Математические формулы

ББК 22.1 Ц97 УДК 51 Ц ы п к и н А . Г . , Ц ы п к и н Г . Г . Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математическ...

Author: Цыпкин А. | Цыпкин Г.

6 downloads 234 Views 839KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

ББК 22.1 Ц97 УДК 51

Ц ы п к и н А . Г . , Ц ы п к и н Г . Г . Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ: Справочник. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литры, 1985. — 128 с. Представлены основные формулы алгебры, геометрии (включая дифференциальную геометрию и векторное исчисление), тригонометрии. Широко представлены формулы и основные понятия и теоремы математического анализа. Приведены таблицы основных интегралов. Для широкого круга специалистов и учащейся молодежи.

Рецензент: Доктор физико-математических наук С. А. Степанов

Ц

1702070000 − 167 52-85 053(02) − 85

© Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1985

3

ПРЕДИСЛОВИЕ В книге достаточно полно представлены основные формулы следующих разделов математики: алгебры, геометрии (включая аналитическую и дифференциальную геометрию и векторное исчисление), математического анализа, теории функций комплексного переменного, а также основные формулы для некоторых трансцендентных функций (тригонометрических, гиперболических, интегральных и т. д.). При подборе материала, включенного в справочник, авторы старались ограничиться приведением классических, часто используемых формул указанных выше разделов математики. Именно с такими формулами имеют дело учащиеся средних школ, техникумов, ПТУ, студенты втузов и научно-технические работники. Для этого круга читателей и предназначена настоящая книга. Для удобства читателей в начале разделов справочника, посвященных высшей математике, перед изложением основного материала даются формулировки основных понятий, встречающихся в данном разделе. В ряде разделов справочника (в частности, посвященных формулам интегрального исчисления и формулам теории функций комплексного переменного) характер налагаемого материала потребовал, наряду с формулами, дать также и условия их применимости, а в некоторых случаях, для правильного понимания формул, и формулировки теорем, результатом которых является та пли иная формула. В ряде случаев авторы сочли возможным дать наиболее простые формулировки теорем, из которых следуют приводимые формулы. Более слабые условия, а также условия специального вида, при которых могут быть доказаны эти теоремы и при которых верны соответствующие формулы, читатель может найти в специальной литературе. Основное назначение справочника — получение краткой справки по формулам указанных разделов математики. Для более подробного и детального ознакомления с интересующими читателя математическими фактами и формулами он может обратиться к литературе, список которой дан в конце справочника. В список цитируемой литературы, ни в какой мере не претендующий хотя бы на относительную полноту, включены лишь наиболее известные издания, вышедшие в последние годы. Обозначения, принятые в справочнике, соответствуют обозначениям, принятым в большинстве учебников и книг по математике. Следуя общепринятым обозначениям в различных разделах математики, в тех случаях, когда это не вызывает недоразумения, авторы сочли возможным использовать одни и те же символы для обозначения математических объектов из разных разделов математики. Авторы будут весьма признательны всем читателям, которые выскажут своп замечания, касающиеся как подбора материала, включенного в справочник, так и структуры изложения, что поможет им в дальнейшей работе по совершенствованию справочника и расширению возможного круга читателей.

4

I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРА 1. Действительные числа 1.1. Каноническое разложение натурального числа:

n = p1k1 ⋅ p2k2 ⋅ … ⋅ psks

где p1, …, ps — различные между собой простые,

k1, …, ks — натуральные числа.

1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел. Число делится на 2, если его последняя цифра есть число четное или нуль. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, делящееся на 4. Число делится на 8, если три последние его цифры — нули или образуют число, делящееся на 8. Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Число делится на 5, если оно оканчивается либо на нуль, либо на 5. Число делится на 25, если его последние две цифры — нули либо образуют число, делящееся на 25. Число делится на 11, если у него сумма цифр, занимающих четные места, либо равна сумме цифр, занимающих нечетные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11. Формула связи наибольшего общего делителя (m, n) двух натуральных чисел т и n и их наименьшего общего кратного {m, n}: m ⋅ n = (m, n) ⋅ {m, n}. 1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:

⎧ a, a =⎨ ⎩ −a, Если a и b —

если если

a . 0, a < 0.

два действительных числа, то

a a = ; | | a | – | b | | < | a – b |; b b

| a ⋅ b | - | a | ⋅ | b |;

| a + b | - | a | + | b | (неравенство треугольника). 1.4. Дроби. Правила действий с рациональными числами (дробями):

m p mq + np ; + = n q nq

m p mq − np ; − = n q nq

m p m⋅p ; ⋅ = n q n⋅q

m p m⋅q . : = n q n⋅p

Формула обращения конечной десятичной дроби в рациональную дробь:

n n … nk 0,n1n2…nk = 1 2 , 10k

n1, n2, …, nk — цифры.

Формула обращения бесконечной периодической дроби в рациональную дробь: 0,n1n2…nk (nk+1 nk+2… nk+p) = где (nk+1 nk+2… nk+p) — период дроби.

n1n2 … nk nk +1nk + 2 … nk + p − n1n2 … nk 10k (10 p − 1)

,

1.6. СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ.

5

1.5. Пропорции. Из пропорции

a−b c−d = ; a+b c+d

a±b c±d a c = = следуют равенства: a ⋅ d = b ⋅ c; ; b d b d ma + nb mc + nd (производные пропорции), = pa + qb pc + qd

2 2 где m, n, p, q — произвольные числа и p + q ≠ 0.

1.6. Степени и логарифмы. Степени с действительным показателем:

(a ⋅ b)

x

x

ax = ax − y ; y a

ax ⋅ ay = ax+y ;

a0 = 1 (a ≠ 0); x

= a ⋅b ;

x

ax ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = x. ⎝ b⎠ b

Логарифмы (a, M1, M2 > 0, a ≠1):

log a a = 1;

⎛M ⎞ log a ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = log a M1 − log a M2 ; ⎝ M2 ⎠ log b c 1 = c ⋅ log a b ; log a c = ; loga c = . log b a logc a

log a (M1M2) = log a M1 + log a M2;

( )

log a bc

(ax) y = axy ;

6

2. Алгебра. 2.1. Формулы сокращенного умножения. Общие формулы: n

n

x − c = (x − c) (x

n −1

+x

n −2

c+x

n −3 2

c + … + xc

n −2

+c

n −1

) = (x − c)

n−1

n

x − c = (x + c) (x

n−2

−x

n−3 2

c+x

n −2

c − … + xc

n−1

−c

) = (x + c)

n

n − k −1 k

c ,

n−1

∑ (−1) x

k n−k−1 k

c ,

k=0

где n — четное; n

∑x k =0

где n — любое; n

n −1

n−1

x + c = (x + c) (x

n−2

−x

n−3 2

c+x

n−2

c − … − xc

n−1

+c

) = (x + c)

n−1

∑ (−1) x

k n−k−1 k

c ,

k=0

где n — нечетное. Простейшие формулы: 2 2 (x + c) (x – c) = x – c ;

(x + c) (x2 – xc + c2) = x3 + c3; 2 2 3 3 (x – c) (x + xc + c ) = x – c .

2.2. Формулы Виета. Формулы Виета для приведенного многочлена n-ной степени P(x) = xn + a1xn–1 + + a2xn–2 + … + an-1x + an c корнями c1, c2, …, cn: c1 + c2 + c3 + … + cn–1 + cn = –a1, c1c2 + c1c3 + … + cn–1cn = a2, c1c2c3 + c1c2c4 + … + cn–2cn–1cn = –a3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c1c2c3…cn–1cn = (–1)n an . Формулы Виета для приведенного квадратного трехчлена P(x) = x2 + px + q : c1 + c2 = –p,

c1c2 = q.

Формулы Виета для приведенного кубичного многочлена P(x) = x3 + px2 + qx + r : c1 + c2 + c3 = – p,

c1c2 + c2c3 + c1c3 = q,

c1c2c3 = – r .

2.3. Корни квадратного уравнения. Формула вычисления корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 с действительными коэффициентами:

x1,2 =

−b ± b2 − 4ac . 2a

2.4. КОРНИ КУБИЧНОГО УРАВНЕНИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 7 2

Если D ≡ b − 4ac > 0 , то уравнение имеет два различных действительных корня; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2; если D < 0, то уравнение имеет два комплексно сопряженных корня:

4ac − b2 4ac − b2 b b +i −i x1 = − ; x2 = − . 2a 2a 2a 2a

Формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0:

x1,2

2

p ⎛ p⎞ = − ± ⎜ ⎟ −q. 2 ⎝2⎠

Формула вычисления корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом ax + 2kx + c = 0: 2

x1,2

− k ± k2 − ac = . a

2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами. Корни неполного кубичного уравнения y3 + py + q = 0 вычисляются по формулам Кардано:

y1 = A + B ,

y2,3 = −

A+B A−B ±i 3 , 2 2

q q где A = 3 − + Q , B = 3 − − Q , 2

2

3

2

⎛ p⎞ ⎛q⎞ Q =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ , ⎝3⎠ ⎝2⎠

причем в качестве корней выбираются любые значения кубичных корней, удовлетворяющие равенству AB = – p/3. Корни неполного кубичного уравнения с действительными коэффициентами 3 y + py + q = 0 могут быть вычислены также по следующим формулам (тригонометрическое решение). Если Q < 0, то p < 0, и

y1 = 2 −

p α cos , 3 3

y2,3 = −2 −

p ⎛α π⎞ cos ⎜ ± ⎟ , 3 ⎝ 3 3⎠

где значения тригонометрических функций вычисляются по значению cos α = −

Если Q . 0 и p > 0, то y1 = −2 p 3 ctg 2α ,

q 3

2 − ( p 3)

.

y2,3 = p 3 ( ctg 2α ± i 3 cosec 2α ) , где

значения тригонометрических функций вычисляются по значению

tg α = 3 tg

β , 2

tg β =

2 q

( p 3 )3 ,

α -

π , 4

β -

(

π . 2

)

Если Q . 0 и p < 0, то y1 = −2 − p 3 cosec 2α , y2,3 = − p 3 cosec2α ± i 3 ctg2α , где значения тригонометрических функций вычисляются по значению

β tg α = tg , 2 3

2 sin β = q

3

⎛ p⎞ ⎜− ⎟ , ⎝ 3⎠

α -

π , 4

β -

Во всех трех случаях берется действительное значение кубичного корня.

π . 2

8

I.2. АЛГЕБРА. 3

2

Корни полного кубичного уравнения ax + bx + cx + d = 0 вычисляются по формулам

xi = yi −

b 3a

где yi — корни неполного кубичного уравнения.

(i = 1, 2, 3),

2.5. Корни уравнения 4-й степени. Уравнение четвертой степени ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 с действительными коэффициентами заменой y = x +

b сводится к неполному уравнению y4 + py2 + qy + r = 0, 4a

корни которого вычисляются по формулам:

1 1 z1 + z2 + z3 ) , y2 = ( z1 − z2 − z3 ) , ( 2 2 1 1 y3 = ( − z1 + z2 − z3 ) , y4 = ( − z1 − z2 + z3 ) , 2 2 y1 =

(1)

где z1, z2, z3 — корни кубичного уравнения (кубичной резольвенты) z3 + 2pz2 + (p2 – 4r) z – q2 = 0, и знаки перед корнями в формулах (1) выбираются так, чтобы выполнялось условие

z1 z2 z3 = −q . 2.6. Неравенства. Простейшие неравенства: | a + b | - | a | + | b |;

| a – b | . | | a | – | b | |;

2 2 a + b . 2 | ab |;

a+b . ab , (a . 0, b . 0). 2

a b + . 2 , (ab > 0); b a

Некоторые общие неравенства:

n

n

∑a - ∑ a ; 1 n

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

n

∑a .

2

i =1

⎞ ⎛ aibi ⎟ - ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ i =1 n

∑

i

n

∑ i =1

n a a …a 1 2 n

⎞ ⎛

⎛ aibi - ⎜ ⎜ ⎝ i =1

∑

n

∑ i =1

1p

⎞

aip ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

ai . 0

,

∑

(неравенство Коши);

n

∑

n

∑

(неравенство Коши – Буняковского);

1 ai n

i =1 1q

⎞ biq ⎟ ⎟ ⎠ i =1 n

i

i =1

⎞ bi2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ i =1 ⎠

ai2 ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜

1 n n

i

i =1

n

∑a i =1

2 i

;

(неравенство Гёльдера),

где

2.7. Комбинаторика и бином Ньютона. Число перестановок из n элементов:

Pn = n! .

Число размещений из n элементов по m элементов:

Am n =

n! . (n − m) !

1 1 + = 1. p q

2.7. КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА. Число сочетаний из n элементов по m элементов:

Cm n =

Формулы для числа сочетаний:

9

n! . m ! (n − m) !

Cnm = Cnn − m ; Cnm++11 = Cnm + Cnm +1 ; Cn0 + Cn1 + Cn2 + … + Cnn −1 + Cnn = 2 n . Число перестановок с повторениями (кортежами) состава (спецификации) (k1, k2, …, km):

Cn (k1, k2 , … , km ) =

n! k1 ! k2 !… km !

(n = k1 + k1 + … + km).

Число сочетаний из n элементов по m с повторениями:

n −1 m fnm = Cm + n −1 = Cm + n −1 .

Рекуррентная формула для числа сочетаний с повторениями: Формула бинома Ньютона:

(a1 + a2 + … + ar ) n =

∑

k1+ k2 +…+ kr = n

(1)

fnm = fnm−1 + fnm −1 .

Cn (k1, k2 , … , kr )a1k1a2k2 … arkr ,

где суммирование проводится по всем наборам неотрицательных целых чисел (k1, k2, …, kr), для которых k1 + k2 + … + kr = n. Коэффициенты Cn(k1, k2, …, kr), вычисляемые по формуле (1), называются полиномиальными коэффициентами. Формула для числа полиномиальных коэффициентов:

∑

k1+ k2 +…+ kr = n

Cn (k1, k2 , … , kr ) = r n .

10

II. ГЕОМЕТРИЯ 1. Элементарная геометрия 1.1. Треугольники. Площадь треугольника:

S=

1 1 1 aha = bhb = chc ; 2 2 2

S=

S = p (p − a) (p − b) (p − c)

(формула Герона);

abc 1 ab sin γ ; S = ; S = pr ; 4R 2

S = ra (p − a) = rb (p − b) = rc (p − c) ; S = S = p (p − a) tg

ra rb rc r ;

S = p 2 tg

α β γ = p (p − b) tg = p (p − c) tg , 2 2 2

α β γ tg tg ; 2 2 2

где a, b, c — стороны треугольника, ha, hb, hc — высоты, опущенные на стороны a, b, c, p =

1 (a + b + c) — полупериметр, R – радиус окружности, описанной около треуголь2

ника, r — радиус окружности, вписанной в треугольник, ", $, ( — углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно, ra, rb, rc — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a, b, c. Т е о р е м а к о с и н у с о в : a2 = b2 + c2 – 2bc cos "; b2 = a2 + c2 – 2ac cos $; c2 = a2 + b2 – 2ab cos (;

a b c = = = 2R . sin α sin β sin γ α+β γ tg ctg a+b 2 = 2 ; Т е о р е м а т а н г е н с о в : = a − b tg α − β tg α − β 2 2 α+γ β β+γ α tg ctg tg ctg a+c b+c 2 = 2 ; 2 = 2 . = = α−γ β−γ a − c tg α − γ b − c tg β − γ tg tg 2 2 2 2

Т е о р е м а

Ф о р м у л ы

a+b = c Л и н и и

в

с и н у с о в :

М о л ь в е й д е :

α−β α−β cos 2 = 2 ; γ α+β sin cos 2 2

cos

a−b = c

т р е у г о л ь н и к е .

Медиана ma к стороне a:

ma =

1 2

Высота ha, опущенная на сторону a:

α−β α −β sin 2 = 2 . γ α+β cos sin 2 2

sin

2b2 + 2c2 − a2 . ha =

2 p (p − a) (p − b) (p − c) . a

1.2. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.

Биссектриса la к стороне a: Р а в н о с т о р о н н и й Площадь:

S=

a

2

4

3

la =

11

γ β 2ac cos 2 = 2. a+b a+c

2ab cos

т р е у г о л ь н и к (со стороной a).

.

a 3 . 3 a 3 . Радиус вписанной окружности: r = 6 Радиус описанной окружности:

Прямоугольный Площадь:

S=

R=

т р е у г о л ь н и к (с катетами a и b и гипотенузой c).

1 ab . 2

Радиус описанной окружности:

R=

c = mc . 2

2 2 2 Теорема Пифагора: a + b = c . Свойства прямоугольного треугольника: ac : a = a : c, bc : b = b : c,

bc : hc = hc : ac,

где ac и bc — проекции катетов a и b на гипотенузу c. 1.2. Четырехугольники. Прямоугольник и квадрат. Площадь прямоугольника (со сторонами a и b): Площадь квадрата (со стороной a): S = a2. Ромб.

Площадь:

S = a2 sin γ = ah =

h – высота, d1 и d2 – диагонали. Связь между стороной и диагоналями: Радиус вписанной окружности: Параллелограмм.

r=

S = a⋅ b.

1 d1d2 , где a – 2

сторона, ( –

d12 + d22 = 4a 2 .

1 1 h = a sin γ . 2 2

Площадь:

S = ab sin α = aha = bhb =

1 d1d2 sin β , 2

где a и b — стороны, " — угол, ha и hb — высоты, опущенные на стороны $ — угол между диагоналями d1 и d2. Связь между стороной и диагоналями:

d12 + d22 = 2 (a2 + b2) .

Трапеция

(с основаниями a, b и высотой h).

Выпуклый

четырехугольник.

Площадь: лями.

S=

угол,

Площадь:

S=

a и b,

a+b h. 2

1 d1 d2 sin γ , где d1 и d2 — диагонали, ( — угол между диагона2

12

II.1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Связь между сторонами и диагоналями: a2 + b2 + c2 + d2 = d12 + d22 + 4m2 , где a, b, c, d — стороны, m — отрезок, соединяющий середины диагоналей. Свойства четырехугольников: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны: " + ( = $ + * = 180°. Для вписанного четырехугольника справедливы формулы: ac + bd = d1d2; S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) , p = (a + b + c + d)/2. 1.3. Многоугольник. Сумма внутренних углов n-угольника:

180°(n – 2).

Число диагоналей выпуклого n-угольника: Сторона правильного n-угольника:

1 n(n − 3) . 2

an = 2R sin

180° 180° , где R — радиус = 2r tg n n

описанной окружности, r — радиус вписанной окружности. Площадь правильного n-угольника:

Sn =

1 2 360° 180° 1 2 180° R n sin . = r2n tg = an n ctg 2 4 n n n

1.4. Окружность и круг.

πD2 Длина окружности: L = 2πR. Площадь круга: S = πR = . 4 2

1.5. Сегмент и сектор. В формулах обозначено: R — радиус, l — длина дуги, a — хорда, стягивающая дугу, α — центральный угол (в градусах) дуги. Длина хорды:

a = 2R sin

α . 2

2πRα . 360° πR2α . Площадь сектора: S = 360° 1 ⎡ πα ⎤ − sin α ⎥ . Площадь сегмента: S = R2 ⎢ 2 ⎣180° ⎦ Длина дуги:

l=

1.6. Призма. Площадь боковой поверхности: SБОК = PПL, где PП — периметр перпендикулярного сечения, L — длина бокового ребра. Объем призмы: V = SПL = SОСНH, где SП — площадь перпендикулярного сечения, H — высота. Объем прямоугольного параллелепипеда (со сторонами a, b, c):

V = abc.

1.10. КОНУС.

13

1.7. Пирамида.

S=

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: основания, h — апофема.

1 Ph , где Р — периметр 2

1 SоснH , где Sосн — площадь основания, H — высота. 3 1 Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: S = (P + p)h , где 2

Объем пирамиды:

V=

Р, р — периметры оснований, h — апофема. Объем усеченной пирамиды:

V=

1 H (S1 + S1 S2 + S2) , где H — высота усеченной 3

пирамиды, S1 и S2 — площади оснований. 1.8. Правильные многогранники.

В формулах обозначено: a — ребро, V — объем, S — площадь боковой поверхности, R — радиус описанной сферы, r — радиус вписанной сферы, H — высота. К у б . Все шесть граней — квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.

V = a3 ;

S = 6a2;

R=

a 3 ; 2

r=

a 6 ; 4

r=

a ; 2

H = a.

Т е т р а э д р . Все четыре грани — равносторонние треугольники. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть ребер.

a3 2 V = ; 12

S = a2 3 ;

R=

a 6 ; 12

H=

a 6 . 3

О к т а э д р . Все восемь граней — равносторонние треугольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер. Додекаэдр. Все двенадцать граней — правильные пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.

V=

a 10 (25 + 11 5) a3 (15 + 7 5) a 3(1 + 5) ; S = 3a2 5 (5 + 2 5) ; R = ;r= . 4 4 20

И к о с а э д р . Все двадцать граней — равносторонние треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.

5a3 (3 + 5) ; 12

a 2 (5 + 5) a 3 (3 + 5) ; r= . 4 12 Ф о р м у л а Э й л е р а . Число ребер L, число вершин N и число граней F многогранников связаны равенством: N – L + F = 2. V=

S = 5a2 3 ;

R=

1.9. Цилиндр. Объем цилиндра (с радиусом основания R и высотой H): Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра:

V = πR2H.

Sбок = 2πRH; Sцил = 2πRH + 2πR2. 1.10. Конус. Объем конуса (с радиусом основания R и высотой H): Vкон = Площадь боковой поверхности конуса:

1 πR2 H . 3

Sбок = πRL, где L — образующая конуса.

14

II.1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1 πH (R12 + R1R2 + R22 ) , 3

Объем усеченного конуса: V =

где H — высота, R1 и R2 —радиусы верхнего и нижнего оснований. Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

Sбок = π(R1 + R2)L,

где L — образующая конуса. 1.11. Сфера и шар. Площадь сферы (радиуса R):

S = 4πR2.

Объем шара (радиуса R): V =

4 πR3 . 3

1.12. Части шара. Объем шарового сегмента: V =

1 πH 2 (3R − H) , 3

где R — радиус шара, H — высота сегмента. Площадь сегментной поверхности: Объем шарового сектора: V =

S = 2πRH.

2 πR2H , 3

где R — радиус шара, H — высота сектора.

Площадь полной поверхности шарового сектора:

(

S = πR 2H +

1 1 πH3 + π (R12 + R22)H , 6 2 где H — высота шарового слоя, R1 и R2 — радиусы шарового слоя. Объем шарового слоя:

V=

Площадь шарового пояса:

S = 2πRH,

где R — радиус дуги, H — высота шарового пояса.

)

2RH − H2 .

15

2. Аналитическая геометрия 2.1. Прямая на плоскости.

Ax + By + C = 0. Уравнение прямой в параметрической форме (t – параметр): x = kxt + x0, y = kyt + y0, kx2 + ky2 ≠ 0.

Общее уравнение прямой:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

y = kx + b,

k = tg α,

α ∈ (0; π 2) ∪ (π 2 ; π) — угол наклона прямой.

x y + = 1 , (a ≠ 0, b ≠ 0), (a; 0) и (0; b) — коордиa b наты точек пересечения прямой с осями Ox и Oy соответственно. Нормальное уравнение прямой: x cos α + y sin α – p = 0, где p — расстояние от начала координат до прямой, α — угол между положительным направлением оси Ox и Уравнение прямой в отрезках:

перпендикуляром к прямой, опущенным из начала координат. Коэффициенты нормального уравнения прямой связаны с коэффициентами общего уравнения равенствами:

sin α cos α = A, = B, λ λ

−p = C, λ

λ =

1 2

A +B

2

,

где λ — нормирующий множитель уравнения. Знак λ противоположен знаку C.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1, y1) и (x2, y2):

y − y1 x − x1 = . y2 − y1 x2 − x1

Расстояние d от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:

d=

| Ax0 + By0 + C | 2

2

A +B

.

Необходимое и достаточное условие принадлежности трех точек (x1, y1), (x2, y2),

(x3, y3) одной прямой:

x1

x2 x3

y1 1

y2 1 = 0 . y3 1

Координаты точки (x0, y0), делящей отрезок с концами (x1, y1), (x2, y2) в отношении

λ ≠ –1:

x0 =

x1 + λx2 y + λy2 , y0 = 1 . 1+ λ 1+ λ

Координаты точки пересечения двух прямых A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0 определяется по формулам Крамера:

B1 C1 B C2 , x0 = 2 A1 B1 A2

B2

C1 C y0 = 2 A1

A2

A1 A2 . B1

B2

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых: A1B2 – A2B1 = 0. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых: A1A2 + B1B2 = 0.

16

II.2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Координаты точки пересечения прямых y = k1x + b, y = k2x + b:

x0 =

b2 − b1 k b − b1k2 , y0 = 1 2 . k1 − k2 k1 − k2

k1 = k2. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых: k1k2 = –1. | AB 1 2 − A2B1 | , Угол α между прямыми: sin α = A12 + B12 A22 + B22 Необходимое и достаточное условие параллельности прямых:

cos α =

| A1A2 + B1B2 |

A12 + B12 A22 + B22

A1B2 − A2B1 . A1A2 + B1B2

tg α =

,

Угол α между прямыми y = k1x + b, y = k2x + b:

tg α =

k1 − k2 1 + k1k2

( k1k2 ≠ –1).

Если k1k2 = –1, то α = π/2.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых Aix + Biy + + Ci = 0 (I = 1, 2):

λ1(A1x + B1x + C1) + λ2(A2x + B2x + C2) = 0 ( λ21 + λ22 ≠ 0 ).

Условие пересечения трех прямых Aix + Biy + Ci = 0 (I = 1, 2, 3) в одной точке:

A1

A2 A3

B1

C1

B2 C2 = 0 . B3 C3

2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Общее уравнение линии второго порядка в декартовой системе координат: 2 2 F (x, y) / a11x + 2a12xy + a22y + 2a1x + 2a2y + a0 = 0. Инварианты относительно переноса начала координат и поворота осей:

δ=

S = a11 + a22;

a11 a12

a12 a22

;

a11 a12

a1

a1

a0

(1)

∆ = a12 a22 a2 .

Характеристическая квадратичная форма уравнения (1): Характеристическое уравнение квадратичной формы (2):

a2

a11x2 + 2a12xy + a22y2.

a11 − λ a12

a12

a22 − λ

(2)

= 0.

Связь между корнями характеристического уравнения квадратичной формы и инвариантами: S = λ1 + λ2; δ = λ1⋅λ2. Полуинвариант уравнения (1)

(инвариант относительно поворота осей):

A=

a22 a2 a2

a0

+

a11 a1 a1

a0

.

В зависимости от значений величин δ, ∆, S, A уравнение (1) определяет одну из следующих линий: ⎧ ⎧ S ⋅ ∆ < 0 действительный эллипс;

⎪ ∆≠0 ⎨ δ>0⎨ ⎩ S ⋅ ∆ > 0 мнимый эллипс; ⎪ ∆ = 0 пара мнимых сопряженных пересекающихся прямых; ⎩

2.2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА.

⎧ ∆≠0 δ 0 пара мнимых параллельных прямых; ⎪ δ=0⎨ ⎪ ⎪ ∆ = 0 ⎨ A < 0 пара действительных параллельных прямых; ⎪ ⎩ A = 0 пара действительных совпадающих прямых. ⎩⎪ Ортогональным преобразованием координат x = x ′ cos α – y ′ sin α + x0, y = x ′ sin α + y ′ cos α + y0 общее уравнение F (x, y) = 0 в невырожденном случае (∆ ≠ 0) приводится к канонической форме уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Э л л и п с .

Каноническое уравнение:

x2

+

a2

y2 b2

a2 = −

= 1,

∆ , λ 2δ

b2 = −

∆ , λ1δ

где λ1 и λ2 — корни характеристического уравнения, λ1.λ2. Уравнение в параметрической форме (t — параметр):

x = a cos t,

Уравнение в полярных координатах r, n: ный параметр, e =

(t ∈ [0; 2π)). p 2 , где p = b a — фокальr= 1 + e cos ϕ

y = b sin t,

a 2 − b2 a — эксцентриситет (0 ≤ e < 1), a — большая полуось.

