 更 し た と き,即 座 に不 定 積 分 の グ ラ フ が表 示 さ れ る。Mathcadの

グラ

フ は 定 義 域 に 注 意 しな い と い け な い の

図5.25

で,x1,x2の

問17 

[2] 

値 に は十 分 注 意 す る。

〔 例 題18〕 に お い て,関

関 数 に変 更 して み よ。

置換積 分

  置 換 積 分 と は,x=g(t)で ら,tに

数 を 問16の

あ る と き,〓

とな る こ とか

関 す る 積 分 に 置 き換 え て 計 算 す る 方 法 で あ る 。Mathcadの

計 算 は途 中 経 過 な しに 結 果 の み示 す の で,ど

シ ン ボ リ ック

ん な置 換 を す れ ば よ い か な ど示 して

くれ な い。[シ ン ボル]の メニ ュ ー の 中 に[変 数 の置 換]と い うの が あ るの で,こ れ を使 っ て計 算 す る。 〔例 題19〕f(x)=x2(x3+1)4の

不 定 積 分 をx3+1=tと

置 くことに よって求 め

よ。 〔解 〕

図5.26の

よ う に,Mathcadの

ワー ク シ ー トを作 成 す る。

1.  シ ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッサ を ロ ー ド し,導 垂 直 方 向 ラ イ ン 挿 入 な し」 に す る 。

図5.26

出 フ ォ ー マ ッ トを 「コ メ ン トあ り,

2. x2・(x3+1)4と

入 力 し,こ

れ を コ ピー して 中 央 に も表 示 す る。

中 央 の式 に は

4.

右 の 方 にx3+1=tを

〓を追加す る

3.

〓は?キ ー で 入 力 す る)。

入 力 す る(=はCtrlキ

ー を 押 し な が ら+キ

ー を押

す)。

5. x3+1=tのxを

選 択 し,[シ ン ボル]の 中 の[変 数 の求 解]を 実行 す る と,

この 方 程 式 の 解 が 下 に表 示 さ れ る。 解 の 中 の1行 [複写]を

目 を選 択 し,[編 集]の 中 の

選 択 す る([貼 り付 け]は 実 行 しな くて よい)。

6.  中 央 の 式 のxを

選 択 し,[シ

ン ボル]の

7.  結 果 の 式 のtを

選 択 し,[シ

ン ボル]の 中 の[変 数 につ い て積 分]を 実 行 し,

5.と 同 じ よ う に して,tをx3+1に 8.  こ の式 全 体 を選 択 し,[式

中 の[変 数 の 置 換]を 実 行 す る。

置 換 す る。 こ れ で 置 換 積 分 の終 了 で あ る。

の展 開]を 実 行 し,直 接 積 分 した 式 と比 較 す る と

等 し くな って い る こ とが 確 認 で き る。

 〓の 不 定 積 分 をex=tと

問18

置 く こ と に よ っ て 求 め よ。

[3]  定積分の計算  f (x)の

不 定 積 分 の1つ

が,Mathcadの

をF(x)と

〓で あ る

す ると き,

数 値 計 算 の 定 積 分 は,別 な 方 法 で 近 似 値 と し て求 め て い る。 この

た め,初 等 関 数 とし て不 定 積 分 が 求 め られ な いe-x2な

どの定 積 分 も計 算 す る こ と

が で き る。 シ ン ボ リ ッ ク計 算 の 方 で は厳 密 な答 を導 き,分 数,ル ー ト,π な ど を使 っ て 表 す こ とが で き る。 また,文 字 定 数 が 入 っ て い る場 合,文 字 定 数 を使 い,答 を表 して い る。 〔 例 題20〕

次 の 定 積 分 の 値 を求 め よ。

(1) 〔解 〕

(2) 図5.27の

よ う に,Mathcadの

(3) ワ ー ク シ ー トを 作 成 す る 。(1)と(3)を

数

図5.27

値 計 算 で 求 め た の が 左 の2つ ッ ク 計 算 は,シ

で あ り,残

ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッ サ を ロ ー ド さ せ た 後,[シ

を 実 行 さ せ れ ば よ い 。上 端,下 が,そ

りは シ ン ボ リ ック計 算 で あ る。 シ ンボ リ

端 に2.0,3.0と

れ 以 外 は 分 数 や ル ー ト,π

ン ボ リ ッ ク に 評 価]

小 数 を 入 れ る と近 似 値 で 計 算 す る

な ど を使 い 厳 密 な 値 を 求 め る 。

問19  次の 不定積 分 の値 を求 め よ。 (2)

(1)

(3)

[4]  定積分の置換積分   定 積 分 で 置 換 を行 う と,上 端,下 端 も そ の置 換 の 式 で変 更 し な けれ ば な らな い 。 上 端,下

端 の 間 で 正 の値 を と る関 数 と横 軸 とで 囲 まれ る図 形 が 置換 に よ り,ど う

変 化 す るか 調 べ て み よ う。 〓を置 換 積 分 で 計 算 し,直 接 積 分 した 値 と比 べ

〔 例 題21〕 よ。

〔 解 〕 図5.28の

よ うに,Mathcadの

ワ ー ク シー トを作 成 す る。〔 例 題19〕 と同 じ

よ う に して 置 換 を行 うが,上 端,下 端 を変 更 す るた め に,求 解 結 果 を関 数θa(x)に 代 入 す る。 ま た,グ ラ フの 変 化 を見 る た め に置 換 結 果 を 関数g(θ)に 代 入 す る。確 か に 積 分 値 は等 し くな っ てお り,グ ラ フ と横 軸 と囲 ま れ る図 形 の変 化 も実感 す る こ とが で き る。

図5.28

問20〔

例 題21〕

に お い て,a=1,a=3と

し て ど う変 わ る か 確 認 せ よ 。

[5]  定積分と係数決定  微 分 で関 数 の 係 数 決 定 問 題 を取 り扱 い,ソ

ルバ を使 い係 数 を求 め た。 定 積 分 で

も同 じよ うに解 い て み よ う。 〔例 題22〕

〔解 〕

次 の3つ の 等 式 を 満 足 す るxの2次

図5.29の

よ う に,Mathcadの

説 明 し た が,f(x)はf(x,a,b,c)と

関 数f(x)を

求 め よ。

ワー ク シ ー トを作 成 す る。 〔 例 題15〕 し な い と,ソ

に満 た して い る か ど うか を確 認 した ほ うが よ い。

で も

ル バ が解 を求 め られ な い。確 か

〓にFind関

数 を代 入 して や

図5.29

ら な い と,a,b,cを

問21 

推 定値 の ま ま で計 算 して し ま う。

関 数f(x)=(ax+b)〓

を 満 た す と き,a,bを

が す べ て の 実 数xに

対 して,

求 めよ。

[6]  区分求積法と定積分   面 積,体

積 な ど を求 め るの に,区 間 を適 当 に 区分 し,和 の極 限 と して求 め る方

法 を 区 分 求 積 法 とい う。 こ の こ とか ら積 分 の 概 念 が 生 ま れ た 。   区 間[a,b]で

関数y=f(x)は

＜ … ＜xn-1＜xn=bと i =1

き

,2,…,n)に

連 続 で あ る と す る 。 区 間[a,b]にa=x0＜x1＜x2

な る 分 点x0,x1,x2,…,xn-1,xnを 分 割 す る 。〓

〓の極限値が

の

  この こ と をMathcadで

と し,分

と り,小

割 を 限 り な く細 か く し て い っ た と

〓 で あ る｡

調 べ る の で あ るが,処 理 を簡 単 にす る た め に,区 間 を

n等 分 し,ξiは 小 区 間 の 端 点 に す る。

〔 例 題23〕〓

区 間[xi-1,xi](

を区 分 求 積 法 で計 算 せ よ。

〔解 〕

図5.30の

よ う に,Mathcadの

ワ ー ク シー トを作 成 す る。

  小 区 間 の 左 側 を 使 う と き の 和 をS,右 計 算 す る た め に レ ン ジ 変 数 を3つ

側 を 使 う と き の 和 をTと

使 っ て い る 。 横 軸 にxk,縦

曲 線 の ト レ ー ス タ イ プ を 「段 」 に し て や る と,階 で き る 。xn+1=1と

す る 。そ の 和 を

軸 にf(xk)を

と り,

段 状 の 図 形 を簡 単 に描 く こ とが

す る こ と に よ り右 側 の グ ラ フ の 段 を 最 後 ま で 引 け る よ う に し て

い る 。nの 値 を 大 き くす る こ と に よ っ て 真 の 値 に ど う 近 づ い て い くか を 確 認 す る 。

図5.30

問22

 〓を区分 求積 法で計 算 せ よ。

5.5  [1] 

積分 の応用 面

積

 ①  曲線y=f(x)とx軸

面積 は

お よ び2直線x=a,x=b(a＜b)で 〓で あ る。

囲 まれ た部 分 の

 ② 

2曲 線y=f(x),y=g(x)と2直

面積 は〓

〔 例 題24〕 〔解 〕

囲 まれ た 部 分 の

で あ る。

曲 線y=x(x-1)(x+2)とx軸

曲 線 とx軸

と の 交 点 のx座

算 で き る 。初 め の2つ る が,最

線x=a,x=b(a＜b)で

はMathcadの

後 の 例 は 残 念 な が ら,エ

とで 囲 ま れ た 部 分 の 面 積 を 求 め よ 。 標 は-2,0,1で 数 値 計 算,次

あ る の で,図5.31の の2つ

よ うに 計

は シ ン ボ リ ック計 算 で あ

ラ ー とな っ て し ま う。

図5.31

〔 例 題25〕 〔 解 〕

曲 線y=f(x)とx軸

ま ず,グ

る 点 のx座

ラ フ を 描 き,x軸

標 をroot関

図5.32はf(x)=x3-3x2+x+1と

とで 囲 まれ る部 分 の面 積 を求 め よ。 と の 交 点 の う ち,最

数 で 求 め る 。 そ れ ら を 下 端,上 し て,計

図5.32

も 左 に あ る 点,最

も右 に あ

端 に して 計 算 す れ ば よ い。

算 した もの で あ る。

問23 

〔例 題25〕

に お い て,f(x)=x4-4x2+x+1と

して 面 積 を求 め よ 。

〔 例 題26〕2曲線y=f(x),y=g(x)で 〔解 〕 x2+xと

囲 まれ た部 分 の 面 積 を求 め よ。

〔 例 題25〕 と 同 様 に す れ ば よ い 。図5.33は,f(x)=x4-3x2+x+2,g(x)= した 実 行 例 で あ る

。

図5.33

[2]  媒介変数表示のグラフの面積   曲 線x=f(θ),y=g(θ)(α〓

θ〓 β)とx軸

お よ び2直線x=a,x=bで

囲 まれ

た 部 分 の 面 積Sは,

この 公 式 は置 換 積 分 を し て い る と考 え られ る。 〔 例 題27〕

次 の 曲線 とx軸

に よ っ て 囲 まれ た部 分 の 面 積 を求 め よ。  (aは 正 の

定 数,0〓

θ〓2π)

