Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями(Автореферат)

Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè Ëåï÷èíñêèé Ìèõàèë Ãåðìàíîâè÷ ÓÄÊ 517.95 ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ È ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÐÅØÅÍÈÉ ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÝËËÈÏÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÒÈÏÀ Ñ ÐÀÇÐÛÂÍÛÌÈ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÑÒßÌÈ 01.01.02  äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

ÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒ äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê

ÅÊÀÒÅÐÈÍÁÓÐÃ  2005

Ðàáîòà âûïîëíåíà â ×åëÿáèíñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå íà êàôåäðå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè

Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû

Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ

äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Â.Í. Ïàâëåíêî äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð À.È. Êîðîòêèé äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíò À.Ð. Äàíèëèí Þæíî-Óðàëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

Çàùèòà ñîñòîèòñÿ "...."............... 2005 ãîäà â ... ÷. ... ìèí. íà çàñåäàíèè äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ê 212.286.01 ïî ïðèñóæäåíèþ ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê ïðè Óðàëüñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå èì. À.Ì. Ãîðüêîãî ïî àäðåñó: 620083, Åêàòåðèíáóðã, ïðîñï. Ëåíèíà, 51, êîìí. 248.

Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â íàó÷íîé áèáëèîòåêå Óðàëüñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì. À.Ì. Ãîðüêîãî.

Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí "....".................. 2005ã.

Ó÷åíûé ñåêðåòàðü äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà, äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð

Â.Ã. Ïèìåíîâ

ÎÁÙÀß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀ ÐÀÁÎÒÛ Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ. Äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ êðàåâûõ ýëëèïòè÷åñêèõ çàäà÷, ñîäåðæàùèõ íåëèíåéíûé ÷ëåí, ðàçðûâíî çàâèñÿùèé îò ôàçîâîé ïåðåìåííîé. Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn (n ≥ 2) ñ ãðàíèöåé ∂Ω êëàññà 2,α C , α ∈ (0, 1),

n X

Lu(x) ≡ −

(aij uxi )xj + c(x)u(x)

i,j=1

 ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷åñêèé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ñ êîýôôèöèåíòàìè aij ∈ C 1,α (Ω), aij (x) = aji (x) íà Ω, c ∈ C 0,α (Ω). Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îòíîñÿòñÿ ê ïðîáëåìå ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáùåííûõ, ñèëüíûõ, ïîëóïðàâèëüíûõ, êîððåêòíûõ è ïðàâèëüíûõ ðåøåíèé, à òàêæå ê ïðîáëåìå óñòîé÷èâîñòè ìíîæåñòâ ðåøåíèé ñëåäóþùåé íåëèíåéíîé êðàåâîé çàäà÷è:

Lu(x) + g0 (x, u(x)) = 0, x ∈ Ω Bu|∂Ω = f,

(1) (2)

ãäå (2)  îäíî èç ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ êðàåâûõ óñëîâèé:

• Äèðèõëå, åñëè Bu = u; • Íåéìàíà, åñëè Bu =

n X ∂u aij (x)uxi cos(n, xj ), ãäå cos(n, xj ) ≡ ∂nL i,j=1

 íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âíåøíåé íîðìàëè n ê ãðàíèöå ∂Ω;

∂u + σ(x)u(x), ãäå ôóíê∂nL öèÿ σ ∈ C 1,α (Γ) íåîòðèöàòåëüíà íà ∂Ω è íå ðàâíà òîæäåñòâåííî íóëþ.

• òðåòüå êðàåâîå óñëîâèå, åñëè Bu =

Áóäåò ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íåëèíåéíîñòü g0 (x, u) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (∗):

(∗1) ôóíêöèÿ g0 : Ω × R → R áîðåëåâà (mod 0) 1 , ÷òî îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîæåñòâà l ⊂ Ω × R, ïðîåêöèÿ êîòîðîãî íà Ω èìååò 1 Êðàñíîñåëüñêèé Ì.À., Ïîêðîâñêèé À.Â. Ñèñòåìû ñ ãèñòåðåçèñîì  Ì.: Íàóêà, 1983. 272ñ.