Уравнение директрис эллипса в декартовой системе координат:

x = – a/e,

x = a/e.

О к р у ж н о с т ь . Уравнение окружности радиуса R, с центром в начале координат: x2 + y2 = R2 ; 2 2 2 с центром в точке (a; b): (x – a) + (y – b) = R ; 2 с центром в точке (r0; n): r2 – 2rr0 cos (n – n0) + r0 = R2 ; с центром в полюсе полярной системы координат: r = R ; Г и п е р б о л а .

Каноническое уравнение:

x a

2 2

−

y2 2

b

= 1,

a2 = −

∆ , λ 2δ

b2 =

∆ , λ1δ

где λ1 и λ2 — корни характеристического уравнения, λ1.λ2. Уравнение в параметрической форме (t — параметр):

x = a ch t,

Уравнение в полярных координатах r, n: параметр, e =

(t ∈ (– ∞; + ∞)). p 2 , p = b a — фокальный r= 1 + e cos ϕ

y = b sh t,

a 2 − b2 a > 1 — эксцентриситет.

Уравнение директрис гиперболы в декартовой системе координат: x = – a/e, x = a/e.

18

II.2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ П а р а б о л а . Каноническое уравнение:

y2 = 2px,

p=

1 S

−

∆ — фокальный параметр. S

r=

Уравнение параболы в полярных координатах:

p . 1 + cos ϕ

2.3. Плоскость. Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат:

Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C2 ≠ 0. x y z Уравнение в отрезках: + + = 1, (abc ≠ 0) ; a b c (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) — точки пересечения плоскости с осями Ox, Oy и Oz соответственно. Нормальное уравнение: x cos α + y cos β + z cos γ – p = 0, где cos α, cos β и cos γ — компоненты вектора единичной длины, перпендикулярного плоскости, p — расстояние от начала координат до плоскости. Коэффициенты общего и нормального уравнений плоскости связаны равенствами:

cos α = λA,

cos β = λB,

cos γ = λC,

p = −λD,

1

λ =

A2 + B2 + C2

,

(знак λ противоположен знаку D). Параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точку (x0, y0, z0) и содержащей неколлинеарные векторы a = (a1; a2; a3) и b = (b1; b2; b3) (u, v — параметры): x = x0 + a1u + b1v, y = y0 + a2u + b2u, z = z0 + a3u + b3v. Компоненты векторов a и b связаны с коэффициентами A, B, C:

A=

a2 a3 b2

b3

a3 a1

B=

,

b3

b1

C=

,

a1 a2 b1

b2

.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (xi; yi; zi) (i = 1, 2, 3), не лежащие на одной прямой:

x

y

z

x1

y1

z1 1

x2 x3

y2

1

z2 1

y3

= 0.

z3 1

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (x0, y0, z0) и перпендикулярной вектору n = (A; B; C): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей Aix + Biy + Ciz +

+ Di = 0 (i = 1, 2): A1 = λA2, B1 = λB2, C1 = λC2 . Необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей: A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0. Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0:

d=

Ax0 + By0 + Cz0 + D 2

2

A + B +C

2

.

2.4. ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ.

19

Расстояние между двумя параллельными плоскостями Ax + By + Cz + D1 = 0 и Ax + By + Cz + D2 = 0:

D1 − D2

d=

A2 + B2 + C2

.

Угол n между плоскостями Aix + Biy + Ciz + Di = 0 (i = 1, 2):

cos ϕ =

A12

A1A2 + B1B2 + C1C2

+

B12

+ C12

A22

+

B22

+ C22

.

2.4. Прямые в пространстве. Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух непараллельных (1) плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Параметрическое уравнение прямой: x = x0 + rxt, y = y0 + ryt, z = z0 + rzt, где r = (rx, ry, rz) — направляющий вектор прямой, x0, y0, z0 — координаты точки, принадлежащей прямой. Компоненты направляющего вектора прямой связаны с коэффициентами системы (1) равенствами: rx = (B1C2 – B2C1), ry = (C1A2 – C2A1), rz = (A1B2 – A2B1). Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0; y0; z0) и имеющей направляющий вектор r = (rx, ry, rz):

x − x0 y − y0 z − z0 . = = rx ry rz

Угол n между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями x − x0 y − y0 z − z0 , x − x0′ = y − y0′ = z − z0′ : = = rx ry rz rx′ ry′ rz′

cos ϕ =

rx′rx + ry′ry + rz′rz

(rx2 + ry2 + rz2) (rx′2 + ry′2 + rz′2)

.

Условие перпендикулярности двух прямых, заданными каноническими уравнениями:

rx′rx + ry′ry + rz′rz = 0.

Условие параллельности двух прямых, заданных каноническими уравнениями:

rx ry rz = = . rx′ ry′ rz′

Условие перпендикулярности прямой, заданной каноническим уравнением, и плоскости Ax + By + Cz + D = 0: A = B = C . rx ry rz Уравнение прямой, проходящей через точку (x0; y0; z0) и перпендикулярной плоскости Ax + By + Cz + D = 0: x – x0 = λA, y – y0 = λB, z – z0 = λC. Расстояние от точки (x1; y1; z1) до прямой, заданной каноническим уравнением:

⎡ ry rz ⎢ ⎢ d = ⎢ y0 − y1 z0 − z1 ⎢ ⎢ ⎣

2

+

rz

rx

z0 − z1 x0 − x1 rx2

+

ry2

+

rz2

2

+

rx

ry

x0 − x1 y0 − y1

2⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 2

.

20

II.2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.5. Поверхности второго порядка. Общее уравнение поверхности второго порядка в декартовой системе координат: F (x, y, z) ≡ a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13xz + 2a23yz + a33z2 + (1) + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a0 = 0. Инварианты поверхности второго порядка относительно параллельного переноса и поворота осей:

a11 a12

∆=

a13

a1

a12 a22 a23 a2 a13 a23 a33 a3 a1

a2

a3

S = a11 + a22 + a33 ;

a11 a12

δ = a12 a22 a23 ;

;

a13 a23 a33

a0

J=

a13

a11 a12

a12 a22

+

a22 a23

a23 a33

+

a33 a13 a13

a11

Характеристическая квадратичная форма уравнения (1): 2 2 2 n (x, y, z) ≡ a11x + 2a12xy + a22y + 2a13xz + 2a23yz + a33z . Характеристическое уравнение квадратичной формы (2):

a11 − λ a12

a12

a22 − λ

a13

a23

= 0.

.

(2)

a13 a23 a33 − λ Связь между корнями λ1, λ2, λ3 характеристического уравнения квадратичной формы и инвариантами: S = λ1 + λ2 + λ3 ; J = λ1λ2 + λ1λ3 + λ2λ3 ; δ = λ1λ2λ3.

2.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. К л а с с и ф и к а ц и я

п о в е р х н о с т е й

21

в т о р о г о

п о р я д к а .

I. δ ≠ 0: Условия выполнены эллипсоид:

x2

∆ 0, J > 0

x

∆>0

a2

+

y

2

b2

+

z

2

c2

x2

=1

мнимый эллипсоид: 2

нарушены двуполостный гиперболоид:

x2

a2

+

y2 b2

+

= −1

z2 c2

эллиптический параболоид:

∆ = 0:

цилиндры:

a2 a2

y2

+ 2 = ±z . a2 b 2 x y2 − 2 = ±z . ∆ > 0: гиперболический параболоид: a2 b

∆ < 0:

x2

x2

=0

I I. δ = 0:

x2

+

b2

−

z2 c2

= −1

однополостной гиперболоид:

мнимый конус с действительной вершиной: ∆=0

a2

y2

эллиптический при J > 0;

гиперболический при J < 0; параболический при J = 0,

или пары плоскостей: действительных, мнимых, совпадающих.

+

y2 b2

−

конус:

+

y2 b2

−

z2 c2

z2 c2

=1 =0

22

3. Дифференциальная геометрия 3.1. Линии на плоскости. Касательным вектором (или вектором скорости) к линии, задаваемой в параметрической форме r = r (t) ≡ (x (t); y (t)), где t пробегает некоторый отрезок, называется вектор

dr (t) = (x (t); y (t)) . dt dv(t) d 2r (t) = = (x(t); y(t) ) . Вектором ускорения называется вектор w (t) = dt dt 2 v (t) =

Если в качестве параметра t выбрана длина линии l, то | v | = 1; l называют натуральным параметром кривой. Кривизной k линии r = r (l) с натуральным параметром l называется модуль вектора ускорения:

k = | w (l) |.

Радиусом кривизны линии называется число R = 1/k. Длина линии, задаваемой в параметрической форме r = r (t) ≡ (x (t); y (t)), от точки (x (t1); y (t1)) до точки (x (t2); y (t2)):

t2

t2

t1

t1

∫ | v (t) | dt = ∫

l=

x 2 + y 2 dt .

Уравнение касательной к линии x = x (t), y = y (t) в точке t0:

y − y(t0) =

y(t0) (x − x(t0)) . x(t0)

Уравнение нормали к линии x = x (t), y = y (t) в точке t0:

y − y(t0) = −

x(t0) (x − x(t0)) . y(t0)

Единичный вектор нормали n к кривой x = x (t), y = y (t) с натуральным параметром l:

n=

w = |w|

1

2

x (l) + y2 (l)

(x(l); y(l)) .

Угол между двумя кривыми x = x1 (t), y = y1 (t) и x = x2 (t), y = y2 (t), пересекающимися при t = t0 :

cos ϕ =

x1x2 + y1y2

x12 + y12 x22 + y22

. t =t0

2

Кривизна k линии x = x (t), y = y (t) ( x + y

2

≠ 0) : k =

| xy − yx |

(x2 + y2) 3 2

.

Координаты центра круга кривизны линии x = x (t), y = y (t) при t = t0:

xc = x(t0 ) − λy(t0 ), Ф о р м у л ы

yc = y(t0 ) + λx(t0 ),

Ф р е н е :

где

dv = w = kn, dl

λ = [(x 2 + y 2 ) /(xy − xy)]

dn = −kv . dl

t = t0

.

3.3. ПОДВИЖНЫЙ ТРЕХГРАННИК ФРЕНЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ.

23

3.2. Линии в пространстве. Касательным вектором (вектором скорости) линии, задаваемой в параметрической форме r = r (t) ≡ (x (t); y (t); z (t)), называется вектор

v (t) =

dr (t) = (x (t); y (t); z (t)) . dt

dv(t) d2r (t) = = ( x(t); y(t); z (t) ) . dt dt2 Если в качестве параметра t выбрана длина линии l, то | v | = 1; l называют натуВектором ускорения называется вектор

w (t) =

ральным параметром кривой.

Кривизной k линии с натуральным параметром l называется модуль вектора уско-

рения: k = | w (l) |. Длина линии, задаваемой в параметрической форме r = r (t) ≡ (x (t); y (t) ; z (t)), от точки (x (t1); y (t1); z (t1)) до точки (x (t2); y (t2); z (t2)):

l=

t2

t2

t1

t1

∫ | v (t) | dt = ∫

Единичный вектор главной нормали:

n=

x 2 + y 2 + z 2 dt . w . |w|

Единичный вектор бинормали линии r = r (l) (l — натуральный параметр): b = [v × n] .

i=

Кручение i линии r = r (l) (l — натуральный параметр): Кривизна линии r = r (t) (t — произвольный параметр):

k=

Кручение i линии r = r (t) (t — произвольный параметр): Ф о р м у л ы

db . dl r×r

.

| r |3 i=−

r, r , r

[r × r ]2

.

Ф р е н е для линии r = r (l) (l — натуральный параметр):

dv = kn, dl

dn = − ib − kv, dl

db = in . dl

3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой. Плоскость, определяемая векторами n и v(l), — соприкасающаяся плоскость; плоскость, определяемая векторами n и b, — нормальная плоскость; плоскость, определяемая векторами v(l) и b, — спрямляющая плоскость. Уравнения элементов подвижного трехгранника в точке (x (l0); y (l0); z (l0)). Уравнения касательной:

x − x(l0) y − y (l0) z − z (l0) = = . x(l0) y(l0) z (l0)

Уравнение главной нормали: Уравнение бинормали:

x − x(l0) y − y (l0) z − z (l0) = = . x(l0) y(l0) z (l0)

x − x(l0) y − y(l0) z − z (l0) . = = y(l0) z (l0) z (l0) x(l0) x(l0) y(l0) y(l0) z (l0)

z (l0) x(l0)

x(l0) y(l0)

24

II.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

x − x(l0) y − y(l0) z − z (l0) x(l0)

Уравнение соприкасающейся плоскости:

y(l0)

x(l0)

z (l0)

y(l0)

= 0.

z (l0)

x(l0) [x − x(l0)] + y(l0)[y − y(l0)] + z(l0) [z − z(l0)] = 0 .

Уравнение нормальной плоскости:

Уравнение спрямляющей плоскости:

x − x(l0)

y − y (l0)

z − z (l0)

x(l0)

y(l0)

z (l0)

y z y z

z x l =l0

z x

= 0.

x y l =l0

x y

l =l0

3.4. Поверхности в трехмерном пространстве. Способы задания поверхности: — явный — функцией z = f (x, y); — неявный — в виде уравнения F (x, y, z) = 0; — параметрический — в векторном виде: r = r (u, v), в координатном виде: x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v), (1) где u, v — гауссовы координаты поверхности. Точка поверхности (x (u0, v0), y (u0, v0), z (u0, v0)) называется неособой, если функции (1) имеют непрерывные частные производные и ранг матрицы

∂x ∂u ∂x ∂v

∂y ∂u ∂y ∂v

∂z ∂u ∂z ∂v

равен 2.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной в параметрической форме, в неособой точке (u0; v0):

x − x(u0 , v0) y − y(u0 , v0) z − z (u0 , v0) ∂x(u0 , v0) ∂u ∂x(u0 , v0) ∂v

∂y (u0 , v0) ∂u ∂y (u0 , v0) ∂v

∂z (u0 , v0) ∂u ∂z (u0 , v0) ∂v

= 0.

Уравнение нормали к поверхности, заданной в параметрической форме, в неособой точке (u0; v0):

x − x(u0 , v0) y − y(u0 , v0) z − z (u0 , v0) . = = ∂y(u0 , v0) ∂z (u0 , v0) ∂z (u0 , v0) ∂x(u0 , v0) ∂x(u0 , v0) ∂y(u0 , v0) ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂y(u0 , v0) ∂z (u0 , v0) ∂z (u0 , v0) ∂x(u0 , v0) ∂x(u0 , v0) ∂y(u0 , v0) ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v

3.4. ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

25

Дифференциал радиус-вектора r вдоль параметрически заданной линии u = u(t),

∂r ∂r du + dv . ∂u ∂v 2 2 2 2 Квадрат дифференциала радиус-вектора: dS = (dr) = E(du) + 2F du dv + G dv

v = v(t), лежащей на поверхности r = r (u, v):

dr =

(первая квадратичная форма поверхности). Коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы: 2

2

2

2

∂r ∂r ⎛ ∂z ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂x ⎞ E = E (u, v) = = ⎜ ⋅ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ∂u ∂u ⎝ ∂u ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂u ⎠ ∂z ∂y ∂y ∂x ∂x ∂r ∂r F = F (u, v) = + + = ⋅ ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v

2

⎞ ⎟ , ⎠ ∂z , ∂v 2

∂r ∂r ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂x ⎞ G = G (u, v) = = ⎜ ⋅ ⎟ . ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ∂v ∂v ⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂v ⎠ Длина дуги линии u = u(t), v = v(t) на поверхности, заданной в параметрической форме (1): t2

l =

∫

2

2

∂u ∂v ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂v ⎞ +G⎜ E⎜ ⎟ + 2F ⎟ dt . ∂ t ∂ t ∂ t ∂ t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

t1

Площадь поверхности, заданной в параметрической форме: ∂r ∂r × S = EG − F 2 du dv = du dv , ∂u ∂v Σ Σ где Σ — область поверхности на плоскости u, v. Площадь поверхности, заданной в явной форме z = f (x, y):

∫∫

∫∫

S =

∫∫ Σ0

⎛ ∂f ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠

2

2

⎛ ∂f ⎞ ⎟⎟ dx dy , + ⎜⎜ ⎝ ∂y ⎠

где Σ0 — проекция области Σ поверхности на плоскость x, y. Единичный вектор нормали к поверхности, заданной в параметрической форме r = r (u, v):

∂r ⎤ ⎡ ∂r ⎢⎣ ∂ u × ∂ v ⎥⎦ , m (u, v) = 2 EG − F

где E, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы. Вторая квадратичная форма поверхности r = r (u, v): – (dr ⋅ dm) = L (u, v) du2 + 2M (u, v) du dv + N (u, v) dv2, где L, M, и N — коэффициенты:

L(u, v) = m ⋅

∂ 2r

∂u2

=

∂ 2r ∂r ∂r , , ∂u2 ∂u ∂v EG − F2

,

II.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

26

M (u, v) = m ⋅

∂ 2r = ∂ u ∂v

∂ 2 r ∂ r ∂r , , ∂u ∂ v ∂u ∂v EG − F

2

,

2

N (u, v) = m ⋅

2

∂ r

=

∂ r ∂r ∂ r , , ∂v2 ∂u ∂v

. EG − F2 Нормальное сечение поверхности в точке (u0; v0) — кривая пересечения поверхности с нормальной плоскостью (плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке (u0; v0)). Кривизна нормального сечения, проведенного в направлении du/dv:

kN = Т е о р е м а

∂v2

L(du) 2 + 2M du dv + N(dv) 2 E(du) 2 + 2F du dv + G(dv) 2

М е н ь е .

.

Кривизна кривой γ, лежащей на поверхности, связана с

кривизной нормального сечения формулой

k=

kN , где 2 — угол между соприкасаюcos θ

щейся плоскостью кривой γ и плоскостью нормального сечения. В каждой точке поверхности существуют два главных нормальных сечения, для которых kN принимает наибольшее k1 и наименьшее k2 значения (главные кривизны), являющиеся корнями характеристического уравнения*)

L − kE

M − kF

M − kF N − kG

= 0.

Направления касательных к главным сечениям в данной точке называются главными направлениями (они взаимно ортогональны). Ф о р м у л а Э й л е р а . Кривизна произвольного нормального сечения выражается через главные кривизны k1, k2 и угол ϕ между касательным вектором к нормальному се2 2 чению и первым главным направлением: kN = k1 cos ϕ + k2 sin ϕ .

k1 + k2 1 EN − 2FM + GL . = 2 2 EG − F2 LN − M2 Гауссова кривизна (полная кривизна) поверхности: K (u, v) ≡ k1k2 ≡ . EG − F2

Средняя кривизна поверхности:

H (u, v) ≡

Значения k1, k2, H, K не зависят от выбора криволинейных координат.

*)

Кроме омбилических точек, в которых kN одно и то же для всех нормальных сечений.

27

4. Векторы и векторные функции 4.1. Векторная алгебра. Сложение векторов: a + 0 = a, a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c. Умножение вектора на число: λ⋅a = a⋅λ, λ⋅(µ⋅a) = (λ⋅µ) ⋅a, λ⋅(a + b) = λ⋅a + λ⋅b, (λ + µ) ⋅a = λ⋅a + µ⋅a. a = (a1; a2; a3),

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов b = (b1; b2; b3):

a a a a a1 a2 = 1 3 = 2 3 = 0. b1 b3 b2 b3 b1 b2

a = (a1; a2; a3),

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов

a1 a2 a3 b = (b1; b2; b3),

c = (c1; c2; c3):

b1

c1

b2

c2

b3 = 0 .

c3

Скалярное произведение двух ненулевых векторов a и b — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: (a, b) = | a | ⋅ | b | cos ϕ, ϕ = (a, b) . Другие обозначения: (a⋅b), a⋅b, ab. Свойства скалярного произведения: (a, b) = (b, a), ((ka), b) = k (a, b), 2 (a, (b + c)) = (a, b) + (a, c), (a,b) ≤ (a,a) ⋅ (b,b) (неравенство Коши–Буняковского). Скалярное произведение двух векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3) в координатах: (a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 . Угол между векторами a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3):

cos ϕ =

(a, b) = a ⋅ b

a1b1 + a2b2 + a3b3

a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32

.

Векторное произведение двух векторов a и b — вектор [a, b]: 1) модуль вектора [a, b] равен | a | ⋅ | b | ⋅ sin ϕ ( ϕ = (a , b ) ); 2) вектор [a, b] перпендикулярен как a, так и b ; 3) упорядоченная тройка векторов (a; b; [a,b]), отложенных от одной точки, образует правый базис. Другие обозначения: [a×b], a×b. Векторное произведение двух векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3) в координатах:

⎛ a a3 a3 a1 a1 a2 ⎞ [a, b] = ⎜ 2 ; ; ⎟. b b b b b b 3 3 1 1 2 ⎠ ⎝ 2

Свойства векторного произведения: [a, b] = – [b, a], [(α a), b] = α [a, b] (α — число), [(a + b), c] = [a, c] + [b, c], [a, [b, c]] = b (a, c) – c (a, b), [[a, b], c] = b (a, c) – a (b, c). Смешанное (скалярно-векторное) произведение трех ненулевых некомпланарных векторов, заданных своими координатами относительно правого базиса (i, j, k): a = (a1; a2; a3), a = (a1; a2; a3), c = (c1; c2; c3) — число, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, исходящих из одной точки. Это

28

II.4. ВЕКТОРЫ И ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

число положительно, если упорядоченная тройка (a; b; c) образует правый базис, и отрицательно, если левый*). Смешанное произведение векторов a, b, c, заданных своими координатами:

a1 a2 a3

a, b, c = b1

c1

b2

c2

b3 .

c3

Свойства смешанного произведения: = ([a, b], c) = ([b, c], a) = (c, [a, b]) = – (b, [a, c]). 4.2. Некоторые формулы векторного анализа. Градиент скалярной функции f(r): в декартовой системе координат xyz:

⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ grad f = ⎜ ; ; ⎟ ; ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 1 ∂f ⎞ ⎛ ∂f 1 ∂f ; ; ⎟; ⎝ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ ⎠ ⎛ ∂f 1 ∂f ∂f ⎞ grad f = ⎜ ; ; ⎟. ⎝ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ⎠

в сферических координатах r, 2, n: grad f = ⎜ в цилиндрических координатах ρ, ϕ, z: Дивергенция векторной функции F: в декартовой системе координат xyz:

div F =

∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ; ∂x ∂y ∂z

в сферических координатах r, 2, n:

div F =

∂Fϕ* 1 ∂ 2 * 1 ∂ *) + 1 r F F ( ) (sin , + θ ⋅ θ r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ r2 ∂r

где Fr* , Fθ* , Fϕ* — физические компоненты вектора F; в цилиндрических координатах

ρ, ϕ, z:

div F =

1 ∂ 1 ∂Fϕ* ∂Fz* , где + (ρFρ*) + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

Fρ* , Fϕ* , Fz* — физические компоненты вектора F в сферических координатах ρ, ϕ, z. Ротор векторной функции F:

i

в декартовой системе координат xyz:

rot F =

j

k

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ , или ∂z

Fx

Fy

Fz

⎛ ∂F ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fx ⎞ rot F = ⎜ z − ; ; − − ⎟; y z z x x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ *)

В случае, когда базис (i, j, k) — левый, смешанное произведение векторов a, b, c положительно, если тройка (a; b; c) образует левый базис, и отрицательно в противном случае.

4.2. НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА. в сферических координатах r, 2, n:

⎛ 1 rot F = ⎜ ⎜ r sin θ ⎝

29

⎡ ∂ ∂F* ⎤ ⎢ (Fϕ* sin θ) − θ ⎥ ; ∂ϕ ⎥ ⎢⎣ ∂θ ⎦

⎡ * ⎤ ⎡ ⎤⎞ 1 ⎢ 1 ∂Fr* ∂ (rFϕ ) ⎥ 1 ⎢ ∂ (rFθ*) ∂Fr* ⎥ ⎟ ; ; − − r ⎢ sin θ ∂ϕ r ⎢ ∂r ∂r ⎥ ∂θ ⎥ ⎟⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦⎠ в цилиндрических координатах ρ, ϕ, z: ⎛⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ 1 ∂Fz* ∂Fϕ* ⎥ ⎢ ∂Fρ* ∂Fz* ⎥ 1 ⎢ ∂ (ρ Fϕ*) ∂Fρ* ⎥ ⎟ . rot F = ⎜ ⎢ ; ; − − − ⎜ ⎢ ρ ∂ϕ ∂z ⎥ ⎢ ∂z ∂ρ ⎥ ρ ⎢ ∂ρ ∂ϕ ⎥ ⎟ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠ ⎝⎣ Простейшие формулы вычисления градиента, дивергенции и ротора (C — постоянная, c — постоянный вектор): grad C = 0, grad (Cf) = C grad f, grad (f1 + f2) = grad f1 + grad f2, grad (f1f2) = grad f1 + grad f2, div c = 0, div CF = C div F, div (F1 + F2) = div F1 + div F2, div (fF) = f div F + F grad f, rot c = 0, rot CF = C rot F, rot (F1 + F2) = rot F1 + rot F2, rot (fF) = f rot F + (grad f) × F. ∆f = div grad f.

Оператор Лапласа от скалярной функции f:

Оператор Лапласа в декартовой системе координат xyz:

∆f =

∂ 2f

∂x2

+

∂ 2f

∂y2

+

∂ 2f

∂z2

;

в сферических координатах r, 2, n:

∆f =

∂ 2f

∂ρ 2

+

2 ∂f 1 ∂ 2f 1 ∂ 2f 1 ∂f ; ctg + 2 + + θ ρ ∂ρ ∂θ ρ sin 2 θ ∂ ϕ 2 ρ2 ∂θ2 ρ2

в цилиндрических координатах ρ, ϕ, z:

∆f =

1 ∂ ⎛ ∂f ⎞ 1 ∂ 2f ∂ 2f . ρ + + ρ ∂ρ ⎝⎜ ∂ρ ⎠⎟ ρ2 ∂ϕ2 ∂z2

Ковариантная производная от контравариантных компонент вектора w = wkэk в произвольной системе криволинейных координат ηk с базисными векторами эk : k

∇ iw =

∂wk i

∂η

+ w j Γjik .

Ковариантная производная от контравариантных компонент вектора w = wkэk :

∇ iwk =

∂wk ∂ηi

− wj Γkij .

Основные обозначения: gij (i, j = 1, 2, 3) — компоненты метрического тензора;

в декартовой системе координат: g11 = g22 = g33 = 1, gij = 0 при i ≠ j;

в сферических координатах: g11 ≡ grr = 1, g22 ≡ gθθ = r2, g33 ≡ gϕϕ = r2 sin2θ, gij = 0 при i ≠ j;

в цилиндрических координатах: g11 ≡ gρρ = 1, g22 ≡ gϕϕ = ρ2, g33 ≡ gzz = 1, gij = 0 при i ≠ j.

II.4. ВЕКТОРЫ И ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

30

Свойства ковариантной производной:

∇i (c wk) = c ∇i wk; ∇i (vk + wk)= ∇i vk + ∇i wk; ∇i (vj wk) = wk ∇i vj + vj ∇i wk; ∇i (gjk) = 0; ∇i wj = gjk ∇i wk. Формулы для вычисления символов Кристоффеля по компонентам метрического тензора: i Γjk =

∂gjk ∂gks 1 is ⎛ ∂gjs g ⎜⎜ + + k 2 ∂ηs ∂η j ⎝ ∂η

⎞ ⎟; ⎟ ⎠

в ортогональной системе координат (gij = 0 при i ≠ j):

1 ii ∂gii g ; 2 ∂η j 1 ii ∂gii Γiii = ; g 2 ∂η i Γiji =

Γjji = − i Γjk =0

1 ii ∂g jj g ; 2 ∂η i

при i ≠ j, j ≠ k, i ≠ k.