〔 解 〕 この 曲 線 は サ イ ク ロイ ド とい わ れ て い る 曲線 で あ り,円 が 直 線 上 を 滑 ら ず に転 が っ た と きの 円 周 上 の定 点 の 動 く軌 跡 で あ る。Mathcadで

グ ラ フ を描 き,

面 積 を 求 め て み よ う。   Mathcodレ に は,x,yの

問24 

ン ジ変 数 を θ と し た と き 代 り にf(θ),g(θ)を

使 う。

次 の 曲線 で 囲 まれ た 部 分 の 面 積 を 求

め よ。

図5.34

[3]  極座標表示のグラフの面積  区 分 求 積 法 は面 積 を長 方 形 の 面 積f(xi)Δxで え た が,極 座 標 表 示 に お い て は,扇 形 の面 積〓

近似 して考

で近似 し

て考 え る と,次 の 公 式 が得 られ る。   曲 線r=f(θ)(α〓

θ〓 β)と θ=α,θ=β

に お け る 動 径r1,

r2と で 囲 ま れ る部 分 の 面 積Sは, 図5.35

で あ る。

〔 例 題28〕

曲 線r=sin3θ(0〓

θ〓π)で 囲 まれ る部 分 の面 積 を求 め よ。

〔 解 〕 極 座 標 の 曲線 は,媒 介 変 数 表 示 に して グ ラ フ表 示 す る こ とに な る。この 曲 線 は正 葉 曲 線 とい わ れ るが,θ がπ/3よ り大 き くな る と,rが がx軸

負 となるので グラフ

よ り下 に現 れ る。

  花 弁 は3つ で あ り,同 じ形 で あ るの で1つ

の 面 積 を求 め て3倍

rが 平 方 され,定 積 分 の値 が 負 とは な らな い の で0か

して も よ い が,

ら π ま で積 分 す れ ば よ い。

r=sinnθ は,nが

ま た はr=cosnθ 奇 数 の と きn個

数 の と き2n個

問25 

の グ ラ フ の 花 弁,nが

偶

の花 弁 が 現 れ る。

次 の 曲線 で 囲 まれ た 部 分 の 面 積 を 求

め よ。 た だ し,a＞0,0〓 (1) 

r=a(1+cosθ)

(2) 

r=cos2θ

θ〓2π とす る 。

図5.36

[4] 

立体の 表示

  体 積 の 公 式 を考 え る前 に立 体 の 方 程 式 に つ い て考 えて み よ う。 半 径1で

原点 を

中 心 とす る球 面 の 方 程 式 はx2+y2+z2=1で

面 プロ

あ る。この球 面 をMathcadの

ッ トとい う機 能 で 表 示 して み よ う。 〔 例 題29〕

球 面 の 上 半 分x2+y2+z2=1(z〓0)を

〔 解 〕Mathcadで

表 示 せ よ。

は,平 面 上 の グ ラ フ は横 軸 の値 に縦 軸 の値 を対 応 させ,点 を と

っ て 描 い て い る。空 間 に つ い て は,上 下 左 右 に等 間 隔 に 並 ん だxy平 yj)に 対 して 高 さzの 点 を対 応 させ,そ

面 上 の 点(xi,

れ らの 点 を通 る 曲 線 を線 画 や カ ラ ー ス ペ

ク トラム な どで 描 い て い る。 これ を面 プ ロ ッ ト と呼 んで い る。   関 数 値 は 行 列 を 使 い,次 ぞ れ30等

の よ う に 受 け 渡 す 。 区 間-1〓x〓1,-1〓y〓1を

分 し,x0,…,x30とy0,…,y30が

を レ ン ジ 変 数i,jで て い る 。 「M」

定 義 し,点(xi,yj)の

と入 力 し,[グ

ン キ ー を 押 す と3次

ど ち ら も-1,…,1と

ラ フ]の

高 さf(xi,yj)を 中 の[面

それ

な る よ う に,xi,yj

行 列Mのi,j成

プ ロ ッ ト作 成]を

分 に し

選 択 し,リ

ター

元 グ ラ フ を 表 示 す る 。 グ ラ フ 部 分 を マ ウ ス で ク リ ッ ク し,[面

プ ロ ッ トフ ォ ー マ ッ ト]を 選 択 す る と,次

の パ ネ ル が 現 れ る 。 「回 転 角 」 は30,

「 垂 直 ス ケ ー ル 」 は50に

し,「 線 消 去 」を チ

ェ ッ ク す る と 図5.37の

よ うな グ ラ フ に な

る 。 カ ラ ー ス ペ ク ト ラ ム を チ ェ ッ ク し,グ ラ フ を 表 示 さ せ る と,線

画 の グ ラ フで は な

く,図5.38の

り自然 な立 体 感 を

よ う に,よ

も つ グ ラ フ にな る。

〔 例 題30〕

頂 点 が(0,0,1)で

が原 点 で,半 径 が1で

底 円の 中心

あ る直 円 す い を面 プ

ロ ッ トで 表 示 せ よ。 〔 解 〕 平 面z=k(0〓k〓1)と,こ す い と の 交 線 は 半 径1-kの

の直 円 円 で あ り,そ

の 円 上 の 点 はx2+y2=(1-k)2を い る 。 し た が っ て,こ

満 た して

の直 円 す い の側 面 を

図5.37

表 す 方 程 式 はx2+y2=(1-z)2(0〓z〓1)と な る 。 こ れ をzに

つ い て 解 き,z=f(x,y)

と お く と,f(x,y)=-√x2+y2+1で

あ る。 図5.38

〔例 題29〕 の 関 数 を こ れ に 変 更 し て グ ラ フ を 描 く と,図5.40の はzが

よ う に な る 。こ れ

負 の 部 分 も 表 示 し て し ま っ て い る 。表 示 を 正 の 部 分 だ け に す る に は ,Math

cadのif関

数 を使 う。

に よ り,g(x,y)を

定 義 す る と,負 の と き0に

な り,0以

上 の と き はf(x

,y)に

なる。

図5.39

図5.40

これ を使 っ て 描 い た の が 図5.41で

あ る。こ の面 プ ロ

ッ トは描 くの に少 し時 間 が か か り,奥 の 方 か ら順 に ア ニ メ ー シ ョ ン の よ うに描 い て い くの で,立 体 を垂 直 に切 っ た 図 形 が 何 で あ るか を実 感 す る こ とが で き て 好 都 合 で あ る。 直 円 す い を垂 直 に切 る と切 り口 が 双 曲線 に な る こ と は,図5.40の

ほ うが わ か りや す

い。 図5.41

問26  次 の方程 式 で与 えられ る曲面 を調 べ よ。   (2) 

(1) (3) 

(4)

問27 

[5] 

底 面 の 半 径 が1で

体

円柱 を面 プ ロ ッ トで 描 け。

積

 ①  空 間 内 にx軸 S(x)で

高 さ が2の

を き め,x軸

あ る立 体 のa〓x〓bの

に 垂 直 な平 面 で 切 っ た と きの 切 り口 の 面 積 が 部 分 の 体 積Vは,

 ②  曲 線y=f(x)とx軸

お よ び2直 線x=a,bと

で 囲 まれ た 部 分 を,x軸

の回

りに1回 転 して で き る立 体 の 体 積Vは,

 ③  2曲y=f(x),y=g(x)お

よび2直

に交 わ って い な い と き,そ の 図 形 をx軸

線x=a,bと

で 囲 ま れ た 部 分 がx軸

の 回 りに1回 転 して で き る立 体 の 体

積Vは,

〔 例 題31〕

曲 面(x2-1)(z-1)2+y2=0(z〓1)とxy平

面 とで囲 まれ る部 分 の

体 積 を求 め よ。 〔 解 〕x≠ あ る が,こ

±1の

と き,〓

の と き,z=0と

で あ り,x=±1の し て,f(x,y)をif関

図5.42

と き は,y=0,z〓1で

数 を 使 い,図5.42の

よ う に定 義

す る 。 さ ら にf(x,y)＜0の

と き は,z=0と

な る よ う にg(x,y)を

の 面 プ ロ ッ ト を 描 く。こ の 図 形 を 平 面x=k(-1〓k〓1)で 図5.42の

切 った ときの 切 り口 は

右 の グ ラ フ の よ う に 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。g(x,y)は

に 定 義 し た の で,そ

定 義 し,g(x,y)

負 に な らな い よ う 〓で あ る。 よっ て

の二 等 辺 三 角 形 の面 積S(x)は

求 め る体 積Vは,

問28 

底 円 の 半 径1,高

さ2の 直 円 す い の 体 積 を 〔 例 題31〕 の 方 法 で 求 め よ。

〔例 題32〕y=x3-3x2+x+1とx軸

とで 囲 ま れ る部 分 をx軸

の 回 りに 回転 さ

せ た立 体 の 体 積 を求 め よ。 〔解 〕x軸

との 共 有 点 はroot関

数 で求 め,y=-f(x)の

グ ラ フ も描 く こ と に よ

っ て,回 転 さ せ た 立 体 を把 握 で き る よ うに した 。

図5.43

〔例 題33〕

曲線y=2x2+x-1と

直 線y=x+1で

囲 まれ た 部 分 をx軸

の回 り

に 回 転 させ た 立 体 の体 積 を求 め よ。 〔解 〕 〔例 題32〕 の よ う に,f(x)と-f(x)の と,囲

グ ラ フ を 同 じ座 標 に描 い て し ま う

まれ た 部 分 が ど こで あ った か わ か りづ ら くな るの で,別

に し た。 関 数 を変 更 す る とき の対 応 を楽 に す るた め に,yの

な座 標 を作 る こ と

範 囲 を変 数y1,y2で

図5.44

グ ラ フ に入 れ る こ とに した 。 囲 まれ た 部 分 が つ なが っ て い れ ば,共 有 点 が い くつ あ っ て も両 端 の 共 有 点 さ えわ か れ ば よ い。そ れ を α,β(α＜β)と す る。if関 数 を使 っ て,f(x)g(x)＞0の

とき は公 式 ③ を使 い,そ

うで な い と き は,ま たif関 数 で 平

方 が 大 き い ほ う を選 ぶ よ う にす る。   どん な2曲 線 で も,不 連 続 な グ ラ フで 囲 ま れ る部 分 が 離 れ て で きて しま う こ と が な け れ ば,関 数 部 分 を変 更 し,グ ラ フ を見 な が ら左端 と右 端 の 共 有 点 をroot関 数 で 求 め れ ば 回転 体 の 体 積 が求 め られ る 。 外 側 の 回転 した 図 形 の体 積 か ら,く

り

ぬ か れ る部 分 の体 積 を引 く とい うや り方 で も試 して み た 。 問29  次 の2つ の 曲線 また は直線 で 囲 まれ る部分 を,x軸 の回 りに回転 させた立 体 の体

積 を求 め よ 。 (1) 

[6] 

(2)

