幾何学入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近 年 に お け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の応用 もさ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が大 き い.理 工 学 は じめ 医 学 ・農学 ・経 済学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基礎 的 な 考 え 方 の素 養 が 必要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に 接 し な けれ ば,知 識 の活 用 も多 きを望 め な い で あ ろ う.   編 者 ら は,こ の よ う な 事実 を 考 慮 し,数 学 の 各分 野 に お け る基 本 的 知識 を確 実 に伝 え る こ と を 目 的 と して 本 シ リー ズ の 刊 行 を 企 画 した の で あ る.   上 の主 旨 に した が っ て 本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに詳 し く説明 し, 近 代 数 学 の 考 え 方 を 平 易 に理 解 で き る よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に直 結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に 進 ん で 高 等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に容 易 に は いれ る よう書 か れ て あ る.   こ れ に よっ て,高 校 の 数 学 教 育 に 携 わ る人 た ちや 技 術 関 係 の人 々の 参考 書 と し て,ま た 学 生 の 入 門 書 と して,ひ

ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る.

  こ の シ リー ズ は,読 者 を数 学 とい う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に資 す る とと も に,つ

ぎの 段 階 に す す む た め の力 を養 う に役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

ま

え

が

き

  幾 何 学 は 古 くか ら純 論 理 体 系 の 典 型 で あ った.ユ

ー ク リ ッ ドの 原 本 は 長 い 間 そ

の 標 準 的 教 科 書 と し て お か す こ と の で き な い 地 位 を 保 っ て い た.19世 て,平 行 線 公 理 の 反 省 か ら非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 が 発 生 し た.さ

紀に至 っ

らに射 影幾 何 が 完

成 し,そ

の 簡 明 か つ 整 然 と し た 体 系 は 近 世 に お け る数 学 の 模 範 と され た.ク

ンは,エ

ル ラ ン ゲ ン 目録 に よ って,い

ライ

ろい ろ な幾何 学 を 変換 群 の立 場 か ら 統

一

し,ヒ ル ベ ル トは,幾 何 学 基 礎 論 に よ っ て,原 本 の 不 備 な 点 を 正 し て 完 全 な 公 理 系 を 与 え た.し

か し,幾 何 学 基 礎 論 も現 代 数 学 の 感 覚 で は も は や 時 代 遅 れ で あ

る.   本 書 は 幾 何 学 の 入 門 書 で あ る.古 典 幾 何 の 解 説 を 目的 と し て,新 絡 しや す い よ うに 書 き 直 した.ま

た,何

しい数学 へ連

の 予 備 知 識 も必 要 とせ ず に 読 め る よ う

に,本 書 に 現 わ れ る用 語 や 概 念 は す べ て 本 書 に お い て 定 義 し,ま た 説 明 す るよ う に つ とめ た.集

合,順

序,演

算 に 関 す る基 礎 的 な 準 備 は,幾 何 学 だ け で な く,数

学 の あ ら ゆ る 分 野 に お い て 必 要 で あ る.本 書 で は これ らに つ い て 付 録 と し て ま と め て お い た.本

書 の 立 場 か ら 見 れ ば,付

2は そ の 解 析 的 取 り扱 い で あ る.第1章

録1は1次

元 幾 何 の 構 成 で あ って,付

に お い て 高 次 元 幾 何 を 公理 論 的 に 考 察

し,い わ ゆ る 幾 何 学 基 礎 論 の 現 代 版 で あ る こ と を 目指 した.第2章 の 代 表 と もい うべ き射 影 幾 何 を 公 理 系 に よ っ て 構 成 した.第3章 系 を 導 入 し,さ

ら に 第4章

録

では 古典 幾何 で は これ に 座 標

で は そ の 解 析 的 取 り扱 い を 示 した.第5章

に お い て,

い ろ い ろ な 古 典 幾 何 が 射 影 幾 何 か ら統 一 的 に 導 か れ る こ とを 示 した .こ れ は ク ラ イ ン の 思 想 に よ る も の で あ る が,さ

ら に,対

称 空 間 の 基 本 的 な モ デ ル と し て ,近

代 幾 何 学 に つ な が る もの で あ る.   中 学 生 に も読 め る よ うに,で 未 熟 の た め,わ

き る だ け や さ し く書 くつ も りで あ っ た が,著

者の

か りに くい 所 や 思 い が け な い 誤 りが あ るか も知 れ な い.読 者 諸 氏

の 御 叱 正 を お 願 い し た い.

  終 りに,執

筆 を お す す め 下 さ った 小 松 醇 郎 教 授 な ら び に 出版 に つ い て お 世 話 頂

い た 朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に 心 か ら謝 意 を 表 す る. 1967年9月 著

者

目

1. 

次

公 理 系 と幾 何 学

 

1.1  幾 何 学 の 構 成

 

1.2  結 合 公 理  

 1  1 5

 

1.2.1 

点

と 直 線

 5

 

1.2.2 

部 分 空 間

 8

 

1.2.3 

平

面

  9

 

1.2.4 

立

体

  12

 

1.2.5 

線 形 空 間

  14

 

1.3  順 序 公 理

 

1.4  合 同 公 理

  17  

24

 

1.4.1 

合 同 関 係

  24

 

1.4.2 

大 小 関 係

  33

 

1.4.3 

加

 

法

性 

1.5  連 続 公 理

37   42

 

1.5.1 

連

続

性

  42

 

1.5.2 

平

行

性

 47

  1.6  平 行 線 公 理  

1.6.1 

 

1.6.2 ユー

 

1.6.3 

2. 

射 影 公 理 系

2直 線 の 公 点 ク リッ ド平 行 性

非 ユ ー ク リ ッ ド平 行 性

影

  2.3  次   2.4  双

対

 50   52  

55

  58

  2.1  射 影 公 理   2.2  射

  50

  58

和

 

60

元

 

64

性

  68

  2.5 

配 景 写 像

 

  2.6  デ ザ ル グ 性

3. 

射 影 座 標 系

  3.3 

演

 78

  88

  3.1  四 角 形 性   3.2 点

73

  88

算 

92

パ ップス性

 100

  3.4  基 本 変 換

  107

  3.5  射 影 座 標

  112

  3.6 

4. 

2進

数空 間

 118

射 影 的 対 応

 124

  4.1  射 影 同 型   4.2  射 影 変 換

 124  

129

  4.3  相 称 と 相 反

 134

  4.4  非 調 和 比

 137

  4.5 

 141

2次

  4.6  直

5. 

曲 面 線

族 

変 換 群 と幾 何 学

  5.1 

変

 

5.2 

ア フ ィ ン幾 何

 

5.3 

ユ ー ク リ ッ ド幾 何

 

5.4  非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何

 

5.5  実 計 量 幾 何

 

換

群 

150

  159 159   164   171   177  180

  5.5.1 

放 物 幾 何

  181

5.5.2 

楕 円 幾 何

 182

  5.5.3 

双 曲 幾 何

  184

  5.5.4 

球 面 幾 何

  188

  5.6  共 形 幾 何

  190

 

5.6.1 

共 形 変 換

 190

 

5.6.2 

絶 対 超 球

  194

付

録

  1.  集 合 と 順 序

  201

 

1.1  集

合

 

 

1.2  関

係

  204

 

1.3  順

序

  206

 

1.4 

 

1.5  切

断

 

214

 

1.6  実

数

 

217

自

然

数

 

210

  2.  集 合 と 演 算

 221

 

2.1  群

 

2.2  環

 

2.3 

ベ ク

 

2.4 

函

 

2.5  三 角 函 数 

 

2.6  指 数 函 数

参

考

索

  221 と

体

 

ト ル  数

224 229

 

234 241

  244

書 

引

201

249

 

251

1.公

理 系 と幾 何 学

  1.1  幾 何 学 の 構 成   幾 何 学 と は 何 か?こ 学 の 対 象,方

法,内

の 質 問 に,明 解 に 答 え る こ と は 困 難 で あ る.実 際,幾 何

容 な どは,時 代 と と もに 著 し く変 遷 し,そ の 範 囲 も非 常 に 拡

大 され て い る.現 在,こ

れ ら の す べ て を 含 む よ うに 幾 何 学 の 定 義 を 述 べ る こ と は

ほ とん ど不 可 能 で あ ろ う.幾 何学(geometry)と

い う言 葉 は,元

来,測 地 学 を 意

味 す る も の で あ る.古 代 の 人 達 は そ の 実 用 的 な要 求 か ら い ろ い ろ な 図 形 を 研 究 し て,三 角 形,台 形,多 角 形,円,多 積,な

面 体,球,な

どに 関 す る多 くの 性 質 を発 見 し,

また,長

さ,面 積,体

どを 測 る た め に 必 要 な 種 々 の 法 則 を 見 出 し た.幾 何

学 は,こ

の よ うな 平 面 お よ び 空 間 の 図 形 に 関 す る性 質 や 法 則 を 体 系 的 に 研 究 す る

た め に 発 生 し た も の で,幾 何 学 を 数 学 的 体 系 と し て 初 め て 構 成 した の は ユ ー ク リ ッ ド(Eukleides,

330-275

B.C.)で

あ る.

  幾 何 学 を 精 密 な 理 論 体 系 と し て 展 開 す る た め に は,そ や 対 象 は 明 確 に 定 義 され な け れ ば な ら な い.ま

た,こ

題 や 法 則 は 正 確 に 証 明 され な け れ ば な らな い.し に は,す

の 叙 述 に 用 い られ る用 語

の体系 に おい て成 立す る命

か し,あ

る概 念 を 定 義 す る た め

で に 知 られ て い る概 念 を 用 い て い い 表 わ す こ とが 必 要 で あ る.ま た,あ

る命 題 を 証 明 す るた め に は,す

で に 成 立 が 保 証 され て い る命 題 を 用 い て論 理 的 に

導 く こ とが 必 要 で あ る.し た が っ て,幾 何 学 は そ の 出 発 点 に お い て,も は や 定 義 で き な い い く種 類 か の要 素 と,も は や 証 明 で き な い 若 干 の 命 題 とを 設 け て,こ れ ら の 要 素 の 存 在 と,こ れ ら の 命題 の 成 立 とは 初 め か ら 認 め て お く よ り 仕 方 が な い.そ

うで な け れ ば,こ

の 体 系 は 必 ず 循 環 論 法 に お ち い っ て し ま うか らで あ る.

これ らの 要 素 は 無 定 義 要 素 と よば れ,こ

れ ら の 命 題 は 公 理 と よ ば れ る.公 理 は 無

定 義 要 素 の 間 の 関 係 を規 定 す る も の で,あ

る体 系 を 構 成 す る公 理 の 集 ま りを 公 理

系 とい う.幾 何 学 は,公 理 系 を 出 発 点 と し て,一 る も の で,そ

定 の 論 理 法 則 に よ っ て展 開 され

の過 程 に お い て 成 立 す る命 題 を 定 理 と よ ぶ.古

典 幾 何 学 で は,ふ つ

う,無 定 義 要 素 と し て 点 と直 線 と を 採 用 す る.公 理 系 を 編 成 す る仕 方 は,い ろ い ろ考 え られ る が,ヒ

ル ベ ル ト(Hilbert,

1862-1943)の

幾 何 学 基 礎 論 で 与 え られ

た も の が 基 準 と され て い る.こ され る が,た

ー ク リ ッ ド幾 何 学 の全 公 理 系 が 列 挙

とえ ば

  "異 な る2点   "1直

の章 で は,ユ

を 通 る直 線 は た だ1つ 存 在 す る" 

線上 に な い1点

を 通 っ て,こ

(結 合 公 理)

の 直 線 に 交 わ ら な い 直 線 は た だ1つ

る" 

存在 す

(平 行 線 公 理)

な どが あ る.幾 何 学 を 学 ぶ に あ た っ て,無 定 義 要 素 と し て採 用 され た 点 や 直 線 は, 定 義 さ れ な くて もわ か っ て い る概 念 で あ る とか,公 理 は 証 明 す る必 要 が な い ほ ど 自 明 の 真 理 で あ る とい うよ うな 考 え を もつ こ と は,ま ロバ チ ェ フ ス キ ー(Lobatchevski,

1793-1856)や

った く誤 っ て い る.実 際,

ボ ヤ イ(Bolyai,

1802-1860)は

ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 平 行 線 公 理 を 大 胆 に 否 定 し て ,そ れ に 代 わ る公 理 を設 け, ま った く新 ら し い 幾 何 学 を 構 成 した.い

わ ゆ る非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 発 見 で あ

る.リ

また,こ

ー マ ソ(Riemann,

1826-1866)も

学 を 構 成 し て い る.19世 (F. Klein,

紀 以 後,い

1849-1925)や

れ と は 別 な 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何

ろ い ろ な 異 な る幾 何 学 が 発 見 され,ク

ポ アン カ レ(Poincare,

1854-1912)は,ユ

ライ ン

ー ク リッ ド

幾 何 学 の 体 系 の 中 に,こ れ ら の 幾 何 学 の モ デ ル が 矛 盾 な くつ くられ る こ とを 示 し た.こ

れ ら の 幾 何 学 は,今

日,ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 と ま っ た く対 等 な,あ

よ り一 般 的 な 体 系 と し て 扱 わ れ,数

学 や 自然 科 学 の 発 展 に 役 立 っ て い る.

  異 な る2組 の 公 理 系 か ら は,一 般 に 異 な る2つ 2組 の公 理 系A,Bに Bに

お い て,Aに

属 す る ど の 公 理 もAか

は,公 理 系Bを

属 す る どの 公 理 もBか

し て,Aに

採 用 す る場 合,1つ

ら証 明 され,逆

に,

ち らの 公 理 系 を 採

属 す る公 理 で,Bに

属 さな い もの

の 定 理 と見 な さ れ る.

  幾 何 学 を 構 成 す るに あ た っ て,一 応,ど い が,実

の 幾 何 学 が 構 成 され る.し か し,

ら証 明 され る場 合 に は,A,Bど

用 し て も 同 じ体 系 が 得 られ る.そ

るいは

ん な公理 系 を採 用 して も さしつか え な

際 に 幾 何 学 を 価 値 あ る 体 系 に す る た め に は,そ

の公 理系 に対 す るい ろい

ろ な要 請 が あ る.こ れ に つ い て考 察 し よ う.   〔1〕  無 矛 盾 性  

公 理 系 に 属 す る命 題 は,そ れ 自身,あ

るいは たが い に矛盾

す る も の で あ っ て は な らな い.矛 盾 を 含 む 公 理 系 か ら 出発 す る と き,そ の 体 系 で は,ど

ん な 結 論 で も導 くこ とが で き,こ れ は 無 意 味 で あ る.公 理 系 が 無 矛 盾 で あ

る こ と を 確 か め るた め に は,す

で に 知 られ て い る概 念 を 用 い て,こ の 公 理 系 を み

た す 体 系 の 実 例,す

な わ ち モ デ ル を つ くっ て 見 せ れ ば よ い.こ れ は,こ

の公理系

を み た す 体 系 の 存 在 を 証 明 す る もの で あ る.   〔2〕  独 立 性  

公 理 系 に 属 す る1つ の 命 題 が,こ

の 公 理 系 の 他 の 公 理 か ら論

理 的 に 証 明 さ れ る と き,こ の 命 題 は もは や 公 理 で は な く,1つ

の 定 理 で あ る.こ

の 命 題 は 公 理 系 か ら除 外 し て お くべ きで あ る.あ る 公 理 系 に お い て,そ

れ に属す

る い ず れ の 公 理 も他 の 公 理 か ら証 明 す る こ とが で き な い と き,こ の 公 理 系 は 独 立 で あ る とい う.公 理 系 の 独 立 性 を 確 か め る に は,1つ

の 公 理 は み た さ な い が,他

の公 理 を み た す よ うな モ デ ル を 示 せ ば よい.   〔3〕

完全 性

  す で に 知 られ て い る概 念 を用 い て,1つ

の 体 系 が 構成 され て

い る とす る.こ の 体 系 に お い て 成 立 す るい くつ か の 命 題 を 公 理 と し て 採 用 す る こ とに よ り,こ の 体 系 を再 構 成 す る こ とが 考 え られ る.こ れ を こ の 体 系 の 公 理 化 と い う.あ る 体 系 を 公 理 化 す る と き,そ の 公 理 系 は 完 全 で あ る こ とを 要 す る.す な わ ち,こ

の 公 理 系 か ら,こ の 体 系 に お い て 成 立 す るす べ て の 定 理 が 導 か れ な け れ

ば な ら な い.   あ る公 理 系 に お い て,そ れ を み た す 体 系 が 一 意 的 に 定 ま る と き,こ カ テ ゴ リカ ル で あ る とい う.こ の 場 合,1つ の 体 系 の す べ て を 知 る こ とが で き る.た て 座 標 を 定 義 し,1つ る.一 方,公

の公理 系 は

の モ デ ル を 調 べ る こ とに よ っ て,こ

とえ ば,あ

る幾 何 学 で は,数 概 念 を 用 い

の モ デ ル を つ く る こ とが あ る.い わ ゆ る解 析 幾 何 学 で あ

理 系 か ら出 発 し て座 標 を 導 入 す る こ と が で き,そ れ が モ デ ル と 同 じ

解 析 幾 何 学 に 到 達 す る も の で あ れ ば,こ

の 公 理 系 は カ テ ゴ リカ ル で あ る.公 理 系

がカ テ ゴ リカ ル で な い と き,こ れ を み た す す べ て の 体 系 を 決 定 す る こ とが 考 え ら れ る.こ れ は 分 類 問 題 と い わ れ る.分 類 が 完 成 す れ ば,あ

とは お の お の の 体 系 に

つ い て調 べ れ ば よ い.   〔4〕

一般性

 公 理 系 か ら定 ま る 体 系 は,な

広 い 範 囲 に 適 用 され る も の が 望 ま しい.こ カ ル で な い 方 が 便 利 な こ と が あ る.こ を 知 る こ とが で き る.た

と え ば,群

る べ く一 般 的 な も の,す

なわ ち

の た め,公 理 系 と して む し ろ カ テ ゴ リ

の場 合,多

くの 体 系 に 共 通 した 性 質 や 法 則

の公 理 系 な どは,こ

れ をみ たす 体 系 が無 数 に

存 在 し,群 概 念 は あ らゆ る 分 野 に広 く用 い られ て い る.   しか し,公 理 系 が 一 般 性 を も つ こ とは,必

ず し も カ テ ゴ リカ ル で あ る こ とに 反

す る も の で は な い.カ

テ ゴ リ カ ル な 公 理 系 に よ っ て 構 成 され る1つ の 体 系 が あ る

と き,こ の 体 系 を も と に し て い ろ い ろ な 体 系 の モ デ ル を つ く る こ とが で きれ ば, こ の 体 系 は 十 分 一 般 的 な もの で あ る と い え よ う.と

くに,も

と の 公 理 系 に,新

し く公 理 を 追 加 した り,公 理 の 内 容 を 多 少 変 更 し た りす る こ とに よ っ て,い ろ な 体 系 を つ く り出 す こ とが で きれ ば,も す も の と な り,そ れ を 通 じて,諸 で は,射

ら

ろい

と の 体 系 は これ ら の 諸 体 系 の 中 心 を な

体 系 の 相 互 関 係 が 明 らか に され る.古 典 幾 何 学

影 幾 何 学 が こ の よ うな 中 心 的 な 役 割 を 果 す も の で あ る.

  公 理 系 に よ っ て,あ

る 体 系 を 構 成 す る と き,上 述 の 要 請 以 外 に も,ま だ い ろ い

ろ な 考 慮 が 必 要 で あ ろ う.た とえ ば,公 理 の 個 数 は な る べ く少 な く,表 現 を な る べ く簡 単 に,各 公 理 の 間 の 調 和 が とれ る よ うに,重 複 す る 内 容 を 含 ま な い よ う に,あ

るい は あ との 論 理 的 展 開 が 容 易 で あ る よ うに,そ

で あ ろ う.場 合 に よ っ て は,か

の他 い ろ いろ工 夫 が必 要

な り主 観 的 な 配 慮 と な る こ と も あ り得 る.幾 何 学

基 礎 論 の 立 場 か ら,公 理 系 そ の も の を 論 ず る場 合 に は,公 理 系 の 無 矛 盾 性,独 性 な どを 厳 密 に 証 明 し,ま た,い

ろ い ろ な 基 本 的 命 題 の 間 の 論 理 的 関 係 を 明 らか

に し て,公 理 系 の 採 用 理 由 を示 す こ と も必 要 で あ ろ う.し か し,一 度,公 立 て られ,そ

立

理系が

れ を 出 発 点 と し て 実 際 に 幾 何 学 を 展 開 し よ う とす る と き,改 め て公

理 系 選 択 の 過 程 に さか の ぼ っ て議 論 す る こ とは あ ま り意 味 が な い よ う に 思 わ れ る.も

しそ の 公 理 系 に重 大 な 欠 陥 が あ る とす れ ば,理 論 を 展 開 し て い く途 中 で,

そ の体 系 が き わ め て 価 値 の 少 な い 不 自 然 な も の で あ る こ と,あ

るい は 空 論 に す ぎ

な い こ とが 容 易 に 判 明 し て し ま うか ら で あ る.し た が っ て,以 下 の 考 察 で,あ 公 理 系 が 立 て られ た と き,そ れ らに 課 せ られ た 種 々 の要 請 に つ い て は,過

る

去 の人

達 に よ っ て十 分 検 討 ず み で あ る と認 め て,基 礎 論 的 な 追 究 は あ ま り行 な わ な い こ とに し よ う.す な わ ち,数

学 的 に 意 味 が あ るか ら こそ,そ

の よ うな 公 理 系 が 立 て

られ た と考 え て お こ う.   幾 何 学 に お い て,基 礎 とな る概 念 の1つ

は 空 間 と よば れ る も の で,こ

の 幾 何 学 的 体 系 に お け るす べ て の 点 の 集 合 で あ る.空 間 は1つ

の 抽象 的 な集 合 と

い うだ け で な く,そ の上 に あ る種 の 幾 何 構 造 が 導 入 され て い る .こ 造 と は,空

間 と他 の 集 合 との 関 係 を 指 定 す る こ と,あ

つ な 対 象,概

念,数

れ は,そ

こ に,幾 何 構

るい は 空 間 に 対 し て と くべ

量 な どを 指 定 す る こ と を 意 味 す る.こ れ らは 公 理 系 あ るい は

定 義 に よ っ て 定 め られ る も の で あ る.こ の よ うな 幾 何 構 造 を もつ 空 間 の特 性 お よ び幾 何 構 造 そ の も の を 論 ず る数 学 の 分 野 を,現 代 に お い て,幾 何 学 と称 す る の で あ る.   以 下 こ の章 で は,幾 れ ば,こ の5つ

何 学 を構 成 す る 公 理 系 に つ い て 論 及 す る.ヒ ル ベ ル トに よ

れ ら は,結 合 公 理,順

序 公 理,合

同 公 理,連

続 公 理,お

よび 平 行 線 公 理

の 部 分 に 分 け られ て い る.本 書 で も,こ れ に し た が っ て 考 察 を 進 め る.

  1.2  結

合

公

理

  い くつ か の 集 合M,N,… ×… … ×Zを

…,Zに

対 し て,直

積 集 合 の 部 分 集 合Ω ⊂M×N

指 定 す る こ と を,こ れ ら の集 合 の 元 の 間 の 関 係 とい う.幾 何 学 は,

い く種 類 か の 基 本 的 な要 素 に よ っ て 構 成 され る も の で,こ を 規 定 す る 公 理 を 結 合 公 理 とい う.こ こ で,い

れ らの 要 素 の間 の 関 係

ろ い ろな結 合公 理 につ い て考察 す

る.   1.2.1  点

と

直

線

  2つ の 集 合E,Lが

与 え られ,こ

た とす る.集 合Eを 合 と よ ん で,そ

れ らの 元 の 間 の 関 係Ω ⊂E×Lが

空 間 と よん で,そ の 元 を 点 と よ ぶ.ま

の 元 を 直 線 と よぶ.点A∈Eと

に あ る と き,直 線lは

点Aを

た,集 合Lを

直 線l∈Lと

通 る,ま た は,点Aは

指 定 され 補 助集

が 関 係(A,l)∈

直 線l上

Ω

に あ る とい う.こ

の と き,次 の 結 合 公 理 を 立 て る.   〔A1〕  異 な る2点 を 通 る 直 線 は た だ1つ   〔A2〕   1直 線上 に は,少

(直 線 公 理)

な く と も異 な る2点 が 存 在 す る. 

  こ の2公 理 を み た す 体 系{E,L,Ω}を とい う.2系

存 在 す る. 

