Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

49 

Глава 5.     ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ.  Интерференция  –  усиление  или  ослабление  интенсивности  волнового  поля  в  пространстве при наложении волн от двух или нескольких источников. Обы чно под  интерференционны м  эффектом  понимают  такую  суперпозицию  нескольких  волн,  в  результате которой в пространстве возникает упорядоченная и устойчивая картина  чередования максимумов и минимумов интенсивности суммарного волнового поля.  Таким  образом,  результирующая  интенсивность  в  разных  элементах  пространства  оказывается не равной сумме интенсивностей исходных волн. Физическая причина этого  явления  заключается  в  том,  что  в  каждый  момент  времени   в  любой  точке  пространства  векторно  складываются  амплитуды  волн.  Квадрат  суммарного  вектора  определяет  распределение  интенсивности  в  пространстве.  Существование  интерференционной  картины  является  прямым  следст вием  принципа  суперпозиции  для  линейных  колебаний  и  волн.  Интерференция  ­  одно  из  основных  и  характерных  свойств  волн  любой  природы  (упругих,  электромагнитных,  в  том  числе  световых  и  др.).  С  интерференцией  связаны  такие  волновые  явления  как  излучение  и  дифракция.  В  частности,  отсутствие  волны  за  рассмотренным    в  п.  4.6  поляризатором  (в  виде  решетки  с  натянутыми  проволочками)  –  результат интерференции падающей  и вторичной волны.  5.1.  ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ ИСТОЧНИКОВ.  5.1.1.  Интерференция и когерентность.  Для  формирования  квазистационарной  интерференции  необходимо  выполнение  определенного  условия,  а  именно:  складываемые  волны  должны  быть  когерентными 2) .  Под  когерент ност ью  понимает ся  согласованное  прот екание  нескольких  колебат ельных  или  волновых  процессов.  Строго  когерентными  могут  быть  только  монохроматические  волны, т.е. волны, описываемые уравнением вида (1.10), (1.12).  У  монохроматической  волны  амплитуда,  частота  и  начальная  фаза  остаются  постоянными  бесконечно  долго.  Поэтому  разность  фаз  двух  монохроматических  волн  одинаковой частоты в каждой точке так же остается постоянной.  Пусть  два  источника  монохроматических  волн  S 1  и  S 2  (рис.  5.1)  совершают  колебания с одинаковой частотой w1  = w 2  = w по закону:  S 1 = A1 cos(w t + a1 )  S 2  = A2 cos(w t + a 2 )  (5.1)  Волны  от  источников,  распространяясь  в  пространстве  накладываются  друг  на  друга.  Поляризацию волн будем считать одинаковой.  Тогда  в  произвольной  токе  Р  волновые  функции  имеют вид:  Y1 ( x1 , t ) = A1 cos(w t - kr 1 + a1 )  1 4 2 4 3  a ( t )  (5.2)  Y 2 ( x2 , t ) = A2 cos(w t - kr2 + a 2 )  1 4 2 4 3  1 

a 2  ( t ) 

Здесь  A 1  и  A ­амплитуды  слагаемых  волн, a 1 ( t )  и  2  a 2 ( t ) ­фазы слагаемых волн, a 1 ,a 2 ­начальные фазы.  Эти  волны  возбуждают  в  точке  P  колебания  одинакового  направления.  Амплитуда  результирующего колебания в данной точке равна:  2  2  2  A =  A 1  + A 2  + 2 A 1 A 2  cos( a 1 ( t ) - a 2 ( t ))  (5.3)  (см.п.5.1 «Введение в основы колебаний»).  Рис. 5.1. Схема, поясняющая  возникновение интерференции от  двух источников