Формулы для символов Кристоффеля в цилиндрической и сферической системах координат: Цилиндрические координаты ρ, ϕ, z:

Сферические координаты r, 2, n:

r = −r; Γθθ

r = −r sin2 θ; Γϕϕ

θ Γϕϕ = − sin θ cos θ;

Γrϕϕ =

1 ; r

Γrθθ

ρ Γϕϕ = −ρ;

1 = ; r

ϕ Γρϕ =

Γθϕϕ = ctg θ.

1 . ρ

Символы, не приведенные в таблице, тождественно равны нулю. Связь ковариантной производной с градиентом, дивергенцией и ротором: для скалярной функции ϕ: ∇i ϕ = grad ϕ ; для векторной функции w :

∇i wi = div w ;

для векторной функции w (u = rot w): разуют круговую перестановку из чисел 1, 2, 3;

uγ =

1 (∇ α wβ − ∇ β wα ) , g

g = det gij .

α, β, γ об-

31

III. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРОИЗВОДНЫЕ. ИНТЕГРАЛЫ. 1. Числовые последовательности 1.1. Основные определения. Число a называют пределом последовательности {an}:

lim an = a ,

n→∞

если для лю-

бого ε > 0 найдется такое число N = N(ε), что |xn – a| < ε при n > N. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Последовательность {an} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что an - M (an . M) для всех n. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной. Последовательность {an} называется возрастающей (убывающей), если an+1 > an (an+1 < an) для всех n. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. 1.2. Основные свойства пределов последовательностей. Если {xn} и {yn} — две сходящиеся последовательности, то lim (cxn) = c lim xn (c − число); n →∞

n →∞

lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn ;

n →∞

n →∞

n →∞

lim (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn ;

n →∞

n →∞

lim xn xn = n →∞ n →∞ yn lim yn lim

n →∞

при

n →∞

lim xn - lim yn

n →∞

n →∞

Если члены последовательностей x n - y n - zn и

lim xn = lim zn = a,

n →∞

n→∞

{xn},

то

lim yn ≠ 0;

n →∞

при

{yn},

xn - yn .

{zn}

удовлетворяют неравенствам

lim yn = a .

n→∞

Если члены последовательностей {xn}, {yn} удовлетворяют неравенству xn - yn

lim xn = a,

n →∞

lim yn = b,

n →∞

то

и

a - b.

Для существования предела последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое число N0 = N0 (ε) , К р и т е р и й

К о ш и .

что | xn – xn+p | < ε, как только n > N0 и p > 0. Т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а . Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

32

III.1. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1.3. Пределы некоторых последовательностей. Здесь a > 0, b > 1, α > 0, p — натуральное число. n

1⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = e; n⎠ n → ∞⎝ lim

n→∞

n

a = 1;

1 n lim = 1; n→∞ 1 n tg

lim

n

n → ∞ n n!

lim

n→∞

lim

n→∞

n

= e;

n = 1;

1p + 2p + … + np

an = 0; n → ∞ n! lim

lim

n→∞

nα n

b

n

lim n ( a − 1) = ln a;

n→∞

1 = ; p +1

= 0;

lim

n→∞

lim

n→∞

logb n nα

1 n = 1; 1n

sin

1p + 3p + … + (2n − 1) p

lim n→∞ np +1 1 1 ⎞ ⎛ 1 lim ⎜ + +…+ ⎟ = ln 2. 2n ⎠ n+2 n → ∞⎝ n + 1

np +1

= 0;

2p = ; p +1

33

2. Производные и дифференциалы 2.1. Основные определения. f (x0 + ∆x) − f (x0) . ∆x ∆x → 0 Если этот предел существует, то говорят, что f (x) дифференцируема в точке x0. df df (x) (x0) = Производную функции f (x) обозначают f′(x0) = . dx dx x = x

Производной функции y = f (x) в точке x0 называют предел

lim

0

Если приращение f(x0 + ∆x) – f(x0) может быть представлено в виде f(x0 + ∆x) – f(x0) = A(x0) ⋅ ∆x + o (∆x), где o (∆x) — бесконечно малая высшего порядка, то главная линейная часть этого приращения A(x0) ⋅ ∆x называется дифференциалом функции y = f (x) в точке x0: df (x0) = A(x0) dx Для существования дифференциала функции

(dx ≡ ∆x). y = f (x)

в точке

x0

необходимо и

достаточно, чтобы существовала производная f′(x0), причем df(x0) = f′(x0) dx.

Частной производной функции f(x1, …, xn) в точке ( x01 , … , xn0 ) по переменной xk наf (x10 , … , xk0 + ∆xk , … , xn0) − f (x10 , … , xn0) lim зывают предел . ∆xk ∆xk → 0 Если этот предел существует, то говорят, что функция f дифференцируема по xk. Част∂f (x10 , … , xn0) ную производную обозначают или fx′k (x10 , … , xn0) . ∂xk Если полное приращение может быть представлено в виде ∆f( x01 , …, xn0 ) = f( x01 +∆x1, …, xn0 +∆xn) – f( x01 , …, xn0 ) = A1∆x1 + … + An∆xn + o(ρ), где A1, …, An не зависят от ∆xi (i = 1, …, n) и ρ =

n

∑ (∆xk)2 , то функция

k =1

f(x1, …, xn)

называется дифференцируемой в точке ( x01 , … , xn0 ), и главная линейная часть приращения A1∆x1 + … + An∆xn, равная fx′1 dx1 + … + fx′n dxn (dxi ≡ ∆xi , i = 1, … , n) , (1) называется полным дифференциалом функции f(x1, …, xn)

в точке ( x01 , … , xn0 ), который

обозначается df. Слагаемые в (1) называются частными дифференциалами и обозначаются dxi f: dxi f = fx′i dxi (i = 1, … , n) . 2.2. Основные свойства производных и дифференциалов. Если u(x) ≡ const, то u′(x) ≡ 0, du ≡ 0. Если u(x) и v(x) — дифференцируемые функции в точке x0, то в этой точке:

(c⋅u)′ = c⋅u′ (c = const); (u ± v)′ = u′ ± v′;

d(cu) = c⋅du;

d(u ± v) = du ± dv;

34

III.2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

(uv)′ = u′v + uv′; d(uv) = v du + u dv; ′ u′v − uv′ ⎛ u ⎞ u dv − v du ⎛u⎞ ; d⎜ ⎟ = . ⎜ ⎟ = ⎝v⎠ ⎝v⎠ v2 v2 П р о и з в о д н а я о б р а т н о й ф у н к ц и и . Если функция y = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки x0 и существует производная f′(x0) ≠ 0, то об-

ратная функция g(y) дифференцируема в точке y0 = f (x0) и g′(y) = 1/f′(x0). П р о и з в о д н а я с л о ж н о й ф у н к ц и и . Если функции f (x) и ϕ (t) дифференцируемы в точках x0 и t0 соответственно и x0 = ϕ (t0), то сложная функция

f (ϕ (t)) дифференцируема в точке t0 и ( f ( ϕ (t) ) )′

t = t0

= f′(x0) ϕ(t0) =

d f (ϕ) dϕ (t) dϕ dt

. t = t0

П р о и з в о д н а я ф у н к ц и и , з а д а н н о й в п а р а м е т р и ч е с к о й ф о р м е . Если функции x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t0 и y′ (t ) y x´(t0) ≠ 0, то в точке x0 = x (t0) yx′ = t 0 = . xt′ (t0) x t =t 0

2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка. Если функции u(x) и v(x) имеют производные n-го порядка в точке x0, то в этой точке

dn (u + v) = dnu + dnv;

(u + v)(n) = u(n) + v(n);

(uv) (n) =

n

∑ Cnk u(k) v(n − k) ,

k=0

dn (uv) =

n

∑ Cnk dku dn − kv

(формула Лейбница).

k=0

В т о р а я п р о и з в о д н а я о б р а т н о й ф у н к ц и и . Если функция y = f (x) дважды дифференцируема в точке x0, непрерывна и монотонна в окрестности этой

точки и f′(x0) ≠ 0, то обратная функция x = g (y) также дважды дифференцируема в точке и g′′(y0) = −f′′(x0) / f′ 3 (x0) . В т о р а я п р о и з в о д н а я с л о ж н о й ф у н к ц и и . Если функции y = f (x) и x = ϕ (t) дважды дифференцируемы в точках x0 и t0 соответственно и

x0 =

ϕ (t0),

( f ( ϕ(t) ) )′′

t =t0

то сложная функция =

f′′(x0) ϕ′ 2 (t0)

f (ϕ (t))

дважды дифференцируема в точке

+ f′(x0) ϕ′′(t0) .

t0

и

В т о р а я п р о и з в о д н а я ф у н к ц и и , з а д а н н о й в п а р а м е т р и ч е с к о й ф о р м е . Если функции x(t) и y(t) дважды дифференцируемы

y ′′ x′ − yt′xtt′′ ′′ = tt t в точке t0 и x′(t0) ≠ 0, то в точке x0 = x (t0) yxx . 3 xt′

Т е о р е м а Ф е р м а . Если функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0, принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение и дифференцируема в точке x0, то f′(x0) = 0. Т е о р е м а Р о л л я . Если функция f (x) непрерывна на [a, b], имеет в каждой точке интервала (a, b) конечную производную и принимает равные значения на концах отрезка, то существует хотя бы одна такая точка c ∈ (a, b), что f′(c) = 0.

2.5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.

35

Т е о р е м а Л а г р а н ж а . Если функция f (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то в этом интервале существует по крайней мере одна такая точка c, что

f (b) − f (a) = f′(c) . b−a

Т е о р е м а К о ш и . Если функции f (x) и g (y) непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b) и g′(x) ≠ 0 для x ∈ (a, b), то существует такая точка c ∈ (a, b), что

f (b) − f (a) f′(c) . = g (b) − g (a) g′(c)

2.4. Производные от элементарных функций.

(xα )′ = α ⋅ xα −1

(sin x)′ = cos x; (tg x)′ = (arcsin x)′ = (arctg x)′ =

(cos x)′ = − sin x;

1

2

cos x 1 1− x 1

1 + x2

(ctg x)′ = −

;

2

(arccos x)′ = −

;

(arcctg x)′ = −

;

(sh x)′ = ch x; 1

2

ch x

1

(cth x)′ = −

;

;

sin2 x 1 1− x 1

1 + x2 1 (loga x)′ = ; x ln a (ch x)′ = sh x;

(ax)′ = ax ln a;

(th x)′ =

(xx)′ = xx (ln x + 1);

(α = const);

1

sh2 x

2

;

;

.

2.5. Частные производные и дифференциалы. П р о и з в о д н а я

с л о ж н о й

ф у н к ц и и . 0

Если функция

y =

= y(x1, …, xn) дифференцируема в точке x =

(x10 , … , xn0) , а функции xi = xi (t1, …, tm)

(i = 1, …, n;

j = 1, …, m), то сложная функция y(x(t))

имеют частные производные

∂xi ∂tj

∂y имеет в точке t 0 частные производные , которые вычисляются по формуле ∂tj

∂y = ∂tj

n

∂y ∂xi . t ∂ i j

∑ ∂x

i =1

И н в а р и а н т н о с т ь ф о р м ы п е р в о г о д и ф ф е р е н ц и а л а . Если функция y (x) дифференцируема в точке x0, а функции xi = xi (t) (i = 1, …, n) дифференцируемы в точке t 0, то сложная функция y (x(t)) = y (x1(t), …, xn(t)) дифференцируема в точке t 0: dy =

∂ y(x(t0)) ∑ ∂t dtj = j j =1 m

n

∂ y(x0) ∑ ∂x dxi (t 0) . i i =1

36

III.2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е ф у н к ц и и , з а д а н н о й в н е я в н о м в и д е . Если функция задана в неявном виде уравнением F (x1, …, xn, y) = 0,

y = f(x1, …, xn) в окрестности некоторой точки 0 0 ( x1 ; … ; xn ; y0), и в окрестности этой точки существуют частные производные Fx′ , Fy′ , неi

которое разрешимо относительно

прерывные в этой точке, и Fy′ ≠ 0, то в точке ( x10 ; … ; xn0 ) существуют непрерывные частные производные fx′ , причем fx′ = – Fx′ / Fy′ . i

i

i

Ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е н е я в н ы х ф у н к ц и й , о п р е д е л я е м ы х с и с т е м о й у р а в н е н и й . Пусть функции yj = fj(x1, …, xn) (j = 1, …, n) заданы неявно системой уравнений Fi(x1, …, xn, y1, …, ym) = 0 0 (i = 1, …, m), которая в некоторой окрестности точки ( x10 ; … ; xn0 ; y10 ; … ; ym ) имеет единст-

венное решение. Тогда частные производные

∂Fk m ∂Fk ∂fj +∑ =0 ∂xi j =1 ∂yj ∂xi

∂fj

∂xi

находятся как решение системы

(k = 1, 2, … , m) .

Д и ф ф е р е н ц и а л ы в ы с ш и х п о р я д к о в ф у н к ц и и д в у х п е р е м е н н ы х . Дифференциал n-го порядка от функции двух переменных f(x, y):

dnf (x, y) =

n

∂f (x, y)

∑ Cnk ∂xn − k∂yk dxn − k dky ,

k=0

где Cnk — биномиальные коэффициенты.

37

3. Первообразная и неопределенный интеграл 3.1. Основные определения. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на промежутке X*), если функция непрерывна на X и F′(x) = f(x) во всех внутренних точках. Неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке X называют, и обозначаf (x) dx = F(x) + C (C = const). ют f (x) dx , множество всех первообразных:

∫

∫

3.2. Свойства неопределенного интеграла. Если функция f(x) имеет первообразную на промежутке X, то для внутренних точек

d f (x) dx = f (x) . dx ∫

промежутка

Если функция f(x) непрерывна на промежутке X и дифференцируема в его внутренних df (x) = f (x) + C . точках, то

∫

Если функция f(x) имеет первообразную на промежутке X, а k — число, то для функции kf(x) существует первообразная и kf (x) dx = k f (x) dx .

∫

∫

Если функции f(x) и g(x) имеют первообразную на промежутке X, то функция f(x) + g(x) также имеет первообразную и [f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx .

∫

∫

∫

И н т е г р и р о в а н и е п о ч а с т я м . Если функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке X, дифференцируемы в его внутренних точках и существует интеграл g (x) df (x) , то на X существует и интеграл f (x) dg (x) и

∫

∫

∫ f(x) dg(x) = f(x) g(x) − ∫ g(x) df(x) . И н т е г р и р о в а н и е п о д с т а н о в к о й ( з а м е н а п е р е м е н н о й ) . Если функция f(z) определена и имеет первообразную на промежутке Z, а функция z = g(x) непрерывна на промежутке X, дифференцируема в его внутренних точках и g(X) ⊂ Z, то функция f(g(x)) ⋅ g′(x) имеет первообразную на X и

∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(z) dz .

3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций. α ∫ x dx = x ∫ a dx =

xα +1 +C α +1

ax ; ln a

∫ sin x dx = − cos x; ∫ tg x dx = − ln cos x ; ∫ sh x dx = ch x; *)

Конечном или бесконечном

(α ≠ −1) ;

постоянную C далее везде опускаем;

∫

dx = ln | x | (x ≠ 0) x

∫ cos x dx = sin x; ∫ ctg x dx = ln sin x ; ∫ ch x dx = sh x;

38

III.3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

dx

dx

∫ sin2 x = − ctg x;

∫ cos2 x = tg x;

∫ sh2 x = − cth x;

∫ ch2 x = th x;

dx

dx

∫ x2 + a2 ∫

=

dx 2

a −x

2

dx

∫ sin x = ln

x 1 arctg a a = arcsin

tg

x ; 2

∫ th x dx = ln ch x; dx

∫ sh x = ln

dx

th

x ; 2

x a

(a ≠ 0);

( x < a);

dx

∫ x 2 − a2 ∫

=

dx

2

2

x ±a dx

∫ cos x = ln

1 x−a ln 2a x+a

= ln x + x2 ± a2 ⎛x π⎞ tg ⎜ + ⎟ ; ⎝2 4⎠

∫ cth x dx = ln sh x ; dx

(a ≠ 0);

∫ ch x = 2 arctg e

x

.

(a ≠ 0);

39

4. Некоторые неопределенные интегралы 4.1. Интегралы от рациональных функций. И н т е г р а л ы ,

∫

Xn dx = dx

1

x dx

=

с о д е р ж а щ и е

1 Xn +1 a (n + 1)

X = ax + b.

(n ≠ −1);

∫ X = a ln X ; x dx x b ∫ X = a − a2 ln X ; ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b

+

1

ln X ; a2X a2 ⎞ −1 1 ⎛ b = + (n ≠ 1, 2) ; ⎜ ⎟ Xn a2 ⎜⎝ (n − 2) Xn − 2 (n − 1) Xn −1 ⎟⎠ ⎞ x2dx 1 ⎛ X2 = 3⎜ − 2bX + b2 ln X ⎟ ; ⎟ X a ⎜⎝ 2 ⎠ x2dx 1 ⎛ b2 ⎞ = 3 ⎜ X − 2b ln X − ⎟ ; X ⎟⎠ X2 a ⎜⎝ x2dx 1 ⎛ 2b b2 ⎞ = 3 ⎜ ln X + − ⎟; X 2X2 ⎟⎠ X3 a ⎜⎝ ⎞ x2dx 1 ⎛ 2b b2 −1 = + − ⎜ ⎟ Xn a3 ⎜⎝ (n − 3) Xn − 3 (n − 2) Xn − 2 (n − 1) Xn −1 ⎟⎠ dx 1 X = − ln ; xX b x dx 1 ⎛ X ax ⎞ = − 2 ⎜ ln + ⎟; 2 X⎠ xX b ⎝ x X2 x dx

n −1 1 ⎡ X (−a)i xi ⎤ i ⎥ (n . 1) ; Cn −1 = − n ⎢ln − xXn b ⎢⎣ x i =1 iXi ⎥⎦ dx 1 a X = − + ; ln bx b2 x x2 X ⎡ 1 dx 1 2 X⎤ = −a ⎢ 2 + 2 − 3 ln ⎥ ; 2 2 x⎦ x X ⎣ b X ab x b n i −1 i −1 dx 1 ⎡ X X⎤ i (−a) x = − n +1 ⎢ Cn + − na ln ⎥ x x⎥ x2 X n b (i − 1) Xi −1 ⎢⎣ i = 2 ⎦

dx

(n ≠ 1, 2, 3) ;

∑

∑

(n . 2) ;

40

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

dx

∫ xm X n

=−

m −1 m −1 Cm ln + n − 2 (−a)

∫ ∫ ∫

∫

i =0

Xm − i −1 (−a)i

i Cm + n −2

(m − i − 1) xm − i −1

X . x

∫

∫

x2dx x b b2 − 2ac = − 2 ln X + X a 2a 2a2

∫ ∫

xmdx

=−

Xn

Xn

−x

(2n − 3) aXn −1

+

∫

c (2n − 3)a

xm −1

(2n − m − 1) aXn −1

+

dx ; X dx

∫ Xn

x2n −1dx Xn

1 a

x2n − 3dx

∫

Xn −1

dx 1 x2 b ln = − 2c xX 2c X dx

∫ xXn

∫

=

=

1

∫

2c (n − 1) Xn −1

−

c a

∫

−

(n − 2)b (2n − 3)a

(m − 1) c (2n − m − 1) a

−

∫

(∆ = 4ac – b2).

∫

=

∫

X = ax2 + bx + c


2ax + b ⎧ 2 (для ∆ > 0), ⎪ ∆ arctg ∆ dx ⎪ =⎨ X ⎪− 1 ln 2ax + b − −∆ (для ∆ < 0); ⎪ 2 ax b −∆ + + −∆ ⎩ dx 2ax + b (2n − 3)2a dx = + ; (n − 1) ∆ Xn (n − 1) ∆Xn −1 Xn −1 x dx b dx 1 = ln X − ; X 2a 2a X x dx bx + 2c b(2n − 3) dx =− − ; n n −1 (n − 1) ∆ Xn −1 X (n − 1) ∆X

x2dx

∫

;

то соответствующий член под знаком суммы заменяется членом

И н т е г р а л ы ,

∫

∑

bm + n −1

m – i – 1 = 0,

если

m + n −2

1

x2n − 3dx Xn

−

b a

∫

b

X

Xn

xm − 2dx Xn

(n − m)b (2n − m − 1) a

∫

x2n − 2dx Xn

;

−

xm −1dx Xn

(m ≠ 2n − 1);

;

dx ; X

−

b 2c

dx

∫ Xn

+

1 dx ; c xXn −1

∫

1 ⎛ b2 a ⎞ dx ; ln = − + − ⎜ ⎟ x2X 2c2 x2 cx ⎜⎝ 2c2 c ⎟⎠ X dx 1 (2n + m − 3) a = − − (m − 1) c xm X n (m − 1) cxm −1Xn −1

dx

∫

∫

x dx

∫

−

dx

∫ xm − 2 X n −

(n + m − 2) b dx (m − 1) c xm −1Xn

∫

(m > 1) ;

4.1. ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. И н т е г р а л ы ,


41

X = a2 ± x2.

x x 1 a+x для знака плюс, arth = ln для знака минус a a 2 a−x x 1 a+x при | x | < a, arth = ln для знака минус при | x | > a. В случае двойного знака в a 2 x−a Через Y обозначено arctg

формуле верхний знак относится к X = a2 + x2, нижний знак — к X = a2 – x2.

dx

1

∫ X = aY ; dx x 2n − 1 dx + ∫ Xn +1 2na2Xn 2na2 ∫ Xn ; ∫ ∫ ∫

x dx 1 = ± ln X ; X 2 x dx 1 =∓ (n ≠ 0) ; n +1 X 2nXn

x2dx = ± x ∓ aY ; X x2dx

∫ Xn +1 ∫ ∫

=∓

x

2nXn

±

1 2n

dx

∫ Xn

(n ≠ 0) ;

x3dx x 2 a2 =± − ln X ; X 2 2

x3dx X2

x3dx

a2 1 = + ln X ; 2X 2

a2

1

∫ Xn +1 = − 2(n − 1)Xn −1 + 2nXn

(n > 1) .

И н т е г р а л ы , с о д е р ж а щ и е X = a3 ± x3. В случае двойного знака в формуле верхний знак относится к X = a3 + x3, нижний знак — к X = a3 – x3.

∫

dx 1 (a ± x) 2 1 2x ∓ a = ± 2 ln + 2 arctg ; X a 3 6a a2 ∓ ax + x2 a 3 dx

x

dx

3

∫ X2 = 3a3X + 3a3 ∫ X ; ∫

a2 ∓ ax + x2 x dx 1 1 2x ∓ a = ± ln arctg ; X 6a a 3 a 3 (a ± x) 2 x2

∫

x dx

∫

x2dx 1 = ± ln X ; X 3

X2

=

3a2X

+

1

3a2

∫

x dx ; X

42


∫

x2dx

∫

x3dx dx = ± x ∓ a3 ; X X

∫

X2

1 ; 3X

=∓

∫

x3dx X2

x 1 ± 3X 3

=∓


dx

=

x dx

∫ a4 + x 4

=

x2dx

∫ a4 + x 4

=−

x3dx

=

∫ a4 + x 4

∫ a4 + x 4

1

4a3 2

dx . X

∫

с о д е р ж а щ и е X = a4 + x4.

ln

x2 + ax 2 + a2

+

x2 − ax 2 + a2

1

2a3 2

arctg

ax 2

a2 − x2

;

x2 arctg ; 2a2 a2 1

x2 + ax 2 + a2 ax 2 1 1 + ln 2 arctg ; 4a 2 x − ax 2 + a2 2a 2 a2 − x2

1 ln(a4 + x4) . 4


dx

с о д е р ж а щ и е X = a4 – x4.

a+x

1

x

1

∫ a4 − x4 = 4a3 ln a − x + 2a3 arctg a ; x dx

∫ a4 − x 4 x2dx

∫ a4 − x 4 ∫

1

=

4a

ln 3

a2 + x2 a2 − x2

;

1 1 a+x x ln arctg ; − 4a a − x 2a a

=

x3dx

1 = − ln a4 − x4 . 4 4 4 a −x

4.2. Интегралы от иррациональных функций. И н т е г р а л ы

x dx

∫ a + bx = x dx

в и д а

∫ (a ± bx)m

∫ (a ± bx)m

(при a > 0, b > 0, n = 0, 1, 2, …; m = 1, 2, 3, …).

2 x 2 a bx − arctg ; b a b b

∫ a − bx = − x dx

x± n +1 2dx

2 x a + ln b b b

=

±x x

a + bx ; a − bx

(m − 1) a(a ± bx) m −1

+

2m − 5 2a(m − 1)

x dx

∫ (a ± bx)m −1

(m . 2) ;

4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

∫

x x dx 6a x − 2bx x 2a2 bx ; =− + arctg a + bx a 3b2 b2 ab

∫

x x dx 6a x + 2bx x a a =− + 2 ln a − bx 3b2 b b x x dx

x x

a + bx ; a − bx x dx

3

∫ (a ± bx)m = ± (m − 1)(a ± bx)m −1 ∓ 2b(m − 1) ∫ (a ± bx)m −1 n

(−1) k akxn − k

∫

xn x dx =2 x a ± bx

∫

dx = x (a + bx)

2 bx ; arctg a ab

∫

dx = x (a − bx)

1 ln ab

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∑ (2n − 2k + 1)(±b)k +1 + (∓b)n +1 ∫

k=0

x 1 bx + arctg ; a(a + bx) a ab a

dx

=

x 1 + ln a(a − bx) 2a ab

x (a − bx) 2 dx x (a ± bx)

m

=

2 x a(a ± bx)

в и д а

(m . 2) ;

dx x (a ± bx)

(n . 2) ;

a + bx ; a − bx

=

И н т е г р а л ы

∫

an +1

dx

x (a + bx) 2

43

∫

m −1

±

a + bx ; a − bx

(2m − 3) b a

x± ndx

(a + bx)

x dx

∫ (a ± bx)m .

(при n = 0, 1, 2, …; m = 1, 3, 5, …).

m

dx 2 = a + bx ; a + bx b x dx 2 a ⎞ ⎛ a + bx = + ⎜ ⎟; m 2 m−2 ⎝ m − 4 − m 2 ⎠ (a + bx) b (a + bx) x2 dx (a + bx)

m

x3dx (a + bx)m xndx (a + bx) m

=

= =

2 b3 (a + bx) m − 2

2 b4 (a + bx)m − 2

⎛ (a + bx) 2 2a(a + bx) a2 ⎞ + − ⎜− ⎟; ⎜ ⎟ m 6 m 4 m 2 − − − ⎝ ⎠

⎡ (a + bx)3 3a(a + bx)2 3a2 (a + bx) a3 ⎤ + − + ⎢− ⎥; m−6 m−4 m − 2 ⎥⎦ ⎢⎣ m − 8

2 bn +1 (a + bx) m − 2

n

∑

k=0

(−1) kCnk (a + bx) n − k ak ; 2n − 2k − m + 2

44


∫ ∫

⎧ 1 a + bx − a (a > 0), ln ⎪ a + bx + a dx ⎪ a =⎨ x a + bx ⎪ 2 a + bx (a < 0); arctg ⎪ −a ⎩ −a dx 2 1 dx = + (m − 2) a (a + bx) m − 2 a x (a + bx)m − 2 x (a + bx) m

∫

∫ xn

(2n − 3) b dx (n . 2) ; a + bx (n − 1) axn −1 2(n − 1) a xn −1 a + bx dx 1 mb dx =− − (a + bx)m (n − 1) xn −1 (a + bx)m 2(n − 1) xn −1 (a + bx)m + 2 −2 2n dx = − (m − 2) bxn (a + bx) m − 2 (m − 2) b xn +1 (a + bx) m − 2

dx

∫ xn

=−


∫ ∫ ∫

a + bx

в и д а

∫x

±n

∫

−

∫

(n . 2) ;

∫

(m . 3) .

(a + bx) m dx (при n = 0, 1, 2, …; m = 1, 3, 5, …).