3

ìåðó íóëü, è áîðåëåâîé íà Ω×R ôóíêöèè, ñîâïàäàþùåé ñ g0 (x, u) íà (Ω × R) \ l ;

(∗2) äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω ñå÷åíèå g0 (x, ·) èìååò íà R ðàçðûâû òîëüêî ïåðâîãî ðîäà è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî u ∈ R âåðíî âêëþ÷åíèå g0 (x, u) ∈ [g− (x, u), g+ (x, u)], ãäå g− (x, u) = lim inf g0 (x, s), g+ (x, u) = lim sup g0 (x, s); s→u

s→u

(∗3) ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ b ≥ 0 è ôóíêöèÿ a ∈ Lq (Ω), q ≥ 2, òàêèå, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω âåðíî íåðàâåíñòâî |g0 (x, u)| ≤ b · |u|r + a(x) ∀u ∈ R, 0 ≤ r.

(3)

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ f (s), îïðåäåëåííàÿ íà ãðàíèöå ∂Ω, ëåæèò â ïðîñòðàíñòâå Y , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì Áåñîâà 2−1/q

• Bq •

(∂Ω), åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì êðàåâóþ çàäà÷ó Äèðèõëå;

1−1/q Bq (∂Ω),

åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì êðàåâóþ çàäà÷ó Íåéìàíà èëè òðåòüþ êðàåâóþ çàäà÷ó.

Îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è

(1)-(2) áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ u∈ óäîâëåòâîðÿþùóþ ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (2) è äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω âêëþ÷åíèþ

Wq2 (Ω),

−Lu(x) ∈ [g− (x, u(x)), g+ (x, u(x))].

Ñèëüíûì ðåøåíèåì

çàäà÷è (1)-(2) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííîå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùàÿ äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω óðàâíåíèþ (1). Ñèëüíîå ðåøåíèå u çàäà÷è (1)-(2) íàçûâàþò , åñëè äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω çíà÷åíèå u(x) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé íåïðåðûâíîñòè g0 (x, ·). Ïóñòü çàäàíà íåêîòîðàÿ ìåðà îòêëîíåíèÿ íåëèíåéíîñòåé R(g, g0 ). Îáîáùåííîå ðåøåíèå u0 ∈ Wq2 (Ω) çàäà÷è (1)-(2) ñ íóëåâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì áóäåì íàçûâàòü , åñëè íàéäåòñÿ òàêîå ∞ δ > 0, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {δk }k=1 , δ > δk > 0, óäîâëå-

ïîëóïðàâèëüíûì

êîððåêòíûì

k→∞

òâîðÿþùåé óñëîâèþ δk −→ 0, ïðèáëèæåííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à

Lk u(x) + gk (x, u(x)) = 0, x ∈ Ω Bu|∂Ω = fk 4

(4) (5)

èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî îáîáùåííîå ðåøåíèå, ïðè÷åì âîçìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {uk }, ñîñòîÿùóþ èç îáîáùåííûõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷, ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ê u0 â ïðîñòðàíñòâå Wq2 (Ω), ãäå

• ãðàíè÷íîå óñëîâèå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó ||fk ||Y ≤ δk ; • êîýôôèöèåíòû akij (x) è ck (x) äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà Lk ïîä÷èíÿþòñÿ òåì æå îãðàíè÷åíèÿì íà ãëàäêîñòü, ÷òî è ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû îïåðàòîðà L è îòëè÷àþòñÿ îò ïîñëåäíèõ íå áîëåå ÷åì íà δk â ìåòðèêå C(Ω); • ôóíêöèè gk (x, u) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (∗) ñ òàêîé æå êàê è äëÿ g0 (x, u) ôóíêöèåé a ∈ Lq (Ω) è êîíñòàíòàìè b, r > 0 â îöåíêå (3), à òàêæå íåðàâåíñòâó R(g0 , gk ) < δk .

