Алгебра и логика, 43, N 3 (2004), 291—320
УДК 510.5
О Σ-ПОДМНОЖЕСТВАХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ∗) А. С. МОРОЗОВ, В. Г. ПУЗАРЕН...
38 downloads
163 Views
330KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 43, N 3 (2004), 291—320
УДК 510.5
О Σ-ПОДМНОЖЕСТВАХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ∗) А. С. МОРОЗОВ, В. Г. ПУЗАРЕНКО Введение Результаты §§ 1, 4 об описании всех возможных классов Σ-подмножеств натуральных чисел и примеры допустимых множеств без универсальной функции были получены авторами независимо и одновременно, но с помощью разных конструкций. В работе приводится более краткое доказательство, предложенное А. С. Морозовым. Результаты § 2 получены А. С. Морозовым. Результаты §§ 3—5 о семантическом описании моделей с заданным идеалом и описании вычислимых семейств получены В. Г. Пузаренко, им же предложено определение класса KI . Вся необходимая информация о допустимых множествах содержится в [1, 2], основные сведения по классической теории вычислимости — в [3]. Проблемы Σ-определимости подмножеств множеств конечных ординалов ω в допустимых множествах изучались и ранее [4, 5], однако до этого исследовались взаимосвязи T -сводимости с Σ-определимостью. Было показано, что семейство ∆-подмножеств ω в допустимом множестве замкнуто относительно T -сводимости и операции ⊕ сочленения. Для каждого T -идеала I были построены примеры, в которых семейство T -степеней ∗)
Работа выполнена при финансовой поддержке Немецкого Исследовательского Со-
общества (DFG) и Российского фонда фундаментальных исследований, грант DFG– РФФИ N 01-01-04003. Кроме того, первый автор поддержан РФФИ, проект N 02-0100593, и ИНТАС, проект 00-499; второй автор поддержан РФФИ, проект N 02-01-00540, и Советом по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проекты НШ-2069.2003.1, МК-2452.2003.01.
c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005
292
А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко
образует идеал I. Однако далеко не всегда по идеалу T -степеней ∆подмножеств можно однозначно восстановить семейство Σ-подмножеств. Впервые соотношения между e-сводимостью и семейством Σ-подмножеств ω в допустимых множествах были обнаружены в [6]. Данная работа ограничивается рассмотрением наследственно конечных надстроек над моделями конечных сигнатур. Напомним некоторые из обозначений. Через Wn обозначается n-е вычислимо перечислимое множество, через Dn — n-е конечное множество, k P 2ai определяемое следующим образом: Dn = {a1 < . . . < ak }, если n = i=1
(в частности, D0 = ∅). Заметим, что отношение x ∈ Dm вычислимо. ∼
Запись f : X → Y служит сокращением для выражения ”f является взаимно однозначным отображением X на Y “. Под сводимостью по перечислимости (кратко, e-сводимостью), как обычно, понимается сводимость на множествах натуральных чисел, обозначаемая 6e и определяемая с помощью условия A 6e B ⇔ ∃n∀t (t ∈ A ⇔ ∃m (ht, mi ∈ Wn & Dm ⊆ B)). Определив операторы перечисления Φn как Φn (S) = {x | ∃m (hx, mi ∈ Wn & Dm ⊆ S)}, получим другое определение e-сводимости: A 6e B ⇔ ∃n(Φn (B) = A). В этом случае будем говорить, что множество Wn задает оператор Φn . Отметим, что операторы Φn характеризуются такими свойствами, как монотонность: A ⊆ B ⇒ Φn (A) ⊆ Φn (B); непрерывность: x ∈ Φn (A) ⇒ ∃X ⊆ A (card (X) < ω & x ∈ Φn (X)). Как обычно, примем A ⊕ B = {2x | x ∈ A} ∪ {2x + 1 | x ∈ B}. Последовательность {Θn }n∈ω операторов перечисления называется вычислимой, если существует вычислимая последовательность {An }n∈ω вычислимо перечислимых множеств, задающих операторы Θn .