2 (a + bx) m + 2 ; (m + 2) b 2 ⎡ (a + bx) m + 4 a (a + bx) m + 2 ⎤⎥ ; x (a + bx) m dx = 2 ⎢ − m+4 m+2 ⎥ b ⎢ ⎣ ⎦ 2 ⎡ (a + bx) m + 6 2a (a + bx) m + 4 a2 (a + bx) m + 2 ⎤⎥ ; x2 (a + bx) m dx = 3 ⎢ − + m+6 m+4 m+2 ⎥ b ⎢ ⎣ ⎦ (a + bx) m dx =

2 (a + bx) m + 2

n

∑

(−1) kCnk (a + bx) n − k ak ; 2n − 2k + m + 2

∫x

n

∫

⎧ a + bx − a ⎪2 a + bx + a ln a + bx + a a + bx ⎪ dx = ⎨ x ⎪ a + bx 2a arctg ⎪ 2 a + bx + −a −a ⎩

∫

(a + bx) m 2(a + bx) m / 2 (a + bx) m / 2 −1 dx = +a dx ; x m x

∫ ∫

(m . 3) ;

(a + bx)

m

dx =

bn +1

k=0

(a > 0), (a < 0);

∫

(a + bx) m x2

a + bx x

n

dx = −

dx = −

(a + bx) m + 2 2ax2

(a + bx) 3 (n − 1) ax

n −1

+

mb + 2a

∫

(5 − 2n) b 2a(n − 1)

∫

(a + bx) m dx ; x a + bx xn −1

dx

(n . 2) ;


∫

(a + bx) m xn


dx = −

(a + bx) m + 2

b(m − 2n + 4) + 2a(n − 1)

(n − 1) axn −1

∫x

в и д а

±n

∫

(a + bx)m xn −1

45

dx

(n . 2) ;

(a + bx) ± n (c + fx) ± m dx (∆ = af – bc ≠ 0, n = 1, 3, 5, …;

m = 1, 3, 5, …).

∫ ∫

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ dx ⎪ =⎨ (a + bx)(c + fx) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ dx (a + bx)(c + fx) m

2bfx + af + bc −1 arcsin ∆ −bf

(bf < 0),

2 ln bf (a + bx) + b c + fx bf −f (a + bx) 2 arctg b(c + fx) −bf

=−

2 ∆ (m − 2)

(bf > 0),

(b > 0, f < 0);

⎡ a + bx + ⎢ m −2 ⎢⎣ (c + fx)

b(m − 3) + 2

∫

⎤ ⎥ m−2 ⎥ (a + bx)(c + fx) ⎦ dx

(m . 3);

∫

⎧ (a + bx)(c + fx) 2bfx + af + bc ∆ (bf < 0), arcsin + ⎪ f ∆ 2 f bf − a + bx ⎪ dx = ⎨ c + fx ∆ ⎪ (a + bx)(c + fx) ln bf (a + bx) + b c + fx (bf > 0); − ⎪ f f bf ⎩

∫

2 (a + bx) n (c + fx) (a + bx) n n∆ dx = − (n + 1) f (n + 1) f c + fx

∫ ∫

a + bx (c + fx)

m

dx = −

∫ ∫

2 a + bx b + m − 2 f(m − 2) (c + fx) f(m − 2)

(a + bx) n (c + fx) dx =


dx a2 + b2x2 dx 2

∫

в и д а

=

2 2 m

(a + b x )

∫

(a + bx) n − 2 dx ; c + fx

∫

dx (a + bx)(c + fx)

2 (a + bx) n + 2 (c + fx) ∆ + b(n + 3) b(n + 3) xn dx 2

2 2 m

(a + b x )

∫

=

am −1

(m − 3) 2

∑

k=0

(m . 3) ;

(a + bx) n dx . c + fx

(a > 0, b > 0, n = 0, 1, 2, …; m = 1, 3, 5, …).

1 ln bx + (a2 + b2x2) m ; b 1

m−2

(−1) kC(km − 3) 2

2k 2k +1 2b x 2 2 2k +1

(2k + 1) (a + b x )

(m . 3) ;

46


∫ ∫ ∫ ∫

x dx

1 = 2 a2 + b2x2 ; b a2 + b2x2 x dx 1 =− (a2 + b2x2) m (m − 2) b2 (a2 + b2x2) m − 2 x2dx

x a2 + b2x2

=

a2 + b2x2

2b2

x2dx

=−

(a2 + b2x2) 3


∫x

a2 + b2x2

2 2 m

2

2 2 2 ln bx + a + b x ; 2b3

+

b2 a2 + b2x2

1

2 2 2 ln bx + a + b x . b3

dx

∫ xn

2 2 m

2

(a + b x )

(a > 0, b > 0, n = 1, 2, 3, …; m = 1, 3, 5, …).

1 a + a2 + b2x2 ; = − ln a bx

dx

∫x

a2

x

в и д а

dx

−

(m . 3) ;

(a + b x )

=

(m −1) 2

∑

k =1

1 2k

(m − 2k) a

2 2 m − 2k

2

(a + b x )

−

a + a2 + b2x2 − m ln bx a 1

dx

∫ x2

2

2 2

a +b x

=−

dx

∫ x2

2 2 m

2

(a + b x ) dx

∫ x3

a2 + b2x2 dx

∫ x3

=−

2 2 m

2

=

(a + b x )

a2 + b2x2 a2x

am +1

∫

в и д а

(−1) kC(km −1) 2 b2kx2k −1 2 2 2k −1

2

(2k − 1) (a + b x )

k=0

2a2x2

a + a2 + b2x2 ; + 3 ln bx 2a 2 4

(m − 2)b x 4

(m − 2) b2

∫x

±n

2

2 2 m −2

(a + b x )

∫ x5

−

dx 2

2 2 m−2

(a + b x )

2 2

(m . 3);

(a2 + b2x2) m dx (a > 0, b > 0, n = 0,1,2,…; m = 1,3,5,…).

x a2 + b2x2 a2 a + b x dx = + ln bx + a2 + b2x2 ; 2 2b 2

;

b2

1 −


∑

a2 + b2x2

=−

;

(m −1) 2

1

(m . 3);


∫ ∫

(a + b x )

x ma2 2 2 2 m dx = (a + b x ) + m +1 m +1 (a2 + b2x2) m + 2

x (a2 + b2x2) m dx =

∫x

∫

2 2 m

2

2

2 2 m

2

(a + b x )

(m + 2) b2

xn (a2 + b2x2)m dx =

(a2 + b2x2) m − 2 dx ;

;

x (a2 + b2x2) m + 2

dx =

∫

a2

−

2

(m + 3) b

xn −1 (a2 + b2x2)m+ 2 2

(m + n + 1) b

2

(m + 3) b

−

∫

(a2 + b2x2) m dx = x

∫

x2

∫

x2

∫

∫x

±n

∫

(a2 + b2x2) m − 2 dx .

(a2 − b2x2) m dx (a > 0, b > 0, n = 0,1,2,…; m = 1,3,5,…).

∫

x a2 − b2x2 a2 bx a − b x dx = + arcsin ; 2 2b a

∫

(a2 − b2x2)m dx =

2

∫x

(a2 + b2x2)m dx ;

(a2 + b2x2) m − 2 dx ; x

(a2 + b2x2) m dx = − + mb2 x

Интегралы вида

n −2

a2 + b2x2 + b ln bx + a2 + b2x2 ; x

dx = −

(a2 + b2x2) m

(a2 + b2x2) m dx ;

x b (m + n + 1) ∫ 2

∫

(a2 + b2x2) m + a2 m

∫

a2 (n − 1)

a2 + b2x2 a + a2 + b2x2 2 2 2 ; dx = a + b x − a ln x bx

a2 + b2x2

47

2 2

2

2 2

a − b x dx = −

x ma2 (a2 − b2x2)m + m +1 m +1 (a2 − b2x2) 3 3b2

∫

x (a2 − b2x2) m dx = −

∫

x2 a2 − b2x2 dx =

(m + 2) b2

8b2

(a2 − b2x2)m − 2 dx

;

a2 − b2x2 +

x (a2 − b2x2) m + 2

a4

bx arcsin ; a 8b3 a2

∫x

2

∫

a2 − b2x2 a + a2 − b2x2 ; dx = a2 − b2x2 − a ln x bx

2

2 2 m

(a − b x )

dx = −

(m . 3) ;

;

(a2 − b2x2) m + 3

2b2x3 − a2x

∫

(m + 3) b2

+

(m + 3) b2 ∫

(a2 − b2x2) m dx ;

48


∫ ∫ ∫

(a2 − b2x2) m 1 dx = (a2 − b2x2) m + a2 x m a2 − b2x2 x2

2


∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

dx a2 − b2x2

=

2 2 m

(a − b x ) x dx 2

2 2

a −b x x dx

(a − b x ) x2dx a2 − b2x2

(a2 − b2x2) 3 x2dx 2 2 m

(a − b x ) xndx a2 − b2x2

(a2 − b2x2) m xndx 2 2 m

(a − b x )

x

∫

∫

(a2 − b2x2)m − 2 dx .

(a > 0, b > 0, n = 0, 1, 2, …; m = 1, 3, 5, …).

2 2 m

2

dx − b2

2

xndx (a − b x )

C(km − 3) 2b2kx2k +1

(m − 3) 2

1

∑

am −1 b2

(2k + 1) (a − b x )

1 2

(a − b x )

x b2 a2 − b2x2

bx arcsin ; a 2b3 −

∑

k=0

(2k + 3) (a − b x )

=

b

∫

+

n −1

tkdt (a2 − b2t2) m

2

b

∫x

n −2

(m . 5) ;

a2 − b2x2 dx ;

(t = x2) ;

xn −1

2

2 2 2k + 3

2

2

1 2

1

C(m − 5) 2b2kx2k + 3

xn −1 a2 − b2x2

=

bx arcsin ; a b3

(m − 5) 2

am − 3

;

a2

+

2b2

=

2 2 m −2

2

(m − 2) b

1

(m . 3) ;

;

x a2 − b2x2

=

2 2 2k +1

2

k=0

a2 − b2x2

=

=−

x2k +1dx

2

=

=−

x2dx

2

(m . 3) ;

1 bx arcsin ; b a

=−

2 2 m

2

(a2 − b2x2) m − 2

∫

dx = a2

в и д а

dx 2

∫

a2 − b2x2 bx dx = − − b arcsin ; x a

(a2 − b2x2) m x

(a2 − b2x2) m − 2 dx x

2

2 2 m −2

−

n −1

b (m − 2) (a − b x )

b2 (m − 2)

∫

− xn − 2dx (a2 − b2x2) m − 2

(m . 3);

4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. И н т е г р а л ы

a2 − b2x2 dx

∫x

(a − b x )

(m −1) 2

∑

=

2 2 m

2

(a > 0, b > 0, n = 0, 1, 2,…; m = 1, 3, 5,…).

2 2 m

2

1 a + a2 − b2x2 ; = − ln a bx

dx

∫x

dx

∫ xn

в и д а

49

(a − b x )

1 2k

(m − 2k) a

k =1

2 2 m − 2k

2

(a − b x )

−

a + a2 − b2x2 − m ln bx a 1

∫ x2 ∫ x2

dx 2

a2 − b2x2

=−

2 2

a −b x dx

(a2 − b2x2) m

a2 x

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

dx b2x2 − a2

2 m

(b x − a ) x dx

(b2x2 − a2) m x2dx b2x2 − a2

x2dx (b2x2 − a2) m =

xndx

2 2

2 m

(b x − a )

(m . 3) .

(b2x2 − a2) ±m dx (a > 0, b > 0, n = 0,1,2,…; m = 1,3,5,…).

=

(−1) (m −1)

2 (m − 3) 2

=−

(−1) kC(km − 3)

∑

am −1

=−

(b2x2 − a2) 3

b2x2 − a2

k=0

(2k − 1) (a2 − b2x2) 2k −1

∑

2k 2k +1 2b x

2 2

2 2k +1

(2k + 1) (b x − a )

k=0

1

(m − 2) b2 (b2x2 − a2) m − 2

(m . 3) ;

;

x b2x2 − a2 a2 = + 3 ln bx + b2x2 − a2 ; 2b 2b

x2dx

xndx

C(km −1) 2 b2kx2k −1

1 ln bx + b2x2 − a2 ; b

=

dx 2 2

±n

;

(m −1) 2

am +1

∫x

Интегралы вида

∫

1

(m . 3);

=

x b2 b2x2 − a2

(−1) (m − 3)

=−

b

(−1) kC(km − 5)

n −1 2

b

∫x

n−2

xn−1 2

2 2

2k 2k + 3 2b x

(2k + 3) (b2x2 − a2) 2k + 3

k=0

−

ln bx + b2x2 − a2 ;

3

∑

xn −1 b2x2 − a2 b

1

2 (m − 5) 2

am − 3 2

+

2 m−2

b (m − 2) (b x − a )

+

(m . 5) ;

b2x2 − a2 dx ;

n −1

b2 (m − 2)

∫

xn−2dx 2 2

2 m− 2

(b x − a )

(m . 3);

50


dx

∫x

b2x2 − a2

∫ x2

∫ xn

a 1 ; arccos 2 bx

=

dx b2x2 − a2 dx

=

(b2x2 − a2) m

b2x2 − a2 a2x

=−

;

1 (m − 2) b2xn +1 (b2x2 − a2) m − 2 −

n +1

(m − 2) b2

∫ xn + 2

−

dx (b2x2 − a2) m − 2

∫

x b2x2 − a2 a2 − b x − a dx = ln bx + b2x2 − a2 ; 2 2b

∫

(b2x2 − a2) m dx =

2 2

∫x

n

(m . 3);

2

2 2

2 m

x ma2 (b2x2 − a2) m − m +1 m +1

(b x − a ) dx =

xn −1 (b2x2 − a2)m+ 2 2

(m + n + 1) b

+

∫

(b2x2 − a2) m xn

dx = −a

∫

xn

2

(m + n + 1) b

∫

(b2x2 − a2) m − 2

(b2x2 − a2) m − 2 dx ;

(n − 1) a2

b2x2 − a2 a dx = b2x2 − a2 − a arccos ; x bx 2

∫

2

dx + b

∫

∫x

n −2

(b2x2 − a2)m dx;

(b2x2 − a2) m − 2 xn − 2

dx .

4.3. Интегралы от тригонометрических функций. И н т е г р а л ы , с о д е р ж а щ и е с и н у с (n . 0 — целое, a . 0 — действительное).

sinn −1 ax cos ax n − 1 + sinn − 2 ax dx na n

∫

sinn ax dx = −

∫

∫

xn n x sin ax dx = − xn −1 cos ax dx cos ax + a a

∫

sin ax (ax) 3 (ax) 5 (ax) 7 dx = ax − + − +… = x 3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5! 7 ⋅ 7!

∫ ∫

sin ax

∫

n

(n > 0) ; ∞

∑

k=0

(−1) k (ax) 2k +1 ; (2k + 1) ⋅ (2k + 1) !

1 sin ax a cos ax dx ; + n − 1 n −1 x n − 1 xn −1 x dx 1 cos ax n−2 dx =− + ; n n − 1 n a(n − 1) sin ax n − 1 sin − 2 ax sin ax n

dx = −

∫

∫

(n > 0) ;

4.3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.

∫ ∫ ∫

x dx 1 ⎛ (ax) 3 7(ax)5 31(ax) 7 127 (ax) 9 = 2 ⎜ ax + + + + +…+ sin ax a ⎜⎝ 3 ⋅ 3! 3 ⋅ 5 ⋅ 5! 3 ⋅ 7 ⋅ 7! 3 ⋅ 5 ⋅ 9! ⎞ 2(22n −1 − 1) + Bn (ax) 2n +1 + … ⎟ (Bn − числа Бернулли); ⎟ (2n + 1) ! ⎠ x dx x 1 = − ctg ax + 2 ln sin ax ; 2 a sin ax a x dx x cos ax 1 =− − + n n −1 sin ax (n − 1) a sin ax (n − 1)(n − 2) a2 sinn − 2 ax n−2 x dx (n > 2); + n − 1 sinn − 2 ax dx 1 ⎛ π ax ⎞ ; = ∓ tg ⎜ ∓ 1 ± sin ax a ⎝4 2 ⎟⎠ x dx x ⎛ π ax ⎞ 2 ⎛ π ax ⎞ ; = − tg ⎜ − + 2 ln cos ⎜ − ⎟ 1 + sin ax a ⎝4 2 ⎠ a 2 ⎟⎠ ⎝4 x dx x ⎛ π ax ⎞ 2 ⎛ π ax ⎞ ; = ctg ⎜ − + 2 ln sin ⎜ − ⎟ 1 − sin ax a 2 ⎠ a 2 ⎟⎠ ⎝4 ⎝4

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

sin ax dx 1 ⎛ π ax ⎞ ; = ±x + tg ⎜ ∓ 1 ± sin ax a ⎝4 2 ⎟⎠ 1 ⎛ π ax ⎞ 1 dx ax ; = tg ⎜ ∓ + ln tg ⎟ sin ax (1 ± sin ax) a ⎝ 4 2 ⎠ a 2 dx 1 ⎛ π ax ⎞ 1 3 ⎛ π ax ⎞ = − tg − − tg ⎜ ⎟ ⎜ 4 − 2 ⎟; 2a ⎝ 4 2 ⎠ 6a ⎝ ⎠ (1 + sin ax) 2 dx

∫ (1 − sin ax)2

=−

1 ⎛ π ax ⎞ 1 ⎛ π ax ⎞ ; tg ⎜ − + tg3 ⎜ − ⎟ 2a ⎝ 4 2 ⎠ 6a 2 ⎟⎠ ⎝4

sin ax dx

=−

1 ⎛ π ax ⎞ 1 ⎛ π ax ⎞ ; ctg ⎜ − + ctg3 ⎜ − ⎟ 2a 2 ⎠ 6a 2 ⎟⎠ ⎝4 ⎝4

∫ (1 − sin ax)2 ∫ ∫

1 ⎛ π ax ⎞ 1 ⎛ π ax ⎞ ; ctg ⎜ − + ctg3 ⎜ − ⎟ 2a 2 ⎠ 6a 2 ⎟⎠ ⎝4 ⎝4

sin ax dx

∫ (1 + sin ax)2 ∫

=

⎛ 3 sin2 ax − 1 ⎞ 1 1 = = arcsin arctg( 2 tg ax) ; ⎜ ⎟ ⎜ sin2 ax + 1 ⎟ a 2 1 + sin2 ax 2 2 a ⎝ ⎠ dx

dx

dx

1 tg ax ; 1 − sin2 ax cos2 ax a sin (a − b) x sin (a + b) x sin ax sin bx dx = − 2(a − b) 2(a + b) =

∫

=

( a ≠ b );

51

52


∫

∫ ∫ ∫

ax ⎧ tg b +c ⎪ 2 2 (b2 > c2), arctg ⎪ b2 − c2 ⎪⎪ a b2 − c2 dx =⎨ ax b + c sin ax ⎪ + c − c2 − b2 b tg 2 2 ⎪ ln (b2 < c2); ax ⎪ a c2 − b2 + c + c2 − b2 b tg ⎪⎩ 2 sin ax dx x b dx = − ; b + c sin ax c c b + c sin ax dx 1 ax c dx = ln tg − ; sin ax (b + c sin ax) ab 2 b b + c sin ax dx c cos ax b dx = + 2 ; 2 2 2 2 b + c sin ax (b + c sin ax) a(b − c )(b + c sin ax) b − c

∫

∫

∫

sin ax dx

∫ (b + c sin ax)2 ∫

b cos ax

=

a(c2 − b2)(b + c sin ax)

+

c

c2 − b2

∫

dx ; b + c sin ax

b2 + c2 tg ax = arctg b b2 + c2 sin2 ax ab b2 + c2 dx

1

dx

∫ b2 − c2 sin2 ax =

=

1 ab b2 − c2 1

2ab c2 − b2


arctg ln

b2 − c2 tg ax b

c2 − b2 tg ax + b c2 − b2 tg ax − b


(b > 0) ; (b2 > c2 , b > 0), (b2 < c2 , b > 0);

к о с и н у с .

∫

cosn −1 ax sin ax n − 1 cos ax dx = + cosn − 2 ax dx ; na n

∫

xn cos ax dx =

∫

cos ax (ax) 2 (ax) 4 (ax) 6 dx = ln(ax) − + − + … = ln(ax) + x 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4! 6 ⋅ 6!

∫

cos ax

∫

n

xn

dx

dx = −

xn sin ax n − xn −1 sin ax dx ; a a

∫

cos ax

(n − 1) xn −1 1

−

a sin ax dx n − 1 xn −1

∫

⎛π

ax ⎞

1

∞

∑

k =1

(n ≠ 1) ;

∫ cos ax = ∫ sec ax dx = a ln ⎜⎝ 4 + 2 ⎟⎠ = a ln sec ax + tg ax ; dx 1 sin ax n−2 dx = + n n − 1 n ∫ cos ax a(n − 1) cos ax n − 1 ∫ cos −2 ax (n > 1) ;

(−1) k (ax) 2k ; 2k ⋅ (2k) !


∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x dx 1 ⎛ (ax) 2 (ax) 4 5 (ax) 6 61(ax) 8 1385 (ax)10 = 2⎜ + + + + + cos ax a ⎜⎝ 2 4 ⋅ 2! 6 ⋅ 4! 8 ⋅ 6! 10 ⋅ 8 ! ⎞ En (ax) 2n + 2 +… + + … ⎟ (En − числа Эйлера); ⎟ (2n + 2) ⋅ (2n) ! ⎠ x dx x 1 = tg ax + 2 ln cos ax ; 2 cos ax a a x dx x sin ax 1 = − + n n −1 cos ax (n − 1) a cos ax (n − 1)(n − 2) a2 cosn − 2 ax n−2 x dx (n > 2); + n − 1 cosn − 2 ax dx 1 ax = tg ; 1 + cos ax a 2 dx 1 ax = − ctg ; 1 − cos ax a 2 x dx x ax 2 ax = tg + 2 ln cos ; 1 + cos ax a 2 a 2 x dx x ax 2 ax = − ctg + 2 ln sin ; 1 − cos ax a 2 a 2 cos ax dx 1 ax = x − tg ; 1 + cos ax a 2 cos ax dx 1 ax = −x − ctg ; 1 − cos ax a 2 dx 1 ⎛ π ax ⎞ 1 ax = ln tg ⎜ + − tg ; 2 ⎟⎠ a 2 cos ax (1 + cos ax) a ⎝4

∫ ∫

dx ax 1 ⎛ π ax ⎞ 1 = ln tg ⎜ + − ctg ; ⎟ 2 ⎠ a 2 cos ax (1 − cos ax) a ⎝4 dx 1 ax 1 3 ax = tg + tg ; 2 6a 2 (1 + cos ax) 2 2a

∫ ∫ ∫

∫

dx

∫ (1 − cos ax)2 cos ax dx

∫ (1 + cos ax)2 cos ax dx

=− =

1 ax 1 ax ctg − ctg3 ; 2a 2 6a 2

1 ax 1 ax tg − tg3 ; 2a 2 6a 2 ax

1

∫ (1 − cos ax)2 = 2a ctg 2 ∫

−

1 ax ctg3 ; 6a 2

⎛ 1 − 3 cos2 ax ⎞ 1 = arcsin ⎜ ⎟; ⎜ 1 + cos2 ax ⎟ 1 + cos2 ax 2 2 a ⎝ ⎠ dx

dx

dx

1

∫ 1 − cos2 ax = ∫ sin2 ax = − a ctg ax ;

53

54


∫

cos ax cos bx dx =

∫

dx = b + c cos ax

b2 − c2

∫

( a ≠ b ); (b2 > c2),

b2 − c2

ax + c2 − b2 2 ln (b2 < c2); = ax c2 − b2 (c − b) tg − c2 − b2 2 cos ax dx x b dx = − ; b + c cos ax c c b + c cos ax 1 dx dx ⎛ π ax ⎞ c ln tg ⎜ + ; = − ⎟ cos ax (b + c cos ax) ab 2 ⎠ b b + c cos ax ⎝4 dx c sin ax b dx = − ; (b + c cos ax) 2 a(c2 − b2)(b + c cos ax) c2 − b2 b + c cos ax cos ax dx b sin ax c dx = − 2 ; 2 2 2 2 b + c cos ax (b + c cos ax) a(b − c )(b + c cos ax) b − c (c − b) tg

1

∫ ∫ ∫

sin (a − b) x sin (a + b) x + 2 (a − b) 2 (a + b) ax (b − c) tg 2 2 arctg

∫

∫

∫ ∫

dx

∫ b2 + c2 cos2 ax ∫b

2

dx

2

2

− c cos ax =

= =

1

2

2

ab b − c 2

ab c − b


2

ab b + c 1

1 2

2

ln

arctg arctg

b tg ax 2

b +c b tg ax 2

b −c

2

b tg ax − c2 − b2 2

2

b tg ax + c − b


2

(b > 0) ; (b2 > c2 , b > 0), (b2 < c2 , b > 0);

с и н у с

∫ ∫

sin x dx 1 = − ln a + b cos x ; a + b cos x b sin x dx 1 = ( a + b cos x )n ( n − 1) b ( a + b cos x )n −1

∫

sin x dx 1 ± cos x ; = ln cos x (1 ± cos x ) cos x

∫

sin x dx 1 1 ⎛π x⎞ = ± ln tg ⎜ + ⎟ ; cos x (1 ± sin x ) 2 (1 ± sin x ) 2 ⎝4 2⎠ sin x dx

1

и

к о с и н у с .

(n . 2) ;

a + b cos x

∫ (a + b cos x ) (c + d cos x ) = ad − bc ln c + d cos x c + d sin x d dx ∫ a + b cos x dx = − b ln a + b cos x + c∫ a + b cos x ; cos x dx 1 = ln a + b sin x ; ∫ a + b sin x b

( ad − bc ≠ 0 ) ;


cos x dx

∫ (a + b sin x) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

dx

∫ sin x ± cos x =

∫

1

=−

(n . 2) ; (n − 1) b (a + b sin x) n −1 cos x dx sin x = ln ; 1 ± sin x sin x (1 ± sin x) x cos x dx 1 1 =− ± ln tg ; sin x (1 ± cos x) 2(1 ± cos x) 2 2 c + d sin x cos x dx 1 = (ad − bc ≠ 0) ; ln (a + b sin x)(c + d sin x) ad − bc a + b sin x c + d cos x d dx ; dx = ln a + b sin x + c a + b sin x b a + b sin x dx x 1 1 =± + ln tg ; sin x (1 ± cos x) 2 (1 ± cos x) 2 2 dx 1 1 ⎛π x⎞ =∓ + ln tg ⎜ + ⎟ ; 2 (1 ± cos x) 2 cos x (1 ± sin x) ⎝4 2⎠ n

1 ⎛x π⎞ ln tg ⎜ ± ⎟ ; 2 ⎝2 8⎠

dx = a cos x + b sin x dx

∫ (a cos x + b sin x)

n

1 2

2

a +b =

ln

tg

d (x − ϕ)

∫ ⎡⎣ρ cos ( x − ϕ)⎤⎦

dx

2

dx

∫ (a + b cos x + c sin x)

∫ ∫

a2 + b2 ;

2

(a = ρ cos ϕ, b = ρ sin ϕ) ;

n

x

∫ 1 + cos x ± sin x = ± ln 1 ± tg 2 ; dx dt ∫ a + b cos x + c sin x = ∫ a + b + c ∫ ∫ ∫

b

x + arccos

n

=

2

sin t d (x − ϕ)

b⎞ ⎛ ⎜ t = x + arctg ⎟ ; c⎠ ⎝

∫ ⎡⎣a + ρ cos ( x − ϕ)⎤⎦

sin x dx x 1 = ∓ ln sin x ± cos x ; sin x ± cos x 2 2 cos x dx x 1 = ± + ln sin x ± cos x ; sin x ± cos x 2 2 1 dx ⎛b ⎞ arctg = ⎜ tg x ⎟ 2 2 2 2 ⎝a ⎠ a cos x + b sin x ab

n

(b = ρ cos ϕ, c = ρ sin ϕ) ;

(a > 0, b > 0 ) ;

b tg x + a 1 ln ; a cos x − b sin x 2ab b tg x − a sin x cos x dx 1 = ln a cos2 x + b sin2 x 2 2 a cos x + b sin x 2 ( b − a ) 2

2

dx

2


2

=


т а н г е н с

( a ≠ b) . и

к о т а н г е н с .

