Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

7 

Глава 1. ВОЛНОВЫ Е ПРОЦЕССЫ .  1.1.  ОБЩ ИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ВОЛНАХ. ОСНОВНЫ Е ПОНЯТИЯ.  С  волновыми  процессами  (волнами)  мы  сталкиваемся  в  самых  различных  физических  явлениях:  волны  в  морях  и  океанах,  зыбь  в  озерах  и  прудах,  сейсмические  волны,  звуковые  волны,  волны  механических  колебаний  в  натянутых  струнах  и  кристаллах  кварца,  световые  и  радиоволны  и,  наконец,  волны  вероятности,  которые  используются  в  квантовой  механике  для  предсказания  поведения  электронов,  атомов  и  более  сложных  форм  вещества.  Понятно,  что  волны  ­  это  не  земля,  вода  или  воздух,  не  жила струны или кварц. Они только распространяются в этих средах.  Волны  ­  это возмущения состояния вещества (поля), которы е распространяются  с  некоторой  скоростью  в  пространстве.  Подобно  любому  движущемуся  объекту  движущиеся (бегущие) волны  переносят энергию от одной точки к  другой.  Энергия,  переносимая  волной  может  быть  очень  велика.  Например,  морские  волны  бьются  о  берег  с  большой  силой,  при  шторме  передвигаются  огромные  камни.  Энергия  же  звуковых  волн  весьма  незначительна.  Однако  во  всех  случаях  волны  переносят  энергию  от  одной  точки  к  другой,  хотя  величина  переносимой  энергии  в  различных  случаях разная.  Подобно  движущемуся  телу  движущиеся  волны  обладают  импульсом.  При  поглощении  или  отражении  волн  веществом  они  передают  ему  свой  импульс.  Импульс  волн обычно не так заметен, как их энергия.  Энергия, импульс и скорость ­ важнейшие характеристики волн.  Для  возникновения  волн  любой  природы  необходим  источник  колебаний  (осциллятор). Энергия колебаний от источника переносится  в пространстве либо за счет  взаимодействия  частиц  среды  (упругие  звуковые  волны),  либо  за  счет  взаимодействия  полей  (электромагнитные  волны).  Для  возникновения  упругих  волн  необходима  среда,  причем  частицы  среды  не  движутся  вместе  с  волной,  а  колеблются  около  положения  равновесия,  как  лодка,  качающаяся  на  волнах.  Электромагнитные  волны  могут  распространяться  как  в  среде,  так  r и  r  в  вакууме.  При  этом  в  каждой  точке  пространства  возникают колебания векторов  Е и Н .  Волны  могут  иметь  различную  форму.  Например,  при  помощи  длинного  резинового  шнура,  резко  дернув  его  за  один  конец,  можно  создать  одиночную  волну  –  короткое  возмущение,  не  имеющее  регулярного  характера  (рис.1.1.а).  Если  конец  шнура  периодически  раскачивать,  то  по  нему  «побегут»  периодические,  регулярно  повторяющиеся возмущения (рис. 1.1.в). Ограниченный ряд повторяющихся возмущений  называют цугом волн (рис.1.1.б). Таким образом, волны  переносят энергию и импульс,  но не переносят вещества среды , в которой они распространяются. 

Рис. 1.1. Различные виды волн: а – одиночная волна; б – цуг волн; в – гармоническая волна.

