解析学入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シ リーズ

編 集 の ことば   近 年 に お け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ まし い もの が あ る.そ の発 展 の基 盤 に は,数 学 の知 識 の 応 用 も さ る こ とな が ら,数 学 的 思考 方法,数 学 的精 神 の浸 透 が 大 き い.理 工 学 は じめ 医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分野 で,数 学 の知 識 の み な らず 基 礎 的な 考 え方 の 素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 き を望 め な い で あ ろ う.   編 者 ら は,こ の よ うな 事 実 を 考 慮 し,数 学 の 各 分 野 にお け る基 本 的知 識 を確 実 に 伝 える こ と を 目的 と して 本 シ リー ズ の 刊 行 を企 画 した ので あ る.   上 の 主 旨に した が っ て 本 シ リー ズ で は,重 要 な基 礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え方 を平 易 に 理解 で きる よう 解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に 直結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高 等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に容 易に は い れ る よ う書 か れ て あ る.   これ に よっ て,高 校 の数 学 教 育 に携 わ る 人 た ち や 技 術 関 係 の 人 々の 参 考 書 と し て,ま た 学生 の 入 門 書 と して,ひ ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る.   この シ リー ズ は,読 者 を数 学 と い う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に 資 す る と と も に,つ ぎ の段 階 にす す む た め の力 を養 う に 役立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

ま

え

が

き

  こ の 書 物 は そ の 名 が 示 す 通 り解 析 学 の 入 門 書 で あ る.解 析 学 とい っ て もは っ き り と した 範 囲 が あ る わ け で は な い が,や 数 学 の 分 野 で あ っ て,実 解 析,複 どが こ れ に 含 まれ る.こ

は り微 分,積

素 解 析,微

こで は,そ

分 の 概 念 を 中 心 と した

分 方 程 式 論,変

分 法,関

数解 析 な

れ の 各 論 的 な 入 門 を 意 図 した の で は な い.

  この 書 物 の 全 体 を 通 して 流 れ て い る イ デ ー が あ る とす れ ば,そ れ は'近 似'と い う考 え で あ ろ う.そ れ は 解 析 学 の 原 点 に あ る 思 想 で あ る.そ の テ ー マが く り か え し く りか え し姿 を か え て 読 者 の前 に,あ

る い は 命 ず る よ うに,あ

るいは願

う よ うに,ま た と き に は 不 愛 想 に,と きに は い た わ る よ うに 語 られ る で あ ろ う. '近似'は 極 限 の か た ち に 定 着 す る

.微 分 も積 分 も と も に そ れ に よ っ て こ の 世 に

産 み 出 され た 人 類 の 至 宝 で あ る.今

日,多

くの 読 者 は 高 校 で こ の 至 宝 の 使 い 方

を か な り学 ん で い る.し か も 集 合,写 像 とい っ た 数 学 用 語 も,今 で は 専 門 家 だ け の も の で は な くな りつ つ あ る.だ か ら,こ の 書 物 で は 集 合 の こ とば で 語 る こ とか ら始 ま る.読 者 は これ を よそ よそ しい もの,し に,親

か つ め ら しい も の と思 わ ず

しい も の,身 近 な も の と し て慣 れ て い た だ き た い.

  論 理 に つ い て も 少 しば か り準 備 して あ る.こ 用 い る こ とに した の は,否   さ て,解

とに ∀,∃

の記 法を 思 い きって

定 命 題 を つ くる と き に 都 合 よい か ら で あ る.

析 が 極 限 に つ い て の 性 質 を 調 べ る も の で あ る とす る な らば,極

意 義 と と もに,そ

の 論 理 的 な 定 義 を ま ず 知 らね ば な ら な い.人

す る に は 永 い 年 月 を 必 要 と した.こ

限の

類 が こ こに 到 達

の 系 統 発 生 を一 足 飛 び に 越 え て,極

限 の論

理 的 定 義 を 若 い 頭 脳 に植 え つ け る に は 性 急 に な らな い よ うな 注 意 深 い 配 慮 が 必 要 に な る.た

と え ば,単 純 → 複 雑,特

殊 → 一 般,と

い う段 階 を 何 回 も踏 む べ き

だ し,繰 返 し も必 要 とな ろ う.だ か ら,月 並 で あ っ て も まず 数 列 に つ い て 近 似 に 裏 づ け され た 極 限 の 定 義 を 与 える こ とに した の で あ る.一 度 これ が で き て し ま え ば あ との 一 般 化 は ご く 自然 に い く.   微 分 や 積 分 の 概 念 を 抜 き に した 連 続 性 に つ い て の 一 般 論 は,完

備 な距 離空 間

に た ど りつ く と,こ こ で 停 止 す る.そ れ は 縮 小 写 像 の 原 理(Banachの 定 理)と

い わ れ る逐 次 近 似 法 の 定 式 化 を,こ

原 理 と した か ら で あ る.こ れ に よ っ て,多 い っ て い た の が,そ

不動点

の 書 物 で は 表 面 に お し出 して 指 導 くの 在 存 定 理 で た だ'存 在 す る'と

れ に い く らで も近 い もの を 順 々に 求 め て い け る よ うに な る.

集 合 論 的 な この よ うな 考 え 方 に 慣 れ る こ とは,関 数 解 析 へ の 道 を 楽 に 進 ま せ る の に 役 立 つ で あ ろ う.   微 分 方 程 式 が 解 析 の な か で 最 も重 要 な 主 題 で あ る こ とは 疑 い な い が,こ 物 で は 初 歩 の 手 引 き に な る よ うな い くつ か の 例 と と も に,縮 証 明 を も紹 介 し て お い た.な

の書

小 写 像 に よ る存 在

お,初 等 関 数 と くに 三 角 関 数 の 解 析 的 定 義 で は 多

分 に 微 分 方 程 式 的 な 発 想 法 を も と りい れ た.   積 分 変 数 変 換 に つ い て は,台

が コ ン パ ク トな 連 続 関 数 に つ い て のRudinの

方 法 に ヒ ン トを 得 て,こ れ に よ る近 似 とい うや りか た を し て み た.そ は,コ

のた め に

ン パ ク トな と こ ろ で 定 義 され た 連 続 関 数 を 空 間 全 体 へ 連 続 に 拡 張 して お

く こ とが 必 要 に な る.そ れ で 初 め の 方 と して は わ りに む ず か しい こ の性 質 の 証 明 が あ る の で あ る.だ か ら,こ の よ うな 部 分 は 慣 れ る ま で は あ と ま わ しに して も よい し,ま た そ の と き証 明 が わ か らな くて も結 論 は 単 純 な の で あ るか ら,そ れ を しば ら く認 め て す す ま れ る の も よい.   な お,こ

の 書 物 を 部 分 的 に 利 用 した りま た あ る 部 分 を 早 く読 も う とす る読 者

の た め に,読 み 方 の 順 序 を 示 した 表 を つ け て お い た か ら参 考 に さ れ た い.記

号

に つ い て の表 もつ け て お い た の で あ わ せ て 利 用 さ れ た い.   この 書 物 を 編 む に 当 っ て 木 庭暲 子 夫 人 は 著 者 の講 述 を 筆 記,整 理 さ れ,そ を ま た 何 回 もや り直 して 永 い こ と御 努 力 を 続 け て 下 さ った.こ し上 げ た い.ま

こ に 厚 くお 礼 申

た 朝 倉 書 店 の 永 年 の 忍 耐 と督 励 に も感 謝 す る.

1974年8月 亀

れ

谷

俊

司

  上 の 表 は 節(章)の 間 の だ い た い の つ な が りを示 した も の で あ る.矢

印,た

と え ば'§1.1→1.2'は

§1.2を

読 む 前 に §1.1を 読 ん で お か な くて は な ら な い こ と を 示 し,ま た'1.6〓2.1'は

§2.1の 一 部 だ け に は §1.6

(の 一 部)が 必 要 で あ る こ と を 示 す も の で あ る.破 線 の 左 上 の1変 数 の 場 合 だ け を 先 に 読 む こ と もで き る.

目

0.  準 備(集 合,論

理,写

次

像) 

1

1.  極 限 と連 続 関 数  

17

  1.1  実

数 

17

  1.2  数 列 の 極 限  

26

  1.3  関 数 の 極 限 と連 続 性  

32

  1.4  連 続 関 数 の 大 域 的 性 質 と上 限,下

限の 存在  

36

  1.5  関 数 列 の 一様 収 束 と関 数 空 間  

52

  1.6  点 列,写

62

像 の 極 限 と写 像 の連 続 性  

  1.7  縮 小 写 像 の 原 理  

87

  1.8  線 形 写 像  

93

2.  微 分 法(1変

数 の 関 数) 

103

  2.1  微 分 係 数  

103

  2.2  平 均 値 の 定 理 とそ の 応 用  

115

  2.3  原 始 関 数  

128

  2.4  指 数 関 数 と対 数 関 数  

135

  2.5  三 角 関 数  

143

  2.6  テ イ ラ ー の 定 理  

156

  2.7  不 定 積 分 の 計 算  

168

  2.8  簡 単 な 微 分 方 程 式 の 解 法  

182

3.  微 分 法(多 変 数 の 関 数) 

197

  3.1  微 分 係 数  

197

  3.2  テ イ ラ ー の 定 理  

209

  3.3  陰 関 数,逆

関数 

  3.4  関 数 関 係,極

4.  積 分 法(1変   4.1  積

分

大極 小  

数 の 関 数)  法

 

213 224

237 237

  4.2  広 義 の 積 分  

254

5.  級

268

数  

  5.1  級

数

 

  5.2  関 数 項 級 数     5.3  巾

級

数

268 281

 

285

  5.4  関 数 の 展 開  

293

6.  積 分 法(多 変 数 の 関 数) 

300

  6.1  積

300

分

法

 

  6.2  2変 数 の 関 数 の 積 分 変 数 の 変 換  

323

  6.3  広 義 の 積 分  

332

 6.4  線

解

積

分

 

336

答  

353

参

考

書  

356

記

号

表  

358

引  

359

索

0.  準 備(集

  真,偽

と え ば,'ソ

で あ る'は

偽 の 命 題,ま

偽 の 命 題 で あ る.し な い か ら,命

ク ラ テ ス は 人 で あ る'は た'2は

偶 数 で あ る'は

か し'101010は

題 で は な い.命

の 書 物 で は,あ

"命 題 …"の

る.'pか p,qの

像)

ク ラ テ ス は 日本 人

真 の 命 題,'3は

題 が 真 で あ る こ と を,そ

偶 数 で あ る'は

の 命 題 は 成 り立 つ と もい

と あ と ま で は 引 会 い に 出 す こ と の な い,中

形 に 書 い て あ る .補

命 題 で あ る と き,こ つq'と

真 の 命 題,'ソ

大 き い 数 で あ る'は 真 偽 ど ち ら と も き め ら れ

題 も 同 様 だ が,こ

段 階 で 用 い ら れ る こ と が 多 い.し   p,qが

理,写

の 区 別 が は っ き り と し て い る 文 章 や 式(記 号 ま た は そ の 組 合 せ)を 命 題

と い う.た

う.(こ

合,論

か し,厳

間的 定理 を

れ は 一 つ の 定 理 を証 明 す る

密 に 区 別 し て あ る わ け で は な い.)

