Задача о складывании марок

Êîñòèí Â.À.

Êîñòèí Âëàäèìèð Àíäðååâè÷

ÇÀÄÀ×À Î ÑÊËÀÄÛÂÀÍÈÈ ÌÀÐÎÊ Äàííàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà ðàçáîðó îäíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàâøåéñÿ íåñêîëüêî ëåò íàçàä íà ãîðîäñêîì òóðå îëèìïèàäû ïî èíôîðìàòèêå. Åå âîçíèêíîâåíèå ñâÿçàíî ñ îäíèì èç ñþæåòîâ ïîïóëÿðíîé ìàòåìàòèêè - ñêëàäûâàíèåì ïîëîñîê ìàðîê. Ýòà òåìà ðàññìîòðåíà, íàïðèìåð, â êíèãàõ Ìàðòèíà Ãàðäíåðà [1] è Ãåíðè Ý. Äüþäåíè [2].  êà÷åñòâå ÿçûêà ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ âûáðàí ÿçûê Ïàñêàëü, íà êîòîðûé òàêæå îðèåíòèðîâàíà âñÿ òåðìèíîëîãèÿ, ñâÿçàííàÿ ñ ïðîãðàììèðîâàíèåì.

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå çàäà÷ó î ñêëàäûâàíèè åäèíè÷íîé ïîëîñêè ìàðîê. Ïóñòü çàäàíà ïðÿìîóãîëüíàÿ ïîëîñêà áóìàãè ôîðìû 1*n, ðàçáèòàÿ íà n åäèíè÷íûõ êëåòîê (ìàðîê). Âñå êëåòêè ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîíóìåðîâàíû íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè 1,...,n. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëîñêà ñêëàäûâàåòñÿ (ñãèáàíèåì ïî ëèíèÿì ðàçáèâêè íà êëåòêè) òàêèì îáðàçîì, ÷òî âñå êëåòêè íàõîäÿòñÿ ïîä îäíîé åäèíñòâåííîé. Òîãäà êàæäîìó òàêîìó ñêëàäûâàíèþ ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà f=, ãäå a1 - íîìåð êëåòêè, ðàñïîëîæåííîé ñâåðõó, a2 - íîìåð êëåòêè, ðàñïîëîæåííîé íåïîñðåäñòâåííî ïîä a1 è ò. ä. Îïðåäåëåíèå. Ïåðåñòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ñêëàäûâàåìîé, åñëè åé ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ñêëàäûâàíèå ïîëîñêè, è íåñêëàäûâàåìîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

94

Íàïðèìåð, ïåðåñòàíîâêà ñêëàäûâàåìàÿ, - íåñêëàäûâàåìàÿ.  êà÷åñòâå îïåðàöèè, çàäàííîé íà ìíîæåñòâå âñåõ ïåðåñòàíîâîê, ðàññìîòðèì áóëåâñêóþ ôóíêöèþ, èñòèííóþ äëÿ ñêëàäûâàåìûõ ïåðåñòàíîâîê è ëîæíóþ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ ýòîé ëîãè÷åñêîé ôóíêöèè ðàçáåðåì âíà÷àëå àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ àíàëîãè÷íîé ôóíêöèè, ïðèíèìàþùåé èñòèííîå çíà÷åíèå òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà åäèíè÷íàÿ ïîëîñêà ñêëååíà â êîëüöî òàê, ÷òî ïîñëå n-é êëåòêè ñëåäóåò ïåðâàÿ. Íàïðèìåð, ïåðåñòàíîâêà ïåðåñòàåò áûòü ñêëàäûâàåìîé äëÿ çàìêíóòûõ åäèíè÷íûõ ïîëîñîê ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà, à ïåðåñòàíîâêà îñòàåòñÿ ñêëàäûâàåìîé è â ýòîì ñëó÷àå. Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ñêëàäûâàåìûõ ïåðåñòàíîâîê, ñîîòâåòñòâóþùèõ çàìêíóòûì åäèíè÷íûì ïîëîñêàì: 1.Ïîðÿäîê ñêëàäûâàåìûõ ïåðåñòàíîâîê, ñîîòâåòñòâóþùèõ çàìêíóòûì ïîëîñêàì, ÷åòåí. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñâîé- a1 a2 ñòâà ââåäåì íà ïîëîñêå îðèåíòàöèþ. a4 Ñòîðîíó íåa3 a5 êîòîðîé êëåòêè ïîëîñêè ñ ... íîìåðîì i, an 1≤i≤ n, áóäåì

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 3-4, 1998 ã.