О Σ-подмножествах натуральных чисел
293
Можно также рассматривать операторы перечисления от нескольких аргументов. Оператор перечисления Φn от l аргументов определяется как Φn (S0 , S1 , . . . , Sl−1 ) = l−1 V Dmi ⊆ Si ) . = x ∃m0 ∃m1 . . . ∃ml−1 (hx, m0 , m1 , . . . , ml−1 i ∈ Wn & i=0
Данный оператор также обладает свойствами непрерывности и монотонности по всем аргументам. Кроме того, по номеру n оператора перечисления эффективно находится номер n′ , для которого Φn (S0 , S1 , . . . , Sl−1 ) = = Φn′ (S0 ⊕ S1 ⊕ . . . ⊕ Sl−1 ). Нам понадобится следующее важное свойство семейства операторов (некоторый аналог s-m-n-теоремы для операторов): по номеру n оператора перечисления эффективно находится номер n′ , для которого Φn (R0 , R1 , . . . , Rk−1 , S0 , S1 , . . . , Sl−1 ) = = Φn′ (R0 ⊕ R1 ⊕ . . . ⊕ Rk−1 , S0 ⊕ S1 ⊕ . . . ⊕ Sl−1 ).
(1)
Отношение 6e является отношением предпорядка на P(ω), которое естественным образом индуцирует отношение частичного порядка на множестве e-степеней
P(ω) / , ≡e
где A ≡e B ⇔ A 6e B & B 6e A. Ассоции-
рованное отношение порядка будем обозначать так же, как и отношение e-сводимости. Для каждого множества A ⊆ ω через de (A) обозначим e-степень, содержащую множество A. Отметим, что множество e-степеней образует относительно ассоциированного отношения верхнюю полурешетку (обозначение: Le ) и de (A) ⊔ de (B) = de (A ⊕ B), где a ⊔ b — точная верхняя грань e-степеней a и b. Кроме того, рассматриваемая верхняя полурешетка имеет наименьший элемент 0 — e-степень всех вычислимо перечислимых множеств. Произвольное непустое семейство множеств e-степеней множеств натуральных чисел назовем e-идеалом (обозначение: I ⊳ Le ), если 1) a 6e b & b ∈ I ⇒ a ∈ I; 2) a, b ∈ I ⇒ a ⊔ b ∈ I. Для каждого e-идеала I положим I + = {S ⊆ ω | S 6= ∅, de (S) ∈ I}, I ∗ = I + ∪ {∅}.
294
А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко Приведем краткое описание хорошо известного метода задания Σ-
подмножества вычислимой последовательностью (см., напр., [5]). Всякий элемент наследственно конечной надстройки можно записать как значение некоторого терма от праэлементов, составленного из символов пустого множества ∅, объединения ∪, фигурных скобок { и }. Термы назовем эквивалентными, если их значения совпадают для любых наборов праэлементов. Конструкцией называется терм, который не эквивалентен ни одному терму с меньшим номером. Зафиксируем некоторую эффективную однозначную нумерацию конструкций. Такая нумерация, очевидно, существует. Пусть T (n, g) — Σ-функция, для которой a = T (n, g) ⇔ a = ∼
= tn (g(0), . . . , g(δg − 1)), где g : |sp(a)| → sp(a), а n — номер конструкции элемента a. Тогда для любой Σ-формулы ϕ(x0 , a0 , a1 , . . . , as−1 ) конечной сигнатуры σ ∗ = σ ∪ {U, ∈, ∅} существует вычислимая последовательность Aϕ n множеств, состоящих из гёделевых номеров ∃-формул сигнатуры σ такая, что для любой модели M выполняется ϕHF(M) [x0 ] = {T (n, g) | ∃ϕ0 ∈ Aϕ n (M |= ϕ0 [γg ])}. Кроме того, справедлива следующая ТЕОРЕМА. Пусть HF(M) — наследственно конечная надстройка, а ϕ(x0 ) — Σ-формула. Тогда HF(M) |= ϕ(a) в том и только том случае, если существует конечно порожденная модель M′ 6 M, для которой HF(M′ ) |= ϕ(a).