結 合 幾 何 とい い,空

の 結 合 幾 何{E,L,Ω},{E′,L′,Ω′}に

(2点 公 理) 間Eを

結合 空 間

対 して,写 像

f:E→E′, g:L→L′ が 与 え られ れ ば,写

像

α:E×L→E′ が 引 き起 こ され る.と f,gに

×L′,  α(A,l)=(f(A),g(l))

くに,α(Ω)⊂Ω′ で あ る と き,こ の2系

よ っ て準 同 型 で あ る とい わ れ る.さ

射 で あ る と き,こ

の2系

ら に,f,gお

の結 合幾何 は写像

よ び α:Ω →Ω′が 全 単

の結 合 幾 何 は 同 型 で あ る と い わ れ る.結 合 幾 何 に つ い て

考 察 す る と き,同

型 な2系

合 幾 何{E,L,Ω}に

の 結 合 幾 何 は 体 系 と し て 同じ も の と 見 な し て よ い.結

お い て,点

ば,こ

れ ら の 元 の 間 の 関 係Λ=Ω

Λ}に

お い て は,結

合公理

集 合F⊂Eと

直 線 集 合N⊂Lと

∩(F×N)が

が 与 え られ れ

引 き 起 こ さ れ る.体

〔A1〕,〔A2〕

系{F,N,

が み た さ れ る と は 限 ら な い が,こ

の

体 系 を も と の 体 系 の 部 分 幾 何 と い う.   公 理 〔A1〕 をA∨Bで

か ら,異

な る2点A,B∈Eを

表 わ し,2点A,Bを

理 〔A2〕 る2点

か ら,直

を 含 む.よ

S(g)な

結 ぶ 直 線 と い う.結

線l∈L上 っ て,公

ら ば,l=gで

通 る 直 線 が た だ1つ

定 ま る.こ

合 空 間Eに

に あ る す べ て の 点 の 集 合S(l)は 理

〔A1〕

あ る.そ

か ら,2直

こ で,空

お い て,公

少 な く と も異 な

線l,g∈Lに

間E内

れ

対 し て,S(l)=

の 点集 合 族

L′={S(l)￨l∈L} を と れ ば,写

像S:L→L′

は 全 単 射 で あ る.こ

の 対 応 で,直

線lと

点 集 合S(l)

と を 同 じ も の と 見 な す こ と が で き る.   定 理1.1 

結 合 幾 何 で は,補

助 集 合 を1つ

の 点 集 合 族 と し て 実 現 す る こ とが で

き る.   す な わ ち,直

線 は あ る 種 の 点 集 合 と 見 な さ れ,直

合 と し てA∈lで

あ る こ と を 意 味 す る.し

い う代 わ り に,"直

線lが

い う表 現 を 用 い て よ い.な

点Aを

と い わ れ,そ

含 む"あ

お,2直

線lが

た が っ て,"直

点Aを 線lが

る い は,"点Aは

集 合 か ら 成 る 集 合 族 を 図 形 と い う.た

点Aを

直 線lに

線 が 同 じ 点 を 通 る と き,こ

の 点 を 交 点 ま た は 共 有 点 と い う.結

通 る と は,集 通 る"と 属 す る"と

の2直

線 は 交わ る

合 幾 何 に お い て,い

くつ か の 点

と え ば,1直

線,交

わ る2直

線,な

どは 図

形 で あ る.   例1. 

E=φ,L=φ,あ

合,L=φ

だ か らΩ=φ

れ る.な

ぜ な ら,異

ま た,直

線 が1つ

  例2. 

で あ る.こ

だ け),L=φ

の と き公 理 〔A1〕,〔A2〕

な る2点 が 存 在 し な い 以上,公 もな い か ら,公 理 〔A2〕

A,Bの2人

っ て い る ら しい.AとBと とす る.2つ

るい はE={A}(1点

れ らの場

が み た され る と考 え ら

理 〔A1〕 の 規 定 に 反 す る こ と は な く,

に 反 す る こ と もな い.

は た が い に 好 意 を も っ て い る.し の 好 意 をlで

と す る.こ

表 わ し,Bが

の 集 合E={A,B},L={l,h,k},に

のは (A,l),(B,l),(B,h),(B,k)

か し,Bは

他 の 人 に も好 意 を も

も っ て い る他 の 人 へ の 好 意 をh,k 対 し て,関

係Ω ⊂E×Lに

あるも

で あ る.こ 〔A2〕

の関 係 で は,公 理 〔A1〕

は み た され な い.こ

と な る.す

は み た され るが,公

理

の 場 合,

な わ ち,直 線h,kを

点集 合 として実現す る こと

は で きな い.   例3. 

2つ の都 市K,Oを

結 ぶ2つ

の 電 鉄h,kが

る.h線 がk線

はT市 はT市

あ

を経 由 す る

を 通 ら な い.

2つ の 集 合E={K,O, T},L={h,k}に

図1.1

 

対 し て,関

係Ω に あ る も の は

(K,h),(O,h),(T,h),(K,k),(O,k)

で あ る.こ

の関 係では

は み た さ れ な い.こ

〔A2〕

の 場 合,直

は 定 ま る が 直 線O∨Kは   例4. 

3つ

は み た さ れ る が,〔A1〕 線O∨T=T∨K=h

定 ま ら な い.

の 通 信 衛 星N,H,Kが

に 電 送 して い る.NとHと 間 の電 波 をN∨Hの

あ っ て,た

がい

の よ うに

表わ し   E={N,H,K},   L={N∨H,H∨K, K∨N}

図1.2

とす れ ば,こ で あ る.こ

れ は 公 理 〔A1〕,〔A2〕 の場 合,補

助 集 合Lは

をみ たす か ら結合幾 何 集 合 族 と し て 表 わ され て い

図1.3

る.   例5. E={A,B,C,D},L={A∨B,A∨C, A∨D,B∨D},た

だ しC∈B∨Dと

す る,こ れ は 結

合 幾 何 で あ る.   例6.  Eと E上

少 な く と も 異 な る2点

して,L={l}(1直

を含 む 任 意 の集 合を

線 だ け)と

す る.直

の す べ て の点 を 通 る も の とす れ ば,こ

何 で あ る.こ

の 場 合,直 線lは

  こ の よ うに,い

れ は結 合幾

点 集 合 と し て 空 間Eに

図1.4

一 致 す る.

ろ い ろ な 例 を つ くる こ とが で き る.結 合 公 理 で は,点

て の 直 線 に つ い て,異 実 際,例6で

線lは

集合 とし

な る2点 を 含 む と い う こ と以 外 に は 何 も規 定 し て い な い.

示 され る よ うに,空

間 あ る い は 直 線 と し て任 意 の 集 合 を と る こ とが

で き る.点 集 合 と し て の 直 線 の 特 性 は,あ

とで 順 序 公 理,連

続公 理 な どに よ って

規 定 さ れ る. 1.2.2 

部

分

  結 合 空 間Eに

空

間

お い て,点 集 合S⊂Eが

次 の条 件 を み た す と き,SをEの

部

分 空 間 とい う.す な わ ち,   異 な る2点 がSに

属 す れ ば,こ

の2点

を通 る直 線上 の す べ て の 点 が またSに

  属 す る.   こ の 定 義 か ら,1直

線lお

よ び 空 間E自

身 は 部 分 空 間 で あ る.と

Aお よ び 空 集 合 φ も ま た 部 分 空 間 と見 な され る.明   定 理1.2  よ っ て,や

結 合 空 間Eの

部 分 空 間Sは,そ

くに,1点

らか に,

の上 に 引 き起 こ され る結 合 関 係 に

は り結 合 空 間 とな る.

  す な わ ち,部 分 空 間Sに 何{S,N,Λ}に   定 理1.3 

含 まれ るす べ て の直 線 の 集 合 をNと

お い て,や は り結 合 公 理 〔A1〕,〔A2〕

す れ ば,部

分幾

が み た され る.

結 合 幾 何 に お い て,部 分 空 間 か ら成 る点 集 合 族 の 交 集 合 も ま た 部 分

空 間 で あ る.   証 明   部 分 空 間 族{Si￨i∈I}に

お い て,交 集 合 を

とす る.異 な る2点A,BがSに i∈Iに

属 す れ ば,交

対 し て,A,B∈Siで

よ っ て,A∨B⊂Sで

あ る.Siは

集 合 の定 義 か ら,す べ て の 添 字

部 分 空 間 だ か ら,A∨B⊂Siと

あ る.す な わ ち,Sは

部 分 空 間 とな る. 

な る. (証 終)

  い くつ か の 部 分 空 間 が 同 じ点 を 含 む と き,こ れ らの 部 分 空 間 は 交 わ る と い わ れ,こ

の 点 を 交 点 また は 共 有点 とい う.

  点 集 合X⊂Eに

対 し て,Xを

これ らの 交 集 合 をS(X)と て,点 集 合Xを

含 む.し

す れ ば,定 か もS(X)は

れ る.す な わ ち,S(X)はXを を 点 集 合Xで

含 む す べ て の部 分 空 間 か ら成 る点 集 合 族 を と り, よ り,S(X)は

点 集 合Xを

部 分空 間 で あ っ

含 む任 意 の部 分空 間 に含 ま

含 む 最 小 の 部 分 空 間 で あ る と い え る.こ のS(X)

張 ら れ る部 分 空 間 とい う.な

2点 し か 含 ま な い と き,空 間Eの   結 合 幾 何 に お い て,補 助 集 合Lが な る2点

理1.3に

を 含 む こ とが で きな い.よ

お,空

間Eの

いず れ の直 線 もただ

任 意 の 点 集 合 は 部 分 空 間 で あ る. 空 な らば,公 理 〔A2〕 っ て 空 間Eは

か ら,空 間Eは

空 集 合 か ま た は た だ1点

異 とな

り,例1の

場 合 し か な い.ま

たLが

空 で な け れ ば,次

の2公 理 の い ず れ か 一 方

が 成 立 す る.   〔A3〕   同 じ直 線上 に な い3点 が 存 在 す る.    〔A3〕′

空 間Eは

直 線 で あ る. 

(直 線 制 限 公 理)

  公 理 〔A3〕′ が 成 り立 つ と き,空 間E自 が,空,1点,あ

(点 直 線 公 理)

る い は1直

身 が た だ1つ

の 直 線 とな る.空 間E

線 に す ぎ な い 場 合 を 除 外 す れ ば,い

つ も公 理 〔A3〕

が 成 り立 つ と し て よい.   同 じ直 線上 に な い3点A,B,Cが B∨Cが

定 ま る.こ

△ABCで

あ れ ば,異

な る3直 線,A∨B,A∨C,

れ ら の6つ の 要 素 か ら成 る 図 形 を 三 角 形 と よ ん で,簡

表 わ し,3点A,B,Cを

を そ の 辺 直 線 と い う.1つ

そ の 頂 点,3直

の 三 角 形 は 公 理 〔A3〕

単に

線A∨B,A∨C,B∨C を み た す 最 も簡 単 な 結 合 幾 何

を 構 成 し て い る.   公 理 〔A3〕

が み た され れ ば,空

間Eに

は 少 な く と も1つ の 三 角 形 が 存 在 す

る.三 角 形 の3頂 点 で 張 られ る部 分 空 間 を こ の 三 角 形 の 支 持 面 と い う.支 は,1直

線,1点,あ

るい は 空 集 合 の い ず れ と も異 な る 部 分 空 間 で あ る.空 間E

自身 が あ る 三 角 形 の 支 持 面 で あ っ て も よ い.し か し,今 の と ころ で は,あ 形 の 支 持 面 の 真 部 分 集 合 が 他 の 三 角 形 の 支 持 面 と な る か も知 れ な い.す △ABCの

支 持 面S上

の 支 持 面S′

はSに

う保 証 は な い.三 い て は,あ

の 点A′,B′,C′

と で 順 序 公 理,あ

とSと

が一 致す るとい

る い は 平 行 線 公 理 に よ っ て 規 定 され る.

面

の 元 と集 合L1,L2の

の 集 合E,L1,L2が

元 と の 間 の 関 係 

元 を 直 線,L2の

が 関 係(A,l)∈Ω1に

に あ る とい う.同 様 に,点A∈Eと

た,集

元 を 平 面 と よぶ.点A∈Eと

あ る と き,直 線lは

点Aを

合L1,L2を

合E

平 面u上

補 助集

直 線l∈L1と

通 る,ま た は,点Aは

平 面u∈L2と

点Aを 通 る,ま た は,点Aは

与 え られ,集

が 指 定 され た と

空 間 と よん で そ の 元 を 点 と よぶ.ま

合 と よ ん で,L1の

と き,平 面uは

な わ ち,

の3頂 点 か ら どの よ うに 決 定 され る か に つ

  あ ら た め て,次 の 体 系 を 考 え る.3つ

す る.集 合Eを

る三 角

を 頂 点 とす る △A′B′C′ が あ れ ば,そ

含 まれ る こ と は 確 か で あ る が,S′

角 形 の 支 持 面 が,そ

  1.2.3  平

持 面

が 関 係(A,u)∈Ω2に

直 線l上 ある

に あ る と い う.こ の と き,

次 の 結 合 公 理 を 立 て る.   〔A1〕  異 な る2点 を 通 る直 線 は た だ1つ

存 在 す る. 

(直 線 公 理)

  〔A2〕   1直 線上 に は,少

な く と も異 な る2点 が 存 在 す る. 

  〔A3〕   1平 面上 に は,同

じ直 線上 に な い3点 が 存 在 す る.  (点 直 線 公 理)

  〔A4〕   同 じ直 線上 に な い3点   〔A5〕

異 な る2点 が1平

を 通 る平 面 は た だ1つ 存 在 す る.(平

面上 に あ れ ば,こ

の2点

(平 面 線 形 公 理)

  体 系{E,L1,L2,Ω1,Ω2}は は,こ

こ の5公 理 を み た す も の とす る.公 理 〔A1〕,

の 体 系 が 点 と直 線 と に 関 し て結 合 幾 何 で あ る こ とを 示 して い る.

補 助 集 合L2が

空 で な け れ ば,公

理 〔A3〕

か ら,空 間Eに

の 三 角 形 が 存 在 す る,結 合 幾 何 で は,直 線lと す こ と に よ っ て,補 助 集 合L1をEの 同様 に,平

面u∈L2上

〔A3〕,〔A4〕 で あ る.ゆ

え に,平

l⊂uと

面uと

面u,υ

1直 線,1点,あ   定 理1.4 

を 同 じ も の と見 な

線l∈L1上

す る.公

∈L2に 対 し て,S(u)=S{υ)な

点 集 合S(u)と

また 空 間E内

な る.こ

点 集 合S(l)と

部 分 空 間 族 と し て 実 現 す る こ とが で き た.

を 同 じ も の と見 な す こ と が で き て, の と き,平 面u

な る こ とを 意 味 す る,公

の 異 な る2点 が 平 面u∈L2上

れ は 平 面uがEの

理

らば,u=υ

の 点 集 合 族 と し て 実 現 され る.こ

通 る と は,点 集 合 と し てA∈uと

に よれ ば,直

は 少 な く と も1つ

に あ る す べ て の 点 の 集 合 をS(u)⊂Eと

か ら,2平

補 助 集 合L2も が 点Aを

面 公 理)

を 通 る直 線上 のす べ て の 点

が こ の 平 面上 に あ る. 

〔A2〕

(2点 公 理)

に あ れ ば,点

理 〔A5〕 集 合 として

部 分 空 間 で あ る こ とを 示 し て い る.平 面 は,

る い は 空 集 合 の いず れ と も異 な る部 分 空 間 で あ る. 2平 面 が 同 じ直 線上 に な い3点

を 共 有 す れ ば,こ

の2平 面 は 一 致 す

る.   証 明   これ は,公

理 〔A4〕

の い い か え に す ぎな い. 

  同 じ直 線上 に な い3点A,B,Cを

通 る平 面uは

の 部 分 空 間 で あ る.し か し,平 面uが3点A,B,Cで 一 致 す る と は 限 ら な い .す と は 確 か で あ る が,Sとuと 公 理 〔A4〕 な い.

な わ ち,△ABCの

(証終)

た だ1つ

定 ま り,そ れ はE

張 られ る部 分 空 間Sに 支 持 面Sは

平 面uに 含 まれ る こ

が 一 致 す る と い う保 証 は な い.一 般 に,空

を み た し て も,Eの

部 分 空 間Tが

公 理 〔A4〕

間Eが

を み た す とは 限 ら

  例   空 間Eは た だ2点

異 な る4点 か ら成 る と し,任

意 の直線 は

しか 含 ま な い とす る.

E={A,B,C,D} L1={A∨B,

B∨C,

L2={E}(1平 とす れ ば,こ

D∨A,

A∨C,

B∨D}

面 だ け)

れ は,公

理 〔A1〕 ∼ 〔A5〕

合S={A,B,C}は Eと

C∨D,

△ABCの

を み た す.点

集

支 持 面 で あ る が,平

面

は 一 致 しな い.

  定 理1.5  点,あ

異 な る2平

面 の 交 集 合 は,1直

図1.5

線,1

る い は 空 集 合 の い ず れ か で あ る.

  証 明   平 面 は 部 分 空 間 で あ るか ら,異 な る2平 面u,υ 部 分 空 間 で あ る.交 集 合  な る2点A, 

 で あ れ ば そ れ で よい.も

て,u=υ   定 理1.6 

面u,υ

  定 理1.7 

線A∨Bは

交 集 合 

し,直 線A∨B上

は3点A,B,Cを

とな る.こ れ は 

に 含 まれ る.

に な い 点 

が

共 有 す るか ら,定 理1.4に

とい う仮 定 に 反 す る. 

よっ

(証 終)

平 面 は 他 の 平 面 を 含 まな い.

  証 明   2平 面u,υ か ら,u=υ

もまた

が 空 集 合 また は た だ1点 で あ れ ば そ れ で よ い.異

が 存 在 す れ ば,直

存 在 す れ ば,2平

の 交 集 合 

に お い て,u⊂

υ とす れ ば, 

で あ る.定

で な け れ ば な らな い. 

理1.5 (証終)

異 な る2直 線 が 交 わ れ ば,こ

の2直 線 を 含 む 平 面 は た だ1つ 存 在 す

る.

  証 明   異 な る2直 線l,hが 点 は な い.公 理 〔A2〕

交 点Oを

も て ば,公

か ら,l,h上

理 〔A1〕

に は そ れ ぞ れ,点Oと

存 在 す る.公

理

〔A4〕

い3点O,A,Bを 〔A5〕

Bを

線l,hを

通 る か ら,定

な 平 面 は た だ1つ 図1.6

  定 理1.8 

外 の交

異 な る 点A,Bが か ら,同

じ直 線 上 に な

通 る 平 面uが

か ら,平

逆 に,2直

か ら,O以

面uは2直

定 ま る .公

線l,hを

理

含 む.

含 む 平 面 は3点O,A, 理1.4に

よ っ て,こ

存 在 す る. 

1平 面 上 の 任 意 の1点

の よう (証 終)

を 通 っ て,

こ の 平 面 上 に,異

な る2直 線 が 存 在 す る.

  証 明   平 面u上

の 任 意 の 点Oに

3点O,A,B∈uを

対 し て,公 理 〔A3〕

と る こ とが で き る.2直

か ら,同

じ直 線 上 に な い

線O∨A,O∨Bが

求 め る もの で

あ る. 

(証終)

  定 理1.9 

1直 線 上 に な い 任 意 の1点

を 通 っ て,こ

の 直 線 を 含 む 平 面 が た だ1

つ 存 在 す る.   証 明   直 線l上

に な い 点 をOと

し,直 線l上

同 じ直 線 上 に な い3点O,A,Bを 面uは 点Oを た だ1つ

の異 な る2点 をA,Bと

通 る 平 面uが

通 り,直 線l=A∨Bを

す れ ば,

定 ま る.公 理 〔A5〕

含 む.定 理1.4か

か ら,平

ら,こ の よ うな 平 面 は

存 在 す る. 

  定 理1.10 

空 間Eが

(証終) た だ1つ

の 平 面 を もつ と き,か

つ そ の と き に 限 り,E

自身 が 平 面 とな る.   証 明  空 間Eが し て,こ

た だ1つ

の 平 面u⊂Eを

の 点 を 通 る 平 面 υを とれ ば,仮

と な り,Eとuと 平 面Eは

は 一 致 す る.逆 に,E自

もつ とす る.任

定 に よ りu=υ

意 の 点X∈Eに

で あ る.ゆ

身 が 平 面 で あ れ ば,定

え にX∈u

理1.6か

他 の 平 面 を 含 ま な い. 

  結 合 空 間Eに

お い て,補 助 集 合L2が

対

ら,

(証終) 空 で な け れ ば,次

の2公 理 の い ず れ か

一 方 が 成 立 す る.   〔A6〕   同 じ平 面 上 に な い4点 が 存 在 す る.    〔A6〕 ′ 空 間Eは   定 理1.10か

(点 平 面 公 理)

平 面 で あ る. 

(平 面 制 限 公 理)

ら,公 理 〔A6〕 ′が 成 立 す る の は,空

間Eが

た だ1つ

の平 面 と

な る場 合 で あ る.少 な く と も異 な る2平 面 が 存 在 す る場 合 に は,公 理 〔A6〕

が

成 立 す る.   1.2.4  立

体

  あ ら た め て,次 の 体 系 を 考 え る.4つ 合Eの

元 と集 合L1,L2,L3の

が 指 定 さ れ た と す る.集 L1,L2,L3を

合Eを

の 集 合E,L1,L2,L3が

与 え られ,集

元 との間 の関 係

空 間 と よ ん で,そ

補 助 集 合 と よ ん で,L1の

の 元 を 点 と よ ぶ .ま

元 を 直 線 ,L2の

元 を 平 面,そ

た,集 し てL3

合

の 元 を 立 体 と よぶ.   関 係(A,l)∈

Ω1に あ る と き,直 線lは

に あ る と い い,関 Aは 平 面u上

係(A,u)∈

通 る,ま た は,点Aは

Ω2に あ る と き,平 面uは

に あ る とい う.そ し て,点A∈Eと

∈Ω3に あ る と き,立 体 σは 点Aを う.点,直

点Aを

線,平

通 る,ま

点Aを

通 る,ま た は,点

立 体 σ∈L3と た は,点Aは

直 線l上

が 関 係(A,σ)

立 体 σ上 に あ る とい

面 に つ い て は 結 合 公 理 〔A1〕 ∼ 〔A5〕

が 成 り立 つ もの と し,

立 体 に つ い て は 次 の 結 合 公 理 を 立 て る.   〔A6〕   1立 体 上 に は,同

じ平 面 上 に な い4点 が 存 在 す る. 

(点 平 面 公 理)

  〔A7〕   同 じ平 面 上 に な い4点

を 通 る 立 体 は た だ1つ 存 在 す る. (立 体 公 理)

  〔A8〕  同 じ直 線 上 に な い3点

が1立

す べ て の 点 が,こ

の3点

の 立 体 上 に あ る. 

  公 理 〔A1〕 ∼ 〔A5〕 た 平 面uと

体 上 に あ れ ば,こ

(立 体 線 形 公 理)

か ら,直 線lと

点 集 合S(u)と

を 通 る平 面 上 の

点 集 合S(l)と

を 同 じ も の と見 な し,ま

を 同 じ も の と見 な し て,補 助 集 合L1,L2をE内

部 分 空 間 族 と し て 実 現 す る こ とが で きた.同

様 に,任

σ 上 に あ るす べ て の 点 の 集 合 をS(σ)⊂Eと

す る.公 理 〔A6〕,〔A7〕

2立 体 σ,τ∈L3に

対 し て,S(σ)=S(τ)な

体 σ と点 集 合S(σ)と E内

意 の 立 体 σ∈L3に

らば,σ=τ

の 対 し て, か ら,

で あ る.ゆ え に,立

を 同 じ もの と見 な す こ とが で き て,補

助 集 合L3も

また

の 点 集 合 族 と し て 実 現 され る.こ の と き,立 体 σが 点Aを 通 る と は,点 集 合

と し てA∈

σ とな る こ とを 意 味 す る.公 理 〔A8〕

に よ っ て,同

3点 が 立 体 σ上 に あ れ ば,こ の3点 を 通 る平 面uは,点 平 面 はEの 1平 面,1直   定 理1.11 

部 分 空 間 で あ る か ら,立 線,1点,あ

集 合 と し てu⊂ σ とな る. 部 分 空 間 で あ る.立

2立 体 が 同 じ平 面 上 に な い4点

を 共 有 す れ ば,こ

の い い か え に す ぎな い. 

っ て σ=τ   定 理1.13 

れ ら は 一 致 す る. (証終)

立 体 は 他 の 立 体 を 含 まな い.

  証 明   2立 体 σ,τ に お い て,σ ⊂τ とす る.公 理 〔A6〕 上 に な い4点

体 は,

るい は 空 集 合 の い ず れ と も異 な る部 分 空 間 で あ る.

  証 明   これ は,公 理 〔A7〕   定 理1.12 

体 も ま たEの

じ直 線 上 に な い

を 含 む.こ

の4点

は もち ろ ん τに も含 まれ るか ら,定 理1.11に

で あ る.  空 間Eが

か ら,σ は 同 じ平 面

(証終) た だ1つ

の 立 体 を も つ と き,か

つ そ の と き に 限 り,E

よ

自身 が 立 体 とな る.   証 明   空 間Eが して,こ

の 立 体 σ⊂Eを

の 点 を 通 る 立 体 τを とれ ば,仮

とな り,Eと 立 体Eは

た だ1つ

σ と は 一 致 す る.逆

にE自

もつ とす る.任

定 に よ り σ=τ

意 の 点X∈Eに

で あ る.ゆ

え にX∈

身 が 立 体 で あ れ ば,定 理1.12か

他 の 立 体 を 含 まな い. 

  結 合 空 間Eに

対 σ

ら,

(証終)

お い て,補 助 集 合L3が

空 で な け れ ば,次

の2公 理 の い ず れ か

一 方 が 成 立 す る.   〔A9〕   同 じ 立 体 上 に な い5点   〔A9〕 ′ 空 間Eは   定 理1.13か

が 存 在 す る. 

(点 立 体 公 理)

立 体 で あ る. 

(立 体 制 限 公 理)

ら,公 理 〔A9〕 ′が 成 立 す る の は,空 間Eが

た だ1つ

の立体 と

な る場 合 で あ る.   さ らに,次

の公 理 を 立 て る.

  〔A10〕  同 じ立 体 に 含 ま れ る2平 面 が1点

を 共 有 す れ ば,こ

れ らは さ ら に 他 の

1点 を 共 有 す る. 

(交 線 公 理)

  公 理 〔A1〕 ∼ 〔A8〕 ば,い

を み た す 結 合 幾 何 に お い て,補 助 集 合L3が

空 でな けれ

つ も公 理 〔A10〕 が み た され る も の とす る.こ の と き,

  定 理1.14 

異 な る2平 面 が 同 じ立 体 に 含 まれ,か

つ 共 有 点 を も て ば,こ

れら

は1直 線 で 交 わ る.   証 明  異 な る2平 面u,υ

が 立 体 σに 含 ま れ,か

〔A10〕 か ら,こ れ らは 他 の 点Bを を 含 む か ら,定 理1.5に   1.2.5  線

形

空

  結 合 幾 何 で は,同 が こ の3点

つ 点Aを

共 有 す る.交 集 合 

共 有 す れ ば,公

理

は 異 な る2点A,B

よ っ て,こ れ は 直 線 で あ る. 