Çàäà÷à î ñêëàäûâàíèè ìàðîê íàçûâàòü íà÷àëüíîé (êîíå÷íîé), åñëè îíà ñìåæíà ñ êëåòêîé ñ ìåíüøèì (áîëüøèì) íîìåðîì. Äëÿ ïåðâîé (n-é) êëåòêè íà÷àëüíàÿ ñòîðîíà - ýòî òà, êîòîðàÿ ñìåæíà ñ n-é ((n-1)-é) êëåòêîé, à êîíå÷íàÿ - ñî âòîðîé (ïåðâîé). Îïðåäåëèì äëÿ íà÷àëüíûõ è êîíå÷íûõ ñòîðîí îðèåíòàöèþ. Ïóñòü çàìêíóòàÿ ïîëîñêà ïðåäñòàâëåíà â ñëîæåííîé ôîðìå. Âûáåðåì íàïðàâëåíèå â çàâèñèìîñòè îò ðàñïîëîæåíèÿ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé ñòîðîí êëåòêè ñ íîìåðîì 1 îòíîñèòåëüíî åå öåíòðà. Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëüíàÿ ñòîðîíà ïåðâîé êëåòêè íàõîäèòñÿ ñëåâà, à êîíå÷íàÿ - ñïðàâà. Òîãäà íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì ñòîðîíàì äðóãèõ êëåòîê ïðèïèñûâàåòñÿ íàïðàâëåíèå â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ðàñïîëîæåíû ëè îíè ñ òîé æå ñòîðîíû, ÷òî è íà÷àëüíàÿ èëè êîíå÷íàÿ ñòîðîíà ïåðâîé êëåòêè. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå íà÷àëüíûå (êîíå÷íûå) ñòîðîíû êëåòîê ñ íå÷åòíûì íîìåðîì ðàñïîëîæåíû ñëåâà (ñïðàâà), à êëåòîê ñ ÷åòíûìè - íàîáîðîò. Ïîýòîìó îòîæäåñòâëåíèå íà÷àëüíîé ñòîðîíû ïåðâîé êëåòêè ñ êîíå÷íîé ñòîðîíîé n-é êëåòêè äëÿ ñëîæåííîé ïîëîñêè âîçìîæíî òîëüêî ïðè ÷åòíîì n. Óïðàæíåíèå. Èñïîëüçóÿ ââåäåííîå ïîíÿòèå îðèåíòàöèè, äîêàæèòå, ÷òî ó ñêëàäûâàåìûõ ïåðåñòàíîâîê ÷åòíûå ýëåìåíòû íàõîäÿòñÿ ëèáî âñå íà ÷åòíûõ, ëèáî âñå íà íå÷åòíûõ ìåñòàõ. Ðàññìîòðèì ïàðû ñìåæíûõ êëåòîê ïîëîñêè, îáùàÿ ñòîðîíà êîòîðûõ ðàñïîëîæåíà ñïðàâà. Ñþäà îòíîñÿòñÿ ïàðû (1,2), (3,4),...,(n-1,n). Ïðè ýòîì êëåòêè ñ ìåíüøèì íîìåðîì ìîãóò êàê ïðåäøåñòâîâàòü, òàê è ñëåäîâàòü çà êëåòêàìè ñ áîëüøèì íîìåðîì, åñëè ðàññìàòðèâàòü ýëåÏåðåñòàíîâêà .. ìåíòû ñêëàäûâàå- ñêëàäûâàåìàÿ. Ó×ÅÁÍÀß ÌÀÑÒÅÐÑÊÀß