ïðàâèëüíûì êîððåêòíîãî ìíîæåñòâà

Ïîëóïðàâèëüíîå è êîððåêòíîå ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ . Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå . Ìíîæåñòâî M ∈ Wq2 (Ω) îáîáùåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1)-(2) ñ íóëåâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (f ≡ 0) áóäåì íàçûâàòü , åñëè äëÿ ëþáîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {δk }∞ k=1 , δ > δk > 0, óäîâëåòâîðÿþùåé

ðåøåíèé

êîððåêòíûì

k→∞

óñëîâèþ δk −→ 0, ïðèáëèæåííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à

Lk u(x) + gk (x, u(x)) = 0, x ∈ Ω Bu|∂Ω = fk

(6) (7)

èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî îáîáùåííîå ðåøåíèå â ε-îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà M ïðîñòðàíñòâà H 1 (Ω), ïðè÷åì èç ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåøåíèé {uk }, ñîñòîÿùóþ èç îáîáùåííûõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷, ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ê òî÷êå u0 ∈ M â ïðîñòðàíñòâå Wq2 (Ω), ãäå

• ãðàíè÷íîå óñëîâèå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó ||fk ||Y ≤ δk ; • êîýôôèöèåíòû akij (x) è ck (x) äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà Lk ïîä÷èíÿþòñÿ òåì æå îãðàíè÷åíèÿì íà ãëàäêîñòü, ÷òî è ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû îïåðàòîðà L è îòëè÷àþòñÿ îò ïîñëåäíèõ íå áîëåå ÷åì íà δk â ìåòðèêå C(Ω); 5

• ôóíêöèè gk (x, u) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (∗) ñ òàêîé æå êàê è äëÿ g0 (x, u) ôóíêöèåé a ∈ Lq (Ω) è êîíñòàíòàìè b, r > 0 â óñëîâèè (∗3), à òàêæå íåðàâåíñòâó R(g0 , gk ) < δk . Òàêæå â ðàìêàõ äèññåðòàöèè èçó÷àþòñÿ äâå ïîñòàíîâêè êðàåâûõ íåëèíåéíûõ çàäà÷ ñ ïàðàìåòðàìè.

Çàäà÷à ñî ñïåêòðàëüíûì ïàðàìåòðîì. Ðàññìàòðèâàåòñÿ íåëèíåé-

íàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à

Lu(x) = λg0 (x, u(x)), x ∈ Ω

(8)

Bu|∂Ω = 0,

(9)

ãäå îïåðàòîð L, ôóíêöèÿ g0 è îïåðàòîð ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ B îïèñàíû âûøå, λ > 0  ñïåêòðàëüíûé ïàðàìåòð. Äëÿ êðàåâîé çàäà÷è (8)-(9) èññëåäóþòñÿ ñëåäóþùèå âîïðîñû: 1. ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé ïðè óñëîâèè

g0 (x, 0) ≡ 0; 2. êîððåêòíîñòü ðåøåíèé è óñòîé÷èâîñòü ìíîæåñòâ ðåøåíèé ïî îòíîøåíèþ ê âîçìóùåíèÿì íåëèíåéíîñòè, ñïåêòðàëüíîãî ïàðàìåòðà è äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà.

