ББК
г----~-----T-----------I
22.1
I
Линейная функция,
1.
ф51
2.
ее график и свойства
k
"#- О, называется
ной ...
80 downloads
252 Views
5MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ББК
г----~-----T-----------I
22.1
I
Линейная функция,
1.
ф51
2.
ее график и свойства
k
"#- О, называется
ной
Зависимость между величинами х и у.
при
= kx
которая выражается формулой у = l!-,
прямо nроnорциональ
х
зависимостью.
Например, (рис.
у
0,5х, У
=
=
-1,5х, у
=
где
х
х"#- О, называется
циональной
1).
нуля,
у
ной
обратно
nроnор
зависимостью.
Действительное
II
'
ее график и свойства
Зависимость между величинами х и у, которая выражается формулой у
k
Функция у = х
называют
число
отличное
k,
коэффициентом
от
обрат·
nроnорциональности.
Графиком функции у = l!- является х
кривая,
состоящая
метричных
"
2
" ""
нат.
х
\
Такая
С воиства
~
u
........ \~
.:~
III "
т. е.
называется
гипербо
функции
у
k
=
х
всех
чисел,
отличных
от
нуля,
Функция нечетная, так как
1
f(-x)
жду переменными х и у (~= k ) приводит К простейшей линейной функции у проходящая через
=!!...- =_l!- =-f(x). -х
х
График функции симметричен относи тельно
= kx.
Если
График простейшей линейной функции прямая,
сим
коорди
(-00;0) U (О; + 00).
Прямо пропорциональная зависимость ме
есть
кривая
начала
Область определения функции есть мно
IV
жество
Рис.
относительно
лой.
~
" ,," " -1,5
из двух ветвей,
начала координат.
k >
О, функция убывающая. Ветви
гиперболы расположены в
начало
натных четвертях (рис.
прямоугольной системы координат.
и
1
111
коорди
1).
Угол а наклона этой прямой определя ется коэффициентом
а), кото
k (k = tg
рый называется угловым коэффициентом прямой. Если если
Филатов о. А. ф51 Шпаргалки по алгебре и геометрии. - СПб.: Издательский Дом «Литерю>, 2008. - 80 с. - (Серия «Средняя
k>
О, то угол а
О, то угол
k
О, то функция у =
kx
гается в
Если
ISBN 978-5-94455-380-5
1
k
О.
и
IV
ко
1
~:
Рис.
от
k: а) если k > О: у > о при х > О, У < О при х < О; б) если k < О: у > О при х < О, У < О при
11 2).
y~
II~
четвертях.
= kx
1
О, функция возрастающая. Вет
на всей числовой оси и ее график распола
школа»).
\
ви гиперболы расположены во
корень х = О. Если
k
О, и вниз, если Ь < О).
При Ь = О графиком функции у = О явля-
у = эх (р•• о :>0
""". о'" 'боЦ~."О у
~~
г----~-----------------I
=~ х
123456 х
фУНI(;ция, заданная формулой
у = ах 2 + Ьх + с, где х, у - nеременные, а, Ь, с - действительные числа, причем а
* О,
называется I(;вадратичноЙ.
График квадратичной функции назы вается параболой. Если а
Рис. 3
кам
х ffitEEВ±Бj
У 2
3
4
6
6
4
3
2
График второй функции - прямая, про ходящая через начало координат.
>
О, то ветви
параболы направлены вверх (рис.
если
а
вниз
1); < О, то ветви параболы направлены 2 (рис. 2). Здесь D = ь - 4ас.
:
yt
I О х I I Рис. 2 Общий случай. I *0, Toy=kx+b. Областью определения линейной функ- I ции служит множество R всех действи- I I тельных чисел, так как выражение у = kx + Ь I I имеет смысл при любых х. График линейной функции у = kx + Ь I I есть прямая линия (рис. 3). Для ее постро I ения достаточно двух точек, расположен- I I ных на осях Ох и Оу: А(О; Ь), в(-*;о) I
Функция
Свойства функции
Область определе
У
= х2
У
Множе'
= 2;
у
= 6.
Коорди
Система уравнений имеет только одно
I
+ Ьх + с
ствоН
(О; О)
хо
Ь
= 2а ;
вершины
'а> О
iD>O
параболы
Уо
ь 2 - 4ас
=--- 4а
Х12 =-~± , 2а
х=О
+ ~1irJ-4ас
,
2а
у
у
DО
при : (хо ; Уо)
хо ;
D
при
а>О
D=O
х
01
Экстре мумы
О.
Минимум
мумв
В вершине
вершине
Рис.
D
О;
Максимум
у
в вершине
при а
1 k
Область
Ь < О).
значений
решение.
I
ах 2
МножествоR
наты
Корни
*
1
=
ния
ГрафИКИ обеих рассматриваемых функ I при Ь> О либо А (О; -Ь), В (~; о) при
ции имеют одну общую точку: х
+ Ьх + с
приведены в таблице.
ее график и свойства
Еслиk
Строим график первой функции по точ
Свойства функций у = х2 и у = ах2
Квадратичиая функция,
3.
ь
5
1 12
О, то у
функции есть прямая, параллельная оси
кости строим графики функций у = -;
•
k =
I I I I I I I
[0;+00]
О.
[УО; +00] при а
у
О;
[-00; УО] при а
_~ а
о при
-
00
< х < -1
< х < 1 ,
1 < х < + 00;
и
3 < х < + 00
называют корнем кратности два.
лежит
функции уо = L_~
6
выше оси
Ох.
-
Ь
2
а
• Если D > О, то квадратное уравнение
,
имеет два различных действительных кор ня, вычисляемых по формуле (1).
так как график функции при этих зна чениях
хl
О. Однако усло
ствительных корня, а само число
00
функция возрастает при у
х 2 - 14х
Минимум
• Если D ~ О, то квадратное ууавнение
-4. ~
L
не имеет деиствительных корнеи.
= 6,
+ 48
Х2
О по теореме Виета:
=
= 8.
Следовательно,
х 2 - 14
ратное уравнение имеет два равных дей
видно:
функция убывает при
Находим корни уравнения
вились говорить, что в этом случае квад
4
+ 48.
Решение.
удовлетворяющее
+ Ьх + с =
корни уравнения
+ рх + q = О.
Разложим на множители трехчлен
= О, то существует только одно 2
I I I I I
Пример.
D.
переменной,
-
где хl и Х2
минантом квадратного уравнения и обо
значение
теореме
-7,
-2.
/{о образом:
где выражение ь 2 - 4ас называется дискри значается буквой
О имеет корни
согласно
-9,
=
Х2 =
вычисляют по формуле
х1,2
+ 9х + 14 =
которых,
I-----~-----I
уравнением.
полного
2.
дЛЯ
хl
Х2 =
действительные числа, не равные нулю,
ратным
и
Х1 =
2.
Уравнениевида ах 2
-
= 8 (-10) = -80.
Решив эту систему двух уравнений с
Полное квадратное уравнение с
Х2
двумя неизвестными, получим
= - 4.
уравнение не имеет решения.
~ == 1. Строим график функ
q.
Виета, выполняются следующие равенства:
Ответ: В области действительных чисел
= 4: у(4) = 16 - 2 . 4 - 3 = 5, получим точку (4; 5). 5. Осью симметрии параболы служит
+ Х2 = 8 - 10 = -2,
.
хl
Решим уравнение: 2х 2 + 8 = О.
Решение: 2х 2 = -8, х 2 = -4.
Дополнительную точку рассчитаем
=
хl
Уравнение х 2
2
= 4,
Х2
хl
Пример
то ах 2 + с == О;
хl == +М == 4, Х2 == -М == -4.
5
=1+2=3;
.
равенства теоремы Виета:
1.
Решим уравнение зх 2 - 48 = О.
Решение: зх 2 = 48, х 2 = 16,
х
ние корней равно свободному члену: хl + Х2 = -р,
1. Уравнение х 2 + 2х - 80 = О имеет корни хl = 8, Х2 = -10, так как выполняются
то квадратное уравне
а) если Ь
в) если Ь"* О,
противоположным знаком, а произведе
Пример
неnолным.