曲線の長 さ

 ①  曲 線x=f(t),y=g(t)(t1〓t〓t2)の

 ②  曲 線y=f(x)(a〓x〓b)の

〔例 題34〕 だ し,aは 〔 解〕

長 さlは,

長 さlは,

曲 線x=a(θ-sinθ),y=a(1-cosθ)(0〓

θ〓2π)長

さ を 求 め よ。た

正 の定 数 とす る 。 図5.45の

よ う に,Mathcadの

ワ ー ク シ ー トを 作 成 す る 。 折 れ 線 で 近 似 し

た と き ど の程 度 の 違 い が あ るか を確 認 す る よ う に した 。

図5.45

問30 

次 の 曲線 の 長 さ を求 め よ。 た だ し,aは

正 の 定 数 とす る。

(1) 

(3)

(2) 

[7]  積分の平均値の定理   区 間[a,b]でf(x)が

と な る よ う なcが

連 続 な ら ば,

少 な く と も1つ

〔 例 題35〕f(x)=x2に 〔 解 〕

図5.46の

存 在 す る。

お い て,積 分 の 平 均 値 の 定 理 を確 認 せ よ。

よ う に,Mathcadの

端 の と こ ろ にa,bを

ワ ー ク シ ー トを 作 成 す る 。 横 軸 の 左 端,右

入 力 す る と,x=a,x=bを

マ ー カ へ の ク リ ッ プ は チ ェ ッ ク し な い)。y=f(c)は

点 線 で 表 示 す る(x軸

の と こ ろの

式 と して縦 軸 に 入 力 し て い

る 。 こ れ ら の 参 照 線 と 曲 線 と で 囲 ま れ た 部 分 の 面 積 が 左 右 で 等 し い こ とが 確 認 で き る。

図5.46

問31 

f(x)=x3-4x+3に

つ い て,積

分 の 平 均 値 の 定 理 を確 認 せ よ。

5.6  [1] 

微 分 ・積 分 と 近 似 値 関数 の近 似値

  平 均 値 の 定 理 よ り,f(a+h)=f(a)+f'(a+θh),0＜ hが0に

θ＜1

き わ め て 近 い 値 の と き は,f'(a+θh)≒f'(a)で h≒0の

これ を1次

と き,a(a+h)≒f(a)+hf'(a)

の 近 似 式 とい う。 また,平 均 値 の定 理 よ り,

が 証 明 で き る 。h≒0の h≒0の

これ を2次

あ る か ら,

と き,f"(a+θh)≒f"(a)で

と き,

の 近 似 式 と い う。

図5.47

あ る か ら,

〔 例 題36〕f(x)=-(x-1)4+1,a=0.3,h=0.4の 近 似 式,2次

と き,f(a+h)の

の 近 似 式 で そ れ ぞ れ 求 め,違

値 を1次

の

い を確 認 せ よ 。

〔 解 〕 直 線y=g1(x)はx=aに

お け る 接 線 で あ り,g1(a+h)は1次

の近 似 値 で

あ る 。放 物 線y=g2(x)もx=aに

お い て 接 し て お り,g2(a+h)は2次

の近 似 値 で

あ る 。b=a+hと

お き,x=a,x=bの

グ ラ フ も描 き,ど

の よ うな 近 似 を して い る

か を視 覚 的 に と ら え る。

問32〔

例 題36〕 に お い て,f(x)=sinx,〓

と して,近

似 値 を確認 せ よ。

[2]  定積分の近似値 (1)  台 形 公 式   関 数f(x)が

と し,対 と,曲

区 間[a,b]で

応 す るyの

連 続 で あ る と き,区 間[a,b]をn等

値 をy0,y1,y2,…,yn,曲

分 し,そ の 分 点 を

線 上 の 点 をP0,P1,P2,…,Pnと

す る

線 が 線 分 で 近 似 さ れ,

で あ る 。 こ の 式 で,k=0,1,2,…,n-1と

し て,そ

れ ら の 和 を つ く る と,

図5.48

これ を台 形 公 式 と い う。 (2)  シ ン プ ソ ンの 公 式   区 間[a,b]を2n等

分 し,曲 線P2kP2k+1P2k+2を

フ で 近 似 し,k=0,1,2,…,n-1と

し て,そ

こ の3点

を 通 る2次

関数 のグラ

れ ら の 定 積 分 の 和 を つ く る と,

これ を シ ンプ ソ ン の公 式 とい う。 〔 例 題37〕f(x）=exの 式,Mathcadの

と き,〔 例 題23〕 の 区 分 求 積,台

形 公 式,シ

ンプ ソ ン の公

の 値 を求 め よ。

数 値 計 算 で,〓

〔解 〕 レ ンジ 変 数 を増 や さ な い よ うに した の で,台 形 公 式 とシ ン プ ソ ンの 公 式 は 少 し変 形 して 使 っ て い る。区 分 求 積 の よ う に長 方 形 で 近 似 した の と違 い,nの 値 は そ れ ほ ど大 き くな くて も,か な りの精 度 が 得 られ る こ とが わ か る。   また,f(x)を2次 m =1と

関 数 や3次

関 数 に して み る とわ か るが,シ ン プ ソ ンの 公 式 は

して も,近 似 値 で は な くて 真 の 値 を示 す 。

図5.49

問33 

π の値 の 近 似 値 を シ ン プ ソ ン の 公 式 を 使 っ て 求 め よ 。

練習問題 1. eの 値 を 次 の3通

りの 極 限 と して 求 め,そ

2.  P(cosθ,0),Q(0,sinθ)と 域 を 関 数 ラ ボ で 調 べ よ。

し,θ

が0か

の 近 づ き か た を 調 べ よ。

ら2π

ま で 変 化 す る と き,線

分PQが

通 る領

  ま た,ア 軸,y軸

ス テ ロ イ ドx=cos3θ,y=sin3θ と の 交 点 がP,Qで

上 の 点R(cos3θ,sin3θ)に

あ る こ と を 示 し,上

お け る 接 線 とx

の領 域 が ア ス テ ロ イ ドの 内部 で あ る こ

と を確 か め よ。

3.  曲線y=x2上

の2点A(a,a2),B(b,b2)に

限 りな くaに 近 づ く と き,点Pは

お け る2つ

の 法 線 の 交 点 をPと

す る。bが

どん な 点 に近 づ くか 。 関 数 ラ ボ で 確 認 せ よ。 ま た,

aを 変 化 さ せ た と き の 近 づ い た 点 の 軌 跡 を調 べ よ 。 の 最 小 値 が2a,最

4.  関 数〓

大 値 がbで

あ る とす る。 定 数a,bを

求 め

よ 。

5.  区間0〓x〓1に

お い て,関

数f(x)を〓

と定 義す る。定積 分

の値 を求 め よ 。

6.  曲線y=x4-ax2と

直 線y=k(a＞0,k＜0)で

し くな る よ う にkの

囲 まれ る3つ

の部 分 の面積 が すべ て等

値 を定 め よ。

7.  曲 線y=x4-ax2+bxと

で囲 まれ る3つ の部 分 の 面 積 は す

直 線〓

べ て 等 しい 。 これ をMathcadで

確 認 せ よ。 ま た,関 数 ラ ボ でa,bの

値 を 変 化 さ せ,グ

ラ フ が ど う変 わ る か 調 べ よ 。 8.  定 数aに  (1) 

対 して,曲

C(a)が

線〓

直 線y=xの

の 部 分 をC(a)と 下 部y＜xに

含 ま れ る よ う な 実 数aの

お く。 最 大 値a0を

求 め

よ。  (2) 

C(a0)と3直

線y=x,x=1,x=k(k＞1)に

に 回 転 さ せ て で き る 立 体 の 体 積Vkと 9.  点(-1,0)か

ら 円x2+y2=1上

こ の 接 線 の 交 点(f(θ),g(θ))を

よ っ て 囲 ま れ る 図 形 をx軸 す る 。V50,V100,V120を

の 点(cosθ,sinθ)に 求 め よ 。 ま た,曲

の 周 り

求 め よ。

お け る 接 線 に 下 ろ し た 垂 直 と,

線x=f(θ),y=g(θ)(0〓

θ〓2π)の

長

さ を求 め よ。 10.  半 球x2+y2+z2〓1(z〓0)と,円

Mathcadの

面 プ ロ ッ トで 描 き,そ

11.  関 数f(x)が

区 間[a,b](0〓a＜b)に

柱〓

の共 通 部分 を

の 体 積 を求 め よ 。 お い て連 続 で,f(x)〓0の

と き,曲 線y=f(x)

とx軸,2直

線x=a,x=bで

囲 まれ た 図 形 をy軸

の 周 りに1回 転 し て で き る 立 体 の

体 積Vは,

で 与 え ら れ る。 (1) 

f(x)=xex,a=0,b=1の

と き のVを

(2) 

円(x-2)2+y2=1をy軸

の 周 り に 回 転 して で き る 立 体 の 体 積 を求 め よ。

求 め よ。

問および練習問題の解答 (1) 

問の解 答

第1章  ソフトウェアの基本操作 問1 

(1)

問2 

(1)

問3 

(1)

 (2)  (2)

 (複素 数ON) 

(3) 問4 

(1)

問5 

(1)

(3) 問6 

(1)

問7

 (4)  (2)  (2)  (4)

 (2)

 に 同 じ

問8  解 図1.1

解 図1.1

(2)

問9 

解 図1.2,最

大 値〓,

最 小値-4

解 図1.2

問10 

解 図1.3,1

解 図1.3

問11 

略

問12 

略

問13 -2√2＜k＜2√2 

2

k=±2√2 

1

k＜-2√2,k＞2√2 

0

問14 

解 図1.4

問15 

解 図1.5

解 図1.4

問16 

「¥6」,ス

解 図1.5

ペ ー ス キ ー,「+¥2」,2回

ス ペ ー ス キ ー,「/2=」,リ

タ ー ン キ ー と押

せ ば よい。

問17  関 数 を〓 問18 

とす る。

「n:1;15」,リ

タ ー ン キ ー,「n!=｣,リ

の パ ネ ル で 表 示 精 度,指

タ ー ンキ ー と押 す 。 数 値 フ ォ ー マ ッ ト

数 し き い 値 を と も に15と

す る。

問19 a1:=1,n:=1.15,an+1:=(n+1)・an,a15=1307674368000 問20 x:=-π,-π+0.1..2・

π を 入 力 し,「sin(x)@x」,リ

ー カ へ の ク リ ッ プ を チ ェ ッ ク す る と ,グ 問21 

t:=0,0.1..2・ 使 っ てy軸

端,x軸

の 右 端,左

のマ

ラ フ が 左 右 い っ ぱ い に表 示 さ れ る 。

π と し,「2・sin(t),2・sec(t)@cos(t),tan(t)」

の 上 端,下

タ ー ン キ ー と 押 す 。x軸

と 入 力 し,tabキ

端 の 値 を 順 に5,-5,5,-5と

ー を

す る 。x軸,

y軸 と もマ ー カ へ の ク リ ップ を チ ェ ッ ク す る 。

問22 

公 差0.1の

ま ま で はx=±1の

近 くで グ ラ フ が 途 切 れ る 。0.01に

す る と改 善 さ

れ,0.001に 問23 

す る と0で

「$k^2」

割 る こ と に な り,エ

と 入 力 し,tabキ

ー,「k」,ctrlキ

タ ー ン キ ー と 押 す 。 式 全 体 を 選 択 し,シ

ラ ー とな る 。 ー を 押 し な が ら+キ

ー,「1;n」,リ

ン ボ リッ ク に評 価 を実 行 す る。数 値 計 算 は

次 の よ うにす る。

問24 

(1)6 

(2)15 

(3)7776 

(4)4 

(5)4

(6) 問25 

(1)19 

(2) 