55

56


∫ tg x dx = − ln cos x ; tg x tg x dx = − tg ∫ ∫ x dx ( n . 2) ; n −1 ∫ ctg x dx = ln sin x ; ctg x ctg x dx = − x dx ( n . 2 ) ; − ctg ∫ ∫ n −1 dx x 1 = ± + ln sin x ± cos x ; ∫ tg x ± 1 2 2 dx 1 = ∫ a + b tg x a + b (b ln a + b tg x + b ln cos x + ax) ; tg x dx x 1 ∫ tg x ± 1 = 2 ∓ 2 ln sin x ± cos x ; tg x dx 1 = ∫ a + b tg x a + b (bx − a ln a cos x + b sin x ) ; dx x 1 = + sin 2x ; ∫ 1 + tg x 2 4 ⎡ dx b 1 ⎛b ⎞⎤ = x − arctg ⎜ tg x ⎟ ⎥ ( a ≠ b ) ; ⎢ ∫ a + b tg x a − b ⎣ a ⎝a ⎠⎦ n −1

n

n −2

n −1

n

2

2

2

2

n −2

2

2

∫a ∫

2

2

2

2

dx

− b2 tg2 x

=

2

2

⎛ b a + b tg x x + ln ⎜ 2a a − b tg x a2 + b2 ⎝ 1

cos2 x =− ; 2 1 + tg2 x

⎞ ⎟; ⎠

tg x dx

tg x dx

∫1+ a

2

2

tg x

=

(

ln cos2 x + a sin2 x

(

2

)

)

2 a −1

∫ ∫ ∫ ∫

dx x 1 = ± ln sin x ± cos x ; ctg x ± 1 2 2 ctg x dx x 1 = ± + ln sin x ± cos x ; ctg x ± 1 2 2 ctg x dx dx = ; a + b ctg x a tg x + b dx x 1 = − sin 2x ; 2 1 + ctg x 2 4

∫

⎡ ⎢x − a + b ctg x a − b ⎣ ⎛ dx 1 = 2 x+ 2 2 2 2 ⎜ a − b ctg x a + b ⎝

∫

2

(a2 ≠ 1) ;

∫

2

dx 2

2

=

2

1

2

b ⎛ b ⎞⎤ arctg ⎜ − ctg x ⎟ ⎥ a ⎝ a ⎠⎦ b a − b ctg x ⎞ ln ⎟; 2a a + b ctg x ⎠

(a2 ≠ b2 ) ;

4.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ.

∫ ∫

57

sin2 x = ; 2 1 + ctg2 x ctg x dx 1 tg x dx = ; 1 + a2 ctg2 x a2 1 + 1 tg2 x ctg x dx

∫

a2

∫ ∫ ∫

x 1 sin x ± cos x tg x dx = ∓ + ln ; 1 ± ctg x 2 2 cos2 x ⎛ b−a ⎞ tg x dx 1 = arccos ⎜ cos x ⎟ ; b−a b ⎝ ⎠ a + b tg2 x

( Bn − числа Бернулли ) ;

∫

(

)

(

)

22n 22n − 1 Bn a2n −1x2n +1 ax3 a3x5 2a5x7 17a7x9 x tg ax dx = , + + + +…+ 3 15 105 2835 (2n + 1) ! 2n −1

3 5 7 22n 22n − 1 Bn ( ax ) ax ) 2 ( ax ) 17 ( ax ) ( tg ax dx = ax + + + +…+ x 9 75 2205 (2n − 1) (2n) !

,

( Bn − числа Бернулли ) ;

22n Bn a2n −1x2n +1 x ax3 a3x5 − − −…− , a 9 225 (2n + 1) !

∫

x ctg ax dx =

∫

2 ( ax ) 22n Bn ( ax ) ctg ax dx 1 ax ( ax ) , =− − − − −…− (2n − 1) (2n) ! x ax 3 135 4725

3

5

( Bn − числа Бернулли ) ; 2n −1

( Bn − числа Бернулли ) .

4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.

∫ ∫ ∫

1 ax e ; a 1 x xneax dx = xneax − xn −1eax dx ; a a

eax dx =

∫

2

ax

e

∫x ∫ ∫

3

(ax ) + … = ln x + eax ax ( ax ) dx = ln x + + + x 1 ⋅ 1! 2 ⋅ 2 ! 3 ⋅ 3! n

dx =

⎞ 1 ⎛ e e ⎜⎜ − n −1 + a n −1 dx ⎟⎟ n −1⎝ x x ⎠ ax

∫

ax

1 eax ; = ln 1 + eax a 1 + eax dx x 1 = − ln b + ceax ; ax b ab b + ce dx

(

eaxdx

∫ b + ce

ax

=

(

)

)

1 ln b + ceax ; ac

( n ≠ 1) ;

∞

(ax )k ;

∑ k ⋅ k! k =1

58


∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

eax ln x 1 eax e ln x dx = − dx ; a a x eax ax e sin bx dx = 2 (a sin bx − b cos bx ) ; a + b2 eax eax cos bx dx = 2 (a cos bx + b sin bx ) ; a + b2 n ( n − 1) eax sinn −1 x ax n e sin x dx = (a sin x − n cos x ) + 2 2 eax sinn −2 x dx ; 2 2 a +n a +n ax n −1 n ( n − 1) ax e cos x + + eax cosn x dx = a cos x n sin x e cosn −2 x dx ; ( ) 2 2 2 2 a +n a +n x eax x eax sin bx dx = 2 ( a sin bx − b cos bx ) − a + b2

∫

ax

∫

∫

−

∫

x eax cos bx dx =

x eax

a2 + b2

eax

⎡ (a2 − b2) sin bx − 2ab cos bx ⎤ ; ⎦ (a + b ) ⎣ 2

2 2

(a cos bx − b sin bx ) − −

eax

⎡ (a2 − b2) cos bx − 2ab sin bx ⎤ . ⎦ (a + b ) ⎣ 2

2 2

4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию. n n n −1 ln x ) dx = x ( ln x ) − n ( ln x ) dx ( ∫ ∫

∫

2

3

(ln x ) + ( ln x ) + … = ln ln x + dx = ln ln x + ln x + ln x 2 ⋅ 2! 3 ⋅ 3! dx

∫ (ln x ) ∫

( n ≠ −1) ;

n

=−

x

( n − 1) (ln x )

+

n −1

1 n −1

dx

∫ (ln x )

⎡ ln x ⎤ 1 − xm ln x dx = xm +1 ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ m + 1 ( m + 1) ⎥⎦

∫x

m

(ln x )

n

n

n −1

∞

∑ k =1

(ln x )k ; k ⋅ k!

( n ≠ 1) ;

( m ≠ −1) ;

xm +1 ( ln x ) n n −1 − dx = xm ( ln x ) dx m +1 m +1

∫

( m ≠ 1, n ≠ −1) ;

(ln x )n dx = ( ln x )n −1 ;

∫ x n +1 ln x ln x dx = − ∫x ( m − 1) x m

∫

(ln x )n dx = − xm

m −1

−

1

( m ≠ 1) ; ( m − 1)2 xm −1 n −1 ln x ) ( n + dx

(ln x )n ( m − 1) xm −1

m −1

∫

xm

( m ≠ 1) ;

4.6. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. 59

xm dx

∫ (ln x ) ∫

n

=−

xm +1

( n − 1) (ln x )n −1

dx = ln ln x ; x ln x

∫x

dx

n

ln x

= ln ln x − ( n − 1)

m +1 + n −1

xm dx

∫ (ln x )

( n ≠ 1) ;

n −1

2 2 n − 1) ( ln x ) ( ln x +

2 ⋅ 2!

3 3 n − 1) ( ln x ) ( −

3 ⋅ 3! ∞

= ln ln x + dx

∫ x (ln x ) ∫x ∫ ∫ ∫

m

dx

n

(ln x )

=−

n

k =1

1

( n − 1) ( ln x )n −1

=−

∑

1

+… = k

⎡⎣( −1) ( n − 1) ln x ⎤⎦ ; k ⋅ k!

( n ≠ 1) ;

xm −1 ( n − 1) ( ln x )

n −1

−

m −1 dx n − 1 xm ( ln x )n −1

∫

( n ≠ 1) ;

x (sin ln x − cos ln x ) ; 2 x cos ln x dx = (sin ln x + cos ln x ) ; 2 1 ax 1 eax ax e ln x dx = e ln x − dx . a a x

sin ln x dx =

∫

4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x x dx = x arcsin + a2 − x2 ; a a 2 ⎛x x a2 ⎞ x x 2 x arcsin dx = ⎜ − arcsin + a − x2 ; ⎟ ⎜ a a 4 ⎟⎠ a 4 ⎝ x x3 x 1 x2 arcsin dx = arcsin + x2 + 2a2 a2 − x2 ; a a a 9 n +1 x x x 1 xn +1dx n x arcsin dx = arcsin − ; a n +1 a n +1 a2 − x 2

arcsin

(

)

∫

1 x x 1 x3 1⋅ 3 x5 1⋅ 3 ⋅ 5 x7 arcsin dx = + + + +… = x a a 2 ⋅ 3 ⋅ 3 a3 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 a5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 7 a7 = 1

∫x

2

1

∫x

arcsin

arcsin n

x + a

2

∞

∑ k =1

k (2i − 1)

x2k +1 ∏

i =1

2i

2

a2k +1 ( 2k + 1)

;

2

x 1 x 1 a+ a −x dx = − arcsin − ln ; a x a a x x 1 x 1 dx dx = − arcsin + a a n − 1 xn −1 a2 − x2 ( n − 1) xn −1

∫

( n . 2) ;

60


∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x x arccos dx = x arccos − a2 − x2 ; a a ⎛ x 2 a2 ⎞ x x x 2 x arccos dx = ⎜ − arccos − a − x2 ; ⎟ ⎜ ⎟ a 4 ⎠ a 4 ⎝ a x x3 x 1 2 x arccos dx = arccos − x2 + 2a2 a2 − x2 ; a 3 a 9 x xn +1 x 1 xn +1dx xn arccos dx = arccos + ; 2 2 a n +1 a n +1 a −x

(

∫

1 x π x 1 x3 1⋅ 3 x5 arccos dx = ln x − − − − x a 2 a 2 ⋅ 3 ⋅ 3 a3 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 a5 −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

)

7

1⋅ 3 ⋅ 5 x π x − … = ln x − − 7 2⋅4⋅6⋅7⋅7 a 2 a 2

∞

∑a k =1

2k +1

2i

i =1

( 2k + 1)2

;

2

x 1 x 1 a+ a −x arccos dx = − arccos + ln ; a x a a x x 1 x 1 x 1 dx arccos dx = − arccos − ; n n − 1 a a n − 1 xn −1 a2 − x2 x ( n − 1) x x x a arctg dx = x arctg − ln a2 + x2 ; a a 2 x 1 2 x ax x arctg dx = x + a2 arctg − ; a 2 a 2 x x3 x ax3 a3 x2 arctg dx = arctg − + ln x2 + a2 ; a 3 a 6 6 n +1 x x x a xn +1dx xn arctg dx = arctg − ( n ≠ −1) ; a n +1 a n + 1 x 2 + a2 1

2

∫

(

(

)

)

(

)

∫

∞

k

( −1) x2k+1 1 x x x3 x5 x7 arctg dx = − + − + = … 2 2k+1 x a a 3 ⋅ 3 ⋅ a3 5 ⋅ 5 ⋅ a5 7 ⋅ 7 ⋅ a7 k=0 ( 2k + 1) a

∑

∫ ∫

x 1 x 1 x 2 + a2 dx = − arctg − ln ; a x a 2a x x2 1 x 1 x a dx arctg dx = − arctg + a a n − 1 xn −1 x2 + a2 xn ( n − 1) xn −1

∫ ∫

arcctg

∫

k (2i − 1)

x2k +1 ∏

( x < a );

1

arctg 2

∫

(

(

)

x x a dx = x arcctg + ln x2 + a2 ; a a 2 x 1 2 x ax x arcctg dx = x + a2 arcctg + ; a 2 a 2 x x3 x ax2 a3 2 x arcctg dx = arcctg + − ln x2 + a2 ; a 3 a 6 6

(

)

(

)

)

(n ≠ 1) ;

4.7. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

∫ ∫

x xn +1 x a xn +1dx x arcctg dx = arcctg + (n ≠ −1) ; a n +1 a n + 1 x 2 + a2 1 x π x x3 x5 x7 arcctg dx = ln x − + − + +… = x a 2 a 3 ⋅ 3 ⋅ a3 5 ⋅ 5 ⋅ a5 7 ⋅ 7 ⋅ a7

∫

n

π = ln x + 2

∫ ∫

( −1)k+1 x2k+1 ∑ 2 2k +1 k =0 ( 2k + 1) a ∞

x 1 x 1 x 2 + a2 arcctg dx = − arcctg + ln ; a x a 2a x2 x2 1 x −1 x a dx arcctg dx = − arcctg a a n − 1 xn −1 x2 + a2 xn ( n − 1) xn −1

( x < a );

1

∫

(

)

(n ≠ 1) .

4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.

∫ ∫ ∫ ∫

1 ch ax ; a 1 ch ax dx = sh ax ; a 1 x ch2 ax dx = sh ax ch ax + ; 2a 2 1 n −1 shn ax dx = shn −1 ax ch ax − shn −2 ax dx (n > 0), an n 1 n+2 = shn +1 ax ch ax − shn + 2 ax dx (n < 0, n ≠ −1); a ( n − 1) n +1

∫

chn ax dx =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

dx 1 ax = ln th ; sh ax a 2 dx 2 = arctg eax ; ch ax a 1 x sh ax dx = x ch ax − a 1 x ch ax dx = x sh ax − a 1 th ax dx = ln ch ax ; a 1 cth ax dx = ln sh ax ; a th ax th2 ax dx = x − ; a

sh ax dx =

∫ ∫

1 n −1 sh ax chn −1 ax + chn −2 ax dx (n > 0), an n 1 n+2 = sh ax chn +1 ax + chn + 2 ax dx (n < 0, n ≠ −1); a ( n + 1) n +1

∫ ∫

1

a2 1 a2

sh ax ; ch ax ;

61

62


cth ax ; a 1

∫ ∫ sh ax sh bx dx = a − b (a sh bx ch ax − b ch bx sh ax ) 1 ch ax ch bx dx = (a sh ax ch bx − b sh bx ch ax ) ∫ a −b 1 ch ax sh bx dx = (a sh ax sh bx − b ch bx ch ax ) ∫ a −b 1 ∫ sh ax sin ax dx = 2a (ch ax sin ax − sh ax cos ax ) ; 1 ch ax sin ax dx = (sh ax sin ax − ch ax cos ax ) ; ∫ 2a 1 ∫ sh ax cos ax dx = 2a (ch ax cos ax + sh ax sin ax ) ; 1 ch ax cos ax dx = (sh ax cos ax + ch ax sin ax ) . ∫ 2a cth2 ax dx = x −

2

2

(a2 ≠ b2) ;

2

2

(a2 ≠ b2) ;

2

2

(a2 ≠ b2) ;

63

5. Определенный интеграл 5.1. Основные определения. Если функция f(x) определена на отрезке [a, b] и a = x0 < x1 < … < xn = b, то определенным интегралом функции f(x) на [a, b] называется предел n −1

∑ f(ξi) ∆xi ,

lim

(1)

max ∆xi →0 i =0

где ξi ∈ [ xi , xi +1 ] , ∆xi = xi +1 − xi . Функции f(x), для которых этот предел существует, называются интегрируемыми на отрезке [a, b]. b

Определенный интеграл обозначается

∫ f ( x ) dx .

a

5.2. Свойства определенного интеграла. 1.

b

∫ dx = b − a .

a

2. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то функция f(x) интегрируема и на отрезках [a, c], [c, b] (a - c - b) и

b

c

a

a

b

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .

3. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то

b

c

a

∫ f(x) dx = − ∫ f(x) dx .

a

b

4. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то и функция | f(x) | интегрируема на [a, b] и

b

b

a

a

∫ f(x) dx - ∫ f(x) dx .

5. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то и функция kf(x) (k = const) интегрируема на [a, b] и

b

b

a

a

∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx .

6. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то и функции f(x) + g(x) и

f(x) ⋅ g(x) интегрируемы на [a, b] и

b

b

b

a

a

a

∫ [f(x) + g(x) ] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx .

7. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b] и f(x) . g(x) на [a, b], то b

b

a

a

∫ f(x) dx . ∫ g(x) dx .

П е р в а я т е о р е м а о с р е д н е м . Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], m - f(x) - M и если g(x) не меняет знак на [a, b], то существует такое число µ∈[m, M], что

b

b

a

a

∫ f(x) g(x) dx = µ ∫ g(x) dx .

64

III.5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В т о р а я т е о р е м а о с р е д н е м . Если функция f(x) непрерывна, а g(x) монотонна и непрерывно дифференцируема на [a, b], то существует такое число

ξ∈[a, b], что

b

ξ

b

a

a

ξ

∫ f(x) g(x) dx = g(a) ∫ f(x) dx + g(b) ∫ f(x) dx .

Ф о р м у л а

Н ь ю т о н а - Л е й б н и ц а .

непрерывна на [a, b] и F ′(x) = f(x), то

b

Если функция f(x) определена и b

∫ f(x) dx = F(b) − F(a) ≡ F(x) a .

a

Ф о р м у л а з а м е н ы п е р е м е н н о й . Если функция f(z) непрерывна на [a, b], а функция z = g(x) непрерывна и имеет непрерывную производную на [α; β];

a = g(α), b = g(β), a - g(x) - b, то

b

β

a

α

∫ f(z) dz = ∫ f( g(x)) g′(x) dx .

И н т е г р и р о в а н и е п о ч а с т я м . Если функции f(x) и g(x) непрерывны на [a, b] вместе со своими первыми производными, то b

∫ f(x) g′(x) dx =

a

b

b f (x) g (x) a

− ∫ g (x) f′(x) dx . a

И н т е г р а л ь н о е н е р а в е н с т в о М и н к о в с к о г о . ции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], 1 < p < +∞, то 1p

⎡b ⎤ p ⎢ ∫ f (x) + g (x) dx ⎥ ⎣⎢ a ⎦⎥ И н т е г р а л ь н о е

1p

⎡b ⎤ p - ⎢ ∫ f (x) dx ⎥ ⎣⎢ a ⎦⎥

н е р а в е н с т в о

1p

⎡b ⎤ p + ⎢ ∫ g (x) dx ⎥ ⎣⎢ a ⎦⎥

Г ё л ь д е р а .

1 1 и g(x) интегрируемы на [a, b], 1 < p < +∞, + = 1 , то p q b

∫

a

1p b ⎡

⎡b ⎤ p f (x) g (x) dx - ⎢ ∫ f (x) dx ⎥ ⎣⎢ a ⎦⎥

Если функ-

. Если функции f(x)

1q

⎤ q ⎢ ∫ g (x) dx ⎥ ⎢⎣ a ⎦⎥

.

При p = q = 2 неравенство Гёльдера превращается в неравенство Коши. И н т е г р а л

с

п е р е м е н н ы м

в е р х н и м

функция f(x) непрерывна на [a, b], то функция F(x) =

x

∫ f(t) dt

п р е д е л о м .

Если

непрерывна на [a, b].

a

Если функция f(x) интегрируема на [a, b] и непрерывна в точке x0 ∈ [a, b] , то функция F(x) =

x

∫ f(t) dt

дифференцируема в точке x0 и F ′(x0) = f(x0).

a

5.3. Приложения определенного интеграла. Д л и н а

к р и в о й .

Если кривая задана функцией y = f(x) (x∈[x0, x1]), то

5.3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

l=

x1

∫

x0

65

1 + (f′) 2 dx .

Если кривая задана параметрически: x = ϕ(t), y = ψ(t), то

l=

t1

∫

t0

ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) dt .

Если кривая задана в полярных координатах: ρ = ρ(ϕ) (ϕ0 - ϕ - ϕ1), то

l=

ϕ1

∫

ϕ0

ρ2 + ρ′2 dϕ .

П л о щ а д ь т р а п е ц и и . Если функция y = f(x) неотрицательна и непрерывна на [a, b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, графиком функb

∫ f(x) dx .

ции y = f(x) и прямыми x = a и x = b, вычисляется по формуле S =

a

П л о щ а д ь

с е к т о р а

OAB, ограниченного кривой AB, заданной в полярных ϕ1

1 координатах: ρ = ρ(ϕ) (ϕ0 - ϕ - ϕ1), и радиусами OA и OB: S = ρ2dϕ . ∫ 2ϕ 0

О б ъ е м т е л а в р а щ е н и я , полученного в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции y = f(x), пряb

∫

мыми x = a и x = b и осью Ox: V = π f2 (x) dx . a

П л о щ а д ь п о в е р х н о с т и в р а щ е н и я , полученной при вращении вокруг оси Ox кривой, заданной на [a, b] непрерывно дифференцируемой функцией y = f(x): b

S = 2π ∫ f (x) 1 + f′2 (x) dx . a

Если кривая задана параметрически: x = ϕ(t), y = ψ(t) (t∈[t0, t1]), то t1

S = 2π ∫ ψ (t) ϕ′2 (t) + ψ′2 (t) dt . t0

К о о р д и н а т ы ц е н т р а т я ж е с т и ей y = f(x) (x∈[a, b]), с линейной плотностью δ(x): b

где M =

b

1 x0 = δ(x) x 1 + f′2 (x) dx, ∫ Ma

∫ δ(x)

a

к р и в о й , b

задаваемой функци-

1 y0 = δ(x) f (x) 1 + f′2 (x) dx, ∫ Ma

1 + f′2 (x) dx — полная масса.

66

III.5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

К о о р д и н а т ы ц е н т р а т я ж е с т и к р и в о л и н е й н о й т р а п е ц и и с постоянной поверхностной плотностью δ(x, y) = 1, ограниченной графиком непрерывно дифференцируемой функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b: b

b

1 x0 = ∫ xf (x) dx, Sa

1 y0 = f2 (x) dx, ∫ 2S a

где S — площадь криволинейной трапеции. М о м е н т и н е р ц и и о т н о с и т е л ь н о о с и Oy кривой, задаваемой непрерывно дифференцируемой функцией y = f(x), с линейной плотностью δ(x): b

Iy = ∫ δ(x) x2 1 + f′2 (x) dx . a

Oy криволинейной М о м е н т и н е р ц и и о т н о с и т е л ь н о о с и трапеции, ограниченной графиком непрерывно дифференцируемой функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a, x = b, с постоянной поверхностной плотностью δ(x, y) = 1: b

Iy = ∫ x2 f (x) dx . a

5.4. Некоторые определенные интегралы. ∞

∫

2 2

e −a

x

dx =

0

∞

∫

2 2

e −a

x

π 2a

(a > 0) ; π −b e 2a

cos bx dx =

0

∞

x dx

∫e 0

∞

x

−1

x dx

∫e 0

x

+1

=

π2 ; 6

=

π2 ; 12

(4a2)

(a > 0) ;

∞

∫e

−x

ln x dx = −γ

(γ ≈ 0,5772156649 — постоянная Эйлера–Маскерони);

0

∞

∫

2

e −x ln x dx = −

0

∞

∫

2

e −x ln2 x dx =

0

+∞

∫ 0

sin x π dx = ; x 2

π ( γ + 2 ln 2 ) ; 4 π 8

⎡ π2 ⎤ 2 γ + + 2 ln 2 ( ) ⎢ ⎥; 2 ⎥⎦ ⎢⎣

5.4. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. +∞

∫

x

0

+∞

∫

sin2 x 2

dx =

π ; 2

2

sin ( x ) dx =

−∞ 1

+∞

∫ ln ln x dx = −γ ; 0 1

∫ 0

ln x π2 dx = . x −1 6

∫

−∞

2

cos ( x ) dx =

π ; 2

67

68

6. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра 6.1. Основные определения. Пусть функция f(x) определена на [a, b), – ∞ < a < b - + ∞, и интегрируема на любом β

b

∫

[a, β], β < b; существует предел lim f (x) dx . Этот предел обозначается β→b

∫ f(x) dx

и назы-

a

a

вается несобственным интегралом, а функция f(x) называется интегрируемой в несобственном смысле на [a, b). β

b

∫

Если существует конечный предел lim f (x) dx , то интеграл β→b

∫ f(x) dx называют схоa

a

дящимся, в противном случае — расходящимся. b

Несобственный интеграл

a

b

теграл

∫ f(x) dx называется абсолютно сходящимся, если сходится ин-

∫ f(x) dx . a

Если функция f(x, y) определена в замкнутой ограниченной области G = {(x, y): ψ (y)

α - y - β; ϕ(y) - x - ψ(y)}, то интеграл вида Φ (y) =

∫

f (x, y) dx называется интегра-

ϕ (y)

лом, зависящим от параметра y. Несобственным интегралом, зависящим от параметра, называется несобственный интеграл вида Φ (y) =

b

∫ f(x, y) dx , где – ∞ < a < b - + ∞, а y ∈Y. a

Если для любого y0 ∈Y интеграл Φ(y0) сходится, то Φ(y) называется сходящимся в Y. Если интеграл Φ(y) сходится в Y и для любого ε > 0 существует δε < b такое, что для b

всех δ ∈ (δε, b) и для всех y ∈Y выполняется неравенство

∫ f(x, y) dx δ

вается равномерно сходящимся в Y.

< ε , то Φ(y) назы-

6.3. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

69

6.2. Несобственные интегралы. b

К р и т е р и й

К о ш и .

∫ f(x) dx

Для сходимости несобственного интеграла

a

необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое b*(ε), что для люb′′

бых b′, b″ > b* выполнялось неравенство

∫ f(x) dx

< ε.

b′

П р и з н а к с х о д и м о с т и Д и р и х л е . Если функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную F(x) при x . a, а функция g(x) непрерывно диффе+∞

ренцируема и убывает при x . a и lim g (x) = 0 , то сходится интеграл x →+∞

П р и з н а к и

с х о д и м о с т и

н е с о б с т в е н н ы х

∫ f(x) g(x) dx . a

и н т е г р а -

+∞

л о в .

∫ F(x) dx

Если | f(x) | - F(x) при x . a и

+∞

сходится, то интеграл

a

сходится абсолютно.

a

+∞

Если f(x) > 0 и f(x) = O(g(x)) при x → +∞, то интегралы

∫ f(x) dx

+∞

и

a

сходятся или расходятся одновременно.

∫ f(x) dx

∫ g(x) dx a

+∞

Если f(x) = O(x–p) при x → +∞, то интеграл

∫ f(x) dx

сходится, если p > 1, и рас-

a

ходится, если p - 1. 6.3. Интегралы, зависящие от параметра. Н е п р е р ы в н о с т ь .

Если функция f(x, y) непрерывна на G , а ϕ(y) и ψ(y) ψ (y)

непрерывны на [α, β], то функция Φ (y) =

∫

f (x, y) dx непрерывна на [α, β] и

ϕ (y)

lim ψ (y)

ψ (y)

lim

y → y0

∫

f (x, y) dx =

ϕ (y)

Д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь функции f(x, y) и

y → y0

∫

lim ϕ (y)

lim f (x, y) dx .

y → y0

y → y0

( ф о р м у л а

Л е й б н и ц а ) .