§ 1. Описание классов Σ-подмножеств Наша цель — показать, что класс всех возможных семейств Σподмножеств конечных ординалов исчерпывается классом семейств вида I ∗ , где I — e-идеал. ТЕОРЕМА 1.1. 1. В любом допустимом множестве A семейство Σ-подмножеств ω представимо в виде I ∗ для некоторого e-идеала I.
О Σ-подмножествах натуральных чисел
295
2. Для любого e-идеала I существует модель M такая, что I ∗ совпадает с семейством всех Σ-подмножеств ω в HF(M). Кроме того, эту модель можно выбрать так, чтобы card (M) = card (I ∗ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Пусть S — семейство всех Σ-подмножеств допустимого множества A. Очевидно, что S непусто и замкнуто относительно операции ⊕ сочленения. Остается проверить замкнутость S относительно e-сводимости. Условие X 6e Y записывается в виде x ∈ X ⇔ ∃y ∈ ω (hx, yi ∈ W & ∀t ∈ y (t ∈ Dy → t ∈ Y ))
(2)
для подходящего вычислимо перечислимого множества W . Заметим, что в любом допустимом множестве вычислимо перечислимые множества являются Σ-подмножествами. Отсюда W — Σ-подмножество в A, а отношение t ∈ Dy задает ∆-подмножество в A. Если Y является Σ-множеством, то подставив в (2) Σ-формулу для t ∈ Y , получим Σ-формулу для x ∈ X. 2. Вначале дадим несколько определений. Зафиксируем бинарный предикатный символ P . Для каждого n < ω определим Bn как модель с основным множеством {0, . . . , n+1}, на котором предикат P определен как {h0, 1i, h1, 2i, . . . , hn + 1, 0i}. Рассматривая в дальнейшем такое устройство P с точностью до изоморфизма, будем говорить, что предикат P образует n-цикл (длина этого n-цикла равна n + 2). Пусть S ⊆ ω. Определим модель NS как прямое объединение моделей Bn , n ∈ S (т. е., основное множество этой модели будет объединением непересекающихся копий моделей Bn , а предикат P выполняется на паре элементов hx, yi в том и только том случае, если они принадлежат одной и той же копии, а в этой копии выполняется P (x, y)). Наконец, для произвольных семейства U непустых множеств натуральных чисел и последовательности ненулевых кардиналов Λ = hαS | S ∈ ∈ U i определим модель MhU,Λi как объединение по всем S ∈ U моделей семейств, состоящих из αS непересекающихся подмоделей, изоморфных NS , на этом объединении зададим еще один бинарный предикат E, который определяет отношение эквивалентности, чьи классы — носители моделей NS .
296
А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко Пусть I — произвольный e-идеал, а Λ — произвольная последо-
вательность бесконечных кардиналов указанного вида. Покажем, что eстепенями Σ-подмножеств множества натуральных чисел в допустимом множестве HF(MhI + , Λi ) будут в точности все элементы идеала I. Действительно, с одной стороны, легко проверить, что каждый элемент множества I ∗ является Σ-подмножеством в HF(MhI + , Λi ), так как для любых множества S ∈ I + , копии N вида NS и параметра a ∈ N выполняется n ∈ S ⇔ ∃f ( Function(f ) & dom (f ) = n + 2 & E(f (0), a) & & (f разнозначна) & P (f (n + 1), f (0)) & ∀t ∈ n + 1(P (f (t), f (t + 1)))). С другой стороны, пусть A ⊆ ω — Σ-подмножество в HF(MhI + , Λi ), определимое Σ-формулой ϕ(x, p) с параметрами p = p0 , . . . , pk . Без ограничения общности можно считать, что 1) все элементы кортежа p = p0 , . . . , pk являются попарно различными праэлементами; 2) формула ϕ(x, p) содержит в качестве конъюнктивных членов все атомарные предложения от p0 , . . . , pk и их отрицания, а также все ∃-предложения вида
∃x0 . . . xl+1
^
U (xi ) ∧
∧
(xi 6= xj )
06i<j6l+1
06i6l+1
^
^
P (xi , xi+1 ) ∧ P (xl+1 , x0 ) ∧
06i