"* О,
го уравнения х 2 + рх + q = О равна коЭФ
фициенту при неизвестном х, взятому с
хl
видов:
2
3
-2
равен
Теорема Виета
5.
Сумма корней приведенного квадратно
свободным чле
Неполные квадратные уравнения быва
разования, получим график, приведенный
2а
== -
а назы
Если хотя бы один из коэффициентов Ь
при х
прямая хо
-
I I I I
ном.
X2=-~ ~ ==1-2=-1. 2а
называется квадрат
В квадратном уравнении число
2а
~4-4(-3)
а"* О,
2. Построить график функции 2х + 2х+ 2.
на рис.
действительные чис
-
ным уравнением.
сжатия (или растяжения) в а раз; параллельного
Квадратное уравнение
4.
получить из графика функции у = х 2 с помощью следующих преобразований:
2
ь 2 -4ас
хl
+ Ьх + с
Пример
== 1;
=----=
уо
График функции у = ах 2
I
I I I I ~
2.
+ 48
=
Квадратный
(х - 6) (х - 8).
трехчлен ах
2
+
Ьх
+
с
можно разложить на множители следую щим образом:
ах 2 + Ьх + с = а (х - хl) (х - Х2)'
где х их - корни уравнения 1 ~ _ ах + Ьх + с-О. ~-~
7
г-----------T-----~----I В том случае, если приведенное квад-
ратное уравнение имеет действительные корни, теорема Виета позволяет судить как о знаках, так и о значениях корней: если q
О, Р
>
О,
>
если q > О, Р < О,
то оба корня отрица-
тельны;
то оба корня поло-
жительны;
если q < О, Р > О, то корни имеют раз-
I I I I I I
ные знаки, причем
отрицательный
ко
рень по модулю боль ше
если
q < О, Р < О,
положительного;
то корни имеют раз ные
знаки,
При,мер
1.
Решим уравнение 2х 2 - 3х Решение: Хl,2 =
3 ± ../з2 - 4 . 2 . 1 2.2
+1=
ко
О.
При сравнении двух действительных
чисел х и у возможны три случая:
3 ± Ji
1) 2) 3)
4
D
Так как = 1, т. е. D > О, то уравнение имеет два корня: 3-1 1 хl = 3 + 1 =1, Х2 =-4-="2' 4 1 Ответ: Хl = 1, Х2 = 2" При,мер 2. Решим уравнение 2х 2 - 3х + 4 = О.
Хl,2
Так
*
-----X-----
Запись
ется
+ 6х + 1 =
>
неравенства,
~
3' .
:5:
или
составленные
Ь, С
< d -
'3 .
5>2
и
-4 > -6 -
'Уравнение вида х 2 nриведенны,м
1; хl
О:
Число р называют коэффициентом при
2' .
+1=
2 (х - 1) (х -
Если
Корни приведенного квадратного урав
ребляется запись х < а < у; такое неравен-
ство называется двоЙны,м. Если неравенство содержит буквенные
Приведенное квадратное уравнение име-
ет два равных корня, если
(f r
выражения, то оно является верным лишь
п и оп еделенных значениях входящих в
р
= q.
Решим уравнение Решение:
Х1,2 = =6
Например, неравенство (а + ь)2 ~ О вер-
хl
- 12х - 28 = О.
но при любых значениях а и Ь, так как
P-=
квадрат любого числа есть число поло-
жительное; неравенство х 2 > О верно при
12 12JJ + 28 = '2 ± Vl'2 2
± .)36 + 28
= 14,
Х2
Ответ: хl =
=6
= -2. 14, Х2
любых значениях х, кроме нуля.
Решить неравенство
- значит указать границы, в которых должны заключать-
± J64 = 6 ± 8; =
ся действительные значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.
-2.
Решить приведенное квадратное урав
При,мер. Решим неравенство -2х
нение, т. е. найти его корни, можно по
L_~
~
теореме Виета.
р
него переменных.
При,мер.
х2
собой
Вместо двух неравенств х < а, а < у упот-
Хl,2 =_l!..+ Р-ру 2 vl2) -q.
1
представляет
> 4.
2
~
члено,м
d
d.
знать ее первый
d.
Если разность арифметической прогрес
сии
-
положительное
число,
то
такая
прогрессия является возрастающей; если
-
разность
отрицательное
число,
то
та
кая прогрессия является убывающей. При,мер
противополож
ется верны,м.
нения вычисляют по формуле
2' ).
неравенство
nервы,м
достаточно
член аl и разность
5 < 10
истинное высказывание, то оно называ-
свободным членом.
q-
прогрессию,
Например,
Неравенства, содержащие только числа, называются числовы,ми HepaвeHcmвa,ми.
называется
а2 - аl = аз - а2 = ... = ak - ak-l =
неравенства одинаково
неравенствами
(1)
Для того чтобы задать арифметическую
назы
ного смысла.
квадратны,м уравнение,м.
неизвестном х, а
1
=
являются
О, где р и
действительные числа, называется
q -
+1=
+ рх + q =
- 1),
лу:
нестроги,ми.
и
+ d (n
щим членом равна одному и тому же чис
помощью
6 > 4
аl
любые заданные числа.
Разность между любым членом арифме
неравенствами
противоположного смысла.
1
=
тической прогрессии и ему предшествую
с помощью
>d
т. е. пишут
разностью арифметической прогрессии.
~. называ
с
аn
d -
Число а
называют строги,ми;
составленные
+,
... ,аn ,· ...
арифметической прогрессии, число
ваются неравенствами одинакового смыс
Приведенное квадратное уравнение
+ 1.
или
Два неравенства вида а> Ь и С
= О, то уравнение имеет два
-
или
Обозначают арифметическую прогрес
сию, употребляя знак
где аl и
читается так:
неравенство,м.
знаков
О.
>. т. 3. Любой член арифметической прогрес сии, начиная со второго, является сред ним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. а
n
+а
n+2
L~=:HepaBeHcT~ePHo~~~~~_~n+l~~_~~~_~ 2 Шпаргалки
по алгебре и геометрии
9
г-----------T-----~----I Для любой конечной арифметической
4.
прогрессии сумма двух членов, равноот-
стоящих от ее концов, есть величина постоянная для данной прогрессии, равная
сумме крайних членов: ak где
k
и т
+ а m = аl + а n ,
номера членов,удовлетворяю-
-
щие условию
k
+т
1 + n.
=
При,мечание. Свойство
так же как и свойство
1,
2,
является условием, достаточным для того,
чтобы соответствующая последователь-
ность аl' а2' ... , а n , ... была арифметичес-
кой прогрессиеЙ.
сумму
последователь
n
ных членов арифметической прогрессии:
Sn
=аl + а2 + аз + ... + аn -l + аn .
(2)
Эта сумма вычисляется по формуле
8
n
= (аl + а n )
2
Если х > 3у, а 3у >
12.
Ь, то а
+с
+ с или
Ь
>
а - с
>
Если к обеим частям неравенства 9 > 5
прибавить
7,
вычтем
то получим
7,
то получим
16 > 12, 2 > -2.
а если
(3)
*
Ь, то 5а
>
5Ь.
на
ное
и
число
одно
и
то
из,менить
же
можно вычислить по формуле
= 2аl + d (n - 1) 2
(сп) известно, что С2 и сумму первых
(4)
·n.
= -2, d = 3. пяти членов
Найдем прогрес
+ d,
сl
- d = -2 - 3 = -5. (1) найдем С5:
С2
По формуле
=
сl
+ d (5 -
По формуле
1) = -5
+3
2.
. 4 = 7.
ла
(3) найдем сумму первых пяти
членов данной арифметической прогрес
85 = (сl + С5) .5= -5 + 7 .5 = 5. 2 2 Можно вычислить эту же сумму
можно
(4):
2 (-5) + 3 (5 - 1)
85= 2 ·5= = -10 + 12'5 = 5. 2
L_~
Если
знак
того
изводится
3. по
Ь)
почленно
вычитать,
неравенства,
из
-
с
> >
Ь) Ь
-
а) Ь 1
оставляя
про
< d)
- d.