2SQRT(2) 

(3)  SQRT(5)-SQRT(3)

(4) 問26 

(1)

 〓 Approximateの

Exactの

場 合 は 変 化 な し。Mixedの

場 合 と 同 じ。

(2)  〓 Exactの Mixedの

問27 

場 合 は,Approximateの

場 合 は変 化 な し。

場 合 と同 じ。

(1)

(2) (3) (4) (5) 問28 

(1) DRコ

(2) DMコ

問29 

(1)

問30 

(1)

マ ン ドDimension:3で

マ ン ドRows:2,Columns:1で  (2)

 (2)

要 素 を 入 力 →[-2,3,-4]

要 素 を 入 力 →〓

場 合 は,

第2章  数 と式 問1 

(1)

(2) 

(1)と

同 様 に し て,〓

問2  和〓

差〓 問3

 〓同 様 に して,〓

(1)

(2) 

を 定 義 す る。

(1)と

同 様 に し て,〓

問4

 〓の 場 合 と同様 〓を 定 義 す る 。(1) 〓 (2)

問5  次 の式 を計算 せ よ。 (1)

 (2) 

(1)の

場 合 と 同 様 に〓

(3)

 〓同 様 に して,〓

(4)

(5)

  (注) DFで〓 A(x),B(x),C(x)を

(6) な どが 定 義 さ れ て い る と,a,b,cが

意 味 し て,(a+b+c)(a-b-c)の

よ う に,a,b,cを

それ ぞれ 含 む式 は

異 な る 式 を 意 味 す る こ と に注 意 を 要 す る。 問6  (1)

 した が っ て,商

はx2+x,余

り は-2x+1

(2)

 よ っ て,

問7  (1)

 〓 と お い て,

a=3を

得 る。

 (注)  式

〓が リバ ー ス さ れ て い る 状 態 で,左 矢 印 キ ー ←,続 い て

下 矢 印 キ ー ↓を押 す と,分 子 のa-3が の 状 態 で,F・3キ ー を押 す と,Author こ の 式 を0と

お い てRETURNキ

リバ ー ス(強 調)さ れ る。 こ こ で,Aコ expressionにa-3を

ー を 押 し,Lコ

取 り込 む こ とが で き る。

マ ン ド を実 行 す る とa=3を

強 調 して 取 り込 む 。続 い て,〓 こ こで,3a+b+27を

b=-6を

取 り込 む 。 こ れ ら の2式

を連 立 して 解 く と,a=-7,

得 る。

 (参考)DRコ

マ ン ド で,Dimension:2と

素 に3a+b+27を

取 り込 ん で,ベ

し て,第1要

素 に2a-b+8,第2要

ク トル[2a-b+8,3a+b+27]を

ン ド を実 行 す る と,上 の 連 立 方程 式 の 解[a=-7,b=-6]を 問8 

(1)

 (2)

(4)

表 示 し,Lコ

マ

得 る。   (3)

 (5)

(7) 問9 

得 る。

こ こ で,2a-b

 (2) 〓

+8を

マンド

  (6)  (8)

(1)

 (2)

 (3)

 (4)

問10 

(1)

 〓同様 に して

(2) 問11 

 (3)

 (4)

〓 に〓

(1)

(2) 

(1)と

れ代 入 して〓

同 様 に し て,

xに〓

を 代 入 し て〓 yに〓

(3)  〓 と同 様 に し て,こ れ ら の 値 を そ れ ぞ れ 代 入 し て,〓

問12 

問11の(2)と

同 様 に し て,次 の結 果 を得 る。〓

をそれ ぞ

第3章  関 問1 

数

(1)

 (2)

問2  略 問3 

(1)

問4 

(1) 

軸x=3,頂

(2) 

軸x=-2,頂

問5 

 (2) 点(3,-4),グ

ラ フ は略

点(-2,7),グ

ラ フは略

(1)  略 (2) x軸

方 向 に 〓,y軸 方 向 に〓

(3)

(4) 問6 

 〓か ら

(1) x=0の

(2) 問 7  (ア)

と き最 大 値2,x=2の

と き最 小 値-10

 〓の とき最小 値〓

,最大 値 はな し

〓の と き,〓

(イ) 〓 (ウ) 〓 (エ) y =M(a)

,〓を え る。〓

の と き,〓 の と き,〓  〓の と き,〓 ,y=m(a)の

グ ラ フ は,解

図3.1と

解 図3.1

な る。

問8 

(ア)  (ウ) 

a＜0,4＜aの

と き2個 

0＜a＜4の

と き1個

と き1個

問 9  (1)x＜-1,2＜x

問10 

(イ) a=0,4の

 (2)

(1)  数 全 体 

(2) 

  (3)

解なし

問11 問12 

共 有 点 のx座

標 は,-x2+2x-1=-2x+m,す

数 解 で あ る 。D'=4-(m+1)と

な わ ちx2-4x+(m+1)=0の

実

す る。

(ア) 

D'＞0,す

な わ ち,m＜3の

と き,共

有 点 は2個

(イ) 

D'=0,す

な わ ち,m=3の

と き,共

有 点 は1個

(ウ) 

D'＜0,す

な わ ち,m＞3の

と き,共

有 点 はな い。

問13  解 表3.1

解 表3.1

問14 

操 作 の 概 略  ① 「対 象 式(新 規)」 を選 び,x2+y2=1を く(新 規)」 を選 び,単 x,yの

表 示 範 囲 を-1.5≦x,y≦1.5程

θ)を入力  ⑤

② 「グ ラ フ を描 時)」 で,

度 に設 定  ④ 「対 象 式(新 規)」で,(cosθ,sin

〓を入 力 

「 対 象 式(追 加)」 で

ニ メ ー シ ョ ン」 を 選 び,「 座 標 表 示 」 をONに XFERキ

入 力 

位 円 を 描 く。  ③ 「座 標 軸 」 の 「倍 率 変 更(x,y同

ー を 押 す 。θ の 変 化 に応 じた2点

⑥ 「ア

す る 。  ⑦ θ の 「値 」 を反 転 さ せ,

の 座 標 が 表 示 され る。2点 のx座 標,y座

標 の 関 係 を 調 べ る。  θ+π の場 合 は,メ に直 す と よ い。

ニ ュ ー 「編 集 」の 「対 象 式 の 編 集 」を選 び,

〓の 部 分 を θ+π

問15 

グ ラ フ は 略 。 基 本 周 期 は,(1) 

問16 

(1) 

13sin(θ+α),た

(2)

だ し,α

(2) 

は〓

 〓か ら,

(4)

(3) 

とな る 角 〓の と き 最 大 値√2と

な る。

〓の とき最 小値-√2 問17 

(1)

 〓か ら,

〓と な る 。 ゆ え に,

〓した

が っ て,〓

(2) 〓

か ら,

(3)

〓と な る 。 ゆ え に,〓

 〓か ら,〓

(4) 〓

か ら,〓

と な る 。 ゆ え に,

〓した が っ て,〓 問18 

合 成 公 式 か ら√k2+1sin(x-α)=2kと

た だ し,α

は

な る 。ゆ え に,

〓とな る 角￨sin(x-α)￨≦1か

① が 解 を もつ に は,

〓と な る 。 ゆ え に,

4k2≦k2+1か

〓…③

 (参考)不

ら,

等 式 ② を み た すkの

範 囲 は,解 図3.2か

〓…① ら方 程 式

…②

ら式 ③ で あ る こ とが わ か る。

解 図3.2

  「関 数 ラ ボ 」 で,y=kcosx-sinx+2k…

④

とな る 。 た だ し,kは〓 が 交 わ る よ う に定 数kを

の 動 的 グ ラ フ を 描 く と,解

図3.3

ずつ 増 加 す る 。 式 ① の 動 的 グ ラ フ とx軸

と

定 めれ ば よい。

解 図3.3

問19 

グ ラ フ は略 。位 置 関 係(1)はy軸 に-2だ

問20 

(1)

問21 

(1)

け平 行 移 動,(4)はy軸  (2)

方 向 に2倍,(2)はy軸 対称

対 称,(3)はx軸

方向

(2) 問22 

グ ラ フ は 略 。位 置 関 係 に つ い て,(1)はx軸

x軸 対 称,(3)直 問23 

線y=xに

方 向 に-1だ

け平 行 移 動,(2)は

関 して 対 称

(1)  真 数 条 件x+1＞0,か

つx-1＞0か

条 件 式 か ら,〓

らx＞1…

① か ら,〓

と な る 。 ゆ え に,〓

こ れ は式 ① を み た す 。  (2) x＞0か

つx+2＞0…

し て(x+3)(x-1)＜0,し 問24 

(1) 

① か らx＞0,与

式 か らx(x+2)＜3,左

辺 を因 数 分 解

た が っ て,0＜x＜1

交 点(-3,-3),(1,1)

 (2)  分 数 関 数 り,交 点 のx座

〓と1次 関 数y=2x+1…

標 は,x=-1,3式

② の グ ラ フ は 解 図3.4と

な

② の グ ラ フが 式 ① の グ ラ フ よ り上 方 に あ る 範 囲

を 求 め れ ば よ い か ら,-1≦x≦2,3≦x

解 図3.4

問25 

解 図3.5 

(1) 

交 点 のx座

標 は,x=3で

あ る。 グ ラ フ か ら求 め るxの

3≦x  (2) 