の 二 つ の 命 題 か ら新 しい 命 題 を つ くる こ とが で き

い う の はpとqの

両 方 が 真 で あ る と き だ け 真(し た が っ て,

少 な く と も ど ち ら か 偽 の と き に だ け 偽)で あ る よ うな 命 題,'pま

と い う の はp,qの

少 な く と も一 方 が 真 の と き に だ け 真(し た が っ て,ど

た はq' ちらも

偽 の と き に だ け 偽)で あ る よ う な 命 題 で あ る.   例1 '5>3'は   '5>3か

真,'5=3'は つ5=3'は

  '5>3ま

た は5=3'(こ

偽, 偽

, れ を'5≧3'と

  こ の よ うに 数 学 で は'ま た は'と い う と き,そ

書 く)は 真

.

の両 側 に あ る 命 題 の どち らか が

真 で あ りさ え す れ ば 他 方 が 偽 で あ っ て も(真 で p

q

真

真

真

真

真

偽

偽

真

偽

真

偽

真

偽

偽

偽

偽

p∧q

p∨q

あ れ ば な お の こ と)真 で あ る とす る の で あ る. 'pか つq'をpΛq

,'pま

表 わ す.pΛq,p∨qの

た はq'をp∨qと 真 偽 は 右 の表 で示 さ れ

る.   pが 命 題 で あ る と き,'pで をpの pが

否 定 と い いp′ 偽 の と きp′

な い'と い う命 題

と 書 く こ と に す る.す

は 真 と な る.し

な わ ち,pが

た が っ て,p″

真 の と きp′

の 真 偽 はpと

は 偽,

同 じ で あ り,'p

ま た はp′'はpが

ど の よ う な 命 題 で あ っ て も つ ね に 真 で あ る.

  例2 pを1/2>0,qを1/20と

す れ ば,P(2)は

は 真 の 命 題,P(0),P(−100)は

な わ ち1>0は

を 代 入 した 命 題P(a)が   集 合 を 決 定 す る に は,元 え ら れ た と き,こ

偶 数 で あ る'と い た,

じ よ うにP(1/2),P(5) 件P(x)の

条 件P(x)を

変 数xにa

み た す と い う.

に つ い て の 条 件 に よ る 場 合 が 多 い.条

れ を み た す 元xの

代 入 して

偽 の 命 題 と な る.ま

真,同

偽 の 命 題 で あ る.条 真 で あ る と き,aは

元aを

と え ば,'xは

真 の 命 題, P(3)は

す る とP(1)す

の変 数 に集

元 に 関 す る)条 件 と い う.

ど で 表 わ し,xにAの

ど で 表 わ す.た

変域 と

件P(x)が

与

全体 を {x:P(x)}

と 表 わ す,す

な わ ち,a∈{x:P(x)}な

ばP(a)は

偽 で あ る.た

でa1}⊂{x:x2>1}'で 成 り立 た な い.よ

'x2>1⇒x>1'は

長

∞,a),

元 に 関 す る 二 つ の 条 件P(x),Q(x)に

る と は,Aの

x>1は

間Iの

す る と き無 限 区 間

{x:xa}=(a,+∞)=(a,∞),

∞,a], 

∞,+∞)=(−

く に[a,b]を

こ れ ら の 区 間 の 長 さ と い う.区

{x:x≧a}=[a,+∞)=[a,∞), 

R=(−

は な らない か ら

な る.

  a,b∈R,a1}は{x:x2>1}の

成 り立 た な い .

対 し て'P(x)⇒Q(x)'で

あ

あ る こ と す な わ ち'{x: と え ば,'x>1⇒x2>1'す と きx2>1は

な

成 り立 つ が

真部 分集 合 で あ り

  二 つ の 条 件P(x),Q(x)に P(x)で

対 し て'P(x)⇒Q(x)'が

あ る た め の 必 要 条 件,P(x)をQ(x)で

'P(x)⇔Q(x)'が と い う.ま

あ る た め の 十 分 条 件 と い う.

成 り立 つ と きP(x)をQ(x)で

た こ の と き,P(x)とQ(x)と

のx>1はx2>1で

成 り立 つ と きQ(x)を

あ る た め の必 要 十 分条件

は 同 値 な 条 件 で あ る と い う.上

の例

あ る た め の 十 分 条 件 で あ る が 必 要 条 件 で は な い.x2>1は

x>1で

あ る た め の 必 要 条 件 で あ る が 十 分 条 件 で は な い.'x2>1か

x>1で

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 で あ る.

つx>0'は

  い く つ か の 集 合 か ら 別 の 集 合 を 定 め る 方 法 に つ い て 述 べ て お こ う.A,Bを 二 つ の 集 合 と す る.こ A∪B

れ る 元 の 全 体,す A,Bの

ま たA,Bの

た はx∈B}を

び と い っ てA∪Bで

の ど ち ら を も 含 む 集 合 の 中 で は 一 番 小 さ い,す

積(集 合),共

表 わ す.よ

表わ

A∪B⊃B

ど ち ら に も 属 す る よ うな 元 の 全 体,す

∈B}をA,Bの A∩Bで

併,結

どれ か に は 含 ま

っ てA∪Bは A∪B⊃A, 

で あ っ て,AとBと

な わ ち{x:x∈Aま

和(集 合),合

す.よ

の と き,A,Bの

通 部 分,交

な わ ち,

な わ ち{x:x∈Aか

つx

わ りとい って

っ て,A∩Bは A∩B

A∩B⊂A,  で あ っ て,A,Bの 番 大 き い,す

A,Bの

A∩B⊂B

ど ち らに も 含 まれ る集 合 の 中 で は 一 な わ ち,

両 方 に 属 す る 元 が な い と きA∩B=φ

た が い に 素 で あ る,ま

と な る .こ

た は 交 わ ら な い と い い, 

の と きAとBは の と きAとBは

交 わ る と い う.   a,bが 体,よ

実 数 でa2'を'x2' 集 合x>2の

省 略 し た 書 き か た も 見 うけ ら れ る.た 解 は'x=1ま

う い うxは

れ に 従 え ば'x0'⇔'x0'と

書 く

実 数xを

た,'P(x)を

と え ば,x2+1>0は

の こ と を'∀x∈R:x2+1>0'と 読 む.ま

っ て,x2−x=0で x=0'と

.た

あ る よ うな 実 数xが

と る とx2−x=0が

と が わ か っ て い る と き は,こ も 書 く .読

と 書 け る.ま

と る とP(x)が

存 在 す る.こ

対 し てx2

と き 成 り立 つ.よ

の こ と を'∃x∈R:x2− 存 在 す る'ま

る 実 数xを

み た す'な

た は'適

ど と 読 む.実

数であるこ

た'∃x:x2−x

を用 い る と

⇔Pα(x)'で

当な

と る とx2−x=0が

れ を 省 略 し て'∀x:x2+1>0'ま

と き'x∈Aα

成 り

対 して 成 り

意 の 実 数xに

た はx=1の

み か た も そ れ に な ら う.∀,∃

たAα={x:Pα(x)}の

下 しば し ば

とを 示 す 論 理 記 号 ∃ を用 い て

あ る よ うな 実 数xが

る 実 数xはx2−x=0を

意 味 で,以

み た す よ う なx∈Aが

表 わ し'任

成 り立 つ','あ

べて

べ て のx∈A

任 意 の 実 数xに

た,x2−x=0はx=0ま

表 わ し'x2−x=0で

成 り立 つ','あ

対 し て'の

在 す る'こ

い う こ と を'す

書 く.('す

当 な(ま た は あ る)x∈Aを れ を'存

つ い て の 条 件 とす

成 り立 つ'と

表 わ す 論 理 記 号 ∀ を 用 い て'∀x∈A:P(x)'と

に 対 し て'と

が 成 り立 つ

も 表 わ す.

  数 学 に は'任

る と き,'す

書 い てA

は 等 し く な い.

あ る.A1=A2=…=An=Aで

× … ×AnをAnと

る'と

れ をA×Bと

あ る と はa=a′,b=b′

直 積A1×A2×

A1,a2∈A2,…,an∈An}で

=0'と

れ ら の 元 の 対 の 全 体{(a,b):a∈A,

あ る か ら

と 書 け る.'x>1⇒x2>1'と

は'x>1を

と い う意 味 で あ っ た が,記

み た す す べ て のxはx2>1を

号 ∀ を 用 い て これ を書 く と

∀xに

み た す'

対 す る制 限 は 括

弧 を用 いて (∀x:x>1):x2>1 の よ うに 表 わ さ れ る.記 P(x)'の を2回

号 ∃ に つ い て も 同 様 で あ る.ま

代 りに'x∈A⇒P(x)''P(x)(x∈A)'と 以 上 使 う こ と も あ る.た

い 任 意 のxに

対 し て あ るyを

実 際,y=1/(2x)と

と 書 く.こ

な

成 り立 つ こ と を 意 味 す る .

な っ て0<xy0,y0,

−(xy)>0,xy0.)   x2≧0,'x2=0⇔x=0',  >0の

(証 明   x=0の

と きx2>0,x0.)

  x2+y2=0⇔x=0,y=0.(証 x2+y2=0, 

明   x=0,y=0の

の と きx2>0,y2≧0,よ

き もx2+y2>0.よ

Rの

って

様 に

 

の と

ら ばx=0,y=0.)

た はy=0','x>y⇒−xy>0⇒0<x−1 'x>0

0の

と きxn.