ас>
4.
>
О и с
О и О
Ь
щему,
начиная со
График функции
На интервале
(_00; О] функция убы
+ 00) -
возрастает.
Минимум функции равен нулю. Промежутки знакопостоянства: функ
x 2k принимает положительные
=
х
*-
О. в точке Х = О
ется парабола, ветви которой направле ны вверх.
Свойства функции у = x 2k + 1 (с нечет
убывающая прогрес-
положительным показателем
ни), где
геометрической прогрес второго,
равен
bk+l = bk . q, где k = 1, 2, ...
(2)
степе
число натуральное
2.
Область значений:
3.
Функция нечетная, так как
предыду
умноженному на знаменатель про
k -
Например, у = х з , у = х 5 (рис. 2) и т. д. 1. Область определения: Х Е R
прогрессия не яв
грессии, т. е.
L
+ 00).
она равна нулю. Графиком функции явля
=
сии,
[О;
значения при всех
ным
ту же натуральную степень. Например, при
a k > bk
4. 5. 6.
Свойства геометрической прогрессии
ными членами можно возводить в одну и
полуинтервале
симметричен относительно оси Оу.
вает, а на интервале [О;
ляется монотонной.
Обе части неравенства с положитель
множество поло
-
3. Функция четная, так как (-x)2k ... x 2k ,
1
1 2, q = -3 2, -6, 18, -52, 156 -
О
-l _ _ _гдеа>О,ь>о', _ _ _ _kEN. _ _ _ _ ...J
q =
R
поэтому ее достаточно исследовать лишь на
= 1, q = 2
= 24,
Область значений
ция у
1,2,4,8, 16 -
в) Ь
Ь
>
множество
[0;00).
О и
сия;
умножать.
>
q
-
жительных действительных чисел, т. е.
При,меры. Определим первые пять чле
которого
(с
про
тонной.
вычитание.
а и
>
Если Ь 1
Область определения
действительных чисел.
будут чередоваться и она не будет моно
Неравенства противоположного смыс
Например, при (а
сии:
формуле
смысла
+ (с > d) а + с > Ь + d.
откуда
следует, что
убывающей.
складывать.
Например, при (а
С2 = сl
q.
1
Рис.
1.
то геометрическая прогрессия будет
возрастающей; если Ь 1
одинакового
О
геометрической
вый член Ь 1 и знаменатель
Действия снеравенствами почленно
q *-
О,
(1)
прогрессию (Ь n )' достаточно знать ее пер
q> 1,
Неравенства
*-
х
10
-1
Для того чтобы задать геометрическую
и к делению.
1.
k - число натуральное Например, у = х 2 , У = х 4 (рис. 1) и т. д.
грессии не может быть равен нулю.
ножением на число, обратное делителю,
можно
(с четным
..·=
ни один из членов
-Ь.
то аналогичные правила можно применить
Решение:
=
Ь, то а
При,мер. В арифметической прогрессии сl
ческой прогрессии
Если обе части верного неравенства
ное
членов.
геометрической
умножить на одно и то же положительное то
...
Согласно определению, члены геометри
ее /Срайних членов, у,множенной на число
Sn
,меnателе,м
+ Ь > с следует, что а > с - Ь, а + Ь - с > О. Например, х + 9 > 4, х > 4 - 9, х > -5. 5.
nрогрессиеи:
Число q, не равное нулю, называетсязnа
4. Любой член неравенства можно пере
а
гео,метричес/Сои
Ь 1 , Ь 2 , Ь З ' ... , Ь N '
При,мер.
на противоположный, то получится вер
Sn
шествующе,му члену, у,множенно,му на
Ь - с.
,метичес/Сой nрогрессии равна nолусу,м,ме
Иначе
дый член, начиная со второго, равен nред
получится верное неравенство, т. е. если
>
I
член /Соторой отличен от нуля, а /Саж-
ства прибавить одно и то же число, то а
зывается
Числовая последовательность, первый
то х >
12,
од по и то же число, nе р.авnое пулю, ,nа-
Определения
Если к обеим частям верного неравен
3.
Например, если а
.n
Су,м,ма n последовательных членов ариф
10
I
При,мер.
I I I I I
Геометрическая прогрессия
9.
1. Если а > Ь, то Ь < а.
2. Если а > Ь и Ь > С, то а > с.
его знак на противоположный, т. е. из
арнфметической прогрессии
Sn
I I I I I I I
г----~-----T-----------I
Свойства неравенств
нести из одной части в другую, переменив
Сумма членов
Обозначим
I
у Е
R .
(-х) 2k+l = _x2k +1 .
I ~
График функции симметричен относи тельно
начала координат.
~-...J
11
г-----------T-----~----I Функция возрастает на всей число-
4.
вой оси. В самом деле, если О
то x 2k + 1 < x 2k +1 1 2
Если Хl k 1 xr +
(основание степени).
I
Свойства функции у = аХ при а
(2) следует, что если все чле
1.
ны геометрической прогрессии положи тельны, то
положительное число, не равное единице
I I I
11. Показательная функция Показательной функцией называется функцuя вида у = аХ, где а - некоторое
т.
Из формулы
г----~-----T-----
I
Область определения
-
2.
Область значений
-
т.
Х
Функция
если х
6.
аХ (где а
О, а"#
>
1
'
Ц~,/
график
а> 1
\1 '" \O~.,; Х
1
Х
О О, где а, Ь, с - действительные числа, а О. (Вместо знака > может стоять любой из знаков ~; ::;; 1 отрицательны, а логарифмы чисел О < N < 1 положительны.
левую
ь 2 - 4ас могут иметь место три случая: 1. Если D < О, то график квадратного уравнения у = ах 2 + Ьх + с не пересекает
(~)2 =~c4d2 =~c3cd2 =cW; =
*
ответствуют и равные логарифмы,
сомножители.
В зависимости от знака дискриминанта
Например,
81 = -4.
раскладывая
на
Решение неравенства ах 2
выражение:
~ =(~)n, a~O.
-4.
1. Логарифмы существуют только для loga N (где а > О и а 1) существует, если N > О. 2. При основании а > 1 логарифмы чи
положительных чисел, т. е.
4.
Ь ~.
действительные числа, кроме нуля.
сте·
ние:
1 81'
Обозначив показатель степени через х, по-
лучим
эту
Справедливо и обратное преобразова
степени, в которую нужно возвести осно
3Х =
в
(~( =~, a~O.
3
3,
возвести
Если Ь
ах 2 > О
D
Решение. а) Логарифм
вание
достаточно
интервалов,
неравенства
(_oo;_~) И
Чтобы возвести корень в какую-либо
степень,
-
Ответом будут два промежутка:
При меры вычисления логарифмов
1
к новому основанию
Свойства логарифмов
Например,
Таким образом, неравенство решаем ме часть
Основные свойства
О, то неравенство име
>
Неравенство имеет два корня: О;
n
Вычислить:
Если с = О, а
17.
логарифмов. Формула перехода
ет вид ах 2 + Ьх > О, ах ( х + ~ ) > О.
делителя, показатели будут одинаковые:
n
I I I I I I I I I
решениями неравенства.
деления корня из делимого на корень из
m
Решение
16.
квадратных неравенств
=
О.
I ~
1
log! 32; б) lоg,JЗ 81' 4
1
Решение. а) Основание логарифма "4'
число 32. Эти числа кратны 2, поэтому
~-...J
17
г-----------T-----~----,
I I I I I
удобно перевести логарифм к основанию 1 по формуле (1) , где а = -4; Ь
log 32 10g.! 32 =--2-1-
Получим
10g2
4
25
т. к.
=
32', 2-2
ере ведем
5 = -2
и с
= 2.
=-2,5,
4"
=.!. . 4
Ответ: -2,5.