50  Для  того,  чтобы  получить  стационарную  интерференционную  картину  нужно,  чтобы результирующая амплитуда в каждой точке пространства была постоянной, т.е. A =  const  (иначе  картина  будет  «размытой»).  Из  (5.3)  следует,  что  это  выполняется    при  условии:  a 1 - a 2  = const .  Волны   назы вают  когерентны ми,  если  разность  фаз  Δα,  возбуждаемы х  ими  колебаний,  имеет  постоянное  во  времени  значение  (но  своё  для  каждой  точки  пространства) или является закономерной функцией времени.  При  Δα  =  const,  характерное  распределение  амплитуд  с  чередующимися  максимумами  и  минимумами  остаётся  неподвижным  в  пространстве  (или  перемещается  столь медленно, что за время, необходимое для наблюдения, максимумы и минимумы не  успевают сместиться на величину, сравнимую с расстоянием между ними).  Когерентны е  волны   могут  быть  получены   от  когерентны х  источников.  Когерентны ми назы ваются источники, у которы х разность фаз излучаемы х волн не  зависит от времени.  Из (5.3) следует, что если  a1 - a 2  = 0 , то  A = A1 + A2  (5.4)  При  разности фаз  a1 - a 2 = p получим  A = A1 - A2  (5.5)  У любых реальных источников фаза (или частота) испытывает (хотя может быть  и  очень  малые)  беспорядочные  изменения  со  временем.  Это  основная  причина  не  когерентности  разных  источников.  Так  для  тепловых  излучателей  случайные  изменения  фазы  фактически  определяется  длиной  цуга  (см.    (4.6)).  Т.к.  от  теплового  источника  обычно  наблюдаемая  волна  формируется  излучением  большого  числа  возбуждённых  атомов,  то  уже  в  инфракрасном  и  оптическом  диапазонах  время,  за  которое  случайные  изменения  фазы  достигают  значений  π  ÷  2π  составляет  t k  £ 10 -11 ¸ 10 -13 c (солнечный  свет).  Такое  время  называют  временем  когерентности.  Если  изменения  Δα  в  каждой  точке достигают значений,  превышающих  2π, то за время наблюдения среднее значение  cosΔα=0, т.к  cosΔα  успевает принять все значения от ­1 до +1. При этом выражение (5.3)  принимает  вид  A2  =  A 1 2  + A 2 2 .  Интенсивность  I  в  любой  точке  оказывается  равна  сумме  интенсивностей  слагаемых  колебаний  I =  I 1  + I 2  .  Происходит  полное  нарушение  когерентности  двух  слагаемых  волн,  интерференционный  (третий)  член  в  формуле  (5.3)  оказывается равным нулю.  Время,  в  течение  которого  происходит  излучение  цуга  («обрывка»  синусоиды)  связано  с  шириной  спектра  гармонических  составляющих  цуга  (разложения  Фурье)  соотношением неопределённостей для волн  (теоремой о ширине частотной полосы).  1  Dw ×t k » p или  t k » (5.6)  D n Формула показывает, что  t k можно оценить по ширине спектра излучателя D w . Отсюда  следует  общее  утверждение.  Время  наблюдения  (квазистационарной)  картины  интерференции ( t k ) подчиняется условию p 1  t  1 D n 12  ,  то    ≈  0  и  интерференционная  картина  исчезает.    В  этом  смысле    (5.6)  можно  рассматривать  как  общую приближённую оценку когерентности волн.  Однако  следует  помнить,  что  для  монохроматических  волн  и  вообще  строго  периодических волн такое  t k определяет лишь промежуток времени в пределах которого  наблюдается  квазистационарная  картина  интерференции.  Дело  в  том,  что  нарушение  квазистационарности  в  этом  случае  обусловлено  лишь  тем,  что  «картина  бежит»  в  пространстве. Из условия  a1 - a 2  =const находим (см. (4.2) и (5.8)), что скорость смещения  dx2 Dw 12  равна  групповой  скорости  волн  =  = V g  .  Таким  образом,  интерференция  не  dt  Dk 12  разрушается  (как  это  происходит  при  случайных  колебаниях  Δω,  Δα),  а  становится  нестационарной.  В  заданный  момент  t  (мгновенный  снимок)  на  картину  интерференции  2 p накладывается также модуляция с длиной волны биений  l Б = .  Dk 12  5.1.2. Условие максимального усиления и ослабления волн.  а) Условие максимального усиления (max).  Полагая  a1 - a 2  = 0 для разности фаз Δα в (5.3) получаем Δα = k(x1  ­ x2). Из (5.3) следует,  2  что при cos Δα=1,  A2  =  A max  = ( A 1  + A 2 ) 2  или  Amax = A1 +  A2  Таким образом, амплитуда максимальна при  cos[k(r1 ­ r2 )]=1  Откуда  k(r1 ­ r2) = 2πm,  где m = 0, 1, 2, …  l 2p 2 p Т.к.  k = ,  то ( r1 - r2 ) = 2 p m ,  т.е.  r2 - r1  = ml = 2 m . 

l l 2  D r = ( r 2  - r 1 )  назы вают геометрической разностью хода лучей.  Выражение  Dr = ml является условием интерференционного максимума.  б) Условие максимального ослабления (min)  2  Из (5.3) следует, что при  cos(Δα) = ­ 1,  A2  =  A min  = ( A 1  - A 2 ) 2  или  Amin = A1 - A2 

(5.9)  (5.10)  (5.11) 

(5.12) 

(5.13) 

Т.е. амплитуда минимальна при cos(k(r1 ­ r2)) = ­ 1  Откуда  k(r1 ­ r2) = (2m+1)π, где m = 0, 1, 2, …                                   (5.14)  2 p  или ( r 1 - r 2 )  = ( 2 m + 1 ) p l Таким образом, условие интерференционного минимума:  l Dr = (2 m + 1)  (5.15)  2  5.1.3. Перераспределение энергии при интерференции.  Так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды (I ~ A 2 ), выражение  (5.3) можно представить в виде: I  =  I 1  + I 2  + 2  I 1 I 2  cos Da ,  где I – интенсивность результирующего колебания,  I1  и I2  – интенсивности слагаемых колебаний.