と え ば,ab>0):(∃n∈N:nb>a)

が 導 か れ る.実 nb>aと

な る.こ

際(1.1)に れ は,与

お い てx=a/bと

す れ ば∃n∈N:n>a/b,よ

え ら れ た の が ど ん な 小 さ い 数 で あ っ た と し て も,そ

れ を く りか え し加 え て い く こ と に よ り,ど

ん な 大 き な 数 よ りも大 き くで き る こ

と を 表 わ し て い る(塵 も つ も れ ば 山 と な る!).ま   (1.3) 

って

(∀a>0:(∀

た,

ε>0:(∃n∈N:a/n0:(∃n∈N:1/nn0⇒a/n0な

  (1.4) 

あ る は ず だ か ら で あ る.同 'M>0,∀n∈N:￨ξ

ら ばb/nbと

な

様 に,

− ξ′￨≦M/n'な

  ア ル キ メ デ ス の 原 則 か ら,任

ら ばa

らば

ξ=ξ ′ で あ る.

意 の二 つ の実 数 の 間 には必 ず有理 数 が あ る こ と

が 証 明 で き る.   命 題1 

a,b∈R,a1/(b−a),よ う なmに

と き∃c∈Q:anaで

最 小 の も の が あ る(数 学 的 帰 納 法,例1).そ

m−1≦na,よ

っ てa<m/n≦a+1/nn0⇒￨xn−x￨0に

対 し て は,ど

せ る よ う なn>n0が と な る.こ

の とき

照), 

収 束 し な い と は, ん なn0∈Nを

と っ て も￨xn−x￨≧

ε を 成 り立 た

あ る"

れ を 記 号 を 用 い て 書 く と,

 (1.6)

こ の 括 弧 は 誤 解 の な い と き は,し の(1.5′),

(1.6′)よ

ば し ば 省 略 し,(1.5),

(1.6)を

それ ぞれ つ ぎ

う に 書 く.

 (1.5′)  (1.6′)

(1.6′)は(1.5′)の の で あ る.一

般 に,命

も の で あ る と き,そ 否 定P(x)′

∀ を∃ に,∃

を ∀ に か え,最

題 が 記 号 ∀,∃

を 含 み,最

の 命 題 の 否 定 は,∀

に か え て 得 ら れ る.そ

れ はAが

の 否 定 は'∃x∈A:P(x)′','∃x∈A:P(x)'の

を∃ に,∃

後 の 式 を そ の否 定 に か え た も 後 に 条 件P(x)が

あ る よ うな

を ∀ に か え,P(x)を

集 合 の と き,命

題'∀x∈A:P(x)'

否 定 は'∀x∈A:P(x)′'で

その

あ るか ら,否 定 を つ く る に は,∀,∃

が た くさ ん あ って も,初 め の 方 か ら一 つ

ず つ な お して い け ば よい わ け で あ る.こ の こ と を き ち ん と証 明 す るに は,記 号 の 個 数 に 関 す る数 学 的 帰 納 法 に よ る の で あ るが,実 ∀,∃

際 にはそ ん なに た くさん

や 括 弧 が 現 わ れ る わ け で は な い.

  数 列(xn)が

収 束 す る とは,

が 成 り立 つ こ と,し た が って そ の 否 定 は

が 成 り立 つ こ と で あ る.収

束 し な い 数 列 は 発 散 す る と い う.

  記 号∃ が 途 中 に あ る 場 合 に は,∃ 存 す る.た

と え ば,(1.5)でn0は

な る 命 題 に な る.た

と し て∃n0∈Nを

と え ば,(1.5′)の

っ て,順

序 を か え る と異

順 序 をか え て

先 に も っ て く る と,n>n0の

い'条

の 前 に 現 わ れ る文 字 に 依

εに 依 存 す る.よ

よ り 小 さ い の だ か ら￨xn−x￨=0,す よ り も'強

に 続 く文 字 は,そ

と き￨xn−x￨は

な わ ちn>n0の

任 意 の

と きxn=xと

ε>0

な っ て(1.5′)

件 と な っ て し ま う の で あ る.

  数 列 の 収 束 に 関 し て,そ

の 定 義 か ら 直 接 つ ぎ の 性 質1)-16)が

た しか め られ

る.   1)  数 列(xn)が

収 束 す る と き,そ

  証 明   xn→x,xn→x′(n→

の 極 限 は た だ 一 つ で あ る.

∞),x〓x′

と す る と,ε=￨x−x′￨/2に

対 し て∃

n1∈N,∀n>n1:￨xn−x￨n1:￨xn−x′￨n1,n>n2の

っ てn

と き￨x−x′￨≦￨x−xn￨+￨xn−x′￨n0,￨xn−x￨0に 定 め て おけ ば

対 し てn>n0⇒￨xn−x￨≦kε

′を 成 り立 た せ る よ う なn0を

｜xn−x￨≦kε ′=kε/(2k)n0⇒￨xn−x￨n0な ∞)と

た 有 限個 の項 を任

ら ばnj>nn0≧n0だ

ε>0,∃n0:n

か ら￨xnj−x￨0,∃n1,n2:n>n1⇒￨xn−x￨n2⇒￨yn−x￨n1,m>n2だ   6) 

xn→x(n→

  7) 

xn→0(n→

と な る.

∞)⇔￨xn−x￨→0(n→

∞).

￨yn−y￨≦xn⇒yn→y(n→

∞).

  こ れ ら は 定 義 か ら 明 ら か で あ る.

 例1 (§1.1例2注

意),

よ って   問2    8) 

6),7)を xn→x(n→

そ の意味は

き ち ん と 証 明 し て み よ. ∞)⇒￨xm−xn￨→0(m→

∞,n→

ま,数 す れ ば,n>n0の

た はn=2mだ

か ら￨zn−x￨n0/2で,

列 とき

  証 明   ∀ ε>0,∃n0:n>n0:￨xn−x￨n0⇒￨xm−xn￨

≦￨xm−x￨+￨x−xn￨n0⇒￨xm−xn￨n0⇒￨xn−x￨n0⇒￨xn−x￨n0⇒￨x−xn￨0

た が っ て,Mを

1/￨x1￨,1/￨x2￨,…,1/￨xn0￨,2/￨x￨

よ り大 き く と れ ば,す   注 意   3)に

べ て のnに

注 意 し た よ うに,収

ら,Mを(1.7)よ

つ い て1/￨xn￨≦Mと

な る.

束 に つ い て は あ る番 号 か ら先 だ け を 考 えれ ば よ い か

り大 き く と る こ とは 本 質 的 に は い らな い こ とで あ る.M=2/￨x￨で

後 この よ うな 場 合,い

も, 

て, 

こ ろ が￨x￨−￨xn￨≦￨x−xn￨n0⇒￨zn−z￨ynで xn>ynで

お く とzn≧0.い

まz0

∞),a≧xn≧b⇒a≧x

得 ら れ る.

 15)   証 に

よ

明   xn−yn≧zn−yn≧0,xn−yn→0(n→ りzn=(zn−yn)+yn→x(n→

∞),7)に

よ

りzn−yn→0,11)

∞).

  16)   証 明   10),11)に − ε≦x−y≦

よ っ て14)の

ε ,よ

よ りxn−yn→x−y,− っ て￨x−y￨≦

注 意 に よ り￨x−y￨≦

ε.こ

ε≦xn−yn≦

ε だ か ら14)に

れ は つ ぎ の よ う に も 証 明 さ れ る.

ε.

よ り

  1.3  関 数 の 極 限 と 連 続 性   Rの

部 分 集 合 で 定 義 され た 関 数 を 考 え よ う.

  例1 

実 数 係 数 のn次

の多 項 式

 

に よ って 定 義 され る 関 数P:R→Rを(有 い う.n=0の

と きP(x)=a0は

は1次   例2 

関 数 でPの

定 数 とな る.n=1の

値 域 はRで

理)整 関 数 と

とき  

あ る.

二 つ の 多 項 式P(x),Q(x)の

商P(x)/Q(x)で

定 め られ る関 数P/Q:

R＼{x:Q(x)=0}→Rを ぶ.Q(x)が0次

有 理 関 数 と よ の と き,こ

れは整 関 数 と

な る.   例3 

と 定 め る.sgn:R→{−1,0,1},sgnは

  例4 

f(x)をxが

無 理 数 な ら ば0と

す れ ば 関 数f:R→

得 ら れ る.

  例5 

x∈Rに

対 し て,こ

れをこ え

な い よ う な 最 大 の 整 数[x]を

対応 さ

せ る.   さ て,こ 例1の

れ ら の グ ラ フ を 考 え る と,

関 数 は た と え ば 右 図 の よ うに つ

な が っ て い る が,例3で

はx=0の

と

こ ろ で 切 れ て い る.   い ま,(an)をaに す る と き,Pが

収 束 す る数 列 と 整 関 数 な らば

P(an)→P(a) 

の と き   sgn x=1,

  x=0 

の と き   sgn x=0,

 x0 

(n→ ∞)

読 む.

とな る こ とは

§1.2の10),11),12)か

ら 導 か れ る.と

収 束 す る 数 列 と す る と,例3の 実 際,an=(−1)n/nと 1,… sgn

す る とsgn

と な っ て 発 散 す る.ま an→1(n→

関 数 で は(sgn

∞)と

an=(−1)nと

お け るDに

−1,1,−1,

す る とsgnan=1だ

の 極 限 は 

か ら と は 異 な る.

す る.x0∈RはD(⊂D′)に

て も ど ち ら で も よ い が,  を 一 定 数l∈Rに

収 束 す る と は 限 ら な い.

な り(sgnan)は

た,an>0でan→0と

な る が,こ

  さ て,f:D′(⊂R)→Rと

an)が

こ ろ が,(an)を0に

をx0に

属 して い て もい な く

近 づ け る こ と に よ っ て,f(x)

い く ら で も近 づ け る こ と が で き る と き,lをfのx=x0に

そ っ て の 極 限 と い い,ま

たx→x0(x∈D)の

と きf(x)はlに

収

束 す る とい って  (1.8)

と 表 わ す.D=D′

の と き は(Dに

そ っ て,x∈Dを

略 し),

また は と も 表 わ す.た

と え ば,

の と き2x−1で

(4x2−1)/(2x+1)は 

あ る か ら,

 (1.9)

 を き のfの

 ある い は

右 か ら の 極 限 とい って 

の と き のfの

に'前

い く ら で も近 く に,x0に

提 と さ れ て い る.実

  (1.8)を

の 条 件 は み た さ れ て い る. ∀,∃

をx=x0の

の記 号 で 述 べ る と

と

をx=x0

と 書 く. 等 し く な いDの

点 が あ る"こ

際 に 扱 う の は 上 の 例 の よ う に,Dは

た は 有 限 個 の 区 間 の 和 集 合 で あ っ て,x0∈Dま る 場 合 で,こ

般 に 

と 書 く.同 様 に 

左 か ら の 極 限 とい っ て 

  こ の 定 義 で,"x0の と が'陰

 の よ うに も書 く.一

た はx0は

区間ま

そ の区 間の端 点 で あ

(1.10) こ の δ は εの 与 え か た に 関 係 す る.ε な ら な い の が 普 通 で あ る.た

が 小 さ く な れ ば,δ

と え ば,(1.9)で

も小 さ く し な け れ ば

は δ=ε/2と

す れ ば よ い.(1.8)

が 成 り立 た な い こ と は  (1.11)

(1.10)は

ま た 点 列 の 極 限 に 帰 着 さ せ る こ と が で き る.す

なわ ち

で あ る た め の 必 要 で 十 分 な 条 件 は,xn→x0,xn∈D

 定 理1.1 

で あ る よ う な す べ て の 数 列(xn)に

対 し て,数

, 

列(f(xn))がlに

収束

す る こ と で あ る.