б) П
=
32
2
1 1og.j3 81
к основанию
3,
I I
I I I I I I I I
Эти точки раЗбива~т чис~овую пря.мую на три промежутка. (- 00, хl), (Хl'Х2)' (Х2; + 00). Если а > О, то решением неравенства
1· I
будут два промежутка, где квадратный трехчлен положителен: (-ОО;Хl) и (Х2; + 00) (рис. 3);
I I • Если а < О, то решением неравенства будет промежуток (хl; Х2)' где квадратII ный трехчлен положителен (рис. 4).
получим
з 1 1 _ lоg 81 log.j3 81 - lоg J3
з
Ответ:
m О
1
=(-4) : 2" =-8.
-8.
Отметим простые следствия формулы перехода:
1
*
.
b
log 1
I
log a Ь. Ь = -k, Ь =
-log a
Ь
3
Рис.
%,
%
, (k
=
-1).
а
единственным
если
будут
два
(-ОО;Хl) и
промежутка:
{(-х)
выполняется неравенство {(Х2)
>
у
х З , у = sin х, у = tg х, У = ctg х.
=
(-х)з = -х З , sin (-х)
Хl'
=
{(Хl)'
>
-tg
х,
ctg
(-х) =
соответствует меньшее значение функ·
ции {(х), т. е. для любых Хl и Х2 из проме Хl' выполняется
Функция только возрастающая или жутке называется мокотоккой на этом
Рис.
промежутке.
ется четной или нечетной. Например, каж
по ее графику. Например, функция, гра
фик которой изображен на рис.
1,
дая из функций у = 12х + 1, у = х 4 + х, У = (х + з)2 не является ни четной, ни
возра
стает при всех значениях х. Функция, гра фик которой изображен на рис.
(Хl;+ОО),
нечетной.
убывает
2,
на промежутке
(-00; О] и возрастает на
промежутке [О;
+ 00).
I-----~----
+.*
хl) и
I I
то хl исключается из решений неравен
ства (рис.
5). • Если а < О, то неравенство ах2 + Ьх + с > О не имеет решений (рис. 6).
Рис.
1
Рис.
~
2
Четиые инечетные функцин
Функция у =
{( х) называется четкой,
функции выполняется равенство
19.
Геометрическая прогрессия Сl' С2' ... , Сп' ... ,
знаменатель которой
У=
Ixl ' у
=
=
=
Сумма членов бесконечно убывающей
8=~. 1-q Пример
сов х.
2
х 2 , (-х)4
=
х4 ;
I-xj = Ixl;
2,
2
3' 9'
Найдем
сумму
геометрической
(1) бесконечно прогрессии
2
27""
Решение. В данной геометрической про
сов (-х) = сов х.
Графики четных функций симметрич ны относительно оси Оу (рис.
а
-sin х, tg (-х)
х.
относительно начала координат (рис.
на данном числовом промежутке Х, если
О, то решением неравенства I (хl; + 00). Так как неравенство(-00; строгое, Ь
Функция у
кой, если для любого х из 06ласти опреде
Функция {(х) называется возрастаю
уравнения касается оси Ох в точке Хl' являющейся
Свойства функций
щей на данном числовом промежутке Х,
3. Если D = О, то график квадратного
log a Ь = log а ' logak
Рис.
i
%,
18.
Монотонные функции
I I I
а < О
'
г----~-----------------,
грессии
3).
1
q=3.
Используя формулу
(1),
получим
\1"/
--~--- 18
l.. - - - - -Рис. 6 --
..J
L
+
Рис. З
2 8=--1 =3. 1- 3
_
..l.
~ _..J
19
г-----------------~----I Из рис.
Периодические функции Фунжция
f( х)
видно, что значения периоди
ческой функции у
называется nерuодUч'ес
через промежу
= f(x)
Т 1:- О,
ток, равный периоду Т, повторяются. Это
что при любом х из области определения
обстоятельство используется при постро
мй, если существует такое число
функции числа
х
-
Т
и
х
+
Т
ении графиков периодических функций.
также
Например, периодическими являются
принадлежат этой области и выполня
ется равенство f (х)
=f
(х
-
Т)
=f
(х
+ Т).
тригонометрические функции у
В этом случае число Т называется пери
f
одом функции Если
дение
-
Т
период функции, то произве
где
Tk,
(х).
k Е Z, k
1:- О
, также
явля
Рис.
nревосходит
= f(x)
называет
График ограниченной функции лежит целиком в полосе между прямыми, парал
лельными оси Ох, проведенными на рас стоянии А от нее. Например, ограниченными являются
-----~------I Найдем сумму бесконечно
I
убывающей геометрической прогрессии
2
-3' 9' - 27' ...
Решение. в данной геометрической про
грессии q = _! . Используя формулу 3
получим
s=~( 1)=~' 1- --
= sin х, Isin xl :5: 1, ICOB хl :5: 1.
функции у
(1),
I I I I I
у
= cos
х, так как
Если график функции у
а
>
О, и в положительном направле
нии оси Ох на lal, если а < О (рис. 3).
известен,
\
(параллельного переноса, осевого и цент
ральной симметричного отображения и
Уl
сложных функций.
при
Ь
Ь
Ь
r
График функции
в а раз при а
ного числа А, что If(x)l:5: А при всех х, то функция f(x) называется кеоzраНUч'еккоЙ.
оси в
1
а
(Х
раз от
Рис.
получается
f(x) вдоль оси Оу
О
График функции
1
+
вверх по оси Оу на Ь, если Ь оси Оу на Ь, если Ь
о (рис.
О, и вниз по
4).
у
\
~
Х
О
Х
у
< а < 1 (рис. 2).
'(Х) - ь
\
-3
ми.
Х
10
-ь~
у = Ixl являются неограниченны
3 f(x)
параллельным переносом графика f(x)
Например, функции у = х 2 , У = х , х
Х
Рис.
2.
3
у = -,
Х
3)
О
> 1 и сжатием вдоль этой
раз при
О
у
(рис.
1 растяжением графика
-2
получается
или растяжением в
оси Оу при
jf(X)
---f-;
т. п.) можно построить графики более
Рис.
4
Промежутки знакопостоянства и корни функции
Симметричное отображение
Числовые промежутки, на которых фун
графика функции
1.
кция сохраняет свой знак (то есть остает
График функции у =
f(-x) получается
симметричным отображением графика
ся положительной или отрицательной),
функции f(x) относительно оси Оу (рис.
Х
*
называются промежутками знакопостоян
I I I I I I I I I
если
то с помощью некоторых преобразований
Если не существует такого положитель
ства данной функции.
5).
у
О промежутках знакопостоянства той
или иной функции легко судить по ее гра
фику. Значение аргумента х из той обла сти определения функции у, при которых
она обращается в нуль, т. е.
Х
f(x) = О, назы Х
ваются корнями данной функции.
L_~--------~-----------~
20
преобразования I 20. Геометрические графиков функций I = f{x) I I I I I 1. f(bx) I сжатием графика f(x) в Ь раз к оси Оу 1 I > 1 0< < 1 1). I I I ~
~
i ~X-l~ -1 I I ~
i I ~'();'X -1 I 1 I 2. af(x) График функции
всех х.
5
г----~-----------------I
Растяжение и сжатие графика функции
положительноечисло А, что If(x)l:5: А при
~
3
х,
ся ограниченной, если существует такое
~x)
2,
= tg
И У
= 1t •
гими словами: функция у
ным периодом Т.
2
х с периодом Т
2л
какого-либо положительного числа. Дру
приведен график периодичес
кой функции с наименьшим положитель
2
= ctg
=
значениях аргумента не
ложительный период.
2.
у
Т
если ее абсолютное значение при любых
ке обычно рассматривают наименьший по
При мер
х с периодом
Функция называется ОtраКUч'еккой,
конечное множество периодов. На практи
5
= cos
х,
функции
всякая периодическая функция имеет бес
На рис.
у
= sin
Ограниченные инеограниченвые
ется периодом функции. Следовательно,
I I
5
Рис.
Рис.