(証終)

間

じ直 線 上 に な い3点

を 含 む 平 面 は た だ1つ

で 張 ら れ る部 分 空 間 に 一 致 す る と は 限 ら な い.そ

存 在 す るが,そ こ で,次

れ

の公理 を立

て る.   〔A11〕  三 角 形 を 含 む 平 面 上 の 任 意 の 点 を 通 っ て,こ の 三 角 形 の 辺 直 線 に 少 な く と も 異 な る2点

で 交 わ る直 線 が 存 在 す る. 

  公 理 〔A11〕 を み た す 結 合 幾 何 を 線 形 幾 何 とい い,そ う.

(一 般 交 点 公 理) の空 間 を線 形 空 間 と い

  定 理1.15  な い3点

線 形 空 間 に お い て,同

じ直 線 上 に

で 張 られ る部 分 空 間 は 平 面 で あ る.

  証 明   同 じ直 線 上 に な い3点A,B,Cを 平 面 をuと

通る

し,こ の3点 で 張 ら れ る部 分 空 間 をS

とす れ ば,S⊂uで 意 の 点X∈uに

あ る.公

理 〔A11〕 か ら,任

対 し て,点Xを

通 っ て △ABC

の 辺 直 線 に 異 な る2点D,Fで

交 わ る 直 線lが

で あ る か ら 直 線l=D∨FはSに

含 ま れ,か

に 含 ま れ る.よ

っ て,u=Sと

  定 理1.16 

図1.7

存 在 す る.こ つX∈lで

の と き,D,F∈S

あ る か ら,点XはS

な る. 

線 形 空 間 に お い て,同

(証 終)

じ 平 面 上 に な い4点

で 張 られ る部 分 空 間 は

立 体 で あ る.   証 明   同 じ 平 面 上 に な い4点A,B,C,Dを

通 る 立 体 を σ と し,こ

張 ら れ る 部 分 空 間 をTと い ま,立

す れ ば,T⊂

体 σ 上 の 点XがTに

定 す る.定

理1.15を

点Yを

し,3点C,D,Xで

D,Yで ら,平

図1.8

Tに

か ら,2平

も つ.し

張 ら

張 ら れ る.こ

立 体 は 同 じ平 面 上 に な い4点 て,補

助 集 合L2,L3を

面,立

外 の交

面 υ は ま た3点C, はTに

含 ま れ るか

れ は 点X∈

で あ る. 

υが

(証終)

で 張 られ る部 分 空 間 と し て,ま た

で 張 られ る 部 分 空 間 と し て定 義 され る.し

た がっ

初 め か ら 指 定 す る必 要 が な い.線 形 幾 何 の結 合 公 理 と し

て は,〔A1〕,〔A2〕,〔A3〕,〔A10〕,お は,平

の3点

は 点C以

含 ま れ る.こ

含 まれ な い とい う仮 定 に 反 す る.ゆ え にT=σ

  線 形 空 間 で は,平 面 は 同 じ直 線 上 に な い3点

⊂ σ で あ る.公

面u,υ

た が っ て,平

面 υ はTに

σ で あ る.

含 まれ な い と 仮

れ る 平 面 を υ と す れ ば,u⊂T,υ 〔A10〕

で

考 慮 し て,3点A,B,C

で 張 ら れ る 平 面 をuと

理

の4点

よ び 〔A11〕 で よ い.そ

の他 の公理

体 の 定 義 か ら導 か れ る.線 形 空 間 で は 三 角 形 の 支 持 面 は 必 ず 平 面 で

あ る.ま た 線 形 空 間 の 部 分 空 間 は や は り線 形 空 間 で あ る.1つ 部 分 空 間 は,そ

れ 自身,平 面,直

線,1点,あ

の 立 体 に 含 まれ る

る い は空 集 合 の い ず れ か で あ る.

  一 般 の 結 合 幾 何 に お い て も,補 助 集 合L2,L3を て,代

初 め か ら指 定 す る こ と を や め

わ りに 平 面 や 立 体 を 定 義 して お け ば ど うな るで あ ろ うか.す

と は 同 じ直 線 上 に な い3点 な い4点

で 張 ら れ る部 分 空 間 と定 義 し て お く.こ

〔A5〕,〔A6〕,〔A8〕 〔A7〕

で 張 ら れ る部 分 空 間,そ

の 場 合,確

面

体 とは 同 じ平 面 上 に か に 公 理 〔A3〕,

が 成 立 す る.し か し,す で に 述 べ た よ うに,公 理 〔A4〕,

の 成 立 は 保 証 され な い の で,非

常 に 都 合 が 悪 い.こ

理 〔A11〕 が み た さ れ れ ば 公 理 〔A4〕 仮 定 す れ ば,公

して,立

な わ ち,平

理 〔A7〕

が 成 立 し,さ

の と き,一

般 交 点公

ら に,交 点 公 理 〔A10〕 を

が 成 立 す る.線 形 幾 何 の 公 理 系 は この よ うに 構 成 され

て い る.   な お,線

形 幾 何 で は,ふ つ う,次 の 公 理 を 立 て て空 間 を制 限 し て お く.

  〔A12〕  有 限 個 の 点 が 存 在 し て,空

間Eは

これ ら の 点 で 張 られ る. (制 限 公 理)

  本 書 で 扱 わ れ る幾 何 は い ず れ も線 形 幾 何 で あ るが,公 理 〔A11〕 は 別 の 公 理 か ら,必 然 的 に 導 か れ る場 合 が 多 い.た

とえ ば,〔A11〕

の 代 わ りに,次

の公 理 を

考 え る.   〔A13〕   1直 線 上 に は,少

な く と も 異 な る3点 が 存 在 す る. 

  〔A14〕  三 角 形 を 含 む 平 面 上 の 直 線 は,こ

の 三 角 形 の 少 な く と も2つ の 辺 直 線

に 交わ る

 (擬 似 交 点 公 理)   定 理1.17 

三 角 形 を 含 む 結 合 空 間 が 公 理 〔A13〕,

〔A14〕 を み た せ ば,こ   証 明   △ABCを

れ は 線 形 空 間 で あ る.

含 む 平 面u上

公 理 〔A13〕 か ら,△ABCの の 点 が 存 在 す る.ゆ

〔A14〕 か ら,直

間 は 線 形 空 間 で あ る. 

点Fを

通 る.よ

の 任 意 の 点Xを

と る.

各 辺直 線 上 には 頂点 以 外

え に,点Xお

と異 な る 辺 直 線 上 の 点Dを

図1.9

(3点 公 理)

よ び 頂 点A,B,C

と る こ と が で き る.公

線l=X∨DはD以

理

外 の 辺 直線 上 の

っ て,公 理 〔A11〕 が み た され,こ

の空

(証終)

  1.3  順

序

公

理

  結 合 空 間Eに

お い て,直 線,平

が,こ

集 合 と して,ど

れ らが,点

さ れ て い な い.直

体 はEの

部 分 空 間 と し て 表 わ され る

の よ うな も の で あ るか に つ い て は ほ とん ど規 定

線 上 の 点 の 順 序 関 係 を 規 定 す る公 理 を 順 序 公 理 とい う.

  結 合 空 間Eの3点 Cが

面,立

の 間 の 関 係 Γ⊂E×E×Eが

関 係(A,B,C)∈

指 定 さ れ た と し,3点A,B,

Γ に あ る と き,点Bは2点A,Cの

間 に あ る と い う.

この と き,次 の 公 理 を 立 て る.   〔B1〕  点Bが2点A,Cの あ っ て,点Bは

間 に あ れ ば,こ

また2点C,Aの

れ ら は1直

線 上 の 異 な る3点 で

間 に あ る. 

  〔B2〕  異 な る2点A,Bに

(双 対 順 序 公 理)

対 し て,点Cが

存 在 し て,点Bが2点A,C

の 間 に あ る. 

(延 長 公 理)

  〔B3〕  任 意 の3点

の うち で,1つ

よ り多 くの 点 が 他 の2点

な い. 

(直 線 順 序 公 理)

  結 合 空 間Eは

こ の3公 理 を み た す も の とす る.異

線 分 と よ ん で,ABで とい い,点Pは

表 わ す.2点A,Bの

線 分ABを

ABと

の 点 で,線

外 点 とい い,点Qは

い う と き,こ れ は 線 分ABの

を 明 示 した い と き に は,開 に2端

点A,Bを

  空 間E内 分,ま

な る2点A,B∈Eの

間 に あ る点Pを

分ABの

線 分ABを

内点

線 分ABの

内 点 で も端 点 で も な い 点Qを 外 分 す る と い う.ふ

つ う,線

す べ て の 内 点 の 集 合 を も意 味 す る.こ

線 分 と よん で(A,B)で

表 わ す.ま

た,こ

つ け 加 え た 集 合 を 閉 線 分 と よ ん で,[A,B]で

の △ABCに

組を

線 分ABの

内 分 す る とい う.ま た,2点A,Bを

端 点 とい う.直 線A∨B上 線 分ABの

の 間 に あ る こ とは

お い て,3線

た は 簡 単 に 辺 とい う.そ こ で,次

分AB,AC,BCを

分

のこと

の開線 分

表 わ す. この三 角形 の辺 線

の 公 理 を 立 て る.

  〔B4〕  三 角 形 を 含 む 平 面 上 の 直 線 が 頂 点 を 通 ら な い と し,こ の 三 角 形 の1辺 の 内 点 を 通 れ ば,こ

の 直 線 は 他 の2辺 の うち の1辺

の 内 点 を 通 る. (平 面 順 序 公 理)

  公 理 〔B1〕 ∼ 〔B4〕

を 順 序 公 理 と よぶ こ とに し,結

合 空 間Eは

を み た す も の とす る.   定 理1.18 

異 な る2点

に 対 し て,こ れ ら の 間 に あ る 点 が 存 在 す る.

この4公 理

(稠 密 性)   証 明   異 な る2点 をA,Bと 上 に な い1点Dを 直 線A∨D上

内 点 と な る.さ

の 点Fが

存 在 し て,点Bは

ら,公

理

〔B4〕

に よ っ て,直

線D∨Fは

理 〔B2〕

ら に,直

辺ABの

線

線C∨B上

線 分CFの △ABCの

通 り,か つ 辺CBの

線D∨Fは

か ら,

存 在 し て,点Dは

分ACの

内 点Dを

図1.10

とれ ば,公 の 点Cが

と な る.直

し,直 線A∨B

辺ACの

外 点Fを

内 点Pを

内点

通 るか

通 る. (証 終)

 定 理1.19 

1直 線 上 の 異 な る3点

の う ち で,1点

 証 明   1直 線 上 の 異 な る3点A,B,Cに

な く,点Cは2点A,Bの る.こ

か ら,直

線B∨D上

の 点Gが

直 線C∨Kに

を 用 い れ ば,点Dは

G∨Bに

存

を 用 い れ ば,

内 点Hを

線 分AGの

る.△AHGと 〔B4〕

理 〔B4〕

辺CGの

様 に 直 線C∨Dは

間に

間 に あ る.

つ い て,公

直 線A∨Dは

お い て,点Aは2点B,Cの

とれ ば,公

在 し て,点Dは2点B,Gの △BCGに

の 間 に あ る.

間に な い とす

の 直 線 上 に な い1点Dを

理 〔B2〕

は 必 ず 他 の2点

通 る.同 内 点Kを

通

つ い て,公

理

線 分AHの

つ い て,公 理 〔B4〕

図1.11

内 点 で あ る.さ

ら に,△AHCと

を 用 い れ ば,点Bは2点A,Cの

直線

間 に あ る. (証終)

  定 理1.20 

順 序 公 理 を み た す 結 合 空 間 は 線 形 空 間 で あ る.し

直 線 上 に な い3点   証 明   △ABCを AB,BC,CAは Dと

す れ ば,公

を 通 る平 面 は,こ

じ

の3点 で 張 られ る部 分 空 間 で あ る.

含 む 平 面 上 の 任 意 の 点Xを いず れ も 内 点 を もつ.こ 理 〔B4〕

た が っ て,同

と る.定

理1.18か

れ ら の 内 点 で,点Xと

か ら,直 線X∨Dは

△ABCの

ら,3辺 異 な る もの を

頂 点 か ま た はD以

外 の も う1つ の 辺 の 内 点 を 通 る.い ず れ に し て も,公 理 〔A11〕 が 成 立 す る.す

な わ ち,こ

の 空 間 は 線 形 空 間 で あ る. 

  結 合 空 間Eの3点A,B,Cに 2点A,Cの

(証終)

お い て,点Bが

間 に あ る と き,A#B#Cで

とに す る.こ の 記 号 を 用 い て,い

表わす こ

ままで の結 果 を ま

とめ て お く.   定 理1.21  な ら ば,こ

3点A,B,Cに

お い て,A#B#C

図1.12

れ ら は1直 線 上 の 異 な る3点 で あ る.

  (1) 

A#B#Cな

ら ばC#B#A.

  (2) 

異 な る2点A,Bに

対 し て,点Pお

よ び 点Qが

存 在 し てA#P#B,

A#B#Q.   (3) 

1直 線 上 の 異 な る3点A,B,Cに A#B#C,

対 し て,関 B#C#A,

の うち の い ず れ か1つ

だ け が 成 り 立 つ.

  証 明   (1)は

〔B1〕

(3)は

公理

公理 〔B3〕,定

  定 理1.22 

を,(2)は

理1.19を

係

C#A#B

定 理1.18,公

理

お い て,

A#B#C,

B#C#Dな

ら ば,A#B#D,

A#C#D

  (5) 

A#B#C,

A#C#Dな

ら ば,B#C#D,

A#B#D

#Cと

〔B2〕

か ら,こ

す る こ と が で き る.△FBCに

で あ る か ら,直

線A∨Gは

の 直 線 上 に な い2点F,Gを つ い て 公 理 〔B4〕

辺FBの

内 点Hを

線F∨Bに

と り,F#G

を 用 い れ ば,A#B#C

通 る.さ

ら に △GACお

とな る.ま

た,△HBDに

で あ るか ら,直 を 通 る.す

A#C#Dが

辺AG A#H#G

お い て,B#C#D

線F∨Cは

辺HDの

な わ ち,H#K#Dで

て,直 線G∨Kと 点Cは,辺ADの

よび直

つ い て 考 察 す れ ば,点Hは

の 内 点 で あ る.す な わ ちF#H#B,

図1.13

して

(証 終)

  (4) 

理

を,そ

示 す も の で あ る. 

1直 線 上 の4点A,B,C,Dに

  証 明   (4)公

〔B2〕

内 点K あ る.よ

△HADの

辺ADと

内 点 で あ る.す 成 り立 つ.ま

っ の交

な わ ち,

た,仮 定 お よ び 公 理

〔B1〕

か ら,D#C#B,

D#B#Aと   (5) 

C#B#Aで

な る.す 公理

〔B2〕

あ る.ゆ

な わ ち,A#B#Dが か ら,こ

す る こ と が で き る.仮

え に,上

に 証 明 し た こ と か ら,

成 り立 つ.

の 直 線 上 に な い2点F,Hを

定 に よ りA#B#Cで

〔B4〕

と り,.F#H#Bと

あ る か ら,△HABに

を 用 い れ ば,直

内 点 を 通 らな い.ま 直 線F∨Cは

つ い て公 理

線F∨Cは

た,A#C#Dで

△HADの

あ る か ら,

辺HDの

通 る.す な わ ち,H#K#Dと 直 線F∨Kと は 辺BCの

辺BDと

内 点 で あ る.す

っ て,

の 交 点C

な わ ち,B#C#D

ら に,A#B#C,

あ る か ら,(4)よ

図1.14

内 点Kを

な る.よ

△HBDの

が 成 り 立 つ.さ

辺AHの

B#C#Dで

り,A#B#Dが

成 り 立 つ. (証 終)

 定 理1.23 

直 線 が 三 角 形 の3辺

  証 明   直 線lが

△ABCの3つ

の 辺 直 線 と交 わ る と し,そ

とす る.こ の と き,2点P,Qが Rは

辺BCの

ば よ い.そ

直 線B∨Cに

を 用 い れ ば,点Rは

との 交 点Cは

っ て 定 理1.19か

外

ら,P#Q 成 り立 つ.い

す れ ば,公 辺BRの

す れ ば,同

つ い て公理 辺PQの

ま た はR#P#Qが

ま,P#Q#Rと

P#Qと

内 点 で あ れ ば,点

こで,A#P#B,A#Q#Cと

点 で あ る.よ #Rか

そ れ ぞ れ2辺AB,ACの

の 交 点 をP,Q,R

外 点 であ る ことを 証 明す れ

す る.△APQと 〔B4〕

の 内 点 を 通 る こ と は な い.

理 〔B4〕

内 点 で あ る.す 様 に,R#B#Cで

図1.15

か ら,直 線A∨Qと な わ ち,B#C#Rで

△PBRの あ る.ま

あ る.ゆ え に,点Rは

で あ る.    定 理1.24 

辺BR た,R#

線 分BCの

外点 (証終)

三 角 形 の 頂 点 を 通 ら な い 直 線 が3つ

の 辺 直 線 に 交 わ る と き,次

2通 りの 場 合 の い ず れ か 一 方 だ け が 起 こ る.   〔1〕  こ の 直 線 は2辺

の 内 点 を 通 り,他 の1辺

の 外 点 を 通 る.

の

  〔2〕  こ の 直 線 は3辺   証 明   公 理 〔B4〕   直 線g上

の 外 点 を 通 る.

お よび 定 理1.23か

の 任 意 の 点Oを

A#O#Bの

ら 明 らか で あ る. 

と る.点Oと

と き,AとBと

は 点Oに

異 な るg上 の2点A,Bに

は 点Oに

対 し て,

関 し て 異 な る 側 に あ る と い い,そ

い と き,す な わ ち,A=B,A#B#O,O#A#Bの AとBと

(証終)

うで な

い ず れ か が 成 り立 つ と き,

関 し て 同 じ側 に あ る と い う.定 理1.22か

ら,同 じ側 に あ る

とい う関 係 は 等 値 関 係 の 条 件 を み た し,点Oを

除 い て,g上

2つ の 等 値 類 に 分 け られ る.そ の1つ

ら で る半 直 線 とい う.す な わ ち,

半 直 線 とは,直

線g上

で,点Oに

を 点Oか

の す べ て の 点 は,

関 し て 同 じ側 に あ るす べ て の 点 の 集 合 で あ る.

明 らか に,   定 理1.25 

直 線 上 の 任 意 の 点 は,こ

の 点 を 除 い て,こ

の 直 線 を2つ

の半直 線

に 分 け る.   直 線g上

の 点 に は,次

の よ う な 順 序 関 係 を 定 義 す る こ と が で き る.ま

の 異 な る2点O,Iを

と り,点Oか

含 ま な い も の をaと

し,点Iを

に 対 し て,A∈a,B∈bな ばA−3B−30,そ 理1.22か

ら で るg上

含 む も の をbと ら ばA−3O−3Bと

し て,A,B∈b,O#A#Bな

の2つ す る.異

の 半 直 線 の う ち,点Iを な る3点A,B,O∈g

定 め,A,B∈a,A#B#Oな

ら

ら ばO−3A−3Bと

定 め る.定

ら 明 ら か に,

  定 理1.26 

直 線gは

 (1)  直 線g上

こ の 順 序 に よ っ て 全 順 序 系 と な る.す

の 任 意 の2点X,Yに

の うち の い ず れ か1つ

対 して,関

な わ ち,

係

だ け が 成 立 す る. 

 (2) 

  直 線g上

ず,g上

(全 順 序 性) (推 移 性)

に 定 義 され た1つ

の順 序 が 次 の 条 件 を み た す と き,こ の 順 序 は 直 線g

に 適 合 す る と い う.す な わ ち,  

A−3B−3Cか

ま た はC−3B−3Aの

と き,か つ そ の と き に 限 り,A#B#Cで

あ る.   こ の 用 語 を 用 い て,   定 理1.27直

線 上 に は,こ

れ に 適 合 す る よ うな た だ2通

りの 全 順 序 が 定 ま り,

そ れ ら は た が い に 双 対 的 で あ る.   証 明   直 線g上 た 直 線gに

の 全 順 序 が,直 線gに

適 合 し,異 な る2点O,I∈gに

方 で はI−3Oで だ1つ

の1つ

あ る.よ

適 合 す れ ば,そ

対 し て,一

っ て,直 線gに

適 合 し,か

存 在 す る こ と を示 せ ば よ い.そ れ に は,上

の双 対全 順序 も ま

方 の 全 順 序 で はO−3I,他 つO−3Iと

な る全 順 序 が た

に 述 べ た よ うに 定 め る よ り仕 方

が な い. 

(証終)

  直 線gに とを,直

適 合 す る た が い に 双 対 的 な2通

線gに

直 線 に は2通

向 き を つ け る とい い,向

向 直 線gの

有 向 で あ る こ と を 明 示 す るた め,gで

逆 向 き をgで 表 わ す.有

とな るす べ て の 点A∈gの をOgで Ogが

きを つ け られ た 直 線 を 有 向 直 線 と い う.

りの 向 き を つ け る こ と が で き る.一 方 の 向 き に 対 し て,他 方 を そ の

逆 向 き と い う.直 線gが ま た,有

りの 全 順 序 の うち,一 方 を 指 定 す る こ

表 わ す.こ

向 直 線g上

集 合 と し て,点Oか

の と き,直

線gの

表 わ す こ とが あ る.

の 点Oを

とれ ば,O−3A

らで る 半 直 線 が 得 られ る.こ れ

逆 向 きを 考 え れ ば,も

う1つ の 半 直 線

得 られ る.

  直 線 に 向 き を つ け て 全 順 序 系 と見 な す と き,定 理1.18は,直 合 で あ る こ と を 示 し て い る.し 〔B2〕

は,直

  直 線gを

た が っ て,直

線 が稠 密 な点集

線 は 無 限 集 合 で あ る.ま

た,公

理

線 が 全 順 序 系 と し て 有 界 で な い こ とを 示 す も の で あ る.

含 む 平 面uに

お い て,g上

分ABの

内 点 を 通 る と き,2点A,Bは

う.そ

うで な い と き,す な わ ち,A=Bか

ら な い と き,2点A,Bは

直 線gに

に な い2点A,B∈uを 直 線gに

と る.直 線gが

関 し て,異

また は 直 線gが

線

な る側 に あ る と い

線 分ABの

内点 を通

関 し て 同 じ側 に あ る とい う.定 理1.24お

よび 定 理1.22か

ら,同

じ 側 に あ る とい う関 係

は 等 値 関 係 の 条 件 を み た し,g上 て,平 面u上

のす べ て の 点 は,2つ

分 け られ る.そ

の1つ

の点を除 外 し の等値 類 に

を 半 平 面 と よ ん でguで

表 わ し,直 線gを そ の 境 界 と い う.す な わ ち, 半 平 面guと

は,平

面u上

で,直 線gに

関 して

同 じ側 に あ るす べ て の 点 の 集 合 で あ る.明 ら か 図1.16

に,

  定 理1.28 

平 面 上 の 直 線 は,そ

の 上 の 点 を 除 い て,こ

の 平 面 を2つ

の 半平 面

に 分 け る.   1つ の 半 平 面 をguと 面 の 定 義 か ら,明   定 理1.29 

す る と き,も

表 わ す.半 直 線 お よ び 半 平

らか に,

半 平 面guお

  (1)  半 直 線Oh上 点 がguに

う1つ をguで

よ びg上

の1点Pが

の 点Oか

ら で る半 直 線Ohに

半 平 面guに

お い て,

含 ま れ れ ば,Oh上

のすべ ての

  (2) 

含 ま れ る. 半 直 線Ohが

半 平 面guに

含 ま れ れ ば,半

直 線Ohは

半 平 面guに

含

ま れ る.   1点Oで

交 わ る2つ の 有 向 直 線g,lに

か ら成 る 図 形 を 角 と よ ん で,∠O(g,l)ま の 角 の 頂 点 と い い,半

わ す.混

を と る.た 直 線9に

表

書 く こ とが あ る.

含 む 平 面u上

だ し,点Pは

の 点P

頂 点Oと

関 し て,点Pが

半 直 線Ogと

図1.17

異 な り,か

半 直 線Olと

つ2辺Og,Ol上

同 じ 側 に あ り,か

同 じ 側 に あ る と き,点Pは

う で な い と き,点Pは

か ら,明

に な い と す る. つ 直 線lに

∠O(g,l)の

∠O(g,l)の

関 し て,点

内部 に あ る と い

外 部 に あ る と い う.定

理1.29(1)

ら か に,

  定 理1.30 

∠O(g,l)お

∠O(g,l)の

内 部 に あ れ ば,Oh上

  点Oで

こ

乱 す る心 配 が な い と き,こ の

  ∠O(g,l)を

う.そ

表 わ す.点Oを

習

た は ∠BOAで

角 を 簡 単 に ∠Oと

Pが

た は ∠O(l,g)で

にそ れ ぞれ

と っ て,∠O(l,g)を

慣 的 に ∠AOBま

よび 半 直 線Og,Ol

直 線Og,Olを

辺 と い う.辺Og,Ol上 点A,Bを

対 し て,点Oお

交 わ る2つ

よ び 半 直 線Ohに

の 有 向 直 線g,lに

お い て,Oh上

の す べ て の 点 は ∠O(g,l)の 対 し て,4つ

の1点Pが 内 部 に あ る.

の角

∠O(g,l),∠O(g,l),∠O(g,l),∠O(g,l) が 考 え ら れ る.2直

線g,lを

上 の 任 意 の 点 は,こ

の4つ

含 む 平 面 をuと

す れ ば,2直

の 角 の い ず れ か た だ1つ

線g,l上

の 内 部 に あ る.す

に な いu な わ ち,2

直 線g,lは,こ を4つ

線lに

直 線lと

を そ れ ぞ れH,Kと

内 部 に あ る か ら,直

線hに

は 同 じ側 に あ る.ゆ

(2)か

ら,直

交 わ る2交

線hに

交 わ り,そ

の 交 点 は,

点 の 間 に あ る.