 証 明   (ⅰ)  →lと

な る こ と を 証 明 す る .仮

で あ る か ら,(1.10)の

定 に よ っ て(1.10)が

δ に 対 し,数

>n0⇒￨xn−x0￨0,∃n0:n>n0⇒￨f(xn)−l￨n0の

と き

し た が っ てxn→

∞)と

  (xn)が

α(n→

単 調 増 加 で あ っ て,上

単 調 性 に よ り,n>n0⇒g<xnと

α − ε<xn0≦xn≦

αgと

a>1の

列 は収 束 す ると

の 無 限 大)に 発 散 す る と い う.

とき  

で あ る.何

∀g−g,よ

た が っ てnhnh(§1.1例2の

と たが

とき

とき  

−∞

と き,∀g>0,∃n0:n0h>g,し

な り,hn0⇒n(−h)>−g,し

ま た はxn→

で あ る と き,数

− ∞(負

な れ ば ア ル キ メ デ ス の 原 則 か らh>0の

  例3 

に有界 でな い と き

とな る.単 調 減 少 の 場 合 も 同様 で あ る.一 般 に 数 列(xn)が

で あ る と き,(xn)の (n→ ∞)と

調 増 加 で あ って,上

の 理 由 は,a=1+hと

っ

お く とh>0,

注 意)と な る か ら で あ る.

  以 上 に 述 べ た こ と か ら,   定 理1.5 

単 調 な 数 列 に は 極 限 が あ る.

  注 意   上 限,下

限 の 存 在 は デ デ キ ン トの 連 続 性 の 公 理 か ら も導 か れ,そ

列 の極 限 の 存 在 が 証 明 され た.こ か れ る.た

とえ ば,有

∃x>0,∀n∈N:n≦xと l−1f(x2)で,い

の と き, ず れ に して

も  

だ か ら,fはDか

よ っ て,y∈f(D)に

らf(D)の

対 し てf(x)=yと

きf−1(y)=xと

定 め てfの

な るx∈Dが

す る.も

な っ て し ま う か らx1<x2の

像 で あ る.

た だ 一 つ あ る.こ

逆 関 数f−1:f(D)→Dが

y10,r∈Qと

て のr∈Qに

す る.r0)が

=ar+r′,(ar)r′=arr′(r,r′   問15 

a>0,r,r′

と きar=1/a−r,a0=1と 定 義 さ れ た こ と に な る.こ

∈Q),(ab)r=arbr(b>0)が ∈Qと

す れ ば,す

べ

れ に 対 し てarar′

成 り 立 つ こ と を 証 明 せ よ.

す る.a>1,rn1⇒￨xm￨≦￨xm−xn1+1￨+￨xn1+1￨n0の

よ り 小 と な る.こ

  関 数fがDで

れ はxn→x(n→

≦Mの

示 し て い る.

定 義 さ れ て い る と き,

で あ れ ば,f(x0)をfのDで とい う.ま

∞)を

と き

た,f(D)が

と きfはDで

の 最 大 値 とい い,fはDで 上 に 有 界 の と き,す

な わ ち ∃M∈R:x∈D⇒f(x)

上 に 有 界 で あ る とい う.(前

有 界 と い う こ と も,こ の 定 義 に 含 まれ る.)fがDで 当 然 上 に 有 界 と な る.最 に して)定 め る.そ

小 値,下

うす れ ばfがDで

と は 同 じ こ と で あ る.

最大 値 に到達 す る

に 述 べ た 数 列(xn)が

上に

最 大 値 に 到 達 す れ ば,

に 有 界 に つ い て も 同 様 に(不 等 号 の 向 き を逆 最 大 値 に 到 達 す る こ と と,

  fが

連 続 で も 一 般 に 最 大 値 に 到 達 す る と は 限 ら な い.た

(0,1]で ば,こ

連 続 で あ る が,上

に 有 界 で は な い.し

か し,定

と え ば, 

は

義 域 が有限 閉 区間 な ら

の こ と は 成 り立 つ の で あ る.

  定 理1.10 

有 限 閉 区 間[a,b]で

連 続 な 関 数fは[a,b]で

最 大 値,最

小値

に 到 達 す る.   証 明   supf([a,b])=α =f(ξ)と

と お く と,α

な る ξ∈[a,b]が

な る.supの

は+∞

か また は 実 数 で あ る が,α

あ る こ と を 証 明 す れ ば,最

大 値 に 到 達 す る こ とに

性 質 に よって

  1°

  2°

で あ る.よ

っ て,∃xn:yn=f(xn),xn∈[a,b],(n=1,2,…)で

は[a,b]の

中 の 数 列 で 有 界,し

部 分 列(xnj)jが っ て もa≦ f(ξ)(j→

含 ま れ る.xnj→

ξ≦b.さ ∞),一

実 は α=f(ξ),こ

て,仮

あ る が,(xn)

た が っ て 定 理1.8に

よ り,(xn)に

ξ と す れ ば,a≦xnj≦bで

定 に よ っ てfは

方f(xnj)=ynj→

は収 束す る

あ るか ら極 限 へ い

α で,同

ξ で 連 続 で あ っ た か らf(xnj)→ じ数 列 の 極 限 は 一 つ しか な い か ら

れ で 証 明 さ れ た の で あ る.

  最 小 値 の 場 合 は,−fの

最 大 値 を 考 え れ ば よ い.

  注 意   こ の 証 明 を よ く見 る と,定 義 域 が 有 限 閉 区 間 で あ る と い う性 質 を フ ル に 用 い た わ け で は な い.た

だ,"有

限 閉 区 間 の 中 の 任 意 の 数 列 に は,そ

部 分 列 が 含 まれ て い る"こ

とを 用 い た だ け で あ る.定

の区間 の ある点 に収束す る

理1.9も

同 様 で あ る.同

様 な方 法

で 証 明 され る重 要 な 定 理 が ま だ あ る.そ れ は 関 数 の'一 様 連 続 性'に 関 す る もの で あ る.   D⊂Rで

定 義 さ れ た 関 数fがDで

連 続 で あ る と は,

 (1.14)

の 成 り立 つ こ と で あ っ た.こ

こ で,δ

存 す る.そ

うで な い 場 合,す

なわ ち

  (1.15) 

∀ ε>0,∃

δ>0:x,x′

が 成 り立 つ と き,fはDで

はf,ε

∈D,￨x−x′￨0:￨x−

あ る こ と を コ ー シ ー の 収 束 条 件(定 理

用 い て 証 明 せ よ.

の と き は'∀

ε>0,∃a>0:x,x′>a⇒￨f(x)−f(x′)￨0で

属 す る'と

あるこ

い う こ と で あ る.し

内 点 で な い と は, 

(Acは

表 わ す(0章).)

点 は 定 義 か ら 明 ら か にSの

す べ てU(x)の −d(x

内 点 で あ る と は,'∃U(x):U(x)⊂A'で

内 点 で あ る.ま

内 点 で あ る.そ れ はy∈U(x)=Uε(x)と あ る が,z∈Uε

′(y)の

と きd(z,y)0,∃y∈A:d(x,A)+ε>d(x,y)≧d(x′,y)−

d(x,x′)≧d(x′,A)−d(x,x′),よ 任 意 だ か らd(x′,A)−d(x,A)≦d(x,x′),同 x′)だ

と き

か ら で あ る.

っ てd(x′,A)−d(x,A)≦d(x,x′)+ε,ε 様 にd(x,A)−d(x′,A)≦d(x,

は

  A⊂Sを た し,し

固 定 す る と, 

は(1.40)に

よ り リプ シ ッ ツの 条 件 を み

た が っ て 一 様 連 続 で あ る.

  こ の 関 数 はAの

閉 包Aと

つ な が り が あ る.い

ま,

B={x:d(x,A)=0} とす れ ば

 

の 連 続 性 と 定 理1.21に

か にA⊂Bで

あ る か らA⊂B.一

し た が っ てx0∈A,よ

よ りBは

方,x0∈Bな

っ てB⊂Aと

らば

な る.こ

閉 集 合 で あ り,明

ら

∃xn∈A:d(x0,xn)0と

が 定 理1.23に

よ りAで

最 小 値 を と るか

ら

で あ る が 一 方,x∈Aの

とき  

で,Bは

い ま 示 し た こ と に よ っ てd(x,B)>0と

閉 集合 で あ る ことに注 意 す ると

な る か ら で あ る.Aが

閉 集 合 と い うだ

け で は こ の こ と は 成 り立 た な い.た

と え ば,R2に

お い てA={(x,y):x≦0},B={(x,y):x>0,y≧ 1/x}と

す る と,A,Bは

d(A,B)=0と

交 わ らない 閉集 合 であ って

な る.以

上 を ま とめ て つ ぎ の 定 理 が

得 ら れ る.   定 理1.31  はSで

A⊂Sを

固 定 す る と,写

一 様 連 続 で あ り,A={x:d(x,A)=0}が

で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は'd(x,A)=0⇒x∈A'で ク ト,B⊂Sが   定 理1.32 

閉 集 合 でA∩B=φ (テ ィ ー チ ェ(Tietze)の

閉 集 合,f:A→Rは 件 を み た すF:S→Rが

あ る.

成 り立 つ.Aが あ る.ま

な ら ばd(A,B)>0と

たAが

閉 集合 コンパ

な る.