25-x2≧0か

ゆ え に,x=-3,4

ら-5≦x≦5,ま

た,(x-1)2=25-x2か

ら(x+3)(x-4)=0,

範囲は

解 図3.5

第4章  数

列

問1 

〔 例 題1〕 に お い て,anを

問2 

f(n):=100+(n-1)・(-3)f(30)=13

変更 すれ ば よい。

問3 

ソ ル バ を 使 い,a:=1

d:=1

問4 

〔 例 題4〕 に お い て,初

項 と公 差 を変 更 す れ ば よ い 。

問5 

〔 例 題5〕 に お い て,初 項,公

S10とS11が 問6  問7 

Given

a+4・d=-3

差 を 変 更 し て,nを30に

a+12・d=-19 

す る。a11=0で

Find(a,d)〓

あ る の で,

最 大 とな る。

〔 例 題6〕 に お い て,初

項,公

比 を変 更 す れ ば よ い 。

〔 例 題7〕 に お い て,初 項,公 比 を変 更 す る。ソ ル バ は指 数 の底 が 負 の と き は解 を求 め られ な い 。

問8 

〔 例 題9〕 の 関 数 を使 い,f(2,-0.5,20)-f(2,-0.5,9)と

問9 

〔 例 題9〕 の 関 数 を使 い,ソ ル バ で 初 項 と公 比 を 求 め,そ れ をa,rに を計 算 す る(解 図4.1)。

す る。 代 入 し て,和

解 図4.1

問10 r:=0.03,n=20と 問11 

す る。

解 図4.2

解 図4.2

問12 

(1)〔

例 題12〕(1)の

一 般 項 を 変 更 す る。

 (2)  解 図4.3

解 図4.3

問13 

〔 例 題13〕 と同 様 に 入 力 し,シ

問14 

〔 例 題14〕 のanを

変 更 す れ ば よ い 。(1),(2)は

つ い て は,階 差 の 階 差(第2階 問15 

(1) 

ン ボ ル の 中 の 簡 素 化 を 実 行 す る。

階 差 数 列 が 初 項2,公

階 差 も等 比 数 列 で あ る 。(3)に

差)が 等 比 数 列 で あ る 。 比-2の

等 比 数 列 で あ り,〓

と入 力 し,式 全 体 を選 択 し て 簡 素 化 を 行 う。(2) 

階 差 数 列 の 一 般 項 がk+1で

あ

り,同 時 に 行 う。(3)階

問16 

比-2の

に な っ て い るが,そ べ て0の

様 に し て,〓

あ り,(2)は

階差 が初

等比 数列 で ある。

〔例 題17〕 の 漸 化 式 とa2を

問18 

で あ る の で,同

〔例 題16〕 と同様 に す れ ば よ い 。(1)の 一 般 項 は(n-1)!で 項3,公

問17 

差 数 列 の 一 般 項 が〓

変 更 す れ ば よ い 。こ の 数 列 は 初 項1,公

の 理 由 は,bi=ai+1-2aiと

数 列 で あ り,an+1=2anが

し,数 列{bn}を

比2の

等比 数列

調 べ る と,項 が す

成 立 す る か らで あ る 。

〔 例 題18〕 と 同様 に す る と(1)は2に,(2)は0に

収 束 す るが,ど ち ら も収 束 は遅

い 。

問19 

〔 例 題19〕 の ワ ー ク シ ー トに お い て,x:=0,0.1..6と 更 す る。 今 度 は,2に

問20 

し,初 項,漸 化 式,f(x)を

大 き い ほ うか ら近 づ い て い く こ とが わ か る。

漸 化 式 の 両 辺 か ら1を 引 い て 整 理 す る と,an+1-1=2(an-1)と 列{an-1}が

変

公 比2の

な る。 これ は,数

等 比 数 列 で あ る こ と を 示 し て お り,an-1=(a1-1)・2n-1と

な る。 した が っ て,an=2n-1+1 問21 

〔 例 題21〕(1)に

y =f(x)とy=xと のx座

標 は-√3,3+√3で

き,極 限 値-√3を の と き は,-∞ 問22 

お い て,漸 化 式 を 変 更 す る と収 束 して,極 限 値 は√3で の 交 点 のx座

あ る。

標 は ±√3で あ り,y=f(x)とy=-√3と

あ るの で,グ

の 交点

ラ フ で 考 え れ ば,a1=-√3,3+√3の

も ち,-√3＜a1＜3+√3の

と き,極 限 値√3を

と

もつ 。そ れ 以 外

に 発 散 す る。

〔 例 題22〕 に お い て 漸 化 式 を 変 更 す る と,極 限 値 が√3で

あ る こ とが わ か る 。一 般

で あ る と き,数 列{an}の

に,〓

極 限 値 は√kで

あ

る 。

問23 

シ ン ボ リ ッ ク 計 算 を す れ ば, (1)

 (2)

 (3)

第5章   微分 ・積 分 問1 

(1)〔

例 題1〕 の ワー ク シー トに お い て,f(x)を

=0 y2:=2と

修 正 す る。 誤 差 の 関 係 でi=5か

変 更 し,x1:=-1 x2:=1 y1:

ら値 が お か し くな る が ,近 づ き方 は

〔例 題1〕 と同 程 度 で あ る。  (2) x1:=-1 x2:=3 y1:=-2 y2:=2  を0.01と

a:=1と

し,レ ン ジ変xの

増加 幅

す る。グ ラ フ フ ォ ー マ ッ トの ト レー ス タ イ プ を点 に 変 更 す る と,不 連 続 点

を つ な い で し ま う と い う こ とが な く な る 。x=1で

不 連 続 な の で 極 限 は存 在 し な

い。  (3) x1:=-2 x2:=2 y1:=-2 y2:=2 

a:=-1と

の ト レ ー ス タ イ プ を ド ロ ー に す る 。 こ れ もx=-1で

し,グ

ラフ フォーマ ッ ト

不 連続 なの で極 限 は存 在 しな

い。

問2 

〓と し,x1:=10 x2:=

(1)

200 x:=x1 x1+0.1..x2で 0.5を

グ ラ フ を 描 き,Liとf(Li)の

値 の 表 を 作 る。 極 限 値

もつ こ とが わ か る。

  (2) 

(1)の

ワ ー ク シ ー ト をLi:=-10i x1:=-10 x2:=10と

フ ォ ー マ ッ トの ト レ ー ス タ イ プ を ド ロ ー に し,y軸 極 限 値2を

修 正 し,グ

の 上 端 を10,下

端 を-10と

ラ フ す る。

もつ こ とが わ か る。

問3  関数 ラボで対 象式〓 こ うす る こ とで,pπ

を入 力 し,ア ニ メ ー シ ョ ンでpの

を正 確 に〓

ラ フ表 示 環 境 の 設 定]を 解 図5.1の

値 を 変 化 させ る。

に す る こ とが で き る。 また,[グ よ う に 設 定 し て お く。〓

〓で不 連 続 な グ ラ フ が つ な が り,極 限 値1を

ラ フ]の 中 の[グ と な っ た と き,

もつ こ とが わ か る。

解 図5.1

問4 

P(0,p)と

す る と,p2=t2+(t2-p)2よ

り,〓

で あ り,解

図5.2の

よう に

関 数 ラ ボ に 入 力 し,ア

ニ メ ー シ ョ ン 機 能 でかtを変 化 さ せ る 。tの 増 減 幅 は*1.05

に 設 定 す る と,tが0に

近 づ い た と き に 近 づ き 方 が ゆ っ く り とな りわ か りや す い 。こ

れ に よ り,Pは〓

に 近 づ く こ とが わ か る。 こ の こ と は,頂 点 の 近 くで は 放 物 線

の 曲 線 が 円 とほ ぼ一 致 す る こ と を 示 して い る。この 放 物 線 の 焦 点 は〓

で あ るの

で,半 径rの 球面 で放物 面 を近 似 した と き,そ の焦 点 距離 は〓 とな る こ と が わ か

る 。

解 図5.2

問5 

関 数f(x)=√x+1の

定 義 域 はx〓-1で

あ り,x=-1に

お い て はlim

〓が 存 在 す れ ば 微 分 可 能 で あ る が,〔 例 題4〕 の ワ ー ク シ ー トに お い て,f(x):=√x+1 x:=-1,-0.99..x2

a:=-1と

そ の 結 果 を み る と 発 散 し て し ま う の で,こ

問6 

(1)

修 正 し,g(-hi)は

削 除す る。

こ で微 分 可 能 で な い。

 (2)

(3)

 (注) 

sin2xは,sin(x)2と

入 力 す る。

問7 

2つ の 定 義 式 を 新 規 入 力 す る。原 点 を 右 に ず ら し て グ ラ フ を 見 や す くす る と よ い。

問8 

接 線 の 方 程 式 はy-(p3-ap)=(3p2-a)(x-p),す り,y=x3-axと の と き,囲

連 立 し て接 点 以 外 の 交 点 のx座 ま れ た 部 分 の 面 積 をSと

とな り,こ れ はaと

標 を 求 め る と-2pで

あ

あ る 。p＞0

す る と,

は無 関 係 の 値 で あ る 。p＜0の

問9  接 線 の 方 程 式 はy=bxで の 交 点 のx座

な わ ちy=(3p2-a)x-2p3で

と き も同 じ値 と な る 。

あ り,接 点 は原 点 で あ る。 接 線 と4次 関 数 との 他 の2つ

標 は ±√-aで

を満 た せ ば よ い の で あ る が,積

あ る 。 した が っ て,

分 さ れ る 関 数 が 偶 関 数 で あ る の で,こ

れ は自明 であ

る。 問10 f(x)=x4+ax2+bxと

お く と,y=f(x)の(p,f(p))に

お け る 接 線 の 方 程 式 はy

-

=(4p3+2ap+b)x-3p4-ap2で,こ あ る と き,も

う1つ

れ とy=f(x)と

の 接 点 のx座

標 をqと

の 接 点 以 外 の 共 有 点 も接 点 で

す る と,

x4+ax2+bx-{(4p3+2ap+b)x-3p4-ap2}=(x-p)2(x-q)2 が 恒 等 式 と な る 。 こ の 式 よ り,3p4+ap2=p2q2,-2p-2q=0,し

た が っ て,p＞0と

〓とな り,接 線 の 方 程 式 は,

す る と,

〓と な り,傾

きは 〔 例 題10〕 の 接 線 と等 し い。 問11 x1:=-2 x2:=6 y1:=-4 y2:=2と

問12 

ど ち ら もf(x)を

す る とよい。

変 更 した だ け で は エ ラ ー と な っ て し ま う の で,他

の と ころを次

の よ う に修 正 す る。  (1) x1:=-2 x2:=6 y1:=-20 y2:=60 x:=x1,x1+0.0101..x2と f(x)の

ト レ ー ス タ イ プ を

ド ロ ー に す

y 2:=0.5 x:=0.001,0.1..x2と

問13 

す

し,

る 。(2)x1:=-2 x2:=6 y1:=-0.5

る 。

(1) x1:=-2 x2:=8 y1:=-4 y2:=6 c1:=0と 1.344を

す る と,極

もつ こ とが わ か る。

) 〓 と し な い で,

 (2

2 x2:=2 y1:=-2 y2:=2と

〓とす る と表 示 が お か し くな る。x1:= し,レ

ン ジ 変 数 の 増 加 幅 を0.01と

ト レ ー ス タ イ プ を ド ロ ー に す る 。こ の 関 数 はf'(x)=0と root関

数 の 部 分 は 削 除 す る 。 グ ラ フ よ り,極

 (3) x1:=0 x2:=2・ る 。 極 大 値f(0.786)=0.322が

問14 

大 値f(3)=

解 図5.3の

小 値f(0)=0を

π y1:=-2 y2:=2 

c1:=1と

な るxは

す る 。g(x)の 存 在 し な い の で,

も つ こ とが わ か る。 し,c2の

部 分 は 削 除 す

わ か る。

よ う な ワ ー ク シ ー トを作 成 す る。

解 図5.3

問15 

(1) x1:=-2 x2:=2 y1:=-3 y2:=1と

し,レ

ン ジ 変 数 の 増 減 幅 を0.01

と す る 。 極 小 値f(0.75)=-2.105,変  (2) 