ìîé ïåðåñòàíîâêè îò åå íà÷àëà ê êîíöó. Ýòè ïàðû ñìåæíûõ êëåòîê îáðàçóþò íåêîòîðóþ ñòðóêòóðó âëîæåííîñòè äðóã â äðóãà. Íàïðèìåð, n=10, f= Åñòåñòâåííî, ÷òî âñåãäà ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà ïàðà, â êîòîðóþ íå âëîæåíû íèêàêèå äðóãèå.  ïðèâåäåííîì ïðèìåðå ýòî ïàðû (9,10) è (2,1). Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíòû òàêîé ïàðû â ïåðåñòàíîâêå ðàñïîëîæåíû íà äâóõ ñîñåäíèõ ìåñòàõ. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå ñâîéñòâî. 2.Äëÿ ëþáîé ñêëàäûâàåìîé ïåðåñòàíîâêè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî òàêîå i, 1≤i≤n, ÷òî íà i è i+1 ìåñòàõ ðàñïîëîæåíû íîìåðà äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ êëåòîê ïîëîñêè. Ýòè íîìåðà ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó íåóïîðÿäî÷åííûõ ïàð {(1,2),(3,4),...,(n-1,n)}. Çàìå÷àíèå. Íàðÿäó ñ âûáîðîì ïàð ñìåæíûõ êëåòîê ïîëîñêè, îáùàÿ ñòîðîíà êîòîðûõ ðàñïîëîæåíà ñïðàâà, ìîæíî ðàññìîòðåòü ïàðû ñìåæíûõ êëåòîê, îáùàÿ ñòîðîíà êîòîðûõ ðàñïîëîæåíà ñëåâà.  ýòîì ñëó÷àå ïàðû îáðàçóþò ìíîæåñòâî {(2,3),...,(n,1)}, à ïðèâåäåííûé ïðèìåð âûãëÿäèò òàê: f=. 3.Ïåðåñòàíîâêà ÷åòíîãî ïîðÿäêà ñêëàäûâàåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà è ñïðàâà è ñëåâà ñìåæíûå ïàðû åå ýëåìåíòîâ îáðàçóþò âëîæåííóþ ñòðóêòóðó. Ïðîâåðêà âëîæåííîñòè ñïðàâà (ñëåâà) ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíà ïîñëåäîâàòåëüíûì óäàëåíèåì ïàð (ñâîéñòâî 2). Íàïðèìåð, n=10, f=: Ïåðåñòàíîâêà -íåñêëàäûâàåìàÿ.

95

Êîñòèí Â.À. óäàëåíèå ñïðàâà < 7 2 1 8> < 7 8> < >

óäàëÿåìàÿ ïàðà (9,10) (4,3) (5,6) (2.1) (7,8)

óäàëåíèå ñëåâà < >

Óïðàæíåíèå. Ñêëàäûâàåìà ëè ïåðåñòàíîâêà ? 4.Ïóñòü f= - ñêëàäûâàåìàÿ ïåðåñòàíîâêà, òîãäà òàêæå ñêëàäûâàåìàÿ ïåðåñòàíîâêà , ãäå bi=(ai+m) mod n+1, i=1,...,n, m - ëþáîå öåëîå ÷èñëî, à mod îïåðàöèÿ íàõîæäåíèÿ îñòàòêà îò äåëåíèÿ öåëûõ ÷èñåë. Äàííîå ïðåîáðàçîâàíèå ôàêòè÷åñêè ñîîòâåòñòâóåò ïåðåíóìåðàöèè êëåòîê çàìêíóòîé ïîëîñêè, ïðè êîòîðîé çíà÷åíèå “åäèíèöà” ñîïîñòàâëÿåòñÿ êëåòêå ñ íîìåðîì m mod n +1. Çàìå÷àíèå. Äëÿ íå÷åòíûõ m ìåíÿåòñÿ îðèåíòàöèÿ ïîëîñêè, òî åñòü ëåâûå ñòîðîíû êëåòîê ñòàíîâÿòñÿ ïðàâûìè, à ïðàâûå - ëåâûìè. Íà îñíîâå ñâîéñòâ 3 è 4 ìîæíî ïîñòðîèòü àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ áóëåâñêîé ôóíêöèè, èñòèííîé äëÿ ñêëàäûâàåìûõ ïåðåñòàíîâîê çàìêíóòûõ ïîëîñîê è ëîæíîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. const n=...; {ïîðÿäîê ïåðåñòàíîâîê} type permit =array [1..n] of 1..n; function sk (var f:permit):boolean; var i,a,b : integer; c:boolean; procedure skr; function pair(x,y:integer):boolean; var z:integer; begin if x>y then begin z:=x; x:=y; y:=z end; pair:=odd(y) or (y-x1) end; procedure step; begin c:=c and (i