の 交点

し,半 直 線Og上

と る.半 直 線Ogは

直 内部 に あ る任意 の

ま た 直 線lに

Oh,Okがlに

  証 明  2辺Oh,Okと

Ogと

∠O(h,k)の2辺Oh,Okが

交 わ れ ば,∠O(h,k)の

半 直 線Ogも 図1.18

面u

の 点 集 合 に 分 け る.

  定 理1.31 

点Qを

れ ら の 上 の 点 を 除 い て,平

の

∠O(h,k)の 関 し て,Okと え に 定 理1.29

関 し て,OkとOg

とは 異 な る 側 に あ る.半 平 面 の 定 義 か ら, 直 線hは

線 分QKの

に 直 線kは

内 点Aを

線 分QHの

る.公 理 〔B4〕

通 る.同 様

内 点Bを

か ら,直 線hと

点 で あ る.す な わ ち,B#O#Kで の 内 点Pを

△QBKの あ る.ゆ

通 る.し か も,△OQBと

Q#O#Pで

  1.4 

通 る,す

あ る.よ っ て,点Pは

合

同

公

図1.19

な わ ち,Q#A#K,Q#B#Hで 辺BKと え に,直

直 線lに

あ

の交 点Oは 線9は

△BHKの

つ い て 公 理 〔B4〕

半 直 線Og上

辺BKの

に あ る. 

内

辺HK

を用 い れ ば, (証終)

理

  順 序 公 理 を み た す 結 合 空 間 に お い て,2線

分 の 間,あ

る い は2角

の 間 の等値 関

係 を 指 定 す る公 理 を 合 同 公 理 とい う.   1.4.1  合   空 間Eの

同

関

係

線 分 に 対 し て,等 値 関 係 が 指 定 され た とす る.2線

等 値 で あ る こ と を,記 号AB≡A′B′

で 表 わ し,こ

分AB,A′B′

の2線 分 は た が い に 合 同 で あ

る とい う.こ の と き,次 の 公 理 を 立 て る. 〔C1〕   AB≡AB  〔C2〕   AB=A′B′

(反 射 律) な ら ば,A′B′=AB 

が

(対 称 律)

  〔C3〕   AB≡A′B′,A′B′

≡A″B″

な らば,AB≡A″B″

  〔C4〕  任 意 の 線 分ABお

よ び 半 直 線Ogに

 

(推 移 律)

対 し て,Og上

し て,OP≡AB. 

の 点Pが

存在

(線 分 移 動 公 理)

  〔C5〕  点Bは2点A,Cの

間 に あ り,点B′

す る.こ の と き,AB≡A′B′,BC≡B′C′

は2点A′,C′

の 間 にあ る と

な ら ば,AC≡A′C′. (線 分 合 同 公 理)

  公 理 〔C1〕,〔C2〕,〔C3〕

は 線 分 の 合 同 関 係 が 等 値 関 係 で あ る こ とを 述 べ

る もの で あ る.そ

し て,公 理 〔C4〕

た,公 理 〔C5〕

は 線 分 の 加 法 が 可 能 で あ る こ とを 示 して い る.な お,あ

理 〔C4〕

は 線 分 の 合 同 移 動 が 可 能 で あ る こ とを,ま

の 一 意 性 が 証 明 され る(定 理1.32).2線

を,習 慣 で は,記

号AB=A′B′

で 表 わ し,こ

とで 公

分 の 合 同 関 係AB≡A′B′

の2線 分 は た が い に 等 しい とい わ

れ る.混 乱 の 心 配 が な い 限 り,本 書 で も この 記 号 お よび 用 語 を用 い る.   さ ら に,空 間Eの

角 に 対 し て,あ

こ の 関 係 に あ る こ と を,記 とい う.そ こで,次

る 関 係 が 指 定 さ れ た とす る.2角

号 α≡ β で 表 わ し,こ

の2角

α,β が

はた が いに 合 同で あ る

の 公 理 を 立 て る.

  〔C6〕  α≡ α 

(反 射 律)

  〔C7〕  α≡β な らば,β ≡ α 

(対 称 律)

  〔C8〕  任 意 の 角 α,半 直 線Og,お し て,gu上

の 半 直 線Ohが

た だ1つ

よび 直 線gを 境 界 とす る半 平 面guに 存 在 して,∠O(g,h)≡

α. (角 移 動 公 理)

  〔C9〕   2つ の 三 角 形 △ABC,△A′B′C′

な ら ば,∠B≡

に お い て,

∠B′. 

(角 合 同 公 理)

  角 の 合 同 で は,推 移 律 は 仮 定 さ れ て い な い が,こ 証 明 され て,角

れ は あ とで

の合 同関 係 も ま

た 等 値 関 係 とな る(定 理1.42). 公 理 〔C8〕

は,角

の合 同 移動

が 一 意 的 に可能 で あ る ことを示

図1.20

対

し て い る.ま た,公 あ る.2角

理 〔C9〕

は,線 分 の 合 同 と角 の 合 同 と を 関 係 づ け る もの で

の 合 同 関 係 α≡ β を,習

慣 で は,記

号 α=β

で 表 わ し,こ の2角

は

た が い に 等 し い と い わ れ る.混 乱 す る心 配 が な い 限 り,本 書 で も こ の 記 号 お よ び 用 語 を 用 い る.   公 理 〔C1〕 ∼ 〔C9〕 お よ び この9公

を 合 同 公 理 と よぶ こ とに し,結

理 を み た す も の とす る.ま ず,線

合 空 間Eは,順

序 公理

分 の合 同移 動が 一 意的 に可 能 で

あ る こ とを 証 明 し よ う.   定 理1.32 

任 意 の 線 分ABお

よび 半 直 線Ogに

だ1つ 存 在 し て,OP=ABと   証 明   半 直 線Og上

対 し て,Og上

の 点Pが

た

な る. で,2通

りに,OP=AB,OP′=ABで 直 線g上

あ る とす る.

に な い 点Cを

と れ ば,合

同 関

係 OP=OP′,OC=OC, ∠COP=∠COP′ が 成 り立 つ か ら,公

理 〔C9〕

に よ っ て,

∠OCP=∠OCP′ で あ る.公 図1.21

に,2点P,P′

〔C8〕

直 線C∨P,C∨P′

の 一 意 性 か ら,2 は 一 致 す る.ゆ

は 一 致 す る. 

  こ の 定 理 に よ って,直

線 上 の 任 意 の 点 の 両 側 に,与

の 半 直 線 の 両 側 に,与

え

(証終)

を た だ1つ ず つ と る こ とが で き る.ま た,公 上 で,こ

理

え られ た 線 分 に 等 し い 線 分

理 〔C8〕

か ら,半 直 線 を 含 む 平 面

え られ た 角 に 等 し い 角 を た だ1つ

ず つ と る こ とが

で き る.   2つ の角 が 頂 点 と1辺

とを 共 有 し,他

い に 補 角 で あ る とい う.2つ れ ぞ れ1直

の辺 が1直

線 を な す と き,こ れ らは た が

の 角 が 頂 点 を 共 有 し,一 方 の2辺 が 他 方 の2辺

とそ

線 を な す と き,こ れ ら は た が い に 対 頂 角 で あ る と い う.ま た,あ

る角

が そ の 補 角 に 等 しい と き,こ れ を 直 角 と い う.∠O(g,h)と ∠O(g,h),そ

し て ∠O(g,h)の

補角 をなす も の は

対 頂 角 は ∠O(g,h)で

  三 角 形 の 頂 点 に お け る角 を 頂 角 ま た は 内 角 とい い,そ

あ る.

の 補 角 を 外 角 とい う.1

つ の頂 角 の2辺

に な ら な い も う1つ の 辺 を そ の頂 角 の 対 辺 とい い,そ

の 辺 の 対 角 とい う.た の 対 角 は ∠Aで   定 理1.33 

と え ば,△ABCの

頂 角 ∠Aの

の頂 角 を こ

対 辺 はBCで,辺BC

あ る.

三 角 形 の2辺 が 等 しけ れ ば,こ

れ らの 対 角 は 等 し い.す

な わ ち,

二 等 辺 三 角 形 の両 底 角 は 等 しい.   証 明   △ABCに

お い て,AB=ACと

2〕 か らAC=AB,ま で あ る.ゆ

す る.対 称 律 〔C

た 角 の 定 義 か ら ∠BAC=∠CAB

え に,公 理 〔C9〕

か ら ∠ABC=∠ACBで

あ

る. 

(証終)

  2つ の 三 角 形 の 間 に 同 型 写 像 を 定 め,対 応 す る 辺 お よび 頂 角 が そ れ ぞ れ 等 し い と き,こ の2つ

の三 角 形 は合 同 で あ る と い う.す

図1.22

な わ ち,△ABC,△A′B′C′

に お い て,

図1.23

 

AB=A′B′,AC=A′C′,

 

BC=B′C′,∠A=∠A′,

 

∠B=∠B′,∠C=∠C′

が 成 り立 つ と き,こ れ ら は 合 同 で あ る とい い,記

号 △ABC≡

△A′B′C′ で表 わ

す.   定 理1.34 

2角 とそ の 間 の 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い2つ

の三 角 形 は 合 同 で あ る. (三 角 形 の 第1合

  証 明   △ABC,△A′B′C′

同 定 理)

に

お い て,   AB=A′B′,∠A=∠A′, ∠B=∠B′ と す る.公

理 〔C4〕

直 線B′∨C′ し て 点C′

上 に,点B′

に関

と同 じ側 に あ る 点

D′ を と り,BC=B′D′ 理 〔C9〕

に よ っ て,

図1.24

と す る こ と が で き る.△ABC,△A′B′D′

か ら ∠BAC=∠B′A′D′

と な る.仮

に つ い て,公

定 に よ り,∠BAC=∠B′A′C′

で あ る か ら,角 致 す る.ゆ =A′C′

移動 の一 意 性

〔C8〕

え に,2点D′,C′

が 成 り 立 つ.さ

△ABC≡

に よ っ て,2直

線A′∨D′,A′∨C′

は 一 致 し て,BC=B′C′ ら に,公

理

〔C9〕

と な る.同

か ら ∠C=∠C′

は一

様 に,AC

と な る.ゆ

△A′B′C′ で あ る. 

  定 理1.35 

2辺

(証 終)

と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い2つ

の 三 角 形 は 合 同 で あ る. (三 角 形 の 第2合

  証 明   △ABC,△A′B′C′

AC=A′C′,∠A=∠A′

と す る.公

理

△ABC≡

△A′B′C′ で あ る. 

  定 理1.36 

同 定 理)

に お い て,

AB=A′B′, 〔C9〕

えに

か ら ∠B=∠B′

と な る.ゆ

え に,定

理1.34か

ら (証 終)

2角 が 等 し け れ ば,そ

れ ら の 補 角 は た が い に 等 し い. (補 角 定 理)

  証 明   ∠ABC=∠A′B′C′

と し,こ

れ らの 補 角 を そ れ ぞ れ

∠CBD,∠C′B′D′

と す る.た

だ し,公

に よ っ て,こ

理

〔C4〕

の図 形 を

AB=A′B′,BC=B′C′ BD=B′D′ と な る よ うに と る.定 か ら △ABC≡ り,し

1.35か

ら △ADC≡

△A′D′C′

∠A′D′C′

で あ る.△BDC,△B′D′C′

∠C′B′D′

と な る. 

  定 理1.37 

た

とな

た が っ てAC=A′C′, で あ る.

ま た,公

か らAD

理

〔C5〕

と な る .ゆ

え に,定

理

た が っ て,DC=D′C′,∠ADC=

に つ い て,公

理

〔C9〕

か ら ∠CBD= (証 終)

対 頂 角 は 等 し い. 

  証 明   ∠O(g,h)の と は 補 角,ま

と な り,し

△A′B′C′

∠BAC=∠B′A′C′

=A′D′

図1.25

理1.35

(対 頂 角 定 理)

対 頂 角 は ∠O(g,h)で ∠O(g,h)と

∠O(g,h)と

あ る.∠O(g,h)と

∠O(g,h)

は 補 角 で あ る か ら,補

角 定 理

1.36に

よ っ て,∠O(g,h)=∠O(g,h)

で あ る. 

(証 終)

  1点 で 交 わ る2直 る と き,こ

の2直

  定 理1.38  て,こ

線 の なす 角 が直 角 であ 線 は 直 交 す る と い う.

1直 線 上 に な い1点

を 通 っ

の 直 線 に 直 交 す る 直 線 が 存 在 す る.

 証 明   直 線gお

図1.26

よ び そ の 上 に な い 点Aを

Oか らで て,点Aを

通 る半 直 線Ohを

含 む 平 面 をuと と る.公 理 〔C8〕

で,直

線gに

∠O(g,k)と

線 分ABの

し,2点O,Dが

な る.し

つ 補 角 で あ る か ら,こ

  定 理1.39 

と り,

平 面 の 定 義 か ら, 内 点Dを

通 る.も

等 し く,か

た が っ て,2角

致 し な い と き,定

れ ら は 直 角 で あ る.す

な わ ち,直

つ

理1.35

∠ODA,∠ODBは

等 し

線A∨Bは

gに 直 交 す る 。     次 の 定 理 は,角

〔C4〕

一 致 す れ ば,2角

れ ら は 直 角 で あ る.2点O,Dが一

△BODと

理

の 点Bを

∠O(g,h),∠O(g,k)は

図1.27

く,か

た,公

す る.半

直 線gは

面u上

異 な る側 に

直 線Ok上

OA=OBと

の点

と り,∠O(g,h)= す る.ま

に よ っ て,半

か ら △AOD≡

に よ って,平

関 し てOhと

あ る 半 直 線Okを

補 角 で あ る か ら,こ

す る.直 線g上

直線 (証 終)

の 加 法 が 可 能 で あ る こ と を 示 す も の で あ る.

平 面u上

の 半 直 線Og,Oh,Ok,お

O′g′,O′h′,O′k′ に お い て,Oh,Okお びg′ に 関 し て,同

よ び 平 面u′

よ びO′h′,O′k′

上 の 半 直 線

は そ れ ぞ れ 直 線gお

時 に 同 じ 側 あ る い は 同 時 に 異 な る 側 に あ る とす る.こ

よ

の と き,

∠O(g,h)=∠O′(g′,h′),∠O(g,k)=∠O′(g′,k′) な ら ば,∠O(h,k)=∠O′(h′,k′)で

あ る.

  証 明   半 直 線Ohが

内 部 に あ る 場 合 を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.

実 際,Ohが 場 合 に は,補

∠O(g,k)の

∠O(g,k),∠O(g,k),あ 角 定 理1.36を

用 い て,い

るいは

∠O(g,k)の

内部 に あ る

ず れ も 上 の 場 合 に 直 さ れ る か ら で あ る.

図1.28

そ こ で,Ohは

∠O(g,k)の

とOkと

関 し て 同 じ 側 に あ る か ら,平

はgに

内 部 に あ る と す る.こ

g′ に 関 し て 同 じ 側 に あ る.公

理 〔C4〕

の と き,平

面u′

上 で も,O′h′

に よ っ て,半

を と り,OG=O′G′,OK=O′K′

に す る.定

直 線Ohは

に,半

直 線O′h′

よ っ て,半

上 に 点H′

で,Oh

とO′k′

とは

直 線Og,O′g′,Ok,O′k′

上 に そ れ ぞ れ 点G,G′,K,K′ 理1.31に

面u上

とな る よ う

線 分GKの

を と り,OH=O′H′

内 点Hを

通 る.さ

ら

と な る よ う に す れ ば,

∠GOH=∠G′O′H′,∠GOK=∠G′O′K′ で あ る か ら,定

理1.35に

よって

△OGH≡ と な る.し

△O′G′H′,△OGK≡

△O′G′K′

た が って ∠OGH=∠O′G′H′,∠OGK=∠O′G′K′ GH=G′H′,GK=G′K′,∠OKG=∠O′K′G′

で あ る.∠OGHと よ っ て,点H′

∠OGKと は 直 線G′∨K′

上 で,点H′

に 関 し て 点G′

な る よ う に す る.GH=G′H′ と な る.一

方,GK=G′K′

っ て,2点K′,K″

理

  定 理1.40 

移 動 の 一 意 性 〔C8〕

上 に あ る.公

に よ っ て,直

で あ る か ら,公 で あ る か ら,線

と な る.そ 〔C9〕

線gに

と

に よ っ て,GK=G′K″

分 移 動 の 一 意 性(定 は 線 分G′K′

し て,OK=O′K′,∠OKH=∠O′K′H′

含 む 平 面 上 で,直

に

線G′∨K′

を と り,HK=H′K″

理 〔C5〕

え に,点H′

に よ っ て,∠HOK=∠H′O′K′

直 線gを

理 〔C4〕

と 異 な る 側 に あ る 点K″

は 一 致 す る.ゆ

て,HK=H′K′ か ら,公

は 一 致 し て い る か ら,角

と な る.  関 し て2点P,Qが

理1.32)に

よ

の内 点 で あっ である (証 終) 異 な る側 に

あ り,か =AQ

つg上

の 異 な る2点A,Bに

,BP=BQな

対 し て,AP

ら ば,∠ABP=∠ABQで

あ る.   証 明   点Aま ば,定

た は 点Bが

理1.33か

2点A,Bが

直 線P∨Q上

に あれ

ら,∠APB=∠AQBと 直 線P∨Q上

な る.

に な け れ ば,定

理1.33

か ら,

∠APQ=∠AQP,∠BPQ=∠BQP と な り,定 理1.39か 〔C9〕

ら,や

図1.29

は り ∠APB=∠AQBと

か ら ∠ABP=∠ABQで

  定 理1.41 

え に,公

あ る. 

3辺 が そ れ ぞ れ 等 しい2つ

  証 明   △ABC,△A′B′C′

な る.ゆ

(証終)

の 三 角 形 は 合 同 で あ る. (三 角 形 の 第3合

同 定 理)

含 む 平 面 上 で,直

線A∨B

に お い て,

AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′ と す る.公

理

に 関 し て 点Cと  

〔C4〕,〔C8〕

に よ っ て,△ABCを

異 な る 側 に あ る 点Pお

よ び 同 じ 側 に あ る 点Qを

AP=A′C′,∠BAP=∠B′A′C′,AQ=A′C′,∠BAQ=∠B′A′C′

と な る よ う に す る.定

理1.35か

ら △ABP≡

△A′B′C′,

△ABQ≡

△A′B′C′

と な り,し

たが って

BP=B′C′,EQ=B′C′ で あ る.線 推移律

分 の 合 同 に つ い て は,

〔C3〕

が 成 り立 つ か ら,

AP=AQ=AC,

図1.30

BP=BQ=BC で あ る.ゆ

え に,定

理1.40か

ら,

∠ABP=∠ABQ,∠ABP=∠ABC

と り,

理

とな る.角 移 動 の 一 意 性 〔C8〕 に 線 分 移 動 の 一 意 性(定 △ABQと

△ABCと

か ら,2直

理1.32)か

線B∨Q,B∨Cは

ら,2点Q,Cは

一 致 す る.ゆ え

一 致 す る.し

は 一 致 し て, △ABC≡

△A′B′C′

が 成 り立 つ.    こ こで,角

た が っ て,

(証終)

の 合 同 関 係 が 推 移 律 を み た す こ と を 証 明 し よ う.

  定 理1.42 

角 の 合 同 関 係 は 等 値 関 係 で あ る.す

な わ ち,次

の3法

則 が 成 り立

つ.

  (1) 

α=α

 

(反 射 律)

  (2) 

α=β

  (3) 

α=β,β=γ

な ら ば,β=α

公理

明 す れ ば よ い.線

(対 称 律)

な ら ば,α=γ

  証 明   (1),(2)は

用 い る.3つ

   

〔C6〕,〔C7〕

分 の 合 同 に つ い て は,推

の角

α,β,γ

(推 移 律) で 規 定 さ れ て い る か ら,(3)を 移律

〔C3〕

に お い て,α=β,β=γ

が 成 り立 つ か ら,こ と す る.こ

証 れを

れ らを それ ぞ れ

α=∠AOB,β=∠A′O′B′,γ=∠A″O″B″ で 表 わ し,こ

の図 形 を OA=O′A′=O″A″,OB=O′B′=O″B″

と な る よ うに と る.定

理1.35か

△AOB≡ と な り,し

ら

△A′O′B′,△A′O′B′

≡ △A″O″B″

た が っ て, AB=A′B′=A″B″

で あ る.ゆ

え に,定

∠AOB=∠A″O″B″

理1.41か

ら,△AOB≡

で あ る.す

な わ ち,α=γ

図1.31

△A″O″B″

と な り,し

が 成 り立 つ. 

た が っ て, (証 終)

  定 理1.43 

三 角 形 の 合 同 関 係 は 等 値 関 係 で あ る.

  証 明   三 角 形 の 合 同 は,線

分 の 合 同 お よび 角 の 合 同 に よ っ て 定 義 され る.こ れ

ら は 等 値 関 係 で あ る か ら,三 角 形 の 合 同 関 係 もそ うで あ る.    1.4.2  大

小

関

係

  合 同 公 理 に よ っ て,空

間Eの

線 分 お よび 角

に は 大 小 関 係 が 定 義 され る.2線

分AB,CD

に 対 して,線

理1.32)か

分 移 動 の 一 意 性(定

ら,直 線A∨B上

で,点Aに

じ 側 に あ る 点Pが

た だ1つ

と い い,そ

関 し て 点Bと 存 在 し て,AP=CDと

A#B#Pな

ら ば,ABはCDよ

り小 さ い 表 わ す.

2線 分AB,CDに

お い て,AB>CDの

と き,か

つ そ の ときに

あ る. す る.定 あ る.線

義 か ら,直

あ る.ゆ

と す る.定

な る.こ

え に,大

義 か ら,直

線C∨D上

な る よ う に す る .さ

か らAB′=ABで

の 点Qが

で,点Aに

な る.公

の と き,公

小 関 係 の 定 義 か らCDCDと

で あ る.直

図1.32

A#P#Bな

限 り,CDCD,AB∠A(k,l)

と な っ て,同

位 角 が 等 しい と い う仮 定 に 反 す る.ゆ

図1.56

え にl‖gで

図1.57

あ る.逆

に,l‖g

と す る.3直

線l,g,kに

は 適 当 に 向 き を つ け る.公

理

で,直

関 し てAlと

同 じ 側 に あ る 半 直 線Bg′

が 存 在 し て,∠B(k,g′)=

線kに

∠A(k,l)と

な る.ゆ

は ど ち ら も 点Bを は 一 致 す る.よ

え に,上

通 っ てlに

〔C4〕

か ら,平

に 証 明 し た こ と か ら,l‖g′ で あ る.2直 平 行 で あ る か ら,定

っ て ∠B(k,g)=∠A(k,l)で

理1.76に

面u上

線g,g′

よ っ て,gとg′

あ る.す

な わ ち,同

と

位角 は等 し

い. 

(証 終)

  定 理1.79 

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お い て,平

面

上 の 異 な る2直 線 に も う1つ の 直 線 が 交 わ る と き,錯

角 が 等 し け れ ば,こ

の2直 線 は 平 行 で あ

る.こ の 逆 も 成 り立 つ.   証 明   対 頂 角 定 理1.37お 理1.42)を

よび 角 の 推 移 律(定

考 慮 す れ ば,定 理1.78か

ら明 らか で

あ る. 

(証終)

  定 理1.80 

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お い て,三

形 の 内 角 の 和 は2直

角

図1.58

角 に 等 し い.

(内 角 定 理)

  証 明   △ABCの と り,点Aを A∨Pを 点Cと

頂 点Aに

通 っ て,辺

お け る外 角 ∠CADを

直 線B∨Cに

と る.た だ し点Pは

平 行 な 直 線

辺 直 線A∨Bに

関 して

同 じ側 に あ る とす る.定 理1.78,1.79か

ら,

∠B=∠DAP,∠C=∠CAP で あ る.ゆ え に, ∠A+∠B+∠C=∠BAC+∠CAP+∠PAD =2直

  系   ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お い て,三

図1.59

角 の 和 は 他 の1頂   1.6.3 

角

 (証終) 角 形 の2つ の 内

角 に お け る 外 角 に 等 し い.

非 ユ ー ク リ ッ ド平 行 性

  こ こ で,ロ   定 理1.81 

バ チ ェ フ ス キ ー 空 間 に お け る 平 行 性 に つ い て 考 察 す る. ロ バ チ ェ フ ス キ ー 空 間 に お い て,1直

こ の 直 線 に 平 行 な 直 線 が ち ょ う ど2つ

存 在 す る.

線 上 に な い1点

を 通 っ て,

 証 明   公 理 〔H〕 か ら,直 線lお の上 に な い 点Pを 通 っ て 直 線lに

よび そ

含 む 平 面 上 で,点Pを

交 わ らな い2直 線h,h′

が

存在 す る.こ れ らに 適 当 に 向 き を つ け て, 直 線l上

の 点Oが

∠P(h,h′)の

あ る よ うに す れ ば,2直

線h,h′

lに 交 わ ら な い か ら,直 線l上 点が ∠P(h,h′)の

図1.60

て,∠P(h,h′),∠P(h,h′)あ

る い は ∠P(h,h′)の

線Ptは

っ て,平

直 線lに

す べ て 直 線lに

交 わ ら な い.よ

平 行 で は な い.そ

の 内 部 に あ る1つ の 半 直 線Psを ∠P(k,s)の 在 し て,こ

とれ ば,定 ず つ,直

れ ら は 同 じ直 線 上 に な い.す

な2直 線g,g′

のすべ て の

内 部 に あ る.し た が っ 内 部 に あ るす べ て の 半 直

通 る半 直 線Pkお 理1.73か 線lに

よ び,∠P(h,h′)

ら,∠P(k,s)お

な わ ち,点Pを

通 っ て,直

が存

線lに

平行

(証終)

  系   ロバ チ ェ フス キ ー 空 間 に お い て,直 と し,こ

あ る よ うに 向 きを つ け る.こ

よび

平 行 な 半 直 線Pg,Pg′

が 定 ま る. 