8 

Особое  значение  в  теории  волн  имеет  гармоническая  волна,  в  которой  изменение  состояния  среды  происходит  по  закону  синуса  или  косинуса  (1.1.в).  Конечно,  это  лишь  удобная  физическая  модель,  которая  на  самом  деле  в  окружающем  нас  мире  никогда  не  реализуется.  Если  физическая  величина, описывающая  возмущение  среды,  является  скалярной,  то и волны называются скалярны ми. Пример таких волн ­ звук в газе, где в возмущениях  изменяется давление газа. Звуковые волны в твердых телах  являются векторными. В них  возмущение  характеризуется  направленным  смещением    элементов  среды  (атомов,  молекул)  относительно  положения  устойчивого  равновесия.  К  векторны м  волнам  относятся    электромагнитные  в  которых  в  каждой  точке  пространства    имеют  r  волны,  r  место колебания  векторов  Е  и  B .  В  зависимости  от  направления  колебаний  физических  величин  по  отношению  к  направлению, в котором распространяется волна, различают продольны е  и поперечны е  волны.  Например,  в  продольной  упругой  волне  частицы    среды  колеблются  вдоль  направления распространения волны, в поперечной ­ перпендикулярно.  1.2.  КЛАССИФИКАЦИЯ  ВОЛН.  Понятие «волны» используется настолько широко и многозначно, что изложенная  ниже  классификация  охватывает  лишь  часть  (хотя  и  основную)  явлений,  которые  называют    волновыми.  Поэтому  не  следует  удивляться,  если  где­то    Вам  встретится  процесс,  названный  волновым,  не  укладывающийся  в  рамки  приведенных  понятий.  Итак, волны различают:  А) по физической природе  Среди  разнообразных  волн,  наблюдаемых  в  природе  и  используемых  в  технике,  наиболее  часто  встречаются  упругие  волны,  электромагнитные  волны,  волны  на  поверхности жидкости.  1.  Упругие  волны  ­  это  механические  возмущения  (дeформации),  распространяющиеся  в  упругой  среде.  Тела,  которые,  воздействуя    на  упругую  среду,  вызывают  эти  возмущения,  называются  источниками  упругих  волн.  Упругие    волны,  частоты  которых  попадают  в  интервал,  слышимых  человеком,  называют  звуковыми  волнами. Волны более низких  частот ­ инфразвук,  более высоких  ­  ультразвук.  Упругие  волны  бывают  продольными  и  поперечными.  Продольные  волны  возникают  в  результате  деформации    растяжения  или  сжатия  вещества.    Поэтому  они  могут  распространяться  в  твердых,  жидких  и  газообразных    средах.  Поперечные  волны  существуют только в  твердых телах, т.к. образуются в результате сдвиговых деформаций.  Очевидно, в вакууме (в отсутствии вещества) упругие волны невозможны.  2.   Электромагнитны е волны  ­  возмущения электромагнитного поля, описываемого  r  r  векторами  Е  и  B ,  распространяющиеся  в  различных  средах  или  в  вакууме.  Их  классическое описание основано на уравнениях  Максвелла .  В вакууме и изотропных средах электромагнитные волны всегда являются поперечными,  r  r  т.е.  колебания  векторов  Е  и  B  в  каждой  точке  пространства  происходят  в  плоскости,  перпендикулярной направлению распространения.  Свет от солнца и электрических ламп,  поток    основного  солнечного  тепла  (инфракрасное  излучение),  радиоволны  ­  все  это  электромагнитные  волны.  3.  Поверхностны е  волны  ­  возмущения    вещества  и  электромагнитного  поля  вблизи  границы  раздела  двух  сред,  распространяющиеся  вдоль  этой  границы.  Пример  ­  волны  на  свободной  поверхности  жидкости,  образующихся  под    влиянием  внешних  воздействий  (ветра,  движения    судов,  падения  тел  и  т.п.)  ­  в    образовании  и  распространении    таких  волн  существенную  роль  играют    силы    натяжения  и  тяжести,  свойства вещества в «переходном» слое.