連 続 関 数 延 長 定 理)Aは

連 続 で 有 界:m≦f(x)≦Mで

像  

距 離空 間Sの

あ る と す る と,つ

ぎの条

  Fは

連 続 でm≦F(x)≦M,x∈Aの

  証 明   m=Mな

ら ばfはA上

1≦f(x)≦2と (M−m)と F1と

と きF(x)=f(x). で 定 数 だ か ら 問 題 な い.そ

し て 証 明 す れ ば よ い.な す れ ば1≦f1(x)≦2で

うで な い と き は

ぜ か と い う とf1(x)=(f(x)+M−2m)/ れ を 延 長 して 得 られ る関 数 を

と に も ど しF(x)=(M−m)F1(x)−(M−2m)と

すれ ば よいか ら

し,も

あ る か ら,こ

で あ る.   い ま,Fをx∈Aの

と き はF(x)=f(x),x∈S＼Aの

と き はd(x,A)>0

に注 意 して

と 定 め る.こ

のFが

条 件 を み た す こ と を 証 明 し よ う.x∈S＼Aの

≦f(y)d(x,y)≦2d(x,y)か

らy∈Aの

と きd(x,y)

下 限を とって

d(x,A)≦g(x)≦2d(x,A) だ か ら1≦F(x)≦2が の と きFがxで d(x,x′)0 

の とき

xx0と

区 間 の 右 端 の と き は,x→x0

な

をfのx0に

お け る右 微 分 係 数(左 微 分 係 数)と い い, f+′(x0)  ま た は   D+f(x0) 

で 表 わ す.こ

(f− ′(x0)  ま た は   D−f(x0))

れ が 有 限 の と き,fはx0で

右 微 分 可 能(左 微 分 可 能)で あ る と い

わ れ る.   例3 

Rでf(x)=￨x￨の

  (x0∈IがIの

と き,f+′(0)=1,f−

′(0)=−1(例2参

左 端(右 端)の 点 で あ る と き,当

照).

然 左 微 分 係 数(右 微 分 係 数)は

考 え な い.)   命 題1 

fがx0で

右 微 分 可 能(左 微 分 可 能)な

ら ば 右 に 連 続(左 に 連 続)で あ

る.   (証 明 は 定 理2.1と   命 題2 

同 様 に で き る.)

x0∈Iが

区 間Iの

端 点 で な い と き は,I上

る 微 分 係 数 が 存 在 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,右 てf+′(x0)=f−

′(x0)と

な る こ と で あ る.こ

(こ れ は 左 右 か ら の 極 限 と,極   定 理2.2 

Iは

微 分 係 数,左

おけ

微分 係 数が あ っ

の と きf′(x0)=f+′(x0)と

限 の 関 係(§1.3問3)に

区 間,f:I→R,x0∈Iの

の 関 数fのx0に

な る.

帰 す る.)

と き,fがx0で

微分 可能 であ るた

め の 必 要 十 分 条 件 は,  (2.2) 

f(x)=f(x0)+A(x−x0)+(x−x0)g(x), 

と な るA∈Rと A=f′(x0)と

関 数g:I＼{x0}→Rが

のとき

な る.

  証 明   fがx0で

 

存 在 す る こ と で あ っ て,こ

微 分 可 能 の と き,A=f′(x0)と

に対 して 

し,g:I＼{x0}をx∈I,

と 定 め る と,明

ら か に(2.2)が

成 り

立 つ.   逆 に(2.2)が

成 り立 つ と き

だ か ら,fはx0で   注 意   (2.2)は は  

微 分 可 能 でA=f′(x0)と  

な る.

と して 得 られ た の で あ る か ら(2.2)に

に 対 して で あ る.x=x0で

は(2.2)はg(x0)を

よ って 定 め られ るg(x)

ど う定 め て も成 り立 つ.し

か

し, 

で あ る か ら,x0で

ば よい,ま

連 続 で あ る よ うに 定 め るに はg(x0)=0と

た そ うせ ね ば な ら な い.よ

る こ とが で き る.そ

っ て(2.2)のgはx=x0で

して お け

連 続 で あ る と仮 定 す

の 利 点 は 合 成 関 数 の 微 分 法 の 公 式 を 証 明 す る と き に現 わ れ る で あ ろ

う.   定 理2.2はfがx0で

微 分 可 能 の と き,x0の

近 く で は 曲 線y=f(x)①

直 線y=f′(x)(x−x0)+f(x0)② る こ と を 示 し て い る.す で は,そ

で近似 で き な わ ち,x0に

の 値 の 差 は(x−x0)g(x)で

g(x)→0(x→x0)な

を

近 い所 あ って

の だ か ら,(x−x0)に

くら

べ て い っ そ う小 さ い と み ら れ よ う.こ

のこと

はy=f(x)の

グ ラ フ はx=x0の

近 くで は 直

線 ② と 見 な せ る と い う こ と で あ る.   こ の よ う な 状 況 が 成 り 立 っ て い る と きf(x)−(f(x0)+f′(x0)(x−x0))はx0 に お い てx−x0よ

り も高 位 の 無 限 小 で あ る とい って

f(x)−(f(x0)+f′(x0)(x−x0))=o(x−x0)  と 書 き 表 わ す.こ

(x→x0)

れ を ま たf(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+o(x−x0)と

う に も 書 く.A=B+o(x−x0)はA−Bがx−x0よ

りも 高 位 の 無 限 小 す な わ

ちo(x−x0)/(x−x0)→o(x→x0)と う こ と で は な い.も

い う よ

い う 意 で あ っ て,等

号 の 左 右 が 等 し い と い

っ と 一 般 に 二 つ の 関 数h(x),g(x)がx0の

か らx0を

除 い た と こ ろU*(x0)で

g(x)→0が

成

り立 つ と き,こ

定 義 さ れ て い て,x→x0の

あ る 近 傍U(x0) と きh(x)→0,

れ ら を 無 限 小 と い い

∃ ε(x):U*(x0)→R,h(x)=g(x)ε(x),ε(x)→0(x→x0)

が 成 り立 て ば,x0に h=o(g)と 〓0な

お い て"hはgよ

り も 高 位 の 無 限 小 で あ る"と

書 く の で あ る.gがU*(x0)で ら ば こ れ はh(x)/g(x)→0(x→x0)と

じ こ と で あ る.上 g(x)=x−x0で

同

の微 分 可 能 の 場 合 の 例 で は

  fがx0で

あ っ た.

線y=f(x)のx=x0に

微 分 可 能 の と き,f′(x0)を

曲

お け るか た む き とい

い って

う.f(x)=ax+bの ax+bの

と き 任 意 のx0に

か た む き は つ ね にaで

あ る.(2.1)は

む す ぶ 直 線 の か た む き で あ っ て,そ f′(x0)(x−x0)+f(x0)の

fが

f′(x0)≧0,単

か ら 直 線y=

点(x0,f(x0))と(x,f(x))を

れ がx→x0の

と きf′(x0)つ

ま り直 線y=

か た む き に 近 づ くの で あ る.こ の 直 線 を 点(x0,f(x0))

に お け るy=f(x)の   定 理2.3 

対 し てf′(x0)=a(例1)だ

接 線 と い う. 区 間Iで

単 調 増 加 で あ っ て,x0∈Iで

微 分 係 数 を も て ば,

調 減 少 な ら ばf′(x0)≦0.

  証 明   fがIで

単調 増加 の とき

x>x0 

な ら ば   f(x)≧f(x0),よ

って

x<x0 

な ら ば   f(x)≦f(x0),よ

っ て

よ っ てx→x0の

極 限 を 考 え て.f′(x0)≧0と

な る.単

調 減 少 の と き も 同様 で あ

る.

  区 間I上

の 関 数fが,Iの

各点 で 微 分 可 能 の と き,fはIで

微 分 可能 で

あ る と も い う.ま た た だ 微 分 可 能 な 関 数 と もい う.   区 間I上

の 微 分 可 能 な 関fに

微 分 係 数f′(x)を 数 をfの

対 して,Iの

対 応 させ る関 数,す

各 点xに

なわち  

そ の 点 に お け るfの で 定 ま るI上

の関

導 関数 とい って

で 表 わ す.ま た こ れ は 関 数fをf(x)と  と も 書 か れ,y=f(x)と も 書 く.例1のf0,f1,f2,fに

も 書 く よ う に,f′(x),(f(x))′,Df(x), 書 い た と き はy′, 

dy/dxの

よ うに

つ い て

f0′(x)=c′=0, 

f1′(x)=x′=1, 

f2′(x)=(x2)′=2x,

f′(x)=(ax+b)′=a.   (f(x)′

た と え ば(ax+b)′

  微 分 可 能 な 関 数fか

はxに

お け る 微 分 係 数 を も 表 わ す.)

ら そ の 導 関 数 を 求 め る こ と を,fを

微 分 す る と い う.

 定 理2.3か

ら"fが

区 間Iで

≧0(f′(x)≦0)"と

な る.こ

微 分 可 能 で あ っ て 単 調 増 加(減 少)な の 逆 に つ い て は つ ぎ の 節 の 定 理2.10が

  微 分 係 数 と 四 則 演 算 に つ い て は,つ   定 理2.4 

区 間I上

  1)  α,β ∈Rと

あ る.

ぎ の 基 本 的 な 性 質 が あ る.

の 関 数f,gがx0∈Iで

す る と αf+βgはx0で

  2)  fgはx0で

ら ばf′(x)

微 分 可 能 で あ る と す る. 微分 可 能 で あ って

微分 可 能 で あ って D(fg)(x0)=Df(x0)g(x0)+f(x0)Dg(x0),

 3) 

の と きf/gはx0で

微 分 可 能 で あ って

D(f/g)(x0)=(Df(x0)g(x0)−f(x0)Dg(x0))/(g(x0))2.

 証 明   1)

  2)

→Df(x0)g(x0)+f(x0)Dg(x0)  こ こ で,定

理2.1に

よ りg(x)→g(x0)で

(x→x0),

あ る こ と を 用 い た.こ

れ は3)に

も

用 い る.   3)  gはx0で

連続 だ か ら  

る こ と が わ か る.ま

ず1/gに

か ら,x0の

あ る近 傍 で  

つ い て 証 明 す る.

→−Dg(x0)/(g(x0))2  こ れ と2)に

よ っ てf/g=f(1/g)はx0で

微 分 可 能 で

D(f/g)(x0)=Df(x0)(1/g)(x0)+f(x0)(−Dg(x0)/(g(x0))2)

(x→x0).

とな

=(Df(x0)g(x0)−f(x0)Dg(x0))/(g(x0))2.   注 意   定 理 の 微 分 可 能 の 代 りに 右 微 分 可 能(左 微 分 可 能)と し,DをD+(D−)に え て も よい.そ

置換

の 場 合 の 証 明 も 同 様 で あ る.