2
щим образом: та часть
графика функции
I
График функции f(x
lf(x)1
получает = f(x) следую графика у = f(x),
ся из графика функции у
Параллельиый переное
1.
5
2. График функции У =
которая лежит над оеью Ох, сохраняется,
+
а) получается
параллельныМ переноеом графика
f(x)
в
отрицательном направлении оси Ох на lal,
а та его часть, которая лежит под осью
Ох, отображаете" симметрично относи
тельно оси Ох (рис. 6).
L _ _ ~ _ _ ~~_~--_--
-~-~_~
21
г-----------------~----I
,У!
~(x)
t
Рис.
3. График функции у = f
Ixl
из графика функции у
=
образом: при
график функции
х ~ О
f(x) следующим
у = f(x) сохраняется, а при х
< О получен
ная часть графика отображается симмет
рично относительно оси Оу (рис.
7).
Рис,
У
\
Теоремы логарифмов
9
Рис.
При м е р
ции у =
IxI
Построить график функ
1.
Построим график функции у
= х.
Часть
этого графика, лежащую над осью абс цисс,
сохраним,
а
часть,
лежащую
При м е р
I I I I I I I I
ции у =
2.
О,
а '#
числа
1,
Ь
>
loga О и с
Ь
>
и вер
= logab + logac,
(1)
+ и(х),
О,
а '#
и Ь
1
>
loga
Ь
,
= и (х
то есть
logabC 11
11,
М(х) ~x
Пусть существуют числа
loga
(рис. 12).
и
Ь
Тогда существует число loga ё и верно
11
loga ...........2
ь
ё
= loga b -logac,
(3)
Теорема 4. Если основание а логариф
х
АХ--+О
~
tjo
отличную от
12
нуля,
(4)
Построить график функ
- 1
(рис.
а)
Ix -11 (рис. 10), у = Ix -11- 1 (рис. 11).
у =
О для лю
u'(x)v (х) - и (х) v'(x) v 2 (x) u'v - uv' (vи J' = --v-
2- '
Тогда и(х) = и(х) {(х).
10g12 4 + 10g12 3 = 10g12 4·3
Найдем производную функции и(х) по
=
правилу
= 10g12 12 = 1;
дифференцирования
произведе
ния:
48 log2 48 -10g2 3 = log2 3 =
= log2 16 = 4;
13
в) 19 13 - 19 130 = 19 = -1;
130 г) lоgз 81 = lоgз 92 = 21оg 9 = 2.2 = 4. б)
L
'#
и(х)
Примеры. Вычислим:
9),
и'(х) + и'(х).
Пусть f(x) = v (х) .
дующих функций:
у = х
=
~x
Доказательство.
6
logg 64 = 10g23 26 = з1оg2 2 = 2.
Последовательно построим графики сле
АХ--+О ~x
тервала (а; Ь), причем v (х)
Короче,
Например, 10g2 4 = log2 3 43;
Ilx - 11- 11 .
Ах--+О ~x
имеют nроизводные во всех точках ин
( и(х»)' v(x)
то значение лога
logab = loga c Ь С ,
8
~x
бого х Е (а; Ь) , то
рифма не изменится: Рис.
~и
~x
I
I
'-----~---- I 23. Производная частного
I Теорема. Если функции и(х) и и(х)
рифма, возвести в одну и ту же степень с,
~и
~x
Нт ~и + Нт ~и
ма и число Ь, стоящее под знаком лога
-1
~x
двух функций
равенство
о
+ ~и
~и
АХ--+О ~x
Ь
+ v (х + ~x) - v (х) =
м(х) _ l'1т (~и -- +~и)_ - f '( х ) -- l'1т -
разности
loga с , т. е. а > О, а '# 1 , Ь > О и с > О.
и (х)
--=---=-+-.
(2)
логарифмов делимого и делителя.
а часть его, ле
метрично этой оси, получим график функ
Ilx -11-11
=с logab,
+ ~x) -
Логарифм частного двух
положительных чисел равен
жащую под осью абсцисс, отобразив сим
ции у =
3.
+
Найдем отношение
loga Ь С и верно
равенство:
Теорема
и(х)
=~и + ~и.
О. Тогда для любого
числа с существует число
Пусть {(х) =
найдем {'(х). Вычислим
М(х) = f(x + ~x) - f(x) =
= и (х + ~x) + v (х + ~x) - [и (х) + v (х)] =
произведению nоказателя степени на
>
х Е (а; Ь).
Доказательство.
Логарифм степени равен
2.
r
для любого
О.
с)
loga(b·
тервала (а; Ь), то
и
логарифм ее основания.
L_~--------------------~
22
>
loga (Ь . с)
8).
Рис.
т. е. а
Теорема
под
~1/' 7г
,
существуют
но равенство:
осью абсцисс, отобразим симметрично
этой оси (рис.
с
Логарифм про изведения двух
Пусть существует число
осью абсцисс на рис.
функции
[и (х) ± v (х) = и'(х) ± и'(х)
1.
Тогда существует число
Сохранив часть графика, лежащую над
Примеры построеиия графиков
I
а
Рис.
7
рифмов сомножителей. loga
~
двух функций
Теорема. Если функции и( х) и и( х)
имеют nроизводные во всех точках ин
11
У! )Y-f(IХI)
Производная суммы и разности
положительных чисел равен сумме лога
Пусть
10
22.
I I I
Теорема
~
получается
I
Логарифмирование
и потенцирование
-v
6
Рис,
21.
~
'Y=lf(x)1
~
x
г----~-----T-----------I
з
и' = (vf)'
I
= и'! + vf'.
Найдем из этой формулы (, подставив
f его значение:
вместо
I -и ~' I f' = и' - и'! = v = и'и - и'и ~ _ _ ~ _ _ ~ _ _ ~-~ и
-и
23
г----~-----------------I
г-----------T-----~----I
Таким образом, (и ± v)' = u'(ж) ± v'(ж) .
Производная алгебраической суммы
функций равна сумме nроизводных этих фу/t/щий (правило справедливо для любого количества слагаемых). Примеры:
(2х 3 + 3х -1)' = (2х 3 )' + (3х)' _ (1)' = =2(ж 3 )'+3(х)'-0=2.зх 2 +3=6х 2 +з; 1 (х3+/;)'=(х3)'+(/;)'=зх2+-. 2/;
I I I I I I I I I I I I
Логарифмирование
Прологарифмировать алгебраическое
выражение - значит выразить его лога рифм через логарифмы отдельных чисел,
входящих в это выражение. Это можно сделать, используя теоремы логарифмов.
Пример. Прологарифмируем з51:2 5а "Ь"
Х=-4---' а>О Ь>О с>О с (а+Ь) , , ,
т. е. найдем
Следовательно, Пример.
(э;:х J
(х 3 )' sin х - x 3 (sin х)'
sin2 х
зх 2 sin х - х 3 соэ х
sin 2 х
I I I
I
19 х .
,
/ ; < О, / ; $ -2. Первые два неравенства справедливы на множестве всех действительных чисел, вторые два
неравенства не
имеют реше
ний, так как не верны при любом значе
нии х из области определения (х ~ О).
(1):
Иррациональные неравенства по теоре мам равносильных преобразований заме няют системой или совокупностью сис
О'
{2 _х < О;
[{
+ 2 ~ О.
Х > 2;
$2;
х
{(х - ;)(х - 2) ~ О. х
> 2'
Видим,
что первая система равносиль
ной совокупности
не имеет
х>
~
Потенцирование
Теорема
Рис.
>
О, с
>
Решение. Используя формулы
(2), (1)
и
j
g(x)
Знак
[
теоремы
преобразования.
позволяют
допустимых
~ О.
установить
Данные
х ~
5;
х $
-2; 3
,
х О имеет отрицательный дискриминант
рат
довательно, это неравенство справедливо на
правую
и
левую
освободиться
части
неравенства,
от иррациональнос
Необходимо
помнить,
что при возведе
нии в степень может получиться, что об
ласть
значений
неизвестного
исходного
неравенства будет только частью области значений неизвестного венства. водить
R,
т. е. х
На рис.