Если

∂f (x, y) непрерывны на G и ϕ(y), ψ(y) непрерывны вместе со своими ∂y

первыми производными на [α, β], то интеграл, зависящий от параметра, имеет на [α, β] про-

dΦ (y) = изводную dy

ψ (y)

∫

ϕ (y)

∂f (x, y) dϕ (y) dψ (y) + f ( ψ (y), y ) dx − f ( ϕ (y), y ) . ∂y dy dy

70

III.6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Если ψ(y) = b = const, ϕ(y) = a = const, то имеет место формула Лейбница

dΦ (y) = dy

b

∫ a

∂f (x, y) dx . ∂y

И н т е г р и р о в а н и е . Если функции ϕ(y) и ψ(y) непрерывны на [α, β] и f(x, y) непрерывна в G = {(x, y): α - y - β; ϕ(y) - x - ψ(y)}, то имеет место формула β ⎡ ψ (y)

⎤ ⎢ f (x, y) dx ⎥ dy = Φ (y) dy = ⎢ ⎥ α α ⎣ ϕ (y) ⎦ β

∫

∫ ∫

∫∫ f(x, y) dx dy . G

6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. К р и т е р и й

Для того, чтобы интеграл Φ (y) =

К о ш и .

b

∫ f(x, y) dx равноa

мерно сходился в Y, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое δε < b, что для любых δ′ ∈ (δε, b) и δ″ ∈ (δε, b) и всех y ∈Y выполнялось неравенство δ′′

∫ f(x, y) dx

< ε.

δ′


В е й е р ш т р а с с а .

Интеграл Φ (y) =

b

∫ f(x, y) dx

сходится

a

равномерно в Y, если существует не зависящая от параметра y неотрицательная функция g(x), определенная на [a, b) и интегрируемая (по Риману) на любом [a, δ] (где δ∈(a, b) ) и такая, что | f(x, y) | - g(x), x ∈ [a, b), y ∈Y, и интеграл

b

∫ g (x) dx

сходится.

a

П е р е х о д к п р е д е л у п о д з н а к о м и н т е г р а л а . Если функция f(x, y) определена для любого x ∈ [a, b) (–∞ < a < b - +∞) и y ∈Y, при любом

y ∈Y непрерывна по x на [a, b), и если для любого η ∈ [a, b) функция f(x, y) равномерно на [a, η] стремится к функции g(x) при y → y0 и интеграл дится на Y, то lim

y → y0

b

b

a

a

b

b

∫ f (x, y) dx

равномерно схо-

a

∫ f(x, y) dx = ∫ lim f(x, y) dx = ∫ g(x) dx . y → y0

a

П е р е с т а н о в к а п о р я д к а и н т е г р и р о в а н и я . Если функция f(x, y) определена и непрерывна на {(x, y): a - x < b, c - y < d} (–∞ < a < b - +∞, –∞ < c < d - + ∞ ) и

b

∫ f(x, y) dx a

равномерно сходится на любом [c, η], c < η < d, а интеграл

6.4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. d

∫ f(x, y) dx равномерно сходится на c

интегралов

ство

d

b

c

a

d

b

c

a

b

d

a

c

71

[a, ξ], a < ξ < b и существует один из двух повторных

∫ dy∫ f(x, y) dx, ∫ dx∫ f(x, y) dy , то существует и другой и имеет место равенb

d

a

c

∫ dy∫ f(x, y) dx = ∫ dx∫ f(x, y) dy . Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е

Если f(x, y) и

и н т е г р а л а

п о

п а р а м е т р у .

∂f (x, y) определены и непрерывны на {(x, y): a - x < b, c - y < d} ∂y

(–∞ < a < b - +∞, –∞ < c < d - +∞) и

∫

b

f (x, y) dx сходится, а

a

b

сходится на [c, d], то F(y) =

b

∫ f(x, y) dx

a

непрерывно дифференцируема на этом отрезке и

a

b

d f (x, y) dx = dy

∫ a

∫

∂f (x, y) dx равномерно ∂y

b

∫ a

∂f (x, y) dx . ∂y

72

7. Кратные интегралы ψ (x)

∫

Если интеграл, зависящий от параметра Φ (y) =

f (x, y) dx , где ϕ(x) и ψ(x) — не-

ϕ (x)

прерывные функции на [a, b], представляет собой функцию, интегрируемую на [a, b], то по-

⎤ вторным интегралом dx f (x, y) dy называется выражение ⎢ f (x, y) dy ⎥ dx . ⎢ ⎥ a ϕ (x) a ⎣ ϕ (x) ⎦ Двойным интегралом от функции f(x, y) по квадрируемой замкнутой области G плоскости x, y называется предел ∫∫ f(x, y) dx dy = lim ∑ ∑ f(xi , yj) ∆xi∆yj , где b

b ⎡ ψ (x)

ψ (x)

∫ ∫

∫ ∫

max ∆xi →0 i max ∆yj →0

G

j

∆xi = xi +1 − xi , ∆yj = yj+1 − yj , (xi ; yj) ∈G . Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по кубируемой замкнутой области V трехмерного пространства x, y, z называется предел

∑∑∑ f(xi , yj , zk) ∆xi ∆yj ∆zk , ∫∫∫ f(x, y, z) dx dy dz = maxlim ∆xi →0 V

max ∆yj →0 max ∆zk →0

i

j

k

где ∆xi = xi+1 − xi , ∆yj = yj+1 − yj , ∆zk = zk+1 − zk, (xi ; yj; zk) ∈V . С в е д е н и е д в о й н о г о и н т е г р а л а к п о в т о р н о м у . Если G = {(x, y): a - x - b, y1(x) - y - y2(x)}, где y1(x), y2(x) — непрерывные функции на [a, b], а f(x, y) непрерывна в G , то имеет место формула b

y2 (x)

∫∫ f(x, y) dx dy = ∫ dx ∫ a

G

f (x, y) dy .

y1 (x)

З а м е н а п е р е м е н н ы х в д в о й н о м и н т е г р а л е . Пусть Guv и Gxy — квадрируемые замкнутые области соответственно на плоскостях (x, y) и (u, v); x = x(u, v), y = y(u, v) — непрерывное отображение Guv на Gxy , взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо отображающее Guv на Gxy. Якобиан

∂ (x, y) отличен от ∂ (u, v)

нуля на Guv и непрерывно продолжаем*) на Guv . Тогда если функция f(x, y) непрерывна в

Gxy , то имеет место формула

∫∫

Gxy

*)

f (x, y) dx dy =

∫∫

Guv

f [ x(u, v), y(u, v) ]

∂ (x, y) du dv . ∂ (u, v)

Функция g, определенная в области G, называется непрерывно продолжаемой на G , если существует такая непрерывная на функция h, что h = g на G.

III.7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

73

С в е д е н и е т р о й н о г о и н т е г р а л а к п о в т о р н о м у . Если V = {(x, y, z): a - x - b, y1(x) - y - y2(x), z1(x, y) - y - z2(x, y)}, где y1(x),

y2(x) непрерывны в [a, b], z1(x, y), z2(x, y) непрерывны в G = {(x, y):

a - x - b,

y1(x) - y - y2(x)}, а функция f(x, y, z) непрерывна в V , то b

y2 (x)

∫∫∫ f(x, y, z) dx dy dz = ∫ dx ∫ a

V

y1 (x)

z2 (x,y)

dy

∫

f (x, y, z) dz .

z1 (x,y)

З а м е н а п е р е м е н н ы х в т р о й н о м и н т е г р а л е . Пусть Guvw и Gxyz — кубируемые области соответственно в пространствах (x, y, z) и (u, v, w);

x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) — непрерывное отображение Guvw на Gxyz , взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо отображающее Guvw на Gxyz. Якобиан

∂ (x, y, z) ≠ 0 на Guvw и непрерывно продолжаем на Guvw . Тогда если функция f(x, y, z) ∂ (u, v, w) непрерывна на Gxyz , то имеет место формула

∫∫∫

Gxyz

f (x, y, z) dx dy dz =

∫∫∫

Guvw

f [ x(u, v, w), y(u, v, w), z (u, v, w) ]

∂ (x, y, z) du dv dw . ∂ (u, v, w)

74

8. Криволинейные интегралы Пусть имеется гладкая кривая γ, заданная параметрически (0 - t - T):

r = r (t)

или

⎧x = x(t), ⎪ ⎨y = y(t), ⎪z = z (t). ⎩

Пусть f(x, y, z) — функция, определенная и непрерывная в точках кривой γ. Тогда выражение

∫ f(x, y, z) ds γ

называется криволинейным интегралом I рода от функции f по кривой

γ и определяется формулой (ds — дифференциал дуги): T

∫γ f(x, y, z) ds = ∫γ f(r) ds = ∫ f ( x(t), y(t), z(t) )

x2 (t) + y2 (t) + z2 (t) dt .

0

Значение криволинейного интеграла I рода не зависит от направления обхода кривой (A и B — начало и конец кривой):

∫γ f(x, y, z) ds = ∫ f(x, y, z) ds = ∫ f(x, y, z) ds . AB

BA

Пусть функции P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) — компоненты векторфункции F(r) = (P; Q; R), непрерывные в точках кривой γ, пробегаемой в направлении возрастания параметра t. Криволинейным интегралом II рода называется выражение

∫ P dx + Q dy + Rdz , определяемое формулой γ

∫γ

P dx + Q dy + R dz =

∫γ

F(r) dr =

∫γ

F(r)

dr dt = dt

T

=

∫ {P ( x(t), y(t), z(t) ) x(t) + Q ( x(t), y(t), z(t) ) y(t) + R ( x(t), y(t), z(t) ) z(t)} dt. 0

При изменении направления обхода кривой γ криволинейный интеграл II рода меняет знак.

75

9. Поверхностные интегралы Пусть Σ — гладкая двусторонняя поверхность, заданная параметрически x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D, D —плоская область, где x(u, v), y(u, v), z(u, v) — непрерывно дифференцируемые функции, E, F, G —коэффициенты первой квадратичной формы поверхности: 2

2

2

2

2

2

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ E =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ; G =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ; ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂v ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z F= + + . ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v

П о в е р х н о с т н ы й и н т е г р а л I р о д а . Если f(x, y, z) — функция, определенная и непрерывная в точках поверхности Σ, то поверхностным интегралом I рода

∫∫ f(x, y, z) dσ , определяемое равенством

называется выражение

Σ

∫∫ f(x, y, z) dσ = ∫∫ f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) Σ

EG − F2 du dv .

D

Значение интеграла I рода не зависит от выбора стороны поверхности. П о в е р х н о с т н ы й и н т е г р а л I I р о д а . Пусть Σ+ — сторона поверхности Σ, задаваемая направлением нормали n = {cos α; cos β; cos γ}; P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) — функции, определенные и непрерывные на поверхности Σ. Поверхностным интегралом II рода называют выражение

∫∫ P dy dz + Q dz dx + R dx dy ,

опреде-

Σ+

ляемое равенством

∫∫ P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ) dσ . Σ+

Σ

Для поверхности, заданной параметрически,

cos α = где A =

A 2

2

± A + B +C

2

;

cos β =

B 2

2

± A + B +C

2

;

cos γ =

C 2

2

± A +B +C

2

,

∂ (y, z) ∂ (z, x) ∂ (x, y) ;B= ;C = , а знак выбирается в зависимости от направления ∂ (u, v) ∂ (u, v) ∂ (u, v)

нормали. При переходе к другой стороне Σ– поверхности Σ интеграл II рода меняет знак на противоположный. Ф о р м у л а Г р и н а . Пусть G — ограниченная область на плоскости x, y с кусочно гладкой замкнутой границей Г. При условии непрерывности функций P(x, y), Q(x, y),

∂P ∂Q , на G имеет место формула*) ∂x ∂x

∫∫ G

⎛ ∂P ∂P ⎞ ⎜ ∂x − ∂y ⎟ dx dy = ⎝ ⎠

∫ P dx + Q dy . (НаправлеΓ

ние обхода по контуру выбрано так, что область G остается слева). *)

Символом

∫ Γ

обозначен интеграл по замкнутому контуру Г.

76

III.9. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Ф о р м у л а С т о к с а . Пусть Σ — конечная кусочно гладкая поверхность в пространстве x, y, z, натянутая на замкнутый кусочно гладкий контур Г; функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными в области G пространства x, y, z такой, что Σ ⊂ G. Тогда имеет место формула

cos α cos β cos γ

∫

P dx + Q dy + R dz =

Γ

∫∫ Σ

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ dσ, ∂z

P

Q

R

где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы нормали к поверхности Σ и направление нормали таково, что обход по контуру Г совершается против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали. Если (P; Q; R) — компоненты вектор-функции F, то в векторной форме теорема Стокса имеет вид

∫ F ⋅ dr = ∫∫ rot F ⋅ n dσ . Γ

Σ

Ф о р м у л а О с т р о г р а д с к о г о — Г а у с с а . Пусть Σ — кусочно гладкая поверхность, ограничивающая объем V, и P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) — функции, непрерывные вместе со своими частными производными на области V. Тогда имеет место формула

⎛ ∂P

∂Q

∂R ⎞

∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ) dσ = ∫∫∫ ⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎠ dx dy dz , Σ

V

где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности. Если функции P, Q, R рассматривать как компоненты вектор-функции F, то формула Остроградского—Гаусса может быть записана в векторной форме:

∫∫ F ⋅ n dσ = ∫∫∫ div F dx dy dz , Σ

где n = (cos α, cos β, cos γ).

V

77

IV. Ряды и произведения 1. Числовые ряды 1.1. Основные определения. В числовом ряде ∞

a1 + a2 + … + an + … =

∑a

(1)

n

n =1

числа an называются членами ряда, а числа Sm = a1 + a2 + … + am (m = 1, 2, …) частичными суммами. Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел lim Sn = S . Число n →∞

S называется суммой ряда. Если последовательность частичных сумм {Sn} не имеет конечного предела, то ряд (1) называется расходящимся. Ряд с действительными членами, знаки которых зависят, в общем случае, от номера члена, называется знакопеременным. ∞

∑a

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если ряд ∞

Если ряд но сходящимся.

∑a

сходится, а ряд

n

n =1

n =1

∞

∑a

n

n =1

n

сходится. ∞

расходится, то ряд

∑a n =1

называется услов-

n

1.2. Действия с рядами. ∞

Если ряд

∑a

∞

∞

∑a n =1

n

=c

n

n =1

∑b n =1

n

Если

∑a n =1

n

и

∑b n =1 ∞

n

также сходится (схо-

. ∞

∑ (a

n

∞

+ bn) =

n =1

∞

∑a + ∑b n =1

n

n =1

∑ (a

n

n

+ bn) также

.

— абсолютно сходящиеся ряды, то их произведение — абсолют-

⎛ ⎞⎛ ∞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ an bn ⎟ = но сходящийся ряд и ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ n =1 ⎠ ⎝ n =1 ⎠

∑

n

сходятся (сходятся абсолютно), то ряд

n =1

∞

n

∞

сходится (сходится абсолютно) и ∞

∑a n =1

∞

и

n =1

∞

∑ ca

дится абсолютно) и

∑ ca

сходится (сходится абсолютно), то ряд

n

n =1

Если ряды

∞

∑

∞ n −1

∑∑ a n = 2 m =1

mbn − m

.

1.3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. Необходимое условие сходимости ряда: lim an = 0 . n →∞

78

IV.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ∞


К о ш и .

Для сходимости ряда

∑a n =1

n

необходимо и достаточно,

чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N = N(ε), что при n > N и p > 0

Sn + p − Sn =

n+p

∑a

i

i = n +1

< ε.

Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. ∞

П р и з н а к

с р а в н е н и я .

Если для ряда

∑a n =1

∞

n

существует такой ряд ∞

∑ b , что при n > N выполнено an - bn , то из сходимости ряда ∑ b n =1

n

n =1

∞

мость ряда

∑a n =1

n


n =1

n

Д а л а м б е р а .

a Если an > 0 и lim n +1 = q , то при q < 1 ряд n →∞

∞

К о ш и .

Если an . 0 и lim

n →∞

na n

дится, при q > 1 расходится. П р и з н а к

Р а а б е .

∑a

n

= q , то при q < 1 ряд

∑a n =1

n

схо-

⎛ an ⎞ − 1⎟ = q , то при q > 1 ряд n →∞ ⎝ an +1 ⎠

и lim ⎜

Если an > 0

∞

сходится, при q < 1 расходится.


Г а у с с а .

Если an > 0 и

∞

и ε > 0, то при λ > 1 ряд

∑a n =1

∑a n =1

∞

ряд

an

сходится, при q > 1 расходится.


n =1

следует сходи-

.

∞

∑a

n

n

n

сходится, при λ < 1 расходится. Если λ = 1, то при µ > 1

сходится, при µ - 1 расходится.

И н т е г р а л ь н ы й

п р и з н а к ∞

убывающая функция при x . 1, то ряд +∞

интегралом

an θn µ = λ + + 1+ε , где | θn | < c (c = const) an +1 n n

∫ f(x) dx . 1

К о ш и .

∑ f(n) n =1

Если f(x) — неотрицательная

сходится или расходится одновременно с

1.6. НЕКОТОРЫЕ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ.

79

1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов. ∞


Л е й б н и ц а .

Знакопеременный ряд

∑ (−1)

n −1

n =1

дится, если а) bn . bn+1, б) lim bn = 0 .

bn (bn . 0) схо-

n →∞

Для остатка ряда

Rn = (–1)nbn+1 + (–1)n+1bn+2 + …

справедлива оценка

Rn =

= (–1)n θn bn+1 (0 - θn - 1). ∞


А б е л я .

Ряд

∞

∑a n =1

n bn

сходится, если а) ряд

∑a n =1

n

сходится;

б) числа bn образуют монотонную ограниченную последовательность. ∞


Д и р и х л е .

Ряд

∑a n =1

n bn

сходится, если а) последовательность

{bn} монотонно стремится к 0; б) последовательность частичных сумм {Sm} ограничена. 1.5. Свойства рядов. Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых. Т е о р е м а Р и м а н а . Члены каждого условно сходящегося ряда с действительными членами можно представить так, что: а) последовательность его частичных сумм будет сходиться к любому заданному числу; б) последовательность его частичных сумм будет неограниченно возрастать; в) последовательность его частичных сумм будет неограниченно убывать; г) последовательность его частичных сумм будет колебаться между двумя любыми заданными числами. 1.6. Некоторые конечные суммы.

n (n + 1) ; 2 ( n + 1) ( 2p + n ) ; p + (p + 1) + (p + 2) + … + (p + n)= n 1+2+3+…+n=

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 ; 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1) ; 1 + 8 + 16 + … + 8 (n – 1) = (2n – 1)2;

n (n + 1) (2n + 1) ; 6 n2 (n + 1) 2 ; 13 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = 4 n (4n2 − 1) ; 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 = 3 12 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 =

13 + 33 + 53 + … + (2n – 1) 3 = n2 (2n2 – 1) ; 14 + 24 + 34 + … + n4 =

n (n + 1) (2n + 1) (3n2 + 3n − 1) ; 30

80

IV.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

n +1 nx x sin 2 2 ; sin x + sin 2x + … + sin nx = x sin 2 n +1 nx cos x sin 2 2 ; cos x + cos 2x + … + cos nx = x sin 2 2n + 1 x nx n sin x sin − sin2 2 2 2 ; cos x + 2 cos 2x + … + n cos nx = x 2 sin2 2 1 x 1 x 1 x 1 x tg x + tg + tg + … + n tg n = n ctg n − 2 ctg 2x ; 2 2 4 4 2 2 2 2 x nx 1⎞ ⎛ n sh sh ⎜ n + ⎟ x − sh2 2 2⎠ 2 ⎝ . ch x + 2 ch 2x + … + n ch nx = 2 x 2 sh 2 sin

1.7. Некоторые числовые ряды.

1 1 1 ⎡ ⎤ 1 + 2n + 2n + 2n + …⎥ (числа Бернулли) ; ⎢ ⎣ 2 ⎦ π 2 3 4 2n + 2 2 (2n) ! ⎡ 1 1 1 ⎤ − + − + …⎥ (числа Эйлера) ; En = 1 ⎢ 2n +1 2n +1 2 n +1 2n +1 ⎣ 3 ⎦ π 5 7

Bn =

∞

∑ n =0 ∞

(2n) !

2n 2n −1

∑ (−1) n =1 ∞

∑

∞

∑ (−1)

1 1 1 1 = 1+ + + +… = e; 1! 2 ! 3 ! n!

n =0

1 1 1 1 = 1 − + − + … = ln 2 ; n 2 3 4

n −1

∞

∑ (−1)

1 1 1 1 = + + + + … = 2; n 2 4 8 2 n =0 ∞

∑ n =0 ∞

1

(−1) n

1 1 1 1 1 = 1− + − +… = ; n! e 1! 2 ! 3 !

n

n

n =0

1

2n

= 1−

1 1 1 1 1 π = 1− + − + −… = ; 2n + 1 3 5 7 9 4

∑ n (n + 1) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + … = 1 ; n =1 ∞

1

1

1

1

∑ (2n − 1) (2n + 1) = 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + … = 2 ; n =1 ∞

1

1

1

1

1

∑ (n − 1) (n + 1) = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 + … = 4 ; n =2

1

1

1

1

3

1 1 1 2 + − +… = ; 2 4 8 3

1.7. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ∞

81

π

∑ (4n − 1) (4n + 1) = 3 ⋅ 5 + 7 ⋅ 9 + 11 ⋅ 13 + … = 2 − 8 ; n =1 ∞

∑ n =1 ∞

1

1

1

1

1

1 1 1 1 = + +… = ; n (n + 1) (n + 2) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 ⋅ 4 4

π2 = 1+ 2 + 2 + 2 +… = ; 2 6 n 2 3 4 n =1

∑

1

1

∞

∑ (−1) n =1 ∞

n −1

∑ n =1 ∞

1

π2 = 1− 2 + 2 − 2 +… = ; 12 n2 2 3 4 1

∑ (2n − 1) n =1 ∞

1

1

1

= 1+

2

1

+

32

1

(−1) n −1

1

1

π2 ; 8

+… =

52

1

= 1−

(2n − 1) 2

1

+

32

1

−

52

1

72

+… =

π2 ; 32

π2 = 1+ 4 + 4 +… = ; 4 90 n 2 3 n =1

∑

1

∞

∑ (−1) n =1 ∞

1

n −1

7π4 = 1− 4 + 4 +… = ; 720 n4 2 3 1

∑ (2n − 1) n =1 ∞

1

∑n n =1

1

2k

∞

∑

(−1)

n =1 ∞

∑ (−1) n =1

1+

∞

4

n −1

1

1

22k

2k

1

34 +

32k 1

22k 1

32k

1

(2n − 1) 2k +1

∑ ∑

(−1) n = cos1 ; (2n) !

n =1

1

+… =

+

1

54

1

= 1−

= 1+

1

+

1 = ch1 ; (2n) !

n =1 ∞

1+

= 1+

n2 k

∑ (2n − 1) 1

n =1 ∞

1

= 1+ n −1

1

+

+

+… =

42k 1

32k 1

52k

= 1−

π4 ; 96

−

+ 1

1

42k 1

72k

32k +1

+

π2k 22k −1 Bk ; (2k) ! +… =

(

)B ;

π2k 22k −1 − 1 (2k) !

k

π2k (22k − 1) +… = Bk ; 2 ⋅ (2k) ! 1

52k +1

− ∞

1

72k +1

+… =

π2k +1 22k + 2 ⋅ (2k) !

∑ (2n − 1) ! = sh1 ; n =1 ∞

∑ n =1

1

(−1) n −1 = sin1 . (2n − 1) !

Ek ;

82

2. Функциональные ряды 2.1. Основные определения. Ряд, членами которого являются некоторые функции, называется функциональным рядом. ∞

Множество значений x, при которых функциональный ряд

∑ f (x) n =1

ется областью сходимости ряда.

n

сходится, называ-

∞

Функции Sm(x) = Функция S(x) =

∑ f (x)

n =1 ∞

∑ f (x) n =1

в области сходимости ряда называется суммой ряда.

n

Функциональный ряд

называются частичными суммами ряда.

n

∞

∑ f (x) n

n =1

называется равномерно сходящимся на промежутке X,

если последовательность {Sn(x)} его частичных сумм сходится равномерно. ∞

Функциональный ряд вида

∑a n =1

n

(x − x0) n , где an и x0 — некоторые (действитель-

ные) числа, а x — переменное, называется степенным рядом. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал | x – x0 | < R (R — радиус сходимости), на котором степенной ряд сходится (а вне его — расходится). Если функция f(x) определена в некоторой окрестности x0 и имеет в этой точке произ∞

водные всех порядков, то ряд

∑ n =0

f (n) (x0) (x − x0) n называется рядом Тейлора функции f(x) n!

в точке x0. Правила действий с функциональными рядами в области их сходимости совпадают с правилами действий для сходящихся числовых рядов (см. п. 1.1). 2.2. Признаки сходимости функциональных рядов. ∞


К о ш и .

Для того чтобы ряд

∑ f (x) n =1

n

равномерно сходился на

некотором промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N = N(ε), что для всех n > N, всех натуральных p и всех x ∈ X

Sn + p (x) − Sn (x) =

n+p

∑ f (x) < ε .

i = n +1

i

2.3. СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ.

83

∞



Ряд

∑ f (x) n =1

n

сходится абсолютно и рав-

номерно на промежутке X, если существует такой сходящийся числовой ряд с положитель∞

ными членами

∑ r , что | an(x) | - rn. n =1

n

∞


А б е л я .

∑ f (x) g (x)

Ряд

n =1

∞

X, если ряд

∑ f (x) n =1

n

сходится равномерно на X; последовательность {gn(x)} ограничена

n

и монотонна при каждом x ∈ X. П р и з н а к

сходится равномерно на промежутке

n

∞

Д и р и х л е .

Ряд

∑ f (x) g (x) n =1

∞

n

∑ f (x)

последовательность частичных сумм

n =1

n

сходится равномерно на X, если

ограничена на X и последовательность

n

{gn(x)} монотонна для всех x ∈ X и равномерно стремится к нулю на X. 2.3. Свойства функциональных рядов. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть непрерывная функция. ∞

Если ряд

∑ f (x) n =1

сходится равномерно на промежутке X и для любого n существуют

n

конечные пределы lim fn (x) , x0 ∈ X, то ряд x → x0

∞

⎧⎪ ⎫⎪ lim ⎨ fn (x) ⎬ = x → x0 ⎩⎪ n =1 ⎭⎪

∑ ∞

Если члены сходящегося ряда

n =1

∞

и ряд производных

∑ f (x)

∑ dx f (x) d

n =1

n

∞

b

∞

∑ f (x) n =1

n

x → x0

n =1

∞

n

⎧

сходится и

⎫

∑ ⎨⎩ lim f (x) ⎬⎭ . n =1

x → x0

n

непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b]

∞

∑ n =1

∞

fn (x) =

∑ n =1

d fn (x) . dx

непрерывны на отрезке [a, b] и этот ряд сходится равномер-

⎧⎪ ⎫⎪ но на [a, b], то fn (x) ⎬ dx = ⎨ ⎪⎭ ⎩ n =1 a⎪ сходится на [a, b].

∫∑

∑ ( lim f (x) )

сходится равномерно на [a, b], то

d dx Если члены ряда

n

∞

∞ b

∑ ∫ f (x) dx n =1 a

n

и ряд в правой части равенства равномерно

84

IV.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ∞

∑a (x − x ) .

2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда

n

n=0

0

n

1 = lim n an . R n →∞ an an , то R = lim . Если существует предел lim n →∞ an +1 n →∞ an +1 Формула Коши–Адамара:

2.5. Действия со степенными рядами. ∞

Внутри общего интервала сходимости | x – x0 | < R степенных рядов

n =0

∞

∑ b (x − x ) n =0

∑a

n

0

n

n =0 ∞

n

∑a n =0

d dx

n

∞

(x − x0) + (x − x0)

∑a

n

n =0 ∞

n

∞

∑ b (x − x ) = ∑ (a

n

∞

(x − x0) n ,

справедливы равенства:

∞

∑a

n

∞

n =0

n

0

n

∞

n =0

∑ b (x − x ) = ∑ c n =0

n

(x − x0) n =

0

n

n =0

∞

∑ (n + 1) a n =0

⎛ ⎞ ⎜ an (x − x0) n ⎟ dx = ⎜ ⎟ ⎝ n =0 ⎠

∫∑

n

n +1 (x

∞

n

n =0

∞

n

(x − x0) , где cn =

∑a b i =0

i n −i

;

− x0) n ;

∑ n + 1 (x − x ) an

+ bn ) (x − x0) n ;

0

n +1

+c

(c = const) .

2.6. Некоторые степенные ряды.