9 

Б ) по форме возмущений  Для  анализа  пространственно  –  временного  распределения  возмущений  необходимо  ввести   соответствующее  математическое описание  волн ­  функциональную  зависимость  физических  величин,  характеризующих    движение  возмущения  от  времени  и  координат,  т.е. от  двух независимых переменных. Такие функции называются волновыми. В общем  r  случае будем их обозначать Y( r ,t).  Очевидно, волновая функция в  некоторой фиксированной точке пространства имеет  r  вид Y( r 0 ,t)  = Y(t),  т.е.  зависит  только  от  времени.  Эту  функцию  называют  осциллограммой  волны.  Пространственное  распределение  возмущения Y  в  некоторый  r  момент времени t0 Y( r )çt= to  является как бы моментальны м снимком  волны.  Следует  помнить,  что  то  или  иное  математическое  описание  является  моделью,  r  описывающей реальный процесс с некоторой степенью точности. Таким образом, Y( r ,t) ­  функции, описывающие изменения физических величин в волнах  ­  смещение элементов  r  r  среды, изменение давления  (звук  в газе), изменение плотности вещества, полей  Е  и  B  и  r  т.д.  Смещение    вещества,  напряженность  электрического  поля  Е ,  индукция  магнитного  r  поля  B  ­ векторы;  давление, концентрация частиц (плотность) ­ скалярные величины.  Для  различных  волн  физические  величины,  в  наибольшей  степени  определяющие  волновой процесс, оказываются  неодинаковыми. Так  звук  в  газе  практически  полностью  r  r  можно описать изменением давления  Р( r ,t) . Поэтому следует принять Y = Р( r r ,t), т.е.Y(  r  r  r ,t)  ­  скаляр.  Электромагнитное  поле      полностью  описывается  векторами  Е  и  B  и,  r  r  r  r  r  r  следовательно, Y( r , t) =  Е  ( r , t)  ­ вектор  и Y( r ,t) =  B  ( r , t)  ­ вектор. Это и приводит  к упомянутой выше  дифференциации волн на  скалярны е и векторны е.  r  Функция Y( r ,  t)  является  решением  некоторого  дифференциального  уравнения,  которое называется  волновы м уравнением.  Если  физические  величины,  описывающие  волновой  процесс,  зависят  только  от  времени  и  от  одной  из  декартовых  координат,  то  такую  волну  называют  плоской.  Для  плоской волны функция имеет вид Y(x,t).  Если  профиль  волн  не  изменяется  со  временем,  то  такие  волны  называют  стационарны ми. Их волновая функция имеет вид Y(x,t) = Y(x ± υt)  (1.1)  где  υ  ­  скорость распространения  волны (физический смысл u  обсуждается в п. 1.3).  Если υ не зависит от амплитуды возмущения, то волну называют линейной.  В  нелинейных  волнах  скорость  υ  ­  некоторая  функция    амплитуды  возмущения.  Нелинейные  волны  описываются  нелинейными  уравнениями  движения  среды  (поля).  Например,  для  упругих  волн  нелинейность  может  быть  обусловлена  нелинейной  зависимостью  упругой  силы  от  смещения  (отклонение  от  закона    Гука);  для  электромагнитных  волн  ­  нелинейной  зависимостью  от  напряженности  электрического  поля  Е, плотности тока (нарушение закона Ома), поляризуемости молекул и т.д.  Среды,  реакция которых нелинейно  зависит от внешнего воздействия, называют  нелинейны ми.  В  теории    колебаний  мы  видели,  что  колебания  становятся  нелинейными,  когда  система  находится  вдали  от  равновесия,  т.е.  при  большой  амплитуде.  Аналогичная  ситуация имеет место и для  многих волновых процессов.  Разумеется  вид  волновой  функции  зависит  от  способа  и  характера  возмущения  параметров среды, источников внешних воздействий.  Таким  образом,  математическое  описание  волнового  процесса  зависит  от  типа  источника волн и свойств  среды.  Линейные  гармонические  волны  возникают,  если  источник  волн  является  гармоническим,  а  среда  –  линейной  (однородной,  изотропной).  Среду  называют  изотропной,  если  её  физические  свойства,  существенные  в  рассматриваемых  задачах,  одинаковы во всех направлениях. Далее именно этими волнами мы и будем заниматься.