ти.
полученного нера
мы
2
решения.
(D
О.
3.
~ > JiW {f(X) > g(x);
получим
1 неравенство
х 2 - 3х -10 < (8 - 5х)2;
{ '(х) ~ О.
I (3), I 19x =lga2 -lgb5 +lgc~ = I 2 I = 19[a2 . c~ J-lg ь5 = 1g a ь?f3 5 • I 2 I Ответ: х = a ?f3 • I I I I I I
L_~--_-----~--_--
X2
g(X) < О;
Теорема
Решим неравенство
ним системой неравенств:
~ > g(x) I '(х) > g2 x ;
О.
2.
~x2 - 3х -10 < 8 - 5х.
g(X) ~ О;
Найдем выражение для х.
(2; + 00).
Решение. По теореме
{
3 19 х = 21g а - 51g Ь + 71g с, О, Ь
Ответ: Пример
2.
обратное логарифмированию.
Пример. Дано:
х
2
1.
j
это преобраЗОВ8ние,
~
функции переменной х.
'(х) < g2(x).
-
х
2
f(X) ~ О;
~ < g(x) g(x) > О;
Потенцирование
а
1) при
2.
Теоремы равносильных преобразований
-41g с -lg(a + Ь).
решения,
вторая система имеет решения (рис.
шению системы неравенств.
Теорема
2 неравенство заме
х - ,
х - 3х + 2> (2 - х)2;
+lg(a+b)]. '(х) и g(x) -
I
2
тем неравенств, и решение сводится к ре
2 = 195 + 31g а + S-lg Ь
>
{2 _ >
х 2 _ 3х
~х 2 + х + 1 > -2, ~х 2 + 1 > -1,
и раскроем скобки:
где а
Решение. По теореме
3х + 2 > 2 - х.
-
ним двумя системами неравенств:
тыре неравенства:
ь5
24
иррациональным.
тельно либо равно нулю. Рассмотрим че-
Выполним преобразования по формуле
19 х
называется
Иррациональное выражение имеет смысл только в том случае, если оно положи-
10' =[195+lga' + 10b~)
(2)
Решим неравенство ~х 2
ство
Логарифмы произведений заменим сум
-[lgС 4
Пример 1.
Определение Если внеравенстве присутствует ирра-
19 х = 19(5a 3 WЬ2) -lg [с4 (а + ь)]. мой логарифмов по формуле
24. Иррациоиальныенеравенства
циональное выражение, то такое неравен-
По формуле (3) запишем:
*
I I I - - - - - k - - - - - - ,I u'v - v'u I 2- . (vи J' = --v-
выражение
I I I I I I I I
Получим х $
-2.
2
Ответ:
(_00; - 2].
~-~
Шпаргалки по алгебре и геометрии
25
г-----------------~----I
I I I I
Пример 3. Решим неравенство + Jбх _ х 2 > 3
J9 - х 2
Можно выбрать любое значение из данного промежутка.
.
Решение: Jбх - х 2 > 3 -
J9 -
Если это значение удовлетворяет нера
х2 .
венству, то и все остальные значения со-
Определим область определения данного неравенства:
j
б
2
воряют.
О
х 2 ~ О.
х- х ~ ,
90
х)(3 + х) ~ О.
х (б - х) ~ О,
{(3 -
0< -
х
бх - х 2 > 9 -
значение из проверяемого промежутка ему также
.
+ 9 - х2 ,
БJ9-х2 >18-бх; J9-x 2 >3-х; 9 - х 2 > (3 - х)2; 9 _ х 2 > 9 _ бх + х2, бх-2х 2
>0, х(3-х»0, откуда 1) х > О и 3 - х > О, значит О < х < 3;
2) х < О и 3 - х < О, не имеет решения. В ответ запишем те решения неравенства, которые входят в область определения неравенства; в данном случае все ре-
шения входят в область определения не-
равенства, это О < х < 3.
~
х 10 - х > х Решение:
1. ний
Рассмотрим неравенство
g(x) -
f(x) > g(x) на
непрерывные функ
ции на отрезке от а дО Ь. Из
рис.
3
очевидно,
что
неравенство
g(x)
Рис.
х,Ь
3
Находим область допустимых значе
дим
Решаем уравнение
~ 3 Рис. 4
f(x)
=
g(x)
и нахо
корни уравнения, исключив посто
.
4.
L.Ц
=:
и'.
Нт .:lu(x)
=:
'ДX~O.:lx
и'
ы~O
.:lx
ти. Таким образом, третье слагаемое при
получим О > 4, т. е.
.:lx
О получим О
~ О
т. е.
в) при х =
J10
по принципу непрерывнос
значения
всех
трех
ром выполняется данное неравенство.
+(х
Ответ: (--/2; 3).
[(2х -7) х 2
Элементарная
J
=
2х
=6х 2 L
=:
4fБ'
при условии
и
и=х
(аХ)'
= аХ lпа,
а> О, а
(а И )'
'* 1
=е
=f (х)
=а
и
lпа· и',
а> О, а
'* 1
(е и )' = е и . и'
Х
(log a
+ 1;
=
2х 2
I Сложная ФУНКЦИЯ при условии
u =f (х)
и=х
(2х -7)'х 2 + (2х -7)(х 2 )' =
= 2х + (2х -7)· 2х промежутков.
3
4
Сложная ФУНКЦИЯ
ФУНКЦИЯ ПрИ УСЛОВИИ
ФУНКЦИЯ
r
2
_!
Формулы дифференцирования
ПрИ условии
2+Х +3 =
'4 Х
•
Элементарная
+ 3)(х - 2)' = 1 (х - 2) + (х + 3) . 1 =
=х -
=:
Производвые показательных функций
[(х + 3)(х - 2) = (х + 3)'(х - 2) +
Итак, есть лишь один интервал, в кото
100х99
3
'4 х4
функций
f'(x) = и и'(х) + и' v (х).
Примеры.
=:
=:
Формулы дифференцирования
слагаемых,
получим
получим О > 4, т. е.
(x100 )'
~-1
3
х
=
I I I I I I I I
Производвые логарифмических
стремится к нулю. Подставив по
лученные
> -6,
~ О
"х
(е Х )'
L.Ц
.:lx
( g(x) выполняетсяна отрезках [а; хl) и (Х2; Ь], где график функции f(x) распо ложен выше графика функции g(x).
ах,
б.
2. Решаем уравнение xJ10-х2 =х2 -б,
х
элементарных функций
М(х) = и(х + .:lx) и(х +.:lx) - и(х) и(х).
10-х 2 ~O, (.J10-х)(.J10+х)~0,
тей
и
-
26. Производные
двух функций
Проверка по знаку левой и правой час
Решение неравенств методом интервалов
f(x)
2
25. Производная 'Произведения
Пусть
удовлетворяет.
1,2.
Ответ: (О; 3).
[а; Ь], где
не
г----~-----T-----------I
I I I I I
Пример. Решим неравенство
Возведем в квадрат правую и левую части неравенства, получим ~ б,,9 - х 2
Если проверяемое значение не удовлетворяет неравенству, то и никакое другое
I I I I I
+ 4х -14х = 2
х)'
(lg х)'
=_1_ хlпа
=0,4343 х
(1пх)' =.!.
-14х;
х
~
(loga Ig и
и'
'
и) = - ulпа
=0,4343 и' и
lnu =.!..u' и
~-~
27
г-----------T-----~----I Пример. Н~йдем производные следующих функции:
a)y=x+lnx;
б) у = 5 19x;
в) у = log2x.
I I I
к графику функции
Производная фун"ции в точ"е хо рав
за звак производной
Постоянный множитель можно выно
на тангенсу угла на"лона "асательной,
nроведенной
2,1715
х
х
нимает исходное положение ОА.
I
: м[%о;
= О· лх) + Cj'(x) = Cj'(x).