(1 ± x) m = 1 +

∞

∑

(±1) n

n =1

m

(1 ± x )

m ( m − 1) … ( m − n + 1) n x n!

(m > 0) ;

2 m ( m − 1) ( m − 2 ) x3 mx m ( m − 1) x + ± +… 1! 2! 3! ∞ m ( m + 1) … ( m + n − 1) n = 1+ (∓1) n x = n!

= 1±

(1 ± x )−m

( x - 1) ;

∑ n =1

∞

sin x =

2 m ( m + 1) ( m + 2 ) x3 mx m ( m + 1) x = 1∓ + ∓ +… 1! 2! 3!

( x < ∞) ;

x2 n x2 x 4 x6 = 1− + − +… (2n) ! 2! 4! 6!

( x < ∞) ;

∑ ∑

(−1) n

n =1 ∞

cos x =

x2n −1 x3 x5 = x− + −… (2n − 1) ! 3! 5!

(−1) n −1

n =0

(m > 0; x < 1);

2.6. НЕКОТОРЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ∞

tg x =

∑

(

(2n) !

n =1

1 ctg x = − x sec x = 1 +

1 3 2 5 17 7 62 9 x + x + x + x +… 3 15 315 2835

⎞ 22n Bn 2n −1 1 ⎛ x x3 2x5 x7 x = −⎜ + + + + …⎟ ⎟ x ⎜⎝ 3 45 945 4725 (2n) ! ⎠ n =1

∑

En 2n x2 5x4 61x6 277x8 x = 1+ + + + +… (2n) ! 2 24 720 8064

∑ n =1

1 cosec x = + x

∞

∑ n =0

∑

(

(2n) !

n =1

) B x2n−1 =

(0 < x < π) ; π⎞ ⎛ ⎜ x < ⎟; 2⎠ ⎝

n

(0
1 2) ; ( −1 < x - 1) ;

(x

< 2π ) ;

( x > 0) ;

(0 < x - 2) ;

86

IV.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ln (1 − x ) = −

∞

⎛ ⎞ xn x2 x3 x 4 x5 = − ⎜x + + + + + …⎟ ⎜ ⎟ 2 3 4 5 n ⎝ ⎠ n =1

∑

( −1 - x < 1) ;

∞ ⎛ ⎞ x2n +1 x3 x 5 x 7 ⎛1 + x ⎞ ln ⎜ 2 2 x = = + + + + …⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ 2n + 1 3 5 7 ⎝1 − x ⎠ ⎝ ⎠ n =0

∑

(x

< 1) ;

∞

1 1 1 1 ⎛1 ⎞ ⎛ x + 1⎞ = 2 ⎜ + 3 + 5 + 7 + …⎟ ln ⎜ ⎟=2 2 n 1 + ⎝ x − 1⎠ ⎝ x 3x ⎠ (2n + 1) x 5x 7x n =0

∑

∞

arcsin x = x +

∑ n =1

=x+

x3 1 ⋅ 3x 3 1 ⋅ 3 ⋅ 5x 3 + + +… 2⋅3 2⋅4⋅5 2⋅4⋅6⋅7

∑

arctg x =

∞

∑ n =1

(x

< 1) ;

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ (2n − 1) x2n +1 = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ (2n) (2n + 1)

⎞ π ⎛ x3 1 ⋅ 3x 5 1 ⋅ 3 ⋅ 5x7 − ⎜⎜ x + + + + … ⎟⎟ 2 ⎝ 2⋅3 2⋅4⋅5 2⋅4⋅6⋅7 ⎠

∞

n =0

(−1) n x2n +1 x3 x5 x7 =x− + − +… 2n + 1 3 5 7 ∞

(−1) n +1

(x

(x

< 1) ;

< 1) ;

π arctg x = ± + 2

∑ (2n + 1) x

π arcctg x = + 2

⎞ (−1) n +1x2n +1 π ⎛ x 3 x5 x 7 = − ⎜x − + − + …⎟ ⎟ 2n + 1 2 ⎜⎝ 3 5 7 ⎠ n =0

∞

n =0

arcctg x = π + ∞

sh x =

=±

π 1 1 1 1 − + 3 − 5 + 7 −… 2 x 3x 5x 7x

∑

(−1) n

∞

2n +1

(−1) n

∑ (2n + 1) x

n =0 2n −1

=

1 1 1 1 − 3 + 5 − 7 +… x 3x 5x 7x

2 n +1

= π+

(x

∑

x2 n x2 x 4 x6 = 1+ + + +… (2n) ! 2! 4! 6!

< ∞) ;

∑ n =1

(x

(x

(x < 1) ;

( x < −1) ;

< ∞) ;

(−1) n+122n (22n − 1) x3 2x5 17x7 62x9 Bnx2n −1 = x − + − + −… (2n) ! 3 15 315 2835

1 cth x = + x

∞

∑ n =1

> 1) ;

( x > 1) ;

1 1 1 1 − 3 + 5 − 7 +… x 3x 5x 7x

∑ n =0 ∞

th x =

2n +1

x x3 x5 x7 = x+ + + +… (2n − 1) ! 3! 5! 7!

n =1 ∞

ch x =

n =0 ∞

∑ (2n + 1) x

arcctg x =

> 1) ;

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2n − 1) x2n +1 = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ ( 2n ) ( 2n + 1)

π arccos x = − x − 2 =

(x

(−1) n +122n 1 x x3 2x5 x7 Bnx2n −1 = + − + − +… (2n) ! x 3 45 945 4725

π⎞ ⎛ ⎜ x < ⎟; 2⎠ ⎝

(0
1) ;

< 1) ;

1 1 1 1 + 3 + 5 + 7 +… x 3x 5x 7x

(x

> 1) .

88

3. Бесконечные произведения 3.1. Основные определения ∞

∏ pn числа

В бесконечном произведении p1⋅p2⋅ …⋅pn = изведения, Pm = p1⋅p2⋅ …⋅pm =

m

n =1

pn — члены бесконечного про-

∏ pn — частичные произведения. n =1

Предел P последовательности {Pn} при n → ∞ называется значением бесконечного произведения. Если P конечно и P ≠ 0, то произведение называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Если lim Pm = 0 , то бесконечное произведение расходится к нулю. m →∞

∞

Бесконечное произведение ∞

сходится ряд

∑ ln p

n

n =1

∏ pn n =1

называется абсолютно сходящимся, если абсолютно

.

3.2. Свойства бесконечных произведений. ∞

Если бесконечное произведение ∞

Для сходимости

∏ pn

Если P =

∏ pn , n =1

n =1

сходится, то lim pn = 1 .

∑ ln p n =1

∞

∑ ln p n =1

∞

M=

n →∞

необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

n =1

∞

∏ pn

n

n

.

, то P = eM.

Если в бесконечном произведении

∞

∏(1 + an) , n =1

начиная с некоторого номера N0, все

числа an имеют один знак, то для сходимости произведения необходимо и достаточно, чтобы ∞

ряд

∑a n =1

сходился.

n

3.3. Некоторые бесконечные произведения. ∞

4n2

∏

n =1 4n ∞

2

∏ ⎛⎜1 −

n =2 ⎝ ∞

⎡

∏ ⎢1 − n =1 ⎣

−1

=

π 2

(формула Валлиса);

1 ⎞ 1 ⎟= ; n2 ⎠ 2

⎤ π = ; ⎥ (2n + 1) 2 ⎦ 4 1

3.3. НЕКОТОРЫЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ∞

e1 n =γ 1 n =1 1+ n

∏ ∞

∏ ⎡⎢1 + (−1) n n =1 ⎣ ∞

(γ — постоянная Эйлера – Маскерони);

a ⎤ 2 (a + 1) π sin ; = ⎥ 2n + 1⎦ a + 1 2 ∞

∏ ⎛⎜1 + 13 ⎞⎟ = 1 ch π 3 ; 2 n =1 ⎝ n ⎠ π ∞

∏ ⎛⎜1 − n =1 ⎝

1 ⎞ 1 π 3 ; = ch ⎟ 2 n3 ⎠ 3 π

a ⎞⎛ a ⎞⎛ a ⎞ −a sin πa ; ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜1 + ⎟=2 πa 2n + 1 ⎠ ⎝ 2n + 2 ⎠ ⎝ n + 1⎠

∏ ⎛⎜1 −

n =0 ⎝ ∞

∏ (1 + ae−2 n =1 ∞

∏ ⎛⎜1 + 2 ⎞⎟ n⎠ n =1 ⎝

n

)=

1 (1 + cth a) ; 2

(−1) n +1 n

∞

∞

π2 ∏ ⎛⎜1 + 2 ⎞⎟ = 12 n =2 ⎝ n⎠

(−1) n n

=

π ; 2e

a ⎞ ∓ a n sin πa ⎛ ; = ⎜1 ± ⎟ e n⎠ πa n =−∞ ⎝

∏

n≠0 ∞

a ⎞ a (2n +1) cos πa ⎛ ; = ⎜1 − ⎟e 2n + 1 ⎠ 2 n =−∞ ⎝

∏

∞

∏

1

n =1 1 − 1

∞

=

pnx

∑n n =1

1

x

(тождество Эйлера)

(pk — простые числа (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, …), x > 1); ∞

∏ (1 + x2

n =0 ∞

⎛ x ∏ ⎜1 − ⎜ n =1 ⎝ ∞ ⎛ x ∏ ⎜1 + ⎜ n =1 ⎝ ∞

∏ cos n =1 ∞

x 2

n

n

)=

3

(x

< 1) ; ∞

x2 ⎞ ⎟ = sin x ; n2 π2 ⎟⎠ x2 ⎞ ⎟ = sh x ; n2 π2 ⎟⎠ =

sin x x

∏ ⎛⎜1 − 4 sin2 n =1 ⎝

1 1− x

(x

⎛

⎞ ⎟ = cos x ; n =1 ⎝ (2n − 1) 2 π2 ⎟⎠ ∞ 2 ⎡ ⎤ ∏ ⎢1 + 4x 2 2 ⎥ = ch x ; n =1 ⎢ (2n − 1) π ⎥⎦ ⎣

∏ ⎜⎜1 −

< 1) ;

x ⎞ sin x . ⎟= x 3n ⎠

4x2

89

90

V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Комплексные числа Алгебраическая (декартова) форма записи: z = x + iy (i2 = –1); Re z = x — действительная часть комплексного числа, Im z = y — мнимая часть комплексного числа. Комплексное число z = x – iy — комплексно сопряженное с числом z. Арифметические действия: z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2), z1 – z2 = (x1 – x2) + i (y1 – y2), z1⋅z2 = (x1x2 – y1y2) + i (x1y2 + x2y1),

z1 x1x2 + y1y2 x y −xy = + i 2 21 12 2 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2

Тригонометрическая форма записи*): Модуль комплексного числа: Аргумент комплексного числа: главное значение аргумента. Показательная форма записи:

( z2

≠ 0) .

z = r (cos ϕ + i sin ϕ).

z = r = x 2 + y2 . Arg z = arg z + 2πk

(k = 0, 1, 2, …), arg z = ϕ —

z = r eiϕ.

Ф о р м у л а Э й л е р а : eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Произведение и частное комплексных чисел в показательной и тригонометрической форме записи:

z1⋅z2 = r1r2 ei (ϕ 1 + ϕ 2) ; z1 r r = 1 ei (ϕ1 −ϕ2) = 1 ⎡⎣cos ( ϕ1 − ϕ2 ) + i sin ( ϕ1 − ϕ2 ) ⎤⎦ z2 r2 r2

( z2

≠ 0) .

Ф о р м у л ы М у а в р а : zn = rn einϕ = r (cos n ϕ + i sin n ϕ), ϕ + 2 πk ϕ + 2 πk ⎞ ⎧ ϕ + 2 πk ⎫ n ⎛ n z = n r exp ⎨i + i sin ⎬ = r ⎜ cos ⎟ ( k = 0,1, 2, … , n − 1) . n ⎭ n n ⎩ ⎝ ⎠ Степень с произвольным рациональным показателем:

*)

Определена для комплексного числа z, отличного от нуля.

zm n =

(n z )

m

.

2. Функции комплексного переменного 2.1. Основные определения. Функция f(z) называется непрерывной в точке z0, если lim f (z) = f (z0 ) . z →z0

Функция f(z), непрерывная в каждой точке области G, называется непрерывной в области G. Функция f(z) называется дифференцируемой в точке z, если существует конечный пре-

∆f (z) = f′(z) . ∆z →0 ∆z

дел lim

Функция f(z) называется аналитической в точке z0, если она представима степенным ∞

рядом f (z) =

∑a

n =−∞

n

( z − z0 )n ,

сходящимся в некоторой окрестности точки z0 (an — ком-

плексные числа). Функция называется аналитической в области G, если она аналитическая в каждой точке области. Точка z0 называется нулем функции f(z), если f(z0) = 0. Точка z0 называется нулем n-го порядка аналитической функции f(z), если f(z) = (z – z0)n ϕ(z), где ϕ(z) — аналитическая и ϕ(z0) ≠ 0. Точка z0 называется особой точкой функции f(z), если f(z) в этой точке не аналити-

ческая. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует

такое ε > 0, что в области 0 < | z – z0 | < ε функция f(z) — аналитическая.

Особая точка аналитической функции f(z) называется устранимой особой точкой, если ее разложение в ряд Лорана не содержит отрицательных степеней z – z0, т. е. c–n = 0 (n = 1, 2, …). Особая точка z0 аналитической функции f(z) называется полюсом, если ее разложение в

ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней z – z0 (c–1 ≠ 0, c–k ≠ 0, …,

c–k–i = 0 (i = 1, 2, …)), число k называется порядком полюса; если k = 1, то полюс называется простым. Особая точка z0 аналитической функции f(z) называется существенно особой точкой, если ее разложение в ряд Лорана содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями z – z0. Направление обхода по контуру считается положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе остается слева. В противном случае направление обхода считается отрицательным. Непрерывное отображение w = f(z) области G комплексной плоскости z в область комплексной плоскости w называется конформным в точке z0∈G, если отображение в этой точке сохраняет углы и растяжения постоянными. Непрерывное отображение области G называется конформным, если оно конформно в каждой точке области G. Конформное отображение называется конформным отображением I рода, если оно сохраняет абсолютную величину и знак угла, и конформным отображением II рода, если оно меняет знак угла на противоположный.

92

V.2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.

У с л о в и я К о ш и – Р и м а н а . Чтобы однозначная в области G функция комплексного переменного была аналитической в G, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были дифференцируемыми функциями как функции двух действительных переменных и удовлетворяли условиям Коши – Римана в области G: в декартовых координатах: в полярных координатах:

∂u ∂v ∂u ∂v = =− , ; ∂x ∂y ∂y ∂x ∂u ∂v ∂u ∂v = −r , r = , ∂ϕ ∂r ∂r ∂ϕ

u = u (r cos ϕ, r sin ϕ),

v = v (r cos ϕ, r sin ϕ). Функция f(z), дифференцируемая в некоторой области G, является аналитической в этой области. Из дифференцируемости функции в точке z0 не следует ее аналитичность в этой точке. Правила вычисления производных функций комплексного переменного формально совпадают с правилами вычисления производных для функций действительного переменного. 2.3. Интегрирование функций комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного определяется формулой

∫ f (z) dz = ∫ (u dx − v dy) + i ∫ (v dx + u dy) ,

C

C

C

где C — кусочно гладкая кривая, f(z) = u (x, y) + i v (x, y). В правой части равенства стоят криволинейные интегралы по кривой C в координатной плоскости x, y. Формула вычисления интеграла от функции f(z) = u (x, y) + i v (x, y) при параметрическом задании кривой C: z = z(t) = x(t) + i y(t) (t1 - t - t2, x(t) и y(t) — дифференцируемые функции):

t2

t2

t1

t1

∫ f (z) dz = ∫ {ux − vy} dt + i ∫ {vx + uy} dt .

C

Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного следуют из свойств криволинейных интегралов. Неопределенный интеграл от функции комплексного переменного f(z) определяется z

формулой

F (z) =

∫ f (ζ) dζ + C

(C = const ) ,

где f(ζ) — аналитическая функция в

z0

односвязной области G, z0 и z — начальная и конечная точки произвольного кусочно гладкого пути интегрирования, целиком лежащего в G. Формула перехода к пределу под знаком интеграла:

lim

n →∞

∫ f (z) dz = ∫ lim f (z) dz = ∫ f(z) dz , n

C

C

n →∞

n

C

где fn (z) (n ∈ N) — последовательность функций, равномерно сходящаяся к функции f(z) на кривой C.

2.4. РЯДЫ. Т е о р е м а

∫ f (z) dz = 0 ,

К о ш и .

93 где f(z) — аналитическая функция в одно-

C

связной области G, C — произвольный замкнутый контур в области G. И н т е г р а л ь н а я

ф о р м у л а

f (z) =

К о ш и .

1 2 πi

f (ζ)

∫ ζ − z dζ ,

где

C

C — замкнутый кусочно гладкий контур, ограничивающий область G′ и лежащий в односвязной области G, f(ζ) — аналитическая функция в области G, z ∈G′. И н т е г р а л

т и п а

К о ш и .

Φ (z) =

1 2 πi

∫

C

ϕ(ζ) dζ , где C — кусочно гладζ−z

кая линия, ϕ(ζ) — непрерывная функция вдоль C; точка z не принадлежит линии C, Ф(z) определяет аналитическую функцию во всякой односвязной области G, не содержащей C. Формула для производной интеграла типа Коши: Φ (n) (z) =

n! 2 πi

ϕ(ζ)

∫ (ζ − z)

C

n +1

dζ , n∈N.

Т е о р е м а Л и у в и л л я . Если f(z) — аналитическая ограниченная функция во всей плоскости, то f(z) = const. Т е о р е м а М о р е р а . Если f(z) — непрерывная функция в односвязной области G и

∫ f (z) dz = 0

для произвольного кусочно гладкого контура C, лежащего в G, то

C

f(z) — аналитическая функция. Ф о р м у л ы С о х о ц к о г о :

ϕi (z0 ) =

1 2 πi

∫

C

ϕ(ζ) 1 dζ + ϕ(z0 ) , ζ − z0 2

1 2 πi

ϕe (z0 ) =

∫

C

ϕ(ζ) 1 dζ − ϕ(z0 ) , где ζ − z0 2

ϕ(z) — аналитическая функция на произвольной замкнутой линии C, z0∈C, ϕ i (z0) — предельное значение интеграла типа Коши, если z→z0 внутри контура C, ϕ e (z0) — предельное значение, если z→z0 вне контура C. 2.4. Ряды. П е р в а я

т е о р е м а


(n = 1, 2, …) — аналитические в области G и ряд замкнутой области G′ ⊂ G , то функция f (z) =

∞

∑ f (z) n =1

n

имеет место формула почленного дифференцирования правой части сходится равномерно в G′ .

n

∑ f (z) n =1

Если функции

∞

fn (z)

сходится равномерно в любой

— аналитическая в области G и

d(k)

dz (k)

∞

f (z) =

d (k)

∑ dz n =1

f (z) , (k) n

где ряд в

94

V.2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО В т о р а я

т е о р е м а


∞

∑ f (z)

Если члены ряда

n

n =1

не-

прерывны в замкнутой ограниченной области G и аналитичны в области G, то из равномерной сходимости ряда на границе области G следует его равномерная сходимость в G . Р я д

f (z ) =

Т е й л о р а :

∞

∑

f (n) ( z0 ) n!

n =0

(z − z0 ) n ,

где f(z) — аналитическая

функция в любом открытом круге с центром в точке z0. Формула ряда Тейлора с остаточным членом:

f (z ) =

n

∑

f (k) ( z0 )

k =0

Р я д

k!

(z − z0 ) n +1 Rn (z) = 2 πi

k

(z − z0 ) + Rn (z) ,

f (z ) =

Л о р а н а :

∞

∞

f (ζ)

∫ (ζ − z) (ζ − z )

C

∞

0

∑ c (z − z ) = ∑ c (z − z ) + ∑ c

n =−∞

n

0

n

n =0

n

0

n

n =1

1 где f(z) — аналитическая функция в кольце r < | z – z0 | < R, cn = 2 πi

n +1

− n (z

dζ .

− z0 ) − n ,

f (ζ)

∫γ (ζ − z ) 0

n +1

dζ

(n = 0, ±1, ±2, …), γ —произвольная окружность | z – z0 | = ρ, r < ρ < R. Правила действий со степенными рядами на плоскости комплексного переменного совпадают с соответствующими правилами действий для рядов с действительными членами. 2.5. Вычеты. Вычет функции f(z) относительно изолированной особой точки z = z0 определяется формулой res f (z0 ) ≡

1 f ( z ) dz = c−1 , где f(z) — аналитическая функция в области G, 2 πi

∫

C

C — произвольный замкнутый контур, лежащий в области G, содержащий особую точку

и не содержащий других особых точек, c –1 — коэффициент при (z – z0)–1 в разложении функции f(z) в ряд Лорана в окрестности особой точки z0.

функции

n

Т е о р е м а

К о ш и .

∫ f (z ) dz = 2πi∑ res f (z ) , k

k =1

C

где f(z) — функция анали-

тическая в области G везде, кроме конечного числа особых точек zk (k = 1, 2, …, n); замкнутый контур C ⊂ G и содержит внутри себя точки zk. Вычет в точке z0 — полюсе порядка n:

res f ( z0 ) =

1 d (n −1) lim (z − z0 ) n f ( z0 ) . ( − 1) n (n − 1) ! z →z0 dz

{

}

Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки:

f ( z∞ ) =

1 2 πi

∫ f (z ) dz = −c

C−

−1 ,

где C – — контур C, проходимый в отрицательном направлении (т.е. так, чтобы бесконечно удаленная точка оставалась все время слева).

2.6. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. П р и н ц и п

а р г у м е н т а :

1 2 πi

f′ ( z )

1

95

∫ f (z ) dz = 2π ∆

C

arg f ( z ) = N − P . Раз-

C

ность между количеством нулей (N) и полюсов (P) функции f(z), аналитической внутри замкнутой кривой C всюду, кроме конечного числа полюсов, равен числу оборотов

1 ∆C arg f ( z ) вокруг начала координат радиус-вектора, изображающего функцию w = f(z) 2π

на плоскости w, при прохождении точкой z контура C в положительном направлении (каждый нуль и полюс считаются с учетом их кратности). Интеграл, стоящий в левой части равенства, называется логарифмическим вычетом функции f(z) относительно контура C. Т е о р е м а

Р у ш е .

1 2 πi

∫ Γ

f1′ + f2′ 1 dz = f1 + f2 2 πi

∫ Γ

f′ dz , где f1, f2 — аналитические f1

функции в области G и на границе Г области G; f1(z) ≠ 0 и | f2(z) | < | f1(z) | на границе Г. 2.6. Конформные отображения. Отображение w = f(z) является конформным (конформным I рода) в области G конечной комплексной плоскости тогда и только тогда, когда функция f(z) (z ∈ G) является аналитической и f′(z) ≠ 0 в области G. Всякое конформное отображение II рода осуществляется посредством функции, сопряженной с аналитической функцией. Всякое отображение, осуществляемое посредством функции, сопряженной с аналитической функцией, является конформным отображением II рода. Формула вычисления длины l образа кусочно гладкой кривой C при конформном отображении w = f(z): l =

∫ f′ (z ) dz .

C

Формула вычисления площади образа S области G при конформном отображении w = f(z): S =

∫∫ G

2

f ′ ( z ) dx dy .

96

VI. Трансцендентные функции 1. Тригонометрические функции 1.1. Некоторые значения тригонометрических функций. Аргумент 0°

(0)

Функция sin α

cos α

tg α

ctg α

0

1

0

не определен

2− 3

2+ 3

15°

⎛π⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠

3 −1 2 2

3 +1 2 2

18°

⎛π⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

5 −1 4

5+ 5 2 2

10 + 2 5

30°

⎛ π⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠

1 2

3 2

1 3

36°

⎛ π⎞ ⎜ ⎟ ⎝5⎠

5− 5 2 2

5 +1 4

10 − 2 5 5 +1

10 − 2 5

45°

⎛ π⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠

2 2

2 2

1

1

54°

⎛ 3π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

5 +1 4

5− 5 2 2

60°

⎛ π⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

3 2

1 2

72°

⎛ 2π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠

5+ 5 2 2

5 −1 4

10 + 2 5 5 −1

10 + 2 5

75°

⎛ 5π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠

3 +1 2 2

3 −1 2 2

2+ 3

2− 3

90°

⎛ π⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

1

0

не определен

0

5 −1

5 +1 10 − 2 5 3

10 + 2 5 5 −1 3 5 +1

10 − 2 5 5 +1 1 3 5 −1

1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента. (в приведенных формулах перед знаком радикала должен быть выбран «плюс» или «минус», в зависимости от того, в какой четверти находится угол α, а именно, таким образом, чтобы знак тригонометрической функции, стоящей в левой части, совпадал со знаком величины, стоящей в правой части равенства) cos α

=

= ± 1 − cos2 α

=

=

=

sin α

2

cos α

= ± 1 − sin α

tg α

=

ctg α

± 1 − sin2 α = sin α

sec α

=

cosec α

sin α ± 1 − sin2 α

=

± 1 − cos2 α cos α

=

cos α

1

=

± 1 − sin2 α =

1 sin α

± 1 − cos2 α

=

1 cos α 1

tg α ± 1 + tg2 α 1 ± 1 + tg2 α

ctg α

=

=

± 1 + ctg2 α

1 tg α

=

ctg α

1 ctg α

=

± 1 + ctg2 α ctg α

= ± 1 + tg2 α

=

± 1 + tg2 α = tg α

= ± 1 + ctg2 α

1 sec α

= ± sec2 α − 1

=

1 ± sec2 α − 1

=

=

cosec α

± sec2 α − 1 sec α =

± 1 + ctg2 α =

=

=

1

sec α

sec α ± sec2 α − 1

=

1 cosec α

± cosec2 α − 1 = cosec α =

1 ± cosec2 α − 1

= ± cosec2 α − 1

=

cosec α ± cosec2 α − 1

= 97

± 1 − cos2 α

tg α

VI.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

sin α

VI.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

98

1.3. Формулы приведения. Аргумент Функция

β=

π ±α 2

β = π±α

β=

3π ±α 2

β = 2π − α

sin β =

cos α

∓ sin α

– cos α

– sin α

cos β =

∓ sin α

– cos α

± sin α

cos α

tg β =

∓ ctg α

± tg α

∓ ctg α

– tg α

ctg β =

∓ tg α

± ctg α

∓ tg α

– ctg α

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов: sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β;

tg ( α ± β ) =

tg α ± tg β ; 1 ∓ tg α tg β

ctg ( α ± β ) =

ctg α ctg β ∓ 1 . ctg β ± ctg α

Тригонометрические функции двойных, тройных и половинных аргументов: sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos2 α – sin2 α = 1 – 2 sin2 α = 2 cos2 α – 1;

tg 2α =

2 tg α

1 − tg2 α

ctg2 α − 1 ctg 2α = ; 2 ctg α

;

sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α;

tg 3α =

3 tg α − tg3 α

;

cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α;

ctg 3α =

ctg3 α − 3 ctg α

1 − 3 tg2 α 3 ctg2 α − 1 α 1 − cos α α 1 + cos α sin = ± ; cos = ± ; 2 2 2 2 1 − cos α sin α 1 − cos α α tg = ± ; = = 2 1 + cos α 1 + cos α sin α 1 + cos α sin α 1 + cos α α ctg = ± . = = 2 1 − cos α 1 − cos α sin α

;

В формулах половинного угла знаки перед радикалами берутся в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства. Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:

sin α + sin β = 2 sin

α+β α−β cos ; 2 2

sin α − sin β = 2 cos

α+β α−β sin ; 2 2

α+β α−β cos ; 2 2 α+β α−β α+β β−α cos α − cos β = −2 sin sin = 2 sin sin ; 2 2 2 2 cos α + sin α = 2 cos ( 45° − α ) ; cos α − sin α = 2 sin ( 45° − α ) ; cos α + cos β = 2 cos

tg α ± tg β =

sin ( α ± β ) cos α cos β

;

ctg α ± ctg β =

sin ( β ± α ) sin α sin β

;