52  В  тех  точках  пространства,  для  которых  cos(Δα)  >  0,  I >  I 1  + I 2  (усиление  интенсивности).  При  Da = 2p m,  I = I max = ( I1 +  I 2  ) 2 

(5.16) 

При  Da = (2m + 1)p ,  I min = ( I1 -  I 2  ) 2  (5.17)  Таким образом, при наложении когерентных волн интенсивность результирующей  волны  не  равна  сумме  интенсивностей  слагаемых  волн.  В  одних  точках  она  больше,  а  в  других  ­  меньше  этой  суммы.  В  результате  интерференции  происходит  перераспределение  потоков  энергии  в  пространстве  при  интерференции.  Особенно  отчётливо  проявляется  интерференция в  случае,  когда  интенсивности  интерферирующих  волн одинаковы  I 1  =  I 2 . Тогда в максимумах I = 4I1, а в минимумах I =0. 

5.2.    СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ .  Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны.  Стоячей  волной  назы вается  волна,  образующаяся  в  результате  наложения  двух бегущих гармонических волн, которы е распространяются навстречу друг другу  и  имеют  одинаковы е  частоты  и  амплитуды ,  а  в  случае  поперечны х  волн  ещё  и  одинаковую поляризацию.  Поперечная стоячая волна образуется, например, на натянутой струне, один конец  которой  закреплён,  а  другой  приводится  в  колебательное  движение.  В  этом    случае  происходит наложение бегущей и отражённой волн.  5.2.1.  Уравнение стоячей волны. Амплитуда стоячей волны.  Сложим  волновые  функции  двух  одинаковых  гармонических  волн  противоположного  направления,  имеющих  одинаковую  амплитуду,  частоту  и  поляризацию.  Y1 ( x, t ) = Acos(w t - kx)  и  Y 2 ( x, t ) = Acos(w t + kx)  (5.18)  ( a + b )  ( a - b )  Используя формулу  cos a + cos b = 2 cos  × cos  , получим  2  2  w t - kx + w t + kx w t - kx - w t - kx  Y ( x, t ) = A[cos(w t - kx) + cos(w t + kx)] = 2 A cos cos  = 2 2  = 2 Acos w t cos kx Следовательно, образующая плоская стоячая волна описывается соотношением  Y ( x, t ) = 2 Acos w t cos kx (5.19)  Из  формулы  (5.19)  видно,  что  в  каждой  точке  стоячей  волны  совершаются  гармонические  колебания  той  же  частоты,  что  и  у  встречных  волн,  причём  амплитуда  стоячей волны Aст  зависит от координаты x:  Aст  =  2 Acos kx (5.20)  Точки в которы х амплитуда стоячей волны  A ст  равна нулю назы вают узлами,  а  точки,  в  которы х  амплитуда  стоячей  волны  A ст  максимальна  ( A ст  =2A),  ­  пучностями стоячей волны .  Координаты пучностей находятся из условия:  cos kx  = 1 . Отсюда kx =  ± pm , где m  = 0, 1, 2, 3, …  или 

2 p

l

x = ± mp . Следовательно 

xпучн  = ± m l 2 , (m = 0,  1,  2,  3...) 

(5.21)

53 

p Из  условия  cos(kx)  =  0  находим  координаты  узлов: kx = ± (2 m + 1)  ,  где  m=0,  1,  2…  2  Отсюда  (5.22)  xузл  = ± (2m + 1) l 4 ,  (m = 0,  1,  2,  3...)  Расстояния  между  двумя  соседними  узлами  и  двумя  соседними  пучностями  одинаковы и равны  l  . Расстояние между двумя соседними узлом и пучностью стоячей 

2

волны равно  l  . 