  つ ぎ の 系 は 定 理 か ら す ぐ に 得 ら れ る.   系   f,gが

区 間I上

  1)  α,β ∈Rな

  2)  fgも

の 微 分 可 能 な 関 数 の と き.

ら ばf+gも

微 分可 能 で

微分可 能 で (fg)′=f′g+fg′,

  3) 

す べ て のx∈Iに

つ い て

 

な ら ばf/gも

微 分 可 能 で

(f/g)′=(f′g+fg′)/g2.   系 の1)で

と くに

α=β=1;α=1,β=−1;β=0と

(f+g)′=f′+g′,  ま た1)を

(f−g)′=f′

く り か え し て 使 え ばaj∈R,fjは

もIで

の と き, 

−g′,  区 間Iで

(αf)′=αf′. 微 分 可 能(j=1,2,…,n)

微 分 可能 で

 (線 形 性).

 (2.3)

ま た こ の と きf1…fnも   (2.4)  で あ る.こ

す れ ば

微 分 可 能 で

(f1…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′f3…fn+f1f2…fn−1fn′ れ は2)か

と き(2.4)は f1…fjfj+1も

ら 数 学 的 帰 納 法 に よ っ て 証 明 さ れ る.す

明 ら か で あ り,n=jの

と き成

な わ ち,n=1の

り 立 つ と す れ ば 系 の2)に

よ っ て

微 分 可 能 で (f1…fjfj+1)′=(f1…fj)′fj+1+(f1…fj)fj+1′ =(f1′f2…fj+f1f2′f3…fj+…+f1f2…fj

−1fj′)fj+1

+(f1…fj)fj+1′

と な りn=j+1の と き(2.4)は

と き も(2.4)は

成 り立 つ.な

つ ぎ の よ うに 書 か れ る.

お,Iで

 

の

(2.4)に

お い てf1=…=fn=fと

す れ ば,fが

微 分 可 能 の と きfnも

そ うで

あ って   (2.5) 

(fn)′=nf′fn−1 

と な る.x>0の

と きx0=1と

す れ ば,n=1の

と き もfn−1=f0=1と

  (2.5)で

定 め る の で あ る が,か

と く にf(x)=xと

  (2.6) 

す れ ばf′(x)=1だ

れ と(2.3)に

り にx≦0で

な っ て(2.5)は

(xn)′=nxn−1 

が 得 ら れ る.こ

(n∈N)

成

もx0=1と

り 立 つ の で あ る.

か ら

(n∈N)

よ れ ば 多 項 式P(x)=a0+a1x+…+anxnはR

上 の 微 分 可 能 な 関 数 で あ っ て,導 関 数 も 多 項 式 に な る:P′(x)=a1+2a2x+…+ nanxn−1.こ

れ と系 の3)か

ら 有 理 関 数 は(分 母 が0と

な ら な い よ う な 点 で は)微

分 可 能 で あ っ て 導 関 数 も 有 理 関 数 と な る こ と が わ か る.と き,(1/xm)′=−mxm−1/x2m=−m/xm+1と

な り, 

め る と,(x−m)′=−mx−m−1で,(2.6)はnが

く に,m∈Nの

と

の と きx−m=1/xmと

定

負 の 整 数 の と き に も( 

で)

成 り立 つ こ と が わ か る.   注 意   微 分 係 数 は 点 の 近 傍 に お け る 関 数 の値 で定 ま る の で,初 め の 関 数 を 区 間 で 考 え た の で あ る が,1/xmの よ うに 二 つ の 区 間 の 和 集 合(− ∞,0)∪(0,∞)で 定義 された 関数 に つ い て も 同 じ こ と で あ る.ま た た と え ば,  き微 分 可 能 で あ る が,こ   定 理2.5 

の 導 関 数 はx0の

数f:I→I′

(g°f)′(X0)=g′(y0).f′(x0).

 (2.7) 

 (2.8) 

より

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+(x−x0)f1(x),

と な る 関 数f1:I→Rが

と き1と

がx0∈Iで

微 分 可 能 な ら ば 合 成 関 数g°fはx0で

あ って

  証 明   定 理2.2に

の関数 で あ って  

存在 し

g(y)=g(y0)+g′(y0)(y−y0)+(y−y0)g1(y),

のと

な る.

微 分 可 能,関

数

微分 可 能 で

と な る 関 数g1:I′

→Rが

存 在 す る.(2.8)式

のyをf(x)と

し,(2.7)を

用

いて

こ こ でx→x0の

と きf1(x)→0,g1(f(x))→0だ

か ら

f1(x)g′(f(x0))+f′(x0)g1(f(x))+f1(x)g1(f(x))→0 と な り,再

び 定 理2.2に

  注 意   f1は 

よ っ て 結 論 が 得 ら れ る.

に 対 し て だ け 定 義 さ れ て い れ ば よ い が,g1はy=y0で

て い な け れ ば な ら な い.そ

し て そ の こ と は す で に 定 理2.2の

に は な ら な い の で あ る.な

ぜ,g1に

な る お そ れ が あ る か ら で あ る.す る.こ

も定 義 さ れ

あ とに 注 意 した よ うに制 限

つ い て は 必 要 か と い う とg1(f(x))が な わ ち, 

で もf(x)=f(x0)と

の 注 意 を 些 細 と い う こ と は で き な い.こ

定 義 され な く な り うる か らで あ

の こ と が あ る ば か りに,折

角 の簡 単 な 古

典 的証 明

x→x0の

と きf(x)→f(x0)だ

を や め て,わ

か ら上 の 式 はg′(f(x0))f′(x0)に

収束 す る″

ざわ ざ こ の形 に した の で あ る か ら….

  定 理2.6 

区 間Iで

い て 微 分 係 数Df(x0)を 数Df−1(y0)を

定 義 さ れ た 強 い 意 味 で 単 調 な 連 続 関 数fが,x0∈Iに も て ば,fの

逆 関 数f−1も,y0(=f(x0))で

も つ.0−

お 微分 係

∞

の と きは

Df(x0)Df−1(y0)=1 が 成 り立 つ.ま はfが

た,Df(x0)=±

∞

の と き はDf−1(y0)=0,Df(x0)=0の

増 加 か 減 少 か に 従 いDf−1(y0)=+∞

  証 明   考 え を き め る た め にfは うす れ ばf(I)は

ま た は−

∞

とき

と な る.

強 い 意 味 で 単 調 に 増 加 す る も の と し よ う.そ

区 間 で あ っ て 逆 関 数f−1が

い 意 味 で 単 調 に 増 加 す る(定 理1.6).

こ の 区 間 で 定 義 さ れ,連

続,強

f−1(y)=x, 

f−1(y0)=x0,

f(x)=y,  と す れ ば,仮

f(x0)=y0

定 に よ っ て 

の と きx→x0,ま

たfが

,し

か もf−1の

連 続 性 に よ っ てy→y0

単 調 増 加 で あ る こ と か ら 定 理2.3に

よ りDf(x0)≧0

で あ る が

 (2.9)

は0−

と きDf−1(y0)=−

∞,Df(x0)=−

だ し,dy/dx=0,あ

るいは

∞

の と きDf−1(y0) ∞

の と きDf−1

な る の で あ る.

  こ れ を 記 号 的 に

と 表 わ す こ と も で き る.た

± ∞ の と き だ け,定

理

に 述 べ た よ うな 注 意 が 必 要 に な る.   例4 

n∈Nに

対 して

の 導 関 数 を計 算 せ よ. は 

  解  あ る.よ

がx>0に き+∞

 注意 

の 逆 関 数 で あ っ て,yの

変 域 も[0,∞)で

って

対 し て 成 り立 つ.x=0で

は 微 分 係 数 はn=1の

で あ る.

の導 関数 は合成 関数 の微 分法 に よ り

と き1,n>1の

と

  区 間Iで

微 分 可 能 な 関 数fの

そ れ をfのx0に

お け る 第2次

と 書 く.fをy=f(x)の

f′ がIで の 第2次

微 分 係 数 と い い,f″(x0), 

様 に 第n次

微 分 可 能 と い い,f′

の 導 関 数 をf

っ て ま たf(x)がn次

で あ る と い う.区

関 数 はC0級

含 む あ る 開 区 間(た だ し,

第(n−1)次

ま で の 導 関 数 を もち,

の 導 関 数 が あ っ て そ れ が 連 続 で あ る と き,そ 間Iの

の 関 数 はCn級

各 点 で 何 回 で も微 分 可 能 で あ る と き,す の 導 関 数 が あ る と き(こ の と き(n+1)次

の 導 関 数 は 連 続 で あ る)そ の 関 数 はC∞ と す る.I上

のCn級

と す る と,C0(I)⊃C1(I)⊃C2(I)⊃

属 す る.C1級

  関 数fがx0の

定 め られ る の は,x0を

端 点 の と きは 半 開 区 間)でfが

い て 第n次

る か ら 第n次

の 多 項 式 な ら 

微 分 係 数 を も つ と き で あ る.

第n次

n∈Nにつ

と き)

な る.

の微 分 係 数f(n)(x0)が

定 義 区 間Iの

  区 間Iで

れ ら を(n≧2の

と きf′(x)=nxn−1,f″(x)=n(n−1)xn−2,…,f(n)(x)=

と きf(m)(x)=0と

f(n−1)(x)がx0で

の 導 関 数f(n),Dnf,

次 導 関 数 と い う.

f(x)=xnの

  注 意   第n次

の 微 分 係 数f(n)(x0),第n次 定 め ら れ る 場 合 が あ る.そ

n(n−1)…3・2・1=n!,よ

C∞(R)に

と も書 く.

導 関 数 とい っ て

高 次 微 分 係 数,高

x0がfの

微 分 係 数 を も つ と き,

形 で 書 い た と き はy″(x0), 

f(n)(x),(f(x))(n),Dnf(x)が

m>nの

がx0∈Iで

微 分 可 能 の と き,fはIで2回

な ど で 表 わ す.同

  例5 

導 関 数f′

なわ ち任意 の の導 関数 があ

級 で あ る と い う.連

続な

の 関 数 の 全 体 をCn(I)(n=0,1,2,…,∞) … ⊃C∞(I), 

多項式は

の 関 数 を 滑 ら か な 関 数 と も い う.