1.3. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ.

tg α + ctg β =

cos ( α − β )

;

cos α sin β tg α + ctg α = 2 cosec 2α;

α ; 2 α⎞ ⎛ 1 + sin α = 2 cos2 ⎜ 45° − ⎟ ; 2⎠ ⎝ 1 + cos α = 2 cos2

1 ± tg α = 1 ± tg α tg β =

cos ( α ∓ β )

; cos α cos β cos 2α 1 − tg2 α = ; cos2 α tg2 α − tg2 β =

tg α − ctg β =

99

cos ( α + β )

cos α sin β tg α − ctg α = −2 ctg 2α; 1 − cos α = 2 sin2

;

α ; 2

α⎞ ⎛ 1 − sin α = 2 sin2 ⎜ 45° − ⎟ ; 2⎠ ⎝ 2 sin ( 45° ± α ) ; cos α cos ( α ∓ β ) ctg α ctg β ± 1 = ; sin α sin β cos 2α 1 − ctg2 α = − ; sin2 α sin ( α + β ) sin ( α − β ) ; cos2 α cos2 β

ctg2 α − ctg2 β =

sin ( α + β ) sin ( β − α ) sin2 α sin2 β

;

tg2 α − sin2 α = tg2 α sin2 α; ctg2 α − cos2 α = ctg2 α cos2 α. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму: 1 sin α sin β = ⎡⎣cos ( α − β ) − cos ( α + β ) ⎤⎦ ; 2 1 cos α cos β = ⎡⎣cos ( α − β ) + cos ( α + β ) ⎤⎦ ; 2 1 sin α cos β = ⎡⎣sin ( α − β ) + sin ( α + β ) ⎤⎦ ; 2 1 sin α sin β sin γ = ⎡⎣sin ( α + β − γ ) + sin ( β + γ − α ) + sin ( γ + α − β ) − sin ( α + β + γ ) ⎤⎦ ; 4 1 sin α sin β cos γ = ⎡⎣ − cos ( α + β − γ ) + cos ( β + γ − α ) + cos ( γ + α − β ) − cos ( α + β + γ ) ⎤⎦ ; 4 1 sin α cos β cos γ = ⎡⎣sin ( α + β − γ ) − sin ( β + γ − α ) + sin ( γ + α − β ) + sin ( α + β + γ ) ⎤⎦ ; 4 1 cos α cos β cos γ = ⎣⎡cos ( α + β − γ ) + cos (β + γ − α ) + cos ( γ + α − β ) + cos ( α + β + γ ) ⎦⎤ . 4 Соотношения между обратными тригонометрическими функциями: π arcsin x = − arcsin ( − x ) = − arccos x = arctg (x 1 − x2 ); 2 π arccos x = π − arccos ( − x ) = − arcsin x = arcctg (x 1 − x2 ); 2 π arctg x = − arctg ( − x ) = − arcctg x = arcsin (x 1 + x2 ); 2 π arcctg x = π − arcctg ( − x ) = − arctg x = arccos (x 1 + x2 ). 2

100

2. Гиперболические функции Определения:

ex − e − x ; 2 sh x th x = ; ch x 1 sech x = ; ch x Основные соотношения: ch2 x − sh2 x = 1; sh x =

sh x =

th x 1 − th2 x

=

1 cth2 x − 1

ex + e− x ; 2 ch x cth x = ; sh x 1 cosech = . sh x ch x =

th x ⋅ cth x = 1; ch x =

;

ch2 x − 1 th x = = ; ch x 1 + sh2 x sh x

1

=

1 − th2 x

cth x cth2 x − 1

;

1 + sh2 x ch x cth x = = . sh x ch2 x − 1

Формулы приведения:

sh ( x ± y ) = sh x ch y ± ch x sh y; th ( x ± y ) =

th x ± th y ; 1 ± th x th y

ch ( x ± y ) = ch x ch y ± sh x sh y; cth ( x ± y ) =

sh 2x = 2 sh x ch x;

cth x cth y ± 1 ; cth y ± cth x

ch 2x = ch2 x + sh2 x;

cth2 x + 1 ; 2 cth x 1 + th2 x x x ch x − 1 = 2 sh2 ; ch x + 1 = 2 ch2 ; 2 2 x sh x ch x − 1 x sh x ch x + 1 = th = ; cth = = ; 2 ch x + 1 sh x 2 ch x − 1 sh x x±y x∓y sh x ± sh y = 2 sh ch ; 2 2 x+y x−y x+y x−y ch x + ch y = 2 ch ch ; ch x − ch y = 2 sh sh ; 2 2 2 2 sh ( x ± y ) sh ( x ± y ) th x ± th y = ; cth x ± cth y = ; ch x ch y sh x sh y th 2x =

2 th x

;

cth 2x =

2 ch x ch y = ch ( x + y ) + ch ( x − y ) ;

2 sh x sh y = ch ( x + y ) − ch ( x − y ) ;

( arch x ± arch y = arch ( xy ±

) ( x + 1 y + 1 ± xy) ; − 1 ) = arsh ( y x − 1 ± x y − 1 ) ;

2 sh x ch y = sh ( x + y ) + sh ( x − y ) . Соотношения между обратными гиперболическими функциями:

arsh x ± arsh y = arsh x y2 + 1 ± y x2 + 1 = arch x2 − 1 y2

arth x ± arth y = arth

2

2

2

x±y . 1 ± xy

2

VI.2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

101

Соотношения между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

cos x = ch ix;

sin x = −i sh ix; tg x = −i th ix; ctg x = i cth ix;

ch x = cos ix;

sh x = −i sin ix; th x = −i tg ix; cth x = i ctg ix.

Соотношения между обратными тригонометрическими и обратными гиперболическими функциями:

arccos x = i arch x;

arcsin x = −i arsh ix; arctg x = −i arth ix; arcctg x = i arcth ix;

arch x = i arccos x;

arsh x = −i arcsin ix; arth x = −i arctg ix; arcth x = i arcctg ix.

102

3. Гамма-функция Ф о р м у л а

n ! nz Γ (z) = lim n →∞ z ( z + 1) … ( z + n )

Э й л е р а :

( z ≠ 0, −1, −2,…) .

Интегральное представление (интеграл Эйлера II рода): ∞

Γ (z) =

∫t

e dt

0

Разложение в ряд:

ln Γ (1 + z) = − ln (1 + z ) + z (1 − γ ) + Б е с к о н е ч н о е

⎛

где γ = lim ⎜ n →∞ ⎜

∑

⎝ k =1

∞

∑ n =2

zn (−1) [ ζ (n) − 1] n

(z

n

п р о и з в е д е н и е

1 = z e γz Γ (z) n

(Re z > 0 ) .

z −1 −t

< 2) .

Э й л е р а :

∞

∏ ⎡⎢⎛⎜1 + z ⎞⎟ e−z n ⎤⎥ , n⎠

n =1 ⎣⎝

⎦

⎞ 1 − ln n ⎟ ≈ 0, 5772156649 — постоянная Эйлера – Маскерони. ⎟ k ⎠


у м н о ж е н и я

Γ (nz) = (2 π)

Г а у с с а :

(1− n) 2

n

nz −1 2

n −1

∏ Γ ⎛⎜ z + k ⎞⎟ .

Рекуррентная формула:

n⎠ ⎝ Γ (n + z) = ( n − 1 + z ) ( n − 2 + z ) … (1 + z ) zΓ (z) .

Формулы симметрии:

Γ (z) Γ (−z) = −

Γ (z) Γ (1 − z) =

∞ z −1

∫ 0


k =1

π ; z sin πz

t dt 1+ t

( 0 < Re z < 1) .

С т и р л и н г а :

1 1 139 ⎡ ⎤ … Γ (z) ≈ e − z zz −1 2 2 ⎢1 + + − − ⎥ ⎣ 12z 288z2 51840z3 ⎦


< π) .

В а л л и с а :

Γ (n + 1 2) 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1− ≈ + − …⎟ ⎜ 2 8 n 128 n Γ (n + 1) n⎝ ⎠ ⎛1⎞ Частные значения: Г(n + 1) = n!, Γ ⎜ ⎟ = π . ⎝2⎠ Γ (z) Γ (w) Б е т а - ф у н к ц и я : B(z, w) ≡ , Γ (z + w) 1

B(z, w) =

( arg z

∫t

z −1

w −1

(1 − t )

∞

dt =

0

tz −1

∫ (1 + t ) 0

z +w

dt

(n → ∞) .

B(z, w) = B(w, z);

(интеграл Эйлера I рода).

Логарифмическая производная гамма-функции (пси-функция):

ψ (z) =

d Γ′(z) ln Γ (z) = . Γ (z) dz

VI.3. ГАММА-ФУНКЦИЯ

103

Интегральные представления (при Re z > 0): ∞

∞

⎛ e −t ⎛ −t e − zt ⎞ 1 ψ (z) = ⎜ − = − dt e ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ t 1 − e −t ⎟⎠ (1 + t) z 0⎝ 0⎝

∫

∫

1 ψ (z) = −γ − + z


∞

ψ (1 + z) = −γ + ψ (nz) =

Формула умножения: Рекуррентная формула: Формула симметрии: Частные значения:

∞

1

⎞ dt 1 − tz −1 = −γ + dt . ⎟⎟ − 1 t t ⎠ 0

∫

∑ n (z + n) ; z

n =1

∑ (−1)

n

(z

ζ (n) z n −1

< 1) .

n =2 n −1

1 n

∑

k⎞ ⎛ ψ ⎜ z + ⎟ + ln n . n⎠ ⎝ k=0

1 1 1 + + … + + ψ (z) . n −1+ z n − 2 + z z ψ (z) − ψ (1 − z) = −π ctg πz . ψ (n + z) =

ψ (n) = −γ +

n −1

∑ k =1

1 k

⎛1⎞ ψ ⎜ ⎟ = −γ − ln 2 . ⎝2⎠

2 ), ( n .

Неполная гамма-функция: z

γ (a, z) =

∫e

∞ −t a −1

t

dt

(Re a > 0, a = const ) ,

0

Рекуррентная формула:

Γ (a, z) ≡ Γ (a) − γ (a, z) = a −z

γ (a + 1, z) = a γ (a, z) − z e

∫e

−t a −1

t

z

.

dn ⎡ −a Формула дифференцирования: z Γ (a, z) ⎤ = (−1) n z −a − n Γ (a + n, z) . n ⎣ ⎦ dz ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ Связь с интегралом вероятностей: γ ⎜ , z2 ⎟ = π erf z, Γ ⎜ , z2 ⎟ = π erfc z . ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

dt .

104

4. Функции Бесселя Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е 2

(

Б е с с е л я :

)

dw + z2 − ν 2 w = 0 ; 2 dz dz решения: функции Бесселя первого рода J± ν (z) , второго рода Yν (z) и третьего рода z2

d w

у р а в н е н и е

+z

Hν(1) (z), Hν(2) (z) (или функции Ганкеля). Соотношения между функциями Бесселя:

J (z) cos νπ − J−ν (z) . Yν (z) = ν sin νπ

Если ν — целое, то под правой частью понимается ее предельное значение.

Hν(1) (z) = Jν (z) + iYν (z)

Hν(2) (z) = Jν (z) − iYν (z)

J− n (z) = (−1) n Jn (z) ∞


Jν (z) =

Y− n (z) = (−1) n Yn (z).

2 k +ν

(−1) k ( z 2 )

∞

∑ k ! Γ(k + ν + 1) ;

J− n (z) =

k =0

1 ⎛z⎞ Yn (z) = − ⎜ ⎟ π ⎝2⎠

− n n −1

∑ k =0

∑

2k− n

(−1) k ( z 2 )

k ! (k − n) !

k=n

;

k

(n − k − 1) ! ⎛ z2 ⎞ 2 ⎛z⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ln ⎜ ⎟ Jn (z) − π ⎝2⎠ k! ⎝ 4 ⎠ 1 ⎛z⎞ − ⎜ ⎟ π ⎝2⎠

n ∞

∑ k =0

Интегральные представления:

(− z2 4) k . [ψ (k + 1) + ψ (n + k + 1) ] k ! ( n + k) !

π

(z 2) ν cos ( z cos θ ) sin2 ν θ dθ = π Γ (ν + 1 2)

∫

Jν (z) =

0

2 (z 2) ν π Γ (ν + 1 2)

= π

Yν (z) =

1 1 sin ( z sin θ − νθ ) dθ − π π

∫ 0

π

∞

1

2 ∫ (1 − t )

ν−1 2

0

− z sh t νt −νt ∫ {e + e cos ( νπ )} e dt 0

∞

1 sin νπ − z sh(t − νt) Jν (z) = e dt cos ( z sin θ − νθ ) dθ − π π

∫

∫

0

(Re ν > − 1 2 ) ;

cos zt dt

π

0

π⎞ ⎛ ⎜ arg z < ⎟ ; 2⎠ ⎝

1 Jn (z) = cos ( z sin θ − nθ ) dθ. π

∫ 0

Дифференцирование (здесь f — любая из функций J, Y, H(1), H(2)): m

⎛1 d ⎞ ⎡ ν ν −m fν −m (z); ⎜ ⎟ ⎣z fν (z) ⎤⎦ = z ⎝ z dz ⎠ m

π⎞ ⎛ ⎜ arg z < ⎟ ; 2⎠ ⎝

⎛ 1 d ⎞ ⎡ −ν m −ν − m fν+ m (z). ⎜ ⎟ ⎣z fν (z) ⎤⎦ = (−1) z ⎝ z dz ⎠

VI.4. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Произведение функций Бесселя: ∞

Jν (z) Jµ (z) =

(−1) k ( z 2 )

ν +µ+ 2 k

105

Γ (ν + µ + 2k + 1)

∑ k ! Γ(µ + k + 1) Γ (ν + k + 1) Γ (ν + µ + k + 1) . k =0

Рекуррентное соотношение (здесь f — любая из функций J, Y, H(1), H(2)):

fν −1 (z) + fν +1 (z) =

2ν fν (z) . z

Связь между функциями Бесселя полуцелого порядка:

J− n −1 2 (z) = (−1) n +1Yn +1 2 (z);

Связь с элементарными функциями:

Jn +1 2 (z) = (−1)

n

Y− n −1 2 (z) = (−1) n Jn +1 2 (z). n

2 n +1 ⎛ 1 d ⎞ ⎡ sin z ⎤ ; z ⎜ ⎟ πz ⎝ z dz ⎠ ⎣⎢ z ⎦⎥ n

2 n +1 ⎛ 1 d ⎞ ⎡ cos z ⎤ ; Yn +1 2 (z) = (−1) z ⎜ ⎟ πz ⎝ z dz ⎠ ⎣⎢ z ⎦⎥ 2 sin νπ ; Jν (z) J− ν +1 (z) + J− ν (z) Jν +1 (z) = πz 2 . Jν (z) Yν −1 (z) − Yν (z) Jν −1 (z) = πz n +1

106

5. Модифицированные функции Бесселя I и K Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е 2

d w

z2

dz

2

у р а в н е н и е :

(

)

dw − z2 + ν2 w = 0 ; dz

+z

решения: модифицированные функции Бесселя I±ν(z) и Kν(z) (функция Макдональда). Связь с функциями Бесселя и соотношения между модифицированными функциями Бесселя: iπ ⎧ − iπν π⎞ ⎛ 2 ⎪e Jν (ze 2 ) ⎜ −π < arg z - ⎟ ; 2⎠ ⎪ ⎝ Iν (z) = ⎨ 3 3 − iπ ⎪ 2 iπν ⎛π ⎞ Jν (ze 2 ) ⎜ < arg z - π ⎟ ; ⎪e ⎝2 ⎠ ⎩ π Kν (z) = [I− ν (z) − Iν (z) ] ; 2 sin πν

если ν — целое, то в правой части равенства стоит ее предельное значение.

I− n (z) = In (z);

∞

Iν (z) =


1⎛z⎞ Kn (z) = ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠

− n n −1

∑

In (−z) = (−1) n In (z) .

K− n (z) = Kn (z);

∑ k =0

(z 2) 2k + ν ; k ! Γ (k + ν + 1)

( n − k − 1) ! ⎛

z2 ⎞ ⎛z⎞ n +1 ⎜⎜ − ⎟⎟ + (−1) ln ⎜ ⎟ In (z) + ⎝2⎠ ⎝ 4 ⎠

k!

k =0

(−1) n + 2

⎛z⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

( z2 4 )

k

n ∞

Интегральные представления:

∑ [ψ (k + 1) + ψ (n + k + 1) ] k ! ( n + k) ! . k =0

π

∞

0

0

1 z cos θ sin νπ − z ch(t −νt ) Iν (z) = e cos νθ dθ − e dt π π

∫

Kν (z) =

π (z 2)

∫

ν ∞

Γ (1 2 + ν)

∫

(

)

e − zt t2 − 1

1

ν −1 2

dt

π⎞ ⎛ ⎜ arg z < ⎟ ; 2⎠ ⎝

1 π⎞ ⎛ ⎜ Re z > − , arg z < ⎟ ; 2 2⎠ ⎝

π

1 z cos θ In (z) = e cos nθ dθ. π

∫

Рекуррентные соотношения:

Iν −1 (z) − Iν +1 (z) =

2ν Iν (z); z

0

Kν −1 (z) − Kν +1 (z) = −

2ν Kν (z). z

Дифференцирование (f — любая из функций Iν, ei πν Kν): m

⎛1 d ⎞ ⎡ ν ν −m fν −m (z); ⎜ ⎟ ⎣z fν (z) ⎤⎦ = z ⎝ z dz ⎠

m

⎛ 1 d ⎞ ⎡ −ν − ν −m fν +m (z) . ⎜ ⎟ ⎣z fν (z) ⎤⎦ = z ⎝ z dz ⎠

VI.5. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ I И K Связь модифицированных функций Бесселя с элементарными функциями:

I1 2 (z) =

2 sh z; πz

Iν (z) I− ν +1 (z) − I− ν (z) Iν −1 (z) = −

2 sin ( νπ )

πz 1 Kν +1 (z) Iν (z) + Kν (z) Iν +1 (z) = . z

;

107

108

6. Вырожденные гипергеометрические функции У р а в н е н и е

z

К у м м е р а :

d 2w dz2

+ (c + z)

dw − aw = 0 ; dz

общее решение: w = AΦ(a, c; z) + BΨ(a, c; z) (A и B — произвольные постоянные). Ф у н к ц и я К у м м е р а Φ(a, c; z) (иногда обозначают M(a, c; z)):

Φ (a, c; z) = 1 +

a z a ( a + 1) z + +… = 1+ c 1! c (c + 1) 2 ! 2

∞

∑ n =1

n −1

z n ∏ (a + i) i =0 n −1

n ! ∏ (c + i)

.

i =0

Функция Ψ(a, c; z) (иногда обозначают U(a, c; z)):

Ψ (a, c; z) =

π ⎧ Φ (a, c; z) Φ (1 + a − c, 2 − c; z) ⎫ − z1−c ⎨ ⎬. sin πc ⎩ Γ (1 + a − c) Γ (c) Γ (a) Γ (2 − c) ⎭

Интегральные представления: 1

Γ (c) c −a −1 Φ (a, c; z) = eztta −1 (1 − t ) dt; Γ (c − a) Γ (a)

∫

∞

0

ez a −1 Ψ (a, c; z) = e − zt (t − 1) tc −a −1dt. Γ (a)

∫ 1

Дифференцирование:

dn Φ dz n

dn Ψ dz

n

=

Γ (a + n) Γ (c) Φ (a + n, c + n; z); Γ (c + n) Γ (a)

= (−1) n

Γ (a + n) Ψ (a + n, c + n; z). Γ (a)

Рекуррентные формулы:

Φ (a, c; z) = ez Φ (c − a, c; −z) ; c (c − 1) Φ (a, c − 1; z) − c (c − 1 + z ) Φ (a, c; z) + (c − a ) z Φ (a, c + 1; z) = 0;


К у м м е р а :

c Φ (a, c; z) − c Φ (a − 1, c; z) − z Φ (a, c + 1; z) = 0;

(a − 1 + z ) Φ (a, c; z) + (c − a) Φ (a − 1, c; z) − (c − 1) Φ (a, c − 1; z) = 0; (??c + z ) Φ (a, c; z) − (c − a ) z Φ (a + 1, c; z) + (c + 1) Φ (a, c − 1; z) = 0; (a − c + 1) Φ (a, c; z) − a Φ (a + 1, c; z) + (c − 1) Φ (a, c − 1; z) = 0; (c − a ) Φ (a − 1, c; z) + (2a − c + z) Φ (a, c; z) − a Φ (a + 1, c; z) = 0; (c − a − 1) Ψ (a, c − 1; z) − (c − 1 + z ) Ψ (a, c; z) + z Ψ (a, c + 1; z) = 0; Ψ (a, c; z) − a Ψ (a + 1, c; z) − Ψ (a, c − 1; z) = 0;

(c − a ) Ψ (a, c; z) − z Ψ (a, c + 1; z) + Ψ (a − 1, c; z) = 0; (a − 1 + z ) Ψ (a, c; z) − Ψ (a − 1, c; z) + (a − c + 1) Ψ (a, c − 1; z) = 0; (a + z ) Ψ (a, c; z) + a (c − a − 1) Ψ (a + 1, c; z) − z Ψ (a, c + 1; z) = 0; Ψ (a − 1, c; z) − ( 2a − c + z ) Ψ (a, c; z) + a ( a − c + 1) Ψ (a + 1, c; z) = 0.

VI.6. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

109

Некоторые частные случаи:

Φ (a, a; z) = ez ;

Φ (1, 2; 2z) =

e −iz Φ (1, 2; −2iz) = sin z; z

π ⎛1 3 ⎞ Φ ⎜ , ; −z2 ⎟ = erf z; ⎝2 2 ⎠ 2z

1 ⎛ ⎞ ⎛z⎞ Φ ⎜ ν + , 2ν + 1; 2z ⎟ = Γ (1 + ν) ez ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝2⎠

Φ ( a, a + 1; −z ) = a z γ (a, z); −a

2 ⎛1 1 ⎞ Ψ ⎜ , ; z2 ⎟ = π ez erfc z. ⎝2 2 ⎠ 2 ⎡ d 2w ⎢ 1 i 1 4 − µ У и т т е к е р а : + − + + dz2 ⎢ 4 2 z2 ⎣

(

Связь между функциями Уиттекера:

Γ (−2µ) Γ (2µ) Mi,µ ( z ) + Mi,−µ ( z ) . ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ Γ ⎜ − µ − i⎟ Γ ⎜ + µ − i⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

Связь с вырожденными гипергеометрическими функциями:

Mi,µ (z) = e Wi,µ (z) = e

−

−

Iν (z);

) ⎤⎥ w = 0 ;

решения: функции Уиттекера Mi,µ(z) и Wi,µ(z).

Wi,µ ( z ) =

−ν

z 1 ⎛ ⎞ e Ψ ⎜ ν + , 2ν + 1; 2z ⎟ = ( 2z )− ν Kν (z); 2 π ⎝ ⎠

Ψ (1 − a,1 − a; z ) = ez Γ (a, z);

У р а в н е н и е

ez sh z; z

z 2

1 ⎛ ⎞ Φ ⎜ µ − i + , 2µ + 1; z ⎟ ; 2 ⎝ ⎠

1 +µ 2

1 ⎛ ⎞ Ψ ⎜ µ − i + , 2µ + 1; z ⎟ . 2 ⎝ ⎠

z

z 2

1 +µ 2

z

⎥ ⎦

110

7. Некоторые интегральные функции 2 erf(z) = π

Интеграл вероятностей:

∫


2 erf(z) = π

∞

2

e −t dt;

erf(−z) = − erf(z) .

0

∞

(−1) n z2 n +1 2 − z2 2n z2 n +1 . = e n ! 2n + 1 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ ( 2n + 1) π n =0 n =0

∑

∑

2 − z2 e . π

erf′(z) =

Дифференцирование: И н т е г р а л ы

z

Ф р е н е л я :

1 2π

C (z) =

1 2π

S(z) =

z

∫ 0

z

∫ 0

cos t dt = t

sin t dt = t

2z π 2z π

∞

∑ n =0

∞

∑ n =0

(−1) n z2 n ; ( 4n + 1) ( 2n ) !

(−1) n z2 n +1 . ( 4n + 3 ) ( 2n + 1) !

Связь с интегралом вероятностей: π

π

π

−i 1 i4 C (z) + iS(z) = e erf (e 4 z ); 2

Д з е т а - ф у н к ц и я

∞

∑n

ζ (z) =

Р и м а н а :

n =1

Разложение

в

бесконечное

π

i 1 −i 4 C (z) − iS(z) = e erf (e 4 z ). 2

1

ζ (z) =

произведение:

(Re z > 1) .

z

∏(

1 − p− z

)

−1

(Re z > 1) ,

p

где бесконечное произведение вычисляется по всем простым числам p. Интегральное представление:

(

1− z

1− 2

)

1 ζ (z) = Γ (z)

1 ζ (z) = Γ (z) Рекуррентные соотношения:

ζ (1 − z) =

2

(2 π) z Частные значения: 1 ζ (0) = − ; 2

cos

π2 ; 6

∫e 0

ζ (−2n) = 0;

ζ (4) =

B2 n 2n

π4 ; 90

tz −1

∫e

t

0

tz −1

πz Γ (z) ζ (z); 2

ζ (1 − 2n) = − ζ (2) =

∞

∞

t

−1

+1

dt

(Re z > 0 ) ;

dt

(Re z > 1) .

z ( z + 1)

ζ (z + 2) ζ (1 − z) = −4 π2 . ζ (z) ζ (−1 − z)

ζ (2n) = (−1)

n −1 2 n −1

2

π2 n B2 n ; (2n) !

(Bk − числа Бернулли); ζ (6) =

π6 ; 945

ζ (8) =

π8 . 9450

VI.7. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И н т е г р а л ь н а я

п о к а з а т е л ь н а я ∞

Ei(z) = −Γ (0, ze

− iπ

)=−

∫ z

Разложение в ряд: ∞

Ei(z) = γ − iπ + ln z +

∑ n =1

ф у н к ц и я :

e −t dt . t ∞

zn ; n ⋅ n!

Ei(− x) = γ + ln x +

∑

li(z) =

л о г а р и ф м :

Связь с интегральной показательной функцией: с и н у с z

si(z) =

dt

и н т е г р а л ь н ы й

∫

∫

cos t 1 dt = [Ei(iz) + Ei(−iz) ] . 2 t

∞

Другие обозначения:

li(z) = Ei(ln z);

sin t 1 dt = [Ei(iz) − Ei(−iz) ] ; t 2i

∞ z

ci(z) =

и

π Si(z) = si(z) + = 2


π si(z) = − + 2

∞

∑

z

∫ 0

(−1) n

n =0

ci(z) = γ + ln z +

∞

∑ n =1

sin t dt; t

Ei(z) = li(ez ) . к о с и н у с :

Ci(x) = ci(z) .

z2 n +1 ; ( 2n + 1) ( 2n + 1) ! z2 n (−1) . 2n ( 2n ) ! n

xn . n ⋅ n!

∫ ln t . 0


(−1) n

n =1

z


111

112

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Справочники 1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1, 2, 3. — М.: Наука, 1969, 1973, 1974. 2. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1971. 3. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. — М.: Наука, 1978. 4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1984. 5. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981, 1983. 6. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.— М.: Наука, 1977.

Учебники

и

монографии

1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. 2. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — М.: Наука, 1979. 3. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1978. 4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия.— М.: Наука, 1969, 1971. 5. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, т. 1, 2. — М.: Наука, 1971, 1980. 6. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.: Изд. АН СССР, 1961. 7. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, т. 1, 2. — М.: Высшая школа, 1980. 8. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. 9. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Наука, 1978. 10. Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1, 2. — М.: Наука, 1975. 11. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1984. 12. Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1978. 13. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1974. 14. Постников М. М. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1973. 15. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1979. 16. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа, т. I, II. — М.: Физматгиз, 1962, 1963.

Математические формулы

Recommend Documents