極 小 値f(-1)=-0.5,極

曲 点(0,-2),(0.5,-2.063) 大 値f(1)=0.5,変

曲 点(-1.732,-0.433),(0,0),

(1.732,0.433)   (3) x1:=0 x2:=2・ 0.433,変 問16  問17 

(1) a:=0 x1:=-1.5 x2:=1.5と

解 図5.4の

す る 。(2)不

a:=0 x1:=0 x2:=2と

よ う に 操 作 す る 。 最 初 の 置 換 はx=ln(t),あ

解 図5.4

(1) 

0.097 

(2) 

24 

(3)〓

問20  省 略 問21  解 図5.5

解 図5.5

問22 x1:=1 x2:=3と

し,xn+1:=x2〓

とす る。Tも 問23 α:=-2と

す る 。 面 積 は6.397と

連続 点が あ るの で うま く

す る。

る。

問19 

小 値f(2.618)=

省 略

い か な い 。(3)  問18 

π と す る 。 極 大 値f(0.523)=1.128,極

曲 点(1.571,0.785),(4.713,2.357)

同 様 に修 正 す る。 な る。

と の 置 換 はt=exで

あ

問24 

〔 例 題27〕 の 関 数 を変 更 し,グ ラ フの サ イ ズ を 変 更 す る 。a=1と は1.178と

問25 

(1)〔

した ときの面 積

な る。 こ の グ ラ フ は ア ス テ ロ イ ド と い わ れ て い る。 例 題28〕 は花 弁 が 接 して い る直 線 を 表 示 し て あ る の で,そ

の 部 分 を削 除

し,

〓と入 力 す る と,面 積 は4.712と

な る。 この 曲線 は カ ー ジ オ イ ド

と い わ れ て い る。  (2) 

問26 

(1)に

(1)は を0と

お い て,r(θ)を

変 更 し て,面

放 物 面 で あ り,(2)は

積 は1.571と

な る。

楕 円 面 の上 半 分 で あ る 。Mathcadの

み な して し ま うの で,(2),(3),(4)の

プ ロ ッ トは虚 部

根 号 の 中 が 負 に な る とき はzが0

と な っ て し ま う。 問27 

図5.37の3行

目 を解 図5.6の

な り,図5.37の2,3行

よ う に変 更 す る と,底 面 がxy平

目 を 解 図5.7の

面 に あ る円柱 と

よ う に 変 更 す る と横 倒 しに し た 円 柱 の 上 半

分 が 表 示 され る。

解 図5.6

問28  問29 

f(x):=2-2・√x2+y2と (1)〔

解 図5.7

変 更 す れ ば よ い 。 体 積 は2.095と

なる。

例 題33〕 の 関 数 部 分 を 変 更 す れ ば よ い 。 体 積 は63.76と

(2) x1:=0 x2:=π

 α:=0 

β:=3と

し,関

な る。

数 部 分 を 変 更 す る 。 体 積 は5.528

と な る。

問30 

(1)〔

例 題34〕 の 関 数 部 分 を 変 更 し,グ

と した 曲 線 の 長 さ は5.966と

ラ フ の 大 き さ を 調 整 す れ ば よ い 。a=1

な る。

 (2) x1:=-2 x2:=2 x:=x1, x1+0.01..x2

〓と入 力 す る と,曲 線 の 長 さ7.254が

求

まる。

問31 

〔 例 題35〕 の 関 数 を変 更 す る と,グ ラ フ の 目盛 も 自動 的 に 変 わ り,同 じ よ う な 図 が 現 れ る。

問32 

〔例 題36〕 1次

に お い て 関 数 を 変 更 し,x2:=1.5 y2:=1 a:=π/６ 

の 近 似 が0.673,2次

の 近 似 が0.663と

問33

h:=0.2と

す れ ば,

な る。

 〓で あ る の で,こ れ ら の 関 数 を 〔 例 題37〕 に使 っ て近 似 値 を計 算 す る と π の 近 似 値 が 求 ま る 。2番 の 値 に 近 い 。m=2の

と きの 近 似 値 は,順

目 の 関 数 の ほ うが 近 似 値 が π

に3.08356,3.14157で

あ る。

(2)  練 習問題 の解答 第2章  数 と式 1. 2. 3.  (1)

 (2)

(3)

 (4)

(2.4節

の

〔例 題8〕,問8,〔

例 題9〕,問9参

照)

4. 5. 

(1)

6. -3(与

 (2)

式 のaに-b-cを

7. 1(与 式 のxに1/(yz)を 8.  a=-22,b=-15(〔

代 入 す る) 代 入 す る) 例 題7〕,問7②

参 照)

 ②

9.  ①

10.

第3章  関 1.  (1)  4a+1,ゆ

数

求 め る2次 え にa=1と

 (2) y=a(x+2)2+qと +qと

関 数 は,y=a(x-2)2+1と

お け る 。 こ れ が 点(0,5)を

通 る か ら5=

な る 。 し た が っ て,y=(x-2)2+1=x2-4x+5 お け る 。 点(1,-6),(-1,2)を

な る 。 こ れ ら か ら,a=-1,q=3と

通 る か ら-6=9a+q,2=a

な る 。 し た が っ て,y=-(x+2)2+3=-x2

-4x-1

2. y=ax2+bx+cに

お い て,aは

凸 の 状 態,bは

x軸 との 共 有 点 の 有 無,a+b+cはx=1の ①,②

の場 合 の 符 号 は 次 の よ うに な る 。

  ① の と き,a＞0,b＜0,c＜0,b2-4ac＞0,a+b+c＜0   ② の と き,a＜0,b＞0,c＜0,b2-4ac=0,a+b+c=0

軸 の 位 置,cはy軸

と き のy軸

交 点,b2-4acは

交 点 を そ れ ぞ れ 示 す こ とか ら

3

. 〓か ら頂 点Pの

座 標 は,〓

で あ る。「関 数 ラ ボ」で

は[数 式 入 力 ／対 象 式]を 選 び,放 物 線 の 式 「y=ax2+bx+c」 を入 力 し,[グ

ラ フ／ア ニ メ ー シ ョ ン]で 解 図3-1の

と頂 点〓

よ う な動 的 グ ラ フ 表 示 が で き る 。

解 図3.1

 〓 とお き,pを 頂 点(-1,1)。

軸x=-1で,上

4. y=￨x2-3x-4￨の

に凸 の 放 物 線 と な る。

グ ラ フ は 解 図3-2と

と き,x2-4x+k-4=0の な 直 線 で あ り,解 図3-2か

〓か ら

消去すると

な る。y=-(x2-3x-4)とy=x+kが

重 解 条 件2-(k-4)=0か

らk=6,y=x+kはy=xに

ら3個 以 上 の 実 数 解 を も つ の は1≦k≦6

解 図3.2

接する 平行

5.  mx2-2x+m=0に  ① 

2点

お い て,D=1-m2と で 交 わ る に は,D＞0。

ゆ え に,1-m2＞0か

 ② 

接 す る に は,D=0。

 ③ 

交 わ ら な い た め に はD＜0。

6. y2=1-x2≧0か

ら-1＜m＜1

ゆ え に,m=±1 ゆ え に,m＜-1,1＜m

ら-1≦x≦1。F(x)=2x+y2=2x+(1-x2)と

F(x)=-(x-1)2+2か -2を

す る。

ら,x=1,y=0の

す る。

と き 最 大 値2,x=-1,y=0の

と き最 小 値

と る。

7. x2≦ax+3か

らx2-ax-3≦0

f(x)=x2-ax-3と y =f(x)の f(1)≦0。

す る と,問 グ ラ フ が0＜x＜1で,常

ゆ え に1-a-3≦0で

題 の 条 件 が 成 り立 つ に は,解 にx軸

図3.3の

よ う に,

の 下 方 に あ れ ば よ い 。f(0)=-3＜0か

ら

あ れ ば よ い 。 し た が っ て,a≧-2

解 図3.3

8.  「関 数 ラ ボ 」で は,y=x2-2x+4の グ ラ フ を 描 い て,x=t,x=t+1の 義 式]で 「x

「f(x)=x2-2x+4」

=t｣「x=t+1」

グ ラ フ を予 め 描 い て お き,区 間[t,t+1]の

を 入 力 し,〔 対 象 式 〕で 「(t,f(t))」 「(t+1,f(t+1),」

を 入 力 し て[ア ニ メ ー シ ョ ン]を 実 行 す る と よ い 。

 tの 値 に よ っ て 次 の よ う に 場 合 分 け さ れ,最 図3.4と

な る。

動的

値 を比 較 しな が ら調 べ て い け ば よ い 。そ の た め,[定

大 値M(t),最

小 値m(t)の

グ ラ フ は解

解 図3.4

 ① 

t≦0の

と き,最

大 値 はf(t)=t2-2t+4,最

② 0＜t＜1/2の

と き,最

大 値 はf(t)=t2-2t+4,最

③ 1/2＜t≦1の

と き,最

大 値 はf(t+1)=t2+3,最

 ④  1＜tの

と き,最

 以 上 の こ と か ら,最

大 値 はf(t+1)=t2+3,最 大値y=M(t),最

小 値 はf(1)=3 

小 値 はf(1)=3 小 値 はf(t)=t2-2t+4

小 値y=m(t)の

解 図3.5

9.  (2)は 加 法 定 理 か ら,次

小 値 はf(t+1)=t2+3 

の よ う に 合 成 で き る。

グ ラ フ は 解 図3.5と

なる

 (1),(2)の

グ ラ フ は 解 図3.6(a),(b)と

な る。

(b)

(a) 解 図3.6

 基 本 周 期 は,(1)が

π,(2)が2π

 最 大 値 は,(1)が2,(2)が1  最 小 値 は,(1)が-2,(2)が-1 10. 

か ら,〓

(1) 〓

か ら〓 か ら,〓

(2) 〓

し た が っ て,〓 11.  グ ラ フ は 解 図3.7と 5,(3)は

な る 。(1)はx=0の

最 大 値 も最 小 値 も な い 。

と き 最 小 値1,(2)はx=0の

と き最 大 値

 

(a)

(b)

(c) 解 図3.7

12. 