Çàäà÷à ñ ðàñïðåäåëåííûì ïàðàìåòðîì. Ðàññìàòðèâàåòñÿ íåëèíåé-

íàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à

Lu(x) + g0 (x, u(x), w(x)) = 0, x ∈ Ω Bu|∂Ω = f,

(10) (11)

ãäå îïåðàòîð L, ôóíêöèÿ f è îïåðàòîð ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ B îïèñàíû âûøå, w(x) ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞,  ðàñïðåäåëåííûé ïàðàìåòð, íåëèíåéíîñòü g0 óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ (∗∗):

(∗ ∗ 1) ôóíêöèÿ g0 : Ω × R × R → R òàêîâà, ÷òî 6

(∗ ∗ 1.1) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì u ôóíêöèÿ g0 (x, u, ·) íåïðåðûâíà äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω; (∗ ∗ 1.2) ôóíêöèÿ g0 (x, ·, w) äëÿ ïî÷òè âñåõ (x, w) ∈ Ω × R èìååò ðàçðûâû òîëüêî ïåðâîãî ðîäà è íåïðåðûâíà ñëåâà (ñïðàâà); (∗ ∗ 1.3) ôóíêöèÿ g0 (·, u, w) èçìåðèìà äëÿ âñåõ (u, w) ∈ R × R; (∗ ∗ 2) ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ b ≥ 0 è ôóíêöèÿ a ∈ Lq (Ω), q ≥ 2, òàêèå, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω âåðíî ëèáî íåðàâåíñòâî |g0 (x, u, w)| ≤ b · (|u|r + |w|p/q ) + a(x) ∀u ∈ R, 0 ≤ r
1

ãäå ïàðàìåòð η > 0 è

R∞ (g, g0 ) = ||g − g0 ||L1 (Ω×R) . 14

(18)

Âî âòîðîì ïàðàãðàôå ôîðìóëèðóþòñÿ âñå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïåðâîé ÷àñòè ãëàâû. Ôîðìóëèðóþòñÿ óòâåðæäåíèÿ î ñâîéñòâàõ ââåäåííûõ èíòåãðàëüíûõ ìåòðèê, âûÿñíÿåòñÿ èõ ñâÿçü ñ ìåðàìè îòêëîíåíèÿ íåëèíåéíîñòåé, èñïîëüçîâàííûìè Êðàñíîñåëüñêèì è Ïîêðîâñêèì. Äàëåå ñëåäóþò òåîðåìû, íåïîñðåäñòâåííî êàñàþùèåñÿ äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé ïðàâèëüíîñòè ðåøåíèé. Ïðèâåäåì îäíó èç òàêèõ òåîðåì. Òåîðåìà 3.1.2. g0 (∗) u0 J g0 L u0 Rη (g0 , g) η = η(r, q) Ôîðìóëèðóþòñÿ ñëåäñòâèå èç òåîðåìû î êîððåêòíîñòè äëÿ ñëó÷àn åâ q > è q > n, êîãäà ìîæíî óòâåðæäàòü î ñõîäèìîñòè ðåøåíèé 2 àïïðîêñèìèðóþùèõ çàäà÷ ïî ìåòðèêå C(Ω) è C 1 (Ω) ñîîòâåòñòâåííî. Âòîðîå ñëåäñòâèå ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì òåîðåìû Êðàñíîñåëüñêîãî è Ïîêðîâñêîãî î ñóùåñòâîâàíèè ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ â ñèòóàöèè, êîãäà çàäà÷à èìååò íå áîëåå ñ÷åòíîãî ÷èñëà êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé. Ñëåäñòâèå 3.1.2. g0 (∗)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåëèíåéíîñòü óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ,  òî÷êà ñòðîãîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà , îïåðàòîð ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼í. Òîãäà  ïðàâèëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è (1)-(2), ãäå â êà÷åñòâå ìåðû îòêëîíåíèÿ íåëèíåéíîñòåé âûáðàíà ñ .