に平 行 な2直 線 をg,g′

は直線

行 条 件 〔2〕 か ら,こ れ ら の半 直 線 は

こで,点Oを

内 部 に そ れ ぞ れ1つ

内部 に

線l上

に な い 点Pを

れ ら に は,l上

の と き,2直

線g,g′

通 っ て,直

の 点 が ∠P(g,g′)の

線l 内部 に

は 次 の2条 件 に よ って 特 性

づ け られ る.   (1)  半 直 線Pg,Pg′   (2)  ∠P(g,g′)の

は 直 線lに 交 わ らな い. 内 部 に あ る任 意 の 半 直 線 は 直 線lに

  ロバ チ ェ フ ス キ ー 空 間 に お い て,直 線lお をuと

す れ ば,点Pを

2直 線g,g′ しか も 直 線lに は,直 線lが

は,ど

よ び そ の 上 に な い 点Pを

通 っ て 直 線lに 平 行 な ち ら も平 面u上

交 わ ら な い.2直 ∠P(g,g′)の

向 き を つ け て お く.平 面u上 意 の 直 線kを

交 わ る.

に あ っ て,

線g,g′

に

内 部 に あ る よ うに で,点Pを

通 る任

と り,こ れ に 向 き を つ け る.こ の と

き,半 直 線Pkが,∠P(g,g′)ま

た は そ の対

図1.61

含む 平 面

頂 角 の 内 部 に あ れ ば,2直 ∠P(g,g′)の 平 面u上

線k,lは

たが い に 交 わ

補 角 の 内 部 に あ れ ば,2直

で,点Pを

合 を つ く り,2直 ッ ド空 間 は,こ

通 っ て 直 線lに 線g,g′

の2直

線k,lは

線g,g′

の と き,直 線lお

ば,公

は,直 線lと

ころ が,平

面u上

し て,ユ

ーク リ

で,点Pを

の 交 点Xを

よびそ の 上 通 る任意 対応 さ せ れ

で,点Pを

な

通 る直 線 は

閉 じた 連 続 集 合 を つ く るか ら,こ れ と1対1に る.し た が っ て,楕

続 な無 限集

行 な直

理 〔E〕 に よ っ て,こ の 対 応 は1対1と

る.と

た が っ て,

が 一 致 す る よ う な 極 限 の 場 合 と 考 え ら れ る.

線 は 存 在 し な い.こ

含 む 平 面u上

直 線Pkが

交 わ ら な い.し

が こ の 集 合 の 限 界 に な っ て い る.そ

円 幾 何 の場 合 に は,平

の 直 線kに

た,半

交 わ ら な い す べ て の 直 線 は,連

  こ れ に 対 し て,楕

に な い 点Pを

り,ま

円幾 何 で は,い

図1.62

対 応 す る直 線lも

閉 じた 集 合 とな

ままで の順 序公 理 を適 用 す る こ と は で き な

い.

  内 角 定 理1.80に に 等 しい.こ 和 は,ロ

よれ ば,ユ

れ は,非

ー ク リ ッ ド空 間 で は,三

角 形 の 内 角 の 和 は2直 角

ユ ー ク リ ッ ド空 間 で は 成 立 し な い.実

バ チ ェ フ ス キ ー空 間 で は2直

角 よ り小 さ く,ま た,楕

よ り大 き い こ とが 知 られ て い る.こ の 証 明 は 省 略 す るが,円 容 易 で あ る.第4節

に お い て,三

る.こ れ らの 中 に は,と

て 成 立 す る結 果 で あ る か ら,と こ の場 合,内

円 幾 何 で は2直

角

を用 い て計 算 すれ ば

角 形 に関 す るいろ い ろな定 理が 述 べ ら れ て い

くに ユ ー ク リ ッ ド空 間 の場 合,内

れ る も の が 多 い.し か し,第4節

際,三 角 形 の 内 角 の

の 定 理 は,一

角 定 理 か ら簡 単 に 導 か

般 に 合 同公 理 を み た す 空 間 に お い

くに ロバ チ ェ フ ス キ ー 空 間 に お い て も成 立 す る.

角 定 理 は 成 立 し な い か ら,こ れ を 用 い る こ と は で きな い.内

に 代 わ る役 割 を 果 す も の が 外 角 定 理1.51で

あ る.

角定 理

2 . 射

  2.1 

射

影

公

影

公

理

系

理

  射 影 幾 何 は 古 典 幾 何 の 中 心 的 な 役 割 を 果 す も の で あ る.こ

こで,そ

の公理 系 を

考 察 す る.   2つ の 集 合P,Mの を 空 間 と よ ん で,そ

元 の 間 の 関 係Ω ⊂P×Mが の 元 を 点 と よぶ.ま

元 を 直 線 と よ ぶ.点A∈Pと 線lは

点Aを

た,集

直 線l∈Mと

通 る,ま た は,点Aは

指 定 され た とす る.集

合Mを

補 助 集 合 と よん で,そ

が 関 係(A,l)∈Ω

直 線l上

合P の

に あ る と き,直

に あ る とい う.ま ず,す

で に述 べ

られ た 結 合 公 理 を 考 え る.   〔A1〕  異 な る2点 を 通 る直 線 は た だ1つ 存 在 す る. 

(直 線 公 理)

  〔A2〕 

(2点 公 理)

1直 線 上 に は,少

な く と も異 な る2点 が 存 在 す る. 

  〔A3〕   同 じ直 線 上 に な い3点   空 間Pが 1〕,〔A2〕

が 存 在 す る. 

この3公 理 を み た せ ば,こ か ら,直 線lと

と見 な され,補

助 集 合Mは

(点 直 線 公 理)

れ は 結 合 空 間 で あ る.こ

の と き,公 理 〔A

そ の 上 に あ る す べ て の点 の 集 合S(l)と 点 集 合 族 と して 実 現 され る.ま た,部

形 の 概 念 も定 義 され る.公 理 〔A3〕 に よ っ て,空

間Pが,1直

い は 空 集 合 に す ぎ な い よ うな 自 明 な 場 合 が 除 か れ,空 の 三 角 形 が 存 在 す る.な お,今

後,三

間Pに

は 同 じもの 分 空 間,三

線,1点,あ

角 る

は 少 な く と も1つ

角形 の辺 直線 を簡 単 に 辺 とよぶ こ と に す

る.   これ に 対 して,あ

らた め て 次 の 公 理 を 立 て る.

  〔P1〕  異 な る2点 を 通 る直 線 は た だ1つ   〔P2) 

1直 線 上 に は,少

存 在 す る. 

な くと も異 な る3点 が 存 在 す る. 

  〔P3〕   同 じ直 線 上 に な い3点

が 存 在 す る. 

  〔P4〕  三 角 形 の 頂 点 を 通 ら な い 直 線 が,こ の1辺

の 三 角 形 の2辺

に も交 わ る. 

(3点

公 理)

(点 直 線 公 理) に 交 わ れ ば,残

り

(交 点 公 理)

  こ の4公 理 を み た す 体 系{P,M,Ω}を と い う.公 理 〔P1〕,〔P3〕

(直 線 公 理)

射 影 幾 何 とい い,空

は そ れ ぞ れ,公

理 〔A1〕,〔A3〕

間Pを

射 影 空間

と同 じもので

あ る.ま た 公 理 〔P2〕 ろ ん 公 理 〔A2〕

が み た され れ ば,も

が み た され,射

影 空 間Pは

1種 の結 合 空 間 で あ る.な お,公

理 〔P2〕

ち

は

す で に 述 べ られ た 公 理 〔A13〕 と 同 じ もの で あ る.公

理 〔A2〕

〔P2〕

で は"3点"と

る か と思 わ れ る.と

に お け る"2点"が な っ て,多 こ ろ が,公

公理

少複 雑 にな

理 〔P2〕

図2.1

は,射 影 幾 何 が 数 学 構 造 と して 単 純 性

を もつ こ と を 保 証 す る も の で あ る.な お,こ

の公 理 〔P2〕

は,射 影 空 間 に座 標

を 導 入 す る と き,本 質 的 に 必 要 とな る.ま た 公 理 〔P2〕,〔P4〕 何 は1種

の 線 形 幾 何 で あ る こ とが 示 され る(定 理2.16).し

は,平 面 は 同 じ直 線 上 に な い3点 面 上 に な い4点

平 面 を 定 義 し て お く必 要 も な い.な

面 あ るいは

か も,公 理 〔P4〕

は

の 公 理 系 を 立 て る段 階 で は,

お,射 影 幾 何 に お い て も,ふ つ う,次 の 公 理

間 を 制 限 し て お く.

空 間Pは

有 限 個 の 点 で 張 ら れ る. 

 こ れ は す で に 述 べ た 公 理   例1. 

た 立 体 は 同 じ平

で 張 られ る 部 分 空 間 と し て 定 義 され る.そ れ ゆえ,平

平 面 と い う用 語 を 用 い ず に い い 表 わ され る の で,こ

  〔P5〕 

たが って射影 空 間 で

で 張 られ る部 分 空 間 と し て,ま

立 体 か ら成 る補 助 集 合 を 初 め か ら指 定 す る必 要 が な い.し

を 立 て て,空

か ら,射 影 幾

森 に7人

〔A12〕

(制 限 公 理)

と 同 じ も の で あ る.

の 小 人 が 住 ん で い る.彼

らは 歌 が 好 きで,仕

事 の 合 い 間 な ど,よ

陰 で 歌 っ て い る の を 見 か け る.た い て い トリオ で 歌 うの で あ るが,彼

ら で も,声

ル ー プ と 合 わ な い も の と あ る ら し く,任

意 の3人

と り 出 し て ト リオ が で き る わ け で は な い.7人 人 をA,B,C,D,E,F,Gと

く木

の合 うグ を の小

す る と き,ト

オ が で き る 組 を し ら べ た と こ ろ,次

リ

の7通

りで あ っ

の 小 人 の 集 合 で,直

線 は トリ

た.

図2.2

 

(A,B,C),(A,D,E),(A,G,F)

 

(B,D,F),(B,G,E),(C,G,D)

 

(C,E,F).

小 人 を 点,ト

リオ を 直 線 と よぶ.す

な わ ち,空

オ と な る3点

の 集 合 と して 表 わ さ れ て い る.こ

間Pは7人

の 体 系 は 公 理 〔P1〕 ∼ 〔P5〕

をすべ てみ

た し,射 影 幾 何 の 最 も簡 単 な モ デ ル で あ る.   例2. 

結 合 幾 何{E,L1,L2}に

お い て,3点

公 理 〔A13〕 が み た され る とす る.空

間Eの1点Oを

と り,点Oを

通 る す べ て の 直 線 の 集 合 をP⊂L1と

べ て の 平 面 の 集 合 をM⊂L2と

す る.集

合Pに

合Mに

属 す る 平 面 を あ らた め て 直 線 と よぶ.そ

れ ば,体

系{P,M}は

射 影 幾 何 と な る.こ

し,点Oを

通 るす

属 す る 直 線 を あ らた め て 点 と よん で,集 して,包

の場 合,公

含 関 係 に よ っ て 結 合 関 係 を定 め

理 〔P4〕

は 交 線 公 理 〔A10〕 か

ら導 か れ る.

  2.2  射

影

和

  射 影 幾 何 の 公 理 の うち で,〔P1〕,〔P2〕,〔P3〕,〔P5〕 何 に お い て も用 い られ て い る.射 で あ る.こ

こで,射

は 一 般 の結 合幾

影 幾 何 を 特 性 づ け る も の は,交

影 空 間 の 部 分 空 間 に つ い て,と

点 公 理 〔P4〕

くに 公 理 〔P4〕

か ら導 か れ

る事 柄 を 考 察 し よ う.   射 影 空 間Pの

異 な る2点A,Bを

つ の点 集 合X,Y⊂Pの

通 る直 線 をA∨Bで

射 影 和X∨Y⊂Pを

表 わ す.一 般 に,2

次 の よ うに 定 義 す る.

 〔1〕  空 集 合 φ に 対 し て,   〔2〕  1点Aに

対 し て,A∨A=A,

  〔3〕  そ れ 以 外 の 場 合 に は,

  射 影 和X∨Yが  定 理2.1 

ど の よ うな点 集 合 に な るか を し らべ る.

射 影 空 間Pの

 (1) 

X∨Y=Y∨X 

 (2) 

部 分 空 間Sに

点 集 合 の 射 影 和 に つ い て, (交 換 法 則)

対 し て,X,Y⊂Sな

ら ば,X∨Y⊂S

の と き,

 (3) 

(結合法則)

 (4)    証 明   定 義 か ら,(1),(2),(3)は る.(1),(3)か

ら,同

明 ら か で あ る.そ

じ 直 線 上 に な い3点A,B,Cに

が 成 り 立 つ こ と を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.任 射 影 和 の 定 義 か ら 点J∈B∨Cが た はH=Cな H≠Cと

ら ば,明 す る.△ABJに

つ い て,法

ら か にH∈(A∨B)∨Cで 理

証 明す 則

意 の 点H∈A∨(B∨C)を

存 在 し て,H∈A∨Jと

つ い て,公

こ で(4)を

〔P4〕

な る,も あ る.よ

を 用 い れ ば,直

と れ ば, し,J=Bま っ て,J≠B, 線C∨Hは

辺

A∨Bに

交 わ る.そ

H∈K∨Cか

の 交 点 をKと

つK∈A∨Bで

H∈(A∨B)∨Cと

す れ ば,

あ る.ゆ

え に,

な る.

(証終)   こ の 証 明 か らわ か る よ うに,公

理 〔P4〕

は 射 影 和 の 結 合 法 則 を 保 証 す る も の で あ る.   定 理2.2 

射 影 空 間Pに

部 分 空 間S,Tで

お い て,2つ

の

図2.3

張 られ る部 分 空 間 は 射 影 和S∨Tで

  証 明   まず,S∨Tが

あ る.

部 分 空 間 で あ る こ とを 証 明 す る.異

な る2点H, 

を とれ ば 射 影 和 の 定 義 か ら,

と な る4点A1,A2∈S,B1,B2∈Tが

存 在 す る.任 て,J∈A3∨B3と ∈Tが

意 の 点J∈H∨Kに

対 し

な る よ う な2点A3∈S,B3

存 在 す る こ と を 証 明 す れ ば よ い.射

影

和 の 交 換 法 則 お よ び 結 合 法 則 か ら,

で あ る.よ

っ て,2点A3∈A1∨A2,B3∈B1∨B2

が 存 在 し て,J∈A3∨B3と

図2.4

な る.し

か もS,T

は 部 分 空 間 で あ る か ら,

で あ る.よ Uに

っ てS∨Tは

対 し て,射

影 和 の 定 義 か らS∨T⊂Uで

あ る か ら,こ れ はS,Tを   定 理2.3 

部 分 空 間 で あ る.ま

射 影 空 間Pに

た,S,Tを

含 む任 意 の部 分 空 間

あ る.し か もS∨Tは

含 む 最 小 の 部 分 空 間 で あ る.  お い て,m個

の 点A1,A2,…

部分空間で (証終)

…,Amで

張 られ る

部 分 空 間Sは

で 与 え られ る.   証 明   空 間Pの

点 に つ い て,定 理2.2を

く り返 し適 用 す れ ば よい. (証終)

  こ の 場 合,結

合 法 則 か ら(m−1)回

じで あ り,ま た 交 換 法 則 か らm個

の 射 影 和 を ど の よ うな 順 番 で 行 な つて も 同 の 点 の 順 番 を どの どの よ うに い れ か え て も よ

い.

  定 理2.4  S∨Aに

射 影 空 間Pの2点A,Bお

含 まれ,か

つSに

よ び 部 分 空 間Sに

は 含 ま れ な い とす る.こ 含 まれ る.そ

お い て,点Bは

の と き,点AはS∨Bに

し てS∨A=S∨Bで

  証 明   B∈S∨Aで

あ るか ら,点C∈Sが

し て,B∈C∨Aと い か ら,も

あ る.

な る.点BはSに

ち ろ ん 

含 まれ な

で あ る.よ

と な る.さ

存在

っ て, 

ら に,

図2.5

で あ る. 

(証終)

  定 理2.5 

射影 空 間Pの3つ

の 部 分 空 間S,T,Wに

お い て,S⊂Wな

ら

ば, (モ ジ ュ ラ 性)

  証 明  S∨T⊃Sか か つW⊃T∩Wだ

で あ る.ゆ

つW⊃Sだ

え に 

で あ る か ら,H∈A∨Bと

A∨Bで

と な る.よ

意 の 点H∈(S∨T)∩Wを

あ る か ら,仮

定S⊂Wに あ る.し

っ て

と る.H∈S∨Tか

な る2点A∈S,B∈Tが

ら か にH∈S∨(T∩W)で

ゆ え に,B∈W∩Tで

た,S∨T⊃T∩W

から

を 証 明 す れ ば よ い.任

な ら ば,明

か ら(S∨T)∩W⊃S,ま

つH∈W

存 在 す る.も

あ る.よ

っ て, 

しH=A∈S と す れ ば,H∈

よ っ て,B∈H∨A⊂W∨S=Wと

な る.

た が っ て,

(証終) 射 影 空 間Pのm+1個

で あ る と き,点Bはm個

の 点A1,A2,…

の 点A1,A2,…

…,Am,Bに

…,Amの

お い て,

結 合 で あ る と い う.ま

た,

空 間Pのr個

の 点A1,A2,…

…,Arの

点 の 結 合 に な ら な い と き,こ れ ら のr個 き,す な わ ち,こ

れ ら の い ず れ か1点

中 の い ず れ の1点

の 点(1≦s≦r)は

の

の 点 は 独 立 で あ る とい う.独 立 で な い と

が 他 のr−1個

れ ら のr個 の 点 は 従 属 で あ る と い う.r個 出 した 任 意 のs個

も他 のr−1個

の 点 の 結 合 に な る と き,こ

の 点 が 独 立 で あ れ ば,こ

独 立 で あ る.ま た,r個

の 中か ら と り

の点 が従 属 で あ れ

ば,こ れ らに 任 意 の い くつ か の 点 を つ け 加 え て も や は り従 属 で あ る.射 影 空 間P の1点Aは

独 立 で あ る.異 な る2点A,Bは

に な い3点A,B,Cは   定 理2.6  r+1個

の 点A1,A2

,…

r個 の 点A1,A2,…

結 合 で あ る. …,Ar,Bは

従 属 で あ る か ら,こ

れ が 点Bで

れ らの中 の

あ れ ば そ れ で よ い.そ

れ が他

般性 を失 な うことな く

方,A1,A2,…

…,Arは

含 ま れ な い.定

独 立 で あ る か ら,点Arは

理2.4に

部分 空 間

よ って,

(証 終)

  系  射 影 空 間Pに

A1∨

独 立 で,

の と き,点Bは

で あ る. 

r+1個

じ直 線 上

…,Arは

従 属 で あ る と す る.こ

の 点 の 結 合 で あ る.そ

… …∨Ar−1に

の 点A1,A2,…

…,Ar,Bは

の 点A1,A2,…

の 点 で あ る と し,一

A1∨

お い て,r個

…,Arの

  証 明   r+1個

と し て よ い.一

し て,同

独 立 で あ る.

射 影 空 間Pに

1点 は 他 のr個

独 立 で あ る.そ

お い て,r個

の 点A1,… … …∨Arに

  射 影 空 間Pに

…,Ar

,Bが

の 点A1,A2,…

…Arが

独 立 で あ る と き,

独 立 で あ る た め の 条 件 は,点Bが

部分 空 間

含 ま れ な い こ と で あ る. お い て2通

り の 点 の 組{A1,A2,…

…,Ar},{B1,B2,…

…,Bs}

が あ っ て,

が 成 り 立 つ と き,こ

れ ら の 組 は た が い に 同 等 で あ る と い い, {A1,A2,…

…,Ar}∼{B1,B2,…

…,Bs}

で 表 わ す.こ

の 関 係 は 明 ら か に 等 値 関 係 の 条 件 を み た す.

  定 理2.7 

射 影 空 間Pに

お い て,r個

の 点B1,B2,…

…,Brは

独 立 で,こ

れ ら は い ず れ も 点 の 組{A1,A2,… こ の 組 の 中 の 適 当 なr個

…,Am}の

結 合 で あ る と す る.こ

の 点 の 代 わ り に 点B1,B2,…

れ る 組 が も と の 組{A1,A2,…

…,Am}と

…,Brを

の と き,

い れ か え て得 ら

同 等 で あ る よ う に で き る. (と り か え 定 理)

  証 明   数 学 的 帰 納 法 を 用 い る.ま い か ら 自 明 で あ る.そ

こ で,r−1個

た と 仮 定 し て,点Brを

ず,r=0の

場 合 に は 何 も い れ か え な くて よ

の 点B1,B2,…

…,Br−1が

い れ か え る こ と が で き れ ば よ い.点

いれ か え られ

の順 番 を適 当に 変更

して {B1,…

…,Br−1,Ar,…

で あ る と 仮 定 し て よ い.部

を とれ ば,明

分空間

…,Brは

独 立 で,こ

結 合 で あ る か ら, 

な ら な い.そ

し て,自

っ て 定 理2.4か

と な る.こ

れ は

{B1,…

Br∈Smで

然 数kが

と な る.よ

{B1,… は も と の 組{A1,A2,…

射 影 空 間Pの

あ る.ゆ

え にr<mで

…, なけれ ば

存 在 し て,

…,Br−1,A1,……,Ak−1,Br}∼{B1,…

等 性 は 失 わ れ な い か ら,点

次

れ ら は い ず れ も 組{A1,A2,…

ら

で あ る こ と を 示 し て い る.こ

2.3 

…,Am}

らか に

で あ る.点B1,B2,… Am}の

…,Am}∼{A1,A2,…

…,Br−1,A1,…

の 両 方 の 組 に 点Ak+1,…

…,Amを

…,Ak} つ け 加 え て も 同

の 組 …,Br,Ar,… …,Am}と

…,Ak−1,Ak+1,…

…,Am}

同 等 で あ る. 

(証 終)

元 部 分 空 間Sに

対 し て,独

立 な 点 の 組{B0,B1,…

…,Br}が

存 在 し て,

とな る と き,こ

の 組 をSの

る.部 分 空 間Sが

基 底 と い う.基 底 に 属 す る点 は もち ろ んSに

有 限 個 の 点 で 張 ら れ る と き,Sは

る.制 限 公 理 〔P5〕

は 射 影 空 間P自

含 まれ

有限 次元 で あ る と い わ れ

身 が 有 限 次 元 で あ る こ とを 規 定 す る も の

で あ る.   定 理2.8 

射 影 空 間Pに

部 分 空 間 をSと

お い て,m個

の 点A1,A2,…

す れ ば,点A1,A2,…

…,Amの

…,Amで

中 か らSの

張 られ る

基 底 を と り出 す

こ と が で き る.   証 明   点A1,A2,… り 出 し,そ

…,Amの

中 か ら,独

れ ら を あ ら た め てB0,B1,…

個 の 点 は 独 立 で あ る が,A1,A2,…

え に,

で あ る.ま

た,も

ち ろ ん,B0∨B1∨ {B0,B1,…

と な る.す

…,Brと …,Amの

て つ け 加 え れ ば 必 ず 従 属 に な る.こ

と な る.ゆ

立 で あ る よ うな 最 大 個 数 の 点 を と

の と き,定

理2.6か

… …∨Br⊂Sで

を み た せ ば,Pは

  定 理2.9 

…,Br}を

基 底 で あ る. 

な ら な い.同   射 影 空 間Pの

rをSの 間Sの

影 空 間Pが

制 限 公 理

部 分 空 間Sがr+1個

の 基 底{A0,A1,…

…,As},

の 点A0,A1,…

…,Asの

お き か え る こ と が で き る か らr≦sで

あ る か らs=rと

次 元 と よ ん でr=dimSで 次 元 は,基

(証 終)

あ る.

よ っ て,s+1個

…,Brで

様 にs≦rで

くに,射

部 分 空 間Sが2組 も て ばs=rで

をB0,B1,…

ら,

基 底 を も つ.

  証 明   と りか え 定 理2.7に r+1個

と り出 し

…,Am}

…Br}はSの

射 影 空 間Pの

{B0,B1,…

のr+1

あ るか ら,

…Br}∼{A1,A2,…

な わ ち{B0,B1,…

な わ ち,こ

中 か ら も う1点Ajを

  系   有 限 次 元 部 分 空 間 は 必 ず 基 底 を も つ.と 〔P5〕

す る.す

な る. 

中の なけ れば (証 終)

の 点 か ら な る 基 底 を も つ と き,自

表 わ す .定 理2.9か

然 数

ら,有 限 次 元 部 分 空

底 の と り方 に 関 係 な く定 ま る も の で あ る.公 理 〔P1〕

か ら,

直 線 は1次

元 部 分 空 間 で あ る.な

お,1点

は0次

元,空

集 合 は−1次

元部 分 空

間 と 見 な し て お く.   定 理2.10  k+1個

射 影 空 間Pに

の 点A0,A1,…

お い て,r次 …,Akが

あ る と す る.こ

Bk+1,…

…,Brを

と っ て,r+1個

がSの

基 底 と な る よ う に で き る.

  証 明   部 分 空 間Sの1組 に よ っ て,こ

元 部 分 空 間Sに

れ ら の 中 のk+1個

組 を あ ら た め て,{A0,…

の と き,適

の 点 の 組{A0,…

の 基 底{B0,B1,…

含 ま れ る 独 立 な

…,Ak,Bk+1,…

…,Br}を

をA0,A1,…

…,Br}と

す れ ば,Sは

r+1個

よ り 少 な い 点 か ら 成 る 基 底 を と り 出 す こ と が で き て,dimS=rと

  定 理2.11 

し こ れ ら が 独 立 で な い とす れ ば,定

これ ら の

の 点 で 張 ら れ る.も

っ て こ れ ら はSの

射 影 空 間Pに

点 の 組{A0,A1,…

こ れ ら の 点 が 独 立 で あ れ ば,こ

  (2) 

こ れ ら の 点 でSが

rの

い う (証 終)

元 部 分 空 間Sに

れ はSの

含 ま れ るr+1個

の

張 ら れ れ ば,こ

基 底 で あ る.