4

5.2.2.  Фаза стоячей волны.  В  бегущей  волне  фаза  колебаний  j  = wt - kx  зависит  от  координаты  Х  рассматриваемой  точки.  В  стоячей  волне  все  точки  между  двумя  узлами  колеблются  с  одинаковыми  фазами,  так  как  фаза  стоячей  волны j = w t  (см.  5.19)  не  зависит  от  координаты  Х.  При  переходе  через  узел  фаза  колебаний  изменяется  скачком  на p ,  т.к.  множитель  2Аcos(kx)  в  уравнении  (5.19)  меняет  знак  при  переходе  через  нулевое  значение.  Это  означает,  что  точки,  лежащие  по  разные  стороны  от  узла,  колеблются  в  противофазе.  На  рисунке  5.2  показаны  «моментальные  фотографии»  отклонений  точек  от  положений  равновесий в стоячей волне.  Первая из  них  соответствует  моменту,  когда  отклонения  достигли  наибольшего  значения,  следующие  –  для  моментов  времени,  отличающихся  на  четверть  периода. На рисунке точками отмечены  узлы  стоячей  волны.  Как  видно  из  рисунка  5.2,  фаза  стоячей  волны  «не  Рис. 5.2. Моментальные фотографии  бежит» в пространстве. Она отличается  отклонений точек от положения равновесия  на p  с двух сторон от узла и в пределах  в различные моменты времени. l  остается неизменной.  2 5.2.3.   Стоячая электромагнитная волна.  r  r В электромагнитной волне колебания совершают два вектора  E , B  причем следует 

r 

иметь в виду, что с вектором  k они независимо от направления распространения образуют  правую тройку векторов. Поэтому для встречных волн следует записать:  а) для волны,  бегущей вправо (рис.5.3) 

Рис.5.3. Взаимосвязь между векторами 

r r  r  E , B, k  в волне, бегущей вправо. 

Рис.5.4. Взаимосвязь между  векторами 

r r  r  E , B, k  в волне, бегущей влево. 

54 

r r  r r  E1 = E0e y cos(w t - kx) и B1 = B0 ez  cos(w t - kx)  б) для волны, бегущей влево (рис 5.4)  r

r  r r  E2 = E0e y cos(w t + kx) и B2 = - B0 ez  cos(w t + kx) 

(5.23)  (5.24) 

Суммируя (5.23) и (5.24), получаем для стоячей волны: r  r r r  r  E =  E 1  + E 2  = E0 e y [cos(w t - kx) + cos(w t + kx) ] = 2 E0 e y  cos w t cos kx (5.25) r  r r r  r  B =  B 1  + B 2  = B0 ez [cos(w t - kx) ­ cos(w t + kx) ] = 2 B0 ez  sin w t sin kx (5.26)  r  r В отличие от бегущей волны, фазы колебаний  E , B  сдвинуты по фазе в пространстве и во  p  l  T  времени на  (т.е. по x на  и t на  ).  2 4 4  5.2.4.  Энергия в стоячих волнах.  Стоячие  волны   не  переносят  энергию.  Так  как  падающая  и  отражённая  волны  одинаковой  амплитуды  и  частоты  имеют  одинаковую  плотность  энергии  w  и  r  противоположно  направленные  скорости  Vg  ,    вектор  Умова­Пойнтинга  результирующей 

r 

волны P  равен нулю. 

r r r  r r  P = P пад + P от р = wu g + w( -u g ) = 0 

Соответственно  полная  энергия  результирующей  стоячей  волны,  заключённой  между  узлами,  остаётся  постоянной.  Лишь  в  пределах  расстояний,  равных  половине  длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную  и обратно. Отсутствием переноса энергии обусловлено название «стоячая волна».  Потенциальная  и  кинетическая  энергия,  в  отличие  от  бегущей  волны,  накапливаются  теперь  в  разных  областях  пространства  и  в  разные  моменты  времени.  В  упругой волне, используя (5.19), (3.18) для плотности кинетической энергии найдём 

wk =

r ¶Y (

2  ¶ t

) 2 = 2 rw 2 Am 2 sin 2 w t cos 2  kz 

(5.27) 

Для плотности потенциальной энергии из (3.19) следует 

wn  =

r Cs2 ¶Y 2

(

¶ t

2

) =

r C s 2  2 

k 2 sin 2 w t cos 2  kz 

(5.28) 

Как  и  следовало  ожидать,  максимумы  кинетической  энергии  имеют  место  в  пучностях,  в  которых  скорость  движения  элементов  среды  максимальна.  Потенциальная  энергия  накапливается  вблизи  «узлов»,  где  происходит  растяжение  и  сжатие»  элементов  среды.  Сдвиг  в  пространстве  w k max  и  w n max  l  p равен  ( D j = ) (рис.5.5).  4 2 Рис. 5.5. «Мгновенные снимки» распределения плотности  По времени  значения  потенциальной и кинетической энергии в стоячей волне wk max (t ) и wn max (t )  сдвинуты  T  p на четверть периода (  или  D j = ). Максимумы кинетической энергии имеют место, в  4  2 пучностях  при  прохождении  положения  равновесия.  Запас  потенциальной  энергии 