Ïóñòü óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ , äëÿ óðàâíåíèÿ (1) âûïîëíåíî À-óñëîâèå è ÷èñëî òî÷åê ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà Jg íà X íåïóñòî è íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Òîãäà çàäà÷à (1)-(2) èìååò ïðàâèëüíîå ðåøåíèå. 0

Îñòàâøèåñÿ ïàðàãðàôû ïåðâîé ÷àñòè ïîñâÿùåíû äîêàçàòåëüñòâó ñôîðìóëèðîâàííûõ óòâåðæäåíèé. Âòîðàÿ ÷àñòü òðåòüåé ãëàâû ïîñâÿùåíà êîððåêòíûì ìíîæåñòâàì ðåøåíèé çàäà÷è (1)-(2).  ïåðâîì ïàðàãðàôå äàíî îïðåäåëåíèå êîððåêòíîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé è ïðèâåäåíà îñíîâíàÿ òåîðåìà î êîððåêòíîñòè ìíîæåñòâàõ ðåR øåíèé MR L,g0 ,0 , ãäå ÷åðåç ML,g0 ,f îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî òî÷åê àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà Jg0 íà òî÷êàõ øàðà BR (0) ïðîñòðàíñòâà H 1 (Ω), óäîâëåòâîðÿþùèõ ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (2). Òåîðåìà 3.2.1. L R MR L,g0 ,0 u SR (0) X

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïåðàòîð ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼í. Ïóñòü ÷èñëî òàêîâî, ÷òî íå ïóñòî è äëÿ âñåõ òî÷åê ñôåðû ïðîñòðàíñòâà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Jg0 (u) > µR , 15

ãäå µR = inf ||u||≤R Jg (u). Òîãäà ìíîæåñòâî ðåøåíèé MRL,g ,0 ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíûì, ãäå â êà÷åñòâå ìåðû îòêëîíåíèÿ íåëèíåéíîñòåé R(g, g0) âûáðàíà Rη (g, g0) ñ ïàðàìåòðîì η = η(r, q), êîòîðûé âûáèðàåòñÿ òàêæå, êàê â òåîðåìå 3.1.1. 0

0

Äàëåå ñôîðìóëèðîâàíî äâà ñëåäñòâèÿ ýòîé òåîðåìû. Ïðèâåäåì îäíî èç ýòèõ ñëåäñòâèé, â ðàìêàõ êîòîðîãî äàíî íîâîå óñëîâèå, îáåñïå÷èâàþùåå êîýðöèòèâíîñòü âàðèàöèîííîãî ôóíêöèîíàëà. Ñëåäñòâèå 3.2.2. λ L (2) f ≡0 g0 (∗) 1≤r< n+2 n = 2 r ≥ 1 n−2

Ïóñòü  ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì , ãäå . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåëèíåéíîñòè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ñ ïàðàìåòðîì (äëÿ ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ÷èñëî  ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå), à òàêæå äîïîëíèòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Z 0

u

λ g0 (x, s)ds ≥ − |u|2 + S1 (x, u) + S2 (x), 2

(19)

ãäå S2(x) ∈ L1(Ω) è S1(x, u)  íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî äëÿ ï.â. x ∈ Ω. (20) Òîãäà ìíîæåñòâî M∞L,g ,0 ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì è êîððåêòíûì îòíîñèòåëüíî ìåðû îòêëîíåíèÿ Rη (g, g0), ãäå η = η(r, q). u→+∞

S1 (x, u) −→ +∞ 0

Ñëåäóþùèå äâà ïàðàãðàôà ïîñâÿùåíû äîêàçàòåëüñòâó òåîðåì è ñëåäñòâèé âòîðîé ÷àñòè òðåòüåé ãëàâû. ×åòâåðòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà íåëèíåéíûì êðàåâûì çàäà÷àì ñ ïàðàìåòðîì è ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé.  ïåðâîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ êðàåâûå çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Îïðåäåëåíèå. ×èñëî λ > 0 íàçûâàþò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è (8)-(9), åñëè ñóùåñòâóåò îáîáùåííîå íåíóëåâîå ðåøåíèå uλ ýòîé ïðîáëåìû. Ïðè ýòîì uλ áóäåì íàçûâàòü ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé çàäà÷è (8)-(9), ñîîòâåòñòâóþùåé λ. Ôîðìóëèðóþòñÿ äâå òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè ïîëîæèòåëüíîãî ëó÷à ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò íåòðèâèàëüíûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Ïðèâåäåì îäíó èç ýòèõ òåîðåì. 16

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2.2.2, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî g0(x, 0) ≡ 0 è ñóùåñòâóåò ýëåìåíò u0 ∈ X òàêîé, ÷òî Z Z Òåîðåìà 4.1.2.

u0 (x)

dx Ω

g0 (x, s)ds > 0.