Производные
2
функций
Формулы дифференцирования
Элементарная
Сложная
функция
функция
u =х
при условии
u =f(x)
(sin х)' = cos х
(sin и)' = cos и . и'
(cosx)' = -sinx
(cos и)' = - sin u· и'
1 (tg х)' = --2 cos х (ctg х)' = _ _1_ sin 2 х
о
х
%0
Примеры.
тригонометрических
*
Рис.
[5х J' '5 (х )' '5 ; [х: +2Х]' ~[x:]' +(2х)'= = 1
2
=. 2 х
k = tg а в
этом
смысл
1 зх 2 = в(х 3 )' + 2(х)' = 8 + 2.
=
1
Рис.
~: = {'(х).
lim
АОВ (обозначается
лучей с общим началом и ограниченной
называют угловым
k = tga
эффициентом
прямой,
-
а угол а
Если
О, то О
k >
О при х Е ( 1tk; ~ + 1tk).
где х
Так как точка В принадлежит окруж
Функция периодическая с наимень
Функция
-
единичной
ции.
tg
О
в
tg(-x) = -tg х
5. Нули функции: tg х = О при х = 1tk. kE Z; 6. Промежутки знакоnостояnства:
900
7t
2
Функция нечетная:
tg (х + 1tk) = tg х , k
4
J3
III множество
-
области определения функции.
7t
3
kE Z.
Область изменения
cos а = х ,
шим
6
2
:r
для всех х из области определения функ
4.
Для нахождения значений тригономет например
1t
X="2+1tk,
3.
значение триго
450
А
множество
-
всех действительных чисел, значит,
нометрической функции.
00
определения
функция неограниченная.
х
ФУНКЦИЯ
Область
1.
1
всех действительных чисел, кроме чисел
вида
на проме
Е
а
получен радиус ОВ (см. рисунок).
функций
водную при любом значении аргумента:
32
радиуса ОА вокруг точки О на угол
являются функциями чис
Каждому допустимому значению
Функция nеnрерывна и имеет произ-
L_~
sin а
этого угла. Таким образом,
Наименьшее значение функции:
сов х = -
четверти плоскости. Пусть при повороте
соответствует един
единственное значение синуса и косинуса
О
-1
тождества
торые называют четвертями (или н:вад
Значения тригонометрических
до
I
ственная точка В (х; у) и, следовательно,
Наu60льшее значение функции:
сов х
а
ответствует единственное
k Е Z.
1).
одного и того же угла
Основные тригонометрические
раnтами) и нумеруют их так же, как и
функции:
[21tk; 1t + 21tk],
и ее rpафик
Соотношения между
Единичная окружность осями коорди
Аргумента
Функция убывает от
tgx называют тан
32.
тригонометрическимифункциями
tg а = J!.... = sin а, ctg а = ~ = c~s а . х cos а у sш а
kEZ,
-1 до 1 на [-х + 21tk; 21tk], k Е Z .
= tg:r
График функции у =
I I I
нат Ох и Оу делится на четыре части, ко
смысла.
Функция возрастает от
х,
Свойства функции у генсоидой (рис.
так как для этих углов дробь у не имеет
k Е Z.
tg
х и их графики
sin а = JL = у, cos а =.!.... = х, R R
О для всех
Монотонность
жутках
называется отна
ctg
Таким образом,
а, кроме значений
1t
cos
межутках
а
шение абсциссы точки В к ее ординате.
*
="2 + 1tk, k Е Z.
XE(-~+21tk;~+21tk).
7.
Коmaшеnсом угла
Свойства функций у = у =
смысла.
6. Промежутки знакоnостоянства: cos х > О для всех
Выведем формулу тангенса суммы двух
Е Z .
углов:
зн-акоnостоян-ства:
tg(a+~)= sin(a+~)
О для всех х Е ( 1tk ; ~ + 1tk ).
7.
фун-кции:
t ( ~) = соэ а соэ ~ g а+ cos а cos ~ cos а соэ ~ tg а + tg ~
=l-tgatg~·
жутков
(1tk ; 1t + 1tk) , k Е Z. Функция н-еnрерывн-а и имеет произ
водную при любом значении аргумента из области определения функции:
,
О и соэ ~
1
;t:
О.
1t ;t: 2 (2k + 1),
~;t:
sin а sin ~ cos а соэ ~
34
~
~
~
L
а
а
1t ± а 1t
и
1
21t ± а , а в 31t
формулы
таблице
2
для углов 2±а и 2±а
п+а
п-а
2п+а
2п-а
х
-sina
sina
sina
-sina
cos
х
-сова
-сова
сова
сова
tga
-tga
tga
-tga
ctga
-ctga
ctga
-ctga
х х
Таблица ФуНК ция
sin
1t
2 (2k + 1),
х
сов х
tg
х
ctg
~
х
1
AuгvмeHTX
sin
ctg
tg atg ~ ;t: 1 ; k Е Z. L_~
для углов
tg
соэ а соэ ~
t (а +~) = tg а + tg ~ , g 1-tg а tg ~
а
sш 2+ а соэа = (1t ) = _ sin = - ctg cos 2 + а
ctg(1t + а) = c~s(1t + а) = -c~sa = ctga. sш(1t + а) -sша
ция
Итак,
(ctg х) = - sin 2 х .
а)
~
Таблица
sin а соэ ~ + cos а sin ~
Функция убывает на каждом из проме
8.
;t:
.
sш а
ФУНК
Разделим числитель и знаменатель этой
лагая, что соэ а
Мон-отон-н-ость
~
дроби на произведение cosacos~, предпо
kE Z;
)=-
Все формулы приведения сведем в две
_ sin а cos ~ + соэ а sin ~ - cosacos~-sinasin~'
х < О для всех х Е ( - ~ + 1tk; 1tk ).
а
=-соэа
таблицы, поместив в таблице
I
соэ(а +~)
z;
ctg
k Е Z.
и разности двух углов
1t = 2 + 1tk, k
sш а
1t
1t tg (2 +
Тангенс и котангенс суммы
Нули фун-кции:
а
sin(21t + а) =sina , cos(21t + а) = cosa sin(21t - а) = -sina , cos(21t - а) = cosa
-----~----
Z для всех х из
а)= -sin а
соэ а, соэ
2-а
(
в левой части
ции.
ствами.
1t
COS(-2 +
с
)
cos 231t -
sina' a;t: 1t (2k + 1) ;
правой части a;t: 21tk, где k Е Z.
в
а
(31t
. sш
в левой части
функция н-еогран-ичен-н-ая.
а)= соэ а ,
sш
I
2
Область измен-ен-ия
2.
sin(2:2 +
31t
2 ± а и 21t ± а могут
I sш. (21- tа) = соэ а, соэ (21- tа) = sш. а I sin (1t - а) = sin а , соэ (1t - а) = - cos а
I . (31t) (31t) .
2 + =2 + =
tg~ = 1-cosa
Z.
всех действительных чисел, значит,
(6)
принадлежит угол 2"' а sina tg 2" = 1 + cos а' a;t: 1t (2k + 1) ; k Е Z
2
I
Формулы приведения
35.
Тригонометрические функции углов
2
AuГVJ ент Х 1t
2+
а
1t
2-
а
3п
т+
а
3п т-а
cosa -sina -ctga
sina
ctga
-cosa sina -ctga
-cosa -sina ctga
-tga
tga
-tga
tga
сова
~-~
35
г-----------T-----~----I Правила записи формул приведеиия
По табл.
1
и
2
легко проследить законо
мерности, имеющие место для формул при
так, чтобы он совпадал со знаком
сформулировать правила, с помощью ко
торых можно записать любую формулу
т.
приведения, не прибегая к таблицам: Функция в правой части равенства
берется с тем же знаком, какой имеет
является углом
2.
Для углов
1
zt ± а
2п
±а
1t
"2 ± а
и
3п
2 ±а
если
"2 -
а
выразить
cos а =
тангенс).
1.
упростим выражение
tg (Зп -
2
Решение.
Угол (З2п - а) лежит в
III
~ " I четверти I I I а ).