れ はSの

あ る こ と を 考 慮 す れ ば,(1)は

場 合 で あ る.そ

ら,

あ る と す る.

  (1) 

  証 明   dimS=rで

理2.8か

基 底 で あ る. 

お い て,r次

…,Ar}が

りか え 定 理

い れ か え て得 られ る

r+1個

仮 定 に 反 す る.よ

の点 …,Br}

と る.と

…,Akと

…,Ak,Bk+1,…

当 なr−k個

し て,(2)は

定 理2.8に

基 底 で あ る. 定 理2.10に

お い てm=rの

お い てk= 場 合 で あ る. (証 終)

  系   射 影 空 間Pのr次 r+2個

は,r+1個

の 独 立 な 点 は 存 在 す る が,

以上 の 点 は 必 ず 従 属 で あ る.

  定 理2.12  Tが

元 部 分 空 間Sに

射 影 空 間Pの2つ

有 限 次 元 な ら ば,Sも

の 部 分 空 間S,Tに

お い て,S⊂Tと

す る.

ま た 有 限 次 元 で, dimS≦dimT

で あ る.こ

こ に,等

号 が 成 立 す る の はS=Tの

  証 明   部 分 空 間Tの 元 で な け れ ば,定

基 底 を{B0,B1,…

理2.6系

に よ っ て,t+1個

A0,A1,… を と る こ と が で き る.こ

場 合 に 限 る. …,Bt}と

す る.も

しSが

有限次

よ り多 く の 独 立 な 点

…,Am∈S⊂T, m>t,

れ は 定 理2.11系

に 反 す る.よ

っ てSも

また 有 限次 元

で あ る.Sの

基 底{A0,A1,…

適 当 なt−s個 Bs+1,…

…,As}を

と れ ば,定

の 点 を つ け 加 え る こ と に よ っ て,Tの

…,Bt}を

くにs=tで

つ く る こ と が で き る.よ

あ れ ば,定

と な る か ら,S=Tで

理2.11(1)に あ る.逆

理2.10か 基 底{A0,A1,…

っ て,S≦tで

よ っ てSの

に,S=Tな

ら,こ

れ らに …,As,

な け れ ば な ら な い.と

基 底 が そ の ま まTの

ら ば,定

理2.9か

基底

らs=tで

る. 

あ

(証 終)

系 有限次元射影空間Pの

任意 の部分空間は有限次元である.

定理2.13  射影空間Pの2つ

の有限次元部分空間S,Tに

対 して, (次元 定 理)

  証 明   部 分 空 間S,T,S∩Tの の 基 底{A0,A1,…

…,Ar}を

け 加 え る こ と に よ っ て,そ {A0,…

と れ ば,定 れ ぞ れS,Tの

…,Ar,Br+1,…

を つ く る こ と が で き る.こ

で あ る.実

次 元 を そ れ ぞ れs,t,rと

れ に 適 当 な 点 を つ

…,Ar,Cr+1,…

…,Ct}

の と き,

の 点A0,…

同 様 に 

ら,こ

ず,S∩T

基 底

…Bs},{A0,…

際,Bj∈S,Ck∈Tは

と な っ て,r+2個

理2.10か

す る.ま

明 ら か で あ る が,も

…,Ar,Bjの

しBj∈Tと

独 立 性 に 反 す る.ゆ

す れ ば,

え に, 

で あ る.

  さ て,S,Tは

そ れ ぞ れ 基 底 に よ っ て 張 ら れ る か ら,S∨Tはs+t−r+1個

の点 A0,… で 張 ら れ る.よ

…,Ar,Br+1,…

っ て,S∨Tは

れ ら のs+t−r+1個

…,Bs,Cr+1,…

有 限 次 元 で あ る.そ

の 点 の 組 がS∨Tの

…,Ct の 次 元 をpと

す る.も

し,こ

基 底 で あ れ ば,

p+1=s+t−r+1 と な っ て,定 ば よ い.い … ,Ar,Br+1,…

理 は 成 立 す る.そ ま,こ

れ ゆ え,こ

れ ら の 点 が 独 立 で あ る こ と を証 明 す れ

れ ら が 独 立 で な い と 仮 定 す る.こ …,Bs}は

独 立 で あ る か ら,定

の と き,Sの 理2.6系

基 底{A0,…

に よ っ て,点Cr+1,

… … ,Ctの

中 の1点Ck(r+1≦k≦t)が

と な る.ゆ

え に,Ck∈H∨Kと

が 存 在 す る.こ

な る.ま

と な る.し

た が っ て,

と な る.こ

れ は{A1,…

す る.よ

な る よ う な2点

の と き, 

H∈Ck∨Kと

で あ る か ら,も

た,Ck,K∈Tで

ち ろ ん 

で あ る.よ

あ る か ら,H∈T,よ

…,Ar,Cr+1,…

っ て,s+t−r+1個 {A0,…

存 在 し て,

っ て,

…,Ct}がTの

基底 で あ る ことに反

の点 の組

…,Ar,Br+1,…

は 独 立 で あ っ て,S∨Tの

…,Bs,Cr+1,…

基 底 と な る.な

ちdim(S∩T)=−1の

お,こ

…,Ct}

の 証 明 か らS∩T=φ,す

場 合 に も 定 理 は 成 立 す る.S=φ

なわ

ま た はT=φ

の場

合 は 自 明 で あ る.    定 理2.14 n次

(証 終) 元 射 影 空 間Pnの

と な る よ う なn−r−1次

け ば,こ る.次

基 底{A0,A1,…

適 当 なn−r個

Ar,Br+1,…

任 意 のr次

元 部 分 空 間S*が

  証 明   部 分 空 間Sの 空 間Pnの

っ て,

の 点Br+1,…

…,Bn}がPnの

元 定 理2.13か

対 して

存 在 す る.  …,Ar}に …,Bnを

基 底 と な る.そ

れ はPnのn−r−1次

元 部 分 空 間Sに

(可 補 性)

対 し て,定

理2.10か

ら,

と れ ば,{A0,A1,… こ でS*=Br∨

元 部 分 空 間 と な り,し

…,

… …∨Bnと

か もS∨S*=Pnで

お あ

ら,

dim(S∩S*)=dimS+dimS*−dimPn=r+(n−r−1)−n=−1. ゆ え にS∩S*=φ

で あ る. 

この 部 分 空 間S*をPnに

2.4  双 ま ず,い

対

(証 終)

お け るSの

補 空 間 と い う.

性

ま まで の 結 合 公 理 系 と射 影 公 理 系 と の 関 係 を し らべ て お く.射 影 公 理

〔P1〕,〔P2〕

が み た され れ ば,も

る.射 影 空 間 に お い て,平 立 な3点

ち ろ ん,結 合 公 理 〔A1〕,〔A2〕

面 は2次 元 部 分 空 間 と し て定 義 され る.す な わ ち,独

で 張 られ る 部 分 空 間 で あ る.こ

こ に,3点

同 じ 直 線上 に な い こ とを 意 味 す る.ま た,立 る.す

な わ ち,独

る と は,こ

立 な4点

が 独 立 で あ る と は,こ れ ら が

体 は3次 元 部 分 空 間 と し て 定 義 され

で 張 られ る部 分 空 間 で あ る.こ

れ らが 同 じ平 面上 に な い こ と を 意 味 す る.こ

で は 結 合 公 理 〔A3〕,〔A5〕,〔A6〕,〔A8〕 〔P3〕,〔P4〕

が成 立 す

か ら 次 元 定 理2.13が

こに,4点

の 定 義 か ら,射

が 成 立 す る.ま

導 か れ る.次

が独 立 で あ

た,射

影空 間 影公理

元 定理 の 特 別 な場 合 として

次 の 結 果 が 得 られ る.   定 理2.15 

射 影 空 間 に お い て,

  (1) 

異 な る2直

線 が 同 じ 平 面 に 含 ま れ れ ば,こ

れ ら は 必 ず1点

で 交 わ る.

  (2) 

異 な る2平

面 が 同 じ 立 体 に 含 ま れ れ ば,こ

れ ら は 必 ず1直

線 で 交 わ る.

  証 明   (1)  る か ら,次

異 な る2直

線l,gが

同 じ 平 面uに

含 ま れ れ ば,l∨g=uで

あ

元 定理 に よって dim(l∩g)=diml+dimg−dimu=0

と な る.ゆ   (2) 

え にl∩gは1点 異 な る2平

で あ る.

面u,υ

が 同 じ 立 体 σ に 含 ま れ れ ば,u∨υ=σ

で あ る か ら,

次 元 定 理 に よ って

dim(u∩υ)=dimu+dimυ−dimσ=1 と な る.ゆ

え にu∩υ

  定 理2.16 

は1直 線 で あ る. 

(証終)

射 影 空 間 は 線 形 空 間 で あ る.

  証 明   射 影 空 間 に お い て は,定 理2.15(1)に 直 線 は 必 ず 交 わ る.そ れ ゆ え,△ABCを こ の 三 角 形 の3辺 に 交 わ る.よ る.3点

公 理 〔P2〕

が 成 立 す る.さ

っ て,明

を 考 慮 す れ ば,定

らに,定 理2.15(2)か

よ っ て,同

含 む 平 面u上

じ平 面 に 含 まれ る2

の 任 意 の直 線lは,必

ら か に 擬 似 交 点 公 理 〔A14〕 が 成 立 す 理1.17に

よ っ て 一 般 交 点 公 理 〔A11〕

ら交 線 公 理 〔A10〕 が 成 立 す る.ゆ

射 影 空 間 は 線 形 空 間 で あ る.    こ の 定 理 に よ って,射

ず

影 幾 何 で は 結 合 公 理 〔A4〕,〔A7〕

えに

(証終) が 必然 的 に成 立 す

る.し か し,次 元 の 考 察 か ら直 接 に 証 明 す る こ と もで き る.す な わ ち

  定 理2.17 

射 影 空 間 に お い て,

  (1) 

同じ 直 線 上 に な い3点

を 通 る平 面 は た だ1つ

  (2) 

同 じ平 面上 に な い4点

を 通 る 立 体 は た だ1つ 存 在 す る.

  証 明   (1)  独 立 な3点A,B,Cを 張 ら れ る平 面 をSと

含 む2平

す れ ば,S⊂u,S⊂υ

存 在 す る.

面 をu,υ

と し,こ

の3点 で

で あ る.し か も

dimu=dimυ=dimS で あ る か ら,定 理2.12に

よ っ て,u=υ=Sで

  (2)  独 立 な4点A,B,C,Dを れ る 立 体 をTと

あ る.

含 む2立 体 を σ,τ と し,こ の4点

す れ ば,T⊂

で張 ら

σ,T⊂ τ で あ る.し か も dimσ=dimτ=dimT

で あ る か ら,定 理2.12に

よ っ て,σ=τ=Tで

あ る. 

(証終)

  この よ うに 射 影 幾 何 で は い ま ま で の結 合 公 理 が す べ て 成 立 す る.そ れ ゆ え,結 合 幾 何 お よ び 線 形 幾 何 に お い て一 般 に 成 立 す る結 果 は 射 影 幾 何 に お い て も成 立 す る.こ れ ら の 中 に は 次 元 定 理 か ら容 易 に 導 か れ る もの が 多 い.た 1.7は

と え ば,定

理

次 の 通 りで あ る.

  定 理2.18 

射 影 空 間 に お い て,異

な る2直 線 が1点

で 交 わ れ ば,こ

の2直 線

を 含 む 平 面 は た だ1つ 存 在 す る.   証 明  異 な る2直 線l,gが1点Aで

と な る.よ

っ てl∨gは

あ れ ば,射

影 和 の 定 義 か ら,l∨g⊂uで

交 わ れ ば,次

平 面 で あ る.も

で あ る か ら,定 理2.12に

し,こ れ 以 外 に もl,gを あ る.し

よ っ てl∨g=uで

  射 影 空 間 に お い て,定 理2.15(1)を

元定 理 に よ って

か もdim(l∨g)=dimu=2

あ る. 

れ は,平

行 線 公 理 の1つ

に,こ れ が み た され れば,明

と し て,す

らか に 公 理 〔P4〕

何 の 公 理 系 と し て 〔P1〕,〔P2〕,〔P3〕,〔E〕 だ し,こ

(証終)

い い か え れ ば,

  〔E〕  同 じ平 面上 の2直 線 は 必 ず 交 わ る.  と な る.こ

含 む 平 面uが

(楕 円 公 理) で に述 べ ら れ た も の で あ る.逆 が 成 立 す る.そ れ ゆ え,射

影幾

を 採 用 す る こ とが で き る.た

の 場 合 に は,平 面 を 初 め に 定 義 し て お く必 要 が あ る.

  射 影 幾 何 に お い て,双 対 性 が 成 り立 つ こ と は重 要 で あ る.次 に これ を 考 察 す

る.

  n次 元 射 影 空 間Pnに Pnの

お い て,n−1次

元 部 分 空 間 を 超 平 面 とい う.そ し て,

す べ て の超 平 面 の集 合ΠnをPnの

双 対 空 間 とい う.簡 単 の た め,Pnの

r次 元 部 分 空 間 をr‐ 空 間 と よぶ こ とに す る.と 平 面 は2‐ 空 間,直

線 は1‐ 空 間,点

くに,超

は0‐ 空 間,そ

平 面 は(n−1)‐ 空 間 ,

し て 空 集 合 は(−1)‐ 空 間 で あ

る.   定 理2.19 

n次 元 射 影 空 間Pn(n≧2)に

  (1)  異 な る2超 平 面 は た だ1つ   (2) 

お い て,

の(n−2)‐ 空 間 で 交 わ る.

1つ の(n−2)‐ 空 間 を 含 ん で,少

な くと も異 な る3超 平 面 が 存 在 す る.

  (3)  同 じ(n−2)‐ 空 間 を 含 ま な い3超 平 面 が 存 在 す る.   (4) 

同 じ(n−3)‐ 空 間 を 含 む2つ

の(n−2)‐ 空 間 は,必

ず 同 じ超 平 面 に 含 ま

れ る.   証 明   (1),(2),(4)は で(2)を

い ず れ も 次 元 定 理 の 特 別 な 場 合 に す ぎ な い.そ

証 明 す る.空

直 線lが

間Pnの(n−2)‐

空 間Sに

対 し て,定

理2.14か

こ ら,

存 在 し て,

と な る.公

理

〔P2〕

に よ っ て,直

3超 平 面S∨A,S∨B,S∨Cに

線l上

  定 理2.20 n次

の 異 な る3点A,B,Cが

つ い て た し か に(2)が

元 射 影 空 間Pnに

お い て,r個

存 在 す る. 成 立 す る.  (証 終)

の 超 平 面(1≦r≦n)は

同 じ

(n−r)‐ 空 間 を 含 む.   証 明   数 学 的 帰 納 法 を 用 い る.ま r−1個

の 超 平 面S1,S2,…

し て,も

う1つ

ず,r=1の

…,Sr−1が

の 超 平 面Srを

同 じ(n−r+1)‐

と り,こ

を 含 む こ と を 証 明 す れ ば よ い.明

と き は 自 明 で あ る.よ

れ ら のr個

空 間Tを

っ て,

含 む と仮 定

の 超 平 面 が 同 じ(n−r)‐

ら か に,T∨Sr⊂Rnで

空間

あ る か ら,次

元定理 に

含 む か ら,こ

れ らは同

よって dim(T∩Sr)≧(n−r+1)+(n−1)−n=n−r と な る.超

平 面S1,S2,…

じ(n−r)‐

空 間 を 含 む. 

  定 理2.21 

…,Srは

n次 元 射 影 空 間Pn(n≧2)に

い ず れ もT∩Srを

(証 終) お い て,同

じ(n−2)‐

空 間 を 含 まな

い3超

平 面 は(n−3)‐

  証 明  定 理2.20に

空 間 で 交 わ る. お い て,と

(n−3)‐ 空 間 を 含 む.し

くにr=3と

す れ ば,こ

れ ら の3超 平 面 は 同 じ

か も これ らは 同 じ(n−2)‐ 空 間 を 含 まな い か ら,こ

(n−3)‐ 空 間 で 交 わ る.    定 理2.22  存 在 す る.そ

(証終)

n次 元 射 影 空 間Pnに し て,n個

は,共

通 点 を も た な いn+1個

で あ る.よ

っ て,空 間Pnの

間T1,T2,…

…,Tnが

と り,n+1個

を つ くれ ば,こ

の超 平面 が

以 下 の 超 平 面 は 必 ず 共 通 点 を もつ.

  証 明  数 学 的 帰 納 法 を用 い る.ま ず,n=1の

点Aを

超 平 面Sに

と き は,公 理 〔P2〕

は 共 通 点 を もた な いn個

含 まれ る と仮 定 し て よい.超

平 面S上

か ら自明

の(n−2)‐ 空 に な いPnの

の超 平 面

れ ら は た しか に 共 通 点 を も た な い.ま

た,定

理2.20に

よ っ て,

n個 以 下 の 超 平 面 は 必 ず 共 通 点 を もつ.    n次 元 射 影 空 間Pn(n≧2)の 空 間 の 集 合 をΦ

とす る.そ

す な わ ち,Pnの

(証終)

双 対 空 間 をΠnと

し,Pnの

し て,結 合 関 係Ω*⊂Πn×

超 平 面S∈Πnと(n−2)‐

に あ る とは,TがSに   定 理2.23 

の

空 間T∈

す べ て の(n−2)‐

Φ を 次 の よ うに 定 め る. Φ とが 関 係(S,T)∈Ω*

含 まれ る こ とで あ る と定 め る.こ の と き,

n次 元 射 影 空 間Pn(n≧2)の

双 対 空 間Πnも

ま たn次

元 射影空 間

で あ る.   証 明  上 に 定 め た 結 合 関 係 が,射

影 公 理 〔P1〕,〔P2〕,〔P3〕,〔E〕

た す こ と は,そ れ ぞ れ 定 理2.19(1),(2),(3),(4)で し,空 間Πnに る.こ

お け る平 面 と は,Pnの(n−3)‐

の こ とは 定 理2.21に

間Πnがn次

示 され て い る.た だ 空 間 と し て 定 義 され る も の で あ

よ っ て 保 証 され て い る.ま た,定

理2.22は

元 で あ る こ と を 示 す も の で あ る. 

  n次 元 射 影 空 間Pnに

お け る あ る概 念 に 対 し て,双

同 じ概 念 を も と の概 念 の 双 対 概 念 とい う.た とえ ば,点

射影 空 (証終)

対 射 影 空 間Πnに

おけ る

の双対 概 念 は超 平 面で あ

る.直 線,平

面 の 双 対 概 念 は そ れ ぞ れ(n−2)‐ 空 間,(n−3)‐

て,含 む,含

まれ る の 双 対 概 念 は そ れ ぞ れ 含 ま れ る,含 む とな る.

  定 理2.24 

をみ

空 間 で あ る.そ

し

n次 元 射 影 幾 何 に お い て 一 般 に 成 立 す る定 理 の 双 対 命 題 も ま た 成

立 す る. 

(双対 性)

  証 明   定 理2.23に

よ っ て,n次

元 射 影 空 間Pnの

双 対 空 間Πnも

まn次 元

射 影 空 間 で あ るか ら,Pnに

お い て 一 般 に 成 立 す る定 理 は 双 対 空 間Πnに

も成 立 す る.と

お け る この定理 は もとの定 理 の双対 命 題 に な って い

こ ろがΠnに

る. 

おいて

(証終)

  n次 元 射 影 空 間Pnに 合 はSを

お い て,1つ

の 部 分 空 間Sを

中 心 とす る星 と よば れ る.な お,広

含 む す べ て の超 平 面 の 集

い 意 味 で は,Sを

含 むす べ ての部

分 空 間 の 集 合 を 星 と よぶ こ とが あ る.簡

単 に い え ば,射

Pnの

の星 はそ の中心 を指 定 す る ことに よ って

部 分 空 間 の 双 対 概 念 で あ る.1つ

一 意 的 に 定 ま る.中 心Sがn−r−1次 た とえ ば,(n−2)‐ 面 は0等

星,ま

す る星 はn等

空 間Sを

た 空 間Pn自

星 で あ っ て,こ

れ を 星 雲 と よん で も よ い が,こ い 意 味 で,空

間Pnの

  2.5  配

景

はSを

中 心 とす る 星 は1等 星 で あ る.な 身 は−1等

星 と 見 な され る.空

れ は 空 間Pnの

お,1つ

す べ て の 超 平 面 の 集 合 で あ る.こ

れ は 実 は 双 対 空 間Πnで

写

あ る.な お,星 雲 は,広

像 空 間U,Vに

元 定 理 に よ っ て,U上

と れ ば,X∨SとVと

交 わ る.よ

対 し て,こ れ ら を 含 む 部 分 空 間Phを 与 え られ た と き,UとVと

っ て,写

の任 意

は 必 ず1点 像

α:U→V,Y=α(X), が 定 ま り,こ

れ は 全 単 射 で あ る.写

景 写 像 と い い,記

の超 平

集 合 φ を中 心 と

軸 と し て た が い に 配 景 的 で あ る と い う.こ の と き

の 点Xを Yで

元 で あ る と き,こ の 星 をr等 星 とい う.

お け る これ ら の 共 通 な 補 空 間Sが

で あ る か ら,次

星 と は,

す べ て の部 分 空 間 の 集 合 と考 え られ る.

  射 影 空 間Pの2つr‐ り,空 間Phに

影 空 間Pnの

像 αを配

号 図2.6

と

で 表 わ す.こ

の定 義 か ら 明 らか に,

  定 理2.25 

射 影 空 間Pのr‐

空 間U,V,Wに

お

い て,   (1) 

配 景 写 像 は交

空間U∩V上

す べ て の 点 を 動 か さな い.す

の

な わ ち,

α(X)=X,X∈U∩V. な ら ば,

 (2) 

な ら ば,

 (3) 

図2.7

とす れ ば,

 (4)    定 理2.26 

射 影 空 間Pの

任 意 の2つ

のr‐ 空 間 は,適

当 な 軸 を と れ ば,た

が

い に 配 景 的 と な る.   証 明   2つ

のr‐ 空 間U,Vに

1:U→Vは

空 集 合 φ を 軸 と す る 配 景 写 像 と 見 な さ れ る.ま

dim(U∩V)=mと

お い て,も

す れ ば,部

{A0,A1,…

分 空 間Pn=U∨Vの

…,Am,Bm+1,…

を と っ て,Aj∈U∩V,Bk∈U,Ck∈Vと ら,直 S=Dm+1∨

線Bk∨Ck上

と な り,U,VはSを

異 な る 第3の

等 写 像

た,U≠Vの

と き,

基底

…,Br,Cm+1,…

…,Cr}

点Dkが

理

〔P2〕

存 在 す る.そ

か

こ で,

お け ば,

軸 と し て た が い に 配 景 的 で あ る. 

  配 景 写 像 は 全 単 射 で あ るか ら,射 影 空 間Pの し て た が い に 対 等 で あ る.と 間Pの

す れ ば,恒

す る こ と が で き る.公

に はBk,Ckと

… …∨Drと

しU=Vと

くに1つ

(証終)

任 意 の2つ のr‐ 空 間 は 点 集 合 と

の直 線 が 有 限 個 の 点 しか 含 ま な い と き,空

す べ て の直 線 が 同 じ個 数 の 点 を 含 む.

  点 を 軸 とす る配 景 写 像 は よ く用 い られ る.2直 配 景 写 像 が あ れ ば,こ

線l,gの

の2直 線 は 必 ず 交 わ る.実 際,直

間 に 点Aを

軸 とす る

線gは 平 面A∨lに

含ま

れ るか ら,公

理 〔E〕 に よ っ てl∩g≠

φ で あ る.い

くつ か の点 が 同 じ直 線 上 に

あ る と き,こ れ ら は 共 線 で あ る と い わ れ る.ま た,い

くつ か の直 線 が 同 じ点 を 通

る と き,こ れ ら は 共 点 で あ る と い わ れ る.   定 理2.27 

と す る.空

射 影 空 間Pの2点A,Bお

間U上

の 点Xが

よ び2つ

交 空 間U∩Vに

で あ る た め の 条 件 は,3点A,B,Xが   証 明   2点X∈U,Y∈Vに =Yと

お い て,

含 ま れ な い と き,α(X)=β(X)

共 線 と な る こ と で あ る. お い て,α(X)

な る 条 件 は ,3点A,X,Yが

な る こ と で あ る.ま

のr‐ 空 間U,Vに

共線 と

た,β(X)=Yと

は,3点B,X,Yが

な る条 件

共 線 と な る こ と で あ る.

ゆ え に,3点A,B,Xが α(X)=β(X)と

共 線 で あ れ ば, な り,逆

に α(X)=β(X)≠ 図2.8

Xで

あ れ ば,3点A,B,Xは

  射 影 空 間Pの2直

共 線 で あ る. 

線l,gの

(証終)

間 の 全 単 射φ:l→gが

有 限個 の配 景写 像 の結 合

と し て 与 え られ る と き,φ

を この2直 線 の 間 の 射 影 変 換 と い い,記

で 表 わ す.こ

般 に2つ

の 定 義 は,一

ま適 用 され る が,射 影 空 間P自

号φ:l 

g

のr‐ 空 間 の間 の 射 影 変 換 に つ い て も そ の ま

身 の場 合 に は この ま ま で は 都 合 が 悪 い.一

r‐空 間 の 射 影 変 換 に つ い て は あ とで 別 の 定 義 を 与 え る こ とに し て ,こ

般の

こで は 直 線

の 射 影 変 換 だ け を 考 え る.   定 理2.28 

射 影 空 間Pの2直

線

l,l′ 上 に そ れ ぞ れ 異 な る3点A, B,Cお

よ びA′,B′,C′

を と れ ば,

φ(A)=A′, φ(B)=B′, φ(C)=C′ と な る 射 影 変 換φ:l l′

が 存在 す

る. 図2.9

  証 明   ま ず,2直

線l,l′

は1点

Qで の2点

交 わ る と す る.平 と 異 な るh上

面u=l∨l′

の 点Sを

上 で,2点A,A′

と る.こ

れ か え る こ と が で き る か ら,h≠l′ て2直

線l,hと

異 な る 直 線gを

点 を そ れ ぞ れB1,C1と

を 通 る 直 線h,お

こ で 必 要 が あ れ ば2直

と し て よ い.ま と り,2直

す る.2直

た,平

線l,l′

面u上

線S∨B′,S∨C′

線B∨B1,C∨C1の

よび こ

の役割 を い

で,点Aを

通 っ

と 直 線gと 交 点 をTと

の交

す れ ば,

射 影変 換

に よ っ て,φ(A)=A′,φ(B)=B′,φ(C)=C′

と な る.