(21)

0

Òîãäà ñóùåñòâóåò λ0 > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî λ > λ0 ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå dλ = inf Jg0 ,λ (v) < 0, v∈X

ïðè÷åì íàéäåòñÿ íåíóëåâàÿ òî÷êà u ∈ X , äîñòàâëÿþùàÿ ýòîò ìèíèìóì è ÿâëÿþùàÿñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé, ñîîòâåòñòâóþùåé λ.

Ïðèâîäèòñÿ íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå, äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (21). Ôîðìóëèðóåòñÿ òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ëó÷à ïîëîæèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé â ñèòóàöèè, êîãäà ñóùåñòâóþò

g±(x) = lim g0 (x, s). s→±∞

Îïðåäåëèì

( g¯0 (x, s) = Òåîðåìà 4.1.3.

g+ (x), ïðè s ≥ 0, g− (x), ïðè s < 0.

Ïóñòü êðàåâàÿ çàäà÷à Lu(x) = g¯0 (x, u(x)), x ∈ Ω

(22)

Bu|∂Ω = 0

(23)

èìååò íåíóëåâîå êîððåêòíîå ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè Rη (g, g0) (η > 0), òîãäà ñóùåñòâóåò λ0 òàêîå, ÷òî âñå λ > λ0 ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è (8)-(9).

Äàëåå ôîðìóëèðóåòñÿ òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòè ìíîæåñòâ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îòíîñèòåëüíî âîçìóùåíèÿ ñïåêòðàëüíîãî ïàðàìåòðà, íåëèíåéíîñòè è êîýôôèöèåíòîâ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà. Âî âòîðîì ïàðàãðàôå ïðèâîäÿòñÿ äîêàçàòåëüñòâà âñåõ óòâåðæäåíèé ïåðâîé ÷àñòè. Âî âòîðîé ÷àñòè ÷åòâåðòîé ãëàâû ðàññìàòðèâàþòñÿ êðàåâûå çàäà÷è ñ ðàñïðåäåëåííûì ïàðàìåòðîì. 17

Ïåðâûé ïàðàãðàô ñîäåðæèò ïîñòàíîâêó çàäà÷è è â òîì ÷èñëå ôîðìóëèðîâêó óñëîâèÿ (∗∗). Ââîäèòñÿ êëàññ ïîëóêàðàòåîäîðèåâûõ ôóíêöèé è óñòàíàâëèâàþòñÿ ñâîéñòâà òàêèõ ôóíêöèé. Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèè g0 : Ω × R → R, óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì äâóì óñëîâèÿì (i) ñå÷åíèå g0 (x, ·) äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Ω íåïðåðûâíà ñëåâà (ñïðàâà), (ii) äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî u0 ôóíêöèÿ g0 (·, u0 ) èçìåðèìà, íàçîâåì ïîëóêàðàòåîäîðèåâûìè.

Ïóñòü ôóíêöèÿ g0 : Ω × R → R  ïîëóêàðàòåîäîðèåâà, òîãäà g0(x, u) ÿâëÿåòñÿ áîðåëåâîé (mod 0). Óòâåðæäåíèå 4.2.1.