10 

В) по виду волнового фронта и волновой поверхности  Распространяясь  от  источника  колебаний,  волновой  процесс  охватывает  все  новые  и  новые  части  пространства.  Геометрическое  место  точек,  до  которы х  дошли  колебания  к  моменту  времени  t  назы вают  фронтом  волны.  Фронт  волны  ­  это  поверхность, которая отделяет часть пространства, уже охваченную волновым процессом,  от области, в которой колебания еще не возникли.  Внутри  объема  за  волновым  фронтом,  вид  распределения  возмущений    в  пространстве  (мгновенный  снимок)    зависит  от  характера  волны.  Если    волна  периодическая, то и возмущения будут  расположены периодически. Например, если это  гармоническая плоская волна, то Y(x,t) = Asin(j(x,t)) ­ гармоническая функция, значение  которой  определяется  фазой j(x,t).  Поведение    возмущений    элементов  среды,  для  которых j  имеет  одинаковое  значение    будет  тождественным.  Геометрическое  место  множества    точек  (элементов  среды),  колеблющихся  в  одинаковой  фазе  называют  волновой  поверхностью.  Волновая  поверхность  и  волновой  фронт  ­  разные  понятия.  Волновых  поверхностей  существует  множество,  тогда  как  волновой  фронт  в  каждый  момент  только  один.  Определенная  волновая  поверхность  (для    заданного j  =  const),  также    как  волновой  фронт  перемещается  в  пространстве.  Однако,  как  будет  видно  в  дальнейшем, их скорости и направления перемещения  в общем случае различны.  Вид  фронта  волны  и  волновых    поверхностей  позволяет  ввести    определенные  различия для волновых  процессов. Так, например:  а) плоские волны  ­  фронт волны  ­ плоскость. Волновые поверхности ­ множество  параллельных    друг  другу  плоскостей.  Источником  таких  волн  может  быть    множество  эквивалентных    тождественно  колеблющихся    источников  возмущения  однородной  изотропной  среды,  расположенных  на  бесконечной  плоскости  («колеблющаяся  плоскость»)  б)  сферические  волны  ­  фронт    волны  ­  сфера.  Волновые  поверхности  ­  множество концентрических  сфер. Такие волны возбуждаются в однородной изотропной  среде уединенным точечным источником.  в) цилиндрические волны  ­  фронт  волны  ­  цилиндр. Волновые поверхности  ­  множество  коаксиальных  цилиндров.  Источником    цилиндрических    упругих    волн,  например, является  сжимающийся и расширяющийся цилиндр (нить).  1.3.   ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ .  1.3.1.  Периодические волны.  Волну  называют  периодической      (рис.  1.2),  если  в  стационарной  волне  процесс  изменения  физических  величин  в  различных  точках  пространства  повторяется  через  равные промежутки времени  Т: r  r  Y( r ,t) = Y( r ,t + T); Y(x + υt) = Y(x +  υ (t +  T)).  (1.2) 

Рис. 1.2. Осциллограмма  плоской  периодической  бегущей волны

Рис.1.3.  Мгновенный  снимок  плоской  периодической бегущей волны 

11 

Таким образом,  период  волны  Т  имеет тот же смысл,  что и в теории колебаний ­  наименьшее  время,  через  которое  в  периодической  волне  повторяется  состояние  движения  системы . Точно так же при заданном значении  t =  tm  = const на моментальном  снимке можно проследить за изменением Y  в пространстве. Пусть волна плоская. Тогда  на  любой  плоскости  x '  =  const Y(  x ' ,tm)  =  const      и  в  силу  периодичности  волны,  это  значение должно повторяться  через равные отрезки Dx = l  (рис.1.3): Y( x ' , tm) = Y( x '  + l, tm)  (1.3)  Такое  наименьшее  расстояние,  через  которое  в  периодической  волне  повторяются    значения Y  в  заданный  момент  времени  t,  называется  длиной  волны  l.  Пусть Y(x,t)  = Y(x ­  υt).    Очевидно  с  изменением  t Y(x,t)    будет  иметь  одно  и  то  же  значение  (Y(x,t) = const),  если  x ­ υ t = x ' – υ t = const  (1.4)  '  '  Полагая t  =  t+ dt, следует принять  x =  x+ dx  и из (1.3)   находим  dx = υ dt,  υ =  dx/dt  (1.5)  Таким  образом,  υ ­  скорость  смещения    в  волне  поверхности,  на  которой  аргумент Y  ­  фаза волны (x ­ υ t)  = φ( x,t)  ­ постоянная величина. Её (υ) называют фазовой скоростью.  Т.к. при  dt  > 0  dx > 0,  то волна «бежит» направо (см. рис. 1.3).  Если  φ =  x +  υ t,  то  при  dt  >  0  dx