(1) 〓

か ら,〓

(2) 〓

か ら,〓

(3) 〓

と す る と,〓

(t-4)(t-5)＞0か は5＜2xか

と な る 。 ゆ え に,〓

ら,log25＜x

ら,t＜4,5＜tと

と な る 。 ゆ え に,〓

か ら,〓 な る 。 す な わ ち,2x＜4か

らx＜2と

な る 。 また

(4)

 3+x＞0か

つ1-x＞0か

ら,-3＜x＜1…

①

〓ゆ え に,

ま た,

〓す な わ ち, 式 ①,②

〓ゆ え に,〓

か ら-1＜x＜1

13. x(2n-x)=-x2+2×2n-1x=-(x-2n-1)2+(2n-1)2と

数yが

最 大 値 を も つ た め に は軸x=2n-1が1＜x＜3に

1＜2n-1＜3か

らn-1=1。

と き 最 大 値log24=2を

ゆ え に,n=2。

「y=f2(x)」

y =log2x(2n-x)の

ある。

こ の と きy=log2(4x-x2)か

「y=f3(x)」

「fn(x)=log2x(2n-x)」 「y=f4(x)」,…

グ ラ フ がn=1,2,3,4,…

描 く こ と が で き,問

関

ら,x=2の

と る。

  「関 数 ラ ボ 」 で は[定 義 式]で f1(x)」

変 形 で き る か ら,1＜x＜3で

を 入 力 し,[対

な ど と 入 力 し,[グ

象 式]で

ラ フ]を

の そ れ ぞ れ の 場 合 に,解

「y=

実 行 す る と,

図3.8の

よ うに

題 の考察 が で きる。

解 図3.8

14.  解 図3.9か

ら示 され る よ う に,y=mx+1は

〓と接 す る と きのmの

〓の 重解 条件 から

点(0,1)を

値は

〓と な る。 し た が っ て,共

通 る傾 きmの

直 線 で あ る。

〓,す な わ ち, 有 点 を も た な いmの

値 の範 囲 は

解 図3.9

15.  (1)  ① と② の グ ラ フ が 接 す る の は〓 2m2x2+(8m-1)x+2=0が

,す な わ ち,2次

方程式

重 解 を も て ば よ い 。 ゆ え に,(8m-1)2-16m2=0か

ら

は不適 だか ら〓   (2)  ② の グ ラ フ は 点(0,2)を

通 る直 線 で あ る。 ② が ① 上 の 点(-6,0)を

通 る と きの

mの値 は〓  求 め る解 の 個 数 は① と② の グ ラ フの 交 点 の 個 数 で あ る。 した が っ て,解 ら交 点 の 個 数 はmの

値 に よ って 次 の よ う に 場 合 分 け で き る。

解 図3.10

図3.10か

〓の と き2個,

(ア)

〓の と き1個

 ( イ)

〓の とき0個

(ウ)

第4章  数

列

1. n:=1..10と

〓とmod(n,2)の

し,

3,4と1,0,1,0,1,0,1,0,1,0と

な

値 を 表 示 さ せ る と,順

り,こ

れ を 組

に1,1,1,2,2,2,3,3,

〓が求 め

み 合 わ せ た

る一 般 項 で あ る。 2.  2つ の 数 列 は ど ち ら も等 差 数 列 で 公 差 は3と7で も等 差 数 列 とな り,3と7の 3・n-1と7・n-4の

3. 第n項

通 の項 を並 べた 数列

あ り,確 か に公 差 は21に

し,

あ り,こ れ が 初 項 と な

な っ て い る。 これ よ り,一 般 項

あ る。

をnで

割 った数 列

〓は1,2,22,23,…

す な わ ち,〓

4. 解 図4.1の

と な り,公

比2の

等 比 数 列 で あ る の〓

で あ る｡こ の 漸 化 式 を使 っ て,〔 例 題

8〕 の よ う に和 を計 算 す る と9217で

はx≠1と

あ る の で,共

そ の 数 列 の 公 差 で あ る。n:=1..20と

値 を 調 べ る と,初 め に 一 致 す る の が17で

る。 次 に 一 致 す る の は38で は21n-4で

最 小 公 倍 数21が

あ る。

よ う に,ま ず シ ン ボ リ ック 計 算 で 和 を計 算 す る。シ ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッ サ して 計 算 す る の で,そ

の 結 果 を複 写 して お き,2行

目 のif関 数 に 貼 り付 け

る。

解 図4.1

5.  (1)    (2) 

N:=20とr:=0.05を (1)に

入 力 し,1000・(1+r)N=2653.298を

引 き 続 き,n:=1..NとA:=100を

付 け 加 え る と,A=80.243と

求 まる。

入 力 し,解

得 る。 図4.2の

ソル ブロ ック を

解 図4.2

6. 〔例 題16〕(3)と

同 じ よ う に入 力 し,第2階

等 比 数 列 で あ る の で,第1階 行 目 で 求 ま り,数 列{an}の

差 を 調 べ る 。第2階

差 は初 項7,公

比3の

差 の 一 般 項 が シ ン ボ リ ッ ク 計 算 を使 っ て,解 図4.3の1 一 般 項 が2行

目 で 求 ま る。i=1,n=1と

した と き,順 に3,

1と 一 致 す る こ と を確 認 しな い と い け な い。

解 図4.3

7.  〔例 題20〕

の ワ ー ク シ ー ト を 修 正 す る 。x2:=10と

rの 成 分 を 順 に-1,1,-1,1と

し,f(x)も

で あ るが,〓

〓と お

あ

る。分 母 を0と す る と きanが

8.  An(xn,yn)と

の と き,0に

の 交 点 は〓

収 束 し,〓

の と き,

の と きは,ほ とん どの 場 合 が0に

と な る 場 合 は,an+1が

く と,bn+1=2bn+3で

す る。

変 更 す る 。y=f(x)とy=xと

で あ り,グ ラ フ よ り〓 〓に 収 束 す る こ とが わ か る 。〓

し,x:=x1,x1+0.01..x2と

収 束 す るの

存 在 し な い の で極 限 を考 え られ な い 。

り,bn=b1・2n-1よ

り,〓であ

存 在 せ ず,そ の と き,〓

す る と,A'n(yn,xn)で

で あ り,〓

あ り,〓

し た が っ て,〓

で あ る 。こ れ に よ り,

連 立 の 漸 化 式 が で て く る が,普 列 ベ ク トル を 使 い,2つ x軸 の 式 をxnと

通 に2つ

の 式 を 並 べ た の で は エ ラ ー とな っ て し ま う。

の 式 を同 時 に取 り扱 わ な い とい け な い 。y軸 の 式 をynと

し て,ト

レー ス を解 図4.5の

よ う に 設 定 す る と解 図4.4の

し,

グ ラフ と

な る。

解 図4.4

解 図4.5

第5章  微 分 ・積 分 1. 初 め の2つ

は,〔 例 題1〕,問2の とす る と,小 数 第14位 と す る と,e17が

2. 関 数 ラ ボ に お い て,対

方 法 で 極 限 を調 べ る 。誤 差 を減 らす た め に 順 に〓 まで 正 し い 値 とな る 。3番 目 の 方 法 は〓 小 数 第14位

ま で 正 し い 値 とな る 。

象 式(cosθ,0)-(0,sinθ)を

シ ョ ン を 実 行 す る と,線 分PQの

新 規 入 力 し,残 像onで

通 る 領 域 が 図 示 さ れ る 。ア ス テ ロ イ ド上 の 点Rに

け る接 線 の方 程式 は,〓 +ycosθ=sinθcosθ

で あ り,整

で あ る 。 これ とx軸,y軸

で 対 象 式(cos3θ,sin3θ)を 追 加 し,残 像off,点 る と,ア

ス テ ロ イ ドの接 線 が 線 分PQで

3. 関 数y=x2のA,Bに で あ り,2法

お け る2つ

アニ メー

理 す る と,xsinθ

との 交 点 はP,Qで の 軌 跡onで

お

あ る。関 数 ラ ボ

ア ニ メ ー シ ョン を実 行 す

あ る こ とが 確 認 で き る。

の 法 線 の 方 程 式 は〓

線 の 交 点 の 座 標 を計 算 す る と,〓

で あ る。

 y=x2,こ

の2直 線,交

点 を関 数 ラ ボ の 対 象 式 と し て 入 力 し,b=a+hを

し て 入 力 す る 。ア ニ メ ー シ ョ ン を 実 行 す る と,パ ラ メ ー タがa,hと

定 義式 と

な るの で,hを

限

りな く0に 近 づ け る(増 減 幅 は*1.05)と で あ る 。 さ ら に,aを

点Pの

近 づ く点 が わ か る。 そ の 点 の 座 標 は〓

変 化 さ せ て い く と,近 づ い た 点 の 軌 跡 が わ か か らaを

る。 そ の 軌 跡 の 方 程 式 は,〓

消 去 す れ ば よ い の で,

〓で あ る 。

で あ る。 関 数 ラ ボ でaを

4.  こ の 関 数 を微 分 す る と〓 が ど う変 わ るか を 調 べ る と,a＞0の

と き,最 小 値f(-1),最

の と き,最 大 値f(-1),最

あ る 。次 にMathcadで,〓

と お き,推

定 値 をa:=1,b:=1と

a=0.4,b=1.2と a)=bを

小 値f(1)で

な り,適

し,f(-1,a)=2a,f(1, 

大 値f(1)で

a)=bを

す る 。 推 定 値 をa:=-1,b:=1と

ソ ル バ で 求 め る と,a=b=0.667と

な り,不

 〓 と お き,〓

5.

変 化 させ て グ ラ フ あ り,a＜0

ソ ル バ で 求 め る と,

し,f(1,a)=2a,f(-1, 適 で ある。 と す る と,0.36が

求 め られ

る 。

6. y=x4-ax2は

偶 関 数 な の で,y=kと

つ の グ ラ フ の4つ

で 囲 まれ た 部 分 はy軸

の 交 点 の う ち,左 か ら2番

す る と,∫αβ(f(x)-k)dx=0で

目のx座

あ る。Mathcadを

標 を α,一番 右 のx座

使 い,例 え ばa=4と

の グ ラ フ を か き,α,β,kの 推 定 値 を 使 い,解 図5.1の  

に 関 して 対 祢 で あ り,2 標 を β と

し て,y=f(x)

よ う に ソル バ を使 ってkを

求め

る。

解 図5.1

7.  曲線 と直 線 の 式 の 右 辺 をf(x),g(x)と 同様 に,左 か ら2番

目 と4番

お き,a,bを

目 の 交 点 のx座

適 当 に定 め て グ ラ フ を か き,6.と

標 を α,β と し,こ れ ら をroot関

数 で求

め,∫αβ{f(x)-g(x)}dx=0を

示す。 次 に 〔 例 題10,11〕

で 関数 ラ ボで調べ た よ うにグ

ラ フ を 変 化 させ て み る。 8. 