Ýòèì ðåçóëüòàòîì îïèñûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî øèðîêèé êëàññ áîðåëåâûõ (mod 0) íåëèíåéíîñòåé, êîòîðûå ìîãóò âñòðåòèòüñÿ â ïðèëîæåíèÿõ. Ñëåäóþùåé óòâåðæäåíèå, ñâÿçàííîå ñ çàäà÷àìè ñ ðàñïðåäåë¼ííûì ïàðàìåòðîì, îïèðàåòñÿ íà óòâåðæäåíèå 4.2.1. Óòâåðæäåíèå 4.2.2. g0 (∗ ∗ 1) w : Ω → R g0 (x, u, w(x)) (mod 0) Ìû ìîäèôèöèðóåì îïðåäåëåíèå êîððåêòíîãî ðåøåíèÿ è êîððåêòíîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé, ÷òîáû îòðàçèòü ñïåöèôèêó çàäà÷ ñ ðàñïðåäåëåííûì ïàðàìåòðîì. 2 Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî M ∈ Wq (Ω) îáîáùåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è (10)-(11) áóäåì íàçûâàòü êîððåêòíûì, åñëè äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè k→∞ {δk }∞ k=1 , δ > δk > 0, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ δk −→ 0, ïðèáëèæåííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à

óñëîâèþ

Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè , óäîâëåòâîðÿþùåé , è ëþáîé èçìåðèìîé ôóíêöèè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ áîðåëåâîé .

Lk u(x) + g0 (x, u(x), wk (x)) = 0, x ∈ Ω Bu|∂Ω = fk ,

(24) (25)

èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî îáîáùåííîå ðåøåíèå â ε-îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà M ïðîñòðàíñòâà H 1 (Ω), ïðè÷åì èç ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåøåíèé {uk }, ñîñòîÿùóþ èç îáîáùåííûõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷, ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ê òî÷êå u0 ∈ M â ïðîñòðàíñòâå Wq2 (Ω), ãäå 18

• ãðàíè÷íîå óñëîâèå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó ||fk ||Y ≤ δk ; • êîýôôèöèåíòû akij (x) è ck (x) äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà Lk ïîä÷èíÿþòñÿ òåì æå îãðàíè÷åíèÿì íà ãëàäêîñòü, ÷òî è ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû îïåðàòîðà L è îòëè÷àþòñÿ îò ïîñëåäíèõ íå áîëåå ÷åì íà δk â ìåòðèêå C(Ω); • ôóíêöèè wk óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì |wk (x)| ≤ W (x) äëÿ ï.â. x ∈ Ω, W (x) ∈ Lp (Ω), è ||wk − w0 ||p < δk . Ïðèâîäÿòñÿ àíàëîãè òåîðåì îá óñòîé÷èâîñòè èç ãëàâû 3. Ñôîðìóëèðóåì îäèí èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ. Ñîïîñòàâèì êðàåâîé çàäà÷å (10)-(11) âàðèàöèîííûé ôóíêöèîíàë

Jw0 (u) =

1 (Lu, u) + 2

Z

Z dx

Ω

u(x)

g0 (x, s, w0 (x))ds. 0

Îáîçíà÷èì ÷åðåç MR L,w0 ìíîæåñòâî òî÷åê àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà Jw0 â øàðå BR (0) ïðîñòðàíñòâà X . Òåîðåìà 4.2.2. R MR L,w0 u SR (0) X Jw0 (u) > µR = inf Jw0 (u) MR L,w0

Ïóñòü ÷èñëî òàêîâî, ÷òî íå ïóñòî è äëÿ âñåõ òî÷åê ñôåðû ïðîñòðàíñòâà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî . Òîãäà ìíîæåñòâî ðåøåíèé ||u||≤R ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíûì. Äîêàçàòåëüñòâî ðåçóëüòàòîâ ãëàâû 4 îñíîâûâàåòñÿ íà ðåçóëüòàòàõ, ïîëó÷åííûõ â ãëàâàõ 2 è 3.  çàêëþ÷åíèå, àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ, ïðîôåññîðó Â.Í. Ïàâëåíêî, çà ïîñòàíîâêó èñõîäíîé çàäà÷è, âíèìàíèå è ïîìîùü â ðàáîòå.