あ る 近 傍U(x0)で

定 義 さ れ て い て,

  (2.10)

が 成 り立 つ と き,fはx0に

お い て 極 大 に な る とい い,f(x0)をfの

とい う.不 等 号 の 向 き を 反 対 に して 極 小,極 極 小 値 を あ わ せ て 極 値 と い う.極 大 値,極

極大 値

小 値 の 定 義が 得 ら れ る.極 大 値 と

小 値 は 局 所 的 な 最 大 値,最

小値 であ

る.関

数 が 定 義 域 の 内 点 で 最 大 値(最 小 値)を

れ ば,そ

れ は 極 大 値(極

  定 理2.7  f′(x0)が

fがx0に

b):a<x00,φ

′(b)0と

の と き 中 間 値 の 定 理 に よ り ∃x∈(a,b):f(x)=0で

に よ り,fは

方法 と よば れ

強 い 意 味 で 単 調 増 加 だ か ら こ の よ う なxは

す あ る が,f′(x)>0

一 つ し か な い.b=x0

とし   (2.83) 

xn+1=xn−f(xn)/f′(xn)

と す る と,(xn)は

単 調 減 少 でxに

収束 す る

こ と が つ ぎ の よ うに 示 さ れ る.x<x≦bの

と

きf(x)>0だ

均

か らx−f(x)/f′(x)<x.平

値 の定 理 に よ り

f(x)−f(x)=(x−x)f′(ξ). f″(x)>0に f(x)=0だ

よ りf′

も 強 い 意 味 で 単 調 増 加 だ か らf(x)−f(x)0と

す る.

帰 す る.

とえ

((2.99)に

よ る).

ゆ え に,

  注 意   この 式 は 区 間[−a,a]で

成 り立 つ.計

算 の途 中では  

区 間 の端 点 で の この 右 辺 の 微 分 係 数 も 定 理2.17系   問5 

により  

が 分 母 に く るが, と な る の で あ る.

上 と 同 様 に し て つ ぎ の 式 を 導 け.

 例7 とす る と部 分 積 分 法 に よ り

これ を 解 い て

  有 理 関 数 の 積 分 に つ い て は,代 数 の 知 識 が 必 要 に な る.こ

こでは つ ぎの こ と

を 仮 定 す る.   Rは

有 理 関 数 で あ って,多

項 式 で は な い とす る と,

R(x)=P(x)/Q(x) 

(P,Qは

多 項 式 でQは

定数 では な

く最 高 次 の 係 数 は1) と表 わ され る.さ

らにQは

の 形 の 因 数 の 積 に な り,Rは

多項式 と

の形 の 式 の 和 と して 表 わ され る.   こ の こ と を 用 い れ ば,有 理 関 数 の 積 分 は,こ

の よ うな形 の 式 の 積 分 に 帰 せ ら

れ る.多

項 式 お よ びa/(x−

(bx+c)/((x−

β)2+γ2)sの

と な るが,こ

の 第1項

α)γ の 積 分 は す で に 知 っ て い る:

積 分 はx−

β=γtと

は 例1に,第2項

す れ ば,dx/dt=γ

は 例4に

で

よ り計 算 され る.実 際 に 有 理

関 数 を こ の よ うな 和'部 分 分 数'に 分 け るに は'未 定 係 数 法'に よ る の で あ る が そ れ は 例 で示 そ う.  例8 

を 求 め る.

とお いて分 母 を払 え ば

両 辺 の 係 数 を く らべ て a+d=0, 

e=0, 

2a+b+d=1, 

c+e=−1, 

これ を 解 い て a=1,  よ っ て,

b=0, 

c=−1, 

d=−1, 

e=0,

a=1,

 問6 

を 計 算 せ よ.

  有 理 関 数 で な い 関 数 に つ い て も,変 数 変 換 法 や 部 分 積 分 法 な どを う ま く組 合 せ て 変 形 す る と,有 理 関 数 や そ の 他 既 知 の積 分 に帰 着 させ る こ とが で き る こ と も あ る.そ の 一 部 を示 し て お く.   Rは

い くつ か の変 数 の 有 理 関 数 で あ る とす る.

  1)  R(x,y,z)のy,zに q′/p′乗(p,p′

それ ぞれ  

∈N,q,q′ ∈Z)を

のq/p乗,

代 入 した も の の 積 分

 (2.102)

を 求 め る に は,lをp,p′

の最小 公倍 数 とし

とお く と

こ の と き,(2.102)はl=p1p=p1′p′

と な り,こ

と す る と,

れ は 有 理 関 数 の 積 分 と な る.変

数x,y,zの

で あ る.

 例9  t=x1/6と

を 求 め る. お

く とx=t6,dx/dt=6t5だ

  2)  Rを2変

か

ら

数 の 有 理 関 数 とす る と き,

数 が 違 っ て も同 じこ と

 (2.103)

を 求 め る に は,   1°  b2−4ac>0の

と きax2+bx+c=a(x−

α)(x− β)と な る  

が あ るか ら

とお け ば

t≧0だ

か ら複 号 は

と な り,こ

だ か らa>0な

な る よ う に と る.よ

っ て(2.103)は

とき

ら(2.103)は

有 理 関 数 の 積 分 とな り,a0を S={f:[x0− はsupノ

あ る と し,(2.111)が

δ1≦ δ,Cδ1≦r,Kδ10の

と な り矛 盾 が で る.よ 能 で あ る が,微   fが(x0,y0)で

とき

っ て,fは(0,0)でx,yの

ど ち らに つ い て も偏 微 分 可

分 可 能 で は な い. 微 分 可 能 の と き は そ の 点 で 連 続 に な る こ と が,(3.3)か

ら明

ら か で あ る.   偏 微 分 係 数 を 求 め る 計 算 は,も る か ら,1変 (x0,y0)でxに

と も と が1変

数 につ いて の微 分 係 数なの で あ

数 の 場 合 の 計 算 の 規 則 が そ の ま ま あ て は ま る.た つ い て の 偏 微 分 可 能 で α ∈Rな Dx(f+g)(x0,y0)=Dxf(x0,y0)+Dxg(x0,y0), Dx(αf)(x0,y0)=αDxf(x0,y0).

らば

と え ば,f,gが

  開 集 合 でfが き,各 点 にxに

をxに

定 義 され て い て,そ

の 各 点 でxに

つい て偏 微 分可 能 であ る と

つ い て の 偏 微 分 係 数 を 対 応 さ せ て得 られ る関 数

つ い て の 偏 導 関 数 と い う.yに

つ い て も 同 じ よ う に 定 め る.た

と え ば,

f(x,y)=x2+y2 の と き,

fxを

 

な ど と も表 わ す.前

の 記 法 は,関

数,fx, 

の(x0,y0)に

のfx(x0,y0), 

お け る 値 の 意 味 と一 致 す る.偏 導

関 数 を 求 め る こ と を 偏 微 分 す る と い う.   定 義 域 の 各 点 で 微 分 可 能,ま

た は 偏 微 分 可 能 の と き,た

だ 微 分 可 能,偏

微 分

可 能 と い う.   微 分 可 能 に な る た め の 十 分 条 件 と し て,つ   定 理3.1 

(x0,y0)の

近 傍 でfが

も 偏 微 分 可 能 で あ っ て,(x0,y0)で fは

定 義 さ れ て い て,x,yの 偏 導 関 数fx,fyが

ど ち ら に つ い て

連 続 な ら ば,(x0,y0)で

微 分 可 能 で あ る.

  証 明   1変   (3.4) 

数 の 場 合 の 平 均 値 の 定 理 に よ っ て

f(x,y)−f(x0,y0)=f(x,y)−f(x,y0)+f(x,y0)−f(x0,y0) =(y−y0)fy(x

こ こ でx1はxとx0の x,yの

ぎ の 定 理 が よ く 知 ら れ て い る.

,y1)+(x−x0)fx(x1,y0),

間 の 数,y1はyとy0の

間 の 数 で あ る.x1,y1は

関 数 で あ る か ら, ε1(x,y)=fx(x1,y0)−fx(x0,y0), 

と お く こ と が で き て,x→x0,y→y0の で 連 続 で あ る か ら

ε2(x,y)=fy(x,y1)−fy(x0,y0) と きx1→x0,y1→y0,fx,fyは(x0,y0)

ε1(xy)→0,ε2(x,y)→0と

な る.(3.4)か

f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0) +(x−x0)ε1(x,y)+(y−y0)ε2(x,y) =f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)

ら

だ か ら￨x−x0￨/ρ

と お け ば,x→x0,y→y0の

と き

≦1,￨y−y0￨/ρ

ε(x,y)→0と

な り,微

≦1,よ

っ て,

分 可 能 の 条 件(3.1)が

み た さ れ る.   注 意1 

上 の 証 明 で は,(3.4)で,x,yの

の 連 続 性 を 用 い た が,一 よ い.(yに

方,た

そ れ ぞ れ に つ い て 平 均 値 の 定 理 と,fx,fy

と え ばxに

つ い て は(x0,y0)の

つ い て は,(x0,y0)で

近 傍 で 偏 微 分 可 能 でfyが(x0,y0)で

(3.4)でf(x,y0)−f(x0,y0)=(x−x0)fx(x1,y0)を −f(x0

偏微 分可能 であ るだけ で 連 続.)そ

れ は,

使 わ な く て も(3.4)にf(x,y0)

を代入 すれ ば よいか らで

,y0)=(x−x0)fx(x0,y0)+(x−x0)ε(x) 

あ る.   注 意2 

以 上 述 べ た こ と は 変 数 が 二 つ よ り多 くて も全 く同 様 で あ る.

  fは(x0,y0)で   (3.5) 

微 分 可 能 で あ る と す る. z=f(x0,y0)+(x−x0)fx(x0,y0)+(y−y0)fy(x0,y0)

を み た す 点(x,y,z)はR3の   (3.6) 

平 面 で あ っ て,曲

z=f(x,y)

と 点(x0,y0,f(x0,y0))を xy平

共 有 す る.な

面 上 の 点(x,y)と(x0,y0)と

ρ を 小 さ く と る と き,(x,y)に (3.6)上

の 点 と平 面(3.5)上

ρε(x,y)は る.こ (3.6)の

お, の距 離

対す る曲面 の 点 との 距 離

ρ よ りも 高 位 の 無 限 小 に な って い

の1次

式(3.5)の

表 わ す 平 面 を,曲

点(x0,y0,f(x0,y0))に

接 平 面 は,つ

はcの(x0,y0,f(x0,y0))に   定 理3.2 

面

お け る 接 平 面 と い う.平

ね に そ の 平 面 自 身 で あ る.(x0,y0)を

意 の 平 面 γ と 曲 面(3.6),平

はt0で

面

面(3.5)と

面z=ax+by+cの

と お りxy平

の 交 わ りc,lを

面 に垂 直 な任

考 え る と,γ

お け る 接 線 に な っ て い る.