〓 がx〓1で

(1)

成 り立 つ よ う に す れ ば よ い の で,〓

を考 え た ほ うが わ か りや す い 。こ の 左 辺 をg(x)と

〓で あ る こ と が わ か る。 した が っ て,

〓で,

(2) 求

ま る 。 実 はk→

9.  接 線 の 方 程 式 がxcosθ+ysinθ=1,こ (X,Y)と

∞

の

と き,

れ に 垂 直 な 傾 き はtanθ

す る と,順

点,交

点 と(-1,0)と

〓な の で あ る。 で あ る の で,交

10.  〔例 題31〕

を結 ん だ 線 分 を対 象 式 と して 入 力 し,ア ニ メ ー シ ョ ン

π と し,関 数 を変 更 す る と 曲 線 の 長 さ を 求 め る と8で

のf(x,y)を

使 わ な い で,以 降 のg(x,y)は 積 は0.603と (1)

(2)

点 を

あ る。関 数 ラ ボ で,円,

を実 行 す る と曲 線 の 軌 跡 が 調 べ られ る。 また,〔 例 題34〕 のMathcadの に お い て,θ2:=2・

11. 

に

お く と,

これ ら を 解 い て,交 点 は(cos2θ+cosθ-1,cosθ(1+cosθ))で 接 線,交

〓で あ る 。

 〓と し,V50,V100,V120と

0.992,1,1.001と

 

お き,グ ラ フ を か く と,

な る。

ワーク シー ト あ る。

〓と変 更 し,g(x,y)は す べ てf(x,y)と

置 き換 え る。少 し 時 間 は か か るが,体

索

引 公 差 

あ 行 ア ニ メ ー シ ョ ン 

117

公比 9

 121

弧 度 法 

79

コ マ ン ド  1次 関 数 

53

1次 の 近 似 式 

24

コマ ン ドメニ ュー

 23

172

一 般 角 

78

一 般 項 

116

因 数 分 解 

さ 行

43 サ イ ク ロ イ ド 

サ イ ク ロ イ ド曲 線 か  行

162   10

三 角 関 数 

79

三 角 方 程 式 

93

指 数 関 数 

97

階 差 

126

階 差 数 列 

126

階 層 構 造 

24

指 数 不 等 式 

99

確 率 密 度 関 数 

11

指 数 方 程 式 

99

加 法 定 理 

90

始 線 

78

関 数 

51

自 然 対 数 

30

重 解 

68

基 本 周 期 

85

周 期 

85

逆 関 数 

104

周 期 関 数 

極 限 

138

収 束 

138

極 限 値 

130

収 束 す る 

130

曲 線 の 長 さ 

170

従 属 変 数 

51

記 録 エ リ ア 

3

初 期 画 面 

1

区 分 求 積 法 

159

真 数 

グ ラ フ エ リア 

3

シ ン プ ソ ン の 公 式  シ ンボ リック計算

85

100 173,174   12

シ ン ボ リ ッ ク プ ロ セ ッ サ 

20

数 式 ブ ロ ッ ク 

3

数 式 ブ ロ ッ ク の 要 素 

置 換 積 分 

155

頂 点 

56

直 線 の 方 程 式 

53

3

数 列 

116

定 義 域 

51

正 弦 

79

定 積 分 

156

整 式 定 義 

37

展 開 計 算 

整 式 の 除 法 

40

正 接 

79

導 関 数 

整 式 の 乗 法 

38

動 径 

正 の 向 き の 回 転 

底 

100

38

143 78

78

等 差 数 列 

117

正 葉 曲 線 

163

等 比 数 列 

121

積 分 の 平 均 値 の 定 理 

171

独 立 変 数 

51

接 線 の 方 程 式 

146

接 点 

68

漸 化 式 

128

素 因 数 分 解 

43

双 曲 線  ソ ル バ  ソ ル ブ ロ ッ ク 

な  行 2次 関 数 

107

2次 の 近 似 式 

118

2次 不 等 式 

118,153

56 172 70

2次 方 程 式 

67

ニ ュ ー トン法 

136

た 行 は 行 台 形 公 式  対 数 

173 媒 介 変 数 表 示 

162

対 数 関 数 

102

発 散 

130

対 数 不 等 式 

104

判 別 式 

対 数 方 程 式 

104

値 域 

30,100

51

69

左 側 極 限 

139

微 分 係 数 

142

面 プ ロ ッ ト 

フ ィ ボ ナ ッチ 数 列 

130

複 利 法 

123

不 定 積 分 

153

不 等 式 の 解 

55

負 の 向 き の 回 転 

78

プ ル ダ ウ ン メ ニ ュー 

や   行 有 理 関 数 

106

1

分 数 関 数 

106

分 数 不 等 式 

109

分 数 方 程 式 

109

分 母 の 有 理 化 

164

余 弦 

79

45 ら  行

平 均 値 の 定 理 

148

平 行 移 動 

58

平 方 根 の 計 算 

45

変 曲 点 

ラ ジ ア ン 

79

リ バ ー ス 

24

レ ン ジ 変 数 

15

152

放 物 線 

56

放 物 線 の 軸 

56 英 字 A uthor

expression 

・記 号 36

ま  行 Declare Function 

37

Declare Matrix 

32

Declare

31

右 側 極 限 

139

無 限 級 数 

136

無 限 数 列 

130

E xpand 

38

無 理 関 数 

110

Factor 

43

無 理 不 等 式 

113

Mathcad 

13

無 理 方 程 式 

113

soLve 

42

TAB 

33

WINDOW 

23

メ イ ン メ ニ ュー  メ ッセ ー ジ ラ イ ン 

1 23

DERIVE 

vectoR 

22



片桐 重 延 学

歴

職

歴   日本私学教育研究所研究員  理学博士

 東 京 教 育大 学 理 学 部 卒業(1953)

飯 田 健 三 学

歴

 埼 玉 大学 理 工 学部 数学 科 卒 業(1976)

職 歴 

東京都立富士高等学校教諭

佐 藤公 作 学

歴

 山 形 大学 理 学 部 卒業(1971)  東 京 学芸 大 学 大学 院 教 育学 研 究 科(修 士 課 程)修 了(1975)

職 歴

高橋

 東京都立代々木高等学校定時制教頭

公

学

歴

  東京 教 育 大 学理 学 部 数 学科 卒 業(1956)

職

歴

 私立桐朋女子中 ・高等学校講師

新 ・数 学 と コ ン ピ ュ ー タ シ リ ー ズ   8

数学 ソフ トによる  数式 処理 と関数 1995年9月10日

第1版1刷

発行

著

者 片 桐 重 延  飯 田 健 三  佐 藤 公 作  高 橋   公 発行者 学校法人  東 京 電 機 大 学 代 表 者 廣 川 利 男 発行所 東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101

東京都千代田区神田錦町2‐2 振 替 口座00160‐5‐71715 電 話(03)5280‐3433(営 (03)5280‐3422(編

印刷 三美印刷㈱ 製本 ㈱徳住製本所 装丁 高橋壮一

〓

Katagiri

Shigenobu

Iida Kenzo Sato Kohsaku Takahashi Ko Printed in Japan

*無 断 で転 載 す る こ と を禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁本 は お取 替 え い た し ます。 ISBN

4‐501‐52330‐1 C3355

R

1995

業) 集)

情報科学図書 情報科学セミナー 情報 科学 の基礎

情報 科学 セ ミナ ー

足 立 暁生 著 A5判  184頁

古東 馨 著 A5判  226頁

境界領域 でコン ピュータ を うま く利用 するた めの科 学で ある情報科 学について,数 学 的基礎 を与 える大 学専門学科 向けの教科書 であ り,理 論 計算機 科学の 入門書 である。

計算機 言語 の学 習 の ため の プ ロ グ ラ ミン グ を終 え,プ ロ グ ラ ミン グ 自身 を学 ぶ 入 門 書 。 デ ー タの 検 索,整 列 の 計 算 方 法 を題 材 に,ア ル ゴ リズ ム とデ ー タ の表 現方 法 を 中 心 に して,Pascalを 基 に解 説 し た。

情報科学セミナー ス イ ッ チ ン グ理 論 と応 用

情報科学セミナー 数理科 学概論

足 立 暁生 著 A5判  200頁 ブール代 数の基礎 とその応用 分野を扱 う大学 専門学 科 向けの教科書で ある。例,例 題,問 題 によ り込 み 入 った理論,技 法 も理解 しや すい よ うに配慮 した。 特 に計算機科学へ の橋渡 しを意識 して編集 した。

桜井  明 著 A5判  186頁 自然 現象や社会現象 を数 式化 して研 究する学問であ る数 理科学の全体像 を初 めて明 らかにする。 基礎 と 手法,さ らに実際例 として物理,統 計,心 理,経 済, 社会科学,言 語,芸 術 と広範 な分野について言及。

情報科学セ ミナー

パ ソコンに よるス プライ ン関数

公開鍵 暗号 系

デ ー タ解 析 ／CG／

ア ル ト ・サ ロマー 著  足 立 暁生 訳 A5判  354頁

桜 井 明 監修   吉村 和 美 ／ 高 山文雄 共 著 A5判  236頁 CG,CAD,デ ー タの解析 などの多方面 にわ たる応 用で話題の スプ ライン関数 をパ ソコンの上で実現 し, デー タや曲線 を自由自在 に操れ る強力な機 能 を持 っ たプ ログ ラム とともに解説 した。

Pascalに

ネ ッ トワー クの普及に よ り,デ ー タ保護 の重要性 が 問われ てお り,欧 米 では,極 めて安全 で有効な公開 鍵暗号 の標準 化が進 め られて いる。本 書は,暗 号研 究の成果 を盛 り込んだ最新の 内容 である。

よ る デー タ 構 造

微 分 方程 式

情報科学セ ミナー ア ル ゴ リズ ム 論

ニ ュ ー ラ ル コ ン ピ ュ ー タ

理 論 と実 際

合原 一 幸 著 A5判  236頁

脳 と神 経 に学 ぶ

G.ブ ラ ッサ ール／P.ブ ラ ッ トレー 共著 足立暁生 訳 A5判  434頁 広 い範 囲の様 々な問題 を取 り上げ,そ れぞれ に対 し アル ゴリズムの基 礎的 な考察や応用の意味 を記述。

情報科学セ ミナー オ ブ ジ ェ ク ト指 向 シ ス テ ム 分 析 3つ の モ デ ル に基 づ くア プ ロー チ デ ビッ トW.エ A5判  370頁

ンブ レイ他 共 著  畠 山正行 監訳

オブ ジェク ト指 向の対象 を,プ ログラム開発の静的 な分野に と どめず,よ り広大 な世界 のモデ リン グと 記述法 とと らえ,シ ステ ム全体の分析 に用いた。

*定 価,図

人工知 能研 究 の行 き詰 ま りを打破 したニ ュー ラル (ニュー ロ)コ ン ピュー タについて,最 初に 日本 に紹 介 し,今 日に至 るまで,こ れ 以上の入門書はな いと いわれ るロングセ ラー。 ニ ュ ー ラ ル シ ス テ ム に お け る カ オ ス 合原 一幸 編 著 A5判  378頁 カオ ス工学を リー ドす る国内外16名 の研究者が,最 先端の研 究を盛 り込んで 「 脳 」,す なわ ちニ ュー ラ ル システムとカオスの関係 を理論 ・実験の 両面 から 解説 した。

書 目録 の お 問 い 合 わ せ ・ご要 望 は 出版 局 ま で お 願 い 致 します. 

D‐52