19

Ïóáëèêàöèè ïî òåìå äèññåðòàöèè [1] Ëåï÷èíñêèé Ì.Ã. Çàäà÷à Ì. À. Ëàâðåíòüåâà îá îáòåêàíèè òðàíøåè. // ÈÌÏÐÈÌ-2000, Fourth Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics. Book of abstracts.  Novosibirsk.  2000 [2] Ëåï÷èíñêèé Ì.Ã., Ïàâëåíêî Â.Í. Àïïðîêñèìàöèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ñ ðàçðûâíîé íåëèíåéíîñòüþ. // Ìàòåðèàëû Âîðîíåæñêîé âåñåííåé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû.  2003.  Âîðîíåæ. - ñ. 76 [3] Ëåï÷èíñêèé Ì.Ã., Ïàâëåíêî Â.Í. Àïïðîêñèìàöèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ñ ðàçðûâíîé íåëèíåéíîñòüþ. // Âåñòíèê ×åëÿáèíñêîãî óíèâåðñè-òåòà. Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, èíôîðìàòèêà, 1(7). ×åëÿáèíñê, 2003ã. - ñ.89-98 [4] Leptchinski M., Pavlenko N.Approximation of discontinuous nonlinearities for elliptic boundary value problems at resonance. // Nonlinear partial dierential equations. Book of abstracts.  Donetsk.  2003 [5] Ëåï÷èíñêèé Ì.Ã. Àïïðîêñèìàöèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ. // Êîíêóðñ ãðàíòîâ ìîëîäûõ ó÷åíûõ ×åë. îáë. Ñáîðíèê ðåôåðàòîâ.  ×åëÿáèíñê.  2003. - ñ. 10 [6] Ëåï÷èíñêèé Ì.Ã. Ïðàâèëüíûå ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ñ ðàçðûâíîé íåëèíåéíîñòüþ. // XXVI Êîíôåðåíöèÿ ìîëîäûõ ó÷åíûõ ìåõìàòà ÌÃÓ. Òåçèñû äîêëàäîâ.  Ìîñêâà.  2004. - ñ. 74 [7] Ëåï÷èíñêèé Ì.Ã., Ïàâëåíêî Â.Í. Àïïðîêñèìàöèÿ ðåçîíàíñíûõ êðàåâûõ çàäà÷ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ñ ðàçðûâíîé íåëèíåéíîñòüþ. // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë.  2005.  ò.46 1.  ñ. 139-148 [8] Ëåï÷èíñêèé Ì.Ã. Ïðàâèëüíûå ðåøåíèÿ ðåçîíàíñíûõ êðàåâûõ çàäà÷ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ñ ðàçðûâíîé íåëèíåéíîñòüþ. // Ìàòåðè20

àëû Âîðîíåæñêîé âåñåííåé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû.  Âîðî-íåæ.  2005.  ñ.142-143 [9] Ì. Ã. Ëåï÷èíñêèé, Â. Í. Ïàâëåíêî. Ïðàâèëüíûå ðåøåíèÿ ýëëèïòè÷åñêèõ êðàåâûõ çàäà÷ ñ ðàçðûâíûìè íåëèíåéíîñòÿìè. // Àëãåáðà è Àíàëèç.  2005.  ò.17, íîìåð 3.  ñ.124-138

21

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü . Ôîðìàò 60 × 84 1/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 1,0. Ó÷.-èçä. ë. 1,0. Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç . Áåñïëàòíî. ÃÎÓÂÏÎ "×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò" 454021 ×åëÿáèíñê, óë. Áðàòüåâ Êàøèðèíûõ, 129 Ïîëèãðàôè÷åñêèé ó÷àñòîê Èçäàòåëüñêîãî öåíòðà ×åëÿáèíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà 454021 ×åëÿáèíñê, óë. Ìîëîäîãâàðäåéöåâ, 57á