55  максимален,  когда  среда  испытывает  максимальное  натяжение  (при  максимальных  отклонениях от положения равновесия в пучностях).  В  плоской  стоячей  электромагнитной  волне  распределение  плотности  электрической магнитной энергии можно определить с помощью (5.25), (5.26) 

wE  =

ee 0 E 2 

= 2ee 0 E0 2 cos 2 w t cos 2  kx 

2  (5.29)  B2 B 0 2  2 2  wB  = = 2 sin w t sin  kx 2 mm 0 mm 0  T  T  l  T  3T  T  w E = w E max  при  t=0,  ,…,=  n,  x=  n.  w B = w B max  при  t=0,  ,  …,=  (2n+1),  2 

2 

2

4  4 

4 

l  x=  (2n+1), где n=0,1,2… (отсчёт времени и координаты задан условием cos(φ(t,x)) = 1).  4 5.2.5.  Граничны е  условия.  Практически стоячие волны чаще  всего образуются при отражении от различных  преград. Стоячими волнами являются, например, колебания струны, камертона, колебания  воздуха в духовых инструментах. В случае электромагнитного поля стоячая волна может  образовываться  при  отражении  от  одного  или  нескольких  зеркал,  в  замкнутой  металлической камере и т.п.  Для образования стоячих волн важны  условия отражения от преграды (граничные  условия).  От  них  зависит,  что  будет  на  границе  –  узел  или  пучность.  Под  преградой  обычно  понимается  некоторый  приповерхностный  слой  перехода  из  среды,  где  первоначально  формировалась  волна,  в  другую  среду,  где  условия  для образования  волн  оказываются существенно иными.  По  поводу  поведения  волн  в  переходном      слое  (на  границе)  следует  иметь  в  виду  следующие обстоятельства.  1.  Волновая  функция  является  непрерывной  функцией  координат  в  том  числе  и  при  переходе из одной среды в другую.  2.  Закон  сохранения  энергии  требует,  чтобы  векторная  (алгебраическая)  сумма  потоков  энергии  «падающей»  отражённой  и  прошедшей  волны  была  постоянной  величиной.  Рассмотрим граничные  условия для упругих и электромагнитных волн.  5.2.5.(1).  Упругие волны. В упругой волне интенсивность (см. 3.5 формула(3.21))  1 1  I s = r Cs w 2 A2 =  zw 2 A2  5.30)  2 2  2  где  w 2 A2 = u m  ­ определяет амплитуду квадрата скорости смещения элементов среды;  z = r Cs  ­  физическая  величина,  определяющая  степень  «участия»  среды  в  переносе  энергии  волной  (условия  образования  волны).  Ее  называют  волновым  сопротивлением.  Значением  волнового  сопротивления  характеризуют  при  анализе  распространения  волн  «плотность» среды.  Предположим,  что  волновое  сопротивление  второй  среды,  на  которую  «падает»  волна больше, чем первой:  z 2 = ( r Сs )2 > z1 = ( r Сs ) 1  (5.31)  В  этом  случае  говорят,    что вторая  среда  более  плотная.    Т.к.  ω  =  const,  то  это означает  (см.  5.30),  что  A 2  обязан  быть    меньше  A 1  падающей  волны.  Поэтому  для  «выравнивания» амплитуд с двух сторон переходного слоя, в  суперпозиции падающей и  отражённой волны в каждый момент времени на границе мгновенное значение амплитуды

56  отражённой  волны  Y 0 должно  вычитаться  из  соответствующих  значений  набегающей 

r 

волны  Y 1n .  В  векторной  волне  вектор  Y 0 должен  быть  направлен  противоположно 

r 

вектору  Y 1n .  Для  этого  необходимо,  чтобы  фаза  отраженной  от    более  плотной  среды  волны была сдвинута относительно падающей на π. Т.к. такой сдвиг фазы происходит на  расстоянии  x = l , то часто говорят, что отражение от более плотной среды происходит 

2 

с  потерей  полуволны.  При  отражении  от  менее  плотной  среды  ( z2    A 1 n  , то фаза отражённой волны останется неизменной.  В  качестве  примера  можно  рассмотреть  стоячую  волну  в  шнуре,  один  конец  которого приводится в колебательное движение, а другой либо закреплён, либо оставлен  свободным.    Если  конец  шнура  закреплён,  то  z2  >>  z 1 ,  A2