окружности, тангенс угла этой четверти
вилу, название функции изменяется с тан
tg
(3
1t
2
2tg~
-
лежит во
II
1).
Рис.
двух
и
[-1; 1] .
7t
до
"2'
принимая при этом все проме
значения.
е.
1
с
-1::;
на
::; 1,
промежутке
~ ; ~] существует единственный корень sin х =
с, его называют аркси
= arcsin
-1::;
с::;
1,
с.
на
зывается угол х, лежащий на отрезке
[-
котангенса разности
~; ~ ] , синус которого равен с.
Математическая запись данного опреде
arcsin 7t
где
7t
-"2::; х ::; "2 '
=
с
-1::;
с
sin
х, если
х
=
С,
::; 1 . Запись arcsin
с
читается так: угол, синус которого равен с.
ct (а + ~) = ctg а ctg ~ -1 , g ctga + ctg ~ а
что
ления такова:
~;t
хЕ
Функция монотонно возрастает от
4. Функция нечетная, т. arcsin (-х) = - arcsin х.
Арксинусом числа с, если
углов:
;t 7tk, ;t 7tk ,
Область изменения: у Е [ - ~ ; ~] •
жуточные
нусом числа с и обозначают х
Е Z .
суммы
2.
- 2"
= sinx
х уравнения
ctg (а + ~) = ctg а ctg ~ - 1 ,
ctga + ctg~
а
2
Рис.
[-
7t 7t ;t "2 (2k + 1), ~;t"2 (2k + 1),
котангенса
Область определения:
3. 7t
Х
1t
2
1.
Таким образом, для любого числа с, та
кого,
_ tga-tg~ g (а -~) - 1 + tg atg ~'
приведенным выше, получим формулы для
= -cosa.
(рис.
~··················-+-1
2tg
нус •.
а)
1
-i:
поэтому результат берется со знаком .ми ние функции сохраняется. Следовательно,
до
1t
-2
1+·····················~
у
х
~ ; ~] и принимает все у
Выполнив преобразования, аналогичные
Согласно второму правилу, назва
-1
[-
-1:
х монотонно возраста
sin
+ 1), k Е Z;
четверти. Ко
синус угла второй четверти отрицателен,
cos(7t -
ет на отрезке
ctga=~, a;t7tk, kEZ.
tg atg ~ ;t 1; k а)
Функция у =
l-tg 2 ~
а
а).
у
у = sin х до отрезка [- ~; ~] .
l-tg2~
t
Решение.
Угол (п
%
х приведен
2.
х
= arcsin
значения от
1t (2k
arcsin
График функции у =
на рис.
Сократим область изменения функции
половинного
tga=-_2_, a;t7t(2k+l), kE Z;
2.
cos (п -
Функция У
Аналогично можно доказать, что
-а )=ctga.
Упростим выражение
тангенс
х
L.
промежутке
четверти.
2 -----~-----
генса на котангенс. Следовательно,
Пример
через
1- tg 2 ~ 2, a;t l+tg 2
положителен, поэтому результат берется со знаком .плюс •. Согласно второму пра
IV
а число с
L,
= arcsin
и ее график
ние {(х) = с имеет единственный корень на
%
название исходной
косинус на синус, тангенс на котангенс,
Пример
или
II
Свойства функции у
цией на этом промежутке. Тогда уравне
2tg~
sina = _ _2_, a;t 1t(2k+l), kE Z; l+tg 2
функции изменяется (синус на косинус, котангенс на
угол
а
"2
• минус. ,
.плюс., если
или Ш четверти, и знак
арккосинус
монотонно возрастает
любое из зцачений, принимаемых функ
угла:
название
исходной функции сохраняется; для уг-
лов
ставится знак
1
но
четверти;
и
е.
угол
f
(или убывает) на промежутке
а
tg"2'
Тригонометрические функции угла мож
исходная функция, если считать, что угол
а
36. Арксинус и Пусть функция
В формулах знак перед корнем берется
ведения. Эти закономерности позволяют
1.
г----~-----------------I
sina
ctg"2=I_cosa' a;t27tk, kEZ.
а
Значения арксинуса можно найти по
таблицам или пользуясь калькулятором.
Функция у
a;t - ~ + 7tk, k Е Z. ~;t 7tk, a;t ~ + 7tk, k Е Z. 7tk,
=
sin
х, х Е [-~;~] имеет
обратную функцию х
= arcsin
cos (а + ~) = cos а cos ~ - sin а sin ~;
t
g(
а+
угол ~
_ tg а + tg ~ .
~) - 1 - tg atg ~ ,
равным углу а.
Тогда получим тождества
sin
2а
= 2sin а cos а;
cos 2а = cos 2 а - sin 2 а.
у. Обозна
чив, как это принято, аргумент через х, по
меняем местами х и у. Получим у
= aгcsin х.
arcsin х
Таким образом, функцией у =
cos 2а = 2 cos 2 а - 1.
называется переменная величина, лежащая
на отрезке
L_~
36
~
7t [ -"2;
2"п] '
синус
которои ра u
~
37
г-----------------~----I 5.
График функции пересекает оси Ох и
= arccos х
Свойства функции у
Сократим область изменения функции
у
= cos
38.
таблицам или пользуясь калькулятором.
Оу в начале координат.
Функция у
г----~-----------------I
Значения арккосинуса можно найти по
х до отрезка [О; л]
= arccos
у = tg х до интервала (- j ;j) .
На отрезке [О; л] функция У = соа х мо нотонно убывает от
У
при
этом
все
1
до
-1
На этом интервале
и принимает
и монотонно убывающая
бого числа с в интервале (- j ;j) суще
на нем от 1t дО О. Эта обратная функция
ствует единственный корень х уравнения
резке
х
-f1.·.·.·.·.· · · -·.·.·.~ Рис.
На этом отрезке функция у
- 1
до
1
(рис.
= cos
3).
х
[О; л]
х, то у
-1:5:
с:5:
cos
х
=
= arccos
1,
С; его на
равен
:5:
л,
с.
nеременная
1).
ла с (рис.
= arccos
величина,
1. 2.
Функция
хЕ
х:
R.
монотонно возрастает от
1t
до
2 ' принимая при этом все проме
жуточные
значения.
3. Функция нечетная, т. е.
arctg (-х) = - arctg х.
4. Функция непериодическая,
[О; л], косинус которой
-~
ограни
ченная.
если
-1:5: х:5: 1; 0:5: х :5: 1t • = arccos х приведен
5.
График функции пересекает оси Ох и
Оу в начале координат и имеет две асим
если
График функции у на рис.
= arctg
Область определения:
2
х
лежа
х.
птоты:
4.
у
=-
1t
2
и
у
=
1t
2.
косинус которого равен с. у
-----:k-----
II tg2a=~, (3) I 1- tg 2 а I 2 ct 2a=ctg a-1 (4) I g 2ctga Эти тождества называют формулами I двойного угла. I
I-----~---- Арктангенсом числа с называется угол
х, лежащий в интервале генс
-1
о
Рис.
На рис.
4
1. 2. 3.
*
Функция У
х:
Область определения: Область изменения:
хЕ
у
у Е [О; л].
= arccos
х не
х
в точке х =
1t
= arctg
у
или
= arctg
величина
у,
х
ле
j; j ), тангенс
=
х, х Е
arctg (tgx) =
х,
-
1t
на рис.
~
рических функций справедливы тожде
/{о
ства:
при ХЕ
и
_
х
ctg (arcctg х) = х
arcsin( sin х) =
х при Х Е [ -
arccos (cos х) = х
при
arctg(tgx)=x arctg (ctg х) = х
j; j
J
при х Е [О; л];
XE(-j;j}
при х Е (О; л)
.
Эти формулы непосредственно следуют
сящихся К обратным функциям.
1t
= arctg
Для любого числа СЕ х приведен
[-1;1]
справедли
вы тождества:
. с = - arcsln . ( -с) = arcsln
2.
(arccos х) =
R ;
с
L
и соа
[-1; 1]
При ведем еще несколько формул, отно
R;
2