(合 成 関 数)f(x,y)は(x0,y0)で

微 分 可 能,x0=φ(t0),y0=ψ(t0)で

微 分 可 能,x=φ(t),y=ψ(t) あ る と き,合

成関数

上 でl

もt0に

お い て 微 分 可 能 で あ って

 (3.7)

が 成 り立 つ.   証 明   t0の

あ る 近 傍 を とれ ば(φ(t),ψ(t))が(x0,y0)の

含 ま れ る か ら,そ

こ で φ(t)が

与 え られ た 近 傍 に

定 ま る こ と は 明 ら か で あ る.

の とき のとき f(x,y)=f(x0,y0)+(x−x0)fx(x0,y0)+(y−y0)fy(x0,y0)+ρ

ε(x,y),

の とき よ っ て

と お く と,t→t0の

と き

 だ か ら η(t)→0と

よ っ て,φ  (3.7)は

はt0で

微 分 可 能 で(3.7)が

また シ ン ボ リカ ル に

成 り立 つ.

な り

の 形 に 書 く こ と が で き る.   注 意   これ も変 数 が い くつ あ っ て も全 く同 じ こ とで あ る.た

と え ば,f(x,y,z)が

上に

偏 微 分 す る と き,tをt0に

固

述 べ た の と 同 様 の条 件 を み た して い れ ば,

ま た,x=φ(s,t),y=ψ(s,t)の

と き も 同 様 で あ る.sで

定 し て 考 え れ ば よ い か ら,上

の 場 合 と 同 じ規 則 が 適 用 さ れ る.し

た が っ て,

と お く と き,

こ の場 合 も変 数 の 数 が 多 くて も 同様 で あ る.計 算 は こ み い っ て い る よ うに 見 え る け れ ど も,よ

く理 解 す れ ば な ん で も な い.

  例2 

x=rcosθ, 

と す る と(r,θ)は(x,y)の

y=rsinθ

極 座 標 で あ る.f(x,y)が

微分 可 能 な 関数 であ る

とき

だから

  つ ぎ の 定 理 は,合

成 関 数 の 微 分 法 と,1変

数 の 平 均 値 の 定 理 か ら す ぐに得 ら

れ る.   定 理3.3 

(2変

数 の 平 均 値 の 定 理)f(x,y)が2点(x1,y1),(x2,y2)を

ぶ 線 分{(x,y):x=x1+t(x2−x1),y=y1+t(y2−y1),0≦t≦1}を で 微 分 可 能 な ら ば,  (3.8) 

f(x2,y2)−f(x1,y1)=fx(ξ,η)(x2−x1)+fy(ξ,η)(y2−y1), ξ=x1+θ(x2−x1), 

η=y1+θ(y2−y1)

結 含 む開 集合

を み た す

θ(00は[x0,x0+h]×[y0,y0+h]がfxy,fyxが

す 存 在 す る(x0,y0)の

近 傍

に含まれるようにとる.関 数  

に平均値の定理を使

って Δ=h(fx(x0+θh,y0+h)−fx(x0+θh,y0))  つ ぎ に, 

に 平 均 値 の 定 理 を 使 って Δ=h2fxy(x0+θh,y0+θ

と こ ろ が,こ

(00に

か ら,

な

強 い 意 味 で 単 調 増 加 と な り,し

x0で

x,x→0の

よ り Γ(1)=Γ(2)=1だ

た が って

よ りx→

∞

の

Γ(x)=Γ(x+1)/

Γ(1)=1だ

か ら Γ(x)

よ り Γ の グ ラ フは 凸

で 図 の よ う に な る.

 問6 α>0,β>0の とき,  証 明 せ よ.(B(α,β)を

ベ ー タ 関 数 と い う.)α,β

(β−1)!/(α+β−1)!と

な る こ と を 証 明 せ よ.

は収束することを ∈Nの

と きB(α,β)=(α−1)!

5. 

  5.1 

級

数

数

  三 つ の 数a,b,cを

加 え る に は,つ

ぎ の よ う にい ろ い ろ な や

(a+b)+c, 

a+(b+c), 

(a+c)+b, 

a+(c+b),

(b+c)+a, 

b+(c+a), 

(b+a)+c, 

b+(a+c),

(c+a)+b, 

c+(a+b), 

(c+b)+a, 

c+(b+a).

こ れ ら の 結 果 は,加 a+b+cで

級

あ った.一

法 の 交 換 法 則,結 般 にn個

り か た が あ る.

合 法 則 に よ って 皆 同 じに な る.そ

の 場 合 で も 同様 の こ とが い え る.と

れが

こ ろ が この

数 が 有 限 個 で は な くて,無 限 に 多 くの 数 で あ る と き,そ れ を 加 え る こ とを どの よ う に定 義 した ら よ い か は 自 明 で は な い.な

る べ くな らば 有 限 個 の 数 を 加 え る

場 合 の 法 則 が 保 存 され る よ う に,ま た 特 別 の 場 合 と し て 有 限 個 の 場 合 を 含 ん で い る よ う に定 め た い.無

限 個 の 数 とい っ て もい ろ い ろ あ るが 最 小 限 の 無 限 は,

数 に 番 号 を つ け て 表 わ す こ とが で き る もの,つ   い ま,数 列(an)が

ま り数 列 で あ る.

与 え ら れ た とす る.そ の 項 を 一 つ ず つ 加 え て い っ た の で

は い つ ま で た っ て も き りが な い.そ   (5.1) 

こ で数 を た す と い う演 算 か らは な れ て

a1+a2+…+an+…

と 書 い た も の を ま ず 考 え る.こ

れ はa1にa2を

た し て,そ

と い う よ うな 意 味 を 初 め か ら は 考 え な い の で あ る.要 る.(5.1)を n項

級 数,ま

と い う.級

と も 書 く.こ

た は 無 限 級 数 と い い,a1を

れ にa3を

た し,…

す るに 形 式 的 な もの で あ

初 項,a2を

第2項,anを

第

数(5.1)を

と い う よ う に 書 い て も よ い.ま

れ は 

 ま た は  も よ く 用 い ら れ る.ま

と も 書 か れ る.a3か た, 

た,a2+a3+…

は

ら 始 ま る も の に つ い て も 同 様, 

はam1+am2+…

を 表 わ す.な

お,級

数

1+(−1)+1+(−1)+…

を1−1+1−1+…

 級数 

の よ う に も 書 く.

から A1=a1, A2=A1+a2=a1+a2, A3=A2+a3=a1+a2+a3, …,

An=An−1+an=a1+a2+…+an,…

と お く と,数 う.数

列(An)が

列(An)が

Σanの

得 ら れ る,AnをΣanの

極 限 を も つ と き, 

和 が あ っ て,そ

き,級

数Σanは

う.よ

っ て,Σanが

合 和 が+∞

第n項 を 級数

の 和 が 有 限 で あ る と き,す

収 束 す る と い い,Σanが

∞

と な る か,和

な わ ち(An)が

が な い か で あ る.こ

と 定 め た の で あ る.Σanが

ΣanはAに

収 束 す る と も い う.ま

和 と い う. 収束 す る と 散 す る とい

発 散 す る こ と と 同 じ,こ

広 義 の 積 分 の 場 合 に 似 て い る.す な わ ち,fが[1,∞)で

を 

Σanの

収 束 し な い と き は,発

発 散 す る と は 数 列(An)が

ま た は−

ま で の 部 分 和 とい

の 定 義 の しか た は

連 続 の と き 

収 束 し て 和 がAで

た 和 が+∞(−

の場

∞)の

あ る と き,

と き+∞(−

∞)

に発 散 す る と も い う.   例1 

与 え ら れ た 数 列(An)を

部 分 和 と す る 級 数 を つ く る こ と が で き る:

A1+(A2−A1)+…+(An−An−1)+…. た と え ば,An=1/n→0(n→

こ の 級 数 は 収 束 し,和 ∞)に

∞)に

は0で

対 して

あ る.ま

た た と え ば,An=log(n+1)→+∞(n→

対 して

こ の 級 数 は 発 散 し,和

は+∞

で あ る が,log(1+1/n)→0(n→

∞)で

あ る こと

に 注 意 し よ う.  級数

Σanが

収 束 す る 場 合,そ

の 和 をAと

束 す る か らan=An−An−1→A−A=0(n→  定 理5.1 

級数

Σanが

∞)と

な る.す

収 束 す る と き, 

は Σanが

 よ っ て, 

す る と,部

分 和AnはAに

収

な わ ち,

と な る.

収 束 す るた め の 必 要 条 件 で あ る.け れ ど も,

こ れ が 十 分 条 件 で な い こ とを 上 の 例 は 示 し て い る.   (An)が

収 束 す るた め の 必 要 で 十 分 な 条 件 は,こ

れ が 基 本 列 で あ る こ とで あ

る.す な わ ち,

い ま,m>nと

し てm=n+pと

書 く と,こ

れは

 (5.2)

と な る.す

な わ ち,

  定 理5.2 

級 数 Σanが

収 束 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は(5.2)が

成 り立 つ

こ と で あ る.   これ か らつ ぎ の こ とが わ か る.級 数 が 収 束 す る か 発 散 す る か は,初 項 に は 無 関 係 で あ っ て,初

め に 有 限 個 を どの よ うに つ け て も,と っ て も,変 え

て も同 じ こ と で あ る.初 め の 有 限 個 を 除 い た す べ て のnに な 条 件 を,ほ る と,た

とん ど す べ て のnに

とえ ば 数 列(an)がlに

とん どす べ て のnとNが￨an−l￨m>0,よ た が っ て Σbnが

っ て,ほ

とん

収 束 す れ ば Σanも っ て ほ とん ど 発 散 す れ ば Σanも

発

 例2 

は 発 散 す る(例1).一

よ っ て,調   例3 

和 級 数 Σ1/nも Σ1/(n(n+1))は

は 上 の 方 法 で わ か る.ま

発 散 す る.(こ

方,

れ は §2.4例4か

収 束 す る(例1).こ た,正

ら も 明 ら か で あ る.)

れ か ら Σ1/n2が

収 束すること

項級 数

も 

だから収束する.

 定 理5.7 

(コ ー シ ー の 判 定 条 件)  正 項 級 数

が存在す る

Σanは 

と き,

な らば 収 束, な らば 発 散, な らば 不 明, が 存 在 す る と き,

ま た, 

liman+1/an1 

な ら ば 発 散,

liman+1/an=1 

な らば 不 明

で あ る.  証明

 

とす る.∃ ε>0:λ+ε