  次 に,l∩l′=φ 線l,l′

ま た はl=l′

と 異 な り,こ

で 交 わ る 直 線l″,お 線l′,l″

よう

図2.10

と な る 射 影 変 換ψ:l〓l″

れ ら に そ れ ぞ れ 点Q,Q′ よ び 平 面l′∨l″ 上 で2直

上 に な い 点Rを

を つ く る.2直

と す る.2直

線l,l″

と っ て,配

景写 像

に 対 し て,上

に示 した

に,

が 存 在 す る.こ の と き射 影 変 換

が 求 め る もの で あ る.    定 理2.29 

(証終)

射 影 空 間Pの2直

線l,gの

間 の 任 意 の 射 影 変 換 は,点

を軸 とす

る有 限 個 の 配 景 写 像 の 結 合 と し て表 わ され る.   証 明   部 分 空 間Sを

軸 とす る1つ

に つ い て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.ま l上 に な い1点Qを

と れ ば,α

l∩g≠ φ の と き,u=l∨gは

の配景 写像

ず,l=gの

は 点Qを

と き,α

は 恒 等 写 像 で あ る か ら,

軸 と す る 配 景 写 像 で あ る.次

平 面 で,Q=S∩(l∨g)は1点

に,l≠g,

で あ る か ら,

定 理2.25(4)に

よ っ て,α

は 点Qを

軸 とす る

ら に,l≠g,l∩g=φ

の と

立 体 で,k=S∩(l∨g)は

直線

配 景 写 像 で あ る.さ き,U=l∨gは で あ る か ら,定

理2.25(4)に

よ っ て,α

kを 軸 と す る 配 景 写 像 で あ る.2直 そ れ ぞ れ 点C,Dを

線l,g上

と り,α(C)≠Dと

直 線h=C∨Dは

直 線kに

は直 線 に

す れ ば,

交 わ ら な い.よ

っ て,

配 景写 像

図2.11

が 定 ま る.こ (4)か

の と き,A=k∩(l∨h),B=k∩(h∨g)は

ら,β,γ

は そ れ ぞ れ 点A,Bを

点 で あ る.定

軸 と す る 配 景 写 像 で あ っ て,α=γ°

な る. 

βと

(証 終)

 定 理2.30 

射影 空 間 の 立 体P3に

uに 含 ま れ る2直 線 をl,gと よび2直

理2.25

線l,gに

含 ま れ る2平 面 をu,υ

す る.2平

含 まれ な いu上

面u,υ

の 点Aを

と し,さ

に 含 まれ な いP3の

らに 平 面 点B

,お

と る.配 景 写 像

に よ るl,g,Aの

像 を そ れ ぞ れl′,g′ ,A′

として配 景写 像

を と れ ば,α′=β°   証 明   直 線l上

α° β−1で 与 え ら れ る. の 任 意 の 点Xに

直 線g上

の 点Y=α(X)を

X,Yは

共 線 で あ る か ら,配

と る.3点A,

る こ れ ら の 像A′,X′,Y′ る.す

図2.12

対 し て,

景 写 像 βに よ も また 共 線 で あ

な わ ち, A′=β(A), 

X′=β(X)

Y′=β(Y), 

Y′=α′(X′)

で あ る.ゆ

え に,

(証 終)

と な る. 

  2.6デ

ザ

ル

グ

性

  射 影 空 間 に お け る2つ の 三 角 形 の 間 の 同 型 対 応 κ:△ABC→ を考 え る.す な わ ち,△ABCの3頂 3頂 点A′,B′,C′ は,そ

点A,B,Cに

は,そ れ ぞ れ △A′B′C′ の

が 対 応 す る と き,△ABCの3辺A∨B,B∨C,C∨Aに

れ ぞ れ △A′B′C′ の3辺A′∨B′,B′∨C′,C′∨A′

  定 理2.31 

n次 元 射 影 空 間Pn(n≧3)に

応 が 与 え られ,対 そ の3交

点 で,一

点 は 共 線 で あ る. 

の三 角形 の 間 の同 型対

(デ ザ ル グ の 定 理) とす る.対

応 す る頂

致 す る も の が あ る場 合 は 自明 で あ る か ら,A≠A′,B≠B′,C≠C′

とし

て よ い.仮 も1点Oを

お い て,2つ

が 対 応 し て い る.

応 す る頂 点 を結 ぶ3直 線 が 共 点 な らば,対 応 す る辺 は 交 わ り,

  証 明   △ABC,△A′B′C′

△OABに

△A′B′C′

を 含 む 平 面 を そ れ ぞ れu,u′

定 に よ り,対 応 頂 点 を 結 ぶ3直 通 る.ま

ず,u≠u′

つ い て 公 理 〔P4〕

直 線A′∨B′ は 辺A∨Bに

の と き,

を 用 い れ ば,

交 わ り,そ の 交 点

は 明 らか に 交 線u∩u′ 上 に あ る.他 の2対

図2.13

線A∨A′,B∨B′,C∨C′

の

図2.14

は いず れ

対 応 辺 に つ い て も 同 様 で あ るか ら,対 応 辺 は 交 わ り,そ の3交 u∩u′ 上 に あ る.次 に,u=u′ 理 〔P2〕

か ら,直 線O∨O1上

在 す る.△O1OAに

む 平 面 をu*と

面u上

に な い1点O1を

に は,2点O,O1と

つ い て公 理 〔P4〕

交 わ る.そ の 交 点 をA*と

O1に

の と き,平

し,同

す れ ば,u≠u*,u′

を 用 い れ ば,直 線O2A′

点O2が は 辺O1Aに

含

あ る.△ABC,△A*B*C*お

い て 上 の 結 果 を 適 用 す れ ば,△ABC,△A′B′C′

存

求 め て,△A*B*C*を

つ い て 上 の 結 果 を 適 用 し,ま た △A′B′C′,△A*B*C*お

り,そ の3交 点 は い ず れ も直 線u∩u*上

とれ ば,公

異 な る第3の

様 に 点B*,C*を ≠u*で

点 は い ず れ も直 線

よび点 よ び 点O2に

に つ い て も3対

つ

の対 応 辺 は 交 わ

に あ る. 

(証終)

  な お,n=2の

場 合 に は,点O1を

し な い.実 際,こ

の 定 理 が 成 立 し な い よ うな2次 元 射 影 幾 何 の 実 例 が 知 られ て い

る.こ

と る こ とが で き な い の で,こ

の証 明 は通用

の よ うな射 影 幾 何 を 非 デ ザ ル グ幾 何 と い う.本 書 で は 非 デ ザ ル グ幾 何 を 扱

わ な い こ とに し て,以 下 の 考 察 で は,射 影 空 間Pn自

身 が 平 面 で あ る場 合 に は,

この 命 題 の 成 立 を 仮 定 し て お く.   定 理2.32 

デ ザ ル グ の定 理 が 成 立 す る射 影 空 間 で は,そ

 証 明  同型 対 応 κ:△ABC→ の3交 点 は い ず れ も直 線l上 れ ぞ れu,u′

の と き,u∩u′=lで

は そ れ ぞ れ この3平

い ず れ も点Oを

通 る.次 に,u=u′

う ど射 影 平 面uに

面 の 交 点 をOと

す る.3直

の と き,デ ザ ル グ の 定 理 の 逆 命 題 は,ち

ょ

よ っ て, (証終)

な る3直 線l,g,hが

軸 とす る 任 意 の 配 景 写 像

の 点Fが

は立

線A∨A′,

お け る双 対 命 題 に な っ て い る.双 対 性(定 理2.24)に

射 影 空 間 に お い て,異

に 対 し て,A∨B上

あ るか ら,u∨u′

面 の うち の2平 面 に 含 まれ るか ら,こ れ らは

逆 も また 成 立 す る.    定 理2.33 

を含 む 平 面 を そ

の 対 応 辺 は 交 わ る か ら,こ れ ら は 同 じ平 面 上 に あ

の 対 応 辺 を そ れ ぞ れ 含 む3平

B∨B′,C∨C′

の 対 応 辺 が 交 わ り,そ

に あ る とす る.△ABC,△A′B′C′

とす る.ま ず,u≠u′

体 で あ る.仮 定 に よ っ て,1対 る.3対

△A′B′C′に お い て,3対

の 逆 も また 成 立 す る.

存 在 し て,

共 点 で あれ ば,点

を

と な る. 証 明  A=Bの

と き,A=B=F

と す れ ば よ い.そ る.直

線l上

こ で,A≠Bと

の 点Eを

意 の 点X∈lに

す

と り,ま

対 し て,

α(X)=X′

∈g,β(X′)=X″

∈h

と お く.△EE′E″,△XX′X″

図2.15

定 点Fに

た任

につい

て デ ザ ル グ の 定 理 を 用 い れ ば,2直

線

E∨E″,X∨X″

の

は 直 線A∨B上

お い て 交 わ る.す な わ ち,

で あ る. 

(証終)

こ の 定 理 で は,2つ

の 配 景 写 像 α,β の 結 合 と して 与 え られ る 射 影 変 換 

が 実 は た だ1つ

の 配 景 写 像 とな る こ とが 示 され て い る.3直

線l,g,

hが 共 点 で な け れ ば,射 影 変 換

を た だ1つ

の 配 景 写 像 に 直 す こ と は 一 般 に は で き な い.た

き,点X∈l∩hに て,φ

対 し て,も

は 配 景 写 像 で は な い.そ

当 な2点A*,B*を

と り,φ

しφ(X)≠Xで こ で,こ を 別 の2つ

と え ばl∩h≠

あ れ ば,定

の 射 影 変 換φに

理2.25(1)に

対 し て,直

線kお

φ の と よっ よび適

の配 景 写像 の結 合

に 直 す こ とを 考 え る.   定 理2.34  像

射 影 空 間 の 異 な る3直 線l,g,hに

対 し て,点

を 軸 とす る配 景 写

が 与 え ら れ た と す る.ま

た,交

に 交 わ る 直 線g*は,lと ら な い と す る.こ 在 し て,配

点l∩gを

異 な り,か

の と き,A∨B上

通 っ てh つ 点Bを

通

の 点A*が

存

景写 像

を と れ ば,β° α=β*° α*と

な る.

 証 明  配景 写 像

図2.16

を と れ ば,定 る か ら,定

理2.25(3)か 理2.33に

ら,β=β*°

γ で あ る.3直

線l,g,g*は

よ っ て,

と な る 点A*∈A∨Bが

存 在 す る.ゆ え に

と な る. 

(証 終)

 定 理2.35 

射 影 空 間 の3直

が 与 え ら れ た と す る.ま て 交 わ り,こ A∨B上

の2点

はl∩h上

の2点A*,B*が

対 し て,点

を 軸 とす る 配 景 写 像

線kは2直

線l,hと

に な く,か

つ β° α(L)≠Hと

存 在 し て,配

そ れ ぞ れ 点L,Hに す る.こ

おい の と き,

景写像

な る.

  証 明   仮 定 か ら,l≠h,L≠Hで

の と き,A∨B上

線l,g,hに

た,直

を と れ ば,β° α=β*° α*と

で あ る.こ

共点であ

あ る.射

の2点A*,B*が

影 変換

φ=β° α を と る.す

存 在 し て,

な わ ち,

と な る こ と を い え ば よ い.3直 が 共 点 な ら ば,定

理2.33か

の 点A*が

存 在 して

と な る.ま

た,φ(L)≠Hで

A*は

ら,A∨B上

あ る か ら,点

直 線k=L∨H上

B*=A*と

線l,g,h

に な い.そ

こ で,

す れ ば,

図2.17

と な っ て,定

理 は 成 立 す る.よ

れ ば よ い.こ

の と き,交

D〓lで

線l,g,hが

点l∩g=C,g∩h=Dを

共 点 で ない場 合 を証 明す と れ ば,C≠Dか

つC〓h,

あ る.

  〔1〕   直 線g*=C∨Hが な い と き,定 点A*が

点Bを

理2.34か

通 ら

ら,A∨B上

の

存 在 して

と な る.そ 直 線kは

っ て,3直

し て,φ(L)≠Hで 点A*を

通 ら な い.射

あ る か ら, 影変換 図2.18

に 対 し て,定

とな る.よ

理2.34か

ら,A*∨B上

の 点B*が

っ て 定 理 が 成 立 す る.ま た,直 線D∨Lが

存 在 し て,

点Aを

通 ら な い と き,射

影 変 換 φ−1につ い て この 結 果 を 適 用 す れ ば よ い.   〔2〕 A∈D∨L,B∈C∨Hの

場 合 を 証 明 す れ ば よ い.3点A,D,Lお

よ

び3点B,C,Hは

どち ら も 共 線 で あ る か

ら, φ(L)=D, φ−1(H)=C で あ る.L=Cの

と き,H=D,k=gと

な り,A*=A,B*=Bと 立 す る.H=Dの

場 合 も 同 様 で あ る.よ

てL≠C,H≠Dと は,L,C以

おけ ば定 理 は成

し て よ い.直 外 の 第3の

点Sが

っ

線l上

に

存 在 す る.

図2.19

た だ し,l∩h≠

φ な ら ば,S=l∩h

と お く も の と す る.こ A,B,Sが

の と き,3点

共 線 な ら ば,φ(S)=S,

ま た 共 線 で な け れ ば,φ(S)≠Sで る.そ

こ で,φ(S)=Sと

ば,2通

異 な る 点Zが

に お け る 直 線gを

つ ぎ つ ぎ と別 の 直 線 で お きか え れ ば,

な わ ち,定理が

  〔4〕  直 線 が た だ3点

し か 含 ま な い と き, l={L,C,S}, 

で あ る.2直

線L∨D,H∨Cの

成 立 す る.

h={H,D,S} 交 点Jを

と れ ば,

に3点S,D,Hと

存 在 す る と き,定

を 適 用 し て,射

と す る こ と が で き る.す

仮 定 す れ

り の 場 合 が 起 こ る.

  〔3〕  直 線h上

図2.20

あ

影変 換

理2.34

と な る.し

か も,〔2〕

J=A=Bと

な っ て,

で あ る.す ば,定

図2.21

  〔5〕 最 後 に,φ(S)≠Sの よ い.こ

の と き,〔3〕

代 わ りに 点 φ(S)を   定 理2.36 

の 初 め の 仮 定 か ら,

な わ ち,J=A*=B*と

すれ

理 が 成 立 す る.

場 合 を証 明 す れ ば

の 証 明 に お い て,点Zの

用 い れ ば よい. 

射 影 空 間 に お い て,異

の間 の 射 影 変 換 は,点

(証終) な る2直 線

を 軸 とす る た か だ か2つ

の

配 景 写 像 の 結 合 と し て 表 わ され る.   証 明   定 理2.29に

よ っ て,異

の 間 の 射 影 変 換φ:l hは,点

な る2直 線l,h を 軸 とす る 有 限

図2.22

個 の 配 景 写像 の 結 合

で 表 わ さ れ る.た

だ し,l1=l,lm+1=hと

と し て よ い か ら,2直 で あ る.直

線lj,lj+1の

線 が た だ3点

交 点 をCjと

こ で,

す る.ま

し か 含 ま な い と き に は,定

は 点 を 軸 と す る た か だ か2つ も 異 な る4点

す る.こ

理2.28の

の 配 景 写 像 の 結 合 と な る.そ

を 含 む も の と し て よ い.ま

ず,m=3の

た,仮

定 か ら,l1≠lm+1 証 明 に よ っ て,φ

こ で,直

場 合,す

線 は 少 な くと

な わ ち,射

影変 換

の 場 合 を 証 明 す る.   〔1〕 l1,l2,l3が

異 な る 直 線 で,か

A1∨A2上

存 在 し て,

の 点Fが

つ 共 点 で あ る と き,定

理2.33に

よ っ て,

と な る.ま

た,l2,l3,l4が

異 な る 直 線 で,か

 〔2〕 l1=l3, 

と な る.直

線g=C1∨Dを

A2*,A3*が

と な る.ゆ 〔1〕

の と き,直

つ 共 点 で あ る場 合 も 同 様 で あ る.

線l4上

と れ ば,定

の 点Dが

理2.35に

存 在 し て,

よ っ て,A2∨A3上

の2点

存 在 し て,

え に,3直

線l1,l2,gに

の 場 合 に 帰 着 さ れ る.ま

つ い て, た,l2=l4,

 の 場 合 も 同 様 で あ る.

図2.23

  〔3〕   l1=l3,l2=l4の =C2=C3を 線gを

と き,交

通 っ て ,l1,l2と と り,平

面l1∨g上

点C1

は異 な る直 の 点A*を

軸

とす る 配 景 写 像

を つ く る.い

ま,射

影 変換

図2.24

を 考 え,3直

線g,l1,l2,3直

引 き続 い て 定 理2.33を

線g,l2,l3お 適 用 す れ ば,射

よ び3直

線g,l3,l4に

影 変 換φ° α は 点B*を

つ い て,

軸 とす る 配 景 写

像

に 直 さ れ る.し

と な る.以

た が って

上 で,3直

線l1,l2,l3ま

た は3直

線l2,l3,l4が

共 点 で あ る場 合 は

す べ て 証 明 さ れ た.   〔4〕   3直 線l1,l2,l3お

よ び3直

線l2,l3,l4は

ど ち ら も 共 点 で な い とす る.

こ の と き,l1,l2,l3,l4は

異 な る4直

直 線l1,l3,l4の

ち ら か は 共 点 で な い.な

う ち,ど

あ っ た と す れ ば,4直 て,仮

線 で あ っ て,3直

線l1,l2,l3,l4は

定 に 反 す る か ら で あ る.そ

線l1,l2,l4か

ぜ な ら,も

し ど ち ら も共 点 で

す べ て 交 点l1∩l4を

こ で,l1,l2,l4は

と な る 点S∈l4を

ま た は3

通 るこ とに なっ

共 点 で な い と し,

と る.定

理2.35を

適 用 し て,射

影

変換

に お け る直 線l3を

直 線g=C1∨Sで

と す る こ と が で き る.3直

図2.25

か ら,上

の 場 合 に 帰 着 さ れ る.3直

る.以上

で,m=3の

  〔5〕 m>3の

線l1,l3,l4が

お きか え れ ば,

線l1,l2,gは

共 点 であ る

共点 で ない場 合 も 同 様 で あ

場 合 が 証 明 さ れ た. と き,も

し,lj≠lj+3と

な る 直 線ljが

あ れ ば,上

の 方 法 で,射

影変 換

に お け る 配 景 写 像 の 個 数 を1つ (j=1,2,… 定 理2.35を

…,m−2)な

ら ば,3直

適 用 し て,射

に お け る 直 線l2を

線l1,l2,l3は

た,い

異 な る3直

つ もlj=lj+3 線 で あ る か ら,

影 変換

直 線gで

と す る こ と が で き る.こ

減 ら す こ と が で き る.ま

お き か え れ ば,

の と き,g≠l2=l5で

あ る か ら,や

は り上 の 場 合 に 帰

着 され る.こ の よ うに,射 影 変 換φ

は 点 を 軸 とす るm個

よ り少 な い 配 景 写 像 の

結 合 に 直 さ れ る.    定 理2.37  か3つ

射 影 空 間 に お い て,1直

線上 の 射 影 変 換 は,点

を 軸 とす る た か だ

の 配 景 写 像 の結 合 と し て 表 わ され る.

  証 明   直 線lの 線gを

(証終)

射 影 変 換ψ:l lに

対 し て,lと

異 な り,か つlに

交 わ る直

と り,配 景 写 像

を つ く る.定 理2.36に

よ っ て,射

影 変 換φ=α°

つ の 配 景 写 像 の 結 合 と し て表 わ さ れ る.よ と す るた か だ か3つ

ψ は 点 を 軸 とす る た か だ か2

っ て,射 影 変 換 ψ=α−1°φ は 点 を 軸

の 配 景 写 像 の 結 合 と な る. 

(証終)

3.  射 影 座 標 系

  3.1 

四

角

形

性

  射 影 空 間 に お い て,4点Q,R,S,Tは れ の3点

同 じ平 面上 に あ っ て,こ れ ら の い ず

も共 線 で な い とす る.こ の よ うな4点

お よび これ ら の うち の2点

で 得 られ る6直 線 か ら成 る 図 形 を 完 全 四 角 形 とい い,記 号  完 全 四 角 形 に 属 す る4点 を そ の 頂 点,ま ら な い2辺

た6直 線 を そ の 辺 と い い,同

を た が い に 他 の対 辺 と い う.2つ κ:  QRST→ 

が 与 え られ,頂 し,2頂

点Q,R,S,Tに

QRSTで

は,そ

を結 ん

表 わ す. じ頂 点 を 通

の 完 全 四 角 形 の 間 の全 単 射 Q′R′S′T′ れ ぞ れ 頂 点Q′,R′,S′,T′

が対応

点 を 結 ぶ 辺 に は,対 応 す る2頂 点 を 結 ぶ 辺 が 対 応 す る と き,κ を 同 型 対

応 と い う.   定 理3.1 

射 影 空 間 に お い て,2つ

の 完 全 四 角 形 の 間 の 同 型 対 応 に よ っ て,対

応 す る5対 の 辺 が そ れ ぞ れ 交 わ り,こ れ ら の5交 点 が 共 線 で あ れ ば,残

りの1対

の 辺 も交 わ り,そ の交 点 は 他 の5交 点 と同 じ直 線上 に あ る.   証 明  同 型 対 応 κ:  QRST→  S∨T,S′∨T′

以 外 の5対

Q′R′S′T′に お い て,対

応 す る1対

の 辺

の 辺 は そ れ ぞ れ 交 わ り,そ の5交 点 は す べ て 直 線l上 に あ る もの とす る.こ の と き, △QRSと

△Q′R′S′に つ い て,

お よ び △QRTと に つ い て,デ

△Q′R′T′

ザ ル グ の 定 理 の逆

を 適 用 す れ ば,4直

線Q∨Q′,

R∨R′,S∨S′,T∨T′

は共 点

で あ る こ とが わ か る.そ

こで,

△QSTと

△Q′S′T′に つ い て

デ ザ ル グ の定 理 を 用 い れ ば,2 直 線S∨T,S′∨T′ 図3.1

は 交 わ り,

そ の 交 点 は や は り直 線l上

にあ

る. 

(証 終)

  直 線l上

の6点

四 角 形 の6辺

が,1つ

と 直 線lと

な っ て い る と き,こ 性6点

の完全

と い う.以

の交点 に

れ らを 四角形 下,四

角 形 性6

点{A,B,G,C,D,H}と と き に は,い

書 く

つ も次 の よ うに な ら

べ て あ る も の と す る.す

な わ ち,

点A,B,Gを

通 る3辺

を 通 る 辺 は,そ

れ ぞ れ 点A,B,Gを

ら,四

は,完

図3.2

全 四 角 形 の1頂

点 を 通 る も の で,点C,D,H

通 る 辺 の 対 辺 で あ る と す る.こ

角 形 性6点{A,B,G,C,D,H}を

の約 束 か

次 の よ うに な ら べ か え て も よ い.

{B,A,G,D,C,H},{G,B,A,H,D,C},{C,D,G,A,B,H}. さ ら に,こ

れ ら の な ら べ か え を 引 き 続 い て 行 な っ て よ い.

  定 理3.2  B,Gは

射 影 空 間 の 直 線l上

異 な り,か

の5点A,B,G,C,Dに

つ3点G,C,Dも

異 な る と す る.こ

1つ 存 在 し て,{A,B,G,C,D,H}が   証 明   直 線l上

四 角 形 性6点

に な い 点Qを

る 第3の

点Rを

と る.2直

T∨Cの

交 点 をSと

と り,直

す れ ば,完

Qの

線l上

Hは

理3.1か

は異 な

た2直

線Q∨B,

定 ま る.辺R∨Sと 四 角 形 性6点

を と っ て,同

は や は り点Hを

様 に 

通 る.し

の 与 え ら れ た5点A,B,G,C,Dか

Q′R′S′T′ を た が っ て,点

A,B,Gお G≠C,C≠Dは

よ び3点G,C,Dが

に つ い て も,次   〔1〕  B=Gな

つ く る た め に,定

一 意 的 に 定 め て, 理3.2で

異 な る こ と を 仮 定 し て い る.そ

そ の ま ま と し て,B=G,G=D,あ の よ う に 規 約 し て,点Hが ら ば,H=Dと

(証 終) ら,点Hを

四 角 形 性6点{A,B,G,C,D,H}を

は,3点 こ で,条

る い はA=Bの

一 意 的 に 定 ま る よ う に す る.

す る.す

直線

で あ る.点

完 全 四 角 形 の と り方 に 関 係 な く定 ま る. 

  直 線l上

ただ

と な る.

に,2点Q,Aと

QRSTが

に な い 任 意 の 点Q′ ら,辺R′∨S′

の と き,点Hが

交 点 をT,ま

全 四 角 形 

す れ ば,{A,B,G,C,D,H}は

つ くれ ば,定

線Q∨A上

線Q∨G,R∨Dの

lと の 交 点 をHと 代 わ り に,直

お い て,3点A,

な わ ち,A≠B,B≠C,C≠D

件 場合

図3.3

の と き,四

角 形 性6点{A,B,B,C,D,D}が

〔2〕  G=Dな C≠Gの

ら ばH=Bと

と き,四

〔3〕  A=Bな D≠Gの

図3.4

定 ま る. す る.す

角 形 性6点{A,B,G,C,G,B}が ら ば,H=Aと

と き,四

な わ ち,A≠B,B≠G,G≠A,

す る.す

定 ま る. な わ ち,A≠G,G≠C,C≠D,

角 形 性6点{A,A,G,C,D,A}が

定 ま る.

これ らは,四 るか,あ

角 形 に お い て,2頂

点 が一致 す

る い は3頂 点 が 共 線 と な る よ うな 特

異 な 場 合 と見 な す こ とが で き る.   な お,定 理3.2の   定 理3.3 

証 明 か ら 明 らか に,

直 線l上

B,G,C,D,H}を 直 線l上

の 四 角 形 性6点{A,

与 え る 四 角 形 と し て は,

に な い 任 意 の 点Qを1頂

点 と し,

3直 線Q∨A,Q∨B,Q∨Gを3辺

とす る

も の を と る こ とが で き る.

図3.5

  射 影 平 面 に お い て,完 全 四 角 形 の双 対 概 念 を 完 全 四 辺 形 とい い,頂 点,辺,対 辺,お

よ び 四 角 形 性6点

辺 形 性6直

線 とい う.す

の双 対 概 念 を そ れ ぞ れ 頂 直 線,辺 な わ ち,同

点,対

辺 点,お

じ平 面 上 に あ る4直 線q,r,s,tの

よび四 うち の

い ず れ の3直 線 も共 点 で な い と し,こ の4直 線 お よ び これ ら の うち の2直 線 の 交 点 で あ る6点 か ら成 る 図 形 を 完 全 四 辺 形 と い い, qrstで 属 す る4直 線 を そ の 頂 直 線,ま

た6点

辺 点 を た が い に 他 の 対 辺 点 と い う.平 の6辺

表 わ す.完 全 四 辺 形 に

を そ の 辺 点 とい い,同 面 上 で,点Oを

点 を そ れ ぞ れ 通 る と き,こ れ らを 四 辺 形 性6直

じ頂 直 線 上 に な い2

通 る6直 線 が 完 全 四 辺 形 線 とい う.四

辺 形 性6直

線{a,b,g,c,d,h}の

な らべ 方 に つ い て も,四 角 形 性6点

規 約 し て お く.な 3.3の

お,完

全 四 辺 形 に つ い て は,も

双 対 命 題 が 成 立 す る.完 全 四 角 形 の6辺

を と れ ば,こ

の 場 合 と双 対 的 に

ち ろ ん 定 理3.1,3.2お

の うち,1組

よび

の対 辺 を 除 い た4辺

れ らを 頂 直 線 とす る完 全 四 辺 形 が 定 ま る.双 対 的 に,完 全 四 辺 形 の

6辺 点 の うち1組

の対 辺 点 を 除 い た4辺

点 を とれ ば,こ

れ らを 頂 点 とす る完 全 四

角 形 が 定 ま る.   定 理3.4  い 直 線lと

点Oを

四 角 形 性6点

  証 明   定 理3.3の

=lと s,tと Cを

線{a,b,g,c,d,h}が

交 わ り,そ の 交 点 を そ れ ぞ れA,B,G,C,D,Hと

D,H,A,B,G}は

直 線qと

通 る 四 辺 形 性6直

し て,点Oを

し て よ い.他 し て,そ

点Oを

す れ ば,{C,

で あ る.

双 対 に よ っ て,こ

の 四 辺 形 性6直 線 を 与 え る 四 辺 形 の1頂

通 らな い 任 意 の 直 線 を と る こ とが で き るか ら,と の3頂

通 らな

くにq

直 線r,

れ ぞ れ 点A,B,

通 る も の を と り,s∩t=R,

t∩r=S,r∩s=Tと

す れ ば,

6点C,D,H,A,B,Gは, ち ょ う ど ORSTの6辺

と直 線

lと の 交 点 に な っ て い る.よ

っ

て, {C,D,H,A,B,G} は 四 角 形 性6点

で あ る.  (証 終)

図3.6

  も ち ろ ん,射 影 平 面 に お け る こ の 定 理 の 双 対 も成 り立 つ.   定 理3.5 

直 線上 の6点

の 四 角 形 性 は,

射 影 変 換 に よ って 失 わ れ な い.   証 明   点 を 軸 とす る1つ の 配 景 写 像 に つ い て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.直 線l上 角 形 性6点{A,B,G,C,D,H}に 図3.7

し て,直

線l上

に な い 任 意 の 点Oと,こ

の四 対

の6点

と を 結 ぶ 直 線 を そ れ ぞ れa,b,g,c,d,hと

り,点Oを

通 ら な い 任 意 の 直 線l′

B′,G′,C′,D′,H′ h,a,b,g}は

四 辺 形 性6直

C′,D′,H′}は

四 角 形 性6点

に よ っ て,直 般 に,2直 ら,6点

と す る.射

線l上

し,さ

と,こ

の6直

と な る.す

の 四 角 形 性6点

れ ら と交 わ

線 と の 交 点 を そ れ ぞ れA′,

影 平 面 に お け る 定 理3.4の

線 と な る.さ

ら に,こ

ら に,定 な わ ち,配

双 対 か ら,{c,d,

理3.4か

ら,{A′,B′,G′,

景写 像

は 直 線l′上 の 四 角 形 性6点

に 移 さ れ る.一

線 の 間 の 射 影 変 換 は 点 を 軸 とす る配 景 写 像 の結 合 と し て 与 え られ るか の 四 角 形 性 は 射 影 変 換 に よ っ て 失 わ れ な い. 

  3.2  点

演

(証終)

算

  デ ザ ル グ性 を もつ 射 影 空 間 で は,直 線 上 の点 の 間 に 加 法 お よび 乗 法 が 定 義 され る.ま ず,直

線l上

原 点 と よ ぶ.示 点Cと

の 異 な る2点C,Oを

指 定 し て,こ

異 な る任 意 の2点X,Y∈lに

れ らを そ れ ぞ れ 示 点,

対 し て,

{C,X,O,C,Y,W} が 四 角 形 性6点 とYと す.直

の 和 と よ ん で,W=X+Yで 線l上

と き,lを で,任 の規 約

図3.8

と な る よ うな 点W∈lをX 表 わ

に こ の よ うな 加 法 が 定 義 され た 加 法 直 線 と い う.加

意 の 点X∈l,X≠Cを 〔1〕,〔2〕

か ら,四

法 直 線l上 と れ ば,前

角 形 性6点

{C,O,O,C,X,X},{C,X,O,C,O,X} が 定 ま る.ゆ

え に, O+X=X+O=X

と な る.こ

れ は,原

意 の 点X∈l,X≠Cに

点Oが

こ の 加 法 の 零 元 で あ る こ と を 示 し て い る.ま

対 し て, {C,J,O,C,X,O}

が 四 角 形 性6点

と な る よ う な 点J∈lが

定 ま る.こ

の と き,

た,任

節

{C,X,O,C,J,O} も ま た 四 角 形 性6点

で あ る か ら,

J+X=X+J=O と な る.す るXの

な わ ち,点Jは

反 元 で あ る.こ

この加法 に お け れ をJ=−Xで

表 わ す.

図3.9

定 理3.6 

加 法 直 線lの

い任 意 の 点Qを

示 点,原

と り,lとQと

と す る.こ

な射 影 変 換 

の と き,適

線l上

通 る 直 線hを

当 な 点Rを

にな

と れ ば,次

と る. の よう

を つ く る こ と が で き る.

任 意 の 点K∈l,K≠Cを

と る.3点Q,R,Cは

と す れ ば,    (2) 

す る.直

を 含 む 平 面上 で,点Cを

た だ し, 

  (1)

点 を そ れ ぞ れC,Oと

共 線 と し,

と な る.と

直 線 

を と る.3点Q,R,Oは

く にφ(C)=Cで 共 線 で,点Rは

あ る. 直 線h上

に あ る と し,

とす れ ば, 

とな る.と

  証 明  これ ら は,和X+Kお

よび 反 元−Xの

くにφ(C)=Cで

定 義 を,射

あ る.

影 変 換 の形 で い い

か え た も の で あ る.   (1)  直 線O∨Qと

直 線hと

をRと

の と き,直

す れ ば よ い.こ

と 直 線hと

の 交 点 をTと

く れ ば,四

角 形 性6点{C,X,O,C,K,

φ(X)}が と な る.ま

定 ま る.ゆ

  (2) 

し, 

の交 点 をSと

と す れ ば よ い.こ

線C∨Q,S∨Kの

線X∨Q

QRSTを

つ

え に,φ(X)=X+K

た 明 ら か にφ(C)=Cで 直 線O∨Qと

し,2直

あ る.

直 線hと の と き,直

の 交 点 をR

線Q∨Xと

直

図3.10

交点

線hと

の 交 点 をS,ま

直 線kと

の 交 点 をTと

つ くれ ば,四

な る.ま

φ(C)=Cで

え に, ら か に, (証 終)

加 法 直 線上 の 示 点 を 除 くす

べ て の 点 は,和

の4法

た,明

あ る. 

  定 理3.7 

ち,次

QRSTを

定 ま る.ゆ

φ(X)=−Xと

く り,原

し, 

角 形 性6点{C,X,O,

C,φ(X),O}が

図3.11

た 直 線O∨Sと

に関 して ア ーベル群 を つ

点 が そ の 零 元 で あ る.す

な わ

則 が 成 立 す る.

  (1) 

X+Y=Y+X 

(交 換 法 則)

  (2) 

(X+Y)+Z=X+(Y+Z) 

(結 合 法 則)

  (3) 

O+X=X 

(零 元 の 存 在)

  (4) −X+X=O 

(反 元 の 存 在)

  証 明   加 法 直 線l上 て,原 点Oが

の示 点,原

点 を そ れ ぞ れC,Oと

零 元 で あ る こ と,お

す る.こ

よ び 任 意 の 点X∈l,X≠Cの

存 在 す る こ と は す で に 述 べ た 通 りで あ る.よ

っ て,交

の加法 に お い 反 元−Xが

換 法 則 と結 合 法 則 とが 成 立

す る こ とを 証 明 す れ ば よ い.   (1)  示 点Cと

異 な る任 意 の2点X,Y∈lに

対 し て,W=X+Yと

お く.

四 角 形 性6点 {C,X,O,C,Y,W} を 与 え る 四 角 形 と し て,  り,頂 Q∨Sが

点Qを

と

通 る3辺Q∨R,Q∨T,

そ れ ぞ れ3点C,X,Oを

も の と す る.こ

の と き,頂

3辺S∨T,S∨R,S∨Qは C,X,W}も

通 る 点Sを

示 点Cと

通 る

図3.12

そ れ ぞ れ3点C,Y,Oを

ま た 四 角 形 性6点

法 則X+Y=Y+Xが   (2) 

QRSTを

と な る.ゆ

通 る か ら ,{C,Y,O,

え に,W=Y+Xと

な っ て ,交

成 立 す る. 異 な る 任 意 の3点X,Y,Z∈lに

対 し て,V=(X+Y)+Z

換

と お く.四

角 形 性6点{C,X,O,C,Y,X+Y}を

と 同 様 に と れ ば,辺R∨Tは

与 え る 

点X+Yを

X+Y,O,C,Z,V}を

通 る.そ

与 え る 四 角 形 と し て , 

R∨T,R∨Mが

そ れ ぞ れ3点C,X+Y,Oを

4点Q,R,L,Cお

こ で,四

QRSTを(1) 角 形 性6点{C,

RLMTを

と り,3辺R∨L,

通 る も の と す る .つ

よ び4点T,S,M,Cは

共 線 で あ る.一

く り方 か ら, 方,四

角形 性

6点{C,Y,O,C,Z,Y+Z}は  

RLMSに

よ っ て 与 え ら れ る か ら,

辺S∨Lは

点Y+Zを

っ て, 

通 る.し

QLSTに

つ い て 見 れ ば,{C,

X,O,C,Y+Z,V}は 点 と な る.ゆ

たが

四 角 形 性6 え に,V=X+(Y+Z)

図3.13

と な っ て,結 合 法 則(X+Y)+Z=X+(Y+Z)が

  次 に,乗

法 を 定 義 す る.直 線l上

C,O,Eを

そ れ ぞ れ 示 点,原

が 指 定 され た と き,示 点Cと

成 立 す る. 

の 異 な る3点{C,O,E}を

点,単

位 点 と よ ぶ .直

線l上

異 な る任 意 の2点X,Y∈lに

(証終)

標 構 とい い,点 の標 構{C,O,E} 対 し て,

{O,Y,E,C,X,W} が 四 角 形 性6点 で 表 わ す.こ 線lに

と な る よ うな 点W∈lを,XとYと

の 積 と よん で,W=XY

の よ うな 乗 法 が 定 義 され た と き,直 線lを

お い て,任

意 の点X∈l,X≠Cを

とれ ば,前 〔3〕 か ら,四

乗 法 直 線 と い う.乗 法 直 節 の 規 約 〔1〕,〔2〕,

角 形 性6点

{O,E,E,C,X,X}, {O,X,E,C,E,X} が 定 ま る.ゆ

XE=EX=X

図3.14

と な る.こ と き,規

れ は,単

ら に,点Oが

約

O,O}が

え に,

位 点Eが

こ の 乗 法 の 単 位 元 で あ る こ と を 示 し て い る.こ

〔3〕 か ら{O,O,E,C,X,O}も 四 角 形 の1頂

定 ま る.ゆ

え に,

点 で あ る 場 合 と し て,四

ま た 四 角 形 性6点 角 形 性6点{O,X,E,C,

と な る.さ

の

XO=OX=O と な る.ま E}が

た,任

意 の 点 

四 角 形 性6点

に 対 し て,{O,J,E,C,X,

と な る よ うな 点J∈lが

定 ま る.こ

J,E}も

の と き,{O,X,E,C,

ま た 四 角 形 性6点

で あ る か ら,

XJ=JX=E と な る.す Xの

な わ ち,点Jは

逆 元 で あ る.こ

この乗 法 に おけ る

れ をJ=X−1で

表 わ

す.   定 理3.8  E}と

図3.15

り,lとQと

を 含 む 平 面上 で,点Cを

を と る.た

す る.直

通 る 直 線hか

と れ ば,次

の よ う な 射 影 変 換 

任 意 の 点 

に な い 任 意 の 点Qを

ま た は 点Oを

と な る.と

任 意 の 点 

通 る 直 線g の と き,適

共 線 と し,

くにφ(C)=Cで

を と る.3点C,Q,Rは

と な る.と

直 線k=O∨Qを

と

を つ く る こ と が で き る. を と る.3点O,Q,Rは

と す れ ば,   (3) 

標 構 を{C,O,

と す る.こ

と す れ ば,  (2) 

線l上

だ し, 

当 な 点Rを   (1) 

乗 法 直 線lの

共 線 と し,

くにφ(C)=Cで

と る.3点E,Q,Rは

あ る.

共 線 で,点Rは

あ る. 直 線h上

に あ る と し,

と す れ ば,  φ(C)=Oで

と な る.と

く にφ(O)=C,

あ る.

  証 明   こ れ ら は,積AX,XAお

よ び 逆 元X−1の

定 義 を射 影変 換 の形 で いい

か え た も の で あ る.   (1) 

直 線E∨Qと

直線hと

の 交 点 をSと

し,2直

線O∨Q,S∨Aの

交

点Rを

と れ ば よ い.こ

の と き,直

と 直 線hと

の 交 点 をTと

くれ ば,四

角 形 性6点{O,X,E,C,A,

φ(X)}が

定 ま る.ゆ

し, 

QRSTを

た 明 ら か にφ(C)=Cで

  (2) 

直 線E∨Qと

あ る.

直 線gと

の 交 点 をS

線C∨Q,A∨Sの

す れ ば よ い.こ

つ

え に φ(X)=AXと

な る.ま

と し,2直

線Q∨X

交 点 をRと

の と き,直

線X∨Qと

直線

図3.16

gと の 交 点 をTと ば,四

定 ま る.ゆ

と な る.ま   (3) 

と直 線kと

の 交 点 をTと

を つ くれ ば,四 φ(X),E}が

た,明

φ(C)=Oで

直 線hと

す れ ば よ い.こ

の と き,直

の 交 点 をS,ま

の交 点 を 線Q∨X

た 直 線E∨S

QRST

え にφ(X)=X−1

あ る. 

が 指 定 さ れ れ ば,直

(証 終) に 標 構{C,O,E}

線lは,示

点C,原

加 法 直 線 と な り,さ ら に,こ

点

図3.18

の 標 構 に よ って,乗 法 直 線 とな る.こ の 加 法 お

よ び 乗 法 が 定 義 され て い る と き,直 線lを   定 理3.9 

あ る.

ら か に,φ(O)=C,

  射 影 空 間 の 直 線l上

Oの

た 明 ら か にφ(C)=Cで

角 形 性6点{O,X,E,C,

定 ま る.ゆ

と な る.ま

し て, 

つ くれ

え に,φ(X)=XA

直 線E∨Qと

と 直 線hと

図3.17

STQRを

角 形 性6点{O,A,E,C,X,

φ(X)}が

Rと

し, 

数 性 直 線 と よぶ.

数 性 直 線上 の示 点 を 除 くす べ て の 点 は,和

お よび積 に 関 して体 をつ

く り,原 点 が そ の 零 元 で,単 位 点 が そ の単 位 元 で あ る.た だ し,積 に つ い て は 一 般 に 可 換 で な い.す

な わ ち,次

の8法 則 が 成 立 す る.

(1)  X+Y=Y+X 

(交 換 法 則)

(2) 

(結 合 法 則)

(X+Y)+Z=X+(Y+Z) 

  (3) 

O+X=X 

(零 元 の 存 在)

  (4) −X+X=O 

(反 元 の 存 在)

  (5) 

(XY)Z=X(YZ) 

(結 合 法 則)

  (6) 

EX=X 

  (7) 

X−1X=E 

  (8) 

(X+Y)Z=XZ+YZ,Z(X+Y)=ZX+ZY 

(単 位 元 の 存 在) (逆 元 の 存 在)

 証 明   数 性 直 線lの

(配 分 法 則)

標 構 を{C,O,E}と

す る.定

い て は ア ー ベ ル 群 の 条 件 が す べ て み た さ れ,原 い て は,単

位 点Eが

そ の 単 位 元 で あ る こ と,お

の 逆 元X−1が

示 点Cと

お く.四

R∨Mが

そ の 零 元 で あ る .積

につ

異 な る 任 意 の3点X,Y,Z∈lに

与 え る 四 角 形 と し て, 

の と き,辺R∨Tは,点YZを

通 る.そ

与 え る 四 角 形 と し て, 

Y,E,C,X,XY}は 

RLMTを

角 形 性6点{O,YZ,

と り,3辺R∨L,R∨T 方,四

角 形 性6点{O

た が っ て, 

と な る.ゆ

え に,W=(XY)Zと

な っ て,

述 べ た 通 りで あ る.示

を 証 明 す る.ま

の3点X,Y,Z∈lに

て,定

理3.8(2)の

ずZ=Oの

成 り立 つ.

任 意 の 点X∈l,X≠Cに

て,XO=OX=Oで

(X+Y)Z=XZ+YZ, 

見 れ ば,

四 角 形 性6点

結 合 法 則(XY)Z=X(YZ)が   (8) 

,

点XY

QLSTを

{O,Z,E,C,XY,W}は

図3.19

,

よ っ て 与 え ら れ る か ら,辺S∨Lは を 通 る.し

QRST

通 る もの とす

こ で,四

通 る も の と す る.一

RLMSに

に

対 し て,W=X(YZ)と

そ れ ぞ れ3点O,Z,Eを

そ れ ぞ れ3点O,YZ,Eを

っ て ,積

成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い .

角 形 性6点{O,Z,E,C,Y,YZ}を

E,C,X,W}を

につ

よ び 任 意 の 元 

よ び 配 分 法 則(8)が

を と り,3辺Q∨R,Q∨T,Q∨Sが る.こ

よ っ て,和

存 在 す る こ と は す で に 述 べ た 通 り で あ る.よ

つ い て の 結 合 法 則(5)お   (5) 

点Oが

理3.7に

対 し

あ る こ とは す で に 点Cと

異なる 任 意

対 し て,配

分法 則

Z(X+Y)=ZX+ZY と き,明

射 影 変 換 

ら か に 成 立 す る.い を とれ ば,

ま,Z=A≠Oと

し

で あ る.定

理3.5に

し た が っ て,l上

よ れ ば,6点

の 四 角 形 性 は 射 影 変 換 に よ っ て 失 わ れ な い.

の 四 角 形 性6点 {C,X,O,C,Y,X+Y}

は,射

影 変 換 

に よ っ て,や

は りl上

の 四 角 形 性6点

(C,XZ,O,C,YZ,(X+Y)Z} に 移 さ れ る.ゆ

え に(X+Y)Z=XZ+YZで

影 変 換 φ を 用 い れ ば,同   定 理3.10 

あ る.ま

様 にZ(X+Y)=ZX+ZYが

射 影 空 間 に お い て,2つ

た,定

理3.8(1)の

導 か れ る. 

射 (証 終)

の数 性 直線 は 体 としてた が いに 同型 で あ

る.   証 明   2つ の 数 性 直 線l,l′ と す れ ば,定

理2.28に

よ っ て,

と な る 射 影 変 換  X≠Cな Y∈lに

の 標 構 を そ れ ぞ れ,{C,O,E},{C′,O′,E′}

が 存 在 す る.射

ら ば,φ(X)∈l′,φ(X)≠C′ 対 し て,四

影 変 換φ は 全 単 射 で あ る か ら,X∈l, で あ る,示

点Cと

異 な る 任 意 の2点X,

角 形 性6点

{C,X,O,C,Y,X+Y}, {O,Y,E,C,X,XY} を と れ ば,射

影 変 換φ に よ っ て,こ

に 移 され る.ゆ え に,数

が 成 り立 つ.す

れ ら は そ れ ぞ れ 四 角 形 性6点

性 直 線l′ に お い て,

な わ ち,全 単 射φ:l→l′

は 体 と し て の 同 型 に な っ て い る. (証終)

  この 定 理 か ら,射

影 空 間Pnに

の 任 意 の 数 性 直 線 は 体Kに 影 空 間Pnの   定 理3.11 

対 し て,1つ

の抽 象 的 な 体Kを

同 型 で あ る と見 な す こ とが で き る.こ

係 数 体 と い う.定 理3.10の

考 え て,Pn の 体Kを

射

証 明 か ら 明 らか に,

2つ の 数 性 直 線 の 間 の 射 影 変 換 に よ っ て,標 構 が 標 構 に 移 さ れ る

な らば,こ

の 射 影 変 換 は 数 性 直 線 の 同 型 を 与 え る.

  しか し,逆 に 数 性 直 線 の 間 の 同 型 が い つ も射 影 変 換 と し て 表 わ され る と は 限 ら な い.こ れ に つ い て は 次 節 で 考 察 す る.

  3.3 

パ

ッ プ

  一 般 に,体Kか 体Kの

ス

性

らそ れ 自身 へ の 同 型φ:K→Kを

す べ て の 自 己 同 型 の 集 合 をA(K)と

ψ° ψ に よ っ て 群 を つ くる.実 際,結

が み た さ れ,恒

体Kの

す れ ば,こ

自 己 同 型 と い う.

れ は 写 像 と し て の結 合

合法則

等 写 像, 1:K→K,1(x)=x,x∈K

が 恒 等 元 と な り,そ

し て 自 己 同 型φ

が 逆 元 で あ る.体Kに

お い て,任

∈A(K)に

対 し て,そ

の 逆 写 像φ−1∈A(K)

意 の 元a∈K,a≠0を

と れ ば ,体Kの

自

己同型 θa:K→K,θ(x)=a−1xa,x∈K が 定 ま る.こ

れ を 体Kの

の 集 合 をI(K)と

内 部 自 己 同 型 と い う.体Kの

す れ ば,こ

れ は 自 己 同 型 群A(K)の

際,2元 

φ∈A(K)に

で 与 え ら れ る.ま

た,任

意の自 己 同 型

対 し て,

とな るか ら, 

で 与 え られ る.内 部 自己 同 型 で な い 自 己 同 型 を 外

部 自 己 同 型 と い う.元a∈K,a≠0が xa=ax,x∈K,で す ぎ な い.こ

部 自 己 同 型 群I(K)が Cは

正 規 部 分 群 と な る .実

を と れ ば,

と な る か ら, 

写 像1に

す べ て の内 部 自己同 型

あれ ば,元aで

体Kの

な わ ち,

定 義 され る 内 部 自己 同 型 θa∈I(K)は

の 逆 も成 り立 つ か ら,体Kが 恒 等 変 換1だ

す べ て の 元 と可 換,す

可 換 で あ るた め の 条 件 は 内

け とな る こ とで あ る.た

可 換 で あ るか ら,内 部 自 己 同 型 は1だ

恒等

と え ば,複

け で あ る.し か し,写 像

素数体

(zはzの を とれ ば,φ

は1と

異 な る 自 己 同 型 で あ る.そ

型 で あ る.複 素 数 体Cに し か し,実 数 体Rで   定 理3.12 

共 役 複 素 数)

れ ゆ え,こ

れ はCの

外 部 自己同

は,こ れ 以 外 に も まだ た く さん 自 己 同型 が 存 在 す る.

は こ の よ うな こ とは な い.

実 数 体Rの

  証 明   実 数 体Rの

自己 同 型 は 恒 等 写 像 だ け で あ る.

任 意 の 自 己 同 型 φ:R→Rが

恒 等 写像 に な る こ と を 示 せ ば

よ い.ま ず 自己 同 型 で あ る か ら

で あ る.任

意 の 有 理 数 は 数1か

ら れ る.と と な る.ま

ころ が た,任

φ(1)=1で

あ る か ら,任

意 の 正 の 実数aに

と な る か ら,φ(a)も

とな っ て,や

ら加 減 乗 除 の 演 算 を 有 限 回 行 な う こ と に よ っ て 得

は り φ(x)